Page 1


M, VENE T. BOGOSLA vav

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ MATEMATlKE v

\',

1 DVAOESET OSMO IWANJE

, ZA VODZA uD1BENID I NASTAVNA SREDSTVA. BEOGRAD 2IlO1


R,~n:'n(

S\lctOUf Branko\路It, profeso( Pete bcogradske gimnazije, Beograd

U"d"lk t.arko Jovit

Glavnll odgQVDfnl urtdniil 4r Ptllr Pijlnovic

ZllI::daYata

prof. dl DobrOJu Bjtlclic. direklor

S ljllbavljll u,lIlku Jovanu


PREDGOVOR OSAMNAESTOM IZDANJ U

PREGLED SIMBOLA I OZNAKE

Prvo izdaly'e o ve zbirke izaJ/o j e ;z slampe sepfembra 1970. godine. Nap isano je premo nostal/l1om prog ramu ma/ema/ike za I razred g imllGzije (deo ko); s e odnosi 170 algebru). TrinaeS IO i celrnoeSlo izdanje je izmenjeno i doplIlljeno pog lavljima:

o skupovima, Malemalicka logika ; Kombillfl torika.

U petnaesto izdanje 511 uneN odredeni saddo); iz geomelrije. Ova, osamnaesla izdonje prilagodeno j e no vom nostavnom planll i programll iz rna/em a/ike prirodno-matemalickog smera gimnazije. Dopunjeno je sa J28 novih zadafoka, po se znall10 razlikuje ad prelilodnih izdanja. Recenzentu allog adonja, Svetozaru Bronkovicli. profesoru ..Pele beogradske g imnazije u Beogradu, zahvaljujem no pailjivom cilanju nlkopisa i pomoCi II izbonl zadalaka iz skupova i kambinatorike. Po Id in; se zadoci II ovoj zbirci mogll podelili na dye grupe: lakS; ; s rednji (80%) i lei; (20%) . Tei; zadaci su oZl1aceni zvezdicom. H

Zahvalju}em svoj oj suprozi Nadeidi. koja mi je pomogla rukopisa.

11

pripremi i sreilivanju

Beograd. septembra / 992. godille

{.... }

skup

N

skup svih prirodn ih brojeva

Z

skup svih celih broj eva

Q R

skup svih racionalnih broj eva skup svih realnih brojeva

E

pripada

<t:

ne pripada

'If

univerzalni kvanlifi kalor

Vx)

znaei: za svako x

3 3 x)

kvanliftkalor egzislencije znaci: posloji bar jedno x implikacija (Iogieki simbol)

AUTOR

A=>B

znaei : iz

A sledi B; A "" B znaei: iz B sledi A

ekvivalencija (logicki simbol) PREDGOVOR XXIll DOPUNJ ENOM IZDANJU Ovo. dvadesel i /reee izdanje dopunjeno je sa 293 nova zada /ka. U svako p oglavlje dodat je izveslan broj novih zada/aka. Znatne promel1e iZ\lrSene S li 11 p oglavljima: Realn; broj evi. Podudarnost i slicnDst geometrijskihjigllra. So Dvim dopunama. autor se nada da ce se kvalilel knjige zna fno poboljsali.

25. avgust / 995. godine

zoaei : A =>

II

konjunkcija (logicki simbol)

AIIB

znae;: A i B

V

disj unkcija (Iogicki simbol)

AVB

znaei; A iIi B

AUTOR

negacija

c

inkluzija unija skupova

u

presek skupova

PREDGOVOR XXVI DOPUNJENOM IZDANJU Ovo, dvadeset i sesto izdanje dopunjeno j e sa 409 novih zadataka. Svako pog lavlje dopunjeno j e novim zadacima. /zveslon braj novih zodo/aka se p rvi PilI javljoju II malema tickoj Ii/era luri. Oni Sll rezultat ce/rdeselogod i.fnje naslavne prakse aulora. Sa ovim dopllnama. aulor se nada. daje kvalilel zbirke znatno p oboljsan. D a Ii j e Qulor u p ravu. sud ce

dati buduci korisnici zbirke. 7. juni 1999. godin.

4

BiB => A

A~B

AUTOR

IZl x E [a, b 1iIi a S b

prazan sIrup

s

h

x E (a , b) iii a < x < b

znlvoreni interval otvoren interval


GRCKA AZB UKA

Mala

Velika

Naziv

Mala

Vcllla

a

A

air.

p

B

beta

"

y

r

gnma

0

a

6

della

if

r

E

epsilon

~

Z

dZCIR

a

r

'/

H

cta

r

T

tau

G

0

lellt

v

y

Ip~ l l ("ln

I

I

jOia

<Il

n

K

K

X

hi

A

A

I'

M

1--

kupa

I

I:unbda 011

-p

i I

:-1 '"

w

111

f-

"

0

n I'

I

N IVI\

'"

Q

."

-

om lL.nm

-

.-

r-

pi

ro sigma

.-

-

- P"-

omcM:r1

~

~

• 4

• 1.

~. • 1

6

I

J'

......

\

\

•\


ZADACI

I GLAVA I . LOGIKA I SKUPOVI

1.1. Osnovne logicke operacije Primedbc: 1°.

Simboli: -4, 0, 2, 5, .j3,

1[,

e, ... nazivaju se konstante.

2°. Simboli : 0, b, c, x, y , z, a, fl, y, A, B , C , ... koji sluze kao zajednickc oznake za vise objekata nekog skupa (skupova), nazivaju se promcnljive .

3°. Znaci: +, . , :, - , U, n nazivaju se operacijski znaci.

, ... korisle se za oznacavanje operacija i

Znaci: =, <, >, :S, "', .L, 11, ... koriste se za oznacavanje relacija i nazivaju se rclacijski znaci.

4°.

5°.

Znaci : 1\, V,

~, => ,

"" su znaci osnovnih logickih operacija.

6°.

Konstante i promenljive povezane znacima operacija nazivaju se izrazi. Primeri : 2x, 5m+ 3,y-7,0+ 8b, itd.

7°.

Recenica zapisana matematickim simbolima naziva se formula .

8°, Receruca koja ima sarno jednu istinitosnu vrednost T ( tacno) iii (netaeno), naziva se iskaz.

J.

9°. Iskazne konstante.L i T, iskazna slova 0, b, s, r, P, Q,... i svi slozeni iskazi nastali pomocu znakova logiekih operacija v, fI, ~, ~," nazivaju se iskazne formule . Iskazna formula koja je tacna za sve vrednosti iskaznih slova nazi va se tautologija.

10°. Oznaka za reci: "svaki ", "rna koji", "bilo koji" naziva se univcrzalni kvnntifikator u oznaci V (obmuto slovo A), Oznaka za reci postoji: "najmanje jedan", "makar jedan", "neki", "bar jedan" naziva se egzistencijalni kvantifikator u oznaci 3 (obmuto slovo E) , 9


~):(.4~

-!) ~ .

Koje su ad sledecih recenica iskazi: a) 1 + 1 = 2; bl broj 16 je neparan braj; c) paran broj ::iC mOZl! 11<lpisati u obliku 2 n, gde je If prirodan braj: d) resenj e jednac ine 3 x = 18 je prirodan broj: e)«(1- b)2 2: 0, za svako racionalna a i b: !) fi b > 0 aka su a i b istag znaka; g) a 1 > 0 aka j e (/ nega!ivan braj: h) - a ! < 0 ako je a negalivan broj? 2. Kaji od z,nakova < , >, = , :5,. 2: mozemo stavi!i umesto zvezdice (*) da bi se dobio tacan iskaz: a) 4.4: b) 3 * 5; c) 6 · 51 3. Oat je polinom p(x) = Xl - 6 x + 8:$ O. Odrediti istinilost iskaza: p{l); P(2); p( 3); pi 4); P(5). 4. Odrediti sve parove (x, y ) za koje je fonn ula 2 x + y = 10 iSlinil is-

10.

kaz (x. y E N). Oat je skup A = II. 2, 3;4. 5} . Odrediti vrednosl isti nil0sti sledecih ,v,denja: a) (3 x E A)(x + 3 = 10); b) ('1 x E A )(x + 3 < 10); 0) xE A)(x+ I> x); d)(3 xE Al(x + 3 <5); e) (3 x E A )(x ' = x).

11.

Odredi li iSli ni l05nu vrednos t iskaza· a) (T ... «.1. ... T) /\ (T /\ T» )A .1 ; . b) (((.L A .L)V (T 1\ l.)} V((.1. v .1.)"'{.1. V T)) ArT v .L).

12.

Odredit i iSlinitosne vrcdnoslli iskaza :

\.

5.

7.

8.

9.

~~

~. r t~>

I

,

3

3+2x 2- 3x 29 p==--- 4-=zax= O' S·. 3 24

q=

3(5- y)- 2( y -I ) = 1+ 3y, za y = 2. pa z,atun odrediti istinitosne vrednosli s[edecih iskaza : a) (pV q)A p; b) (p" q)V q.

, , ,

r (»-< 7)

tl'" .. .1" .... )

1

Dati su iskazi : p == (0 1 _ 2a"(+ 60- I )0.50 1 X = 0.5o Sx- a~x ! + 3a I X - O,50 :x. a.xE~,

q == (a - + lOa+ 25)(0-5)= o j -1 25.aE Q,

,. = (2x -

c)x +x < 40AxEN;

3y)(3x+ 3y )- (4 ):- 5y )' - (6x '

+ 17 y ' ) =

= 40.ry. x. Y E Q.

Odredi li njihove iSlinitosne -vrednosti . pa nn osnovu toga odredm IStinitosne vrednosli sledecih iskaza: a)p=-(qVr);

~

10

I

14.

1V:r< 4)

r(.f<9"%> S)

L3.

l

, , ,

J'

Odrediti njihovu !acnost, ,.1 r ,a nu osnov u toga odreditl IstmHosnu vrcdnost iskaza: a) (pAq)V(/· A S); b)( p Vq)V(pA s ); d) ((r V S)A ( pV .r nA 'I: c) (pV r)A q } A (s A ,.); e)(fJ A (r A (s A p m v «p /\ q)V (q A 5» .

Date su fonnule: a)Sx-4=II(xEN); b)xI6(xEZ); c)x < 7AxEN; d) x>3A x< 5 A x E N; e)(x < I v x>5)A xE Z. Resiti date formule. odnosno naci sve vrednosti odgovarajucih promenlji vih za koje je istinitosna vrednost fo m1Ule tacna.

Pop~niti tabelu:

=

r==(1.-~):!~ = 7·' .5==~'" -.!.j'.1.~- 2 2 ] 4 5 4 5 - S'

Odrediti isti nitosnu vrednost iskaza: a) ( 1 <2) A (2 <5); b) (I < 3)A ( - 3< - 2): c) .... ( 1< 2)A(.n<9).

Resiti date foonule: a)xEI I,2,3}; b) .\i9A.~6xEZ; e)x<3V(x>SAX<8).

5

q=~ - W - ~) = -J: ;

r:v

6.

Dati Sll iskazi p == (:. 2 ]

I

-i )

I

I

b)(pvq)/\(r=>q); c) ( q:;. r)Vp.

Na osnovu iSlinitosnih vredmosti drHih iskaza : p==2 1 .4 1 =2 7 ; q=(8~·4 J ) :( 16·64)=2 j: (27' '64) ':(2 16 ' '36) = 6: J 7 1 S == 2 ) + 3) = 5); ( == 3 + 3 = 3 . Odrediti istinitosnu vrednost sledetih iskaza : a) «pV q) => (sA ,))~ r; b) (tp:::;. q):;. s )o «s/\ t) v pl, c)(q " s) .. p) .. (s ~ I); d)((sM)"(p V q » 0 ( I 0 t ~ 0 rll

,=

II

10


15.

Dati su iskazi: a) a:;«4x' / )':(2x' y )' = 2x ' y' , x ,y E Q); b) b :; «3x'y' )' :(3x' y )' = 3~y 4, x,y E Q); c) c :; « + 2x ' - 3.~J')( 4xy - 2x' + 5y' ) = = :cy' + 14 x'y -lO x 'y' + 4x' + 20 y', x, y E Q~; d) d :; ( lO x' y' (O,O16 + 0,4 y ' ) - 2~ ' - 0,4xy )- = = 16x-"y - , x. y E Q. ... Odrediti nj ihove istinitosne vrednosti , pa na osnovu loga odredltl IStinitosne vrednosti sledecih iskaza: a) (a '" ~ c) ~ ( ~ ( ~ b A c) V ( ~ d»; b) ( ~ ( ~ a V b) '" ( ~ c ~ d » A (a '" ~ b); c) «b ~ ~ c ) '" ~ ( ~ aA d))V ( ~ d ~ c ).

4/

16.

Ispitali da Ii je iskazna formula A = «p V q) A z)~ «pA z )V(qA z» tautologija?

17.

Dokazati da je logicka formula A = ~ (a '" b) ~ (a /l ~ b) tautologija.

18.

Sastaviti istinitosne tablice za siedece iskaze: a)(p Vq ) Vq ; b)(pVq)V r ; c)pA(qAr); d) pVC qAr ); e) p A (q V r ); f) (p/l q )V r.

19.

20.

21.

12

Odrediti istinitosne vrednosti is kaza : a) ( p V ~ q ) '" r; b)( p V ~ q ) ,., ( ~ q V ~ r); c) (pV q)~ (q,., ~r); d) ( p~r ) ~ q; e)(p~ q)~ ( ~p); t) ( ~p~ ~ ( ~ p»V (p '" ~p ); g) (pv ~r)~ ( p"'(qAr» ; h) « ~pA q) "'r)~ ( pV r); i) (p A ~ r) ~ ( p'" ( q A r). Dokazati da su istiniti iskazi za sve vrednosti p i q koj e pripadaju skupu { T, J. }: a) (p '" q) ~ ~ ( p A ~ q) (Ovaj iskaz moze se uzeti za definiciju implikacije.); b)(p'" q) A ( q'" p)) ~ « p ~ q ). (Oval iskaz se moze uzeti za definiciju ekvivalencij e.) Svaka iskazna formula tacna za sve istinitosne vrednosti iskazanih slova koj a fig urisu u njoj naziva se tautoiogija. Dokazati da su sledece iskazne forrnui e tautologije: a) (pV q)V r~ pV (qV r) i (p A q ) A r~ pA (qA r) (zakon asocijacije za V i A ) ; b) ~ ( p A q ) ~ ~ p V ~ q i ~ (p V q ) ~ ~ P A ~ q. (De Morganovi obrasci); c) p'" p (zakon refleksivnosti za implikaciju); d) ~ ~ p ,., p (zakon dvojne negacije); e) (p V p) ~ p (zakon idenpotencije disjunkcije);

f) (p A p) ~ p (zakon idenpotencij e konj llnkcije); g) p /I ( q V r) ~ ( p A q ) V ( p /I r ) (zakon distributivnosti A prema A); h) pV ( qA r ) ~ (p V q )A ( p V r) (zakon distributivnosti V prema /I): k) «p'" q)'" ( q '" r )),., p '" r (zakon tranzitivnosti impli kacijc), I) p V (p A q) ~ p (zakon apsorpcije - gutanj a - V prema/l ); h) «p ~ q ) ~ (q~ r» ~ ( p~ r ).

1.2. Os novne skupovne opera cij e 1°. Skup j e osnovni pojam u matematici. Usvaja se bez defin icije u log ickom smislu te reci. Cesto se umesto skup kaic : rnnozina. mnoStvo. kolekcij a. 2°. Relacij a clan stva. Neka jc S dati SkllP, a p jedan objekat iz kol ekcije S, tj . p j e clan sku pa S pise se simbolicki pE S. Negacijom , relacija p ES postaj e p $. S, Sto znaci p nije clement S. Znak E pot ice od italijanskog matematicara G. Peano ( 1850- 193 2), te se relacij a elanstva testo nOLiva Peanova reiac ija. 3°. Podskup skupa (Relacij a "biti dec od "). Ak o su A i 8 dva skupa, pa jC svaki element skupa A istovremeno i element skupa 8 . onda se kau da je A dec od B iIi podskup od B iIi "paree" od B i pise se A ~ B iIi B:2 A. Simbilicki "'J

A ~B~ { .~x E A "' x E B }.

Ova relacij a se cesto naziva Kantorova relacija po velikom nemackom matematicaru G. Cantoru ( 1845-1 918). 4°. Presek skupova. Presek (zajednicki deo) datih skupova jC skup sastavljen od onih i sarno onih elemenata koj i pnpadaju SVtm daum skupovima. Simbolicki za dva skupa: "'J

A nB~ {xjx E AAx E B }.

5°. Unija skupova. Pod unijom (zdruzivanjem, spojem ill zblrom) skupova podrazumevamo skup koji je sas ta vlje n cd ol1lh i 'amo onth eiemenata koj i pripadaj u bar jednom od zadanih skupo a. Imbolickl za dva skupa: "'I

A UB~ {xjx E A V x E B}.

6°. Razlika dva skupa. Razlika dva skupa A i B u oznaci A \ B je :kup. ciji su elementi, sarno oni elementi skupa A. koji ne pripadaju kupu B Ova


definicija simbolicki : ,/,/

A \ B <=:)

{ C = XIXE

} A Ide 8

C ~ A.

22.

Dati su SkllP S = {0,1.2,3) i re lacija xES; odrediti x.

23.

Oat je skup S = {(A, B),.L,(1,5),(m, I,V,W)}; odredi card S.

24.

Ako je Q skup velikih slova latini ce, a R skup velikih slova cirilice (stampanth), odrediti presek Q n R.

25.

Datj eskup P = {0. 1,2, .... , 9}. a) Odrediti skupove Ai B tako da su nJlhovl el ementi uj edno i e lementi skupa Pi da je A = lxlx ~ 3r . a B= {x l x :s 8} ; b) odredltl skupove: AnB i 8 \ A.

26.

Dati su skupov i A = ! x I x je ceo broj fiB = 1x I x > Ot . Odrediti A nB .

27.

Odrediti koj a su od navedenih tvrdenja tacna a kOJa nelacna ' a) 0 = {0} : b)0E0:c)OE0;d)O=0 .

28.

Dati su skupovi A = 1x I x se sadri i u 121. B = ! x I x se sadrZi u 20t. C = (x I x se sadrZi u 32 ). Odred iti skupove: a) 11 \ (B UC), b) IIU(Bn C ); c) C U (A nB ); d)(AnB) \ C: e) II (B \ C).

29.

Datje skup P = {x l x = 2m + 3/\ x = 5m- 3} . a) Odrediti rea lan parametar m tako da skup P ne bude prazan, pa za tako navedenu vrednost para metra m odrediti e lemente skupa P; b) za koje ce vrednosll parametra m skup P biti prazan?

30.

Dati su skupovi: A = {a.b.c.d}; B = (a,b.4); C = {2.4.c}: D = {a,b,3); E = {I, b}. Odrediti a, b, c i d znaj uei da je: B CA .

r.

Simetricna razlika. Neka su A i B dva neprazna skupa, a A \ BiB \ A njihove razlike. Unija skupova A \ BiB \ A naziva se simetricna razlika. Simbol icki : <1</

A6.B <:> ( A \ B)U (B \ A).

go . Komplement skupa. Nekaje II bilo koji podskup skupaE. Razlika skupa E i rna kog njegovog podskupa II naziva se komplement skupa A i oznacava se sa A' , kraee de}

A ' <:>{ ,~x EE \ AI ·

Tvrdenje da x E A' znaci da x

rt:. A.

90. Partitivni skup. Ako je A proizvoljan neprazan skup a P CA) skup svib njegovih podskupova, onda se P(A) naziva partitivni skup skupa A. Simbolicki: dc}

P( A)~{XIX~A} Podskupovi skupa A su i 0 i skup A.

100. Jednakost skupova. Ako je A ~ BiB ~ A, onda se kaze da su skupovi A i B jednaki (identicni , poklapaju se). Simbolicki: ok}

A=B<:>A~B/\B~A .

11°. Uredene dvojke. Neka su A i B dva neprazna skupa a E A i bE B dati elementi. Kazemo da je (a ,b) uredena dvojka (ureden par). ako je element "a" proglasen prvim, a element "b" drugim u 10m paru. U uredenom paru (a , b) element a nazivamo prva komponenta. a b druga komponenta. Ova uredjena para su jednaka ako je taona ekvivalencija: (x,y)=(a.b)<:> x=a/\ y= b. 12°. Dekartov proizvod (Kartezija). Dekartov proizvod nepraznih skupova A i B u oznaci A x B je skup uredenih parova (x, y) pri cemu je xE Ai yE B. Krace:

.,

AXB<>{(x,yllxE A/\yEB) . Dekartov proizvod nepraznog skupa A sa samim sobom naziva se kvadrat skupa Au oznaGi A2 = AX A. R. Dekart (1596-1650) veliki francuski matematicar i filozof, osnivac analiticke geometrije.

C C A, DC A,E CB .

3 \.

Oat je skup S = {O, 1,2..... 9). Odrediti skupove J E A ={ "lx

S /\ - 2x-ES} IB= . I E S/\ (-y-2y) ES}.zatim {yy 12- x

2

odrediti skupove : A UB . A nB. A \B .B \ A i peA \ B). 32.

Datje skup S = {0.1.2, .. .. 12}. Odred iti skupove

A=

{~x E S /\ (~-~) E S) i B = {yly E S /I (Y+~)E St.

zatim odrediti i skupove : A UB. A n B. A \ B. B \ A i PIA B) 33.

Ako je PUQ = {a, b. c,d, eJ,g, h}, pn Q = {c,f.h), PU {c.d,f} = {a,c. d,f,g. h), QU {aJ .h} = {a.b.c.d,e,f,h}. odrediti skupove P i Q.

34.

Akoje AUB = {1,2.3, ... . 8}, A nB = {3,6.8}. AU {1,6,8f = 1I.2,3, .. .,8), BU {3.4.6} = {1.3.4,6,7.8}. odrediti skupove A i B . 15

14


35.

Dati su skupovi A = (2.5,4), B = {1,2,4,5}. Odrediti koje od relacij a su tacne : A C B, A = B. A -:J B, A ~B , A EB. BE A.

36.

Dati su skupovi A = {a,b ,c,d}, B kazati taenost tvrdenj a

45.

= {a,b,c, e}, C = {b ,c, d,e,J}. Do-

( A u 8 )nC = (An C)u( 8 n C); b) (A UB ) n C = (A n C) U (B n C);

a)

46.

c) A U (B n C) = (A U B) n (A U C). 37.

Dati su skupov i A = {l.3,4,6,7.8},B

38.

Odrediti elemente sk upova A.B ,C , ako je AU B U C = 11,2,3,4,5, 6} , (A n C) U (B n C) = 0 , A \ B = {1,3,5}, C \ B = (2.4) i (A n B) \ C = 16}

39.

= {l,2,3,5,8,9}. Odrediti AI'J3.

= {a, b.c,d, e,J,g ,h,i} i njegovi podskupovi: A = {a,c, e,J, h} , B = 1a, b.c,J,i}. C = {b,d,e,h}. 1°. Odrediti skupove: a) A UB ; b) A nB ; c) BU C: d) Bn C; e) A U C; f) A n C : g) AU (BU C); h) AU (Bn C); i) A n (B n C). r. Odreditii skupove:a)A; b)B: c)C; d)C s(A UB ); e) Cs(A U C); f) C s(BU C); g)Cs ( A nB ); h)C s ( A n C);

47.

Dat je skup S

48.

Dati su skupovi A = {~x je deJilac bioja 12}; B = { ~x je delilac broj a IS} ; C = { ~x j e delilac broja 30}. lzracunati : a) A \ (BU C ) i pokazati da vaii A \ (B UC) = (A \ B) \ C = ( A \C ) \ B = (A \ B)n( A \ C); b) (A nB) \ C = ( A \ C)n(B \ C ); c) (A UB) \ C = ( A \ C )U(B \ C ). Relacije b) i c) objasniti Ojler-Venovim dij agramom .

42.

Dati su skupovi A = {l ,2,3.6}, B = (3,6), C = {1,3,5}. Proveriti !aenos! jednakosti A \ (B \ C) = (A \ B)U(A n C ).

43.

Koristeci definicije operacij a sa skupovima doka!Zati skupovnu j ednakost A \(B \C) = (A \ B)U(A nC). (A,B,C su neprazni skupovi).

44.

Odrediti partitivni skup skupa S = {0, {0} }.

16

je

skup

S = ( 1,2,S,8,9, IU 5)

i

nj egovi

podskupovi

Ako su A i B neprazni skupovi pomocu tablice pripadnosti uverili se da su tacna tvrde nja a) ( A u lf) n (A U B) = l'InB) U (A n iil; b)(A U B) n (A U B) = B.

50.

Data su tri podskupa abecede: A = {a , b,c,d,e}; B = {b,d,J,g, l11, n} i C a) Dokazati da vazi antidistributivnost 1° A \ ( BU C) = (A \ B ) n (A \ C);

(A nBn C )U (A nBn C )U (A nB n C) U (A n B n C ) = A.

41.

Oat

49.

i) Cs(A U (BU C » ; j )C s(A n(Bn C)); k)Cs(A U (B n C»

Neka su A i B dva podskupa skupa S. Tada j e: (I) ( A UB) ' = A'nB '. (2) (AnB)'= A'UB'.

U jed~oj .sko li 330 uceni ka ut i fra ncuski, 470 ueenika uti engleski , 420 ucemka uel rusk I , 140 ucenika ut i francuski i englesk i ISO fran cuski i ruski , 250 engleslci i ruski , a 120 ucenika engleski. francuski i ruski. Ko li ko je ucenika u toj §koli? . A = {2,8, 9, 15} , B = {1,2, 11 , 15}, i C = {8, 11, IS}. Odred iti skup M = «A n B)n C )U «S \ B)U (S \ (BU C)))

3°. Pokazati da je 40.

Dati su skupovi : II = (_~ I :5 x:5 5), B = {~ I < x < 8}, C = {1.14.8} . Dokazatl da Je: a) At:..(Bt:,c) = ( AI'J3 )t:.. C; b) Dokazati daj ednakost pod a) vai i za rna koj e neprazne skupove. Dati su skupov i: A = {ci.,i., o.p,r,s}; B = {e,i, /,m,o, p,s,z} i C = (e,i,j,o' PtS, I .v~ . Proven tl : card(A UB U C ) = cardA + cardB + cardC - card( A nB )- card(A n B) - card(B nC)+ card( A n B n C) (card A znaci kardi nalan broj skupa A).

= {a,c, d,J, r,s}.

2° A \ (B U C) = (A \ B) U (A \ C); b) Dokaz izvedi i pomocu Ojler-Venovog dijagrama.

51.

Neka s u A i B dva neprazna skupa. Dokazati da za nj ih vazi zakon apsorpc ij e A U tA UB ) = A i A n (A nB) = A. \

52.* Oat je skup S = {I ,2,3,4,5,6} i nj egovi podskupovi : A = (2,4,5) , B = {1,4,5,6} , D = 12,4,5,6}. Qdrediti konwl eme ntam~skupove A =C s (A), B = Cs(B ), D =C ,. (D). Zatim izracunati : x = ( ~U ~ U ( AU ~ U (A_U D), y = (A nB ) U (~ nB j u t!! n Q), z = (A UD ) n (A UD ) n (A U B).

17


53.

Odrediti elemente skupa A = {a.b.c, d} ako j e {a. b, 7 } n {b,c} = {b,-5}; {a,b, 13} n {b, c} = {b, -5}; {a, b,13} C A; {b,c, d} C A; {b,c,d} U {a,3} = (a,c, d) }.

54.

Neka su A B ,C podskupovi skupa S = {a, b,c, d ,e} takvi da je: A nB = {b, d}; A UB = {b,c,d ,e}; A n c = {b, c}; AUC = {a,b,c, d}. a) Odrediti A,B i C; b) Odrediti simetricne diferencije AMJ, Bt:,c i CM.

55.

D ati su neprazni skupovi A,B,C. Pomocu Ojler-Venovih dijagrama dokazati da je A \ (B \ C) ~ (A \ B) \ C tj. da ovaj zakon nije asocijativan.

56.

Dati su skupovi: A = {~x se sadrii u 12 l, B = {~x se sadrii u 20 }, C = {~x se sadrii u 32} . Odrediti skupove: a) A \ (BUC ); b) AUBnC; c) CU(AnB); d)(B \ C) n A; e) (AnB) \ C; t) A \ (B \ C).

57.

Dat je skup uredenih parova: S = {(a , b),(c, a) ,(c, b),(d,b) ,(c,e )} . Odrediti skup T si metricn ih uredenih parova skupa S.

58.

Dati su skupovi A = {a,b.c} i B = {a,p , y}. Neki ucenik je napisao A x B = {( a,a ),( a,,8 ),( y, c ),( b,a ),(,8 ,b ),( b, y),( c,a ),( c,,8),( c, y)} . Da Ii je ovo ispravno?

59.

Dati su skupovi: A = {a,b,c}, B = {a,p , y}, C Odrediti skupove: c) Ax(BxC). a) AXB; b) (AxB)XC;

60.

Dati su skupovi: S = {a, b,c,d,f}, A = {a ,c,d.!} , B a) Odrediti sve podskupove skupa B; b) Napisati sve elemente skupa P( A); c) Odrediti p(A)np(B); d) Odrediti P(C s A)np(C s B).

64.

Dati su skupovi P = {I, 2, 3, 4, 5} i Q = {1 ,2,3, 7}. Odrediti skupove: a) P 6, Q; b) Q 6, P ; c) (P 6, Q) 6, Q; d) (P 6, Q) 6, (P U Q ).

65.

Dati su univerzalan skupE = {a,b,c,d,e,! ,g} i njegovi podskupovi A = {b,d,e, g} IB = {a,c,!} . Odrediti njihove komplemente A' iB' .

66.

N~a je (skup prirodnih brojeva) univerzalan s~up, a skup P - (xj x - 2k , k E N) Jedan nJegov podskup. Odredlll komplement P' skupa P u odnosu na skup N .

67,

Dati su skupovi: A = {nln E N , n :S; 10}, B = {nln E N,2 :S; n:S; 7} i C = {2,3,6}. Odrediti skupove X i Y tako da vaie relacije: a) X C A i C U X =B ; b) Y e A iBn Y = C .

68.

Ako su clementi skupa A prosti cinioci broja 546, a elementi skupa B prosti cin ioci broja 330, ispitati istinitost relacija: a) (A \ B)U(AnB)= A; b) (AMJ) n (A nB ) = 0; c) (A MJ ) \ (A \ B )U (A nB ) = B.

69.

U jednom odeljenju od 30 ucenika odgovaralo je: 19 ucenika matematiku, 17 ucenika fiziku, II ucenika istoriju, 12 ucenika matematiku i fiziku, 7 ucenika istoriju i matematiku, 5 ucenika fiziku i istoriju i 2 ueenika sva tri predmeta; a) koliko ucenika je odgovaralo istoriju, ali ne i matematiku ; b) koliko ucenikaje odgovaralo dva predmeta od tri moguca; c) koliko ucenika je odgovaralo sarno jedan predmet?

70.

Ako su A, B i C neprazni skupovi, dokazati da vaii: a) (A \ B )nB 0; b) A n (A UB ) = A; c) (A UB ) n C (A n C) U(Bn C) (distributivni zakon U prema n ); d) (AnB)UC = (A U C)n(B U C) (distributivni zakon n prema U); e) (A UB)U C = (A U (B U CÂť (asocijativni zakon unije) ; t) C\(AnB)=(C \ A)U(C\B) (De Morganov obrazac); g) C \ (A nB ) = (C \ A)U (C \ B ) (De Morganov obrazac); h) A x (B nC) = (A x B)n (AxC); i) AX(BUC)=( AX B)U (AxC); j) (AUB)xC (AxC) U(B XC); k) (A U B) xC = (A xC)U (B xC).

= {l,2}. = {c,d,e,!}.

Datje skupE = {I, 2, 3,4, 5}. Odrediti s~pove X i Y tako da bude : XC E" {1,2,3} nx = f2,3}; Y C E "y \ (2,4) = (3,5} " Y n {1,2,4} = {2}, pa odrediti X \ Y. 62. Dati su skupovi A = {I, 2, 3,4, 5} i B = {4, 5,6, 7}. Odrediti skup X

63.

18

=0

i A\X

= {I, 2, 3}

.

Odrediti skupove A i B , eiji su e1ementi celi brojevi i zadovoljavaju relacije: a) AUB = {xii :s; x <7}; A nB = {xii :s; x <4}, 6 ~ A i 5 ~ B \ A; b) AU B = {x II :s; x:s; 5}, AnB= {xI2<x<6}, I~A \ B i 2~B\A.

=

=

61.

tako da bude X \ B

!!

=

71.

Na jednom kursu stranih jezika svaki sl~alac uei bar jedan ad tri strana jezika (engleski, francuski i nemaeki), ito: 18 slu!alaca uei francuski, 22 sl~aoca uci engleski, 15 sl~a1aca uei nemacki.

19


72.

6 sillsalaca uei engleski i francuski , II slusalaca englesk i i nemacki. I slusalac ue i sva tri jezika. Koliko ima slusalaca na tom kurs u i koliko njih uei samo dva j ezika? Odrediti skup S tako da budu tacne (istovremeno) sledece fonnul e: s n {I,3,6,9} = (3,6). SU {2,3,9,11} (2,3.5,6,9, 11). S C {3,5,6,7,9, 1 If {6, 11} cs Zatim odrediti x tako da bude S \ {I,2,6, 11} = {x,3} .

=

= {a, b, c} i B = {*,O}.

Odrediti skup A x B .

73.

Dati su skupovi A

74.

Dati su skupov i A = {O, I, 2} i B = {a, b,c}. Odrediti skupove A X B, B X A i naertati njihove grafove .

75.

Oat je skup A = {a, b. c}. Odrediti skup A' .

76.

Oat je skup A = {1.2,3, 4,5} . Sastaviti sve: al uredene dvojke (x. y ) elemenata x, y E A takve da je x < y. b) uredene trojkc: (x, y, z) elernenata x, y, z E takve da je x < < z.

Definicij a. 2. Binama relacija p skupa A je svaki dogol'or. pravlio. prop ls kOjlm se svako m paru ( x ,y) e lemenala (t lanova) skupa A dodelJuJc T III 1.. ' Definicija 3. Neka je zadan neprazan skup A. Pres likavanje f:A '

Y

78.

Dati su skupovi A = {a,b,c} i B = {b,c,d}. Odrediti skupove : a) (AxA)n(B x B); b) (A X A) n( AxB); c) (BxB)n(A x B).

79.

Datje skup S

B =

{Y\YES" (~+~) E

s}

C

= {z\z E S"

z: > z},

Odrediti elemente relaeije p i prikazati je graficki u skupu A '. 82.

i 83.

20

U skupu M

= (D, I.2, ... , IO)

V ex, y) E M:x p y <o>

+

84.

SI.

I

odred iti relaciju p de fini sanu na sledeci

x+ y= ID.

U skupu A = {- 2. -I ,O,I,2.3} deftnisane su sledece relaeije. "'I "'I a)x p y <o> x<y; b)x p y <o>x=2 y; "'I ""I e) x p y <o> x' = y'; d) x P y<o> x+ y = 2.

I)E N} i 85.

,.

Oat je ~ematskj prikaz (graf) jedne relacije p u skupu A = (1.2, 3.4) na slid I. Odrediti sve clanove relacije p, pa je napisati kao skup.

naoin:

pa odrediti skupove: (A nB)U C,

(A \ C)n(B \ C), PC(B \ C)U A) i A X C.

Oat je skup A = {1. 2,3,4,5.6} i u njemu je defin isana relaciJ3 x+ I.

p :V( x,y)E A:x p y<:> Y =

AU(Bn C), B \(A nC), P(C \ (AUBÂť i B x A. Oat je skup S = {O,2,4, 6,8, 1O, 12}. Odrediti elemente skupova:

"(::4

jednak je skupu A.

Skup A naziva se domen Cob last definisanosti nmkc ije), a skllpB kodomen iii antidomen. 81.

z\z E S ,,( z: -25) E S}. pa odrediti skupove:

A={~XE S,,(2; -~)E S}, B= {~YES

f

2°.(xl , yl) E fl\(x"y, )Ef~ yl = y,.

C ={

80.

A

Oefinicija 4, Neka su A i B neprazni skupov i. Funkc ija (pres il kavanJe) skupa A u skupB Je svaki podskup f skupa A x B koj i ima ova dva svojstva'

= (O, I,2, .. .,12) . Odrediti elemente skupova:

{~XE S" x:2ES},

-+

nazi va se binama operacija.

Oat je skup A X B = {(a, l);(a,3);( b, I l ;( b,2l;( c, I );(a, 2) ;( b,3); (c, 3);( c, 2)} . Odrediti skupove A i B .

A=

Dcfi ni cij a. 1. Re lacij a je bi lo koj i podskup Dekartovog proizvoda ~r~ l zvo IJnlh neprazmh s~upo va A i B. Ako je p C (A X B) i ( t.I') E p . onda kazemo da Je x u relaclJI a y, I zapi slIj emo x p y.

10. Skup svih prv ih komponenata skupa

A

77.

1.3. Relacije i funkcij e

Odrediti odgovarajuce skupove. naenati grafo e i i-pil8n svoJstva IIh relacija. U skupu A = {-I ,D, I} definisana je relacija p na 'ledeCi na~ lO : Ve x, y) E A:x p y <0> x' = y '. Da Ii je relaeija re flek. lvna'!

21


86.

U skupu S = {xix E N 1\ x ~ 12} definisana je relaeij a p na sledeci nacin:

97.

V(x,y) E S :xpy «> 31( x - y)' Pokazati daje p relaeija ekvivaleneije. Odrediti klase ekvivaleneije i

Dati su skupovi A = {a, ,B,y,d} i B

/:A

odgovarajuci kolicnicki skup.

~ B,f =(a

,B

b

d).

y e

d

= {a, b,c.d, e,m} i preslikavanJe

m

Dokazati da j e / preslikavanje I- I.

87.

U skupu eelih brojeva Z definisana j e relaeija p na sledeci nacin : V(x,y)E Z:x p y«> x = y (mod 3)*. Pokazati da je p relaeija ekvivaleneije, zatim odrediti odgovarajuce klase ekviva lencije kolicDicki skup Z/ p.

I..

=

=

98.

Dati su skupovi A (a, b,c) i B {1,2, 3) i preslikavanj e / = ( a,2) ;(b ,2);(c, 2) }. Dokazati daje preslikavanje f konstantno.

U skupu Z eelih brojeva definisana je relaeija p, tako da je: Vex. y) E Z: x p y «> x = y (mod 5). Dokazati da je ova relacija u stvari relaeija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije i kolicnicki skup Z / p.

99.

Data je funkcija / =

D.

U skupu S = {l,2,3,4,5,7 ,9, 11}, relacija p " im a isti ostatak kod deIjenja sa 4 " je relaeija ekvivaleDcije. Dokazati .

100.

90.

U skupu N, relacija p "ima isti ostatak deljenja sa 7 " je rel aeij a

(a2 4b

e).

ed 1 3 5

Odrediti inverznu funkciju f - ' za datu.

.

Dato Je presli kavanje

f

=

(I 2 3 4 45).

3 1 2 5 Odrediti : a) / of = /' ; b) f % / = f ' ; c) f of of of

ekvivalencije. Dokazati, zatim naci kolicnick i skup.

f

=f

'.

(I2 21 43 3 4) i g = (1 2 3 4). 3 1 2 1

U skupu R data su preslikavanja: f:x .... 3x+5 i g:x .... 4x+ 6. Izracunati: a) (f 0 g)( 6); b) (f 0 g}(m); c)(g o f)( 6) d)(g 0 f)(m} .

101.

91.

Preslikavanja fig, R .... R definisana su sa f(x} = x' - 4x+ 5 i g(x) 3x-4. Odrediti: a) f'; b} g'; c) fog; d} go/.

102.

93.

Date su funkcije / i g definisane u R :x .... lex) = 2x' - I i x .... g(x) = 4X ' - 3x. Dokazati da za date funkcije vaii, (f 0 g)(x) = (go f)(x).

Date su funkeije: x -+ f (x ) = 3x- 5 i x ~ g(x) = 5x- 3. Odrediti: a) F'(X) i g - ' (X); b) f og i gof; C)/ - I og - I if -lo g.

103.

AIeo je: a) /(x+ 1) = 5x - 3; b) / (2 x - 3) = 3x+ I: e) /(3 - 2x) = 2x+ 5; d) / ( 1- x) = 3 - 2x, odrediti I( x l.

104.

Date su funkeionalne jednaciDe f (x + I) = 3x + 2 i g(2x+ 3) = 2 - 3x. Odrediti : a) I ( x) i g(x); b) I 0 g ;

91.

=

....

U skupuS = (a,b,c,d,e,f},jejedan vojnika, dva porucnika b,c i tri kapetana d,e,f . U skupu S uocena j e relaeija p "mora prvi pozdraviti". Kakva je to relaeija?

9S.

Data je fuokcija x .... lex) = 3x- 2. Dokazati da je pres li kavanje dato ovom fonnulom jedaD-jedaD iDa.

96,

Date su fUDkcije

Odrediti : a) f og ; b) gof; c) / 'og.

e)/ - I og.

105.

Odrediti funkc iju

Dokazati da su bijektivna (I-I iDa) preslikavaDja:

a)f(x)=4x-l;

b)/(x)=5x-6;

3 2 c)/(x)=-x--' 4 3

• xlyznafi x so sadrti u y iii x je einilac za y. Osim ove oznakc, ~cs,o pilcmo x" O(mod y) eilamoxkongruonlno 0 po modulu y, znaei y je deljivo sa X. Ova rel acij. so naziva relacij ~ kODgnlCncijo.

=

a)

l ex) koja zadovoljava

/(X)+2/(~) = X;

e) f(x) + x· I(_x_) 2x-1

funkc ionalnu Jcdnacmu

b)(x -I)I(x) +

/(~) = x~ I:

= 2. 23


106." R esiti funkcionalne j ednacine:

( X -3 ) x +1 a)f 2x +4 = 3x -l ;

2)

(2X+ x+3

4x+ I

b)f - - = - ,; 2x - ~

110.

Napi sati sve permulae ije od eifara 3. 4. 5. 6. 7. koje imaj u 6 na prvom mestu. a 4 na drugom mesru.

I I I.

Ko li ko ima petocifreni h brojeva koji se mogu formi)'ali od clfara

I , 3. 5, 7, 9? 112.

X+2 x +4 cl f ( -) = -; 3x + 5 2x -1

x -I

x +2

113.

U ko li ko penn ulacija el emenala 1,2, 3, ... , 8 sloje elementi 2. 4. 5. 6 jedan pored drugog, i 10: a) u dalOm porelku ; b) u proizvo ljnom porelku?

114.

~) + g(~) = x; x -I x-

Napisi sve celvoroe ifrene brojeve eiji je zbir cifara 10 a elfra deseliea 5.

115.

c)f(x +I)+ xg(x +I) = 2x/\f (Xx + -II) + g (Xx +I -I ) =x- 1.

Ko li ko se cifa)'a uporrebi za numerisanje od prve do 567 slramee neke knj ige (svaku eifrll rae lln ali noliko pUla kol iko se puta pojavljllje)?

116.

Date Sll tri razlic ite prave i na svakoj od njih po 5 razlici lih tacaka. Ko liko ima naj visee rrouglova cija su leme na dale lacke

117.

Datj e sk up taeakaS = {A, B,C,D ,E .F } lakav da latke A.B.C D pripadaju pravoj a, a ratke E i F nj oj paralelnoj pravoj b. Odredtli sve prave takve da svaka sadrZi tacno dYe taeke iz dalog skupa.

118.

Na M il anovom rodendanu svi su se ru kova li sa Milanom i medu sobom . B ilo j e ukupno 13 6 ruko vanja. Koli ko je Milan imao gosliju Da svom radendan u?

119.

Kvadrat straniee 6 cm podeljen je na kvadratne centimetre. Kohko se duzi, a ko li ko kvadala moze uocili na tako dobijenoj slici?

120.

Pomocu vage treba izmeriti sve celobrojne te:b ne od I kg do 13 ~g Koliko nam je najmanje tdgova za 10 potrebno i kolika je lezina lih legova? U ravni su da le dye klase paraleln ih pravih: p , . p ,. P .. · .. p,,, I q,.q" q, ... . q• . P)'ave klase p presecaju prave klase q . Kohko Ie razlicitih paralelograma odredeno ovim pravama (raz!Jtlli paralelogrami Sll oni koji imaju bar dva lemena razli6ta).

107.· Odrediti funkcije f( x) i g( x). koj e zadovo lj avaju sisteme: a) f (2x + 1) + g(x - l ) = x/\ f( 2x + 1)- 2g(x -l ) = 2x' ; b) f(2 x + 1)+ 2g(2x + I) = 2x/\ f(

C) (X- I)

'C )

(X -I ) = x + l, 108.· Ako j e: f~ - 2g-;- = x - 2/\} ~ + g-;(x " 0) tada je fog = go f = I. D okazati. 1.4. Elementi kombinatorike Primedba 1. Neka je E = {e"e"e" ...,e,, } dati skup, onda postoji vise nacina da se od njegovih elemenata. redajuci ih na razne naeine, fonn iraju neki novi skupovi. Pri tome j e vaino utvrditi koliko ee clanova imati ti novi skupovi i kako ee broj clanova tog novog skupa zavisiti od broja elemenata pocetnog skupa. Oblast matematike koj a se bavi problemima ove vrste naziva se ko m binator ik a.

121.

Primedba 2. Zadaci iz kombinatorike koji se resavaj u pom06u fOimula za permutacije P(n) n!, za varij acije V; n(n- I )(n - 2) ... (n - k + I) i za

=

kombinacij eC;

=

= (~) nisu u nastavnom planu i programu. vee su namenjeni

boljim ucenicima za razna takmicenja .

109.

24

Ko liko penn ulaeija od ei fa ra 1. 2, 3.... , 8 poeinje: a) sa 5: b) sa 123; e) sa 8 642 ?

d)f( -X+ I) = -x-2 .

Napisati sve pennutacije od: c) reci OVAJ.

a) cifara 1. 2. 3, 4; b) slova a.b,c. d;

122.

123.

Na koli ko nacina 7 ucenika moze sesti na: a) 5 razlieitih SlO li ca; b) 9 razlicitih SlOlica? Koliko se ~es locifre n ih brojeva moZe sastaviti od eifara O. 1.2.3.4.5 uz uslov da se svaka cifra pojavljuje sarno jednom i da su pam~ clfre jedna uz drugu? (0 je pama cifra) .


Koliko ima cetvorocifrenih prirodnih brojeva napisan ib pomoCli cifara 0, 1,2,3,4,5 ,8 takvib da se: a) cifre mogu ponavljati; .. ? b) cifre ne mogu ponavljati; .. c) cifre mogu ponavljatl , a broj je deljlv sa 5. 125, Kol iko ima petocifrenih prirodnih brojeva napisanih pomocu cifara 0,1 ,2,3 ,4,5,6 takvih da se: a) cifre mogu ponavljati ; .. ? b) cifre ne mogu ponavlj ati; . " c) cifre mogu ponaVljatL a broj l1lje deljlv sa 5 .

124,

U neprovidnoj vrecici se nalaze 10 belih, 2.0 crven i~~ i 30 plavih kuglica. Koliko najmanj e kuglica treba IZVUCI IZ vreclce da blsmo sigurno imali: a) tri crvene kuglice ; b) tri kuglice razlicite boje; c) tri kuglice iste boje. 127, Na koliko nacina je moguce sastav iti strazu, koja se sastoj i od 5 vojnika i jednog oficira ako ima 40 vojnika i 3 oficira?

126,

128,

Koliko razlicitib cetvoroc ifrenih brojeva je moguce napi sati koristeci cifre 1,3 ,5,7,9,0 sarno jedanputa?

129,* Za koje vrednosti n i k j e tacna konjunkcija 2

n + 2 = 8" lI\ C"+ 2 'C"+ = 4:3? V.1:"-1+ 2 'V . k-2 . .1:- 1' .1: - 2

130.* U koUko tacaka se sece 18 pravih, od kojih 5 su paralelne, 6 se seku u tacki A a 4 u tacki B? 131.* Dato je u ravni 10 crvenih i 8 plavih tacaka, tako da bilo koje tri nisu kolineame. Koliko ima trouglova sa temenima u datim tackama kod kojih sva temena nisu iste boje? 132.* Na polici se nalaze 12 razlicitih knjiga, od kojih su 5 iz matematike, 4 iz fizike i 3 iz hemije. Na koliko razlicitih nacina se mogu rasporediti knjige na polici, ako se zna da knjige iz iste oblasti moraju biti uvek jedna pored druge? 133. Elementi skupa S su tacke takve da su svake tri nekolineame, a svake cetiri nekomplanarne. Ako je elementima skupa S odredeno dva put a vise ravni nego pravih, koliko pravih i koliko ravni odreduju elementi skupa S? n! (n - 1)1 20! 102! 134. Skratiti razlomke: a) b) 100! ; c) (n-l)l; d) (n- 3j!'

\8i;

135,

Koliko elemenata s ~drZi skup ako broj svih permutacija od njegovih elemenata: a) l1Ije Vee! od 1 ODD; b) nije manji od 500; c) jednakje 120?

136,

Dat je skup S = {0, I,2,3,4,5}. a) Kol iko se razlicilih ~es tocifrenih prirodnih. brojeva moze formirati od elemenata skupa S, tako da se clfre II nj lma ne ponav ljaju; b) koli ko ima pamih brojeva odredenih u zadatkll pod a)?

137,

Obrazovati sve varijacije druge i trece klase, bez ponavljanja, od elemenata I , 2, 3, 4 i izracunati njihov broj.

138,

Koliko se signala moze naciniti sa 5 razli citih zastava, uzimajuci ih po jednu, po dye, po tri, po cetiri i po pet zajedno?

139.

Koliko se brojeva izmedj u 3 000 i 5 000 moze napisati pomocu cifara 0, 1, 2, ... , 7 ako se oi jedna cifra ne ponavlja u jednom broju ?

140.

Na koliko naCina se od devet kandidata mogu izabrati cetiri osobe oa cetiri razlicite duznosti?

141.

Odeljenje jednog razreda broji 35 uccnika. Oni su medusobno razmenili fotografije . Koliko je ukupno razmenj enih fotografija?

142,

Koliko se brojeva moze napi sati pomocu elemenata skupa M. koji cin e prosti ci nioci broja 2 310. ako Iraieni brojevi sadric po dva razlicita prosta cinioca?

143,

Resiti jednacine: a) V,' = 20; b) V/ = 120; c) 2 路V/ =V:; d) V," = V,' (V/ je broj varijacije od n elemenata k-te klase).

144,

Dat je SkllP E = (0, l,2,3,4,5}. Koliko se razlicitih prirodnih brojeva veci h od I 000 moze formirati od elemenala skupa E, tako da cifre budu razlicite? Napisati sve kombinacije trece i cetvrte klase bez ponavljanJa od elemenata 1,2, 3, 4,5, 6 i izracunali njihov broj.

145. 146, 147,

148,

149,

Odrediti broj razlicitih trouglova, koji se mogll dobiti spajanjem svih temena sestollgla. Koliko se razlicitih gmpa od po cetiri ucenika moze izabrati od 17 kvalifikovanih, koje ce reprezentovati skolu na matematickom takmicenju? Na jednom sahovskom tumiru ucestvuje dvadeset sahi tao Saki treba da od igra partiju sa svakim. Koliko ce biti odigrano partija na tumiru? Na sahovskom tumiru odigrdno je 45 partija. Ako je svakl SahJS!(l odigrao partiju sa svakim ucesnikom , odrediti broj uce 'nika

27 26


150. 151 .

152. 153.

Koliko podskupova ima skup od 6 elemenata? Koliko nastaje uouglova konstmkeijom svih dijagonala konveksnog dvanaestougla ako im se temena pokl apaju sa temeIllma dvanaestougla7 Odrediti broj dijagonaJa : a) konveksnog petougla; b) konveksnog dvanaestougla: e) konveksnog dvadesetougla; d) konveksnog n-lougla . Dokazati tacnost jednakosti: 6 +C 6 + C6 +C 66 =2 6.) a)C o路+C '6 + C 26 +C 3 4 S b) + C I' + C,' = C / + C,' + C ,s.

co'

154.*

Dat . je sku p... S = 10 'k se raz1'-' .. ' , 1,234 , , ,5} . a) Kol lo ICitl'h petoclfremh broj eva, deljlvlh sa 6. ,moze formirali od elemenata sk upa S. tako da se c.lfre ne ponavljaju! b) Kol lko se razli cilih peloe ifrenih brojeva deljlvlh sa 15, moze fomlirati od el emenata skupa 5, lako da se cifre u tim brojev lma ne ponavljaju7

165.

Zbir broja dijagonala i b~oja strani ca konve ksnog mnogougla iznosi 153 . Odredll l broj razitcltlh lrouglova, koj i je odreden lememma ovog mnogougla .

166.

Unutr~snji ugao pravilnog mnogougla veci je od odgovaraj uceg spolj asnjeg ugla za loit ko , za ko liko je veci od sopstvene peline. Odredlll koitko je razlicilib pravih odredeno lemenima ovog mnogougla.

167.

Izmedu 3 000 i 7 000 oa laze se I 344 broja u koj ima se nij edna cifra ne yonav lj a. Odredili skup A cij i su elemenli arapske cifre pomocu kOj lh se mogu napisati pomenuti brojevi .

168.

Dat je skup S = {A ,B,C, ... }. Elementi skupa S su lemena konveksnog mn ogo ugl a, konstrukcijom svih dijagonala mnogougln dobijeno je 455 razli Citih lrouglova. Odrediti card 5 da ovo vaii.

169.

Elementi skupaS = {A.B ,C .. .. } su lacke od kojih su naj vise dYe kolineam e a n aj v i ~e tri komplaname. Odrediti kardinaJan bro) sk upa S ako je od nj egovih elemenata odredeno 364 razlicitih ravni .

U skupu od 12 laeaka posloji lacno 6 cetvorki komplanamih lacaka .

Koliko razlici lih ravni odredlljll ovi h 12 lacaka7 (Op~tinsko lakmicenj e iz malemalike 1982. god.) U odeljenju una 16 devojcica i 20 decaka. Za odelj enj sku zaj ednicu 155. treba izabrati cetiri ucenika, od kojih je bar jedna devojcica. Na koliko nacina se moze naGiniti izbor7 156.* Koliko ima pelocifrenih prirodnih brojeva ciji je zbi r cifara jednak 57 (Op~tinsko takmicenj e iz malemalike 1984 . god.) Koliko se razliCitih prirodnih brojeva manj ih od 100 000 moze fonn irati od cifara 0, I, 2, 3, 4 , 57 158.* Oat je skup 5 = {1,2,3,4,5,6}. a) Koliko se ra~licitih ~estocifrenih prirodnih brojeva manjih od 600 000 moze nacinili od elemenata skupa 5, tako da se u njima cifre ne ponavljaju; b) koliko ima neparnih brojeva odredenih u zadatku pod a)7 159. Resitijednacine: a)C 2" = 105; b) C; = 1511; c) 5C ]" = C; . 160.* Za koje vrednosti n je istinito tvrdenje:

157.

a)C~ <C :; b) C," > C;; C)Ct_1

<C;' 7

161.* Za koje vrednosli n i k je lacna konjunkcija:

W." :V;_ I =

10 :1)/\ (C; :C:_ I = 5:3)7

162.* Na liketu sportske prognoze nalazi se 12 susrela. a) Koliko razlicito popunjenili kolona obezbeduje 12 tacnih pogodaka; b) koliko kolona treba popuniti ako se "zna" rezultat pet susreta; c) koliko kolona treba popunili ako se "zna" da sedam susreta nece bili nereseno? 163.

164.

U nekom odboru ima 7 liea (clanova). a) Na koliko se nacina mogu izabrati predsednik, sekretar i blagajnik tog odbora7 b) Na koliko se nacina svi clanovi tog odbora mogu razmestiti (sesti) na 7 stolica?


II GLAVA 2. UVOD U GEOMETRIJU , VEKTORI 2.1. Ta~ka, prava, r.avan. Odnosi pripadanja i rasporeda Aksiome pripadanja: Aksioma 1. Svake dYe razlicite tacke odreduju jednu pravu.

178. 179.

180.

Koliko j ~ ravni odredeno tri ma nekomp lanarnirn pravarna koje imaju Jednu zaJedOleku tacku?

181.

Koliko j e n ajvise ravni odredeno jednorn pravom i trima tackama kOJe ne pnpadaju datoj pravoj ?

182.

Dat? je n taeaka u prostoru od koj ih rna koje cetiri nisu komplaname. Kohko Je ravOl odredeno datirn taekama?

183.

Koji j e najmanji broj tacaka kojima je odredeno 36 pravib?

184.

Date su mimoilazn e prave. a i b, tacke A" A" A, na pravoj a, tacke B , , B ,.' B " B , na pravoJ b I tacka evan ovib pravih. Koli ko najvise razhcltth ravm odreduju date tacke i prave?

185.

Date su paralelne prave a i b i tacke A" A" A" A, na pravoj a, tacke B , ,B.'.' B , , B 4 ~ a pravoJ b I tacka evan ovih pravib. Koli ko je najvise razhcltlh ravOl odredeno datim tackama i pravama?

186.

Date su prave ~ i b koje se seku u tacki P, tacke A" A" A, razlicite odP na pravoJ a, tacke B , ,B" B" B" B , na pravoj b i tacka evan oVlh pravlh. Koliko je naj vise razlicitih ravn i odredeno datim tackama i pravama? Datoj e 5 razlicitih tacaka u ravD i koj e De pripadaju jednoj ravni. Za svakl od razlicitih polozaja datih taeaka, odredi ti broj pravih koje one odreduju. Date su dye paralelDe prave a i b. Na pravoj a date su tackeA BCD i na pravoj b taeke E ,F , G. Ko liko j e konveksnib celVor~ugl~va odredeno tim taekama?

Aksioma 4. Svaka ravan sadrli bar tri razne tacke. Postoj e cetiri nekornplaname tacke. Aksioma 5. Svaka prava, koj a sa nekorn ravni irna dYe zajedni eke razlicite tacke, pripada toj ravni . 170. Neka su A, B , C, D eetiri tacke jedne ravni od kojih ni jedna trojka oije kolineama. a) Koliko je pravih odredeno datirn tackarna? b) Koliko je trouglova odredeno ovirn tackarna? 171. Svaka prava koja ne pripada ravni a irna sa tom ravni naj vise j ednll zajednickll tackll. Dokazati. 172. Ako tacka A ne pripada pravoj p, postoji tacno jedna ravan koja sadrli tacku A i pravu p. Dokazati . 173. Ako su p i q dYe prave koje se seku, postoji tacno j edna ravan koj a ih sadrli. Dokazati. 174. Koliko ravni je odredeno sa pet taeaka od kojih rna koj e eetiri nisu komplaname? 175. Prave a i b rnimoilazne su sa pravom c a medusobno su paralelne. Ako su tacke A, B i C takve da je A E a, B E b iCE c, koliko je najvise ravni odredeno tackama A, B , C i pravama a, b i c ? Prave a i b seku se u tacki P. Prave a i c su paralelne, a prave b i c rnimoilazne. Ako su tacke A, B i C takve da je A E a i A ~ P , BE b i B ~ P, aCE c, koliko je ravoi odredeno tackama A, B, C i pravama a, b, c? 177. Prave a i b pripadaju ravni a i seku se. Kakav polozaj prema ravni a maze imati prava c, koja sece prave a i b?

176.

Date su cetiri prave koj e se seku u istoj tacki, od kojih rna koje tri komplanam e. Kohko Je ravni odredeno pornocu datib pravih?

OISU

Aksioma 2. Svaka prava sadrZi bar dYe razne tacke. Postoj e tri neko lineame tacke. Aksioma 3. Svake tri nekolin eam e tacke odreduju jednu ravan.

Dato j e 6 tacaka u prostoru. Kolikoje ovim tackama najvise odredeno' a) duzl; b) trouglova? .

187.

188.

2.2. Pa ralelnost

Definicija. Prave a i b su paralelne (oznaka: a II b) ako i sarno ako a = b iii prave a i b pripadaju jednoj ravni i nemaju zajednickib taeaka. Aksioma paralelnosti. Za svaku pravu a i svaku tacku A, van prave a u ravni a, postoji tacDo jedna prava p ravni a koja sadrii taaku A i paralelnaje pravoj a. 189.

Dve razlicite paralelne prave odreduj u tacno jedDu ravan. Dokazati.

31

30


Ako su abe razliCite prave jedne ravni i ako je prava a paralelna pravoj b, 'a ~rava b paralelna pravoj e, tada je i prava a para lelna pra· voj e. Dokazati . 191. Date su paralelne prave p i q i nekolineame tacke A, B i C van njih . Koliko ravni odreduju date prave i date tacke? 192. Dve paralelne ravni presecene treeom imaju paralelne presecne prave. Dokazati. 193. Date su prave a i b koje se seku. Prava e pripada ravni odredenoj pravarna a i b i ona sece bar j ednu od nJlh. Dokazatl. 194. Neka su a, p i Y tri razne ravni . Ako je a II p, any = a i p n y = b, tada je a II b. Dokazati. 195. Ako su dYe prave koje se seku u jednoj ravni paralelne sa dye prave druge ravni, onda su te ravni paralelne. Dokazatt.

190.

196. 197.

Simetrala spolja~njeg ugla pri vrhu jednakokrakog trougla paralelna je sa osnovicom trougla. Dokazati. Ako su a, b, e tri prave jedne ravni , vazi: a) a 1. b II a 1. e '"' bile;

a 1. b II ail e'"' b.l. e. Dokazati . Koliko je ravni odredeno sa cetiri paralelne prave od kojih ma koje tri nisu komplaname? Date su tri prave od kojih su dYe paralelne, a treea je sa jednom mimoilazna, a drugu sece. Koliko je ravni odredeno dallm pravama?

ugaona linija pOq: Ugaona linija pOq deli skup tacaka ravn i 1t koje jOJ ne pnpadaJu na dva dl sJunktna del a. Ove skupove nazivamo ugaonim oblastima odredene ugaonom linijom pOq. Definicija 3. Ugao L pOq je unija ugaone linij e pOq i jedne od ugaonih oblastI odredenth ovom ugaonom linijom. 202.

Duzi AB i CD pripadaju istoj pravoj i imaju isto srediste 0 : tacke A i C su sa iSle strane tackc O. Odrediti kakve su medusobno duzi AC i BD, kao i duzi AD i Be.

203.

Zbir duzi na dveju duzi jednak je 9 cm, a razlika njihovi h duzi na je 5 cm. !zraeunali duzine ovih duzi .

204.

Na polupravoj data su dva odseeka OA = a i OB = b. Tacka M Je srediste duzi AB. Odrediti duzinu odsecka OM .

205.

Date su duz AB i tacka 0 na pravoj AB. Tacke Mi N su sredi ~ta odgovarajueih duzi OA i OB. Odrediti duZinu duzi MN ako je OA = 3 crn , a OB = 7 cm.

206.

Data je duz CD. Konstruisati duZ AB, tako da je AB : CD

207.

Tacke 0 , A. M. B pripadaju pravoj p. Dokazati istinitost iskaza: I a) (AM = ME II OE AB),", OM ='2(OA +OB );

b)

198. 199.

Ako jedna ravan sece jednu od dye paralelne ravni, tad a seee i drugu. Dokazati. 201.· Prava a sece pravu b, a prava e je paralelna sa b. Sve tri prave su komplaname. Odrediti broj taeaka koje su jednako udaljene od sve tri prave.

b) (AM

208.

200,

2.3. Duz I ugao

Definiclja 1. Neka je zadata prava a i neka su A i B dYe razne tacke prave a. Skup svih tacakapravea izmedu tataka A i.B ~ajedno sa tatka",la At B nazlva se duz i obele:zava se AB. Tatke A I B nazlvaJu se kraJevl duzt. Definlclja 2. Neka su lOp i [Oq dye poluprave izvesne ravni lC, sa zajednil!kom potetnom ta~kom O. Unija polupravih lOp i [Oq nazi va se

32

= 3 : 4.

I = MB II OE AB)'"' OM =-IOB -OA I. 2

Ako su A, B, C i 0 tacke prdve k, dokazati implikaciju: (0 - A -C -B II CB = 2AC)'"' OC =

20A + OB

3

.

209.

dokazati implikaclJu. 40A + 30B (O-A-BII MA = 0,75 MBII MEAB)'"'OM= 7

210.

Ako su A. B, C i 0 tacke prave I dokazati istinitost i kaza: nOA+mOB (O-A-C-BIIAC:m=CB :n)'"'OC= • m+n (m, nE N).

211.

Data je duz AB = 36 cm. Izracunati rastojanje sredi§ta duZi S od tacke M , koja deli duZ AB u odnosu I : 3.

212.

Odrediti ugao koji opisuje velika kazaljka casovnika u tokuJedno&

Ako su

A, B

i 0

tacke

prave

p,

Ia


213. 214. 215. 216. 217.

Izracunati uporedne ug love ako je jedan od njih Iri puta veei od drugog. Odrediti dva ugla sa paralelnim kracima od kojih je jedan za 40° vee i od drugog. Razlika dva ugla sa norma lnim kraci ma, od kojih je jedan oSlar a drugi tup, iznosi 30°. Odrediti ove uglove.

228. * D.ve prave seku se u tacki S i obrazuju eetiri ugla. Zbir unakrsnih ostnh uglova Jednak je po lovini jednog od unakrsnih tupih uglova. Odredltl merne brojeve svakog od tih uglova.

230.

I A A - d (d j e oznaka za pray ugao). 4

Razlika ugla a i njemu uporednog ugl a komplementan sa p.

231.

Na pravoj p date SLI eetiri tacke A - B - C - D . Ako je AD = 9 em izrae unati: ' a) AB + CD; b) rastojanje sedi~ta duzi AB i CD .

232.

Rastojanje sedista dui i od ma koj e tacke izabrane na produzetku te duzi jednaka je poluzbiru rastojanja te tack e od krajeva te duE Dokazati .

233.

Data su dva uporedna ugla pO" i qOr. Neka su Ox i Oy nj ihove simetrale. a) Dokazati da su uglovi pax i y OI' komp lementni ; b) Ako je ugao pOq = 35°, izraelln ati ugao ray.

Ako j e MN II KL, dokazati da j e L ABC L NAB + L BCL (sl. 2).

219.

Poluprave Ox, Oy, Oz, 01, koje pripadaju istoj ravni , rasporedene su ovim redom iduei u pozitivnom smeru. Dokazati implikaciju: L xOz = L yOI => L xOy = L zOI.

