Matematika 6 - udžbenik

Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљанa Вуковић • Јагода Ранчић • Зорица Јончић

MATEMATИKА D C D1 A

C1

9 788652 906567

B

Уџбеник за шести разред основне школе

МАТЕМАТИКА 6

Уџбеник за шести разред основне школе

-3 -1

-5

4 –5

:

73 5 11

D

-7 6

13

-5

C -12

D1 A

C1 B

6

школа Креативнашкола Креативна Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљанa Вуковић • Јагода Ранчић • Зорица Јончић

MАТЕМАТИКА Уџбеник за шести разред основне школе

-3 -1

-5

4 –5

:

73 5 11

D

-7 6

13

-5

C -12

D1 A

C1 B

6

ВОДИЧ 1, 2, 3, крени…

Кратак тест за проверу усвојених знања

Кључни појмови

Објашњења појмова ДЕФИНИЦИЈА

Обрада новог градива

Дефиниције и правила

Додатна објашњења дефиниција и правила

Пример

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ

ЗАПАМТИ

Решени задаци који помажу у разумевању градива

Провера усвојености новог градива

Кратак преглед обрађених појмова и правила у поглављу уџбеника

Подсети се

Повезивање с раније усвојеним знањима

Да ти кажем

Мала помоћ за решавање задатака

И ТО ЈЕ МАТЕМАТИКА

Истраживачки задатак

Занимљивост

Математичке игре и разни логични задаци

Знања из математике примењена у разним областима

Различите информације и занимљивости из историје и свакодневног живота које су повезане с математичким задацима

ШТА САДРЖИ ОВА КЊИГА УВОД У ТЕМЕ �������������������������������������������������������������������������������������� 4–5, 43–44, 93–94, 163–164, 196–197 ЦЕЛИ БРОЈЕВИ �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4–42 ТРОУГАО ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 43–92 РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 93–162 ЧЕТВОРОУГАО �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 163–195 ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА ������������������������������������������������������������������������������������������ 196–214 И ТО ЈЕ МАТЕМАТИКА ....................................................................... 27, 41–42, 66, 91, 112, 161, 194, 212 ИСТРАЖИВАЧКИ ЗАДАТАК ........................................................................................................ 28, 124, 213 ЗАПАМТИ ................................................................................... 29, 42, 67, 92, 113, 138, 161–162, 195, 214 РЕЗУЛТАТИ И УПУТСТВА .................................................................................................................... 215–226

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ У овом поглављу учићеш: • шта су то негативни и цели бројеви, како се записују и упоређују • шта су супротни бројеви и апсолутна вредност бројева • да рачунаш са целим бројевима – да их сабираш, одузимаш, множиш и делиш.

Из историје математике Симбол за нулу појавио се у Индији у IX веку. Његово порекло је неизвесно. Не зна се поуздано да ли је 0 асоцијација на празан кружић или на прво слово грчке речи ouden (ништа), која почиње словом О (omikron).

Појам негативног броја појављује се у старокинеској књизи о математичким вештинама око 200. године пре нове ере. Негативни бројеви записивани су црном бојом, а позитивни бројеви црвеном бојом. Данас негативне бројеве пишемо тако што природним бројевима додајемо знак „–”.

–6

Леонардо Фибоначи (1175–1240)

–5

–4

–3

Негативни бројеви почињу да се користе у Европи током XVI и XVII века. Италијански математичар Леонардо Фибоначи још је у XII веку, решавајући финансијске проблеме, губитак приказивао негативним бројем, а добитак позитивним бројем.

–2

–1

1

2

3

4

5

6

Француски математичар Рене Декарт увео је у савремену математику негативне бројеве.

Рене Декарт (1596–1650)

Ево неколико примера из којих се види да се негативни бројеви користе у свакодневном животу.

У лифту је бројем –1 означен први ниво испод приземља.

4

По извештају са овог рачуна, власник је дужан банци 15 615 динара и 71 пару.

Температура у Београду 18. 2. 2009. била је седам степени испод нуле.

1, 2, 3, крени…

1 Напиши и израчунај збир, разлику, производ и количник бројева 21 и 3.

2 Којим изразом записујеш реченицу: Броју 24 додај количник бројева 18 и 6?

Заокружи слово испред тачног одговора. а) (24 + 18) : 6

б) 24 + 18 : 6

в) 24 : 6 + 18

3 Израчунај.

а) 40 – 28 : 4 б) (18 + 12) : 6 – 5 в) 156 ⋅ 0 ⋅ 2008

4

Попуни табелу.

5

а

10

13

а+1 13 – а 2⋅а+5 100 – а ⋅ 4

5

Реши једначине. б) 2 ⋅ x – 17 = 33

а) x + 17 = 33

6 Дат је скуп {19, 9, 109, 99}.

а) Напиши најмањи и највећи број из датог скупа. б) Поређај бројеве из скупа од најмањег до највећег.

M

7 Дата је бројевна полуправа и на

њој је обележена тачка M.

0

x

2

Који је број придружен тачки M? Заокружи слово испред тачног одговора. а) 7

б) 8

в) 14

г) 16

8 Напиши природне бројеве:

а) који су мањи од 4

б) који су већи од 2 и мањи од 5 или једнаки броју 5 в) који нису мањи од 3.

5

ПОЈАМ НЕГАТИВНОГ ЦЕЛОГ БРОЈА. СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1 На карти Србије обележени су неки градови

и записана је дневна температура ваздуха која је у њима измерена у марту.

Користећи карту, одговори на следећа питања. а) У којим је градовима температура изнад нуле? б) Колика је температура у Ваљеву и Лесковцу? в) У којим је градовима температура испод нуле?

•• цео број ••позитиван број ••негативан број

Сомбор –8°C Нови Сад –6°C Београд –2°C Ваљево 0°C Краљево 2°C

Зајечар –3°C Ниш 1°C Лесковац 0°C Врање 2°C

О целим бројевима У свакодневном животу бројеве користимо да бисмо нешто пребројали, да бисмо записали измерену величину, исказали количину, нумерисали објекте и слично. Ево неких примера коришћења врсте бројева коју нисмо до сада учили.

• Када је температура ваздуха седам степени испод нуле, записујемо: –7°C. • Означену температуру у замрзивачу –4°C читамо: четири степена испод нуле.

