Matematikos menas

MATEMATIKOS MENAS

MICHAEL BROOKS

MATEMATIKOS

MENAS

Kaip matematika sukūrė civilizaciją

ORIGINALUS LEIDIMAS

Michael Brooks, The Art of More: how mathematics created civilisation, Brunswick, Victoria: Scribe Publications, 2021.

Michael Brooks

MATEMATIKOS MENAS

Iš anglų kalbos vertė

MANTĖ ZAGURSKYTĖ-TAMULEVIČIENĖ

Redaktorė

LAURA PATIOMKINAITĖ

Konsultavo VYTAUTAS MIEŽYS

Korektorės

INGA NOMEIKIENĖ, EVELINA ZENKUTĖ

Dizaineris

ZIGMANTAS BUTAUTIS

Maketavo EGLĖ JURKŪNAITĖ

Projekto vadovės

JONĖ JUCHNEVIČIŪTĖ, DOVILĖ ZUBAVIČIŪTĖ

Leidyklos redaktorė

ŪLA AMBRASAITĖ

Šį leidinį draudžiama atgaminti bet kokia forma ar būdu, viešai skelbti, taip pat padaryti viešai prieinamą kompiuterių tinklais (internete), išleisti ir versti, platinti jo originalą ar kopijas: parduoti, nuomoti, teikti panaudai ar kitaip perduoti nuosavybėn.

Draudžiama šį kūrinį, esantį bibliotekose, mokymo įstaigose, muziejuose arba archyvuose, mokslinių tyrimų ar asmeninių studijų tikslais atgaminti, viešai skelbti ar padaryti visiems prieinamą kompiuterių tinklais tam skirtuose terminaluose tų įstaig ų patalpose.

ISBN 978-609-496-027-7

Copyright © Michael Brooks, 2021

© Mantė Tamulevičienė, vertimas į lietuvių kalbą , 2026

© Zigmantas Butautis, dizainas, 2026

© Leidykla LAPAS, www.leidyklalapas.lt, 2026

TURINYS

ĮVADAS

Kodėl gebėjimas suprasti skaičius yra didžiausias žmonijos pasiekimas

1 skyrius: ARITMETIKA

Kaip

2 skyrius: GEOMETRIJA

Kaip

3 skyrius: ALGEBRA

4 skyrius: DIFERENCIALINIS IR INTEGRALINIS SKAIČIAVIMAS

Kaip

5 skyrius: LOGARITMAI

Kaip

6 skyrius: MENAMIEJI SKAIČIAI

Kaip

7 skyrius: STATISTIKA

8 skyrius: INFORMACIJOS TEORIJA

Kaip

Autoriaus žodis

Čia laukiami visi – dievinantys matematiką , visada jos nekentę ar tiesiog norintys ją geriau suprasti. Esama pačių įvairiausių su matematika susijusių patirčių, todėl norėjau, kad nuo pat pirmų puslapių ši knyga būtų suprantama visiems. Dėl to stengiausi viską pateikti kuo paprasčiau, bet, pamaniau, vietomis būtų verta įdėti ž iupsnel į pastangų, norint deramai suvokti vieną ar kitą dalyką . Tai reiškia, kad bus ir šiek tiek tikros matematikos – diagramų, lygčių bei skaičiavimų, kuriuos nuosekliai jums paaiškinsiu. Bet jei kuri nors dalis ims erzinti, o jūs nenorėsite būti erzinami, tiesiog praleiskite ją . Gyvenimas ir taip labai trumpas.

ĮVADAS

Kodėl gebėjimas suprasti skaičius yra

didžiausias žmonijos pasiekimas

1992 m. bir žel į amerikiečių psichologas Peteris Gordonas nuvyko į palmių lapais dengtų namų kaimel į Maisi upės pakrantėje Brazilijos Amazonėje1. Jis keliavo susitikti su draugu Danieliu Everettu, kuris gyveno su nuošalia ir atsiskyrėliška pirahã* tauta kaip krikščionių misionierius. Everettas Gordonui buvo užsiminęs, kad pirahã žmonių pož iūris į skaičius gana lengvabūdiškas – iš esmės jie tiesiog nesivargina skaičiuoti. Susidomėjęs Gordonas atvyko suž inoti daugiau.

Pasiėmęs saują AA tipo elementų, kuriuos buvo atsive žęs į d ž iungles, Gordonas surengė eksperimentą . Išdėliojo kelis elementus viena linija ir paprašė pirahã gyventojų šalia jos sudėlioti kitą liniją iš tiek pat elementų. Vienas, du ar trys elementai sunkumų nesukėlė. Tačiau teisingai į liniją sudėti keturių, penkių ar šešių elementų kaimelio gyventojams nesisekė. Apie dešimt nebuvo nė kalbos. Jiems nesisekė ir paprašytiems atkartoti tiek pat ant popieriaus lapo paliktų ž ymių. Viena ar dvi ž ymės problemų nesukeldavo, bet šešios buvo daugiausia, kiek kam nors pavyko atkartoti. Gordonas ėmė manyti, jog pirahã tautos žmonės negeba suprasti skaičių – galbūt todėl, kad jiems to nereikia. Dėl šių

* Tariama py-da-han. (Čia ir toliau – vert. past.)

žmonių gyvenimo būdo jų smegenyse niekada neatsirado prie žasties formuotis skaičių sąvokoms.

Daugumą mūsų stebina, kad žmonės gali sėkmingai išsiversti be skaičių. Taip yra, nes nes ąmoningai suvokiame, jog skaičiai yra neatsiejamai susipynę su mūsų kasdiena. Tačiau kol kas nors į tai neatkreipia mūsų dėmesio, nesusimą stome, kad mūsų gyvensena, institucijos ir infrastruktūra buvo sukurtos remiantis skaičiais.

Nesvarbu, kalbėtume apie verslą , b ūstą , mediciną , politik ą , karyb ą , ž emės ū kį , meną , keliones, mokslą ar technologijas, – beveik visi mūsų egzistencijos aspektai laikosi ant matematinio pagrindo. Dar ne į tikėtiniau tai atrodo suvokus, kad matematika neprivalėjo atsirasti.

