98
4.4 Spojitá náhodná veličina
Obr. 4.3 Graf hustoty pravděpodobnosti
4.4 Spojitá náhodná veličina Vedle distribuční funkce je pro popis spojité náhodné veličiny používána hustota pravděpodobnosti. Definice 4.4.1 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X je nezáporná funkce f (x) taková, že Zx
F(x) =
f (t)dt, x ∈ R.
(4.2)
−∞
Hustota pravděpodobnosti f (x) má tyto důležité vlastnosti: 1.
R∞
f (x)dx =
−∞
R
f (x)dx = 1,
M
0 2. f (x) = dF(x) dx = F (x), pro všechna x, kde derivace existuje, 3. P(x1 ≤ X ≤ x2 ) = P(x1 < X < x2 ) = P(x1 < X ≤ x2 ) = P(x1 ≤ X < x2 ) = F(x2 )−F(x1 ) =
=
Rx2
f (x)dx.
x1
Odtud plyne, že pro spojitou náhodnou veličinu je vždy pravděpodobnost P(X = x) = 0. Funkci f (x) můžeme například vyjádřit vzorcem f (x) =
1 − x−2 5 5e
0
pro x > 2, x ≤ 2,
její graf je zachycen na obr. 4.3. Příklad 4.4.2 Spojitá náhodná veličina X má rozdělení pravděpodobností popsané funkcí 2 cx (1 − x) pro 0 < x < 1, f (x) = 0 jinak.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS503594
99
4.4 Spojitá náhodná veličina
Obr. 4.4 Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce z příkladu 4.4.2
Určete konstantu c ∈ R tak, aby funkce f (x) byla hustotou pravděpodobnosti. Stanovte příslušnou distribuční funkci. Určete pravděpodobnost P(0,2 < X < 0,8). Řešení. Pro hustotu pravděpodobnosti musí platit, že
R
f (x)dx = 1. Určíme tedy integrál:
M
Z1 0
2
cx (1 − x)dx = c
Z1
x3 x4 − (x − x )dx = c 3 4 2
3
0
1
1 1 c =c − = = 1, 3 4 12 0
odkud dostáváme c = 12. Vztah mezi distribuční funkcí a hustotou pravděpodobnosti je dán rovnicí (4.2). Pro 0 < x < 1 platí Zx
F(x) = 0
12t 2 (1 − t)dt = 12
Zx
(t 2 − t 3 )dt = 12
0
F(x) =
t3 t4 − 3 4
x
= 12
0
x3 x4 − = 4x3 − 3x4 . 3 4
0 pro x ≤ 0, x3 (4 − 3x) 0 < x < 1, 1 jinak.
Pravděpodobnost P(0,2 < X < 0,8) určíme pomocí hustoty pravděpodobnosti Z0,8
0,8 12x2 (1 − x)dx = 4x3 − 3x4 0,2 = 0,792.
P(0,2 < X < 0,8) = 0,2
Známe-li distribuční funkci, je výpočet snadnější P(0,2 < X < 0,8) = F(0,8) − F(0,2) = 0,83 (4 − 3 · 0,8) − 0,23 (4 − 3 · 0,2) = 0,792. Příklad 4.4.3 Náhodná veličina X má rozdělení popsané distribuční funkcí 0 pro x ≤ 0, F(x) = 1 − e−x x > 0.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS503594
100
4.4 Spojitá náhodná veličina
Určete hustotu pravděpodobnosti. Řešení. Pro hustotu pravděpodobnosti platí f (x) = dF(x) dx . Pomocí daného vztahu dostáváme d −x ) = e−x (1 − e dx 0 pro x ≤ 0, f (x) = e−x x > 0. Uveďme některé příklady spojité náhodné veličiny: hmotnost rohlíku: M = (0, ∞), množství alkoholu v destilátu měřené v procentech: M = (0, 100), hodnota elektrického napětí v rozvodné síti: M = h0, ∞), doba čekání na vlak metra, který jezdí v pravidelných 10minutových intervalech: M = h0, 10) apod.
Příklady k procvičení 1. Rozhodněte, zda se jedná o spojitou nebo diskrétní náhodnou veličinu a určete její obor hodnot. a) součet ok při hodu 3 hracími kostkami, b) čekání na tramvaj, která jezdí v pravidelných 5minutových intervalech, c) počet vyklíčených semen z 50 zasazených, d) počet zákazníků u benzínového čerpadla za den, e) výkon v běhu na 400 metrů, f) koncentrace prachu v ovzduší (v procentech). 2. Z oblasti vlastní profesní nebo zájmové činnosti stanovte diskrétní, případně spojité náhodné veličiny, jejichž obory jsou: a) (0, ∞), b) 1, 2, . . . , c) h0, 30), d) 0, 1, 2, . . . , n, kde n je přirozené číslo. 3. Náhodná veličina X má distribuční funkci 0 pro x ≤ 1, F(x) = x−1 1 < x < 5, 4 1 x ≥ 5. a) Určete hustotu pravděpodobnosti a obě funkce zobrazte graficky. b) Určete tyto pravděpodobnosti: P(X < 3), P(2 ≤ X < 4), P(0 < X < 2) a P(X = 3). 4. Rozdělení náhodné veličiny X je dáno hustotou pravděpodobnosti c − 2x pro 0 < x < 1, f (x) = 0 jinak. a) Určete konstantu c ∈ R a nakreslete graf funkce f (x). b) Určete distribuční funkci a nakreslete její graf.
c) Určete dané pravděpodobnosti: P(X ≥ 0,5) a P(0 < X ≤ 0,75). 5. Je dána hustota pravděpodobnosti c pro x > 1, f (x) = x4 0 jinak. a) Určete konstantu c ∈ R a nakreslete graf funkce f (x). b) Určete distribuční funkci a nakresle její graf. c) Spočítejte tyto pravděpodobnosti: P(X ≥ 2), P(X > 1,5) a P(2 < X ≤ 3). 6. Distribuční funkce Rayleighova rozdělení spojité náhodné veličiny má tvar ( 2 − x2 F(x) = c − e 2σ pro x > 0, 0 x ≤ 0. Určete konstantu c ∈ R a hustotu pravděpodobnosti f (x). 7. Náhodná veličina X má rozdělení popsané distribuční funkcí − x−1 2 pro x > 1, F(x) = 1 − e 0 x ≤ 1. a) Určete hustotu pravděpodobnosti této náhodné veličiny a zobrazte ji graficky. b) Vypočítejte pravděpodobnosti P(X < 2), P(1 < X < 3), P(x > 4).
Řešení. 1. a) diskrétní: M = {3, 4, 5, . . . , 18}; b) spojitá: M = = h0, 5); c) diskrétní: M = {0, 1, 2, . . . , 50}; d) diskrétní: M = {0, 1, 2, . . . }; e) spojitá: M = (0, ∞); f) spojitá: M = (0, 100).
Ukázka elektronické knihy