98
Matematika v ekonomii a ekonomice
−1 0
|A33 | =
2 −1
= 1.
Tedy podle vˇety 3.16.1 dostáváme B=
|A11 | |A|
−|A21 | |A|
|A31 | |A|
−|A12 | |A|
|A22 | |A|
−|A32 | |A|
|A13 | |A|
−|A23 | |A|
|A33 | |A|
.
Dosazením vypoˇcítaných hodnot za jednotlivé determinanty dostáváme
0 −2 −1
A−1 = B = −2 −1
0 . 1 −2 −1
Zkoušku správnosti výpoˇctu provedeme výpoˇctem A · B, B · A. Zjistíme, že oba tyto souˇciny ˇ jsou rovny jednotkové matici I. Rešením systému A · x = b je pak x = A−1 · b (násobíme −1 rovnici A · x = b zleva maticí A ). Proved’me zkoušku správnosti výpoˇctu:
0 −2 −1
1 0 · −1 = 1 . −2 −1 0 x = A−1 · b = 1 1 1 −2 −1
ˇ sen´e pˇr´ıklady a aplikace 3.17 Reˇ Šifrování. Souˇcasné bankovnictví využívá k ochranˇe citlivých údaj˚u složité šifrovací systémy. Bˇehem dlouhé historie kryptografie (šifrování) vyvinuli lidé mnoho druh˚u jednoduchých i složitých kód˚u a šifer, které však byly nakonec vždy kryptoanalytiky prolomeny. Jistˇe jste se setkali s takzvanou transpoziˇcní šifrou, ve které zprávu zašifrujeme „promícháním“ znak˚u ve slovˇe. Napˇríklad slovo „EKONOMIE“ m˚užeme pomocí transpoziˇcní šifry zapsat jako „FLPOPNJF“ (každé písmeno jsme nahradili sousedním písmenem abecedy). Transpoziˇcní šifra se dá velmi snadno prolomit, proto se vyvinuly složité systémy založené na matematice (napˇr. v bankovnictví se dnes používá asymetrické šifrování). Jednoduchou šifru, kterou bez pomoci poˇcítaˇce neprolomíme tak jednoduše, m˚užeme vytvoˇrit pomocí matic. V následujícím textu si ukážeme, jak zašifrovat a opˇet rozšifrovat zprávu „PRODAVEJTE“, kterou má tajnˇe obdržet pouze jeden obchodník na burze. 1. Nejprve každému písmenu pˇriˇradíme celé cˇ íslo. Kódovací tabulku zná odesílatel i pˇríjemce zprávy. V praxi je samozˇrejmˇe vhodnˇejší pˇriˇrazovat písmen˚um cˇ íslice náhodnˇe. My pro jednoduchost budeme kódovat písmena podle jejich poˇradí v abecedˇe. Zprávu „PRODAVEJ“ zašifrujeme jako „16 18 15 4 1 22 5 10“.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213531