RNDr.MarieBud´ıkov´a,Dr., Mgr.MariaKr´alov´a,Ph.D.,
Doc.RNDr.BohumilMaroˇs,CSc.
Pr ˚ uvodcez´akladn´ımistatistick´ymimetodami
VydalaGradaPublishing,a.s. UPr˚uhonu22,17000Praha7 tel.:+420234264401,fax:+420234264400 www.grada.cz jakosvou4147.publikaci
Autorsk´ykolektiv:
RNDr.MarieBud´ıkov´a,Dr.–kapitoly1,2,3,8,13,14,15,16,17,18
Mgr.MariaKr´alov´a,Ph.D.–kapitoly4,5,6,7,9,10
Doc.RNDr.BohumilMaroˇs,CSc.–kapitoly11,12,19,20,21
Odborn´arecenzentka:
Doc.Ing.EvaJaroˇsov´a,CSc.
Vyd´an´ıodborn´eknihyschv´alilaVˇedeck´aredakcenakladatelstv´ıGradaPublishing,a.s. Odpovˇedn´yredaktorPetrSomogyi SazbaMgr.DavidHampel,Ph.D. Poˇcetstran272 Prvn´ıvyd´an´ı,Praha2010 VytisklyTisk´arnyHavl´ ı ˇ ck˚uvBrod,a.s. Husovaulice1881,Havl´ ı ˇ ck˚uvBrod
c ⃝ GradaPublishing,a.s.,2010
CoverPhoto c ⃝ fotobankaallphoto
ISBN978-80-247-3243-5
Upozornˇen´ ı Vˇsechnapr´avavyhrazena. ˇ Z´adn´a ˇ c ´ astt´etopublikacenesm´ıb´ytreprodukov´anaapouˇ z ´ ıv ´ anavelektronick´epodobˇe,kop´ırov´anaanahr´av´anabezpˇredchoz´ıhop´ısemn´ehosouhlasunakladatele.
1Z´akladn´ı,v´ybˇerov´yadatov´ysoubor13
1.1Z´akladn´ıav´ybˇerov´ysoubor,absolutn´ıarelativn´ ı ˇ cetnost
1.2Vlastnostirelativn´ ı ˇ
1.3Podm´ınˇen´arelativn´ ı ˇ cetnost...............................15
1.4 ˇ Cetnostn´ınez´avislostdvoumnoˇzinvdan´emv´ybˇerov´emsouboru............16
1.7Jevajehoabsolutn´ıarelativn´ ı ˇ cetnost..........................18
2Bodov´eaintervalov´erozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ı21
2.1Jednorozmˇern´ebodov´erozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ı........................21
2.2Dvourozmˇern´ebodov´erozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ı........................24
2.3Jednorozmˇern´eintervalov´erozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ı......................28
2.4Dvourozmˇern´eintervalov´erozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ı......................33
2.5Dvourozmˇern´yteˇckov´ydiagram.............................36
3 ˇ C´ıseln´echarakteristikyznak ˚ u39
3.1Typyznak˚u.......................................39
3.2 ˇ C´ıseln´echarakteristikynomin´aln´ıchznak˚u.......................40
3.3 ˇ C´ıseln´echarakteristikyordin´aln´ıchznak˚u........................41
3.4 ˇ C´ıseln´echarakteristikyintervalov´ychznak˚u.......................42
3.5Charakteristikypomˇerov´ychznak˚u...........................46
3.6V´aˇzen´e ˇ c ´ ıseln´echarakteristiky..............................47
3.7Poˇcetn´ıpravidlapro ˇ c ´ ıseln´echarakteristiky.......................48
4N´ahodn´ejevyajejichpravdˇepodobnosti51
4.1N´ahodn´ejevy......................................51
4.2Pravdˇepodobnost....................................53
5Stochastickynez´avisl´ejevyapodm´ınˇen´apravdˇepodobnost59
5.1Nez´avisl´ejevy......................................59
5.2Podm´ınˇen´apravdˇepodobnost..............................60
6N´ahodn´eveliˇciny69
7N´ahodn´evektory81
8Vybran´arozloˇzen´ıdiskr´etn´ıchaspojit´ychn´ahodn´ychveliˇcin89
8.1Alternativn´ırozloˇzen´ı..................................89
8.2Binomick´erozloˇzen´ı...................................90
8.3Geometrick´erozloˇzen´ı..................................92
8.4Hypergeometrick´erozloˇzen´ı...............................94
8.5Poissonovorozloˇzen´ı..................................95
8.6Rovnomˇern´ediskr´etn´ırozloˇzen´ı.............................96
8.7Rovnomˇern´espojit´erozloˇzen´ı..............................96
8.8Exponenci´aln´ırozloˇzen´ı.................................97
8.9Norm´aln´ırozloˇzen´ı...................................98
8.10Dvourozmˇern´enorm´aln´ırozloˇzen´ı...........................99
8.11Pearsonovorozloˇzen´ı..................................101
8.12Studentovorozloˇzen´ı..................................101
8.13Fisherovo-Snedecorovo.................................101
9 ˇ C´ıseln´echarakteristikyn´ahodn´ychveliˇcin105
10Slab´yz´akonvelk´ych ˇ c ´ ıselacentr´aln´ılimitn´ıvˇeta121
11Z´akladn´ıpojmymatematick´estatistiky127 11.1Pojemn´ahodn´ehov´ybˇeru................................127 11.2Pojemstatistiky,pˇ r ´ ıkladyd˚uleˇzit´ychstatistik......................127 11.3Bodov´eaintervalov´eodhadyparametr˚uaparametrick´ychfunkc´ı............129 11.4Typybodov´ychodhad˚u.................................129 11.5Vlastnostid˚uleˇzit´ychstatistik..............................130
11.6Pojemintervaluspolehlivosti..............................131
11.7Postuppˇrikonstrukciintervaluspolehlivosti......................131 11.8 ˇ S´ ı ˇ rkaintervaluspolehlivosti...............................132
11.9V´yznamtestov´an´ıstatistick´ychhypot´ez.........................133
11.10Statistick´ahypot´eza...................................133
11.11Teststatistick´ehypot´ezy................................134
11.12Nulov´aaalternativn´ıhypot´eza.............................134
11.13Doporuˇcen´ypostuppˇritestov´an´ıstatistick´ychhypot´ezpomoc´ıkritick´ehooboru...134 11.14Chyba1.a2.druhu...................................136
11.15Ilustracevztahumezichybou1.a2.druhu.......................137
11.16Testov´an´ıpomoc´ıintervaluspolehlivosti........................137
11.17Testov´an´ıpomoc´ıp-hodnoty..............................138
12Grafick´aanal´yzaatestynormality141
12.1Pr˚ubˇehov´ydiagram...................................141
12.2Histogram........................................144
12.3Krabicov´ydiagram(BoxPlot)..............................148
12.4Motivaceprotestov´an´ınormality............................150
12.5Principaproveden´ıtest˚unormality...........................151
13 ´
Ulohyojednomadvounez´avisl´ychn´ahodn´ychv´ybˇerechznorm´aln´ıhorozloˇzen´ı157
13.1Rozloˇzen´ıstatistikodvozen´ychzv´ybˇerov´ehopr˚umˇeruav´ybˇerov´ehorozptylu.....157
13.2Intervalyspolehlivostiprostˇredn´ıhodnotuarozptyl..................158
13.3Typytest˚uproparametrynorm´aln´ıhorozloˇzen´ı.....................159
13.4N´ahodn´yv´ybˇerzdvourozmˇern´ehorozloˇzen´ı......................162
13.5Rozloˇzen´ıstatistikodvozen´ychzv´ybˇerov´ychpr˚umˇer˚uav´ybˇerov´ychrozptyl˚u.....163
13.6Intervalspolehlivostiprorozd´ılstˇredn´ıchhodnotapod´ılrozptyl˚u...........163
13.7Typytest˚uprorozd´ılstˇredn´ıchhodnotapod´ılrozptyl˚u.................166
13.8Cohen˚uvkoeficientvˇecn´eho ´ u ˇ cinku...........................167
14 ´ Ulohyojednomadvounez´avisl´ychn´ahodn´ychv´ybˇerechzalternativn´ıhorozloˇzen´ı171
14.1Asymptotick´erozloˇzen´ıstatistikyodvozen´ezv´ybˇerov´eho
