VítězslavVeselý,PavelRajmic,OndřejMokrý
Modernífunkcionálníanalýza saplikacemivezpracovánísignálů
Odbornárecenze:doc.RNDr.JanVybíral,Ph.D.
© VítězslavVeselý,PavelRajmic,OndřejMokrý2024
© VysokéučenítechnickévBrně–NakladatelstvíVUTIUM
ISBN978-80-214-6138-3
AutořiděkujístudentůmzVysokéhoučenítechnickéhovBrně,kteřívobdobímezi roky2012a2019nějakouformounapomohlinapsánítétoknihy.Někteřívranéfázi vznikutextupřepsaliurčitépasážedoLATEXu,někteříupozornilinapřeklepyachyby, jinínakresliliprvnípodobuobrázků.Konkrétněautořiděkují(vabecednímpořadí) MariiDaňkové(Mangové),AliciDoktorové,MatejiDolníkovi,JanuDražkovi,Ivanu Eryganovi,JanuHorníčkovi,OndřejiKlimešovi,TerezeKonečné,JiřímuKráčmarovi, BarbořeNavrátilové,ErikuOchodnickému,JosefuSvatoňovi,MartinuTejkalovi, HaněZemanové,MichaeleZemčíkové.ZvláštnípoděkovánípatříPavluZáviškoviza pomocspřevedenímobrázkůdoTikZ,zagrafickéatypografickéúpravyazařešení náročnějšíchproblémůsLATEXem.
DálepoděkovánípatřípaníředitelceNakladatelstvíVUTIUMJaněKořínkové zatrpělivostakonstruktivnípřístuppřiformováníknihy,JanuSkůpovizÚstřední knihovnyVUTzazařízeníDOIatrvalýchodkazůnaněkteréprameny,Zdeňkovi PrůšoviaRadkoviHrbáčkovizaprogramováníněkterýchukázekvMatlabuněkdy kolemroku2010,avneposlednířaděJanuVybíralovizajehopostřehyvodborné recenzi.
2.1Hierarchieprostorů
2.1.1Vektorovéprostory(lineárníprostory,L-prostory)
2.1.2Topologicképrostory(T-prostory)
2.1.3Metricképrostory(M-prostory)
2.1.4Topologickélineárníprostory(TL-prostory)
2.1.5Metrickélineárníprostory(ML-prostory)
2.1.6Normovanélineárníprostory(NL-prostory)
2.1.7Prostorysvnitřnímsoučinem(VS-prostory)
2.2Kompaktnímnožiny
2.3PřehledstandardníchNL-prostorůaVS-prostorů
2.3.2Funkcekoncentrovanévčaseafrekvenci(TF-prostory)
2.3.3Frekvenčněomezenéfunkce(Paleyho–Wienerovyprostory)
2.3.4Hardyhoprostory
2.3.5Prostoryperiodickýchaperiodizovatelnýchfunkcív ��
3 Operátoryvnormovanýchprostorechavprostorechsvnitřním součinem .......................................................37
3.1Spojitélineárníoperátory
3.3Samoadjungovanéoperátory
3.4Kompaktníoperátory
3.5Unitárníoperátory
4Inverzespojitýchlineárníchoperátorů ..........................69
4.1Teoretickávýchodiska .........................................
4.2Konstrukceinverze ...........................................
5Pseudoinverzespojitýchlineárníchoperátorů ...................79 6Úplnésystémy:ortonormálníbáze,Rieszovybázeaframy ......91
6.1Úplnésystémyabáze .........................................
6.2Ortonormálníbáze
6.3Rieszovybáze
6.4Framy
6.5FramovéreprezentacevHilbertověprostoru.Principduality 116
7Spektrálníanalýzaoperátorů ...................................127
7.1SpektrálníteoriesamoadjungovanýchoperátorůvH-prostorech 129
8Hilbertovyprostorysreprodukčnímjádrem
8.1Základyteorie
8.2Jádrovéfunkce
8.2.1KonstrukcereprodukčníchjadervRKHS-prostorech
8.2.2Invariantníoperacesjádrovýmifunkcemi
8.3Ilustračnípříklady
8.4RekapitulacekekonstrukciRKHS-prostorů
8.4.1H-prostory
8.4.2FunkcionálníH-prostory .................................
8.4.3RKHS-prostory ........................................
8.4.4LineárníRKHS-model ..................................
8.5Aplikace .....................................................
8.5.1InterpolacevRKHS-prostorech
8.5.2AproximacevRKHS-prostorech
9 Moderníreprezentačnísystémy(báze,framy)vezpracování signálů .........................................................185
AFaktorprostoryapřímýsoučetvektorovýchprostorů ...........199
BMetriky,normyaoperátory ....................................203
B.1 ��-metrikya ��-normy ..........................................
B.2Ekvivalentnímetrikyanormy ..................................
B.3OperátoryFredholmovatypu
B.4Tenzorovésoučiny
CFourierovařadaaFourierovatransformace
C.1Fourierovařada ..............................................
C.1.1Parsevalovaidentita(PI) ................................
C.1.2DiskretizaceFourierovyřady .............................
C.1.3DiskrétníFourierovatransformaceposloupností
C.2Konvolučníoperátory
C.2.1Integrálníkonvolučníoperátory
C.2.2Diskrétníkonvolučníoperátory
DDůkazyvybranýchtvrzení ......................................245
EŘešenívybranýchcvičení .......................................251
FAlgoritmyinverzeapseudoinverzeoperátorů ...................261
GShrnutíobsahuformoutabulek .................................273
HObsahrepozitáře ...............................................277
Rejstřík
2.1Schémahierarchieprostorů
2.2Funkcevprostorech ��1 ∖ ��2 a ��2 ∖ ��1
2.3Příkladyfunkcív ��1 a ��2 akoincidencetěchtoprostorů
2.4 Funkcezprostoru PW 1 2 ,jejívzorkyvčaseajejírekonstrukcepomocí báze {sinc(�� ��)}��∈Z
3.1Vektorynapovrchujednotkovékoulepoaplikovánímatic �� 0, �� 1, �� 2
3.2Výpočetnormyvektorunazákladědůsledku 3.27 .................
3.3Konstrukceadjungovanéhooperátoru
3.4Třídyomezenýchoperátorův ℬ(��,��) nad F
3.5 Projekcepovrchujednotkovékoulevprostoru R3 napodprostor generovanýdanýmivektory
3.6Ilustracepřevodubarevnéhoobrázkudostupňůšedijakožtoprojekce
3.7Ilustracekpříkladuprojekce 3.73
4.1Rozkladprostorů
5.1Grafickéznázorněnípříkladu 5.5 ................................
5.2Oblastinumerickéstabilityprooperátor ��
6.1Ukázkaaproximacefunkce sin �� polynomemstupně3 110
6.2 UkázkaParsevalovaframuzískanéhoprojekcíONBnapodprostor nižšídimenze ................................................. 114
6.3Mercedes–Benzframe ......................................... 115
6.4Příkladjednoduchéhoframuajeho(kanonického)duálníhoframu 118
7.1Ilustracerozloženíhodnotspektraoperátoru �� ................... 128
8.1Ilustracekonstrukcezčásti (2) důkazuvěty 8.26 148
8.2Ilustracepříkladusouřadnicovéreprezentacefunkcí 164
9.1Ortonormálníbázeaframepro C8 186
9.2Reálnákosinováortonormálníbázeprostoru R8 187
9.3ŠedesátčtyřiprvkůDCTortonormálníbázeprostoru R8×8 188
Seznamobrázků x
9.4 Vlnka„Daubechies2“jakožtomateřskáfunkce �� afunkcezní odvozenádilatacíaposunem 190
9.5Příkladvlnkovýchbázovýchvektorůvdiskrétnímpřípadě 193
9.6Několikprvkůrekonstrukčníbáze ��′ proprostor R128×128 194
9.7Spektrogramyúryvkůhudebníchsignálů ......................... 195
9.8SymetrickéB-splajnyřádů2,3a4 .............................. 196
9.9 UkázkaněkolikaatomůGaborovaframusloženéhozposunutých amodulovanýchB-splajnů 196
9.10Několikprvkůzvlnkovéhopaketuprovlnku„Daubechies2“ 197
B.1Jednotkovékoulevevybraných ��-metrikách/normách .............. 205
C.1Ukázkysoučtůprvních �� harmonickýchsložekusměrněnéhokosinu 219
C.2Ukázkysoučtůprvních �� harmonickýchsložekpilovéfunkce 219
C.3SrovnánírůstusložitostiDFTaFFTprorostoucídélkusignálu 222
C.4Demonstracefiltracesignálu ................................... 242
E.1Ilustraceřešenícvičení 5.17 253
Všeobecnékonvenceznačení
Vcelémtextujsoupoužíványnásledujícíběžnékonvenceznačení.
Symbol/zkratkaPopis
Číselnéobory
N přirozenáčísla: 1, 2, 3,...
N0 := {0}∪ N nezápornáceláčísla: 0, 1, 2, 3,...
