čísel“. Velmi podobně můžeme dokázat (jak to zřejmě dokázal Theodorus), že
√3, √5, √7, √11, √13, √17 jsou iracionální čísla nebo (když půjdeme dál za Theodora) že také 3√2 a 3√17 jsou iracionální čísla.*
Eukleidova věta říká, že máme dostatečnou zásobu materiálu k vytvoření souvislé aritmetiky celých čísel. Pýthagorova věta a její rozšíření říká, že poté, co jsme zkonstruovali tuto aritmetiku, nebude už stačit našim potřebám, neboť mnoho veličin nabízejících se naší pozornosti nebude možno změřit. Úhlopříčka čtverce je pouze jedním, nejnápadnějším příkladem. Mimořádnou důležitost tohoto objevu poznali řečtí matematikové ihned. Vycházeli z předpokladu (který jim, jak předpokládám, diktoval zdravý rozum), že všechny veličiny stejného druhu jsou souměřitelné, že například každé dvě délky jsou násobky nějaké společné jednotky, a na tomto předpokladu založili teorii proporcí. Pýthagorův objev odhalil neudržitelnost takového opodstatnění a vedl ke konstrukci mnohem důkladnější teorie Eudoxovy, která je uvedena v páté knize Základů a již mnozí moderní matematikové považují za nejpozoruhodnější úspěch
* Viz kap. IV Hardyho a Wrightova Úvodu do teorie čísel, v níž jsou probrána rozličná zobecnění Pýthagorova zdůvodnění a historická hádanka Theodorova.
G. H. Hardy: Obrana matematikova
řeckých matematiků. Tato teorie je myšlenkově
nesmírně moderní a lze ji považovat za počátek moderní teorie iracionálních čísel, která způsobila zásadní převrat v matematické analýze a měla velký vliv na současnou filozofii.
O „závažnosti“ obou těchto vět není tedy vůbec žádných pochyb. Bude proto lepší, řekneme-li rovnou, že ani jedna z nich nemá nejmenší „praktický“ význam. Při praktickém využití se zabýváme jenom poměrně malými čísly, pouze stelární astronomie a jaderná fyzika se zabývají „velkými“
čísly a až doposud měly jen nepatrně větší praktický význam než nejabstraktnější čistá matematika. Nevím, jaký je nejvyšší stupeň přesnosti užitečný pro inženýra – budeme-li hodně velkorysí, vezmeme v úvahu deset platných číslic. Potom
3.14159265
(hodnota π na osm desetinných čísel) je poměr
dvou čísel o devíti číslicích:
314159265
100000000 .
Počet prvočísel menších než 1 000 000 000 je 50 847 478, což inženýrovi bohatě stačí a na zbytek může vesele zapomenout. Tolik k Eukleidově větě. Co se týče Pýthagorovy věty, je zřejmé,
že iracionální čísla jsou pro inženýra nezajímavá, neboť se zabývá jenom přibližnými hodnotami, a všechny přibližné hodnoty jsou čísla racionální.
15
„Závažná“ věta je věta, která obsahuje „závažné“ ideje, a předpokládám tudíž, že bych se měl pokusit trochu blíže rozebrat vlastnosti, které matematickou ideu činí závažnou. Takový úkol je velmi obtížný a je nepravděpodobné, že jakákoli analýza, kterou jsem schopen provést, bude k něčemu dobrá. „Závažnou“ ideu rozpoznáme, když ji spatříme, jako je tomu v případě mých vlastních typických
vět, ale tato rozpoznávací schopnost vyžaduje dost velkou zkušenost a znalost matematických idejí, které se dostavují až po mnoha letech strávených
v jejich společnosti. Takže se musím pokusit o jakousi analýzu a ta by měla být, ať už bude jakkoli nepostačující, maximálně věrohodná a srozumitelná. Jako zcela nezbytná se pro závažnou ideu jeví určitá obecnost a hloubka, avšak žádnou z těchto vlastností není snadné přesně vymezit.
Závažná matematická idea, závažná matematická věta, by měla být v nějakém smyslu „obecná“.
Měla by být součástí více matematických pojmů,