Luboš Bauer, Hana Lipovská, Miloslav Mikulík, Vít Mikulík
Matematika v ekonomii a ekonomice
Moderní učebnice podle anglosaských univerzit
Aplikace matematiky na ekonomické disciplíny
Řešené příklady i samostatná cvičení s výsledky
Případové studie z ekonomické praxe
Luboš Bauer, Hana Lipovská, Miloslav Mikulík, Vít Mikulík
Matematika v ekonomii a ekonomice
Upozornˇeníproˇctenáˇreauživateletétoknihy Všechnaprávavyhrazena.Žádnáˇcásttétotištˇenéˇcielektronickéknihynesmíbýtreprodukovánaašíˇrenavpapírové,elektronickéˇcijinépodobˇebezpˇredchozíhopísemnéhosouhlasu nakladatele.Neoprávnˇenéužitítétoknihybude trestnˇestíháno
RNDr.LubošBauer,CSc. HanaLipovská doc.RNDr.MiloslavMikulík,CSc.
Ing.VítMikulík
Matematikavekonomiiaekonomice
TIRÁŽTIŠT ˇ ENÉPUBLIKACE: Knihajemonografie
VydalaGradaPublishing,a.s. UPr˚uhonu22,17000Praha7 tel.:+420234264401,fax:+420234264400 www.grada.cz jakosvou5755.publikaci
Odbornárecenze: prof.RNDr.IvankaHorová,CSc.
VydáníodbornéknihyschválilaVˇedeckáredakcenakladatelstvíGradaPublishing,a.s.
OdpovˇednýredaktorPetrSomogyi
GrafickáúpravaasazbaMgr.DavidHampel,Ph.D. Poˇcetstran352
Prvnívydání,Praha2015
VytisklyTiskárnyHavlíˇck˚uvBrod,a.s.
c GradaPublishing,a.s.,2015
CoverPhoto c fotobankaallphoto
ISBN978-80-247-4419-3
ELEKTRONICKÁPUBLIKACE:
ISBN978-80-247-9651-2(veformátuPDF)
1.1.2 ˇ
1.2.2 ˇ Rešenépˇríkladyaaplikace.......................31 1.3Poznámkykvýstavbˇematematiky.......................32 1.4Úlohykprocviˇcení...............................34
2.2.1Dalšívlastnostireálných
2.2.2Zavedeníracionálníchoperacísnevlastními ˇ císly...........41
2.2.3Zavedenípojmuinterval........................41
2.2.4Nerovnicevoborureálných ˇ
2.2.5Zavedeníabsolutníhodnotyreálného ˇ
2.2.6Mocninyaodmocninyreálných
2.3Komplexní ˇ císla.................................49
2.4Pˇripomenutíd˚uležitýchvzorc˚upropoˇcítánís ˇ císly...............51
2.5 ˇ Rešenépˇríkladyaaplikace...........................53
3Maticováalgebra 63
3.1Matice......................................63
3.2Zvláštnítypymatic...............................66
3.3Základníoperacesmaticemi..........................68
3.4Úlohykprocviˇcení...............................75
3.5Soustavylineárníchrovnic...........................75
3.5.1Soustava m lineárníchrovnico n neznámých.............76
3.6Eliminaˇcnímetody ˇ rešenísystémulineárníchrovnic..............81
3.7Elementárníúpravymatic............................82
3.8Ekvivalentnímatice...............................83
3.9Gaussovaeliminaˇcnímetoda..........................83
3.10Jordan˚uvalgoritmus...............................84
3.11Maticeinverzníke ˇ ctvercovématici......................86 3.12Determinanty..................................88
3.13Výpoˇcetdeterminanturozvojempodlelibovolného ˇ rádku nebosloupce..................................92
3.13.1Vztahmezi |A| a |AT | .........................93
3.14Výpoˇcethodnotydeterminantuzhornítrojúhelníkové matice......................................95
3.15Použitídeterminant˚u..............................95
3.16Pˇrímývýpoˇcetinverznímaticepomocídeterminant˚u.............97
3.17 ˇ Rešenépˇríkladyaaplikace...........................98 3.18Úlohykprocviˇcení...............................105
4.2Aritmetickáageometrickáposloupnost....................109 4.3Limitaposloupnosti...............................115
4.4Vlastnostiposloupnostíreálných
4.5Nekoneˇcné ˇ císelné ˇ
4.6Aplikaceposloupností.............................127
4.7 ˇ Rešenépˇríkladyaaplikace...........................136 4.8Úlohykprocviˇcení...............................139
5.3Limitaaspojitostfunkcejednépromˇenné...................149
5.3.1Úvodnípoznámkykzavedenílimityreálnéfunkcejednépromˇenné.149
5.3.2Definicelimityfunkcevdanémbodˇe.................150
5.3.3Spojitostfunkcevbodˇe.........................154
5.3.4Inverznízobrazení...........................156
5.4Elementárnífunkce...............................157
5.4.1Polynom................................157
5.4.2Racionálnílomenáfunkce.......................163
5.4.3Funkce n √x ...............................165
5.4.4Exponenciálnífunkcealogaritmus...................165
5.4.5Trigonometrickéacyklometrickéfunkce...............167
5.4.6Složenáfunkce.............................173
5.5Úlohykprocviˇcení...............................175
6Diferenciálnípoˇcetfunkcíjednépromˇenné
6.1Zavedenípojmuderivacefunkce........................177
6.2Derivacesloženýchfunkcí...........................184
6.3Derivacevyšších ˇ rád˚u..............................187
6.4Derivacefunkce f (x)g(x) ............................187
6.5L’Hospitalovopravidlo.............................188
6.6Funkcespojiténaintervalu...........................190
6.7Vˇetyofunkcíchspojitýchnaintervalu a,b ..................192
6.8Funkcemonotónnínaintervalualokálníextrémy...............194
6.9Globálníextrémy................................199
6.10Konvexnostakonkávnostfunkce........................200
6.11Pr˚ubˇehfunkce..................................206
6.12DiferenciálaTaylorovavˇeta..........................212
6.13 ˇ Rešenépˇríkladyaaplikace...........................215
6.14Úlohykprocviˇcení...............................225
7Neurˇcitýintegrál
231
7.1Primitivnífunkce................................231
7.2Metodaperpartes(po ˇ cástech).........................236
7.3Výpoˇcetneurˇcitéhointegrálusubstitucí....................238
7.3.1Racionálnílomenáfunkceajejírozklad................244
7.3.2Rozkladreálnéryzelomenéracionálnífunkcenasouˇcet parciálníchzlomk˚u...........................245
7.3.3Integraceracionálnílomenéfunkce..................248
7.3.4Integracenˇekterýchvýznamnýchtˇrídfunkcí..............255
7.4Úlohykprocviˇcení...............................259
8.1ZavedeníRiemannovaintegrálu........................262
8.2VlastnostiRiemannovaintegrálu........................265
8.3ExistenceRiemannovaintegrálu........................266
8.4VýpoˇcetRiemannovaintegrálu.........................267
8.4.1Metodaperpartesasubstituˇcnímetodaprovýpoˇceturˇcitéhointegrálu268
8.5Nevlastníintegrály...............................272
8.5.1Integrál
8.5.2Integrál
8.5.3Integrál
8.6Nevlastníintegrályvzhledemkfunkci.....................275
8.7.2Lichobˇežníkovámetodanavýpoˇctu
Seznamobr ´ azk˚u
1.1Znázornˇenímnožiny M
1.2Znázornˇenímnožiny M ajejíchprvk˚u.....................24
1.3Znázornˇeníkomplementumnožiny
1.4Znázornˇenímnožiny A
1.6Znázornˇenípr˚uniku A ∩ B
2.1 ˇ Císelnáosa...................................38 2.2Intervaly.....................................42 2.3Kpoznámce2..................................44
2.4Komplexnˇesdružená ˇ
2.5Rozdˇeleníkomplexních ˇ císel..........................52
3.1Násobenímatic.................................70
3.2Výpoˇcetdeterminantumatice2. ˇ rádu......................89
3.3Výpoˇcetmatice S1 (první ˇ cástdeterminantumatice3. ˇ rádu)..........90
3.4Výpoˇcetmatice S2 (druhá ˇ cástdeterminantumatice3. ˇ rádu,kterouodprvní ˇ cástiodeˇcteme).................................91
3.5Výpoˇcetdeterminantumatice3. ˇ ráduspˇridánímprvníchdvou ˇ rádk˚u.....91
4.1Bodyreprezentující ˇ clenyposloupnosti.....................108
4.2Znázornˇeníposloupnosti............................108
4.3Znázornˇenívklad˚u...............................110
4.4Znázornˇenívklad˚u...............................112
4.5Ilustrace ˇ rešenípomocíExcelu.........................114
4.6Ilustrace ˇ rešenípomocíExcelu–inflacevyjádˇrenávprocentechje2,596%.114
4.7První ˇ clenyposloupnosti {1/n} ........................115
4.8Ilustracek ˇ rešenípˇríkladupomocíExcelu...................122
4.9Ilustracek ˇ rešenípomocíExcelu........................131
4.10Ilustracek ˇ rešenípomocíExcelu........................131
4.11Ilustracek ˇ rešenípomocíExcelu........................132
4.12Ilustracek ˇ rešenípomocíExcelu........................132
4.13Ilustracek ˇ rešenípomocíExcelu........................133
4.14Ilustracek ˇ rešenípomocíExcelu........................133
5.1Zobrazení F množiny A do B .........................142
5.2Souˇradnicebodu................................144
5.3Grafparaboly y = x2 ..............................145