Z celáčísla:typicky ��,��,��,��,��
Z�� := {0, 1,...,�� 1} zbytkypoděleníceléhočíslačíslem �� ∈ N �� mod �� operacemodulo:zbytekpoděleníčísla �� ∈ Z číslem �� ∈ N
R reálnáčísla:typicky ��,��,��
sgn �� :=
1 pro ��> 0 0 pro �� =0 1 pro ��< 0 znaménkočísla �� ∈ R
⌊��⌋ dolníceláčástčísla �� ∈ R
R+ := {�� ∈ R | �� ≥ 0} nezápornáreálnáčísla
R := {�� ∈ R | ��< 0} zápornáreálnáčísla
R* := R ∪{∞}∪{−∞} rozšířenámnožinareálnýchčísel
Q racionálníčísla
C komplexníčísla,typicky ��,�� �� značíčíslokomplexněsdruženékčíslu �� ∈ C
ℜ�� (ℑ��)reálná(imaginární)částčísla �� ∈ C
F zástupnýsymbolpročíselnýobor C nebo R (viz 2.1)
Maticeavektory
např. ��, ��, �� maticerozměru(typu) �� × ��, ��> 1,��> 1 (tučněvelkýmipísmeny)
např. ��, ��, �� vektoryrozměru �� × 1 (standard)nebo 1 × ��, ��> 1 (tučněmalýmipísmeny)
Množiny
∪ sjednocenídisjunktníchmnožin
|�� | mohutnost(kardinalita)množiny ��
ℵ0 spočetnámohutnost
�� obecná(jakákoliv)indexovámnožina �� nejvýšespočetnáúplněuspořádanáindexovámnožina,obvykle �� = N nebo �� = Z (�� = ∅):viz 6.3
Seznamzkratekasymbolůxii
��
konečnáindexovámnožina(�� = ∅)
exp �� množinavšechpodmnožinmnožiny �� Funkce
{����}, {����}��∈�� posloupnosti
pros.v. �� ∈ �� proskorovšechna �� ∈ �� neboliprovšechna �� ∈ �� ažnakonečně mnoho
F�� množinavšechčíselnýchposloupností(zobrazení �� → F)
∑︀ ����, ∑︀��∈�� ���� sumaceřady
např. ��,��,ℎ komplexnífunkcereálnéhoargumentu(R�� → C, �� ∈ N),není-li řečenojinak
�� (��) hodnotafunkce �� vbodě �� ∈ R (jenpro �� =1)
�� (��):= �� (��1,...,����) hodnota ��-rozměrnéfunkce �� vbodě �� ∈ R�� �� (��):=[�� (��1),...,�� (����)] hodnotaskalárnífunkce �� posložkáchvektoru �� ∈ R�� (rozměr �� jezachován)
supp �� := {�� | �� (��) =0} nosičfunkce ��
1�� (��):= {︂1 pro �� ∈ �� 0 jinak charakteristickáfunkcepodmnožiny �� ⊆ R��
��(��) Diracova„funkce“jakožtoslabálimitafunkcionálůvteorii zobecněnýchfunkcí(distribucí): ��(��):= lim
→0 1
1(
(��), ∫︀R �� (��)��(��)d�� = �� (0)
����,�� := {︂1 pro �� = �� 0 pro �� = �� Kroneckerůvsymbol(��,�� ∈ Z)
Lebesgueůvintegrál
∫︀�� �� (��)d�� integrál �� naměřitelnémnožině �� ,kdeintegráliměřitelnostje vLebesgueověsmyslu
∫︀ �� (��)d�� := ∫︀R �� (��)d�� Lebesgueůvintegrál �� na �� = R
∫︀�� �� (��)d�� (��)
∫︀�� �� (��)d��(��)
Lebesgueův–Stieltjesůvintegrálna ��
Lebesgueůvintegrálsobecnoumírou �� na �� s.v.na �� skorovšudena �� ,neboliprovšechna �� ∈ �� svýjimkoupodmnožiny nulovémíry
esssup ��∈�� �� (��) esenciálnísupremumfunkce �� na �� : esssup ��∈�� �� (��):=inf{�� | �� ≤ �� s.v.na �� }
Prostoryajejichprvky
např. ��,��,��1,��1,��2,��2 prostory:neprázdnémnožinyopatřenénějakoustrukturou ��,��,��1,��1,��2,��2 ... prvkyvýšeuvedenýchprostorů
Operátory
ℱ(��,�� ) prostorvšechoperátorů(zobrazení) �� → �� (množiny)
např. �� : �� → �� (lineární)operátornebolizobrazenízachovávající(lineární)strukturu(např.homomorfismus)
�� 1 : �� → �� (bijektivní)inverzníoperátork(bijektivnímu)operátoru �� �� : ��˓→ �� , �� ⊆ �� identickévnoření(inkluze)podmnožiny �� do ��
�� (��) nebostručně ���� hodnotaoperátoru �� vbodě �� �� (�� ) obrazmnožiny �� voperátoru �� �� 1(�� ) úplnývzorpodmnožiny �� ⊆ �� vzobrazení �� : �� → �� ; �� 1(�� ):= {�� ∈ �� | ���� ∈ �� }
�� 1 �� := �� 1({��}) úplnývzorprvku �� ∈ ��
��, ���� identickýoperátor,na ��
0 , 0�� nulovýoperátor,na �� (0�� : �� → �� )
Seznamzkratekasymbolůxiii
Značenízavedenévtextu
Následujeabecedníseznamzkratekasymbolůspolusodkazemdotextu,kdebyly zavedeny.
Značení Popis Odkazdotextu
���� ≤ ����,���� ≤ ����
nejlepšímezeframu/Rieszovybáze �� 6.53
���� ,���� (���� ≤ �� ≤ ���� ) nejlepšímeze(kvadratickéformy)operátoru �� 3.48, 3.51
B-prostor: ��,��1,��2 Banachůvprostor 2.57
ℬ(��,�� ) prostorohraničenýchlineárníchoperátorů 3.3
BSVBanachova–Steinhausovavěta 3.21 ��(I) prostorfunkcíspojitýchna I 2.83
DCKdiskrétnícyklickákonvoluce C.28
DFTdiskrétníFourierovatransformace C.5, C.10, C.12
DLKdiskrétnílineárníkonvoluce C.28 ���� metrikana �� 2.35 ��(�� ) definičníoboroperátoru �� 2.3 ��(��) trojúhelníkovýpuls C.23
�� = {Δ��}��∈�� rozdílováBesselovaposloupnost 6.74 dim �� dimenzeprostoru �� 2.2
E = {����}��∈�� přirozenáONBv ℓ2 2.89
FFTrychláFourierovatransformace(FastFourierTr.) C.7
FŘFourierovařada 2.92, C.1
F poleskalárů,kdebuď F = C nebo F = R 2.1 ��(�� ) hranicemnožiny �� (vtopologii) 2.18
H-prostor: ��,��1,��2 Hilbertůvprostor 2.71 �� 2 +,�� 2 Hardyhoprostory 2.114
HBVHahnova–Banachovavěta 3.13
IMTvětaoinverznímzobrazení(InverseMappingTh.) 3.8 Int(�� ) vnitřekmnožiny �� (vtopologii) 2.18
��(��,��) otevřenákouleostředu �� apoloměru �� 2.35 ��(��,��) jádrováfunkce(jádro)RKHS-prostoru 8.2, 8.5
L-izomorfismuslineárníizomorfismus 2.7
L-(pod)prostorlineární(vektorový)(pod)prostor 2.1 ����,ℓ�� ��-prostory 2.83, 2.84, 2.87, B.8
̃︀ ���� �� ��-prostor �� -periodickýchfunkcí 2.118, C.2.1
ℓ�� prostor �� -periodickýchposloupností C.2.2
ℒF lineárnístrukturavektorovéhoprostorunad F 2.1
ℒ(�� ) lineárníobalmnožiny �� 2.1
ℒ(��,�� ) prostorlineárníchoperátorůz �� do �� 2.3
ℒℐ(��,�� ) prostorlineárníchizomorfismůz �� na �� 2.7
M-(pod)prostormetrický(pod)prostor 2.35
ML-prostormetrickýlineárníprostor 2.50
NL-prostornormovanýlineárníprostor 2.54 �� (�� ) jádro(nulovýprostor)operátoru �� (nullspace) 2.3
��, ��* otevřenéokolí,ryzí(vtopologii) 2.18
OGSortogonálnísystém(množina) 2.74
OMTvětaootevřenémzobrazení(OpenMappingTh.) 3.7
ONS,ONBortonormálnísystém(množina),báze 2.74
PW-prostorPaleyho–Wienerůvprostor 2.109
PIParsevalovaidentita 6.32, C.1.1
Seznamzkratekasymbolůxiv
���� prostor �� -periodizovatelnýchfunkcí 2.121
RBRieszovabáze 6.40
rect(��) tzv.obdélníkováfunkce(C.19)
RFVRieszova–Fischerovavěta 6.32
RVRRieszovavětaoreprezentaci 3.19
ℛ(�� ) oborhodnotoperátoru �� (rangespace) 2.3
ℛ† , ℛ† �� oborhodnotsouřadnicovéhozobrazenívbázi �� 6.16
RKHS-prostorH-prostorsreprodukčnímjádrem(kap. 8) 8.3 ��, {��}, [{��}], ���� [��; ��], ℒ(��), ��[��] symbolypoužívanévkap. 8 8.1 sinc(��):= sin ���� ���� funkcesinc(sinuscardinalis) 2.91(b), C.23
SVDsingulárnírozkladmatice 5.13
T-(pod)prostortopologický(pod)prostor 2.18, 2.25
TF-prostorprostorfunkcíkoncentrovanýchvčaseifrekvenci 2.104
TL-prostortopologickýlineárníprostor 2.49
TLItopologickýlineárníizomorfismus 2.58