=

M

B K

c

L

Slika 2.

Ova uporedna ug la se odnose kao 4: 5. Odrediti ove ug lo ve u stepenima.

221.

Ostar ugao a i sestina njemu uporednog ugla su komplementni uglovi. Izracunati ugao a.

222.

U pramenu pravih a, b, e, d sa centrom S, prava a je normalna na b, prava e j e normalna na d . Odrediti uglove: a = LaSe, {1 = LbSd i y LaSd, ako je ugao x LeSb cetiri petine ugla y LeSa.

=

229.* Prave a i b seku se i obrazuju cetiri ugla: dva 0 tra a i y i dva tupa Pi O. Izracunati te uglove ako je 7(a + y) = 5(P + 0).

N

A

220.

=

Izracunati zbir dva ugla, koji su suplementni, sa dva komplementna ugla.

224.

Izracunati ugao koji je suplementan svojoj sedmini.

225.

Tackom M prave AB konstruisane su dYe poluprave MC i MD, tako da Je ugao AMC = 54°, a ugao CMD iznosi polovinu ugla AMG. Izraeunati ugao DME. Na pravoj p dataje tacka O . Poluprave Oa i Ob su sa iste strane prave p i grade sa njom jednake uglove, a ugao aOb je 40·. Poluprava am normalna je na Oa i poluprava On normalna je na Ob. Izracunati uglove koji sa pravom p grade poluprave am i On ako se: a) am i On nalaze sa one strane prave p sa koje se nalaze Oa i Ob' b) am ian ne nalaze sa iste strane prave p sa koje se nalaze Oa i Ob. '

p je 36°.

Iz raeunat i ugao y

234.* Ugao koji cine simetrala jednog ugla i ma koj a poluprava konstrulsana unutar tog ugla iz njegovog temena jednak je po lurazlici ugla na koji j e dati ugao podeljen tom polupravom . Dokazati .

235.

Ako se saberu polovina, cetvrtina i osmina ug la a, onda se dobija ugao suplementan uglu a. Odrediti ugao komplementan i suplementan uglu a .

236.

Ako su s, i S 2 simetrale dva uporedna ugla, tada je s, .L

237.

Ako su a i {1 kompl ementni uglovi, ugao <5 suplementan sa a i ugao E suplementan sa {1, odrediti zbir 0 + E.

238.

Uglovi a, {1 i y zadovolj avaj u konjunkciju a - y {1 + Y Odrediti relaciju koju zadovolj avaju uglovi a i {1. ~ta se na nsnovu dobijene relaeije moie zak ljuciti 0 uglovima a i {1?

239.

Uglovi L COD i L AOB il1laj u zajednicko teme i rasporedeni 5.\ tako da L COD sadrii L AOB. Ako je L AOB = 100· i L COD 140°, izraeunati ugao koji cine simetrale L AOe i L BOD.

=

223.

34

Prave a i b seku se u tacki O. Tacka a odreduje na pravoj a poluprave am lan, a n ~ pravoJ b poluprave Op i Oq. Ugao map = 72 °. Poluprava Or Je sllnelrala llgla m a p , a poiliprava as je nonnalna na Or. [zraCLlnatl ugao nOs.

Odrediti takva dva ugla sa nonnalnim kracima od kojih je jedan Iri puta veei od drugog. Prave p i q su paralelne, a I je nj ihova transver.lala. Odredi li sve transverza lne ugl ove ako je razlika spolj asnjih suprotnih ug lova

218.

226.

227.

S2 '

= d"

Dokazati.

=d.

a

35


240.

Data je dtiZ AB. Tacka 0 je njeno srediste. Tacke M i fIT su sredista I dtiZi A D i DB . Dokazati da je MN = AB.

III

2.

241.

242.

243. 244.

3. REALN I BROJ EV1

Tacke A, B , N, C i D pripadaj u pravoj p. Ako je A - B - N - C - D i AB CD , AC BD, a N je srediste duzi AD. Dokazati da je N srediste duzi BC .

=

GL A V A

=

Na polupravoj Ox date su duz i OA, DB , DC i OD , tako da kraj prveje srediste druge, a kraj druge j e srediste trece i kraj trece je srediste cetvrte. Odrediti nj ihove duzine, ako je njihov zbir 30 em . AB BC Ako za duzine duzi AB , AC iBC vaiijednakost + - = I, tada tacke A, B i C pripadaju istoj pravoj. Ookazati. AC AC Dato je pet tacaka A, B. C , D iP. za koj e vazi AP = m, BP = m- b, CD = a, DP = n i CP = a + n. Dokazati da se prave A B i CD seku u tacki P, i da je ona spoljaiinja tacka za duzi AB i CD.

3. 1. Pr egled broj eva. Polj e rea lni h b r ojeva 1° . S k u p p ri rod nih brojeva N = {1,2.3. ...• n. n + I.. .. f. U skupu N defini sane Sll operacije sabiranj e (+ ) i mnozenje ( '). 2° . S kllp celi h br oj eva Z = {... - 3,- 2.-1 ,0, 1,2.3 .... }. U skupu Z cel ih broj eva sem operacije sabiranja i mnozenj a de fini sana je i operaclja oduzimanj e (- ). tj . zbir, proizvod i razlika dva eela broj a je ceo broj. 3°. Sk up raci onaln ih b r ojeva Q = { :

1mE

Z,n

EN)}.

U skupu Q

245.

Tacke A i B pripadaju pravoj Ill, a B i C pravoj n. a) Ako j e AB + AC = BC prave /II i n se pokl apaju. Ookazati . b) Ako je AC a, AB b i CB = a + 2b, prave su razlicite. Ookazati .

defi nisane su operacije: sabiranje, oduzimanje, mno.zenje i delenje, pri cemu j e deli lac razlicit od nule.

246.

Tacke A i B pripadaju pravoj p, a C i D pravoj q. Ako j e AD= 2AC=6em, CD=g em, AB= AC + CB= 7e m , tada se prave p i q poklapaju. Dokazati.

4°. Skup iraciona lnih broj eva I =

=

247.

=

Ako je L AOB = L A' OB' a poluprave OA iDA' pripadaju istoj pravoj, a poluprave DB i DB' pripadaju istoj poluravni sa pocetnom praYom AA'. Tada simetrala ugla BOB' je normalna na AA'. Dokazati .

=

248.

Oatje ugao AOB 48°. Poluprava OM deli dati ugao u odnosu I : 5, a poluprava ON deli njemu uporedni ugao u odnosu I : 2. Izracunati ugao MON .

249.

Dat je ugao AOB 45°. Konstruisati poluprave OA' i DB'. tako da j e ugao ADA' 25° i ugao BOB' 35°. Izracunati ugao A'OB '.

=

=

r~x

se nc moie napisati u obliku :' }.

=

5°. Skup r ealnih b r oj eva R Q U I . U skupu realnih brojeva vaZe sledeci skupovni odnosi : N ez C Q C R.R = QUI . J

250. 25 1.

n-n . brOJ. ' O0 k ' Ako j e n prirodan broj. onda je i - - pnrodan azatl. 6 Ookazati identitet (IOn + 5)' = 100 n( n + I) + 25, zatim ga form ulisati kao pravilo za kvad riranje dvocifrenih brojeva. koji na mestu Jedin iea imaj u broj 5. Primer: 35 ' = 100 x 3 x 4 + 25 = 1225.

=

lzrac unati oa ovaj oaCin 15'. 25 '. 45 '. 55 '. 75 '. 85 '. 95 '. 252.

=

Ako je b + c = 10, onda je ( lOa + b)( 10 a + e) 100 a(a + I) + be: Ovaj ideotitet moze se koristiti kao pravilo za usme~o mno.zenJ.e dvoci[r enib brojeva, koj i imaju istu cifru na mestu desetlca, a zblr CI fara jedini ca iznosi 10. Primer: 47 x 43 100 x 45 + 7 x 3 2 000 + 21 = 2 021. Izracunati na ovaj nacin : 32 X 38. 54 x 56. 77 x 73. 92 x 98. 22 x 28.

=

36

=

37


253.

4'

. ( a + '2I )' = a (0 + I) + I Dokazatl..Identltet

271.

Koristeci ovaj identitet izracunati: ( 3'2 I)' ; ( 5'2I)' ; ( 6'2I )' ; (8'2 I ) ' ; 9,5-, ; 10,5 ' . 254.

Ako se kvadrat rna kog neparnog broja lImanji za I, dobijen i broj je deljiv sa 8. Dokazati.

255.

Dokazati da je broj I 331 kub prirodnog broja.

256.

Ako je zbir eifara dvoeifrenog broja jednoeifren broj , da bi se pornnozio sa II , dovoljno j e izmedll nj egovih eifara umetnllt i zbir njegovih eifara. Dokazati .

257.

Zbir tri uzastopna eel a broja uvek je deljiv sa 3. Dokazati .

258.

Dokazati da je proizvod od dva uzastopna pam a broja deljiv sa 8.

259.

Dokazati impli kacije : a) x= 30 - I ~ x(x- 80)+0(5x+ 3)= 1, 0, xE Q; b) x =o+ 3 ~ x(x - 3a)+a(0+ x )= 9. 0, xE Q; c)(x =a' + 3/\ y =a' - 3)"" x(x- 2y)+ y ( x + Y )_O b = 27.

a,xEQ. 272.

Ako je n prirodan broj , onda je izraz n (211 + 7)( 7 11 + I) delji v sa 6. Dokazati .

273.

Dokazati da su za n E N brojevi: a) 11 ' - 19 11, delji v sa 6; b) 11 '

-

n, delji y sa 5;

c) n' - n, delji v sa 7. 274.

Dokazati da je 1/ '

Dokazati da je razlika kvadrata dva uzastupna nepama broja delji va sa 8.

275.

Dokazati da je proizvod od rna koja cetiri uzastopna prirodna broja deljiv sa 24.

260.

Dokazati da se kvadrat nepamog broja moze napisati u obliku 8 p + I (p je prirodan broj iIi nula) .

276.

Dokazati da je izraz A = n' - 5 n' + 4 n deljiv sa 120, n E N.

277.

Dokazati da je broj B = n ' + 20 n deljiv sa 48 za svako n pamo.

261.

Dokazati da se kvadrat eelog broja ne moze zavrsavati sa dye petiee.

278.

262.

Dokazati da je neophodno i dovoljno da bi neki broj bio deljiv sa 72 da bude deljiv sa 8 i sa 9.

Dokazati da broj A = broj .

279.

263.

Ako je n eeo broj, tada je broj

Odrediti cetiri razli cita prirodna broja. ako se zna da je njihov zbir jednak zbiru proizvoda najmanjeg i najveceg i proizvod ostala dva.

264.

Ako je srednja eifra troeifTenog broja jednaka zbiru krajnjih eifara, dokazati da je taj broj deljiv sa II .

280.

Dokazati da broj n' + 8 n + 15 nije deljiv brojem prirodno.

265.

Za svako n, 11 EN, broj n' + II n je deljiv sa 6. Dokazati.

281.

266.

Dk ' za svako n E Z razlomak 21n+4 redukovan . o azatt'd a Je 14 n + 3 D o kazatJ. d ' I 2n+ 3 a Je raz omak - - - redukovan za svako n E Z . 5n+ 7

Ako je n prirodan broj, dokazati da je izraz n(n' - I)( n' - 5n + 26)deljivo sa 120.

282.

Trocifren broj napisan u brojnom sistemu sa osnoyom 7 ima Iste ~I颅 fre, ali u obmutom poretku , koji ima laj broj napisan u brojnom sistemu sa osnovom 9. Odred iti taj broj.

283.

Data su dya dvocifrena broja. Ako je II njihov proizvod a B prom'od dvocifrenih brojeva nastalib razrnenom njiho\ ih clfara. tada je razlika A - B deljiva sa 99. Dokazati.

284.

Ako celi brojevi a i b imaju isti ostatak pri deljenju eehm brojem c. tada razlika a - b je takode delj iva sa c. Dokazati.

267.

11(11 '

+ 5) deljiv sa 6. Dokazati .

.fj iraeionalan broj. 269. Dokazati da je broj .fj - .,fi iraeionalan. 268.

Dokazati da je

270.

Neka je H skup svih kvadratnih iraeionaliteta oblika

p + q.,fi, gde pE Z i qE Z. Ako xE H i y E H, pokazati da i

- 1/ ( 1/

prirodan broJ) uelj ivo brojem 10.

n' + I nije

deljiv sa 3. ni za jedan prirodan

11

+ 4 za svako n

x+yEH,x-yEH ix路yEH.

38

39


285.

Ookazati da je broj : a) 38' + 37 ' deljiv sa 75;

b) 99 ' - 74' deljiv sa 25 ;

c) 9 999 deljiv sa 3, 9, II i 101 ;

d) 67' - I delji v sa 10:

e) 79 ' - I deljiv sa 10;

f) 54 路 - 1 delji v sa 5;

h) 92.t + 9 deljiv sa 10;

i) 9 " + 14 delji v sa 5:

j) 10' - 3 deljiv sa 3 (k prirodan broj). 286.

Primenom osnovnih algebarski h identiteta dokazati jednakost: 5' -3 ' 8 5'_2 6 17 a) = -7; b) " 6 = 5' + 2路 15 ' + 3' I 5' + 2 . 5- + 2 ,

290.

+ 5" + , + 4 " + , + 5" + J , de-

Ako je 17 ceo broj polinom n' + 2 17 ' - 17 ' - 2 17 ima za cinioee cetiri uzastopna broj a (17 > I). Ookazati . Ako se proizvodu od dva uzastopn a pama broja doda I, dobija se kvadrat nepamog broja, koji se nalaz i izmedu njih. Ookazati .

291.* Ako razlieita slova oznaeavaju razlieite cifre, odredi ti brojeve

II

jed-

nakostfma: a) ABC = CDB: b) MAK = 11K A; e) A H = CBDE;

d) ABC = DEe D.

_ n' - I

292.

Odrediti sve prirodne brojeve

11

293.

Odrediti sve prirodne brojeve

11

a) 9/1' - 25 prost broj ;

301.

Ookazati da su za rna koji pri rodao broj 17, brojevi 21 n + 4 i 14 n + 3 uzaprnno prosti .

302.

Prost broj p> 2 je razlika kvadrata dva prirodna broja. Odrediti ove broJeve.

3 03.

Ako je 17 ceo broj , dokazati da je n' - n' delji vo sa 12 .

305.* Ako je zbir tri uzastopna eela broja neparan broj . dokazali da je njl hoy proizvod delji v sa 24 .

288.* Polinom a' - 2(a - I) - a, delji v je sa kvadratom binom a-I. Dokazati. 289.

Ako j e p prost broj, tada je i 8 p' + I prost broj sarno za p kazat!.

304.* Ookazati da je zbir kubova tri sukcesivna cela broja deljiv sa 9.

33"

287.* Ako je n prirodan broj tada je broj 4 n + ljiv sa 10. Ookazati .

= 3. Do-

300.

za koje je - - prost broj. 5 za koje je:

b) 16/1 ' - 121 prost broj.

306.* Ookazati da j e broj A = 17 ' + 317' - n - 3, deljiv sa 48703 n nepamo.

,

307.

!!... + !!... + !!...

a) Ookazati da je broj A =

24

broj . 308.

,

12 '

8

ceo broj ako je n paran

b) Za koliko se poveC<! petocifren broj ako rnu se svaka eifia poveC<! za I. Oa Ii su broj ev i: s路

9~

61

6'

a) 8 ; b) 9 ; c) 5 ; d) 7 , potpuni kvadrali ? 309.* Ookazati da je proizvod cetiri sukcesivna eela broja uvecan za kvadrat celog broja. 310.

Ako je n prirodan broj. ooda je 5n + 5 n +l + 5n +2 deljivo sa 155. Dokazati.

311.

Ookazati da je broj n(n ' + 2) delji v sa 3 za svako

312.

Odrediti prirodne brojeve m i 17, (m> 17 ) za koje je zbir brojeva (m + 17 ) . ( m - 17), (mn) , n

In

17

E N.

j ednak 245 .

~8

n

1

+ 8 n+' deljiv sa 584. n E N .

313.

Ookazati da je izraz 8

314.

Zbir prvih n uzastopnih pri rodnih brojeva jedoak je trocifrenom broju cije su cifre jednake. Odrediti 17 i tTaZeni trocifreni broJ

+

294.

Brojevi p, p + 2 i p + 4 su prosti. Odredi p.

295.

Svaki prost broj veei od 3 ima oblik 6 k + I iii 6 k + 5. Ookazati .

296.

Kvadrat prostog broja veceg od 3 ima oblik 1211 + 1. Ookazati .

315.

Ookazati daje za svaki prirodni broj n izraz ,, ' + 1988 n deljiv a 3.

297.

Ookazati da prosti brojevi oblika 3 k + 1 imaju oblik 6/1+ 1.

316.

298.

Odrediti sve proste brojeve p, takve da brojevi p + 10 i p + 20 su takode prosti .

Ako su a, b, c realni brojevi za koje vaZi a + b + c = 0 i abc = 1999. onda je ala + b)(a + c) 1999. Ookazati.

31 7.

Dokazalidaje izraz 2"+2 n +'+2"路'.neN. delJiv sn 1-1.

318.

Ako je n paran prirodan broj, ondaje 17 ' zati .

299.* Brojevi pi 8 p ' takode prost.

40

+ I su

prosti. Ookazati da j e broj 8 p '

+2 P+ I

=

-

199017 deljivo sa 6. Ooka-

41


319. 320.

lzracunati zbir I 999' - I 998 2 + I 997 2

-

" , , I 996 - + .. . + 3 - - 2 - + I - .

Ako je n prirodan broj tada je

333.

a) Ixl+lx- 21=x+ 4;

334.

a ) -'_ =L b) I I 1.1' 1 2' Ix -Ij x- I Odrediti interva le 1I koj ima se nalazi realan broj nejednaci ne (335-338):

(2n- 3)(211-1)(211+ 1)(2n+ 3)+ 16, potpun kvadrat. Dokazati . 321.

322. 323. 324.

Dokazati da su periodicni decimalni brojev i: a) 0,777 .. . : b) 0.171717 ... ; e) 0,243243243 ... ; d) 2,292929 .. . raeionalni brojevi. Dokazati da je broj

.fi +.Jl7. iraeionalan .

..r;;

Dokazati da je 11 + iraeionalan broj , ako 1'1 nije kvadrat nckog eelog broja. + b a . Ako je a' + b' = 6 abo(a i b eeli pozitivni brojevi), tada je a _ b Iraeionalan broj . Dokazati. Dokazati identitete (325-330) :

a+lal

{a,a 2:0

a -Ial {a. a < 0 b)- - = 2 O,a ~ 0

°

325.

a)--= 2 O,a <

326.

3.1', X 2: 0 2.1'+ 1x 1 ---'--"+.1'+1.1'1=· x . ( -,.1'<0 3 3

327.

2x-lxl

I..J

--+x-~I=

;

{~'3 x~O

3

b) Ix + 21+lx- 21 = 3.1'+4.

335.

a) Ixl S 2;

b)lxl2:3.

336.

a) I x - 21 S 5;

b)12 x - 31<1.

337.

I al 1- x + 31 < 4;

b) I':: x + 112: 3.

x da bi bile tacne

?

2

3

3 7 4 4 a) l -x+51>-; b)l-x-6Is-. 2 2 5 5 339.* Akoje /(x)=lx+ 31+1.1'- 31 + l x' - II, tadaje /( -xl= lex). Dokazati . 338.

. / (x) = (X+lx 340.* Ako Je - -l)' + (X-IXI)' , tada je /( - x) = /(.1'). 00kazau . 5 5 3.2. Priblizne vrcdnosti. ApsoJutna i reJativna gre§ka. Graniea greske. Znacajnc cirre i zaokrugJjivanje brojcva Primedba I. PribliZni broj a nazi va se broj koji se razlikuje od tacne vrednosti x.

.

I

Definicija I. Razlikaa = x - al naziva se apsolutna grclka priblimog broja a.

3x. x < 0

Definicija 2. Graniea apsolutne greske 6.0 priblimog broja jc svaki broj koji nije manji od apsaluule greske log broja. tj.l x - al S 6.0<::> -6.a < x - a < a <::> a - 6.0 S x Sa + 6.0. kraee x = a ± 6.a. Definicija 3. Relativna greska. u aznaei 0, pribliZnog braja 0 je kalicnik apsolutne greskea i apsalutne vrednasti tacnag (pribliinog) braja( x;-' 0 ia;-' 0). tj .

o= .!!.., odnasna 0 = .!!..., aka se ne zna tacna vrednost broj a. 1.1' 1

330.* (

x-5+ l x-5 1)'

2

+

(.1'-5-1.1'-51)'

2

, =(.1'-5)- .

lal

Definicija 4. Graniea relativne greske datag pribliinog broja nazi va se svaki pozitivan bro; 0 ,kaji nije manji od te greske, za koje je 0 S 0a' iii &/ :S 0., J

Rditijednacine (331-334): 331.

a)lxl=2x-4;

b)lx-31=5.

332.

a) 1x - 21 = 2 x + 4;

b) 1x + 21 = 2 x + 4.

42

u

1.1'1

tj. 6.aS 1.1'10 •. Posta je .\'=0, prethodna formula postaje 1'>.a=la lO. iii

o

= 6.a lal' 4)


341.

342.

Sa x ", a oznacava se da je a pribli zna vrednost za x. U sledeCim primerima izracunati apsolutnu i relativnu gre~ ku : a) 5 "'4. 6; b) 2.564",2,56; c) 0,88 1"'0, 88: d) 8 ", 7, 98; e) 54,326 ", 54,32; f) 0.9991 ", 0,999.

U kome se intervalu 'a lazi braj x ako je: a) x = 56 m( ± 0.02 m I. b) x = 75 kg(± 0,003 kg); d) x = 8 km(± 0.016 km)? c) x = 25 ± 0,006

343.

Odredi lt granicu apsolutne greske naCi njen e pri mere nj u ld in e ne: kog tela ako se zna da se njegova tezina nalazi izmedll 32, 582 kg 1 32,588 kg.

344.

Odrediti relativnu gre~ku pribliwih brajeva: a) 40 m(± 0,006 Ill); b) 40 kg( ± 0.005 kg); c) 25 m( ± 0,006 m); d) 8 km + (± 0,016 km).

Rastojanje dva mesta na karti iznosi 24,6 cm (± 2 cm). Izracunat'i rastojanje ta dva mesta u priradi ako j e razmera kartel : 2 500000.

346.

Pretvoriti

347.

r:.

Odrediti razliku pribliznih vrednosti brojeva a = 5 86- + 0 00005 . b - 2 746 + 0 0005 . . ' ~ -. ,I -lik' - , • zattm Izracunati apsolutnu i re lati vnu gresk u raz e.

356.

Odrediti praizvod brajeva 0,456 ± 0 0005 i 3 35 + 0 0005' I . " - , Ire all vnu gresku praizvoda.

357.

Date su priblizne vrednosti brajeva

Zaokruziti brajeve: a) 50 864, 196438, 75049 do slotica', b) 65 384, 8 546496, 1487 796 do jedinica treceg reda;

broj ako je granica apsolutne

greske /:; a: aJ 0, I; b) 0,01 ; c) 0,001 ; d) 0,000 I.

c) 5,436; 83 ,6073 ; 0,8965; 8,9987 do stotih ;

Izracunati relativnu gresku pribliznih brojeva: a) 2,5 kg(±0,002 kg) ; b) 5.6 m (±0,07 m) ; c)17,5km(±14m); d)37 ,5m(±24mm).

d) 12.3606; 6,00053 ; 0,5406 do treceg decimalnog mesta .

348.

Relativna greska pribliznog broja a = 8,64. 0 a = 0.005 . [zraclinati granicu apsolutne greske pribliznog braja.

349.

Priblizni brojevi: a) 9,6; b) 0,64; c) 15,0; d) 6,4 dobijeni Sli na osnovu pravila 0 zaokrugljivanju brojeva. U kojim granicama pripada braj cija je pribliina vrednost data? Kolika je granica relativne gre~ke datog braja?

350.

6;

merenj : n dva predmeta utvrde? o da su im duzine a = 5,43 , ) m t b 1,41 (±0,01 ) m, ko)e)e merenje tacmje? va tela su izmerena na istoj vagi, pri cemu se dobi lo: Q = 24 5 O (k-I k,05 ) g; ?Q, = 12.380 ( ±0,05) g. Koje je te[o izmereno ' tacn i)' ~ i o t 0 puta.

355.

358.

345.

3

354.

~~

a = 7,2 ± 0,05 ,b = 3,46 ± 0,03 , c= 5,09 ± 0,004. Izracunati x = _ a_ b +c' /:; x io x.

Zatim izracunati gresku u pracentima.

razloma~ 3. u decimalan

353.

Ako je merena velicina a. apsolutna gre~ka /:; a, relativna Daci jedDu od veliciDa ako su druge dye date: a) 6. a = 0,1, a = 5,63; b) a = 6,425, 0 a% = 4% ; c)6.a=7.8,oa=0,005.

gre~ka

0 a;

351.

Odrediti koliko pouzdanih cifara ima braj a = 2.3752 ako je relativna grdka log broja 0 a = 0,01.

352.

Koliko pouzdanih cifara ima podalak 427,604 (±0,013)?

359.

Koristeci pravilo pame cifre, zaokruz iti do jedinica sledece bra)eve ' 83,5; 254 ,5; 869.5: 2056 ,5. .

360.

Rastojanje iz,?edu dva elektricna stuba mereno je cetiri pUla; u prvom meren)u dobt)eno j e 49.05 m. u drugom 49, 10m. trecem 48.97 ~ 1 cetvrtom 48,87 m. lzracunati srednje rastojanje stubova i zaokruzttt ga u metnma.

361.

Pretvoriti

~ u decimalan braj , pa ga zaokruziti postupno do drugog.

treceg i cetvrtog decimalnog mesta. 362.

Pretvoriti u decimalan braj sledece meSovite raz[ornke:

2

a) 2 -7 (pa ga zaokruZiti na dva decimalna mesta)' . , b) 7

5

'6 (pa ga zaokruZiti do trece vafeee cifre). 45


IV

370.

GLAVA

a) :: = ~ ~ 4a - 3b = 4c - 3d b d Sa + 2b 5c + 2d'

4. PROPORCIONALNOST VELlCINA

b) '::' = ~ = ~ ~ 3a - b + 2c = a - 2b + 3c m 17 p 3111-n+2p 117-2n+3p'

4.1. Razmera i proporcija

a

1° . Ako su a i b realni bro.;;;

(b"" 0) , kolicnik a: b = k , odnosno nazivamo razmerom broje\oa a i b, k je vrednost razmere . I

Dokazati implikacije:

b=

c)'::' = ~ = ~=~~ a + b+c+ d = .::.

k

2".lednakost dveju jednaki h razmera a: b = c: d naziva se proporcij~ : Clanovi a i d su spolj asnj i, a b i c unutrasnji clanovi proporclJ e. Vazl ekvivalencija a: b = c : d <:> ad = be, (abcd "" 0).

m

371.

p

17

q

111

+n+p +q

m'

. abc Ak o Je - = - = - = 4, izracunati : m

a)

p

n

a - 3b + 2c

.

+ 2/

b)a+b+ c m+n +p

3°. lednakost tri iii vise jednakih razmera naziva se produzena proporcija . Vaii ekvivalencij a: abc d 0 a :m=b:n= c: p=d:q<:>-=-=-=- (a,b,c,d, lI7, n,p,q"" ). m n p q

372.

Dokazati implikaciju : (a+ b + c + d):(a- b+c- d)= = (a + b - e - d): (a - b - c + d) ~ a : C = b : d.

36.

373.

Dokazati ekv ivalencij u:

V

lzracunati nepoznati clan x u sledecim proporcijama: a)x :(2+ x) = 10,5:21; b)( x - 3): 15= 21: 35;

5

c) 15:(2 x- I)=- :(x -4); 3

Iz proporcija x : y = 5 : 4, y: z = 8 : 15 i z : 3 = 6 : 2 izracunati x.

365.

Iz produiene proporcije x: y : 6 = 2 : 5 : 3 izracunati x i y.

366.

Iz proporcija a : b = 2 : 3 i b : c = 6: 7 obrazovati produzenu proporciju a: b : c.

367.

Iz proporcija: a) x: y = 8: 5 i y: z = 10: 3; b) x: y= 3: 4 i y: z = 6: 5; obrazovati produzenu proporciju x: y: z.

368.

Dokazati ekvivalencije: a) a: b = m: n <:> b : a = n : m;

b)a :b=m:n<:>a:m= b:n.

369.

46

a

Dokazati ekvivalencije: a) a: b = c: d <:> (a + b): b = (c + d): d; b)a : b=e :d<:> (a- b): b= (c- d) :d ; c)(a+ b) :(a- b)=(c+ d):(c- d)<:> a : b=c:d.

317

c

- = -<:>

d)(a+ x):(a- x) = p : q.

364.

m-

b

d

a' + b'

ac + bd

ae + bd

e'

+ d'

374.

Data j e direktna proporcionainost formulom y = 7 x. Izabrati cet iri vrednosti x" x" x" x, za x. tako da je x, : x, : x, : x, = I : 2 : I : 3. Izracunati vrednosti y" y" y, . y. koje odgovaraju vrednostima xI> x" x" x • . Odrediti i uprost iti razmeru Y , :Y,:Y,:Y.· Ispitati tacnost jednakosti y, : y, : y, : y. = x, : x, : x, : x, .

375.

Data je obmuta proporcionalnost formulom y

J

= .:.. lzabrati vrednosti

x x" x,, x, za x, tako da je x, : x, : x, = I : 3: 2. lzracunati vrednosti y" y" y, obmuto proporciona lni sa xI> x,, x "

.. · .. I I I I . .• . dn k . Od re dIt! I uprostltl razmeru - : - : - . Spllatl t a~nost Je a 0 II y , Y2 )" III . II I - : - : - = x, :x, :x, I y, :Y2 :y, = - : - : -. ~

~

~

x,

~

~

47


4.2. Primena proporcija Primedba. Pri resavanju zadataka primenom proporcij a treba prvo utvrditi da Ii su velicine x i y direktn o iii obmuto proporcionalne . Kazemo da su x i y direktno proporeioDalne ukoliko je )' = kx, a obmuto proporei onaln e uko liko

k

za x i y vazi y = -. x 376.

Od 66 kg prediva dobije se 165 m tkanine . Koliko se metara tkanin e dobije od 112 kg prediva?

4.3. Rac un rasp odele i mesanja Prim ed ba . Resavanje zadataka i z racuna raspodele i mesanja se svodi na resavanj e linearnih j ednacina ii i na resavanje sistema sto je detaljno pokazano u resenj ima zadataka. 387.

D va radn ika treba da podele premij u od 270 000 dinara srazmemo svoj im zaradama, koje iznose 650 i 700 dinara po jednom radnom casu. Koji dec premije prip ada svakom radniku?

388.

l edan posao su uze la u akord 3 radnika i zaradi la 246 000 dinara. Prvi radni k je radi o 15 dana po 6 casova, drugi 9 dana po 8 casova. a treei 12 dana po 7 casova. Koj i deo zarade pripada svakom radniku?

389,

Podeliti duz od 456 m na tri dela cije ee duzine biti redom propor. lne b" 2 -9 I. -7. clona roJevlma -, 3 8 12 l edna vrsta mes inga je leg ura bakra, einka i olova, legi ranih po r8zmeri 65 : 34 : 3. Koli ko ima svakog metal a u bloku mesinga tdine 456 kg?

377.

Zupcanik ima 54 zupea i pravi 84 obrtaj a u minutu. Koliko zubaca ima zupcanik ako pravi 126 obrtaja i u prenosu je sa prvim?

378.

Radeei dnevno po 8 casova, 21 radnik za 6 dana izradi 720 metalnih pro fila ; za koliko ee dana 28 radnika, radee i po 7 casov a. izraditi I 260 metalnih pro fila?

379.

Radeei dnevno po 6 casova 40 radnika zavrsi neki posao za 20 dana i za to prime ukupno 192 000 dinara . Koliko dana treba da radi 50 radnika ako rade po 8 casova dnevno, da bi primili ukupno 160 000 dinara?

391.

ledna prostorija osvetljena je sa 15 sijalica od 60 W . Koliko bi si_ jalica od 75 W davalo isto osvetljenje?

Sumu od 728 000 dinflra podeli ti na tTi liea lako da svako sledece dobij e 20% vise od pretb odnlDg.

392.

Iz preosta le dob iti na slobodnom rasprolaganju preduzeee podt:!1

1380.

L.

3111. 382,

I

1 386000 dinara na 2 1 visokokvali fikovanog, 63 kva lifikovana i 126 nekva lifi kovanih radnika po kljucu 12 : 8 : 5. Odrediti pojedinacnu dobit svakog radn ika iz ove tri kategorije.

Za 14 kilograma robe placeno je 980 dinara . Koliko ce se kilograma robe kupiti za 4 340 dinara? 100 norveskih kruna vredi 12 700 dinara. Koliko ce se kruna dobiti za 571 500 dinara?

~.'" 65

radnika iskopa neki kanal za 23 dana. Posle 15 dana 13 radnika napusti posao. Koliko dana treba onima koji su ostali da zavrse ostatak posla?

384.

Neki posao 6 radnika moze da zavrsi za 5 dana. Za koliko ee dana biti gotov isti posao ako posle 2 dana dode jos 3 radnika?

385.

Greda duzine 3 m, sirine 20 em i debljine 100 mm kosta 2 000 dinara. Koliko ee kostati greda duzine 4 m, sirine 30 em i debljine 110 mm?

386.

Od odredene kolicine bakra moze se izvaljati 10 tabli duzine 2 m, §irine 1,5 m debljine 2 mm. Koliko se tabli, duiine 1,2 m, sirine 0,5 m i debljine 4 mm moZe izvaljati od iste kolil!ine bakra?

48

390.

393.

Drvena greda podeljena je po razmeli 5 : 3. Veei deo ima duiinu 1.5 m Odrediti duiinu eele grede.

394.

Tri elektri cna otpora vezana u seriji stoje u razrneri 2 : 3 : 7. Ukupan otpor j e 24 oma. Koli ki su pojedini otpori?

395.

Fabrika ima 4 pogona. Promet pogona A iznos i 8 000 000 dinara za 5 meseci, pogona B 12 000 000 dinara za 7 meseci , pogoDa C 5 000 000 dinara za 6 meseci i pogona. 0 3 000 000 dinara za 10 mesee!. Kako treba rasporediti ostvarenu do bit od 5 520000 dinara na pojedine pogone, srazmerno prometu i vremenu? Koliko vode temperature 40° C i vode temperature 25° C treba pomesati da se dobije 90 litara vode temperature 30° C?

396. 397.

cd

M1insko preduzeee ima dYe vrste braSna, 720 i cd ~ 0 .din ~ I kg. Koliko treba uzeti cd svake ~Tste da se doblJe mclavma tetine I _00 kg cija bi eena bila 640 din . pb kil ogramu? ~9


398.

Jedan zlatar mesa srebro tinoee 600%0 i srebro tinoee 900%0-aobija 600 g fi noee 850%0. Kol iko grama srebra treba uzeti fin oee 600%0, a koliko srebra finoee 900%0?

409.

399.

Koliko treba uzeti sumpome ki selinc j acine 52, a koliko j acine 88% da se dobije mesavina od 144 litra, jacine 72 %?

Na j edn~m p~lj opri vr_ednom dobru ubrano je 13 540 vagona kukuluza. Pos le susenJa tez ln a Istog kukuruza je opala na 10 832 vagona Kohko Je to u procentim a?

410.

400.

Ako se pomesaju 6 kg sumporne kiseline jaCine 0,45 i 14 kg jae inc 0,75, odrediti jacinu mdavine.

Stof)e pojeftini o z~ 12%, 0. za 840 dinara prodaje se jevtimje. Izracunatl koll ko Je stof kostao pre, a koliko posle pojefiinjcnja?

411 .

Koliko zlata finoee 900%0 i zlata finoee 600%0 treba legirati da se dobije 30 kg zlata finoee 800%0?

Norma je prebacena za 22 % i proizvedeno je 89 060 jedinica prolzvoda. lzracunati nonnu .

412.

Zaj edno sa poveeanjem od 16% trgovina je primila 371 200 dln ara. Kohko Je poveeanje?

401 . 402.

Cist vazduh je smesa azota (78 % ) i kiseonika (21 % ), a ostal o cine neki retki gasovi . Koli ko ima svakog sastojka u 546 I vazduh a?

403.

Tri paralelno spojena elektricna otpora stoje u razmeri I : 2 : 5. Ukupan otpor je 10 oma. Izracunati pojedine otpore.

404.

prodatu robu

Na prodaji robe bio je gubitak 6% . Ako je roba prodata za 376 000 dln ara, izrac unati koliko kosta roba. o odbitku 12% provizij e primlj eno je 4 224 000 dinara. Kolika je provizija?

Vinar hoee da pomesa sa vodom 450 I vina koj e prodaje po I 100 din . Koliko litara vode mora sipati da bi litar mesavine prodavao po 900 din?

415.

Kaput je kostao pre poje ninjenja 160 000 dinara, a sada kosta 146 160 dinara. Za koli ko je procenata cena snizena?

4.4. Procentni i promilni raeun

416.

Robi je snizena cena za 20 % i sada iznosi 4 640 dinara. Kolika Je bila stara cena?

417.

Preduzeee planira dobit od 2 542 000 dinara. a ostvari 2 389480 dinara. Kolika je u procentima ostvarena dobit?

418.

Nagrada radni ku po j ednom casu od 6 500 dinara poraste na 7 020 dinara. Koliko je to u proccntima?

419.

Pri obradi gvozdenog protil a orpadak iznosi 2,76 kg. a u procentima 8% . Kolika je td ina protila pre obrade?

420.

Sa 4% troskova za robuje pl aeeno 128960 dinara. Kolikaje bila kupovna cena robe, a koliko je bilo troskova?

421.

Sa povisenjem 15 %, nagrada radnika je 2 875 di nara . Koliko je primao po jednom casu pre povisenja?

422.

Uz marzu od 15 %, jedan metar stofa prodaje se po 5 980 dinara Koli ka je nabavna cena? Sa 5% vlage hektolitarska tezina zita je 84 kg. Kolika je hektolitarska tezina zita posle susenj a ako procenat vlage ostane 2.5 %?

Primedba. U procentnom raeunu pojavljuju se tri promenljive velicine: p procenat, G osnovna vrednost iii glavnica i P procentni iznos iii prinos i stalna velicina 100 (procentni raeun) i I 000 (promilni raeun). U zadac ima glavnica se pojavljuje: 1째. Kao cista glavnica G - procentni raeun do sto. P :p= G: 100; 2째. Kao uveeana glavnica (G + P ) - procentni racun na sto.

P:p=(G+P):(IOO+ p); 3째. Kao umanjena glavnica (G - P) - procentni raeun u sto. P : p = (G - P) : ( 100 - p). 405.

Izracunati 15% rabata od 55 400 dinara.

406.

Sa 6% zarade robaje prodata za I 272 000 dinara. Kolikaje nabavna cena robe?

407.

Robaje sa 5% gubitka prodata za 212 135 dinara. Odrediti nabavnu cenu robe.

408.

Amortizacioni fond preduzeca povecan je od 5 620 000 dinara na 5 844 800 dinara. Koliko je poveejlIJje u procentima?

so

7..a

423.

~ri transportll povree kalira 8%, tako da sada tezi ~;e ki lograma povrea kuplj eno? 425.

10 040 kg. Kohko

Na jednom krosu 1I toku trke otpalo je 15%, te su na cilj stigla 102 ucesnika. Koliko je ucesnika stanovalo? 51


426.

PI; kupov ini robe za gotovo dobij a se popust od 2, 5% . Ako j e na racunu 14 040 dinara. Kolika je prodajn a cena robe ?

440.

Ka mallla s topa na ulog orocen oa 6 mescci iznosi 75% Kolikl JC ul og ako Je na kraJu obracunato 45 000 di nara kamale?

427.

Sa gubitkom od 2%, trgovinsko preduzeee proda 15 400 kg povrca za 452 760 dioara. Kolikaje bila kupovna cenajednog ki lograma povrea?

441.

Sa koj ol11 kamaln om stopom ul og od 540 000 dinara don<!se la 0 dan a kamatu od 4 500 dinara?

428.

Odrediti 8

442.

Zajam od 840 000 dinara sa 9% kamatne Slope U7..e1 jc 15. mana Kada Je vraeen dug ako jc na ime kamate placeno 8 400 dinara?

429.

Posrednicka provizij a iznosi 636 dinara. a racunat a j e od 424 00 0 dinara. Odredi ti promilnu stopu.

443.

Zaj edno sa 8% kamale za 4 godine dU7 ni k jc ispl alio dug sumom OU 132 000 dinara. Koliki je bio dug, a koliko je plallo na Im<! kamale')

430.

Proviz ija 7%0 iwosi 602 dinara. Od koj e je sume racunata?

444.

431.

Troskovi su opteretili robu sa 17%0, tako da roba kosta 292 896 dinara. Koliko iznose troskovi?

Sa 6% kamate jedan ulog pora le za 75 dana na sumu 121 500 dlnara. Ko li ki je 1I10g?

445.

Sa 2%0 provizije roba je llstllpljena za I 251 999 dinara. Kolika j e bila kupovna cena robe?

Po odbitku 4% kamale za 3 godine duzni k je primio 440 000 dinara Kojll su mu duzni k treba da vrali posle 3 godine?

446.

Da Ii ee se promeniti pov rsina pravollgaonika i za koliko (u procentima) ako mu se duzina poveea za 30%, a sirina smanji za 30%?

Zaj edn o sa kamtom 9% za 80 dana povcri lac je primio 234 600 dlnara. Kolik i j e kapital , a ko lika kamala?

447.

l edna knjiga j e za 25 % skuplj a od druge knj ige . Za ko liko procenata je druga knjiga jeftinija od prve knjige?

Po odbitk u 7% kamare za 55 dana, banka je isp la tila 7 12 300 dmara. Od koje slime je racunala kamata i koliko ona iznos i?

448.

Cena nekoj robi poveeana j e za 50 % . Z a koliko procenata nOVll cenu treba smanjiti da bi se vratili oa slaru cenu?

Zajedno sa kamatom 6% za 60 dana, duzni k je platio 222 200 dmara. Koli ki j e kapital, a ko lika j e kamata?

449.

Po odbi lku 6% int eresa za I J 0 dana duznik je po rnenicnom z.:lJmu primio 147 250 dinara. Na koliku sumu glasi mel1lea?

450.

Po odbitku 7,5% kamale za 40 dana duzmk je pri mlO 440 300 dinara. Koliku sumu ima da vral i?

432. 433. 434. 435. 436.

2. %0 od 3 246 000 dinara . 8

Na kontrolnoj pismenoj vezbi bila su data tri zadatka. Pri lome 12% ucenika nije resilo ni jedan zadatak, 32% ucenika res ilo j e j edan iI i dva zadalka, dokj e 14 ucenika resilo sva tri zadatka . Koliko je ukupno uceoika radilo vezbu'! 4.5. Kamatni racnn

Primedba. Ako je K lllog (kapita!), p kamatna stopa, / kamata, godinama, m vreme u mesecima, d vreme u danima, tada je:

/ = Kpl. 100'

I

= Kpm . 1200 '

/

=

I

vreme u

Kpd . 36000

437.

Stedisa je ulozio 540 000 dinara na stednju sa 7,5 % kamatne stope. Koliko ee kamate dobiti stedisa pos le 4 godine?

438.

Koliko kamate donosi ulog od 108000 dinara, po 8% kamatne stope za 4 meseca?

439.

Kolika je kamata na dug od 75 000 dinara sa 6% za 80 dana?

52


V

GLAVA

455.

Dokazati dasll dva pravougla trollgla podudama kada su im jednaki elementl (a I b katete, c hipotenllza ~ougla): a)a=a l ib=b,; b)a =a ,'a=a' c)b=bI' C=C' \ " I '

456.

Trouglov i ABC i A,BIC I su podudarni ako su D i D unutrasnje Tacke stranice AB i AIBI(A -D - B , A, -D , - B,) i'akoje LBCD == LB,C ,D ,. Dokazati da je AD == AID ,.

457.

Na visin.i CD koj a odgovara osnovici AB jednakokrakog trougla ABC uocena Je tacka M, koja je spojena sa temen ima A i B. Dokazatl da Sll trougl ovi AMC i BMC podudami .

458.

Dokazati da Sll trouglovi ABC i ABC podudami ako su imJ'ednake . . I 1 I VISlne CD = CID" uglovi L CAD = C I AID I i L CED = L C I B I D I"

459.

Dokazati da su trollglovi ABC i AlBIC, podudami ako su im jednake visme CD = CID I i duzi AD = A I D I i BD = B I D \.

460.

Dva jednakostran icna trougla su podudama ako su im jednake vi sine. Dokazati.

461.

Dva trougla su podudama ako su im jednake po jedna srranica. vis ina i medij ane, koje odgovaraj u tim stranicama. Dokazati .

462.

Ako je prava s simetrala duzi AB i M E s, tada je AM = ME. Dokazati.

5. IZOMETRlJSKE TRANSFORMACIJE 5.1. Podudarnost figura Primedba. U geometrlJl ve liku primenu ima pojam podudarne fi gure: duZi , uglova, trouglova itd . Dve figure su podudame ako postoji preslikavanje koje ih dovodi do uzajamnog poklapanja. Ako su dye figure podudame njihovi odgovarajuci elementi su jednaki . Kod podlldamih trouglova vazi ekvi valencija ' C!.ABC == C!.A IB IC I "" AB = AlB , II B C = B, C I II CA = C, A, II liL A = LAlli LB = LBIII LC = LC I · Minimalan broj uslova da dva trougla budu podudarna daju se sledecim stavovima 0 podudamosti trouglova. 1°. Stay SUS: AB = AIBIII AC = AICIII LA = LAI => !'lABC == !'lAIBI C I . 2°. Stav USU: LA = LAI II AB = AIBI II LB = LBI => !'lABC == !'lA,BIC I .

3° .. Stav SSS: AB = AIBIIIBC =BIC IIICA =CI A I => !'lABC == !'lAIBIC I . 4°. Stav SSU: AB = AIBIII AC = AIC I II LC = LC I II AB > AC => !'lABC == !'lAIBIC, .

463.

451.

a) a = a" b = bl i h, = h~;

b) a = ai'

452.

a) a = a I'

b) c = c I' hC = hit = t CI Ct C

453.

a)b=b"sy = s" iY=YI;

454.

Dokazati da su dva jednakokraka trougla podudama kada su im jednaki elementi (a osnovica, b krak jednakokrakog trougla): .

C

= cit = t C'J'. 1 C

a)a=a"h b =h,,; 54

C

= ci

b)b=bl'Y=YI;

c)a=a"hu =hu,.

tacka A E Dx,

Trougao je jednakokraki ako i samo ako su mu dYe teZisne Iinije jed· nake. Dokazati .

465.

U svakom jednakokrakom trouglu jednake su: a) visine koje odgovaraju kracima; ===A~;;::::=:::::=:::::=:::: b) tezisne duzi koje odgovaraju ., kracima. Dokazati. ~,

466.

Primenom podudamosti trouglova izracunati sirinu reke AB ako j e B BC = CD, L 1 = L 2 = 90°. Posmatrae koji se nalazi u taeki E vidi da tacke A i C pripadaju istoj pravoj, 51 3 E a DE = 70 m (sl. 3). Data su dva podudama trougla. Dokazati: a) njihove odgovarajuce tezis ne duz i sujednake; b) njihove odgovarajuce visine su jednake; c) njihove odgovarajuce simetrale unutraSnjih uglova su jednake.

''\'

i h, = h b, .

b)c=c"a=a l is p =s ~, .

5,

464.

Oznacimo stranice trougla ABC sa: BC = a, AC = b i AB = c, naspramne uglove sa a, f3 i Y, odgovaraJ'uce visine sa , h(/ , hh i hc i simetrale uglova sa sa' S ~ i s y • Dokazati da su trouglovi ABC i A,BIC I podudami kada su imjednaki sledeci odgovaraju6i elementi (451-453):

Ako je poluprava D., si metrala ugla xDy, tacka ME

BE Dy, MA .1 Dx i ME 1. Dy tada je MA = ME. Dokazati.

467.

55


468.

469.

U trouglu ABC sU'anica BC + 2AC, konstruisana je medijana AD. TackaE j e srediste duzi DC, aK sredi ~ te d uzi AC. Presek duzi AE i DK je tacka O. Dokazati: a) T ro ugao ADO je j ednakokrak i; b) AD je simetrala ugla BAE. O at je jednakosu'anican tro ugao ABC. Na prod uzeci m a stran ica AB, BC,CA konsrru isan i su odgovarajuci odsecci BC , = AB ,

CA, =BC, AB ,

U ostrouglom trouglu ABC tacke C, ,A"B, su sredi sta redom stranica AB, BC, AC. Tacka H j e podnozje visine konstruisane iz temena A. a) Kakav j e cervorougao B, C, A,H ? b) Prave AA, i B,C, seku se u tacki K, . Ookazati daj e KB , = KC,; c) Tez i ~ ta trouglova ABC i A,B ,C, se poklapaju. O okazati .

471.

Ako su kraci BA i CA j ednakokrakog tro ugl a BAC produiena preko vrha A tako da je AE = AF , tada j e FB = EC( F E AC,E E AB ). Ookazati .

472.

Pocev od dva suprotna temena romba konstruisu se na svaku strani cu jednake duzi. Cetvorougao koji na taj nacin nastaj e j e pravougaonik. Dokazati .

473.

Ookazati da su dva trapeza podudama ako su im j ednake osnovice i dijagonale.

474.

Ova jednakokraka trapeza su podudama ako su im jednake osnovice i visine.

475.* Oat je ,Paralelogram ABCD i prava p koja sa paralelogramorn ima sarno Jednu zajednicku tacku i to je teme D. Neka su A',B ', C' podnozja normala konstruisanih iz A, B, C na pravu p. Dokazati da je AA' + CC' = BB'. 476.

Oat je jednakokraki trougao ABC i prava I koja je norma Ina na osnovicu AB. Ako prava I sece jedan krak u tacki M , a produzetak drugog kraka uN, tad a je trougao MNC jednakokrak. Dokazati.

477.* Oat je jednakostranican trougao ABC. Svaka od stranica AB. BC , CA , produzena je preko ternena B,C , A za duz d tako da je BM = CN = AP = d. Ookazati da je trougao MNP takode j ednakostranican .

56

u tro uglll ABC bi lo koja tezi~na duz jednako je udaljena od druga d va temella. Ookazat!.

479 .* O at j e j ednakokraki tro ugao ABC sa vrhom u A ' " B . k ' • 'V1SIIlom B Ako su ,z m a .oJe lacke D osnovice BC konstrllisu : DE l.AB i D/i. ~C tada Je zb, r BE + CF slalan i J'edn ak CB , . 0 0 kazal!.' ' , 480. U j ednakokrakom /:; ABC simetrala kraka BC sece produienu 0 noVICU AB u tack, D. Na pravOJ CD konstru isan je odsecak CE = DA D - C - E. Dokazat i: ' 1 tro ugao DBC je jedn akokrak i' 0 2 trougao DBE je takode jedn akok raki.

= CA.

a) Ookazati da je trougao A, B ,C, j ednakostranican; b) Ako j e P presek prav ih A, B i C, A, tacka Q presek pravih C, A i B,C i tacka R presek pravih A, B i B ,C. O okazati da j e trougao PQR takode jednakos tranican. 470.

478.

0

481.* U paral elogram~ A Bc,D tacke FiE su sred ista naspram nih stranica AB , CD . O dsecc , AE , FC dele dijagona lll BD na tri Jednaka dela. O okazat!. 482 .* U j e.dnakokrakomtroug lu ABC simetrala krakaBC sece osnovicUAB u tack, D , tako da Je A - D - B. Kada je na duzi CD racka E lakva da Je CE = AD , C - D - E, dokazati da je: 10 rrougao DBC j edn akokraki; 2 0 trougao DBE jednakokraki . 483 .* Ako se iz rna koje tacke M koja pri pada osnovici A B jednakokrakog trougla ABC konstrUisu nOim alne duzi MD i ME na oba kraka (D E AC, E E BC), zbir ovih duii je konstantan i jednak visini trougla koja odgovara kraku. Dokazati. 484.* O at je trougao ABC. Na nj egovim stranicama spolja konstruisani su j ednakostrani cni trouglovi ABM. BCN i ACP. Dokazati da su duii AN, BP i CM j ednake. Oznacimo stranice trougla ABC sa BC =a, AC = b i AB =', nasprarnne lIglove sa a, f3 i y, odgovarajuce visine sa h•. h. i h, . tezisne duii sa I a' I. i ' " i obim rro ugla sa 2s. Konstruis8ti trougao ABC ako je on zadat sledecim elemenrima (485 - 491): 485.

a) at c, 'a;

486.

a) a, fJ , h. ;

487. 488.

he' Ie ; a) a + e, h . fJ;

b) a + b, c, y.

489.

a) a + b, h., e;

b) a - b, c. fJ (a > h).

490.

a) e - a, fJ , h,(e > a); b)e, I.,fJ· b)s.fJ,h,. a) 2s, a, fJ ;

491.

a)

f3,

b)e,fJ, ' a' b) fJ, h,,, h,. b) h•. le,e.

57


492.

Konstruisati jednakokraki trougao ako su dati elementi (a osnovica , b krak): d)b-a, a,(b>a ). c)a+b,f3; b) b, h,,;

493.

Konsturisati j ednakostran ican trougao ako su dati: a) zbir stranice i visine; b) razlika stranice i visine.

494.

495.

496.

497.

498.

Konstruisati j ednakokrako-pravougli trougao ako su dati: a) zbir kraka i hipotenuze; b) razlika hipotenuze i kraka. Konstruisati pravougli trougao ako su dati : a) kateta i j edan o~tar ugao; b) ostar ugao i tezisna duz koja odgovara hipotenuzi; c) zbir katete i hipotenuze i ostar ugao; d) razlika kateta i os tar ugao . Konstruisati kvadrat ako su dati: a) zbir stranice i dijagonale; b) razlika dijagonale i stranice. Konstruisati pravougaonik ako su dati : a) zbir stranica a + b i dijagonala d; b) zbir kraee straniee i dijagonale b + d i stranica a; c) dijagonala d i razlika stranica a - b (a > b); d) razlika dijagonale i manje straniee d - b i duza stranica a. Konstruisati paralelogram ako su dati: a) stranice a, b i visina hu; b) stranica a i dijagonale d, i d,; c) duia straniea a, dijagonala d, i ostar ugao a; d) dijagonale d" d , i visina h Q

499.

500.

58

KODstruisati romb ako su dati (d, i d, su dijagonale, a - ostar ugao, h - visina, a - stranica): a) d,. a; b) d" d,; c) a, d, + d, ; d) a, d, - d, (d, > d,). KODstruisati trapez ABCD (gde su osnovice AB = a, CD = b, kraci BC = c, AD = d i visina koja odgovara osnovici h) ako su dati : a) a, b, d, h; b) a, b, c, a; c) a, b, d" d, (d, i d, dijagonale trapeza) ; d) a - b, h, d" (a> b).

501.

Konstruisa ti jedn akokraki trapez ako su dati: a) osnovice i os tar ugao; b) osnovice i dij agonala; c) zbir os nov ica, krak i dijagonala.

502.

Konstruisati pravougli trapez ako su dati zbir osnovica i obe diJa. gonale.

503.

Kon struisati deltoid ako su date obe dijagona le i jedna stranica. 5.2. Ortogonalnost prave i ra vni. Uga o pravc i ravn i

Dcfinicija. Pr~v a p nonna.lna je na ~avan lC (p.llC) ako prava p i ravan 1£ IInaJu zaJedntcku taek u P I prava p Je nonnalna na sve prave ravni 1£ koje sadrie tacku P . Kosijcv stav. Ako prava p prodi re ravan lC u taeki P i ako je pri lome ona normalna na dvema pravama a i b, koje pripadaju ravni lC i sadrZe lacku P tada je prava p nonnalna na ravan lC. ' Ugao izmed u pra vc i ravni. Ako prava p nije nonnalna na ravan :r. tada o~ tar ugao odreden pravom p i njenorn onogonalnom projekciJom p' na

ravan lC nazi va sc ugao izmedu prave p i ravni lC . Ako je prava nonnalna na ravan, ugao izmedu prave i ravni je pray. 504.

Ako su dYe ravni paralelne sa treeorn, one su paraleloe i medu sobom. Dokazati .

505.

Prava p je paralelna sa ravni lC. Dokazati da postoji jedna i samo jedna ravan a IllC koja sadrii pravu p.

506.

Odrediti geometrijsko mesto taeaka prostora sa osobinom da su sve tacke podjednako udaljene od kraj eva date duzi.

507.

Koji je dovoljan uslov da su prava i ravan uzaj amno nonnalne?

508.

Ako prava p sadrii tacke M i M" koje su podjednako udaljene od krajeva date duzi AB; dokazati da je prava p nonnalna na dul AB

509.

Odrediti duiinu projekcije duii cija j e duzina a em i kOJ3 obrazujt a projekeijom ravni ugao: a) 60°; b) 30°; c) 45°.

510.

Iz taeke M konstruisane su duzi MA i UB do ravni :r (A. BE rr) Obe duzi sa ravni lc zaklapaju ugao od 45°. Odrediti ugao izmcJu njih ako su njihove projekcije na ravan uzajamno normalne

511.

Iz taeke M konstruisana je na ravan lc nonnaln n duz AIM, duii, MA i MB , koje sa ravni lc obrazuju ugao od 30·. a ugao od 60°. Odrediti rastojanje izmedu tal!aka A I B.

9


512.

513.

514. 5]5.

516.

Iz tacke M konstruisane su do ravni n kose duzi ,),fA = 20 em i ME = 15 em. Projekeija prve duzi oa ravan 1r je 16 em. Odredit i projekciju druge duzi. Prava p prodire ravan:rr u lacki K, a prave a i b pripadaju ravni :rr i an b = {K}. Ako prave a i b zaklapaju jednake uglove sa projekeijom p, prave p, one zaklapaju jednake uglove i sa pravom p. Dokazati. Dale su dYe mimoilazne prave p i q i taeka A. KonslTuisali pravu koja sadrZi tacku A i normalna je sa pravama p i q. Dat je jednakokraki trougao osnoviee AB = 6 m i kraka AC = 5 m. Osnovica pripada ravni n, a vrh C je na rastojanju 2 m od ravni . Odrediti ugao izmedu ravni :rr i ravni lroug la.

520.

Dokazati da je moguce kon 'l ' . .. lezis nim linijama dalog lro~~~,~~~rollgao clj e su slranice jednake

521.

i AD k . . Nad vektorima .. .. onstruisan je paralelogram ABCD. Od redlll dljagonale paralelograma u fu k ... atl ve klora. _ n Cljl d'h

522 .

Nad je paralelogram. 1= Zllu, '1' <un k... vektorima AB i AD konstruisan _ _ eljl AB i AD veklore: OA, OB, OC, aD, gdeje AcnBD = /O} .

523.

Dljagkolnale romba ABCD su AC i BD. lzrazili preko njih vektore kOJi se po apaju sa slranteama romba.

524.

Sredista slranicaAB, BC,CA lrougla ABC su redom lackeC I B a M j e prol zvoljn a laeka ravni lrougla. Ookazali da je " /" "

AS

MG, = MA+ MB+ MC.

Tacka A pripada jednoj slrani pravog diedra. a lacka B drugoj . Projekeije tacaka Ai B na ivicu diedra su tacke A, i B,. Odrediti uglove koje duz AB obrazuje sa Slranama i ivieom diedra ako je AA, = BB, =aem i A,B , : AA, =../2.

525.

Ako je T tei isle trollgla ABC. lada je TA + TB + TC = O. Ookazali.

526.

Oa Ii ~u sredi sla straniea proizvo ljnog Celvorougla lemcna paralelograma?

5.3. Vektori

527.

Oal je pravilan sestougaonik ABCDEF.

MA,+ MB,+

a) Ako su A" B" C" D" E" F, sredine nj egovih strana AB BC CD DE, EF, FA , dokazati da je ' , .

Vektor. Orijentisana duz naziva se vektor. Ureden par taeaka (A,B) odreduje vektor AB, odnosno (A,B)

= AB.

AA,+BB>CC,+DD,+EE,+FF, = (j.,

Suprotan_vektor, vektoru (A,B)je vektor(B, A), odnosno (A,B) = -(B, A).

-

Nula vektor je vektor (A,A) = O.

b) Ako je AA, = m, BB,

-

---- -AC,DD"EE, ,AD,CC, ,FA,AE.

-

Proizvod realnog broja k i vektora v je vektor k v sa svojstvima

-

-

-

528.

1°. Intenzitet vektora k v je Ik vl=lk 1 '1vb

- 2°. Vektori vi k v su istog pravea, - 3°. Vektori vi k v su istog smera ako je k > 0 i suprotnog smera ako je k < O. 517.

519.

-

-

a) AC = 2MK;

- 1(--)

b)MK="2 BC + BA . 529.

b)3u-2v.

Cetvorougao cije dijagonale se uzajamno po love je paralelogram. Dokazati. ~ka3 je ~dgte straniee

AB+AC=2AM.

60

U t:.. ABC tacke M i K su sredi§ta Slraniea AB i Be. Ookazali daje:

Dati su vektori u i v. Konstruisati vektore jednake:

a)3u+2v; 518.

=~, odrediti vcklore

BC trougla ABC. Ookazati da je

Dal je pravilan

seslougaon~ABCDEF .

Ako

1:.- AB = p,- BC = q.-

izracunati vektore CD, DE, EF. FA, AD, EA , AC.

530.

Datje

t:.. ABC,

gde je AC = a, BC

= -b. Nad AC konslrui

aD Je

kvad-

rat ACDE a nad BC, lakode kvadral BCFG. Ako Je AD = P ---_._BG = q, odredite vektore EF, DF, FG , DE u funkciji a, b, pI q

I

61


= PQ c::-

539.

= NQ.

531.

Ookazati ekvivalenciju 1\r£N

532.

Oatje kvadrat ABCD, gdejeCE II BD, E E AD (s lika 4). Ookazati:

- - - aj AC+BD = AD+BC; - - -

-

MP

533,

540 .

-

-

534.

'(--)

2'

AB+ DC . Ookazati.

,

,

Neka su~, ako j e:

=~, CA

=

p, 0 2C = g,

. -

Neka su K~ L, M iN sredi~ta stranica AB, Be, CD, DA ¢Ctvorougla ABCD. Pnmenom vektora dokazati da se duzi MK i NL seku u tacki S koja polovi svaku od ovih duzi.

542 .

U trouglu ABC tacke Pi Q dele, redom, stranice BA i Be u odnosu BP:PA=3: 1, BQ :QC=3: 1. Pomocu veklora dokazati da je PQ II AC

543.

Oat je cetvorougao ABCD. Neka su E i F sredine stranica AB i CD. Tada je:

bi ~ proizvoljni vektori . Ispitati kolineamost vektora p i q

-

p= .fi~+ b i q= 2~+ .fib; b) p= bi q= ,J5b; c) p= ~- 2.J3b i q= .J3~- 6b;

536.

d) Ako je G

544.

-

545.

1-

1-

-

duzi EF. tada je 4AG = AB+ AC+ AD;

b)a- b;

.

J

b= (2.- ~

Odrediti vcktore:

c)3a+2b; d)2a-4 b.

-

-

-

Oati su vektori a = (m- I)i +(3m+ 4») i b = (m + I) i + (3m+ 4)j, gde j e m realan parametar. Odredili:

-

-

a) vektor v = 2a- 36 b: b) za koje vrednosti parametra m vektor v je nula vektor? 546.

Vektor ~=(4,2) razloziti po vektorima ;=(2,-1) i b={-4.3). Odrediti koeficijente razlaganja.

547.

Dati su vektori

ABeD, tada jc:

4MO =.&£4+ MB+ MC+ MD, gde je 0 tacka preseka dijagonala paralelograma. Dokazati.

sred i~te

-

Ako je M proizvoJjna tscka u ravni trougla ABC , tada je 1 MI' = '3(MA+ MB+ MC), gde je tacka T tezi~ te trougla. Ookazati.

538. Ako je M proizvoljna tatka u ravni paraJelograma

-

Dati su vektori ; = (- 5,3) i a) a+ b;

I

q = a- b kolineami? 537.

-

e) GA+ GB+ GC+ GD = O. Ookauni .

Neka su a i b proizvoljn i vektori. Kada su vektori p = a+ b

- --

1-

2

d)p = 2a i q=3a+c;

p= 2~- b+ ~ i q= 2.J3~- J3b+ J3~

1-

aj EF+-AB+-DC = AC; b) EP+ - BA+ -CD = BD' 2 2 2 2 ' 1c) AC+-BD = AD+BC = 2EF;

aj

e)

AB-DC . Ookazati . 2

54 1.

SI 4

izracunati 0 20J' 010 ) i 0 2 0 1 ,

ve~to­

Neka su M. i N sredista neparalelnih strani ca BC i AD lTapeza ABeD, a~ F presecnc tacke duzi IvfN j dijagonala .Ie i BD. Tada JC EF =

Oat je jednakokraki pravougli /j, ABC . Nad slranicama su konstrllisani novi jednakokraki pravougli trouglovi BCO p A CO~ i ABOl · AkojeCB

535.

,

Dat je trapez ABCD. Ako je M srediste stranice AD, N srediSte stran icc BC. tada je MN =

sredi,S.::.-.duzi AM , P srcdgte duzi BC. Razloziti vektor NP po rima AB i AF.

,

bj AB+BC+CD = AB+CE.

Oatje pmvilan sestougao ABCDEF. Neka su M sredislc duti DE N

~ = (4,-12), b= (5,- 1) ~ ~ = t3,5).• Dokazali da po-

stoje dva realna broja min lakva da je a = mb+ nco

63 62


548.

-

..

-

Dati su vektori a=(4,1), b=(5,-I)

c = (3,5). Vektor c raz loziti

558.

Odrediti ose simetrije figure koju obrazuju: a) praya I kruznica; b) dye prave; c) dye kruznice; d) dye koncentricne kruznice. Koja od oyih figura ima vi~e osa simetrije i koliko?

559.

Date. su koncentricne kruzn ice k(O, r), K(O,R) i prava p. Dokazati ImphkaclJu: (K n pIA, B} II k n p = {C, D}) => AC =BD.

560.

Date su dye koncentricne kruznice K , (0 , r) , K , (0 ,r, ).I .. K J (S) ,rJ â&#x20AC;˘ Dokazall Implikaciju: --

po vektorima a i b. 549.

