Zuzana Došlá, Petr Liška
Matematika pro nematematické obory
s aplikacemi v přírodních a technických
Zuzana Došlá, Petr Liška
Matematika pro nematematické obory
s aplikacemi v přírodních
Upozorněnípročtenářeauživateletétoknihy Všechnaprávavyhrazena.Žádnáčásttétotištěnéčielektronickéknihynesmí býtreprodukovánaašířenavpapírové,elektronickéčijiné podoběbezpředchozíhopísemnéhosouhlasunakladatele.Neoprávněnéužitítétoknihybude trestněstíháno.
prof.RNDr.ZuzanaDošlá,DSc. Mgr.PetrLiška
Matematikapronematematickéobory saplikacemivpřírodníchatechnickýchvědách
Tirážtištěnépublikace: Knihajemonografie
VydalaGradaPublishing,a.s. UPrůhonu22,17000Praha7 tel.:+420234264401,fax:+420234264400 www.grada.cz jakosvou5655.publikaci
Odbornárecenze: doc.RNDr.JanČermák,CSc.
VydáníodbornéknihyschválilaVědeckáredakcenakladatelstvíGrada Publishing,a.s.
OdpovědnýredaktorPetrSomogyi GrafickáúpravaasazbaMgr.PetrLiška Početstran304
Prvnívydání,Praha2014 VytisklyTiskárnyHavlíčkůvBrod,a.s.
c GradaPublishing,a.s.,2014
CoverIllustration c Mgr.PetrLiška
ISBN978-80-247-5322-5
Elektronicképublikace:
ISBN978-80-247-9206-4(veformátuPDF)
4.4Speciálníintegračnímetody....................110 Cvičení..................................115
5Určitýintegrál............................117
5.1Definiceazákladnívlastnostiurčitéhointegrálu.........117
5.2Metodaperpartesasubstituceprourčitéintegrály.......122
5.3Geometrickéaplikaceurčitéhointegrálu.............123
5.4Nevlastníintegrály.........................128 Cvičení..................................134
6Aproximaceainterpolace.....................135
6.1Diferenciálfunkce..........................135
6.2Lagrangeůvpolynom........................138
6.3Metodanejmenšíchčtverců....................141 Cvičení..................................142
7Nekonečnéřady...........................143 7.1Posloupnosti.............................143 7.2Číselnéřady.............................144
7.3Kritériakonvergence........................147
7.4Pravidlapropočítánísčíselnýmiřadami.............151
7.5Mocninnéřady...........................153
7.6Fourierovyřady...........................159
7.7Některéaplikacenekonečnýchřad.................164 Cvičení..................................166
8Diferenciálnírovniceprvníhořádu................167
8.1Cojsoudiferenciálnírovnice....................167
8.2Rovniceseseparovanýmiproměnnými..............170
8.3Lineárnídiferenciálnírovnice...................173
8.4Numerickéřešenípočátečníúlohy.................179
8.5Aplikacediferenciálníchrovnicprvníhořádu...........181 Cvičení..................................187
9Diferenciálnírovnicedruhéhořádu...............189
9.1Homogennírovnice.........................190
9.2Nehomogennírovnice........................195
9.3Okrajováúloha...........................201 Cvičení..................................201
10Funkcevíceproměnných......................203
10.1Funkceajejídefiničníoboragraf.................203
10.2Limitafunkce............................209
10.3Spojitostfunkce...........................210
10.4Vektorovéfunkce..........................212 Cvičení..................................214
11Parciálníderivaceaextrémy...................215
11.1Parciálníderivace..........................215
11.2Gradient,divergencearotace...................219
11.3Diferenciálfunkce..........................223
11.4Kmenováfunkce..........................225
11.5Lokálníextrémy...........................226
11.6Absolutníextrémy.........................231 Cvičení..................................235
12Dvojnýatrojnýintegrál......................239
12.1Cojedvojnýintegrál........................239
12.2Fubinihovětaprodvojnýintegrál.................242
12.3Transformacedvojnéhointegrálu.................247
12.4Aplikacedvojnéhointegrálu....................251
12.5Fubinihovětaprotrojnýintegrál.................255
12.6Transformacetrojnéhointegrálu..................259 Cvičení..................................265
13Křivkovýintegrál..........................267
13.1Parametrickérovnicekřivek....................267
13.2Křivkovýintegrálprvníhodruhu.................270
13.3Křivkovýintegráldruhéhodruhu.................272
13.4Nezávislostintegrálunaintegračnícestě.............275 13.5Greenovavěta............................278 Cvičení..................................279
14Autonomnísystémyvrovině...................281 14.1Základnípojmy...........................281
14.2Lineárníautonomnísystémyvrovině...............283 Cvičení..................................290
Výsledky.................................291 Rejstřík..................................299
Oautorech
prof.RNDr.ZuzanaDošlá,DSc.
VystudovalaoborMatematikanaPřírodovědeckéfakultěMasarykovyuniverzityvBrně(dříveUniverzitaJ.E.Purkyně),kdetakéodroku1981 působí jakovysokoškolskýpedagog.Odroku2005jeprofesorkoumatematikyvoboru Matematika–Matematickáanalýza.Vesvévědecko-výzkumnéčinnostisezaměřujenastudiumkvalitativníchvlastnostíobyčejnýchdiferenciálníchadiferenčníchrovnic.Jeautorkouvícenežstovkyodbornýchvědeckýchprací,jedné zahraničnímonografie,několikaskriptamultimediálníchtextů.Navázalabohatoumezinárodníspolupráci,zejménasitalskýmimatematiky,asvé výsledky publikujevmezinárodníchvědeckýchčasopisech.Jakopedagogse zaměřuje navýukumatematickéanalýzyproučitelskéstudiumavýukumatematiky pronematematickéobory.Dlouhodoběsepodílínapopularizacimatematiky apřírodníchvěd.Ješkolitelkoudoktorandůačlenkouredakčníchradněkolika mezinárodníchčasopisů.