��ℒℐ(��,�� ) prostorvšechTLIz �� na �� 2.58
���� topologiena �� 2.18
��(��) nejmenšítopologieobsahující �� 2.22
UIunitárníizomorfismus 3.90
VS-prostorprostorsvnitřnímsoučinem 2.66
OperačnísymbolPopis
Odkazdotextu
��(�� ) číslopodmíněnostioperátoru �� 5.11
��′ , �� ′ ∈ ��′ duálníprostork �� spojitýchlin.funkcionálů �� ′ 3.12
�� ′ , ��′ , �� duálníprvek,duálníframe/Rieszovabáze 6.63, 6.64, 6.75
^ �� := F �� Fourierovatransformace �� (neboortogonálníprojekce �� —vizníže) 2.98, C.12
ˇ �� := F+�� zpětnáFourierovatransformace �� 2.98, C.12
♦ fourierovskýtransformačnípár 2.102
∘ Hadamardůvsoučin(posložkách) B.16, C.33
×, ∏︀ kartézskýsoučin(nebokorelace—vizníže) 2.10
�� −→ konvergencedlemetriky �� 2.35
sl. −→, sl’. −−→ konvergenceslabá 3.23
⇒ konvergencestejnoměrná 2.85
���� −−→ konvergencevtopologiina �� 2.33
* , konvoluce,periodická C.15, C.28
×, ⊗ korelace,periodická C.15, C.28
L ≃ lineárníizomorfismus 2.7
L ⊆, L = lineárnípodprostor,shodaL-prostorů 2.1
W± �� maticeoperátoruDFT C.5
�� * matice(hermitovsky)transponovanák �� 3.38
[�� ] maticováreprezentaceoperátoru �� 2.14
‖·‖, ‖·‖�� norma,na �� 2.54, B.20(2)
�� ′ , �� * operátoradjungovanýk �� 3.32, 3.34
���� operátordilatace 3.1
���� operátordiskretizační(Besselův)vbázi/framu �� 6.28
DFT± �� operátordiskrétníFourierovytransformace C.5
Seznamzkratekasymbolůxv
F± 1 operátorFourierovytransformacev ��1 2.95, C.10
F, F± , F± 2 operátorFourierovytransformacev ��2 2.98, 3.1, C.12
���� operátorframovývbázi/framu �� 6.28
���� operátorFredholmovatypusjádrem �� B.18, 3.10
�� →
�� operátorinvoluce 3.1 �� → �� operátorkonjugace 3.1 ���� operátorkorelační(Gramův)vbázi/framu �� 6.28
���� operátormodulace 3.1
��, ���� operátorortogonálníprojekce,napodprostor �� 3.65 ��ℎ := ��ℎ , ��ℎ := ��ℎ operátorkonvoluce,periodické (simuplzníodezvou ℎ) C.15, C.28, 3.10
��
ℎ , ̃︀ ��
ℎ operátorkorelace,periodické (simuplzníodezvou ℎ) C.15, C.28
�� + operátorMooreovy–Penroseovypseudoinverzek �� 5.1 �� operátorzobecněnéinverzek �� 5.15 �� operátorreflexe 3.1 ���� operátorrekonstrukčnívbázi/framu �� 6.16, 6.28
���� operátortranslace(posunutí) 3.1 √�� operátorováodmocninaz �� 3.62 ⊥ ortogonalnína,kolmýna 2.68 �� ⊥ ortogonálníkomplementmnožiny �� 2.73 ̂︀ �� := ���� �� ortogonálníprojekce �� napodprostor �� 3.64, 3.65 �� ⊥ := �� ���� �� kolmásložkaortogonálníprojekce �� na �� 3.66 ⊕, ⨁︀ ortogonálnísoučetpodprostorů 2.72 ‖·‖�� ��-norma 2.83, 2.84, B.1
��+ := �� +��, �� := �� �� pseudoinverznířešenírovnice ���� = �� 5.4, 5.15 , ∑︀
přímýsoučetpodprostorů
2.5, A.5, 2.63
�� restrikceoperátoru �� na ℛ(�� *) 4.2
�� �� restrikceoperátoru �� napodprostor ��, kterýjekněmuinvariantní 7.20
+, ∑︀ součetpodprostorů A.5
{��}�� souřadniceprvku �� vbázi �� 6.16
⟨·, ·⟩, ⟨·, ·⟩�� vnitřní(skalární)součin,na �� 2.66, B.20(2) ���� (���� := �� 1 �� )spektrálníteorie:operátory(rezolventa) 7.1
��(�� ) spektrumoperátoru �� 7.2
����(�� ) spojitéspektrumoperátoru �� 7.2
����(�� ) bodovéspektrumoperátoru �� 7.2
����(�� ) reziduálníspektrumoperátoru �� 7.2
ℛ��, ����, �� spektrálníteorie:prostory 7.1, 7.25
TLI ≃ topologickýlineárníizomorfismus 2.58
UI ≃ unitárníizomorfismus 3.90
�� uzávěrmnožiny �� (vtopologii) 2.18
Int(�� ) vnitřekmnožiny �� (vtopologii) 2.18
Aparát funkcionálníanalýzy jevsoučasnostimatematickýmzáklademmnohamoderníchmetodaplikovanématematiky,kterévýznamnýmzpůsobempřispívajíkrozvoji celéřadydalšíchvědníchoborů.Týkásetopředevšímoblasti zpracovánísignálů, kterávposledníchdesetiletíchprocházírevolučnímizměnamivpřístupukreprezentacisignálů.Historickydominantnírolihráladlouháléta Fourierovaanalýza spočívajícívrozkladusignálunasinusovékmityzjehofrekvenčníhospektra,každý určenýsvojíamplitudou,frekvencíafázovýmposuvem.Jižodroku1910byloale známo,žesinusovýprůběhneníjedinývhodnýstavebníblokproreprezentacisignálu. Prosignálypulzníhocharakteruseukázaljakovhodnějšírozkladnaobdélníkové kmity—tzv. Haarůvsystém.Vzhledemknedostatečnéhladkostibyloalejeho použitíznačněomezeno.Průlomnastalažv80.letechminuléhostoletíspříchodem waveletovýchtechnik,kdestavebnímblokemjetlumeněoscilujícífunkcepředepsané hladkosti(vlnka, wavelet)určenáamplitudou,měřítkem(hrajerolizměnyfrekvence) aposuvem.Signáljerozkládándotzv. waveletovéhospektra.Haarůvsystémsetak staljednímzmnohaspeciálníchpřípadůwaveletovýchsystémů(nejnižšíhladkost: Haarovavlnka jepočástechkonstantnífunkce).
Klasickoumatematickoudisciplínouzkoumajícífunkce(signály)je matematická analýza,kterájestandardnísoučástízákladníchkurzůmatematiky.Pronijetypický analytickýpřístupzaměřenýpředevšímnalokálnípopisachováníkaždékonkrétní funkceurčitéhotypu:spojitost,monotonie(prvníderivace),tvarovécharakteristiky jakokonvexnostnebokonkávnost(druháavyššíderivace),plochapodgrafem průběhufunkce(určitýintegrál)apod.Funkcionálníanalýzasenaopakkoncentruje nastrukturnícharakteristikyspolečnéurčitétřídě(prostoru)funkcíazkoumání vztahůmezinimi(operátory).Vtomtotextuseomezímena lineárnífunkcionální analýzu,kamspadávětšinaaplikacíakdepracujemeslineárnímiprostoryfunkcí alineárnímivztahymezinimi.Ztohotopohledulzenapříkladpohlížetnaderivaci jakonalineárnízobrazení(operátor)přiřazujícífunkci �� jinoufunkci �� ′.Tentoodlišný přístupsepromítáidozpůsobuparametrizacefunkce �� .Vmatematickéanalýze konkrétnífunkci �� (��) typickyzadávámeanalytickýmpředpisem �� (��; ��1,...,����) pomocíjejíchvnitřníchparametrů ��1,...,����,kterýjeobecněnelineární.Naopak lineárnífunkcionálníanalýza,vyjadřuje �� typickyjakolineárníkombinaci �� (��)= ∑︀�� ��������(��) vpevnězvolenémsystémufunkcí {����} generujícíchprostor,doněhož �� strukturněnáleží.Funkci �� takzískávámejakoobraz �� = �� (��) vlineárnímoperátoru
1Úvod 2
�� přiřazujícímposloupnostikoeficientů �� := {����} funkci �� (např.vyjádřeníperiodické funkcepomocírozvojedojejíFourierovyřady).Takovýoperátor �� můžemeoznačit za syntezující ,zatímcooperátor �� hledajícíkdanéfunkcipříslušnékoeficienty �� = ��(�� ) můžemeoznačitza analyzující .Tenposkytujevlastněřešeníinverzníúlohy (stejnějako �� := �� 1 řešísoustavulineárníchrovnicsregulárnímaticísoustavy odpovídající �� ).Jezřejmé,ževlastnostioperátoru �� (resp.generujícíchfunkcí ����) determinujíjednoznačnost,resp.numerickoustabilituvýpočtukoeficientů ��.
