1.3. Propiedades A partir del número de lados de un polígono, podemos calcular el número de diagonales y la suma de los ángulos de dicho polígono.
Número de diagonales Observa la tabla.
Polígono
Número de vértices
4
5
6
Número de diagonales que parten de un vértice
1
2
3
¿Encuentras alguna relación entre el número de vértices de los polígonos y el número de diagonales que parten de un vértice? Puesto que desde un vértice no podemos trazar diagonales ni a él mismo ni a los dos vértices adyacentes, la relación que existe es: Número de diagonales Número de vértices − 3 que parten de un vértice = del polígono
D
E
C
Para obtener el número total de diagonales de un polígono, debemos multiplicar el número de diagonales que parten de un vértice por el número de vértices y dividir el resultado entre 2, ya que contamos cada diagonal dos veces (fig. 1).
Ë A
B
■ Fig. 1. La diagonal AD que parte del vértice A y la diagonal DA que parte del vértice D son la misma.
El número total de diagonales de un polígono es igual al número de vértices por el número de vértices menos 3, todo ello dividido entre 2.
Puesto que un polígono de n lados tiene n vértices, para un polígono de n lados se tiene:
Ë
Número de diagonales =
n ⋅ ( n − 3) 2
ejemplo 1 Calcula el número de diagonales de un icoságono.
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Número de diagonales de un icoságono =
102
20 ⋅ (20 − 3) 20 ⋅ 17 = = 170 2 2
Actividades 8 ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 10 lados?
§
10 Un polígono tiene en total 9 diagonales. ¿De qué
polígono se trata? 9 ¿Cuál es el número mínimo de lados que debe te-
ner un polígono para que podamos trazar en él diagonales?
11 ¿Cuál es el polígono que tiene el mismo número
de lados que de diagonales?