98
Matematika pro nematematické obory
ii) Funkci f (x) nazýváme integrandem. Výraz dx je tzv. diferenciál proměnné x (viz kapitola 6) a je součástí označení pro integrál. iii) Pokud není interval I otevřený, pak v krajních bodech uvažujeme jednostranné derivace. Je-li F (x) primitivní k f (x) na I, pak jsou také funkce F (x) + c, kde c ∈ R, primitivní k f (x). Má-li tedy funkce f (x) jednu primitivní funkci, pak jich má nekonečně mnoho. Následující věta říká, že všechny primitivní funkce se navzájem liší o konstantu. Věta 4.3. Je-li funkce F (x) primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pak každá jiná primitivní funkce k funkci f má tvar F (x) + c, kde c ∈ R. Píšeme Z
f (x) dx = F (x) + c,
kde c je reálné číslo a nazývá se integrační konstanta. Z definice neurčitého integrálu plyne, že ′ Z Z F ′ (x) dx = F (x) + c, f (x) dx = f (x), tj. operace derivování a integrování jsou navzájem komplementární. O správnosti výsledku integrace se můžeme přesvědčit derivováním výsledku – musí nám vyjít zadaná funkce. Příklad 4.4. Nalezněte primitivní funkce k následujícím funkcím a) y = 1,
b) y = ex ,
c) y = e−x .
Řešení. V případě a) je primitivní funkcí např. funkce F (x) = x, neboť F ′ (x) = = x′ = 1. V případě b) je primitivní funkcí např. F (x) = ex (funkce ex zůstává ′ stejná při derivaci a tudíž i při integraci). Podobně v případě c) platí (e−x ) = = −e−x = −f (x). Proto je primitivní funkcí např. funkce F (x) = −e−x . Pomocí neurčitého integrálu můžeme zapsat Z Z Z x x dx = x + c, e dx = e + c, e−x dx = −e−x + c. Následující věta odpovídá na otázku, kdy k dané funkci f existuje primitivní funkce. Věta 4.5. Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213629
Neurčitý integrál
99
Příkladem funkce f , k níž neexistuje na intervalu (−∞, ∞) primitivní funkce, je funkce sgn x. Uvažujeme-li však tuto funkci pouze na intervalu (0, ∞), pak je funkce F (x) = x primitivní funkcí, neboť F ′ (x) = x′ = 1. Podobně funkce F (x) = −x je primitivní funkcí k funkci sgn x na intervalu (−∞, 0). Protože funkce F (x) = |x| nemá derivaci v bodě x = 0, nemůže být primitivní funkcí k funkci sgn x na intervalu (−∞, ∞). Poznamenejme, že existují funkce, které nejsou spojité a přitom mají primitivní funkci. Pro integrování platí některé analogické vlastnosti jako pro derivování. R R Věta 4.6. Nechť na intervalu I existují neurčité integrály f (x) dx a g(x) dx a nechť α je libovolná konstanta. Pak na I existuje neurčitý integrál funkce f +g a neurčitý integrál funkce αf a platí Z Z Z (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx, (4.1) Z Z αf (x) dx = α f (x)dx. (4.2) Na rozdíl od derivování neexistuje univerzální pravidlo, jak určit integrál ze součinu nebo podílu, ani pravidlo pro integrovaní složené funkce. Podobně jako pro derivace máme i vzorce pro integrování některých funkcí. Tyto vzorce dostaneme obrácením základních vzorců pro derivování, proto se o jejich správnosti můžeme i přesvědčit, a to derivováním. R (1) 1 dx = x + c, R n n+1 (2) x dx = xn+1 + c, n 6= −1, R 1 (3) x dx = ln |x| + c, R x (4) e dx = ex + c, R x x (5) a dx = lna a + c, a > 0, a 6= 1, R (6) sin x dx = − cos x + c, R (7) cos x dx = sin x + c, R 1 dx = arctg x + c, (8) x2 +1 R x−x0 1 1 (9) arctg + c, dx = 2 2 a a (x−x0 ) +a R 1 x √ (10) dx = arcsin a + c, a2 −x2 √ R √ 1 dx = ln |x + (11) x2 + a| + c, 2 x +a R 1 dx = tg x + c, (12) cos2 x R 1 (13) dx = −cotg x + c, sin2 x R f ′ (x) (14) f (x) dx = ln |f (x)| + c.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213629
100
Matematika pro nematematické obory
V předchozím přehledu a znamená s výjimkou vzorce (5) libovolné reálné nenulové číslo, číslo c je integrační konstanta. Vzorce platí na intervalech, na nichž jsou obě strany definovány. Ve všech výše uvedených vzorcích je nezávisle proměnná označená písmenem x. V praxi může být proměnná označená i jiným písmenem (např. t jako R čas) a vzorec je třeba upravit pro tuto proměnnou. Např. cos t dt = sin t + c, R Φ R e dΦ = eΦ + c, R2 dR = R2 + c.
Příklad 4.7. Vypočtěte neurčité integrály R 3 a) x dx, b) c)
e) g) i)
R √ R
R
R
x+
1 x−1
+ 2 dx,
d)
f)
tg x dx, x+1 x2 +2x+9
√ 1 9−x2
h)
dx,
j)
dx,
R
R
1 x2
dx,
1 2x−5
dx,
R
tg 2 x dx,
R
x4 x2 +9
R
1 x2 +9
dx, dx.
Řešení. a) Užitím vzorce (2) z tabulky dostáváme Z
x3 dx =
x4 + c. 4
b) Úpravou a užitím vzorce (2) dostáváme Z
1 dx = x2
Z
x−2 dx =
x−1 1 + c = − + c. −1 x
c) Rozdělíme na jednotlivé integrály podle věty 4.6, upravíme a použijeme vzorce (2), (14) a (1): Z Z Z Z √ 1 1 1 x+ + 2 dx = x 2 dx + dx + 2 dx = x−1 x−1 2 3 x 2 + ln |x − 1| + 2x + c. = 3 d) Upravíme tak, abychom mohli použít vzorec (14) a integrujeme Z Z 1 1 2 1 dx = dx = ln |2x − 5| + c. 2x − 5 2 2x − 5 2
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213629