Datje vektor; =

A~" sa pocetkom A,Sx"

y,) i krajem A, (x" y,).

Odrediti Dekartove koordinate vektora a. 550.

Data su temeoa trougla u Dek3..ltovom koordinatnom sistemu

A( I, - 4), B( 2, 3) i C( - 5, 4). Odrediti Dekaltove koordinate vektora AC, BC i AB i zatim izracunati njihove intenzitete.

551.

Data su temena cetvorougla A( -4,

-22, B(5, - ~C~3) i D( -

5, 0).

Odrediti koordinate vektora: AB, AD, AC, BD, BC i CD, zatim U pravouglom koordinatnom siste~u apscisa vektora a je 6. Ako je

lal = 553.

Odrediti realan parametar m, tako da vektori budu kolioeami.

555.

Data su tri temena paralelograma A(2, 5), B( - I, 2) i C( 6, I). Odrediti cetvrto teme 0 paralelograma.

556.

Sila F

C/

-= 3- 4{.- razlo!eoaje oa dye kompooente, od kojih je Iedna i-

data vektorom F, = 2 i + 8 j. Odrediti drugu komponentu si le F. 5.4. Osna i centralna simetrija 5.4.1. OSNA SIMETRIJA Osna simetrija u odnosu na pravu s je preslikavanje koje proizvoljnu tacku M preslikava u tacku M' = 0 ,( M), tako da je prava s simetrala duii MM'. d,!

Prava s je osa simetrije. Simbolicki: 0, (M) = M' "" s simetrala duzi MM '. 557.

64

Syaka . ~acka M koja pripada jednoj od poluravni odredeoom osom slmetrlJe date duzi AB bliia je onom kraju iste duii koja pripada istoj poluravOl kOJoJ pnpada I tacka M. Dokazati .

562.

Konstruisati trougao najmanjeg obima ako mu dva temena pripadaju kraclma datog ugla, a trece teme se poklapa sa datom tackom u oblasti datog ugla.

563.

Konstruisati romb ako jedna dijagonala ima duiinu d i pripada datoj prayoj a, a krajeYi druge dijagonaJe pripadaju datoj pravoj b i datoj kruzoici K.

564.

Konstruisati trougao ako je pozoato: b, he i a + c.

= (3,-2) i b = (111,4)

554.

Koliko osa simetrije (u ravni) ima: a) kvadrat; b) prayougaonik; c) krui:nica; d) ugao; e) praya; f) dui?

""OIca

561.

10, odrediti ordinatu vektora a.

Odrediti y, tako da tacke A( 1,3), B(3, 5) i C( 4, y) pripadaju istoj pravoj. _

IU

(K, nK J = {A,B}IIK,nK J = {C,D})=> => (AB II CD II AC = BD II AD =BC).

izracunati njihove ioteozitete. 552.

1. _ . . . .

565.* Na obali reke treba da se izgradi vodotoranj, odakle se vodovodom povezuju naselja A i B sa iste strane reke. Odrediti optimaloo mesto yodotomja da duzina vodoyoda bude mioimaJna. 566. * Dati su L xOy i praya p. Koostruisati kvadrat cija dva suproma temen a pripadaju kracima datog ugla, a druga dva pripadaju datoj pravoj p . 567.* U dati trougao upisati trougao oajmanjeg obima cije se jedno teme poklapa sa datom tackom oa j edooj stranici datog trougla. 568.* Konstruisati jedoakokraki Irougao datog obi rna i visine koja odgovara osoovici. 569. * Simetricoe slike ortocentra trougla u odnosu oa srranice trougla pripadaju opisanoj kruZoici oko trougla. Dokazati. 570.* Konstruisati pravougaonik ako su dati jedna srranica i zbir dijagonale i druge stranice. 65


571.* Konstruisati pravougaonik ako su date stranice a i razlika dij agonale i druge stranice d - b. 5.4.2. CENTRALNA SIMETRlJA CentTalna sirnetrija. U OdDOSU na tacku S je preslikavanje koje proizvo ljnu tacku M preslikava u taaku M' = M) takvu daje S sredi ste duzi MM'. Tacka S je centar simetrije.

pravougaonika, a u odnosu na manj e stranice dva puta je bliZi jednoj od druge. Odrediti granice parcele. 580.

U trouglu ABC tacke A,B,C, su sredista stranica trougla. tacka T je teiiste trougla, a A" B"C, su sred ista odgovarajucih duzi TA, TB. TC . Trouglovi A,B,C, i A,B,C, su simetricni u odnosu na lacku T. 00kaz ati .

581.

Na suprotnim (naspramnim) stranicama AB i CD paralelograma ABCD konstruisane su duzi AM = CN. Prava MN sadrti presecnu tacku dijagonala. Dokazati .

582.

Na produzecima stranica paralelograma ABCD konslruisane su lacke A" B" C" D, , tako da su tacke B, C, D. A sredisla odgovarajucih odsecaka AA" BB" CC" DD ,. Kori sleci centralnu simetriju dokazali da je cetvorougao A,B,C ,D, paralelogram.

583.

Ako su tacke A i B, C i D dijametralno suprotne tacke dveju koncentricnih krumica, tada su odsecci AC i BD j ednaki i paralelni, iii pripadaju jednoj pravoj . Dokazati.

584.

Dve spoljasnje kruznice jednakih poluprecnika sa jednom zajednickorn tackom odsecaju Da pravoj , koja sadrZi zajednicku lacku, jednake tetive. Dokazati .

a.c

ok!

Simbolicki: a,(M) 572.

573.

= M'¢SM = SM'.

Konstruisati simetricnu sliku datog cetvorougla u OdDOSU oa centar sirnetrije koji: a) De pripada cetvorouglu; b) pripada cetvorouglu ; c) pripada jednoj stranici cetvorougla ; d) poklapa se sa jednim temenom cetvorougla. Konstruisati simetricnu sliku polukruga u odnosu na centar sirnetrije koji : a) De pripada polukruznici; b) pokJapa se sa centrorn polukruga; c) pokJapa se sa jedDim krajem precnika polukruga.

574.

Dati L xOy preslikati centralDom simetrijom u odnosu Da tacku S (sl. 5).

575.

Dve duzi su centralno sirnetricne prema jedDoj tacki 0 ako i sarno ako su paralelne i r ndudame. Dokazati.

Konstruisati pravougaonik ako je dato jedno teme i dYe l.acke na suprotnim stranicama, koje su si metricne u odnosu na sredlste pravougaonika. 587. Dati su kruini odsecak i tacka M u njemu . Konstruisati duz. cijijedan kraj pripada luku, drugi tetivi odsecka, a tacka AI Je sredl Ie duzi. 588.* Dati su u ravni 1:1 ABC i prave p i q (p.L q). Neka su a, i a y dYe osne simetrije datog trougla. Dokazati da je: . . a) a p(1:1 ABC) o a y CI:1 ABC) = a ,(1:1 ABC), gde Je a . centralna Sl metrija i p n q = (S); b) p_CI:1ABC ) = a . (1:1 ABC), (a= 180°). 586.

x 51. 5

576.

Koliko ceDtara sirnetrije irna figura sastavljena od: a) dye prave koje se seku; b) dye paralelne prave; c) tri paralelne prave razlicito udaljene jedna od druge?

577.

Svaka prava koja sadrii presek dijagonala paralelograma i sece jednu stranicu, sece i suprotnu stranicu. NjeD odsecakje raspolovljen preSeCDOrn tackorn dijagoDala. Dokazati.

578.

Date su tacke A, prava a i kruznica K( 0, r). KODstruisati duz MN sa sredi§tem u tacki A i krajevirna na pravoj a i kruZDici K.

579.

Poplava je uDistila granice pravougaone parcele cija je jedna straDa tri puta veca od druge. Na jedDoj od duzih strana parcele nalazi se pumpa za vodu, a na suprotnoj jedno stablo. Takode, Da parceli se nalazi jedan elektricni stub podjednako udaljen od duzih stranica

66

585.* KODstrui sati trougao ako su date sve tri teiicne linije.

589.* Ako : u a p i a y dYe osne simetrij e neke ravni 1C takve da je p 1. q i

p n q = IS}, dokazati : a) a p 0 a q = a j.; b) a p

°

ay

=a

y

0

a p'

67


t:,. ABC jednaka je i paralelna duzi ~iji su krajevi centri opisane i upisane kruzmce t:,. A' B'C'. Dokazati .

590.* Datje trougao ABC. Ako je p_ (a = 180°) rotacija oko temena A datog trougla, a a

A

centralna simetrija istog trougla, dokazati da je

597.* Konstruisati jednakostran i ~an trougao date stran ice a cij a dva temena pnpadaJu dvema datlm paralelnim pravama, a trece teme trecoj pravoj koja sece date paralelne prave.

OA=P a- · 5.5. Translacija Translacija. Nekaje M bilo koja tacka ravni, a vbilo koji vekt~r. Preslikaje _ MM' = vanie koie tacku M preslikava u M', tako Jef.da _ :J J

v

naziva se

translacija (pornak). Simbolicki : T Ii (M) = M' ¢> MM' = v. 591. Dat je kvadrat ABCD. Odrediti njegove slike nastale translacijom tako da se: a) terne A preslikava u teme C; b) teme A preslikava u srediste straniceBC; c) terne B preslikava u presek dijagonala. 592.

593.

Dat je jednakostranicni trougao ABC. Odrediti njegove slike nastale translacijom tako da se: a) terne A preslikava u A' (BA' = A'C); b) sredi~te stranice AB preslikava u srediste stranice AC. Dataje kruznicaK (0, R) sa precnikom AB. Odrediti translacije koje preslikavaju: a) tacku u tacku A; b) tacku A u srediste poluprecnika OB; c) tacku B u datu tacku M kruznice.

°

594.

tacke B i C tako da B E Ax iCE Ay i da je BC = v iii CB

= v.

601.* Preseci dati trougao ABC pravorn, tako da vektor na oyoj pravoj, izrnedu dye stranice trougla, bude jednak datorn vektoru v, koji pripada ravni ovog trougla. 602.* Date su dye kruznice K" K , i prava p. Konstruisati pravu n paralelnu sa pravom p , na kojoj kruinice K, i K , odsecaju jednake duzi. 603.* Date su kruznice K(O,r), K,(O, r) i dui AB. Konstruisati duz paralelnu i jednaku datoj duzi, a da krajevi pripadaju datim kruinicama. 604.* Dati su vektor~, prava p i kruznica K(O, r) . Konstruisati vektor jednak datorn vektoru v, tako da rnu jedan kraj pripada pravoj p, a drugi kruZnici K. Odsecak prave, koji sadrZi srediste jedne stranice trou.gla i paralela~ je sa drugom stranicom trougla, Jednak Je POlovlru te stramce I polovi i treeu straniou trougla. Dokazati.

a) v= AB;

606.

Konstruisati trapez datih osnovica a i b (a > b) i dijagonala did, .

b)v=BC;

607.

Konstruisati cetvorougao ako su date sve ceriri stranice i du:i koja je odredena sredistirna dYe sup rome stranice.

c) v= CA.

60S.

Konstruisati trougao ako su dati jedan ugao i visine koje polau iz temena druga dva ugla.

609.

Konstruisati trapez ako su dati: a) osnovice i uglovi na veeoj osnovici; b) razlika osnovica, oba kraka i jedna dijagonala; c) obe dijagonale. ugao izmedu dijagonala I krak.

Translacijom preslikati dati trougao ABC za vektor v:

-

Dat je trougao ABC. Translacijorn za vektor u = AA, (AA, tezisna du:i tro~gla) preslikati dati trougao u t:,. A'B'C', zatim translacijom za vektor v= AB preslikati trougao A'B'C' u t:,. A'B'C. Odrediti translaciju za koju se t:,. ABC preslikava u t:,. A'B'C.

596.

600.* Dati su Lx Ay i vektor v, koji pripada rav~ovo.? ug~ O~editi

60S.

-

595.

59S.* Konstruisati jednakostranican trougao date stranice a cija dva temena pripadaju dvema datim paralelnirn pravama, a trece datoj krufuici. 599.* Date su prave '" I"~ I, . Konstruisati duz date duzine, paralelnu sa , , ciji krajevi pripadaju prav.ama " i I,. '

Dati su trougao ABC i njegova slika t:,. A'B'C', dobijena nekorn translacijom. Du:i ciji su krajevi centri opisane i upisane kruxnice 69

68


610.

Dokazati da j e:

a) I ... AB

b)

Iii

0

61 6.

Trollgao A" B" C, j e slika IJ. ABC pri rolacij i za A = 90 0 oko datog centra rotacije. Medijana A, M, IJ. A,B,C, je nonnalna med ijani AM IJ. AMC. Dokazati .

617.

Nad stranicama AB i AC IJ. ABC konstru isani su jednakostranicni trouglovi ABE i A CF. Ako se tacke C i E nc nalaze sa iSle strane stranice AB, a FiB se nalaze sa iste stranc stranice AC, tada je EF = BC. Dokazat!.

618.

Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhorn u daloj lack i A i datim uglom pri vrhu a, tako da mu temena osnove pri padaju datoj pravoj I i datoj kruznici K( 0,1').

619.

U dati trougao upisati j ednakokraki trougao ako su dati ugao pri vrhu i polozaj tog vrha na jednoj stranici datog trollgla.

620.

Dati su ugao xOy i tacka A u oblasti ugla. Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhom u A i uglom ii = 30°, dok os ta la dva temena B i C pripadajll kracima datog ugla.

t... = 1 ... ;

0

Be

tv =

Al lii+ii ;

C)t ijo /_ii=l a ;

d)

I .... AB

e) Iii

0

0

1 ...

0

t ...

He

tv =

CA

Iv

0

= (. . . ; 0

'ii-

(I ;; identicno preslikavanje).

5.6. Rotacija Rotacija. Ako je M bilo koja tacka ravni. tacka 0 data tacka i a orii,entisani ugao iste ravni. Kazemo daje M' slika ori ginala M doblvena rotaclJom oko lacke 0 za dati ugao; , ako je OM

=OM ' i LMOM ' =;.Tacka 0 je centar

rotacije, a ugao rotacije. Simbolicki : def

p . (M) = M' ¢> OM = OM' /\ LMOM' = a . O.a

611.

Oat je trougao ABC i ugao a = 120°. Rotirati dati trougao za dati ugao: a) ako se centar rotacije poklapa sa jednim tern en om trougla; b) ako centar rotacije pripada datoj tacki 0 van trougla .

612.

Rotirati oko date tacke za dati ugao : a) jednakostranicni trougao; b) kvadrat; c) kruzoicu; d) pravilan ~estougao.

613.

lzvr~iti rotaciju datog trougla

614.

Data su dva podudama, orijentisana u istom smeru, trougla sa neparalelnim stranicama, koji pripadaju istoj ravni. Odrediti centar i ugao fotacije koja preslikava jedan trougao u drugi.

615.

Oat je kvadrat ABCD. Neka je K srediste stranice AB, L srediste stranice BC. Odrediti centar rotacije i ugao fotacije koja preslikava: a) duz AK u BL;

70

ABC oko tacke S za 60°.

- -

621.* Konstruisati jednakostrani cni trougao cija temcna pripadaju trima datim paralelnim pravama. 622. * Konstruisati jednakostranican trollgao, tako da mu temena pripadaj u trima datim koncentricnim kruznicama . 623.* Date su tri paralelne prave. Konstruisati kvadrat, tako da mu temena pripadajll datim pravama. 624.* Date su tacka A i dye paralelne prave p i q. Konstruisati jednakostranisan trougao cije je jedno teme data tacka A, a ostala dva pripadaju datim paralelnim pravama. 625.* Konstruisati kruzni luk ako je dato srediste, odgovarajuci central ni ugao, a da krajevi luka pripadaju dvema datim pravama. 626.* Konstruisati kvadrat sa jednim temenom u datoj taaki A, a temena B i D pripadaju dvema datim paralelnim pravama. 627.* Konstruisati kvadrat sa jednim temenom u datoj tacki A, a temena B i D pripadaju dvema datim koncentricnim kruZnicama. 628.* U dati kvadrat upisati jednakostranican trougao cije jedno teme pri· pada datoj taaki na jednoj stranici kvadrata. 629.* Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhom u datoj tacki i uglom pri vrhu 52° 30', tako da mu temena os nove pripadaju dvema datim krumicama.

b) vektor AK u LC.

71


5.7. Neke vafnije teoreme

trouglu, cetvorouglu. mnogouglu i kruznici

0

1°. Ako su a,/3,y unutrasoji uglovi trougla, a a"/3,, y, spoljasnji uglov i. tadaje: a + /3 + y = 180°, a, + /3, + y, = 360 °. /3 = a + y. 2°. Ma koja stranica trougla manjaj e od zbira druge dYe, a veca od njihove razlike. 3°. Ako su a,/3,y,o uoutraSnji uglovi, a a"/3"y,, o, spo lj asoji uglovi cetvorougla, tadaje a + /3 + y + = 360° i a , + /3, + y, + 0, = 360°. n(n - 3) 4°. Broj dijagonala n - ugla j e D n = 2 .

°

5° . Zbir unutrasnjih ug lova n - ugla je Sn = (n - 2) . 180°. .. . . (n-2)·1 80° 6°. UnutrasoJI ugao pravllnog n - ugla Je a = . n 360° 70. Centarlni ugao pravilnog n - ugla je E = - -. n 360° 8°. Spoljasnji ugao pravilnog n - ugla je /3 = - - . n 630.

631.

632.

Mogu Ii memi brojevi unutraSnjih uglova t:rougla da zadovoljavaju razmere: a) I : 2 : 3; b) 3 : 7 : 8; c) I : I : 2 ? Ako mogu, izracunati uglove. U trouglu ABC L A = 25°, L B = 68°. Kroz nj egova temena konstruisane su prave paralelne naspramnim stranama. Izracunati uglove trougla koj i cine ove prave. Odrediti oblik trougla (prema uglovirna) ako je jedan unutrasnji ugao : a) jednak zbiru druga dva; b) veei od druga dva; c) manj i od druga dva.

637.

U ~roug~u A BC simetrala CD ugla y sece stranicu A B pod uglom 'P - 110 . Izracunatl lIglove trougla ako se zoa da je CD =Be.

638.

U ~roug~u ABC simetrala CD ugla y gradi sa stranicom AB ugao 'P - 100 . Izracunatl unutrasnJe uglove trougla ako je BC =CD. Simetrala AE ugla a i visina CD grade ugao .n • . uou. .,.. = 500. Izra~unatl trasnJ e uglove trollgla ako je AE = BE .

639. 640.

Sime~ale ugl ov~f3 i y trougla ABC grade ugao'P. Akojea : cp = I : 2

/3 . y -

I . 4. Izracunatl unutraSnJe uglove lrougla.

641.

U pravouglom . trouglu ugao koji zahvalajll hipotenuzina visina i hipotenuzma tezisna duz je 28°. Odrediti ugao izmedu hipotenuzine tefisoe duzi i simetrale pravog ugla.

642.

U j ednakokrakom trouglu ABC (AB = BC), simetrala ugla BAC i visma AD kOJa odgovara kraku obrazuju ugao od 18°. lzracunati uglove trougla ABC.

643.

U trouglu ABC (BC > A C) uglovi a i /3 razlikujll se za 30°. Ako je D tacka na stranici BC, takva da je AC = CD . [zracunati LBAD.

644.

lzracunati unutrasnj e uglove trougla, ako je poznato da jedan ugao

.

.2d

IZOOSI"3 rugog, odoosno

4I treeeg ugla.

645.

Na produzetku kraka AC jednakokrakog trougla ABC, iza tacke C data je tacka D , tako da je CD = AC. Dokazati da je trougao ABD pravougli.

646.

U trouglu ABC unutrasnji ugao kod temena C je 40°. Simetrale unutrasnjeg i spoljasnjeg ugla kod temena C u preseku sa pravom AB odredujujednakokraki trollgaoCDE.lzracunati uglove trougla ABe.

647.

U pravouglom trouglu hipoteouzina vis ina deli hipotenuzu na dva odsecka cija je razlika jednaka duzini jedne katete. Izracunati uglove trougla.

633.

Dva ugla trougla iznose 60° i 72°. Odrediti uglove koje obrazuju visine trougla koje polaze iz temena datih uglova.

648.

Ako se simetrale dva unutrasnja ugla seku pod uglom od 135°. !ada je trougao pravougli. Dokazati.

634.

Odrediti ugao pod kojim se seku simetrale spoljasnjih uglova na hipotenuzi pravouglog trougla.

649.

635.

Pod koj irn se uglom seku simetrale ostrih uglova u pravouglom trouglu?

U trouglu ABC dati su uglovi a = 44° i y = 78°. Na pravoj AB uocene su tacke DiE, tako dajeD - A - B - E i daje DA = AC i BE =BC. Izracunati uglove LADC i LBEC.

650.

636.

Dokazati da se simetrale uglova a i /3 trougla ABC seku pod uglom

Izracunati unutrasnj e uglove jednakokrakog trougla ako: a) Visina koja odgovara jednom kraku gradi sa drugim krakom ugao od 32°· b) Visine koje odgovaraju kracima seku se pod uglom od 48°;

I{J

72

= 90° + !.2

73


651.

652.

653.

654.

c) Visina koja odgovara kraku i vis ina koja odgovara osnovici seku se pod uglom od 127 0; . . d) Simetrala ugla na osnov ici sa nasprammm krakol11 gradl ugao od 69°. U jednakokrakom trouglu simetrala ug la naoosnovici i vi s ina k.o~­ struisana iz istog temena grade ugao od 15 . izracunatl unlitraSnj e uglove tog trougla.

Ako je M sre~ste stranice AC, N srediste stranice BC trougla ABC, tad a j e 2 MN - AB 1 MN II AB. Dokazati.

662.

Svaka stranica trollgla manj aje od polovine njegovog obima. Dokazati.

663 .

Zbir vis ina trollg la manj a j e od njegovog obima. Dokazali .

664.

Ako za stran ice trougla vazi a < b < c, dokazati :

a) a<

a+b+c

b) c>---":'

3

.

666.

Zbir tezisnib duzi trougla veci je od

jednakokraki.

667.

Sredista stranica romba su temena pravougaonika, a sredista stranica pravougaonika su temena romba. Dokazati.

668.

Sredista stranica j ednakokrakog trapeza su temena jednakostranicnog para lelograma. lspitati : kada je ovaj para lelogram romb, a kada kvadrat.

669.

Sredista stranica cetvoro llgla cij e su dij agonale medusobno nOTmaine Sll temena pravougaonika. Ispitat i kada je ovaj pravougaonik kvadrat.

670.

Ako je AA' tezisna duz trougla ABC, tada su tacne implikacije:

=

Na stranici AB trougla ABC uocena je tatka D tako da je BD Be. Ako je spoljasnj i ugao kod temena B 140°, a unutrasnji kod temena A 35°, dokazati da j e AD = DC.

U trouglu ABC spoljasnji ugao kod tem ena A j e 134°,. unutTasnji

Sirnetrala ugla

1

ugao pod

a trougla ABC gradi sa simetralom y, (spolj asnji

656.· Neka su u trouglu ABC uglovi fJ i y ostri uglovi i neka je fJ > Y. Do-

a) AA'

fJ-y 2 U trouglu ABC stranice AB i A C produzene su preko temena B i C i

= 90°- ~ .

.::....;-=---=<I 2

b+ c <--

Q

671.

pravog ugla obrazuju ugao jednak razlici ostrih glova trougla. Dokazati.

U trouglu ABC simetrale uglova a i y seku se u tacki M. lzracunati ugao fJ ako se zna da je jednak polovini ugla AMC.

U trouglu ABC prava p II AB i sadrZi presek S simetrala uglova a i p. Akoje pn AC = {M}, a pnBC = {N), tadaje MN = AM +BN. Dokazati .

672 •

2'

659.· U pravouglom trouglu teZisna duZ i visina konstruisane iz temena

= -BC => L A = 90°'

2

658.· Ako su a, b, c stranice trougla, a Iu tezisna duz, dokazati da je

b+c-a

njegovog obima. Dokazali.

c) AA' < BC => LA> 90°. Dokazati.

konstruisane su simetrale spoljasnjih uglova koje se seku u tacki O. Dokazati da je LBOC

~

2 ' BC b) AA' > => L A < 90°· 2 '

kazati da je ugao izmedu v isine i simetrale ugla iz temena A jednak

74

;

Zbir tei isnih duzi trollgla veci je od poluobima trougla. Dokazati.

2

660.

3

665.

ugao trougla) ugao jednak uglu fJ. Dokazati.

657.

a+b+c

U tupouglom trouglu ABC iz temena A tupog ugla konstm isana je do preseka sa BC duz AD, koja sa stranicom AB gradl ugao jednak Uglll kod temena C. Zatim je konstruisana duz AE kOja sa stranlcom AC gradi ugao jednak llglu kod temena B. Dokazati da je trougao ADE

ugao kod temena B je 62°. lzracunati trec i ugao trougla kojirn sa seku simetrale uglova kod temena A lB .

655.

661.

Ako je tacka 0 ortocentar trougla ABC, dokazati da je

L AOB

+ LC = 180°.

673.

Sredisnja duZ MN trapeza ABCD paralelna je sa osnovicama i jednaka je njihovoj aritmetickoj sredini. Dokazatt.

674.

Dokazati da j e trapez sa jednakim dijagonalama jednakokrak

675.

Ako se j ednake telive AB i CD kruznice k(O) seku u tacki P 1 ako Je PA > PB i PC > PD, tada je PA = PC 1 PB = PD. Dokazan.

75


Duzi AM i AN su tangente duzi kruwice k( 0) koje odgovaraju tacki A. U tacki P na manjem luku MN kruwice konstrUlsana Je tangenta koja sece ove duZi u tackama B i C. Dokazati da je obim trougla ABC konstantan i jednak 2 AM. 677. Zbir unutrasnjih uglova bilo kog n-trougla jednak je (/1 --- 2) . 180°. Dokazati. 678. Zbir spoljasnjih uglova bilo kog konveksnog n-trougla jednak j e 360°. Dokazati. . . n(n --- 3) . 2 Dokazat!. 679. Broj dijagonala bilo kog n-trougla Jednak Je

676.

680. 681.

Tri unutrasnja ugla cetvorougla su 75°, 105° i 100°. Moze Ii se oko ovog cetvorougla opisati kruznica? Na datoj kruwici tacke A, B, C dele kruwicu na t~i dela. [zracunati unutraSnje uglove trougla ABC ako se delov! kruZnlce odnose kao

I : 3 : 5. 682.

684. 685.

Kolnstrui sati skup taeaka iz kojih se data duz AB vidi pod datim ug om a.

691.

Na datoj pravoj p odrediti tacku iz koje se data duz AB vidi pod da. tim uglom :

692.

Konstruisati trougao ABC ako je dato :

a) 45°;

a)a,lu,a;

b) 60°; b)b, h,, /3;

c) 75°;

d) a .

C)C, fc'Y'

693.

Konstruisati proavougli trougao ako je data hipotenuza i njena visina.

694.

Konstruisati jednakokraki trougao ako je data osnovica i ugao pri vrhu.

695.

Konstruisati jednakokrako pravougli trougao ako je data njegova hipotenuza.

696.* Konstruisati pravougli trougao datog obima i visine koja odgovara hipotenuzi.

Date su kruwica K(O) i prava a. Konstruisati tangente date kruznice koje su:

697.

Konstruisati kruznicu koja dodiruje datu pravu p i datu kruwicu K (0 , R) u datoj tacki M.

a) paraleine sa pravom a;

698.

Konstruisati kruznicu koja dodiruje dYe date kruznice K (0, R) i K, (0" R,), i to prvu u datoj tacki M.

b) normaine na pravu a. 683.

690.

Konstruisati kruZnicu koja sadrZi dam tacku A i datu pravu b dodiruje u datoj tacki B. Ako su b i c katete, a hipotenuza pravouglog trougla i r poluprecnik upisane kruZnice, tada je 2 r = b + c --- a. Dokazati.

699.

Konstruisati kruznicu datog poluprecnika r koja dodiruje dye date kruznice K (0, R) i K, (0" R, ). 700. Konstruisati kruznicu koja sadrZi datu tacku A i dodiruje dYe date paralelne prave a i b. 701.* Konstruisati trougao ako su dati jedna stranica, ugao naspram nje i visina koja odgovara toj stranici.

Konstruisati kruZnicu koja dodiruje dye prave koje se seku, i to jednu od njih u datoj tacki. Konstruisati kruznicu datog poluprecnika, koja sadrZi dYe date tacke.

702.

687.* Konstruisati trougao ako su dati dva ugla i poluprecnik opisane kruwice. 688.* Konstruisati trougao ako su dati visina i tezisna duz. koje odgovaraju istoj stranici, i poluprecnik opisane kruwice.

Konstruisati pravougli trougao ako su dati: a) hipotenuza i ortogonalna projekcija jedne katete na hipotenuzi; b) ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzi.

703.

Stranice trougla ABC su: a, b i c, as poluobim trougJa. Dodim~ tacke upisane kruwice dele stranice trougla na odsecke: s - a, s --- b ! S --- c. Dokazati. Ako je krak jednakokrakog trapeza arinnericka sredina osnovica, u njemu se moze upisati kruwica. Dokazan. Tezisna duz trougla manja je od njegovog poluobirna. Dokazati.

686.

689.* a) Konstruisati kruznicu datog poluprecnika R koja dodiruje datu pravu h i datu kruznicu k (0, r).

704.

b) Konstruisati kruZnicu koja dodiruje datu kruznicu k (0, R) i datu pravu h u datoj tacki M.

705. 706.

Tezisna duz trougla manja je od poluzbira strunica izmedu kojih se nalazi.

77


707.

Tezisna duz pravouglog trougla koja odgovara hipotenuzi jednaka je polovini hipotenuze. Dokazati .

708.

Visina koja odgovara kraku jednakokrakog lrougla obrazuje sa osnovieom ugao jednak polovini ugla pri vrhu . Dokazati.

709.

Preenik AB i tetiva AC kmzniee k obrazuju ugao od 30°. Tangenla konstruisana u lacki C sece pravu AB u tacki D . Dokazati da j e lrou gao ACD jednakokraki. Na datoj pravoj odrediti tacku iz koje se dala duz vidi pod datim uglom .

710.

711. 712. 713.

U trouglu ABC odrediti lacku iz koj e se sve tri straniee trougla vide pod istim uglom. I lzracunati periferijski ugao nad kruznim Iukom jednak - kruzne . .. 12 1mlJe. Tackama A i B kruzna Iinija je podeljena na dva kruzna Iuka koji stoje u razmeri 5 : 7. izracunati periferij ske uglove koji odgovaraju kruznim lueima .

714.

Izracunati ugao izmedu tangente i tetive ako teliva deli kruznieu na dva luka u razmeri 3 : 7.

715.

Dva podudama kruga seku se pod uglom a = 60°. Izracunati u stepenima manji krufui luk odreden presecnim tackama.

716.

lz jedne krajnje tacke precnika kruzniee k konstruisane su tangenta i seciea koje obrazuju ugao a = 20° 30'. izracunati u stepenima manji Iuk izmedu tangente i seciee.

717.

U tetivnom cetvorouglu dva unutraSnja ugla na jednoj straniei iznose 152° i 134°. Odrediti dmga dva ugla cetvorougl a.

718.

Sirnetrale unutrasnjib uglova rna kog cetvorougla uvek obrazuju tetivni cetvorougao. Dokazati.

719.

U tangentnom cetvorouglu tri uzastopne straniee iznose 5 em, 9 em i 15 em. Izracunati cetvrtu stranicu cetvorougla.

720.

KruZniee k, i k, se dodiruju spolja u tacki A. Ako je prava BC njihova zajednicka spoljasnja tangenta, ugao BAC je pray. Dokazati.

721.

Ako se u tetivnom mnogouglu sa pamim brojem stranica unutrasnji uglovi oznaceredom saa"a"a J , •• • , tadajea, +a J +a , + ...= = a, + a 4 + a 6 + ... Dokazati.

722.

78

Ako se u tangentnom rnnogouglu sa pamim brojem stranica oznace stranice redom sa a" a" a J , •• • , tada je a l + a J + a, + ... = Q , + a, + as + ... Dokazati.

723.

Ako je u jednakokrakom lrouglu osnoviea a j ednaka visini koia

. .

5

J

odgovara osnovlel, tada je R = -8 a' gde J'e R poluprecn - ik oplsane . _ . klUzfllce lrougla. Dokazali . 724.* U pravouglmn trougl~ sim traia pravog ugla istovremeno j e i sime7 tral a ugla kOJ!. obrazuJu vlsma 1 tezisna duz. koje odgovaraju hipotenuzi. Dokazall. 725.

726.

Ako se iz svakog tern ena trougla i njegovog lezista konstruisu norm aine duzi na bilo koju pravu koja ne sece njegove stranice, onda je zblr normala IZ temena tn puta veci od normalne duzi iz tezista. 0 0kazan . Za unutrasnje uglove cetvorougla vaii produfua proporeija

a : 2 = f3 : 3 = y : 4 = <5 : 7. lzracunati uglove cetvorougla.

727.* U trouglu ABC izabranaje tacka M. Dokazati daj e L AMB > LACB. 728.* Na straniei DC dalog kvadrata ABCD dala j e lacka M. Simetrala ugla BAM sece stranieu BC u lacki N. Dokazati daje AM =DM + BN. 729.* Dat je pravougaon ik ABCD u kome je AB > BC. Tacka B, je simelriena tacki B u odnosu na pravu AC, a E je presek praviJl AB, i CD. Dokazati da su trouglovi ADE i CEB, podudarni. 730.* Ako su AM i BN visine trougla ABC, lada je cetvorougao ABMN tetivni. Dokazali .

731. * Neka su uglovi nalegli uz vecu osnovieu jednakokrakog lrapeza jednaki 60° i neka j e manja osnoviea jednaka kraku . Dokazati : da su dijagonale ovog trapeza normalne na kraeima. da polove uglove uz vecu osnov ieu i da se seku pod uglom od 60°. 732.

Neka su D, E iF dodime lacke upi sane kruznice u lrouglu ABC. Dokazati da su uglovi trougla DEF, 90· gde su uglovi a

733.

,f3

!:., 2 90· -

f,

90· - _

i y uglovi trougla ABC.

Simetrale uglova trougla ABC, seku opisanu kruznicu oko trougla u tackama X, Y, Z. Uglovi trougla XYZ su: 90· -

%, 90' - %,

Dokazati . (a , f3 , Y uglovi trougla ABC). 2 U trouglu ABC razlika dvej u stranica jednaka je razlici odse~. on koje je podeljeoa treca stranica dodimom lackom uplsane kruZOlce. Dokazati.

90" -

734.

f!... 2'

1::.

79


735.

Data je poluk.ruZnica precnika AB. Na kruznorn luku date su tacke D i E. Tetive AD i BE, kao i tetive AE i BD seku se u tackarna F I G (tacka F ne pripada polukrugu). Dokazati da je FG .L AB.

736.

Neka je ABCD kvadrat upisan u krug, a P je rna koja tacka na luku AD. Ugao DPA je tri puta veci, od rna kog ugla doblJenog spaJ anJern tacke P sa dva uzastopna ternena kvadrata. Dokazati .

737.

Ako se u pravilnorn petouglu dYe nesusedne stranice produze do svog preseka, oba produZetka jednaka su dijagonali petougla. Dokazati.

752.* Datj e provougli trougao ABC (ugaoC pray) . Neka Sll AD i BF simetrale lIglova (tacka D E BC, F E AC). Tacke MiN su onogonalne proj ekcije taeaka F i D na hipotenuzu. lzracunaj ugao MCN .

738.

Visina rornba polovi njegovu stranicu. Izracunati ugao izmedu visioa romba koje same terne tupog ugla.

753.

Dat je trou gao ABC. Va n trougla konstrui sani su kvadrati ABDE i ACFG. A ko jeCE n BG = {H I, dokazati daje CE =BGiC£J..BG.

754.

Izracunati uoutrasnj i ugao prav ilnog mnogougla, ako je razlika broja dij agonala i straoica 25.

755.

Koji pravilan moogougao ima tri puta veci ugao od spolj aSnjeg?

756.

Izracunati zbir unutrasnjih uglova u vrhovima petokrake zvezde.

757.

Spo ljasnji ugao pravilnog mnogougla je devet puta manji od unutrasnj eg ugla. lzracunati broj dijagonala log mnogougla.

758.

Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveea za 2, tada 'e centralni ugao smanji za 6°. Odredi ti broj dijagonala mnogougla .

759.

Koliko dij agonala ima pravi ln i mnogougao, ciji je zblr unutraSnJlh uglova I 260 ~ Za koliko se poveea zbir stranica poveea za 5? .

739.

Pr~secne tacke simetrala unutrasnjih uglova pravougaonika su te-

750.

S i rnetra l a tl~pog ugla paralelograrna sece jednll njegovu stramcu pod uglorn kOJ I Je Jednak Jednorn od uglova paralelograrna. Izracunati laj ugao.

751.

Sirnetrala ugla koga ci ne dijagonala i stranica romba obrazuje sa drugorn stranicom ugao od 66°. Izraeunati uglove romba.

rnena kvadrata. Dokazati. 740.

Datje krug sa centrorn O. Tangente konstruisane u krajnjirn tackarna precnika AB, seku proizvoljnu tangentu u tackarna C i D. Dokazati da je ugao COD pray.

741.

Projekcije dijagonale paralelograrna na rna kojoj pravoj jednaka je zbiru projekcije dye susedne stranice na istoj pravoj. Dokazati.

742.

Ugao izmedu simetrala dva uzastopna unutrasnja ugla cetvorougla jednak je poluzbiru druga dva ugla tog cetvorougla; a ugao izrnedu simetrala dva uzastopna spoljasnja ugla jednak je poluzbiru ta dva unutaSnja ugla. Dokazati.

unutra~ njih

743.

Ostar ugao izmedu simetrala suprotnih unutraSnjih uglova cetvorougla jeclnak je polurazlici druga dva ugla. Dokazati.

760.

744.

U trouglu ABC simetrale spoljasnjih uglova kod ternena B i C seku se u tacki O. Dokazati da je ugao BOC = 900 _ a . 2 U trouglu ABC, razlika uglova y i f3 iznosi 90°. Simetrala ugla a obrazuje sa stranicom BC ugao od 45°. Dokazati.

761.* Ako se broj stranica mnogougla poveea za I I, ooda s~broj njegovlh dijagonala poveea za 199 1. Odredi ti zbl r unutra~nJlb uglova tog mnogougla. 762. Na hipotenuzi B C pravougl og trougla ABC date su tacke DiE . takve . da je BE = AB i CD = AC. Izracunati ugao DAE .

746.

Vis ina koja odgovara kraku jednakokrakog trapeza jednaka je polovini vece osnovice trapeza. Izracunati uglove trapeza.

747.

U pravouglorn trouglu hipotenuza je dva puta veca od jedne katete. Izracunati ostre uglove trougla.

748.

U trouglu ABC vi sine AF i CE seku se u tacki O. Ako je CO = AB, izracunati ugao A CB.

749.

U jeclnakokrakom trouglu simetrala ugla na osnovici sece krak pod uglom, jednakim uglu na osnovici. Izracunati unutra~nje uglove jednakokrakog trougla. .

763.* Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveea za dva njegov ~ ugao poveea za 9°. Odrediti broj stranica moogougl~ (KlaslfikacloDi ispit iz rnaternatike za up is na tehnicke I rnaternatlcke fakultete u Beogradu 1991.) 764. * Tetiva kruga je za 2 manja od precnika, a odstojanje centra kruga ad tetive za 2 manje od poluprecni ka kruga. Izracunatl duzm.u teu\ e (prijemni ispil iz malernatike za UPIS oa Beogradskl uDlH fZllelJ una . 1991.)

745.

80

uglova mnogougla, ako se broJ


765.* Nekaje u trouglu ABC, AB = AC i ugao kod temena A yet i od 30掳 i nekaje D tacka na stranici BC takya daje AE = AD. lzracunati ugao EDC. (Prijemni ispit iz matematike za upi s na Beogradski uni yerzitet, juna 1992 .) 766.

Dat je jednakostranicni trougao ABC. Ako se sye tri stranice trougla produze za duzi jednake stranici datog trougla tako da j e A - B - A i A - C - B, i C - A - C" tada je trougao A, B, C, jednako~ stranicni. Dokazati.

767.* Oko trougla ABC opisana je kruZnica k i u tacki C konstruisana je tangenta 1 na nju. Ako praya p para Ie Ina sa tangentom 1 sece strani cu AC u tacki E, a strani cu BC u tacki D , tada j e cetyorougao ABDE tetivni. Dokazati . 768.* Oko trougla ABC opisana je kruznica k i u tacki C konstuisana je tangenta 1 na nju . Ako kruznica k, koj oj je precnik strani ca AB trougla ABC, se6e stranica AC i BC u tackama MiN dokazati da je duz MN paralelna sa tangentom I. 769.

770. 771.

772.

773.

Ugao izmedu krakoya trapeza je pray. Dokazati da j e zbir kyadrata dijagonala jednak zbiru kyadrata osnoyica. . U prayougaoniku ABCD je AB = 2BC. Na stranici AB dataje tacka P takya da je LAPD = LDPC. Izracunati taj ugao. U kyadratu ABCD je M srediste stranice CD , a N je srediste stranice AD. Duz BM i CN seku se u tacki E. Dokazati da je: a) BMl.CN ; b) AE = AB. Dat je paralelogram ABCD. Ako tailka FE AD, F - D - A i DF = AD. Tacka E E AB, A - B - E i AB = BE. Dokazati da je F-C-E. Ako se iz rna koje tacke na simetrali datog ugla xAy konstruisu paralele sa kracima do preseka sa kracima dobiyeni cetvorougao j e romb. Dokazati.

774.

Pod~ozja norma~a konstruisanih iz tacke preseka dijagonala romba na nJegoye stramce Jesu temena prayougaonika. Dokazati.

775.

Simetrale unutrasnjih ugloya prayougaonika obrazuju kvadrat. Dokazati.

776.

Ako je manja osnovica trapeza jednaka zbiru krakova simetrale unutr~njih uglova na vecoj osnovici seku se na manjoj ~snovici. Doka-

zall.

777.* Ako je vee a osnoyica trapeza jedn aka zb iru krakova. ~ imetrale lIgloya na manJoj osnov ici seku se na veeoj osnov ici. Dokazali . 778.* U syakom konyeksnom cervoroug lu zbir dijagonala je eci od zbira dYeJlI naspramlllh strani ca. Dokaza ti . 779.* U konveksnom cetvorouglu zbir dijagonala je veei od poluobima. a manji od obima toga cetyorougla. Dokazati . 780.

U konveksnom cetyorollglu zbir dya spoljasnja ugla jednak je zbiru dva unutrasnja ugla koj i im nisu susedni . Dokazali .

78t.

Dat je trougao ABC. Poluprecnik OA kntga opi sanog oko trougla normal an je l1a prayu B,C" gde Sll B, i C , podnofja visina konslruisanih iz temena B i C. Dokazati.

782.

U jednakokrakom trouglu ugloyi na osnoyici su dva puta vee i od ugl a pri yrhu . Osnoyica trougla je stranica praYilnog pelougla upisanog 1I kruzni ci opisane oko trougla. Dokazati .

783.* U kruznici k(O ,R) upi sani su kvadrat stranice a i jednakostranican trougao stranice b. Dokazati da je a' : b' = 2 : 3. 784.* Ako se iz sredista jedne katete prayouglog trougla konstruise normala na hipotenuzll , tada je razlika kvadrata odsecaka hipotenuze j ednak kvadratu druge katete. Dokazati. 785.

PoslOji Ii mnogougao koji ima: a) 1710 dijagonala: b) 1988 diJagonala . Koliko stran ica imaju trazeni mnogougloyi ?

786.* Neka je D tacka u kojoj krug upi san u pravougli trougao ABC dod,ruj e hipotenuzu AB. Dokazati da tada Yazi jednakost

AC 路 BC = 2AD 路BD. 787.

Ako se broj stranica konveksnog mnogougla poveea za 5, onda se broj dijagonala po vee a za 45. Odredltl broJ srraOlca prvObltnOg

788.

mnogougla. Oko jednakosrranicnog trougla ABC opisana je kruznic~. a luku BC data j e proizvoljna tacka M. Tada Je BM + eM - AM. Do-

789.

kazati . Ako se broj stranica konyeksnog mnogougla. po~eCa za 5, onda se ao broj dijagonala poveea za 1990. Koliko straOlca Ima rnnogoug sa

790.

takvim osobinama? Broj dijagonala konveksnog mnogougla je 8 puta veei ad broJa stranica. Odrediti zbir unutraSnjih uglo a tog mnogougla.

3

82


VI

797.

GLAVA

6. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

798.

DatjepolinomP(x)=(r+I) ' _{r+2)(x '+2 x - I) . Sre' d"lit po I'1. .. ' . nom P( x) po opadajuclm stepenima. Odrediti realne parametre a, b, c, tako da su IJolinom' P( ) . Q( ) 'denth;no 'X . d I X I X je na k'I :

I

6.1. Polinomi i opcracijc sa njima

a) P(x) = 2x' - 9x'

+ 13x - 6

= 6x'

+ 29x -

b) P (x)

Definicija 1. Neka su ao,a" a" .... a n dati real ni broj evi. Presli kavanje P kojim se realan broj x preslikava u relan broj ( I) aox· + a,x·-' + a,x·- '+ ... +a" naziva se realan pohnom. Definicija 2. Ako je a o '" 0 broj n naziva se step en polinoma P. sto se zapisuj e n = st P i kaie se da je polinom P n-tog stepena po x. Polinom (\) je sreden po opadajucim stepenima. Polinom moze da bude sreden i po rastucim stepenima promenljive. Bezuov stav. Ostatak r deljenja polinoma P(x) sa x - a, gde j e a konstanta, jednakje p ea), tj . r = pea). Ako je ostatak r = pea) = 0, polinom P( x) je deljiv sa x-a. Potreban i dovoljan uslov da polinomi P( x ) i Q( x) budu identicki jednaki je da koeficijenti njihovih odgovarajucih clanova budu jednaki. 791.

Srediti polinom 2x + 3x ' - 4x + 5x' + 2x' penima.

792.

Sreruti polinome: a) 5 + 2x - 3x' + 4x + 6x' - 2; b) x' + 2x' - x + 4 + 2x' - 3x' - 3 - x' po opadajucim stepenima.

+

I - x' po rastucim ste-

- 23x'

c) P(x) = 12x' - 40x' d) P( x) = x ' - 2x'

e) P( x)

799.

= 2x' -

x'

+ 27 x -

+3 + x+ 4

i Q(x) = ( x - 2)(a1" + bx + c):

+ bx + c); 5 i Q(x) = (31' - I)(ax' + br + c): i Q(x) = (x + I)(al" + bx + c); i Q( x) = (x + 2)(aT ' + bx + c).

12 i Q( x) = (x - I)(ax'

Odrediti kolicnik polinoma: a)(2x' + x- 3):(2x+ 3); b)(3x' c)(2x' + 5x' + 7x+ 4) :(x+ I); d)(2 x' + x' + x- I) :(x' + x + I),

800.

802.

IO ) :(x+ 2);

Odrediti kolicnik polinoma: a)(a'-b'):(a+b);

801.

+x-

b)(a' +b' ): (a+b);

c)(a ' - b ' ) : (a' + ab + b'); d)(x' - 3x' + 3x - I): (x' - 2x + I). Dat je polinom 2a,x' - 4x' + ax - 2a, gde je a jedan parametar. a) Odrediti parametar a tako da dati polinom bude deljiv sa x - 2: b) Odrediti vrednost para metra a tako da ostatak deljenja datog polinoma sa x - 2 bude - 8. Za koje je vrednosti realnih parametara a, b. c polinom F(x) deljiv blnomima: x - I, x + 2. x - 3; a)F(x)= x' +ax ' + bx+c;

793.

Odrediti zbir polinoma 5 + 2x + x' i 6 + 8x + 4 x' + 8x'.

794.

Pomnoziti polinome x' + 2x - 7 i 2x' - x + 3.

b)F( x) = x' - x' +ax'

795.

Dati 5U polinomi P(x) = x' + 2x' - I i Q(x) = x' + x + I. Odrediti polinome: a) P(x) + Q(x); b) P(x) - Q(x); c) P(x)· Q(x).

Koristeci Bezuov stay iii na neki drugi naCin, odreruti ostatak deljenJa polinoma (803-806):

796.

Dati 5U polinomi: W(x) = - 2x' + 3x - I; P(x) = 4x' - 5x + 3; Q(x)=-3x' - 8x+ 7. Odrediti polinome: b) W(x) + P(x) - Q(x); a) W(x) - P(x) + Q(x); c) W(x) - PCx) - Q(x); d) 2W(x) - 3P(x) + Q(x); e) - 3W(x) + 2P(x) - 5Q(x).

84

+ 3x '

803.

(2x' - x'

804.

(3x· - 2x 5

805.

(x'

806.

(2x' - 4x' - 6x'

+ 2x'

- 4x+ I) :(x - I).

+ x' -

- 3x'

+ bx+c?

4x - I) :(x+ 2),

+x-

I): (x

+ ~).

+ 2x - 8): (2x - 3). 5


Odrediti ostatak pri deljenju po linima P(x) po linomol11 f {x) (807-

6.2. Rastavlj a nj e po lin om a na cin iocc

811 ): 807.* P (x) = 808.* P(x)

X 200 -

= X'OOO -

809.* P ( x ) = x 'ooo -

3X ' 99

-

Za rastav pol inoma r . .ljanje " .na cini oce koriste se slede CI,. za'k om" I .onnule: I . Dlstn bllll vm zakon - Izdvajanj e ci nioca ispred za rade

1, f(x) = x' - 4x + 3.

+ 2, f(x) = x' 125x ' 997 + 5, f(x) = x'

4X'998

2. Grup isanj e clanova

- 5x.

811.* Ako polinom P{x ) pri delenjll sa x - I daje ostatak 6. a pri delenjll sa x + 2 ostatak -3 , odrediti ostatak pri delenj u P{x) sa {x - 1)( x + 2)

813.

Odrediti realan raram~tar m tako da poli nom p(x) = x + mx + 3x ' - 2x + 8, bude de lJl v sa x

Za koj e je realne vrednosti parametra n po lino m p{x ) = x' - 311x' + 4( /1 ' + I) x - (n ' + 5) delj iv sa x - I? Odrediti realne vrednosti parametara a i b da polinom

tak 2.

a J - b J = (a - b){ a' + ab + b'). 7. Zbir kllbova J a + b J = {a+ b)(a' - ab + b' }. 8. Kub raz like

a J - 3a' b + 3ob ' - b J = (a - b)' = (a - b)(a - b)(a - b).

9. Kub zbira ___ 823.

817.* Za koje je realne vrednosti parametra m pol inom p{x)= mx ' + Il x' + 7 x + mdeljiv sa 2x+ 3? Od~editi realne brojeve m i /1 tako da polinom p(x) bllde delj iv pohnomom f ( x ), zatim odrediti njihov ko licnik Q( x) (818-822 ):

818.

p(x) = 6x ' + II1X' + 27 x ' + nx' - 5x + 6, f{ x ) = 3x' - 5x + 6.

819.

p(x) = 2x' + 5x' - 17 x' + mx + n, f( x) =, 2x' - x - 6.

820.

p{x ) = x' - 3x' - 4, f( x ) = x '

821.

p(x ) = x'

822.

p(x)

86

= x' + 2x' + 5x ' -

+ II1X + n.

=x ' -

x + n.

= (a + b)(a + b)(a + b).

D okazati identitete:

824.

K oristeci formule (a + b)' = a' kvadrat izraza: b) 3xy - 4; a)2x +3y; d)a- b- c;

f{x) = x ' - x + I.

4x + m, f ( x)

a J + 3a' b + 3ob ' + b J =(a + b)'

ala' - b' = (a- b)(a+ b); b)(a - b) ' = a' - 2ab + b'; c)(a + b) ' = a ' + 2ab + b'; d) a' . - b J = (a - b)( a" + ab + b'}; / e) a J + b J = (a + b}{a ' -ab+ b'); f) (a - b )1 = a J - 3o' b + 3ob ' - b' ; J g)(a + b)J = a J + 3o ' b + 3ob ' + b

· po I'mom p () Dat Je x = x 4 + x , + ax', + bx + c. Od rediti realne bro· j eve a, b i c tako da pri delj enju datog pol inoma sa: x - I, x ~ 2, x - 3 ostaci deljenja budu redom I, 2 i 3.

+ II1X ' + nx - 3,

,

a ' - b' = {a - b){a + b }= {a+ b}(a- b}. 6. Razlika kubova

Odrediti realan parametar m tako da polinom

p(x ) = ax' - bx' - 5x + 4 pri deljenju sa x + 1 daje ostatak 6, a pri delj enju sa x - I daj e osta· 816 •

.

a' + 2ab + b' = (a+ b) ' = (a+ b){a+ b). 4. Kvadrat razli ke V a' - 2ab + b' = {a - b)./= (a - b)(a - b).

+ 2.

x - 3.

815.

3. Kvadrat zb,ra

5. Razlika kvadrata

p{x )= 9(x - m)'{5x - 16) - (x -1 2)( 7 x -1 9) ' , bude delj iv sa 814.

ax+ay + bx + by = x(a+ b)+ y {a+ b)={a+ b)(x + 1').

J

810.* Polinom P(x ) pri delenju sa x + I daje os tatak 3, a pri delenj u sa x - I ostatak 5. Odrediti ostatak pri delenj ll P(x) sa x' - I.

812.

g

ab ±ac = a{b ± c).

2x.

g) 3x -

J3;

+ 2ab + b'

sleva nadesno, odreditt

c)a+b+c;

+ I;

e) 100 - I;

f) I 000

b) a..fi + bJ3;

i).!. x _l.. 2 4


825.

826.

Odrediti kub datih izraza:

a) x + 2;

b) x - I;

d) ax + by;

e)

"

Xl + 3a/;

2

~

~

c)2 x-3y; I a t)- - -.

3

Dopuniti date polinome tako da postanu kvadrati binoma, zatim ih oapisati kao kvadrate biooma:

a) x' + 2x+ ".; , d) x - 4mx + ... ;

b) x ' -12x+ .. .; , 4 . e) a +"5 a + .. .,

c)a' - 24a + ... ;

g)I-4p+ . ..;

h)a ' -ab+ ... ;

h) 25x'

t) a ' + 2.)5;; + .. .;

9 x '+4 y ' + ... ,' k) x '+ y ' + ...,. J.) 16

I)a'

... ;

'1 d)--a" 16

'

g)a' - b';

4

,

,

49

b) - x - - y ' 16' 25

c) - m - 36' 81 '

e) 144a' -' 25x' ;

t) 169x' y' - I;

h)a "" - b"'.

830.

a)(2a+b)'-(x+3y) '; b)4(a-b)'-(2a+I) '; c)(x + 3y)' - 9(x - y)' ; , , d) 4(a + b) ' - (5 - e)' . , , , x y a)8la -!6b; b)81-~25; c)(3x -I)--25;

f)

d)(X-~) -~; e)(2x-F-2~; f)(x- ~r-~ Koristeci formulu a] - b] = (a - b)(o' a)x ] -1; b) x] - 27; 6

d) 64a] - b ; g) 125x] - 8.

88

e) 343x] - 27 y];

+ ab + b '),

rastaviti izraze :

c) 1- 270 ];

f)

+ 5) ' + 343.

) I + 0 00

e

,

'.

]

Ix;

l)(x+I) '+ 125;

b) O.Ol x '

+ XY+25y';

c)a ' +0+ 0.25; 9m2 1)16+ 4+ 3m.

ala ' - 6a'b+ 12ab ' - 8b] ;

b) 27x ] + 27x'y+ 9.ry'

+ y];

c) I + 15m+ 75m' + 125m ' ; d) 8x] -12x' + 6x- I; I I , , , e) - + - a -+a + a ' 27 3 . , I) 27m' - 108m'" + l44mn' -

64,, '.

Koristeci distriburivn i za kon. rasrav,ti na cinioce polinome (836838):

a)(a+ b)' -c'; b) ( x' + y)' -I ; cHx- 2y)' - 9z'; d)(a - 5b)' - a'b'; e) 0,49a' - ( x - )')' ; I - (2x - 5y') '.

S

\I '.

'

a J + h ). raSlav lll Izrazc. c) 8a ] + b ];

9 x' - (.fj) ';

829.

831.

8"

, _ I

Ras taviti na cinioce polinome:

835.

c) 16-a ';

9

+-

6~;

a

d)-2 yz + y' +z '; e)a'-8a 'e +16e';

h) 0,25x' y' - 0,0001.

.!.a' -.!. b' 路 4 9 '

d) 27

b)a ' b' +

L.-J a) 4x- + 4x + I;

------

f)

+~;

+ b ] = (a + b)(

)83.Zl Rasta,viti na cioi oce polinome:

Koristeci formulu a' - b' = (a - b)(a + b), rastavi ti izraze (82 71):

b) y' - 25; e) 9a ' -I ;

a) x

J

g) (a

+ 1 + .. .;

+ 0,2 5 -

Koristeci ronnulu a ]

1 0000 ] _ O,OOlb ];

--836.

t;

-

b J a)a '-- a; b)12a S +18a; H d) 2a ' + 6a"; e) xa m +" - xa m ;

. 837. a)' 4ab + 12ae - 8ad; ~'\ c)9aJ b'-6a'b+12a ' ~] ;

c)mr-m'r; I) 2So"'" - ISo" ' .

b) 2(a + b) + x(a + b); d) a(x + I)-b(x+I).

,

"f

~ la)3(x+ y) +ax+0' b)m(x-Y)+l1x-I1), r c)ae+ad- pe - pd; d)a 'x +b'y+a'y+ b'X; e) b(x - 3) + c(x - 3) + 3 - x; p(x+ y + 1) - q(x + y + I)+r( x+ y + I).

f)

Kombinacijom metoda grupisanja i distributivnog zakona. rastaviti oa cinioce polinome (839 - 840): 839. 840.

a) a] + 4a ' + 4a + 16; b)a ] -a'b+ 2ab' - 2b' . J c) x - 3x' + 3x - 9; d) 4a' + 2ab+ 2ac+ be. a) 14ab + l5ac - lOa' - 2 lbe; b) az ' + bz' + az + bz + a + b; c) 8x-' y J z路' - 6xy ' + 16 x ' y J=' - 12路 .\ J Y '.. J d) a + a ' b - a 'e - abc;

9


e)o'x + o'v - ox - ay + x + y; f) ax "- + bx- - bx - ax + c-x-, - ex.

852.* a) x ' + x + I;

853.* a) x ' ( y - z) + y'(z - x) + z ' (x _ y );

Rastaviti na cini oce s ledece kvadratne trinome (841-842 ):

b) 111 ' + 6111- 7; e) o' + 50 + 6;

) 84l.7 a) x' - IOx + 9;

L-J d)x' + 7 x + 10; a) 2x' -5x- 3; d) 3y' +20y +J2;

\~

~~ 844. 845.

."Lb) x ' - 2xy + y' - 9; c) 4 - p- + 2P!L.::: q- ; d) 16m ' - 9x ' + 12xy- 4 /; e)a' b ' + e'-:'" 20be - 25; f) x' -1- 2y - yo. b) x " - y -x+ y, d) a'

_

a) 7 x'

a) b'

_

,

I

y-= ;y-

+ ab' -10 -

a) x' - x ' c)xJy' -

.,.,

-

r'-

+ 2x' - 63 x - 8;路 x' + yJ; 4b;

c)a ' _a' +a' - I;

849.

- 4a - 4.

P(x) = x' - 2x ' - 7x' + 8x+ 12. P(x) = x' - 2x' - x + _

856.

P(x ) = x' + x ' - 16x' - 4x+ 48.

857.

P( x) = x' - 13x' + 36.

858.

P(x)

859.

P(x) = x' - x' - 13x' + 13x' + 36x - 36.

860.

P(x) = x '

861.

Dok azati Diofanlove identitcte: a)(ax+ by)' + (ay - bx)' = (a ' + b' )(x' + y'): b)(ax - by)' + (ay + bx )' = (0 ' + b' )(x' + y'); c)(ax+ by )' - (ay + bx )' = (0' + b')(x ' - y' ).

+ 27x' - 27; x J - y J + I;

b) x' - x' - x .,.,

862.

Dokazati Lagranzeve identitete: a) ( x' + y' )(0 ' + b' ) - (ax + by) ' = (bx - ay) '; ." , - (aY+ b1'+e:)'' b) (x-" - ) y- " + 2)-)(0+ .b-,+.c-)

,,,,.,-...

-------....-

+ I;

~.,

d) x- y- - X' - y-

+

b) x' + 2x' - x - 2; d) p ' x ' - q' x ' - p '

I.

+ q '.

864.

.--.

+ 1) + (x -

3)(2x - I) - (x - 3)(x'

d) fx + 1)( 4x - 3) - (x + I )(x' - 4) - (x + 1)(x' a) 5x" + 2

-

c) 12x'u + J

20x"; -

27 X U +

851.路 a) x' + 4; c)a' +a'b'

b)a"b '" -4a"b" ; ';

d) 4a'" - 100a". b) x路

+ b';

+ 4y';

d) I + x'

3x' - 5x '

+ 3x'

+ 15x' + 4x -

- I lx' - 2h'

+ 4);

+ 2x - 3).

865.

12.

+ lOx + 24.

=

+ (ey - bz)' + (az - ex)'.

Dokazati identitet:

(0 - b) ' + (b - c)' + (e - a )'

d)a ' b ' -a J + 8b' - 8.

a)(x- y)(x' - z')-(x-;- z)(x' _ y ' );

) (x - 3)(x' - x

=x ' -

= (bx + oy)' 863.

b) a'" - I;

b) b(b + 3)(b':' 4) - (2b - 7)(b + 3) + b' - 9;

850.

854. 855.

111 ' + 211111 + II ' - x' + 2.\)' - y' ; c)ax - bx-a- + 2ab- b- ; d) 9+ 6a+a - - b- - 2be - e-.

c) .;-; -

848_

+ a'

Koristeci BezlIov Slav, rastavi li na ci nioce polinome (854-860).

a) 2x - 2y - x' + 2_\), - y'; b) ""'----

847.

+ 110 + 4; f) 6b' -3 9b + .!.8.

c) 60 '

+ ~ab -l:. b' - e,' :

.,

846.

f)x- - Il x+ 24.

b) 2x' - 9x - 35; e) 0' +0-2;

a)a--b -I+a- b; " c) 4a ' - Ill ' - 2a + m,

b)(x + y+ ~) ' - x' _ y ' - z ' ; c) (x' + 5x)(x' + 5x+ 10) + 24; d )(x' + 7x)(x ' + 7x+ 22)+ 120.

c) 2,x' -I Ox- 12;

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore polinome (843853 ): ~ a) 0 '

b) x' + x' + I.

= 3(0 -

b)( b - e)( c - 0).

Dokazati da je polinom P(x ) = x" - x ' + x' - x + I pozitlVan za svako x . Dokazati daje polinom P(x) = 11 6 - II ' + II' + II' - II + I pozItivan za sve realne vrednosti n.

866.路 Dokazati identitete: a) (0 + b + c) ' = a ' + b' + e' + 2ab + 2ae + 2bc; b) (0- b-e) ' =0 ' + b' + e' - 20b - 2ae+ 2bc;

c)(o+b+ e +d)' = , , _ , = 2ab+ 20c+ 20d+ 2bc + 2bd+ 2cd+a- + b- +c- +d ; b" . d)(o'+b ' )(o'-o "-b - +b , ) - (0 l - b ')( 0 ' + b l ) -_

+ x' . )1


e) (x+ y +

+( x + y - z) ' + ()' + z-

Z )'

X )'

+ (z+ x - y )' =

+ y' + z' ). 867.* Akojea ' + b' +c ' = u i a+ b+ c = v, tadaje

6.3. Operacije sa racionalni m algebarskim izrazima

= 4( x'

, c-, +ab+ac +bc = -1 (u+ ,'-. ' ) D0 kazau.. a-, +b-+ 2

868.* Ako je a + b = u i ab

= v.

tada je a

J

Neka su: A, B, C, D , M polinomi razliciti od nule. 1°. Kolicnik dva cela raeionalna izraza (polinoma) x . d 1'1 r" ' . ' pn. cemu JC e I ac raz lelt od Ilule, nazlva se opstt algebarski razlomak, tj .

p Q'

+ b J = u(u ' - 3v ). Dokazati.

869. * Dokazati da je pol ioom , b, -1 +a-+

~ -I a+ -I

4

2

d . b", -ab "' ) . k varattnnoma.

2

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore sledece polinome (870879): 870.

X" - X

S

+ x' -

4(ab + cd)' -(a' + b' -c' - d')'. 872. (x + y + z + xyz)' - (xy + yz + xz + I) '. 873. ( x' _ y ' )' + 2(x' + y' ) + I. 874. a 6 + a s + a' + 2a J + a' + a + I. 875. x' -7 x 3 y+Sx' y'+3 1xy'-30y ' . 876.* (x' + 4x + 8)' + 3x(x' + 4x + 8) + 2x' .

+ x+ I)(x' + x+ 2)- 12. (x + I)(x + 3)(x + S)(x + 7) + 15. (x' + x+ I)(x' + x' + I ) -I.

877.* (x' 879.*

Dokazati da je dati polioom kvadrat drugog polinoma (880-887):

880.

36x· + 12x ' + I.

881.

4(x+ b)(x+ b-a)+a'.

jednim istim polinomom (broj em) razlicitim od nule, tj.

P:M P Q: M = Q' (Q, M "" 0). 4°. Zbir (rafzlika) opstih razlomaka jednakih imeoilaea je identicki jednak opstem razlomku istog imenioea, a brojilae je jednak zbim (razliei) bro ioea, tj . A B A ±B C ± C = -C- , (C., 0).

5°. Proizvod dva opsta razlomka identicki je jednak opstern razlomku ciji je brojilac jednak proizvodu broioea, a imeoilae jednak je proizvodu imenioea, razlomaka koji se mooie, tj . AC A C B . D = BD ' (B ,D" 0).

6°. Kolicnik dva opsta razlomka identicki je jednak proizvodu razlomaka deljenika i reciprocne vrednosti razlomka delioca, tj.

882.* (x + I)'(x' + I) + x' . 883.* 9(a'+

2°. Vre~ost razlomka se. ne menj a ako se brojilae i imenilae pomnoze Jedmm ISUm algebarsklm Izrazom (brojem) razlicitim od nule, tj . P PM Q = QM ' (Q, M "" 0).

3°. Vrednost opsteg razlomka se ne menja ako se brojilae i imenilae podele

I.

871 .