Kalbant apie įgimtą gebėjimą suvokti skaičius, nesame pranašesni už daugumą kitų r ūšių2. Žmonės gimsta, kaip dabar sakoma, tik „apytiksliai suvokdami skaičius“3. Tai reiškia, kad mūsų smegenys nesivargina specifikuoti, kai ko nors yra daugiau nei trys. Tad kūdikis, pamatęs keturis obuolius, vaizdą užfiksuoja kaip daug ar daugiau. Mūsų natūrali skaičiavimo sistema yra 1, 2, 3, daugiau. Žiurkių, šimpanzių, paukščių ir be žd ž ionių smegenys taip pat naudoja apytikslę skaičių sistemą . Apdovanokite ž iurkę šiai penkis kartus stumtelėjus svirtelę, ir ji, retkarčiais grįžusi prie aparato, tikėdamasi skanėsto stumtelės ją penketui artimą , bet skirting ą skaičių kartų. Žmonėms pavyko išmokyti šimpanzes atlikti sudėtingesnes su skaičiais susijusias užduotis, pavyzd ž iui, įsiminti skaičių sekas, ir kartais jos tai gali daryti geriau už nesitreniravusius suaugusius žmones. Tačiau už mokymą si turi būti apdovanota; šimpanzės nepradėjo mokytis matematikos iš smagumo. Kaip ir jūs – skaičiuoti išmokote dėl kultūrinio spaudimo. Šis spaudimas atsirado dėl įdomios prie žasties – giliai įsišaknijusios kultūrinės išminties, bylojančios, kad matematika yra svarbi.

Tiudorų dinastijos matematikas ir mistikas Johnas Dee matematik ą vadino „keistu antgamtinių, nemirtingų, intelektinių,

paprastų ir nedalomų reiškinių bendrininkavimu su natūraliais, mirtingais, jusliniais, sudėtiniais ir dalomais reiškiniais“ 4. Tai gali skambėti kaip nesuprantami tauškalai, bet matematika iš tiesų yra antgamtinė, nes j ą pasitelkiame, kad suvoktume tai, kas slypi u ž gamtos. Tobulėjanti matematika mums leido išskrosti ir išnarstyti gamtos modelius bei simetrij ą ir, tarsi dievams, juos pertvarkyti, kad tarnautų mūsų tikslams. Pasitelkę matematik ą , supantį pasaul į formuojame taip, kad sukurtume žmogui patogesnę aplink ą . Pirmas ž ingsnis buvo išmokti skaičiuoti iki keturių, ir galiausiai ėmėme kurti civilizacijas. Kai mūsų smegenys į valdo daugiau meną , tampa pajėgios susidoroti su sudėtingomis abstrakcijomis. Š ios į sipatogina pasaulyje, kuriame skaičius galima pritaikyti ne tik skaičiuotiniems daiktams, bet ir formoms, taškams, linijoms, kitaip tariant – geometrijai. Tai mums suteikia galimybę atkurti – ant popieriaus lapo, medinio rutulio ar tiesiog mintyse – tokius did ž iulius ir sudėtingus objektus kaip, tarkime, Žemė ir po juos naviguoti. Taip pat ir skaičius – ž inomus ir ne ž inomus – gebame atkurti kaip simbolius, kuriais manipuliuodami galime valdyti ir perkonstruoti pasaul į , atlikdami ne į tikėtinus planavimo, optimizavimo ir transportavimo ž ygdarbius. Tai algebra, jei į domu. Skaičiuodami gebame net numatyti ateitį , kuri ą lemia aplink mus vykstantys pokyčiai. Tai vadiname diferencialiniais ir integraliniais skaičiavimais, ir jie padeda į gyvendinti į vairiausius žmonijos siekius – nuo laisvosios rinkos kapitalizmo iki nusileidimo Mėnulyje.

Matematikos išmokstame – ar bent jau turėtume išmokti –ankstyvame amž iuje. Mokykloje mus tikina, kad matematika yra esminis įg ūdis, pasas į sėkmę, dalykas, kurį privalome įvaldyti. Tad paklusniai, nors da žnai nenoriai, kaupiame matematikos ž inias ir iš visų jėgų stengiamės išmokti jomis naudotis. Kai kuriems tai patinka, daugumai – ne. O tada ka ž kuriuo metu beveik visi pasiduodame.

Retas kuris matematikos mokosi toliau. Praėjus keleriems metams, sunkiai įgyti įg ūd ž iai išnyksta ir lieka tik pagrindai. Be technologijų, pavyzd ž iui, mobiliojo telefono skaičiuotuvo (šiais laikais būtinos priemonės są skaitoms restorane padalinti), užtikrintai sudėti ir atimti gebame tik gana nedidelius skaičius, galbūt dar šiek tiek dauginti ar dalinti. Kiti įg ūd ž iai dingsta. Mums net gali išsivystyti matematikos baimė, ir imame visais būdais vengti bet kokio susidūrimo su skaičiais. Arba apie matematiką tiesiog galvojame kaip apie neįkandamą dalyką , kuris „tikrai ne man“.

Jei taip manote ir jūs, tikiuosi, kad ši knyga padės pakeisti nuomonę. Matematika, šis nepaprastas pasiekimas, priklauso visiems, nesvarbu, kaip gerai mokate – ar nemokate – skaičiuoti. Visi gauname naudos iš to, kaip žmogaus smegenys per tū kstantmečius įvaldė matematiką , ir visi turime teisę tuo naudotis, kad ir kokie būtų mūsų mokymosi pasiekimai. Kodėl iš jūsų turėtų būti atimta galimybė pamatyti, kad Newtono diferencialiniai ir integraliniai skaičiavimai grož iu prilygsta Tad ž Mahaliui, ir suž inoti, kodėl babiloniečių algebroje slypi tiek pat grož io, kiek kadaise slypėjo kabančiuosiuose Semiramidės soduose? Tinkamai vertinti matematiką reiškia ne tiesiog rasti atitikmen į tam, ką tradiciškai laikome grož iu, o veikiau suvokti, kaip sukūrėme dalykus, kuriuos suvokiame kaip gra ž ius. Kad ir kur pa ž velgtume į meną arba architektūrą , ar tai būtų vienas Vermeerio paveikslų, ar Stambulo Sofijos soboras, matome, kad juos sukurti padėjo matematika. Jos įtaka neapsiriboja vien estetiniais aspektais – su ja neatsiejamai susipynusi visa žmonijos istorija. Cristoforo’o Colombo’o kelionė į Ameriką priklausė nuo trikampių savybių suvokimo, o šiuolaikinis korporacijų pasaulis yra to, ką galima pasiekti įvald ž ius skaičius, rezultatas. Matematika yra skulptoriaus kaltas, suformavęs Renesansą , ir amunicija, lėmusi ištisus šimtmečius karinės sėkmės. Ji yra vertėja, leidusi bendra kalba nešnekantiems žmonėms vystyti abiem pusėms nauding ą prekyb ą , ir degalai, nuskraidinę

žmones į Mėnul į. Ji – kibirkštis, XX a. prad ž ioje pasaulyje įž iebusi elektrą , ir už kiekvieno senojo pasaulio valdovo sosto slypėjusi galia. Nenuostabu, kad Ūro karalius Šulgi prieš keturis tū kstantmečius buvo garbinamas dėl matematinių gebėjimų.