Mgr.PetrLiška
JeabsolventemoboruUčitelstvímatematikyadeskriptivnígeometrieprostředníškolynaMasarykověuniverzitěvBrně,kdevsoučasnostipokračujevdoktorskémstudiuMatematickéanalýzyavěnujesekvalitativnímvlastnostem obyčejnýchdiferenciálníchrovnicsezpožděním.Vyučujematematikuprochemikyazákladymatematiky.Odroku2010působíjakoasistentnaÚstavu matematikyLesnickéadřevařskéfakultyMendelovyuniverzityvBrně,kde vyučujezákladníkurzymatematikyakonstruktivnígeometrie.
Předmluva
Žádnélidskézkoumánínemůžebýtnazvánoopravdovouvědou, pokudhonemůžemedokázatmatematicky.
LeonardodaVinci
Tatoučebniceobsahujezákladymatematikyvrozsahu,kterýjeobvykleprobíránvprvníchdvousemestrechbakalářskéhostudianematematickýchoborů. Jdeozákladylineárníalgebry,diferenciálníaintegrálnípočetfunkcíjedné avíceproměnných,nekonečnéřady,diferenciálnírovnice,křivkovýintegrál aautonomnísystémy.
Matematikabýváoznačovánazakrálovnuvěd.Vyznačujesenezpochybnitelnostívýsledkůanejvyššímírouabstrakceapřesnosti,její krásaspočívá vlogickévýstavbě.
Připsanítétoučebnicejsmesikladlinásledujícíotázky: Můžebýtmatematikastejněkrásnájakohudba?Jakukázatmatematikuvtomto světlestudentům, jejichžspecializacímatematikanení?
Cílemučebnicenenínaučitčtenářejenderivovataintegrovat,alevéstjej takékanalytickémumyšlení,schopnostidefinovatpojmyaformulovatproblémyatvrzení.Přitomjsmehledalivhodnýpoměrmezimatematickoupřesnostíasrozumitelnostítak,abybylapřístupnáširokémuokruhučtenářů.Vneposlednířadějsmechtěliukázat,žematematikanásobklopujeiv každodenním životě.
Vkaždékapitolejenejprveuvedenmatematickýaparát,kdyformoudefiniczavedemenovépojmyaformoumatematickýchvětpopíšemevztahymezi nimi.Každámatematickávětamápředpoklady,zakterýchdanétvrzeníplatí. Změníme-lipředpoklady,tvrzenínemusízůstatvplatnosti,nacožseobčas vaplikacíchzapomíná.Každoumatematickouvětulzezcelaexaktnědokázat, avšakdůkazyvzhledemkrozsahuazaměřenítextunejsouuvedeny.Pochopení matematickýchpojmůaalgoritmůjeilustrovánonavelkémpočtuřešených příkladů,následnějsoupředvedenyaplikacevkonkrétníchúlohách spřírodovědnouatechnickoutematikou.
Dalšízajímavéaplikacematematikynajdemevmedicíně,ekonomii,vhumanitníchaspolečenskýchvědách.Tytoaplikacejsmepronedostatekmísta nemohlizařadit,viznapř.[2],[11],[17]nebo[21].
Závěrembychomchtělipopřátvšemstudentůmačtenářům,abyseproně matematikastalazajímavouainspirativnísoučástíjejichvědníhooboru.
Brno,červenec2014
Autoři
Kapitola1 Lineárníalgebra
Obecněsedáříci,želineárníalgebraječástmatematiky,kterásevěnujevektorovýmprostorůmalineárnímtransformacímtěchtoprostorů.Jednáseovšem ovysoceabstraktnípojmyapokudbychomjechtělipoctivězavéstastudovat dovšechdetailů,muselibychomlineárníalgebřevěnovatcelouknihu.Vtéto kapitolesetedyzaměřímejennanejdůležitějšíobjektyametody,sekterými lineárníalgebrapracuje.
Jednouzezákladníchúlohlineárníalgebryjeřešení systémůlineárních rovnic.Ktěmtosystémůmvedemnohoúlohzpraxe(modelovánívekonomii, vyvažováníchemickýchreakcí,popisytokůvsítíchatd.)anavícjsouužitečným nástrojemivjinýchodvětvíchmatematiky.Naučímesetedyjednuzmetod, jaktakovésystémyřešit–tzv.Gaussovueliminačnímetodu.Ktomutoúčelu zavedemezákladnípojmylineárníalgebry: maticeahodnostmatice.Dálese seznámímespojmem determinantmatice,kterýbudemepotřebovatvdalších kapitolách,azavedemetzv. vlastníčísla,ježpozdějipoužijemepřiřešenítzv. dynamickýchsystémů.
1.1Systémylineárníchrovnicamatice
Jižnastředníškoleseřešísystémdvoulineárníchrovnic
ax + by = c dx + ey = f proneznámé x,y,kde a,b,c,d,e,f jsounějakádanáreálnáčísla.Tentosystém sedářešitnapříkladsčítacímetodou,tj.postupem,kdyjednurovnicivynásobímevhodnýmčíslemasečtemesdruhourovnicítak,abychomvyloučilijednu neznámou.