Proilustracivezměme1-periodickoufunkci �� cos(2π�� ��),�� ∈ R,kterájestavebnímkamenemveFourierověanalýze.Tajevnitřněnelineárněparametrizována amplitudou �� ∈ R afázovýmposuvem 0 ≤ ��< 2π.Jednoduchouúpravoudostáváme dvěalternativnílineárníparametrizace(goniometrickýakomplexnítvar): �� cos(2π�� ��)= �� cos(2π��)+ �� sin(2π��)=¯ �� e i2π�� + �� e i2π�� , kde �� := �� cos(��), �� := �� sin(��) a �� := 1 2 (�� i��).Transformačnívztahy (��,��) ↦→ (��,��) ↦→ �� odpovídajípřechoduodpolárníchkekartézskýmsouřadnicímapřípadně dáledokomplexníroviny.Zpětnýpřechodkamplitudově-fázovémutvarujedán vztahy �� = √��2 + ��2 a �� = arctan �� �� .Vidímetedy,žeprostorkosinovýchfunkcí {�� cos(2π�� ��) | �� ∈ R, 0 ≤ ��< 2π} jedvourozměrnýsbázovýmifunkcemi cos(2π��), sin(2π��)
Zmínímestručněněkterévybranéoblastiaplikacílineárnífunkcionálníanalýzy. Tradičněnacházelapoužitínapř.přiřešenídiferenciálníchaintegrálníchrovnic [10,kap.5a6,s.223–336] avkvantovémechanice [10,kap.7,s.337–416].Vprůběhučasusestalamatematickýmzáklademmnohamoderníchmetodaplikované matematiky,kterévýznamnýmzpůsobempřispívajíkrozvojiceléřadydalších vědníchoborů.Jakotypickéoblastiaplikacímůžemezmínitpolynomyasplajny (používanénapř.vevyhlazovánídatči3Dmodelování),fourierovskéspektrálnírozklady,kteréhrálydlouhálétanezastupitelnourolivmnohainženýrskýchaplikacích.
Tysedálevyvinulyvobecnějšíčasově-frekvenčnísystémyvlnkovéhoneboGaborova typu(využiténapř.vseismologiinebovmoderníchkompresníchformátechpro obrazyavideo).Vývojsevšaknezastavilapokračovalještěobecnějšímisystémy typu„frame“(volněpřeložitelnéjakokostra),kterésevyznačujívětšípružnostípři reprezentacisignálů(rozsáhlýchdat).Současnétechnickémožnostinabízíkanalýze extrémněrozsáhlédatovésouborysbíranévnejrůznějšíchoblastech,aprávětyto systémyumožňujítakovádataefektivnězpracovávat.
Proúplnostuvedemezákladnícharakteristikyvybranýchfunkcionálníchsystémů: Polynomy. Prostorpolynomůstupněnejvýše �� jejižvnitřněparametrizovánlineárně: ��(��)= ��0 + ��1�� + + �������� jakolineárníkombinacetzv. homogenních polynomů ���� , �� =0, 1,...,��.Přestotatoreprezentaceneníznumerickéhohlediska nejvýhodnější,protožegenerátory ���� sicetvoříbázi,alesousednígenerátory ����,����+1 vykazujíprovelkéhodnoty ��,typickynaintervalu [0, 1],takřkashodnýprůběh,tj. jsou„skoro“lineárnězávislé.Zhlediskařešeníinverzníúlohy(výpočetkoeficientů) setakjednáošpatněpodmíněnouúlohu(nadiskrétnísítis �� +1 uzlyjetřeba invertovattzv.Vandermondovumatici,jejíždeterminantseblížíknulesrostoucím ��).Bylyprotonavrženyjinébázovésystémy,kteréjsouvesměsvjistémsmyslu ortogonálníatěmitoneduhynetrpí.Nejběžnějšíznichjsouznámypodoznačením Jacobiho,Čebyševovy,Legendrovy,Laguerrovy a Hermitovy polynomy.Detailylze naléztnapříkladvmonografiích[69,kap.6]a[8].
1Úvod 3
Splajny. Prostorpočástechpolynomickýchfunkcístupněnejvýše �� spředepsanou hladkostívpevněpředepsanýchbodechnapojení,tzv.uzlech.Původnívnitřníparametrizacejedánasouboremkoeficientůjednotlivýchpolynomůspoluspodmínkami nahladkost[1].Pozdějšímodernípřístupy[3]spočívajívnalezeníbázetzv. B-splajnů tohotoprostoruumožňujícíkaždýsplajnvyjádřitjakolineárníkombinaciB-splajnů. Fourierovařada [21,kap.13,s.429–454]. Libovolnou �� -periodickou1 funkciskonečnouvariací2 (��> 0)lzedleznámé Dirichletovyvěty rozvinoutdoFourierovyřady, kdestavebnímiblokyjsoukosinovéfunkce ����cos(2π����/�� ����) kmitajícínaharmonickýchfrekvencích �� =1, 2, 3,... ,tj.speriodami ��, �� 2 , �� 3 ,... Podobnějakovýše lzepakFourierovuřadufunkce �� (��) zapsatvamplitudově-fázovém,goniometrickém nebokomplexnímtvaru:
kdeposledníkomplexnítvarjepoužitelnýiprorozvoj �� -periodickékomplexní funkceavpřípaděreálnéfunkcevykazujesymetriikoeficientů �� ��
,��0 = ��0 2 Fourierovyřadypředstavujíklasickétéma,takžekestudiuexistuješirokývýběr vhodnýchspecializovanýchstudijníchtextů,např.[30]nebonovější[31].
Waveletovářada [21,kap.12,s.351–428]. Waveletovýsystémjemnožinafunkcí {����/2��(������ ����)}��,��∈Z propevné �� ∈ ��2(R) (základnívlnka)aparametry ��> 1 (základníměřítko)a ��> 0 (krokčasovéhoposunutí).Všechnybázovévlnkyjsoutak prokaždoudvojici (��,��) získányzmateřskévlnkyzměnoujejíhoměřítka ���� aposunutím ����.JezřejmáanalogiesFourierovouřadou,kde ��(��)= cos(��) (základnívlna), �� = 2π �� jezákladníměřítkoa ���� posuvvroli ����.Existujevelkémnožstvípublikací věnovanýchteoriiwaveletů,např.klasickámonografieodIngridDaubechies[9],která znamenalazásadnípřínoszkonstruovánímwaveletovéhosystémusmnohadobrými vlastnostmi(somezenýmnosičemaj.).Zajímavoupublikacipředstavuje[27],kdeje dokoncepopsánakonstrukcesplajnovýchwaveletů(každávlnkajesplajn).Aplikačně užitečnámůžebýtkniha[52].
Gaborovařada [21,kap.11,s.301–350] Systémmátvar {ei2π��������(�� ����)}��,��∈Z propevnou(neoscilatorickou)funkci �� ∈ ��2(R) (základníokno)aparametry ��> 0 (základnífrekvence)a ��> 0 (krokposunutí).Všechnybázovévlnkyjsoutakpro každoudvojici (��,��) získányzezákladníhooknafrekvenčnímodulacíofrekvenci ���� aposunutím ����.Frekvenceoscilacejezdenarozdílodwaveletovéhosystému řízenapřímomodulačnímčlenemanikolizměnouměřítkaoscilatorickézákladní vlnky.Ksystematickémustudiulzedoporučitnapříklad[16].
1 Narozdílodznačenípoužitéhovýšezde �� reprezentujeperiodusignálu,tedykladnéčíslo, nikolivoperátor.
2 Frekvencekmitůnesmírůstnadevšechnymeze,např.funkce sin 1 �� nemákonečnouvariacina intervalu (0, 1]
Framy [21,kap.8,s.203–246]. Frame3 jesystémdálezobecňujícívýšeuvedené přístupydoabstraktnějšípodoby.Počátkysahajíkpráci[13],nedávnémonografie [25, 26]jsouvhodnéproucelenésystematickéstudium.Framerovněžgenerujecelý prostor,alemůžebýtbohatšínežbáze(obvyklesjednoceníněkolikaznámýchbází) apřitomrovněžumožňujícíreprezentovatfunkcipomocírozvojedonekonečnéřady, alenejednoznačně(nekonečněmnohazpůsoby).Tatonejednoznačnostsamozřejmě přinášínumerickounestabilitupřihledánírozvojů.Jeprototřebadoplnitnějakádalší omezení.Obvyklevystupujepožadaveknajítprodanoufunkci(neboalespoňprojejí dobrouaproximaci)rozvojsconejmenšímpočtemnenulovýchkoeficientů,tzv. řídký rozvoj (vangličtiněsparse).Zvýšenávýpočetnínáročnostjebohatěkompenzována většíflexibilitou,neboťřídkáreprezentacevlastněpředstavujevýběroptimální konečnésubbázeprodanoufunkci.Vposlednídoběprobíháintenzivnívýzkum jednakvteoretickérovině(jakpoznat,žefunkcemářídkoureprezentacivdaném systému),takivroviněalgoritmické(jaktakovýřídkýrozvojnalézt)—viznapříklad staršíčlánek[24],kterýpodnítildalšívýzkumvtétooblasti.Přehledovápráce[7] stručněshrnujeaktuálnístav,stejnějakomonografie[14]detailněpopisujícícelou škáluexistujícíchalgoritmů.Existujíiadaptivnítechnikyumožňujícípřizpůsobit ivýběrsamotnéhoframovéhosystémuprodanoufunkci,kterýbyumožnilconejřidší reprezentaci.Kprvnímuseznámenísproblematikouframůařídkýchrozvojůjsou vhodnépublikace[50, 23, 22, 41],kteréjsoudostupnékestaženívelektronické podoběakdečtenářnaleznedalšíodkazy.