Nė vieno šių dalykų neišmokau mokykloje. Perpratau, kaip išlaikyti visus matematikos egzaminus ir kaip retkarčiais pritaikyti jos ž inias skaičiuojant automobilio pagreitį arba reikiamą jėg ą raketai į orbitą išsiųsti. Bet taip ir nesuvokiau, ką matematika reiškia mums kaip r ūšiai arba kaip ją išradome. Tačiau dar ne per vėlu. Vis dar galime matematikoje atrasti d ž iaugsmo ir prasmės, net jei praėjo keli dešimtmečiai nuo tada, kai pasidavėme ir nusprendėme nebesimokyti jos techninių smulkmenų.

Vis dar prisimenu, kada ir kur pasiekiau savo matematikos ribą : 1987 m. spal į sėdėjau Sasekso universiteto auditorijoje pietinėje Anglijos dalyje, ką tik pradėjęs fizikos bakalauro studijas. Tiksliai nepamenu dalyko, bet tai buvo pirma kurso apie sudėtingesnius matematinius metodus paskaita. Tema pasirodė tiesiog per sudėtinga, o kursas buvo neprivalomas, todėl išėjau. Jūs papasakotumėte kitokią istoriją , bet ka ž kuriuo metu visi išėjome iš savo paskutinės matematikos pamokos. Laimei, durys mums už nugaros taip ir neužsivėrė. Tad grįž kime.

ARITMETIKA

Kaip sukūrėme civilizaciją

Evoliucija žmogaus nesukūrė trokštančio skaičiuoti. Bet kai išradome skaičius ir aritmetiką, galiausiai tapome nuo jų priklausomi. Skaičiai žmones įgalino valdyti, rinkti mokesčius ir prekiauti tarpusavyje – taip atsirado galimybė gyventi didelėse viena nuo kitos priklausomose bendruomenėse. Galiausiai aritmetika ir jos kūriniai – trupmenos, neigiamieji skaičiai ir nulio sąvoka – tapo ekonominės ir politinės sėkmės varikliu: gebantieji perkąsti skaičius sprendžia darbuotojų, tautų ir net planetos likimą. O viskas prasidėjo nuo mąstymo šuolio iki skaičiaus 4.

XV a. pirmoje pusėje Medici’ių bankas buvo Florencijos pasidid ž iavimas, kėlęs pavydą visai Europai1. Jo sėkmės prie žastis paprasta: vyriausiasis apskaitininkas Giovanni’is Benci’is buvo apskaitos entuziastas, pedantiškai laikydavęsis protokolo. Jis kasmet atlikdavo visų banko padalinių apskaitos auditą , tikrindavo skolininkų finansinę padėtį ir mokėjimo įsipareigojimų nevykdymo tikimybę. Jei būtumėte vadovavę vienam banko padalinių ir sąskaitos nebūtų sutapusios, Benci’is būtų jus išsikvietęs ir sudraskęs į skutelius. Bet 1455 m. jis mirė, ir viskas sugriuvo.

Medici’ių banko darbuotojų nebesaistė Benci’io atsargumas, tad indėlininkams jie ėmė žadėti gerokai per dosnią grąžą , panašiai

kaip šių dienų bankai garantuoja 10 proc. grąžą bet kokiai investicijai. Toms garantuotoms palūkanoms sumokėti reikėjo pinigų, ir tai skatino toksišką skolinimosi politiką . Bankas siūlė paskolas su lupikiškomis palūkanomis, o Europos karaliai ir didikai, kuriems verkiant reikėjo pinigų savo karams finansuoti, sutiko su Medici’ių banko siūlymais, nė neketindami apmokėti skolų. Bankas neturėjo kaip užtikrinti paskolų grąžinimo, tad pinigai buvo prarasti. Na, o banko partneriai, užmetę akį į apskaitos knygas, išsipūtusias nuo žadėtų, bet niekada taip ir negautų mokėjimų, planuotą pelną , egzistavusį tik popieriuje, pasisavino asmeninėms reikmėms. Jų ekstravagantiškam gyvenimo būdui nebuvo ribų, ir banko rezervai ištuštėjo. 1478 m. Medici’ių bankas atsidūrė ties žlugimo riba. Jo įkūrėjo proanūkis Lorenzo’as de’Medici’is, kuriam grėsė asmeninis bankrotas, išsigelbėjo pasisavinęs banko klientų pinigus. Florencijos gyventojai įsiuto ir 1494 m. įsiveržę į Medici’ių r ūmus sudegino visus banko įrašus. Visą šimtmetį trukęs Europos kultūros, politikos ir finansų sostinės dominavimas išnyko kaip dūmas. Apskaitos gebėjimą keisti pasaul į istorija dar kartą pademonstravo per Prancūzijos revoliuciją . Galime atsekti, kad revoliucija pratr ū ko atleidus apskaitininką Jacques’ ą Neckerą , band ž iusį pataisyti netikusią Prancūzijos finansų sistemą ir suma ž inti nepakeliamą valstybės skolą . Bandydamas tai padaryti, jis atskleidė Prancūzijos karališkųjų r ūmų švaistūnišką išlaidavimą . Galiausiai valdantieji sluoksniai neapsikentė Neckero kišimosi, nes dėl jo reformų jų turtai sparčiai tirpo. Neckeras turėjo pasitraukti iš finansų ministro pareigų, bet įgijo ištikimų ir vald ž iai pavojingų gerbėjų būrį.

Istorikas François Mignet aprašo revoliucijos įsiplieskimo akimirką : karštakošis Camille’is Desmoulins stovi ant stalo su pistoletu rankoje2. „Piliečiai! Negalime gaišti!“ – sušunka jaunasis maištininkas. Desmoulins sako, kad Neckero atleidimas yra įžeidimas ir grėsmė kiekvienam patriotiškai nusiteikusiam Prancūzijos

piliečiui. „Liko tik viena išeitis – griebtis ginklų!“ Po šio vienijančio šū kio į gatves pasipila minios žmonių. Ant pečių jie nešasi atleisto apskaitininko biustus. Mignet rašo: „Kiekvienai krizei reikia lyderio, kurio vardas taptų jo partijos vėliava; kol Nacionalinis susirinkimas ginčijosi su karališkaisiais r ūmais, toks lyderis buvo Neckeras.“