Tentosystémmůžemeinterpretovatigeometricky.Každárovnicepředstavujepřímkuvroviněanajítřešeníznamenáurčitjejichprůsečík.Dvěpřímky
mohoumítbuďjedenprůsečík(pakmásystémjednořešení),nebosplývají (systémmánekonečněmnohořešení),nebonemajížádnýprůsečík,tj.přímky jsourovnoběžné(systémnemážádnéřešení).
Příklad1.1. a)Systémdvourovnic x + y =2 x y =0 (1.1)
máprávějednořešení,kterýmje x =1, y =1.
b)Systém
+ y =0 2x +2y =0 (1.2)
mánekonečněmnohořešení.Nenímožnésiovšempředstavit,žekdyžmá tentosystémnekonečněmnohořešení,paklibovolnádvojicečíseljeřešením systému.Těchtonekonečněmnohořešeníjenapříkladvetvaru (t, t),kde t jelibovolnéreálnéčíslo.
c)Naopaksystém x + y =1 2x +2y =5 (1.3) nemážádnéřešení.
Podobnépříkladybychommohliuvéstprosystémyvícelineárníchrovnicovíce proměnných,přičemžnašepředstavivostbybylalimitovánarovnicemiotřech neznámých,kterébyzastupovalyrovinyvprostoru.Obecněmůžemeuvažovat olibovolnémpočturovnicaneznámých,přitomsepočetrovnicnemusírovnat počtuneznámých.
Definice1.2. Systémem k lineárníchrovnico n neznámých x1,x2,...,xn rozumímesoustavurovnic
Je-li b1 = b2 = ··· = bk =0,nazývásetakovýtosystém homogenní. Řešenímsystému (1.4)jekaždáuspořádaná n-tice (t1,t2,...,tn) takových čísel t1, t2,..., tn,kterádanésoustavěvyhovuje.
Obecně(tj.nezávislenapočtulineárníchrovnicapočtuneznámých)jsou možnétřipřípady.
1.Systémrovnicmá právějednořešení
2.Systémrovnicmá nekonečněmnohořešení
3.Systémrovnicnemá žádnéřešení
Základníotázkoutedyje,jakpoznáme,kterýztěchtopřípadůnastane?Odpověďúzcesouvisíspojmymaticeahodnostmatice.
Definice1.3. Matice jetabulkačísel.Je-litatomatice(tabulka)sestavená z m řádkůa n sloupců,označujemeji
Říkáme,že A jematicetypu m × n,čísla aij nazýváme prvkymatice.Matici typu n × 1 nazývámesloupcovývektoramaticitypu 1 × n řádkovývektor, stručně vektor .
Prvkymaticemohoubýtiněkteréjinématematickéobjekty,např.funkce. Stakovýmimaticemisesetkámevkapitoláchodiferenciálníchrovnicíchavícerozměrnýchintegrálech.
Systémrovnic(1.4)můžemereprezentovatnásledujícímimaticemi atypak studovatmístoněj.
Maticísystému (1.4)nazývámematici
Rozšířenoumaticísystému (1.4)nazývámematici
Ještěnežseovšemdostanemekestudiunašehosystému,seznámímesesmaticemipodrobněji.
Řekneme,žedvěmatice A, B téhožtypu m × n jsousi rovny,jestližejsou sirovnyvšechnysoběodpovídajícíprvkytěchtomatic,tj.
aij = bij provšechnyindexy i,j.
Je-li m = n,nazývámematici A čtvercovoumaticí ačíslo n řádem tétomatice
A.Prvky a11,a22,...ann tvoří hlavnídiagonálu matice A.Čtvercovámatice, kterámánahlavnídiagonálesaméjedničkyajindemávšechnyprvky nulové, senazývá jednotkovámatice aoznačujemeji E.Jsou-livšechnyprvky aij rovny nule,pakse A nazývá nulovámatice
Smaticemimůžemeprovádětnásledujícíoperace.
Nechť k =0 jereálnéčíslo.Výsledkem násobenímatice A číslem k je matice C,jejížprvkyjsoutvaru cij = kaij .
Tedy
Nechť A, B jsoumaticetéhožtypu m × n Součtem matic A, B nazýváme matici C,jejížprvkyjsou cij = aij + bij .
Tedy
C = A + B =
a11 ...a1n
b11 ...b1n . . . . bm1 ...bmn
a11 + b11 ...a1n + b1n . . . . am1 + bm1 ...amn + bmn
Nechť A jematicetypu m × n a B jematicetypu n × p. Součinem matic A a B (vtomtopořadí)nazývámematici C,jejížprvkyjsou
cij = ai1b1j + ai2b2j + ...ainbnj = n k=1 aikbkj
Prvek cij tedyvzniknetak,ževezmeme i-týřádekmatice A a j-týsloupec matice B,vynásobímesoběodpovídajícíprvkyavšesečteme.
Poznámka1.4. i)Sčítatlzepouzematicestejnéhotypu.Promaticerůzného typunenísoučetdefinován.
ii)Operacenásobeníjedefinovánapouzepropřípad„m × n krát n × p“. Ztohotakévyplývá,žeobecněneplatírovnost AB = BA.Součin BA totiž vůbecnemusíbýtdefinován,přestožesoučin AB provéstlze,vizPříklad 1.5.Nicméněivpřípadě,kdylzenásobit BA,rovnost AB = BA obecně neplatí.
