98
Matematika pro nematematické obory
ii) Funkci f (x) nazýváme integrandem. Výraz dx je tzv. diferenciál proměnné x (viz kapitola 6) a je součástí označení pro integrál. iii) Pokud není interval I otevřený, pak v krajních bodech uvažujeme jednostranné derivace. Je-li F (x) primitivní k f (x) na I, pak jsou také funkce F (x) + c, kde c ∈ R, primitivní k f (x). Má-li tedy funkce f (x) jednu primitivní funkci, pak jich má nekonečně mnoho. Následující věta říká, že všechny primitivní funkce se navzájem liší o konstantu. Věta 4.3. Je-li funkce F (x) primitivní k funkci f (x) na intervalu I, pak každá jiná primitivní funkce k funkci f má tvar F (x) + c, kde c ∈ R. Píšeme Z
f (x) dx = F (x) + c,
kde c je reálné číslo a nazývá se integrační konstanta. Z definice neurčitého integrálu plyne, že ′ Z Z F ′ (x) dx = F (x) + c, f (x) dx = f (x), tj. operace derivování a integrování jsou navzájem komplementární. O správnosti výsledku integrace se můžeme přesvědčit derivováním výsledku – musí nám vyjít zadaná funkce. Příklad 4.4. Nalezněte primitivní funkce k následujícím funkcím a) y = 1,
b) y = ex ,
c) y = e−x .
Řešení. V případě a) je primitivní funkcí např. funkce F (x) = x, neboť F ′ (x) = = x′ = 1. V případě b) je primitivní funkcí např. F (x) = ex (funkce ex zůstává ′ stejná při derivaci a tudíž i při integraci). Podobně v případě c) platí (e−x ) = = −e−x = −f (x). Proto je primitivní funkcí např. funkce F (x) = −e−x . Pomocí neurčitého integrálu můžeme zapsat Z Z Z x x dx = x + c, e dx = e + c, e−x dx = −e−x + c. Následující věta odpovídá na otázku, kdy k dané funkci f existuje primitivní funkce. Věta 4.5. Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213629