98
FINANČNÍ MATEMATIKA PRO KAŽDÉHO
Pro výpočet celkové uspořené částky jsme použili střadatel polhůtní, ačkoli jednotlivé částky ukládáme na počátku každé m-tiny roku, neboť využitím vztahu (4-2) jsme získali částku S´x, která vyjadřuje hodnotu úspor na konci roku. Příklad 4-13 Naspořená částka při více úložkách v úrokovém období Kolik uspoříme za tři roky, spoříme-li začátkem každého měsíce 1 700 Kč při neměnné 2% roční úrokové sazbě? Předpokládáme roční připisování úroků. Řešení Pro výpočet použijeme vzorec (4-14) a dosadíme x = 1 700; n = 3; m=12; i = 0,02. Všimněme si, že první část výpočtu jsme již provedli při řešení příkladu 4-1, a známe tedy naspořenou částku na konci roku, která činí 20 621 Kč.
Při uvedených podmínkách uspoříme 63 108,51 Kč. Příklad 4-14 Výše úložky ukládané vícekrát v úrokovém období Nyní se podívejme na příklady 4-9 a 4-11. Tentokrát nebudeme na automobil spořit ročními úložkami, ale čtvrtletními. Kolik tedy musíme spořit počátkem každého čtvrtletí, abychom za pět let uspořili 750 000 Kč při neměnné roční úrokové sazbě 2,5 % a ročním připisování úroků? Řešení Za jednotlivé veličiny dosadíme S´ = 750 000; m = 4; n = 5; i = 0,025. Chceme vypočítat výši úložky x. I v tomto příkladu máme již část výpočtu hotovou. Z příkladu 4-11 známe totiž částku, kterou je třeba spořit na konci roku. Z ní vypočítáme čtvrtletní úložku a postupujeme pak stejně jako v příkladu na krátkodobé spoření (viz příklad 4-2). Výsledek bude stejný jako při níže uvedeném postupu.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS180761
SPOŘENÍ
99
Neznáme-li částku, kterou je třeba spořit na konci roku, použijeme vzorec (4-14), ze kterého vyjádříme x:
Čtvrtletně je nutno ukládat 35 122,5 Kč. Příklad 4-15 Doba spoření Jak dlouho je nutno spořit počátkem každého měsíce 500 Kč, aby uspořená částka dosáhla výše 50 000 Kč při neměnné 4% roční úrokové sazbě a ročním připisování úroků? Řešení Pro výpočet použijeme vzorec (4-14), ze kterého vyjádříme pomocí logaritmů dobu spoření n:
Obě strany rovnice zlogaritmujeme a získáme:
Za jednotlivé veličiny dosadíme m = 12; x = 500; i = 0,04; S´ = 50 000 a dostaneme:
Uvedenou částku uspoříme za 7,2 roku.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS180761
100
FINANČNÍ MATEMATIKA PRO KAŽDÉHO
Podívejme se ještě na případ, kdy úrokové období nebude roční. V tomto případě bude nutno vypočítat nejprve naspořenou částku na konci úrokového období (viz příklad 4-7) a dále použít střadatel polhůtní, kde bude přizpůsobena jednak úroková sazba, jednak počet úrokových období. Příklad 4-16 Naspořená částka při připisování úroků vícekrát v roce Kolik naspoříme za tři roky, ukládáme-li počátkem každého měsíce 1 000 Kč při úrokové sazbě 2,8 % p.a. a čtvrtletním úrokovém období? Řešení Využijeme vztah (4-14):
Dosadíme: x m i n
= 1 000; = 3 (během čtvrtletí uložíme tři částky); = 0,028 / 4 = 0,007 (roční úrokovou sazbu je nutno vydělit počtem úrokových období za rok a získáme čtvrtletní úrokovou sazbu); = 3 · 4 = 12 (tři roky po čtyřech úrokových obdobích).
Za tři roky naspoříme částku 37 593,48 Kč.
4.3.2 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření při spoření polhůtním Budeme postupovat obdobně jako v předchozím oddílu. Předpokládáme nejprve roční úrokové období. Chceme vypočítat, kolik uspoříme do konce n-tého roku, ukládáme-li na konci každé m-tiny roku x Kč. Nejprve počítáme, kolik bude činit uspořená částka z vkladů včetně úroků na konci prvního roku, což zjistíme využitím vzorce (4-4):
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS180761