98 kde
Kapitola 3 – Lineárnı́ (ne)závislost & ekvivalentnı́ úpravy
n
s = ∑ e j ⋅ φj = [ φ1
⋯
φi−1
0
φi+1
⋯
T
φn ] .
(3.20)
j=1 j≠i
Tedy
⎡ 1 ⎤ φ1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋱ ⋮ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 φ i−1 ⎢ ⎥ ⎥ 1 P☆,i (s) = ⎢⎢ (3.21) ⎥ ⎢ ⎥ φi+1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋮ ⋱ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ φ 1 n ⎣ ⎦ je jednotková matice, která má navı́c v i-tém sloupci přičtený vektor s. Pěkné je, že jsme tı́m fakticky ještě nepatrně zobecnili tvrzenı́ věty 3.2. Toto zobecněné tvrzenı́ zformulujeme již jen jako důsledek s náznakem důkazu (je totiž zcela analogický důkazům předchozı́m). Důsledek 3.3. Uvažujme matice Pj,☆ (r1 ) = In + ej ⋅ r1T
a
Pj,☆ (r2 ) = In + ej ⋅ r2T ,
kde vektory r1 a r2 majı́ nulovou j-tou složku. Pak platı́ Pj,☆ (r1 ) ⋅ Pj,☆ (r2 ) = Pj,☆ (r1 + r2 ) = Pj,☆ (r2 ) ⋅ Pj,☆ (r1 ). Uvažujme dále matice P☆,i (s1 ) = In + s1 ⋅ eT i
a
P☆,i (s2 ) = In + s2 ⋅ eT i,
kde vektory s1 a s2 majı́ nulovou i-tou složku. Pak platı́ P☆,i (s1 ) ⋅ P☆,i (s2 ) = P☆,i (s1 + s2 ) = P☆,i (s2 ) ⋅ P☆,i (s1 ). Důkaz. Důkaz plyne stejně jako v předchozı́ch přı́padech ihned z faktu, že vektory r1 a r2 majı́ nulovou j-tou složku, tj. platı́ r1T ej = r2T ej = 0. Při vynásobenı́ obou matic se součin druhých členů vynuluje a násobenı́ se po vytknutı́ vektoru ej převede na sčı́tánı́ řádkových vektorů r1T a r2T . Důkaz druhého tvrzenı́ lze provést zcela analogicky. Přı́padně můžeme využı́t zřejmého faktu, že T
(Pj,☆ (r)) = P☆,j (r), tedy že druhé tvrzenı́ je transpozicı́ prvnı́ho tvrzenı́. Tuto sekci zakončı́me dvěma úlohami, ve kterých si prosvištı́me výše dokázaná tvrzenı́.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS528539