Neckero kampanija buvo sutelkta į tai, ką retai laikytume revoliucijos objektu: jis norėjo subalansuoti są skaitas. Neckeras atkreipė dėmesį, kad Anglijos parlamentas paviešino visas savo są skaitas ir, nepaisant gausaus skolinimosi užsienio karams finansuoti, Anglijos finansinė padėtis yra gera. Jis buvo įsitikinęs, kad Prancūzija turėtų siekti tokio paties skaidrumo. Neckeras teigė, kad subalansuotos są skaitos yra dorõs, klestinčios, laimingos ir efektyvios vyriausybės pagrindas. Todėl jis ėmėsi paprastinti nenusakomą galybę Prancūzijos vyriausybės są skaitų knygų į vieną apskaitą , kurią būtų priž iūrėjęs pats. Ši mintis nesulaukė pripaž inimo vald ž ios sluoksniuose, bet buvo itin populiari tarp tų, kurie vald ž iai nepriklausė. Todėl, kaip įvardijo istorikas Jacobas Sollas, „Prancūzijos revoliucija iš dalies prasidėjo dėl vald ž ios atskaitomybės ir tikslių skaičių“.3 Finansų sistemų užsienio šalims pavydėjo ne tik Prancūzija; Jungtinių Valstijų ekonomikos ramsčiai – mokestinės pajamos, doleris ir centrinis bankas – iš esmės buvo nukopijuoti nuo olandų ir anglų bankininkystės praktikos. Tuo metu Amerika neturėjo bankų ir skendėjo skolose. 1781 m. Alexanderis Hamiltonas sakė, kad bankai yra „laimingiausi kada nors išrasti varikliai prekybai skatinti“4. Jo manymu, išsilaisvinti iš britų jungo pavyks perpratus ir ėmus valdyti są skaitas. „Tikslą pagaliau pasieksime ne laimėdami kovas, o sutvarkę savo finansų sistemą – atkūrę valstybės kreditą , – sakė jis. – Did ž ioji Britanija garsiems ir sėkmingiems karams skirti begalinius resursus iš dalies galėjo dėl tokio sukaupto kredito. Vien dėl šios prie žasties dabar ji kelia grėsmę mūsų nepriklausomybei.“

Kaip pirmasis iždo sekretorius Hamiltonas ėmėsi visų reikiamų priemonių ir ištraukė ką tik susikūrusias Jungtines Valstijas iš bankroto liūno. Dėl jo finansinio sumanumo 1803 m. JAV buvo sukaupusi pakankamai iždo obligacijų, kad galėtų iš Prancūzijos nusipirkti Luizianos teritoriją ir taip padvigubinti Amerikos plotą . Galbūt miuziklu „Hamiltonas“ žavitės kaip įamž inančiu vieną Jungtinių Valstijų įkūrėjų, bet ekonomikos istorikus jis žavi kaip odė fiskaliniam apdairumui. O matematikams šis kūrinys simbolizuoja galią , įgaunamą įvald ž ius skaičius.

Mokymasis skaičiuoti

Neturėtume matematikos laikyti savaime suprantamu dalyku. Š iuolaikinis žmogus ( homo sapiens  – „protingasis žmogus“) egzistuoja jau 300 tū kst. metų ir yra rasta bent 100 tū kst. metų datuojamų žmogaus gamintų dirbinių. Tačiau seniausiam patikimam žmonių gebėjimą skaičiuoti įrodančiam objektui tėra ma ž daug 20 tū kst. metų. Tai Išango regione (dab. Demokratinė Kongo Respublika) rastas Išango kaulas, kurio paviršiuje matomos ilgos eilutėmis įrė žtos įrantos, sugrupuotos į tris stulpelius, kurių kiekvienas dar kartą padalytas į atskiras grupes. Nors tiksliai ž inoti negalime, per toli nenuklystume teigdami, kad vienas br ū kšnelis ž ymi k ą nors į vykus vieną kartą . Pa ž velgus į visumą , įrantos primena skaičiavimo sistemą , skirtą Mėnulio ciklams apskaičiuoti 5 . Šis kaulas išraiž ytas palyginti neseniai, todėl galima daryti prielaidą , kad skaičiavimas yra gana vėlai įgytas įg ūdis, o ne neišvengiamas protavimo rezultatas. Jūsų galvoje esančios smegenys yra kone tokios pat kaip buvusios pirmųjų homo sapiens kaukolėse. Atrodo, did ž iąją mūsų r ūšies istorijos dal į protingasis žmogus nė nesivargino perprasti skaičių.

Tačiau vos tik perkandome skaičius, pranašumai tapo akivaizdūs. Dėl to turbūt nė nepamenate, kaip mokėtės skaičiuoti. Daugumoje žmonių kultūrų skaičiavimas yra toks vertingas įg ūdis, kad jo mokytis veikiausiai pradėjote dar tada, kai jūsų smegenyse nesiformavo ilgalaikiai prisiminimai. Ir galiu la ž intis, kad skaičiuoti mokėtės pirštais6.

Apie skaičiavimą pirštais pirmą kartą rimtai susimą sčiau paž iūrėjęs akiplėšišką Quentino Tarantino’o filmą apie karą „Negarbingi šunsnukiai“ (neskaitant to karto, kai susigėdau supratęs, kad viešoje vietoje, prekybos centre, pirštais skaičiuoju vakarienės atvyksiančius svečius). Filme r ūsyje įsikūrusiame bare vykstančioje scenoje veikėjas britas apsimeta vokiečiu. Jis nurodo barmenui atnešti tris viskio iškeldamas rodomąjį, did įjį ir bevard į pirštus. Prie to paties stalelio sėdintis vokiečių karininkas iš karto supranta, kad jo kaimynas – apsimetėlis. „Ką tik išsidavėte, kapitone“, –ištaria jis. Vokiečiai vienetą nurodo nykščiu, todėl vokietis, norėdamas užsisakyti tris gėrimus, būtų iškėlęs nykštį ir du pirmuosius pirštus7. Azijoje žmonės pirštais skaičiuoja kitaip. Indijoje augusi mano draugė Sonali skaičiuoti išmoko naudodama atskiras pirštų dalis. Prekybininkai Indijos Maharaštros valstijoje skaičiuoja dar kitaip8. Jie, kaip ir vokiečiai, pradeda nuo nykščio, bet suskaičiavę iki penkių iškelia kitos – da žniausiai dešinės – rankos nykštį, taip parodydami, kad pasiekė vieną „penketą“. Kairės rankos pirštai sulenkiami ir nykštys vėl iškeliamas nurodant šešetą . Įsivaizduokite turintys verslo reikalų su prekybininku iš Maharaštros. Iš prad ž ių veikiausiai jaustumėtės sutrikę, bet netrukus suprastumėte, kiek jūsų prašoma sumokėti, ir kalbos nė neprireiktų. Skaičiavimas pirštais suteikia galimybę užsiimti prekyba nemokant rašyti ar kalbėti bendra kalba. Tereikia, kad abi pusės ž inotų, apie kokią valiutą kalbama, ir suprastų skaičių reikšmę, jiems didėjant nuo vieneto iki šimtų ir tū kstančių.

