Integracion trigonometrica,sustitucion trigonometrica

8

´todos Fundamentales Me

1 + sen x 1 (1 + sen x)2

+C + C = ln = ln 2 cos2 x cos x = ln | sec x + tan x| + C.

Una nota hist´ orica: Esta u ´ltima soluci´ on de la integral de la secante apareci´ o publicada por primera vez en la obra Geometrical Lectures de Isaac Barrow (1630–1677). El inter´es suscitado en la ´epoca de Barrow por resolver esta integral se debi´o a su utilidad en el trazado de mapas geogr´aficos, descubierta por Edward Wright (1561–1615), quien determin´ o que para trazar con exactitud en un mapa el paralelo de latitud θ, se debe tomar como distancia de este al ecuador la integral de la secante de θ. 1 Ejercicio 3.1.1 Halle las primitivas de cosecante y cotangente.

3.2

Integraci´ on por Partes

La f´ ormula de derivaci´ on para el producto de dos funciones nos proporciona de una f´ ormula u ´til para resolver integrales cuyo integrando es el producto de dos funciones de naturaleza distintas. Sean f y g funciones sobre la misma variable x y derivables. Entonces (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x), por lo que f g es una primitiva de f g + f g ; es decir,

f (x)g(x) = (f (x)g(x)) dx = f (x)g(x) dx + f (x)g (x) dx, de donde se obtiene la siguiente f´ ormula, que es lo que se conoce como la regla de integraci´ on por partes,

f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f (x)g(x) dx.

Esta f´ ormula nos dice que la integral de un producto de dos funciones, una f (x) y la otra la derivada de una g(x), no es mas que el producto de f por g menos la integral del producto de la derivada de f por la funci´ on g. Una manera de desglosar los c´alculos y recordar esta regla de integraci´ on consiste en lo siguiente: dado el problema de resolver

f (x)g (x) dx,

hacemos u = f (x) y dv = g (x) dx, por lo que du = f (x) dx y v = g(x) Luego

u dv = u · v − v · du

= f (x) · g(x) − g(x)f (x) dx

f (x)g (x) dx =

1 Ver V. F. Rickey, P. M. Tuchinsky, An application of geography to mathematics: history of the integral of the secant, Math. Magazine, 53 3 (162–166) 1980

9

Por Partes

x2 e2x dx. Hacemos

Ejemplo 3.2.1

u = x2 ⇒ du = 2x dx 1 dv = e2x dx ⇒ v = e2x dx = e2x 2

As´ı

1 v · du = x2 e2x − 2

dx = u · v − xe2x dx

Volvemos a integrar por partes xe2x dx tomando u = x y dv = e2x dx (en consecuencia 2 2x

x e

du = dx y v = 12 e2x ). Tenemos

1 1 2x 1 1 xe2x dx = xe2x − e dx = xe2x − e2x 2 2 2 4 Finalmente,

1 2 2x x e − 2

2x 1 2 = e x − 2

x2 e2x dx =

Ejemplo 3.2.2

xe2x dx

1 1 +C x+ 2 4

ex cos x dx. Tomemos u = cos x ⇒ du = − sen x dx dv = ex dx ⇒ v = ex dx = ex

Entonces

x

x

e cos x dx = e cos x + ex sen x dx

Volvemos a integrar por partes ex sen x dx tomando u = sen x ⇒ du = cos x dx dv = ex dx ⇒ v = ex para luego obtener

ex cos x dx = ex cos x +

ex sen x dx

= ex cos x + ex sen x − ex cos x dx

Hemos obtenido, en el lado derecho de la igualdad, la misma integral que dese´ abamos

calcular pero con signo opuesto. Sumando ex cos x dx a ambos lados de la igualdad y dividiendo entre 2 obtenemos

1 ex cos x dx = ex (cos x + sen x) + C 2

10

´todos Fundamentales Me

Ejemplo 3.2.3

cos(ln x) dx. Sea 1 u = cos(ln x) ⇒ du = − sen (ln x) dx x dv = dx ⇒ v = x

Luego

cos(ln x) dx = x cos(ln x) +

sen (ln x) dx

Integrando nuevamente por partes con u = sen (ln x) y dv = dx se obtiene

cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen (ln x) − cos(ln x) dx Otra vez se presenta el fen´omeno que observamos en el ejemplo anterior: aparece en el lado derecho de la igualdad la integral que comenzamos a integrar . . . y ya sabemos que hacer. As´ı,