14.2Asymptotick´yintervalspolehlivostiproparametralternativn´ıhorozloˇzen´ı.......172
14.3Testov´an´ıhypot´ezyoparametrualternativn´ıhorozloˇzen´ı................173
14.4Asymptotick´erozloˇzen´ıstatistikyodvozen´ezedvouv´ybˇerov´ychpr˚umˇer˚u.......175 14.5Asymptotick´yintervalspolehlivostiprorozd´ılparametr˚u dvoualternativn´ıchrozloˇzen´ı..............................175
14.6Testov´an´ıhypot´ezyorozd´ıluparametr˚udvoualternativn´ıchrozloˇzen´ı.........176
14.7Postuppˇritestov´an´ıhypot´ezyorozd´ıluparametr˚udvoualternativn´ıchrozloˇzen´ı....176
15Jednofaktorov´aanal´yzarozptylu181
15.1Pˇredpokladyaoznaˇcen´ı.................................181
15.2Matematick´ymodel...................................182
15.3Testov´an´ıhypot´ezyoshodˇestˇredn´ıchhodnot......................183
15.4Testov´an´ıhypot´ezyoshodˇerozptyl˚u..........................184
15.5Post-hoc(n´asledn´e)metodymnohon´asobn´ehoporovn´av´an´ı..............185
15.6Doporuˇcen´ypostuppˇriprov´adˇen´ıanal´yzyrozptylu...................186
16Neparametrick´etestyomedi´anech193
16.1Pojempoˇrad´ıapr˚umˇern´ehopoˇrad´ı...........................193
16.2Jednov´ybˇerov´yap´arov´yznam´enkov´ytestajehoasymptotick´avarianta........194
16.3Jednov´ybˇerov´yap´arov´yWilcoxon˚uvtestajehoasymptotick´avarianta.........196
16.4Dvouv´ybˇerov´yWilcoxon˚uvtestajehoasymptotick´a varianta.........................................198
16.5Dvouv´ybˇerov´yKolmogorov˚uv-Smirnov˚uvtest.....................199
16.6Kruskal˚uv-Wallis˚uvtestamedi´anov´ytest........................201
16.7Metodymnohon´asobn´ehoporovn´av´an´ı.........................201
17Porovn´an´ıempirick´ehoateoretick´ehorozloˇzen´ı205
17.1Testydobr´eshodyprodiskr´etn´ıaspojit´erozloˇzen´ı...................205
17.2Jednoduch´ytestexponenci´aln´ıhorozloˇzen´ı.......................210
17.3Jednoduch´ytestPoissonovarozloˇzen´ı..........................210
18Anal´yzaz´avislostiveliˇcinnomin´aln´ıhoaordin´aln´ıhotypu213 18.1Kontingenˇcn´ıtabulka..................................213 18.2Testov´an´ıhypot´ezyonez´avislosti............................214 18.3Mˇeˇren´ıs´ılyz´avislosti..................................214 18.4 ˇ Ctyˇrpoln´ıkontingenˇcn´ıtabulka.............................217
18.5Asymptotick´yapˇresn´ytestnez´avislostive ˇ ctyˇrpoln´ıtabulce..............217 18.6Pod´ıl ˇ sanc ´ ıve ˇ ctyˇrpoln´ıkontingenˇcn´ıtabulce......................218 18.7Testov´an´ınez´avislostive ˇ ctyˇrpoln´ıchtabulk´achpomoc´ ı pod´ılu ˇ sanc ´ ı.......................................219
18.8Spearman˚uvkoeficientpoˇradov´ekorelace........................220
18.9VlastnostiSpearmanovakoeficientupoˇradov´ekorelace.................220
18.10Testov´an´ıpoˇradov´enez´avislostiordin´aln´ıchveliˇcin..................221
18.11Asymptotick´evariantytestu..............................221
19Jednoduch´akorelaˇcn´ıanal´yza225
19.1Kovariancedvoun´ahodn´ychveliˇcinajej´ıodhad....................225
19.2Koeficientkorelaceajehoodhad............................227
19.3Koeficientkorelacedvourozmˇern´ehonorm´aln´ıhorozloˇzen´ı..............228
19.4Testhypot´ezyonez´avislosti...............................228
19.5Intervalspolehlivostiprokoeficientkorelace......................229
19.6Porovn´an´ıdvoukorelaˇcn´ıchkoeficient˚u.........................230
20 ´ Uvoddoregresn´ıanal´yzy233 20.1Zaveden´ıline´arn´ıhomodelu...............................233 20.2Metodanejmenˇ s ´ ıch ˇ ctverc˚uproneopakovan´aaopakovan´amˇeˇren´ı...........234
20.3Intervalspolehlivostiproregresn´ıparametr.......................236
20.4Testov´an´ıhypot´ezyoshodˇeregresn´ıhoparametruspˇredemdan´ym ˇ c ´ ıslem.......236
20.5Testov´an´ıhypot´ezyonev´yznamnostivˇsechprediktor˚uvmodelu(celkov´yF-test)...239
20.6Adekv´atnostmodelu...................................241
20.7Intervalspolehlivostipropodm´ınˇenoustˇredn´ıhodnotu.................245
20.8Predikˇcn´ıintervalspolehlivosti.............................247
20.9Anal´yzarezidu´ı.....................................249
20.10Indexdeterminace....................................253
21 ˇ Casov´e ˇ rady
21.1Pojem
21.3Dynamick´echarakteristiky ˇ casov ´ e ˇ
21.4Vyhlazen´ ı ˇ casov ´ e ˇ radypomoc´ıklouzav´ychpr˚umˇer˚u..................264
Oautorech RNDr.MarieBud´ıkov´a,Dr. P˚usob´ıjakolektorka ´ UstavumatematikyastatistikyPˇ r ´ ırodovˇedeck´e fakultyMasarykovyuniverzityvBrnˇe.M´adlouholet´ezkuˇsenosti sv ´ yukoupˇredmˇet˚uzamˇeˇren´ychnapravdˇepodobnostastatistiku, atonejenprostudentyPˇ r ´ ırodovˇedeck´efakulty,alet´eˇzEkonomickospr ´ avn ´ ıfakulty,FakultyinformatikyaFakultystrojn´ıhoinˇzen´yrstv´ ı Vysok´ehouˇcen´ıtechnick´ehovBrnˇe.Od90.letvyuˇz´ıv´apˇriv´yuce statistick´eprogramov´esyst´emySPSSaSTATISTICA.Specializuje senavyu ˇ zit´ıstatistick´ychmetodvpraxi,pˇredevˇ s ´ ımvklimatologii, hydrologii,medic´ınˇeapsychologii.Vsouˇcasnosti ´ uzcespolupracujesbrnˇensk´ymiklimatology,kteˇ r ´ ızkoumaj´ıpol´arn´ıklimanastaniciJ.G.MendelavAntarktidˇe.Jeautorkou ˇ cispoluautorkouv´ıce ne ˇ z70vˇedeck´ychaodborn´ych ˇ cl´ank˚u,publikac´ıauˇcebn´ıchtext˚u. ˇ Raduletp˚usob´ıvev´yboru ˇ Cesk´estatistick´espoleˇcnosti.
Doc.RNDr.BohumilMaroˇs,CSc.
Mgr.MariaKr´alov´a,Ph.D. Vroce1996absolvovalaPˇ r ´ ırodovˇedeckoufakultuMUvBrnˇe,obor matematika-biologie.Postgradu´aln´ıstudiumukonˇcilavroce2003 disertaˇcn´ıprac´ıMarkovsk´emodelypozornosti.Vesv´ev´yzkumn´e ˇ cinnostisezamˇeˇrujezejm´enanastochastick´emodelov´an´ıvpsychologii,jespoluˇreˇsitelkouV´yzkumn´ehoz´amˇeruM ˇ SMT ˇ CRCEZ: J22/98:261100009.Vpedagogick´epraxisevˇenujepˇredevˇ s ´ ım z ´ akladn´ımkurz˚umpravdˇepodobnostiamatematick´estatistiky, p ˚ usob´ınaEkonomicko-spr´avn´ıfakultˇeMasarykovyuniverzity vBrnˇe.Je ˇ clenkou ˇ Cesk´estatistick´espoleˇcnosti.
Jakovysokoˇskolsk´yuˇcitelp˚usob´ıv´ıceneˇz45letna ´ UstavumatematikyFakultystrojn´ıhoinˇzen´yrstv´ıVysok´ehouˇcen´ıtechnick´eho vBrnˇe.Vyuˇcujezdez´akladn´ıipokroˇcil´emetodystatistick´eho p ˇ r ´ ıstupuk ˇ re ˇ sen ´ ıprobl´em˚u.V´ıceneˇz30letsezab´yv´aproblematikoustatistick´ehozpracov´an´ıdatamatematick´ehomodelov´an´ıproces ˚ u. ´ UspˇeˇsnˇepropagujemetodyDesignofExperimentsnejenve v ´ yuce,aleivpraxiprov´yrobn´ıpodniky ˇ ciorganizaceposkytuj´ıc´ ı sluˇzby.Jeextern´ımspolupracovn´ıkemspoleˇcnost´ıSC&CPartner, kter´asespecializujenazlepˇsov´an´ıjakostiv´yroby ˇ cisluˇzebpomoc ´ ımetodySixSigma.Jeautorem ˇ cispoluautoremv´ıceneˇz60 v ˇ edeck´ychpublikac´ı,8v´yzkumn´ychzpr´av,6knih,6skript.Je ˇ clenem ˇ Cesk´estatistick´espoleˇcnosti.
