Kufřík matematických záhad profesora Stewarda (Ukázka, strana 99)

s periodou. Nulu před desetinnou čárkou můžeme samozřejmě vynechat. Tohle číslo s donekonečna opakujícím se zápisem se rovná přesně 1/9. Když jím vydělíme jedničku, dostaneme číslo 9, jehož odmocnina je 3…“ „A potom 3 + 3 = 6,“ zvolal jsem nadšeně. „A dále samozřejmě 7 = (1 + 1 + 1)! + 1, to je snadné a bez odmocnin. Ale 8 je jako plechovka se svíjejícími se různobarevnými červy –“ „Tak se dobře dívejte,“ spustil zase Soames.

8 = 1/,1̄ − 1 × 1, 9 = 1/,1̄ + 1 − 1. „Ach, ano! A potom 10 = 1/,1̄ + 1 × 1, 11 = 1/,1̄ + 1 + 1, a…“ „Spotřebu jedniček máte opravdu fenomenální,“ upozornil mě Soames. „Bude lepší schovat si nějaké na později.“ A napsal 10 = 1/,1 11 = 11, přičemž podotkl, „povšimněte si, Watsupe, že u 10 tečka označující periodu chybí. Tentokrát je to obyčejné desetinné číslo 0,1.

Och, a obojí je také potřeba vynásobit číslem 1 × 1, abychom vypotřebovali zbývající jedničky, nebo to udělat některým z dalších zmíněných způsobů. Ale později uvidíte, že tyhle dvě jedničky lze vynechat a raději si je schovat na později.“ „Ano! Máte na mysli 12 = 11 + 1 × 1, 13 = 11 + 1 + 1, p 14 = 11 + 1/,1̄ a tak dále?“ Na Soamesově tváři se objevil náznak úsměvu. „Zcela správně, Watsupe!“ 98

„Ale co číslo 15?“ zeptal jsem se. „To je triviální,“ povzdychl si a zapsal 15 = 1/,1̄ +

p

1/,1̄ !

a pak jsem k tomu vítězoslavně připsal p

16 = 1/,1 + 1/,1̄ !, p

17 = 11 + 1/,1̄ !, 18 = 1/,1̄ + 1/,1̄, 19 = 1/,1 + 1/,1̄, 20 = 1/,1 + 1/,1, 21 = 1/,1 + 11, 22 = 11 + 11.

Soames souhlasně přikývl. „Teď to začíná být zajímavé,“ poznamenal. „A co 23, co myslíte?“ „Mám to, Soamesi!“ vykřikl jsem: p

23 = 1/,1̄ + 1 ! − 1, p

24 = 1/,1̄ + 1 ! × 1,

p 25 = 1/,1̄ + 1 ! + 1.

Stačí si uvědomit,“ vysvětloval jsem, „že 4! = 24, jak jste už moudře poznamenal. Tohle bylo lehké, Soamesi! Ale i kdybyste mě zabil, tak se mi nedaří vyjádřit číslo 26.“ „Inu…,“ začal a pak se odmlčel. „Jak vidím, trochu vás to zaskočilo.“ „Nikoli, ani v nejmenším. Jen jsem přemýšlel, zda je nutné zavést nový symbol. Určitě to mnohé zjednoduší. Watsupe, znáte funkce stropu a dna, jinak řečeno horní a dolní celé části?“ Pohled mi bezděčně sjel ke stropu a potom na špičky bot, ale žádná inspirace nepřišla. „Vidím, že ne,“ řekl Soames. Jak dokáže uhádnout, co si myslím?

Pomyslel jsem si. To je prostě – „Záhada… že ano? Čtu ve vás jako v knize, Watsupe. Možná mám kouzelné schopnosti. No, ale ty funkce jsou definované následovně: bxc = největší celé číslo, které je menší nebo rovno číslu x, 99

dxe = nejmenší celé číslo, které je větší nebo rovno číslu x.

Časem zjistíte, že ve všech úlohách tohoto typu hrají velmi důležitou roli.“ „Výborně, Soamesi. Ačkoli, přiznám se, nechápu…“ „Princip spočívá v tom, milý Watsupe, že jejich pomocí můžeme vyjádřit malá čísla šikovně jen pomocí dvou jedniček. Jiným způsobem zápisu například čísla 3 pomocí dvou jedniček je 3=

jp

1/,1

k

a nově můžeme zavést také 4=

lp

m

1/,1 .“

√

Když viděl můj zmatený pohled, dodal: „Jistě vidíte, že 1/,1 = √ = 10 = 3,162, jehož dolní celá část je 3 a horní celá část je 4.“ „Ano…,“ řekl jsem s pochybami v hlase. „Díky tomu můžeme pokračovat, protože lp

m

lp

m

26 = 1/,1 ! + 1 + 1, lp m jp k 27 = 1/,1 ! + 1/,1 a 28 =

1/,1 ! +

lp

m

1/,1 .

A to nemluvím o různých alternativách.“ Hlavou mi projely tisíce nesouvislých myšlenek. Jedna z nich ovšem vyčnívala. „Počkejte, Soamesi, právě jsem si uvědomil, že 5=

qlp

m

1/,1 ! ,

√

protože 24 = 4,89 a horní celá část tohoto čísla je 5. Takže díky tomu se dostaneme k číslu 29 a 30!“ (Jak jistě chápete, měl jsem tím pochopitelně na mysli číslo 30, a nikoli 30 faktoriál. Interpunkce je někdy trochu oříšek.)

Watsup a Soames prozkoumali úlohu ještě mnohem podrobněji, a na co přišli, se podíváme později. Než ale budeme v příběhu pokračovat, můžete si sami zkusit, jak daleko se dostanete vlastními silami. Začněte od čísla 31.

Kapitola Ve znamení jedničky pokračuje na straně 116.

100

Ukázka elektronické knihy