Nová infinitní matematika: I. Velká iluze matematiky 20. století (Ukázka, strana 99)

Vrchol a pád

Jestliže na nějaké množině A existuje ℵϑ -úplný ultrafiltr, pak zřejmě na každé množině, která má stejnou mohutnost jako množina A, rovněž existuje ℵϑ -úplný ultrafiltr.

Užitím zobecněných de Morganových pravidel snadno ověříme, že ultrafiltr D na množině A je ℵϑ -úplný právěStehdy, když pro každý soubor množin A ⊆ P(A) \ D takový, že Card(A) < ℵϑ , je A 6∈ D. S Disjunktním pokrytím množiny A rozumíme soubor množin C takový, že C = A, a pro každé X, Y ∈ C, X 6= Y je X ∩ Y = ∅.

První pomocné tvrzení. Nechť D je netriviální ultrafiltr na množině A. Potom D není ℵϑ -úplný právě tehdy, když existuje disjunktní pokrytí C množiny A takové, že Card(C) < ℵϑ , a pro každé X ∈ C je X 6∈ D. Důkaz. Nechť ultrafiltr D není ℵϑ -úplný. Nechť A je soubor množin takový, že [ A ⊆ P(A) \ D, A ∈ D, Card(A) = ℵγ < ℵϑ .

Nechť {Xα }ωγ je posloupnost všech množin náležejících do souboru A. Pro β ≺ ωγ položme [ Yβ = Xβ \ {Xα ; α ≺ β}.

Protože Yβ ⊆ Xβ , je Yβ 6∈ D. Položíme-li

C = {Yβ ; β ≺ ωγ } ∪ {A \

[

A},

pak zřejmě C je pokrytí množiny A požadovaných vlastností. Důkaz obrácené implikace je triviální.

Druhé pomocné tvrzení. Nechť D je ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině A. Potom platí: (a) Nechť B ∈ D. Potom soubor všech množin X ∩ B, kde X ∈ D, je ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině B. (b) Nechť A ⊆ C. Potom soubor všech množin X ⊆ C takových, že X ∩ A ∈ D, je ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině C. (c) Nechť C ⊆ P(A) \ DSje disjunktní pokrytí množiny A. Potom soubor všech B ⊆ C takových, že B ∈ D, je ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině C.

Řekneme, že kardinální číslo ℵϑ je měřitelné, jestliže na některé (a tedy na každé) množině A mohutnosti ℵϑ existuje ℵϑ -úplný ultrafiltr.

Zřejmě jestliže D je ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině A takové, že Card(A) = ℵϑ , pak ultrafiltr D je uniformní. Tedy, je-li X ⊆ A, Card(X) < ℵϑ , pak X 6∈ D. Následující dvě tvrzení dokázal v práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, Fund. Math. (1930), Stanislaw Ulam (1909–1984).

Tvrzení 11.1. Nechť ℵϑ je nejmenší kardinální číslo takové, že na množině A mohutnosti ℵϑ existuje ℵ1 -úplný ultrafiltr. Potom kardinální číslo ℵϑ je měřitelné.

98 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS220141

11. Měřitelná kardinální čísla

Důkaz. Nechť D je ℵ1 -úplný ultrafiltr na množině A. Nechť D není ℵϑ -úplný. Potom existuje disjunktní pokrytí C množiny A takové, že C ⊆ P(A) \ D, Card(C) ≺ ℵϑ .

Podle druhého pomocného tvrzení existuje ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině C, což je spor.

Tvrzení 11.2. Každé měřitelné kardinální číslo je nedosažitelné.

Důkaz. Nechť D je ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině A, Card(A) = ℵϑ . Nechť existuje soubor množin A takový, že [ A= A, Card(A) < ℵϑ , a pro každé X ∈ A S je Card(X) < ℵϑ . Odtud je-li X ∈ A, je X 6∈ D, a protože D je ℵϑ -úplný, je A = A 6∈ D, což je spor.

Zbývá dokázat, že neexistuje γ ≺ ϑ takové, že ℵϑ ≤ 2ℵγ .

Nechť takové γ existuje. Potom můžeme předpokládat A ⊆ P[ωγ ] a podle druhého pomocného tvrzení, že D je ℵϑ -úplný ultrafiltr na množině P[ωγ ].

Pro α ≺ ωγ označme R+ (α) (popřípadě R− (α)) soubor všech X ⊆ [ωγ ] takových, že α ∈ X (popřípadě α 6∈ X). Právě jedna z množin R+ (α), R− (α) leží v ultrafiltru D. Označme R(α) tu z nich, která v ultrafiltru D leží. Protože ultrafiltr D je ℵϑ -úplný, γ ≺ ϑ je \ R = {R(α); α ≺ ωγ } ∈ D. Je-li X ∈ R, pak α ∈ X právě tehdy, když R(α) = R+ (α). Odtud R = {X}, a tedy R 6∈ D, což je spor.

K tomu poznamenejme, že nejmenší měřitelné kardinální (počáteční ordinální) číslo, pokud vůbec existuje, je nejen větší než první nedosažitelné kardinální (počáteční ordinální) číslo, ale je nesrovnatelně větší než nedosažitelně mnoho nedosažitelných kardinálních (počátečních ordinálních) čísel.

99 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS220141

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS220141