Tatomonografiejeprvníčeskoupublikací,kterápodávákonzistentnívýklad zmíněnýchpokročilýchtechnik.Tímdoplňujedostupnéčeskézdroje,např.kvalitní učebnítextykpřednáškámnaKarlověuniverzitěvPraze: https://www.booktook.cz/p/uvod-do-funkcionalni-analyzy/ https://www.databazeknih.cz/knihy/uvod-do-funkcionalni-analyzy-461751 https://www.megaknihy.cz/matematika/198960-zapisky-z-funkcionalni-analyzy.html https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/pages/fa.php# https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ufa/funkcionalka.pdf Vangličtiněsiceobdobnépublikaceknalezeníjsou,aleobvyklenepropojujíteorii spříkladyaplikací.Tatomonografiejeprvnísvéhodruhukoncipovanáscílem zmiňovanoumezeruzaplnit.Sestávázdevítikapitolaosmipříloh.
Klasickátémataúvodníhokurzupokrývajíkapitoly 2–4 spolusvolitelnými rozšiřujícímipřílohami A–C.Cílemvšaknenípodatjejichvyčerpávajícívýklad,ale sloužíjakozákladníteoretickápodporapronáročnějšímodernípartiezkapitol 5–9 zmíněnédále.
Čtenářzdetedynajdemnožstvíodkazůdoexistujícíčeskéianglickéliteratury, kdemůžedohledatpodrobnosti(detailydůkazůaj.).Jesamozřejměmožnéjevyužít iproběžnéúvodnípřednáškyzfunkcionálníanalýzyvmagisterskémstudiu.Vybraní studentipakmohouplynulenavázatkapitolami 5–9 vdoktorskémstudiudlejeho konkrétníhozaměření.
Kapitoly 5–9 spoluspřílohou F představujíjádrocelémonografie(přibližněpolovinucelkovéhorozsahu)ajsouzaměřenynamodernípartiezahrnujícípseudoinverzní operátory,framyaRKHS-prostory(Hilbertovyprostorysreprodukčnímjádrem:
3 Přejímámetentopojemzangličtiny,jelikožsianinejsmevědomiekvivalentuvčeskéliteratuře, anijsmevhodnýpřekladnenalezli.
RKHS—ReproducingKernelHilbertSpace)propotřebynáročnýchaplikacízoblastizpracovánísignálů,redukceparametrůvmodelech,strojovéhoučeníaumělé inteligencespředpokládanýmvyužitímpřipřípravěmezioborověorientovaných doktorandskýchkurzů.Tatopokročilátématajsoupřitomvyloženavevzájemných souvislostech,kterénejsouzřejméajenobtížnědohledatelnévespecializovanéliteratuře.Kapitola 9,alevmenšímířeikapitolypředchozí,zahrnujířadupříkladů zoblastizpracovánísignálůasouvisejícíchúloh.
Dopřílohy D bylyzařazenyrozsáhlejšínebotechnickykomplikovanédůkazy některýchtvrzení,včetněinteraktivníchvazebdohlavníhotextu,kdejejejich přesnézněníuvedeno.Připrvnímčteníjemožnojepřeskočitavrátitseknim později.Naopakdůkazyzačleněnédohlavníhotextupřispívajíkporozuměnílátce apochopeníširšíchsouvislostí.Některéjsoupřenechányzacvičeníčtenáři,přičemž náročnějšíjsoupostraněoznačenyhvězdičkou *.Kvybranýmcvičenímlzedohledat řešenívpříloze E.Příloha G shrnujeobsahceléknihyvečtyřechpřehledných tabulkách.Závěrečnápříloha H obsahujeseznamsouborů,kteréjsoukdispozici v onlinerepozitáři jakodoplněkkeknize.
Prousnadněnístudiajetextnazačátkudoplněnoseznampoužitýchsymbolů, zkratekaoznačení.
Monografiejetedyzajímavájakproteoretiky(výzkumníkyiučitele—podle monografielzevybudovatkurzčiseminář),takproinženýry,zejménazoblasti telekomunikacíazpracovánísignálů,idalšíspecialistyzabývajícísenapříkladproblematikoudolovánízdat(datamining)metodamistrojovéhoučení(neuronovésítě aj.),statistickýmipřístupyadalšími.
Reálnýmiprvkyokolníhosvětajsoubodyvtrojrozměrnémprostoru ��3.Vtomto, tzv. euklidovskémprostoru,lzezavéstvektorovougeometrii: vektor udává orientovanýsměrodjednohobodukjinému.
Nenítedynijakpřekvapujícísnahatytoobjektyformálněkvantifikovaněpopsat. Zvolíme-livprostorupevněnějakýbod(počátek)atřinasebekolmésměry (souřadnéosy),jemožnokaždýbod(resp.vektor �� směřujícíodpočátkuktomuto bodu)popsatjednoznačnětrojicíjehosouřadnic �� =[��1,��2,��3] (kolméprůměty �� na souřadnéosy).Každárovina(resp.přímka),procházejícípočátkempakpředstavuje dvojrozměrný(resp.jednorozměrný)euklidovskýpodprostor ��2 (resp. ��1)v ��3.
Geometrickémusečítáníanásobkůmvektorůodpovídajípříslušnéoperacesjeho souřadnicemi(sečítáníanásobenískaláremposložkách).Tímtozpůsobemjevmnožině ��3 zavedenalineárnístruktura—dostávámematematickoustrukturunazývanou lineární(vektorový)prostor
Euklidovskágeometrievšakumožňujetakéměřitvzdálenostdvoubodů,což vedekpojmům metrika a metrickýprostor.Odtudjeodvozenadélkavektoru nazývaná norma jakovzdálenostjehokoncovýchbodů.Spoluskonzistentnílineární strukturoutakdostávámepojem normovanéholineárníhoprostoru
Zhlediskageometrieužzbývájenzavéstoperaci,kteráumožníspočíst(orientovaný)úhelmezidvěmavektory �� a ��.Toujeoperacenazývaná skalární(vnitřní) součin: ⟨��, ��⟩.Navrcholstrukturálnípyramidy(vizobr. 2.1)setakdostává prostor svnitřnímsoučinem,téžnazývaný unitárníprostor.Tenpředstavujestrukturuzachycujícívyčerpávajícímzpůsobemvšechnypodstatnévlastnostigeometrie euklidovskéhoprostoru.Pomocíeuklidovskémetrikysedostávámekestrukturálnímupojmu euklidovskétopologie zavádějícínapř.pojmy otevřenámnožina (sjednoceníotevřenýchkoulí), uzavřenámnožina (komplementotevřenémnožiny), spojitost,konvergenceaj.Množinaopatřenátopologickoustrukturousenazývá topologickýprostor.Přidáme-liktopologickému,resp.metrickémuprostorukonzistentnímzpůsobemilineárnístrukturu,dostáváme topologickýlineární,resp. metrickýlineárníprostor
Strukturuprostoru ��3 lzedálepřirozenýmzpůsobemrozšířitdolibovolnékonečné dimenze �� ∈ N na �� -rozměrnýeuklidovskýprostor ���� ,jehožprvkyjsouuspořádané �� -ticereálnýchnebodokoncekomplexníchčísel [��1,��2,...,���� ].Ukazujese,že všechnypodstatnévlastnostizůstávajívplatnosti.
8
Kvalitativnízměnanastáváažpřechodemkprostorůmnekonečnédimenze:prostor posloupností {����}��∈�� , |��| = ℵ0,resp.prostorfunkcí {�� (��)}��∈I definovanýchna vhodnémdefiničnímoboru I (obvykle I ⊆ R jeintervalreálnýchčísel).Vtomto případějetřebaomezitvýběrposloupností,resp.funkcí.Obvyklepředpokládáme určitýtypabsolutnísumovatelnosti,resp.absolutníintegrovatelnosti.Itakjsou nekonečněrozměrnéprostorynatolikbohaté,ženěkterévlastnostilzezkonečně rozměrnéhoprostorupřenéstpouzepopřidánídalšíchomezujícíchpodmínek.Tyto rozdílybudoukonkrétnědiskutoványvdalšímtextu.
Výšezmíněnéprostoryjsouspeciálnímpřípadem algebraickýchstruktur,viz [15],[65,odst.2a3]a[34,kap.1],kterépředstavujíabstraktníkonstrukci,umožňující přenášetvybranéstrukturnívlastnostieuklidovskéhoprostoru(nejjednoduššíje reálnápřímka ��1)inamnožinysjinýmiprvky,nicméněpodobnéhocharakteru. Nepřeneseme-livlastnostivšechny,alejenněkteré,částstrukturníchrysůreálné přímkyztratíme,některévšakzůstanouzachovány,cožsetýkánapř.výšezmíněných topologických(lineárních)nebometrických(lineárních)prostorů.
