Teorie pravděpodobnosti (Ukázka, strana 99)

17. Limitn v ety Nyns e jiz zacneme za yvat limitnsmi zaksny prs ps ls pns ti nahsonych velicin V o kazech oeme vy zsvat na leo jscs technicke lemma L a am a Koyz ksmplexns cs la an k 2 C prs k = 1 2 kn , kn 2 N , n 2 N pln js kn X

pak plats

k=1

an k ;;;;;; n!+1! a 2 C lim p

kn X

n!+1 k=1

lim+1 n!

kn Y k=1

jan k j < +1 n!lim+1

kn X k=1

jan k j2 = 0

(1 + an k ) = ea :

D uka Psrsvname s cin expsnencials

Y ( kn ) (X ) kn mY kn ;1 X kn (1 + an k ) ; exp X

an k an k (1 + an k ) (1 + an m ; expfan mg) exp k=1 m=1 k=1 k=1 ( kn k=)m+1 +1 k m ; 1 j n X XY

X ja j

(1 + jan k j) (anj!m) exp k=m+1 n k j=2 m=1 k=1 !

(X ) kn mY kn ;1 X jan m j2

expfjan k jg

m=1 k=1 kn 1 X

! (X kn

expfjan m jg exp

2

)

k=m+1

jan k j

= 2 jan m j exp jan k j ;;;;;; n!+1! 0 : m=1 k=1 Tvrzens lemmat je jiz oskazans, ne st' exp

(X kn k=1

2

)

a an k ;;;;;; n!+1! e :

QED

Nyns j me jiz chspni oskazsvat limitns vety V ta am 2 (Ps s s Necht' prs kazoe n 2 N j s oany realne n v Xn insmickym rszoelensm Bi(pn n) Koyz npn ;;;;;; n!+1! , koe 0 < < +1, pstsm D Xn ;;;;;; n!+1! X L(X) = Po( ) : (De nice insmickehs rszoelens Bi(p n) a Psi snsva rszoelens Po( ) j s veoeny v kapitsle 20 )

D uka Prs t 2 R plats

;

;

;

;

P^ Xn (t) = pn eit + qn n = 1 + pn eit ; 1 n :

Pslszme an k = pn eit ; 1 a sverme preopsklaoy lemmat 17 1 n X k=1 n X k=1 n X k=1

;

;

an k = npn eit ; 1 ! eit ; 1

jan k j = npn eit ; 1 ! 2 eit ; 1

jan k j2 = np2n eit ; 1 2 4 n1 (npn )2 ! 0 : 98

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS518125

Z lemmatu

dostavame bodovou konvergenci charakteristickych funkc ; pro kazde t 2 R : P^ Xn (t ! exp eit ; Limitn funkce je charakteristickou funkc Poissonova rozdelen s intenzitou Podle vety 5 2 dostavame pozadovanou konvergenci nahodnych velicin v distribuci QED Pro statisticke uvahy maj velkou d ulezitost limitn vety pro soucty nezavislych realnych nahodnych velicin nebo realnych nahodnych vektor u Takovymto vetam se r ka centraln limitn vety (dale jen CLV Tuto problematiku temer beze zbytku res Fellerova{Lindebergova CLV V eta 17.3 (Fellerova-Lindebergova CLV)z Necht' pro kazde n 2 N je dano kn 2 N a pravdepodobnostn prostor ( n An Pn , na kterem jsou de novany nezavisle realne n v

Xn 1 Xn 2 : : : Xn kn 2 L 2 (( n An Pn Jestlize plat i kn X k=1

ii pro kazde " > 0 potom

EBXn 1 ] = EBXn 2 ] = : : : = EBXn kn ] = 0:

Var(Xn k ;;;;;; n!+1!

kn X 2 k=1 kn X k=1

E Xn k I jXn k j "] ;;;;;; !0 n!+1

D Xn k ;;;;;; n!+1! Z L(Z = N(0

:

P

D uka z Over me bodovou konvergenci charakteristickych funkc n v Sn = kkn=1 Xn k , n 2 N Vezmeme t 2 R , t 6= 0 V radku jsou n v nezavisle, a tak podle vety 5 3 plat P^ Sn (t =

kn Y ^

k=1

PXn k (t =

kn Y

k=1

+ P^ Xn k (t ;

:

Polozme

an k := P^ Xn k (t ; 2 = P^ Xn k (0 + t P^ 0Xn k (0 + t2 Re P^ 00Xn k ( n k + i Im P^ 00Xn k ( n k ; 2

2 (cos ( n k Xn k + i sin( n k Xn k = ; t2 E Xn k kde j n k j jtj, j n k j jtj Pri rozpisu se vyuz va toho, ze P^ Xn k (0 = a P^ 0Xn k (0 = i EBXn k ] = 0 Pro tato komplexn c sla over me predpoklady lemmatu h 2 i 2 Evidentne jan k j t2 E Xn k = t Var(Xn k Odtud kn kn X X lim sup jan k j t2 lim sup Var(Xn k = t2 : n!+1 k=1

n!+1 k=1

99

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS518125

2 Prk aaids " > 0 msam

jan k j t2 E Xn2 k I jXn k j<"] + t2 E Xn2 k I jXn k j "]

kn

t2"2 + t2 X E Xn2 j I jXn j j "] : j =1

Odttd rk aaids " > 0 dkotsavsam p m ot ot fjan k j : k = 1 2 : : : kn g t2 "2 n!+1 Ttdsi n!p m ot fjan k j : k = 1 2 : : : kn g = 0 +1

3 S kj nsm k kt r dchkisch kikrkvsans dkotsavsam p m ot

kn X

n!+1 k=1

jan k j2

p m+1 ot fjan k j : k = 1 2 : : : kn g p m ot n!

kn X

n!+1 k=1

jan k j = 0 :

4 Z ysvsa j ot kv r t aknv rg nc oktctt cso p an k Prk 0 < " < 2 jtj dkotsavsam kdhad

an k + t2 Var(Xn k ) = t2 E Xn2 k (1 ; cko ( n k Xn k ) ; i o n( n k Xn k )) 2 2 + t2 E X 2 (1 ; cko ( X )) I

3t2 E X 2 I n k n k jXn k j "] jXn k j<"] + n k n k 2 2 2

t + 2 E Xn2 k jo n( n k Xn k )j I jXn k j<"] + t2 (1 ; cko (jtj ") + o n(jtj ")) Var(X ) : 3t2 E X 2 I

Paa

n k jXn k j "]

2

nk

2

X

kn kn kn 2 X 2 X t t

p m ot an k + 2 Var(Xn k ) p m ot an k + 2 Var(Xn k )

n!+1 k=1 n ! +1 k=1 k=1 k kn n 2 2 X

+ t (1 ; cko (jtj") + o n(jtj ")) p m ot X 3t p m ot E X2 I Var(X ) n k jXn k j "]

2 n!+1 k=1

= t2 (1 ; cko (jtj") + o n(jtj "))

2

n!+1 k=1

2

nk

rk aaids 0 < " < 2 jtj Prktk

X kn kn kn 2 X t2 : t

= 0 a ttdsi p m X p m a + Var (X ) a = ;

n k n k n k n!+1 k=1 n!+1 k=1

2 k=1 2

Ov r p jom r d kapady p mmatt 17 1 a taa rk aaids t 2 R pats P^ Sn (t) =

Ftnac

2 e; t2 j

kn Y

k=1

2

; t2 (1 + an k ) ;;;;;; n!+1! e :

charaat r ot cakt ftnacs nkrmsapnshk rkid p ns N(0 1) a taa kdp v ty 15 21 D Sn ;;;;;; n!+1! Z L(Z) = N(0 1) :

QED Strtattr n v r d kapsadans v v t 17 3 rsasam -ochsma (trkjsth pnsakvs ochsma) a kdmsnaa ( ) o trad cn naisyvsa F pp rkva-L nd rgkva kdmsnaa Jd k kdmsnat at rsa j "tsm r\ nttnsa rk patnkot CLV v i St san] aa IV 4 otr 370{392 100

Ukázka elektronické knihy