Matematika pro studenty ekonomie (Ukázka, strana 99)

98

Matematika pro studenty ekonomie

2.6 Zjistěte definiční obor složených funkcí. x x 1 x a) y  4 arcsin , b) y  arccos(  3) , c) y  arcsin , 2 3 x 1 x 2 6 d) y  x  arccos , e) y  x  2  arcsin , f) y  ln x 2  5 x  x  3 , x 5





x4  lnx  5  , x 1 1 x 3 i) y  x  4  arcsin , j) y  ln x 2  5 x  arccos , 3 x 1 x k) y  3 x  2  arccos , l) y  x  1 ln 2  x  x 2  sin( x  π ) , x 2 x 3 3 1 1  x  5  arctg 2 x , n) y    ln x  2 x , m) y  1 x 12  x  x 2 x

g) y  ln x  7   x 2  x  6 , h) y 













1  ln x 2  5 x  4 .

3x 2.7 Nakreslete graf funkce.

o) y  e x 1 

a) y  x  3   1 , b) y  x  1  2 , c) y  1  x  1 , d) y  2

3

e) y  2  e  x , f) y  ln x  1 , g) y  2 sin ( x 

1 3, x 2

 π ) , h) y  cos ( x  )  1 , 2 4

i) y  2  3 x , j) y  log x  3   1 .

2.8 Vypočtěte hodnotu polynomu pomocí Hornerova schématu pro různé hodnoty x. a) P x   x 5  3 x 4  5 x 3  15 x 2  4 x  12 , b) P x   x 4  3 x 3  4 x  5 .

2.9 Vypočítejte všechny kořeny zadaného polynomu a napište jeho rozklad v R. a) P x   x 5  3 x 4  5 x 3  15 x 2  4 x  12 , b) P x   x 5  10 x 4  34 x 3  36 x 2  27 x  54 ,

c) P x   x 4  3 x 3  4 x , d) P x   x 4  14 x 3  41x 2  4 x  60 ,

e) P x   x 4  7 x 2  4 x  20 , f) P x   x 5  3 x 4  x 3  3 x 2  2 x  6 .

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214075

2. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 99

2.2 Limita funkcí 2.2.1 Definice limity Funkce sin x , x jejíž graf je na obr. 2.34, není definovaná v bodě nula. Budeme-li dosazovat za x hodnoty blízké 0, zjistíme, že funkční hodnoty „se velmi málo liší“ od 1 (tab. 2.2). y

x sin x x

– 0,3

– 0,2

–0,15

–0,1

–0,05

0,05

0,1

0,15

0,2

0,3

0,985

0,993

0,996

0,998

0,9996

0,9996

0,998

0,996

0,993

0,985

Tab. 2.2

Fakt, že pro x ležící v dostatečně malém okolí bodu x0 se f(x) „velmi málo liší“ od čísla L, vyjádříme slovy „funkce y= f(x) má v bodě x0 limitu L“ a zapíšeme symbolicky lim f ( x )  L . V našem případě x  x0 sin x lim  1. x 0 x Okolí bodu x0 je interval (x0 – , x0 + ), kde   0. Okolí bodu x0 značíme O(x0) a přesněji nazýváme  - okolí bodu x0 (obr. 2.33). To, že x O(x0) znamená, že x0 –   x  x0 +  neboli x  x 0  , tj., že vzdálenost bodů x, x0 je menší než . Vyloučíme-li z O(x0) bod x0, je vzdálenost bodů x, x0 menší než , ale je větší než 0, neboť nemůže být x = x0. Platí pak 0  x  x0   a množinu ( x0   , x0 )  ( x0 , x0   ) nazýváme ryzí okolí bodu x0. Interval ( x 0 , x 0  δ ) se nazývá pravé ryzí okolí bodu x0 a značí se O+(x0) (obr. 2.33). Interval ( x 0  δ, x0 ) se nazývá levé ryzí okolí bodu x0 a značí se O –(x0) (obr. 2.33).

Obr. 2.33

Když jsme vysvětlili, co je okolí bodu, můžeme uvést přesnou definici limity funkce.

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214075

100 Matematika pro studenty ekonomie

Definice 2.22 Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu L, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 platí f ( x )  L < ε.

Píšeme lim f ( x )  L .



x  x0

Tedy ke každému okolí O(L) existuje ryzí  - okolí O(x0) tak, že pro každé x z tohoto ryzího okolí je f(x) O(L) (obr. 2.34).

Zápis lim f ( x )  L čteme „limita funkce f pro x jdoucí k x0 je rovna L“. x  x0

Použijeme-li v definici 2.22 pouze pravé ryzí okolí resp. levé ryzí okolí, dostaneme definici limity zprava lim f ( x )  L , resp. definici limity zleva lim f ( x )  L . Hovoříx  x0

x  x0

 0

me pak o jednostranných limitách. Symbol x  x čteme „pro x jdoucí k x0 zprava“, symbol x  x0 „pro x jdoucí k x0 zleva“.

Obr. 2.34

Věta 2.10 Funkce f má v bodě x0 limitu L, právě když lim f ( x )  lim f ( x )  L . x  x0

x  x0



Funkce na obr. 2.35 nemá v bodě x0 limitu, protože lim f ( x )  L , lim f ( x )  K , K  L . x  x0

x  x0

Obr. 2.35

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214075