• У лифту зграде први ниво испод земље означавамо са –1. Бројеве –7, –4 и –1 из наведених примера називамо негативним целим бројевима. Читамо их: минус седам, минус четири и минус један. Негативни цели бројеви јесу бројеви који настају када се испред сваког природног броја напише знак „–". Природне бројеве називамо и позитивни цели бројеви. Можемо их записати и тако што ћемо испред сваког броја ставити знак „+". На пример: број 8 можемо да напишемо као +8, број 56 као +56, а 401 као +401; читамо их: плус осам, плус педесет шест и плус четиристо један. Најчешће знак + не пишемо, а подразумевамо га. Знак „+" или „–" испред броја називамо предзнак броја или знак броја. Осим величина које се изражавају позитивним или негативним бројевима, постоје величине које се изражавају нулом. На пример: • Вода се леди на 0°C. • У лифту је ниво на којем се налази улаз у зграду означен бројем 0.

• Надморска висина одређује се у односу на ниво мора, који, по договору, представља нулти ниво.

0 m Број нула је цео број који није ни позитиван ни негативан.

6

Да ти кажем • 5°C јесте температура изнад нуле и чита се: пет степени Целзијуса.

• –3°C јесте температура испод нуле и чита се: минус три степена Целзијуса.

2 Запиши речима следеће целе бројеве, као што је започето.

а) –8 минус осам

б) 45

в) –103

3 Запиши следеће бројеве:

а) минус педесет

б) плус осамдесет осам

СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА Z+.

в) минус осамдесет осам.

Z – ∪ {0} ∪ Z + = Z

Скуп целих позитивних бројева означавамо са

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5…} Z 0 + Скуп целих позитивних бројева Z једнак је скупу Z– Z+ природних бројева N.

Z+ = N Скуп негативних целих бројева означавамо са Z–.

Z– = {… –5, –4, –3, –2, –1} Скуп целих бројева јесте скуп који чине сви негативни цели бројеви, нула и сви позитивни цели бројеви. Означавамо га са Z.

Z = {… –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…} Када скуп природних бројева N проширимо нулом, добијамо скуп који означавамо са N0. Слично томе, скуп природних бројева проширујемо нулом и негативним целим бројевима и добијамо скуп целих бројева Z. За скупове N, N0 и Z важи: и N0 ⊂ Z N ⊂ N0 Поменути скупови могу се приказати Веновим дијаграмом.

4

N N0 Z

су бројеви: –20, 10, 40, 0, –50, –30 и +60. Напиши који од њих припада скупу: Дати а) Z б) Z в) Z. +

–

5 Дат је скуп Т = {27°C, 36°C, –7°C, –2°C, 28°C, –13°C, 39°C, 0°C, –5°C, +1°C}.

Напиши елементе из тог скупа који представљају уобичајене: а) летње температуре б) зимске температуре.

6

је у Србији: Доа) нсада ајнижа измерена температура била у Карајукића Бунарима на Пештерској висоравни 26. 1. 2006. године; износила је 39 степени Целзијуса испод нуле б) највиша измерена температура била у Смедеревској Паланци 24. 7. 2007. године; износила је 45 степени Целзијуса изнад нуле. Запиши измерене температуре.

7

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Напиши: а) десет позитивних целих бројева в) пет троцифрених позитивних целих бројева

б) десет негативних целих бројева г) пет двоцифрених негативних целих бројева.

2. За сваки од датих бројева, 17, +56, 0, –48, –203, напиши да ли припада или не припада скупу N и Z, користећи симболе ∈ или ∉.

3. Напиши све двоцифрене целе бројеве који се записују цифрама 3 и 8.

БРОЈЕВНА ПРАВА. УПОРЕЂИВАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

•• бројевна права ••већи број ••мањи број

1 На првом цртежу скала термометра приказује температуру ваздуха од нула степени Целзијуса.

а) Колика је температура приказана на другом цртежу? б) Обој скалу на трећем цртежу тако да приказује температуру од 5 степени. в) Обој скалу на четвртом цртежу тако да приказује температуру од минус три степена и напиши температуру. г) Колика је најнижа, а колика највиша приказана температура?

Бројевна полуправа У петом разреду учили смо да природне бројеве и нулу приказујемо на бројевној полуправој.

O

A

0

1

B 2

3

x 4

5

6

Почетна тачка O бројевне полуправе Ox назива се координатни почетак. Дуж OA је јединична дуж. Тачки B придружен је број 3. Број 3 је координата тачке B, што се записује: B(3). Растојање између тачака O и B јесте дужина дужи OB. Дужину дужи приказане на бројевној полуправој можемо изразити бројем јединичних дужи. Дужина дужи OB износи три јединичне дужи.

8

O 0

2 Одреди координате тачака M, N и K.

N 2

1

3

К 5

4

6

М 7

x 8

3 Нацртај бројевну полуправу и на њој обележи следеће тачке: Т (6), R (12), S (1), V (15) и H (9).

4 Колико су јединичних дужи дате тачке A, B и C удаљене од нуле?

A 0

1 2

3 4

5

B 6

7

C

8

x

9 10 11 12 13 14 15 16 17

Приказивање целих бројева на бројевној правој Дата је бројевна полуправа Ox. O

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Први корак Допунимо бројевну полуправу Ox до праве x. Десно од нуле приказани су позитивни цели бројеви. x 0

1

2

3

4

Други корак Јединичне дужи надовезујемо једну на другу од координатног почетка улево. x 0

1

2

3

4

Трећи корак Крајевима јединичних дужи које се налазе лево од координатног почетка редом придружујемо бројеве –1, –2, –3… као што је приказано на цртежу. x … –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

Да ти кажем Број 0 није ни позитиван ни негативан број.

4…

позитивни цели бројеви

негативни цели бројеви нула

На бројевној правој десно од нуле представљамо позитивне целе бројеве, а лево од нуле негативне целе бројеве.

5

Нацртај брoјевну праву и на њој обележи тачке: A (–5), B (–9), C (4) и D (–7).

6

Напиши координате тачака приказаних на датим бројевним правама.

A –4

–2

0

4

B –9

C

x –10 –5

0

3

5

O

x –3

0

–200 –100

x x

100 200

9

Упоређивање целих бројева коришћењем бројевне праве Научили смо да упоређујемо бројеве из скупа N0. За два различита броја приказана на бројевној полуправој важи да је мањи онај који је с леве стране, односно да је од два броја већи онај који је с десне стране. На пример: 2 < 4, 4 < 6, 12 > 8, 3 > 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 За било која два различита броја m и n из N0 важи да је m < n или m > n. Зато кажемо да је скуп N0 уређен скуп. Скуп Z добили смо проширивањем скупа N0. Својство уређености бројева које важи у скупу N0 важи и у скупу Z. За свака два различита цела броја приказана на бројевној правој важи да је мањи онај који је с леве стране, односно да је од два броја већи онај који је с десне стране. На пример: x 0 3 –7 –4 –2 Број –4 је лево од броја 3, значи: –4 < 3. Број –2 је лево од 0, значи: –2 < 0. Број –7 је лево од –4, значи: –7 < –4. За било која два различита броја a и b из скупа Z такође важи да је a < b или a > b. Дакле, скуп Z је уређен скуп.