5.4Grafzávislostipodílusenior˚unapopulacivjednotlivýchletech........146
5.5Grafzávislostipoˇctuprodanýchkolobˇežekvjednotlivýchdnech.......147
5.6Graffunkce y = 1 x ...............................150
5.7 limx→a+ f (x)= α ...............................151
5.8 limx→a+ f (x)= ∞ ...............................152
5.9 limx→∞ f (x)= α ...............................152
5.10 limx→∞ f (x)= ∞ ...............................153
5.11Znaménkofunkce f (x)= x2 5x +6 ....................156
5.12Zobrazení f množinyAdoBazobrazení f 1 množinyBdoA........157
5.13Zobrazení f množinyAdoBazobrazeníknˇemuinverzní..........157
5.14Graflineárnífunkce...............................160
5.15Koˇrenypolynomu2.stupnˇe...........................163
5.16Vlevograffunkce y = x2 a y = √x,vpravograffunkce y = x3 a y = 3 √x pro x ≥ 0 ....................................165
5.17Graffunkce ax a loga x pro a> 1
5.18Graffunkce ax a loga x pro 0 <a< 1
5.19Úhelvobloukovémíˇre.............................168
5.20Vztahmezivelikostiúhluvestupníchavobloukovémíˇre...........168
5.21Zavedenífunkcí sin x, cos x, tg x a cotg x
5.22Graffunkce sin x ................................170
5.23Graffunkce cos x
5.24Graffunkce tg x .................................172
5.25Graffunkce cotg x ...............................172
5.26Graffunkce arcsin x ..............................173
5.27Graffunkce arccos x ..............................173
5.28Složenézobrazení................................174
6.1Teˇcnakegrafufunkce y = f (x) vbodˇe T [a,f (a)] ..............178
6.2Funkceslokálnímmaximemvbodech a a b alokálnímminimemvbodˇe c ..191
6.3Absolutníextrémyna a,b ...........................191
6.4Porušenípˇredpoklad˚uvˇety6.6.1........................192
6.5Derivace–smˇerniceteˇcny(f (a) > 0).....................192
6.6Derivacejakosmˇerniceteˇcny(f (a) < 0)...................193
6.7Interpretacevˇety6.7.1.............................193
6.8Monotónnostfunkce f (x)=2x3 15x2 +36x 5 .............195
6.9 f (x) máv x0 derivaci..............................195
6.10 f (x) nemáv x0 derivaci............................196
6.11Tvarplechunakrabici.............................200
6.12Zavedenífunkce Φ(x) vbodˇe a ........................201
6.13Funkce f (x) mávbodˇe T [a,f (a)] inflexníbod................201
6.14Funkceryzekonvexnínaintervalu I ......................203
6.15Funkceryzekonkávnínaintervalu
6.16Funkcekonvexnínaintervalu I
6.17Funkcekonkávnínaintervalu I
6.18Konkávnost,konvexnostainflexníbodfunkce
6.19Konvexnostfunkce
6.20Konkávnost,konvexnostainflexníbodfunkce
6.21Asymptotybezsmˇernice– x = 1
6.22Asymptotasesmˇernicívbodˇe ∞
6.23Náˇcrtekgrafufunkce
6.24Prodejzboží...................................211
6.25Významdiferenciálu..............................212
6.26Lineárnípoptávkováfunkce, P = aQ + b
6.27Dokonaleneelastickápoptávka.........................216
6.28Dokonaleelastickápoptávka..........................216
6.29Lokálníminimumfunkce
8.1Význam s(f,D5) ................................262
8.2Význam S(f,D5) ................................263
8.3Význam
8.4Funkcepo ˇ cástechspojitá............................266
8.5Definicenevlastníhointegrálu ∞ a f (
8.6Aproximace f (x) polynomem P i 3 (x)
8.7Grafrozloženíbohatstvívpopulaci.......................286
8.8VýpoˇcetGinihokoeficientu...........................286
9.1Pr˚umˇetybod˚u..................................295
9.2Vrstevnicefunkce z = x2 + y2 oúrovních1a4................295
9.3Vzdálenostbod˚uv R2 aPythagorovavˇeta...................296
9.4Okolí Uδ(A)= {X ∈ Rn : (A,X) ≤ δ}
9.5Množina M ...................................297
9.6Hromadnýbod Y ................................297
9.7Limitafunkcevbodˇe A .............................300
9.8Nevlastnílimitavbodˇe A ............................301
9.9Geometrickývýznamparciálníchderivací...................302
9.10Extrémyfunkcívícepromˇenných........................304
9.11Uzavˇrenáoblast.................................308
10.1Dílek Di,j obdélníku D .............................310 10.2Kvádrspodstavou Di,j avýškou hi,j .....................311
10.3Souˇcetobjem˚ukvádr˚u.............................311 10.4Uzavˇrenáoblast ω ................................312
10.5Normálníuzavˇrenáoblastvzhledemkose x ..................313 10.6Normálníuzavˇrenáoblastvzhledemkose y ..................314 10.7Oblast D ....................................314
10.8Oblast D ....................................315
10.9Oblast D ....................................316
10.10Obdélníkovýpr˚uˇrez..............................317
10.11Oblast D ....................................317
10.12Regulárníoblast Ω=Ω1 ∪ Ω2 .........................318
10.13Polárnísouˇradnice...............................319
10.14Ilustracekpˇríkladu288:vlevooblast A,napravooblast B ..........320
10.15Oblast A ....................................321
10.16Oblast At (vlevo)aoblast Bt (vpravo).....................322
10.17Oblast A ....................................322
10.18Oblast An ....................................323
11.1Schémarozhodovánípˇriobjednávce......................325
11.2Dolibovolnébuˇnkynapíšemevzorecpermutace(n;r).............328
11.3Výsledekjeuvedenveformˇevˇedeckéhozápisu................328
11.4Úpravaformátu.................................328
11.5Výsledekpermutace...............................329
11.6Schémazasedacíhopoˇrádku..........................330
Seznamtabulek
1.1Tabulkapravdivostníchhodnot.........................29
3.1UkazatelezVýbˇerovéhošetˇrenípracovníchsil(2011).............63
3.2Inflace[%]...................................68
3.3Nezamˇestnanost[%]..............................68
5.1Vztahmezivelikostmiúhl˚uvestupníchavradiánech.............168
6.1Derivaceelementárníchfunkcí.........................181
7.1Tabulkavýznaˇcnýchneurˇcitýchintegrál˚u...................234
8.1Rozloženíbohatstvímezidˇetmi.........................285
11.1Výpisvšechuspoˇrádanýchtrojic........................332
11.2Uspoˇrádanétrojicebezopakování.......................333
11.3Výpisvšechuspoˇrádaných ˇ ctveˇric.......................337
11.4Výbˇerpermutacísopakováním.........................337
11.5Schematickéznázornˇenívšechuspoˇrádání6kspralinekdvoudruh˚u.....339
Oautorech
RNDr.Lubo ˇ sBauer,CSc.
AbsolvovalPˇrírodovˇedeckoufakultuMasarykovyuniverzity,kdevroce1989získaltitulkandidátavˇedvoborualgebraateorie ˇ císel(práceAsociativníschemata,koherentníkonfiguraceabuˇnkovéalgebry).Vletech1978–1982p˚usobiljakoodbornýpracovníkVýzkumného ústavuelektrickýchstroj˚utoˇcivých,vletech1986–1991vÚstavuvýpoˇcetnítechnikyMU. Odtétodobysezabývátakéotázkamivyužitíe-learninguvevýucematematiky.Poroce 1991spoluzakládalKatedruaplikovanématematikyainformatikyEkonomicko-správnífakultyMU,jejímžjeodroku2008vedoucím.Jeaktivnˇe ˇ cinnývakademickéobciijako ˇ clen AkademickéhosenátuMU.
HanaLipovsk ´ a
StudujeoborHospodáˇrskápolitikanaEkonomicko-správnífakultˇeMasarykovyuniverzity vBrnˇe,kdetakép˚usobilavletech2011–2012jakoexternípracovniceKatedryaplikované matematikyainformatiky.JejípráceTeoriehervekonomii(2010)získalanˇekolikocenˇení vestudentskýchsoutˇežích(napˇr.cenaMerkursoutˇeže ˇ Ceskáhlaviˇcka),najejichžzákladˇe ˇ cerpalagrantPPNSJCMM.Vesvé ˇ cinnostisezamˇeˇrujenaproblematikulidskéhokapitálu, ekonomier˚ustuametodologievˇedy.Externˇespolupracujes ˇ Ceskýmstatistickýmúˇradem aMŠMT ˇ CR.Je ˇ rádnou ˇ clenkou ˇ Ceskéspoleˇcnostiekonomické,Jednoty ˇ ceskýchmatematik˚u afyzik˚uaTheAmericanEconomicAssociation.
doc.RNDr.MiloslavMikul´ık,CSc.
VystudovalPˇrírodovˇedeckoufakultuMUvBrnˇe.Pozdˇejizískaltitulkandidátavˇedahabilitovalse.Jehoprvníprácepatˇrilydooblastialgebry.Pracovalvevýzkumnémústavu,kdese zabýval ˇ rešenímtechnickýchaplikacímatematikyazavádˇenímvýpoˇcetnítechnikydopraxe. Výzkumnouapublikaˇcní ˇ cinnostvoblastinumerickýchmetod(splajny)rozvíjelnapozici samostatnéhovˇedeckéhopracovníkabˇehemp˚usobenívAkademiivˇed.Tˇrirokyp˚usobiljako assistantprofessornauniverzitˇevKuvajtu.Vroce1991sepodílelnainstitucionalizaciKatedryaplikovanématematikyainformatikynovˇevznikajícíEkonomicko-správnífakultyMU, kdeodtédobynepˇretržitˇepedagogickyp˚usobí.