´ Uvodn´ıslovorecenzenta Vknizejsoushrnutyz´akladn´ıvzorceapostupyzpopisn´estatistiky,poˇctupravdˇepodobnostiamatematick´estatistiky.Modern´ıpojet´ıstatistikypˇredpokl´ad´azpracov´av´an´ıv´ybˇerov ´ ych ˇ setˇren´ıneboexperiment´aln´ıchdat,aprotojevˇetˇ s ´ ıpozornostvˇenov´anapoˇctupravdˇepodobnostiamatematick´estatistice,kter´aznˇehovych´az´ı.Knihaobsahuje21kapitol,kter´e jemoˇzn´erozdˇelitnatˇri ˇ c ´ asti.Prvn´ıtˇrikapitolysezab´yvaj´ıpˇrev´aˇznˇepopisnoustatistikou,ve ˇ ctvrt´eaˇzdes´at´ekapitolejsouvysvˇetlenyz´akladypoˇctupravdˇepodobnostiazb´yvaj´ıc´ıchjeden´actkapitoljevˇenov´anomatematick´estatistice.Kilustracipostup˚uslouˇz´ ı ˇ re ˇ sen ´ ep ˇ r ´ ıklady, proprocviˇcen´ıl´atkyjsouzaˇrazenydalˇ s ´ ı ´ ulohysuveden´ym ˇ re ˇ sen ´ ım. ˇ Radapˇ r ´ ıklad˚uobsahuje n ´ avodkobsluzestatistick´ehosyst´emuSTATISTICA,vnˇekter´ychpˇ r ´ ıpadechtak´esyst´emu MINITAB.
Ikdyˇzlzezjednoduˇsenˇe ˇ r ´ ıci, ˇ zev ˇ etˇsinametodsevyuˇcujevz´akladn´ıchkurzechstatistikynar˚uzn´ychvysok´ych ˇ skol´achnematematick´ehozamˇeˇren´ı,pˇribliˇzˇ s ´ ımprostudov´an´ ı jezˇrejm´e, ˇ zezvl´aˇstˇepoˇcetzaˇrazen´ychstatistick´ychtest˚uspoleˇcn´yz´akladpˇresahuje.Jako p ˇ r ´ ıkladtest˚u,kter´eneb´yvaj´ızcelabˇeˇznˇevz´akladn´ıliteratuˇre,m˚uˇzemeuv´estmetodymnohon´asobn´ehoporovn´av´an´ı,speci´aln´ıtestynormalityneboshodysexponenci´aln´ım ˇ ciPoissonov ´ ymrozdˇelen´ım,testypro ˇ ctyˇrpoln´ıtabulkynebonˇekter´etestyokorelaˇcn´ıchkoeficientech. Vˇeˇ r ´ ım, ˇ zePr˚uvodcez´akladn´ımistatistick´ymimetodamivyuˇzij´ınejenstudentiEkonomicko-spr´avn´ıfakultyMasarykovyuniverzity,jimˇzjeknihaurˇcenapˇredevˇ s ´ ım,alei ˇ radadalˇ s ´ ıch u ˇ zivatel˚ustatistick´ychmetod,atozvl´aˇstˇeti,kteˇ r ´ ıpracuj´ısnˇekter´ymzestatistick´ychsyst´em˚u STATISTICAneboMINITAB.
doc.Ing.EvaJaroˇsov´a,CSc.
Katedrastatistikyapravdˇepodobnosti
Fakultainformatikyastatistiky Vysok´a ˇ skolaekonomick´avPraze
Pˇredmluva Uˇcebnice ”Pr˚uvodcez´akladn´ımistatistick´ymimetodami“jeprim´arnˇeurˇcenaposluchaˇc˚um Ekonomicko-spr´avn´ıfakultyMasarykovyuniverzityvBrnˇeam´aslouˇzitjakoz´akladn´ıstudijn´ıliteraturapˇredmˇet˚uStatistika1aStatistika2.Pouˇcen´ıvn´ıvˇsaksamozˇrejmˇenajdou iposluchaˇcijin´ychstudijn´ıchzamˇeˇren´ ı ˇ ciuˇzivatel´estatistikyvpraxi,kteˇ r ´ ıpotˇrebuj´ıprov´adˇet anal´yzudat.
Autoˇripˇredpokl´adaj´ı, ˇ ze ˇ cten´aˇrjeobezn´amensez´akladymaticov´ehopoˇctu,diferenci´aln ´ ıhoaintegr´aln´ıhopoˇctuam´azkuˇsenostispouˇz´ıv´an´ımtabulkov´ehokalkul´atoru.
Knihutvoˇ r ´ ı21kapitol,znichˇzprvn´ıtˇrisezab´yvaj´ıpopisnoustatistikou,dalˇ s ´ ıchsedm po ˇ ctempravdˇepodobnostiazb´yvaj´ıc´ıchjeden´actpakmatematickoustatistikou.Partie,kter´e set´ykaj´ıpopisn´estatistikyapoˇctupravdˇepodobnosti,jsouprob´ır´anyvpˇredmˇetuStatistika1, matematick´astatistikapaktvoˇ r ´ ın ´ aplˇnpˇredmˇetuStatistika2.
Kaˇzd´azkapitolzav´ad´ız´akladn´ıpojmystatistick´e ˇ cipravdˇepodobnostn´ıteorieaobjasˇnuje jenapraktick´ychpˇ r ´ ıkladech.Kapitolyzpopisn´eamatematick´estatistikyrovnˇeˇzobsahuj´ ı n ´ avodyna ˇ re ˇ sen ´ ıp ˇ r ´ ıklad˚upomoc´ıstatistick´ehosoftwaru,konkr´etnˇepomoc´ısyst´emuSTATISTICA,vnˇekter´ychkapitol´achjerovnˇeˇzpouˇzitsyst´emMINITAB,kter´ysenanˇekter´ych vysok´ych ˇ skol´achtechnick´ehozamˇeˇren´ıpouˇz´ıv´ajakoz´akladn´ıstatistick´ysoftwarov´yn´astroj. V´ysledn´etabulkyagrafyjsoupodrobnˇekomentov´any.Sv´eznalostisim˚uˇze ˇ cten´aˇrovˇeˇritna p ˇ r ´ ıkladechurˇcen´ychksamostatn´emu ˇ re ˇ sen ´ ı.Datov´esouborykjednotliv´ympˇ r ´ ıklad˚umastatistick´etabulkynajdetenaadresewww.math.muni.cz/∼budikova.
Autoˇrisijsouvˇedomitoho, ˇ zevjedin´enepˇ r ´ ıliˇsrozs´ahl´euˇcebnicinelzevysvˇetlitvˇsechny d˚uleˇzit´eavpraxi ˇ castopouˇz´ıvan´estatistick´emetody,anisepodrobnˇejizab´yvatjejichzaj´ımav ´ ymiaspekty.Protouvaˇzuj´ıovytvoˇren´ıdruh´ehod´ılut´etouˇcebnice,kter´ybyslouˇziljako pr ˚ uvodcepokroˇcilejˇ s ´ ımistatistick´ymimetodami.
Summary Thiseasy-to-followpublicationcontainingmanyexamplesandcasestudiesaimsprimarily atstudentsofeconomicsandprofessionalsineconomicsandengineering.Thereaderswill familiarizethemselveswithessentialstatisticaltechniquesandpracticalapplicationsofstatistics.Thebookisdividedintothreeparts.Thefirstpartdealswithdescriptivestatistics,the secondonetreatsthebasicconceptsoftheprobabilitytheoryandthethirdpartlooksatthe selectedmethodsofinductivestatistics.
Eachtopicisintroducedbyabrieftheoreticalintroductionfollowedbysampleexercises andasetoftasksforself-study.Itissampletasksfromeconomicandtechnicalpracticeaccompaniedbytheanswerkeythatarethefocalpointofthispublication.Carefulattention ispaidtoverificationofunderlyingassumptionsofstatisticaltechniquesandtodetailedinterpretationofresults.ThisbookdemonstratessolutionstoproblemsusingtheSTATISTICA (version9)andMINITAB(version15)computersoftware.Tasksolutionsaresupplemented bybothdetailedcommentsoncomputeroutputsandinstructionshowtoreachthem.
Uvod Teoriepravdˇepodobnosti
Teoriepravdˇepodobnostijematematick´adiscipl´ına(budovan´aaxiomaticky),kter´asezab´yv´a studiemz´akonitost´ıvn´ahodn´ychpokusechajejichmodelov´an´ımmatematick´ymiprostˇredky. Podpojmemn´ahodarozum´ımep˚usoben´ıfaktor˚u,kter´ese ˇ zivelnˇemˇen´ıpˇrir˚uzn´ychproveden´ıcht´ehoˇzpokusu.(Jeto ”matematikan´ahody“.)
Popisn´astatistika
Popisn´astatistikajediscipl´ına,kter´apopisujeasumarizujeinformaceobsaˇzen´evevelk´em mno ˇ zstv´ıdatpomoc´ıtabulek,graf˚u,funkcion´aln´ıcha ˇ c ´ ıseln´ychcharakteristik. ˇ Cin´ıtakpomoc ´ ız ´ akladn´ıchmatematick´ychoperac´ı.C´ılemjezpˇrehlednitinformace ”ukryt´e“vdatov´ych souborech.
