energii, jejímž zdrojem je gravitační přitažlivost. Čím výše nad povrchem země je, tím větší potenciální energii má. Celková energie, tj. součet kinetické a potenciální energie se zachovává, což znamená, že se během pohybu nemění. Když objekt padá, jeho potenciální energie se zmenšuje, zatímco kinetická vzrůstá tak, aby součet obou energií zůstával stejný. Jinými slovy, potenciální energie se přeměňuje v kinetickou. Když jdeme lyžovat, zaplatíme vlekaři za to, že nám dodá spoustu potenciální energie, kterou pak při jízdě dolů přeměníme v kinetickou. Jak už jsem uvedl, fyzikům dalo zabrat, než objevili princip, který funguje pro částice tak, jako princip nejmenšího času funguje pro světlo. Ukázalo se, že tento nový princip pracuje s fundamentální veličinou, které se říká akce. Odečtěme v každém okamžiku potenciální energii od kinetické a nazvěme rozdíl lagranžián (též lagrangián nebo Lagrangeova funkce).5 Akci pak získáme posčítáním lagranžiánů od počátečního okamžiku až po poslední okamžik. (V našem příkladu by počátečním a konečným okamžikem byly okamžiky, kdy Valihrach opouští bezpečí zdi, na níž sedí, a kdy se mu žloutek rozlije po zemi.) Čtenáři s minimální znalostí matematické analýzy poznali z výše uvedeného, že „sčítáním“ se vlastně myslí „integrování“.* Výsledný součet se pak nazývá integrál a značí se symbolem ∫, což je prodloužené „S“, počáteční písmeno slova suma. Akce je rovna integrálu lagranžiánů podle času.** Princip akce říká, že hmotná částice (na rozdíl od světla) „si vybírá“ tu dráhu, která akci buď minimalizuje, nebo maximalizuje. * O tom jsme se již zmínili v kapitole 2. ** Matematicky: S = ∫ L dt. Akce se tradičně značí jako S a lagranžián jako L. 102
O gravitaci sazba.indd 102
06.06.2019 12:58:57 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS273780
Odborná poznámka, kterou může většina čtenářů ignorovat: Fermatův princip říká, že světlo se pohybuje tak, že minimalizuje dobu pohybu. Ale ukazuje se, že za jistých okolností pohyb hmotné částice akci minimalizuje – jak lze očekávat – , ale za jiných okolností akci naopak maximalizuje. Aby oba případy fyzici popsali jedním slovem, zavedli termín „extremální“. Proč je akční princip extremální a nikoliv jednoduše minimální jako Fermatův princip, zůstávalo záhadou až do vzniku kvantové mechniky.7 Chyť mě, jestli to dokážeš
Výpočet akce je podobný tomu, co dělá účetní, když stanovuje celkový roční zisk podniku pro všechny možné obchodní strategie. Vezme celkový příjem za týden a od něj odečte celkové náklady, načež tato čísla sečte pro všech 52 týdnů v roce. Podnikatel se pak snaží maximalizovat celkový zisk tím, že si vybere nejvýhodnější historii. Podobně jako obchodník maximalizující zisk si Valihrach vybere historii, která minimalizuje jeho akci. Jelikož akce je dána rozdílem kinetické a potenciální energie posčítaným přes celou dobu trvání pádu, a jelikož potenciální energie vzrůstá se vzdáleností od země, zjevně se vyplatí strávit co nejvíce času vysoko nad zemí, aby se velká potenciální energie odečítala. Známe to z běžné zkušenosti, že když padá nějaký předmět, zejména je-li cenný a křehký, jako by chvíli váhal (skoro jako by říkal: „Chyť mě, jestli to dokážeš), než nabere rychlost a rozbije se na kousky dole na zemi. To je samozřejmě Newtonův zákon o zrychlení. Z pohledu akce můžeme tento průběh pochopit následovně. Tím, že objekt zůstává „co nejdéle“ nahoře, maximalizuje potenciální energii a tím zmenšuje akci. Ale pak musí pospíchat, aby se dostal na zem 103
O gravitaci sazba.indd 103
06.06.2019 12:58:57 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS273780
v čase, který má k dispozici, za což zaplatí větší kinetickou energií. Takže Valihrach začíná padat pomalu a pak se pohyb zrychluje. S trochou jednoduché matematiky je možno dokázat, že nejlepší strategií pro Valihracha je padat s konstantním zrychlením.8 Čtenář nyní může dojít k závěru, že v tomto případě je formulace pomocí akce zamotanější než diferenciální přístup, a ten dojem je správný. V Newtonově formulaci je zrychlení okamžitě určeno z gravitačního zákona. Nicméně jak se fyzika rozvíjela za rámec Newtonovy mechaniky, nadřazenost* akční formulace začala být zřejmá, jak uvidíme dál. Stručnost je duší vtipu
Akční formulace byla dlouhou dobu považována za pouhou elegantní alternativu9 a fyzika byla dále většinou formulována pomocí diferenciálních pohybových rovnic.10 Ale teoretičtí fyzici pracující na fundamentálních problémech postupně přešli k akční formulaci a diferenciální formulaci opustili.11 Všechny fyzikální teorie, které vznikly od Newtonových dob, mohou být zformulovány pomocí akce. I fundamentální interakce – silná, slabá, elektromagnetická a gravitační – mohou být popsány pomocí akčního principu.** Akční formulace je elegantně stručná. Kupříkladu osm Maxwellových rovnic pro elektromagnetická pole lze vyjádřit pomocí jediné akce, která určí jediné číslo pro každou možnou historii popisující, jak se mění elektromagnetická pole. * Dneska jsou fundamentální zákony fyziky většinou formulovány pomocí principu akce. ** Proč tomu tak je, představuje velkou záhadu. Rozhodně si dokážeme vymyslet pohybové rovnice, které neplynou z extrému akce. 104
O gravitaci sazba.indd 104
06.06.2019 12:58:57
Ukázka elektronické knihy