Būtent todėl išmokti pirštais rodomų ženklų buvo itin svarbu kone visiems senųjų civilizacijų gyventojams. Net labiausiai atsiskyrusios bendruomenės mainydavosi prekėmis su pro šalį keliaujančiais prekeiviais, su kuriais nebūtinai galėdavo susišnekėti bendra kalba. IV a. pr. Kr. raštuose Aristofanas mini, kad senovės Graikijoje ir Persijoje skaičiavimas pirštais buvo įprasta praktika. Romėnų rašytojo Kvintiliano teigimu, teisininkas, puikiai nemokantis pirštų ženklais nurodyti skaičių, užsitrauktų gėdą . Actekų piešiniuose vaizduojami pirštais ženklus rodantys vyrai, o Viduramž ių Europoje skaičiuoti pirštais buvo taip populiaru, kad pripa ž intame 1494 m. Lucos Pacioli’io matematikos vadovėlyje „Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportiono e Proportionalita“ (Apie aritmetiką, geometriją, proporciją ir proporcingumą) pateikiamas išsamus iliustruotas šio meno vadovas. Net ir XVIII a. vokiečių nuotykių ieškotojas Carstenas Niebuhras rašo apie Azijos turgaus prekeivius, kurie slapta tardamiesi graibsto vienas kitam už įvairiomis kombinacijomis sudėtų pirštų. Kad niekas kitas nematytų, jie tai daro rankas paslėpę plačiose rankovėse arba po plačiu aplink riešus apvyniotu audeklu.

Skirtingose kultūrose skaičiai visada būdavo nurodomi skirtingai, todėl verslo gudrybių besimokantys studentai turėdavo kruopščiai įvaldyti rankų gestus. Kad būtų lengviau įsiminti, poetai ir mokytojai kurdavo rimuotus eilėraščius ir aforizmus, tokius kaip šis iš senojo arabų pasaulio: „Khalidas išvyko su 90 dirhamų, o grįžęs teturėjo trečdal į.“ Nors mums šis posakis neatrodo itin naudingas, arabų kultūroje skaičius 90 būdavo perteikiamas rodomąjį pirštą sulenkus prie pat nykščio pagrindo. Trečdalis nuo 90 yra 30, o skaičius 30 nurodomas suformuojant daug platesnį apskritimą – rodomojo piršto galiuku prilietus nykščio galiuką . Minėtu posakiu norima pasakyti, kad Khalidas buvo ne tik apiplėštas, bet ir tapo sodomijos auka. Įtariu, kad dabar šiuos senovinius ženklus, reiškiančius 90 ir 30, įsiminėte visam gyvenimui.

Pirštų ženklai yra tokie populiar ūs iš dalies dėl tos pačios priežasties, dėl kurios žmonės, suvokę skaičių svarbą , juos perprato. O prie žastis tokia: per pirmuosius penkerius gyvenimo metus žaid ž iant, eksperimentuojant ir mėgd ž iojant mūsų smegenyse išsivysto vadinamasis pirštų suvokimas – arba gnosis. Tai yra gebėjimas justi ir naudoti kiekvieną pirštą atskirai. Po kurio laiko smegenyse susiformuoja vidinis pirštų žemėlapis, kuris praverčia pradėjus mokytis skaičiuoti9. Pirštai nuostabūs tuo, kad galima juos matyti, jausti ir judinti. Jie suskirstyti į du rinkinius po penkis ir kiekvieną jų galime sulenkti skirtingais būdais. Jei turėtumėte sukurti įrankį, leid ž iantį prieš jus esančių objektų grupei priskirti sąvoką kiek?, būtų sunku sugalvoti ką nors geresnio už savo pačių pirštus.

Smegenų magnetinio rezonanso tyrimų rezultatai rodo, kad daugumai mūsų gavus matematin į uždavin į, pavyzd ž iui, iš vieno skaičiaus atimti kitą , į darb ą kimba ta pati smegenų sritis, kuri atsako už pirštų suvokimą . Jei skaičiai dideli, tų smegenų grandinių įsitraukimas matomas dar aiškiau. Įdomu tai, kad jei jums ypač gerai sekasi atimtis, už pirštų suvokimą atsakinga smegenų sritis nebūna itin aktyvi, kitaip tariant, išspaud ž ia vos lašel į prakaito. Tačiau verta paminėti ir tai: jei vaikystėje nebuvote skatinami žaisdami naudoti pirštų (ypač dainuojant tokias daineles kaip „Viru viru košę“ ar „Varna Veronė“), gali būti, kad skaičių taip niekada ir neperkandote10. Jūsų smegenyse jie tiesiog bus pateikiami ne taip pat, kaip kitiems žmonėms. Tai viena prie žasčių, kodėl kai kuriems iš mūsų nesiseka matematika. Kai skaičiai tampa ranka pasiekiami, gali atrodyti akivaizdu, kad kitas ž ingsnis – imti juos užrašinėti. Bet jei neprivalėjome pradėti naudotis skaičiais, tikrai neprivalėjome ir pradėti jų užrašinėti. Juk prekyba vyko čia ir dabar, derantis akis į akį ir iš karto perduodant prekes ar suteikiant paslaugas, todėl nebuvo jokio reikalo ž ymėtis visų operacijų. Tad kodėl sukūrėme rašytinius

skaitmenis? Užrašius skaičius tapo įmanoma prognozuoti dangaus reiškinius, galinčius turėti religinę reikšmę, pavyzdž iui, Mėnulio ciklus ar Saulės užtemimus. Arba kurti atsargų ir už jas sumokėtų kainų aprašus, užfiksuoti pa žadus pirkti ir parduoti tam tikru metu ateityje. Veikiausiai užrašinėti skaičius pradėta atliekant religines apeigas, bet tai taip pat leido neįtikėtinai ištobulinti prekybos procesus. Kad ir kokios buvo prie žastys, jos tiesiogiai prisidėjo prie šiandienos gerovės. Apskaitos revoliucija

Negalime tiksliai ž inoti, kas buvo pirmieji žmonės, pradėję fiksuoti skaičius; galbūt Išango kaulas buvo išraiž ytas gerokai vėliau, nei prasidėjo žmonijos matematinė kelionė. Tačiau dėl dviejų dalykų abejonių nekyla. Pirma, skaičiai buvo ž ymimi daugybe skirtingų būdų: nuo įrantų ant kaulų, inkų mazgų, babiloniečių ženklų molio lentelėse ar egiptiečių rašalu ant papiruso rašytų simbolių iki XX a. elektros impulsų mikroschemose. Antra, naujasis gebėjimas tvarkyti finansų apskaitą buvo revoliucinis. Galbūt apskaita jums tėra nuobodi užduotis ir d ž iaugiatės, kai kas nors ją atlieka už jus, bet atsiradus apskaitai žmonijos kultūra pakrypo nauja linkme.

Seniausiems komercinės apskaitos įrodymams yra ma ždaug 4 tū kst. metų: tuomet Mesopotamijos prekeiviai ėmė registruoti susitarimus parduoti avis. Kiekvieną sandorį jie ž ymėdavo molio kamuoliuku. Kamuoliukus sudėję į tuščiavidurį rutul į, ant jo paž ymėdavo, kiek kamuoliukų yra viduje, ir rutul į išdegdavo, kad niekas įrašo nepakeistų. Taip būdavo apsidraud ž iama, kad nepasimirštų – tyčia ar netyčia, – kas buvo sutarta.