878.*

A :C = A . D

a\)-24(a+~)+34.

BD

885.* x(x - l)(x + I)(x + 2) + I. 886.* (x + alex + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a'.

92

+ I)'

- (a' - I)' (a'

+ I).

BC'

(B CD"" 0). "

Skratiti razlomke (888-896):

884.* a'+(a+I)'+(a'+a)'.

887.* (a'

(Q "" 0).

9ab

888.

4ab a) 6a' b;

889.

(x + 2) ' b) x(a;=t- b) ; a) a --'-::--~2ax+ 2bx 2a'(x + 2)'

b) 18ab;

7a'b . . 21ac' 3a'b'(x + y ) c) 450 '-bJ (x'' + 2xy + y-')'

c)

93


890.

Skratit i raz lomke (898- 907):

x' - x c ) - - -x ' + 2x' + x '

x' - 8x +16 xy- 4 y

I-a ' a) -; a -I

b)'::"""---

898.

(a+b) ' -4 ) a' -9 " e " 2a + 2b + 4 ' ab + 3b - a - 3 Sa ' + IOab + 5b ' x' - I 6a 'b - 3a ' - 3ab ' a) ., ., ; b) 2 ' , , ; c) ab' - a' b lSa - -15b I+a x -- x --a -

a) (a :

+a+

I ) ' - (a - I) '. (a - - a + I) ' - (a+ I)"

d) 891.

(ax + I ) ' - (x+a) '

(a' + b' + c' )' - (a' - b' + c')' d)

e)

4ab' - 4abc

a)

900.

a)

, ' ( l - x )( I- a-)

901.

)n b2n a 2n bm _ b a - a " b) _--=:~_.......:.._ _ a) a'n _ 2a ln bn + anbln ' a ln b m + 2a nb m + b m ' nl

II

892.

899 .

a 211 +

x' 893.*

) a x'

+ x' + I

+ 3x' + 2x' + 2x + I

; b)

b)

a' + 2ab + b' - 4 ., ." a- + 4a- b- + 4

d)

X

895.

a)

896.* a)

c)

,

-

5x + 6

x--3x+2

4a' b' _(a ' + b' - c')' 路

y -+ y +2

+ 3a -

x- -(a+b )x +a

a' - 4 -Ia- 21 ; a + 2a - - Sa - 6

+ 3x)lx- 21

d)

;

897.* Dokazati identitet

a' - (a' + 2a+ 2)'

'"

b)"

a+2

=---" 4

x' - 1+ 1x + Ixl(x-2)

11

"

Y -

X

x

s)

Y

Y ( 1- xy j" - x'y'(X _ y )"

"

a ' + b' + ab ' - 3a' b

" a ' - 2ab - b' ' , b' , , a - + - - c - - d - + 2(ab - cd )

+ 2(ac -

, + xy(x-+Y ' , - )+Y'

, + x-y " + y'

b) (mx+ ny)' - (nx + my) ' (ax + by) ' -(bx+ay) ' "

.

( ' " )x - +a'b' b) x - ,a-+b-

x - +(a+ b)x+ab

bd)"

a ' + b' + c' - d ' + 2(ab+ bc +ac) a ' - b ' - e' - d ' - 2( bd+ be + ed )" x ' + ax ' +ax+a - I

x' + bx ' + bx + b - I"

904.* a , + b ' + a(b "- + c')+b(a "- + c-) a ' - b' + a(b ' + c')-b(a ' + c' ) "

,"

y - 3y - l O x - 4ax , ; c) ,

(a+I)'+a+1

903.

905.*

a ' + b' + a' (b + c)+ b' (a + c) a J _ b' + a'( b+ c) - b' (a + c) "

" 906.*

x' - 6x' + Ilx - 6 (x' - 4x

an- \ + a n

I- a -a - +a a' bc - b'c + 2b 'c ' - be' 2

xlx-31+ x'-9 , , ; 2x - 3x - 9x 2

1

a' + a' b' + b'

2

; b)

_ a 2n -

a' +1-2a'

a' + b' - c' + 2ab , , ' a- + c - b + 2ac

2

I

a 4 + 3a' b' + b' - 2a ' b- 2ab'

894.* a) , c)

e)

X

"

. 3)

a' - b ' + c' - d ' 902.

aTl +) + an + 1 d) a ".. s -a " + ) ,

.t

b)x

(a + b) ' + (a + b) ' + (a + b) + I (a + b)' - (a + b)' + (a + b) - (

b

907.* (a + b + c)' - 5(a + b+ c) ' + 4 (a+ b+ c )' + 3(a + b + c) + 2 " 908. * Odrediti realne brojeve I, m, n ip da se razlomak

x' + lx' + mx' + IIX + p " " " , pos le skracivanJ3 svede na razlomak x + 3x- + x - 5 x ' - 4x+ 5 x-I


(

x' + (8x + 15) I x - 31- 27 , . 909.* A = x"-2x-3+ Ix-31 x ' -6 Ix -5 1- 25x . 910 .* A = , x" - x - 20 + 21 x - 51 x' - 24 1x - 101- 100x 911 .* A

= ,

a)

.

x" -9x -l0-3I x -l01 a' - 16 912.* A = a'-4a'+8a ' -16a+16'

c)

914.

915.

916.

a) a' - 2a i a' + 2a; c) a' + 20b + b' i a'

-

b' ;

b) x' - 2x + I i 3x' - 3; + 6y.

c)

918.

923.

924 .

4 - x' , x - 2 i 2x' - 8x + 8;

b) a' + 8a' + 16a i a' + 12a' + 48a + 64;

+ a' + a + 1 i a' - a' + a-I. a) 9a + 15. 360 ' - 100 i - 9a' + 30a - 25; b) 2ay' - 20, y' - 2y' + Y i 5y' + lO y' + 5y; c) 4a' + 4ab + b', 4a' - b' i 8a ' + b I a) 3x' - 12x' + 12 x, Sx ' + 20x' + 20x' i 3nx' - 12n; b) 4x' + 4xy+ y', 4x' - y ' i 12x' - 12x'y + 3xy" 3 ":2 2 c) 3x - 12x" + 12x, ax + 4ax + 4a i 3bx - 12b, 1

Uprostiti racionalne izraze (919-950): 919.

3 5 7 x +3 x-I a) - + - - -; b ) - - - - - ; x x x 4 4 2x + 1 3x + 1 x - 2 d)~+~-~;

C)

m+n lIl-n 33 '

- - + - -'

e) x - 3 _ x + 3

x -5

x' - 4

+ ,

b

a" - ab 3 + 2x

d)2m~3p 1/1 " p

0+ b ab 2 - 3x

- --;

0 ' -

a' - 4

a- I

- - - 2' 2- d '

4m - 5p mp "

a

b)

+-----. 2- x x+2 '

a" -a- 6

8'

__ _ ' a + 3b

9b '

I

2

x - x

I - x'

I

d)-,- - + - - + - x'

b)

5x x ' - 6x + 9

d)

,5 _ 4 - 3y' 2y " + 6y y' - 9

+ x'

3x - I x' - 9' 3.

'\

c) 2a' - 2. a'

917.

,

12

a)_I_ _ 9x+3 +-2_ , ~ 6; + 3 8x' - 2 2x - I'

d) 2y' - 8 i 3y'

ala ' -10a + 25, 3a + 15 i 2a; b) 3a - 3. a' - I i a + 3; c) 5a - 5b. a' - b' i a' b + ob '; d) 3a - 15. a' - 25 i 5 - 0 , a) x' + xy. xy + y' ix' + 2xy+ y' ; b) 2m' - 4mn + 2n ' . 6m' - 6n' i 18m+ 18n; c) 25a' - lOa + I, 50a ' + 20a + 2 i 25a' - I; d) a s - 81a, a' + 18a' + 81 i 45a - 5a '. a)

a

ab - b 16x - x'

b)x-3 Y _2x - y .

- -'

( 922.

Odrediti najrnanji zajednicki sadrZalac polinoma (913-918) : 913.

92~ a) 4a + 3b

2a- b ~ 10 15 ' 1 I 0' + b' c)-+ - ' 6a 4b ' 6ab "

Skralilili razlomke (909-912):

x-5

925.

)

Xl

+

y2

Xl

y2

, + ---','---

xy xy - y" x" - xy c)6x+5_3(2x-l)+ SOx, x+5 . x- 5 x' - 25'

b) a+ 1 +~_ 2a - I, a + 2 0' - 4 a- 2' a+ I ? 2

d)-,--,=-+ , fI"

0"

- a

"

a -a"

, b .,., z ., a" + a + b" a" - ab + b 2o "b + ' a+b a-b a'-b " x'y' (x' - b')(b' - y') (a ' - x')(a' - y') + . b) --+ a'b' b'(a' - b') a'(a' - b') , a' - bx 3b - 0 0 + 2x c) , + o - ab + bx - ax 2a - 2b 3a - 3x a)

..--.. ) 2x 3x' + 2x + 1 x+1 +.,; a --x-I x' - 1 x" + x + 1 30x' 8 15x+ 5 . b) ---+ - - - - - - -; 9x'-x 6x-2 9x' +6x+l' 1 1 2 c) , + , +,; x +10x+25 x"-10x+25 x"-25 d) 4a' + 9a + 5 _ 1 - 2a a' - 1 a' + a + 1

6 1- a 97

96


92 6.

m -n ); l~ ; / a)(2+~).(Im-n \ m+n

3x - 1 2x + I ' ) x a -- ---+ , ; x-I x- 2 x' - 3x + 2

---7

16 x - 5 x +3 b) - - + - - + --:---x -3 x+5 x' -2 x -15' x- I x -7 12 c) - - - - - + ----:-- - x+1 x + 7 x' +8x+7 · 927.

7a 21a ' ) 6b' :8"b;

X 2x' + 2xy 4xy a)--+ ., 2 .,; 2x - y 2xy +3 y' 4x +4_\ y-3 y'

5x , x+ 5x'

I - l Ox

a' + ax a) - ,: ----.::,. a'x - x 3 b)

5

3x - 3a 930.

+ a - 3x ., ., +

-- '- _ . a-I a+I' ,

x'2 - 1

I

2x + 2a b)

d)

a'

2

I - 25x

2x , , a' - x

ax+ x' x' - a'

., +

+ 25x'

a- x

c)~ . X+I. 931.

()

6x 9x'-I' 10(5x' +2x)

a) 1+ 3x+ - - - - - - -::-'-b)

929.

9x ' I 1+3x 1-3x 3-15x

3

+

a' + ab 3x - 3y

.

ab . ,

'

- z·

b)

( I- ~) 1- x

d)

ax +a .(_I_ + ~). x' - x + I · x + I x' + 1 .

/1/ '

. (2X+I 2X-I) 4x c) 2x _ I - 2x + I : 6x + 3;

a)

'

x ' -y'

(

x- 4

a' y- y

,

a) 5 x - -a 5

d)

x'-2x'-x+2 x+2·

a'

:(_x + I);

2b b' a a' a-b

b)

4a'b'

c)

4 +a' 4- -a

I 2 a

,

y b' y x b) a b - +Y x a'x

-

4x' 3a - 3a . c) 4x ' ' 1- 9a'

- -

, ,

+ b' - c'

2ab (a+b)' - c'

x- I

25x' - 110 x + 121 , . x" - 2x - 8

1- - + -

y ' a- a

1+ x- 2

x + 2) :

~ -5a '

+ 2 xy a + b - c

- -a+!

X' -X-3

~~--=­

,

,.

5Y.

a' _ b'

(~-~) :(~ - ~); m n n"

a)

.

2x + 2y x' - 2xy + y-

) b' -a 2 -c' +2ac . x + y-z ; a' +a x 3 + 2x' - x- 2

c ) --

935.

a'+b'

, . , . 1+ 2m+ m" 1- 2m" + m'

17 x - 25a "l ., . 6x' - 6a'

a' - ab a' b + ab'

c) x' - 25 . x' + 5x . ., . 2 ' x" - 3x x - 9

4x ' y' . 8x' / . 15b'c . 5c'b' •

b) - -

e)

a+ x

x' - 1 a 2a' + 2 . . a'+a x'+x'+x+1 (x-I)"

+ y,

---=-:c. ..!...=.!c

b' - y' b- Y d) 3a' _ 3/ . a' + ay+ y "

e)

+--;

a)--'

, b x'

, , I d) I + _a_ . ( I - a) I + b a + a'·

.c) ( x +z x+y ) . z' . -- z X Xl - yz'

15x' 3 - 2x 3 + 2x . b) - - - - - + 2-3x 2+3x 4-9x' 928.

b)(~-I) . (~-!:). x+ 2 2x - I 2'

e)

u - v

3v' u+2 v + u-v

99

98


937,

C) (_a_+_a_+~)a-4

2a+b 2a-b 2a-b 2a+b a) -::----:----:-~-:4a' + b' 4a' - b' ' 4a' - b' 4a'+b'

6-3a

941.

x I - - +1- - 1+ 1. I+x

I

I+a+ - -

I- a c)---1+_1_ 1- a'

d)

I

I-.!

I- x

x3

_

I

1

x

x+y

I)

942.

x- y+ ~

,

x- y

943.

x- y d) _3_xy "------:-_ _ (x _ y)'

b)

1

X

xy

Y +xy

x+y

944.

y) .(x--2+-' y)

x + xy , Y

+Y

--7}

2a

a' - 4x"

x- Y

.

.,

2xy ) . 4xy . y- x' - y')

.

? ,

x- -

a

a)

((~+ b~J(~- b~JHI +b' \C;c- '}

b)

((X: +.!):(-;_.!.+,!,)): (X - y)' +4xy; x

y

y

+

3o(a+ 2)"

y) , 2x + , 4y , , :( 1 ( x- + 2xy x- - 4y - xy - 2y-

x '

x 2- xy _ 2x 2 ) y- 1 (x'y+,i y3_xy'+X' y_x 3 ' ( I - -x

1

4

x ., _ ') 2 '( 1 + 3X+X'). ax - 2a- X- + x - 2ax- 2a X+ 3

X

c)

2

a '

a) ( X+ Y _ X- Y):(X-y+X+Y); . x - Y x+y x+y x - y

1

2 --+

b

2X'+6x - ax - 3o

b)(~+ _X_._

-'---------'-''-- + I

-+-2 +,+ ... +x x X xn

940, a) (

2x - 4

b)

+ x 3 + ... + x路 1

a) ( x + 6x - 12) 路

.

y+1 )(x- - -y)' (-xx+ y Y x

3

x+y-~ x+ y 939,*

x- y _

x + l'

c) ----"'----

x + x'

~

ex + y)3

l'

a + 2b

b

c)_2_ _ a-2 _ 2 2 30+ 6 2a + 4a 3a' + 12a+ 12

x

b)

4a' - 1 .( a 1 a 2) a 3 - a' - a + 1 . a' - 2a + 1 - 1 - a . a + 1 - a + 1 ; (

-- + --

( __y'I)(

a'-4 'a -2'

b) 2a+ a2+b ') : (a +b') - - _~(b+1+2b).

_--'x"--_ __

x

a)

a+2

c) a

2

an

y

y

x

+ a - 2 (a + 2)' - a' _

+) _

3a n

40 2 -

4

1+ 2: x

~). 2 0

-

a

101 100


945.

a)

(z + 4)' -1 2 I ).z l + 2Z'+2Z+4 z- 2 + --- . l ' , ( 6z + (z - 2)' z' - 8 z- 2 z - 2z- + 2z - 4

(

b) -

3

--

a -I

c

946.

)(

1+

' ) '

30 - + 30 +3 a -a

, ,

a- - 1

c) (

:-,-

a -a -

- . -a +1 3

t,~ + 2X~2 - 2X~2}

;

I

8e' m - )(m+2e /II) . +m' - 8e, 2e - m 2e m + 2e

I I 2 4 8 16 949.* a)-- + - - + - - + - - + - _ + _ _ . I- x I+ x I+ x' I +x' I +x' l +x 16 ' b)

y a)( I- 3x + Y )( I_ 2x + Y): (I + , 3 ' , ); x -- 4yx- y x +2 y 2 2m ) 2m' + 2m 4 b) , " + - -; ( m- - m I - m' m - I m- I

d)

I 1 ) 9a' + 1 ' . ( 1-6a+9a' 27a -9a' -3a+I ' 27a ' +1 ' . (27a ' - 18a' + 30) a)

2a' +3a 4a' + 12a+ 9

950.* a)

3o+24a-I)(2a+3) 2a+3+2a+1' 2a-3 ;

3(3-a) 4 6 + - - - --:---a' - 1 a + 1 a' + 2a + 1

d) (

1

_

2 + 4m

948.

a)

((_3_ + x- y

2(5 - a)

3x , . x' + xy + x' - y x+y

102

x' - 8

x+2

,.

1- 4m + 4111 -

_3_;

Y'):

+

(x+2)(x+3)

+

.

(x + 4)(x + 5)' x-., - (x-., - 1) .,-

951.

2x+ 2 . . x' + 4x + 4'

')

9-x' x' - (2x -3)' 4x' - (x - 3) ' '}., ., 2 + .. ; (2 x + 3)- - x- 4x- - (x + 3) 9(x - - I)

I x'

-

,

,

a 4 -a -' +2a-1 ., ., ., (a- + 1) - -a -

a-, - 20

a' + 2a' +a' -1 . a' -I

Ix-1I

I

b) I x + 21+ I x .

x- I '

2.. I x + II

II

')

(a - I) - a -

II + I x + 11 . x' + x '

Ix' -II+ x' , 2.e - 1

x +l

1.. 1- 1

d) ,

x' - I

21;

x' - Ixl ' I I ; x - 2 x +I

+ 2x _ 4) : I., - 21

Dokazati imp1ikaciju

a)(x,", - yA

2x + y ). x' + 2xy + y' x + y

b) 3x - 6(_3_+~. x' + 2X+4). x+2 x- 2

1

e) ( x' I x x-I

Q 3 +a ~ -a-l!

1 - m. 1 - 2m ) . 4m + 2 8m' + 1 . 4m' - 2m + 1 2m - 1

+

I

(x+ I)(x+2)

(x+ 3)(x + 4 ) x ' -( x - I)"-

e) (

c)

c)

+

x -ex - 1) .,- - I c) 2 ., ., + ., ., + ,; (x + 1) - - x - x-(x + 1) - - I x' - (x+ 1)-

C)(a~ 1 - a' ~ 1 + a' _3a + I)(a - ~~:n

b)(

I

x(x +l )

+

947.

3x + 6 2x' - x - 10 ) + . 2x + 2x-+2x+2 2x ' -2x'+2x-2' "

x'-I y' + xy

x'"' + 1 A y '"' I A y '"' OJ=>

.[_I__ 1

1--

lj.x- xy, - :, + y = y' + y+ l; I- x.Y

Y 103


b b a 2 b a - 2b' b)'" -1-1 + -1--1 - - 1- , a

- +-

b)(o'" 0" b '" 0"

0 '" -

- +o

- +a

b

b

956.* Pokazati da je vrednost izraza _I _ 64

x'

ab

4+

~+~ x

c)(x'" 0" y'" 0)'" (

x+ y )J ) (X-y) ' ) x+y 3xy - x - y: xy + I = -3-' 957. (c-a)( c ~

(b - a)(b - c)

953.

-

bc

(0+ b)(o+c)

+

b' -

OC

(b+c)(o + b)

+

c ' - ab (c +o)(c + b)

a+ - - a+b+~ b c ne zavisi od a, b, c.

X2

959.* Pokazati da vrednost izraza

b(abc+a+ c)

+ 2x- llx- 2) :(x + 1- 2x' + X+ 3x + I

3x + I

2), 960.

2+ _3_). a+1

neparan broj za svako a E Z \ { - I}.

a+ - - a+b+~ b c

Pokazati da je vrednost izraza

(

955.* Pokazati da je vrednost izraza

6a' + 50 - 1+ a + 4) :(30 _ a +1

I - - - : - -,(a;>< O. b;>< O. c ;>< 0 ) I I

ne zavisi od a. b i c.

ceo broj za svako x E Z.

(

(1-3)'+121 2

ne zavisi od i ako je 1 '" - 1 " 1 '" - 2 " 1 '" - 3.

b(abc+a+c)

954.路 Pokazati da je vrednost izraza (

I )'

21 I ' + 31 + 2 + I ' + 41 + 3 + I' + 51 + 6

4

I

2x

b

( I

--.,--- ' - - - - - - -

I

I-

x-

958.* Pokazati da vrednost izraza

Pokazati da vrednost izraza

4

x

a'b' ab I I ' (a+b)'-3ab a'-b" -J +-J a b pozitivan ako su a i b supromog znaka. a negativan ako su iSlog znaka 1 ako je a '" 0 1\ b '" 0 " Ia I'" b.

y2 Z2 x' + ---:-----'---- + - - - - y' - xy + xz - yz ( z - x )(z- y) x - xy - xz - yz

02

~+~

Pokazati da je izraz I I

a

b)

b) ,

c)

4_

x-

neparan broj za svako xE Z \ {O} .

I I 952.* a) - - - - - + - -- - - + - - - - -

(a- b)(a - c)

4x'(2x + I)

x'

2 _ k + 4k' + 5k' - 6k + 3) : (2k + I + k-l

~). k-I

neparan broj za svako k '" I " k E Z. 961.

Pokazati da izraz

a+b a_b)' (a+b a _ b) ' ( a-b + a+b - a - b- a+b ne zavisi od a i b.1 a I'" b.

104

105


962.* Pod kojim us lovima je tacna jednakost: 1 1 I ~ + + x(x - y)(x - z) y(y- x)(y- z) z(z - x)(z - y) b)

+

x' (x - y)(x - z) b-c

o (a-b)(a -

c)

+

y' + Z (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) c- a a- b + (b- c )(b-a) (e-a)(c-b)

I 968.* ( x + y+ I xy z '

= I;

=

222 = - - + -- + - - ; a-b b-e e-a d 963.

m!

ab + be + ae _ I = O? )(e-a)(e -b) (a -b)(a- c) (b - c )(b-a)

a) (~ _ c - x e a

x + y+1 6(x+ y ) + , x+y+2 (x+ y )- -4

+ b)' + (c + d) '

(a

+

Dokazati identitete:

+ , ax ) : (_a_ + e - x + c- - ex

e- x

a"'" 0, c "'" 0, x"'" c;

a

2) = a - c + x,

_

a +c - x

b) (2a + a' + 9b') :(a +~) !!...(I + 3b + 6b) = - a, 3b

0 + 6b

3b

a

(a+b)( c +d) (e + d) '

964.* (y + 3)(x + Y + 3) xÂŤy + 3) ' - x') 965.

966.

967.

106

y-x +3 x(x+y+3)

2x 3 , , + 3 (y+3)- - xx+y+

5 y - 3x+ 2 1 17 x- 25(y+ 2) + , , + + , , . 3(x- y- 2) x - - (y+ 2)" 2(x+ y + 2) 6(x- - (y+ 2n x'-(a +b)' x(a+b) x+a+ bx +a+b x+ y+ b ( x+y-b

x'+(a+b)' x(a+b) ' x -a- b+--'---'x -a-b

(a+b)(c +eI)- (e +d)'

+

,

.,

.,

2

_a_ +_a-,-(c:...+......:,:d.!..)_+-'.(e_+:...eI..!..-)- a- - a(e + d) + (e + d) + a+e+d a - e -d 2a'(e + eI)

a' - (e+ d)" a' - b(e+ d) (a- b)(a-c- d)

972.

9 73.

*

974.

975.*

3b-a 2(a- b)

-,--.,-, +

a+2(e+d) . 3(a-c- eI)

2(a + b) 3(0 + b) ' + 2(a + b) + I ___a-;+_ b_ + _ I-,--_ + , a+b-l (a+b) ' -I (a+b)-+a+b+1 4(x+ y)' + 9(x+ y)+ 5

1-2(x+ y )

6

(x+y)'-I

(x+ y )' +x+ y + 1

i- x - y

(y+ 3) ' + x(y + 3) x(y +3)'-x' 3 +--x+y + 3 5 3x-3(a+b)

976.

-----+

977.

3 ( x +:+b

+x+ y-

b) ' _(x+ y + b _ x + y - b)' x+y+b x+y-b x +y+b

+ b)'

(a+ b) - - (a+ b)(e+d)

a"'" 0, b "'" 0, a "'" - 6b. Uprostiti racionalne izraze (964-981 ):

).

2( x+ y )-1 x + y -2 (a

-

2

971.

3

+

x+ y _ 2(x+ y )- I) . x + y +1

{ 969.

3,

(x+y) + 1 (x+y) ' - x - y +1

--,y_+_3_-_x-,- _ 2x + x( y +3)+x' (y+3) ' - x'

a+b - 3x I 17x-25(a+ b) + + , ' . x'-(a+b)' 2(x+a+b) 6(x- -(a+b)-)

+x- : - b

2x(a+ b) ,): ,4.t(a+ b) ,. x'-(a+b)" x--(a+b)107


3 978.*

( x + y -I

-

3(X + Y )+3(X+ y )2 +3.( X+Y)'-X-Y). , . J (x +yf -I ( x +y) +1

985.* Dokazati implikacij e: a) ( x=

b' + c' - o' 2bc

x + y-( x + y)' 3 979.

+

, 3 ). (a+b)--a-b+1

_ 2(a+b) -I) b I . a+ + 2

980.

(o+c-b)(a+b- c) (a+b+ c)(b+c-a)

A

2(a+ b) ). 2(a+ b)'

_

( (a+ b)' -a- b

b)( x + y + z = OA (x ;e y ;e zA xyz;e 0» ", x 2 + y'2 +Z 2 '" (y- z) '

I-(a+ b) '

+ 2(0+ b) +

(a+ b)'-I

4

+--o +b-I

981.

y=

A(b;eO,C ;eo,lb+ cj ;eo» ) ",( x+ I)(y + 1) = 2;

1 _ 3 ( a+b+1 (a+b) J +I

{ a+b

A

_2_ ob_ _ a 20b - b -,o:!-+.!...-"-b__ + a + b I I 1 I - +-- - +-b 0-2b a b-2a

+ (z -

x)'

+ (x -

y )' =

'3;

1 1 I ) be oe ob c) ( - + - + - = 0 A (abc ;e 0) "' , . + , . +,. = 3; ab c a' b' c · d)(ac + bc = ab A (a;e 1 A b;e 1 A c ;e I» '" 1 I 1 1 - 2c '" - - + - - - - - = - - - - -- I-a l-b I-c ( l- a)(I - b)( I- c) 986.* Dokazati implikacij e: a)(xy + x;e - 1 A yz + y ;e - 1 A zx + z ;e - 1 A xyz = I) '" x y z '" + + = I' xy+x+1 yz + y +1 zx + z +1 '

b) (.qz;e 0 A xyz = I) '"

(x +~)' +(y + ~r +(z +;)' - (x + ;~y+ Hz + ~)=4;

982. • Izracunati vrednost izraza (I + x)(l + y)( 1 + z) ,zax =~, y = 11- P, z = p- m (l-x)(l-y)(I-z) m+11 II+P p+m

'"

983.

",(a-b + b- c +~y_c_+_o_+_b_)=9. c a b A a-b b - c c - o

Dokazati identitet

I a 1

1 1 b+c.b l

' 1

1 a+c I

- +-- - +--

a b+c b la +cl;e b).

2c --,- - 1, (ob ;e 0, a ;e - b, b ;e - c, __ a-c- b

a+c

984.* Dokazati da je vrednost izraza

(~+;r +(~+~r +(~+;)' -(~+~)(~+~)(~+;). konstanta, za abc ;e O.

c)(a+ b+c= OA (abe ;e OAo;e bA b;< cAc ;eo» '"

987.* Dokazati da je za svako 11 E N: I 1 l i n a ) - + - + - + ... + = --; 1·2 2·3 3·4 n(n+l) n+1

1 1 1 1 b)N+ 3 . 5 + 5.7 + ... + (2n-I)(2n+ I) 1 1 1 1 c) 2. 4 + 4. 6 + 6· 8 + ... + 2n(2n + 2) 1 1 1 d)-+-+-+ ... + 6

12

20

,

n-

+

1 3

n+

n

2n+ I; n

2(2n + 2)' n

2= 2n+4' 109

108


988.* Odredite sume: 3 5

1'·2'

2'·3'

7 3"4-

I

2

3

2n + I ." n-(I1+I)-

a ) - - + - - + - -., + ... + .,

nEN ,'

n

b ) - - + - - + - - + ... + , " 1"2' 3" 5' 5"7' (211-1)-(211+1)

996. nE N.

997.

Uprostiti racionalne izraze (989-996):

989.

990.

991.

(~+i)' -(I~-bI)' a' b' (

I

(a + b)'

I)' (I

(_I + _I) + b'

(I-x')(x-x ' )

I- x

x - x'

+

+

X

C,

•-

X

10

+ b\)+ (a:b)'

C,

abc b+c a+c a+b I I 3

- - +-- + - - - - - -

a+c a+ b a+ b + c abc 3+--+--+-b+c a+c a+ b 995.* I I I --+--+-b+c c+a a+ b

1000.

I

+ y + z + xyz) +(1 b -I .

I

x)( 1- y)( 1- z)

c -I

+ ( I + x)(1 + ),)(1 + zl,

zax = - - Y = - - ' Z= - a+ I' b+1 c +I ' . a-b b- c . c- a Ako Je x = - - , Y = - - I Z = - -, tada je a+ b b+c e +a (J + x)(l + y)( 1+ z) = (I - x)( 1 - y) (1 - z). Dokazati . Izracunati vrednost izraza

a-x b-x a'+b ' ab A=---+--,zax = - -. b-x a-x x ' - (a +b) x+ab a+b . 1- x I+x . Ako Je A(x) = - - , B(x) = - -, tada Je I+x I- x A(B(x» . B(A(x)) + 1= O. Dokazati. Ako je a + b + e = 0, dokazati da je (1001-1004):

l + b,)+ (a:b) S

~U' -c~) + iC, -a ~C2 -:' b+c

b

x' _ x·

I I I - (b-c) + -(c - a) + - (a- b) abc

I

a

999.

(I-x')(x-x')(x ' -x')+

--+--+--

110

a' - b'

(a + b) '

l ,) +

994.*

998.

I ),.

2 (~+ ~)).

(1- x')(x- x')(x' - x')(x ' - x')

992.* (a+IW

993.*

(a' + b')' - (a ' - b')'

I - x'

--+

A = 2(x

(;;> + b' -

a'

___

a-I

I

(a+b)'-(a-b)'

2(-a:b+c+a-:+ c + a + : _ )+3 c I~_ + +---a + b + c a - b + c a + b - c Izracunati vrednost izraza:

r

(~+H

100t.* a ' + b ' + e ' = 3abe.

1003.*

1004.*

a' a-'-( b - c)

,

a'(a' - 2bc)

, a -(b-e)'

+ +

b'

+

b' -(a-e) ' b'(b' - 2ae) b' -(a-e)'

+

e

3 =-

e' - (a -b) '

4

e'(e' - 2ab)

3 =-

c'-(a-b)'

8

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak (x+ y+ I/1z)' + (x+ my+ z)' +(mx+ y+ z)' ima konstantnu , , ( )' , (x-y)"+(y-z)-+ x-zvrednost, za sve vrednosti x. y i z.

III


988.* Odredite sume: 3 5

1'·2'

2'·3'

7 3"4-

I

2

3

2n + I ." n-(I1+I)-

a ) - - + - - + - -., + ... + .,

nEN ,'

n

b ) - - + - - + - - + ... + , " 1"2' 3" 5' 5"7' (211-1)-(211+1)

996. nE N.

997.

Uprostiti racionalne izraze (989-996):

989.

990.

991.

(~+i)' -(I~-bI)' a' b' (

I

(a + b)'

I)' (I

(_I + _I) + b'

(I-x')(x-x ' )

I- x

x - x'

+

+

X

C,

•-

X

10

+ b\)+ (a:b)'

C,

abc b+c a+c a+b I I 3

- - +-- + - - - - - -

a+c a+ b a+ b + c abc 3+--+--+-b+c a+c a+ b 995.* I I I --+--+-b+c c+a a+ b

1000.

I

+ y + z + xyz) +(1 b -I .

I

x)( 1- y)( 1- z)

c -I

+ ( I + x)(1 + ),)(1 + zl,

zax = - - Y = - - ' Z= - a+ I' b+1 c +I ' . a-b b- c . c- a Ako Je x = - - , Y = - - I Z = - -, tada je a+ b b+c e +a (J + x)(l + y)( 1+ z) = (I - x)( 1 - y) (1 - z). Dokazati . Izracunati vrednost izraza

a-x b-x a'+b ' ab A=---+--,zax = - -. b-x a-x x ' - (a +b) x+ab a+b . 1- x I+x . Ako Je A(x) = - - , B(x) = - -, tada Je I+x I- x A(B(x» . B(A(x)) + 1= O. Dokazati. Ako je a + b + e = 0, dokazati da je (1001-1004):

l + b,)+ (a:b) S

~U' -c~) + iC, -a ~C2 -:' b+c

b

x' _ x·

I I I - (b-c) + -(c - a) + - (a- b) abc

I

a

999.

(I-x')(x-x')(x ' -x')+

--+--+--

110

a' - b'

(a + b) '

l ,) +

994.*

998.

I ),.

2 (~+ ~)).

(1- x')(x- x')(x' - x')(x ' - x')

992.* (a+IW

993.*

(a' + b')' - (a ' - b')'

I - x'

--+

A = 2(x

(;;> + b' -

a'

___

a-I

I

(a+b)'-(a-b)'

2(-a:b+c+a-:+ c + a + : _ )+3 c I~_ + +---a + b + c a - b + c a + b - c Izracunati vrednost izraza:

r

(~+H

100t.* a ' + b ' + e ' = 3abe.

1003.*

1004.*

a' a-'-( b - c)

,

a'(a' - 2bc)

, a -(b-e)'

+ +

b'

+

b' -(a-e) ' b'(b' - 2ae) b' -(a-e)'

+

e

3 =-

e' - (a -b) '

4

e'(e' - 2ab)

3 =-

c'-(a-b)'

8

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak (x+ y+ I/1z)' + (x+ my+ z)' +(mx+ y+ z)' ima konstantnu , , ( )' , (x-y)"+(y-z)-+ x-zvrednost, za sve vrednosti x. y i z.

III


VII G L A V A

Odrediti realan broj m tako da razlomak X l - mx' - 3(3 - m) X - I . ___:::....,_=_-=.~-;;-~..:.--.:..-::--Ima

konslantnll vrednosl

7. H OMOT ETIJA J SLlCNOST

(m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m za svako x.

7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teoTerna

-.!. + ~ = 0, dokazati da je (1007-1008): abc b+c c +a a+b

Ako je -.!. +

1007.*

--+--+--=-3.

1008.*

- - + - - + - - = - - - - --' b+c a+c a+b abc

abc

abc

:2

m2

n2

p2

m2

a'

b'

c'

X

+ n2 + p2 2

' •

+ Y + z·

SA = SA'

SB = SB"

1010.

Datu duz AB podel iti na Iri dela proporeiona lna duzima clje s u duzine m, 17 i p .

lOll.

Konstruisati tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc su m i 17 date dllzi.

1012.

Na poillpravoj Ax dala je tacka B . Konslruisali na ovoj polupravoj

1013.

AB 5 =-. AC 8 Datu dlli AB podeliti na 5 jednakih delova.

1014.

Ako Sll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiina:

'2

. mnp.x Y Z ' 1009.* Akoje -=-=-1-+ - + , = I, ta daje x Y z a' b' c'

- , +- , +- , = ,

AB p ll q~ A'B'

gde je k koefieijent proporeionalnosti.

a'+b ' + c

2

Talesova teorerna. Neka s u a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tackarna A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc'

.

Dokazatl.

.

tackll C , tak 0 daje -

a) a . b', lOIS.

a·b

c

1017. 1018.

1019.

a+ b

,

d) a a

b'

Ako su date duz i cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je duZina: a)-;

1016.

e) a - b,.

a b'

b) - '

a+b b ) - -;

c

a+b e)--. a- c

Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2 : 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti spolja~nju lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5 : 2. Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i B~I (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drugorn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3. 113

112


1020.

1021.

1022.

1023.

1024.

Neka je T teziste trougla ABC. Konstruisane su prave koj e sadrie tacku T i patalelne su sa AB i AC, i koje seku stranicu BC u tackal113 DiE. a) Odred iti odnose BD :BC i EC : BC; b) Dokazat, da su duzi BD, DE i EC jednake. Na jednom kraku ugl a MON , pocevsi od tell1ena. konstrui su se duzi OA, AB i BC, koje stoje u odnosu I : 2 : 3. Na drllgOll1 kraku konSlruisana je dui OA, = 5cll1.Vazi i BB, II AA , i CC, II AA ,. Odrediti duzinu odsecaka A, B, i B,C,. Dat je trollgao ABC. Na pravoj BC dat je l1lspored tacaka 0 - B - C - E tako da je BD = BC = CE o Neka j e OF li B i EF IIC, a presek pravih FA i BC je tacka M. Dokazati da je: a) MB :BD = = MC :CE; b) jednakost MB = MC; c) tacka A teZiste tToug la DEF. Simetrala unutrasnjeg llgla trollgla ABC deli stranicu naspram lemena iz kojeg polazi na dva odsecka koji su proporeionalni sa ostalim dvema stranieama trougla . Dokazati. Simetrala spo ljalinjeg ugla tTougla ABC deli stranieu naspram temen a iz kojeg polazi na dva odsecka, koji Sll proporeionalni sa ostalim dvema stranieama . Dokazati.

1025.

U trouglu ABC konstruisanaje simetrala ugla A. Straniea AB = 8 cI11, AC= 14 em, a odsecak BD je za 3 em manji od odsecka DC(B- D-C). Izracunati stranieu BC.

1026.

U jednakokrakom trouglu krakje dodimom tackom upi sane kruznice podeljen u razmeri 7: 5 (racunajuci od vrha) . Odrediti odnos kraka i osnoviee.

1027.

Straniee trougla ABC su a, b, c. Nekaje BD simetral a ugla B, 0 presek simetrala uglova B i C. Odrediti odnos 00: OB. 7.2. Homotctija

Ako je 0 data tacka a k dati realan broj razlicit od nule. Preslikavanje u oznaci ho figureF na figuruF' pri kojem svakoj tacki M figureF pridruzuje tackll M' figure F' tako da je

OM ' =kOM, naziva se homotetija. Tacka 0 je eentat homotetije, k je koefieijent homotetije. Simbolicki: ho(F)

114

=F' '*f. ~ OM' = k OM.

1028.

Konstruisati h01l10leti cnu sliku za datu pravu (ugao_ trougao, kruzniea) ako Je data tatka centar hOll1otetije i ako jc: I a)k= 2';

I b) k=- 2':

e)k= 2;

d)k=-2.

1029.

Konstruisati h0l110teticnu sli ku datog cetvorougla ABCD ako Je: ... k =-; 3 a) A eentar I10l110tet'Je, 2 b) S eentar b0l110tetije i k = - I, gde je S srediste jedne straniee cetvorougla.

1030.

Primenom homotetij e, datu duz AB podeliti na: a) tri odsecka, koj i su proporeionaln i datil11 odseccima b) pet jednakih delova.

III.

n, p;

1031.

U dati ostrougli /:; ABC upi sati jednakostranican tTougao MNP.

1032.

Konstruisati kruinieu koja dodiruje krake datog ugla xSy i sadrii datu lackll A.

1033.

H0l11010gne simetrale uglova dva homoteticna trougla paralel nc su Dokazali .

Date su dYe kruzniee K(O) i K,(O , ), tako daje K n K, = {MI i dYe pravc p, q, tako da je pn 'I = {M) . Ako je K n pt A. M I. K,flp={M , B), Kflq={C,M} i K , nq={M.D I . lada JC AC II BD . Dokazati . 1035. Date su dYe kruznice . U jednu je upisan cetvorollgao. a u drugu treba upisati cetvorougao sli can prvom. \036. U dati trougao upisati trougao cij e su stranice paralelne trima dalim neparalelnim pravama. 1037.* Konstruisati trapez, ako se duZa osnoviea, jedan krak i visina odnose kao III : n : p i ako Sll dati ostar ugao izmedll duze osnOVlce , drugog kraka, kao i dijagonala koja sadrii teme datog ugla. 1038.* Konstruisati jednakokraki trapez date visine ako se krak. razlika osnoyiea i dijagonala odnose kao Ill: n : p. 1039. Konstruisati paralelogram ako su dati odnos dijagonala. ugao izmedu dijagonala i vis ina koja odgovara JednoJ stran,cl. .. . . I I k su dati odnos nJegovlh 1040. U dati trougao up,sat' para e ogral11 a 0 . . .. d straniea, ostar ugao jednak ug Iu troug Ia .I J'edna straDlea kOJa pnpa a bilo kojoj straniei trougla. 1034.

115


1041.

U dati krui:ni odsecak llpisati pravollgaon ik ako j e odnos dijagonale i jeclne straniee In : n, a duza strana pri pada tetivi kruznog odsecka.

1042.

U dati konveksni kruzni isecak lIpisati : a) kruznieu; b) pravougaonik cije straniee stoj e u odnosu III : 11; c) kvadral.

1050.

1043.* Date su tacke A i B i prava p kojoj ne pripadaj u date tacke. K onstru i· sati krufuieu koja sadrZi date tacke i dod iruj e da tu pravu . 1044 .* Data je tacka A i prave p i I. Konstruisati kruznieu koja sadrZi tacku A i dodiruj e pravu p, a eentar joj pripada pravoj I. 7.3. Slicnost trouglova

0

Ak' . AB BC ojena pnmer -- = - - /I LA = L A ' a ug lovi C i C' su iIi oba ostra

A'B ' B'C ' iIi oba tupa, tada je /';. ABC - /';. A'B'C'.

b) /';. ABC - /';. A'B' C' =>

~ = :!...

h'

S'

a"

d'

ABC- /';. A' B'C' =>.!-.-= a'. pi d2

Datje tToligao ABC straniea AB = 20cm ,BC = 12em I CA = 16em Duz MN paralelna je straniei AB , gde M E BC, N E Ae. Odrediti dllz lvfN ako je elvl = 3 em.

1052.

Odgovarajuce straniee dva sljcna trougla su 15 em i 6 em visina koj aodgovara v ecoj strani ei je 8 em . 1zracunati visinu koja odgovara manjoj stramel.

1053.

Strani ea trougl a AB = 8 em, a visina koja joj odgovara iznosi 6 em: na kom rastojanj ll od temena C treba konstruisati pravu paralelnu sa AB tako daje njen odsecak izrnedu dveju straniea trouglajednak 4 em?

1054.

Dat je jednakokrak i tro ugao osnoviee 3 dm i kraka 6 dm. Odsecak prave, paralelne osnoviei izOledu krakova, jednak je odsecku kraka koji je blizi osnoviei. Odrediti odsecak prave izrnedll krakova.

lOSS.

U trouglu ABC Sll strani ee AB = 15em i AC = IOem. Konstruisana j e simetrala AD ugla A, D E Be. Dliz DE II AB, E E Ae. Odrediti duzi AE , EC i DE .

0

4 ·

~ = !!....

1051.

0 Ak " oa pnmer LA = L A' /I AB AC o je - = - - tadaj'e /';. ABC - /';. A'B'C'. 2 ·

A'B' A'B ' Ak' . AB AC BC 3 · o jeoa pnOler -- = - - = - - tada j·e/';.ABC - /';.A 'B'C' A'B' A'C' B 'C' .

a) /';. ABC - /';. A'B'C' =>

c)/';.

Stavovi 0 slicnosti trouglova. Uocimo trouglove /';. ABC i /';. A 'B 'C'. 1°. Ako je oa primer L A = L A' /I LB = L B ' tad a j e /';. ABC - /';. A'B 'C'.

Data su dva troug la /';. ABC i /';. A' B' C' Ako su od ' .. . . h' . . , b' . . , . govarajuee VIStne h I ,straillee a I a, 0 1011 S IS , povrsine PiP', dokaza II. .Imp I'k .. . I aelje:

'

Tacka D pripada straniei AB trougla ABC, duz DK paraleloa j e straniei AC, tacka K E BC. Odrediti duziou duzi BK ako je AD : DB 5 : 6 i BC 22.

1056.

Straniee trougla su 26 em, 38 em i 46 em, a najmanja straniea njemu slicnog trougla iznosi 13 em. Odrediti ostale straniee drugog trougla.

1057.

1046.

Ako su dva trougla sli coa, onda su ojihove medij ane proporeionalne odgovarajucirn straoiearna. Dokazati.

Straniee troug la su 27 ,2 1 i 18. Odrediti straniee njemu slicnog trougla ako je koefieij ent slicnosti 5 : 3 i konsrruisati ovaj trougao.

1058.

1047.

Visine u j eclnom trouglu su obmuto proporeiooalne odgovarajucim slraoiearna. Dokazati.

Straniee trougla odnose se kao 3 : 6 : 5, a Ilajveca straniea sli cnog tro ug la iznos i 3,6 dm. Odrediti obim drugog trollgla.

1059.

1048.

Proizvod bilo koje dye straniee trougla jednak je proizvodu visine kOja odgovara trecoj straoiei i precoika opisane kruzoiee oko tro ugla. Dokazati .

U trouglovima ABC i PQR L A = L Q, L C = L P, AB = 16 em. AC = 20 em , QR = 12 em i PQ je veca od BC za 13 em. Odredi ti 0 tale straniee oba trougla. Dva troug la su sliena. Zbir dye odgovarajuce visine je 121 cm. a koeficij ent slicnosti iznosi 1,75. Odrediti visine.

1045.

=

1049.

=

Odsecak koji spaja podnozja bilo koje dye visine datog trougla odseea od njega trougao slican datom trouglu . Dokazati.

1060. 1061.

U trouglu ABC dato je AC=30 em, BC=26 em i visina CH=24em. Odrediti poluprecnik opisane krufu iee. 1\7

116


U kruznici poluprecnika 32,5 em upisan je lrollgao ABC Slrane AC = 60 cm i BC = 52 cm. Odrediti vi sinu CH trollgl a. 1063.* Vis ina CD jednakokrakog trougla ABC sa vrhom C secc opisanu kruznicu u tacki E. Dokazati sli cnost trollglova DBC i BCE i taenost jednakosti BC 2 = CD . CE . 1062.

1064.

Krak jednakokrakog trougla je 12 cm, a visina koja odgova ra osnovici je 8 cm. Odrediti polupreenik opisanc kruzniee.

1065_* Tackom K na precniku AB kruzniee konstrllisana je prava I , normalna na ovaj precnik . Proi zvolj na tacka M krllzni cc spojcna JC sa tackama A i B. Prave MA i MB sekll pravll I 1I odgovarajllcim tackama C i D. a) Dokazati jednakost KC . KD = AK . KB ; b) Tacka E simetricna je tacki B 1I odnosli na K. Dokazat i da je t!.KA C -t!.KDE. 1066.* U t!. ABC za lIglove a , f3 i straniee a, b i c vazi impli kaeija f3 = 2 a ~ b ' = a(a + c). Dokazati . 1067. Stranice paralelograma su a i b, a veca visina jednaka je manjoj stranici. Odrediti drugu visinu.

I

1068_

Straniee paralelograma su 16 em i 12 em, a zbir njegovih vis ina je 24,5 cm. Izracunati visine.

1069.

Visine paralelograma su 4 em i 6 em, a obim 30 cm. Izracunati stranice paralelograma.

1070.

Prava p sadrii jedno teme romba i na produZeeima drugih dvejll straniea odseea odsecke. Dokazati da je straniea romba geometrij ska sredina ovih odsecaka.

'

107y* U trapezu ABCD L BCA = L CDA; dokazati da je dijagonala AC geometrijska sredina osnovica trapeza. 1072_ Dijagonale trapeza presecnom tackom pode ljene Sll u odnosu m : n, a srednja linija trapeza je s. 1zracunati osnovice trapeza. 1073_ Osnoviee trapeza 5U a i b, a visina h. Odrediti rastojanj e presecne tacke dijagonal a do vece osnoviee. 1074. Osnovice trapeza su a i b, a krak c. lzracunati pomocli njih duzin u x, za koju treba produziti krak c do preseka sa drugim krakom. 1075. Na geografskoj karti rastojanja izmedu tIi mesta su 6 cm, 5 em, i 4,5 em. Najvece od ovih rastojanja u prirodi iznosi 15 km. Odrediti najmal~e rastojanje u prirodi i razmeru karte. 118

1076.

Utvrdit i kada Sli sli cna: a) dva kvadrata: b) dva romba: e) dva pra vougaoni ka: d) dva paralelograma; e) dva trapcza.

1077.

Straniee petoug la su: 3,5 em; 1,4 em; 2.8 em; 2, I em i 4.2 em NaJmanJa stramea nJ emu siIcnog petougla Je 1,2 em; izratllnali ostal e stranlee ovog pelOugla.

107S.

Najveca stra niea petougla iznos i 14 em. a ob im 46 em. Izracunall obim njemu sli cnog petougla, ako je njegova najveca maniea 21 em. Dve odgovarajllce strani ee slicnih mnogouglova 17.110Se 35 em i 14 cm a razlika njihovih obima je 60 em. Izracunat i njihovc obi me. '

1079. 10SO.

lOSt. IOS2.

U jednakokrakom trouglu osnovice 12 em i kraka 18 cm upisana je kntzniea i konstrui san a je tangenta paralelna osnoviei . IzraClInalI duzinu odsecka tangente izmedu krak ova trougla. StTaniee trougla odnose se kao 2 : 3 : 4. a obim njemll slicnog trougl" iZllosi 83,7 elll. Izraellnati strani ee drugog Irougla.

IOS3.

Strani ee cetvorougla odnose se kao 20 : 15 : 9 . 8, a zbir dYe mllllje straniee njelllu slicnog eetvorougla je 25.5 em. Odred lti stramcc drugog cervorougla. KOl1strui sati t!. ABC akoje dalO:L II = a. L B = f3 i visi naCC I = h .

1084. 108S.

Konstruisati jednakostranican trougao date visine h. Konstruisati trougao sliean dalOm ako mu je data tezisna duz.

IOS6. Konstruisati trougao sli ean datom ali dva puta vecih slraniea. 1087.* Konstruisati trougao ako su data dva ugla i tezisna duz kOja odgovara straniei na kOJoj Sll nal egli dall uglovi. 108S.* KOl1stntisati trougao ako su dati jedna stranlea. jedan ugao na njOj I razmera dye druge straoiee. 1089.· Poluprecniei dveju kntzni ea su R i r, a njihovo eemralno :astojanjc d (d > R + r ). lzraclInati rastojanj e presccnc tacke zajedI1lck Ih unutrasnjih tangenata od s rcdi ~ ta datih krumiea. 1090.• PIimenom slicnosti trouglova dokazati da teziste delI "aku tei!. nl! duz u odnosu 2 : I. 109\.· Dokazati da je konstaman proi zvod odsecaka kOJe ortoeentar Irougla gradi na istoj vi ini. 119


1092.* Neka je E srediste straniee AB kvadrata ABCD. OW'editi u kojoj ra· zmeri duz DE deli dijagonalu AC.

1103.

Kruzniee (0, R) i (0" r) su spoljaiinje sa zajednickom tatkom T. Konstruisana je spoljasnja zajednicka tangenta AB. Dokazau: 1° da je duzina I tangente AB geometrijska srcdina pre nika kruZniee: 2° da se duz AB vidi iz tacke T pod pravim uglom; 3° daje 00 , tangent a kruzniee precnika AB.

1104.

U pravouglom trouglu katete su a i b, njihove projckcije na hipote. nuzi c su p i q hipotenuzi na visina h. Odrediti ostala cetiri elementa ako su data dva : a)b= 156em,q= 144 cm; b) p= 225em, q= 64em; e)a= 136cm, h= 120cm; d)a = 130 em. b= 312em; e) p = 16 el11 , q = 9 em.

1093.* Na osnoviei AB jednakokrakog trougla ABC data je tacka M, tako da je AM = k. Odrediti rastojanje tacke M od krakova ~ ABC u funkeiji a, b, k, gde je AB = a i AC = BC = b. 1094.

U jednakokrakog trougla cija je osnoviea a i krak b, ugao na osnovici 72°. Dokazati da je b = ~a (a + b) .

1095.

Data je kruznica k i tacka M van nje. Iz tacke M konstruisana je tan· genta ( i seciea s, tako da je s n k = {A, B} a Ink = {T} . Ako je MA = 4 em i ME = 9 em, izracunati MT.

1096.

U jednakokrakom trouglu eentar upisane kruzniee deli visinu koja odgovara osnoviei u razmeri 12:5, krakje 60 em. Izracunati osno· vieu.

1097.

Datje jednakokraki trougao ABC sa vrhom B, osnov iee b i krakoma. Ako su AN i CM simetrale uglova A i C, odrediti duz MN.

1105.

Katete pravouglog trougla su 12 em i 35 em. Odrediti medijanu kOJa odgovara hipotenuzi.

1098.

U trouglu ABC prava CD je simetrala ugJa C, tacka E pripada stra· niei BC, B-E -G,DEIIAC, B -D - A. Ako jeBC =a, AC=b, izracunati DE .

1106.

Oat je jednakokraki trougao osnoviee 36 dm i kraka 30 dm. Odredlli visinu koja odgovara osnoviei.

1107.

1099.

TaokaF E AD straniei paralelograma ABCD, A - D - F . BF sece di· jagonaJu AC u E i stranieuDC u G. Ako jeEF = 32 em, i GF =24 em, izracunati BE .

U jednakokrakom tfOlIglu vis ina deli krak na odsecke duZine 7 em 2 em, racunajuci od vrha. Odrediti osnovieu trougla.

1108.

Obim romba iznosi 100 mm, jedna dijagonala 30 mrn. Izracunati drugu dijagonalll romba.

7.4. Primena slicnosti kod pravouglog trougla

1109.

Osnoviee jednakokrakog trapeza su 2 1 em i II em, a visina je 12 em. Odred iti krak.

1110.

Dve kruznice, poluprecnika 15 em i 20 em. seku se .I.zracunou njihovu centralnu razdaljinu ako je duzina njihove Z3Jcdmcke tcll\e 24 em. Precnik kruzniee upisane u jednakokrakom trapezll je gcometriJska sredina osnovica rrapcza. Dokazati. U jednakokrakom lrapezu osnoviea 16 em i 9 em upisnna JC kruiniea. [zracunali poluprecnik kruzniee. U svakom pravouglom trouglu zbir b teta jednak Je zbiru hlpolenuze i precnika upisane kruinice. Dokazall. Srednja linija jednakokrakog trapeza iznosi 4 dm. a visina 3 dm Izracunati dij agonalll trapeza.

Ako je trougao ABC pravougli L C = 90°, a i b katete, c hipotenuza, h hipo· tenuzina visina CC ', p i q duZine odsecaka Be'i AC' na hipotenuzi, tada vaZi: a' = pc, b' = cq, h' = pq, a' + b' = c'. 1100.

Ako je ~ ABC pravougli trougao sa pravim uglom C, C/, b, c redom duZine straniea BC , CA, AB, h duZina vi sine CG', p i q i duzine odsecaka BG' i AG' na hipotenuzi, tada vazi: (1) t1 ACC' - t1 ABC, t1 CBC' - ~ ABC i 6. ACG' - t1 BCG' (2) a' = pc, b' = cq, h' = pq. Dokazati.

c',

1101.

Za svaki pravougli trougao vazi a ' + b' = kateta, c duZina hipotenuze. Dokazati.

1102.

Ako su a i b duzine kateta, h duzina visine, koja odgovara hipotenuzi, · I I 1 , ta da J e - = - + - . 0k 0 azaU.

h'

a'

1111. 1112. 1113.

gde su a i b duzine 1114.

I

b'

121

120


1116.

U pravouglom trapezu razlika kvadrata dijagona la jednaka je razlici Intadrata osnovica. Dokazat i. Konstruisati geometrijsku sredinu za dye date duzi a i b.

1117.

Date su dYe duzi cij e su duzine a i b. Konstruisati duz duzine:

1115.

a)x =

~a' + b';

b) y =~a2 -b ' . Konstruisati odsecak duzine x ako je x = a.Jk , gde je a duzina date duzi, a k pozitivan broj . + cd, gde Sll a, b, c, die date 11l9.* Konstruisati odsecak x ako je x = duzi. e

11IS.

~ab

1120.

Konstruisati duz cij e su duzine redom datu jedinicnu duz,

llit.

Konstruisati duz cij e Sll duzi ne redom : a) x=

~4a 2 + b';

I I I c)-=-+-; 2 2 2 0 x b I I I d ) - = - - -' 2 xl a h2 ' e)x' =a' +ab; X'

= b ' - ab;

gde Sll a i b (a < b) dui.ine datih duzi. 1I22. Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data kvadrata; b) razlici dva data kvadrata. 1I23.* Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data pravougaonika; b) razlici dva data pravougaolllka. 1124.* Odrediti stranicu pravilnog: a) osmougla i b) dvanaestougla u funkciji poluprecnika R opisane kruznice. 1125.* Konstruisati kvadrat jednak razlici dva data jednakostranicna trougla.

122

1127.

Ako su stranice trougla AS.C : a = 2pq, b = p ' - q', c = p ' + 1/ ' . gde su p I,q (p > q) rna kOJI celt brojevi , lada je !Tougao ABC pra. vougl !. DOKazat!. (TakvI trouglovl se nazlvaJu Pitagorini.)

112S.* ~o S,lI a i b katete, a c hipotenllza pravouglog trollgla, tada je I,; + Ii. = 51; , gde su la ' I. I Ie teziSne duzi trougla. Dokll7.ati. 1129. A~o su ;1i b ?sno\ice, c i d kraci, a d, i d, dijagonale trapeza. tada JC d,- + di = c· + d' + 2ab. Dokazat!. 1130.- Prilllenolll Pitagorine teorellle i slicnosti trouglova dokazati da JC

povrsina trollgla P: I

a)P=vs(s-a)(s-bj(s - c),

fi , .fIi, 117 u odnosu na

b) x =~9a 2 - 4b';

f)

1126.- Konstrllisati kvadrat jednak zbiru dva data rornba.

abc

b)P='4R'

cJP=s·r.

gde Sll a, b i c stranice, s poluobim, i P povrsina lrougla. a R I r poillprecnici opisane i lIpisane kruznice trougla. 1131.

Ako Sll a, b i c srranice trollg la ABC i ugao ri < 90°. lada je a' = b ' + c' - 2cb, (Kamoov obrazac), gde je b, ortogonalna projekcija stranicc AC na stranicu AB. Dokazau.

1132.* Ako su a, b i c stranice trougla ABC i ugao A > 90°, onda JC a' = b ' + c' + 2cb" gde je h, ortogonalna projekciJa stranice riC na AB. Ookazati. 1133. Secice AB i CD krui nice k(O ,R ) seku se u tacki P. Tacke A, B. C, D pripadaju krui.nici k. Proizvod odsecaka PA i PB. odnosno PC ! PD. konstantan je. Ookazati. 1134. Ako se tetive AB i CD kruznice k(O,R) seku u tacki P, tada JC PA . PB = PC , PD. Dokazati. 1135. Ako se tetive AB i CD knlznice k(O,R) seku u tacki P. tada JC PA ' PB =PC · PD. Dokazati. 1136. Secica AB kruznice k(O. R) i tangenta ( konstruisana u taNI .111 krllznice k seku se u tacki P. Dokazati da je PM' = PA . PB. 1137.* Datu dui AB = a tackom M podeliti po zlamorn presekll (:;.:crio aweaJ. Primcdba. _ Ako je neka dllz podeljena na dva nejednaka dela tako da je \ ~c. dec geometrij ska sredina cele duii i manjeg dela. kaie se da Je la duz podelj ena po zlatnom preseku. 113S.

Iz spoljaSnje taake P kruznice k( 0, R) konstruisane su m?gcnma dll.l x i secica s, koja sa kruinicom k ob~7.uje odsecke kOjl tOJ~ u ra· zmeri 11/ : n. Ako je duZin8 telive nB setle! Q, odrcdltltangenmu dUL T


1139.

lz spolj asnje tacke P kruzlliee k(O , R) kons truisana je seciea s cij a je spolja~nja dliZina a. Tangentna duz konstruisana iz iste tacke je duzine 2a. [zracunati duzinu tetive x koja pripada sec iei s.

1140.

Straniee tTougla ABC su: BC = 15 em, lie = 13 em i AB = 4 em. Odrediti oblik trougla i izracunati visinu koja odgovara straniei AB.

1141:* Dve dijagonale praviln og petougla sekll se u tacki M . Dokazati da su obe dijagonale tackom M podeljene po z latnom preseku. 1142.* Dal je pravougaon ik ABCD, gde je AB = 2AD. Lz temena A konstruisana je noml ala na dijagonalu BD , koja sece str~ nieu CD u I tacki E. Tada j e duz DE = - DC. Dokazati . 4 11 43.* Dat je paralelogram ABCD. Prava p sadrii terne C i sece dijagonalu BD u tacki F, a stranieu AD u tacki E , tako da je BF = 4DE. Dokazati da je AE = 3DE. 1144.

Date su dYe kruZnice k(O, r) i k, (0,,1',), koje se seku u tackama A i B. Tangentne duz i konstruisane iz ma koje tacke P prave AB na krumice k i k, jednake suo Dokazati.

1145.

Ako je u jednakokrakom trouglu osnoviea jednaka visini koja joj odgovara, ~. a = lIa = 8 em. Izracunati poluprecnik opisane kntmiee.

1146.

U trougao date straniee 30 em i odgovarajuce visine 10 em, upisan je jednakokrako pravougli trougao. tako da je hipotenuza paralelna datoj straniei, a teme pravog ugla pripada datoj straniei . Iz racunati hipotenuzu.

1147.* Dat je pravougaonik ABCD. Iz jednog temena konslruisana je normala na jednu dijagonalu, koja deli pray lIgao u razmeri 3 : I. Izracunati ugao izmedu ove norma Ie i druge dijagonale. 1148.

U jednakokraki trougao osnoviee 18 em i kraka 27 em upisana je kruinica. Izracunati rastojanje dodimih tacaka na kraeima.

1149.

U kruznieu poluprecnika r upisan je jedna\(okraki trougao, kod koga je zbir osnoviee i visine jednak precniku kruzniee. Izracunati visinu.

1150.

U trougao os novice 12 em i odgovarajuce visine 9 em upisan je polukrug. Precnik polukruga paralelan je datoj straniei, krajnje tacke precnika pripadaju drugim dvema stranieama trougla. Polukrug dodiruje datu stranicu. Odrediti poluprecnik polukruga.

1151.

Poluprecnik kruznog isecka je r, a njegova najveca tetiva a, Izracunati poluprecnik kruzniee upisane u kruzni isecak.

124

1152.

Iz ma X' â&#x20AC;˘ . koje tacke van kruzniee konstruisane su t"nge u n ta I. se~lea na kruznleu, tako da m edusobno obrawju pray ugao . Tangenlna duz je 12 dm, a tetlva Je 10 dm. izraclln atl poluprecni k kruzniee .

1153.

Poluprecnik kruzniee je 8 dm, teti va AB J'e 12 dm . U tae'k'I I I kon'" strUl san~ Je ta.ngenta IZ tacke B tetiva BC paralelna sa tangentom. Odredltl raslOJanJe tangente i tetive BC.

J 154.* Teti ve AB i Ae kruga k su jednake, a tetiva AD sece BC 1I tacki E. Ako Je AC ~ 12 I AE = 8, izracunati AD. (prij emni ispit IZ malematlke za

UPIS

na Beogradski univerzitel, juna 1992),

1155.* Ako je u trouglu ABC lIgao kod temena A dvapul veci ad lIgla kod temena B, a srramea AC = 2, AB = 3, izracunari stranicu Be. (prijernni ispit iz matcmatike za upis na Beogradski uni verzilet, septembra 199 1, god .).

1156.* U kruznom isecku poluprecnika R. upi sana je kruznica poluprecnika

1157.

¡ tsec , ' k a Je ' 2a. D 0 kazall. da Je . -1 = -I + -I , r. T etlva r R a U trouglu osnoviee a i vis ine II upi san j e pravougaonik obima 2s. cija dva temena pripadaju osnoviei rrougla, a dntga dva srran icama trougla. [zracunati straniee pravougaonika u funkeiji od a, h is.

1158.

U trouglu straniea a = 13 em. b = 15 em i c = 14 em upisan je kvadrat, tako da mu dva temena pripadaju osnoviei c a preosta la dva stranieama a i b. l zracunati srranieu kvadrata.

1159.

U trouglu straniea a = 30 em , b = 26 em i c = 28 em upisan je pravougaonik obima 50 em, tako da mu dva temena pripadaj u 0 noviei c, a druga dva stranieama a i b. Izracunati stranice pravougaonika.

125


VIII

GLAVA

1165.

Proverit i taenost jcdnakosti: a) sin 54° = cos 36°; b) cos 75° 30' = sin 14° 30'; c) cos ( 30° - a) = sin (60° + a ). 0° < a < 30°.

1166.

Izracunati vrednost izraza : a) ( sin 60° + sin 30° )( sin 60° - si n 30° ); b) 4 sin 30° + 2 cos 30° - 3 tg 30°; c) 2 sin 60° + 4 cos 60° - tg 60°.

1167.

Ako je a = 30°, dokazati da je: 4 - sin a 25 2

8. TRlGONOMETRlJA PRA VOUGLOG TROUG LA 8.1. Trigonometrijske runkcije ostrog ugla. Osnovne trigonometrijske identicnosti. Resavanje pravouglog trougla

=

Ako je trougao ABC pravougli LC 90°, LA hipotenuza, tada vaze sledece definicije : o . a b 30 a i . sm a = -, 2 . cos a = - , . tg a = - • c c b 0

= a , LB = {J ,a i b kat etc c

I- sin a

b

4°. ctg a = - , a

1168.

c c 6°. coseca= - . b' a 1169.

Osnovne trigonometrijske identicnosti: 1°. sin ' a + cos ' a = I, sin a 2°. tga = - - , cosa cosa 3°. ctga = - . - , sma

4°. tg a ctg a = I , 5°. sin a = 6°. cos a =

tg a

--;0=====

1170.

~I + tg ' a I

~I + tg 'a

.

1160.

Date su katete pravouglog trougla : a = 8 cm i b = 6 cm. Odrediti vrednosti svih trigonometrijskih funkcija uglova a i {J.

1161.

Date su stranice a = 4 cm i b = 3 cm pravougaonika ABCD . Odrediti odgovarajuce vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji dijagonala obrazuje: a) sa vecom stranicom; b) sa manjom stranicom pravougaonika.

1162.

Izracunati vrednosti trigonometrijskih funkcija nagibnog llgla dijagonaie kocke prema osoovi.