• Сваки позитиван цео број већи је од нуле.

• Сваки негативан цео број мањи је од нуле.

• Сваки негативан цео број мањи је од сваког позитивног целог броја.

7 Прикажи дате бројеве на бројевној правој, упореди их и напиши одговарајућу неједнакост.

8

а) 4, 5

б) –8, 1

в) 3, –3

г) 2, 0

д) –4, 0

ђ) –3, –1

е) –1, –2

ж) –7, –5

Напиши цео број који се налази између: а) 13 и 15

9

б) –1 и 1

в) –5 и –3

Заокружи: а) најмањи број: 17, 56, 71, 65 в) најмањи број: –2, –12, –4, –24

10

г) –2 и 0

д) –20 и –18.

б) највећи број: 17, 56, 71, 65 г) највећи број: –2, –12, –4, –24.

10

слова испред оних бројева који су поређани од најмањег до највећег. Заокружи а) 5, 6, 7, 8 б) 8, 7, 6, 5 в) –5, –6, –7, –8 г) –8, –7, –6, –5 д) –5, –6, 7, 8 ђ) –6, –5, 7, 8

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. а) Нацртај бројевну праву и одреди тачке A (–3), B (0), C (4), D (–5). б) Напиши колико јединичних дужи имају дужи AB, AC, BD и CD.

* *

2. Упореди целе бројеве и упиши уместо знак > или < тако да добијеш тачне неједнакости.

9 14 –9 –14 0 7 0 –6 –17 –23 32 25

*

*

*

3. Дате бројеве поређај од најмањег до највећег. а) 8, 9, 26, 15 б) –5, –10, –4, –12 в) 19, –9, –19, 0, 9 4. Дате бројеве поређај од највећег до најмањег. а) 11, 1, 22, 2, 111, 222 б) –17, –7, –77, –1, –71

*

*

в) 0, –6, 66, 6, –66

Мерење температуре Температура је физичка особина која представља степен загрејаности неког тела. На пример, телесна температура нашег организма износи нешто испод 37°C. Температура воде, ваздуха и живих бића мери се помоћу термометра и топломера. Јединице за мерење температуре су: степен Целзијуса (°C), келвин (K) и степен Фаренхајта (°F). Целзијусова скала заснива се на подели на 100 једнаких делова између тачке мржњења воде (0°C) и тачке кључања воде (100°C). Фаренхајтова скала заснива се на подели на 180 једнаких делова између тачке мржњења воде (32°F) и тачке кључања воде (212°F). Важи да је 0°F приближно –18°C и 100°F приближно 38°C. Келвин је основна јединица у SI систему (о том систему мерних јединица учиш више у физици). Распон од једног келвина је 1°C. Најнижа могућа температура у свемиру је 0 K и назива се апсолутна нула. Тачка мржњења воде је око 273 K. Важи: 273 K = 0°C 0 K = –273°C

11

СУПРОТНИ БРОЈЕВИ. АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ ЦЕЛОГ БРОЈА

•• супротни бројеви •• апсолутна вредност броја

1 Плава и црвена екипа такмиче се у потезању ужета. На почетку такмичења заставица је на нули.

а) Ако је дужина јединичне дужи 1 m, колико је метара први члан плаве екипе удаљен од нуле на почетку такмичења? Колико је метара први члан црвене екипе удаљен од нуле?

x –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

б) Колико је метара први члан плаве екипе удаљен од нуле на другој слици? Колико је метара први члан црвене екипе удаљен од нуле?

• црвена • плава • ниједна Која је екипа у предности?

x –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

в) Kолико је метара први члан плаве екипе удаљен од нуле на трећој слици? Колико је метара први члан црвене екипе удаљен од нуле?

• црвена • плава • ниједна Која је екипа у предности?

x –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

2 Прикажи на бројевној правој тачке M и N, једнако удаљене од тачке О (0), као што је започето.

M –2

N –1

0

1

N –3

–2

–1

0

1

2

x

3

M –4

12

Да ти кажем Координате тачака M и N су супротни бројеви.

2

а)

б)

x

x –3

–2

–1

0

1

2

3

4

Супротни бројеви Два цела броја међусобно су супротна ако им се придружене тачке на бројевној правој налазе с разних страна тачке O(0) и на једнаком растојању од ње. На пример: A

B 0

–3

x

3

На цртежу се тачке A и B налазе са разних страна тачке O и удаљене су од ње за три јединичне дужи. Њихове координате, бројеви –3 и 3, јесу супротни бројеви. Нека је n ∈ N. Супротан број броју n јесте број –n. Супротан број броју –n јесте број n. Супротан број нули јесте нула.

Да ти кажем Једини број супротан самом себи јесте 0.

3

Нацртај бројевну праву, на њој обележи бројеве 2, 5 и 8, као и њима супротне бројеве.

4

Нацртај бројевну праву, на њој обележи бројеве –7, –4 и –1, као и њима супротне бројеве.

5

апиши два различита броја која су на бројевној правој Нпридружена тачкама удаљеним од координатног почетка: а) седам јединичних дужи б) десет јединичних дужи в) седамдесет једну јединичну дуж.

СУПРОТНИ БРОЈЕВИ Zа сваки број a ∈ Z бројеви a и –a јесу супротни бројеви. x –a

0

a

Одређивање супротних бројева Супротан број броју a добија се када испред тог броја напишемо знак „–". Ако је a = +5, онда је његов супротан број –a = – (+5). Знамо да је броју +5 супротан број –5, што значи да је:

– (+5) = –5 Ако је a = –7, онда је његов супротан број –a = – (–7). Да ти кажем –(+5) Знамо да је броју –7 супротан број +7, што значи да је: Ознака за

– (–7) = +7 = 7 супротан –(–5) број У записима – (+5) и – (–7) заграда раздваја два предзнака која су написана један за другим.

13

6

броју у загради одреди супротан број као што је започето. Да)атом – +7 = –7 б) – +23 в) – –9

( ) г) – (–14)

7

( ) д) – (20)

( ) ђ) – (0)

ацртај бројевну праву и на њој тачке A и B. Ако је дужина јединичне Ндужи 1 cm, колико је растојање од тачака A и B до координатног почетка? а) A (+4), B (–2)

б) A (–5), B (+5)

Да ти кажем Позитивне бројеве можеш да пишеш са предзнаком + или без предзнака. Растојање од тачке A до тачке O јесте дужина дужи OA.

