9788024296425

MATEMATIKA jednoduše

JEDNODUŠE: MATEMATIKA

First published in Great Britain in 2022 by Dorling Kindersley Limited, London

Original Title: Simply Maths

Copyright © Dorling Kindersley Limited, 2022 A Penguin Random House Company

Translation © Jozef Kovaľ, 2024

All rights reserved

Z anglického originálu Simply: Maths, vydaného nakladatelstvím Dorling Kindersley Limited v Londýně v roce 2022, přeložil Jozef Kovaľ

Redigoval Richard Straberger Odborná revize Jozef Kovaľ

Odpovědná redaktorka Pavla Čermáková Technická redaktorka Lenka Vávrová Počet stran 160

Vydala Euromedia Group, a. s., v edici Universum Nádražní 32, 150 00 Praha 5 v roce 2024 jako svou 14 182. publikaci Sazbu zhotovil a obálku podle originální předlohy upravil TypoText

Tisk TBB, a. s., Banská Bystrica Vydání první

Naše knihy na trh dodává Euromedia Group, a. s. –knižní velkoobchod, Nádražní 762/32, 150 00 Praha 5 Zelená linka: 800 103 203 obchod-vo@euromedia.cz

KONZULTANT

Karl Warsi dlouhá léta vyučoval matematiku na školách nejrůznějšího typu. Je autorem nejprodávanějších učebnic pro studenty středních škol a věnuje se inkluzi ve vzdělávání a myšlence, že se lidé všech věkových kategorií učí různými způsoby.

PŘISPĚVATELÉ

Leo Ball vystudoval fyziku na Oxfordské univerzitě a nyní je učitelem fyziky. Spolupracuje s Oxfordskou univerzitou a velšskou vládou – podílí se na přípravě studentů před jejich zkouškami na Oxfordskou nebo Cambridgeskou univerzitu.

Heather Davisová vyučovala matematiku třicet let. Vydala řadu učebnic pro nakladatelství Hodder Education a dohlížela na tvorbu publikací pro britskou Asociaci učitelů matematiky.

Julian Emsley je učitelem matematiky a lektorem na jižním pobřeží Anglie. Pěstuje ovoce a zeleninu a jezdí na kole po kopcích a stezkách v South Downs.

Sue Popeová je dlouholetou členkou britské Asociace učitelů matematiky a na konferencích spoluorganizuje semináře týkající se historie výuky matematiky. Bohatě publikuje, nedávno se podílela na vydání knihy Enriching Mathematics in Primary Curriculum

www.dk.com

ISBN 978-80-242-9642-5

Susan Wattová studovala matematiku a přírodní vědy na Cambridgeské univerzitě a je držitelkou postgra duálního titulu v oblasti filozofie a psychologie. Byla redaktorkou mezinárodního časopisu Science in School a přispívala do mnoha časopisů o matematice a přírodních vědách.