1163.

Dati su hipotenuza c = 24 em pravouglog trougla i sin a = 0,8. Izracunati katete.

1164.

Taogens jednog od ostrih uglova pravouglog trougla izoosi 0.75. a manja kateta je 18 em. Odrediti dmgu katetu i hipotenuzu.

126

+

= 0 .

I +sin a

Ako je a = 30°, izraC llnati vrednost izraza: 2 a + sin a; b) sin 2 a - cos a ; c) tg 2 a - tg a; d) cotg 2 a + cotg a. a) cos

5° seca=-

.

,

4 cos - a

Dokazati implikacij u: IJ. ° sin a + cos {J a + fJ = 90 "" = tg a . cos a + sin {J . 9 sin a - 3 cos a ... 00 90' Ako Je . = 2. odredltl 19a I ugao a ( < a < ). 2sm a + cosa

1171.

Odrediti vrednosti ostalih trigonomerrijskih funkcija ako je (1171 1172): a' - 4 a) sin a = 0,6; b) ctg a=~.

t 172.

a) tg a = 0,225;

1173.

6a b) cosa = -,--; a-

+9

sin a + cos a Odrediti vrednosl izraza : 3 . 7 5cos a - sm a ako je sin a = - i 0° < a < 90°. 25 Dokazati sledece jednakosli ( 1174- 11 80):

1174.

sin'a + cos' a + sin ' a cos 'a = I.

1175.

sin ' x = cos' x - cos ' x + sin ' x.

1176.

tg ' a - sin ' a = tg ' a ·sin ' a.

1177.

cotg ' a - cos' a = cos ' a cOlg ' a .

,, ' - 9

c) sin a = ,Cl ·

+


1178.

sin a

1 - cos a

=

I + cos a

1193.

a) Kateta a = 28, IS cm i ugao P= 58; b) kateta b = 18 m i ugao P= 36° 36'.

1194.

a) Kateta a = 261 cm i hipotenuza c = 461 em ' ' b) katela a = .Jl7 cm i b = 2.fi em.

sin a

I + tg x + _ 1_)( 1 + tg x - _ 1-) cos x cos x

= 2tg x.

1179.

(

1180.

cos' a ( tg a + 2)(2 tg a + 1)- 5sin a cosa = 2.

1195.

a) Kateta a = ..fj cm i ugao p = 35° 20'; b) hipotenuza c = 26 em i ugao p = 49° 49'.

1181.

Kakav je trougao za cije ostre uglove vazi jednakost sin 1 a + sin' p = I?

1196.

1182.

Dokazati j ednakost tg x ' tg (90° - xl = I, 0° < x < 90°.

U j.ednako~ak~m trou~ lu dati su krak b =53,3 em i ugao na osnoVICI a = 54 42. OdredllI ugao pn vrhu i osnovicu.

1197.

1I83.

Dokazati da je: a) cos ' 18°+ cos ' 36° +cos ' 54° + cos ' 72° = 2; b) tg 1° · tg ZO· tg 3° ... tg 89° = I. b , dokazati da je: . x = -a- + b tg a 'I y = a tg a + - Ak o Je cosa cos a x 2 _ y2 = a 2 _ b2.

U jednakokrakom trouglu dati su osnoviea a = 30 cm i krak b = 113 cm. Odrediti uglove.

1198.

U jednakokrakom trouglu dati su ugao pri vrhu y =46° 48' i krak b = 20 cm. Odrediti osnovicu i ugao na osnoviei.

1199.

U pravilnom devetouglu poluprecnik upisanog kruga je r = 8 em. Izracunati stranicu devetougla i poluprecnik opisanog kruga.

1200.

U pravilnom desetouglu straniee a = 6,34 1cm odrediti poluprecnik opisanog i upisanog kruga .

1201.

Stranica romba je a = 12 cm i gonale romba.

1202.

Drvo baea senku dugu 5,5 cm, a Suncevi zraci padaju pod uglom od 48°. Odrediti visinu drveta.

1203.

Iz dveju tacaka A i B pravog puta AB = 400 m tacka C van tog puta vidi se pod uglovima L CAB = 60° i L CBA = 45°. Izracunali rastojanje tacke C od pUla AB.

1204.

Ova puta ukrstaju se pod uglom od 75°. Jedno meslo udaljeno je od jednog pUla 6 km, a od raskrSca pUleva 12 km. Koliko je to meslo udaljeno od drugog pUla? Dve sile P = 4372 N i Q = 5642 N su uzajarnno normalne . lzracunati ugao koji zaklapa sila P sa rezultantom sila P i Q, kao i velicinu rezultanle. Sa svetionika visine 120 m iznad mora vidi se brod pod depresionim uglom od 15° 30'. Koliko je brod udaljen od svetionika?

1184.

1185.

1186.

. cos a Ako Je x = --P' y = cos a tg p, z = sin a , izracunati vrednost cos . A = x-' - y-, + z 1 . lZfaza Odrediti sin a i cos a ako je: a) 2 sin a + 3 cos a = 3; b) 3 sin a + 4 cos a = 5; c) sin a + cos a = .J2.

1I87.

Dato je tg a + cotg a = m. lzracunati zbir tg ' a + cotg 1 a.

1188.

Ako je sin a - cos a

1189.

Odrediti osnovne elemente pravouglog trougla ako su dati hipotenuza c = 50 cm i ugao a = 28° 24'.

1190.

Izracunati os tale osnovne elemente pravouglog trougla ako su poznate katete: a = 304 cm i b = 297 cm.

=~,

izracunati sin 4 a + cos' a .

Odrediti ostale osnovne elemente pravouglog trougla ako je dato (1191 1I9S):

1191. 1192.

120S.

1206.

a) Hipotenuza c = 65 em i kateta a = 16 cm; b) kateta a = 70 cm i b = 24 cm.

ugao a =

sr. Odrediti

dija-

Odrediti uslove pod kojima vrlejednakosti i dokazati ih (1207-1213):

J5

a) Hipotenuza c = ern i ugao a = 48°; b) kateta a = 30 em i ugao a = 42° 6'.

o~lar

1207.

1 + sin a cosa

--:----:-- + eos )a -sin )a

I

sin a+cosa

+

sin 1 a - 2cosa - I

,.,

cos-a-SIn a

= Ig

I 1

a-

I

129 128


sin' a+cos' 1208.

1209.

a

(sin a

1+2cos'a

, cos-, a ( tg-a

- c0sa)(I- sin acosa) tg' a + I cos a sin a = tg' a - I cosa - sin a cos a + sin a

I)

=

2

I X GLA V A

tga + I

9. LINEARNE JEDNACINE I NEJEDNACINE 9.1. Linearna jednacina sa jednom nepoznatom

a + sin (3) ' + cos' a cos' f3 = (sin a sin f3 + I) '.

1210.

(sin

12l1.

(cos a + cos

3

1212.. I - sin 6

f3)' 6

+ sin'

a - cos a

a sin f3 ' = (cos a cos f3 + I) '.

= ( tg a + ctg a) '.

1213 .• (tg'a + 1- tga):( 1- ctga + ctg'a) = tg ' a . ctga tga

1°. Jednacina (I) ax= b je op~ti oblik lineame jednacine sajednom nepoznalom, gde je x nepoznata. 2°. Broj r je re~enje jednacine (I) ako je ar = b. 3°. Akojea ,. 0 jednacina (I) imajedinstveno resenje x =

~. Zaistaa~ = b. a

a

4°. Ako je a = 0 i b,. 0, jednacina (I) je nemogu~a i nema re~enja . 5°. Ako je a = 0 i b = 0, jednacina (I) je neodredena i ima beskonacno mnogo re§enja. 6°. Jednacine P(x) = 0 i Q(x) = 0 su ekvivalentne ako je tacna formula P(x) 1214. 1215.

1216.

= 00 Q(x) = O.

Dokazati da su ekvivalentne jednacine 23 - 9 x - II = 24 - 15x i 4x 2 - (3 - 2x)(2 + x) = (2x + 1)(3x - 2). Da Ii su ekvivalentne jednacine: 62- 2(2(2(2x+ 1)+ 1)+ 1)= 0 i 15- 2(3x- 4(x-5(2x+5)+ 3)- 2)= 3(4x- 9)? Dokazati da su ekvivalentne jednacine:

4x+ 19- 6x= 12+ 5xi 1-5(4(3(2x-I)- 2)- 3)+4= O. 1217.

Pokazati da je nemoguca jednacina

x-4

3-x

2

2

1---=--. 1218.

Dokazati da je jednacina 1+_ 3x _ 6x+ _ _ _5 = -3x neodredena.

3 1219.

15

5'

Da Ii su ekvivalentne jednacine x + 2 = 2x - 3 i (x - 5)(x + 2) = (x - 5)(~x - I)?

131

130


Za~to

1220.

jednacina

Resiti jednacine (1232- 1234):

x + 8 = 4x - , x - 2

%)

ima beskonacno mnogo

1221.

1222.

1223.

a)

po x jednacine: a)5(x - I) - 4(x- 3) = - 20; b) 10x - 2(2S- 3x) - 3 = 8(2x- 6) - S; c)3x + 5(x + 2)(x - 2) = 5(x - I)(x + I) + 6.

c) SI ; I _

1233.

Resiti po x j ednacine: a) 1- 4x(x + 3)(2x + 9) + (2x + S)l = 0;

1225.

(x -I )(x - 2)+ (x- 2)(x - 3) - 2(x+ I)(x - 8) = O.

1226.

(x + 8)'+(x+3)' = (x +1 2)'+(x-S)'.

1227.

(\3x + 3)' - (Sx + 10)' = (12x - 3)'. Sx(3x + 10) - (8x + 3)' = (3+ 7 x)(3 - 7 x).

1230.

(x - 0,1)' - 3x(x - 2,1 1) = 7,033 - (2x+ 6,8)(x - 0,8).

1231.

Rlesiti jednacine:

1235.

+ u _ 4u + 3 = _ 2 L d) 9z 4+ 4

2'

a)

17

3y-7 = 0; 4

7 - ( 1- -2 - -z) =7z. 9

2

1,3 - 3x 1,8-8x_ 0,4 - Sx. 2 1,2 0,3 '. 0,18 y - 0, OS O,S

0,02 - 2z c) 002 ,

(2x + S)l - 4x(x + 3)(2x+ 9~+ I = O.

c) 2 - 3u 8

7 x - + 6x -7 x + I 1+ I 1+ Sx 2 4 ---- 2 =a)--+ 3' 24 12 6 2 I+ x 10 - 7 x x - -2xI 3 = I; 3 + b) --x+ 3 2 2 6- x x 3+x 1- - - - -c) _ _=-3_+ x _ 2 4 =3.

b) 12y ,

+ S

31 x =-+4' 10 '

2

2

1234.

y

I

C+t _31 ~ I) = I ~ I; 3

po y jednacine: a) 1,3(y - 0,7) - 0,12(y + 10) = Sy - 9,7S; b) 5(y + 2)(2y + 3) - 2(y - 1)(Sy - 4) = 7S; c)(6y - 3)(2y+ 1) - 5(2y+ I)' +(3y-I)' =(y-I)' .

b)2+

x-

d) (z+ 1)--(z-11)=-(2z-S). @Is S 4 II

Re~iti

x+ 2 x-I a) - S- - 3 = -2- - X;

2

b)y_(3 + 1_ 2 S 2

Re~iti

x(Sx -l ) - (x - 4)(Sx- 2) - (3x - 11)(Sx+ 38) = O.

--

+

Y-7) =S- y + 6 2 '

Y

re~enja?

b) (2x + 3)' - (I + 2x)(2x - I) = x' - (x - I)'; c)( Sx - I)' - S( 2x + 4)( 2x - 4) = I + S( x - I)'.

---

3(x+ I) 2( x - 3) 2 S

1236.

I

7- = 2

= 0,4y+ 8,9',

2(2 - 3z)

0,0 1

2,5.

Ispitati konjunkcije: b) x' - x + 1#-01\ Xl + 1= 0; a) x + 3 ~ 0/\ x ' - 9 = 0; c) Sx - 6 ~ 0/\ 2Sx' - 36 = O. .. A 0 A - 01\ B #- 0 re~ iti jednacine: Koristeci ekvivalenclJu - = "" ,

x-3 a)--=O' x+I '

d) 2x + I = I; x -I

B x+1 b ) - = 0; x' + I 6x-1 e) -

2+x

c)

x(x-2 ) _ . , -0, x - 4

=3.

133


Re~iti

;.-:;:J )

po x jednacine:

2x- 9 3x x- 3 3x- I b ) - - + - - = 2' a)--+--=2; 2x- 5 3x - 2 ' x + 3 3x+ I 9x+l I- x 2x+5 c)---3= + - -; 4x - 3 20x - 15 4x - 3 29 4 3 ----= 24 x- S 2x- 16

6

1+4 1+4

1247.

Pokazati da jednacine:

I

Sz - 16

+

0

I

--+--

1240.