1 cos(ln x) dx = (x cos(ln x) + x sen (ln x)) + C. 2 En este momento podr´ıamos preguntarnos si importa c´ omo se eligen u y dv, cuando se intenta resolver una integral por la f´ ormula de integraci´ on por partes. Si nos tom´ asemos x la molestia de integrar en el ejemplo 3.2.2 tomando u = e y dv = cos x dx, entonces obtendr´ıamos la misma soluci´on. Intente ahora integrar en el ejemplo 3.2.1 tomando u = ex y dv = x2 dx; se ver´a entonces que el proceso de integraci´on ¡no tiene fin! Para auxiliar al lector en la correcta elecci´on de qui´en debe ser u y qui´en dv existen diversos recursos mnemot´ecnicos en forma de poemas o rezos, para ninguno de los cuales conozco una demostraci´ on matem´atica de su infalibilidad y, por eso, me limitar´e a recomendar que use su ingenio y practique el m´etodo de integraci´ on por partes lo suficiente como para desarrollar su propio criterio de elecci´ on.

Un tipo de funciones que invitan a ser integradas por partes son las inversas de funciones trigonom´etricas y las logar´ıtmicas, ya que sus derivadas son funciones algebraicas.

Ejemplo 3.2.4 En estos ejemplos u es todo el integrando y dv = dx.

x (a) arctan x dx = x arctan x − dx (sustituci´ on w = 1 + x2 ) 1 + x2 1 = x arctan x − ln(1 + x2 ) + C 2

x (b) arcsen x dx = x arcsen x − √ dx (sustituci´ on w = 1 − x2 ) 2 1 − x

= x arcsen x + 1 − x2 + C

1 (c) ln x dx = x ln x − x dx = x ln x − x + C x

4. Integraci´ on de Funciones Trigonom´ etricas En este cap´ıtulo estudiaremos m´etodos para resolver integrales de productos y potencias de funciones trigonom´etricas. Todos consisten, esencialmente, en el m´etodo de sustituci´ on junto con algunas identidades trigonom´etricas. Las identidades trigonom´etricas fundamentales que debemos recordar son sen 2 x + cos2 x = 1

(4.1)

sen (−x) = − sen x (seno es una funci´ on impar)

(4.2)

cos(−x) = cos x

(coseno es una funci´ on par)

(4.3)

y las identidades de la suma de dos a´ngulos sen x · cos y + sen y · cos x

(4.4)

cos(x + y) = cos x · cos y − sen x · sen y

(4.5)

sen (x + y) =

Cualquier otra identidad que sea necesaria se deduce a partir de estas, y asi lo veremos en la medida que se necesite. El lector debe esforzarse por aprender la manera de obtener las nuevas identidades a partir de (4.1)–(4.5) en vez de memorizarlas. Por ejemplo (y a manera de calentamiento), las f´ ormulas para la resta de dos a´ngulos se pueden deducir asi: sen (x − y) = =

sen (x + (−y)) = sen x · cos(−y) + sen (−y) · cos x (por (4.4)) sen x · cos y − sen y · cos x (por (4.2) y (4.3))

y cos(x − y) = cos(x + (−y)) = cos x · cos(−y) − sen x · sen (−y) = cos x · cos y + sen x · sen y

(por (4.2) y (4.3))

4.1

Integrales de la forma

(por (4.5))

n

sen x dx y

cosn x dx.

Caso 4.1.1 n es par. Usamos las identidades sen 2 x =

1 − cos 2x 2

y 11

cos2 x =

1 + cos 2x 2

(4.6)

12

´tricas Funciones Trigonome

las cuales se deducen combinando las identidades: cos 2x = cos2 x − sen 2 x (tome x = y en (4.5)) y

sen 2 x + cos2 x = 1

de la siguiente manera cos 2x = cos2 x − sen 2 x = (1 − sen 2 x) − sen 2 x = 1 − 2 sen 2 x y cos 2x = cos2 x − sen 2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 cos2 x − 1.