OBSAH

7 CO JE MATEMATIKA?

ČÍSLA

10 ČÍSLA VĚTŠÍ A MENŠÍ NEŽ NULA

Celá čísla

11 LÁMÁNÍ ČÍSEL Zlomky

12 POLOHA DESETINNÉ ČÁRKY

Desetinná čísla

13 ČÁSTI ZE 100 Procenta

14 DĚLITEL ČÍSLA Dělitelé a násobky

15 PRVOČÍSLA Prvočísla

16 ČÍSLO NÁSOBENÉ SEBOU SAMÝM Mocniny a odmocniny

17 MATOUCÍ MOCNINY

Záporné a nulové mocniny

18 PRVOČINITELÉ

Prvočinitelé

20 ZÁPIS MALÉHO A VELKÉHO

Vědecký zápis

22 JINÝ ZPŮSOB MYŠLENÍ

Komplexní čísla

23 ČÍSELNÉ MNOŽINY Druhy čísel

24 RŮZNÉ ZÁKLADY

Základ číselných soustav

25 SKUPINOVÁ PRAVIDLA Teorie skupin

VÝPOČTY

28 DVA KROKY VPŘED, JEDEN KROK VZAD Sčítání a odčítání

30 CO JSOU TŘI TROJKY? Násobení

31 STEJNÉ DÍLY Dělení

32 SETINY A TISÍCINY

Výpočet desetinných čísel

34 VÍCE NEBO MÉNĚ Zaokrouhlování a odhadování

36 SOUČTY ZLOMKŮ

Výpočty se zlomky

GEOMETRIE

40 MĚŘENÍ OTOČENÍ Úhly

41 PRAVIDLA O ROVNOBĚŽKÁCH Úhly a rovnoběžky

42 ROVINNÉ ÚTVARY Dvojrozměrné útvary

44 ÚTVAR SE TŘEMI STRANAMI

Druhy trojúhelníků

46 ÚTVARY SE ČTYŘMI STRANAMI

Druhy čtyřúhelníků

48 SOUČET MNOHA ÚHLŮ Úhly v mnohoúhelníku

50 TROJROZMĚRNÉ ÚTVARY

Druhy pevných těles

52 VYTVÁŘENÍ PRŮMĚTŮ Pravoúhlé promítání

53 VYTVÁŘENÍ KOPIÍ Souměrnost

54 ZAKRESLOVÁNÍ BODŮ

Soustava souřadnic

56 GEOMETRICKÉ ZOBRAZENÍ

Geometrické zobrazení

58 ZMĚNA TVARU

Topologie

60 ČTYŘROZMĚRNÁ GEOMETRIE Minkowského prostor

62 VSTŘÍC K DETAILŮM Fraktální geometrie

ALGEBRA

66 STAVEBNÍ KAMENY Členy a výrazy

67 ZJEDNODUŠUJTE

Zjednodušování výrazů

68 PRÁCE S MOCNINAMI

Pravidla pro mocnitele

69 ÚPRAVA VÝRAZŮ

Rozšiřování a faktorizace

70 FORMULOVÁNÍ VZTAHŮ Vzorce

71 VYVAŽOVÁNÍ ROVNICE

Lineární rovnice

72 CO JE KVADRATICKÁ ROVNICE?

Kvadratické rovnice

73 SUBSTITUČNÍ METODA

Soustava rovnic

74 NE VŠECHNY ROVNICE

JSOU SI ROVNY

Nerovnice a nerovnosti

75 CO NÁSLEDUJE DÁL?

Posloupnosti

76 JEDINEČNÉ ČÍSELNÉ VZORY

Zvláštní posloupnosti

GRAFY

80 FUNKCE JAKO STROJ Funkce

82 ZNÁZORNĚNÍ ROVNICE PŘÍMKY Lineární grafy

83 PARABOLY Kvadratické grafy

84 GRAFY ROVNIC Grafické řešení rovnic

85 DATA Z REÁLNÉHO SVĚTA Grafy z reálného života

92 VÝPOČET ZMĚNY Procentní nárůst a pokles

93 NÁRŮST V PRŮBĚHU ČASU Složené úročení

94 ÚMĚRNOST Přímá a nepřímá úměrnost

96 IDEÁLNÍ PROPORCE Zlatý řez

98 EXPONENCIÁLNÍ RŮST Exponenciály

88 POROVNÁVÁNÍ MNOŽSTVÍ

Poměr a procenta

90 POROVNÁVACÍ VZTAHY

Poměr a procenta

MÍRY

102 ZHOTOVENY NA MÍRU Měrné jednotky

103 OTÁZKA ČASU Čas

104 OBSAH ÚTVARŮ Obsah a obvod

105 POŘÁD DOKOLA Kruhy

106 VÝPLŇ PROSTORU Objem

108 SÍŤ VÁLCE Povrch válce

109 MÍRA PŘESNOSTI Přesnost a meze

110 PRAVOÚHLÉ TROJÚHELNÍKY Pythagorova věta

112 MĚŘÍTKO Výkresy a mapy v měřítku

114 PODOBNÉ, NEBO STEJNÉ?

Shodnost a podobnost

117 VÝPOČTY

S TROJÚHELNÍKY

Trigonometrie

118 TRIGONOMETRIE V PRAXI

Využití trigonometrie

120 OBECNÉ TROJÚHELNÍKY

Sinová a kosinová věta

121 KOMBINACE JEDNOTEK

Složené jednotky

122 MNOŽINY BODŮ

Konstrukce a geometrická místa bodů

124 VELIKOST A SMĚR Vektory

126 CO JE MATICE?

Matice

139 VÝPOČET VÝSLEDKŮ Experimenty s pravděpodobností

140 V DOKONALÉM SVĚTĚ

Teoretická pravděpodobnost

141 TESTOVANÍ ŠANCÍ

Porovnání experimentální a teoretické pravděpodobnosti

142 STROMOVÝ DIAGRAM

Pravděpodobnost kombinace jevů

143 ČÁST SJEDNOCENÍ

Vennovy diagramy

144 ZÁLEŽÍ NA TOM … Podmíněná pravděpodobnost

145 MAPOVÁNÍ DAT

Rozdělení pravděpodobnosti

146 VELMI NEPRAVDĚPODOBNÉ

JEVY

Věta o nekonečné opici

STATISTIKA A PRAV­

DĚPODOBNOST

130 JSOU STATISTKY DŮLEŽITÉ? Statistika

131 PRŮZKUMY A VZORKY

Sběr dat

132 GRAFICKÁ PODOBA DAT

Znázornění dat

134 CO NÁM DATA ŘÍKAJÍ

Analýza dat

