98
Finanční matematika pro každého
z toho:
(4-13)
Příklad 4-12 Doba spoření Za jak dlouho uspoříme 50 000 Kč při ročním polhůtním ukládání 7 000 Kč při neměnné 4% úrokové sazbě p.a.? Předpokládáme roční připisování úroků. Řešení Použijeme vztah (4-13) a dosadíme S = 50 000; a = 7 000; i = 0,04. Potom:
Uvedenou částku uspoříme přibližně za 6,4 roku. Bude-li úrokové období kratší než jeden rok, např. pololetní, čtvrtletní apod., přizpůsobíme tomuto období úrokovou sazbu obdobně jako v příkladu 4-10.
4.3 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření Naším úkolem v této části bude zjistit, kolik uspoříme do konce n-tého období, jestliže ukládáme m-krát za úrokové období. Tento problém rozdělíme opět podle toho, zda ukládáme na počátku nebo na konci určité části, tedy m-tiny úrokového období. Úrokové období zvolíme roční.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS193396
99
Spoření
4.3.1 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření při spoření předlhůtním Nyní chceme vypočítat, kolik uspoříme do konce n-tého roku, ukládáme‑li na počátku každé m-tiny roku x Kč (viz obr. 4.5).
a 0
1/m 2/m
1
a 1/m 2/m
2
1/m 2/m
a
a
a
3
(n – 1)
1/m 2/m
n
S' čas
Obrázek 4.5 Schéma kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření předlhůtního Nejprve vypočítáme, kolik bude činit uspořená částka z vkladů včetně úroků na konci prvního roku, což zjistíme využitím vzorce (4-2):
Nyní jsme převedli naši úlohu na případ, kdy koncem roku ukládáme místo částky a, kterou jsme uvažovali u dlouhodobého spoření, částku S´x. Tedy na konci n-tého roku bude celková naspořená částka podle vzorce (4-7), kde nahradíme částku a částkou S´x, rovna:
(4-14)
Pro výpočet celkové uspořené částky jsme použili střadatel polhůtní, ačkoli jednotlivé částky ukládáme na počátku každé m-tiny roku, neboť využitím vztahu (4-2) jsme získali částku S´x, která vyjadřuje hodnotu úspor na konci roku. Příklad 4-13 Naspořená částka při více úložkách v úrokovém období Kolik uspoříme za tři roky, spoříme-li začátkem každého měsíce 1 700 Kč při neměnné 2% roční úrokové sazbě? Předpokládáme roční připisování úroků.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS193396
100
Finanční matematika pro každého
Řešení Pro výpočet použijeme vzorec (4-14) a dosadíme x = 1 700; n = 3; m=12; i = 0,02. Všimněme si, že první část výpočtu jsme již provedli při řešení příkladu 4-1, a známe tedy naspořenou částku na konci roku, která činí 20 621 Kč.
Při uvedených podmínkách uspoříme 63 108,51 Kč. Příklad 4-14 Výše úložky ukládané vícekrát v úrokovém období Nyní se podívejme na příklady 4-9 a 4-11. Tentokrát nebudeme na automobil spořit ročními úložkami, ale čtvrtletními. Kolik tedy musíme spořit počátkem každého čtvrtletí, abychom za pět let uspořili 750 000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 2,5 % a ročním připisování úroků? Řešení Za jednotlivé veličiny dosadíme S´ = 750 000; m = 4; n = 5; i = 0,025. Chceme vypočítat výši úložky x. I v tomto příkladu máme již část výpočtu hotovou. Z příkladu 4-11 známe totiž částku, kterou je třeba spořit na konci roku. Z ní vypočítáme čtvrtletní úložku a postupujeme pak stejně jako v příkladu na krátkodobé spoření (viz příklad 4-2). Výsledek bude stejný jako při níže uvedeném postupu. Neznáme-li částku, kterou je třeba spořit na konci roku, použijeme vzorec (4-14), ze kterého vyjádříme x:
Čtvrtletně je nutno ukládat 35 122,5 Kč.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS193396