Obrázek 2.1 znázorňujeschematickyhierarchiiprostorů,kterébudouvystupovat vdalšíchúvahách.Vede-livtomtoschématucestapohranáchgrafuodnějakéstrukturydolůkjiné,pakvýšeumístěnástrukturaautomatickyvynucuje(pod)strukturu umístěnouníže.Napříkladkaždýprostorsvnitřnímsoučinemjetakénormovaným lineárnímprostorem,tenmetrickýmlineárnímprostorematd.Vlastnostmirůzných typůprostorůsebudemenynízabývat.
VS-prostory
NL-prostory
ML-prostory
M-prostory TL-prostory
T-prostory L-prostory
Obrázek2.1:Schémahierarchieprostorů.
2Prostory 9
2.1.1Vektorovéprostory(lineárníprostory,L-prostory)
Definice2.1. (podrobněviz[65,definice3.1])
Množina �� opatřenánížeuvedenoulineárnístrukturousenazývá lineární(vektorový)prostor(L-prostor) nadpolemskalárů F,kde F = C nebo F = R: �� :=(��, ℒF),kde ℒF = {+, {����}��∈F}, (��1,��2) ↦−→ ��1 + ��2 (abelovskágrupa), ���� : �� ↦−→ ���� (násobenískalárem,distributivníaasociativní). • ∅̸= �� ⊆ �� (lineárně)nezávislá:
• ∅̸= �� L ⊆ �� (lineární) podprostor (L-podprostor): ��
• Lineárníobalpodmnožiny �� ⊆ ��: ℒ(�� ):= ⋂︀{︀�� | �� ⊆
Je-li �� = ℒ(�� ),říkáme,že �� generuje ��
• ∅̸= �� ⊆ �� báze v �� (cvičení 2.17(1)) =maximálnínezávislápodmnožinav �� =minimálnípodmnožinagenerující �� (ℒ(��)= ��) =lineárněnezávislápodmnožinagenerující ��
Věta2.2. Jestliže �� jebázea �� := |��| < ∞,potomvšechnybáze �� mají tutéžmohutnosta dim �� := �� senazývá (konečnou)dimenzíprostoru ��
Jestliže �� = ∞,značíme dim �� = ∞ a �� nazýváme nekonečnědimenzionálním prostorem
Definice2.3 (Lineárníoperátor, sdruženělineárníoperátor1). �� : �� → �� (píšeme �� ∈ℒ(��,�� )): �� (��1 + ��2)= ����1 + ����2, �� (����)= ������ ∀�� ∈ F (�� (����)=¯������ vpřípadě F = C)
• definičníobor operátoru �� : ��(�� ):= ��,
• oborhodnot2 operátoru �� : ℛ(�� ):= {���� | �� ∈ ��} L ⊆ �� ,
• jádro(nulovýprostor)3 operátoru �� : �� (�� ):= �� 1{0} L ⊆ ��
Věta2.4. (důkazvizcvičení 2.17(2))
�� ∈ℒ(��,�� ), ��1 L ⊆ �� ⇒ �� 1(��1) L ⊆ �� (speciálněi �� (�� ))jeL-podprostorv ��.
Definice2.5 (Přímýsoučet , ∑︀). (dlepřílohy A.5,viztéžcvičení 2.17(7))
Prostor �� = ��1 ���� (nebo �� = ∑︀�� ��=1 ����)nazýváme přímýmsoučtem
L-podprostorů ���� L ⊆ ��,jestližeplatí �� = ℒ(⋃︀�� ��=1 ����) a ���� ∩ℒ(⋃︀��=�� ���� )= {0}
pro �� =1,...,��.
Věta2.6. (viz A.7 acvičení 2.17(8))
�� = ��1 ���� ⇔ prokaždé �� ∈ �� ∃ !����,�� =1,...,��: �� = ��1 + + ����
1 Téžnazývaný antilineární
2 angl.rangespace
3 angl.nullspace
2Prostory 10
Definice2.7. �� : �� → �� senazývá lineárníizomorfismus(L-izomorfismus), jestliže �� jebijektivnílineárníoperátor(píšeme �� ∈ℒℐ(��,�� )).Zřejměpak �� 1 : �� → �� jerovněžlineárníizomorfismus(důkazjakocvičení 2.17(3)).Prostory ��,�� senazývají lineárněizomorfní (�� L ≃ �� ),jestližeexistujeL-izomorfismus �� → �� .
Věta2.8. (důkazjakocvičení 2.17(4)) �� ∈ℒ(��,�� ) jeinjektivníprávěkdyž �� (�� )= {0}.Vtakovémpřípadě �� L ≃ℛ(�� )
Poznámka2.9. Napříkladregulárnímatice �� rozměru �� × �� představujelineární izomorfismusprostorůshodnékonečnédimenze ��.Jejíjádrojejednoprvkovámnožina obsahujícínulu,neboťprávěpouzenulovývektorzobrazínanulovývektor.Jádrem singulárníchmaticrozměru �� × �� jevždynetriviálnípodprostor C��,aprotonemohou hrátrolilineárníhoizomorfismu.Propodrobnějšícharakterizacilineárníchoperátorů vprostorechkonečnédimenzevizpříklad 4.15
Věta2.10. (viz A.8 acvičení 2.17(8)) �� = ��
(kartézskýsoučinL-prostorů:sečítáníanásobení skaláremposložkách)
Věta2.11. �� L-prostor, dim �� = �� ⇒ �� L ≃ F�� .
Důkaz �� = {��1,...,����} bázev �� ⇒ �� (��)= ∑︀�� ���� ���� jelineárníizomorfismus z F�� → ��, �� =[��1,...,����] (podrobnějivizcvičení 2.17(5)). ⊓⊔
Poznámka2.12. Vzhledemktétovětělzepřipevnězvolenébázikonečnědimenzionálníhoprostoru �� ztotožnitkaždýprvek �� ∈ �� svektoremjehosouřadnic vtétobázi.Aprotovdalšímnemusímerozlišovatmeziprvkem �� avektoremjeho souřadnic.
Poznámka2.13. V Úvodu jsmeviděli,žeprostorfunkcí {�� cos(2π�� ��)} má bázitvořenoufunkcemi cos2π��, sin2π��.Zřejmýmlineárnímizomorfismemjevtomto případěvztahmezitímtodvojrozměrnýmprostoremaprostorem R2 souřadnic.
Důsledek2.14.
Lineárníoperátor �� ∈ℒ(��,�� ), dim �� = ��< ∞, dim �� = ��< ∞ jejednoznačně určenmaticírozměru ��×��: [�� ]:= �� :=[��1,..., ����]:=[������ ], ���� = �� (���� )= ∑︀�� ��=1 ������ ��′ ��, kde �� = {���� } a ��′ = {��′ ��} jsoulibovolné,alepevnězvolenébázepořaděv �� a ��
Důkaz.(podrobnějijakocvičení 2.17(6))
Operátory �� : F�� → ��,�� : F�� → �� jsousouřadnicovéizomorfismyjakovevětě 2.11 ⇒ [�� ]= �� 1���� : F�� → F�� jelineárníoperátor,přičemž �� ↦→ [�� ] jezřejmě lineárníbijekcí ℒ(��,�� ) na ℒ(F�� , F��),kde �� = �� �� = ∑︀�� ��
= �� 1���� = �� 1���� ��. ⊓⊔
Poznámka2.15. Vzhledemktomutodůsledkulzepřipevnězvolenýchbázích konečnědimenzionálníchprostorů �� a �� ztotožnitkaždýoperátor �� ∈ℒ(��,�� ) smaticovýmoperátorem [�� ] : F�� → F��.Zatétosituacetedynebudemerozlišovat mezioperátoremajemupříslušnoumaticí �� =[�� ].
2Prostory 11
Věta2.16 (Faktorprostor). (viz A.2, A.3 acvičení 2.17(7))
KaždýL-podprostor �� L ⊆ �� definujena �� kongruenci ∼ (��1 ∼ ��2 ⇔ ��2 ��1 ∈ ��), přičemž [��]:= {��′ | ��′ ∼ ��} značítřídukongruenceobsahujícíprvek �� ∈ ��. Pak ��/�� := {[��] | �� ∈ ��} jetzv. faktorprostor �� dle ��,kdespeciálněpro
�� ∈ℒ(��,�� ) je ��/�� := ��/�� (�� )= {�� 1(��) | �� ∈ℛ(�� )} a ��/�� L ≃ℛ(�� )
Cvičení2.17.
(1) Dokažteekvivalencitřícharakterizacíbázívdefinici 2.1. (2) Dokažtevětu 2.4.
(3) Dokažte,žeinverzeklineárnímuizomorfismudledefinice 2.7 jerovněžlineární izomorfismus.
(4) Dokažtevětu 2.8
(5) Zdůvodnětepodrobněplatnostimplikacevdůkazuvěty 2.11 (6) Zdůvodnětepodrobnějednotlivékrokydůkazudůsledku 2.14 (7) Konceptyzavedenévdefinici 2.5 avevětě 2.16 ilustrujtegeometrickyvprostorech R2 a R3
(8) Dokažtevěty 2.6 a 2.10
2.1.2Topologicképrostory(T-prostory)
Teoriiktopologickýmprostorůmlzečerpattakézezdrojů[51,kap.2,s.65–76,86] a[29,částII,kap.5,s.105–118].