Matematick´astatistika
Matematick´astatistikajevˇeda,kter´abudujemetodyproanal´yzudatavyuˇz´ıv´apˇritomprincip statistick´eindukce.(Informacez´ıskan´ezn´ahodn´ehov´ybˇeruzobecˇnujenaz´akladn´ısoubor.)
Jej´ısouˇc´ast´ıjeteorieodhadu,testov´an´ıstatistick´ychhypot´ez,statistick´apredikce.
Kapitola1 Z ´ akladn´ı,v´yb ˇ erov´yadatov´ysoubor Pˇredmˇetemstatistick´ehoz´ajmunen´ıjednotliv´yobjekt,n´ybrˇzsouborobjekt˚u,kter´etvoˇ r ´ ı z ´ akladn´ısoubor.Zpravidlanen´ımoˇzn´evyˇsetˇrovatvˇsechnyobjekty,alejenomurˇcit´yomezen ´ ypo ˇ cetobjekt˚u,kter´epovaˇzujemezav´ybˇerov´ysoubor.
Prvkyz´akladn´ıhosouboru,kter´evykazuj´ıurˇcitouspoleˇcnouvlastnost,tvoˇ r ´ ımno ˇ zinu. Statistikzkoum´aabsolutn´ıarelativn´ ı ˇ cetnostprvk˚ut´etomnoˇzinyvdan´emv´ybˇerov´emsouboru.
Zaj´ımaj´ı-lin´asvev´ybˇerov´emsouborudvˇemnoˇziny,m˚uˇzemezkoumatv´yskytobjekt˚u zjedn´emnoˇzinymeziobjektypoch´azej´ıc´ımizdruh´emnoˇziny.T´ımdosp´ıv´amekpojmu podm´ınˇen´erelativn´ ı ˇ cetnosti.Rovnˇeˇzlzeovˇeˇrovat ˇ cetnostn´ınez´avislosttˇechtodvoumnoˇzin vdan´emv´ybˇerov´emsouboru. ˇ Cetnostn´ınez´avislostvlastnˇeznamen´a, ˇ zeinformace,kter´e m ´ ameop ˚ uvoduobjektuzjedn´emnoˇziny,nijaknemˇen´ınaˇseoˇcek´av´an´ıop˚uvoduobjektu zdruh´emnoˇziny.
Kaˇzd´emuobjektuz´akladn´ıhosouborulzepomoc´ıfunkcezvan´eznakpˇriˇradit ˇ c ´ ıslo(nebo iv´ıce ˇ c ´ ısel).Podtˇemito ˇ c ´ ıslysemohouskr´yvatislovn´ıpopisy,napˇr.hodnota 1 proznak ”rodinn´ystav“znamen´a ”svobodn´y“,hodnota 2 ” ˇ zenat´y“apod.Pokudhodnotyznak˚upro objektydan´ehov´ybˇerov´ehosouboruuspoˇ r ´ ad´amedomaticetak, ˇ ze ˇ r ´ adkyodpov´ıdaj´ıjednotliv´ymobjekt˚umasloupceznak˚um,dostanemedatov´ysoubor.Libovoln´ysloupect´etomatice tvoˇ r ´ ıjednorozmˇern´ydatov´ysoubor,kter´ym˚uˇzemeuspoˇ r ´ adatpodlevelikostiavytvoˇrittak uspo ˇ r ´ adan´ydatov´ysoubor,neboznˇejlzez´ıskatvektorvariant.
Jevemrozum´ımetuskuteˇcnost, ˇ zeznaknabylhodnotyznˇejak´e ˇ c ´ ıseln´emnoˇziny.M˚uˇzeme zkoumatabsolutn´ıarelativn´ ı ˇ cetnostjevuvdan´emv´ybˇerov´emsouboru.
1.1Z ´ akladn´ıav´yb ˇ erov´ysoubor,absolutn´ıarelativn´ı ˇ cetnost mnoˇziny
Z´akladn´ımsouboremrozum´ımelibovolnounepr´azdnoumnoˇzinu 𝐸.Prvkymnoˇziny 𝐸 znaˇ c ´ ıme 𝜀 anaz ´ yv ´ amejeobjekty.Libovolnounepr´azdnoupodmnoˇzinu {𝜀1,...,𝜀𝑛} z ´ akladn´ıho souboru 𝐸 naz ´ yv ´ amev ´ ybˇerov´ysouborrozsahu 𝑛.Je-limnoˇzina 𝐺 ⊆ 𝐸,paksymbolem 𝑁 (𝐺) rozum ´ ımeabsolutn´ ı ˇ cetnostmnoˇziny 𝐺 vev ´ ybˇerov´emsouboru,tj.poˇcettˇechobjekt˚u
Pr˚uvodcez´akladn´ımistatistick´ymimetodami
mno ˇ ziny 𝐺,kter´epatˇ r ´ ıdov´ybˇerov´ehosouboru.Relativn´ ı ˇ cetnostmnoˇziny 𝐺 vev ´ ybˇerov´em souboruzavedemevztahem 𝑝(𝐺)= 𝑁 (𝐺) 𝑛
V´ybˇerov´ysouborbymˇelb´ytreprezentativn´ımobrazemz´akladn´ıhosouboru.Toholze doc´ılitnapˇr.tak, ˇ zeobjektyzez´akladn´ıhosouboruvyb´ır´amedov´ybˇerov´ehosouborulosov ´ an ´ ım.V´ybˇerov´ysouborjeilustrov´annaobr´azku1.1.
Ε‒základnísoubor
ε ‒objekt výběrovýsoubor
množinaG
Obr´azek1.1: Ilustracev´ybˇerov´ehosouboru.
Pˇr´ıklad1.1. Z´akladn´ımsouborem 𝐸 jemnoˇzinavˇsech ˇ z ´ ak˚u9.roˇcn´ık˚uz´akladn´ıch ˇ skol. Mnoˇzina 𝐺1 jetvoˇrenatˇemi ˇ z ´ aky,kteˇ r ´ ıvpololet´ı9.tˇ r ´ ıdyuspˇelivpˇredmˇetufyzikaamnoˇzina 𝐺2 obsahujety ˇ z ´ aky,kteˇ r ´ ıvpololet´ı9.tˇ r ´ ıdyuspˇelivpˇredmˇetuchemie.Zez´akladn´ıhosouboru bylon´ahodnˇevybr´ano30 ˇ z ´ ak˚u,kteˇ r ´ ıtvoˇ r ´ ıv ´ ybˇerov´ysoubor {𝜀1,...,𝜀30}.Ztˇechto30 ˇ z ´ ak˚u 28uspˇelovefyzice,27vchemiia25voboupˇredmˇetech.Zapiˇsteabsolutn´ıarelativn´ ı ˇ cetnosti
ˇ z ´ ak˚u ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ychvefyzice,vchemiiaoboustrannˇe ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ych ˇ z ´ ak˚u.
ˇ Reˇsen´ ı Spoˇcetlijsme 𝑁 (𝐺1)=28, 𝑁 (𝐺2)=27, 𝑁 (𝐺1 ∩ 𝐺2)=25, 𝑛 =30, 𝑝(𝐺1)= 28 30 =0,93, 𝑝(𝐺2)= 27 30 =0,9, 𝑝(𝐺1 ∩ 𝐺2)= 25 30 =0,83.Vid´ıme, ˇ zevev ´ ybˇerov´emsouboruje 93,3 %
ˇ z ´ ak˚u ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ychvefyzice, 90 %vchemiiaoboustrannˇe ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ych ˇ z ´ ak˚uje 83,3 %. □
1.2Vlastnostirelativn´ı ˇ
cetnosti Relativn´ ı ˇ cetnostm´an´asleduj´ıc´ıch12vlastnost´ı,kter´ejsouobdobn´evlastnostemprocent.
1. 𝑝 (∅)=0,
2. 𝑝 (𝐺) ≥ 0 (nez´apornost),
3. 𝑝 (𝐺1 ∪ 𝐺2)+ 𝑝 (𝐺1 ∩ 𝐺2)= 𝑝 (𝐺1)+ 𝑝 (𝐺2),
4. 1+ 𝑝 (𝐺1 ∩ 𝐺2) ≥ 𝑝 (𝐺1)+ 𝑝 (𝐺2),
5. 𝑝 (𝐺1 ∪ 𝐺2) ≤ 𝑝 (𝐺1)+ 𝑝 (𝐺2) (subaditivita),
6. 𝐺1 ∩ 𝐺2 = ∅⇒ 𝑝 (𝐺1 ∪ 𝐺2)= 𝑝 (𝐺1)+ 𝑝 (𝐺2) (aditivita),
7. 𝑝 (𝐺2∖𝐺1)= 𝑝 (𝐺2) 𝑝 (𝐺1 ∩ 𝐺2),
8. 𝐺1 ⊆ 𝐺2 ⇒ 𝑝 (𝐺2∖𝐺1)= 𝑝 (𝐺2) 𝑝 (𝐺1) (subtraktivita),
9. 𝐺1 ⊆ 𝐺2 ⇒ 𝑝 (𝐺1) ≤ 𝑝 (𝐺2) (monotonie),
10. 𝑝 (𝐸)=1 (normovanost),
Z´akladn´ı,v´ybˇerov´yadatov´ysoubor
11. 𝑝 (𝐺)+ 𝑝 (𝐺′)=1 (komplementarita),
12. 𝑝 (𝐺) ≤ 1.
Pokudsevdan´emz´akladn´ımsouboruzaj´ım´ameodvˇepodmnoˇzinyobjekt˚u,m˚uˇzemezav´est pojempodm´ınˇen´erelativn´ ı ˇ cetnostijedn´epodmnoˇzinyvdan´emv´ybˇerov´emsouboruzapˇredpokladu, ˇ zeobjektpoch´az´ızdruh´epodmnoˇziny.Vpˇ r ´ ıkladu1.2vypoˇctemepodm´ınˇen´erelativn´ ı ˇ cetnosti ˇ z ´ ak˚u ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ychvefyzicemezi ˇ z ´ aky ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ymivchemiianaopak.
1.3Podm´ın ˇ en ´ arelativn´ı ˇ cetnost Necht’ 𝐸 jez´akladn´ısoubor, 𝐺1, 𝐺2 jehopodmnoˇziny, {𝜀1,...,𝜀𝑛} v ´ ybˇerov´ysoubor.Podm ´ ın ˇ en ´ arelativn´ ı ˇ cetnostmnoˇziny 𝐺1 vev ´ ybˇerov´emsouboruzapodm´ınky 𝐺2 jezavedena vztahem
𝑝 (𝐺1 ∣ 𝐺2)= 𝑁 (𝐺1 ∩ 𝐺2) 𝑁 (𝐺2) = 𝑝(𝐺1 ∩ 𝐺2) 𝑝(𝐺2) apodm´ınˇen´arelativn´ ı ˇ cetnost 𝐺2 vev ´ ybˇerov´emsouboruzapodm´ınky 𝐺1 vztahem 𝑝 (𝐺2 ∣ 𝐺1)= 𝑁 (𝐺1 ∩ 𝐺2) 𝑁 (𝐺1) = 𝑝(𝐺1 ∩ 𝐺2) 𝑝(𝐺1)
Pˇr´ıklad1.2. Pro ´ udajezpˇ r ´ ıkladu1.1vypoˇctˇetepodm´ınˇenourelativn´ ı ˇ cetnost ˇ z ´ ak˚u ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ych vefyzicemezi ˇ z ´ aky ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ymivchemiiapodm´ınˇenourelativn´ ı ˇ cetnost ˇ z ´ ak˚u ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ych vchemiimezi ˇ z ´ aky ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ymivefyzice.
ˇ Reˇsen´ ı Spoˇcetlijsme
𝑝 (𝐺1 ∣ 𝐺2)= 𝑁 (𝐺1 ∩ 𝐺2) 𝑁 (𝐺2) = 25 27 =0,926
Znamen´ato, ˇ ze 92,6 %tˇech ˇ z ´ ak˚u,kteˇ r ´ ıbyli ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ıvchemii,uspˇeloivefyzice.D´alejsme spo ˇ cetli
𝑝 (𝐺2 ∣ 𝐺1)= 𝑁 (𝐺1 ∩ 𝐺2) 𝑁 (𝐺1) = 25 28 =0,893, co ˇ zznamen ´ a, ˇ ze 89,3 %tˇech ˇ z ´ ak˚u,kteˇ r ´ ıbyli ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ıvefyzice,uspˇeloivchemii.
Obvykleseu ˇ z ´ ak˚usdruˇzuje ´ usp ˇ echvefyzices ´ usp ˇ echemvchemiiapodobnˇene´uspˇech vefyzicesne´uspˇechemvchemii,nebot’ osobn´ınad´an´ıaschopnostip˚usob´ıvtˇechtodvou p ˇ r ´ ırodovˇedn´ychpˇredmˇetechstejn´ymsmˇerem. □
Vjak´esituacibudemehovoˇrito ˇ cetnostn´ınez´avislostiobou ´ usp ˇ ech˚u?Zˇrejmˇetehdy,kdyˇz pod´ıl ˇ z ´ ak˚u ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ychvefyzice(resp.chemii)mezi ˇ z ´ aky ´ usp ˇ e ˇ sn ´ ymivchemii(resp.fyzice) budestejn´yjakopod´ıltˇechto ˇ z ´ ak˚umezivˇsemi ˇ z ´ akyvev´ybˇerov´emsouboru.Poˇzadujeme tedy,aby 𝑝 (𝐺2 ∣ 𝐺1)= 𝑝 (𝐺2) asou ˇ casn ˇ e 𝑝 (𝐺1 ∣ 𝐺2)= 𝑝 (𝐺1).Obatytopoˇzadavkyjsou ekvivalentn´ısmultiplikativn´ımvztahem 𝑝 (𝐺1 ∩ 𝐺2)= 𝑝 (𝐺1) 𝑝 (𝐺2) , kter´yslouˇz´ıkdefinov´an´ ı ˇ cetnostn´ınez´avislostidvoumnoˇzinvdan´emv´ybˇerov´emsouboru.
1.4 ˇ Cetnostn´ınez ´ avislostdvoumnoˇzinvdan ´ emv´yb ˇ erov ´ emsouboru
Mnoˇziny 𝐺1 ⊆ 𝐸, 𝐺2 ⊆ 𝐸 jsou ˇ cetnostnˇenez´avisl´evev´ybˇerov´emsouboru {𝜀1,...,𝜀𝑛}, jestliˇzeplat´ımultiplikativn´ıvztah 𝑝 (𝐺1 ∩ 𝐺2)= 𝑝 (𝐺1) 𝑝 (𝐺2).
Informaceop˚uvoduobjektuzjedn´emnoˇzinynijakneovlivˇnuj´ınaˇseoˇcek´av´an´ı,sn´ımˇz usuzujemenajehop˚uvodzdruh´emnoˇziny.Vnaˇsempˇ r ´ ıkladˇese ˇ z ´ akytentomultiplikativn´ ı vztahsplnˇennen´ı,nebot’ 25 30 =0,83 = 28 30 27 30 =0,84
Nyn´ıkaˇzd´yobjektz´akladn´ıhosouboruohodnot´ımejedn´ımnebov´ıce ˇ c ´ ıslypomoc´ıfunkce,kter´asenaz´yv´aznak. ˇ C´ısla,kter´asevztahuj´ıpouzekobjekt˚umv´ybˇerov´ehosouboru, sestav´ımedomaticezvan´edatov´ysoubor.
1.5Skal ´ arn´ıavektorov´yznak Funkce 𝑋 : 𝐸 → ℝ,𝑌 : 𝐸 → ℝ,...,𝑍 : 𝐸 → ℝ,kter´ekaˇzd´emuobjektupˇriˇrazuj´ ı ˇ c ´ ıslo, senaz ´ yvaj´ı(skal´arn´ı)znaky(ilustracevizobr´azek1.2).Uspoˇ r ´ adan´a 𝑝-tice (𝑋,𝑌,...,𝑍) se naz ´ yv ´ avektorov´yznak.
Obr´azek1.2: Ilustraceskal´arn´ıhoznaku.
1.6Datov´ysoubor Je-lid´anv´ybˇerov´ysoubor {𝜀1,...,𝜀𝑛}⊆ 𝐸,pakhodnotyznak˚u 𝑋,𝑌,...,𝑍 pro 𝑖-t´yobjekt ozna ˇ c ´ ıme 𝑥𝑖 = 𝑋 (𝜀𝑖), 𝑦𝑖 = 𝑌 (𝜀𝑖), ...,
𝑖 = 𝑍 (𝜀𝑖), 𝑖 =1,...,𝑛.Matice
typu 𝑛 × 𝑝 senaz ´ yv ´ adatov´ysoubor.Jej´ ı ˇ r ´ adkyodpov´ıdaj´ıjednotliv´ymobjekt˚um,sloupce znak˚um.Libovoln´ysloupect´etomaticenaz´yv´amejednorozmˇern´ydatov´ysoubor.Uspoˇ r ´ adan´e
hodnotynapˇr.znaku 𝑋: 𝑥(1) ≤ 𝑥(2) ≤ ... ≤ 𝑥(𝑛) tvoˇ r ´ ıuspo ˇ r ´ adan´ydatov´ysoubor
Vektor
kde 𝑥[1] <...<𝑥[𝑟], 𝑟 ≤ 𝑛,jsounavz´ajemr˚uzn´ehodnotyznaku 𝑋,senaz ´ yv ´ avektor variant.Pozor–jed˚uleˇzit´erozliˇsovat,zdajeindexbezz´avorky,vkulat´ez´avorce ˇ cihranat´e z ´ avorce!
Pˇr´ıklad1.3. Pro ˇ z ´ akyzv´ybˇerov´ehosouborurozsahu30uveden´ehovpˇ r ´ ıkladu1.1byly zjiˇst’ov´anyhodnotyznak˚u 𝑋 –zn ´ amkazfyzikyvpololet´ı, 𝑌 –zn ´ amkazchemievpololet´ı, 𝑍 –pohlav´ ı ˇ z ´ aka(0 ...d´ıvka, 1 ...hoch).Bylz´ısk´andatov´ysoubor(zd˚uvodu ´ usporym ´ ısta jematicetypu 30 × 3 rozdˇelenanatˇri ˇ c ´ asti).
Utvoˇrtejednorozmˇern´ydatov´ysouborproznak 𝑋,vektoryvariantproznaky 𝑋 a 𝑍 anajdˇete 𝑥2 , 𝑥(2), 𝑥[2].
ˇ Reˇsen´ ı
Jednorozmˇern´ydatov´ysouborproznak 𝑋 jesloupcov´yvektoro30 ˇ r ´ adc´ıch.Opˇetzd˚uvodu ´ usporym ´ ıstahonap´ ı ˇ semejakotransponovan´y ˇ r ´ adkov´yvektor ( 111122222222222333333333444455 )′ .
Vektorvariantproznak 𝑋
1.7Jevajehoabsolutn´ıarelativn´ı ˇ cetnost Jevemrozum´ımeskuteˇcnost, ˇ zeznak 𝑋 nabylhodnotyz ˇ c ´ ıseln´emnoˇziny 𝐵 (form´alnˇep´ ı ˇ seme {𝑋 ∈ 𝐵})resp.znaky 𝑋,𝑌,...,𝑍 sou ˇ casn ˇ enabylyhodnotz ˇ c ´ ıseln´ychmnoˇzin 𝐵1,...,𝐵𝑝 (p´ ı ˇ seme {𝑋 ∈ 𝐵1 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵2 ∧ ∧ 𝑍 ∈ 𝐵𝑝}).
Je-li {𝜀1,...,𝜀𝑛} v ´ ybˇerov´ysoubor,pakzavedemeabsolutn´ ı ˇ cetnostjevu {𝑋 ∈ 𝐵} ve v ´ ybˇerov´emsouboru(znaˇc´ımeji 𝑁 (𝑋 ∈ 𝐵))jakopoˇcettˇechobjekt˚uvev´ybˇerov´emsouboru, pron ˇ e ˇ zznak 𝑋 ∈ 𝐵.Relativn´ ı ˇ cetnostjevu {𝑋 ∈ 𝐵} vev ´ ybˇerov´emsouborujepakpod´ıl absolutn´ ı ˇ cetnostiarozsahusouboru,tj. 𝑝 (𝑋 ∈ 𝐵)= 𝑁 (𝑋 ∈ 𝐵) 𝑛 .
Analogicky 𝑁 (
znamen ´ aabsolutn´ıresp.relativn´ ı ˇ cetnostjevu {𝑋 ∈ 𝐵
bˇerov´emsouboru.
Napˇr.prodatov´ysouborzpˇ r ´ ıkladu1.3vyj´adˇ r ´ ımeabsolutn´ ı ˇ cetnostd´ıvek,kter´emaj´ ı zobousledovan´ychpˇredmˇet˚ujedniˇckunebodvojku,n´asledovnˇe: 𝑁 (𝑋 ≤ 2 ∧ 𝑌 ≤ 2 ∧ 𝑍 =0)=6.Neborelativn´ ı ˇ cetnost ˇ z ´ ak˚u,kteˇ r ´ ıpropadaj´ızfyziky,pakm˚uˇzemevyj´adˇrit takto: 𝑝 (𝑋 =5)= 2 30 =0,06
Pˇr´ıkladyksamostatn ´ emu ˇ re ˇ sen´ı
1.A Necht’ mno ˇ ziny 𝐺1,𝐺2 jsounesluˇciteln´e,relativn´ ı ˇ cetnostmnoˇziny 𝐺1 je 0,15,relativn´ ı ˇ cetnostsjednocen´ımnoˇzin 𝐺1,𝐺2 je 0,8.Vypoˇctˇeterelativn´ ı ˇ cetnostmnoˇziny 𝐺2. [𝑝 (𝐺2)= 𝑝(𝐺1 ∪ 𝐺2) 𝑝 (𝐺1)=0,8 0,15=0,65]
1.B Necht’ mno ˇ zina 𝐺1 jepodmnoˇzinoumnoˇziny 𝐺2 ajej´ırelativn´ ı ˇ cetnostje 0,33.Relativn´ ı ˇ cetnostrozd´ılumnoˇzin 𝐺2∖𝐺1 je 0,15.Vypoˇctˇeterelativn´ ı ˇ cetnostmnoˇziny 𝐺2. [𝑝 (𝐺2)= 𝑝 (𝐺2∖𝐺1)+ 𝑝 (𝐺1)=0,15+0,33=0,48]
1.C Necht’ relativn´ ı ˇ cetnostrozd´ılumnoˇzin 𝐺1∖𝐺2 je 0,36 arelativn´ ı ˇ cetnostjejichpr˚uniku je 0,12.Vypoˇctˇeterelativn´ ı ˇ cetnostmnoˇziny 𝐺1.
𝐺2)=0,36+0,12=0,48]
1.D Jed´andvourozmˇern´ydatov´ysoubor
Znak 𝑋 (lev´ysloupec)znamen´apoˇcet ˇ clen˚udom´acnostiaznak 𝑌 (prav´ysloupec)poˇcetdˇet´ ı do 15 letvt´etodom´acnosti.
a)Utvoˇrteuspoˇ r ´ adan´edatov´esouboryproznaky 𝑋 a 𝑌 .
b)Najdˇetevektoryvariantznak˚u 𝑋 a 𝑌 .
c)Vypoˇctˇeterelativn´ ı ˇ cetnosttˇ r ´ ı ˇ clenn´ychdom´acnost´ı.
d)Vypoˇctˇeterelativn´ ı ˇ cetnostnejv´yˇsetˇ r ´ ı ˇ clenn´ychdom´acnost´ı.
e)Vypoˇctˇeterelativn´ ı ˇ cetnostbezdˇetn´ychdom´acnost´ı.
f)Vypoˇctˇeterelativn´ ı ˇ cetnostdvouˇclenn´ychbezdˇetn´ychdom´acnost´ı.
g)Vypoˇctˇetepodm´ınˇenourelativn´ ı ˇ cetnostdvouˇclenn´ychbezdˇetn´ychdom´acnost´ı. [Ada),uspoˇ r ´ adan´edatov´esoubory: pro 𝑋: ( 1222334455 )′ , pro 𝑌 : ( 0001122223 )′
Adb),vektorvariantproznak 𝑋:
Adc),relativn´ ı ˇ cetnosttˇ r ´ ı ˇ clenn´ychdom´acnost´ıje 0,2.Add),relativn´ ı ˇ cetnostnejv´yˇse tˇ r ´ ı ˇ clenn´ychdom´acnost´ıje 0,6.Ade),relativn´ ı ˇ cetnostbezdˇetn´ychdom´acnost´ıje 0,3.Adf), relativn´ ı ˇ cetnostdvouˇclenn´ychdom´acnost´ıje 0,3.Adg),podm´ınˇen´arelativn´ ı ˇ cetnosttˇech dvouˇclenn´ychdom´acnost´ı,kter´ejsoubezdˇetn´e,je 0,6.]
Kapitola2 Bodov ´ eaintervalov ´ erozloˇzen´ı Informaceobsaˇzen´evdatov´emsouborum˚uˇzemezpˇrehlednitpomoc´ıtabulekagraf˚u.Vt´eto kapitolesiuk´aˇzemezp˚usobytabulkov´ehoagrafick´ehozpracov´an´ıprojednorozmˇern´eadvourozm ˇ ern ´ edatov´esoubory.Tytometodyzvol´ımepodletoho,jakseliˇ s ´ ıpo ˇ cetvariantznakuod rozsahuv´ybˇerov´ehosouboru.
2.1Jednorozm
Jestliˇzepoˇcetvariantznaku 𝑋 vjednorozmˇern´emdatov´emsouborunen´ıpˇ r ´ ıliˇsvelk´yve srovn ´ an ´ ısrozsahemv´ybˇerov´ehosouboru,pakpˇriˇrazujeme ˇ cetnostijednotliv´ymvariant´am ahovoˇ r ´ ımeobodov´emrozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ı.
Z ´ akladn´ıpojmy
Necht’ jed´anjednorozmˇern´ydatov´ysoubor
⎜
1 . .