Příklad1.5. Proveďtenásledujícíoperace:
Řešení. a)Součetmaticjedefinovánpouzepromaticestejnéhotypu,přičemž paksčítámeodpovídajícíprvkyoboumatic.Vnašempřípadědostaneme:
b)Připomeňme,žesoučindvoumaticjedefinovánpouzevpřípadě,že první znichmátoliksloupců,kolikřádkůmádruhá.Vnašempřípadějesoučin definovánaplatí:
Maticeminemusímejenreprezentovatkoeficientylineárníchrovnic, můžeme jimicelésystémyrovnouzapisovat,jakukazujenásledujícípříklad.
Příklad1.6. Systémrovnic(1.1)lzematicovězapsatpomocímaticetypu 2×2, sloupcovéhovektoru,jehožprvkyjsouneznámé x,y,asloupcovéhovektoru, jehožprvkyjsoučísla 2, 0 zpravéstranyrovnic:
Podobněsystémyrovnic(1.2)a(1.3)jsoutvaru
11 22 x y = 0 0 a 11 22 x y = 1 5 .
Systém(1.4)lzepsátvmaticovémtvaru A · X = B, kde X =
1.2Hodnostmatice
Vraťmesenyníkotázce,kterýzmožnýchpřípadůpřiřešenílineárníhosystému rovnicnastane,tj.jakmůžemesnadnorozlišit,kdymásystémprávějedno řešení,kdynekonečněmnohořešeníakdyžádné?Abychomnatutootázku mohliodpovědět,musímezavéstpojem hodnostmatice.
Připomeňme,že vektor jeuspořádaná n-ticečíselnebotéžmaticetypu 1 × n.Součinčíslasvektoremseprovádíposložkách,tj.stejně,jako byse provádělsoučinčíslasmaticítypu 1 × n.Podobnějesoučetdvouvektorů totéžjakosoučetdvoumatictypu 1×n.Nulovýmvektorem o rozumímevektor složenýsesamýchnul,tj. o =(0, 0,..., 0)
Definice1.7. Řekneme,ževektory u1,..., un jsou lineárněnezávislé, jestližezrovnosti
α1u1 + ··· + αnun = o
plyne α1 = ··· = αn =0.Vopačnémpřípadě,tj.kdyžexistujíčísla α1,...,αn,znichžalespoňjednojerůznéodnuly,tak,že
α1u1 + ··· + αnun = o ,
říkáme,ževektory u1,..., un jsou lineárnězávislé
Napříkladvektory u1 =(1, 2) a u2 =(0, 3) jsoulineárněnezávislé.Vytvoříme-li totižlineárníkombinacitěchtovektorů
α · (1, 2)+ β · (0, 3)=(α, 2α)+(0, 3β)=(α, 2α +3β) , dostanemevektor,kterýpoložímerovennulovémuvektoru,tj.
(α, 2α +3β)=(0, 0)
Odtudplyne,že α =0, 2α +3β =0,aprototaké β =0
Naopakvektory u1 =(1, 2) a u2 =(2, 4) jsoulineárnězávislé,protoženapříkladplatí,že
2 · (1, 2) 1 · (2, 4)=(0, 0)
Nyníuvažujmematici A.Řádkymaticemůžemechápatjakovektoryalineárnínezávislostřádkůmaticepakznamenálineárnínezávislostvektorů.Pomocítohotopojmudefinujemehodnostmatice.
Definice1.8. Hodnostmatice A ječíslo,kteréjerovnomaximálnímupočtu lineárněnezávislýchřádků.Označujemeji h(A). Je-li A čtvercovámaticetypu n × n,jejížhodnostjerovna n,nazýváme ji regulární maticí.Je-li h(A) <n,nazývásetakovámatice singulární.
Jakurčímemaximálnípočetlineárněnezávislýchřádkůmatice?Jezřejmé, ževnulovématicineexistuježádnýlineárněnezávislýřádek.Hodnostnulové maticejetedyrovnanule.Vdalšímprotouvažujmepouzenenulovématice, tj.předpokládejme,žejeaspoňjedenprvektétomaticenenulový.Umatice
2 × 2 snadnopoznáme,žejsoujejířádkylineárnězávislé.Nenulovámatice A typu 2 × 2 máhodnostjedna,pokudjedruhýřádeknásobkemprvníhořádku, tj.maticejetvaru
A = a11 a12 a21 a22 = a11 a12 ka11 ka12 ,
kde k jenějakéreálnéčíslo.Vopačnémpřípaděmámatice A hodnostdva.
Příklad1.9. Vpříkladě1.6jsmeviděli,želevéstranysystémů(1.2)a(1.3) lzematicovězapsatpomocístejnématice
11 22 .
Hodnosttétomaticejerovnajedné(lineárnízávislostřádkůjezřejmá).Naproti tomulevéstranysystému(1.1)jsmezapsalipomocímatice
11 1 1 .
Hodnosttétomaticejerovnadvěma(druhýřádeknenínásobkem prvního řádku).
Zkoumáníhodnostimaticevyššíhotypunež 2 × 2 jejižtrochusložitější.Kvyšetřovánílineárnízávislosti,resp.nezávislostiřádkůmaticevyužijemenásledujícívěty.
Věta1.10. Hodnostmaticesenezmění,jestliže:
1.zaměnímepořadířádků,
2.vynásobímelibovolnýřádeknenulovýmčíslem, 3.přičtemekdanémuřádku(neboodečtemeoddanéhořádku)libovolný násobekjinéhořádku.