4x-6

8x+12

~~~

1241. \ IOx-18 12x' -27 /

1 242:

3-4z

i

I 18x' - 30x

0

I

4

5

2x+3

ISx-27

9(2x-3)

3(x+l) 12x' - 20x + ISx' - 50

2;t--l 3

"';x -

2

x'-3x-4 x' + x-12

1

6x = O.

x+ 16 - - = 0. x+4

1244. - ,-4 - -'-,- - - -.,... , --y y -4y+4 y +5y+6

=0.

O.

2

I +-=0' x路 + 2X ' + 4x' x' '

+

1-3x I + 3x

12 = 1- 9x' ;

3

2 3 S+9x b) 6x + I - I - 6x = 36x' - I;

4

7

x'+20x+25 + 4x'+4x+1 I

_

(2x+5)(2.r+l )

3

4

9-4x'

9+12x+ 4x'

1249.路 Resiti po y jednacine: a)

3 4y-12

0,75 y - 2 y -6 y +9 ,

= Y1 -9 y ,

y+ 2 7 2 +2 y - 7

4y I 3 1- 6y+ 12y' - Sy' 2(1- 4y') 2 - Sy+ 8y' y c) I _ _ _.::..5-::--.:.- - _ = __I.:..,2~y_-_115y-IO 27 y' -54 y'+36y-8 18 y'-24y+8

b)

.

./

1243:

f)

16z'-9

3(2x+ I) 4x' - 9

--+

1+3x a) 3x _ I

+ 30z - 21 ""

-'----'-=

+

Resiti po x jednacine:

U 9~nx+4X'

--=---

7 - 3z = 12z '

I

emaju resenje .

. d)}

z- I 4z + I 2 3 -+ b)2z'_IS - 4z ' -36 + z+3 2z-6 ) 6Jz +5 -1z +3

,

U

5- z 7 z -I =----Sz - 4z' 8z 2z( z - 2)'

x+1

S - x' 2x' - x' 2x- 3 x' x b ) - - - - = - -; x-2 x+2 4-x'

. esiti po y jednacine:

a)

9-31-21' 13-31 + - - = 0. 16-1' 1-4

--

a)

esiti po z jednacine:

4y+ 11

1246.

2 3x- 24

a)3 y -I_6 y +5+ 9 '11 y-4 3y+9 5y+15 45' 4y - I _ 5y 6y - 4 Y+ I ~--=l+ . b) y -4 3y -12 5y-20 2y-S' y- 3 I c)~- Ily+5 --'---+ -. 2y-l 12(2y-l) 4- 8y 6

2(y+14)

~ y-6- y'-4y-12= y'+3y+2 '

1250.

Resiti po x jednacine (1250-1259) :

a)lxl+2(x-3)=6; b) lx - 2 1=4; c) 13x - 21 + x = 2; d) 21x + II + x - 3 =0: e)lxl+lx-ll= I; f)lx+21+lx- 3 1=5; g) I x-II + I x - 21 + I x - 31 = IS; 4 h)lx-21+lx-II=lx+21; k)2+l x- 6 1=lx- i; 1) I x - 21 + 1x - 31 + 21 x - 41 = 9; m) I x + 11 - 1x 1+ 31 x - 11- 21 x - 21 = x + 2. 13S

134


1251.

1252.

a) :x-21+lx+~= 7;

b)lx +41-lx-71= II;

c) Ix -II-Ix+~= 6;

d) Ix+41-lx-41= 8;

e) Ilx+ 21- ~ = 8;

f) Ilx - 61- 81= 10.

S _6 _ _ + x - S

-x +!

_ 7' - - - - + x - 2

x + 4.fi = 3x.fi - 4.

2x( ..J5 - I) = 3 - x..J5. 1254. (2x-3)' -(x.fi)' = 2(x -.fi)(x-I).

1262.

_ _'--'11'---:-_ _ _ =

1263.

- - - . . , - --

1253.

(2x..J5-I)'-(4x-..J5) ' = (2x - 3..J5)'.

1256.

x+ 2 x +.fi .fi _ I = .fi + I .

1257.

1258.

I

1259.

1264.

I-.fi 1265.

S

I

y-"3

I a)--I - ; = - - 1

3+-

y+-

3

y

y +I-1 y- I

7 C)y+l_y_I="2;

y-I

y +1

3

I

-"3;

3

- y+-

b)~- 4

I

x- S

+

S ! 2

- (x- S)

3 l- x +3

=

4

9

7 6 6

4--x +

+S.

2

3 -+y

-+y 4 4 y+l_y -1 y- I y+ 1 d) y+ I = 2"

1267. 1268.

x

+x_

1

_ _~5____:::__-_

-x+5 _S--+x - 3 7 +x -1 6

= _ _4'--~-7 3 Re§iti po x jednacine: 3x- 5 5x - 3 2x 2x-4 - 4- - - 6h-3

a)----+ 3

1269.

I I--

4

_-,-4_ _ _ + x- 3

y -I

= 3.

= x -12.

3 ..:.5 _ _

1+--

1 - --

+S

4 -x -12

3

4 =_4_. 3 '

Re~iti po x jednacine (1261-1267) : I I a) 1I - 2; b) I

1-I-x

1 2-x-11 3 IS

_ _=-S_ _ _

Rditi po y jednacine:

3-'!' Y

136

5(x - 3)

4 1266.

1261.

7(x- 3)

-

x-3 --+x+2

x

.fi+..J5 1260.

2

2

49

=

S

l - x+9

I I

3 4+ - x+ 1

I

= 3.fi-J3·

72-15 = JIO-I I

37

I

3+

xJ3 + .fi 2x.fi - J3 J3-.fi = J3+.fi . 2J3-.fi x

16 =-

2+ - - - - ; - -

1255.

21.

X-

8

3

4x - 3 _ 2x9 4

5= -3-:

Re§iti po x jednacine (m je realan paramelar): a) m(mx+ I) = 2(2x- 1); b) m'x- m' - 4 = 4m(x-I);

c)m'x+ 4= m(x+4);

d) 10+ 3(x-2)=mx+ 3.

137


1270.

Rcliti po x jednacine (a je realan parametar) : a) I - 30 + 5x = ax - 2a + 4X; b)(x + a)' = x(x + a) + 4a' ;

e)+1271.

l a ,)+a'(x-;)=2.

Re~iti po

y jednacine (a, b, c realni parametri) (1271-1279) : a) (3y - 2c)' - (y - 2c)(2y + c) = 7 y' - 12c'; b) (2y+a)' = 4(y+ I)( y -I)+ 4(y+ 1,25a '); e) y(y - b) - c' = (y - b)(y + b) - cy; d)a(b- y)+ by+ab=a' + b' .

1272.

(a' + 2b' )( x - a) = (2a' + b' )( x + b). 1273. y(a-y)+(b-y)'=a'+3b'. 1274. (x-a)' - (x- b)' + 3(a- b)' = O. 1275.

4( x - a - I)' + 5( x - 30 - 2)' = (3x + I)' .

1276.

芦a'-I)x-I)' +(2ax-I)' = 芦a' + I) x+ I)' . 3ax-(2x- 30)' = (2x+a)(5a- 2x).

1277. 1278. 1279.

4a' - (3x- 2a)' = (5a - x)(5x + 30) - (2x + 3a)'. (2x- 3b)' = (x+ 6b)(x- 9b)( 8x - 12b) - (3b)'. Re~iti po x jednacine (a, b, c, m su realni parametri) (1280-1291).

1280.

a)_3_ _ _ 2_= 3x-7m x-m x+m x 2 _m 2 ' b)(a+b)x _ (a-b)(a-x) (2x+a)(a-b) a-b a+b a+b c x arc 2x) a x __ a +_ x b x e) - - + - - = ;d) - _

a+x a-x a'-b ' 2a+x x-2a ax-2 1281. a j - - + - - = . a+2 a- 2 a' - 4 ' b)3n+x+~= nx-3. n+3 n- 3 n' - 9 ' 3x- 2 x- I 2 e) , +--+-=0路 a-2a a-2 a ' d) 2a - x _ 2a + x _ 2ax 1-2a 2a+1 4a'-1 138

b-a

a+b

a+b a-b --x-4ab= - - x. a- b a+ b a+b b-a a'+b' 1283. - - x = - - x + - - a-b a+b 2 1282.

1284.

I

I

(a'+a)x - a ' +a - a+I-~=;;:

1 x I x 1285. - --:- + - - - - - = --:---(a+I) ' a' +a a+1 a' +2a+1 a a-b b 1286. -= +--x x+ 2a- 4b x- 2a+ 4b 2 3a-4x 3a 1287. 3a + 2x 9a' - 4x' 9a ' - 12ax+ 4x' 2 2a- y 2a+ y 1288. --+ -0 y+4 y' -16 y' - 8y+ 16- . a+2b 2az+5bz+b ' bz+b' 1289. - - + --:;,,---- --,z+a 2z ' -2a' 2z"-4az+2a' a-4x a-4x 4 1290. a'-5a+6 a'-a-6

1291.* a) b)

e)

2ax _ = __ a'-b'

+

ax-ab

a+1 a(x+3)

3ax-5 a(x' +2x-3)

o路,

4

x -I '

_3_= 3x+4 x+ 1 x' + 3x+ 2

d) x - I _ ax a- 3 a' + 30+ 9 1292.

o.

+ --- + --bx-ab bx -b'

ax-a'

2m-5 (m-l)(x+ 2)

o.

2lx-a' a' - 27

Rditi po v jednacinu (M, n, w realni brojevi):

M=n(v+w) v-w 1293.

= O.

Re~iti po I jednacinu (R, r, p realni brojevi):

tr+ p

R

tr-p

"

-=-

139


1294.

. . d X' 2x a 1303. * D ata Je Je na"ma ~8 - -;-,- - _ aa+2a+4

Re.siti po s jednacinu (P, r realni brojevi):

P = r:rr (r + s).

1295.

Re.siti po r jednacinu (v, h realni brojevi): 3v = h-(3r - h),

1296.

Pokazati da je re.senje jednacine (po x): .:..(m~-....:I~)(:..::2.:.:. x_+_m2)

broj . a) Re~iti datu j ednacinu po x.

= (x- m)(m- I) + x(m+ I) , m+1

m+1

1304.

m-I

pozitivno (m dati realan broj za koji vaii m;'; 0 i I m I;.; I), 1297.

Pokazati da je

re~enje

m

b) - L _ _ n _ _ np = O. ÂŁ-1 p-x x' x -I p'

m

-+ I 2

Re~ iti jednacine po x (a, b, e i In realni parametri), (1305-1313):

x - ab x - ae x - be 1305.* - - + - - + - - = a + b + e. a+b a+e b+c

Data je jednacina

x- a x- b x- e I 1306. * - + - - + - - = 2( -+-+ -.

n' - x' x - 2 3 x-I + - - = - - - - (n E Z \ (O}), nx x 2 11

Ako je n E Z \ {O,- I}, onda je re~enj e jednaci ne :

x-I n'+n

a' - x

2x+n' (n+2 )' . = neparan broJ, Dokazati . n+1 n+1

1

be

x+a'

Pokazati da re~enje jednacine

3m 9m 2

-

12mx + 4x 2

4.x;- 3m 9m 2

-

4x'

=

ne zavisi od parametra b.

1)

abc

a+ b- x a+ e- x b+ c- x 4x + + + = 1. e b a a + b+c x+ b x - b b+ x x- b 2x 1308.* - - + - - = +a+b a-b (a+b) ' a'-b' a' x+a+2 x-a-2

1310 â&#x20AC;˘

a- x +2 2(x'-2x+2)+2a(a-x+5) = .2:.._-:-_~_"--_--':" x' _a' - 4a - 4 x+a+2 1

1

. (x-a-b)(x+a+b) + x , +a-' +b , -2ax- 2bx +2ab 2

2x + 3m

~ m.

2 Pokazati da resenje jednacine (a, b, e, realni parametri)

bx-e bx-a -----=1 be ab

ab

=----

2

ne zavisi od realnog pararnetra m ako je m'" 0 i I x I'"

ae

1307.*

1309.*

=

ne zavisi od datih realnih brojeva a i b, (a '" b '" 0, x'" Âą a' ).

1302.

m

pozitivno ako su dati realni brojevi a istog znaka i ako je x'" 0 i Ix I'" a,

--- +

1301.

- -

2

Pokazati da je re~enje date jednacine paran broj, 1299.

x+ -

-+ 1

ax+b ax-b 2ax+4 2 ' + , = , x - ax x- + ax x2 _ a2

1298.

b) Za ~oje je vrednosti broja a reknje date jednacine pozitivan b .? c) Kohko treba da bude a da bi re~enje jednacine bilo x = O? roJ. Re~iti jednacine po x (m, n, p realni parametri): x m+ 1 1 In m a)~ _ _2_= ~;

jednacine (po x):

x-I 2 ' gde je a dati realan a-

(x+a+b)" , 13ll.* x+a+ b x-a- b 2(x'-ax-bx+ab)+ 3(ax' -a'-2ab - b' x-a-b x +a+b=

1312.* 2mx(m + 1) + 3x m' - 27

x+ 1 x + , 9 m- 3 m- + 3m +

+ b') . .

o.

, _m_+_2__ 1313.* m(x' + 8)+ 6 +_m_=_ 8-X' x-2 x' +2x+4 141

140


Rditi jednaljine po x (1314-1317): 1314. 1315. 1316. 1317.

3- x 8- x 2 - x 10- x x + 2 5 - x - - + - - + - - = - - - - - + -- . 8 - x 6- x 4 - x 8- x 6 -x 4 - x 2x + 2 5( x - I) 3x - 3 = 3x' + 6x + 3 12x' - 24x + 12 . 2x' - 2 3( x' -2x' +6 ) x +1 x+2 x +3 --+--+--= . x -I x -2 x -3 ( x -I)(x -2)(x -3) 3+ 2x 1+ 2x

-I ) -5+-2x- = 1 - -2(-2x' ' - - -'-7 + 2x

R~iti jedna~ine

1318. 1319.

7 + 16x + 4x'

po x (a, b, c, m ill S/I rea/l1i broievi) (13 18- 1341):

3 x -a-b

3x -7(a+ b) - -2 - = ---'---'"

a-x m+n-a

2ax a+x =---a+m+n a' -(m+n)"

x +a+b

-'---'--- +

x-2(b+c) b+c-2

(b+c)x-2 . (b+c)'-4

1321.

3(a+b)+ x + _-..0.._"":' x -3(a+b) --'-_-'--_

(a+b)x-3 (a+b )' -9 '

1322.

3x- 2 x-I 2 ------+ +--=0. (b+c)(b+c-2) b+c-2 b+c

1323.·

2(m+n)-x 1-2(m+n)

1324.

2(b+c)+x b+c+2

x ' -(a+b)"

1320.

a+b+3

a+b-3

2(m+n)+x 2(m+n)+1

1326.

(a+ b-I)(2x+a+ b) a+b+1

142

(m+ n)' + b' (m+ n)' - x' .

1329.* _ _--:-~3(.:...a.:._+.::...b~)_ __ 9(a+ b) ' - 12(a + b)x + 4x'

4x - (a + b)

1330.

x + (111+ n)x 2( m+ n) - 5 2(111 + 11 )+ 5

1331..

(111 + I1)X + x 3(II1 + n)-2 3(II1 + n)+ 2

1335.

9(a + b)' - 4x' 2x+ 30+ 3b' 2( m+ 11)' + 3(m+ n)+ 5x 4(m+ n)' - 25

1 111- __ x__ 1 x 111+ x

1 x- -

= ---.!!l.. _ _ I x+m

m

x

a+ - a - b a+ b 1336. --x a- b a- - a+ b

2(m+n)x =0 4(m+n)'-1 .

I

1337.

=(x-a- b)(a+ b-I) + x(a+ b+ I) . a+b+1

2

x( 5m+ 5n+ I)+ m+ n - I 9( m+ n)' - 4 1332.* 2(a+ b)(a + b+ I)x+ 3x x + x+ 1 (a+ b)' - 27 a+ b - 3 (a + b)' + 3(a+ b)+ 9 = O. • x - a x - b X- c 3x 1333 . - - + - - + -- = - - b + c c+a a+ b a + b+ c

a+ b ax

1338.

(m+ n)x _ 2lx- (m+ n)' (m+n) ' +3(m+n)+9 - (m+n) ' -27 .

x-I m+n-3

x + b' (lI1 +n) ' - x

b- c a - d a-d b - c 1334. - - - - - + - - - - - = 0 x - a x - b x- c x -d .

I + I + I + I = O. a(x-a) a(x-b-c) (b+c)(x-a) (b+c)(x-b-c)

1325..

1327..

b' - x x + (m+n )'

1328.

a+b-I

(m+ n)x+ b + (m+ n)x- b _ .:...2(~m_+_n-=)_x_+-:-4 (m+n)'-(m+n)x (m+n)'+(m+n)x - (m+n) ' -x"

1339.

a =a- b 2 ab

a bx + a' xa+b a b

+

a+b 2a -b =-a ' + b' x -a a a- b

~ +1-+ 2 = 0.

- - a x

- - b x

143


1340.

1 1 3 1 2 1 3- x+4 2x+ 2 - x+ 1 6 - x-3 - - x+ 1 2 2 + _5__ . 2 + _ _5 =....:.5__ 12 120 10 3 10

1

1

a+1 x+1 x. 1341.* -+- - 1: [a+1 - - - a(x+1) + 1 =ax+l 1 I ax+1 2 [ x+ -

x+ -

a

a

Re~iti j ednacine po

1342.·

1350.* Rditi jednacinu l(ftx» = I, ako je f(x)

Re ~ iti jednacine po x(a, b, c realn i brojevi), (1351-1353):

1351.

1353.-

2x-a

1354.

a+x

+ ax + x

2

ax -I

+

a-x

Ja

a ~ -ax +x~

x-a

x-o-I

x-b

x - b- I

x -o-l

x-0-2

x-b-I

x-b-f

Zbir dva broja j e 45, a njihov kolitnik jednak je 7 : 8. Odrcditi ave

brojeve. 1355. Zbir dva broja je 47. Ako veci podelimo manjim, dobija se koli~nik 2, a ostatak je 5. Koji su to brojevi? 1356. lmenilac jednog razlomka je za 2 veci od brojioca. Ako se oduzme 1 od brojioca i imenioca razlomka I, dobije se 2" Odrcdili razlomak.

x-c 0+ b

1344.· - - + - - + - - = 3 x

1345.*

a

9.2. Primena Iinearnih jednacina sa jednom nepoznatom na rdavanje raznlh problema

1 1 Q- x-__ x __ = __a__ _ 1343.* 1 x 1 a 0+x+x a

x-b c+a

cx- 1

C

Ol

(~+ a~xL~x +~)~=L x-a h+c

aax ccx ----=----

1352,-

x(o, h, c realni parametri) , ( 1342- 1349):

(;-±~~-~)

1357.

Brojilac jednog razlomka je

~ imenioca. Ako brojiocu dodamo 5. a

imeniocu 15, razlomak postaTe

2(a+b a-b) 1346.· a-- .- -a-b) - - +(2-0 {a+b 1+---- =0. a

x

ax

b

ab

x )=2_J_1 +~). 1347,* (a+bJa+_x )_(a_bJa _ _ 'a-h ~ a+b ""~a-b a+b

,(_ a_ 'x- 2a

+x- 2b +_C_) +3 x_ b_

2c 1348.' ~:""':~-=--7:""':=--?1 1 1

a+ b+c.

--+--+-x-2o

1349.'

x-2b

=~. b+ax

x-2c

{a~x)' (b~X),)=2(b~X - a~x)

1358.

~. Odrediti razlomak.

Razlika dva broja je 13,86. Ako vecem broju premestimo decimalni zarez za jedno mesto ulevo. dobije se manji broj. Odrediti brojeve.

Cifra jedinica jednog dvocifrenog broja je za 3..veCa ad . ci~ desetica. Ako podel imo taj broj zbirom cifara. dobl]a se koh~nik 3. a ostatak je 4. Odrediti laj broj . 1360. Cifra jedinica jednog dvocifrenog broja je 2. ~o ~lloga b!"?~a umanjimo za proizvod njegova susedna dva broJ3 doblJa se I . KOJI]c laj broj? 1361. Zbir cifara jednog dvocifrenog b,"?ja je 8:. Ako ci~ razrneni: mesta, pa prvi broj podelimo dru81m. doblJe se koh~mk 2. iii asta je 10. Koji je to broj?

1359.

145

144


1373.

Kcerka je za 18 godina mlada od majke, a pre 5 godina bila je ad majke 4 puta mlada. Koliko je godina m ajei, a koliko kcerei ?

Jedan bazen moze se kroz jednu slavinu napunit i za I cas i 20 mlnula, a kroz drugu s la vInll Ispramiti za 2 casa i 10 minuta. Za koje vreme bt se napunlo bazen kad bl obe slavine bi le otvorene?

1374.

Odrediti taka v ceo poziti van broj da raz lika pro izvoda dva sledeca broja i prethodn a dva bude 600.

14 560.dinara podeliti na :3 liea, tako da svako sledece lice dobije 20% vtse od prethodnog. Koltke de love dobija svako lice?

1375. Za odlican pl asman na takmicenju nagradena su cetiri ucenika nagra-

1362.

Otae ima 45 godina, a sin 22. Kroz koliko ce godina otae biti dva puta stariji od sina?

1363. 1364. 1365.

Rastojanje izmedju dva mesta A i B voz je presao tako da je : polovinu puta pre~ao brzinom 80 km/c, trecinu puta srednjom brz inom 60 km/c, a ostatak, tj. ~estinu puta srednjom brzinom 40 km/c. Odrediti rastojanje izmedu me.sta A i B ako se zna da j e voz proveo 23 casa na putu.

1366.

Autobus je presao rastojanje izmedu mesta A i B brzinom 90 km/e, a od B do A brzinom 60 km/c. Odrediti srednju brzinu autobusa na celom putu u odlasku i povratku.

1367.

Druga kosmicka' brzina veeaje od prve za 3,3 km u sekundi, a treea je veca od druge za 5,2 km u sekundi. Proizvod prve i treee kosmieke brzine brojno je veei od kvadrata druge brzine za 4, 12. Odrediti sve tri kosmicke brzine.

1368.

1369.

1370.

1371.

1372.

Dva planinara, od kojih jedan prelazi 5 km/c a drugi 6 km/ c, krenu istovremeno jedan drugome u susret iz dva mesta udalj ena 55 krn. Posle koliko casova ee se sresti? Iz jednog mesta polazi u 6 casova kamion brzinom 60 kmlc, a 2,5 casa kasnije iz istog mesta i istim praveem polaz i automobil brzinom 80 km/c. Kada i gde ee automobil stiei kamion?

dom od 36 000 din ara. Koliko dobije svaki ucenik ako se nagrada deli u razmeri 1,5 : 2 : 2,5 : 3?

1376.

Ako se strana jednog kvadrata poveea za 2 cm, povr~i na se poveea za 16 em 2. Odrediti srranicu kvadrata.

1377.

Povrsina jednog pravougaonika je za 125 cm 1 veea od povrsine kvadrata nad manj om stranicom. Odrediti stranice pravougaonika ako se razlikuj u za 5 em. 9.3. Linearna funkcija i njen gralik

Oelinicija 1. Funkcija x funkcija.

-'>

f(x) = kx + 11 , (k,

E R) nazi va se lineama

Delinicija 2. Rea lan broj a je nul. funkeije ako je f(a) = 0. Ako je f(x) = 0, tada je kx + n = 0, pa je x = funkcije je -

f' f( -f) tj .

=

%= a. Dakle nul a lineame

k( - %) + n = 0, tack. A( - %,0)je tacka preseka

Dva tela kreeu se po kruznici , ciji je obim 728 m, jednovremeno iz iste tacke u supmtnem praveu. Jedno puelazi u svakoj sekundi 30 tn, drugo 22 m. Posle koliko ee se sekundi ona sresti?

grafika lineame funkeije i ose Ox.

Dva kombajna mogu da poznju izvesnu povrsinu polja zasejanu psenieom za 3 casa i 15 minuta. Jedan od njih bi poznjeo istu povclinu za 7 casova. Koliko bi vremena bilo potrebno drugom kotnbajnu za taj posao?

koordinatni pocetak.

Bazen se puni kroz dye slavine za 3 casa. Sarno jedna slavina napunila bi ga za 4 casa i 20 minuta. Za koje bi vreme napunila bazen druga slavina?

11

Ako je x + 0, y = n, tacka B( 0, n) je presek grafika lineame funkcije i ose:; Dakle n je odsecak na osi Oy. Za n = 0 graftk linearne funkclJe sa

1378. Dati su skup A = {x I x < 611 x E N) i zakon preslikavanja f formulom y = 2x - I, x E A. Odrediti antidomen funkclJe , zanm pnkazati

1379,

f

kao skup uredenih parova.

Neka je f preslikavanj.e skupa R -+ R odredeno fomlU~~ f(x) = 3x - 2. Izracunall : f( - 2); f( - I), f(O), JU( J(3 - f(O)); fU(xÂť); fU( - x)).

â&#x20AC;˘ Posloje lri kosmifke brzine. Telo koje dobije prvu kosmifku brzinu postaje satelit ZeOlIjC; lelo koje dobije drugu kosmifku brzinu postaje satelit Sunea; telo koje dobije treell kosmifku brzinu oslobada se Sunfeve teie i ulazi u zvczdani prostor.

1380,

Neka je f rea lna lineama funkcij a odredena forrnulom= 0)). J(x) = ax + b (a. b realni broJevl). pokazatl daJe feb) fU( 147

146


=3-

Ako je I(x)

1382.

Konstruisati u istom koordinatnom sistemu i pokazati sta imaju zajednicko, a u cemu se razlikuju grafici sledecih funkcija I I I I I a) y = x; y = x + 2; y = x + 4; y = x - 4; y = x - I;

'2

x, pokazati da je l(f( x禄

= x.

1381.

'2

'2

'2

1390.

U skupu funkcija y = ( m - 2) x - 3(m - 3), gde je m realan parametar, odrediti In tako da j e x = 5, Y = 7.

1391.

U skupu funkcija I(x) = (a - 2) x - 2 a + 3 odrediti parametar tako da grafik funkcij e odseca na y - osi odsecak duiine 5.

'2

1392.路 Ispitati promene i skicirati grafi k funkcij e:

I

x( x' -I) a) y =x-2+ Ix' -Ii

y=--2. 2x I

b) y = '2 x + 3; y = -

'2I x + 3; y = x + 3; y = -

x + 3; y = 2x + 3; c) y

y = - 2x+ 3. 1383.

Prouciti promene i graficki prikazati sledece linearne funkcije :

I a)y=.!. x -I; b) y= - 2x+ 6; c) y= - x - 2; 2

I

2

~y=-x+~

~y='2x+~

0y=-2x+~

a)Y=lxl-l;

b)y=lx-Ii;

c)y=2-lxl;

d)y=12-xl;

e)y=x-Ixl;

0Y=~.

Ixl y=x+-

x i konstruisati njen grafik.

1387.

Oat je skup funkcija y = (4m - 6) x - (3m - 2), (m realan broj). a) Odrediti m tako da funkcija ima nulu x = 2. b) Za nadenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije.

1389.

Dato je preslikavanj e I : x -+Ixl- 4, skupa A = {xlxERII- 4!> x !>4} na skup B. . . a) Predstaviti to preslikavanje u pravouglom koordmatnom SISlemu; b) Odrediti skup B.

1395.路 Data je realna funkcija I (x ) = ax + b. _ Dokazati da je I(x + 3) - 3J(x + 2) + 3J(x + I) - I(x) -

148

o.

1396.

Odrediti realnu funkciju J koj a zadovolj ava funkoionalnujednacin~ : a) J(x- 2)= x+ 3; b) J( ~+ 1)= 3 x ~?4; c) J(2x)=x+ I. Zatim konstruisati grafik doblJene funkcIJe.

1397.

Date su linearne realne funkcije formulama:

a)/(x)=.!.x-l; 2 d) I(x)

= - x + 2;

b)J( x)= x +3; e) I(x ) =

Odrediti inverzne funkcije

U skupu funkcija y=(0-4)x-(30-10) (0 realan parametar) odrediti parametarotako da tacka M (I , 2) pripada grafiku funkc~Je. Za nadenu vrednost parametra 0 ispitati funkciju i skicirati nJen Date su familije funkcija y= (2m- 5) x + 7 i y = (10 - m) x - 3. Za koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni?

f) l y l= x+ lx - 31路

1394.

Datje skup funkcija y = (k - 2) x - (k - I), gde je k real an parametar. Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije y 2 x - 6. Za dobijenu vrednost k ispitati funkciju i konstruisati njen grafik.

grafik.

x -I - oo < x <- 2 } 3!> x<+oo

d) y = { - 2x + 5

Dato je preslikavanj e I : x -+ I x 1- 2x, skupa: A = {x I x E R II - 2 !> x !> 4} na skup B. . . a) Predstaviti ovo preslikavanje u pravouglom koordmatnom slstemu. b) Odrediti skup B.

=

1388.

x- I b)y = x -I x l+ -:-I-x_ -I-I

1393.

x

1385.* Ispitati promene funkcije:

Ix + Ii-l x -II 2

= -'-------

e) y = I x I+ I x - 21;

1384.* Ispitati promene i konstruisati grafik sledecih funkcija :

1386.

0

grafike funkcija

'3I x + I;

I -I

c)J(x) = 2x-4; f) I(x) = 5- x.

datlm ' funkcijama i konstruisali

J iJ -I.

. . gra fik I funkcije (1398--1404): ispitati promene i konstrUlsatl

y=..Jx2 +~X2 -IOx +25. r-7"----:1399.* y= ~X2 _ 2x+ 1 - ~x' + 6x + 9. 1398.

149


1400.· y=lx+Wx- 4 1.

Definicija 2. Ureden par realnih brojeva (a, (3) naziva se rdenje sistema ako . aa+b{3=c, I\a _,a+b,{3=c,. Jel l ..

1401.· y = I2x -

1402.1403.1404.· 1405.

1406.

1407.

1408.

41- 1x - II+ 2x - 4. Y = Ix + 21-12x - 41- 2x + J. f(x) = I x- 11- 21x- 41- 2x- 6. f(x) = h- 5 - I x-II+ 21x- 31·

R~nje s istema nanala gla~ j :

fl~, Y =-,u;J! fl y ..... 0 d . x= , g eJc

l!.

=

l!.

l

6=la° 2

. fu nkclJa .. 'onnulom 5x - 3y - 4 p+ 3• O. Odrediti OataJe I' • b drcalnn broj p lako cia nj en grafik: a) sadrii koordmatm poectak; ) a otscca oa y·os; odse~ak 5.

b'b l~albl -albll tl,=lc' 2

tlY = I:~ :j~01c2-a2CI.

C1

(6 l!. )

Oala je lineama funkcija fommlom (2p + I)x+ (3 p - 5)y + .4p = 0, p realan paramelar. Odrediti realan parametar p tako da JC grafik date funkcije : a) prava parale lna sa x-osom; b) prava paralcJoa sa ..,.asom.

2·. Ako je tJ. = 0, fl = 0, 6. y = 0, sistem je neodredcn i ima bes kon a~ no

I·. Ako j e

Data je lineama funkcija fonnulom

)0. Ako je

Odrediti realne brojeve III i n tako da se grafik dale funkc lJc poklapn sa simetralom: a) J kvadranta; b) U kvadranta.

1413.

Oala je funkcija fonnulom Ax+ By+ 6 = 0, (A , B E R). O~rcdi.l i realne brojeve A i B tako da njen grafik sadrii tacku M(I ,2) I daJt paralelan sa grafikom prave y = x+ 5.

1414.

1410.

U pramenu pravih 2x+ y+ 4 + k(x - 2y - 3) = 0, odred iti onu pravu pramena fiji je grafik paralelan sa grafikom prave y = x+ 7.

1411.

U skupu funkcija y = (m - 2)1x l- 3(m- 3), gde je m realan broj. Odrediti realan broj m tako da tacka P( 5, 7 ) pripada grafiku dale funkcije . Za tako dobijeno m ispitari promenc i konstruisati grafik.

1412.

U skupu funkcija y = (m- 4)1x 1- (3m - 10), m realan broj . Odrediti parametar m tako da je x = I, y = 2. Za nadenu vrednost parametra m ispitati funkciju i konstruisati njen grafik. 9.4. Sistem linearnih jednacina

°

DeOnJclJa. 1. .Konjunkcija jednacina I x+h I y = c I A a 2 x+h,y=c pO d _ z . nCJ>C?ZDatim x I y: g e su 0pa2• hI . b2,c" c 2 zadati realni hrojevi, pri cemuJ( bar Jedan od broJeva 01 ,a2 • hI' b2 , C1 ,C2 razlieit od nule naziva se sistem ad dve jcdnaeine sa dYe nepoznate. '

;J!

0, sistem ima jedinslve oo re ~ enje

--t' -t .

J

(3m- 2n+5)x-(m- n)r+ 2m-5n+ 1 = 0, (m, n E R) . ..

Oat je pramen pravih 2x + y+ 4+ k(x - 3y - 10) = 0. Odrcd iti cen. tar pramena.

tl

re~e nja.

mnogo

1409.

150

alx+ bl y = c l Aoz.t+ b~y = c 2 izraleno preko delenni.

1415.

1416.

1417.

~

1418.

fl = 0, .6. J

;J!

0, .6. y

;J!

0, sistem je ncmoguc i nema re!enja.

Da Ii je uredeni par ( -2, 3) rdcnje datog sistema po x, y: 2.t+3y=51\3x+y=-3? Oa Ii je uredena trojka (4, 3, 2) re~enje dalog sistema po x. y, x+ y+ z = 9/\ x+ 2y + 3z = 16/\.t+ 3y + 4= = 2 1? Gausovom melodom rditi sledece sisteme po x, y: a) 2x + 3y = 7 A 3x- 6y = 7; b)5, + 2)' = 29 A 3y- x = I; c) 3x + 5y= 1/\ 3x- 2y= 8: d) 3x + 2y = 26 /\ 6x - 3}' =3. Metodom zamene re~iti sledece sisleme po x, y: a)2x+y =- 1I\4x+3y=l; b)x-2y =71\2x- y =-.8;. c)5x + y= -} A IOx+ 2y= - 2; d) x+ 2y = SA 3x + 6), - I). Grafifki re~iti sledece sisleme po x, y: a)x+ y =5/\x- y = I; b)x+ y =3/\x- y = I; d) x + ). -IAx- y =5. c)x+2 y =8A y =-3 X; 2 Rditisistemepox,y(1418-1426):

_

=:

.

a) 3(x - I ) + 5(y-l)= - 4A 5(x+ 3)- 3(y+ 1)- 64, _b)4(x+ 2)-7(x- y)= 7 A 7('<+ y)+ 10(., - 2) = 79; c (x - I)(y+2)-(x-2)(y+5)=OA A (x+ 4)(y - 3) - (x+ 7)(y - 4) = 0; 2) _ 3x' -14)'+ 15. d)(x +3)(x -I )=4y+x'+5A(X-3)(3x+ 151


1419.

3x+4( x - 3) = 3(3y - 3)- 37 /\ 3y + 2(x- 4) = 5(y+ 2)- 28.

1420. (x+ 2) ' - (x - 3)(x + 3)-JY+ 5);') 0/\ /\(2y- W- y( 4y- 3)+ ,3x- 3 = O.

4

1421.

2(x+ 1)(5y- 6) = (5x+ 7 )(2y - 3)/\ (x + 8)(y+ I) = = (y+3)( x +5).

1431.

/\(Sx-3 y +4):(6 x +3y +3)= 3:4. 1424. (2x-3) :(y +3):(x - y +2)=5 :6:3. 1425. (5x+3) :(5-2y):(3x- y+4)= 1:3:2. 1426. (3x- 1):(4y- 3):(6x - 2y - I) = 2:5 :4. ~ Re§iti date sisteme po x, y: y+2 y-4 x a ) - - - - - = -/\ (y- 1)- 2x= - 3; 6 2 3 5x - I 3y - I II - x II + y

--

b)-6-+I0= 3/\ - 6 - + - 4 - = 3;

1429.

1430.

lS2

3x - y /\2 5x y_x_ - 4 =3- Ily+17 Ax+ 9Y+II_ 3y+4 =6. 2 4 4 7 5x-3y 2y-3x 2x-3y 3y-4x 3 5 =x+IA 3 2 =y+1.

IS

S

IS

( 7 - 2 Y)

7+x 2x- Y Sy-7 4x -3 - - - - - - 3y =-S/\--+---1 8 =- Sx 5 4 2 6 .

1434.

II (I ) I 20 y - 0,8 4 x + 2,S = 2

1435.

y -4 y -4 x - 4 7y x - 3 o5x- - = 0 3x- - - / \ 0 Sy--- = _ _ _ ,

1437.

('¥ + x{% y -

6x - 0,3 y I /\ 2 1 = 2( I + x). 2 2

' S ' 2 ' 6 12 3 2(x- y) 8x 3y-IO 3x+4 y 5x y -1 7 1436. - - - + 1 6 = - / \ - - + - = - - _ _. 3 ' IS S 4 8 6 12

1)=S+% XY -2(I+ X)/\( X-I) 2+(2 Y + I)'

=

=(x+-2y)' -2(l+2y)(x-I). 1438.

Uvodenjem novih nepoznatih re§iti sledece sisteme po x, y: 14 24 7 18 a)-+ - = 10/\ - - - = - 5; x y x Y 5 2 7 I b)-+-= 7 / \ - - - = 3;

3x

c)

5y

S

6x

+

lO y

4 S _ 41 . =2/\--+--- -,

4

x+2y 2x+y x +2y 2x+ y 20 4 I 18 2,5 d) + =1/\ +1 x + y -I x-y+I x + y-I x- y Re§iti date sisteme po x, y(1439-1458 ):

y+2x

-

x-2y

3

1433.

=12; 4x-7y+5 6y-5x-4 /\ 6 . 9 8x + y + I 2x - y + I 3 6

6

- 4 - - - 2 - = 1- x -~ /\3x-2y=8.

1428. a) 4+1x + y- 9x = y+ 2x _ 3x- I /\ 2y + I _ 5- 4x = V 4 12 3 6 15 20

-

x+2y

6

1432.

. c) x + I + Y - I = 4/\ x - 2 _ y + 3 = _ 2' 3 4 3 • , 3 - 4x 7 - 5y x + 7 2x - 3y d ) - - + - - = 5 x - 18/\ - - = 3y-4. 6 2 5 4 Re§iti sisteme po x, y(1428-1437):

b) 8x-5Y +l V 12

2

4

1422. (x+ I I):(x+ 6) = (y+ 12):(y + 7)/\ (y+ I):( x - I) = y: x. J423. / (3x+ 2y+ I 1):(2x + y - I) = 2/\

x- I _ 1+ Y =.! _ x + 2y /\ x - 2 + ~ = y+ 4 _ 4x - Y

1439.

~+_I =07/\~-~=0,9.

1440.

2 5 I 7 - + - = 7/\---=-3. 5x 3y lOx 6y

1441.

_7_+_5_= 8 5/\_4__ ~= I.

4x

x-2 1442.

2y

,

y-3

4x

'

2y

x -2

y -3

~+_6_= I 6/\_8__ ~= 1,1. x- y

x+ Y

,

x- Y

x+ Y

= I.


1443. 1444. 1445. 1446.

1447. 1448. 1449.

1450.

1451. 1452. 1453. 1454.

1455. 1456.

793 = 8 II --'--2x- 3y 3x- 2y 3x- 2y

-...:....- +

5

2

2x - 3y 3 3 9 6 ---=111 + = 5. x- y+ I x + y - I x- y + I

6 x + y -I _ ----=3=--_ 2 6 2, 5 1. + =711 x+2 y -2 2x- y -3 x +2 y - 2 2x- y - 3 5 5 +5x-4 y +I=IIII +3(5x-4 y +I)=31 3x-2y-2 3x-2 y - 2 . a' b' a' b' - + - = a+ bll - - - = a- b. x y x y a b a' b' a- b --+--= 111-----=-x+ Y x- Y x+ Y x- Y 2 ' I I III I I 10 = 11---=-+-+x+--"::"::'-'- x + 8 Y x 2x 5y xy' 4x-5y 6x-ll y _..:.I_=_~II I 7 _ 1_ _ 3 8 1- _ 1_ - S' x- Y x+ Y

1457.

1458.

x+Y _ 2x+ y+5 x+7 xy - x-y + 1 x' +xy-x - y x+y_xy_ y' " 2x -1 8y+23 3 II , 9x- -1 6 + 6xy+y' 2x+y+4' Resiti date sisteme po x, y (14 59- 1466) :

1459.* I x + II + I y - I I = 5 II I x + I I = 4 y - 4. 1460.* Ix - tI+l y- 51= I II Y = 5+l x -

II.

1461.* 3Ixl+5y +9= Oll2x -l yl = 7. 1462.* Ix+ y l= J lll xl + lyl= I. 1463.* 2x - 3Iyl = l 11lxl+2y = 4. 1464.* 12x + 3yl = 511 12x - 3;1 = 1. 1465.* Ix- 21+ y + 3 = 7 II x - 2 -l y + 31 =-1. 1466.* 12x -ll- y = 2 11 x - 14 - yl =-1.

3 + 2 =]211 5 14 4x+ 3y 4x- 3y 55 4x + 3y 4x- 3y 55 6 2 5 4 4 2x+y-1 2x-y+3 '2"2x+y_1 y-2x-3=3. y+1 + x+2 = x'+ y'+IO x-y x+y x'_y,II2x+5 y =1.

1467.

Resiti date sisteme po x, y: a) x = 2 II Y = 3 II x + Y = 5; b) x - y = 3 II x + Y = 5 II 2x + 3y = 1 I; c)2x+ y =O llx + y =-I II3x - 2y=7; d)x+ y =-I II2x + y =Oll x + 2y =- 4.

1468.

Primenom Gausovog algoritma reS iti sledcce sisteme linearnih jednacina po x, y, z: a) x + 2 y - 5z = 6 II - 2x + Y + 2z = 5 II - 3x + 3y - 4z = 8; b)x+ 2y+ 3z = I II 2x + 4y - 6z =- 211 - ,10+ 2y+ 6z = 4; c)x+ 2y + 3z = 3211 2x + y + 3z = 3 111 3x + 2y + z= 28; d) x + y + z = 9 II x + 2 y + 3z = 16 II x + 3y + 4z = 21; e) 5x + 2Y - 2 z = 3 II 3x - 4 Y + 5z = 10 II 7 x - 3y + 6z = 19; f) 3x- 5y + 2z = - 511 6x + 2y - 3z = 23 II 4x - 3y - z = 8; g) - x - 2y + 14z = 8 II 2x - 5y + 7z = 9 II 4x- 2y - 3z = 24.

,5 + 7 _2.= JO 112x-y - 10 x +5xy xy+5y' xy x'y+5xy' 2 = = 3x+ y-15 3 z-2 _~_ x'+xz+2z'-1 x+2z x-2z4z'-x' 113x-Ilz=85,

~+y+4=X(I-x-Y)II3-x+y x+2 x-2 4-x' 6

2 = x - y+ 60 5x - y - 3 25x' - 9 - 6y- y' II 2x+ y= 13.

y-x 5

Resiti date sisteme po x, y, z (1469-1498).

1469.

a) x + y = 16 II x + z = 22 II Y + z = 28;

b) 3x + 5y = 17 II 2x + 3z = 5 II 5y - 3z = 8;

154

155


~x+y+z=2Ax-y=3Ax+z=~

d) 3x+ 2y+ z= 3A 2y- z= 2A 3z - 2y= - 4. 1470. 1471. 1472. 1473. 1474. 1475. 1476.

1477.

4x- 2y- 3z = 17 A x+ 2y- 7 z = 18A 2x- 5y+ 8z =-13. 5x+ y-4z = -45A 2x- 3y+ z = -27 A 3x+ 2y+ 3z = 22. 2x+ 3y- z = II A 4x- y+ 5z = 15A x- 2y+ 3z = 2. I I I I I I x+-y+-z=14A-x+y+-z=8A-x+-y+z=8 3 3 4 4 5 5 .::+ E+ ~ = 25A'::+ E+ ~ = 23A':: + E+ ~ = 28. 462 234 342 0,2x+ O,ly+ 0,3z = 7 A O,4x+ O,5y+ 0,6 z = 23A AO,Sx- 0,7 y+ 0,9z = -8. I I I I I I l-x-2-y+2z=-2-A3-x+y--z=9-A 2 2 2 2 2 2 I I A2x+l-y--z=8. 2 2 y+z _ 6z+x = 2A y-2x + 6z+5x = OA 5

2

3

4

y+6 x-2 2-z A-----=--. 7 21 3 z+4 y+9z+2 x-4 3y-3x 2x-z 1478. -420 =-S-A 7 - - 2 - = y+2A 5y-z 2z-2x A =5. 2 3 18x+ 2y- 5z + 15 8x- y+ 4z 1479. ---'---=OA 6 13 4x+2 9x-2y+z-1 y+2x A--=--A 3 9 4 A 4x-5y+ 2 _ 5x- 2y- 3z + 1= z- 2x-5y 2 13 7' 4x+3y+z _ 2y+2z-x+ I x-z-5 1480. 10 15 = 5 +5A 9x+5y-2z 2x+y-3z 7y+z+3 I A = +-A 12 4 11 6 5y+3z 2 2z+3y-z 3x+2y+z A + z+ y_1 4 12 6 . 1481. (x+ y+ 2):(x- z+ 3):(2x+ y+ z - 9):(z - y+ 5) = 5:4 :3:2. 1482.

156

(2x+ y+ z):(3x+ z-I):(Sy+ z + 1):(2x+ y- 8) = 4:5:3:4.

1483. (x+ 2y+ 3z):( 4x- 2y+ z - 3):(x+ 2Y-4z):(x- y+ 3) = = 4:3 :2 : 1. 1484. (II Ox+ 4y - z):(20 y - 60x- z):(JOx - 20 y+ 2z + 20): :(z- 4y- 40) = 5:4: 3: 2.

5x-y-z

1485.

Ilx-3y-2z

2x-7y+Sz

x+y+4

3 4 6 12 x+2y+3z = y+2z+3x = 2x+3y+z = y - x+3 7 2 3 5 1487. x+3y-4z = x- y+23 = x+2y+3z = 4x-2y+z-3 2 5 4 3 x Y z 1488路6=3=18A3x+Sy +z=34.

1486.

1489. (x+2y):(3y+4z):(5x+6z)= 7:8:9Ax+ y - z= 126. 1490. (2x+ y):(3x+z):(y+z)= 1:3:4A2I x +3I y+43z= 160. 1491. (x-2y) :( 2x-3 z):(2y +3z)= 1:3 :SA20x+3Iy+6z=97 . x- y 5x-z 4y-z 1492. - - = - - = - - A 7 x+ 6y- 3z + 144 = O. 3 2 12 x-a y-b Z-c 1493. - - = - - = --A Ax+By+Cz+D = O. m n p 1494. (3x+ 1):(Sy- 2) = I : 3A (Sy- 2):(z+ I) = 3: IA 1 AO,5y+- z- O,Sx = 7,S. 3 1495. (2x+ 7)(11- y) = (2y+ 5)(10- x)A (2y- 5)(7+ z) = = (2z+ 6)(y-I)A (2z-10)(x+ I) = (2x- 3)(z-l). 1496. 4(5x- 4 )(y- I) = (4x - 3)(5y - 8)A 4(3x- 2)(z - 2) = =(4x-3)(3z-I)A 2(3y-IO)(z-4)=(2y-7)(3z-9).

6z+x y -2x 6z+S x _ OA 1497. ay+z )-=2A--+ 4 5 2 3 y+6 x-2 2-z =-3-;

AT- 21

b)~_y+9z+2=x-4A 4 20 5

3y-3x

A

7

2x-z 5y-z - - 2 - = y +2A~

2z-2x=5: 3

157


1501. ~.< - ~(y - 2) ~ (2x- 1)(3y- 4)0 (2z - 9)(5x+ 4) = - (;' 1)(5x ~ 4)A (3.<+ 2)( 4, -7) =(6y- 5)(2z - 5).

3+x y-l z+2 I-x y-I 21-z c ) --+--~--A--+--~--A 2

3 I\x+ y+z= 3;

6

3

5

1502. _-'--_+

x+y+z x+y-z 2x+3y-3 +4/\ 3 3 10 x -2 y-2 A - - + - - =z- 4. d)

2

1498.

15

2.1:+3y

z

= -1\

3

1\

3y-2z 2z-x 2x+y 3I1..y---=311.2---=3, 2 3 4 y-2z x-2z 6x-7y b)x+--=SAy+--=Sl\z+ S' 2 3 2' 2x+y y+2z 2z-x c) = 1/\ =2A =5' z+1 2x+2 3-y' x+y x+z y+z d)--~ lA--~ lA--~ I' z+2 y+6 x+ 4 '

a ) x-

1504.

= I.

2

3

4

x

y

z

1 x+2y

11

8 y+z

10

xyz

1508.

5 6 3 ---=--/\ x+2y x-z 2

21

5

15

b)l : ~I; C)I~ :1; d)l! la-b -21路 nla-b I.,

Resili sledeee sisteme (1500-1506):

158

I

6

d)--+-~ 2A-----~ 2A----~2. x+ y x+z x+ y y+z y+z x+z

1500.

Izracunati determinanle drugog reda:

a)l~ ~I;

3 x- z 6

~-.

/\2x+ y-2Z-f= O/\x+ y-Z - 1= 0; x + Y + Z + f = J /\ 2x - Y + 3z + Sf = 4/\ /\ -x+ 2y- Z+ f = - 6/\x+ y-z- f= - J; d) x+ 2y+ 3z + 4f = 30/\ 2x- 3y+ 5z - 2f = 3/\ /\3x+4y-2.1-I= 1/\4x- y+6z-31= 8.

A - - - - - = l;

7

y+z-x_z+x-y=x+y-z

c)

1 3 4 5 19 4 5 6 1 ---+-~-A-----~--; 12 x y z 24 x y z 2

4 y+z

I

3xy- 4xz - 3yz = '2xyz/\ 4x),+ 3xz+ 4yz = xyz /\

~x-y-z-I=-2/\x-y+z - I=0/\

b)-+---~-

c)-:.......+--~-A

= _xyz/\

1507. Rditi date sisleme po x, y, z, f: a) x+ y= 20/\ x= 2z /\ z + f= 12/\ 2y- 3,= 0;

5 3 8 5 9 12 10 + -= 4/\ -+ -+ - = 4/\ -+ - - - = 4; xyz

1/1..

21 =1 2x+3y .

xyz 7 II 5 J 2 6 I 5 6 4 1506. +--+--=-/\ +--+ x+ y+ z 2x- y y- 32 6 x+ y+ z 2x - y I 15 2 3 +- - = 1/\ - -----~ 7 y-32 x+y+z 2x-y y-32 .

1505.

Uvodenjem novih nepoznatih resiti sledece sisteme po x, y, z: xyz

8 3x+4z

/\2xy- xz- 2yz = 2xyz.

f) 4.:..::x_-_3::..<.Y-,+-,2:..:.z = I 1\ 5( 2 z - 3 x) = 1 1\ 8 Y - 3 x 3,5x+y-3 3x-2y+2,5z 4y+z+2

6 4 a)-+ -

40 3x+4z

+

5 3y+4z

1503. 4xy+ 2xz - 2yz = -3xyz 1\ 3xy- xz+ yz I\xy+ xz + yz = xyz.

3

e) x + y + z = 1/\ x + y + z = 2 1\ x + y + z = 314-x- y x+z-I.5 x-y+z'

1499.

=10 3y+4z

(3y-5X3, - 2) ~ (2y- 5)(,- 2) A(3x - 4)(2 - z) ~ ~ (3x- 8)(z + I)A (x- 3)(y+ 6) ~ (2x- 9)(2 - 5y).

I

1509.

a+b

g)

ab

a-b

,

h)

., y'l

, .

y x'

Koristeci delerminanle drugog reda, rditi sislem jednacina po x, y

a)2x- y =4I\x+ y=5; b)x- 2y= 3A 3x+ 2y~ 13; 159


c) 3x+y=SI\2x-y =5; d)x+y=4Ax - y=2. Rditi dale sisteme po x, y (a, h, c, m, n, ... realni paramelri) (15101534) 1510.

1511.

ISll.

a}mx+y= I A2x+y =2; b)ax + 2y= IA 8x + ay = 2; c) 2ax - 3by= 12abl\ax+ by = ob; d)ax- 9y = 14aA 2ax+ 3y = 7a. a) mx +ny =m! + n! I\mx - ny = m 2 _n l; b) mx- 2y= 3/\ 3x+ my = 4; c) rn.1'+(m- 3)y= 2m+ 3/\ 2mx- 3(m- 3)y = 1-11(,

1524.

d) a _ 3b - a + 3b = X

Y a+h

--+-- =

1514.

x y -----=

ISIS. 1516.

1517. 1518.

0 - 2b

0+2b

2a 2 +I Sb a - 3b + a + 3b = 0 1 - 9b 1 y

x

/\

,'lab x y 2ac ~ ~/\--+--= ~ 1 a·-b· a-c a+ c o·-b

1513.

a-b

0

12ab 2 - 9b 1

6ac y x 4ab A--- --= 02_4b 2 a-3c a+ 3c a l _9c 1

(a+ c)x +E= 1 1\~+(c+a)y = I. ac b b DC X Y a+ b x y --+--= 1 1 A----a+b a-b a _b a+b a-b , b' ~+E=~I\~+E=_ . bababa ax b) x y_ _+ y=-/l.-+--o. b Q a b

=

a-b ~. l' o·-b

A(b-a)x+oby=b 1 ,

a 1 + b!

,

A(a+b)( I -")-b( I - y) =~

o+b x-o+ 2b y b x Y x+ Y + -=-1\-+-=_ b ccobbcoc'

o+b'

I , I 1525. ar+- y = a-I\-x+oy=a l , a a

2x-b 2y-o 2x-o 2y+b o+b 1516. - - - - = 21 \ -+--=_ o b b2 ri' 0 2

e)(a- J)x + (0 + I)y= 20/\ 4x + 5y = a + I; f)(a + 2)x+(a - 2)y= 16A 2x+ 4y= a - 2. x y x y 2 a);;+'b= I A + 6b ='3; Ja x -a y - b x y b) - - + - - = I A-+ -= I' b a a b ' x Y I x Y 1 c) a+h + a-b = o-b/\ a+b - a - b = o+b; y

b

ISlJ . a(x+ y) -b(x- )') =

d ) a~ x- y=a - bAb x +ay =h 2;

x

b 1 _a 2

x-(a+b)y=

1522, ar-{a- b)y= b 21\ (a+b)x-by=a~ _b1,

l

1512.

151 9. alx +ay=a+b/\(a+ b)x+ y=~. a , , , 1510. ar+ by = a - + b-I\a -x + b 2 y = ,,1 -ob(a- b)+ bl,

1517. IS1B.

1519.

__3_,,_ = (a-b/ 1\=:+1:= ~a_'+.:..":::b:,..' a-b a+ b a+b 0 b ab+h2' x+y+2 a~-a+J x+y-2 ol - l = A =-x- y - 2 a -I x - y+2 o~+(

L

--==-- + ~ = a-b

l •

a+b

lob 1\ _"_ + L = 2ac al_b 1 O - C a+c a!-c 1 '

=:.=...:+ y+b = 21\ x-a + y -c = 2, a+b a+c b+c a -b x+y a x+c +b 1531. - = - - A - - = -a . x-y b-c y + b a+c x y x y x Y ISll . -+-= 1--11-+-= 1- -, ab cab c ISll. Dat je siSlem (k + l )" + (k - 2»' = 2k+ IA (k+ 8),,+(* - S)y = = 2k + 3. Odrediti realan broj k tako da sistem bude neodreden, za· tim odredi x tako da bude y> 0, ISlO.

x y :r), 4ab, 1534." a)-+--=21\---= 2 2' a + b a-b o-b a+b a-b x+y x - y x+ y :r-y_o , - b' , b) - + - - = 2 1 \ - - - , a b b a ab 161

160


20 3b 20 3b a b a' + b' c)-x- - y+ 1 = -+ -A-x- _ y= "--.:.,.::_ b 0 babo ob ' d)-X---y_=2ab/\ a-b

a+b

x a l +ab+b1

+ -:----'-y- : - 2a. a2-ab+b~

1535.* Dat je linearni sistem po x, y (m, n realni parametri):

x m+n

y

x- y mn

1543.¡ Dat je sistem po x, y (k realan parametar): (k + 2)x+ (k -7)y= 7 A4x- 5y= 8 + k.

--+--=2mA--=4.

m-n

1542. Dat je sistem po x , y (m, parametar): 2x+ (m- I) y= 3A(m+ I)x+ 4y= - J Odrediti paraJ!letar m tako da je: a) sistem neodredcn; b) sistcm nemoguc.

Pokazati daje re~enje sistema pozilivno ako j e mn:;t: 0 Am:;t: Âąn.

Odrediti parametar k tako da sistem Ima jedinstveno re ~e nj e .

1544.' U sistemu j cdnac! ina po x, y: (p - q)x+ (3p - 5)y= 2pqA (p+ q)x+ (q - 7)y= 6pq. (p, q realni parametri) odrediti parametre p i q tako da sislem ima

1536.' Oat je linearni sistem po x, y (a i b realni parametri): x+ y x- Y x y --A--+--=2o l 2 0 +b 2ab 0 + b a - b .

beskonacno mnogo resenja.

Pokazati da je re~enje sistema pozitivno za svako ob;:c 0/\ a ;r:!; Âąh.

1545.' Re~ iti date sisteme (a, h, c, d, m, ... su realni parametri) (1545 - 1549) : a) mx+ y+ z = 1/\ x+ my+ z= rnA x+ y + mz= ml;

1537.* Pokazati da su re~enja sistema po x, y (n realan parametar): y 8n x y 2 + 811 l x -1- -2-n - -1-+-2-n = 1 - 4n l A -I- -2n + -2n - +-1 = CI'-_~4'::n""

b)(b+c)(y+ z) -ax+ (c - b)= 0 I\(c+a)(z + x)- by+ (o- c)= 0 A(o+ b)(x+ y )- cz + (b -a)= O,(a+b+c;:tO); 1 c) x+ay+a 1 z +a 1 = Ol\ x+ by + b l z + b =011 Ax+cy+ClZ+C 1 = O.

nepami brojevi za svako n E Z. 1538.* Uvodenjem novih nepoznatih resiti sisteme po x, y (a, b, parametri): 2n 1 IOn 3 a ) - - - - - = I A - - + - - = I;

x + ny x- ny x+ ny x -ny b a a- b b2 a2 b)-, ,=--A - -, + ,=2. x- a y + bab x-a" y+b-

1539.

1540.

1541.

Oat je sistem po x, y (a, b reami parametri): (a- I)x+ by= I Aax+ 2by= b. Odrediti parametre a i b tako da je sistem neodreden. Oat je sistem po x, y (a reatao parametar): x+(a- I)y= I A(a-l)x - 3(a- l)y= 2a+ I. Za koje vrednosti parametra a sistem j e nemoguc? Oat je sislem po x, y (a parametar):

ax + y =a-I A6x +(a-l }y =4. Odrediti realan parametar a tako da je: a} sistem neodreden; b) sistem nemoguc.

II

realni 1546.

(c+a)y+(a+ b)z =(b+c)x+2a ' A 1 A(o+ b)z + (b+ e)x = (c+a) y+ 2b II A(b + c)x + (c + a) y

=(0 + b)z + 2c).

1547. oy+ bx= c/\cx+az = bA hz + cy= a.

1548. 1549.

2

1

1

- d1

x+y+z=l/\ax + by+cz=d/\ax+by+cz-

.

y + z +u =a+6Az+u+x=a+4Au+x+y= =a+2/\x+ y +z=a. . . d X' a rdavanje raznih 9.5. Primena sistema linearmh Je na ... ma n problema

. tom se maze javttl ~psti oblik lineame nejednacine sa Jednom nepozna

Jednom od oblika: O)ax>b, (2) ax 20 b. (3)ax<b, gde su a, b realni brojevi x nepoznata ..

U

(4)ax';b. 163

162


Za feS3 vanje nejednacine ( I) v3ii sledece: 1°, Za a > 0 ima za

re~enje svaki realan broj x >!!..;

1560.

a 2°Z " SVakl rea tan broj x <_; b . a a < 0'1ma za resenJe

posno svaki od nj ih kada sam radi?

n

3°, Za a = D. b < 0, re~enja su svi realni brojevi:

1561.

Ak? s~ P?deli j cdan ? voc ifre n broj zbirom svojih cifara. dobije se ko ll.cmk -" . a o~ t alak JC I . A~O se tom broju doda 9. dobija se broJ napi san ISll m Clframa Obmulltn redom. Odrediti taj broj.

1562.

Cifra deseliea jednog dvoeifrcnog broja je za 5 veea od cifre jcdi· niea. Ako promenc meSla njegovc eifre i dobijeni broj se podeli datim, dobije se kol icnik 2. a oSlatak je 7. Odredili prYi broj.

Aka se dva braja llvecaju za 3, dobij cni zbirov i 5C odnose kao I : 2. a aka se, ~rug j broj podeli plvim, dobija se ko li cn ik 2. a ostatakje 1

1563.

Zbil" cifara jednog dvocifrenog broja je s. Ako cifre ra7.mene mesla. dobiveni broj je za m veei od prvog. Koji je laj broj?

Odredlt! ave brojcve.

1564.

Razlika, zbir i proi..zvod dva braia odnose se kao I .. 3 :6. Od rc d"III J ave brojeve.

Pre celiri godine a lae je bia 7 pUla stariji od sina. a posle 4 godme biee 3 pUla slariji od sina. Koliko godina ima sada OIac, a koliko sin?

1565.

Zbir godina majke i keerke je 46. Posle 10 godina majka ce biti 2 pula sTarija od kecrke. Koli ko godina sada ima majka a koliko kterka?

1566.

Ova traklora raz!ieire snage mogu da pooru jednu parcelu Z.1 a dana. Za jedan dan jedan Iraklor poore p% od povrSine koju poore drugi. Za koliko dana moze svaki traktor sam da poore celu pareelu .

1567.

Dva aUlo mobila krecu istovrelT1eno iz dva razli Cita mesta A i B t ije je raslojanje el krn . Ako se krec u jedan drugom u susrel, sTeeu se posle a caso\'3. a aka se kreeu u islom prnvell, stignu se poslc b tasova. Koliko kilomelara prelazi svaki od automobila? Obim jednakokrakog trougla je p em. a osnoviea mu jc veca cd kraka 7..a rem. Izracunati siraniee trougla. Da Ii 7.Bdatak uvek Ima reSenje? Zbir Iri broja je 80. Ako se pOOeJi prYi broj drugim. dobija ~ kolicnik 3, a ostalak je 3, a ako se podeli treei prvim. dobije sc IStl kolicnik. a ostatak je isti. Odrediti brojeve.

4°, Za a = O. b > 0, nema resenj a.

1550,

Dva, braja imaj u osob.in~ da je z.bir cetvoros trukog prvog broja i za 4 uveca!10g drugog br~Ja ,J ednak ~O, a razl ika tros trukog pr.... ag broja i

polovme drugog broJa Jednaka Je 22 . Odredit i a ve brojcvc. 1551.

1553.

~o ~e z~ ir br?j ioca i imenioca j ednog razlomka podeli nlzlikom

Imemoca I broJloca , dobija se 6. a ako se od broj ioca i imenioca razlomka oduzme 3, dobija se

1554.

Oya radn ika rreba da lavrSc jed.an pos~o. Ako rade zajedno, zavr~ice taJ posno za 12 dana. Ako radl prvo Jedan radnik 9 dana pa zatim 2 ' drugl'6 dana, zavrs... lce sarno "3 posla. Za koliko ce dana zavrSiti taj

k.

Odrediti razlomak.

Ako se uveci broji lac j ednog razlomka za I a imenilac za 3, dobija sc razlomak -, a aka se oduzme 5 od imcnioca j broj ioca raz lomka, dobij e se

I 3

i

Odrediti razlomak.

1555.

Odrediti sve parove celih brojeva (x, y) cij i je zbir jednak proizvodu.

1568.

1556.

Jedan splav sastavljen od dva metala ima teiinu a kg. Pos le potapanja u vodu splay je laksi za b kg. Odrediti po kol iko kilograma od svakog metala sadrii splay ako se zoa da prvi metal gubi u vodi p% od svoje (dine a drugi meta l q%.

1569.

1557.

Svaki prost neparan broj moze se preds taviti sarno na jedan natin kao razlika kvadrata dva prirodna broja. Dokazati.

1570.

1558.

Na koliko se naeina broj 105 moze predstaviti u ob li ku razlike kvadrata dva cela broja? Napisati sve te oblike.

1559.

Ova radnika mogu da zavrne neki posao za 8 casova. Oesi lo se da je 51 prvi radio 6 Casova, a drugi 9 easova i da Sll zavrnili 56 dec posla. Za

1571.

Zbir eifara troeifrenog brojaje 16. Ako izmene mesta cifrn dese.tica ~ jedinica, dobija se broj za 72 manji od drugog. a ako ~e podeh dal~ broj sa cifrom desetiea. dobiju se kolicnik 16. a ostutukJe 7. Odrcdill troe ifren broj sa ovim osobinama. Odrediti tTi broja ako su dali zbirovi za s\'aka dva od njih.

koliko easova maZe svaki odvojeno da zavrli laj posao?

164

165


1572.

Tri radnika obavljaju neki posao. Prvi i drugi radnik zavrsi li bi taj posao za m dana; drugi i treei za n dana; a treei i prvi za p dana. Za

,

c)(x - 1)-

koliko bi dana svaki od njib sam zavrsio taj posao?

resavanje

/-

a)S(4-3X)<2(2X-~} b) 3(x- 2)+ 9x<2(x + 3)+ 8; c)2x(2x-S)-(2x+ I) ' <-I; d) 9(4x+ I) ' - 4(6x- 2)(6x+ 2)<43. 3x - I x + I x b) Sx - I 3x - 13 Sx + I a)-S---2-<1-4-10 <-3-;

7;

x -I 5(x+ I) 2x- 21 3x-14 c) 5 - - - ~ 2 + . d\i 4 8 ''->!j 4 9

I.>

1575.

a)lx-31:51;

1576.

~

S 72

b)12x+31<S; c)13-2xl>S; e)lx+ 11~2Ix+21.

d)ISx+3~8;

Odrediti najmanji ceo broj koji zadovoljava nejednacinu: 4 7 II 4

1577.

1578.

18

18

1579.

Odrediti najveei ceo broj koji zadovoljava nejednacinu: 3x - i x +9 2x+4 9x+1 --+--< --12 II II 12 Resiti date nejednacine po x (m je realan parametar): a) mx> 3; b) m(x-I) < x+ 2; c) 2x- m>mx- 3; d) m(mx- S) < 4x-1O; Resiti date konjunkcije (sisteme):

a) 2x + 3> x + I" x + 3> 2x - 6;

b) 0,41+

f <~

x- 1,2/\ Sx+ 17 > 9x- 63;

I - 2x

+ -_~ 3

7

+ 51x 18

b) (x + 3)(x - 5)!S 0;

15.80! a) (x - I )(x - 4) > 0; x- 2 c)-->O; 5- x x- I 3 I58}/' a) - - < -; J x- 2 2 6- x c)--<- 2; 3-x

x +3

d)--!SO.

x- 4

5 - 2x

I

5+ x 2x- 3 d ) - - > 3. 4-x

2

b) - - < - ;

1582.

Odrediti skup celih broj eva (x, Tn, y E Z) za koji su pozitivni izrazi: 5- x 5 - 2m 9 - 2y . b) ' c)--. ) a4+7m' 4y-1 x-'

1583.

Odrediti skup celih brojeva (x. Izrazl:

IS

e)x-m>(2-x)(m-I).

, x- I 2( x - 3)- - 1/\ 3

I+x x- 3 2x- 7 I d) 2(2x+ I ) > 3 - -5-/\ -9- > 1+-- ; 2 x+ I x+2 x- 3 x- 4 x- 2 x- 5 ) e ) - - - - - < - - + - - / \ - - > I + - -. L 5 4 3 2 3 15 Resiti nejednacine po x (1580- 1581):

20- x-2S->42-+ 3-x. IS

~

V2 l

Resiti date nej ednacine po x (1573-1575):

1574.

,

2)-

x- 3 I > - - - _. - 6 2'

9.6. Linearne nejednacine sa jednom nepoznatom i njihovo

1573.

+ (x-

a) 5x - 4

Tn,

y E Z) za koji su negativni sledeci

b)(8m-l)(II- 2m);

c)(3y+ 7)(4y-IS).

5x-7' 1584.

Resiti nejednacine po x:

x-I

a ) 2-- < 0; x +3 d)

I x -Ii x

< 0;

b) (2x + I)' > 0; x- 5 e)

Ix -II

< I;

x

c)

(X-

1) '

x+2

>0',

x 1)-<2. x+2

1585.路 Resiti dvojne nejednacine po n: n-I 3n+ 10 a) - 3 < - - < S路, b) 1 < n+ 7 < 2. n+ I 3 d ed路ti parametar k tako da nJen 1586.路 U funkciji y = (2k + 4) x + k. - 0 r o~etk8 i da pri lome bude ragrafik sece }'-osu ispod koordrnatnog P SlUea.

167

166


1587.* Data je funkcija:

3- 2k 2k + I 1° y = X+--' 1;+5 3-k'

5-k 2k+2 2° y=--,'+ _ _ , k+ 1 3- n

a) Odrediti parametar I; taka da njen grafi k sccc y-asu iznad ko. ardinatnog pocerka i da pri lome bude rastuca. b) Odrediti parametar k da fu nkcija bude raslUea. c) Odrediti parametar k taka da funkcija bude opadaj uea.

1588.

1597.* U sistemll jednaCina: (m+ I)x- my= 4/\ 3.'1'- 5.1'= m odrediti realan parametar m tako dn re~enje po x, )' zadovoljava rciaciju :

x- y < 2. 1598.

Za koj e vrednosti parametra m jednacina:

Odrediti realan paramel ar konjunkciju x> OA Y < O.

m(x -3)+2x=0 ima rdenje po x manje od 2. 1589.

U jednacini : 2(a - 3x) + x = 4a - lO(x - a) + 36 odrediti parametar a tako da resenj e jednacine po x bude nega tivna.

1590.

Odreditl sve realne vrednasl i parametra m za koje jednaCina:

1591.

m(x-3)+3=m 2 x ima resenje po x veec od 2. a-2x 2-ar U jednacini - - - - - = a - 2, ( a rcalan broj) odrediti rClllan broj a tako da fesenje po2x bude vece od -2.

1592.

'd .. a +x x + -ax

JC

naCl111 - -

1593.

Za koje vrednosti realnog broja n jednacina x 2x- n --+ , = I, ima resenje manj e od I? x-2n x+-2nx

1594.

Data je jednacina po x (b realan broj),

9b'-8 4 -3b- 4b+ Jb 'x + = 2 • 2x+4 2-x; x-4 Resiti jednacinu po x, a zalim odrediti realan broj b taka da je x < I. 1595.

Za koje vrednosti parametra m sistem jednacina po x,

mx+ y=mAx- y=2 ima negativno resenje (x < 01\ Y < O)? 1596.

Odrediti realan parametar a tako da rdenje sistema az - 4y=a+ lA 2x+ 2ay= - I po x, y zadovoljava konjunkciju x> OA y < O.

1599.

)~

/I

lako da

Za koje realne vrednosti parametra

re~e nj e

III re~cnje

po x, y zadovoljava sistema jedna~ina po

x, y: mx-2y=3/\3x +my=4 zadovoljava konj unkciju x > OA Y < O? 16()().* Odrediti parametllf III tako da sistcm : mx + (111- 2)y= 2A 2x+ 3y= - 3 ima reknj a po x, y koja zadovoljavaj u konjunkciju y> I Ax > y. 160 1.

dd"

') a re It I rca· = -a- + -x- (a rea 1an b rOJ. x- I x-I Ian broj a taka da re~enj e jednacine po x bude veec od 6. U

Oat je sislem: 11.'(- y=5/\ 2.'1'+ 3ny= 7.

Oat je sistem: {a+ 3)x- 2(,,+ 3)y= 12 - 3oA(,,+ J)x+(,,+3)y= -I-a. Odrediti sve cele vrednosti parametrn a :za kaje je resenje Sistema po x. y negativno.

Dill je sistem jednacina po x, y: 3(m - 3)x - (m- 3»)/ = 19 - 4mA (m- 3)x - 2(m- 3}y = 3- 3m. gde je In realan parametar. Odredili sve cele vrednosti parametra mz.a koj c je ta~n a konjunkcija. 1603. Dokazati ekvivalenciju I x I:s oA a > 0 <::> - a:S x So. , ..'IZ pret ha dnog zadatka rclil"i nejedn actne : 16(J4,* Primcnom ekvivalencIJc 1602.

')1...2:J<2;

b)12X+31<1;

e)IXI x+2

d)I~I~4' x-2

2x+ 3] 2

1605.* Resit i

S I;

2.'(- 3

nejedna~in e:

.){.<+I)lx-2 1 <-I; x2 + 2

{x+ 2)!x- 31 >_ l. bl x' + 6 169

168


Re~iti

1606.* 1607.* 1608.* 1609.* 1610.*

nejednacine (1606-1619): x x -3 9-x ----->--x+ 3 x x' + 3x 3 2- x x + 2 7x - X --+--< , . x+ 1 x -I x"-I 3 x 3(x+3)'-x(9+2x') -+-> , . x 3 3x" + 9x 4 x I -~- + < , . 4x' - 9 2x - 3 2x" + 3x 4x x I -~-+ + , <0. 9x' - 4 3x + 2 3x" - 2x

1620.

a)(a<b)=>(a<a:b <b}

b)(a<b< C)=>(a<a+~+c < c}

(a a c) d) (a > 0 /\ b > 0 /\ :: $ ~) => (:: $ a+ c$ ~). b d b b+d d' c)(b>a>O /\c>O)=> - > -+- . b b+c'

e)(a> 0/\ b>O/\ c >O)=>a'

I I x' - 2 1611.* - + - - < - - -

x+ I x' + x 2 3 9 3 ; b) < ; 1612.* a ) - - > 2y-13y-4 12m-14m+3 x

1613.* a) 1614.* a)

x' +IOx+25 0 , ~ ; 3x + 1 a' - 9 a

2

+ 3a

> 0;

I-I 1-3 c)--<-- . 41+541-3

b) x' + 5x > o. x-2 3a 3 -a 2 -3a+1 b) 1- 3a > o.

+ c' ?:ab+ac+ bc.

Dokazati da za aritmeticku sredinu A, geometrijsku G i harmonijsku H vazi nejednakost H $ G $ A.

1622.

Aleo su a i b pozitivni brojevi dokazati nejednakost: a b -+-~2 . b a

1623.* Ako je a + b + c = I, a> 0, b > 0 i c > 0, lada je: (I - a)( 1 - b)( I - c) ?: 8 abc. Dokazati. 162~.* Ako je a + b + c = 6 (a, b, c E R), tada je:

a' + b' + c' ~ 12. Dokazati.

2Ix+21+lx-31~5.

1616.

~x+31-12x-31$8-3x.

1617.

Ixl-2Ix-61<2x+6.

1618.

a)15-xl+12x+41>2x+10;

b)

1619.

a) Ix+ 41-lx-71 $ II;

b) IX-II-Ix+ 51 > 6;

1626.

c) Ix+ 4Hx- 41 ~ 8; x2-5x+4 0 e) > . Ix-Ik3- x) - ,

d) Ix- 21+lx-71 < 9; 2 3 f ) - - + - - > O路 Ixl-I Ixl+2-'

1627.

1625.* Ako su a, b i c merni brojevi stranica .tTougla. roda je abc ~ (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b). Dokazau. 31xl+2

b)

Ix I-I

9.7. Graficka interpretacija sistema Iinearnjh nejednal~a S.B dye nepoznate. Re~avanje problema linearnog progrSlOJrBoJB

< 3.

4 5 ~o. IX-ll+ 1 IX-II- 2

U Oxy _ ravni srafirati oblasti u kojima vaZe sledece nejednakosti: a)x>-3; b) y /\2; c)x-y+3?:0; d)2z + y - 4~0. U Oxy _ ravni ~rafirati oblasti u kojima vaZe konjunkclJe: ~x-y+I<0/\x+2y+3?:~

b) x $ - 3/\ 2x- y+ 4?: 0/\ 3x- 3y+ 5< 0; c)x+ y>l/\x-2y<0/\x- y<l; d) I~ $ 4/\ 1>1 $ 2;

e) 2x - y < 1/\ x

170

+ b'

1621.

1615.

2 3 g) Ix-31-1 +lx-31+2 $0;

Dokazati implikacije:

+ 2y> 111 2x -

>

2y $ III 2x + 2y-

3171


1628. 1629.

Maksimizirati funkciju L = .'. + y, uz ogranicenja: x - y S 3/\ x :5 4/\ x + 2Y ~ 10/\ x - Y ~ - 2/\ x ~ 0/\ Y ~ O. Minimizirati funkciju L = 2x - y . uz ograni cenj a: x - y S 1 /\ 2x + y :5 II /\ Y - 2x S 3 /\ Y S 5 /\ x + )' ~ I /\

X GLAVA 10. RAOO ZADACI' Re~iti

po x jednacinu 2x + Ix -

II = 5.

/\x~O/\y ~O.

1632.

1630.

Naci najmanje i najvece vrednosti funkcija L, = x + y i L, = - 2x - y u oblasti: 3x+ 2y > 6/\ x- 2ys 2/\ -3 x + 2y S 6/\ x ~ O/\ )'~ O.

1633. Oat je sistem jednacina po x, y (a realan parametar): 3x+ y = 13/\ x- y= 7 V (a- 2)x-5y = 10. Odrediti parametar a tako da sistem ima resenja.

1631.

Grafi ckom metodom naCi opti malno resenje sledec ih zadataka linearnog programiranja: a) x + 4 y S 24/\ 3x + Y S 21 /\ x + y S 9 /\ x ~ 0/\ )' 2! 0, L = 2x + 5y-+ max; b) - x + 3)' S 9 /\ 2x + 3y S 18/\ 2x - y S 10/\ x ~ 0 /\ Y ~ 0, L = 4x+ 2y-+ max; c) 2x + )' 2! 20 /\ 2x + 3y ~ 30 /\ x 2! 0 /\ Y ~ 0, L = 3x + 2y -+ min; d) 15x +4 y ~60/\ 20x+ 3yS60/\ y S7 /\ x~ O/\ y ~O, L = 3x + y -+ max; e) 5x + 2y:5 100/\ 6x + )' 2! 30/\ x + 2y ~ 20 /\ x 2! 0 /\ 6:5 y:5 3D, L, = 2x + y -+ max i L, = x = 2y -+ min.

1634.

Odrediti uglove onog pravouglog trougla za koji vaii formula + b)' = 8P, gde su a i b katete, a P povrsina lrougla. 1635. Rastaviti na Cinioce: (a+ b+c)(ab+ bc+ac)-abc. (a

1636.

U dati jednakostranicni trougao ABC upisati trougao KLM ~ije su stranice normalne na stranice datog trougla, tako da K E AB, LEBC, MECA.

1637.

Dokazati da je broj as - a deljiv sa 30 za svako celo a.

1638. Dati su pravougaonik KLMN , tacka P u pravougaoniku i ta~ka Q van pravougaonika, tako da su tTOuglovi LMP i MNQ jednakostram~m . Dokazati da je duz PQ jednaka dijagonali datog pravougaonika. 1639.

Ako je I x I'" I, y '" 0, y '" -x, vaii identitet:

x' -

I . _1_ -I]'1- xi - y' +

y' + xy

I 1- Y

y

y' + Y +

I - x'

I

Y

Dokazati. 1640.

Ako je I(x) + 3/(~) = x' (x'" 0), izracunati /(2). .

164\.

C - 90 0 )CD je visina IZ ternen. C. U pravouglom trouglu ABC (L - . d . · BD dokazati da je Ako je N sredi~te duZi CD i M sredlste UZI , AN.l MC.

1642. Ako M tacka u trouglu ABC, dokazatl. da J·e AM + ME < AC + CB. -

.' I"van"c i sislemalizaciju celolupnos • Ovi ladaci sluu Z8 ponavljanje, ulv~d,v~Je. prod"! ~~ti~skim i meduopJlinskim 18km •. nastavnog gradiva. Uglavnom su ko,,~6c", na run. ¢enjima iz malcmalike.

172

173


1643.

Dokazati implikaciju: ( y - x) ' +(z - x)' + (z - y)' - ( y + z - 2x)' -(z + x- 2y)' - (x + y - 2z)' = 0,.. x= y= z.

1653" Ako se stranica AB par?lelograma ABCD produii preko temena B za dui BE = 1B , a .stramca. AI:! preko temena D za DF = AD, tada tacke E , C I F pnpadaju IstOj pravoj. Dokazati.

1644.

Dokazati da je:

1654" U trouglu ABC konstruisane su simetrala spolj a§nj eg ugla u temenu A koja sece naspramnu stranicu u tacki D i visioa AE. Ako je AD = 2AE , dokazati da je tada L B - L C = 60

a-I )-' + (a-' + ~)-'

b-' + ( abo' + ba - '

0

1655. Ako se dvocifren broj podeli cifrorn jedinica, dobije se kao kolicnik cifara jedinica, a ostatak cifara desetica. Odrediti taj broj (obrazloziti

2

(a = 0, b ~ 0).

1645.

ay -bx cx-az bz-cy Ako je a ~ 0, b ~ 0, c ~ 0 i c = b = a , onda je

~ = I = .:.. Dokazati. a b c Neka su M i N sredista stranica BC i CD paralelograma ABCD . 1646. Prave AM i AN seku dij agonalu BD u tackama K i L. Dokazati da je 1647. 1648. 1649.

1650.

DL=LK =KB. Koliko ima celih brojeva izmedju 100 i 10 000 kod koj ih su tacno tri cifre jednake?

x Re§iti jednacinu po x, x + I x I = ~.

Pokazati da vrednost izraza: x x a A=-+----a b-a a+b a' (b - a) ne zavisi od a i b za x , ab ~ 0 iI a I ~ b. b(b + a) Akoje: (I)a+b= x + y (2) a ' + b' = x' + y ' dokazati daje a 3 + b ' = x' + y]

Dokazati da je izraz: 1 1 a+b a-b (a~ b) A = -- + -- + ----- + a-b a+b a' +ab+b' a' -ab+b' jednak nuli jedino za a = O. 1652.* Dat je trougao ABC sa uglovima LCAB = 60· , L ACB = 90· tacka M na stranici BC. Ako je CM = pi MN = q, izracunati velicinu x = AM u funkciji velicina p i q.

1651.

--=----=--

re~enje) .

1656.* Date su prava i dYe ta§ke van prave, obe sa iste strane prave. Konstrui· sati trougao tako da mu jedna stranica pripada datoj pravoj, a da su date tacke podnozja visina koje odgovaraju dvema stranicama trougla. 1657. Dokazati ekvivaJenciju:

!!.. = !!. = =-).;:> (a' + b' + c')(p ' + q' + ,.') = (ap + bq + cr )'. (p q r 0

Nad njegovim 1658. Dat je pravougli trougao ABC( L ACB = 90 katetama konstruisani su kvadrati ADKC i CBHE. Dokazati da je zbir rastojanja tacaka D i H od prave AB jednak duzini hipotenuze AB. 1659. Konstruisati grafik funkcije: ).

,...--=---

y = ~ x' - 2x + I - ~ x'

+ 6x + 9.

1660.* Razlika cetvrtih stepena dva broja od kojih prvi pri .deljenju sa 5 daje ostatak I, a drugi pri deljenju sa 5 daje ostatak 2, deljlva je sa 5. Deka· zati. ax+ b Neka su ab c d x celi broievi. Ako se razlomak +d x maZe skra1661. , , , , J e . titi sak, onda jead - bc deljivo sak , pri cemu jek ceobroj. Dokazab.

1662. Re~iti jednacinu po x (a dati realan broj): x ax 2a' + 3a + 5x

---+

=

2a-52a+5 4a ' - 25 a zatim odrediti realan broj a tako da je x < - I. 1663. Re§iti jednacinu po x (a dati real an broj): 4a' 30+ 3 --=--+ = 2a' +3-, 3x + 4 x' - 1 3x' - 3 x -I a zatim odrediti realan broj a tako da je x > 2.

175 174


Re~iti lineami sistem po x, y (a dati realni broj) : (a - 2)x + (a + 1)' = 20 A 4x + S)' = a + I. a zatim odrediti realan broj a tako da jc tacna konjnnkcija x 2: 0 A y:S: 0 u skupu celi h brojcva.

1676.

1665.

R.e~iti sistem po x, y (a dati realan broj): (a+ 2) x+(a- 2) y= 16 f\ 2x+ 4)' =0 - 2, a zalim odrediti realan broj a tako da je tacna relacija y = 3x.

1671.

1666.

Data je lineama jednacina po x (a dati realan broj):

1664.

< 1.

U ~ek0l!l razredu ~a kraju ~ko lske godine niko nije dobio oeenu odhcan IZ matematlke. Svaki ~esti ucenik bio je vrlo dobar svaki ~reCi dovoljan, a svaki deveti nedovoljan . Broj ucenika je izm~du 20 I 40 . Koliko je ucenika dobilo oeenu 3 i koliko je bilo ucenika u razredu? 4 4 1669," Akojea+ b+c= 0 i a 2 + b 2 +c z = I, i zracunati(l~ + b + c • 1668.

1671." Dokazati da je n )

+ l In

U jednakokrakom IfOliglu ABC, gde je osnoviea AB ::: 30 em, a kraci AG = BC ::: 2S em upisan j e kvadrat straniee x, tako dn mu dvu tcmella pripadaju osnovici a drugs dva kracima AG i Be. I zril~unati

1680.

)'2 + my + 2 podeli sa y- \, kolicnik je J( 1'). a oSlatak R. Aka se isti polinom podeli sa y+ I, kolitnik Je g(y) a ostatak r. Odrediti realan broj III tako do je R r. l J 1682.· Polinom P(x) = X4 + 2x + ax + 2x + b je kvadrat drugog poll· noma, gde su a i b rea lni brojevi. Odrediti drugi polinom i realne bro·

1681." Ako se polinom

=

jeve a i b. U jednaeinama odrediti rcalne brojevc A, B, C i D takoda oni vate za

I yl = x + I x - 31· 1683.

(n EN) deljivo sa 6.

deltoida. Osnovica traugla je c = 56 em, odgovarajuca visinn he = 15 em i teiisna linij a I r: = 17 em. Izracunati stranice a i b lrOugl u.

J

svako x (1683- 1687): x+3 A

Bx+C

(x+1)(x 2 + 1)

x'+ 1

a + 1672 ." Odredltl . . sve cele broJeve . . Je . za kOJe -I takode ceo broj . Aka su x, y. i z takvi brojevi da je x kubova ova tri broja delj iv sa 3.

+y + z =

1) + g( 2x + I)

=2xA Jl x :

0 dokazati da je zbir •

1685.

1675.· Odrediti sva celobrojna rdenja jednacine x~

=x. (x

+ xy + y2

¢

I).

1686.

= 1.

x+2

ABC

+-

X

x' + Xl

-

+-.

X

X -

A

6 I

X-

x{x - I) '

x

2

B

C(+D

-+-+, x I x+1 x-I .'C·+ +

=~+~+

1687.

176

0+ 0

B

--:'~=---- = xJ _ 2X2

I) - g(2x+ I)

x+1

=-+-+ , x- I x+I x' + I

1684.

1674.' Odredjtj J(x) j g(x) ako je:

Jl x :

=-+ ,

A

a-I

1673.

3

1679. Deltoid sc sastoji iz dva jcdnakokraka trougla cija zajednicka 05novica izno~ i 40 em, a krnei po 25 em i 52 elil. Izracunati dijagonale

Prava MN je zajednicka spolja~nja tangenta kruznicn K ! i K 2' kOj·' . . se sek"u II taekama A I B (M 1 N su dodime locke). Izracunati zbir LMAN+LMBN .

1670." Konstruisati grafik fllnkcije

t" .

k~elim~:

=

9a' - 8

Re~ iti jednacinu. a zatim odrediti realan broj a tako da je x

1667.

~u

dva .tcmcna pripadaJu osnovici AB, a dmga dva tako da lzracunatl stramee pravougaomka.

stranicll x kvadrata. 1618. Romb je upisan 1I jednnkokraki trougao ABC, tako da mil jc jedno Ie· me A, a dYe stnmice pripadaju pravama AB i AC. Ako je AC 6cm, Be = 8 COl, izracunati stranicu romba.

4-30' a(4+Jax) = . 2 2x+4 x-2 x -4 x x(5o+1)+(a-l) b) at" + - ' - = 9a~ - 4 30+ 2 30- 2 ~

U jednakokrakom UOUglll gdc su osnovica AD::: 18 em a 1. ~ . ABC, . II..H:tC!

BC = ; I e =) I eill, uplsan JC pravougaonik Cijc su slraniCe

x- I

C ;-+ D (x- Ir (x-1)'


1688.* Resiti jednacinu po x (m realan broj): m(x' + 8) + 6 m m+ 2 ------+--= 8 - x' x- 2 x' + 2x+4 a zatim odred iti realan broj m tako da je I x 1< 4. 1689.* Resiti jednacinu po x (11/ dati realan broj) : 2mx(m+ 1)+ 3x x x+ I ----.:..---:--~--

1690.*

1691.*

1692.*

1693.*

1694.*

1695.

- -- + ,

= 0,

m' - 27 m - 3 m' + 3m + 9 a zatim odrediti realan broj m tako daje I x I< 2. Resiti jednaCinu po x (a realan broj); x+a+2 a-x+2 2(x' -2x+2 ) +2a(a - x+S) x -a-2 x + a + 2 x' - a' -4a -4 a zatim odrediti realan broj a tako da je I x I < I. Resiti jednacinu po x (a dati realan broj): a+1 3ax-S 4 = ax +3a ru;' +2ax-3a x -I ' a zatim odrediti realan broj a tako da je I x I< 2. Resiti jednacinu po x (m dati realan broj ): 2m- S 3 3x+ 4 (m-I)(x+2) x+1 x' +3x+2 ' a zatim odrediti realan broj m tako da je I x I < 1. Prava a sece pravu b, a prava e je paralelna sa b. Sve tri prave Sli komplaname. Odrediti broj tacaka koje su jednako udaljene od sve tri prave. Dokazati identicnost: a'b' b' e' e'a' ----'----+ + = ab+ae+ be. (a-e)(b-e) (b-a)(e-a) (e- b)(a- b)

1697.* Dat je polinom P(x) = x' + mx' + nx' + px + 8. Odrediti realne brojeve 111, nip tako da ovaj po linom bude deljiv sa (x- I )(X' + 6x+ 8). 1698.* U polinomu P( x) = x' + ax' + bx + e, odrediti realne brojeve a, b i c da bude deljiv sa (x - I)] 1699.* U polinomu x' + niX ' +2x' + ~x' - 3x + p, odrediti realne brojeve 111, nip da bude delJlv sa x + I. 1700. Ako je P(x) = 2x + 3, Q(x) = 4x + 9, tada je P(Q(x» = Q(P(x» . 1701.

onda je cetvorougao tetivni. Dokazati. 1696.* Dati su polinomi P( x) = x' - 3x + 2, Q(x) = x' + 3x + 2. Odrediti polinom P(Q( x » , zatim dokazati da je deljiv sa x' + 3x + I.

I

+X

1702. Dat je pravougaonik ABCD, zatim je konstruisana prava AMNF. koja sece dijagonalu BD u M, stranice BC i DC U H..I P. . . a) Dokazati daj e duz AM geometrijska sredma zaduz~ MP I MJV' b) Dokazati da je proizvod DP . BN stalna vehcma I ne zaVISI od izbora secice. . .. CH J'ednaka stranici A8. 1703.* Dat je trougao ABC u kome Je visma . . dn a a) U dati lrougao ABC upisati pravougaomk tako da mu Je 'k . . AB ' I i da se straDlce pravougaom a troug a .' slranica pripada slranlCI odnose kao 111 : n, gde su n~ i n date dU~\ ( pisanih) pravougaonika b) Dokazati da je oblm SVlh tako nasta I u konstantan i jednak 2AB. k .. . k . ti grafik fun clJe 1704.* U istom koordinatnom slstemu onstrUiSa

y =~x-3

i y = x -I x l · 5 ." . ada'u sva resenja sistema a) Osenciti oblast raVDl x Oy kOJoJ pnp J

y ~~ x - 3/\

Ako unutrasnji uglovi cetvorougla cine razmeru: a) 3 : 4 : 5 : 6; b) 5 : 7 : 11 : 13,

1705.* 1706.* \707.* 1708.

178

Dokazati. I- X , . Data J'e funkcija f(x) = - - . Izracunatl fU(x».

y < x -I xl·

.

5 18 ' C(I03)pripadaJugrafiku b) Da Ii tacke A(5,O), B ( - I, - 5) I , 3 funkcije y = - x - 3. . _ _ =d. Dokazau 54 + e' + d' = 4abcd, lada Je a - b - C d b' '_~7 ' 4 + b Ak 0 Je a .' b i d a I lu~ . Ini broJevl a. ,c _? Koji uslov zadovolj avaJu rea d) ' aD najmanju vredno t. a' + d' - 2b(a + C - b) + 2c(c un M . N a tangenma dui konKonstruisati krufuicu koja sadrZ~tacke I P ' a duzmu a. struisana iz date tacke 1m . ' ,+x- 31'= 10. . . Y za kOJe Je X) • Odrediti sve cele broJeve x I 179


1709.

1710.

1711 • 1712.

Vozeci ravnomemo 15 minuta biciklistaje presao polovi nu pU la AB. Orugu polovinu je vozio 6 kmlh manje od prvobitne brzine. Tako je ceo put od A do B presao za 33 minuta. Odrediti brz inu kretanja biciklisre i duzinu puta AB. . x+ -I . ' x-, + - I, = 7' , Izracunarl Ak0 je xx Oat je razlomak ciji j e imenilac za 1998 veti od nj egovog broji oca. I

Ako se datom razlomku dod a -, dobij a se razlomak kojij e za rri puta 5 veci od prvog razlomka. Odredili imenil ac i brojilac datog razlomka. 1713.

Odrediti razlomak koji je jednak razlomku 40 i kod koga je zbir brojioca i imenioca jednak I II . 71

1714.· Ako je x realan broj i ako je x + ~ = 3, odrediri : ' I , I x ) ax+" b)x+- .

x

x· 1715.* Resiti jednacinu .J x' + 2x + I + .JI- 2x+ x' s

,

= 2000.

1716.* Akoje nE N, radaje ~-~+~ jednako 0 iii lakode pripada skupu N. Ookazati. 120 24 30 1717.

Zbir cifara dvocifrenog broja je II , a ako cifre zamene mesla novi broj je za 5 veci od trostrukog trazenog broja. Odrediti raj broj.

1718.* Cifra desetica trocifrenog broja, ciji je zbir cifara IS , jednaka je 5. Zamenom mesra cifara stotica i jedinica dobijeni broj je za 39 veci od dvostrukog prvog broja. Odrediti taj broj . 1719.* Odrediti skup tacaka (x, y) u Oekartovoj ravni koji zadovoljavaj u relaciju

x+lxl= y+lyl.

1720.

Tezisne duzi koje odgovaraju karetamao i b, pravouglog rrougla su . Ok 'd . t+tb t. I '.. 0 azaU a vazl ~ = -5 2 0- + b 4

1721.

Okruzno takmicenj e 1994/95.

Turista je pre~a o 105 km . Oa je dnevilo prelazio po 6 km manje, na putu bi proveo dva dana vise. Koliko kilometa ra dnevno je prelazio turista.

Rditi sistem nejednacina y < x + I" x + 2 y :5 2" y 2: - 2.

Prvi razred

1722.

Dokazali. da broj koji se u dekadnom zapisu pise koriscenjem jedino Clfara 2 I 6, DlJ e razhka kvadrala dva cela broja.

1m . Oat je beskonacan skup S parova prirodnih brojeva. Dokazati da u 10m skupu postoje parovi (0, b) i (x, y) takvi da je a:5 xi b:5 y.

1724. Kako treba izabrali predznake + iii - ispred brojeva pa da vrednost izraza ± I ± 2 ± .. . ± I 995 bude sto bliia nuli? 1725.

Ako svak a dijagonala cetvorougla ABCD po lovi njegovu povrSinu. dokazati da je ABCD paralelogram.

1726.

Nad stranicama Irougla ABC na spoljnu stranu konstruisani su jednakostrani cni trouglovi ADB. BEC i CFA. Dokazati da su duzi AE. BF i CD podudame i da se seku u jednoj lack i. Rcpublicko takmiccnje Novi Sad - 16. marl 1996. Prvi razred

1727. Za vrhove dva stuba visine II i 15 merara, koji su na rastojanju od 9 m, zakacen je kanap duzine 15 m. Na kanap j~ oka~en leZak reg I pusten da kli zi, sve dok se teg ne nade u najOlzoj tach Na kOjoj VIsini ce se nalazili tada teg? 1728. Ako su 0 , b , c, i d pozitivni realni brojevi lakvi da je 50+ b 60+ b . 70+ b _ 8 d 'zracunalI 90+ b - - = - - I - - - , on a, l 9c+d 5c+d 6c +d 7c + d 1729. Neka je 11 prirodan broj i d delitelj 2n ,. Da Ii n ' - d moZe biti potpun kvadrat? 1730. Ali-Baba se nalazi u peci ni 1I kojoj ima zlata i dijamanara. Ki logram zlata kosIa 20 dinara, a kilogram dij amanata kosta 60 dmara ; ;l 20 spolaganjll mu se nalazi jedan kovceg. Pun kovceg zlara IkeZ • g. ,,' 40 k Tetina praznog ov.ega je a pun kovceg dij al1lanala tezi g. k K I' k lata i koliko zanemarljiva. Ali-Baba moze da ponese 100 g.. 0 1 o~. ? dijamanata treba da ponese Ali-Baba da bl naj vIse pro limo . Okrufno takmicenje iz matematilce 21.2.98. Prvi razred

. skup ..1= {19,20..... 9 I. 1731. Koliko troclanih podskupova {a, b,c} 1m3 takvib da je 0 + b + c deljivo sa 3 ?

180


1732.

Neka su a i b realni brojevi za koje vazi = 8, b ) - 3a'b = J6I.

Okruzno takmi cenjc iz matcmatikc 20.2.1999.

a) - 3ab'

1733.

Naci a' + b'. Dokazati da je tacka S centar upisanog kruga trougla ABC aka i gde su G, b i c duzine odgovara. sarno ako je a AS + b BS + cCS

Rcpublicko takmicenje Kragujcvac - 14. mart 1998. Prvi razred • .

.. .

..

a) Rastavltl na ClDloce Izraz: x b) Ispitati da Ii je broj 9'99'

1737.

+ x- y 2 + y 4 .

.4'

I _

1743.

1745.

I Vex, y) = - ( f ( x ) - g(y)) .

x- y

1738.

Dat je izraz *1*3*3'*3)*'''*3'99'*3'99'. Arkadije i Branislav naizmerucno zamenjuju po jednu zvezwcu sa + iIi sa - . Branislav nastoji da broj koji se dobije, posle zamene i poslednje zvezdice, bude deljiv sa 7. Moze Ii Arkadije da ga spreci u tome ako on prvi igra?

1739.

Dat je trouga ABC. Odrediti sve tacke M u njegovoj ravni, taka da trouglovi ABM , BCM i CAM imaju jednake povrsine. Dokazati da osmougao kome su svi unutrasnji uglovi jednaki i kome su duzine svih stranica racionalni brojevi ima centar simetrij e.

+ 2000x''''' _ ... + 2 OOOx' - 2000x+ 2000

Koliko ima parova (x, y) racionalnih brojeva, tako da je 2x'+5y'=I ?

Neka je M unutrasnj a tacka paralelograma ABCD. Dokazali da JC MA + MB + MC + MD manje od obima paralelograma. Okruzno takmicenje iz matcmatikc 20.2.1999.

,

gde x,y;e a. Dokazati da postoje izrazi I(x) i g(y) (tj . takvi da I ne sadrZi y, a g ne sadrii x), tako da se izraz V(x,y) moze, za svaka x, y E R, x;e y, x, y;e a, prikazati u obliku

I

1744. Datje skup A. Medll nj egovim podskllpovima definisemo relaciju- : X , yeA, X - Y ~ X n Y ;e 0 . lspitati da Ii je - refleksivna, simetricna, asimetri cna iIi tranzi tivna.

Prvi razred - B kategorija

,«a -b) (c - x)(c- y) -

(a-xHa - y)-

Oat je konveksan petollgao A, A, A A A . Neka su B B B B . A A A A J " S II ~, ) 4 sre'Sdt~ .stradm :aB 'B ". ' ), A)A" A,A , redom. Oznacimo a /vi i N sre Ista UZI , 4 I B,B). Odrcdlte odnos duzina duzi ,\lIN i A A Oat je pol inom I ,. d'"

P(x) = X"lOO - 2 OOOX ' 999 IzraclInati P( 1999).

+ 3'998 + I prost.

- (c-a)'(b - x)(b- y» ,

182

1742.

Neka su a b, c dati razliciti brojevi iz R \ {O} , i neka je dat izraz V(x,y) =

1740.

1741.

=0,

Jucih stranica. 1734. NaCi sve slozene brojeve n E N koj i ne dele proizvod svih prirodnih brojeva manjih od n . 0 1735. Neka je dat !lABC sa uglovima LA = 500, LB = 60 , i tacke D i £ na stranicama AB i BC redom, tako da je LDCA = LEAC = 30'. Odrediti LCDE.

1736.

Prvi razred - A kategorija

1746.

Ako je n prorodan broj yeti od dya, dokazat i da je broj n" - 128n 6 + 4096

(n)-4n'+8n-8) ' potpun kvadrat prirodnog broja. 1747. Dat je polinom P(x) = x)OOO _ 2000X'999 + 2000x '''' - ... + 2000x' - 2 ooox + 1000. Izracunati P( 1999). 1748. Neka su tacke K i L redom sredista stranica CD. i AD kvadrata ABeD, as presecna tacka duzi BK i CL . a) Dokazati da je cetvorougao ABSL telivni. b) Dokazati da je trougao ASB jednokraki. 1749. Datje skup A. Medu njegovim podskupoYima defi~eSimo relaciju-; X, YeA, X _ Y "" X n Y ;e 0. Ispitati da 11 Je - reflekslvna, simetricna asimetricna iIi tranzitivna. , . b . . 4 '+ I I 6p' + I 1750. Naci sve proste brojeve p takve da su I rOJeYI p prosti. I 3


RES E NJ A

I GLAVA 1. LOGIKA I SKUPOVI 1.1. Osnovne Jogicke operacije 1.

Sve navedene recenice su iskazi.

2.

a)

3.

p( I) = I' - 6 . J + 8 = 3> 0; netacan;

=.

~~;

b) <;

c) >.

p(2)= 2' - 6·2+ 8 = 0; tacan itd . 4.

0 Kako je x = 1 ; Y II x> 0 II 10 - y > 0 => y < 10; posto je y EN i . . 10 - y . y < 10 => Y = 1,2, 3, ... ,9 a x E N I X = - 2 - ' onda je y = 2, 4, 61 8,

a x= 4,3,2 i l. Traieni parovi su: (4,2); (3,4); (3,4); (2,6) i (1,8). 5. 6.

a) 1.; b) T; c) T, T, T. a) T; b) T; c) 1..

7.

a) Broj 3 je jedino resenje; b) Svi eeli brojevi x delioei broja 6. To su: ± I, ± 2. ± 3, ± 6. c) To su brojevi: 1,2, 3,4, 5, 6; d) Jedinstveno resenje x = 4; e) Data formula ima vise resenja. Sva resenja date fonnule je sirup AU B, gde je skup A = {0,-I,-2,-3, ... J, a skup B = (6,7 ,8, .. }.

8.

a)x=I,2,3; b)x=-3V x =3;

c)x=I,2,3;

d)x=6 , 7.

9. x

7

8

9

10

i

3

4

5

6

f(X> 7V x<4)

T

T

T

.1.

.1.

.1.

.1.

T

T

f(x<911x<5)

T

T

T

T

.1.

.1

.1

.1

.1

1.

f(3x< 7)

T

T

.1

.1.

.1

.1

.1

.1.

1.

1. J

f(x'=X'X)

T

T

T

T

T

T

T

T

1

T I

2

i

T '

----'

10.

p =T, q=T, r = 1., s= 1.. a) T; b) T; c) 1.; d) T.

11.

a) 1.; b)T.

12.

a) T; b) T. P =T, q =T.

13.

P =T, q = 1., r = T; a) T;

14.

P = T, q = 1., r = T, S = 1., t = 1. a) T; b) T; c) T: d) T.

15.

a =T; b =1.;

16.

Prvi nacin : Sastaviti istinitosne tablice za formulu A, pa na 05nO\1I toga izvesti zakljucak. Kako su kolona L leva strana i kolona D dcsna strana u ekvivalenciji, fonnula qA: pVq q I : p A je tautologija. T T T T T T T T \ T Drugi nacin: Ako I-t-+--'-+--+--T--i- I ..., T T .l. i T 1. 1. 1. .l i T I pretpostavimo da fonnula A nij e T 1 tautologija, onda 1. T .1 postoje neke isti11. 1 1 TT i T t T 1 1. nitosne vrednosti slova p, q, z za koje je A = 1.. Tada bi postojale sarno ove mogucnosti: a) (pV q)1I z = T i (pll q)V (qll z )= 1.; b) (p V q) II z = 1. i (p II z) V (q II z) = T. Razmotrimo oba slucaja. .. , . a)(p V q) II z = T ako je p V q = T i z = T, tada Imamo trI mogucnosu.

b) 1.;

c) T.

c =T: d =1.. a) 1.; b) 1.; c) T.

1. ;

1. p=T, q=T i z= T; 2. p = 1., q = T i z = T; 3. p = T, q = 1. i z = T.

. d'

U sva tri slucaja je (pll z) V (q II z) =T, sto znatl aje pr

etpostavka

pod a) nem?guca. . _ ko'e V q = J. i : =T. AnabzlfajUel slucaj b) (p V q) II z -1. a j P imamo tri mogucnosti: 1. p V q = 1. i z = T, 2. p V q = T i z = 1.,

I 5

'164


--

~

3. pVq=.Li:=.L , . a tada je uvek (p /I :) V (p /I :) = .L, pa Je pretpostavka b) nemoguca. Odakle zakljucujemo da fo nnul a.4 ne moze imati nikad istin itosllu vrednost.L. Dakle , fonnula .4 je tautologij a . 17.

o ob

b

Analo gno prethodnom zadatku sastaviti tab lieu istinitosti za svaki iskaz.

a" -'b

II

i

i

T

- to 0 b)

- b

!

,

20.

Tabli e a istini!Osti za fonnu lu pod a) data je tabelom. -q

poq

pA-'q

- ( pA-q )

T ' T

i

T

i

T

Ti

T

i

T

i

T

T

i

T

i

T

T

i

T

T

i

T

T

p

T

T

T

i

T

i

i

T

T

T

T

i

T

T

i

i

i

TI

i

i

i

T

i

i

,

T

i

T

I

I

Drugi nacin : Ako pretpostavimo da formula A nije tauto logij a, onda postoje dye mogucnosti : a) ~(ao b) = T i 0/\ ~b=.L : b) ~(a o b) =.L i a/\ ~ b =T . - Analizirajmo slucaj a) . Da bi bilo ~ (a 0 b) = T treba da je a = T, b = .L, onda je a /I ~b = T. Dakle. pretpostavka pod a) je netacna. Analizirajrno s lucaj b). Da bi vaii lo ~ (a 0 b) =.L treba da je: a = T, b = T; 0 = .L, b = .L i a = .L. b = T. U sva tri slucaja nije a /I ~ b = T, dakJe, pretpostavka pod b) je netacna. Znaci fonnula A je tautologija. a) Iskazi pi q su dye osnovne promenlji ve velicine od kojib treba a) b)

q

( poq)<> - (pA_q )

I

T

Dakle, ova formul a je taulologij a. 21.

Anal o gno prethodn om zadatku sastaviti tabli ce istinilOsli itd . 1.2. Osnovne skupovne operacije

22.

x = 0, 1,2,3.

= 4. {A, B , H . O , P ,C, E , T , K, M}. 24. QnR 25. a) A = {3 ,4567 , , , 8} , B = {O, I,2 .. .. ,8}; b) A nB= {3,4,5,6,7 ,8}, B \ A = {O, I,2}. B.

card S

)

26.

AnB = N, Ij . skup prirodnih brojeva.

27. 28.

a) Sva tvrdenja su netacna. a) {3, 6, 12}; b) A; c) {I,2,4,8, 16,32}; d) 0; e) A.

T

29.

a)P= {7}; b) skup P je prazan za svako m~ 2.

T

T

30.

0= I, b = 2, c = 3, d = 4.

i

T

T

31.

T

T

T

T

i

T

i

T

T

A={ O,4,6,8.9}, 8} O,2,4}. A U B = {O,2,4.6, 8.9} , A n B = {O,6, , B= { A \ B = {6,8,9}, B \ A = {21. 91l peA \ B) = {0, {6}, {8}, {9}, {6,8}, {6,9}, {8,9}. {6,8, .

i

i

T

i

T

32.

i

i

i

i

i

33. 34.

A={ O,6, 12}, B = {O,2,6,8} itd. P= {a,c,J,g,h} : Q = {b,c, d,e,j, h).

p

q

pVq

(pVq) .Vq

P

q

r

pVq

(pVq )V r

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

i

T

T

T

T

i

T

i

T

T

T

T

i

T

i

i

i

i

T

i

i

sastaviti sve moguce kombinaeije od T i .L. Tabliee istinitosti za iskaze p.q,pV q I (pVq)Vq date su u tabeli a), i to za svaki iskaz u odgovarajucoj koloni istim redom.

~186

19.

Prvi nacin : Pomocu tablice istini tosti za fOImul u A. 0

18.

b) Tabl iea istin~tosti za i s~az (p V q) V r je nesto slozenij a. pa je bro) moguc nosll 8. Jer se Jav lJ aJu tn osnovne promenljive, te se u tablici istinito sti javlja 8 vrsta. Tabliea istinitosti datog iskazaje tabela b).

A={ 2,3,4,5,6,7, 8}, B = {1),6,8}.

I 7


35.

Prva i peta u tacne, osmle su nelacne.

~ x ES/\( x ~All x ~B)

36.

l3ez upuistva .

~(xESIIX~A)II( X ESII X ~B )

37.

38.

\ \H = {~ .4 .6. 7 .9} . A = {l,3.4.5,6}. B = {6}, C = {2,4}.

~

39.

1° a) AU B

= {a, b, c, e,f, h, i};

b) AnB= {a .c,f}; c)BUC= {a,b.c, d,e,f.h,i} ; d)BnC= {b} ; e) AUC= {a,b,c,d,e.j.h}; f)AnC={e,h }; g) AU(BUC)= {a,b. c,d,e,f, h, i}; h) An(BnC)= {a. b. c,e,f, h}: i) AU(BnC)=0. 2°a) A = {b.d,g,i} ; b) B = {d.e, g.h}; c) E = {a,c,f, g. i}; d)Cs(AUB)= {d,g}; e)Cs(A UC)= {g,h}; f)C s (BUC)= {g}; g)Cs(A nB)= {b, d, e,g,h, i}; h) Cs(A n C) = {a, b,c, d, j , g, i) ; i)C s(A U(BUC»= {g}; j) C s (A n (B n C)) = S; k) Cs( A U (B n C)) = {d, g,i); J O Kako je A n B n C = 0; A n B n E = 0; A n 13 n C = {a, c,f}; A n B n E =0, tvrdenje je tacno.

40.

Ovde treba dokazati da za uniju i presek dva skupa vaze de Mar· ganovi zakoni. Dokaz rnozemo izvesti na vi se nacina: graficki , ra· cunski i pornocu tablice istinitosti. Dokaz obrasca ( I): Prvi nacin: Koristeci Ojler-Venove dijagrame (sl. 6) dokaz se laka izvodi . Drugi nacin: Koristeci sirnbole matematicke logike, definiciju , un ije, preseka i jednakost skupova, imamo lanac ekv ivalencija: x E(A UB)'~ x E S /\ x~ (A UB) ~xES/\-'(xEAUB)

~

188

~ x EA'lIxEB'

xES /\ -'(xE AUxEB)

x E (A ' n B'). Kraj dokaza.

'(JjJ '(]JJ ...........

./

~

/

(A u B)'= A' n B' 51. 6

Treci nacin : Pomocu tablice istinitosti: .rEA T T

,

x EB

xE(A UB)

xE(A UB)'

xEA'

x EB'

T

T

.1

.1

.1

x E A' ns' '

,

.1

.1

T

.1

.1

T

.1

.1

T

T

.1

T

.1

.l

.1

.1

.1

T

T

T

T

I

Dokaz obrasca (2): Prvi nacin : graficki prikaz resenja koristeCi Ojler-Venove dijagrame (sl. 7).

(.A n B)' = A'u B' ~. 7

.,.

.'

Drugi nacin: Koristeci simbole matematicke logike i definlclJe, unlJe, preseka i jednakosti sku po va imamo: x E (A U B)' ~ xE S II x~ (A nB) ~ xE S /\ -'(xE A nB)

189


~xESfI~(xEAflXEB)

A

n

C

BlJ.C

~xESfI(XftAvxftB)

I.

AlJ.B

E

E

E

~

E

Fl!

E

E

~

E

E

~

~

Fl!

~ (xES fI xft A)V (x E S fI xft B) ~xEA'VxEB'

~ x E (A' U B'), sto je i trebalo dokazati.

Treei nacin: Dokaz je prikazan tabelom: xE A T

x EB T

xE (A nB) T

x E( A n B) .l

xE A .l

x EB·

x E (A

.l

un·)l

i

.l

T.l

.l

T

.l

T

T

I

.l

T

.l

T

T.l

T

I

.l

.l

.l

T

T

T

T

Jz tabele se vidi da je kolona x E (.4 n B)' ima istu istinitosllll vrcdnost, kao i kolona x E (A ' U B '), sto je i trebalo dokazati . 41.

A = {1,2,2,4,6, 12}; B= {1,2,3,6,9, 18}; C= {I,2,3,6, IO, IS,30} .

42.

Razlika B \ C = {6}, A \ (B \ C) = {I,2,3} . Kako je .4 \ B = {l,2} i A nC={l ,3}, to izJa:zj da je (A \ B)U(AnC)={I ,2) U {I,3} = {l,2,3} . Data skupovna jednakost je tacna.

43.

Polazimo od ekvivalencije, odakle sledi lanac ekvivalencija: xE(A \(B \ C»~ (x E A fI xft(B \ C» ~ (xE A fI ~ (xE B fI x ft C» ~ (xE A fI (xftBV x E C» ~ (xE A fI xftB)V (xE A fI xEC) ~ (xE A \ B)U (x E A n C) ~xE(A \ B ) U (A n C). Kraj dokaza .

44. 45.

a) Skup A = ( 1,2,3,4,S},skupB = {2,4,6,7) . RazlikaB \ C = {2,6,?), a A \ (Bt.C) = {4,S}, a razlika (Bt.C) \ A = {6.7,8}. Odatle sledi (I) At.(Bt.C) = {4,S.6,7 ,8}. Razlika A \ B = {1,3,S} i B \ A = {6,7} . Simetricna razlika At.B = {l,3,S,6,7}. Razlika C \ (At.B) = {4,8) i (At.B) \ C = {S,6,7}, odakle (2)(At.C)t.C = {4,S,6,7,8}. Iz (I) i (2) sledi da je data jednakost tacna. b) Dokazje prikazan sledeeom tabelom pripadanja. Iz kolone L (leva strana) i kolone D (desna strana) sledi da je tvrdenje tacno.

E

~

E

E

Fl!

E

E

~

~

~

~

E

E

~

E

E

E

~

Fl!

E

~

Fl!

E

~

E

E

E

Fl!

~

Fl!

E

E

E

~

E

~

Fl!

Fl!

~

~

~

e

46.

Bez uplltstva.

47.

770 ucenika.

48.

M = {S,7,9, IS}.

49.

Bez uplltstva.

50. a) L = {a, b,c,d,e} \ {b,d,f , g,IIl,n}U{a,c,d,f ,r,s} = la,b,c, d,e} \ {a,b,c,d,j,g,IIl,n ,r,s) = Ie} . D = ({a, b,c,d,e} \ {b,d,f,g,IIl,n})n( {a,b,c,d} \ {a,c,d,J,r, s}) = {a,c,e} n {b,e} = Ie}. Kako je leva strana L jednaka desnoj D, tvrdenje je tacno. 51.

Dokaz se izvodi po definiciji, tj. (xE AU(AnB»~ (xE AV x E A nB ) ~ xE AV (xE A fI x E B) ~ x E A => AU(A nB) = A. Drugi zakon: xE (A n(A UB » ~ xE Afl xE (AUB) ~ xE A fI( x E AV x EB ) ~ x E A => An(AUB)= A.

52.

A=

53.

A = {-S,3,7 , 13}.

54.

A = {b,c,e,f} ,B = {b,d,e},C = {a, b,f).

55. 56.

Tvrdenje je tacno. A = {1,2,3,4,6, 12),B = {I,2,4,S, IO,20},C = {I,2,4,8.16,32}. a) A\(BUC)= {3,6, 12}; d)(B \ C)nA=0.

Skup Sima dva elementa. To Sll 0 i {0} . Partitivan skup je

peS ) = {0, {0}, {{0}}, {0{0}}} .

0

{1,3,6},B = {2,3},D = {l,3},x = {I,2,3,4,S) iii x = {l,2,3,4,4,6} = A, y = {2,3,6}, z P,2,6}.

=

57. T = {(b,a);(a,c);(b,c);(b,d);(e,c») . 58. Nije, jer (y,c)ft AxB vee (y,c)EBXA; (P,W!. AxB vee (P,b)EBxA .

190

191


59.

a) AxB = {(a, a );(a, ,8);(a, y);( b,a );( b,,8);( b, y);(e. a );( e,,8);(e, y)}; b) (Ax B)XC = {«a, a ), 1);« a,a ),2 );« b, a), I); « b, a ),2);«e,a) , I );«e, a ),2) ; «a,,8), I); « a, ,8),2); « b,,8), I); « b, (3), 2); «e, (3) ,I ); « e,,8). 2); «a, y), I );«a, y),2 );« b, y), I);« b, y).2); « e, y), I);« e, y),2)} .

60.

a) Imamo 2' = 16 podskupova, tj. dva trivijalna

0 i B , 4 jednoclana,

6 dvoclanih, 4 troclana, i to su svi elanovi skupa PCB); b) peA) ima takode 2' = 16 podskllpva ; c) p(A)n P(B) {0, {e}, {d}, {I). {e, d), {e,!}, {d,!}' {e,d,f}};

=

d) p«Cs,.on(C,B)) = {0,{b}}. 61.

X I = {2,3} iii X, = {2,3.4} iii X J = {2 .3,S} iii X, = {2,3,4,S}. Y = {2,3,5}; XI I Y =0, X , \ Y = {4}; X , \ Y = 0; X, \ Y = {4}.

62.

X I = {4,5}, X , = {4,5,6}, X J = {4,5,7}, X, = {4,5,6,7}.

63.

a) A = {1,2,3,4,5). B = {1,2.3,4,6}. b) A = {2,3,4,5}, 8 = {1,3,4,5} .

64.

a) PllQ = {4,5,7} ; b) QllP =PllQ c) (PllQ)tlQ = P; d) {l,2,3}.

65.

A' = {a,e,f} = B, 8' = {b, d, e, g} = A.

66.

P ' = {x lx E N\ P}={xlx=2k-l , kEN}. XI = {4,5, 7}, X, = {4,5,6, 7}, X, {3,4,5,6,7} itd. YI = {2,3,6}, Y, = {2,3,4, 6}, YJ {2,3,5,6} itd .

= {4,5,7} :

=

=

68.

=

b) 18;

c) 5 (sl. 8).

a) 4;

70.

Pri dokazivanju skupovnih jednakosti koristi se definicija j ednakos ti

0

SI 8

0-

*

ok!

dva skupa, tj. A B.." A ~ B II B ~ A (dva skupa su j ednaka ako, i sarno ako, svaki clan jednog skupa je clan i dmgog skupa i obraUlol· Dokaz skupovne jednakosti pod f). Data jednakost je: (Vx)(xE C \(A n8)"" xE (C \ A)U(C \8). (Koristiti definiciju unije, preseka i razlike skupova.)

192

=

(b, Dl

(0,0)

69.

=

=

72. S = {3,5,6,II},x = 5. 73. A xB = {(a,.);(a,O); (b,*);(b,O); (c,. ); (c,D)}; (51. 9).

M

Skup A {2,3, 7, 13}, a B {2,3,5,11}, sve tri relacije su tacne.

=

( V'x )(x E C II x$. (AnB)~ x E (C\A)V x E (C\ B ). (Ponovo se ko n ste definI C1Je unIJ e, preseka i razlike skupova .) (V'x)(x E C II ~ ( x E A II X E 8 ¢:> (x E C II x $. A)V (x E C i\ X $. B ) (V'x)(x E CII (X $. AV x$.B) ¢:>(x E Ci\x $. A)V(x E Ci\x$.B) (F) ( V'x)e i\ (~aV ~b) ¢:> (c II ~a) V (c i\ ~b ). Formllie x E A,x E 8 ,x E C oznacene su redorn sa abc. Kako 'e formul~ (F) tautologija, ~to se lako proverava, ovim je dOkazaoa sk~­ povna Jednakost pof f). Sheno se dokazujll i ostale. Dokaz skupovne jednakosti pod h) : A x(B nC) (A X 8)n (A xC), ako i sarno ako (V'x)(xE Ax(BnC)¢:> xE(Ax8)n(AxC». Ovde smo koristili jednakost skllpova. U sledecem koraku cerna koristiti definiciju Dekartovog proizvoda. Cinjenica da neki element x pripada Dekartoyom proizvodu nekih skupova znaei da je x ureden par, recimo x (y, z) tj . Da prva koordinata y pripada prvom skupu, a druga z dmgom skupu. Dakle, jednakost koju dokazujemo tacna je ako vaZe ekvivalencije: (V'y)(Vz)(yE A II z E B n C) ¢:> (y , z) E A x B lI(y,z) E Axe. (K.ori~cena definicij a Dekartovog proizvoda i preseka.) (V'y)(Vz)(y E A II (z E B II z E C)l ¢:>( y EAII z E8 )II(y E AIIzEC). (K.ori~cene definicij e preseka i Dekartovog proizvoda.) Ako sa p oznacimo y E A, sa q z E C i sa r z E C, za dokaz date skupovne jednakosti treba dokazati da je iskazna formula . p II (q II r) .." (p II q) II (p II r) tautologij a. Sto se lako dokazuJe pomocu tab Lice . 71. Na kursu ima 38 slu~alaca; dva jezika uci 15 5Iu~al. aca.

(C,Ol

- - - - - - -?" - - - - - -?" - - - - - "I I

I

I

I

I

I

I

J ~._*_) ___~(C, * ______ ..0-----:( 0,

0-

:

*I

I

AxB

B

SI. 9

193


74.

AxB = {(O,a);(O,b);(O,c);( I ,a);( I,b); (l,c);(2 ,a) ;( 2, b) ;(2,c»)

82.

B x A = {(a, 0);(a, I) ;(a,2);(b, O) ;(b, I) ; (b,2);(c, 0);(c, 1);(c,2»).

83. p = {( 0, I O)~ 1, 9);(2,9);( 3, 7 );( 4,6);(5,5);( 6,4)0,3);(8,2);(9, I);

Njihovi grafovi dati su na slici 10.

,------------------

o C

C 0"""'= - - -- - - - - - - 0

b 0""""':::------------'0 1

o

a O,...c::"'--- -- -- - - -...-:.o

o

L-_________ _ _ _

a

Ax B

SI. 10

A' = Ax A = {(a,a);(a, b) ;(a,c);(b,a);( b, b);(b,c);(c,a); (c,b);(c,c )} .

76.

a) (1 ,2);( 1,3);( 1,4 );( 1,5);( 2, 3);(3,4 );(2,5); (3,4);(3,5); (4,5). b) (1,2,3);( 1,2,4 );( 1,2,5);( 1,3,4 );( 1,3,5);( 1,4,5); (2,3,4 );(2,3,5); (2,4,5); (3,4,5).

= {a,b,c};B = {l,2,3} .

78.

a)(A x A)n(B X B) = {(b,b) ; (b,c);(c,c);(c, b) }. b) (A x A)n (A x B) = {(a, b); (a,c);(b, b);(b,c);(c, b );(c,c)).

79.

A {l ,4,7,IO},B {O, IO},C {IO,12}, AU(BnC) A, B \( AnC)= {10}, P(C \( AUB»= {0,12}, B x A = {(O,I); (0,4);(0,7);(0,10);( I 0, 1);( 10,4); (10,7 );( I 0, 10)}.

80.

A

=

= {0,6,12},B = {0,6,12},C = {6,B, IO,12}. 1.3. Relacije i funkcije

81.

Relacija p = {(-I,-I ); (0, 0); ( 1, 1») VxE A je (x,x)E p(-I,-I)E p ,( O,O)E p,(I , I)E p, pa je refleksivna (51.12) . Na gra fu svaki element ~' 0 , skupa A ima petlju , te nam ta petJja pokazuJe da Je p reflekslvna .

86. I· Relacija p je refleksi vna, jer je "Ix E S:3I(x - x) '" 310 (nula je de-

A

=

85.

SI. 12

77.

=

a) P = {( -2,-1); (- 2,0);( -2, 1);( - 2,1);( -2,2 );( - 2,3);( -1,0); , ...,( 2,3;») ; c) p = {( - 2,- 2); (-I, -I );(0,0);( I, 1);(2,2);( -I , I);( -I, I); (- 2,2;)}; refleksivna i simetricna. d) p = {( - 1,3); (0,2 );( I, I);(2,0);( 3, -I )) simetricna.

00 0

75.

=

84.

0

Bx A

~~~

(IO, IO)}.