Definice2.18.
Topologickýmprostorem(T-prostorem) nazývámestrukturu �� :=(��, ���� ), kde ���� ⊆ exp �� (exp �� značímnožinuvšechpodmnožinmnožiny ��)jetzv. topologiena �� svlastnostmi:
1∘ ∅,�� ∈���� ,
2∘ sjednocenílibovolnéhopočtuprvkůz ���� jeprvkem ���� ,
3∘ průnikkonečnéhopočtuprvkůz ���� jeprvkem ���� (vizcvičení 2.34(1)).
Otevřenámnožina: �� ∈����
Uzavřenámnožina: �� ∖ �� (komplement)otevřenémnožiny �� ∈���� ve 2∘ a 3∘ sjednoceníaprůnikysizaměníroli,tedyprůniklibovolnéhopočtu uzavřenýchmnožinjeuzavřenámnožina,sjednoceníkonečnéhopočtuuzavřených množinjeuzavřenámnožina.
Otevřenéokolímnožiny �� ⊆ ��: ��(�� ) ∈���� : �� ⊆��(�� )
Otevřenéokolíbodu �� ∈ ��: ��(��):= ��({��})
Ryzíotevřenéokolíbodu �� ∈ ��: ��*(��):= ��(��) ∖{��}
Uzávěrmnožiny �� ⊆ ��: nejmenšíuzavřenápodmnožinaobsahující �� neboli
�� := ⋂︀{�� | �� jeuzavřená : �� ⊆ �� }
Vnitřekmnožiny �� ⊆ ��: největšíotevřenámnožinaobsaženáv �� neboli
Int(�� ):= ⋃︀{�� | �� jeotevřená : �� ⊆ �� }
Hranicemnožiny �� ⊆ ��: ��(�� ):= �� ∖ Int(�� )
Všude(nikde)hustápodmnožina �� ⊆ ��: �� = �� (Int(�� )= ∅).
2Prostory 12
Věta2.19. (důkaz D.1)
(1) �� jeotevřená ⇔∀�� ∈ �� existuje ��(��) ⊆ ��
(2) Int(�� ∖ �� )= �� ∖ ��
(3) �� ∖ �� = �� ∖ Int(�� )
(4) �� ∈ �� ⇔∀��(��) je ��(��) ∩ �� = ∅
(5) ��(�� )= �� ∩ �� ∖ ��
(6) �� ∈ ��(�� ) ⇔∀��(��): ��(��) ∩ �� = ∅ a ��(��) ∩ (�� ∖ �� ) = ∅.
Věta2.20. (cvičení 2.34(3)) �� ⊆ �� jeotevřená,resp.uzavřená ⇔ Int(�� )= �� ,resp. �� = ��
Definice2.21. T-prostor �� senazývá separabilní,jestližeexistujenejvýšespočetnámnožina �� ⊆ �� (|�� |≤ℵ0): �� = ��
Definice2.22.
(Topologiegenerovanásystémempodmnožin ��⊆ exp ��,báze)
Nejmenšítopologiena �� obsahujícíprvky �� jakootevřenémnožinyjeprůnikem všechtakovýchtopologií,abudemejiznačit
��(��):= ⋂︀{��|��⊆ exp �� jetopologiena ��: ��⊆��}
(Vecvičení 2.34(4) ověřte,žeprůniktopologiíjeskutečnětopologie.)
Systém �� senazývá bázítopologie ��(��) na ��,jestližemánásledujícívlastnosti: (1) �� ∈ �� ⇒ existuje �� ∈�� : �� ∈ ��, (2) �� ∈ ��1 ∩ ��2 (��1,��2 ∈��) ⇒ existuje �� ∈�� : �� ∈ ��,�� ⊆ ��1 ∩ ��2.
Věta2.23. (důkazviz D.2)
Nechť ��⊆ exp ��,pak ��(��) jetvořenaprávětěmimnožinami,kterénutněmusí obsahovat.Tedykaždáotevřenámnožinaz ��(��) jesjednocenímkonečnýchprůniků množinz ��,neboli ��(��)= {⋃︀��∈�� ⋂︀��∈���� ������ | ������ ∈��, prokaždé �� a |����| < ℵ0}.
Tentosystémobsahuje ∅ (sjednoceníprázdnéhosystému �� = ∅)icelýprostor ��, pokudvšechna ���� = ∅.
Speciálněje-li �� báze,pak ��(��)= {⋃︀��∈�� ���� | ���� ∈�� prokaždé ��} nebolikaždá otevřenámnožinaz ��(��) jenějakýmsjednocenímmnožinz ��
Definice2.24 (Součinovátopologie). NakartézskémsoučinuT-prostorů �� = ∏︀��∈�� ���� definujemesoučinovoutopologii jakotopologiigenerovanoudlevztahu: ���� := ��{ ∏︀ ��∈�� ���� | ���� ∈������ ,���� = ���� proskorovšechna �� (tj.ažnakonečněmnoho)} (zdůvodnětevecvičení 2.34(5),pročmusíplatit ���� = ���� pros.v. ��).
Definice2.25 (Topologickýpodprostor �� ⊆ ��). Na �� definujemetzv. indukovanoutopologii —vizcvičení 2.34(7): ���� :={�� ∩ �� | �� ∈���� }.
Příklad2.26 (Euklidovskátopologie na R�� , �� ∈ N). Zřejměmnožinavšechotevřenýchintervalů I na R jebázetopologie.Otevřenými množinamivtopologiigenerovanétoutobázíjsoudle 2.23 právěvšechnamožná sjednoceníotevřenýchintervalů.Podobněbázipříslušnésoučinovétopologiena R�� tvoříotevřené„kvádry“,nebolivšechnykartézskésoučiny I1 ×···× I�� otevřených intervalů.Taktozískanátopologiena R,resp.na R�� senazývá euklidovská,stejně jakotopologieindukovanánapodmnožinyv R�� (např.na Z ⊂ R nebona N ⊂ R).
2Prostory 13
Definice2.27 (HausdorffůvT-prostor). T-prostor �� senazývá Hausdorffův,jestliževněmplatínásledujícíaxiomoddělitelnosti: ��1,��2 ∈ ��,��1 = ��2 ⇒∃��(��1), ��(��2): ��(��1) ∩��(��2)= ∅
ZajednoduchýpříkladT-prostoru,kterýneníHausdorffův,stačívzítjakoukoli neprázdnoumnožinu �� snejmenšítopologií ���� = {∅,��}
Definice2.28. Zobrazení �� : �� → �� meziT-prostorysenazývá spojitévbodě ��0 ∈ ��,jestliže: ∀��(�� (��0)) ∃��(��0) : �� (��(��0)) ⊆��(�� (��0)).Zobrazení �� senazývá spojité,je-lispojitévkaždémbodě �� ∈ ��
Věta2.29. Nechť �� : �� → �� (T-prostory).Paknásledujícítvrzeníjsouekvivalentní: (1) �� jespojité, (2) �� jeotevřenáv �� ⇒ �� 1(�� ) jeotevřenáv ��, (3) �� jeuzavřenáv �� ⇒ �� 1(�� ) jeuzavřenáv ��
Důkaz. (1) ⇒ (2):Nechť �� jespojité(tj.vkaždémbodě). a) je-li �� 1(�� )= ∅⇒ �� 1(�� ) jeotevřenádle 1∘ , b) nechť �� 1(�� ) = ∅ a �� ∈ �� 1(�� ) ⇒ ���� ∈ �� ⇒ �� jeotevřenýmokolímbodu ���� ⇒∃��(��) : �� (��(��)) ⊆ �� ⇒��(��) ⊆ �� 1(�� ) ⇒ �� 1(�� ) jeotevřenádle
2.19(1) (2) ⇒ (1):Nechť ��(����0) jelibovolnéokolí,položme �� = ��(����0),pakdle (2) je �� 1(��(����0)) otevřenáobsahující ��0,tj.stačípoložit ��(��0)= �� 1(��(����0)).Zřejmě �� (��(��0))= ��(����0)= �� (3) ⇔ (2):plynez �� 1(�� ∖ �� )= �� ∖ �� 1(�� ) užitím (2),neboťmnožinajeuzavřená právěkdyžjejíkomplementjeotevřenámnožina. ⊓⊔
Definice2.30. Zobrazení �� : �� → �� meziT-prostorysenazývá otevřené(uzavřené),jestliže �� (�� ) jeotevřená(uzavřená)množinav �� prokaždouotevřenou (uzavřenou)podmnožinu �� ⊆ ��
Definice2.31. �� senazývá homeomorfismus (topologickýizomorfismus), jestližejebijekcíasoučasně �� i �� 1 jsouspojitázobrazení.T-prostory �� a �� senazývají homeomorfní(topologickyizomorfní),jestližeexistujehomeomorfismus �� na ��
Věta2.32. (důkazjakocvičení 2.34(8))
Zobrazení �� : �� → �� meziT-prostoryjehomeomorfismus �� na �� právěkdyž �� je bijektivní,spojitéaotevřené(resp.uzavřené)zobrazení.