Апсолутна вредност целог броја Растојање од тачке А (a) до координатног почетка О (0) назива се апсолутном вредношћу целог броја a и обележава се са |a|. На пример: |3| |–4| x B (–4) –3

–2

–1 О (0) 1

2

Ознака | | користи се за апсолутну вредност броја.

А (3)

Растојање од тачке А (3) до тачке O износи 3 јединичне дужи. То растојање називамо апсолутном вредношћу броја 3. Записујемо: |3| = 3 Растојање од тачке B(–4) до тачке O износи 4 јединичне дужи. То растојање називамо апсолутном вредношћу броја –4. Записујемо: |–4| = 4 Апсолутна вредност броја различитог од нуле јесте позитиван број. Дакле, апсолутна вредност позитивног броја је позитиван број и апсолутна вредност негативног броја је позитиван број. Апсолутна вредност нуле је нула. |0| = 0

8

бројевну праву и на њој обележи тачке којима су придружени следећи бројеви: а) Н–6,ацртај –1, +5 и 8. б) Одреди апсолутне вредности бројева: –6, –1, 5, 8, 105, –72.

Апсолутна вредност супротних бројева Супротни бројеви a и –a имају једнаке апсолутне вредности. |a| = |–a| На пример: |4| |–4| x А (–4) –3

–2

–1 О (0) 1

2

3

B (4)

За тачке А (–4) и B (4) важи да су растојања од тачке O до сваке од њих једнака и износе 4 јединичне дужи. Записујемо: |–4| = |4| = 4

14

9

бројеве који имају једнаке апсолутне вредности. а) Заокружи –8, –6, –5, 1, 6, 7 б) –52, 34, –25, –43, 52 в) 101, –103, 102, –104, 103, –105

АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ БРОЈА Апсолутна вредност броја a, за a ∈ Z, дефинише се на следећи начин:

|a | =

a, када је a > 0 0, када је a = 0 –a, када је a < 0

Претходну дефиницију можемо речима исказати на следећи начин: • Апсолутна вредност позитивног броја једнака је том броју.

• Апсолутна вредност броја нула је нула.

• Апсолутна вредност негативног броја једнака је његовом супротном броју.

Пример Користећи дату дефиницију, одреди |a| ако је: а) a = 5 б) a = –5 в) a = 0. а) |a| = |5| = 5, зато што је 5 > 0 б) |a| = |–5| = – (–5) = 5, зато што је –5 < 0 в) |a| = |0| = 0

10

Које су једнакости тачне? а) |+37| = 37

б) |+37| = –37

Да ти кажем –(–а) = а

в) |–37| = –37

г) |–37| = – (–37)

д) |–37| = – (+37)

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Прикажи на бројевној правој тачке којима су придружени бројеви: б) чија је апсолутна вредност 6. а) 9 и –9 2. Израчунај. а) – (–82) д) |+91|

б) – (+111) ђ) |74|

в) +(+25) е) |–91|

г) |–15|

15

УПОРЕЂИВАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

•• упоређивање негативних бројева

1 На цртежима су дате зимске температуре неких градова мерене истог дана у исто време.

Беч –16°C

Лондон –17°C

Београд –13°C

Париз –11°C

а) У ком је граду температура највиша? б) У ком је граду температура најнижа?

Упоређивање негативних бројева У претходним разредима научили смо да упоређујемо позитивне бројеве. Упоређивање негативних бројева можемо да сведемо на упоређивање позитивних тако што ћемо да одредимо њихове апсолутне вредности и упоредимо их. Када бројеве представимо на бројевној правој, од два негативна броја мањи је онај који је даље од координатног почетка. То значи да је његова апсолутна вредност већа од апсолутне вредности броја с којим га упоређујемо.

|a|

a < 0, b < 0, a < b |a| > |b|

|b|

x

0 a b Правило за упоређивање два негативна броја гласи: • Од два негативна броја мањи је онај чија је апсолутна вредност већа.

Пример Упореди бројеве –6 и –8. Први корак

Одредимо њихове апсолутне вредности: |–6| = 6 |–8| = 8

Други корак

Упоредимо апсолутне вредности: |–6| < |–8|, зато што је 6 < 8

Трећи корак Закључујемо:

–6 > –8

Да ти кажем Правило за упоређивање два негативна броја можемо да напишемо и овако: Од два негативна броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања.

2 Користећи апсолутну вредност, упореди следеће бројеве и напиши одговарајућу неједнакост.

а) –11, –12

16

б) –54, –45

3 Заокружи највећи број.

–66

–69

–16

–19

–61

4

аокружи најмањи број. З3 8 –11 0 –2 4 –3

5

бројеве и напиши одговарајућу неједнакост: Уа)пореди 4 и 5 9 и 0 17 и 12 б) –1 и –3

0 и –7

Подсети се Сваки негативан цео број мањи је од сваког позитивног целог броја и од нуле. Погледај страну 10.

–8 и –2.

Правила за упоређивање два цела броја Научили смо да упоређујемо целе бројеве коришћењем бројевне праве. Од два броја већи је онај који је десно од другог на бројевној правој. …–4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4…

x

• Број 0 већи је од сваког негативног броја и мањи од сваког позитивног броја.

• Сваки позитиван број већи је од било ког негативног броја.

• Од два негативна броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања зато што је на бројевној правој он ближи нули.

6

7

су бројеви: –10, –1, 1, 0, –112. а) ДатиНапиши најмањи број.

слова испред оних бројева који су у растућем поретку. а) З9,аокружи 10, 11, 12 б) 12, 11, 10, 9 в) –9, –10, –11, –12 д) –9, –10, 11, 12

8

б) Напиши највећи број.

г) –12, –11, –10, –9 ђ) –10, –9, 11, 12

дате бројеве у опадајућем поретку. а) Напиши 82, 28, 22, 88 б) –11, –31, –13, –33 в) 4, –14, –44, 14, 0

Да ти кажем За бројеве који су поређани од најмањег до највећег каже се да су у растућем поретку. Нпр.: –5, –2, 4, 9, 10. За бројеве који су поређани од највећег до најмањег каже се да су у опадајућем поретку. Нпр.: 10, 9, 4, –2, –5. Ако се међу датим бројевима налазе и позитивни и негативни бројеви, а треба их написати у опадајућем поретку, уради то прво за позитивне бројеве, а затим за негативне.

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. а) Одреди апсолутне вредности бројева –59, –68, –47 и –73. б) Поређај дате бројеве од највећег до најмањег.

2. Дати су бројеви: 120, –212, –142, –204, 142. Напиши: а) најмањи број в) дате бројеве у растућем поретку

б) највећи број г) дате бројеве у опадајућем поретку.