Vėliau ši sistema virto paprastesniais įrašais – ž ymėmis ant išdegtos molio lentelės. Tapo lengva patikrinti, kas buvo sutarta, nupirkta, parduota ar sumokėta. Tuo metu žmonės ėmė suprasti,

kad gebėjimas tvarkytis su skaičiais padeda ne tik prekyboje –skaičiai gali suteikti ir galios.

2074 m. pr. Kr. pasaulio regione, kurį dabar žinome kaip pietvakarin į Iraną , Ūro karalius Šulgi įkūrė, pasak mokslininkų, pirmąją „matematinę valstybę“11. Pirmiausia jis įvykdė karinę reformą , o paskui – administracinę. Ūro raštininkams teko kurti sudėtingas ataskaitas visais karalystės klausimais. Dirbančių Ūro gyventojų priž iūrėtojai mums paliko įrašų apie išdirbtas valandas, ligas, praleistas darbo dienas, paskolintų ir pasiskolintų vergų efektyvumą . Jei priž iūrėtojai negalėdavo įrodyti, kad kiekvieną mėnesį (neatsiž velgiant į mėnesio dienų skaičių) iš kiekvieno darbuotojo išspaudė po 30 dienų darbo, už tr ū kstamą dal į turėdavo sumokėti valstybei. Jei priž iūrėtojas-raštininkas mirdavo įsiskolinęs, skola pereidavo jo šeimai. Karaliaus Šulgi apskaitos sistema rėmėsi stebinančiu principu – ji turėjo užtikrinti, kad būtų kuo lengviau išaiškinti norinčiuosius apgauti valstybę. Pasirodo, tikrasis civilizacijos lopšys yra auditas.

Jei sutartume, kad Ūras buvo pirmoji matematinė valstybė, Šulgi galėtume laikyti pirmuoju matematikos dievu. Dvidešimt trečiaisiais valdymo metais jis pasiskelbė turįs dieviškų galių. Nuo to laiko pavaldiniams nurodyta jį garbinti ir liaupsinti jo dieviškąsias savybes – ypač matematin į meistriškumą . Yra išlikusių himnų, giedotų Šulgi garbei; tikriausiai viena jo dieviškųjų savybių buvo intensyvios matematikos studijos „lentelių namuose“, kur jis išmoko sudėti, atimti, skaičiuoti ir tvarkyti apskaitą .

Matematikai skirtas dėmesys Šulgi valstybei atnešė tiek naudos, kad per vieną kartą matematika tapo labiausiai vertinama meno forma ir neatsiejamu raštininko mokslų elementu. III ir II tū kstantmečių pr. Kr. sandūroje išsilavinęs raštininkas galėjo skaityti ir rašyti šumerų bei babiloniečių kalbomis, nusimanė apie muziką ir matematiką . Matematika, apie kurią čia kalbame, buvo ne apskaitininkų atliekami praktiniai skaičiavimai,

o manipuliavimas skaičiais sprend ž iant neįtikėtinai sudėtingus –ir iš pirmo ž vilgsnio beverčius – uždavinius. Iš esmės reikėdavo spręsti tokias m įsles kaip ši: „Sudėjęs skritulio perimetrą , skersmen į ir plotą gavau 115.“ Raštininkas turėdavo rasti spindulį12. Tokia matematika dėl matematikos buvo laikoma viena iš dorybių. Tik puikiai ją įvaldęs išsilavinęs raštininkas galėjo save laikyti nam-lú-ulu (šumerų kalba tai reiškė „buvimo žmogumi są lyga“) meistru. Kitaip tariant, matematikos mokymas pirmiausia įsitvirtino humanitarinių mokslų programoje.

Nestebina, kad esame radę dešimtis tū kstančių senovinių molio lentelių, kuriose užfiksuotos ne vien są skaitos. Dauguma lentelių naudotos atliekamiems matematiniams skaičiavimams palengvinti: daugybos lentelės, dalybos pagalbinės priemonės, skaičių kvadratų (rezultatų, gautų padauginus skaičių patį iš savęs) ir, atvirkščiai, kvadratinių šaknų sąrašai. Molyje įrė žta, kaip elgtis su trupmenomis bei algebra, ir užfiksuota tokių geometrijos sąvokų kaip apytikslė skaičiaus π reikšmė ar šaknis iš dviejų. Šių priemonių ir metodų svarbą aptarsime kituose skyriuose; kol kas pakanka pasakyti, kad už gimus reiškiniui, kurį vadiname civilizacija, skaičiai visuomenėje užėmė labai svarbią vietą .

Skaičiai, kuriais galėjai pasitikėti, suteikė išskirtinės galios. Šulgi suprato matematikos naudą , tad dėl to – bent iš dalies – jo karalystės ribos neregėtai išsiplėtė. Jis užbaigė tėvo pradėtą statin į – did įjį Ūro zikuratą , sukūrė platų kelių tinklą ir priž iūrėjo besiplečiančią prekybos su arabų bei Indo slėnio civilizacijomis imperiją . Visa tai tapo įmanoma ne todėl, kad buvo išrasti tam tikri matematiniai skaičiavimai, o dėl to, kad jie buvo pritaikyti politiniais tikslais. Netrukus tokios praktikos imtasi ir kituose kraštuose.

Galbūt per daug žavimės babiloniečių ir šumerų matematikos ž iniomis vien dėl to, kad savo kasdien į gyvenimą jie fiksavo molio lentelėse ir mums paliko daugybę lengvai pasiekiamų radinių.

Mūsų pasakojime apie tai, kad matematika visada buvo įausta į

bet kurios civilizacijos audin į, per menkai atstovaujama visuomenėms, kuriose vyravo žodinė tradicija. Viena jų – Vakarų Afrikos akanų tauta. Ikikolonijiniais laikais prekybai naudotam auksui sverti akanai pasitelkdavo sudėting ą matematinę sistemą . Ji veikė dvejopai: viena jos versija buvo skirta skaičiuoti pagal arabų ir portugalų svorio sistemas, o kita atitiko olandų ir britų svorio matus. Mokslininkai, kurie pasitelkę įvairiuose pasaulio muziejuose saugomus radinius galų gale išsiaiškino, kaip ši sistema veikė, teigia ją buvus tokią neįtikėtinai sudėting ą , kad jai vertėtų suteikti

UNESCO pasaulio paveldo statusą13.