Luego de realizada la sustituci´ on trigonom´etrica adecuada, se desarrolla el polinomio de senos o cosenos y se resuelven cada uno de los sumandos: los de potencia par por este m´etodo y los de potencia impar por el m´etodo que se explica en el caso 4.1.2.

Ejemplo 4.1.1

sen x dx = = = = = Ejemplo 4.1.2

4

2

2

1 − cos 2x 2

2

( sen x) dx = dx

1 (1 − 2 cos 2x + cos2 2x) dx 4

1 1 1 dx − cos 2x dx + cos2 2x dx 4 2 4

1 1 1 1 + cos 4x x − sen 2x + dx 4 4 4 2 1 1 1 1 x − sen 2x + x + sen 4x + C 4 4 8 32

cos2 x dx =

1 1 1 + cos 2x dx = x + sen 2x + C 2 2 4

Caso 4.1.2 n es impar. Descomponemos la funci´on trigonom´etrica en dos factores: uno de potencia n−1 y el otro de potencia 1. Luego empleamos la identidad sen 2 x+cos2 x = 1 y el m´etodo de cambio de variable.

Ejemplo 4.1.3

sen x sen x dx = (1 − cos2 x) sen x dx

= − cos x − cos2 x sen x dx

3

sen x dx =

2

La u ´ltima integral la resolvemos con el cambio de variable u = cos x y du = − sen x dx:

u3 cos3 x 2 − cos x sen x dx = u2 du = = +C 3 3 As´ı

sen 3 x dx = − cos x +

cos3 x +C 3

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´tricas Funciones Trigonome Ejemplo 4.1.4

5 4 cos x cos x dx = (1 − sen 2 x)2 cos x dx cos x dx =

= (1 − 2 sen 2 x + sen 4 x) cos x dx

2 sen 4 x cos x dx = sen x − 2 sen x cos x dx + tomando u = sen x y du = cos x dx concluimos

5 2 cos x dx = sen x − 2 u du + u4 du = =

2 1 sen x − u3 + u5 + C 3 5 2 1 sen x − sen 3 x + sen 5 x + C 3 5

4.2

Integrales de la forma

sen m x cosn x dx.

Caso 4.2.1 n y m son pares. Utilizamos simult´aneamente las dos identidades (4.6) deducidas en 4.1.1 para obtener integrales s´ olo de cosenos y proceder con cada una con el m´etodo que convenga de la secci´on 4.1.

Ejemplo 4.2.1

1 − cos 2x 1 + cos 2x 2 2 dx sen x cos x dx = 2 2

1 1 1 2 = (1 − cos 2x) dx = dx − (1 + cos 4x) dx 4 4 8 1 1 = x− sen 4x + C 8 32 Ejemplo 4.2.2

1 − cos 2x 1 + cos 2x 2 2 4 sen x cos x dx = dx 2 2

1 = (1 − cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx 8

1 2 3 = dx + cos 2x dx − cos 2x dx − cos 2x dx 8

1 1 1 + cos 4x 2 x + sen 2x − = dx − (1 − sen 2x) cos 2x dx 8 2 2 1 1 1 x− sen 4x + sen 3 2x + C. = 16 64 48

14

´tricas Funciones Trigonome

Observaci´ on 4.2.1 Alternativamente estas integrales pueden resolverse expresando seno en t´erminos de coseno (o coseno en t´erminos de seno) mediante la identidad sen 2 x + cos2 x = 1, se transforma as´ı a una suma de integrales de una sola de las funciones trigonom´etricas que se consideran y se resuelven seg´ un los casos de la secci´on 4.1. En la pr´ actica esto resulta ser m´as ineficiente que la sustituci´ on simult´ anea explicada antes, puesto que aumenta las potencias en vez de disminuirlas.

Caso 4.2.2 n o m impar. Se realizan las operaciones expuestas en el caso 4.1.2 para la funci´ on de potencia impar.