Úpravyzpředchozívětysouhrnněnazýváme elementárnířádkovéúpravy.Pomocítěchtoúpravpřevedemematicinatzv.schodovitýtvar,ze kteréhojiž snadnourčímehodnostmatice.
Definice1.11. Řekneme,že A je maticeveschodovitémtvaru,jestliževmatici A každýnenulovýřádekzačínávětšímpočtemnulnežpředchozířádek.
Je-linenulovámatice A veschodovitémtvaru,paksvýmtvaremskutečněodpovídátomutonázvu,neboťnulyvmatici A tvoříjakési„schody“.Přitom prvnířádekmůže(alenemusí)začínatnulou(resp.nulami),druhýřádekvšak jižmusízačínatalespoňjednounulou,třetířádekmusízačínatalespoňdvěma nulamiatd.
Příklad1.12. Následujícímaticejsouveschodovitémtvaru:
Věta1.13. Každoumaticilzekonečnýmpočtemelementárníchřádkových úpravpřevéstdoschodovitéhotvaru.
Věta1.14. Hodnostmaticeveschodovitémtvarujerovnapočtujejíchnenulovýchřádků.
Příklad1.15. Uvažujmematicezpříkladu1.12.Jejichhodnostje
h(A)=3,h(B)=1,h(C)=2. Algoritmus (postup)převodumaticenaschodovitýtvarjenásledující:
1.Vprvnímkrokupřevedemematicidotvaru,kdymánapozici (1, 1) (první řádekaprvnísloupec)nenulovýprvek a11 aostatníprvkyvprvnímsloupci jsounulové,tj.
kdenapozici ⋆ stojínějaképrvky(mohoubýtnenulovéinulové).Je-li a11 =0,dosáhnemetohototvarunapříkladtak,žeprvnířádekopíšeme, akedruhémuřádkupřičtemevhodnýnásobekprvníhořádkutak,abyna pozici (2, 1) vzniklanula.Podobněpostupujemesostatnímiřádky.
2.Vdruhémkrokuchceme„vytvořit“nulyvedruhémsloupcipodprvkem ⋆ .Usilujemetedyotvar
Prvnídvařádkyopíšemeapotépostupujemeobdobnějakovprvnímkroku: odtřetíhořádkuodečtemevhodnýnásobekdruhéhořádku,totéžpročtvrtý řádekatd.
3.Postupnýmiúpravamipřevedemematicinaschodovitýtvar
Početnenulovýchřádkůtétomaticejerovenhodnostizadanématice.
Uvedenýalgoritmusjenázorněilustrovánvnásledujícímpříkladě.
Příklad1.16. Určetehodnostmatice:
Řešení. a)Připomeňme,ževprvnímkrokusesnažímezískatpodprvkemna pozici (1, 1) saménuly.Prvnířádekprotoopíšeme.Oddruhéhořádkuodečtemetrojnásobekprvníhořádkuaodtřetíhořádkuodečtemepětinásobek prvníhořádku.Dostaneme
Vdruhémkrokuusilujemeosaménulypodprvkemnapozici (2, 2).Opíšemeprotoprvnídvařádkyaodčtyřnásobkutřetíhoodečtemešestinásobekdruhéhořádku,dostávámetakmaticiveschodovémtvaru
Početnenulovýchřádkůjetři,aprotoihodnostdanématicejetři.
b)Postupujemeanalogickyjakovpředchozímpřípadě:
Početnenulovýchřádkůvýslednéschodovitématicejedva,aprotojeihodnostzkoumanématicerovnadvěma.
Nynísikonečněukážeme,jakzeznalostihodnostimaticesystémuahodnosti rozšířenématicesystémuurčímepočetřešenísystému(1.4)(tj. zdamásystém jedinéřešení,nekonečněmnohořešení,nebonemážádnéřešení).
Podmínku,kdymásystém(1.4)řešení,udávánásledujícívěta.
Věta1.17 (Frobeniovavěta). Systémlineárníchrovnicmářešení,právěkdyž jehodnostmaticesystémurovnahodnostirozšířenématicesystému.
Vpřípadě,jsou-lisihodnostioboumaticrovny,zbýváještězjistit,zda másystémpouzejedno,nebonekonečněmnohořešení.Otomrozhodnemena základěnásledujícíchdvouvět.
Věta1.18. Systém k lineárníchrovnico n neznámýchmájedinéřešení, jestližejehodnost h maticesystémurovnahodnostirozšířenématicesystému anavícjerovnapočtuneznámých n,tedy h = n.
Ztétovětyplyne,žejedinéřešenímůžemítpouzesystém,kde k ≥ n.Je-litotiž k<n,pak h(A) ≤ k<n (početlineárněnezávislýchřádkůjezřejměmenší neborovenpočtuvšechřádků)asituacepopsanávevětě1.18nemůženastat. Slovyřečeno,jedinéřešenímůžemítpouzesystém,vekterémjealespoňtolik rovnic,kolikneznámých.
Věta1.19. Systém k lineárníchrovnico n neznámýchmánekonečněmnoho řešení,jestližesehodnost h maticesystémurovnáhodnostirozšířenématice anavícjetatohodnostmenšínežpočetneznámých,tj. h<n.Vtomtopřípadě lze n h neznámýchvolitlibovolně.
Homogennísystémrovnic(tj.napravéstraněsystémujsousaménuly)má vždyalespoňjednořešení,atotzv. triviální řešení (x1,...,xn) = (0,..., 0).
