Kapitola 5
Matematika a logika
Jde o následující dvě ekvivalence, kde p a q jsou výroky (1)
¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q),
(2)
¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q).
Platnost těchto ekvivalencí ukážeme pomocí pravdivostních tabulek, nejprve pro ekvivalenci (1): p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p∨q 1 1 1 0
¬(p ∨ q) 0 0 0 1
¬p 0 0 1 1
¬q 0 1 0 1
¬p ∧ ¬q 0 0 0 1
Ze čtvrtého a sedmého sloupce této tabulky je platnost ekvivalence (1) zřejmá. Nyní ukážeme analogicky také planost ekvivalence (2): p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
p∧q 1 0 0 0
¬(p ∧ q) 0 1 1 1
¬p 0 0 1 1
¬q 0 1 0 1
¬p ∨ ¬q 0 1 1 1
Ze čtvrtého a sedmého sloupce této tabulky je platnost ekvivalence (2) zřejmá. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 1 Použitím De Morganova pravidla vyjádřete negaci výroku „Jan půjde na koncert nebo Karel půjde na koncert. Řešení: Nechť p je výrok „Jan půjde na koncert a q je výrok „Karel půjde na koncert . Pak p∨q reprezentuje náš výrok v zadání. Provedeme jeho negaci a pomocí De Morganova pravidle ¬(p∨q) ↔ (¬p∧¬q) dostaneme „Jan nepůjde na koncert a zároveň „Karel nepůjde na koncert . 98 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS291031
Matematika a logika
Kapitola 5
Tautologie Tautologie je formule, která je při libovolném pravdivostním ohodnocení atomických formulí, které obsahuje, pravdivá. Řekneme, že výrok je tautologie (tautologický výrok), když jemu odpovídající formule je tautologie. Příkladem tautologie je tento výrok: Toto tričko je bílé nebo není bílé. Kontradikce Kontradikce je formule, která je při libovolném pravdivostním ohodnocení atomických formulí, které obsahuje, nepravdivá. Řekneme, že výrok je kontradikce (kontradiktorický výrok), když jemu odpovídající formule je kontradikce. Příkladem kontradikce je výrok Toto tričko je bílé a zároveň není bílé“. ” Splnitelná formule O formuli řekneme, že je splnitelná, pokud není kontradikce. Znamená to, že při určité konfiguraci pravdivostních hodnot výrokových proměnných dostaneme pravdivý výrok. Každá tautologie je také splnitelnou formulí. Máme formule p ∨ ¬p a p ∧ ¬p. Tyto formule vyjadřují příklady v definicích tautologie a kontradikce. Prokážeme to pomocí pravdivostních tabulek. Pravdivostní tabulka ukazuje pro všechny vstupní hodnoty, že p 1 1 0 0
¬p 1 0 1 0
p ∨ ¬p 1 1 1 1
p ∧ ¬p 0 0 0 0
se jedná v případě formule p ∨ ¬p o tautologii, v případě formule p ∧ ¬p
o kontradikci.
99 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS291031
Kapitola 5
Matematika a logika
Úsudek Výrok q vyplývá z výroků p1 , p2 , . . . , pn , jestliže vždy, když jsou pravdivé výroky p1 , p2 , . . . , pn , je pravdivý také závěr q. Říkáme pak, že daný úsudek (argument) p1 , p2 , . . . , pn , q je validní (angl. valid). Výrokům pi říkáme premisy úsudku (argumentu). Úsudek (argument) je validní tehdy a jen tehdy, když je nemožné, aby všechny premisy byly pravdivé a závěr q byl nepravdivý. Validní argument označujeme (p1 , p2 . . . ,pn ) q. Pokud implikace (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ) → q je tautologií, pak je uvedený argument validní. Pro úsudek používáme speciální značení: jednotlivé premisy pi jsou ve zvláštních řádcích, pak následuje vodorovná čára a pod ní závěr q. Zobrazení úsudku vypadá tedy takto: p1 p2 ... pn q
Úsudek je formálně i obsahově validní (sound), pokud: 1) Jedná se o formálně validní úsudek. 2) Všechny jeho premisy jsou pravdivé. Příklad: Všichni lidé jsou smrtelní. Všichni Řekové jsou lidé. Všichni Řekové jsou smrtelní. Pro označení „sound neexistuje obecně uznaný překlad. Často se použije prostě anglické slovo „sound . 100 Ukázka elektronické knihy