2

1 <>"""=---=:,....,..----.-::0 b

P = {( I, I );(2,2);( 3, 3);( 4,4 );( 1,2);( 1,3);( 1,4 );(2,4);(3,4»).

P = {( 1,2);(2,3);(3,4);( 4,5);(5,6»); (sl. II).

Ij iva sa svakim brojem, pa i sa 3). . 2"Relacija p je simetricna ako je 31(x- y) '" x -: y = 3k, ooda Je y-x= -(x- y) = -3k = 3(-k), tj. 31y-x, paJe 31x- y ~ 31y- x i x,y E S. 3° Relacija je tranzitivna ako je: . 31(x_ y) /l31( y_z) ~ x - y =3k/l y - z =3m, ondaJe _ x - z = x- y+ y - z = 3k + 3m= 3(k + m) = 3n, tJ. 31(x - .,,), .. paje 3 1(x - y) /I 31(Y - z) '" 31(x - z); x,y,z E S, zoael pJe relaclJa ekvivalencije. . d k . Relacija p j e razbila (rastavila) skup S na tn po s upa. So = {3,6, 9,12} = {xlx = 3k,kES}, S, = {l,4,7, IO} = {xlx = 3k+l,kES}, . S = {2 5 BII} = {xlx = 3k+2,kES} , tJ. . I .. Prvu 2 , , , .. r en na tri klase ekvlva enclJe. skup S je pomocu relaclJe p rastav J . u u klasu ekvivalencije cine klasu cine brojevi skupa S delJlvl sa g t tak I i trecu kJasu cine clanovi skupaS, koji pri delJenJu sa 3 aJ~ ~s aa je kolienicki skup u brojevi koji pri delJenJu sa 3 daJu ostata , P

3,t

oznaci S / P = (So,S, , S ~21:...,:...(s_1._13_)_ . _ - - - - --::'

,.

o----P o--Y •

I

SI. II

,. A

194

A

(.,

•2 •3

.,

x A =A

·s

l

.,}

SI. t3

I'

M

!XllXllil 0--0 • 0• - 0 ,t

u

II

195


87.

Analogno prethodnom primeru pokazuje se da j e p relacija ekviva_ iencije. K lase ekvivalencije su:

Z. = {0.±3.±6•... } = {3k lk E Z}; Z, = {...• - 5.-2. 1.4.7 •... } = {3k + Ilk E Z} i

Z, = {-4.- 1.2.5.S •... } = {3k + 21k E Z}. paj e kolitnitki skup: Zip = {Z"Z, .Z,}. 88.

Dokaz da je data relacija klasa ekvivalencije izvodi se kao u prethod. nom zadatku. KJase ekviva lcncij e su:

Z. = {5k lk E Z} = 0; Z, = {5k + Ilk E Z} = I; Z, = {5k + 21k E Z} = 2; Z , = {5k + 31k E Z} = 3 i Z, = {5k+4IkE Z} =4.

93. poznato je da proizvod funkcija nije komulativan ali za ove dye vafi ' ' • tj .(f.g)x =32 x 6 -4Sx ( +ISx'-I; 6 (go I)x = 32x - 4 8x~ + 18x 2 -I. Dakle, vali log = go f. 94. Ta reJacijaje a.~tire.~ek~iv~a.je: ni jedan covek nc pozdravlja samog sebe. Ta reiaclJa nLJe nL slmem ena, jer ako x pozdravi prvi y, y ne pozdravi prvi x. Relacija je antisimetricna. Ako x mora da pozdravi prvi y, y mora prvi da pozdravi z, 10 x mora prvi da pozdravi z. Rela. cija p je tranzilivna. 95.

Prema tome. kolil!nicki skup je

Z I p= {Z •• Z,.Z,.Z, .Z.} = 89.

90.

Primed ba 1. Presiikavanje je I-I Gedan -jedan) ukoliko razlicirim likovima XI ,X2 uvek odgovaraju razlicite slike I(x, )J(x!). Ij. za sve

{o.i.i.3.4}

x"x 2 iz domena vati implikacija (I) x, .. x, ~ f(x,)" fix,).

ekvivalencije su: 2 0 = {4}; 2, = {1,5,9}; 22 = {2} ; i Z) = P,7, ) I}; a kolitn icki skup je

Cesto se za dokaz koristi kontrapozicija implikacijc (I), Ij .

Klase

Z I p= {Z •• Z"Z,.Z,} =

.

,

b)g'=9x-16; c)f'g=4x'-20x+26' d)g . f =3x - 12<+11.

(2) f ( x,) = fix,) ~ x, = x,.

{i.i.3. 4}.

Za data pres Likavanje, ako se pimeni (2) imamo: 3x I - 2 = 3x 2 - 2 ~ 3x I = 3x,. 0 x, = x,.• Dak1e,preslikavanjeje I-I.

Svaki se prirodan broj moze napisati u obliku n = 7 q + r, gde je r = 0,1 ,2,3,4,5,6. Ta re lacija je refleksivna, s imetritna i traDzilivna. Klase ekvivaiencije imaju za predstavnike r. Imamo 7 klasa ekviva·

Primedb a 2. Pres Likavanje je ako svaki realan broj 0 je slika bar jed· nag realnog broja x, Ij . 'Va E R,(3 x E R~f(x) = o. Jednafina 0+2 . ER I(x) = a u dalom slui!aj u je 3x- 2 =ao x = )' zalsta za 0

lencije: 0, I, 2, 3, 4.5, 6:

·

0= (0,7 .14•... } = {n= 7q+ 0},

postoji x ERda je 0 = I(x).

·1= {1. IS.15•... } = {n = 7q+ I} . · 2 = (2,9.16•... } = {n = 7q + 2}.

Provera:

99.

I(x) = I( a; 2) = 3. 0; 2 -

2

=0.

r' = (2obcde 4I35).

6 = {6.13.29, ... } = {n = 7q+ 6}. Kolil!nicki skup NIp =

91. 92.

a) (f. g}6 = 95; c)(g.f)6=9S;

{a, i,i, 3,4,;, (;}.

b) (f. g)m = 12m + 23;

d)(g.f)m = 12m +6. a) f' = f · f = fix' -4x+5) = (x' -4x+5)' - 4(x 2 -4x + 5)+ 5= x· - 8x} + 22X2 - 24x+ 10;

f ' --

12345). ( 12345 Old.

100.

)f ' =( 12345). b) a 23 1 45'

lOt.

1234). 1234) ,)f·g = ( 1 31 2; b)g.f = (42 12 Old. 191

196


102 .

a )/

-'(

1.3. Elementi kombinalorike

x+5 -I x+3 x)=-3-,g (x) =-5-:

b) log = I(g(.<)) = 1(5x- 3) = 3(5x- 3)- 5 = 15x- 14.

go 1= (g(l(x» = g(3x-5) = 15x- 28; X+ 28 I - I 5.0+ 2 c) 1 _' o g-' --~ ' og=-3-' 103.

a) 1(.') = 5x - 8; b) I(x) = 3X; I I : c) I(x) = 8 - X;

110. 643576453764735 6437564573 64753.

d) I(x) = h+ I. 104.

a )1 (x)=3x-l , g(x)=

105.

Ako se uvede smcna - = x

I

13-3-' -' _5-> 2 ; b) / og ___ . 2 I

dala jednacina

(\) f(x) + 2f(;) = x, svodi sc na oblik f( ~) + 2f(t) =

7iii

(2)/(~)+2/(X)=~ Iz (I) i (2) dobija se I(x) = 2 - x' (x" 0).

3x

I

4..\"-2

1

b) I(x) = - ( x " 0;1): c) /(» = - - ( x " -: 1). I -x x-I 2

106.

107.

2-7x a)/(x)= x+2 b)/(x)= Ilx-6 ; c)/(x)= ; 13x-5 9x-1O 6x+4' 3-x d)/(x)=--. 3x- 1 a) I(x) =

b)/(x)=

~(x' -I), g(x) = -~(2X' + 3x+ I): x 2 -4x+l I

-x

,g(x)=

x 2 -3x+l x-I

2x

c) I(x) = -2, g(x) = - , (x" 1;2). x-I

108.

198

I

I(x)=-, g(x) = I,/og = gol = I.

x

,(X" I):

109. 1234213431244 123 12432 1423 1424132 1324231432144213 1342234132414231 1423241334 1243 12 1432 243 I 3421 4321.

111. P(5) = 5' = 120. 112. a) 7! = 5040; b) 51 "" 120: c) 4! = 24. til. a) 5! = 120; b) 5! ,4' = 2880. 114. Ima 15 brojeva, i to 5u:1054, 1450.405 1, 4150, 2053,2350, )052. 3250, 11 52,1351,315 1,2251,2 152,1252, 5050. 115. Medu 567 brojeva ima 9 jednocifrenih, 90 dvocifrenih i 468 tTocifrenih. Dakle, 9· 1+ 90·2 + 468·3 = 1593 ciffe. 116. Najvise troug!ova ima aka su svake tri tar!ke sa raznih pravih nekolinearne. Tada trouglove dobijamo medusobnim povezivanjem. Takvih trouglova ima 5· 5· 5 = 125, iii taka 510 za osnovicu uzimamo du1 oa jednoj od pravih, takvih trouglova ima 10·10 = 100 sa osoovicam oa jednoj pravoj - ukupno 3' \ 00 = 300. Prema tome, najveei meguci broj trouglova je 125 + 300 "" 425 trouglova. 117. Irna ukupno IOpravih: AE , AF,BE , BF.CE, CF , DE.DFipravea ib. .. d ' b ' k . n(n+ I) 136 . b'l = c:> 118. Ako Je I on gosuJu. ta a JC rOJ ru ovanJa n(1I + I) = 16 ·17 Q 11 = 16 VII + 1 = 170 n = 16, bilo 16 gostiju.

Ie

Milan 17-ti. 119. Odaberimo bilo koju pravu kvadratnc mrefe. Kako je na njoj 7 taeaka, to je ukupan broj duzi (7 '6): 2 = 21. Kako lakvih pravih ima 14 _ 7 horizontalnih i 7 vertikalnih. ukupan broj dutije 21·\4+ 294. Od uoeenih du:!i 6 ima 1 em, 5 du!i 2 em, 4 dufi ima 3 em, 3 dufi 4 em, 2 du:li 5 em i sarno I duf 6 em. Ukupan broj kvadrata je: 6'6+5'5+ 4·4+ 3·3+ 2 ,2+ )·1 = 9 1 kvadral. 120. Potrebnoje najvi~e 3 tega, i to od 1,3 i 9 kg,jeT je 1=1 ; 2=3-1 ;

3=3: 4=3+1: 5=9-3 -1 : 6 = 9-3: 7=9+1 - 3; 8=9-1: 9=9: 10=9+1: 11=9+3 - 1; 12 = 9+3 i 13=9+3+1.

199


121.

Aka prave klase p presecemo pravama klase q imamo ~+4S 2 duti od kojih je svaka osnovica jednog para leiograma. Na svakoj 5 pravoj k1ase p imamo 6~ = 15 duzi od kojih se svaka moze kombi. novati sa svakom duzi iz prethodne klase. Ukupan broj paTaIclo. grama je 15·45 = 675.

122.

a) Stolice " hiraju" dake na 7·6 ·5 ·4 · 3 = 2 520 naeina' b) Baei " biraju" stol ice oa 9-8'7·6' 5·4·3 = 18 1 440 'nacina.

123.

Aka hi 0 mogla biti on pocetku, lada se broj pamih cifara moze poredati oa 4! naeina, pri cernu svakom od lih rnsporcda odgovara 31 rasporeda parnih cifara, tj . bi la bi 4!· 3! + 144 rasporeda. Kako 0 ne moze biti nn pocetku. treba oduzeti 2! · 31= 12 rasporeda, pa Je trazeni broj 144-12= 132 rasporeda.

124.

125. 126.

a) 5·6·6 · 6 = 1080; b) 5·5·4'3 = 300; c) 5·6·6'2 = 360. a)6·7·7·7·7=14406; b) 6' 6·5 -4-3=2 160; c) 6'7'7·7·5= 10290. a) 10 belih + 30 plavih + 3 crvene = 43 kugl ice; b) 30 plavih + 20 crvenih + I be la = 51 kugJi ca; c) 2 bele + 2 crvene + 2 plave + 1 = 7 kugl ica.

127.

(~O) .(:) = 1974024 nacina.

128.

V.6 - V15 = 300 razliCitih brojeva.

129.

n=11,k=7 .

130.

n8)-m-(m- IH(~)- I)= 124.

131.

2

.

temenOffi. Ukupan broj trazenih trouglova je 360 + 280 = 640.

200

4 137. VZ = 4'3= 12, 1221 31 4 1 13233242 1424 34 43. 138. VI s + V2s + V1~ + V• S + V S = 325 . ~

139. 2·V/ = 2·7 ·6·5 = 420. 140. 3024. 141. ViS = 35 · 34 = 11 90. 142. Elementi skupa M su : 2,3,5,7,1 J, broj Irazenih brojevaje 20. a) Datajednacina ekviva lentna je jedna6ni lI(n - I) = 5·4. Kako su n i n - 1 uzastopni prirodni brojevi , ona je tacna za n =5 i n - 1 = 4, tj. jednacina ima j edinstveno re~cnjc u skupu prirodnih brojeva n =5. b) Data jedoacina ekvivalentna je jcdnacini n(n- 1)(n - 2) = 6· 5·4. kako su n, n - 1 i n - 2 tri uzastopna prirodna broja 10 je n = 6, n - 1= 5 i n - 2 = 4::::- n = 6; c)n=5; d)n =5. 144. TraZeni brojevi su cetvorocifreni 8 4 , petoc ifreni 8 5 , ~es tocifreni 8 4 = V.6 _ Vl6 = 300, 8 : =VS6 - V46 = 600. (Od Braj svih trafenih prirodnih brojeva je 300+600+600= 1500. u-

Od 10 crvenih tacaka maze se konstruisati 10· 9 = 45 duzi sa crve2 nim krajevima. Svaka od tih duzi moze se kombinovati sa 8 plavih tag ·7 caka tako da dobijamo 45· 8 = 360 trouglova. Slicno imamo = 28

Knjige iz matematike medusobno se rasporeduju na 5·4·3' 2 ·1= [20 natina, iz fiz ike 4·3·2·1 = 24 nacina i i2 bemije 3· 2 · 1 = 6 oacina. Kako sa oblastima ima 6 mogucih rasporeda

MFH, MHF.FMH,FHM,HFM ,HNF to je ukupan broj 6 · 120 ·24·6 = 103 680 rasporeda.

134. a) 380; b) 10 302; c) n; d) (n- 2)(n-I). 135. a) n!< lOaD:::::> ns6; b) n!>500=:- n>6; c) n2:5. 136. a) P(6)- P(5) = 6 ' - 5! = 600; b) 5!+5 1+5 1-4! -41=3 12.

143.

p lavih duxi i 28· 10 = 280 troug lova sa dva pl ava i jcdnim crveOim

132.

133. Na osnovu pretpostavke imama n(n - I)(n - 2) n(n - I ) 6 = 2 2 ¢;o n = 8. DakJe, 28 pravih, 56 ravni.

145.

~e:i:u(6b)r~6v.i5~~~P;~i~6U) ~·15.

1 3 1.2.3 '~4 146. = 20. 147. c11 = 2380. 148. = 190. 149. ledna~ina n(n - I) = 45 ekvivalentna je jednafini n(n- 1) = 10·9;

c:

c;o

ojena jedinstvino rdenje je n = 10.

ISO. 64 podskupova. 151. C~l = 220. 201


152.

a) C; - 5 = 5; b) C~2 - 12 = 54; c) C io-20 = 170;

\64.

d}C: -n= n(n-I) -n= n(ll- 3).

-

154.

2

0 ISS. (\6)(23 ) + 156.

2

C ~2 -6·3=202rav ni.

(~6)(;°H'36)eI0) + (~6) = 54 060.

Postoje sarno sledece mogucnosti da se broj 5 napi ~ e kao zbir 5 pri. rodnih brojeva: 5=5+0+0+0+0, 5=4+ 1+0+0+0, 5=3+2+0+0+0, 5=3+1+1+0+0, 5=2+2+1+0+0, 5=2+1 + 1+ \+0 i 5= 1+ 1+1+ 1+1. U svakom od ovih slucajeva izracunavamo broj svih mogucih Ta· sporeda (radi se 0 pennutacijama sa ponavljanjem) i od njega oduzi· mamo broj onih rasporeda koj i pocinju nu lom : 5! 5! 5! 5! 5! 5! 5! -+-+ - + - - + - - + - + - 4! 3! 3! 2!'2! 2!'2! 3! 5! 41 4! 4! 4! 4! 4!) - - + - + - + - + - + - = 70. Dakle 70brojeva. ( 3! 2! 2! 2! 2! 31 '

157.

i

165.

su varijacije sa ponavljanjem, pa je:

Na osnovu pretpostavke slcdi da je n(n - 3) +11= 153 ';:'11(11-1) = 18 ·1 7 <:: > n = 18, tj . mnagougaoje 2 osamnacstougao. Brej razlicitih trouglova koji su odredcni tcmenima osarnnaestougla

B I =V 1 -l=5,

je

Trazeni brojevi mogu biti jedllocifreni BI> dvocifrcni B2 , trocifreni B l , cetvorocifreni B4 i petocifreni B s' a OV\ rasporcdi od dalih brojeva

-,

- 6 B 2 =V 2 -6

-6

2

1

-VI =6 _6 =30. -6 B 3 =V J -V2=6)-6 2 =180, -6 -6 4 l B~ =V ~ - V l = 6 _6 = 1080, -6 -6 Bs =Vs-V. = 6 s _6 4 = 6480. Ukupno prirodnih brojcvaje: 5 + 30+ 180+ 1 080+6480=7775 (gde su oduzeti brojevi koji pocinj u sa nulom). ISS.

a) 6!-5!=600; b) 5!+5 !+5 !-41-41-4! =288 .

159.

a) Data jednacina ekvivaJentn21 je jcdnacini n(1I- 1) = 15 '14, odakle sledi daje n= 15 iii n-} = 14, paje n= 15; b) n =31; c) n =23.

160. 8)n<9; b) 11>9: c)k< lp. 161.

k=6,n=15.

162.

s 7 7 V,~=312=531441; b) 3 =2187; c)3 ·2 =31104.

\63.

a) 210:

202

a) Svi petocifreni .b.rojcv i koj i se m~?u fonni rati od clcmcnata skupa S mogu se gradltl kao pennutacljc bez ponavlj anja ad sledccih podskupova skupa S . SI = {1,2,3, 4,5} ; S 2 = {0,2,3,4,5}; S, = {0. 1.3,4,5):S, '" {0. 1.2, 4,S):S , = {O, I.2.3,5) ;S, = {O, I,2,3,4) . Ka~.o .broJcv, de~jl~ 1 sa.6 moraj.\J biti pami i delj ivi sa 3. a brojevi deljlvi .sa 3.moraj u '.ma.tl takve clf~e d~ je nj ihov zbir takode delj iv sa 3, zaklJucuJcmo da Jcdmo SkUpOVI SI I S~ sadrie takve cifre. Od svih pcrmutacija koje se mogu fonnirati od elemenata skupa S dolaze u obzir sarno onc koje se zavrbvaju brojem 2 iii brojem 4 njih ima 4!+41=48. Analogno, permutacije elemenata skupa S ~ dolaze u obzir sarno kad zavrSavaju brojevima 0,2 i 4, ali pennutacije kojc pocinju nulom a zavrSavaju se sa 2 i 4 nisu petocifreni brojevi, pa ih treba oduzeli. Broj pennutacija koje zavrSavaju sa 2 i 4 je 2(4! - 31) = 36. Ukupan brej petocifrenih brojeva delj ivih sa 6 j e 4! +4! +4!+2(4!-3!)=108. b) 4! +41 +4!-3! =66.

b) 7!=5 040.

166.

C~I = (I:)

= 81 6 trouglova.

Ako je a" u nutra~nji a P" spoljaSnji ugao pravilnog mnogougla, na osnovu pretpostavke je ~a =R .;:.(n-2)·1800 _360° <:>n_2=IO<:>n=12. 5 n~ " 5n n Mnogougao je dvanaestougao. Broj razlititih pravih je

C~1 = (I~)

= 66 pravih .

To su l!e:tvorocifreni brojevi koji pocinju sa 3.4,5 i 6, a to su varijacije trecc klase od n clcmenata, rj. 4 ·V1" = 1344.;:. n(n _ 1)(11- 2) = 366 <:> 11(11- 1)(,,- 2) = 8· 7 ·6 <:> n= 8. Skup A ima devct cifara. A;::: {0.1.2, . .. ,8}. 168. c; ;::: 455-=- n(II-1)(n _ 2) = 2730 <:> lI(n-I )(n- 2) = 15·14 '13 0 n= 15v n-I = 14 V n- 2;::: 13~ n= 15. Card S ;::: 15. 169. c; = 364 ~ n(lI- I)(n- 2);::: 21S4 -=- n(n-I )(n- 2) = 14 ·\3·1 2 (:> n= 14v 1/-1 = 13v n - 2= 120 n= 14. Card S= 14. 167.

203


II

GLAVA

2. UVOD U GEOMETRlJU . VEKTORI 2.1. 170.

Ta~ka ,

187.

Neka su tacke A,B,C,D,E. Aka su cet iri lacke na istoj pravoj kojoj ne pripada peta, tada ima 1+4=5 pravih. Aka su dye trojkc ta~aka kolineame, rccimo A,B,e i A,D ,E, lada ima 2+2'2=6. Ako posloji sarnO jedna trojka kolineamih taeaka. lada irna I + I + 3·2 = 8 pravih . Ako nema trojki koli neamih laeaka, tada ima U = 10 pravih. 2

(A ,ClCa, (ADlc. ." ].

(B ,Cl C a.. (B ,D) C a" (C,D) C ao' Broj ravni odredenih sa 5 nekomplanamih taeaka je

5·4·3 100d C )' = (5) 3 =1-2-3= . re d"III sveravm. ana 1ogno zadalku 151.

176.

18 ravni.

a) Broj razli6tih pravih odredenih darim tackama je:

(4)

175.

186.

prava, ravan, od nosi priplldanja i rasporcda

4·3 6, lIosu:(A,BlCa" ' C ,• = 2 =-= I· 2 174.

185. 15 ravni.

Odredeno je 6 ravni, i to: {a, b} C at . {A, B,C} C a ~, {a,G) C a J> (b,Cl C a " (e,A} E a" (e,B} E a o' Odredeno je 5 ravni. ito: ta,C} C 7r I' {A, B,C} C Jf I' {a,b} C it l' {b,C) C It,, {c,B} C

188. Svaka dUl prave a sa jednom duii prave b odreduju jedan eelvorougao. Na pravoj a sa datim tackama A,B,C,D moguce je uociti 6 duii. na pravoj b sa taekama E,F,e moguce je uoeiti 3 duzi . Dakle, ima ukupno 6· 3 = 18 tetvorouglova. 191. Osam. 198. Njihov broj odret1en je obrascem C; = (~) =

prayea, b,e,d, njimaje odredeno 6 ravni, ito: {a,b) C

1t s '

{a,d} C;r} . {b, e} C 1l~ , {b,d} C

177.

c C a.

199.

Dve.

178.

a) IS duzi; b) 20 trouglova.

201.

DYe taeke.

179. 180.

6 ravoi. 3 ravoi.

181.

ceriri.

202.

{e,d} C

{a,e} C

T!~,

T! ,.

I~

Po pretpostavci je AO =OB ACO = OD ~ AO-CO =OB -OD ~ AC=BD(s1.l4).

A

2

o

D

B

2'" Po pretposlayci je m=~AOO=OC~AO + OO=~+oc~m= ~

2.2. Paralelnost Prava a sa svaka m ad tacaka Bl ,B1, B),B.,C adreduju po jednu ra· van i prava b sa svakam ad taeaka AI ' A2 , Al.e adreduju po jednu.ra· van, Ij . 9 ravni. Zatim, trojke taeaka (C,A u B l ); (C , AI'B) lid. odreduju j o~ 12 ravni, dakle odredeno j e ukupno 2 1 ravan.

c

51 14

odakle izlazi daje n = 9 (taeaka).

204

1t S'

T! I'

Ako su date

2.3. Du!, ugao i t rougao

n) = n(n- 1)(n-2) 182. C}" = ( 3 6 ' n(n - I) . = 36 Je n(n- 1) = 72, odnosno n(n- I) = 9'8, 183. Iz uslovs

184.

~ ~~ = 6.

203.

7 em i 2 em.

204. OM =o+b.

20S. l ONekaj~ tacka O-A-8 (51. 15), tadaje MN = ON -OM = lOB- l oA = l(OB-OA)= 2 em. 2 2 2

205


210. Kako je (0- A -C - B)A AC:m= CB:/I) =-

2° Nekaje A-O-B, ondaje:

(OC =OA + AC AOC = OB-CB A AC = mCB ~

MN = MO+ON = ~OA+~OB =~ (OA +OB) = 5 em.

n

/lOC + maC = /lOA + /lA C + mOB - mCB A AC = mGB =n

o

MAN

207.

a) Iz(AM = MBAOE AB)

'" (OM = OA + AM AOM = OB- MB)

~ OM = 1.(OA +OB). 2

b) Iz (AM = MBAOE AB) ~(OM

= MA-OAAOM =OB- MB)

OM = 1 10B-OA L jeT je uvek OM >0. a 2 OB - OA > 0 iii OB - OA < 0 u zavisnosti od izbora lacke O. ::::;0

208.

20M = OB-OA

::::;0

PoStoje(0-A - C-B)A(CB=2AC)~

(OC = OA+AC AOC = OD-CD ACD = 2AC) '" (20C =OA+OB+AC - CBACH = 2AC) ~ 20C = OA+OB-AC '" 30C = OA+OB+OC - AC ~ 30C = OA+OB+OA '" OC = 20A+Oo. 3

209.

PoSta je (0 - A -B)A MA = 0, 75MB AM E AS::::;o (OM = OA + MA A OM = OB- MB A MA = 0,75MB)'" 20M = OA+oB+1MB - MB '" 80M = 40A+4B- MB '" 4 80M = 40B+ 3OB+OB- MB '"

80M = 40B+ 3OB+OM + MB - MB '" 70M = 40B + 30B '" OM= 40B + 30B . 7

,

1Il. 214. lIS. 216.

lime je dok.az zavr'en. Kako je AS = SB = 18 em, konjunkeija AM+ MB = 36A AM :MB = 13~ AM = 9AMB = 27 em, ondaje p(S, M) = 9 em. 30°. 135° i 45°, 110° i 70°, 105° i 75°. 45° i 135°.

21 7.

Idi Id.

211 .

AB :CD = 3;4 Q AB = lCD, odakle zakljucujemo da Ireba duzCD 4 podeliti nn 4 jednaka dela. od kojih Iri poslednja odgovaraju duii AB,

'" 20M = OA+OB + AM - MB

m+"

B

SI. 1S

206.

OC(m+ II ) = "OA + nAC + mOB-nAC =- DC = 1I0A + mOB

!12.

8 8 220. 80°, 100°. ll!. a=72". d • 222. Kako je ugao y unakrsan sa uglom a (slika 16), to su uglovi x i y komplementni . tj, x = 40° a y= 50°. Prema tome, a = (3 = 50°; Y = 40°. 51. 16 223. Kako je a+rp= 180°, P+{) = 180 0 , ip+{)=90°, to je a + {J + rp + {) = 360 0 , odnosno a + {J + 90°= 360°, odak1e je a+p=270' 224. a = 157'30'. 225. LDMB = 99°. 226. a) 20'; b) 20'. 227. L"Os = 126°. 228. 36°; 36° i 144°; 144°,

,

229. a = y= 75', P=d = 105'. 207


230.

a=108°, {J = 72°, y= 18°.

231.

a) 3 em;

232 .

Neka je 0 sed iste duii AB ; M ma koja tacka na produzetku dUi; , tada je: MA = MO + OA, MB = MO - BO. Njihov zbir je:

II I G L A V A

b) 7.5 em.

3. REALNI BROIEVI 3.1. P r egled broj eva . Polje realnih broj eva

MA+ MB= 2MO'" MO= MA+ MB 233.

234.

5

a) LpOq+ LqOr = 180°", 1 LP q + lLqO,' = 90° 2 2 <;;> LpOx+LyOr = 90°; b) LrOy = 72° 30'. Neka je CO simetrala ugla ACB i CM proizvoljna po luprava konstruisana u oblasti ugla, tada je: LMCA=LACO+LOCM, LMCB = L BCO - LOCM, a njihova razlika LMCA -LMCB = 2LMCO '" LMCO = l(LMCA -LMCB).

235.

2 Suplementan {J = 84°, komplementaran y= 6°.

237.

o+f=270°.

239. 242 .

120°. 2 em, 4 em, 8 em. 16 em.

243 .

Pomnoziti pretpostavku s AC itd.

244.

12 pretpostavke da je AB = b, AP = III i BP = 111- b sledi da tacka P pripada pravoj AB. Iz CD ;: a, i DP = Il i CP = a+ n sledi da P pri· p ada i pravoj CD.

245.

a) Zbir dve straniee trougla veei j e od treee straniee itd.

246 .

248. 249.

=:'

105° iii I S' iii 35° iii 55°.

Broj iJac razlomka postupno se tran sronn i ~e na sledeCi natin: n' - n = n( n' - I ) = n(n- I)(n+ I ). Posto j e n prirodan broj, to su i n -I ,n i n+ I tri sukeesivna pri rodna broj a. Pro izvod tri uzastopna prirodna broj a uvek je delj iv sa 6, pa je (n - I) n( n+ I ) . . 6 uvek pnrodan broJ.

254.

Oznacimo sa 211 + I rna koj i neparan broj. Onda je: (2n+ 1)2 - 1 = 4n 2+ 4n = 4n(n- I). Po~to je n prirodan broj, to su n i n + J dva sukeesivna prirodna broja, a nj ihov proizvod je uvek paran broj, tj. n(lI+ I);: 2k, kEN, paje proizvod 4n( n + I) = 4· 2k = 8k delj iv sa 8 za ('fIk EN).

lSS.

Kako je I33 1= I OOO+300+30+ 1= 10 )+3'10 1 ' 1+3' 10'1 2 +1)=(10+ 1») =1 11 , timeje dokaz zavr~ en .

Iz prerpostavke da je DA = 2AC sledi da je AC kako e AC + AD = CD = 9. Tacka A,C iD pripadaju istoj pravoJ, tak~d~ lZ. AC +BC = 7 sledi da je CB;: 4, ~ to znaci da A,C iB pripadaJu IslOJ pravoj itd. 84 ° iii 52° i ii 128° iIi 96°.

250.

.i

256.

Neka je da! dvoci fren broj lOa + b, gde je 0 < a + b < 10. Proizvod ( IOa +b )' II =(IOa + b)( IO+I)= IOOa+IO(a+b)+b, time jc dokaz zavden. Primer: 24· 11 = 264; 34 · 11 = 374; 62·1 1= 682.

257. Neka su broj evi n, n+ I, n + 2 tri sukcesivna eela broja, onda je njihova suma n + (n+ 1)+ (n+ 2) = 3n + 3 = 3 (n+ I), Ij. delj iva sa trio

158. Neka su 2n i 2n + 2 dva sukeesivna paroa braja, njibov proizvod je 2n (2n + 2) = 4n(n+l) = 2k,paje4n(n+I);:8k delj ivsa 8 za ( \fnE N ).

259. Neka su s ukeesivni nepam i brojevi 2n - 1 i 2n+ I, onda je (2n+I} 2_ ( 2n _I )2 ;: 4,,2+4n+I-4n 2 +4n - l=8n, Ij. deljivo sa8za ('fInEN).

260. Ako bilo koji neparan broj oznat'imo sa Ie, dobija se

e

k = 2n + 1 ~ = (2n+ I) = 4 (n(n+ 1)+ I. Kakoje: n (n + I) = 2p tada je Ie 2 = 8p+ 1 (p = 0,1,2,3, ... ), odnosDo k' --1 , 9,25,49,' ...

208

209


261.

Da bi se kvadrat celog broja a zavrsavao sa 5, mora bili oblika a = IOn+5(nE N) Q a ~ = (IOn+5) 20 2 = 100n 2 + 1001/+ 25 ~ 2 0 = 100(n 2 + n) + 25, D. broj 0 2 zavrSava se sa 25.

262 .

Aka je A E Z, i aka je on deijiv sa 8 iii 9, cnda je: A

A

A

A

-=mEZA-=nEZ~---=m-no

g 9 g 9 A = 72(m-n) = 72k, gdeje m-n = k E Z. P . A o~1O Je 72 = k E Z , D· aka je A deljiv sa 8 i 9, onda je deljiv i sa 72.

Obmuto. aka je: A A A A -=r=>-=8r=r EZ iii - = p:::>-= 9p=r E Z ci me je 72 9 I 72 8 " dokaz zavrsen. 263 ,

264.

265.

Ako je razlomak - - redukovan, tada je redukovan i razlomak 2 +3 I 211+3 ~ = 2 + --, eime je dokaz zavrSen. n+1 n+1

268. Treba prvo dokazati Icoremu: ako je O l deljivo sa 3, ondaje 0 deljivo sa 3. Uo6mo da se svaki ceo broj a moze napisati u jednom od ovih oblika:

)" 1

{9'"

a= 3n+1 ~a ! = 9n : +6n+1

3n+2

,(n ceobroj).

9n"+ 1211+4

n(n - I)(n+I )+6n. Ovaj izraz je zaista deljiv sa 6, jeT proizvod (n-l)n(lf+ I) od Iri

PoSto je, prema pretpostavci, 0 2 delj iva sa 3,0 2 mora biti jednako 9n 1, odakle s ledi da j e 0 = 3n, odnosno a je dcljivo sa 3. Dokaz da je Jj iracionalan broj izvcSccmo metodom svodenja na protivureenosl. Pretpostavimo suprotno, odnosno da je ..fj kolicnik neka dva eela

sukcesivna eela brojaje delj iv sa 6, a 611 je ocigJedno deljivo sa 6.

braja p i q

Dati izraz maze se transfonnisati u identicnn izraz: 2 n(n +5) 1 = 1/ (71 2 - \)+ 6 = 11«11- 1)(11+ I) + 6» =

Trocifren broj je oblika 100x+ IOy+ Z, x,)"z E N . Kako je po pretpostavci y= X+ z, tadaje: 100x+ IOy+ z = IOOx+ 100x+ z)+ z = IIOx+ lI z = II ( IOx+ z). Dobijeni broj je oeigledno deljiv sa 11. Dati izraz se postupno

transformi~e

Da sledeci naeill :

n' + I ln= n(n' -1+ 12)= n«n-I)(n+ 1)+ 12) = n(n- I)(n + I) + 12n, odnosno sledi tvrdenje. 266.

267. Za II == Odali razlomak poslaje ~, lj. redukovanje. Akoje razlomak . redukovan I. razlomak -511+7 = 2 + __ n+ I _2n+ 3 re dukovan, la da je 5n+7 11+1 2//+3 211+3 ·

Dati razlomak moze se postupno transfonnisati na sledeci oaein:

02"ln::..:.+...:4 = I4n+3 + 7n+ 1= 1+ 7n+ I = 1+ 1 = 14n+3 14n+3 I4n+1 14n+3 14n+3 7n+ 1

= 1+

1

2+ - -

Razlomak

7n+ 1

Je

redukovall, razlomak

7n+ I

:.J3 =

p , gde su p i q uzajamno prosti brojevi , Ij . da je I

q

njihov najveci zajednicki fsktor, jer u prativnom mogli bismo razlomak p prethodno skratiti i prcci na takav slutaj. Tako, poiazimo

q

od pretpostavke: (*).[3 = P; p,qE Z,p,q su uzajamno prosti. Na osnovu (- ) q dobijamo p = q.fj ~ p ' = 3q!. U tom slucaju pl j edeljivosa3. paje i p deljivo sa 3 (prethodna leorema). Dakle, imamo p = Jr,r ~ ~. Tadaje 9r2 = 3q! ~ q! = 3r!. odakle sledi daje q deljivo sa 3, Ie Je L p deljivo sa 3 (prethodna teorema). Prema lOme, pi q imaj~ zajednit~i fakt.o r 3, ~dnosno nis u u~amno prosti. Do~li smo do protlvur~nostl.

To Je kraJ dokaza da je.J3 ~

269. Neka je .fj -

Q.

.J2 = r (r racionalan broj), odakle sledi :

\- r

1

--'-,,-je takode redukovan, paje i dati razlomak redukovan.

..fJ =..fi +r '" 3 = (..fi +r)' .. 3 = 2+.fir,+ r' ",..fi = ~.

2+-7 n+ I

r -I Leva stranajednacine .fi 2 E I , desna strana~ E

1

Q "

.

1

, tj. lC8Clona an

broj jednak. je racionalnom, ~to je nemoguce.

210

211


270.

Kakoje x E H i y E H , onda jex = PI + ql J2 i Y = PI

+ q2J2, zbir

274. Kako jc

x + y = (PI + P2) + (QI + Ql).fi = p' + Q' J2 E H . Analogno se po. kazuje da x- y E H i X' y E H . 272 .

Primcdba I. Broj f (l1) je deljiv sa 2, ako i samo ako j c delj iv u svako m od slucaj eva 11 = 2k i 11 = 2k + 1. Primcdba 2. Broj f en ) je delji v sa 3 aka i sarno ako je deljiv u svakom od slucaj eva 11 = 3k , n = 3k + \ i n = 3k + 2. Potrebno j e dokazati da je dati izraz delji v sa ciniocima broja 6, tj . 2 i 3 . Za dokaz da j e dati broj deljiv sa 2 primenimo primedbu I.

Za n=2 k, imamo za n = 2k

2k (4k + 7)( 14k+l ) 2 = k( 4k+7)(14k +I)E N,

+ I dobija se

(2H 1)( 4H 9)( 14k + 8) = (2k + 1)(4k + 9)(7 H 4)E N .

li S _

= n(n - I)(n + I)(n - 2)( n + 2) + Sn(n - I)(n + I). Prvi sabirakje delj iv sa 10, jer se medu nj egovim ciniocima nalaze 2 i 5, drugi sabirak j c ot igledno delj iv sa 10. t ime j e dokaz zavrSen . 275. Proizvod n( n + 1)( n + 2)( n + 3) je delj iv sa 8, jer je proizvod svaka dva pama broj a, tj: n(n+I ) =2k , (n+I )(n +2 )= 21, (n+2)(n+ l) =2m. k .l,m E N . Proizvod svaka tri uzastopna parna brojaj e deljiv sa 3, samim tim dati proizvod je deljiv sa 3路 8 = 24. 276.

Cinioci datog izraza su 5 uzastopnih celih brojeva, tj. A = (11- 2)(n - 1)I1( n+ I)(n + 2). Ovaj proizvod je deljiv sa 3,5 i 8, pa je deljiv i sa njihovim proizvodom 120.

m.

Za n= 2k, B = 8k(k' +S) = 8k(k' - 1+6) = 8k芦k -I )(k + 1) +6) =

2

Za dokaz daje deljiv sa 3 koristimo primedbu 2. Za n = 3k , 3k(6k + 71(21k + I) = k(6k + 7)(2Ik + I)E N; zan= 3k+ I,

( 3k + 1)(6k + 9)(2 IH 8) = (3k + 1)(2k + 3)(2IH 8)E N, 3 zan=3k+2, (3k+ 2)(6k+ 11 )(2Ik+ IS) =(3k + 2 )(6 k+ 11)(7k+S)E N,

3 Cime je dokaz zavrSen .

273.

Primedba 3. Broj f(ll) je deljiv sa 5, ako i sarno ako je deljiv u svakom od slucajeva: Il = 5k, n = 5k + I, n = 5k + 2, Il == 5k + 3, n = 5k +4, (nE N). . .. Primedba 4. Broj fen) je deljiv sa 7, ako i sarno aka je delJlv U svakom od slucajeva: n=7k , n=7k+l, n=7k+2,n==7k+3, n= 7k+4, n= 7k+S,n= 7k+6, (nE N). a) Dati izraz se transformi~e u oblik: n l -n-I8n == n(n-I)(n+ 1) - 18n itd. . b) Dati izraz se transformge na sledeci naCin: n S _ n == n(n路 - 1) = nCn - I)(n + 1)(n 2 + 1), i iskoristi se prunedba 3. c) Po~to se dati izraz svede na oblik n 7 - n = n(n t> - I) == . 2 n(nl _ l)(n3 + 1)= n{n-l)(n+ I)(n~ -n+ 1)(n +n+ I), pa se IS' koristi primedba 4.

212

oj

n == n(n 4 -I ) = n( n - 1)(11+ 1)( n 2 - 4+ 5) =

8k(k-I)(k+I)+48k. . Kako je proizvod k(k -l)( k + I) deljiv sa 6, (tri uzastopna cela broja) prvi sabirak je deljiv sa 48, a drugi j e ocigledno deljiv sa 48.

278. Ako je n = 3k , A = 9k 2 + I, ptvi sabirakj e deljiv sa 3, drugi. nije. Za n = 3k + 1 A = 9k 1 + 6k + 2, A nije deljivo sa 3, ostatak Je 2. Za n= 3k+ i.A = ge + 12k +5i u ovall\ slucaj u A nijedeljivo sa 3. 279.

Neka su trai:eni brojevi x, y, 1I i v (1 $ x < Y < /I < v). Na osnovu . .. pretpostavke imamo jednacinu x + y + u + v == xv + yu (x- 1)( v- I) + ( y - I)(u - I) = 2. Kako su x,y, II i v prirodm brOjeVl . . . imamo tri mogucnosti: 10 Ako je(x- 1)( v- I) = Oil ( y -l)(I1- \) == 2, odakle prOlzlazl daJe

=

=

x = 1, Y 2, Ii 3, v proizvoljno; .. 2" Ako je (x - 1)( v-I) = I A (y -I)(u - I) I, doblJase . nezad a volJava'.' x= y= II = v= 2, ovo re~enje, med ullm, . 0 3 Ako je (x- l )(v- 1) == 2 A(y- I)(rl-I) = 0 ne dolazl Uobztf.

=

280. Dokaz sledi iz jednakosti n 1 + 8n + 15 = (n + 4) 2 - I. 281. Za dokaz iskoristiti jednakost n(n1-1)(n% -5n+ 2~禄) = = (n - 3)(n-2)(n-l) n (n+ 1)+ 20 n(n- I)(n+

. 213


Ako su X,Y. z (x,Y, z < 7) cifre tog broja, tada je 7 2 x+ 7 y + z = 9 2 z+ 9y +xe y= 8(3x-5z). Dakle, y je deljivo sa 8, kako je y < 7, mora biti y = 0, pa je 3x =Sz. Odatle. oa osnovu x < 7, Z < 7, dobija se x = 5, Z = 3. Trazeni broj je 5-7'+0,7+3+248

297. Kako je ~ E N , moze b iti .neparan iii paran. Ako uzmerno da je neparan, tJ. k = 211+ I, tadaJe 3k + I = 3(2n+ 1)+ I = 6n+ 4 slozen broj, zato k mora biti paran broj , pa ce biti za k = 2n. 3k + 1= 6n+ I,

283.

Ako i oa = (lOa + b)( IOc+ d), a b = (J Db + a)(JOd + c), uoci ,azlik. A-B itd.

298. Prost broj moze biti: 1° 3;

285.

a) Primcni identitet a ) + b J = (a+ b)(a ~ - ab + b

282.

31 = 3'1 0+1= 6'5+ 1.

r 3k + I; 3° 3k + 2. Pretpostavku zadalka zadovoljava prvi slucaj p = 3, tj. P + 10 = 13, P + 20 = 23. U drugom slucaju, p+ 20 = 3k+ 2 1je slozen, a u trecem slucaju p + 10 = 3k + 12 j e takode slozen.

2 );

b) Slicno kao pod a); c) 9999 = 100' -I = (100+ 1)( 100- I) itd .;

287.

a to je prost broj. Na pro

d)67' -I = (67 ' + 1)(67 ' + 1)(67+ 1)(67- I)itd.

299. Ako su p i 8p2 + I prosti, tadaje p = 3, jerza p = 3k + 2 i p = 3k + I, broj 8p2 + I je slozen. Za p = 3, 8p2 + 2p+ 1 = 8.3 2 +2,3+ I = 79 je takode prosl broj.

Dati broj se moze napisati u obliku:

300,

4·" (8 + 2)+ 5·" (25+ 5) itd. 291.

a) AB = 16,C = 2,CDB = 256; b) AK = 25, MAK = 625; c) AB = 39,C = 2, DECD = 1521;

d) A = 7,B = 4,CBDE = 2401. 292 , 293, 294,

n J _I (1I-l)(n 2 + 11+ I) . Sarno za n = 6. (uputstvo: - - = ,n - 1 =Slid.) 5 5 a) 2; b)3.

Kako su p, p + I, p+ 2 tri cela sukcesivna broia, 10 j,~ jedan od njih deLjiv sa 3. Zato mora da je p = 3, jer su tada brojevi p. p+ 2, p~.4 prosti. Akoje p+ 1 deljiv sa 3(p> 3)tadaje p+4 =(p+ 1)+3, OIJC

295,

prost broi. Prirodan broi veci od 3 moze irnati jedan od obl ika: 6k,6ktl: 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 i 6k + 5. Kako su brojevi 6k, 6k + 2, 6k t3 1 6k + 4 slozeni , onda su brojevi oblika 6k + I i 6k + 5 prosti .

296,

Na osnovu prethodnog zadatka irnamo :

(6k+ I) ' = 36k'+ 12k+l = 12k(3k+ I) +I= 120+1, gde je k(3k + 1) = n ceo broj. Takode j e e (6k +S) ' = 36k' + 60k + 25= 12(3k' +5k+ 2)+ I" 12m+ I, gd je m= 3k 1 +5k+ 2 ceo broj.

Za p = 3, 8 p 2 + I = 73 je prost broj . Treba dokazati ako je p "# 3, da je 8p2 + 1 slozen broj . Neka p nije deljivo sa 3. Ij. p= 3k± I. Tada 8p2 + I = 8(3k± 1) 2 + I = 3{24kl± 16k+3), dakle, ako je p = 3k ± I, !ada je 8p2 + I sloZen broj. Broj 8p2 + 1 je prost sarno 7a

p = 3.

30!. Nekaje prirodan broj d najveCi zajedn icki del itelj datih brojeva. Tada je 21n+4=dk. 14n+3 =dm, gde su k i m prirodni brojevi. Mnoi:enjem prve jednacine sa 2, a druge sa 3, dobija se42n+ 8 = 2dk i42n+9= 3dm. Razlika ovih jednacina je (3m- 2k)d = I. Odavde sledi da je d = I. Dakle dati brojevi za rna koji prirodan broj n irnaju najveCi zajednicki deliteij d = I, ~to znaci da su oni uzajamno prosti. JOl, Neka j e x 2_ y2 = p, gde su xi y prirodni brojevi, tadaje . (x+ y)(x - y ) = po I, odatle je x+ y = pA x - y= I. RclenJe ovog sistema J'e x= p+ 1 y = p-l. Dakle, rna koji prosl broj moZe se 2' 2 . p+ l . p-I predstaviti kao razlika kvadrata dva cela broJa I

2

303,

Kakoje 189,

'1 4 _ '12

2 '

= n2(n- I)(n + I), dalje se dokaz svodi na zadatak

304, Neka su uzastopni celi brojevi n-I ,n, n+ llada j : . (n-l )] + n l +(n+ 1)3 = 3n(n 2 + 2). Uoci mogucnostl '1= 3k, n= 3k+ l, n= 3k+2 itd.

215 214


305.

Poslavljene uslove zadovoljava broj A = 2n ( 2n + 1) ( 2n + 2) :::: = 4n(n+ 1)(2n+ 1). Vidi upUISIVO zadatka 272 .

306.

Broj A se svodi na oblik A = (n- 1)(11+ 1)(11 + 3). Za II = 2k + J A = 8k(k + J)(k + 2). k ,k + 1, k + 2 su tri uzastopna cela broja itd. '

307.

.. .. 11 (11+ l)(n+2) DatI Izraz se svod! na ob hk A = za

6

a) A =

k (k + 1)(2k+ I) 6

'

1/

= 2k·

.

. . . , (k ceo broJ). V!d! uputstvo zadatka 189.

b) I I III.

30S.

a) S" = Su =(S ' ) "; c) 5"

= sU =(5 ' )';

b) 9 9' = 9 1l'+1 = ( 3 21 + ') ~ , (9 9 nepamo); d) 7 " =7 u =(7')' .

309.

n. II + I, 11 + 2 i n + 3, tada je n(n + I)(n + 2)(n + 3) + I = (n' + 3n )(n" + 3n+ 2)+ I = 2 = (n 2 + 311)~ + 2(n 2 + 3n )+ 1 =« 11 + 3n)+ 1) 2 = e ,k jc ceo broj.

310.

Dati izraz se moze

Neka su uzastopDli brojevi

ra~aav iti

na ave cinioee

S" +S "~ I + S,,"2 = 5"( 1 +5 + 25) ;;; 3 1·S". Kako su cinioc i dalog izraza 5 i 3 1, oni su uzajamno prosti, to je dati izraz delj iv sa njihovim

Kako 38 nijedcljivo sa 3, kaojedina moguCnostostaje x = 6, n = 36, 666.

315. Kako je 11 1 + 1988n = n ) - 11 + 1989 n = lI(n- 1)(11 + 1)+ 1989n. prvi sabirak je deljiv sa 3,j er je proizvod Iri uzastopna ccl a broja. a drugije otigledDo deljiv sa 3. 316. Ako jea + b+ c = O. onda jea +b= - ci a+c = - b, paje a(a+ b )(a + c) = a ( - b )( -c) = abc = 1999.

317.

319. Ako se odgovaraj uce razl ike kvadrata rastave on cinioce dati izraz post. je 1999+ 1 998+1 997+ ... +3+2+1 = 1999000.

+ 2k + I) delj ivo sa 3. Za n = 3k + 2, n(n' + 2) = (3 k + 2)(9k' + 12k + 6)= = 3(3k + 2)(3e + 4k + 2) je deJjivo sa 3. Kraj dokaza.

= 3(3k + 1)(3k '

312.

m Na osnovu pretpostavke je ( m+ n) + ( m - n) + mn+- = 245.;;. o

m m 2m+mn+ - = 245 0 - (n+ 1)2 = 245.

Kako je

~= t

tojf: k(n':1) 2 = 5'7 2 • Odatlej e k = 5, 11+ I = 1 iii

n

n = 6, a mn = nk = :5. 6 2 = 30. Dakle, m = 30, n = 6.

313. 314.

8"

n

+ 8,,+1 + 8,,+ 2 =

8,,- 1( 8+ 8 2 + 8 1 ) = 584· 8"- ' .

Kakoje l +2+3+ .. ,+ n=

n(n+ l ) 2

·f

b · ,a trocl ren rOJ

Po~t o

320.

je ( 211 - 3X2 n - 1)(211 + 1)(2n+ 3)+ 16 = (4n 2 - I X4n 2 - 9)+ 16 = = 16// 4 - 4011 2 + 25 = (411 2 - 5)1. Kraj dokaza.

321.

a) Neka je x = 0,777 ... raeionalan broj , ako prcthodnu jednacinu pomnozimo sa 10 dobija se l Ox = 7 + 0,717... = 1 + x, odade

Za n = 3k , n( n 2 + 2) = 3k(9k 2 + 2). deljivo sa 3. Za n = 3k+ I, n(n' +2) =(3k + 1)( 9k ' +6k+ 3)=

Po~t o je 2" +2"+1+ 2 "" 2 = r ( I+ 2+4)= 2"·7 = 14' 2"-' , pa je tvrdenj e tacno.

318. Kako je n 1 - 1990n = 171 - n - 1989n=lI(n- I)( n + I)- 3·663n. Proizvod tri uzastopna eela broj a deljiv je sa 6. Po~ to je n paran broj i 3 , 663n j e de lj ivo sa 6. Kraj dokaza.

proizvodom 5 · 31 = ISS.

311.

-

IOOx+ 10x+ x = I l l x, imamo n(n+ 1) 2 = 111x e:> 11( 11 + 1)= 2 ' 3' 37 x e:> 36 · 37 iii 37· 38.

9x = 7 <:> x =

2., je raeionalan broj ; 9

.

b} Neka j e x = 0, 17 17 17 ... racionalan broj. Ako pomno:bmo ovu jednac!:inu sa 100 dobija se 11 100x= 17, 17 17 17 ...<:> 100x = 11+x <:> 99 x = 17<:> x= 99;

c)~=~. 999

37 '

322. Nekaje.fi +

d 227 ) 99·

m = r (r racionalan broj). Odatle sledi

..fl7 = r - .fi '" 17 = r' - 2r.fi + 2 '" 2T.fi = 15<:> J2 = r 2 - 15. Kako j e leva strana

ove jednaCine ira. 2r ka f2+.fi7 =r je Clonalan broj, a desna raciooalan. pretpostav -

r2 _

Del~na. Dakle • .fi +

m. je iraciona1an broj .

217

216


323.

Neka je x+..r;; = r (r racionatan broj), lada je ,In = r - II, ~to je nemoguce, jer je na levoj strani jednakosti iracionalan, a na desnoj racionalan broj.

324.

Iz pretpostavke dobija se da je a + b = 2·hob i a - b = 2.fGb. a+b 2~ r.; Ko licnik postednje dye jedna.cine - - =

a- b

325. 326.

341.

=" 2 E I.

a+a :!a 0+101 a-a a)Zaa>O - - = - - = - - =0" zaa<O - - = - - =0. - , 2 2 2' '2 2 2x+ lx l 2x+ x 3x Zax~o, 3 +x+ lxl=--3-+x+x=3+2x=3x, .

2x+lxl ,

Zax~5, (

=(

3

2;.: - x x +x+lxl=---+x-x= -3 . 3

X-5+IX-51)' 2

+

(.,-5-IX-51) ' 2

(X-5:IX - 51)'

+ (X-5~IX-51)' =(X-5;X+5)' +

+(X-5:X-5)' = 0,+(2x;IO)'=(X_5)"

=lx-al= 0,4, a relalivna grc~ka

x 5 b) a = 0,004,0 = 0.00156: 342.

II) 55 ,98 m<

c) a = 0,001 ;0 = 0.001 135.

x <56,02 m; b) 74,997 kg< x <57.003 kg;

c)24,994< x <25,006;

d)7,084 km< x<8,0 16 km.

343.

Kllko je 0+ 6.0 = 32.588 kg, 0- 6.0 = 32,582 kg, oduzimanjem se dobija 6.0 = 0,003 kg.

344.

Iz fo rmule x::=::: 0 l!.a

g re~ka

X-5:X-5)' +(X-5;X+5)' =(2.<; 10)' +0' =(x-5)'.

Zax<S,

a) Apsolutna greska a

0=.".= 0,4 = 0,08;

0+101

za x<O

330.

r7

2vab

3.2. Prib lifne vrcdnosti. Apsolutna i relativna grdka. Gra nies gr e~ke. Znacajnc cifre i zaokrugljivanje brojeva

0

"

=-

lal

+ 6.0 sledi 0 = 40

m,

6.0

= 0,03 m, pa je relativnll

0,03

= - - = 0,00075, II proccntualnll 40

gr~ka

Or = 100-15" %= 0.075%. b) 0,01 25%;

c) 0,024 %; d) 2%.

345. 123 km (±250 m). c) 0,667; d) 0,6667. 346. .) 0,7; b) 0,67; 0,002 347. a ) - - = 0016' b) 0,0 125; c) 0,008. 2,5 ' ,

°

331.

nJ

x=4; b) x=-2 v x=8.

348. lIa =Ialo" = 8,64 ' 0,005 = 0,0432.

332.

Ii

r=-6; b) x=-2.

349.

a) Neka je a = 9,6 priblifna vrednosl broja x. Granica grdke aproksimacije ove priblifne vrednosti iznosi a = 0,05, pa je

333.

2 a)x= - -vx =6; b) x= 'O. 3

334.

a) x= - 2vx= 2;

335.

0) x E [- 2,2);

b) x E (- ,,·,- 3JU[3,~).

336,

0) x E [-3,7 J;

b) x E ( 1,2).

337.

0) -14 <x< 2; b)xE(- ~,-6) U [3,~).

l:uJ=::: 9,6± 0,05. Graniea relativne gre~ke ove priblifne vrednoSli je:

o = i\a = 0,05 = 0 00520833. paje 0" %< 0,51 96'

b) x> l.

Q

338.

17)U{ - I, ~). a) x E{ - CO,-'3

b) 0"%< 0,79; 3S0.

c) 6"%< 0,04:

Primcnom obrasea fla

=Jal' 15

.)6 = lIa =~ <0018; " lal 5,63 •

Q

d) 0" %< 0,79.

dobija se :

b)i\a=0,257; c)a=1560.

b).!.?<x<.!2 2 - - 2' 219

218


351.

Ta~ne su prve dve cifre, jer je l1a = 0,024. Tvrdenje !:ledi izobrasca

IV GLAVA

a(;:~a).

352.

Cetiri.

353.

/)" = 0.005 ... , /j. = 0,007. Ta~nije je prva mercnje.

354 .

c5 Q1 = 0.005... , dfh = 0.007. Dmgo merenjcje t<lcnije 5 pUla.

355.

a- b= 3, 12. ~(a- b)

356.

1.5; 0,3%.

364. x= 6.

357.

x= 0,84;: 0,01, 0, = 0.011; ~= 0.00926.

365.

x=4,y=10.

358.

a) 50,900; 196400; 75 000; b) 65 400, 8 546 500, 1487800; c) 5,44, 83,6 1. 0.90; d) 12,36 1; 6,00 1; 0,541.

366.

359.

84,254,870; 2056.

360.

49 m.

361.

0,33; 0,333: 0,JJ33.

Date proporcije ekvivalentne su proporcijama: (I) a:2 = b;3 (2) b:6=c;7. Proporcija ( I) ekvivalenlnaje proporciji (3)0:4 = b: 6. Proporcije (2) i (3) mogu se napisal i kao produ1ena proporcija a: 4 = h: 6 = c: 7, odakle slcdi : a:b:c=4:6:7.

362.

a) 3,29;

4. PROPORCIONALNOST VELlCINA

= 0,001 , 00-> = 0,2%.

4.1. Razmera i proporcija

363. a)x=2;

b)x = 12;

d)x = a(p-q) p +q

367. a)x:y:z= 16;10;3; b) 7.833.

c).t=5;

b)x:y:z=9;12;IO.

369. a) Prvo dokafimo irnplikaciju: (I) a;b=c;d=>(a+b) ;b=(c+d)d. Dokaz se izvodi lancem ekvivalencija: o cae 0+ b c+d a:b=c:d (:) - =- (:) -+ I =- + I (:) - = - , b d b d b d odakleje (0 + b):h = (c + d)d. Implikacija (a + b): b = (c + d):d::> o:b =c:d

(2) se takode dokazuje lancem ekvivalencija: (a + bl ob = (c + d);d Q (a + b)d= b(c +d) Q (::::) ad + bd= be + bd ¢:) ad= bc(:) a:b =c:d.

Iz ta~nosti implikacija ( I) i (2) sledi tatnosl impJikacije a). 310. Dokaz cerno izvesli nizom ekvivalencija:

a c 4a 4c 4a 4c 4o-3b 4c-Jd b='d=>b=-;;=-b- 3 =-;;-3=> b = d

Q

~(I) 4a-3b=E. 4c-3d

d

221

220


Znaci imamo takode niz ekvivalencija: a

c

Sa

Sc

Sa

5c

T,=;;¢:)b=d¢:)t;+2=d+

5o+2h b

x ,1 65= 11 2,66, odakle se dobija x = 280 m.

5c + 2d = d ~

=~.

'" (2) 5a+2b 5c + 2d

Iz(l)i(2)je

2 <::::>

377. Zupcanik ima

d

4o-3b

4c-·3d

.)4;

373.

a c a 2 + b2 Dokaz implikacije - ::: -:;::::> nacin. b d ac + bd

b) 4. :::

ac + bd . . ,sc Izvodl na sledeci c· + d0

378.

IZ:: = E- = k sledi da je a = kb j c = kd, odakle je: b d 1 0 +b 1 eb 1 + hl b\k 1 + \) b . =--'-''-- = ::: ::: -; znac] ac+bd k1bd+bd bd(.e+l) d ac+bd k'bd+bd bd(k'+ I) b :::

a C Dakle:-=-=:>

b

=

k 1 d 1 +d 2

d

01+b

2

ac+bd

c' +d

d

2 '

a1+b 1 ac+bd Dokaiimo i implikaciju - - - = 1 1 ac+bd c +d UeCima niz ekvivalencija:

,

b'

bd

ac+bd

c 2 +d 1

-_a'...:+,-,,- = ac +

<;::)

a :::::) -

c

b

Tacna je.

