Este trabajo est´ a licensiado bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0. ´ MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACION Y ´ CURVATURA DE FLEXION EN POLARES ´ C. LOPEZ CAMEY
1. Movimiento en el espacio: Velocidad y aceleraci´ on 1.1. Deducci´ on de ~v (t) y ~a(t) en el espacio. En esta secci´ on se muestra de que manera se pueden usar vectores tangentes y normales y la curvatura en la f´ısica para estudiar el movimiento de un objeto, incluyendo su velocidad y su aceleraci´ on. Suponiendo que una part´ıcula en el espacio se desplaza de modo que su posici´on en el tiempo t est´ a dado por el la trayectoria que forma la curva ~r(t) ~ Si consideramos dos puntos P~ = r(t) y Q=r(t+h), para peque˜ nos valores de h podemos −→ afirmar que la siguiente ecuacion es la ecuacion del vector PQ que se aproxima mucho a definir la direcci´ on de la particula que se mueve en la trayectoria de ~r(t). ~r(t + h) − ~r(t) h Este vector da la velocidad promedio sobre un intervalo de longitud h. Si aplicamos limh→0 , tendremos el vector de velocidad ~v (t) para ´esta part´ıcula. (1.1)
(1.2)
~r(t + h) − ~r(t) = ~r 0 (t) h→0 h
~v (t) = lim
~ N´otese que ´este tambi´en es el vector tangente de la curva ~r(t) y su magnitud |r(t)| equivale a la r´ apidez promedio de la part´ıcula en el tiempo t. Podemos ahora calcular la aceleraci´ on de la part´ıcula ~a(t) sabiendo que ´esta se define como la derivada de la velocidad. (1.3)
~a(t) = ~v 0 (t) = ~r 00 (t)
Carlos Eduardo L´ opez Camey, Carn´e #08107, Universidad del Valle de Guatemala, http://kmels.net. 1