3. Напиши у растућем поретку све целе бројеве који су између –8 и 8.

17

САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

•• збир два цела броја истог знака •• збир два цела броја различитог знака

+5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2

1 У једној згради постоје пет спратова, приземље

и гараже на првом и другом нивоу испод земље. Небојша се паркирао у гаражи на другом нивоу и лифтом се попео четири нивоа до свог стана. На ком спрату живи Небојша? Заокружи слово испред тачног одговора. а) на четвртом спрату б) на трећем спрату в) на другом спрату

Сабирање целих бројева истог знака Показаћемо на бројевној правој како се сабирају два цела броја. Сваки сабирак означићемо стрелицом надесно ако је сабирак позитиван или налево ако је сабирак негативан. Полазимо увек од координатног почетка. На стрелицу која означава први сабирак надовезујемо стрелицу која означава други сабирак. Крај друге стрелице показује број на бројевној правој који представља збир датих бројева.

Подсети се збир 4+3=7 сабирци вредност збира

Представимо на бројевној правој збир два позитивна броја, на пример збир бројева 4 и 3. +4 +3 x –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6

7

Да ти кажем –4 + (–3)

8

4+3=7

заграда раздваја знаке „+” и „–”

Представимо на бројевној правој збир два негативна броја, на пример збир бројева –4 и (–3).

–3

–4

Знак „+” је знак за сабирање, а „–” предзнак за негативан број.

x

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

–4 + (–3) = –7

2

Израчунај користећи бројевну праву. а) 10 + 50 б) –10 + (–50) в) –1 + (–5) г) –6 + (–2)

18

–30 –20 –10

x 0

10

20

30

40

50

60

70 x

–70 –60 –50 –40 –30 –20 –10

0

10

20

30 x

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6 x

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

ЗБИР ДВА ЦЕЛА БРОЈА ИСТОГ ЗНАКА • З бир два позитивна броја: +a + (+b) = a + b, за a, b ∈ N • З бир два негативна броја: –a + (–b) = – (a + b), за a, b ∈ N

Пример Да ти кажем +6 + (+5) = 6 + 5

Израчунај. а) +6 + (+5) б) –3 + (–9)

3

а) +6 + (+5) = 6 + 5 = 11

сабирање позитивних целих бројева јесте сабирање природних бројева

б) –3 + (–9) = – (3 + 9) = –12

сабирамо бројеве 3 и 9 и задржавамо знак „–"

као што је започето. а) Израчунај –5 + –9 = – 5 + 9 = –14

( ) ( в) –15 + (–10)

4

а) Израчунај.

–7 + –8 ( )

)

Предзнак позитивног броја можеш да изоставиш.

б) –12 + (–45)

г) –11 + (–17)

б) –20 + (–4)

в) 30 + 40

г) 7 + 5

д) 3 + 4 + 6

ђ) –3 + (–4) + (–6) Збир два позитивна броја је позитиван број. Збир два негативна броја је негативан број.

Када сабирамо два цела броја истог знака, сабирамо њихове апсолутне вредности и задржавамо у резултату знак сабирака.

Сабирање целих бројева различитог знака Прикажимо на бројевној правој сабирање два цела броја различитог знака. Као и до сада, за позитиван сабирак користимо стрелицу усмерену надесно, а за негативан сабирак стрелицу усмерену налево. Представимо на бројевној правој збир позитивног и негативног броја, на пример збир бројева 5 и –3. +5 –3 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

x 4

5

6

5 + (–3) = 2 Представимо на бројевној правој збир негативног и позитивног броја, на пример збир бројева –5 и 3.

–5 +3 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –5 + 3 = –2

x 3

4

5

6

19

5

Нацртај бројевну праву и на њој представи збир бројева. а) 3 + (–2)

б) –4 + 2

в) 4 + (–6)

г) –2 + 6

ЗБИР ДВА ЦЕЛА БРОЈА РАЗЛИЧИТОГ ЗНАКА Нека су бројеви a, b ∈ N. •А ко је a > b, важи: a + (–b) = a – b –a + b = –(a – b) •А ко је a < b, важи: a + (–b) = –(b – a) –a + b = b – a

Пример Израчунај. а) 6 + (–5) б) –8 + 3 в) 2 + (–9) г) –4 + 7 а) 6 + (–5) = 6 – 5 =1 б) –8 + 3 = – (8 – 3) = –5 в) 2 + (–9) = – (9 – 2) = –7 г) –4 + 7 = 7 – 4 =3

како је 6 > 5, резултат је позитиван и рачунамо разлику 6 – 5

како је 8 > 3, резултат је негативан и рачунамо разлику 8 – 3

како је 9 > 2, резултат је негативан и рачунамо разлику 9 – 2

како је 7 > 4, резултат је позитиван и рачунамо разлику 7 – 4

Када сабирамо два цела броја различитог знака, одузимамо од веће апсолутне вредности мању и задржавамо у резултату знак броја чија је апсолутна вредност већа. На пример, израчунајмо 7 + (–18). Знак збира је – (минус) јер је |7 | < |–18|.

7 + (–18) = –(|–18| – |7 |) = –(18 – 7) = –11

6

као што је започето. а) Израчунај 9 + –6 = 9 – 6 = 3 б) –7 + 4 = – 7 – 4 = –3

( )

(

в) –17 + 20

7

8

б) –10 + 3

в) –30 + 40

г) 8 + (–12)

а) Израчунај.

13 + –50 (

)

д) –100 + (–39)

20

г) 19 + (–22)

а) Израчунај.

20 + –4 ( )

)

Да ти кажем Примери сабирања два цела броја: 5+4=9 –5 + (–4) = –9 5 + (–4) = 1 –5 + 4 = –1

б) –1 + (–21)

в) –36 + 40

г) –23 + (–13)

ђ) 65 + (–64)

е) 56 + 14

ж) –9 + (–9)

Збир два супротна броја Збир два супротна броја a и –a је нула. a + (–a) = 0 или –a + a = 0 На пример: 3 + (–3) = 0

–2 + 2 = 0 x

x –3

9

10

–2

0

–1

1

2

3

–3

–2

б) 0 + 7

в) –9 + 0

г) 0 + (–5)

0

1

2

3

Подсети се Збир нуле и било ког природног броја јесте тај број. Исто важи и за целе бројеве: збир нуле и било ког целог броја јесте тај цео број.

Израчунај. а) 2 + 0

–1

ородица Васић дугује Електродистрибуцији 1 200 динара за струју. ПКакво ће бити њихово стање на рачуну ако уплате: а) 1 000 динара б) 1 200 динара в) 2 000 динара?

Да ти кажем Ако Васићи дугују новац, стање на њиховом рачуну изрази негативним бројем.

