98
4.5 Charakteristiky polohy
Kvantil x0,50 se nazy´va´ media´n Me(X), platı´ tedy P(X ≤ Me(X)) = P(X ≥ Me(X)) = 0,50. Kvantil x0,25 se nazy´va´ dolnı´ kvartil, kvantil x0,75 je hornı´ kvartil. Vybrane´ kvantily du˚lezˇity´ch rozdeˇlenı´ jsou tabelova´ny. Definice 4.5.4 Modus Mo(X) na´hodne´ velicˇiny X je hodnota te´to velicˇiny, ve ktere´ ma´ pravdeˇpodobnostnı´ funkce p(x) maximum (pro diskre´tnı´ na´h. velicˇinu), resp. hodnota, ve ktere´ ma´ funkce hustoty f (x) maximum (pro spojitou na´h. velicˇinu). Modus nemusı´ by´t rozdeˇlenı´m pravdeˇpodobnosti urcˇen jednoznacˇneˇ, na´hodna´ velicˇina mu˚zˇe mı´t dva i vı´ce modu˚. Prˇ´ıklad 4.5.5 Urcˇete strˇednı´ hodnotu a modus na´hodne´ velicˇiny uda´vajı´cı´ pocˇet vystrˇeleny´ch na´boju˚ (viz prˇ´ıklad 4.3.2), je-li 0,6 · 0,4x−1 pro x = 1, 2, p(x) = 0,42 x = 3, 0 jinak. Rˇesˇenı´. Strˇednı´ hodnota je pro diskre´tnı´ na´hodnou velicˇinu da´na vztahem (4.3). Pokud ma´ diskre´tnı´ na´hodna´ velicˇina konecˇny´ obor hodnot M = {x1 , x2 , . . . , xn }, lze vztah (4.3) vyja´drˇit ve tvaru n
E(X) =
∑ xp(x) = ∑ xi p(xi ).
x∈M
i=1
Potom mu˚zˇeme psa´t 3
E(X) = ∑ xi p(xi ) = 1 · 0,6 · 0,40 + 2 · 0,6 · 0,41 + 3 · 0,42 = 1,56. i=1
Modus urcˇuje hodnotu na´hodne´ velicˇiny s nejveˇtsˇ´ı pravdeˇpodobnostı´, cozˇ je v nasˇem prˇ´ıpadeˇ Mo(X) = 1, nebot’ nejveˇtsˇ´ı hodnota pravdeˇpodobnostnı´ funkce je p(1) = 0,6. Prakticky lze vy´sledky interpretovat takto: strˇednı´ hodnota 1,56 prˇedstavuje „pru˚meˇrny´“ pocˇet vystrˇeleny´ch na´boju˚, pokud budeme dany´ pokus neusta´le opakovat; modus 1 vyjadrˇuje skutecˇnost, zˇe nejcˇasteˇji bude vystrˇelen 1 na´boj. Prˇ´ıklad 4.5.6 Na´hodna´ velicˇina X ma´ rozdeˇlenı´ popsane´ funkcı´ hustoty pravdeˇpodobnosti (viz prˇ´ıklad 4.4.2) 12x2 (1 − x) pro 0 < x < 1, f (x) = 0 jinak. Urcˇete strˇednı´ hodnotu a modus te´to na´hodne´ velicˇiny. Rˇesˇenı´. Strˇednı´ hodnota je pro spojitou na´hodnou velicˇinu da´na vztahem (4.4), mu˚zˇeme tedy psa´t 1 4 Z1 Z1 x5 3 x 2 − = = 0,6. E(X) = x f (x)dx = x · 12x (1 − x)dx = 12 4 5 0 5 0
0
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS204960
99
4.6 Charakteristiky variability
Modus u spojite´ na´hodne´ velicˇiny urcˇuje maximum funkce hustoty pravdeˇpodobnosti. Bu d deme hledat maximum funkce f (x) na intervalu (0, 1), rˇesˇ´ıme dx 12x2 (1 − x) = 12(2x− −3x2 ) = 0, odkud x(2 − 3x) = 0, tedy x = 0 nebo x = 2/3. Funkce hustoty pravdeˇpodobnosti naby´va´ sve´ho maxima v bodeˇ x = 2/3 (viz graf f (x) na obr. 4.4), proto ma´ modus hodnotu Mo(X) = 2/3. Prˇ´ıklad 4.5.7 Urcˇete media´n, hornı´ a dolnı´ kvartil na´hodne´ velicˇiny X s distribucˇnı´ funkcı´ 1 − x13 pro x > 1, F(x) = 0 x ≤ 1. Rˇesˇenı´. Pro kvantil na´hodne´ velicˇiny X platı´ F(xP ) = P. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ pro xP > 1 platı´ 1−
1 = P, xP3
odkud dosta´va´me
1 . xP = √ 3 1−P Dosazova´nı´m do dane´ho vzorce zı´ska´me kvantily: 1 . media´n x0,50 = √ = 1,260, 3 1 − 0,50 1 . = 1,101, dolnı´ kvartil x0,25 = √ 3 1 − 0,25 1 . √ hornı´ kvartil x0,75 = 3 = 1,587. 1 − 0,75 Tomu lze rozumeˇt takto: media´n Me(X) = x0,50 = 1,260 je hodnota na´hodne´ velicˇiny X, pro kterou platı´ P(X ≤ 1,260) = 0,50, tedy zˇe na´hodna´ velicˇina X s 50% pravdeˇpodobnostı´ neprˇekrocˇ´ı hodnotu 1,260; analogicky x0,25 nebo x0,75 .
4.6 Charakteristiky variability Za´kladnı´ a nejpouzˇ´ıvaneˇjsˇ´ı charakteristiky variability jsou rozptyl a smeˇrodatna´ odchylka. Definice 4.6.1 Rozptyl D(X) na´hodne´ velicˇiny X (neˇkdy oznacˇovany´ jako σ 2 ) je obecneˇ definova´n vztahem D(X) = E [X − E(X)]2 , kdyzˇ strˇednı´ hodnota vpravo existuje. V prˇ´ıpadeˇ diskre´tnı´ na´hodne´ velicˇiny urcˇ´ıme rozptyl ze vztahu D(X) =
∑ [x − E(X)]2 p(x),
x∈M
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS204960
100
4.6 Charakteristiky variability
pro spojitou na´hodnou velicˇinu urcˇ´ıme rozptyl ze vztahu Z
[x − E(X)]2 f (x)dx.
D(X) = M
Rozptyl je cˇ´ıslo, ktere´ charakterizuje promeˇnlivost hodnot na´hodne´ velicˇiny kolem jejı´ strˇednı´ hodnoty s prˇihle´dnutı´m k jejich pravdeˇpodobnostem. Uved’me jeho nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı vlastnosti: 1. rozptyl konstanty k je roven nule, tj. D(k) = 0, 2. rozptyl soucˇinu konstanty a na´hodne´ velicˇiny X je roven soucˇinu konstanty k2 a rozptylu na´hodne´ velicˇiny X, tedy D(kX) = k2 D(X), (4.7) 3. rozptyl soucˇtu neza´visly´ch na´hodny´ch velicˇin X1 , X2 , . . . , Xn je roven soucˇtu rozptylu˚ teˇchto na´hodny´ch velicˇin D(X1 + X2 + · · · + Xn ) = D(X1 ) + D(X2 ) + · · · + D(Xn ),
(4.8)
4. D(X) ≥ 0 pro kazˇdou na´hodnou velicˇinu, 5. rozptyl na´hodne´ velicˇiny X je mozˇne´ spocˇ´ıtat pomocı´ tzv. vy´pocˇetnı´ho tvaru D(X) = E(X 2 ) − E(X)2 , nebot’z definice plyne, zˇe D(X) = E[X − E(X)]2 = E[X 2 − 2XE(X) + E(X)2 ] = E(X 2 ) − −E[2XE(X)]+E[E(X)2 ] = E(X 2 )−2E(X)E(X)+E(X)2 = E(X 2 )−2E(X)2 +E(X)2 = = E(X 2 ) − E(X)2 . Vy´pocˇetnı´ tvar rozptylu pro diskre´tnı´ na´hodnou velicˇinu je potom D(X) =
∑ x2 p(x) − E(X)2 ,
x∈M
pro spojitou na´hodnou velicˇinu uzˇijeme Z
D(X) =
x2 f (x)dx − E(X)2 .
M
Definice 4.6.2 Smeˇrodatna´ odchylka σ (X) na´hodne´ velicˇiny X je definova´na jako odmocnina z rozptylu p σ (X) = D(X). Smeˇrodatna´ odchylka je neˇkdy oznacˇovana´ jako σ . Cˇ´ım veˇtsˇ´ı je rozptyl (smeˇrodatna´ odchylka), tı´m veˇtsˇ´ı je kolı´sa´nı´ na´hodne´ velicˇiny X kolem jejı´ strˇednı´ hodnoty E(X). Smeˇrodatna´
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS204960