,vn ˇ em ˇ zznak 𝑋 nab´yv´a 𝑟 variant.Pro 𝑗 =1,...,𝑟 definujemeabsolutn´ ı ˇ cetnostvarianty 𝑥[𝑗] vev ´ ybˇerov´emsouboru
𝑗 = 𝑁 (𝑋 = 𝑥[𝑗]) , relativn´ ı ˇ cetnostvarianty 𝑥[𝑗] vev ´ ybˇerov´emsouboru
𝑗
𝑗 =
, absolutn´ıkumulativn´ ı ˇ cetnostprvn´ıch 𝑗 variantvev´ybˇerov´emsouboru
𝑗 = 𝑁 (𝑋 ≤ 𝑥[𝑗]) = 𝑛1 + + 𝑛𝑗
Pr˚uvodcez´akladn´ımistatistick´ymimetodami
arelativn´ıkumulativn´ ı ˇ cetnostprvn´ıch 𝑗 variantvev´ybˇerov´emsouboru
Tabulkatypujakonaobr´azku2.1senaz´yv´avariaˇcn´ ı ˇ rada(nebot´eˇztabulkarozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ı).
Tabulka2.1: Variaˇcn´ ı ˇ rada.
Pomoc´ırelativn´ıch ˇ cetnost´ızavedeme ˇ cetnostn´ıfunkci
apomoc ´ ırelativn´ıchkumulativn´ıch ˇ cetnost´ızavedemeempirickoudistribuˇcn´ıfunkci 𝐹 (𝑥)= ⎧
0pro 𝑥<𝑥[1]; 𝐹𝑗 pro 𝑥[𝑗] ≤ 𝑥<𝑥[𝑗+1],𝑗 =1,...,𝑟 1; 1pro 𝑥 ≥ 𝑥[𝑟].
ˇ Cetnostn´ıfunkcem´an´asleduj´ıc´ıvlastnosti:
jenez´aporn´a(∀𝑥 ∈ ℝ :˜ 𝑝 (𝑥) ≥ 0); jenormovan´a,tj.oznaˇc´ıme-li 𝑀 nejv´yˇsespoˇcetnoumnoˇzinutˇechre´aln´ych ˇ c ´ ısel,kde je ˇ cetnostn´ıfunkcekladn´a,pak(∑𝑥∈𝑀 𝑝 (𝑥)=1).
Empirick´adistribuˇcn´ıfunkcem´atytovlastnosti: jeneklesaj´ıc´ı(∀𝑥1,𝑥2 ∈ ℝ,𝑥1 <𝑥2 : ˜ 𝐹 (𝑥1) ≤ ˜ 𝐹 (𝑥2));
jezpravaspojit´a(∀𝑥0 ∈ ℝ libovoln´e,alepevnˇedan´e: lim𝑥→𝑥0+ ˜ 𝐹 (𝑥)= ˜ 𝐹 (𝑥0));
jenormovan´a(lim𝑥→−∞ 𝐹 (𝑥)=0, lim𝑥→∞ 𝐹 (𝑥)=1).
Pˇr´ıklad2.1. Prodatov´ysouborzpˇ r ´ ıkladu1.3sestavtevariaˇcn´ ı ˇ raduzn´amekzfyziky(oznaˇ c ´ ımejakoznak 𝑋).Nakresletegrafy ˇ cetnostn´ıfunkceaempirick´edistribuˇcn´ıfunkce. ˇ Reˇsen´ ı Cestakvytvoˇren´ıtabulky ˇ cetnost´ıvsyst´emuSTATISTICA: Statistiky–Z´akladn´ıstatistiky/tabulky–Tabulky ˇ cetnost´ı–Promˇenn´e X –V´ypoˇcet.Dostanemetaktabulku2.2,kde vid´ıme, ˇ zejedniˇckuzfyzikymˇeli4 ˇ z ´ aci,dvojku11 ˇ z ´ ak˚u,trojku9 ˇ z ´ ak˚u, ˇ ctyˇrku4 ˇ z ´ acianeprosp ˇ eli2 ˇ z ´ aci.Naposledn´ım ˇ r ´ adkuoznaˇcen´emChDjeuvedenpoˇcetchybˇej´ıc´ıchdat. Graf ˇ cetnostn´ıfunkce: Grafy–Histogramy– vypneme Typproloˇzen´ıNorm´aln´ı–Prom ˇ enn ´ a X –OK– naz ´ aloˇzce Detaily vybereme OsaY%–OK. Vevytvoˇren´emgrafudvakr´at
Tabulka četností:X: znamka z fyziky (zaci.sta)
Kategorie Četnost Kumulativní četnost Rel.četnost Kumulativní
Tabulka2.2: Tabulka ˇ cetnost´ıkpˇ r ´ ıkladu2.1.
kliknemenapozad´ıgrafu–vybereme Graf:Sloupce– odˇskrtnemeZobrazovatsloupcevybereme Graf:Obecn´e– za ˇ skrtneme Znaˇcky–OK.
Grafempirick´edistribuˇcn´ıfunkce:Pˇritvorbˇehistogramunaz´aloˇzce Detaily zvol´ıme Zobrazovan´ytypKumulativn´ı,OsaY% –dvakr´atkliknemenapozad´ıgrafu–vybereme Graf:Sloupce–Typ:Obd´eln´ıky–OK. Obagrafyvid´ımenaobr´azku2.1.Zgrafuempi-
Obr´azek2.1: Graf ˇ cetnostn´ıfunkce(vlevo)aempirick´edistribuˇcn´ıfunkce(vpravo)prodatazpˇ r ´ ıkladu 2.1.
rick´edistribuˇcn´ıfunkcebohuˇzelnelzejednoduˇseodstranitsvisl´e ˇ c ´ ary.Stoj´ızapovˇsimnut´ı, ˇ ze v ´ y ˇ ska ”schodu“vgrafuempirick´edistribuˇcn´ıfunkcevevariant´ach ”v ´ ybornˇe“, ”chvalitebnˇe“, ”dobˇre“, ”dostateˇcnˇe“a ”nedostateˇcnˇe“odpov´ıd´ahodnotˇe ˇ cetnostn´ıfunkcevpˇ r ´ ısluˇsn´evariantˇe. □
Grafick ´ ezn ´ azorn ˇ en´ıbodov ´ ehorozloˇzen´ı ˇ cetnost´ı
Existujenˇekolikzp˚usob˚ugrafick´ehozn´azornˇen´ ı ˇ cetnost´ıjednotliv´ychvariantznaku 𝑋.Zde uvedemesloupkov´ydiagramapolygon ˇ cetnost´ı.Sloupkov´ydiagramjesoustavanasebenenavazuj´ıc´ıchobd´eln´ık˚u,kdestˇredz´akladnyjevariantaznaku 𝑋 av ´ y ˇ skajeabsolutn´ ı ˇ cirelativn´ ı ˇ cetnostt´etovarianty.Polygon ˇ cetnost´ıjelomen´a ˇ c ´ araspojuj´ıc´ıbody,jejichˇz 𝑥-ov ´ a sou ˇ radnicejevariantaznaku 𝑋 a 𝑦-ov ´ asou ˇ radnicejeabsolutn´ ı ˇ cirelativn´ ı ˇ cetnostt´etovarianty.
Pˇr´ıklad2.2. Prodatov´ysouborzpˇ r ´ ıkladu1.3vytvoˇrtesloupkov´ydiagramprozn´amkyzfyziky(znak 𝑋)apolygon ˇ cetnost´ıprozn´amkyzchemie(znak 𝑌 ).
Pr˚uvodcez´akladn´ımistatistick´ymimetodami
ˇ Reˇsen´ ı
Vytvoˇren´ısloupkov´ehodiagramu: Grafy–Histogramy–Promˇenn´e X –OK– vypneme Norm´aln´ıproloˇzen´ı–Detaily– za ˇ skrtneme Mezerymezisloupci–OK. Vytvoˇren´ıpolygonu ˇ cetnost´ı:Vpracovn´ımseˇsituvstoup´ımedotabulkyrozloˇzen´ ı ˇ cetnost´ ı prom ˇ enn ´ e Y.Nastav´ımesena ˇ r ´ adekoznaˇcen´yChD.Pomoc´ ı Pˇ r ´ ıpady–Odstranit vyma ˇ zeme tento ˇ r ´ adek.Nastav´ımesekurzoremna ˇ Cetnost–kliknemeprav´ymtlaˇc´ıtkem– Grafybloku dat–Spojnicov´ygraf:cel´esloupce.Vykresl´ısepolygonabsolutn´ıch ˇ cetnost´ı.
SpojnicovýgrafzČetnost Tabulka51v*5c vybornechvalitebnedobredostatecnenedostatecne
Obr´azek 2.2: Sloupkov´ydiagramproznak 𝑋 (vlevo)apolygon ˇ cetnost´ıproznak 𝑌 (vpravo)zpˇ r ´ ıkladu 2.2.
Obagrafyjsouzn´azornˇenynaobr.2.2.Vid´ıme, ˇ zerozloˇzen´ızn´amekjevoboupˇ r ´ ıpadech velminerovnomˇern´e,pˇrevl´adaj´ıhodnocen´ ı ”chvalitebnˇe“a ”dobˇre“,varianty ”v ´ ybornˇe“, ”dostateˇcnˇe“a ”nedostateˇcnˇe“sevyskytuj´ım´enˇe ˇ casto.