Abymělhomogennísystémnetriviálnířešení(atedynekonečněmnohořešení), musípodlevěty1.19platit h<n.
Příklad1.20. Uvažujmesystémyzpříkladu1.1.
a)Rozšířenámaticesystému(1.1)je
Hodnosttétorozšířenématicejestejnájakohodnostmaticesystému,ato dvě,cožjezároveňtaképočetneznámých.Toodpovídásituacipopsanéve větě1.18apodlenítedymásystém(1.1)právějednořešení.
b)Rozšířenámaticesystému(1.2)je 11
Hodnosttétorozšířenématicejestejnájakohodnostmaticesystému,ato jedna,cožječíslomenšínežpočetneznámých.Toodpovídásituacipopsané vevětě1.19,aprotomásystém(1.2)nekonečněmnohořešení.
c)Rozšířenámaticesystému(1.3)je
11 1
22 5
Hodnosttétorozšířenématicejedvě,alehodnostmaticesystému jejedna. VtomtopřípaděnemápodleFrobeniovyvěty1.17systém(1.3)žádné řešení.
1.3Gaussovaeliminačnímetoda
Jižznámeodpověďnaotázku,kolikřešenímásystémlineárníchrovnic.Zbývá tedynaléztřešenítakovéhotosystému.Základnímetodouřešenísystémulineárníchrovnicjetzv. Gaussovaeliminačnímetoda. Tatometodajezaloženanatom,žeřešenísystémusenezmění,jestliže: 1.zaměnímepořadírovnic, 2.vynásobímelibovolnourovnicinenulovýmčíslem, 3.přičtemekdanérovnicilibovolnýnásobekjinérovnice.
Jdeostejnéúpravy,kterénezměníhodnostmatice(věta1.10). Protopřitéto metoděnepracujemesdanýmirovnicemi,alepouzesrozšířenoumaticísystému.
Tutomaticipřevedemenaschodovitýtvar(vizpodkapitola1.2).Potom postupněvypočtemejednotlivéneznámétak,žezačnemeposlednímřádkem schodovitématiceapostupujemeažkprvnímuřádku.Celýtentopostupje názorněpředvedenvnásledujícíchpříkladech.
Příklad1.21. Řeštesystémlineárníchrovnic:
a) x 2y + z =1
x +3y +2z =0 2x y +5z =5 b) 3
c) x1 x2 + x3 x4 =2 x1 x2 + x3 + x4 =0 4x1 4x2 +4x3 =4 2x1 +2x2 2x3 + x4 = 3
x + y 2z =2 2x +2y +3z =3 5x +5y +4z =1
Řešení. a)Rozšířenámaticesystémujetvaru
Prvnířádekponechámebezezměny,kdruhémupřičtemeprvníaodtřetího odečtemedvojnásobekprvního.Dostanemetakmatici
1 21 1 013 1 033 3
Nyníopíšemeprvníidruhýřádekaodtřetíhoodečtemetrojnásobekdruhého.Získámetakmatici
1 21 1 013 1 00 6 0
.
Poslednířádekodpovídárovnici 6z =0,aproto z =0.Podosazení z =0 dodruhéhorovnosti y +3z =1 dostaneme y =1.Nakonecdo prvníhořádkudosadímeza y i z avypočítáme x =3.Systémmátedy jednořešení (x,y,z)=(3, 1, 0)
b)Napíšemerozšířenoumaticisystému
aobdobnějakovpředchozímpřípadějipřevedemenaschodovitýtvar
Vidíme,žehodnostmaticesystémujerovnahodnostirozšířenématice systému,alejemenšínežpočetneznámých(h =3, n =4).Podlevěty 1.19platí,žetakovýsystémmánekonečněmnohořešeníajemožné volit 4 3=1 neznámou(dostanemetzv.volnouneznámouneboli parametr ). Zposledníhořádkudostáváme 6x4 = 3,proto x4 = 1 2 .Druhýřádek dávárovnost 5x2 + x4 = 8 apodosazeníza x4 = 1 2 dostáváme x2 = 3 2 . Nakonecdosadímeza x2 a x4 doprvníhořádkuadostaneme x1 x3 =1. Tétorovnostizřejměvyhovujenekonečněmnohohodnot x1,x3.Zvolme např. x3 zavolnouneznámou,tj.nechť x3 = t, t ∈ R.Zkoumanýsystém rovnicmánekonečněmnohořešenítvaru x1 =1+ t,x2 = 3 2 ,x3 = t,x4 = 1 2 , kde t jelibovolnéreálnéčíslo(parametr).
c)Stejnějakovpředchozíchpřípadechpřevedemerozšířenoumaticisystému naschodovitýtvar
Opětdostáváme,žepočetneznámýchjevětšínežhodnostdanéhosystému (h =2, n =4),aprotomásystémnekonečněmnohořešení.Volnéneznámé jsoudvě,ovšemnemůžemejevolitúplnělibovolně,jelikožzposlednírovniceplyne,že x4 = 1.Pakjižnavolběnezáležíazvolíme-linapříklad x3 = s a x2 = t,dostanemedosazenímdoprvnírovnice,že x1 =1+ t s. Řešenímsystémujetakčtveřice
x1 =1+ t s,x2 = t,x3 = s,x4 = 1, kde s,t jsoulibovolnáčísla.
d)Postupujmepodobnějakovpředchozíchpřípadech:
Zposledníhořádkuplyne,žedanýsystémnemářešení,protožerovnici
nelzesplnit.Tvarmaticetakéukazuje,žehodnostmaticesystému jerovna dvěma,alehodnostrozšířenématicesystémujerovnatřem.Podle Frobeniovyvěty(věta1.17)tentosystémnemážádnéřešení.