Ejemplo 4.2.3

3 5 cos2 x cos x sen 5 x dx cos x sen x dx =

sen 6 x sen 8 x = (1 − sen 2 x) cos x sen 5 x dx = − +C 6 8 (complete usted los pasos intermedios).

Ejemplo 4.2.4

3 2 sen 2 x sen x cos2 x dx sen x cos x dx =

cos5 x cos3 x = (1 − cos2 x) sen x cos2 x dx = − + C. 5 3

4.3

Integrales de la forma

tann x dx.

Para todo n ≥ 2, realizamos la descomposici´on tann x = tan2 x tann−2 x, sustituimos tan2 x por sec2 x − 1 y resolvemos por el m´etodo de cambio de variable. (Recuerde que tan2 x + 1 = sec2 x, la cual se obtiene dividiendo (4.1) por cos2 x.)

Ejemplo 4.3.1

tan3 x dx = =

tan2 x tan x dx =

(sec2 x − 1) tan x dx

tan2 x + ln | cos x| + C. 2

Ejemplo 4.3.2

tan2 x tan2 x dx = (sec2 x − 1) tan2 x dx tan4 x dx =

tan3 x 2 2 = tan x sec x dx − (sec2 x − 1) dx = − tan x + x + C. 3

15

´tricas Funciones Trigonome

4.4

secn x dx.

Integrales de la forma

Caso 4.4.1 n es par. Se realiza la descomposici´on secn x = sec2 x secn−2 x, se utiliza la identidad sec2 x = tan2 x + 1 y el m´etodo de cambio de variable.

Ejemplo 4.4.1

sec2 x sec2 x dx = (1 + tan2 x) sec2 x dx sec4 x dx =

tan3 x 2 = sec x dx + tan2 x sec2 x dx = tan x + + C. 3 Caso 4.4.2 n es impar. Se realiza la descomposici´on secn x = sec2 x secn−2 x y se integra por partes.

Ejemplo 4.4.2 (La siguiente es una de las integrales m´as populares en cualquier curso de C´alculo.)

3 sec x dx = sec x sec2 x dx.

Sean u = sec x 2

dv = sec x dx

⇒

du = sec x tan x dx

⇒

v = tan x

entonces

sec x dx = sec x tan x − 3

tan2 x sec x dx

(sec2 x − 1) sec x dx

3 = sec x tan x − sec x dx + sec x dx

= sec x tan x −

sumando

sec3 x dx a ambos lados de la igualdad y dividiendo entre 2 concluimos:

sec3 x dx =

1 (sec x tan x + ln | sec x + tan x|) + C. 2

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´tricas Funciones Trigonome Las integrales de la forma

n

cscn x dx

cot x dx y

se resuelven de manera an´aloga a los casos 4.3 y 4.4, empleando por supuesto las identidades trigonom´etricas apropiadas y recordando que (cot x) = − csc2 x y (csc x) = − csc x cot x.

Por ejemplo, resu´elvase cot4 3x dx y csc6 x dx.

Nota: En el cap´ıtulo 7 se deduce una f´ormula general para

secn x dx utilizando otros m´etodos.

4.5

tanm x secn x dx.

Integrales de la forma

Caso 4.5.1 n es par. Hacemos la siguiente descomposici´on secn x = secn−2 x sec2 x = (sec2 x) = (tan2 x + 1)

n−2 2

n−2 2

sec2 x

sec2 x

y luego realizamos un cambio de variable z = tan x de manera que la integral original se transforma en una integral polin´ omica sencilla.

Ejemplo 4.5.1

2

4

tan2 x sec2 x sec2 x dx

tan x sec x dx =

=

tan2 x(tan2 x + 1) sec2 x dx.

Sea z = tan x, por lo tanto, dz = sec2 x dx. Entonces,

z5 z3 2 4 tan x sec x dx = z 2 (z 2 + 1) dz = + +C 5 3 tan5 x tan3 x = + + C. 5 3 Caso 4.5.2 m es impar. Hacemos la siguiente descomposici´on tanm x secn x = tanm−1 x secn−1 x tan x sec x = (tan2 x)

m−1 2

= (sec2 x − 1)

secn−1 x tan x sec x m−1 2

secn−1 x tan x sec x