2 Polinomios
Intuitivamente diremos que un polinomio es la suma o resta de términos algebraicos, el término algebraico básico es el monomio, el monomio en una variable “x” en general se encuentra elevada a un exponente y se multiplica por una constante. Observa cómo expresamos en lenguaje algebraico cada una de las siguientes magnitudes:
FÍJATE
El grado de un monomio con más de una variable, como por ejemplo 3 x 2 y 3, se obtiene sumando todos los exponentes de las variables.
x3 π x2 2πx
El volumen de un cubo de arista x: El área de un círculo de radio x: La longitud de una circunferencia de radio x:
Así, diremos que el monomio 3 x 2 y 3 es de grado 5, de grado 2 respecto de x y de grado 3 respecto de y.
Definamos formalmente al monomio:
De manera análoga a como hemos visto con los monomios en una variable, para que dos monomios con varias variables sean semejantes deben tener la misma parte literal; por ejemplo −4 z y 2 x y 7 x z y 2.
Un monomio en una variable “x” es una expresión algebraica de la forma a x n, en la que a es un número real y n un número natural.
Dado el monomio a x n, la parte numérica a es el coeficiente del monomio y el exponente n de la variable x es el grado del monomio en esa variable. Grado n 0 Coeficiente
a x
n
variable Observa que 3 x 0 = 3, puesto que cualquier potencia de exponente 0 vale 1. Por lo tanto, los monomios de grado 0 sólo constan de coeficiente.
CONTRAEJEMPLO 1 2
La expresión 5x no es un monomio porque el exponente de x no es un número natural.
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal; por ejemplo, los monomios 2 x 5 y −4 x 5. Formalmente definiremos al polinomio en una variable así:
Un polinomio en una variable x es una expresión algebraica que puede reducirse a la forma a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 1 x + a 0, en la que los coeficientes a n, a n − 1, ..., a 1, a 0 son números reales y n es un número natural.
A la izquierda están representadas tres figuras geométricas de altura “x”: un cuadrado, un triángulo y un rectángulo. El área de cada una de ellos puede expresarse de esta manera: x x
x 2m
x
Acuadrado = x · x = x 2
4m
Atriángulo = 1 · 2 · x = x 2
Arectángulo = 4 · x = 4x
Y el área total será la suma de las tres áreas.
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Atotal = x 2 + x + 4 x = x 2 + 5x
94
• El polinomio A(x) = x 2 + 5x, es de grado 2, puesto que éste es el mayor de los grados de sus términos. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
• En caso de que la altura de las figuras sea x = 2 m, podemos calcular fácilmente la suma de las áreas. Para ello, basta sustituir este valor de la x en la expresión polinómica A(x) = x 2 + 5x y operar. A(2) = 22 + 5 ⭈ 2 = 14 Así pues, si la altura es 2 m, la suma de las áreas es de 14 m2.