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Користећи бројевну праву, израчунај следеће збирове: –8 + (–1), –4 + (–4), –5 + 9, 6 + (–4), –8 + 3, 2. Израчунај.

13 + 58, –28 + (–17), –46 + (–46),

–51 + 9,

6 + (–8).

60 + (–4), –18 + 3,

СВОЈСТВА ОПЕРАЦИЈЕ САБИРАЊА 1 Дејан на рачуну у банци има 12 000 дин. Купио је део за рачунар који

кошта 15 000 дин. и задужио се. Нина је уплатила 12 000 дин. на свој рачун да би смањила дуг, јер је њено дуговање било 15 000 дин. Ко сада има већи дуг на рачуну? Који је одговор тачан?

16 + (–178)

•• својство комутативности •• својство асоцијативности •• збир супротних бројева •• збир целог броја и нуле

а) Дејан б) Нина в) имају исти дуг Њихово стање на рачуну можеш да израчунаш на следећи начин: Дејан: 12 000 + (–15 000) Нина: –15 000 + 12 000

21

Својство комутативности и својство асоцијативности У скупу N природних бројева за операцију сабирања важе својство комутативности (замена места сабирака) и својство асоцијативности (здруживање сабирака). Та својства се преносе и на скуп Z целих бројева.

СВОЈСТВО КОМУТАТИВНОСТИ Пример 1 Прикажимо на бројевној правој збир 4 + (–6) = –2

Пример 2 Прикажимо на бројевној правој збир –6 + 4 = –2 x

–3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

Вредности збирова у примеру 1 и примеру 2 су једнаке. Збир се не мења ако сабирци замене места: 4 + (–6) = –6 + 4 Да ти кажем Прво рачунаш вредност израза који је у загради.

СВОЈСТВО АСОЦИЈАТИВНОСТИ

Пример 4 Прикажимо на бројевној правој збир –6 + (3 + 2)

Пример 3 Прикажимо на бројевној правој збир (–6 + 3) + 2

x

x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

–3 –2 –1 0

Прво израчунамо: –6 + 3 = –3, а затим: –3 + 2 = –1 (–6 + 3) + 2 = –1

1

2

3

4

5

Прво израчунамо: 3 + 2 = 5, а затим: 5 + (–6) = –1 –6 + (3 + 2) = –6 + 5 = 5 + (–6) = –1 својство комутативности

Вредности збирова у примеру 3 и у примеру 4 су једнаке. Када рачунамо збир три сабирка, свеједно је којим редом здружујемо сабирке и можемо да пишемо: (–6 + 3) + 2 = –6 + (3 + 2) Када сабирамо више целих бројева, можемо да их здружујемо било којим редом, што значи да можемо да пишемо израз и без заграде. На пример: (−6 + (−9)) + (−4) = −6 + (−9 + (−4)) = −6 + (−9) + (−4)

2 а) Израчунај.

7 + (–15)

–8 + 8

–6 + 0

–15 + 7

8 + (–8)

0 + (–6)

б) Какви су резултати у свакој колони? Објасни свој одговор.

3 Израчунај под б) као што је урађено под а).

а) – 6 + –4 + 5 = –6 + 1 = –5 (

)

б) – 11 + (11 + 49)

22

(–6 + (–4)) + 5 = –10 + 5 = –5

(–11 + 11) + 49

в) Које је својство коришћено у овим примерима?

4 Заокружи слово испред тачне једнакости.

а) –13 + 19 = –19 + 13

б) –13 + (–19) = 19 + 13 г) –13 + 19 = 19 + (–13)

в) 13 + (–19) = 19 + 13

5 Заокружи слово испред тачне једнакости.

а) –17 + (–2 + 8) = (17 + (–2)) + (–8)

б) –11 + (4 + 7) = (–11 + 4) + ( –7)

в) (–6 + (–3)) + 3 = –6 + (–3 + 3)

6 Израчунај.

а) –180 + 180

г) (19 + (–9)) + (–1) = 19 + (–9 + 1)

б) 0 + (–2 136)

в) –7 + 7 + (–4)

СВОЈСТВА ОПЕРАЦИЈЕ САБИРАЊА У скупу целих бројева за свака три броја a, b и c важи: • својство комутативности за сабирање a+b=b+a • својство асоцијативности за сабирање a + (b + c) = (a + b) + c • збир два супротна броја је нула a + (–a) = –a + a = 0 • ако је један сабирак нула, збир је једнак другом сабирку a+0=0+a=a Кажемо да је 0 неутралан елемент сабирања јер не утиче на вредност збира.

Да ти кажем Погледај на стр. 21 текст Збир 󠐴ва супротна броја и задатак 9.

7 На основу текста састави израз и израчунај његову вредност.

а) Збиру бројева –74 и 24 додај 50.

б) Броју 62 додај збир бројева –25 и 25.

Пример Збир 4 + 7 + (–8) + 5 + (–2) можемо да израчунамо на више начина коришћењем својстава сабирања. Први начин У првом кораку саберимо прва два сабирка. У следећем кораку саберимо опет прва два сабирка и тако даље.

4 + 7 + (–8) + 5 + (–2) = 11 + (–8) + 5 + (–2)

= 3 + 5 + (–2)

= 8 + (–2)

=6

Други начин Примењујемо својства асоцијативности и комутативности и сабирамо све позитивне, а затим све негативне сабирке.

4 + 7 + (–8) + 5 + (–2) = (4 + 7 + 5) + (–8 + (–2)) = 16 + (–10) =6

Да ти кажем Свеједно је да ли прво сабираш позитивне или негативне бројеве.

23

9

Израчунај вредност збира на два начина.

8

19 + (–27) + 41 + (–23)

Израчунај.

(–10 + 4 + 6) + (–8 + 3 + 5)

10 Израчунај здружујући супротне сабирке, као што је започето.

8 + 6 + –9 + 9 + –6 = 8 + –9 + 9 + (6 + (–6)) ( )

( )

(

)

Подсети се –9 + 9 = 0 6 + (–6) = 0

11 Користећи својство да је збир супротних бројева 0, израчунај:

а) –2 + –1 + 0 + 1 + 2 ( )

б) збир свих целих бројева од –50 до 51.

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Израчунај. а) –89 + 89 в) 405 + (–37) + 55 + (–63)

б) 223 + 96 + (–223) г) –49 + (–71) + 64 + 126 + 120

2. На основу текста састави израз и израчунај његову вредност. а) Збиру бројева –202 и –101 додај 303. б) Броју –1 000 додај збир бројева 256 и –56. в) Збиру бројева –43, 27 и –35 додај збир бројева 35, 23 и –17.

ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1

•• разлика два цела броја

h измерена је температура од 5°C. До 18 h температура а) је У 12опала за 3°C, а до 24 h опала је за још 6°C. Обој скале на другом и трећем термометру тако да показују температуре у 18 h и 24 h. Подсети се 5–3=2 умањеник разлика умањилац

12 h

18 h

24 h

б) За колико је степени температура измерена у подне већа од поноћне температуре?

24

Одузимање целих бројева Покажимо како можемо да напишемо израз којим смо израчунали температуру у 18 h и у 24 h у претходном задатку. Да бисмо израчунали температуру у 18 сати, можемо да поступимо на два начина. Први начин Рачунамо разлику температура од 5°C и 3°C и пишемо: 5 – 3 = 2 Рачунамо збир температура од 5°C и –3°C и пишемо: Други начин

5 + (–3) = 2 Видимо да је: 5 – 3 = 5 + (–3) = 2 Исто поступамо да бисмо одредили температуру у 24 сата. Први начин Рачунамо разлику температура од 2°C и 6°C и пишемо: вредност од –4°C можемо 2 – 6 = –4 да прочитамо с термометра

Рачунамо збир температура од 2°C и –6°C и пишемо: Други начин

2 + (–6) = –4 Видимо да је: 2 – 6 = 2 + (–6) = –4 Бројеви 3 и –3, као и бројеви 6 и –6, јесу супротни бројеви. На основу ових примера можемо да приметимо да одузимање целог броја даје исти резултат као и сабирање њему супротног броја. Исто поступамо при рачунању разлике измерених температура у 12 h и 24 h.

5 – (–4) = 5 + 4 = 9 Ову једнакост можемо да искажемо речима: Када од броја 5 одузмемо број –4, добијамо исти резултат као када број 5 саберемо с бројем супротним броју –4, то јест с бројем 4.

Пример Израчунајмо разлику бројева: а) 4 и 6 б) 4 и –6 в) –4 и 6. а) 4 – 6 = 4 + (–6) = –2 б) 4 – (–6) = 4 + 6 = 10 в) –4 – 6 = –4 + (–6) = –10

2

израчунат збир одузети –6 значи додати 6 израчунат збир одузети 6 значи додати –6 израчунат збир

сведи на сабирање и израчунај. Одузимање а) 8 – (–1) б) 4 – (–4) в) –6 – (–6) г) 2 – 9

3

одузети 6 значи додати –6

а)Израчунај.

16 – 12

д) –1 – 5

б) 13 – 19

ђ) 7 – 6

в) –21 – 17

г) –15 – (–11)

д) –23 – (–28)

25

4

а) 0 + 2

Да ти кажем Ако је умањилац нула, разлика је једнака умањенику. Ако је умањеник нула, разлика је број супротан умањиоцу.

Израчунај. г) 0 – 5

б) –3 + 0

в) 4 – 0

д) 0 – (–6)

ђ) –1 – 0

5 Одузимање сведи на сабирање и израчунај.

а) 2 – (–5) + (–4) б) 10 + (–5) – (–8) в) –0 + (–20) – (–30)

РАЗЛИКА ДВА ЦЕЛА БРОЈА За a, b ∈ Z важи да је: a – b = a + (–b) Разлика два цела броја a и b једнака је збиру броја a и броја супротног броју b. У скупу природних бројева N увек можемо да саберемо било која два природна броја, а можемо да одузмемо само мањи број од већег. У скупу целих бројева Z можемо да израчунамо збир и разлику било која два броја. У скупу Z одузимамо тако што датом броју додајемо супротан број. Кажемо да су сабирање и одузимање увек изводљиве операције у скупу Z.

Подсети се –3 + 5 = 2 –5 + 3 = –2 3 – 5 = –2 –5 – 3 = –8

6 Запиши и израчунај разлику бројева:

а) 11 и 8

б) 8 и 11

в) –11 и 8

г) –11 и –8

д) 8 и –11

ђ) –8 и –11.

ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Израчунај. а) 1 – 5

б) 7 – 5

в) –2 – 1

д) –8 – (–3)

ђ) –9 – 4

е) 10 – (–3)

г) –5 – (–8)

2. Запиши и израчунај разлику бројева: а) –6 и 9

б) –10 и –20

в) 5 и 18

д) 0 и –6

ђ) –52 и 14

е) –18 и –2.

б) 10 – 25 + 15

в) 10 – 25 – 15

г) 7 и –25

3. Израчунај. а) –10 + 25 + 15

26

г) –10 – 25 + 15

И ТО ЈЕ МАТЕМАТИКА 1

игри натезања конопца: У• четири шестака могу да повуку као пет петака • три петака и два шестака могу да повуку као једно магаре. Ако су с једне стране магаре и један петак, а с друге шест шестака, ко је јачи?

2

Да ти кажем Збир по врстама, колонама и дијагоналама називамо карактеристични збир.

по врстама, колонама и дијагоналама –3.

Састави магични квадрат ако се зна да је збир

–3 –1 –5

3

Карактеристичан збир добијаш тако што сабереш дате бројеве и збир поделиш са 3. Покушај да од датих бројева саставиш осам збирова од по три сабирка, једнаких карактеристичном збиру. Сабирак који се појави у четири збира упиши у централно поље. Сабирке који се појаве у три збира упиши у углове квадрата.

Попуни магични квадрат чији су елементи:

а) –15, –12, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9 б) –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0. б)

а)

4 а ) Попуни празна поља магичног квадрата тако да карактеристични збир буде –6.

б) Целим бројевима од –4 до 11 попуни празна поља магичног квадрата. а)

6 –5

3

б)

5

0 –3 5

4

2

8

–2

4

6

Израчунај карактеристичан збир у задатку 4 б): сабери све бројеве од –4 до 11 и подели збир са 4.

2 –4

27

Истраживачки задатак Реч квиз је енглеског порекла и значи испит. Квиз је испитивање нечијег знања, као и такмичење у знању и вештини из различитих области. Питања, задаци или игре у квизу могу ти користити да провериш своје знање из неке области, да се забавиш и испиташ другове у одељењу или чланове породице. Уз помоћ наставника састави неколико тимова и одиграјте квиз у одељењу. Након тога, твој задатак је следећи. а) Састави табелу с називима тимова, колонама за број освојених бодова за сваки задатак, као и колоном за укупан број бодова за сваки тим. б) Прогласи победника. в) Добијене податке за укупан број бодова сваког тима прикажи графиконом као у задатку 8 на страни 19 у збирци. Предлажемо ти десет питања и правила за бодовање, а ти можеш саставити своју варијанту. Математички квиз 1. Који је од наведених бројева најближи нули? а) – 1 б) 2 в) – 3 2. Збир супротних бројева – 8 и +8 је: а) – 16 б) 0 в) +16 3. Апсолутна вредност броја – 5 је: а) 5 б) – 5 в) 0 4. Разлика бројева 2 и – 3 је: а) – 5 б) –1 в) +5

A

B

5. Мањи број од – 17 је: а) 1 б) – 20 в) – 10

C

6. Број – 7 је већи од броја – 8 за: а) – 15 б) – 1 в) +1 7. Збир свих целих бројева од – 5 до 6 је: а) 6 б) 1 в) – 11 8. Највећи негативан једноцифрен цео број је: а) 1 б) – 1 в) – 9 9. Температура ваздуха у 7 h је – 3°C. Ако је сваког сата температура расла за један степен, у колико је сати измерено 0°C? а) у 4 h б) у 8 h в) у 10 h 10. Иван се са трећег спрата спустио лифтом четири нивоа. Лифт се зауставио: а) у подруму б) у приземљу в) на првом спрату Правила за бодовање За тачан одговор такмичари добијају предложен број бодова из табеле, на пример 2 бода. Уколико погрешно одговоре, добијају одговарајући број негативних бодова, на пример –2 бода. На крају квиза треба сабрати бодове (позитивне и негативне) и прогласити победника.

28

Задатак

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Бодови

2

1

2

3

3

4

4

2

3

3

САДРЖАЈ

Водич. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Шта садржи ова књига. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ЦЕЛИ БРОЈЕВИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1, 2, 3 крени... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Појам негативног целог броја. Скуп целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Бројевна права. Упоређивање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Супротни бројеви. Апсолутна вредност целог броја. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Упоређивање целих бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Сабирање целих бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Својства операције сабирања. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Одузимање целих бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Истраживачки задатак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Множење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Својства операције множења. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Дељење целих бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Изрази са целим бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ТРОУГАО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1, 2, 3 крени... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Троугао, елементи, обележавање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Однос страница троугла. Врсте троуглова према страницама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Унутрашњи углови троугла. Збир унутрашњих углова. Врсте троуглова према угловима. . . . . . . . . . . . . Спољашњи углови троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Висина троугла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Однос страница и углова у једнакокраком троуглу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Однос страница и углова троугла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конструкције углова од 30°, 60°, 120° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основне конструкције троугла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подударност троуглова – увод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основни ставови о подударности троуглова – став ССС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основни ставови о подударности троуглова – став УСУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основни ставови о подударности троуглова – ставови СУС и ССУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Централна симетрија и подударност. Осна симетрија и подударност. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Описана кружница троугла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уписана кружница троугла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 44 45 47 51 54 56 58 61 63 66 67 68 73 75 78 80 83 86 88 91 92

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1, 2, 3 крени... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Супротан број позитивном рационалном броју. Скуп рационалних бројева – скуп Q . . . . . . . . . . . . . . . 95 Скуп рационалних бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Приказивање рационалних бројева на бројевној правој. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Упоређивање рационалних бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Сабирање и одузимање рационалних бројева – децимални запис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 a Сабирање и одузимање рационалних бројева – запис облика b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Својства операције сабирања. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Множење рационалних бројева – децимални запис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 a Множење рационалних бројева – запис облика b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Својства операције множења рационалних бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Дељење рационалних бројева – децимални запис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 a Реципрочна вредност броја. Дељење рационалних бројева – запис облика b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Истраживачки задатак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Једначине у вези са сабирањем и одузимањем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Једначине у вези с множењем и дељењем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Неједначине у вези са сабирањем и одузимањем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Неједначине у вези с множењем и дељењем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Правоугли координатни систем у равни. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Растојање између две тачке. Координате средишта дужи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Приказ података у координатном систему. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Приказ зависности међу величинама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Директнo прoпорционалнe величине. Графичко представљање директно прoпорционалних величина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Обрнуто пропорционалне величине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Пропорција. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Проценат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Примена пропорција у директној и обрнутој пропорционалности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 ЧЕТВОРОУГАО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1, 2, 3 крени... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Четвороугао. Елементи четвороугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Збир углова четвороугла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Врсте четвороуглова. Паралелограм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Врсте паралелограма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конструкција паралелограма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сабирање и одузимање вектора. Множење вектора бројем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Трапез. Својства трапеза. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Врсте трапеза. Једнакокраки трапез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Средња линија троугла. Средња линија трапеза. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основне конструкције трапеза. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 164 165 168 170 173 176 178 182 184 187 189

Делтоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1, 2, 3 крени... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам површина равних фигура. Једнакост површина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Јединице мере за дужину и површину. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина правоугаоника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Површина четвороугла с нормалним дијагоналама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . И то је математика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Запамти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Резултати и упутства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196 197 198 199 202 204 206 208 210 212 214 215

МАТЕМАТИКА

Уџбеник за шести разред основне школе Прво издање

Аутори Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић, Зорица Јончић

Илустровао Душан Павлић

Рецензенти Д р Ђорђе Баралић, научни сарадник, МИ САНУ, Београд Драгана Вулетић, професор математике, ОШ Борислав Пекић у Београду Злата Ступаревић, наставница математике, ОШ Младост у Београду

Уредник Свјетлана Петровић

Лектор Ивана Игњатовић

Графичко обликовање Душан Павлић Припрема за штампу Марко Хубер

Издавач

реативни центар К Градиштанска 8, Београд Тел./факс: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs

За издавача Мр Љиљана Маринковић

Штампа Графостил, Крагујевац

Година штампе 2019

Тираж 2000

Copyright © Креативни центар 2019

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2) МАТЕМАТИКА 6 : уџбеник за шести разред основне школе / Мирјана Стојсављевић-Радовановић ... [и др.] ; [илустровао Душан Павлић]. - 1. изд. - Београд : Креативни центар, 2019 (Крагујевац : Графостил). 232 стр. : илустр. ; 29 cm. - (Креативна школа) Тираж 2.000.

ISBN 978-86-529-0656-7 1. Стојсављевић-Радовановић, Мирјана, 1951- [аутор] COBISS.SR-ID 273580556

Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уxбеника у оквиру уxбеничког комплета за математику у шестом разреду основне школе решењем број 650-02-00190/2010-06 од 22. 07. 2010.

Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљанa Вуковић • Јагода Ранчић • Зорица Јончић

MATEMATИKА D C D1 A

C1

9 788652 906567

B

Уџбеник за шести разред основне школе

МАТЕМАТИКА 6

Уџбеник за шести разред основне школе

-3 -1

-5

4 –5

:

73

11

5 6

D

-7 13

-5

C -12

D1 A

C1 B

6