Ukažmesinynípárpříkladů,kdesemůžemesetkatsesystémylineárníchrovnic vpraxi.
Aplikace1.22 (Vyvažováníchemickýchrovnic). Chemickérovnicepopisují množstvílátek,kterésevprůběhuchemickéreakcespotřebují avytvoří.Napříkladpřihořenípropanusepropan(C3H8)spojujeskyslíkem(O2)avytváří oxiduhličitý(CO2)avodu(H2O)podlerovnice
x1 C3H8 + x2 O2 −→ x3 CO2 + x4 H2O.
Vyvažovattakovoutorovniciznamenánaléztceláčísla x1,...,x4 tak,abypočetatomůjednotlivýchprvkůnajednéstraněrovniceodpovídalpočtuatomů nadruhéstraně.Systematickéřešenítohotoproblémuvedeksystémulineárníchrovnic.Vnašemkonkrétnímpřípaděmámetřirovnice(každouprojeden zastoupenýprvekvpořadíC,H,O)očtyřechneznámých(jedna zakaždou sloučeninuvreakci):
Převedeme-livektoryuneznámýchnapravéstraně,dostaneme homogennísystémlineárníchrovnic.VyřešímejiGaussovoueliminačnímetodouadostaneme řešení
Jelikožchceme,abybylořešeníceločíselné,zvolímenapř. t =4 (nejmenší vhodnávolba)adostanemetakrovnici
C3H8 + 5O2 −→ 3CO2 + 4H2O.
Aplikace1.23 (Správnádieta). Vposledníchletechnastalvelkýboomzájmuozdravýživotnístylavsouvislostisnímiosprávnéstravováníarůzné diety.Základemjevždynajítsprávnýpoměrživin,vitamínůaminerálů,které člověkpotřebuje.Problémemje,žekaždápotravinaobsahujerůznémnožství užitečnýchlátek.Celkemsetaktosledujenadesítkypoložek.Projednoduchost simůžemesituaciilustrovatnaněkterýchvitamínechazelenině.
Doporučenémnožství
Vitamín Dennídávka
B2 1,4mg
C 80mg
K 0,075mg
Množstvívitamínůvporcizeleniny
Zelenina B2 C K
Mrkev 0,059mg 1,5mg 0mg
Špenát 0,236mg 9,8mg 0,145mg
Rajče 0,148mg 19,1mg 0mg
PokudtedychcemezískatvitamínyB2,CaKkonzumacímrkve,špenátu arajčete,dostávámenásledujícísystémrovnic,kdekaždárovnicezastupuje jedenvitamínaneznáméhrajírolipočtuporcíjednotlivýchdruhů zeleniny: 0,059m +0,236s +0,148r =1,4 1,5m +9,8s +19,1r =0 0,145s =0,075
Řešenítohotosystémuje m ≈ 14,7, r ≈ 2,8, s ≈ 0,5.Tedyabychomzískali vitamínyB2,CaK,muselibychomsnístskoropatnáctporcímrkve,třiporce rajčeteapůlporcešpenátu.Poznamenejme,žejsmemělidocela štěstí,jelikož nászajímajípouzekladnářešenírovnice,aletanemámezaručena.Nenítedy jednoduchéjídelníčeksprávněsložitzdostupnýchpotravin.
1.4Determinantmatice
Důležitoucharakteristikoučtvercovématicejedeterminant,číslo utvořenézjejíchprvků.Protypickouobecnoudefinicideterminantubychompotřebovali mnohonovýchpojmů,uvedemetedytzv.rekurzivnídefinici.
Definice1.24. Determinant |A| čtvercovématice A =(aij ) typu 1 × 1 je číslo |A| = |a11| = a11 .
Determinant |A| čtvercovématice A =(aij ) typu n × n, n ≥ 2 ječíslo
kde A1j značímatici,kterávzniklazmatice A odebránímprvníhořádku a j-téhosloupce.
Speciálněprodeterminant |A| čtvercovématice A =(aij ) typu 2×2 dostáváme tzv. křížovépravidlo: |A| = a11 a12 a21 a22 = a11a22 a12a21.
Prodeterminant |A| čtvercovématice A =(aij ) typu 3 × 3 můžemepoužíttzv. Sarrusovopravidlo:
|A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12
Podlepředchozíhotakmůžemesnadnospočítatdeterminantmatice 2 × 2:
a 3 × 3:
Provýpočetdeterminantůvyššíchřádůmůžemevyužítinásledujícího vztahu:
|
vekterém Alk jematice,kterávzniknezmatice A vypuštěním l-téhořádku a k-téhosloupce.Tentovztahvlastněříká,žematicijemožnétzv.rozvinout podlelibovolnéhořádku.Výpočetdeterminantumaticeřádu n takpřevedeme navýpočet n determinantůřádu n 1.Podobněmůžemematicirozvinout ipodlelibovolnéhosloupce.Připraktickémvýpočtuvolímekrozvoji řádek (sloupec),kterýobsahujeconejvícenul,jelikožpaknemusímeněkterépříslušné menšídeterminantyvůbecpočítat.Praktickývýpočetdeterminantumaticesi ukážemenanásledujícímpříkladě.