Definice2.33 (Limita,konvergencevtopologii). Řekneme,žezobrazení �� : �� → �� meziT-prostory mávbodě ��0 ∈ �� limitu ��0, jestliže ∀��(��0) ∃��*(��0) : �� (��*(��0)) ⊆��(��0);píšeme ���� ���� −−→ ��0 pro �� ���� −−→ ��0 Analogickyřekneme,žeposloupnost {����}��∈N při ���� ∈ �� konvergujek ��0 ∈ �� apíšeme ���� ���� −−→ ��0 pro �� →∞,jestliže ∀��(��0) ∃ �� ∈ N : ���� ∈��(��0) pro ��>�� 4 Častobudemefakt {����}��∈N, ���� ∈ �� ,zapisovatzkrácenějako {����}⊆ ��
4 Interval (��, ∞) ∩ N hrajeroliryzíhookolínekonečnavindukovanéeuklidovskétopologiina N ⊂ R* (srov. 2.26).
2Prostory 14
Cvičení2.34.
(1) Vdefinici 2.18 topologickéhoprostoruzdůvodnětenezbytnostaxiomu 3∘ na vhodnémpříkladuveuklidovskémprostorudimenze1.
(2) Dokažte,žepodmnožina �� T-prostoru �� jevněmnikdehustá ⇔ komplement jejíhouzávěrujevšudehustýv ���� ,tj. �� ∖ �� = �� (užijtetvrzení 2.19(3)).
(3) Dokažtevětu 2.20.
(4) Dokažte,žeprůniksystémutopologiíužitývdefinici 2.22 jerovněžtopologie.
(5) Zdůvodnětepročsoučinovátopologiedefinovanáv 2.24 nemůžebýtgenerována libovolnýmikartézskýmisoučinyotevřenýchmnožin.
(6) Dokažte,žesystémpodmnožingenerujícísoučinovoutopologiina �� vdefinici 2.24 jebázítétotopologie,apřitomtatotopologiejenejmenší,vnížkaždá projekce �� na ���� jespojitá.
(7) Vdefinici 2.25 topologickéhopodprostoruověřte,žejehotzv.indukovanátopologieskutečněsplňujeaxiomy 1∘ až 3∘ zdefinice 2.18
(8) Dokažtevětu 2.32
Jakodalšízdrojektématumetrickýchprostorůmohouposloužit[32,kap.1], [51,kap.2,s.76–86],[29,částII,kap.1–3,s.66–94].Dalšípodrobnostilzenalézt vpříloze B
Definice2.35.
Metrickýmprostorem(M-prostorem) nazývámestrukturu �� :=(��,���� ),kde �� := ���� : �� × �� → R+ jetzv. metrikana �� svlastnostmi:
1∘ ��(��,��)= ��(��,��)
2∘ ��(��,��) ≤ ��(��,��)+ ��(��,��)
3∘ ��(��,��)=0 ⇔ �� = �� }︃ ��=�� =⇒ ��(��,��) ≥ 0.
Otevřenákoule: ��(��0,��):= {�� ∈ �� | ��(��,��0) <��} opoloměru ��> 0 sestředem ��0, �� := {��(��0,��) | ��0 ∈ ��,�� ∈ R,��> 0}.
Topologiena ��: �� jebázegenerujícítopologiina ��: ���� = ��(��) (viztakécvičení 2.48(1)).
Konvergencedlemetriky ��: ���� �� −→ �� := ��(����,��) → 0 pro �� →∞,kdeekvivalencestopologickoudefinicíkonvergence 2.33 jezřejmá(vizcvičení 2.48(2)),tj.stačí psát ���� → ��
Cauchyovskáposloupnost: {����}⊆ �� : ��(����,����) → 0 pro ��,�� →∞
Uzavřenákoule: ��(��0,��):= {�� ∈ �� | ��(��,��0) ≤ ��} jeuzavřenávtopologii,ale nemusíbýtnutněuzávěremotevřenékoule,tj. ��(��0,��)= ��(��0,��) obecněneplatí (vizcvičení 2.48(6)).
Metrickýpodprostor(M-podprostor): neprázdnápodmnožina �� ⊆ �� srestrikcímetriky ���� := ���� |��×�� ;zřejměsoučasněje �� takéT-podprostoremv ��
Věta2.36. KaždýM-prostorjeHausdorffůvT-prostor.
Důkaz.Dle 2.23 jsouotevřenýmimnožinamiprávěvšechnasjednoceníotevřených koulía ���� jetedynejmenšítopologiena ��,vnížkaždákoulejeotevřená.Zbývá ukázatplatnostaxiomuoddělitelnosti 2.27: �� = �� 3∘ ⇒ �� := ��(��,��) > 0 apakexistují
2Prostory 15
��(��)= ��(��, �� 2 ), ��(��)= ��(��, �� 2 ),jejichžprůnikjeprázdný,cožlzedokázatsporem: �� ∈ ��(��, �� 2 ) ∩ ��(��, �� 2 ) ⇒ �� = ��(��,��) ≤ ��(��,��)+ ��(��,��) < �� 2 + �� 2 = �� ⊓⊔
Věta2.37. �� ⊆ �� (M-prostor)jeuzavřenáprávěkdyž ���� → ��,���� ∈ �� ⇒ �� ∈ ��
Důkaz.
Směr ⇒ sporem:Nechť �� jeuzavřenáapředpokládejme,žeexistujeposloupnost {����}⊆ ��,���� → ��/ ∈ �� .Pak �� ∈ �� ∖ �� (otevřená) 2 19(1) ⇒∃ ��(��,��) ⊆ �� ∖ �� ,ale protožezkonvergenceplyne ∃ �� ∈ N : pro �� ≥ �� je ��(����,��) <��,pak ���� / ∈ �� pro �� ≥ �� ,cožjespor.Tedy �� ∈ �� .
Směr ⇐ sporem:Kdyby �� nebylauzavřená,pak �� ∖ �� bynebylaotevřená,tj. ∃ �� ∈ �� ∖ �� : �� ∩ ��(��, 1 �� ) = ∅∀ �� ∈ �� ,tedy ∃ ���� = �� : ���� ∈ ��, 0 <��(��,����) < 1 �� . Pak ���� → ��/ ∈ �� ,spor. ⊓⊔
Poznámka2.38. Zřejmě �� dostanemez �� přidánímlimitvšechkonvergentních posloupností {����}⊆ �� ,kterépakovšempadnoudo ��(�� ),pokudneleželyv Int(�� ).
Věta2.39. KaždýM-podprostorseparabilníhoM-prostorujeseparabilní.
Důkaz.Nechť �� = {��1,��2,... }⊂ �� jenějakánejvýšespočetnáhustápodmnožina separabilníhoM-prostoru �� (�� = ��)a �� ⊂ �� jehoM-podprostor.Paksystém koulí ��(����, 1 �� ), ��,�� ∈ N,jenejvýšespočetný.Pokud �� ∩ ��(����, 1 �� ) = ∅,zvolme libovolně,alepevněprvek ����,�� ∈ �� ∩ ��(����, 1 �� ).Množina {����,��}⊂ �� taktovybranýchprvkůjezřejměrovněžnejvýšespočetná.Ukážeme,žejetakéhustáv ��
Prolibovolné �� ∈ �� a �� ∈ N existuje ���� ∈ �� takové,že �� ∈ ��(����, 1 2�� ),neboli �� ∈ �� ∩ ��(����, 1 2�� ).Rovněžpříslušné ����,2�� ∈ ��(����, 1 2�� ) apodleaxiomu 2∘ dostáváme ��(��,����,2��) ≤ ��(��,����)+ ��(����,����,2��) < 1 2�� + 1 2�� = 1 �� . ⊓⊔
Definice2.40. �� ⊆ �� senazývá ohraničená,jestliže ∃�� ∈�� : �� ⊆ �� (vzhledemk 2∘ sestačíomezitna �� := ��(��0,��),��0 pevné—viz 2.48(3)).
Věta2.41. (důkazjakocvičení 2.48(4))
���� → �� v �� (M-prostor) ⇒{����} jecauchyovská.
Definice2.42. M-prostor �� senazývá úplný,jestližekaždájehocauchyovská posloupnostjekonvergentní.
Věta2.43. Nechť �� jeM-podprostorM-prostoru ��.Pakplatí:
(1) �� úplný ⇒ �� uzavřenýv ��,
(2) �� úplný, �� uzavřený ⇒ �� úplný.
Důkaz
(1) �� ⊆ �� (M-podprostor).Nechť �� jeúplný.Podle 2.37 stačíukázat,žeprokaždou posloupnost �� ∋ ���� → �� v �� je �� ∈ �� .Nechťtedy ���� → ��,pakdle 2.41 je {����} cauchyovskávprostoru �� atedyivprostoru ��,neboť ���� ∈ ��.Pak �� ∈ ��, jelikož �� jeúplný.
(2) Nechť {����} jecauchyovskáv �� ⇒{����} jecauchyovskáv �� ⇒ ���� → �� v ��, neboť �� jeúplný ⇒ �� ∈ �� ,neboť �� jeuzavřený. ⊓⊔
Věta2.44 (Heinehodefinicespojitosti:viz[11,D.16s.173]) �� : �� → �� mezidvěmaM-prostoryjespojitév ��0 právěkdyžplatí: ���� → ��0 v �� ⇒ �� (����) → �� (��0) v ��.