Ing.V´ıtMikul´ık
JeabsolventemFakultystavebníVysokéhouˇcenítechnickéhovBrnˇe,oboruKonstrukceadopravnístavby.Matematicesevˇenovaljižjakostudentvmatematickétˇrídˇeijakoúˇcastník olympiád.Svouodbornoupracovníavˇedecko-výzkumnou ˇ cinnostzamˇeˇrilnamatematické ˇ rešeníproblém˚uaplikovanémechaniky.NaMUvBrnˇesezapojildonˇekolikaprojekt˚u.Jako vysokoškolskýpedagognaVUTvBrnˇejetv˚urceme-learningovýchkurz˚u.Aktivnˇeseúˇcastní ˇ cetnýchkonferencíasemináˇr˚u.
Uvodn´ıslovorecenzenta
Publikaci Matematikavekonomiiaekonomice lzepovažovatzazákladníuˇcebnítextmatematikyprostudentyekonomie.
Knihajevhodnˇeuspoˇrádánadojedenáctikapitol.Výkladzaˇcínápˇripomenutímzákladníchmatematickýchpojm˚u.Postupnˇejsouuvedenadalšítémataažponásobnéintegrály. Posledníkapitolajevˇenovánaužiteˇcnémunástrojivpoˇctupravdˇepodobnosti–kombinatorice.
Každákapitolazaˇcínámotivaˇcnímpˇríkladem,projehož ˇ rešeníjepakvybudovánamatematickáteorie.Výkladsicenezahrnujepreciznímatematickéd˚ukazy,aleukazujeužitízískanýchmatematickýchdovednostík ˇ rešenípraktickýchúloh.Zejménalzeocenit,žesouˇcástí každékapitolyjsouaplikace,kterésezabývají ˇ rešenímkonkrétníchekonomickýchproblém˚u. Navícjeukaždékapitolyuvedenoshrnutíaúlohykprocviˇcení.
Knihapoutavýmzp˚usobemukazuje,jaklzematematickéznalostivyužívatazejménajak selzesjejichpomocívypoˇrádatsekonomickouteoriíapraxí.
Recenzovanápublikacejesiceprimárnˇeurˇcenaprostudentyekonomie,alejevhodná iprostudentyjinýchnematematickýchobor˚u.
prof.RNDr.IvankaHorová,CSc. Ústavmatematikyastatistiky
PˇrírodovˇedeckáfakultaMasarykovyuniverzityvBrnˇe
Pˇredmluva
Vysokoškolštístudentiekonomie(aekonomovéobecnˇe)vˇetšinoupatˇrídojednézedvou skupin.Prvníjetvoˇrenatˇemi,kteˇrísizvolilistudiumekonomie, protože jevnˇempotˇreba matematiky.Pokuddotétoskupinypatˇríte,pakvámblahopˇrejeme–ocitlijstesevespoleˇcnostitakovýchekonomickýchtitán˚u,jakýmibyliMiltonFriedman,GaryBeckerneboPaul Samuelson.NikolináhodousejednáolaureátyNobelovyceny.Pokudsibudetechtítpˇreˇcíst jejichodbornépráce,zjistíte,žesebezd˚ukladnéznalostimatematikyneobejdete.Dotéto prvotˇrídnískupinyjstesepravdˇepodobnˇedostalipoúspˇešnématuritˇezmatematikyamožná iocenˇeníchzmatematickýcholympiád.Základnívysokoškolskékurzymatematikyprovás nep ˇ redstavujínicobtížného–derivovataintegrovatjstesenauˇciliužnastˇredníškoleasmaticemisiporadítevpˇrestávcemezipˇrednáškamimikroekonomieafinancí.
Dodruhéskupinyse ˇ radíti,kteˇríšliekonomiistudovat, p ˇ restože jevnípotˇrebamatematiky.Tito„nešt’astníci“vˇenujínesmírnéúsilípˇrípravˇenazávˇereˇcnouzkouškuapojejím absolvovánísizhloubisrdceoddechnou,žeužsymbolyprolimityaintegrál(nemluvˇeotˇech podivnýchhieroglyfechzparciálníchderivací)nikdyneuvidí.
At’užjstesepoznalivkterékolivzezmínˇenýchskupin,dˇrívenebopozdˇejisenejspíšzeptáte,k ˇ cemuvámstudiummatematikyje.Kdejespojitostmeziderivacíamikroekonomií? K ˇ cemuvámposloužíinverznímaticevbˇežnémživotˇe?ProˇcsevefinancíchpoužíváEulerovo ˇ císlo?Comajíspoleˇcného ˇ casové ˇ radyapenˇežnímultiplikátor?Pokudsitytootázky nepoložíte,uˇcinítakzaváspˇrednášejícívevˇetšinˇekurz˚uodmikroekonomieamakroekonomie,pˇresekonomiipráceaveˇrejnouekonomiiažpostatistikuaekonometrii.Vevšech tˇechtokurzechnavászestránekuˇcebnictuatamvykouknoustˇrípkymatematikyzakuklené doekonomickýchproblém˚u.
Tatoknihajeurˇcenanejenprovšechny,kteˇrísechtˇejínauˇcitmatematikuscílemúspˇešnéhosloženízkoušky,aletaképroty,kteˇríchtˇejílépeporozumˇetekonomii.Napˇríkladkytaristanepotˇrebujeumˇetvyrobitkytaru,abynanidokázalskvˇelehrát.Pˇrestosisvékytarynejen nesmírnˇeváží,alezároveˇnsesnažíporozumˇetjednotlivýmprvk˚umhudebníhonástroje.Skuteˇcnývirtuosrozumíhudebnímunástrojivíc,nežmnozíokolotuší.Podobnˇeiprovásjako budoucíekonomyjematematikanástrojem.Krásnýmadokonalým,alestálejenprostˇredkem kesnadnˇejšímu ˇ rešeníobtížnýchekonomickýchproblém˚u.Nutnovšakpodotknout,žebeztohotonástrojesevirtuosyvekonomiinestanete.Vtétoknizevásušetˇrímedetailníhorozboru všechsouˇcástek,znichžjenástroj(matematika)vyroben.Nebudemevászatˇežovatd˚ukazy apostupy,kteréprovásnejsounezbytnˇenutné.Pokudbudetevnˇekterýchoblastechhledat odpovˇed’naotázku„Proˇctotakje?“,odkážemevásna ˇ raduvynikajících,alejižnároˇcnˇejšíchmatematickýchknih,kterésezabývajíryzeteoretickýmiaspektyvˇedy.Nepˇristupujeme
kmatematicejakokvˇedˇe,aleradˇejivásprovedemetím,jakakdyjednotlivématematickédovednostipoužívatapˇredevšímjaksesjejichpomocívypoˇrádatsekonomickouteoriíapraxí.
Knihaje ˇ clenˇenadorelativnˇesamostatnýchkapitol,kterépokrývajívšechnyzákladníoblastiekonomickématematiky.Posledníkapitola–kombinatorika–nebývásouˇcástívýuky, poznatkyznívšakvyužijetepˇristudiuteoriepravdˇepodobnostivkurzechstatistiky.Souˇcástí kapitoljsouaplikace,kterésezabývajíkonkrétnímiekonomickýmiproblémy,pˇrijejichž ˇ rešenívyužívámediskutovanénástroje.Všechnykapitolyjsouuzavˇrenyzávˇereˇcnýmshrnutím aúlohami.Vícenežtˇristovky ˇ rešenýchpˇríklad˚uvámpomohoulépepochopitvysvˇetlenou látkuaekonomickéaplikace.
Našimcílem(ajistˇeseshodnemesvašimivyuˇcujícími)není,abysezvásstalydokonalé lidskémultifunkˇcníkalkulaˇcky.Bylibychomrádi,abystepochopilipodstatumatematických nástroj˚uavidˇeli,kdykterýznichpoužít.Vbˇežnémprofesnímživotˇebudeteprozdlouhavé mechanicképostupyvyužívatvýpoˇcetnítechniku.Výsledektakzískátenepomˇernˇerychleji nežruˇcnímvýpoˇctemanavícminimalizujeterizikochyby.Seznámímevásprotoispostupy ˇ rešenínumerickysložitˇejšíchpˇríklad˚upomocípoˇcítaˇce.Existuje ˇ radakomerˇcníchivolnˇe dostupnýchsoftwar˚u,kteréjsoupro ˇ rešenímatematickýchproblém˚uvhodné(vekonomii patˇrímezivelmiužiteˇcnénapˇr.Matlab,kterýjevyuˇcovánnamnoha ˇ ceskýchfakultách).
Nechtˇelijsmevšakznevýhodˇnovattystudenty,kteˇrísenikdynesetkalisprogramováním, protopoužívámeširocerozšíˇrenýtabulkovýprocesorMicrosoftExcel(verze2010).Jeho výhodoujesnadnéovládání,bˇehemsvéhoprofesníhoživotasesnímnavícbudetesetkávat nejˇcastˇeji.Nevýhodouje,žesejednáokomerˇcní,atedyplacenýprodukt.Vˇetšinapopsaných funkcíjevšaksouˇcástívolnˇedostupnýchsoftwar˚uobdobnéhocharakteru.
Pˇri ˇ rešeníekonomickýchproblém˚upoužívámetradiˇcníekonomickézkratkyasymboly. Pokudjstesesnˇekterýmoznaˇcenímpromˇenné ˇ cifunkcenesetkali,m˚užetenahlédnoutdo seznamuzkrateknakoncipublikace.Neocenitelnoustudijnípom˚uckouprovˇetšinuznás jeinternet,pˇriˇcemžpˇresnˇejšíodpovˇed’nakonkrétníproblém ˇ castˇejinajdemenaanglických webovýchstránkáchnebovodborných ˇ casopisech(taképublikovanýchvˇetšinouvangliˇctinˇe).Prosnazšíorientaciprotovtétoknizenaleznetetaké ˇ cesko-anglickýglosáˇrpojm˚u, snimižsebˇehemstudiamatematikysetkáte.
KnihuMatematikavekonomiiaekonomicejsmepsalivprvní ˇ radˇeprostudenty.Tomu jsmepodˇrídilivolbutématpˇríklad˚u, ˇ castˇejšíopakovánízákladníchvztah˚u,stylijazyk(vynasnažilijsmesenepoužívatvmatematicekanonické,alebˇežnémusmrtelníkovitˇežkosrozumitelnépojmyaobraty).Pˇrestovˇeˇríme,žetutopublikacivyužijíivyuˇcující–zejménajako zdrojnámˇet˚ukpropojenímatematickéteoriespestroupraxíekonomieaekonomiky.Zárove ˇ njsmepˇresvˇedˇceni,žeknihajevhodnáiprostudiummatematikyvoborech,kterénejsou primárnˇezamˇeˇrenynaekonomiiaekonomiku.
Pˇrejemevám,at’vásvašestudiummatematikydovedekobjevovánínovýchobzor˚uaobdivovánínetušenýchsouvislostí.Kéžpˇrispˇejedomozaikyvašehovzdˇelání,at’užjespecializovánojakkoli.Kéžiekonomickévztahyapˇredevšímekonomickýstylmyšleníseprovás nazákladˇematematikyobjevívnovédimenzi.
Vašiautoˇri
Kapitola1
Pˇripomenut´ız ´ akladn´ıchznalost´ı zmatematiky
Pojemmnožinajezákladnímpojmemvmatematice.Protosijejhnedvúvodupˇripomeneme. Ukážemesitéžnˇekterémnožinovéoperaceavysvˇetlímepojemvýroku.Dálesebudeme zabývatvýrokovoulogikouazákladyvýstavbymatematiky.
1.1Mnoˇzina
Pojemmnožinajezákladnímpojmemmatematiky.Pronašeúˇcelyjepostaˇcujícíchápatmnožinujako soubornavzájemodlišitelnýchobjekt˚u.Objektemm˚užebýtcokoliv(ˇcíslo,písmeno, stát, ˇ clovˇekatd.).Okaždémobjektusemusídátrozhodnout,zdadouvažovanémnožiny patˇrínebonepatˇrí.Množinysizavádímedlepotˇreby,vˇetšinoutak,abyvšechnyobjektymnožinymˇelyspoleˇcnéjistévlastnosti.Nˇekteréspeciálnímnožinymajíustálenéoznaˇcení.Napˇr. množinapˇrirozených ˇ císelseznaˇcí N,množinaracionálních ˇ císelseznaˇcí Q atd.Objekt˚um zmnožinybudeme ˇ ríkat prvky,resp. elementymnožiny.Množinybudemeznaˇcitvˇetšinou velkýmipísmeny,jejichprvkymalýmipísmeny.Okolnost,žeobjekt x jeprvkemmnožiny A,budemezapisovatjako x ∈ A.Okolnost,žeobjekt y nepatˇrídomnožiny A,budemezapisovatjako y/ ∈ A.Množiny,kteréobsahujíkoneˇcnýpoˇcetprvk˚u,koneˇcnémnožiny,m˚užeme zapisovatvýˇctem,toznamená,žejednotlivéprvkyzapíšemedosloženýchzávoreknezávisle napo ˇ radíaoddˇelímejenavzájem ˇ cárkami.Jakopˇríkladuved’memnožinu A,jejížprvkyjsou písmena a,b,c.Tutomnožinuzapíšemetedyjako
A = {a,b,c}.
Pˇritomnezáležínapoˇradízápisujednotlivýchprvk˚u. Uvedenoumnožinu A lzetedyzapsat téžnapˇr.vetvaru
Zápis
A = {c,b,a}.
B = {a,b,c,c,a}
nenízápismnožiny,nebot’vzápisujsoupísmena a, c uvedenadvakrát.
Mezimnožinypoˇcítámeimnožinu,kteráneobsahuježádnýprvek.Nazývámeji prázdná množina azna ˇ címeji ∅.Pˇríklademprázdnémnožinyjemnožinavšechmuž˚ustarších200let žijícíchvsouˇcasnédobˇevBrnˇe. Konstanta,promˇenná. Objektym˚užemeoznaˇcitsymboly.Tojednakzjednodušujevyjadˇrování,jednakumožˇnujestruˇcnýzápisnˇekterýchvýpovˇedíoobjektechmnožiny.Zaved’mesi nynídvapojmy,sekterýmisebudeme ˇ castosetkávat:konstantaapromˇenná.
Vtétokapitolesepracujespojmyjakopˇrirozenéneboreálné ˇ císlo,kteréjsouintuitivnˇe známy.Podrobnˇejionichbudepojednánovkapitole2( ˇ Císla).
Každýkonkrétníprvekmnožinynazýváme konstanta. Pˇríklademjenapˇr.symbol π zmnožinyreálných ˇ císel,kterýmoznaˇcujemekonkrétníreálné ˇ císlo–Ludolfovo ˇ císlo.
Jestlisymbolm˚uženabývatkteroukolivkonstantuzdanémnožiny M ,nazývámejej promˇennou.Množinukonstant,kterýchm˚užetatopromˇennánabývat,nazýváme oborempromˇenné.Jestližetedyoznaˇcímesymbolem x prom ˇ ennousoborem M ,potomvše,cose ˇ rekne o x,sevztahujenakaždýprvekmnožiny M .Uved’mesitentopˇríklad.
Pˇríklad1. Mˇejmemnožinu P = {2, 3, 5}.Oznaˇcme x promˇennousoboremhodnot P .Potom jetvrzení„Jestliže x ∈ P ,pak x2 ≤ 25“pravdivéprokaždé x ∈ P .Skuteˇcnˇe, 22 ≤ 25, 32 ≤ 25 atéž 52 ≤ 25.
Podmnožina. Necht’ M,N jsoudanémnožiny.Jestližekaždýprvekmnožiny M jeiprvkem množiny N ,potom ˇ ríkáme,žemnožina M jepodmnožinoumnožiny N ,nebožemnožina N jenadmnožinoumnožiny M .Píšemepak M ⊆ N ,resp. N ⊇ M .Jestližezároveˇnplatí M ⊆ N a M ⊇ N ,potom ˇ ríkáme,žemnožiny M,N sesobˇerovnajíapíšeme M = N . Jestliže M ⊆ N ajestližemnožina N obsahujeprvky,kterédomnožiny M nepatˇrí, ˇ ríkáme, že množina M jevlastnípodmnožinoumnožiny N apíšeme M ⊂ N ,resp. N je vlastní nadmnožinou M apíšeme N ⊃ M .Je-litedy M ⊂ N ,jetéž M ⊆ N ,avšakje-li M ⊆ N , nemusíbýt M ⊂ N
Pˇríklad2. Jestliže Z jemnožinacelýchˇcísel,potommnožina M celýchˇcíseldˇelitelných ˇcíslem 2 jejejípodmnožinou.
Pˇríklad3. Jestliže N jemnožinapˇrirozenýchˇcísel,potommnožina M pˇrirozenýchˇcísel menšíchnež 6,tj.ˇcísel 1, 2, 3, 4, 5, jepodmnožinoumnožiny N.
Pˇríklad4. Necht’ M = {1, 4, 3, 9}.Potom {1, 3}⊂ M ,avšak {3, 7} nenípodmnožinou množiny M ,nebot’prvek7neníprvkem M
Všimnˇemesidvouvýznamovˇeiformálnˇeodlišnýchzápis˚u.Necht’ M = {1, 4, 3, 8}.Potom zápis 8 ∈ M znamená,že8jeprvkemmnožiny M ,azápis {8}⊂ M znamená,žemnožina, obsahujícíjedinýprvek8,jevlastnípodmnožinoumnožiny M . Ukažmesinynínásledujícízp˚usobzavedenípodmnožinydanémnožiny.Zaˇcnemespˇríkladem.Oznaˇcme x prom ˇ ennousoboremhodnotpˇrirozených ˇ císel N.Každýprvek x ∈ N bud’splˇnujepodmínku x< 5, nebojinesplˇnuje.Podmínku x< 5 ozna ˇ cme V (x) anazv ˇ eme charakteristickouvlastnostípromˇenné x.Množinutˇechprvk˚uz N,kterévyhovujípodmínce V (x),ozna ˇ cme P .Budemejizapisovatjako
P = {x ∈ N : V (x)}.
Tímtozápisemjedefinovánamnožina P = {1, 2, 3, 4}.
Pˇripomenutízákladníchznalostízmatematiky
Pˇríklad5. Necht’ M = {a,b,c,d,e,f } jemnožinašestimuž˚u.Oznaˇcme muz promˇennou soboremhodnot M .Oznaˇcme K(muz) vlastnost,žemužmáobleˇcenubíloukošili.Tedy K(muz) jecharakteristickávlastnostpromˇenné muz.Tedy S = {muz ∈ M : K(muz)}
jemnožinatˇechmuž˚uzmnožiny M ,kteˇrímajíobleˇcenoubíloukošili.
Podobnˇem˚užemedefinovatpodmnožinu Q množiny P následujícímzp˚usobem.Necht’ x jepromˇennásoboremhodnot P .Necht’ V (x) jecharakteristickávlastnostdefinovanápro všechna x ∈ P .Potommnožinu Q tˇechprvk˚u x ∈ P ,kterémajívlastnost V (x),zapisujeme jako
= {x ∈ P : V (x)} (1.1)
1.1.1Mnoˇzinov ´ eoperace
Necht’jedánamnožina Ω.Pracuje-lisejensprvkymnožiny Ω asjejímipodmnožinami, nazveme Ω základnímprostorem.Kusnadnˇeníprácesmnožinamibývázvykempoužívatgrafickéznázornˇenímnožin.Základníprostorbudemeoznaˇcovatobdélníkem.Podmnožinymnožiny Ω budemeznázorˇnovatrovinnýmiobrazci,napˇr.kruhy,ovály,obdélníkyležícímivobdélníku Ω,znázorˇnujícímzákladníprostor.Rovinnýmobrazcemm˚užemeznázornit imnožinu,kteráobsahujejenomkoneˇcnýpoˇcetprvk˚u.Každýbodobrazcenemusíbýtprvkemmnožiny,kterourovinnýobrazecreprezentuje.Elementymnožinym˚užemevpˇrípadˇe potˇrebyznázornitnˇejakýmsymbolem,napˇr.symbolem„+“.Doobrazceznázorˇnujícíhonˇejakoumnožinum˚užemezapsatinˇejakéúdaje,napˇr. ˇ císloudávajícípoˇcetprvk˚umnožiny. Pokudnenínebezpeˇcíomylu,m˚užemeprozjednodušenívynechatzákladníprostor.
Pˇríklad6. Uvažujmezákladníprostor Ω ajehopodmnožinu M = {a,b,c,d}.Naobr.1.1 jeznázornˇenzákladníprostor Ω amnožina M bezúdaj˚u.Naobr.1.2jeznázornˇenzákladní prostor Ω amnožina M svyznaˇcenímjejíchˇctyˇrprvk˚u a,b,c,d Ω M
Obrázek1.1: Znázornˇenímnožiny M
Komplementmnožiny. Necht’ Ω jezákladníprostora A ⊆ Ω.Potommnožinu,oznaˇcmeji A , tˇechprvk˚uz Ω,kterénepatˇrído A,nazývámekomplementemmnožiny A.Naobr.1.3je vyzna ˇ cenajakmnožina A,takimnožina A .Množina A ješedá.
Pˇríklad7. Necht’základnímprostoremjemnožinapˇrirozenýchˇcísel N anecht’ A ⊂ N je jejípodmnožinasudýchˇcísel.Potomkomplementemmnožiny A jemnožina A lichýchˇcísel.
Obrázek1.2: Znázornˇenímnožiny M ajejíchprvk˚u
Obrázek1.3: Znázornˇeníkomplementumnožiny A
Rozdíldvoumnožin. Necht’ A,B jsoudanémnožiny.Potommnožinu C tˇechprvk˚umnožiny A,kterénepatˇrídomnožiny B,nazývámerozdílemmnožin A,B vtomtopoˇradíaznaˇ címe A B resp. A\B.Naobr.1.4jeznázornˇenrozdíl A B.Tatomnožinajevyznaˇcena šedoubarvou.
Obrázek1.4: Znázornˇenímnožiny A B
Sjednocenídvoumnožin. Necht’ A,B jsoudvˇemnožiny.Potommnožinu C tˇechprvk˚u, kterépatˇrídomnožiny A,resp.domnožiny B,p ˇ rípadnˇedoobouzároveˇn,nazývámesjednocenímmnožin A,B.Píšemepak
C = A ∪ B.
Naobr.1.5jemnožina A ∪ B vybarvenašedˇe.Jestlinapˇr. A = {a,b,c},B = {1, 2, 3, 4}, potom A ∪ B = {a,b,c, 1, 2, 3, 4}.
Pr˚unikdvoumnožin. Mˇejmedvˇemnožiny A,B.Potommnožinu C tˇechprvk˚u,kterépatˇrí jakdomnožiny A,takidomnožiny B,nazývámepr˚unikemmnožin A,B.Píšemepak
C = A ∩ B.
Naobr.1.6jemnožina A ∩ B šedá.Jestliženapˇríklad A = {1,a,b,c},B = {b, 1, 2, 3, 4}, potom A ∩ B = {b, 1}.
Obrázek1.5: Znázornˇenísjednocení A ∪ B
A ∩ B B
Obrázek1.6: Znázornˇenípr˚uniku A ∩ B
Disjunktnímnožiny,incidentnímnožiny. Jestližeje A ∩ B = ∅,nazývámemnožiny A,B disjunktní.Jestliže A ∩ B = ∅,nazývámemnožiny A,B incidentní.
Pˇríklad8. Mˇejmemnožiny A = {a,b,c,d}, B = {a,c,e,f,g}, C = {h,m}. Potom
A ∪ B = {a,b,c,d,e,f,g},A ∩ B = {a,c },A ∩ C = ∅
Množiny A,B jsouincidentní,množiny A,C jsoudisjunktní.
Pravidlaprooperacesmnožinami. Prokaždétˇrimnožiny A,B,C platínásledujícívztahy:
1.Sjednocenímnožinjeoperacekomutativníaasociativní,tj.
A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
2.Pr˚unikmnožinjeoperacekomutativníaasociativní,tj.
A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
3.Prooperacesjednoceníapr˚unikplatídistribuˇcnízákony,tj.
A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4.PlatídeMorganovapravidla
(A ∪ B) = A ∩ B , (A ∩ B) = A ∪ B .
Kartézskýsouˇcindvoumnožin. Mˇejmedvˇemnožiny A,B.Kartézskýmsouˇcinem A × B (vtomtopoˇradí)rozumímemnožinu C vytvoˇrenouvšemiuspoˇrádanýmidvojicemi [x,y],kde x ∈ A azároveˇn y ∈ B.Tedy
A × B = {[x,y]: x ∈ A azároveˇn y ∈ B}. (1.2)
Oznaˇcení. Necht’ A jemnožina.Potom A2 = A × A jemnožinavšechuspoˇrádanýchdvojic [x,y],kde x,y ∈ A.Kartézskýsouˇcindvoumnožinlzezobecnitnakartézskýsouˇcin n množin A1,...,An.Zapisujemejejjako
adefinujemejejjakomnožinuvšechuspoˇrádanýchskupin n prvk˚u
[a1,a2,...,an], kde ai ∈ Ai,i =1, 2,...,n.
Oznaˇcení. Necht’ A jemnožina.Potom
An = A × A × × A n
ozna ˇ címemnožinuvšechuspoˇrádanýchskupino n prvcíchzmnožiny A.
Pˇríklad9. Necht’ A = {a,b}, B = {α,β,γ}.Potom A × B = {[a,α], [a,β], [a,γ], [b,α], [b,β], [b,γ]}.
1.1.2
Slovníúlohy,kterésezabývajípoˇctyprvk˚uvlibovolnýchmnožinách,m˚užeme ˇ rešitpomocí Vennovýchdiagram˚u.Podlesituacezvolímediagramavztahymezijednotlivýmipodmnožinamizapíšemedorovnic.Získanousoustavurovnicvyˇrešíme.
Oznaˇcení: Jestliže A jekoneˇcnámnožina,tzn.žeobsahujekoneˇcnýpoˇcetprvk˚u,pak |A| zna ˇ cíjejímohutnost(poˇcetjejíchprvk˚u).
Pˇríklad10. Vemˇestˇeprobˇehlaanketavyužívánídopravníchprostˇredk˚u–tramvajíaautobus˚u–kcestˇedozamˇestnání.Anketyseúˇcastnilo 2000 osob,tramvajneboautobusvyužívá 80 %znich.Poˇcetosob,kteréjezdídoprácejentramvají,jestejnýjakopoˇcettˇech,kteˇríjezdí autobusem.Tramvajíiautobusemjezdío 200 lidívícenežjinýmdopravnímprostˇredkem.Kolikoslovenýchosobjezdídoprácejenautobusem?
ˇ
Rešení: SituacisiznázornímepomocíVennovadiagramu(vizobr.1.7),kde U znaˇcímnožinu všechúˇcastník˚uankety, T množinuosobjezdícíchdoprácetramvajía A množinuosobjezdícíchdopráceautobusem.Pr˚unikyjednotlivýchmnožinjsounaobrázkuamajítentovýznam: a –poˇcetosobjezdícíchdoprácejentramvají. b –poˇcetosobjezdícíchtramvajíiautobusem, c –poˇcetosobjezdícíchjenautobusem, d –poˇcetosobjezdícíchjinýmzp˚usobem.
Anketyseúˇcastnilo2000osob: a + b + c + d =2000= |U |.Tramvajneboautobus využívá80%znich: a + b + c =0,8 · 2000.Poˇcetosob,kteréjezdídoprácejentramvají, jestejnýjakopoˇcettˇech,kteˇríjezdíautobusem: a = b + c.Tramvajíiautobusemjezdío 200 lidívíce,nežjinýmdopravnímprostˇredkem: b = d +200.Získalijsmesoustavurovnic
2000= a + b + c + d,
U
Obrázek1.7: Venn˚uvdiagram 0,8 · 2000= a + b + c ⇒ a + b + c =1600,d =400, a = b + c, b = d +200 ⇒ b =600.
Vyˇrešenímjsmedostali: a =800, b =600, c =200, d =400.Jenautobusemjezdídopráce 200 oslovenýchúˇcastník˚uankety.
Pˇríklad11. Ovolnémístouauditorskéspoleˇcnostiseuchází45zájemc˚u.Personalistkase rozhodla,žedoužšíhovýbˇeruzaˇradípouzetyuchazeˇce,kteˇrísplˇnujítˇrinásledujícípodmínky:
• vysokoškolskévzdˇelání,
• znalostanglickéhojazyka,
• poˇcítaˇcovágramotnost.
Životopiszaslalodospoleˇcnosti40vysokoškolák˚u,28zájemc˚uovládáangliˇctinua22práci spoˇcítaˇcem.Pouzepodmínkuznalostiangliˇctinybezznalostiprácenapoˇcítaˇcisplˇnuje15vysokoškolák˚u,celkem19vysokoškolák˚ujepoˇcítaˇcovˇegramotných.Jedenžadatelsukonˇceným stˇredoškolskýmvzdˇelánímovládáprácinapoˇcítaˇciiangliˇctinuajedenžadatelnesplˇnuje žádnouzestanovenýchpodmínek.Kolikuchazeˇc˚ubudepozvánokpohovoru?
ˇ
Rešení: SituacisiznázornímepomocíVennovadiagramu–vizobr.1.8.Levýipravýgraf jsour˚uznézp˚usobyvyjádˇrenítéžeskuteˇcnosti.MnožinaUjemnožinavšechuchazeˇc˚uopráci, množinaVjemnožinavšechvysokoškolák˚u,množinaAjsoužadatelé,kteˇríovládajíangliˇctinuamnožinaPznázorˇnuježadateleovládajícíprácinapoˇcítaˇci.
Pr˚unikyjednotlivýchmnožinV,AaPjsounaobrázkuznázornˇenytakto:a–poˇcetvysokoškolák˚u,kteˇríneumˇejíanglickyanineovládajípoˇcítaˇc;b–poˇcetanglickymluvících uchazeˇc˚u,kteˇrívšaknejsouvysokoškolácianeumíovládatpoˇcítaˇc;c–poˇcetuchazeˇc˚uovládajícíchprácinapoˇcítaˇci,kteˇrívšakneumˇejíanglickyanejsouvysokoškoláky;d–poˇcet vysokoškolák˚u,kteˇríovládajíprácinapoˇcítaˇci,aleneumíanglicky;e–poˇcetvysokoškolák˚u, kteˇríumíanglicky,avšakneovládajíprácinapoˇcítaˇci;f–poˇcetuchazeˇc˚umluvícíchanglicky aovládajícíchprácinapoˇcítaˇci,kteˇríalenejsouvysokoškoláky;g–poˇcetuchazeˇc˚u,kteˇrí jsouvysokoškoláky,zároveˇnumíanglickyiovládajíprácinapoˇcítaˇci,tedysplˇnujívšechna
Obrázek1.8: Venn˚uvdiagram
kritériaabudoupozvánikústnímupohovoru;h–poˇcetuchazeˇc˚u,kteˇrínejsouvysokoškoláky,aneumíanglickyanineovládajíprácinapoˇcítaˇci.Nynísiznovupozornˇepˇreˇctemetext zadáníapostupnˇevyjádˇrímevšechnyúdajepomocípromˇennýcha,b,c,d,e,f,g,h.
|U | =45= a + b + c + d + e + f + g + h
|V | =40= a + d + e + g
|A| =28= b + e + f + g
|P | =22= c + d + f + g e =15 (1.5) d + g =19 f =1 h =1
g =?
Vyˇrešenímsoustavyrovnic(1.6)námvyjde g =11.Kústnímupohovorubudepozváno11 uchazeˇc˚uozamˇestnání.
1.2V´yrokov´ypo
ˇ cet
Výrokem rozumímekaždouvýpovˇed’,onížmásmysl ˇ ríci,žejepravdivánebonepravdivá. Pˇritomnenírozhodující,zdadovedemeopravdivostirozhodnoutnebone.Výrokybudeme zna ˇ citvtétopodkapitolevˇetšinoupísmeny p,q.Je-livýrok p pravdivý,budemepsát p ≡ 1, je-livýrok p nepravdivý,budemepsát p ≡ 0.Napˇr.výrok„6 je ˇ císlosudé“jevýrokpravdivý,kdežtovýrok„3 je ˇ císlosudé“jevýroknepravdivý.Výpovˇed’„ˇcíslo x jesudé“není výrokem, ˇ císlo x neníkonkrétnˇezadáno. Složenévýroky. Zdanýchvýrok˚um˚užemevytváˇretnovévýroky negacíaspojováním.Kvytváˇrenísloženýchvýrok˚usepoužívajítzv. logickéspojky.Logickýmspojkámsepˇriˇrazujídále uvedenésymboly. Negacevýroku. Necht’ p jevýrok.Oznaˇcme ¬p výrok,kterýjepravdivýtehdy,jestliževýrok p jenepravdivýajenepravdivýtehdy,jestliže p jepravdivý.Prozápisnegacevýrokuužíváme
symbol ¬ .Výrok ¬p ˇ cteme„nenípravda,že(platí) p“.Napˇr.negacívýroku„tatotabuleje ˇ cerná“dostávámevýrok„tatotabulenení ˇ cerná“.
Konjukcevýrok˚u. Pˇredpokládejme,že p,q jsouvýroky.Oznaˇcme p ∧ q složenývýrok, kterýjepravdivýtehdy,jsou-liobavýrokypravdivé,anepravdivý,je-lialespoˇnjedenznich nepravdivý.Složenývýrok p ∧ q ˇ cteme„p a q“.Oznaˇcmenapˇríkladpísmenem p výrok„ˇcíslo 4jesudé“.Dáleoznaˇcmepísmenem q výrok„ˇcíslo6jeliché“.Výrok p ∧ q vnašempˇríkladˇe jetedyvýrok„ˇcíslo4jesudéa(zároveˇn) ˇ císlo4jeliché“.Vnašempˇrípadˇeje p ≡ 1,q ≡ 0, takže p ∧ q ≡ 0.
Disjunkcevýrok˚u. Pˇredpokládejme,že p,q jsouvýroky.Oznaˇcme p∨q složenývýrok,který jepravdivý,je-lialespoˇnjedenzvýrok˚u p,q pravdivý,ajenepravdivý,jsou-liobavýroky p,q nepravdivé.Výrok p ∨ q ˇ cteme„p nebo q“. Slovo„nebo“,kterézdepoužíváme,nemá vyluˇcovacívýznam..Prodisjunkcivýrok˚upoužívámespojku ∨
Uved’metentopˇríklad.Oznaˇcme p výrok„ˇcíslo3jesudé“a q výrok„ˇcíslo4jesudé“. Potomvnašempˇríkladˇeje p∨q výrokem„ˇcíslo3jesudénebo ˇ císlo4jesudé“.Tentovýrokje pravdivý,nebot’výrok„ˇcíslo4jesudé“jepravdivývýrok.Výrok„grafemfunkce y = x +2 jepˇrímka“ ∨ „grafemfunkce y = x +2 jeparabola“jepravdivývýrok,nebot’jepravda,že grafemtétofunkcejepˇrímka.
Implikace. Necht’ p,q jsouvýroky.Složenývýrok p ⇒ q jevýrok,kterýjenepravdivý tehdy,jestližejevýrok p pravdivýavýrok q jenepravdivý,jinakjepravdivý.Výrok p ⇒ q ˇ cteme„z p vyplývá q“,nebo„p implikuje q“,nebo„jestliže p,potom q“apodobnˇe.Pro implikacepoužívámesymbol ⇒.
Oznaˇcme p výrok„1+2=4“a q výrok„5+6=0“,potomvýrok„jestliplatí p,potom platí q“jepravdivý,nebot’výrok p jenepravdivý.
Ekvivalence. Necht’ p,q jsouvýroky.Potomsloženývýrok p ⇔ q jepravdivýmvýrokem právˇetehdy,jsou-lisouˇcasnˇeobavýroky p ⇒ q, q ⇒ p pravdivé.Složenývýrok p ⇔ q ˇ cteme„p platí,kdyžajenomkdyžplatí q“,nebo ˇ cteme„p (platí)tehdyajenomtehdy,když (platí) q“,nebo„p jeekvivalentnís q“apodobnˇe.
Vtab.1.1–nazvemejitabulkapravdivostníchhodnot–jeuvedenapravdivost,resp. nepravdivostzákladníchvýrok˚u.
