98
KAPITOLA 2. TROCHA TEORIE
hodnota smˇerodatn´e odchylky pak urˇcuje pˇresnost v´aˇzen´ı. V´ ybˇ erov´ y pr˚ umˇ er spoˇc´ıtan´ y z n´ ahodn´eho v´ ybˇeru X1 , . . . , Xn je roven n
¯= 1 X Xi . n i=1
(2.51)
Jak jiˇz v´ıme (viz (2.33)), stˇredn´ı hodnota souˇctu n´ahodn´ ych veliˇcin je rovna souˇctu stˇredn´ıch hodnot tˇechto n´ ahodn´ ych veliˇcin, takˇze pouˇzijeme-li tak´e (2.20), snadno dostaneme n n 1 1 ¯ =E EX Xi = E Xi = µ. (2.52) n i=1 n i=1 Je zˇrejm´e, ˇze pr˚ umˇer opravdu odhaduje stˇredn´ı hodnotu µ, kter´e v t´eto ¯ spoˇc´ıtan´ souvislosti m˚ uˇzeme ˇr´ıkat populaˇ cn´ı pr˚ umˇ er. Pr˚ umˇer X y z n´ahodn´eho v´ ybˇeru m´ a stˇredn´ı hodnotu rovnou parametru µ. Je to tedy nestrann´ y (t´eˇz nevych´ ylen´ y) odhad parametru µ. Pˇri v´ ypoˇctu rozptylu nejprve zopakujeme postup pouˇzit´ y pˇri v´ ypoˇctu rozptylu binomick´eho rozdˇelen´ı. Rozptyl souˇctu nez´ avisl´ych n´ahodn´ ych veliˇcin Xi je roven souˇctu jejich rozptyl˚ u, tedy nσ 2 . Kdyˇz pouˇzijeme vztah (2.26) pro rozptyl konstantn´ıho n´ asobku n´ ahodn´e veliˇciny, dostaneme n n 1 1 σ2 ¯ = var 1 var(X) Xi = 2 var(Xi ) = 2 nσ 2 = , (2.53) n i=1 n i=1 n n pˇr´ıpadnˇe pro smˇ erodatnou odchylku pr˚ umˇ eru, kter´a se v t´eto souvislosti naz´ yv´ a tak´e stˇ redn´ı chyba pr˚ umˇ eru (standardn´ı chyba pr˚ umˇ eru, standard error), ¯ = √σ . S.E.(X) (2.54) n Pokud bychom tedy pr˚ umˇer poˇc´ıtali opakovanˇe vˇzdy z nov´ ych n´ahodn´ ych v´ ybˇer˚ u, podle posledn´ıch dvou vzoreˇck˚ u budou tyto pr˚ umˇery kol´ısat m´enˇe, neˇz kol´ısaj´ı jednotliv´e n´ ahodn´e veliˇciny. Proto i pr˚ umˇer z troj´ıho v´aˇzen´ı bude pˇresnˇejˇs´ım odhadem skuteˇcn´e hmotnosti v´ aˇzen´eho pˇredmˇetu, neˇz je jedin´e v´ aˇzen´ı. Pˇresnˇejˇs´ı pˇredstavu z´ısk´ ame zaveden´ım pojmu interval spolehlivosti ve 3. kapitole na str. 109. Nutno poznamenat, ˇze pod stˇredn´ı chybou pr˚ umˇeru se zpravidla souˇcasnˇe tak´e ch´ ape odhad tohoto v´ yrazu, tedy statistika ¯ = √S , S.E.(X) n
(2.55)
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS190713