Příklad1.25. Vypočtětedeterminant:
Řešení. a)Jednáseodeterminantčtvrtéhořádu,použijemerozvojpodle prvníhosloupce.Algoritmusvýpočtujevidětzpostupu,exponent členu ( 1) jerovensoučtuřádkovéhoasloupcovéhoindexu,kteréodpovídají pozicidanéhočísla.
b)Vtomtopřípaděpoužijemerozvojpodleprvníhořádkuadostáváme
Předchozípostupjepoměrnějednoduchý,alejenutnésiuvědomit,žepro opravduvelkématice(kterébyneobsahovalyřádeknebosloupecs mnohanulami)jenepoužitelný.Napříkladijenpromatici 25 × 25 byvyžadovalvýpočet přibližně 1,5 × 1025 součinů,cožbyipočítačitrvaloněkoliktisíclet.Vpodobnýchpřípadechjematicipotřebaupravittak,abyobsahovalaconejvícenul. Toholzedosáhnoutpomocípravidelpropočítánísdeterminanty.
1.Vynásobíme-lilibovolnýřádek(sloupec)maticečíslem k,determinant výslednématicebude k-násobkemdeterminantumaticepůvodní.
2.Zaměníme-lipořadídvouřádků(sloupců)matice,determinantvýsledné maticebudemítopačnéznaménkoneždeterminantmaticepůvodní.
3.Přičtením k-násobkulibovolnéhořádku(sloupce)kjinémuřádku(sloupci) sedeterminantmaticenezmění.
4.Determinant,kterýmápodhlavnídiagonálousaménuly,jeroven součinu prvkůvtétodiagonále.
Vztahmezideterminantemahodnostímaticeudávánásledujícívěta.
Věta1.26. Nechť A ječtvercovámaticeřádu n.Hodnostmatice h(A)= n právětehdy,když |A| =0
Připomeňme,žečtvercovoumatici A řádu n nazývámeregulární,je-li h(A)= = n.Předchozívětanámtedyříká,žematice A jeregulárníprávětehdy,když jejejídeterminantnenulový.
1.5Vlastníčíslaavlastnívektory
Myšlenkavlastníchčíselavlastníchhodnotseobjevujenarůzných místech vmatematiceavjejíchaplikacích.Obatytopojmysidefinujemeanaučíme senaléztvlastníčíslamatice.Jednuzmnohaaplikacívlastníchčíselukážeme pozdějivkapitolevěnovanédynamickýmsystémům.
Definice1.27. Nechť A ječtvercovámatice, λ jekomplexníčísloa x je nenulovývektor,kterýjeřešenímrovnice
Ax = λx. (1.5)
Paksekomplexníčíslo λ nazývá vlastníčíslo matice A avektor x senazývá vlastnívektor matice A (příslušnývlastnímučíslu λ).
Zamyslíme-lisenadgeometrickouinterpretací,pakvlastnívektor jetakový vektor,kterýsepovynásobenímaticepouze„natáhne“nebo„zkrátí“,ale neměnísvůjsměr.
Zpředchozídefinicesedáisnadnovyvodit,jakvlastníčíslamatice A nalézt.Přepíšeme-lirovnici(1.5),dostaneme
Ax λx =0 ⇔ (A λE)x =0.
Mámetakvlastněhomogennísystémlineárníchrovnic,ukteréhopožadujeme, abyměljinénežtriviálnířešení.Toznamená,žematice A λE musímíthodnostmenšínež n.Jinýmislovytatomaticeneníregulárníaprojejídeterminant musíplatit |A λE| =0 (1.6)
Rovnice(1.6)senazývá charakteristickárovnicematice A. Příklad1.28. Určetevlastníhodnotymatice
Řešení. Matice A λE jetvaru
Vlastníčíslajsoutakřešenírovnice
4 λ 00 53 λ 2 202 λ =0.
DeterminantnalevéstraněvypočítámepodleSarrusovapravidlaadostaneme takrovnici (4 λ)(3 λ)(2 λ)=0.
Vlastníčíslapakjsou λ1 =2, λ2 =3, λ3 =4.
Cvičení
1.Gaussovoumetodouřeštesystémlineárníchrovnic:
a) 3a +3b +2c + d =10
4a +2b +3c + d =8
3a +5b + c + d =15
7a +4b +5c +2d =18
c) 5x 9y +5z =1
2x +3y +3z =2
x +8y =1
x 2y + z =0
e) a + b 2c + d = 5
2a +2b c d =2
3a + b + c + d =8
a b + c d =6
g) 2x 4y z =0
4x 6y 3z =0
x + y 2z =0
i) 2a 3b + c +2d =0
3a + b 2c d =6
4a 2b 3c 4d = 6
a +2b +3c 2d = 7
k) 2x + y z =0
x + y +2z =4
4x +3y +3z =5
b) a +5b +4c +3d +2e =3 2a + b +2c +3d +4e =6 2b +3c + d =0
3a +4b +5c + d +6e =9
d)
b + c =0
2a + b c =1
a + b c + d =2
a +2b = 1
f)
2x 3y +2z =1
x 2y + z =0
5x 9y +5z =1
h)
2x 2y + z =0
3x 2y z =0
4x + y + z =0
j) a +2b c + d =0
a b +2d =0
2a + b + c d =0
a +3c +3d =0
l)
3x +2y + z =3
x + y + z =2
4x +3y +2z =5
2.Vypočtětedeterminantmatice:
3.Určetevlastníčíslamatice: