řešení Laplaceovy rovnice nemůže mít lokální extrém v prázdném prostoru (viz článek 1.2.7), plyne odtud, že ϕ′ musí být všude rovno nule, a tedy ϕ1 = ϕ2. Řešení Laplaceovy rovnice hledáme obvykle metodami matematické fyziky, které zde nemůžeme podrobně rozebírat. Často přitom využíváme právě jednoznačnosti řešení této úlohy, tedy okolnosti, že řešení je okrajovými podmínkami plně určeno. Uvažme například libovolné elektrostatické pole. Vyplňme dále část prostoru vodivým prostředím tak, aby povrch vodivého tělesa byl totožný s některou ekvipotenciální plochou původního pole. Předpokládejme dále, že celý náboj, který byl původně uzavřen v uvažované ekvipotenciální ploše, přejde na naše vodivé těleso. Je zřejmé, že původní pole splňuje na tomto vodiči okrajovou podmínku 1. Z věty o jednoznačnosti potenciálu pak plyne, že původní pole ve vnějším prostoru zůstane zachováno i po zařazení vodiče. Okrajovou podmínku 1 na určité vodivé ploše můžeme tedy někdy výhodně nahradit rozložením myšlených nábojů v té části prostoru, kde nás řešení základní úlohy elektrostatiky nezajímá. Tomuto přístupu se říká metoda elektrostatického zobrazení. (O jejím použití viz příklady 1.4.7a až c.) 1.4.5 KAPACITA A KONDENZÁTOR
Uvažujme izolované vodivé těleso nesoucí náboj Q. Potenciál vytvořený tímto tělesem v okolním prostoru označíme ϕ(r). Ptáme se, jak se změní potenciál, jestliže na uvažované těleso přivedeme nový náboj Q´ = AQ, kde A je konstanta. Podle předchozího článku je hledaný potenciál určen vztahem ϕ´(r) = A ϕ(r), neboť zřejmě splňuje všechny požadované podmínky. Platí tedy vztah Q′ Q = = konst . ′ ϕ (r ) ϕ (r )
(1.192)
Poměr mezi velikostí náboje na uvažovaném tělese a hodnotou potenciálu v daném bodě je tedy funkcí pouze geometrických parametrů tělesa a daného bodu. Speciálně, označíme-li ϕ0 hodnotu potenciálu na povrchu tělesa odpovídající náboji Q, můžeme psát C=
Q . ϕ0
(1.193)
Veličina C, která rovněž závisí pouze na geometrických parametrech daného izolovaného tělesa (jeho velikosti a tvaru), se nazývá jeho kapacita. Kapacita osamoceného vodiče vyjadřuje tedy jeho schopnost shromažďovat elektrický náboj. Těleso o menší kapacitě bude daným nábojem přivedeno na vyšší potenciál než těleso o větší kapacitě. V Mezinárodní soustavě jednotek bude mít jednotkovou kapacitu těleso, které se nábojem jednoho coulombu přivede na potenciál jednoho voltu. Tato jednotka se – 98 –