136 CO TO VŠE ZNAMENÁ?

Interpretace dat

137 HLEDÁNÍ SOUVISLOSTÍ Korelace

138 MĚŘENÍ ŠANCÍ

Míra pravděpodobnosti

KALKULUS

150 MÍRA ZMĚNY

Rychlost změny

151 ZMĚNA HODNOT

Derivace funkce

152 SOUČET HODNOT

Odhad obsahů

153 PLOCHA POD KŘIVKOU

Integrál funkce

154 INVERZNÍ POSTUPY

Základní věta integrálního počtu

155 KALKULUS V PRAXI

Využití kalkulu

156 REJSTŘÍK

CO JE MATEMATIKA?

Starověký řecký filozof Proklos jednou napsal: „Kdekoli je číslo, tam je i krása.“ Matematiku někteří pokládají za krásnou, jiní z ní mají hrůzu. Její pravomoci sahají daleko za čísly do oblastí, jako jsou algebra a geometrie. Vlastně je vysoce pravděpodobné, že existují celá témata, o nichž se nám ani nezdá. Je těžké vyslovit jednoduchou definici matematiky, i když se obecně přijímá, že předmětem jejího studia jsou množství, útvary a vzory. Tato rozsáhlá věda, jak ji známe dnes, se rozvíjela tisíce let, od prvních nálezů početních záznamů vyrytých do kostí přes vynález indicko -arabské číselné soustavy až po moderní, abstraktní algebru.

Matematika je životně důležitá, nejen jako předmět, kterým musíte projít ve škole, ale i v mnoha jiných oblastech každodenního života, kupříkladu v supermarketu nebo při dekorování pokoje. Mnozí z nás mají pro řešení problémů své metody, ale občas nám chybí koncepční pochopení, potřebné k tomu, abychom dokázali matematiku sebevědomě využít v mnoha situacích.

Tato kniha nabízí souhrnný a vizuální úvod do velkých myšlenek, na nichž spočívají hlavní pojmy, jako je např. číslo a míra, a také různé vědní obory, např. statistika. Dotýká se i pokročilejších témat, jako je např. kalkulus, a také fascinujících oblastí včetně fraktální geometrie a zlatého řezu. Doufáme, že tato kniha vám odhalí krásu matematiky a nabídne praktické využití, a co je nejdůležitější, učiní tento předmět pro mnohé z vás méně skličujícím.

ČÍSLA

Číslo je symbol nebo slovo, který nebo které používáme k vyjádření nějakého množství. Může jít o počet věcí, zlomek nebo záporné množství. Čísla mohou dokonce reprezentovat tzv. imaginární kvantity. Čísla se pravděpodobně zprvu zapisovala pomocí značek, které dělali obyvatelé jeskyň, avšak přes soustavy, jako jsou římská čísla, se vyvinula v elegantní arabské číslice, které používáme v současnosti. Indicko ‑arabská číselná soustava je sice všudypřítomná, ale v každodenní matematice se využívají i další číselné soustavy, např. čínská.

Celá čísla zahrnují kladná čísla a k nim opačná čísla záporná. Mezi celá čísla patří i nula.

Číselná osa

Celá čísla lze znázornit na číselné ose, která se na obou koncích táhne do nekonečna.

CELÁ KLADNÁ ČÍSLA

ČÍSLA VĚTŠÍ

A MENŠÍ NEŽ NULA

LÁMÁNÍ ČÍSEL

Čísla, která leží mezi celými čísly, lze často zapisovat ve tvaru zlomků. Zlomky jsou užitečné při přesném měření množství nebo dělení něčeho na stejné části. Slovo „zlomek“ pochází z latinského slova fractio, což znamená „lámat“, a zlomek představuje způsob vyjádření množství jako části celého čísla. Zlomky se zapisují v podobě dvou čísel psaných jedno nad druhým a oddělených vodorovnou čárou.

3 ČITATEL

JMENOVATEL

Horní číslo vyjadřuje počet stejných částí. Spodní číslo vyjadřuje celkový počet stejně velkých částí.

Část celku

Přirozená čísla (1, 2, 3…) tvoří základ matematiky. Číslem je po právu i nula a čísla 0, 1, 2, 3… až do nekonečna nazýváme celá kladná čísla. Čísla menší než nula (−1, −2, −3…) nazýváme celá záporná čísla. Používáme je kupříkladu k označování teplot nižších než nula.

ZLOMKOVÁ ČÁRA 4

Zlomky reprezentují čísla, která se nachází mezi celými čísly. Celek lze rozdělit na dvě poloviny, na čtyři čtvrtiny atd.