2.2Dvourozm ˇ ern ´ ebodov ´ erozloˇzen´ı ˇ cetnost´ı Z ´ akladn´ıpojmy
Necht’ jed´andvourozmˇern´ydatov´ysoubor
⎜
,kdeznak X m ´ a 𝑟 variantaznak 𝑌 m ´ a 𝑠 variant.Pakdefinujemesimult´ann´ıabsolutn´ ı ˇ cetnostdvojice (𝑥[𝑗],𝑦[𝑘]) vev ´ ybˇerov´em souboru
𝑗𝑘 =
, simult´ann´ırelativn´ ı ˇ cetnostdvojice (𝑥[𝑗],𝑦[𝑘]) vev ´ ybˇerov´emsouboru
, margin´aln´ıabsolutn´ ı ˇ cetnostvarianty 𝑥[𝑗]
, margin´aln´ırelativn´ ı ˇ cetnostvarianty 𝑥[𝑗]
margin´aln´ıabsolutn´ ı ˇ cetnostvarianty 𝑦[𝑘]
, margin´aln´ırelativn´ ı ˇ cetnostvarianty 𝑦[𝑘]
sloupcovˇepodm´ınˇenourelativn´
cetnostvarianty
a ˇ r ´ adkovˇepodm´ınˇenourelativn´ ı ˇ cetnostvarianty
Simult´ann´ ı ˇ cetnosti ˇ cipodm´ınˇen´erelativn´ ı ˇ cetnostizapisujemedokontingenˇcn´ıtabulky.Kontingenˇcn´ıtabulkanapˇr.simult´ann´ıchabsolutn´ıch ˇ cetnost´ım´atvaruveden´yvtabulce2.3.
Tabulka2.3: Kontingenˇcn´ıtabulkaabsolutn´ıch ˇ cetnost´ı.
Funkce ˜ 𝑝 (𝑥,𝑦)= {
,𝑗 =1,...,𝑟,𝑘 =1,...,𝑠; 0jinak
senaz ´ yv ´ asimult´ann´ ı ˇ cetnostn´ıfunkce. ˇ Cetnostn´ıfunkceproznaky 𝑋 a 𝑌 odliˇ s ´ ımeindexem: 𝑝1 (𝑥)= { 𝑝𝑗 pro 𝑥 = 𝑥[𝑗],𝑗 =1,...,𝑟; 0jinak a 𝑝2 (𝑦)= { 𝑝 𝑘 pro 𝑦 = 𝑦[𝑘],𝑘 =1,...,𝑠; 0jinak
Necht’ 𝑀1 resp. 𝑀2 jsounejv´yˇsespoˇcetn´emnoˇzinyre´aln´ych ˇ c ´ ısel,kde 𝑝1 (𝑥) resp. 𝑝2 (𝑦) jsoukladn´e.Mezisimult´ann´ ı ˇ cetnostn´ıfunkc´ıamargin´aln´ımi ˇ cetnostn´ımifunkcemiplat´ ı vztahy 𝑝1 (𝑥)= ∞ ∑ 𝑦=−∞ 𝑝(𝑥,𝑦), 𝑝2 (𝑦)= ∞ ∑ 𝑥=−∞ 𝑝(𝑥,𝑦).
Funkce 𝑝1∣2 (𝑥 ∣𝑦 ) zaveden´avztahem
senaz ´ yv ´ asloupcovˇepodm´ınˇen´a ˇ cetnostn´ıfunkce.Funkce 𝑝2
1 (𝑦 ∣𝑥 ) zaveden´avztahem
senaz ´ yv ´ a ˇ r ´ adkovˇepodm´ınˇen´a ˇ cetnostn´ıfunkce.
ˇ Rekneme, ˇ zeznaky 𝑋, 𝑌 jsouvdan´emv´ybˇerov´emsouboru ˇ cetnostnˇenez´avisl´e,kdyˇz prov ˇ sechna 𝑗 =1,...,𝑟 av ˇ sechna 𝑘 =1,...,𝑠 plat´ımultiplikativn´ıvztah
neboli
Definici ˇ cetnostn´ınez´avislostilzevyslovititakto:znaky 𝑋, 𝑌 jsouvdan´emv´ybˇerov´em souboru ˇ cetnostnˇenez´avisl´e,jestliˇzeplat´ ı
resp.
Znamen´ato, ˇ zepodm´ınˇen´a ˇ cetnostn´ıfunkceznaku 𝑋 zapodm´ınky 𝑌 = 𝑦 jerovnamargin´aln´ ı ˇ cetnostn´ıfunkciznaku 𝑋,resp.podm´ınˇen´a ˇ cetnostn´ıfunkceznaku 𝑌 zapodm´ınky 𝑋 = 𝑥 jerovnamargin´aln´ ı ˇ cetnostn´ıfunkciznaku 𝑌
Pˇr´ıklad2.3. Prodatov´ysouborzpˇ r ´ ıkladu1.3:
a)sestavtekontingenˇcn´ıtabulkysimult´ann´ıchabsolutn´ıcharelativn´ıch ˇ cetnost´ı;
b)nakresletegrafsimult´ann´ ı ˇ cetnostn´ıfunkce ˜ 𝑝 (𝑥,𝑦);
c)sestavtekontingenˇcn´ıtabulkysloupcovˇea ˇ r ´ adkovˇepodm´ınˇen´ychrelativn´ıch ˇ cetnost´ı; d)zjistˇete,kolikprocenttˇech ˇ z ´ ak˚u,kteˇ r ´ ım ˇ elijedniˇckuzchemie,mˇelodvojkuzfyziky;
e)zjistˇete,kolikprocenttˇech ˇ z ´ ak˚u,kteˇ r ´ ım ˇ elijedniˇckuzfyziky,mˇelodvojkuzchemie; f)zjistˇete,zdaznakyX,Yjsouvdan´emv´ybˇerov´emsouboru ˇ cetnostnˇenez´avisl´e.
ˇ Reˇsen´ ı Ada),cestakvytvoˇren´ıkontingenˇcn´ıtabulkyvsyst´emuSTATISTICA: Statistiky–Z´akladn´ ı statistiky/tabulky–Kontingenˇcn´ıtabulky–OK–Specif.tabulky–List1 X,List2 Y –OK –OK– naz ´ aloˇzce Moˇznosti za ˇ skrtneme Procentacelkov´ehopoˇctu–V´ypoˇcet
Celková četn. Četnost
Celková četn. Četnost
Celková četn. Četnost
Celková četn. Četnost
Celková četn. Četnost
Celková četn.
Obr´azek2.3: Kontingenˇcn´ıtabulkazpˇ r ´ ıkladu2.3.
Vtabulce2.3vid´ıme, ˇ zevna ˇ semsouborujsoudva ˇ z ´ aci(tj. 6,67 %),kteˇ r ´ ım ˇ elizobou p ˇ redmˇet˚u ”v ´ ybornˇe“,dva ˇ z ´ aci(tj. 6,67 %),kteˇ r ´ ım ˇ elizfyziky ”v ´ ybornˇe“azchemie ”chvalitebnˇe“atd.
Adb),nakreslen´ıgrafusimult´ann´ ı ˇ cetnostn´ıfunkce:Naliˇstˇeaktivujeme V´ysledky:kontingenˇcn´ıtabulky–Detaily – 3Dhistogramy. Vznikl´ygrafjetˇrebaupravit:dvakr´atklikneme my ˇ s ´ ınapozad´ıgrafu–vybereme Graf–Vzhled–Typ–ˇ Spiˇcky–OK.V´ysledn´ygrafjena obr´azku2.4.Pozor,vgrafujsouzn´azornˇenyabsolutn´ısimult´ann´ ı ˇ cetnosti,nikolivrelativn´ı. Graflzenat´aˇcetpomoc´ ı Zorn´ehobodu.
Dvourozměrnérozdělení:XxY
Obr´azek2.4: Grafsimult´ann´ ı ˇ cetnostn´ıfunkcekpˇ r ´ ıkladu2.3.
Adc),vytvoˇren´ıkontingenˇcn´ıchtabuleksloupcovˇea ˇ r ´ adkovˇepodm´ınˇen´ychrelativn´ıch ˇ cetnost´ı:Naliˇstˇeaktivujeme V´ysledky:kontingenˇcn´ıtabulky –naz ´ aloˇzce Moˇznosti za ˇ skrtneme Procentazpoˇctuvesloupciresp.Procentazpoˇctuv ˇ r ´ adku–V´ypoˇcet.Kontingenˇcn´ ı tabulkusloupcovˇepodm´ınˇen´ychrelativn´ıch ˇ cetnost´ıvid´ıtevtabulce2.4,kontingenˇcn´ıtabulku ˇ r ´ adkovˇepodm´ınˇen´ychrelativn´ıch ˇ cetnost´ıvtabulce2.5.