Tad visai nestebina, kad vergus plukd ž iusių laivų kapitonai, sudarinėję sandorius su Afrikos vergų prekeiviais, juos vadino „puikiais matematikais“14. Viename pasakojime dėstoma: „Vienas tokių tarpininkų turi parduoti gal dešimt vergų ir už kiekvieną jų reikalauja dešimties skirtingų sumų. Jis iš karto savo galvoje tas sumas paverčia luitais, monetomis ir uncijomis, atsiž velgdamas į mainų priemonę, naudojamą toje šalies dalyje, kurioje gyvena, ir pasako sumą .“ Tai, kad naudojimosi šia skaičiavimo sistema nurodymai buvo perduodami tik iš lūpų į lūpas, rodo ją buvus dar įspūdingesnę, tačiau tai taip pat reiškia, kad prekyba vergais šią sistemą sunaikino. Neįmanoma suskaičiuoti, kiek puikių matematikų buvo išplukdyta į Europą , Karibų jūros regioną ir abu Amerikos žemynus, kur jie niekada nebepanaudojo savo ž inių. Todėl gilios Afrikos matematikos tradicijos niekada nebuvo tinkamai įvertintos, galbūt išskyrus tarpusias Egipte.

Trupmeniniai pasiekimai

Kaip galima spręsti iš pavadinimo, knyga „Nurodymai, kaip pažinti visus tamsius dalykus“ yra tiesiog nuostabi. Skamba lyg tomas, kurį galėtum užtikti rūsyje įsikūrusiame drėgname okultinių

leidinių knygyne, tarsi dvasių iškvietimo piktavališkais tikslais vadovas. Tačiau taip nėra. Tai senovės Egipto matematikos vadovėlis. Vakaruose jis geriau ž inomas kaip Rhindo papirusas, taip pavadintas pagal škotų teisininką , kuris ma ždaug 1858 m. jį įsigijo Tėbuose. Did ž ioji papiruso dalis (visas dokumentas buvo apie 18 pėdų ilgio) saugoma Britų muziejuje Londone. Kita dalis laikoma Niujorko istorijos draugijos muziejuje. Prieš ma ždaug pusketvirto tū kstančio metų jį visą parašė Egipto raštininkas vardu Ahmos („gimęs iš Mėnulio“). Jis šį dokumentą sukūrė nukopijavęs tū kstančio metų senumo tekstą , kuriame buvo išdėstytos Egipto dvasininkų matematinės gudrybės.

Senovės Egipto karalystė buvo priklausoma nuo skaičiavimų, susijusių su kasmetiniais Nilo potvyniais. Inž inieriai tikrindavo upės gylio matuoklius ir pranešdavo apie vandens pakilimo lyg į. Astronomai-dvasininkai pildydavo kalendorius, kad gyventojai galėtų pasiruošti Sirijaus pasirodymui – dienai, kai ši ž vaig ždė Žemės atž vilgiu nuo Saulės nutolsta pakankamai toli, kad ją vėl būtų galima matyti. Tai būdavo paskutinė pasiruošimo kanalams gilinti ir pylimams taisyti diena.

Atlikę skaičiavimus, egiptiečiai kylantį Nilo vanden į galėdavo tiksliai nukreipti kanalais į žemdirbystės plotus, kad dirvožem į padengtų derlingos sąnašos. Kai vanduo įsigerdavo į žemę arba jį nukreipdavo atgal į pagrindinę upės vag ą , būdavo galima pradėti naują žemdirbystės sezoną , tačiau pirmiausia žemę padalydavo ir perskirstydavo.

Besiver ž iantis vanduo nuplaudavo visas ribas ir ž ymas, todėl raštininkai turėdavo saugoti įrašus, kiek žemės konkretus ū kis išdirbo praėjusiais metais. Tuomet valdininkai paskirdavo atitinkamą naujai patręštos žemės dal į, apskaičiuotą pasitelkus metodus, kurie dabar mums atrodo gana paprasti. Gali būti, kad senovės egiptiečiams tie metodai taip pat buvo elementar ūs, tačiau jie tikrai laikyti pakankamai svarbiais, nes raštininkai reguliariai

perkopijuodavo blunkančius dokumentus, kuriuose buvo aprašytas visas procesas.

Did ž iojoje Rhindo papiruso dalyje iš esmės aprašomi trupmenų skaičiavimo pradmenys. Galbūt nustebsite išgirdę, kad trupmenos buvo sukurtos ne moksleiviams kankinti; jos buvo būtinos norint valdyti krašto ekonomiką . Civilizacijai, kuriai reikėjo ž inoti, kiek gr ūdų yra cilindro formos saugykloje, ar įgyvendinti vald ž ios norus, susijusius su žemės, maisto ir atlygio padalijimu, nepakako natūraliųjų skaičių, apie kuriuos kalbėjome iki šiol.

Per natūraliuosius, arba sveikuosius, skaičius mūsų smegenys aplinkoje esančius objektus sugretina su abstrakčiomis vieneto, dvejeto ir t. t. sąvokomis ir, prireikus pritaikyti šiuos dyd ž ius, tas sąvokas susieja su pirštais (kurie, jei mums pasiseka, smegenyse egzistuoja virtualia forma). Trupmenos kitokios. Tai yra priemonė, skirta natūraliesiems skaičiams padalyti, lyginant juos tarpusavyje. Be to, natūraliųjų skaičių trupmenos yra sudėtingos – mintis apie jas g ą sdina smegenis, nepritaikytas įsivaizduoti tokių dalykų.

Jei mokykloje trupmenos jums atrodė sunkiai įkandamos, jūs tokie ne vieni. Su jumis sutiktų, pavyzdž iui, ir Leonardo’as da Vinci’is. Nepaisant visų did ž ių jo pasiekimų meno, išradimų ir astronomijos srityse, su trupmenomis jis buvo beviltiškas15. Jo užrašuose atsiskleid ž ia žmogus, klumpantis kaskart prireikus dauginti ar dalyti iš trupmenų. Pavyzdž iui, da Vinci’is negalėjo patikėti, kad sveikąjį skaičių padalijus iš vieneto dalies (pvz., 2/3) gaunamas už jį didesnis skaičius16.

Mūsų švietimo sistema da Vinci’iui tikrai būtų sukėlusi problemų. Pagal JAV mokyklų mokymo programą mokiniai turėtų perprasti trupmenas iki 12 ar 13 metų amž iaus ir gebėti sudėlioti jas, pavyzd ž iui, 1/2, 5/9 ir 2/7, didėjimo tvarka. Ar jūs sugebėtumėte?

Daugumai dvylikamečių ir trylikamečių nepavyksta.