Střední čára

46,25

Hodnoty pozic v desítkové soustavě

Každá číslice má svoji poziční hodnotu. Přilehlé číslice se od sebe liší násobkem deseti.

DESÍTKY

Zde jsou 4 desítky neboli 40.

JEDNOTKY

Zde je 6 jednotek neboli 6.

46,38

46 ,86

1 10

DESETINY

Dvě desetiny je totéž, co 2 ⁄10 neboli 0,2.

1 ⁄ 100

SETINY

Pět setin je totéž, co 5 100 neboli 0,05.

4 6 2 , 5

ČÍSLICE VLEVO

Celá čísla se nachází nalevo od desetinné čárky.

DESETINNÁ ČÁRKA

ČÍSLICE VPRAVO

Zlomky se nachází napravo od desetinné čárky.

POLOHA DESETINNÉČÁRKY

Desítková číselná soustava se dnes používá na celém světě. Jejím základem je číslo 10 a podobně jako zlomky mohou i desetinná čísla vyjadřovat čísla, která nejsou celá. Části čísla větší než 1 jsou od částí, které jsou menší než 1, odděleny desetinnou čárkou.

Desítková soustava vznikla v Indii v 7. století. Vyvinuli ji muslimští učenci a v Evropě byla zavedena až v 16 století.

10 PROCENT

Zelené postavy tvoří 10 procent z celkového počtu nebo 10 ⁄100 (1 10).

19 PROCENT

Oranžové postavy představují 19 procent z celkového počtu neboli 19 ⁄100.

ČÁSTI ZE 100

Procentní podíly

Tento obdélník se 100 postavami lze rozdělit do různých skupin podle podílu, jaký z celkového počtu 100 představují.

66 PROCENT

Červené postavy představují 66 procent z celkového počtu, tedy 66 ⁄100 nebo přibližně 2 3

5 PROCENT

Modré postavy tvoří pouhých 5 procent.

Procenta představují zápis zlomků nějakého celku rozděleného na 100 stejných částí. Jedno procento celku je jednou setinou daného celku, 50 procent činí 50 setin neboli polovinu atd. Symbol % slouží k zápisu procent (setin). Procenta se používají ve finančnictví již déle než dva tisíce let. Ve starověkém Římě zavedl Julius Caesar jednoprocentní daň z prodeje.

DĚLITEL ČÍSLA

Dělitelé čísla jsou celá čísla, jimiž lze dané číslo dělit beze zbytku. Například děliteli čísla 12 jsou 1, 2, 3, 4, 6 a 12. Násobky daného čísla jsou čísla vzniklá jeho násobením libovolným celým číslem. Násobky čísla 6 jsou 6, 12, 18, 24 atd. Když je x dělitelem y, potom y je násobkem x, takže 3 je dělitelem čísla 12 a 12 je násobkem čísla 3. Libovolné číslo má konečný počet dělitelů, avšak nekonečný počet násobků.

Znázornění dělitelů

Tabulku čokolády o deseti čtvercích lze rozdělit na stejné části čtyřmi způsoby, které představují čtyři dělitele čísla 10: 1, 2, 5 a 10.

Tato tabulka čokolády s deseti čtverci má dva dělitele: 1 a 10.

Rozlomíme ‑li tabulku na polovinu, obdržíme dělitele 2 a 5.

10 : 2 = 5

Jediným sudým prvočíslem je 2. Každé další sudé číslo je dělitelné 2, takže nemůže být prvočíslem.

Prvočísla se nachází v zelených kroužcích.

Když ji rozlomíme na 5 částí o dvou čtvercích, dostaneme dělitele 2 a 5.

Rozlomíme ‑li tabulku na jednotlivé čtverce, dostaneme dělitele 1 a 10.

10 : 10 = 1

PRVOČÍSLA

Prvočíslo je přirozené číslo (kladné celé číslo), které má pouze dva dělitele, a to 1 a samo sebe. Jsou to kupříkladu 2, 3, 5, 7 a 13. Číslo 1 prvočíslem není, jelikož má pouze jednoho dělitele. Prvočísly se zabývali již staří Řekové, včetně Eratosthena, jenž sestavil algoritmus (systematický postup) pro jejich nalézání, známý jako Eratosthenovo síto. Počet prvočísel je nekonečný a své využití nachází v kryptografii, která zajišťuje bezpečnost většiny bankovních systémů na světě.

Prvočísla do 100 Mezi 2 a 100 se nachází 25 prvočísel. Číslo do 100 je prvočíslem, pokud jej nelze beze zbytku dělit čísly 2, 3, 5 nebo 7.

Zvolte

Je toto číslo dělitelné některým z těchto čísel?

10 : 1 = 10

10 : 5 = 2