F
Jakmile oceníte tyto schopnosti parabol a elips,1 neubráníte se myšlence, že jsou nějakým hlubším způsobem spojeny. Jsou tyto křivky nějakým fundamentálnějším způsobem příbuzné? Matematici a příznivci konspiračních teorií mají jedno společné: náhoda jim připadá podezřelá – zvláště, když se ta náhoda hodí. Náhody neexistují. Věci mívají svůj dobrý důvod. Taková víra může být v běžném životě poněkud paranoidní, ale v matematice je naprosto oprávněná. V ideálním světě čísel a tvarů jsou podivné náhody většinou znamením, že nám něco uniká. Ukazují na to, že v pozadí pracují nějaké skryté síly. Takže se podrobněji podívejme na možné souvislosti mezi parabolami a elipsami. Na první pohled tvoří nepodobnou dvojici. Parabola je oblouk, který utíká na obou koncích pryč. Elipsa je oválného tvaru a vypadá jako zmáčknutá kružnice, je uzavřená a kompaktní. parabola parabola
elipsa ellipse
Ale jakmile pomineme jejich vzhled a zaměříme se na jejich vnitřní anatomii, uvědomíte si, jak moc jsou si ty dvě podobné. Obě totiž patří do královské rodiny křivek a jejich genetická příbuznost se stane zřejmou, jakmile víme, kde ji hledat. 98
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS201773
Abychom jejich příbuznost vysvětlili, musíme si znova připomenout, jak tyto křivky přesně vznikají. Parabola se běžně definuje jako souhrn všech bodů, které mají touž vzdálenost od daného bodu a dané přímky, která tímto bodem neprochází. To vypadá složitě, ale je to ve skutečnosti snadno pochopitelné, jakmile si to namalujeme. Označme onen daný bod jako F od slova „fokus“ (ohnisko) a přímku nazvěme L. F
L
Podle definice tvoří parabolu všechny body, které jsou stejně vzdálené od F jako od L. Takže kupříkladu bod P, který leží přímo pod F v polovině cesty k L tuto podmínku určitě splňuje. F P L
A tuto vlastnost mají také i mnohé další body, jako jsou P1, P2, … Budou ležet na obě strany od původního bodu P, jak je ukázáno níže: d1
F d2 d2
P2
P1 d1 L
Bod P1 má stejnou vzdálenost d1 od přímky i od F. Totéž platí o P2 až na to, že společná vzdálenost je teď d2. 99
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS201773
Když vykreslíme všechny body P s touto vlastností, vytvoří parabolu. Proč nazýváme F ohnisko, se stane zřejmým, když si představíme parabolu jako zakřivené zrcadlo. Ukazuje se (i když to nebudeme dokazovat), že když osvětlíme parabolické zrcadlo2 svazkem rovnoběžných paprsků kolmých na přímku L, všechny odražené paprsky se současně protnou v F, takže vznikne intenzivně zářící bod.
F
Funguje to podobně jako staré reflektory, pod nimiž se lidé roky opalovali, než se začali bát rakoviny kůže. Podívejme se teď, jak to vypadá s elipsou. Ta je definovaná jako množina všech bodů, jejichž součet vzdáleností od dvou daných bodů je konstantní. Když to přeložíme do přízemnějšího jazyka, představuje tato definice návod, jak elipsu nakreslit. Vezmeme si tužku, list papíru, korkovou podložku, dva připínáčky a kus provázku. Papír položíme na korkovou desku a konce provázku přišpendlíme skrz papír na desku, tak, aby provázek nebyl napnutý. Pak hrotem tužky provázek napneme, jak je ukázáno níže, a budeme tužkou kreslit tak, aby provázek byl stále napnutý. Až tužka oběhne kolem dokola obou připínáčků a vrátí se do počátečního bodu, její hrot nakreslil elipsu.
F1
F2
100
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS201773