Štai dar viena užduotis: kuris skaičius artimiausias 12/13 ir 7/8 sumai: 1, 2, 19 ar 21? Trys ketvirčiai 12 ir 13 metų JAV moksleivių

pateikia klaiding ą atsakymą17. Da žniausia klaida – skaitiklius ir vardiklius (viršutinius ir apatinius skaičius) sudėti atskirai, kitaip tariant, elgtis su jais kaip su natūraliaisiais skaičiais. Tai nestebina: iki šiol būtent to buvote mokomi. Tačiau iš tiesų turėtumėte skaičiuoti apytiksliai (abi trupmenos – 12/13 ir 7/8 – yra artimos vienetui, todėl jų suma bus artima dvejetui) arba subendravardiklinti trupmenas ir tada sudėti jų skaitiklius. Pradėjęs apie tai galvoti supranti, kad trupmenos negailestingos. Jau matėme, kad gebėjimas suvokti natūraliuosius skaičius yra sunkiai iškovota pergalė, o susidūrę su trupmenomis turime visa tai pamiršti18.

Kad ir kokios trupmenos būtų sudėtingos, civilizacijos viena po kitos suprato, kad dėl jų verta pasistengti. Pirmiausia, ma ždaug 2000 m. pr. Kr., tai suprato babiloniečiai, po jų – egiptiečiai, Indo slėnio gyventojai, graikai ir kinai. Jei nesuklydau skaičiuodamas, išeitų, kad r ūšis, egzistuojanti 300 tū kst. metų, trupmenas naudoja tik (labai apytiksliai) paskutinę šimtąją savo gyvavimo laikotarpio dal į. Jei vis dar nebuvote įtikinti, kad net pačioje paprasčiausioje matematikoje nėra nieko į gimto ar natūralaus, štai jums įrodymas.

Norint sukurti apskaitą , vedusią prie dabar mums įprastos civilizacijos, reikėjo dar dviejų matematinių naujovių: neigiamųjų skaičių ir nulio sąvokos. Nors dabar šios sąvokos visiškai įprastos, abi idėjos buvo itin kontroversiškos ir dabartinei padėčiai užsitarnauti joms prireikė kelių šimtmečių.

Neigiamųjų skaičių poreikis

Tiesiog neįtikėtina pagalvojus, kad atimties veiksmą naudojome tū kstančius metų dar tada, kai niekas negalėjo atsakyti į klausimą , kiek gausime iš vieneto atėmę dvejetą . Bet vėlgi kaltos mūsų

smegenys. Mes paprasčiausiai negalime įsivaizduoti minus vieno obuolio, todėl negebame iš prigimties suprasti neigiamųjų skaičių. Tai dar vienas did ž iulis šuolis, išrasta visiškai nauja sąvoka. Tačiau, kaip ir su trupmenomis, neigiamieji skaičiai buvo per naudingi, kad jų neišrastume.

Atsekti neigiamųjų skaičių istoriją sudėtinga. Maždaug 300 m. pr. Kr. senovės indų mokytojo Kautiljos parašytame veikale „Arthašastra“ matyti, kad indų apskaitos sistemos buvo gana sudėtingos ir apėmė tokias sąvokas kaip turtas, skola, pajamos, išlaidos, pelnas, be to, esama tam tikrų įrodymų, kad indų apskaitininkai skoloms ž ymėti jau tuo metu galėjo naudoti neigiamuosius skaičius. Knygoje „Devyni skyriai apie matematikos meną“, arba kiniškai „Jiuzhang Suanshu“, skaičiuota naudojant neigiamuosius skaičius. Nėra aišku, kada šis veikalas pasirodė (spėjama, veikiausiai tarp 200 m. pr. Kr. ir 50 m.), bet jame aprašomi teigiamuosius skaičius ž ymėję raudoni, o neigiamuosius – juodi br ūkšneliai. Tačiau, nepaisant aritmetinio neigiamųjų skaičių panaudojimo, šioje knygoje negalėta susitaikyti, kad jie gaunami atliekant tam tikrus veiksmus, pavyzdžiui, sprendžiant lygtis. Matyt, tai buvo grynai praktinė priemonė, naudota tik mainų ir prekybos srityse.

628 m. indų matematikas Brahmagupta taip pat iškėlė idėją , kad skolą galima nusakyti neigiamuoju skaičiumi. Jis net sukūrė daugybos (sandaugos) ir dalybos (dalmens) taisykles, skirtas veiksmams su teigiamaisiais (turtu) ir neigiamaisiais (skola) skaičiais:

Dviejų turtų sandauga arba dalmuo lygus turtui.

Dviejų skolų sandauga arba dalmuo lygus turtui.

Skolos ir turto sandauga arba dalmuo lygus skolai.

Turto ir skolos sandauga arba dalmuo lygus skolai.

Kalbant šių laikų sąvokomis, jis sako:

Teigiamąjį skaičių padauginus ar padalijus iš teigiamojo, gaunamas teigiamasis skaičius.

Neigiamąjį skaičių padauginus ar padalijus iš neigiamojo, gaunamas teigiamasis skaičius.

Neigiamąjį skaičių padauginus ar padalijus iš teigiamojo, gaunamas neigiamasis skaičius.

Teigiamąjį skaičių padauginus ar padalijus iš neigiamojo, gaunamas neigiamasis skaičius.

Galbūt šias taisykles ž inote kaip „minus kart minus lygu plius“ arba „minus plius minus lygu plius“.

Akivaizdu, kad tuo metu indų apskaitininkui neigiamieji skaičiai nepatogumų nebekėlė. Tačiau Vakarų pasaulyje viskas vyko kur kas lėčiau. Problema ta, kad Vakarai matematikos ž inias perėmė iš graikų, o šie buvo apsėsti natūraliųjų skaičių. Jie gebėjo skaičius suporuoti į trupmenas, bet kad ir kokios ma žos jos būdavo, niekada netapdavo neigiamos.

Vakaruose neigiamieji skaičiai pirmą kartą nedrą siai tyrinėti 1202 m. parašytoje knygoje „Liber Abaci“ (Skaičiavimų knyga).

Galbūt jos autorius jums bus girdėtas – Fibonacci’is. Tai nebuvo tikrasis jo vardas – šešiais amž iais vėliau jį sugalvojo vienas biografas. Bet Leonardo’as da Pisa išties buvo Guglielmo’o Bonacci’io sūnus (iš čia ir radosi fi (sūnus) Bonacci), ir šis vardas taip prilipo, kad dabar yra tapęs vienu garsiausių vardų matematikos pasaulyje. Pirmaisiais karjeros metais Fibonacci’is dirbo Italijos muitinės pareig ūnu Alž yre. Kartu su tėvu keliaudamas į tokias vietas kaip Sirija ir Egiptas, jis gana anksti susipažino su itališkajai tradicijai nepaklūstančia matematika ir atrado įvairių veiksmų bei idėjų, kurios atrodė radikalios, revoliucinės, o kartais tiesiog naudingos. Knygoje „Liber Abaci“ yra daugybė matematinių išradimų, galvosūkių, sprendinių ir įdomybių; tarp jų ir taisyklės (pagrįstos skaičiavimais, kaip greitai augs nekontroliuojama triušių populiacija),