Tabulka1.1: Tabulkapravdivostníchhodnot
Pˇríklad12. Zvýrok˚u p, q vytvoˇrtekonjunkci,disjunkci,implikaciaekvivalenci.Výrok p: „panXYnepˇrijdevsobotudopráce“.Výrok q:„panXYnepˇrijdevnedˇelidopráce“. ˇ Rešení: Konjunkce p ∧ q = „PanXYnepˇrijdedoprácevsobotuanivnedˇeli.“.Disjunkce p ∨ q = „PanXYnepˇrijdedoprácevsobotunebovnedˇeli.“.Implikace p ⇒ q = „Jestliže panXYnepˇrijdedoprácevsobotu,nepˇrijdedopráceanivnedˇeli.“.Ekvivalence p ⇔ q = „PanXYnepˇrijdedoprácevnedˇeli,kdyžajenomkdyžnepˇrijdedoprácevsobotu.“
Pˇríklad13. Pomocítabulkypravdivostníchhodnot1.1ovˇeˇrteekvivalentnostvýrok˚uuvedenýchnajednomˇrádkunásledujícítabulky.
Pˇríklad14. a)Negujtevýrok:„ ˇ Císlo4jesudéasouˇcasnˇeˇcíslo4jemenšínež10.“b)Negujte výrok:„ ˇ Císlo4jedˇelitelné2neboˇcíslo10jedˇelitelné2.“c)Negujtevýrok:„Je-liˇcísloa dˇelitelné4,potomjedˇelitelné2.“
ˇ Rešení: a)Jednáseonegacikonjunkce:„ ˇ Císlo4nenísudéneboˇcíslo4nenímenšínež10. b)Jednásenegacidisjunkce:„ ˇ Císlo4nenídˇelitelné2aˇcíslo10nenídˇelitelné2.“c)Jedná seonegaciimplikace:„ ˇ Císloajedˇelitelné4anenídˇelitelné2.“
Výrokovéformy. Sdˇelení,kteréobsahujejednunebovícevýrokovýchpromˇenných,senazývá výrokováforma,jestližezesdˇelenídostanemevýrok:
• dosazenímpˇrípustnýchkonstantzoborupromˇennýchzatytopromˇenné;
• kvantifikací,tojedoplnˇenímoúdajopoˇctu,resp.oodhadpoˇctukonstant,jejichž dosazenímzapromˇennévzniknevýrok.
Pˇríklad15. Sdˇelení„reálnéˇcíslo x jevˇetšínež 2“nenívýrokem.Jdeovýrokovouformu. Napˇr.dosadíme-liza x ˇcíslo3,dostávámevýrok„ˇcíslo3jevˇetšínež2“.
Výrokovouformuzávislounapromˇenné x lzezapsatobecnˇenapˇr.jako V (x)
1.2.1Kvantifik ´ atory
a)Obecnýkvantifikátor. Necht’výrokováforma V (x) závisínapromˇenné x anecht’ M je danámnožina.Okolnost,ževýrokováforma V (x) jepravdiváprovšechna x ∈ M ,zapíšeme jako
∀ x ∈ M : V (x) (1.6)
a ˇ cteme provšechna x ∈ M platíV(x).Výrokovouformujsmev(1.6)doplniliúdajem opo ˇ ctukonstant(provšechnykonstantyzoborupromˇenné x),pronˇežje V (x) pravdivým výrokem.(1.6)jetedyvýrokem.Symbol„∀ “nazýváme obecnýmkvantifikátorem. Pˇríklad16. Necht’ M = {2, 3, 4, 8}, x jepromˇennásoborem M .Oznaˇcme V (x) výrokovouformu„x ≥ 2“.Potom
∀ x ∈ M : x ≥ 2 jepravdivývýrok.Podobnˇe
∀ x ∈ M : x< 4 jenepravdivývýrok,nebot’pro x =8 jevýrok x< 4 nepravdivý.Kvantifikacíjsmedostali zvýrokovéformy V (x) výrok.
b)Existenˇcníkvantifikátor. Necht’výrokováforma V (x) závisínapromˇenné x anecht’ množina M jedanámnožina.Okolnost,ževýrokováforma V (x) jepravdiváalespoˇnpro jedno x ∈ M ,zapíšemetakto
∃ x ∈ M : V (x) (1.7)
a ˇ cteme„existuje x ∈ M ,pron ˇ ežplatí V (x)“.Výrokovouformujsmev(1.7)doplnili ospecifikacipoˇctuhodnotpromˇenné x,pron ˇ ežje V (x) pravdivýmvýrokem(alespoˇnpro jedno x ∈ M ).Symbol„∃“senazývá existenˇcnímkvantifikátorem.
Pˇríklad17. Necht’„x jeprvoˇcíslovˇetšínež 20“jevýrokováformasoboremhodnot N. Potom
x ∈ N : x jeprvoˇcíslovˇetšínež 20 (1.8) jevýrok.
Negacevýrok˚u(1.6),(1.7). Negacívýrok˚u(1.6),(1.7)dostávámetytoekvivalentnívýroky: ¬(∀ x ∈ M : V (x)) ⇔∃ x ∈
Pˇríklad18. Necht’ N jemnožinapˇrirozenýchˇcísel.Potom
x ∈ N : x 2 = 1 (1.11)
jevýrok. ˇ Ctemejej:„Existuje(alespoˇnjedno)pˇrirozenéˇcíslo x,prokteréplatí x2 = 1“. Tentovýrokjenepravdivý.Negacítohotovýrokupodlevztahu(1.10)dostáváme
x ∈ N : ¬ (x 2 = 1), (1.12)
toje
Zˇrejmˇe(1.13)jepravdivývýrok.
x ∈ N : x 2 = 1. (1.13)
Zvýrokovýchforemlzevytváˇretsloženévýrokovéformypodobnˇejakozvýrok˚usložené výroky.
1.2.2 ˇ Re ˇ sen ´ ep ˇ r´ıkladyaaplikace
Pˇríklad19. Kteréznásledujícíchvˇetjsouvýroky?Rozhodnˇeteojejichpravdivosti.
a)JohnMaynardKeynesjenositelemNobelovycenyzaekonomii.
b) ˇ Ceskánárodníbankajevýhradnímemitentemˇceskýchbankovekamincí.
c)Jakábylavroce2008inflacev ˇ Ceskérepublice?
d)Akcie,dluhopisy,smˇenky,šekyaopˇcnílistypatˇrímezicennépapíry.
e)Ztrátuplatebníkartynahlasteinstituci,kterájivydala.
f)Monopolmaximalizujepˇrebytekspotˇrebitele.
ˇ
g)Oznaˇceníproekonomiipocházízˇreckého oikonomos –správadomu.
h)Jednouzpˇrímýchdaníjedaˇnzpˇridanéhodnoty(DPH).
i)Kéžbybylaúrokovásazbaterminovanýchvklad˚ualespoˇn4%.
Rešení: Vˇetya,b,d,f,g,h,jsouvýroky.Výrokyb,d,gjsoupravdivé.
1.3Pozn
´ amkykv´ystavb ˇ ematematiky
Cojsoutoaxiomy? Pˇribudováníjednotlivýchmatematickýchdisciplinsevycházíz postulát˚u(axiom˚u).Výrazaxiompocházíz ˇ reckéhoslova axiómo.Axiomyjsouvýchozímatematickévýroky,kteréobsahujízákladnípojmyavztahymezinimi.Považujísezapravdivé bezjakéhokolivdalšíhodokazování.Musívšakbýtbezesporné,toznamená,žeznichnelze odvoditžádnátvrzení,kterábysouˇcasnˇenemohlaplatit.Musíbýtvšaknasobˇenezávislá, žádnýaxiomtedynelzeodvoditzostatních.Každétvrzenívuvažovanédisciplínˇesemusídát odvoditzdanésoustavyaxiom˚u.Jakoukázku, pouzeproinformaci, siuved’medvazpˇetigeometrickýchaxióm˚u,kteréuvedlvesvých„Základech“ ˇ reckýmatematikEukleidés.Vnich jsoupostuloványzákladnípojmy–bod,pˇrímka,rovnobˇežka.Uved’metytoaxiomy:
• Máme-lidánydvabody,existujejednapˇrímka,kterájimiprochází.
• Kdanépˇrímceabodu,kterýnaníneleží,lzesestrojitprávˇejednurovnobˇežku,která procházídanýmbodem.
Všimnˇemesi,ženapˇr.bod,pˇrímka,atd.nejsoublížespecifikovány,jsouurˇcenyjenomaxiómy–vztahymezijednotlivýmizákladnímipojmy.
Zavedenípojmudefinice. Kromˇezákladníchpojm˚uexistujípojmy,kterésezavádˇejína základˇejiždˇrívezavedenýchpojm˚u.Uved’mesidvapˇríklady.
Pˇríklad20. Víme-lijiž,cojetotrojúhelník,definujemedalšípojem„rovnostrannýtrojúhelník“následujícídefinicí.
Definice: Rovnostrannýtrojúhelníkjetakovýtrojúhelník,jehožstranyjsoustejnˇedlouhé.
Pˇríklad21. Víme-li,cojetoceléˇcíslo,zavedemepojemracionálníˇcíslonásledujícídefinicí.
Definice. Jestliže p,q jsouceláˇcísla, q =0,potomˇcíslo p q je„ˇcísloracionální“. Poznámka. Vtétoknizenebudemezavádˇetpojmyaxiomaticky.Základnípojmysipouze osv ˇ etlímetak,jakjsmetoudˇelalispojmemmnožina.
Obrat’menynísvojipozornostkpojmumatematická„vˇeta“. Pojemmatematickávˇeta. Struˇcnˇebudeme ˇ ríkatpouzevˇeta.Matematickávˇetaje pravdivý výrok,kterýsedáodvoditpomocílogikyužitímaxióm˚u,definicajiždokázanýchvˇetsvyužitímjižzavedenýchpojm˚u.Uvedemesipˇríkladyvˇet.
Pˇríklad22. Vˇeta. Každývnitˇrníúhelrovnostrannéhotrojúhelníkajeroven 60◦ . Jdeskuteˇcnˇeovˇetu.Jetopravdivývýrok,kterýlzedokázat.Pojmy,kterésezdevyskytují, muselybýtjiždˇrívezavedeny.Tutovˇetum˚užemepˇreformulovattakto:Jestližetrojúhelník
jerovnostranný,potomkaždýjehovnitˇrníúheljeroven 60◦.Takébybylomožnédefinovat rovnostrannýtrojúhelníktakto:„Trojúhelník,jehožvšechnyvnitˇrníúhlyjsourovny 60◦,se nazývárovnostranný.“Potombychommohlivyslovitvˇetu:„Všechnystranyrovnostranného trojúhelníkajsoustejnˇevelké.“
Pˇríklad23. Vˇeta. Necht’ a,b,c jsoureálnáˇcíslaanecht’ c< 0,a<b.Potom a · c>b · c. Prvníˇcástvˇety„Necht’ a,b,c jsoureálnáˇcíslaanecht’ c< 0,a<b“jsoupˇredpoklady, zanichžplatídruháˇcástvˇety„a · c>b · c“.
Tedydefinicísezavádínovýpojem,kdežtomatematickávˇetavypovídáovzájemných vztazíchmezijižzavedenýmipojmy. Ukažmesinˇekolik ˇ castosevyskytujícíchtvar˚umatematickýchvˇet.Zaˇcnemesvˇetouvetvaru:„Necht’ V (x) jevýrokováformapromˇenné x soborem D“.Potomplatí
x ∈ D : V (x). (1.14)
Slovy:„Provšechna x ∈ D platí V (x)“.
Pˇríklad24. Jakopˇríkladuved’mevˇetu:
Vˇeta. Prokaždépˇrirozenéˇcíslo n ≥ 1 platí
Tutovˇetulzezapsattakto:Necht’
jevýrokováformapromˇenné n soborem N Potomplatí
∀ n ∈ N : V (n).
Abychommohlitentovýrokprohlásitzavˇetu,bylobynutnéještˇedokázat,žejdeopravdivý výrok.
ˇ Castosevyskytujívˇetytypu:
Vˇeta. Jestližeplatívýrok1,potomplatívýrok2.
Zdevýrok1nazývámepostaˇcujícípodmínkoukplatnostivýroku2.Výrok2nazývámetvrzenímvˇety.
Pˇríklad25. Jakopˇríkladuvedemevˇetu:
Vˇeta. Necht’prostrany a,b,c trojúhelníkaplatívztah
c 2 = a 2 + b2 .
Potomjetrojúhelníkpravoúhlý.
Vtétovˇetˇeje„vtrojúhelníkuostranách a,b,c platí c2 = a2 + b2 “pˇredpoklada„trojúhelník ostranách a,b,c jepravoúhlý“jetvrzení.
1.4
Úloha1. Cojetomnožina?
Úloha2. Napištemnožinu A,jejížprvkyjsoupísmenaobsaženáveslovˇe„matematika“.
a)Prokaždézpísmen„a,b,c,i,j“zapište,zdapatˇrínebonepatˇrídomnožiny A.
b)Napištepodmnožinu B množiny A,obsahujícívšechnysamohláskymnožiny A.
c)Coznamenajízápisy B ⊂ A,B ⊆ A?
[a) A = { m,a,t,e,i,k },a ∈ A,b ∈ A,c ∈ A,i ∈ A,j ∈ A,b) B = {a,e,i}, c) B jevlastnípodmnožinoumnožiny A; B jepodmnožinoumnožiny A.]
Úloha3. Vysvˇetleterozdílmezikonstantouapromˇennou.Uved’tepˇríklady.
Úloha4. Cojetooborpromˇenné?
Úloha5. Necht’ A = {a,b,c},B = {a,e}.Urˇcetemnožinya) A ∪ B,b) A ∩ B,c) A B [a) {a,b,c,e},b) {a},c) {b,c}]
Úloha6. Cojetovýrokacojetovýrokováforma?
Úloha7. Pˇrímka 2x +3y =1 rozdˇelujerovinu (x,y) nadvˇepoloroviny.Vyznaˇcte, kterýznásledujícíchvýrok˚ujepravdivýakterýjenepravdivý.
a)Body [1, 3], [5, 2] ležívtéžepolorovinˇe.
b)Body [0, 2], [3, 5] ležívtéžepolorovinˇe.[a)pravdivý,b)nepravdivý]
Úloha8. Oznaˇcme p,q tytovýroky:
• výrok p ...„ ˇ císlo π jereálné“,
• výrok q ...„ ˇ císlo 2 jepˇrirozené ˇ císlo“.
Vyslovtevýroky:a) ¬ p,b) ¬ q,c) p ∨ q,d) p ∧ q auved’tejejichpravdivost.
[a)„ ˇ Císlo π neníreálné“(≡ 0),b)„ ˇ Císlo2nenípˇrirozené“(≡ 0),c)„ ˇ Císlo π je reálnénebo ˇ císlo 2 jepˇrirozené“(≡ 1),d)„ ˇ Císlo π jereálnéa ˇ císlo2jepˇrirozené“ (≡ 1)]
Úloha9. Necht’ n jepromˇennásoborempˇrirozených ˇ císel.Jevýpovˇed’„n2 > 4“ výrokem? [Není,jdeovýrokovouformu.]
Úloha10. Oznaˇcme N množinuvšechpˇrirozených ˇ císel.Vyslovtenásledujícívýroky auved’tejejichpravdivost.
a) ∀ n ∈ N : n2 > 1, b) ∃ n ∈ N : n2 > 1.
[Výroka)jenepravdivý–pro n =1 neplatí n2 > 1.Výrokb)jepravdivý–pro n =2 platí n2 > 1.]
Kapitola2
C´ısla
Pojem ˇ císlanenítakjednoduchý,jakbysemohlozdátnaprvnípohled.Jehopˇresnézavedenísevymykánašimmožnostemaaniznalostjejichpˇresnéhozavedeníneníproekonomy nutná.Tutokapitolujeprotomožnéchápatjenjakopokusovytvoˇrenínáhledunajedenzp˚usobzavedení ˇ císelaopˇripomenutínˇekterýchjejichvlastností.Zavádˇejísezdeinevlastní ˇ císlaanˇekterépojmysouvisejícís ˇ císelnýmimnožinami,jakonapˇr.supremumainfimum množiny.Vtétokapitoleuvádímetéžnˇekolikpˇripomínekknumerickýmvýpoˇct˚umaopakujemesinˇekteréúkonys ˇ císly.Zopakujemesitéžzavedeníkomplexních ˇ císel.Souˇcástí výkladujenˇekolikpˇríklad˚u.Pokudnˇekdobudemítpotížesjejich ˇ rešením,doporuˇcujeme sbírkypˇríklad˚uzestˇredoškolskématematiky.
2.1Zaveden´ıre ´ aln´ych ˇ c´ısel
Pˇrirozená ˇ císla. Historickyzaˇcalilidépoužívatnejdˇríve pˇrirozenáˇcísla.Dˇejinypˇrirozených ˇ císeljsoudˇejinamiekonomie. ˇ Clovˇekpˇrismˇenˇepotˇrebovalspoˇcítatkusydobytka,svitky plátnaapozdˇejikovovémince.Pˇrirozená ˇ císlatutopotˇrebusplˇnovalanejlépe.Vyjadˇrujese jimipoˇcetprvk˚ukoneˇcnémnožiny(poˇcetmamut˚u,denár˚u,akcií)ipoˇradíodpoˇcítávaných objekt˚u.Vmatematickéliteratuˇrenenípojemmnožinapˇrirozených ˇ císelchápánjednotnˇe.
Nˇekteˇríautoˇrizaˇrazujídomnožinypˇrirozených ˇ císelinulu.Vdalšímbudemepodmnožinou p ˇ rirozených ˇ císelrozumˇetjenmnožinu ˇ císel 1, 2, 3,...;budemejiznaˇcit N Namnožinˇepˇrirozených ˇ císel N jsouzavedenyoperacesˇcítání,oznaˇcení„+“,anásobení, ozna ˇ cení„ “.Píšemenapˇr. 2+3=5, 2 3=6.Jestliže a,b ∈ N aexistujetakové ˇ císlo c ∈ N, že a = b + c,ozna ˇ címe c = a b.Jetedymezinˇekterýmiprvkyz N definovánaoperace„ “, nazvemejiodeˇcítáním.Požadavekproveditelnostitétooperaceprovšechna a,b ∈ N vede kzavedení 0 acelýchzáporných ˇ císel 1, 2, 3,... Napˇr. 45 45=0, 2 28= 26. Aninásnepˇrekvapí,žezavedenícelých ˇ císelsouvisíshospodaˇrenímaspodnikáním.Jakmile za ˇ calilidéobchodovat,zaˇcalidˇelattakédluhy–tˇrebaproto,žekožešinunˇekdopotˇreboval okamžitˇe,alejelena,jehožmasemchtˇelzaplatit,ještˇeulovenéhonemˇel. ˇ Císlapˇrirozenápak bylalogickydoplnˇena ˇ císlyzápornými.
Celá ˇ císla. Množina N sjednocenásmnožinou {0} asmnožinoucelýchzáporných ˇ císelse zna ˇ cí Z anazývá množinoucelýchˇcísel.Symbolem Z+(Z ) budemeznaˇcitmnožinucelých