375.

Tvrdenj a su laCna.

379.

= -d .

ad

t

a

c

66 kg prediva dobija se 1 165 tka n i~e, a cd 11 2 kg prediva dohij a se "'" x m tkanme.

Po~to su velicine u kg ix m direktno proporcionalne (~to je ozna~cno strelicama) velicine, onda je:

222

i

720 profila .onda 1260 profiJa.

t

20 dana I 6 h 1 192 000 x dana -¥ 8 h + 160 000

i odavde slozena propordja x: 20 = 40: 50 = 6,8 = 160 000, 192 000, pa j" 20· 40· 6· 160000 x= 10 dana. 50 ·8· 192000

b = d'

4.2. P;rimena proporcija 376.

6 dana izradi x dana izraditi

Analogno prethodnom zadatku dobija se §ema: I 40 rudnika "" 50 radnika

(' ~ a + b')(' - c· + d' ) = ( ac + bd)' .........

o2d! + b 2c 1 + 2abcd <=> (ad - be )l = 0 Q ad = be (::)

374.

i

I profila j e direktno proporcionalno (§to je oznaceno strclicama), pa se dobij a slozena proporcija: ,, 6=8,7 = 2 L28 ~ 1260 ,720 6·8·2 1· 1260 iz koj e je x = = 9 dana. 7·28·720

!:lc+bd

=-,

Kad I 21 radni k radeCi po I 8 h za h ce "" x radnika radeCi po "" 7 za

Velicina x dana i velicina y radnika su obmuto srazmcme, velicine x dana i z casova su takode obmuto srazmeme i, fla kraju, x dana i

=-

d1(e+ l )

54 zupca i. pravi. I 84 obrtaja. a zupcanik x zubaca I pravi "" 126 obrtaja.

Kako su broj ~vi zu bac~ obmuto proporcionalni broju obrtaja. §to je oznaceno suhcama, to Je: .d4=84 , 126, odakle se dohija x = 36 zubaca.

=--. 5a+2b 5c+· 2d

371.

c 1 +d 2

t

380.

12 sij alica.

381.

62 kg.

3llZ. 4 500 kruna. 383.

Posle 15 dana oti~lo j e 13 radnika. Znaci da p~le 15 dana 65 radnika lreba jo§ 10 dana da rade, pa da posao zavr!e. lJ.:

-l.- 65 radnika t 52 radnika

8 dan. x dana

223


·· Oda kl esc I d· Iproporc lJa 384.

Iz ~eme I 65 radn!ka "" 52 radmka .. 3 · I d

se

I

proporc IJ8 x:

385.

4 400 dinam.

386.

25 tahli.

65 ·8 52

x:8=65:52,x=~~= J Odana

t 8x dana dana

6x 5

388.

36x 25

Na osnovu prclposlavke dob ijll sc jcdnaCinn:

6x

36x

5

25

'8 000 x =2oo 000.

,+~~-=7_

6·3 = 2 dana. =6 : 9• x=9

.

'

Prvo lice dobija x = 200 000 d inara, drugo 6x = 240000 dinara. a

5

trece 3;;'( x:: 288 000 d inara .

4.3. Racun podele i mebnja 387.

6x 20 5 100

dob ije ~+~·-=-.

.

Aka sa x ozna~i mo deo premije prvog radnika, onda je 270000 - x deo drugog radnika. Po pretpostavci, ovi delovi treba da stojc ~ razmeri brojeva 650 i 700, 5tO se izrai.ava proporcijom: x:(270 000 - x) = 650 :700. Posto ~lanove druge razmere skratimo sa SO i primcni mo osnovno svojstvo proporcije. dobijamo jedna6nu: 14x = 13·270000 = 13x 27x= 13 · 270000"" x= 130000. Dea premije prvog radnika je 130 000 dinara, a deo dmgog je 270000 - 130000 = 140 000 dinar• .

Neka su x, y i z zarade sva tri radnika. One su direktno proporcionalne brojevima dana i brojevima casova, odnosno ukupnom hroju casova: x:y:' = 150· 6:9·8:12·7 iii x:y:z = 90:72:84. Po§to drugu razmeru skratimo sa 6, dohija se proporcija: x:15=y: 12 =z: 14 =k. Zarade radnika su x= 15k, y= 12k, Z = 14k, a po us10vu zadatka njihov je zbir jednak ukupnoj zaradi. 15k + 12k + 14k = 246000 = k = 6000. Zarada prvog radnika x = 15k = 90 000 dinara, drugog radnika je y = 12k = 72 000 dinara i treceg z = 14k = 84 000 dinara.

389.

128 m, 2 16 m. 112 m.

390.

Cu = 287,28 kg, Zn = 155.05 kg, Pb = 13.68 kg.

391.

Aka prvo lice dobije x, onda drugo lice dabije x +

392. Grupa visokokva lirikovanih dobij.: 252 000 dinllra. a svaki radnik ove grupe po 12 000 dinara, grupa kva1ifikovanih - 504 000 dinara. svaki radnik po 8 000 dina ra i treea grupa - 630 OOOdinar3, po radniku 5 000 dinam.

393. 2,4 m. 394.

395. Debit po pogonima : A - I 380000 dinara. B -2 070 000 dinara. C - 1 035 oeo i pogon D - 1 035 000 dinara. 396. Aka je x kolic ina vode u lilrima 40" C, lada je: 40x + 25(90 - x) = 90· 30;:>x= 30. Treba 30 1 vode ad 40° C i 60 1 ad 2SO C. 397. Vrednost x kg pr\'e vrsle iznosi x· 720 dinara. Vrednosl ( I 200 - xl kg druge vrste iznos i (1 200 - x)· 480 dinam. Vrednosl 1 200 kg mesavine iznosi I 200 .640 dinara. Zbir vrednosti pomeSamh vrsta jednak je vrednosti mesavine: 72:c + (1200 _ x)48 = 1200· 64, odakle se dobija x = 800. Od prve vrste treba uzcti 800 kg, a od dmge vrslC 400 kg

398.

x·20

6x

.

Analogno prethodnom zadatku je:

600., + 900( 600 - x) = 600 ·850, x = 100.

399.

100 = 5' a Irete

Ukupanotpor jeR=R , +R2 - R1. Otpori su RI =4 oma,R 1 =6emai R) = 14 oma.

Srebra finoee 60D"/"" treba 100 grama, a srcbm finatc 900<1. 500 grama. I . dn X' 52· x ( 144 - x)S8 _ 144·72 dobiJ'a se daje:c = 64. zJe aa... me ~~+ 100

100

100

..

Dakle, treba uzeli 641 jac ine 52%, 80 I p¢me 88%.

-,

2' •


400. 401.

Izjcdnacinc 6 · 0.45 + 14 · D, 75 =20x nalazimo da J'cJ'aCi mt x = 066 , .

403. 404.

·.dne

~0 6.

Ako sc IlZme x kg zl~t~ fino~c 9001"". onda jc ( 30 - x ) kg zlala fi noee 60CF.I',:,. Kako su koll cmc C1Slog :.dala pre i pos le Icgimnja jcdnake sl eduJe : 0,9x + 06( 30 - x ) = O.g· 30 '''' x = 20.

402.

Illes".'

.

Aka se deo vazdllha sa azal om oZllac i sa N. kiseanik sa 0 i OSlalt sas tojci sa X . tadaje : . 78 2 1 I N · O + X = 5461 N :O :X = - : - : -

100 100 100' odakle se dobije da je N = 439,92.0 = 11 8,44 i X = 5,64. .. d , . I I I I U potreb IJe na",!nu - = - ... - + - . R R, R . R) R , = 17 oma , R~ = 34 oma i R j == 85 0ma.

PoSta s u P j P d i rc ~tno proporcionaln i uvecanoj glavnici G + P = 1272 000 1100 + P = 106, sledi: P :p = (G + P ): (I OO + p ), iii P :6=1272000 : 106, od:.tkle dobijamo : 1272000·6 P= 106 = 72 000 dinara.

Nabavna ccna je G == 1272 000 - 72 000 = 1200000 dinara. 407.

Ako je x kol icina dodalne vade, bite: 9OO(450+x) = 450·IIOOe> x = 100.

Po!to su Pip direktno proporcionaln i umanjcnoj glavnici (G _ P) I (100-p), sled;: P :p=(G -P) :(IOO- p) iii P:5=212135:95, odakle dobij amo : p=

4.4. PraceUltni i promilni rae un

405.

Napomena. - U procemnom racunu pojavJjuj u se tri promenljive vel icine : procena! (P) , asnav na vrednos l iii glavn ica (G) i procen!ni iznos iii prinos (P) , a pored (lvih i stalna velicina. broj 100 (ili I 000). U zadacima glavnica se poja.vljuje : a) kao eisla glavn ica (G) od koje se izracunava prinos. U ovom slutaju zadatke resavam o procentni m racllnom od S(Q: b) kao uvecana g lavnica (G + P) - eisla glavnica uvecana za prinos. U ovom slucaju zadatke resavamo procentni rn mcunam na slO; c) kao umanjena g lavnica (G - P) eisln glavnica umanjena za prinos. U ovom slucaju zadatke rdavamo procenlnim racunam U SIO. . . U sva In slucaja iz dye date od trij u promenljivih velitinil G,P I pi broja (l Oa iii I 000) mozemo izracunati tTecu nepoznalu velit inu. 15 dinara rabata dabija se a d glavnice 100 dinara, P dinara ~b~tom dobija se ad glavnice 55 300 dinara. Po~to su prinosi (P i 15) dlrektnO proporc ionalni giavnicama (55 400 i 100), sledi proporcija:

P : 15=554oo:100, 55400·15 . odakle je P = 100 = 83 10 dlllara.

212 135 · 5 95

= 11 165d inara.

Nabavna ceoa jc 212 135 + J I 165 = 223300 dinara. 408.

Prv; iznosje cista. a drugi uvecana glavnica, paje prinos: p = 5 844 800 - 562 000 = 2248 000 dinarn. Fond j e povecan od 5 620 000 dinara na 224 800 dinara. Fane je povecan od 100 dinara na p. paje:

p: 224 800 = 100 ·5620000, odakle jc:

2248000 p= 5620000

4%.

409.

r rva suma je cista. a druga suma umanjena glavnica, paje prinos: P= 13540-10832 = 2 708, a procenat: p=~= 100·2708 = 20%. G 13540

410.

Pre pojefti njenja I m ~tofaje ko~lao 7 000 dinara, posle pojeftinjenja ko~ta 6 160 dinarn .

411.

Poznata je uveeana glavnica, pa je:

G= (G + P)·loo =73000. 100 + p

26

227


Proizvodnja G + P = 89060 jedinica. Nanna G = 73 000 jedin ica.

'33.

l'ovr5i na datog pravougaomka P, = abo PovrSina novog P1 =- 1.30 · 0.7 h = O,9 lab =- O.91P. Dakle, P, manje jc od p~ za 9%.

412.

51 200 dinara.

m.

413.

Paznala jc umanJena glavni ca . pa se iz proparei}c: (G - P):( 100 - p) =- G: 100 iii 37 000 : 94 =- G - IDa dohije Ja jc cena koStanja G =- 400 000 di nara.

Neka je .T - cena prvc knjige, y - cena drugc knjigc. Prcnw uslovu zadatka x=y + 0,25y=I,2Sy. Odatle jc y=""'::"" = O,80x. Ij. m 1.25 y=8 O~ . -

Provizija je 576 000 dinara.

m.

Akoie X stara cena, a ynova cena coda jc y = l.sx..~tle x =-

414. 415.

8.65%.

416.

5 800 dinara.

417.

94%.

418.

8%.

419.

34.5 kg.

420.

Kupovna cena je bi la 124 000 dinara. a tro~kovi 4 960 dinara.

421.

2 500 dinara.

422.

5 200 dinara .

423.

82 kg.

424.

109JJkg.

425.

120 ucesnika.

426.

14 000 dinara.

427.

30 dinara.

428.

28968; 23 376; 62 01 6.

429.

1,5%.

430.

86 000 dinara.

431.

4 896 dinara.

432.

PoSto je I 251 99.9 uveeana glavnica, lada je:

_1 251999 · 2 =2499.

P1002 Kupovna cena robe je I 249500 dinara.

H6.

j :c =-"3 y:; 0,667 y. odnosno za 33"3% trntcno smanJcnJc

I~s' tj.

Aka je x brej uccnika koji je radio veibu. lada jc

~x T ~ X + 14 =- x. oda\'dej\!x = 2Sucenika. 100

100

4.5. Kamatni raf un

Primedba: . Iznos od 100 dinara naraslc na p dmnra ,m I godmu; iznos od K d inara naraSle na I dmara 7...1 t godinu. Kako su ove veliCine direklno proporcionalne 10 je:

t

l : p=K:IOO = t: I ~1

437.

t

t

Kpl

= 100'

Ako je K tllog (kupital), p kama Ina slopa, I kamata. vreme u godinama 1, tada je: J = Kpl = 540000 . 7,5 . 4 = 162 000 dinara.

100 100 438. PO~to je mesec 12-ti deo godine, bite: 1 = K · P'n/ = 108000·8·4 =2880 di nara.

1200 1200 439. POOIO je dan 360-li deo ra¢unske godine, blce: 1 = K· p . d = 75000 · 6· 80 = 1000 din"". 36000 36000 440. Primenom obrasca: K = I 200 I • dobijamo da je K =120000 dinara.

441.

p·nt

10%.

442. 25. april a. 8 4 'e ~ kamala na lllJ dug 443. Aka sa x ozna~imo sumu dugs. onda J 100 Tada sledi jednacina: 229

228


\'·8·4

x+' 100

= 132000dinara.

V GLAVA

odakle je x = 100000 dinara. Dakle, dugje 100000 dinara. a kamala 32 000 di nam.

5. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

Primedba. - Ovde je kapital uvecan za kamatu, ol1da kamalu i kapilal izracunavamo inleresnim racunima na SIO.

444.

445.

451. a) Prvo dokazati pod udarnost pravougJih trougJova BEC

Ako jc u10g x, ooda je interes na taj dug:

x·6·75 .\"·6·75 . pa slcdi jednanac ina x + 36000 36000 x = 120000 dinarn.

5.1 , Podudarnost fi gura I B EC (EpodnoijevisinehA).odaklc sledidajeLC=LC , itd . I I I b) Dekazati podudamost oba para pra vouglih lrouglova na koje visina ". deli trougao; odatlc slcdi podudamosl trouglova ABC i AIBIC, .

= 121 500, odaklc je

. . .\"·4 · 3 .. Ako sa x oznacl mo SUIll U duga, ondaJc trogodls11Ja kamala na 100 taj dug. Radi toga duznik je primio x - x . 4 . 3. slO iznosi 440 000

100 . 3 =440 000. odaklc jc 100

=/ ~ ,pomocn itro u g l ov i BECiBEC su ' r I I podudarm (SSS ); odatle JC ugao B jednak uglu B, ild. b) Pravougli trougae CDE. gde jc CD = a C£ = 1, i Irougno C,D,E I su poduclami: odatle sJedi cia su ugJovi AEC j A,El ei jednaki . Trouglovi AEC i A,E ,C , Stl takode podudarni itd.

452. a) AkojeCE=I, iCIE ., •

"e.

. 4 dinara . pa sledi j ednacina: x - .\ '

453. a) Trouglovi ACF i " ,C,F, su podudami (SUS); odatle sledi da Je

x = 500 000 dinara. Primedba.- Ako j e kapital umanjen za kamatu, onda sc kamata i kapital i zra~unavaju interesnim racunom u s t~ .

a =a , itd. b) Trouglovi ABQ i A,B,Q, su podudami BQ = sf! ild.

446.

Kapital je 230 000 dinara, a kamata 4 600 dinara .

454. a) Pravougli trouglovi ABO i AIB rD, su podudami (AD = h. ); odalle sledi da je LB = LB I itd .

447.

7700 dinara.

455. Pravougli trouglovi ABC i AIB,C I su podudami (SUU) itd.

448.

K = 220000 d inara, I = 2 200 dinara.

456. Trouglovi BCD i B,C lD , su podudami , paje DB == D,B, i odavde je AB - DB == A, B, - D,B y. AD == A,D , .

449.

J 50 000 dinara .

457.

450.

444 000 dinara.

Pravollgli Irouglovi ADM i BDM su podudami (SUS); OOatle sledi da je AM = ME i L MAD = - L MBD itd.

466.

Posmalrajmo trouglove ABC i fDC (51. 3). Po~to je: BC = CD (pretpostavka). Ll = L2 = 90° (pretposlavka). L3 = L4 (unakrsni); ladaje flABC = flCDE::::;> BA = DE = 70 m.

467.

Bez uputstva .

468.

Bez Uputstva.

469.

Bez Uputstva.

230

"

231


470 .

a) Cet vorougao B,C 1A/1 j c Irapez; b) Cetvorougao AC 1A,B , j c pa11lIe!ogmm. nJcgove dijagonalc se polovc.

479. Neka j e D1-I18B 1(H EBB I ) , tada jc DH =FB I • Jz podudamosll trouglova BDE i BDH i iz prethodnc jcdnakosli sledl DE = DN = FBI' Dak le : BE +CF = FBI +CF = CB 1 •

47 1.

Iz podudamosti Irollglova BAF i CAE sledi Ivrdcnj e.

480.

472.

Neka je ,-1£ = Ali = CF = CG. Tvrdi mo da j e cClvoroligao £FOII p ravougaonik Za isla /:1A£H ;;:: nCFG (zas to?). Odalle sledi da je EH = F G. Iz podudarnosli trouglova BEF i DGI-! sledi da jt:' EF = H G. Daklc, ccrvorougao EFGH je paralelogram. Medut im. LAEH + LBEF = 90°, jer jcLAEH = 90°- LA, L BEF = 90° - LB. LA + L b = 180°. paj eLFEI-I = 90 ~, slo znllcida j e laj paralelogram pravougaonik.

473.

Konsrruise se CEII BD i C ,D .II B 1D , cetvorouglovi BECD i 8 su paralclogrami , 11ACE :; 11AI C I D I itd. Bez uputslva.

475.

Aka jc CM .lBB ' tada j c Irougao CMB podudaran sa trouglom AIl 'D, pa je BM = AA'. CClvorougao MCC 'B 'j epravougllollik CC' = MB' ild.

476.

Neka j e prava Cx II AB i neka je Jn x = {D} (sI. 17). Tada su trouglovi MCD i CDN podudanti j er je: CD =CD.LCDM = LCDN =90°,

477.

478.

,

232

I1DAC == !l.BCE (I stav) ~ BE = DC; a kako je DC = DB :!> BE = BD i Irougao DBE je jed nakokraki (sl. 18).

D B

A

SI 18

Posmalraj mo trouglove FBM i EDN (sl. 19). Kako je FB = ED =

J.., AB '

L I = L2 (naizmenicni), L3 =L4 (sa paraJelni m

kracima), tada j e MBAf :; IJ.EDN (II slav) =- BM = ND. Posmatraj mo takode trouglove: AFL i PBM, gde je EPJ! BD. Kako ~ c AF = FB (po pretpostavci), L5 = L 3 (saglnsni). L6 =~ I {sagiasl1I l. lada je t!v1FL;: tJ.FBM (II stay) =- FI. =8M. Po~ta JC PI. = M" . imamo 8M = JUN = ND. sto j e trebalo dokazati.

0

D E C

C

M

,

,

,

" E

51. 17

Troug)ovi BNM,CNP, APM Sli podudam i jer je AM = 8N = CP = a + d (a stranica troug la ABC), . lova BM = CN = AP = d i LB = LC = L A. Iz podudamosl l troug sledi tvrdenje MN = NP = PM. . k ' BE.lAD i CHAD, Neka je AD lei isna duz tro ugla ABC I ne a J C ' . eDE FE AD, E E AD. Iz podudam osl'i pravouglih trouglo va BDE I sledi daje BE =CF.

tada je

481.

L NCD = LCAB , LABC = LMCD (uglovi sa para lclnim kracima). lz podudam osti sledi da j e CM = CN, pa je LTougao MCN jednakokraki .

r

1£I C ID I

474.

1° DB = DC (Tacka D pripada sllnelrali DF duzi BC), te je Do8eD jednakokraki. LDBC = LOCB = LBAC ~ L DA C =L BCE. Posto je BC = AC (po pretpostavci) i E CE = DA (po pretpostavci),

SI. 19

51 20

1° Tacka D Es (s j e simetrala duzi BC) (51. 20), pa je DB = DC. Trougao DBC je jcdnakokraki . 2° M DC '" Me£ (1) itd. ' (FE AA'). tada 483. Ako JC AA' visinajednakokrakog I~ugl a, a?MFHA . su trouglovi AMF i EME podudaml (zaJIO. ) lid. 484. Posmatrati Irouglove ABN I. BC'M ,zall m trouglove ASP I ACM

482.


485.

a) Neka je E sredi ste stTanice BC. Pomocni trou gao ABE se laka konstrui se, jer su mu poznate sve tri stranice

(~, c. I 2

tTo ugao

"

b) POl11ocni tro ugao ABE se moze kOnShl.lisat i, jer Sll mu poznatedve stranice i jedan ugao (c, I u' fJ).

486.

a) Ako je D podnozje v isi ne h., pomocni h'ollgao ABD se laka konstrllise. Poznati Sll kat eta h. i ostar llgao a. b) Iskoristiti llputst vo pod a).

487.

a) Neka je D podnozje vis in e h<. Po mocni pravo ug li trougao BCD se bko konsh'ui se (h" fJ) . K m znica k(C, Ie) nBD = {E). Taeka E jc srediste stranice AB itd . b) Neka je E podnozje visine h•. Pomocni pravollgli trollgao ABE se moze konstrlli sati (poznata je kateta h. i hipoteLlllza c). Ako je D srediste stTan ice AB, kruznica keD, I, ) n AE = {C}.

488.

a) Neka je AE =

0

+ c.

+ c, ugao E = -

fJ i visina h . Simetrala s duzi

2

'

EC seee stranicu AE u taeki B itd. b) Neka j e BE = 0 + b. Pomocni trougao BEA se m oze konstruisati (ugaoE = 489.

490.

r,o+ b,c)itd. 2

a) Pomocni trougao AEC se moze konstruisati pomocu poznatih 0,

ugao E = 90°+ fJ, h itd .

2

c

b) Pomocni trougao AET se moze konstruisatijer su poznate njego ve stranice AE =

~, AT = ~ 10 ' ET = ~ 1e' gde je T teziste trougla, a E

srediste stranice AB itd.

491.

~

i llt;aO N =

%. Tacke

A i B

492.

a) Pomocni pravougli tTougao ABD moze se konstru isati , poznaUl mu je hipotenuza 0 i kateta AD = h, itd . b) Bez uputstva. c) Pomocni rro ll gao AlvfC se moze konstrllisati jer su stranica

MC =

CI

+ b, llgao A'I =

Ii,2 a ugao C = 180°- 2,8. Simetralc duzi AM

i MC sekll se u tacki B itd.

493.

a) Pomocni pravoug li trOll gao BDE moze se konstmisati jer su poznat) kateta DE = a + h, ugao B = 75° i ugao E = 15°. Presek simetrale , dllZi BE i dllZi DE odreduj e ieme C tTougla itd . b) Trougao BDE m oze se konstrll isati jer Sll pozna!i stranica BE = 0 - h, llgao f3 = 60° i ugao E = 105° i!d.

494.

a) Pomocni pravougli trougao ACE se moze konstruisati . Poznati su elc0 menti !lACE: kateta CE = CI + c, ugaoC = 90 i ugaoE = 22° 30', lid. b) U pravouglom trouglu CEA kateta CE = c - 0, ugao , = 90° i ugao E = 67 ° 30'; pa se lako konstruise itd.

495. b) Iskoristiti da j e tezisna duz koja odgovara hipotenuzi jednaka

a) Neka j e AE = b + a. Pomocni trougao ABE se moze konstmisati pomocu 0 + b, c, h, itd . b) Pomocni trougao ABE se moze konstruisati po moc u poznatih elemenata c, 0 - b, fJ . Simetrala dllZi AE sece pravu BE u tacki C itd.

elemenata: AE = c -

je ugao M =

pripadaju duz i MN i si m etra lama duzi MC , od nosno NC itd . b) Iskoristiti analizu zadatk a pod a) .

Pomocni trougao AEC se moze konstruisati,

jer su poznati stranica 0

,'vINe, jer

).

a) Nekaje dat raspored tacaka M - A - B - N na pravoj p tako daje AM = b i BN = a; tada je MN = 2s. Mozemo konstruisati pom ocnl

polovini hipoten uze itd . c) Pomocni pravollgli trougao ACF je odreden katetom CF = a + c i

uglom F = fJ itd.

2

. .

d) Ako su dati razlika katela b - 0 (b > 0) i ugao a, pomocm !rougao ABF je odreden katelOm AF = b - 0, uglom A = a i uglom F = 135·.

496. a) POl11ocni pravougli trougao ABE je odreden ka!etom AE =a + d. uglom A = 90° i llg lom E = 22° 30' itd. b) Pomocni pravougli trougao BEC je odreden ~atetom BE ~ d - Cl. uglom B = 90° i ug lom E = 67° 30': BC je s!ramca kvadrala lId . 497. a) Trougao AEC je odreden stranicom AE =(I + b. stranicom AC = ~ i uglom E = 45°. Simetrala duzi CE u preseku sa AE odreduJu !eme itd. '. t' jer su pozna!e katt:!a • k b) Pravougli trougao ABE moze se onslrulsa I k"C ' d AB = ai katetaBE = b + d. Simetralasduii AE seceDE u lac 1 It 235

234


c) Trougao AMC se moze konstruisati : poznati . u: . stranica AM = a - b, stranica AC = d i llgao I'l'l = 135°. Presek simetrale s duii MC sa pravorn AM odrduje terne B pravollgaonika itd . d) Pravougli trollgao AB N je odreden katetama AB = a i BN = d - h, te se lako konstruise. Simetrala sd uz i AN sece pravuBN u tacki C itct.

498.

499.

a) Moze se konstruisati trollgao ABC jer su puznatc dye stran ice i visina koja odgovarajednoj od njih. b) Moze se konstruisati trougao ABO. gde je 0 presek dijagonala. c) Moze se konstruisati trougao ABC, gde je llgao B = 180°- a ild. d) Moze se konsrruisa ti pravougli trougao AEO, gde je E projekcija preseka dijagona la 0 na stranicll AB. a) Moze se konstruisati pravougli trougao ABO, gde su 0 presek dijagonala, ugao A

= ~ i ugao 0 = 90° itd.

uglom M

500.

d) Trougao ABL se moze konstruisati , jer su mu poznati d, d, _ . _ 350 AL = - - - AB - C/ I ugao M - 1 . 2 2' a) NekajeCEl1 AD. TrougaoEB C se moze konstruisatijer su poznate EB = a - b, EC = d i njegova visina h itd. b) Trougao EBC se moze konstruisati jer su poznati : EB =C/ - b, BC = c, ugaoE = a(CEIIAD). . c) Neka je CEII BD, E pripada pravoj AB. Trougao AEC se. moze konstrllisati posto su poznati: AE = a + b, AC = d" EC = d, ltd d) Trollgao EBC se moze konstrui sati posto su poznati: BE =C/ - b, ugao E = a i visina koja odgovara stranici EB itd. Koristi ti uputStvO iz prethodnog zadatka.

502.

Koristiti uputstvo iz prethodnog zadatka.

503.

Bez uputstva . 5.2. Ortogonalnost pravih

506.

= C/, ' AM = 2" + 2 .'

= 45°, pa se moze konstruisati.

501.

j

Kako je MA = ME (za5to?), trougao MAB j e jednakokraki, MB je nj egoya yisina, paje MD 1. AB . Sli cno M ,D1.AB, dak le ravan odredena tackama MDM, normalna je sa dYe prave koje se seku i koje joj pripadaj u itd.

a

ravni. Ugao p ravc

a.J3

a.J2

' b) - - em ; e)-- em. 509. a) -em 2 '2 2

M

B

p

M,

510. 60° (trougao MAB j e jednakostraniean). 511.

2 b) Moze se konstruisati pravoug li trOll gao ABO, poznate su katete d, . d, AO = - , OB = - . d d

2 2. . c) Trougao ABM Je odreden stral11cama AB

508. Neka je D sediste dllZi AB. Dokazite da je rayan odredena tackarna M,D i M, normalna na duzi AB (sl. 21).

AB

SUI

= 2a (vidi prethodni zadatak) .

512. 9 em.

513. Neka prava p prodire ravan n u tacki K, praya p, je projekeija praye p na ravan n; a i b prave koje pripadaju ravni n i simetricne su sa p, (51. 22). UoCite na pravoj p tacku P M i odredite nj enu projekciju M, na pravoj p,. Kroz tacku M, konstruisite pravu c 1.p, i odredite a n c={A}ib n c = {B }. Koristeci podudarnost trougloya KM,A i KM ,B dokazite da su podudarni i trouglovi KMA i KMB , itd.

St 22

514. Konstruisite ravan a 1. p, koja sadrZi datu tacku A i ravan f3 1. q, koja takode sadrii datu tacku A

(sl. 23). Odredite presek ove dye

j

ravni

Traieno geometrijsko mesto taeaka je simetrijs ka ravan date duzi.

ravni , ~. a n f3 = c. Posto prava c pripada ravni a 1. p, sledi da je c 1. p, a posto prava c pripada i ravni f3 1. q, to je c 1. q. Dakle, c je trazena prava. Ako pretpostayirno da ravni a i f3 imaju vise zajednickih pravih, tom slucaju

St lJ

237

236


ravni a i f3 ~i sc P?klapalc i prave p i q bi bile Ilonnalne nn jcdnu istu ravan. To b~ znac l ~o da su ~n7 ~cdusobno paralelne, ~to je SUprotnQ pretpostave.l . Zn.aci pmva ~ JeJedl n a ~rava koja sadrli A i nonnalnaje pravama p I q, lJ. zadatak Ima samo Jedno resenjc.

515.

(2) AC = .fa' + a' =

U trouglu ABC, AC = BC (sl. 24) AB pripada ravni n , C, je projekcija lemena C na ravan (CC,..Ln) AB = 6m ,CC , = 2 m i AC = Sm. Oa bismo odrcdil i

CD

LIAB,s) = LABC = 45·,

5.3. Vcklori

517.

U proizvolj noj tack i 0 odrediti vcklor Oil. = );;, a zatim vcklOr

Ab = 2 -;; vektor DB jc trazeni veklor tj. DB =l,; + 2" (sl. 26). 17 tackeD konSlru isati vektor O,A, = 3,;. Latim vcktor Ab == -2-; I

G ,

Neka je 1fSJr, pray dicdar. tacka A i B na njegovim stranama i A, iB, njihove projekcije na iviei s diedra . (sl. 25). Oato je da je AA, BB, a em i A,B,: AA , 12. Tra:!c se: L(AB,ll), L(AB,J'C,) i L (AB , s). Na osnovu pretposl<ivke je AA ,.i1t I BBIIJr, pa su dufi AB , i AlB projekcije du:!i AB na ravan 1f i 1t ,. Sledi da su: L(AB.;r) = LBAB ,; L ( AB.1t , ) = LABA,. Iz jednakosli AA, == ai A,B , = pa se iz pravouglog trougla AA ,B, dobija

=

- -

-

1

)~~

);;

0

=

+ A,B,l

=

518,

A

-

ABeD je paraleiogram.

AB =~AB,' +BB ,' =2a, 519,

2'

~Ij

• <1;-

SI 27

Jcdnakosli daje

pravoug~l"i,-,.----,=

A,

8,

AO+ DB = DO+ DC => AB = DC. ti. cetvorougao

U pravouglim lrouglovima ABB, BB, AA, 1 i BAA , j e AB = AB =

J,...."

A

DB = DO (sl. 28). Zbir ovih

Posto je trougao ABB, takode

L(AB,") = L(AB ,",) = 30·,

2\;

Po pretposlavei jc A0 = OC

- -

3ii

0,

Sl. 26

C/.Ji

Sledi da je LBAD, = 30° i L ABA, = 30° ~to znaci da je

"

8

,:\,

~

012,

AB, = ~AB ,2

-

VektorO,B, = 3u- 2v (sI 27).

= .JS l - 3~ = 4. Postoje ~; = ~sledi dajcugao CDC , =30 =

"fl,

Iz ( ~) i (2) '!ollgao IBC je jednakokraki, a posle jc AC- + BC · = AB -, onje i pravougli. Dakle.

lrazeni ugao, uocimo visi nu CD trougla ABC. a ona jc U ovom slucaju i tczBna dui Irougla, Ravao d, odredena lackama C ,D i C, je oomlalna na AB (po~to je SI 24 CD.iAB, CC , .iAB, CC, .i;r). Sledi da je lIgao CDC, ugao dicdra. lz pravouglog trollgla CDC, je

516,

Da bismo odredil i LeA B, s), ko nslrui~imo u ravni it BC II 'A C ' k ' k' C I S I I .is k0Je se :;~ U u. la .. I . Dobijeni celvorougao A B BC . ~ pravougaom k, pa Je: I I J (I)EC = A,B L =a.fi i A,e = BB , =0 , sledi dajc :

/XJ

A

51 28

~ = AB+ BM } => 2AM = AB+BC+BM+CM= AM=AC+CM

51. 25

= AB+ DC+

0

= AB+ BC. Vektori BM i eM su dva suprotna

vektora. pa je njihov zbiT nula vcklor.

239 238


520.

Neka su A I BI C I sredi~ la siranic.a BC, AC i AB Irougl a ABC -

-

AA '

q=.J5 p,vektori pi qsu kolinearni: c);' = J3 p. kolincarn i; b)

I'

BB I eC I su veklori koj i se poklapaju sa odgovarajuCim lei.isnim

Jinijama AA I • BBI.CC I • ladaje

d) q = p+ (I, nisu koli ncami ;

BC AB CA AAI =AB+-: eC I =CA + - ; BB I =8C+ - . -

2 2 2

Zbir ov ih jednakosti daje

-

BC

AAI+BBJ+CC I = AB+ -

CA

-

AB

-

+ - + CA+ - + BC =

e)

536.

Nisll nikad koJin cami.

537.

lskorisliti daje MT = At4+ AT, Ivrr = 1\ifB+BT i AfT = MC+CT itd.

539.

Vektor NP moze se izraziti nu ovaj naein : NP= NM+ MD+DC+ CP, NP = NA+ AB+ BP. Zbir ovih jcdnakosti se svorli na sledeci naein: 3- 2 NP = MD+ DC+ AB = ZAB- AF.

222 3- -

3 _ . = Z( BC+CA+AB)=Z 0 = 0 ; AA, +BB ,+CC, = O,tj.

,,8- AD.

521.

AC = AB+ AD. DB =

522.

OA = AB+ AD OB = :!B- AD

523.

2 ' DC = AB+ AD

2' 00= AD- AB

2 ' -1---

AB = Z(AC- BD), BC

-1 -

--

-

= Z( AC+ BD),

I

528. DE=-p, EF=-q, AD=2q, AE= aq- p,

..

..

529.

..

..

-

DF=a-p+q, FG=-b, DG=a+q-(p+b ),

-

EF=2a- p+q.

------

1- '

-

-

1-

54 1. Akoje P srediste duzi NL i 0 proizvoljna lacka, tadaJc:

.. b)AC=2(m+n), DDI =-111, EE l =-n, AD=4n, - CC =2(111-11), AE=4n-2m, CC =n-Ill. AC=p+q, CD=q-p, FA=p-q.

)-

(VektorDC=-AF, avektor MD="2AB).

-

I

-

-

CD = Z(BD- AC ), DA = Z(AC+ BD). 527.

-

Odavde sledi NP = - AB- - AF. 4 2

2 1 --

1 -

q= J3 p, kol ineami .

-

534.

010 )=p+ q+r: 0 10)=q+2p; O 2 °1 =2q.

535.

Veklori

pi qsu kolineami ako je p= k q, gde jc k E R. Kako je

q= 2(.fi~+ b) =.fi p, vektori j, i q,u kolineami;

-

1 ----

(I)OP = ::;(OA+ OB+ OC+OD). Slicno, ako je Q

-

s rcdi ~te

duzi UK, takode:

1----

(2) OQ = -(OA+ OB+ OC+ OD). 4

Iz(I) i (2) ,'edi (3)P"Q. . Kako tacka P pripada duzi NL, a tacka Q duii MK i znamo daJe (4) NLn MK = {S}, 10 iz (3) i(4) sledi P" Q =S. _ _ _ _ 3- 3542. Kako je, PQ PB+ BQ BP+ BQ, BP BA , BQ ::;BC.

=

=-

=::;

=

10

3 3je PQ=-(BC-BA ),,-AC. 4 4 PoltojePQ = ~AC, v.kton PQ i AC su kolineami (PQ II AC). 241

240


543.

a) Na osnovu sl. 29 ocigledno je:

(I) (2)

546.

/IIa

AB+BC~AC.AD+DC~AC;

-

1-

-

1-

EF~-AB+8C- - DC

2 2' Zbir jednakosti (2) dobija se

-

1-

-

(111- 4/1) i+ (-111+ 311»):::: 4 i+ 2j.

A

51. 29

Kombinovanje (3) i (4) dobija se AB+ DC+ 2EF 1- 1 EF+ - AB+ -DC = AC, ~to je trcbalo dokazati.

= 2 AC

2, n:::: -2.

;48.

c=-a+-b.

-

II -

15-

14

14

549.

Aka je 0 koordinatni pocetak pravoug[og Dekartovog sistema, (adajc

-

<::>

a= OA l - 00 1 i OA I ::::

~=(Xl ~CG+

GD,DA

~DG+

-----AG+ GB+BG+GC+CG+GD+DG+GA - - - BC+CA+DA

GA,

~AB+

'0, ~toje trebalo dokazati.

AC 551.

j, OA l

::::

x: i+

Yl

j.

XI')'2 - )'1)'

~

IAB I ~ s.J2;BC ~ (-1, 1), ~CJ~ sF2;

(-6,8),

IACJ~

10;

AB~(9,-3), AD~(-I,2),AC~(S.5),BD~(-IO,5). ~

(-6,-3).

552. 8 iii -8. Vektori AB i AC su kolincami, y = 6.

554. IZ jednakosti

b=k~:mi+4j'= k(3i-2})

dobijll se k=-2 i

m=-6. 555. D(9,4).

9) - - ./277

b) a- b ~ -7, '2 ,10- bl ~ -2-;

_ _ _ F-F (x y) Kakoje F = FI + F,. " , '1 5.1U. NekaJe druga komponenta 51 e , 1 - " _ • ondaje 2i+8j+xi+ YJ=3i-<i;odavde je F=(I,-12}.

3~+ 3b ~ (-11.6),13~+lbl ~Jls7; d) 2~_4b~(_1 8, 12),12 ~- 4bl~ 2.Jli7.

c)

a)~~(-m-S)i+(-3m-4)j;

)'1

);+ (Y 2 - ) '1 );. =(X 1 -

BC ~ (-4,8). CD

SSJ.

a)~+b~(-3,n~+bl~ I,S-l5;

-i+

550. Aka se iskoristi fdenje prethodnog zadatka. dobija se:

iii GA+ GB+ GC +GD = -(AC+ BG + CG+ DC), odnosllO

S4S.

- XI

Ali ~ (1,1),

~O

Xl

Zamenom u prethodnu jednakost dobija sc da je

njihov zbir je:

- - (

.

m=

f) Ocigledne Sll jednakosti:

GA+ GB+ GC+ CD =

.

541.

2

BG+ GC,CD

-

odavdcse dohije daj e m= 10 in:::: 4. pajc v = 10,,+ 4 b.

(4) (AB+ DC) + (BC+ AD) ~ 2 AC.

544.

+ 3)1= 4 ~+ 2~

2111- 411:::: 4 A -111+ 311= 2;

AB+BC+ AD+DC = 2AG=

~

razlaganja) ; tadajc

Ovi vektori su jcdnaki aka i samo aka je

2 Zbir jednakosti (l)je:

AB ~ AG+ GB.BC

511 III i 11 k~ficij:n l i

11/(2; - j)_+ 1/(-4;

EF~-(BC+AD).

2

(gde

2

EF~--AB+AD+ - DC .

2

+ 11 b:::: v

1-

2£F:::: BC+ AD iii 1 -

(3)

-

On bis~o V,:klOf v razlozili po vektorima a i h, potrebno jc da vazi

_

b) oi zajednu vrednost parametTa m vektor \I nije nula vektor. 243

242


Posto su dijagonal e ramba njegove ase simetriJ c. simetricna ~ Iika prave b u adnosu na a sece K u temp.nu C . Konstwk ija. - K.onstruisati prav u b, simelricnu sliku pm\'oJ h " odnosll naa. Odrediti sl iku A tacke C i sredisJeS romba, zatim u ~slala dva temena B iD. Dokaz. - Dokaz sledi iz anali7.e i konslrukcije. Diskusija. - I) b, n K = {C,C,} dva resenj a. 2) b, n K = {C} jedno resenje. 3) b, n K = 0 nell1a resenj a.

5.4. Osna i centralna simetr'ija

5.4. 1 OS NA SIMETRLJ A

561.

562.

563.

Neka Je AB data duz. 5 njena osa simetrije. a C t' cka k O,la pnpada istoj poluravni sa lackomB . Posto su c A i C sa suprotnih strana ()se 5, to CA n 5 = {K} (51. 30); tada je AK = BK. Kako je AK +KC =BK +KC, a BK + KC >BC, ondaje M B AK + KC >BC, tj . AC >BC. A SJ .10 Analiza. - Neka je traZeni trougao ABoC o. TackaB o i C o pripadaju kractma ugla xOy. Spajanjem Boi Co sa simetricnim sl ikama A, i A, tacke A u odnosu na ose simetrije Ox i Oy dobijamo orvoren obim trougla, koji je jednak duzini izlomljene linije A,CoBoA, 0 x (51. 31). Ova izlomljena linija ima ?-.----::-"'::--±----"najmanju duzinu ako pripada pravoj liniji, tj. Co i Bo se poklaSI. 3J paju sa A, i A,. Konstrukcija. - Konstruisati simetricne slike A,i A, tacke u odnosu na Ox i Oy. Pra va A, A, sece krake ugla Ox i Oy u tackama B , C: one su temena trazenog trougla. Dokaz.- Dokaz sledi iz analize i konstrukcije: 0 Diskusija.- Za LxOy < 90 b, zadatak ima jedno resenje; za LxOy ~ 90 0 nema resenja. Analiza. - Neka je ABeD trazeni rornb (51. 32). Oa bisrno rornb kon5truisali treba odrediti jedno Ierne, na primer C,

8,

0

a

A, A

'0

SI. 32

d

-l

564.

Anali za. - Neka jc lrazeni trougao ABC (s l. 33). a produzenoj stranici AB odredill1o tatku o+c D.tako da j e AD=a+ c. Trougao ADC j e odreden i he moze se konSlrui satI. Trougao DCB je jednak o· kraki. a visina koja odgoo vara osnovici je osa s imetrije i sece AD u trecem ~J 33 temenu trougla . K.onstrukcija.- Konstruisati duz AD = a + c; na odSlOjanju h od AD konstrui~emo k II AD. KniZoi luk sa centTom u A i poluprecnikom b sece pravu k u tacki C, a simetrala s duzi DC sece AD" temenu 8 . Dokaz. - Trougao ABC je trazeni , posto je AC = b; . AB + BC = AB + BD = a + c, vlsma h, = AM po konsrrukclJI. Disku5ija. - Za h, :S b < a + c zadatak ima jedno resenJe.

565.

Analiza. _ Neka je najpodesnije mesto za vodotoran, u lack, C . a 6 duzina vodovoda AC o + BC o minimalna. Nekaje B,sill1etricna ,,: slika taeke B u odnosu na obalu "" ' MK; tada je CoB = CoB" a zbir.. ...co'. AC o + CoB , treba daje manji od C I bilo koje izlomljene linije koja \ I spaja A i 8 " tj . izlomlj ena linij a AC oB I (51. 34) treba da postane 6, prava linija. AB, n MK = lCI je J 4 optimalno ..meSlD 7..3 vodotor'dnj. dn .. .• ta ' ka 8 tacke 8 II 0 0'" na , K onsr[lIkc'Ja.- Konslrulse se s uneln~na ~ oballl MK. AB, n MK {C} je trazena lacka.

=

245 244


Dokaz.- PrelpOSlavimo da AC + BC nije najkrace rasLOjanj e lackee, od A i B. lj . AC o + C oB , < AC + CB,ili AC o + C oB , < AB ,. a lojc protiv urecno leoremi 0 zbirll dye srranice ITougla . Diskusija.- Zadalak ima lIvek samo jedno resenje. 566.

Konstruisali s imetricnll sliku jedn og kraka datog ugla simelrij OIll op . Presek slike kraka sa drugim krakom odreduj e jedno leme kvadrala ild .

567.

Vidi zada ak 562.

569.

Neka j e H onocenlar MBC, a A" B" C, presecne tacke opisane kruznice oko MBC, sa produzecima visina lrougla. Kako jc LB = LAA C (kao periferijski nad istim lukom) i LB = LA,.HC (kao uglovi sa normalnim kracima), lad a je LAA ,C = LA ,HC, I). ""A ,HC je jednakokrak . Tacke A, i H Sll simetri cne u odnosu na silll etralu BC. Analogno postupamo i sa oSlalim dvema stranicam a.

nK= {N},aNAno= {M}. Dokaz. - Dokaz s ledi iz analize i konstrukcije . Diskusija. - I ) 0, n K = {N . N , } dva rescnja; 2) 0, n K = (N) jedno resenje; 3) 0, n K = 0 nema resenja.

0,

579.

,

570.

Produziti srranicu BC za duz inu dijagonale, zalim konstruisali simc· tralu duzi BE = b + d itd.

571.

Konsrru isali pomocni pravougli trougao ABE, cije su kalele zatim konstruisati simetralu duzi AE itd .

0

i d - b,

5.4.2. CENTRALNA SlMETRIJA 577.

578.

Ako prava 13 S, InDC= {M} cenrralno simetricna slika tacke M je M, E AB, jer je AB centralno simetricna slika CD u odnosu na S. Posto su M i M, simetricne u odnosu na S, to je MS = SM, (51. 35).

585.

Analiza . - Neka su ABCD granice parcele. pri cemu je AB = 0 , BC = 30. LS = SH , a K, E i S je meSla redom: pumpa. stable I elektricni stub (51. 37). KS n BC = (K,},K, jesimetricna lackaza K u odnosu na S; takode su E iE, centralno simetricne u odnosu na S; sto znaci poloiaj pravih AD i BC je odreden. SL i S/-/ su normale prema AD i BC. • • Konsrrukcija . - Konstruisati sa iSle strane -0 tacke L i H duzi LA = HB = 0 , au suprotSI 17 nom smeru LD = HC = 20. Tako dobijamo lelllena parcele (grantee). Konsrrukcija i dokaz slede iz analize. Diskusija . . a) K. S, E ne pripadaju iSIOj pravoj - jedno resenJe. . b)K ,S, E pripadaj ll iSIOj pravoj i SK = SE - zadalak!e neodreden c) K, S,E pripadaj u iSloj pra voj i SK ~ Sf' - nema resenJa. 2 2 2 Konstruisati MTM, gdeje AT = 1• . TM = 1• I.AM = 31. Ako

'3

je S srediste duii TM , simerrija ~ , (A)

'3

=B. tada Sll B I A dva lemena. a

T teziste trougla. A

51. 35

Analiza. - Nekaje MN trazena duz (51. 36) .• Simetricna slikao, pra:e~ u odnosu na A prolazi kroz tacku N. Tacke MI N su slmetTlCn odnosu na A. Konstrukcija. - Konstruisati cen 0 , tralno simetricne slike B, i C, proizvoljnih tacaka B i C prave u odnosu na ta6ku A. tj. o DA(B) = B,. 13.,(C) = C,' • M, C M Q.(a)=a" 51 36

5.5. Translacija

591.

a) , .... ; AC

-

-

BC

b) , .... (u = AB+ - );

2

1/

c)

°

246

o

T .... ;

(0 presek d ijagonale).

80

-

~

595. a) r .... (V = AA, + AB). v

596.

Bez uputstva. 247


597.

Analiza. - Neka j e trazeni !!.ABC (s I.3 8) . Pres likali lrougao ABC

ec, rna kog modula u pravcu paraleluih pravih u !!.A,B,C,. Trougao A,B,C, se moze lako konslrui smi . zatim 0a " preslikati tr8nslacijom za veklor CC, . eiji kraj pripada pravoj I. translacijorn za vektor

Konstrukcija . -

ad duzi

A,B, = a. A, E p.B , Eq

c,

c

~

konstruisati jednakostra- -'----r--\---~~.,.B--=/~B-,-

. mean trougao A,B,C ,. a

II

/ -'

l~slacijorn

za veklor " p ---,I-----1"'-----I¥--/-/- - - - C,C pres likati ga u A, 51. 38

!!.ABC,C E I.

Dokaz. - Dokaz sledi iz analize i konstmkcije . Diskusija. - Nekaje d = p(p, q) rastojanje izmedu paralelnih pravib .

604.

Preslikati datu pravu p translacijoll1 za vektor ~ . 'nk = {M , M '} I'1I' P, n k = {M } iii p ' n k = 0up. itd.

p

605.

U MBC (51. 40) tat ka M je sredi ste~anice AC i MN II AB. PresliC kati duz BN translacijOIl1 za vektor MN U

dll z PM. Iz podudarnosti trouglova

MPM "" I1MNC sledi da je i MN = CN i AP = MN, a iz tran51acije je MP = NB iPB = MN paje CN = NB i AB = AP+PB = MN + MN =2MN.

B

p

SI. 40

606. Analiza. - Neka je ABCD trazeni lrapez (sl. 41); ako translacijom za vektor DC pres likam o dijagona lu DB u CEo dobicemo trougao AU; kome Sll poznate sve Iri strani ce. o c o

Tada: ,

I ° a > d zadatak irna 4 resenja;

c

" , ,

--~-----­

-----d

" ,

2° a = 2d.J3 ili a = d, zadatak irna dva re!ienja; 3 3° a < d zadatak nerna resenja.

~------~--~ ' B

E

d,

51. 41

598.

Nema uputstva.

Konstrukcija. - Konstmisati MEC stranice AC = d, EC

599.

Uociti proizvoljnu taeku A na pravoj I, pa konstmisati duz AB jednaku datoj duzi i paralelnu sa I" a zatim konstruisati kroz tacku B pravu qll l,. qn I, = {B,l itd.

AE = a + b, a trans lac ijom dllzi EC za vektor CD preslikall10 1I duz BD .

602.

Konstrukcija j e prikazana na slici 39.

= d,

Dokaz. - Dokaz sledi iz analize i kon5trukcije. Dikusija. - Za Id , - dl < a + b < d, + d zadatak ima resenja. Ako ovaj uslov nije ispllnjen , nema resenja.

607. Analiza. - Neka je ABCD trazeni cetvorougao (sl. 42) aM, N sredi~ta sllprotnih stranica AB i CD. Povezivanjem datib elemenata p

SI. 39

603.

248

KruzrucuK(O, r) preslikati translacijom u K'( 0', r) za vektor v. cijije intenzitet jednak datoj duzi, a pravac isti sa pravom AB. K'nK= {N,N,l iliK'nK, = {N} iliK'nK, =0nd.

postizu se sledece tri translacije: a) preslikati translacijom stranicu Be 1za vektorCD u PD; b) duz MN za vektor ND ="2 CD u poloZaj QD; c) odsecak PD za vektor DA u poloZaj RA . lz MQ

1-

-

- .

="2CD i BP = CD

sledi da je Q srediste duzi AP. a iz RA =PD da je Q presek dija~onala paralelograma ARPD. Trougao ARD je odreden I moze se konstruisati. Trougao APD moze se konstruisati jer su mu poznate ~49


dYe slranice i medijana, a takode i trollgao ABP cije su sve tri stranice pozDate, a samim tim i cetvorollgao ABCD moze se konstTuisati. Konstrukcija. - Konstruisati trougao ARD cije su sve tri stranice poznate. Preslikati AR translacij om za vektor AD 1I DP. Konstruisati i /:,.A BP (poznate sve tri stranice). zatim presli kati DP translacijom za

615.

Presek simetra la dllzi AB i K1 je latka 0 , koja je centar rolacije .. . 900 . a ugao rotaclJe Je .

616.

Pri rolacij i prava se presli kava u pravu koja zaklapa sa svojim likom ugao jednak uglu rOlacije itd.

617.

Pri rotacij i ugla CAB u s meru kazaljke na satu oko tacke A, pol llprava AC poklapa se sa polupravo m A B. Pri ovoj orijenlaciji imamo: L CA F = -60°, L BAE = -60°. AC = AF i AS = AE. sto znaci da su tacke E iF sli ke t8caka B i C, pri rotaciji oko lacke A za ugao - 60° (s l. 43). Duz EF je lik dllzi BC za istll rotacij u, pa je EF = Be.

vektor PB u CB; dakle cetvorougao ABCD j e konstrui san . Dokaz. - Dokaz sledi iz analize i konstrukcij e. Diskllsija. - Zadatak ima jedno resenje ako je mogllca konstrukcija trouglova ABD i ABP, tj . ako su ispllnj ene relac ije: Id - bl < 2m < d + b i la - cl< AP < a + c. O",_ _~N,--_

o

_ C

c

b

p

d

"

,

618.

I I I'

609.

"R

a) TraDslacijom za vektor DC preslikati AD

E

51 4J

Analiza. - Neka je trougao ABC trazeni trougao (sl. 44). Pri rolaciji prave loko tacke A za ugao a njena slika I, sadrii tacku

, I'

SI 42

At='-- - t----"ie

e. a slika B,

e.

tacke B pokJapa se sa tackom C, posto je AB = A 1I

EC. Trougao EBC je

pomocni i moze se konstruisati jer su poznati straDica EB = a - b i Dalegli uglovi a i f3 itd.

KODstrukcija. - Neka je AH .iI, H E I; tada je p~(H ) = H , I a P1z (l) = I" AH ,.i/,; I, n k = {C,C,}' P_""a (Cl = B. Ta~ ke B i C su temena traienog trougla ABC. Dokaz. - Dokaz sledi iz analize i konstrukcije.

b) [stu translaciju kao pod a) .

.

Pomocni trougao EBC moze se konstruisati - poznate su sve In stranice itd.

- pres I'k c) TraDslacij om za vektor DC I atl' d"IJ agona Iu DB u C£ : Pomocni trougao AEC moze se konstruisati jer

Sll

poznate sve

Diskusija. - Ako je

n k = {C,C,}' dva resenja; 2° I, n k = {C) , jedDo resenje; 3° I, n k = 0 , nema reseDja. 1° I,

In

stranice: a + b, d" a, itd.

5.6. Rotacija . d d AB . dnaku i nepanalelnu sa Centar rotacije koja preshkava atu uz Je d su krajnje ·' A , B , J' e tacka u koioj se seku simetrale UZI, CIJe ne k om d UZI .~ . tacke homologne taake rotaclJe ltd. W

614.

250

w'

w"

SI. 44 H

B,

251


619.

Nekaje A, dato teme rraic:!nogjednakokrakog rrougl a, na strani c, Be. Rotacijom srranica A C za dati ugao oko tacke A, pres likava se u A'C'. Neka je A'C'n AB = {C,}. Tacka C, rorac ijorn za Sllprotan ugao oko A, preslikava se uB ,. Trougao A,B ,C, je trazcni rrougao itd.

631.

Roracijom Para = 30°) oko tacke A jednog kraka ugla, cija slika u preseku sa drugim krakorn odreduje drugo terne trougla itd.

633.

48° , 132°.

634.

45°.

635.

135°.

636.

Nern a uplltstva.

637.

a = 30° , f3

a,

-a,

620. 621.

622.

623.

Neka su a, b i c date paralelne prave i neka je A bilo koja tacka na pravoj a. Rotacijom p ,; (a = 60° ) oko II pravu c prcsli kamo 1I c', r." n b = {B} . Suprotnom ro tac ijom P _a B pres li kamo u C ird . Neka gU K" K 2 i K J rri date ko ncelllricne kruzni ce, K, najmanjeg. a K J najveceg po luprecnika i neka je A E K , . Rotacijom Pa (a = 60' ) oko A, kruznicu K pres likati 1I K ;. K ; nK , = {B.B ,}, zatim suprotnom rotacijom p _ij (a = 60 0 ) B presl ikati u C itd. Neka su p. q i r da te pa ralelne prave i nekaje A bilo koja tacka prave p. Rotacijom p _a(a = 90°) prava r se pres likava u r'.r ' nq= {BJ. zatim rotacij om P _a oko tacke A, tack u B pres likati u D itd.

626.

Neka su p i q date para lelne prave, rotacijom Pa (a = 90° ) oko A imamo aa (pi = p; nekaje p' n q = {B\ itd .

627.

Analogno prethodnom zadatku.

628.

Rotirati dati kvadrat oko date tacke za a = 60°.

629.

Rotirati jednu datu krum icu oko date tacke za dati ugao itd. 5.7. Nek e vainije tcorem e

25°, 68 ° .8r.

632. a) Pravougli, b) rupollgli, c) ostro llgli.

638.

= 70°, Y= 80°. a = 60° , f3 = 80°, Y = 40°. = 80° ,f3 = 40° , Y= 60°. a = 60°, f3 = 24 ° , y = 96°.

639. a 640. 641.

NekajeCD hipoten uzina visina.CE tezi ~ na dui i CF simetrala pravog ugla (s I.45). Kakoje ugaoDCE = 28·, toje ugaoCED = 62'. PostoJc CE = EA , tada je L ECA = L EA C = 3 1°. SIO znati da je L A CD = 59°. traieni L DCF = L DCA - L FCA = 59' -45' = 14°

-

trouglu, cetvorou glu, mnogouglu i kruznici

0

51. 45

630.

Proporc ij a

a'f3'Y = 1:2 :3<=> a =!!..=!=k<=>a =kllf3 = 2klly = 3k.

. . 12 3 Ova konjunkcij a sajednacinom a + f3 + y = 180° daje k + 2k + 3k = 180° <=> 6k = 180° <=> k = 30°. . Dakle. a = 30° . f3 = 2 · k = 60° , y = 3 · k = 3· 30° = 90° - trougao JC pravoug li . b) a 30°, f3 70°, y = 80°; ci a f3 36°, y= 108°.

= = = =

252

642. a =fJ = 72° , Y= 36°. 643. Neka je trazeni ugao BAD = x (51. 46). Kako je trougao ADC jednakokraki tada je L CA D = L ADC = a-x. . L ADC = L DAB + L ABD (spolja§nji ugao rrougla jednak Je zbJru dva unutrasnja), tj.

a - x = f3 + x'" a - f3 644.

24°,60° ,96°.

= 2x <=> a -

_

°

f3 - 30 ... 2x

= .... x = 15•. 30

.


645.

Kakoje AC =BC i AC = CD, to je BC = CD, trougao BCD je takode jednakokraki (s l. 47). Ugao BCD = a + a = 2a, spoljasnji ugao trougla j ednak je zbiru dva unutrasnj a nesusedna. Iz trougla BCD imamo da je 2a + 2x = 180' "" a + x = 90' , ugao ABD = a + x = 90', tj. trougao BCD j e pravougli.

649. L ADC

= 22' , L BEC = 34'.

650. a)58 ', 6 I',6 I'; b) 48' ,66', 66'; c) 74' ,53'.53'; d) 32' ,74' .74'. 651.

70', 70' ,40 ' .

652.

Po pretpostavci . L CAE = L ABD = fJ , a L BAD = L ACE = y. LADE = ,8 + Y I L AED = fJ + Y, to je LADE = L AED. Dakle trougao ADE je jednakokraki .

o

653. Na osnovu pretpostavke dobija se da je L DCA = L DAC = 35'. odatle j e AD = DC . 654.

Treci ugao tro uglaje 72', a ugao izmedu simetralaje 126' .

655.

Bez uputstva .

656.

Neka je AD visin a a AE simetrala ugla a . Tadaje

L BAE =

51. 47

646.

647.

Simetrale CD i CE obrazuju pray ugao (sl. 48), tj . ugao ECD = 90', CE =CD. Trougao CDE j e jednakokrako pravougli, odakle je a = 115' i ,8 = 25'.

~ , LBAD = 90' - fJ , LDAE = ~ - (90'-fJ)= fJ ~ Y

657. Bez uputstva. 658. Neka j eAD =la. lz tTouglova ACDi A BDimamob<I" +~ i c < I.

Neka je ABC pravougLi trougao , ugao C = 90', i neka je CA <CB. Ako je D podnozj e visine, a E tacka duzi DB tako da je AD = DE , t rougao AEC jcdnako kraki (sl. 49). Na osnovu prc tpos tavkc AC = BE =CE, pa j e trougao BCE jednakokraki , pri cemll je lIgao AEC = a spoljasnji , pa je a = 2,8. Kako je a + ,8 = 90' , to je ,8 = 30', a = 60' (sl. 49).

(I)

a

+ 2' Nj ihov zbir daje b+ c < 2/. +a "" b+c- a

2

.

d .

< l a' Neka Je AE = 21., ta a Je

b+ c b+ c AE<BE+ AB, (BE = AC), 21. <-2-"" (2) 1< -2 ' u Iz ( I) i (2) sledi tvrdeDj e.

~

A

B

51. 48

648.

DEB

daje a +,8 + 135'= 180''''' a +,8 = 45' '''' a +,8 = 90'.

2

2

Nekaje AD tezi ~na duZa AD visina(L A = 90'), tadaje trougao AOB jednakokraki, L DAB = ,8. a L BAD = y, dakle: L DAD = fJ - y.

660. fJ = 60'.

II

661.

Neka j e duz NP AC, P E AB; tada je Il CMN == Il NPB. odakle sledi tvrdenj e.

662.

Neka su a b i c dliZine stranica tTougla ABC. Poznato je da je rna koja stranica t:ougla manja od zbira ostaJih dveju stranica, pa je a < b +c. Odavde sledi niz ekvivalencija:

51. 49

Ako se simetrale uglova a i ,8 seku u tacki S, tada iz trougla ABS sledi

2

659.

2

Dakle ugao y = 90' .

255 254


a+b+c 0+0 <0+ b+c "" 20 <0+ b+c "" 0 < - - 2

'

Cime je tvrdenj e dokazano . 663.

Kako je kateta pravouglog troug la manja od hipolenuze. bice ha < c, h, <a.h, <b. Oda vdesledi daje ha +h, +h, <a+b+ c.

681.

20° ; 60°; 100°.

683.

2 2 2 Ako su M, N .P, Q redom sredisla stranica AB,BC, CD i AD romba

Neka j e poluprava Bx .Lb, a s simetrala duzi A B. Srediste tra:zene kruznice nalazi se u preseku poluprave Bx i simelrale s, lJ . Bxn s = {a} itd.

684.

Bez upUistva.

= .!.. AC, PQ =.!.. AC iPN = .!..BD . MQ =~BD

685.

Sredi ste kruzni ce odredeno je u presekll nonnale simetrale ugla koji zahvatajll date prave ild.

686.

Bez uputstva.

687.

Konstruisimo tangentu B/ kruzniceK(O, R), gdeje R dati polupre~nik. zatim tetivu BC, koja sa tangenlom Br gradi dati ugao a, i na kraJu tetivu BA, koja gradi dati ugao f3 sa BC itd.

689.

a) Konstruisimo skup taeaka / na rastojanju R od date prave It, a zatim kruznicu K, (0, r + R ). Ako je: a) K, n / = {O" O,}' 0 , i 0 , su sredista lrazenih kruznica - zadatak ima dva resenja; b) K, n 1= {O,}, 0, j e srediste traZene kruznice - zadatak ima jedno resenje; c) K, n / = 0 - zadatak nema resenja .

690.

Vidi poznatu teoremu u udzbeniku .

691.

Konstruisi skup taeaka iz koj ih se data duz vidi pod datim uglom.

664.

Akojeo < b <c, tadajea < b. 0 < c i a =

665 .

. .. d . abc Is kon Slttt a Je' a > c - -;', >a- -; ' , > b- - itd.

667.

680. Cetvrti ugao tog cetvorougla jednak je: 360 - (75°+ 105°+ 100°) = 360°-280° = 80°. Kako su uglovi 75° i 105°, 100° i 80° suplememni, pomenuti cetvorougao j e tetivn i, tj. moze se opisati kruznica .

ABCD, ladaje MN

C/,

paje 30 <0+ b+c itd .

2 2 2 2 (zadatak 438). Odavde na osuovu tranzi livnos ti jednakosti sled i daje MN = PQ iPN = MQ ild. 667.

Iskoristi UPUlStvo prethodnog zadatka.

668.

Analoguo prethodnom zadatku.

669.

b) Tezisna duz AA' trougla deli ugao a na uglove a, i a,

(a, + a,

= a ). Takodeje BA' = A'C = B~

.

lz /j. ABA', s obzirom ua pretpostavku AA' < BC , sledi da je

2 AA' < BA ' =<> {3 < a . a iz D. AA'C j e AA' < A'C "" Y < a . Odavde i e {3+y<a , + a, = a , tj . {3+y<a . Ako uzmemo u obzir a + {3 + Y = 180°, tada je a + a < 180° "" 2a < 180°, a < 90°, sto i e trebalo dokazati. 670.

Trouglovi ASM i BSN su jednakokraki (zasto?) itd.

673.

Neka je NC = NB, prava DN sece produzetak strauice AB u lacki E, D. NCD == D. NBE itd.

674. 676.

Vidi uputstva za prethodne zadatke.

AkojeD'E AB iC'E AB, tako dajeDD '.L AB iCC'.L AB tada je /j. ACC' == D. BDB' itd.

694.

Vidi uputstvo prethodnog zadatka.

695.

Vidi uputstvo prethodnog zadatka.

Tangentne duZi konstruisane iz tacke na kruznici jednake su, ti· AM=AN.BM=BP i CP=SN . Obim ttougla AB+BC+CA'"

696.

Obim trougla 0

= AB+BM+NC+CA = AM+AN =2AM ,

cime je dokaz zavrsen.

daroj laEki

692. Data stranica trougla se vidi pod datim uglom ild. 693.

AB+BP+PC+CA

1I

+ b + c se vidi iz temena pravog ugla pod uglom 135°,

dalje kao prethodni zadaci . 697.

. K tacki M Sredi te traZcne Neka je prava / tangenta kruZntce u ' . krumice je presek simetrale s ugla (/, p) i poluprave OM ltd.

257 256


698.

699. 701.

705.

Tacke N iN, pripadaju pravoj OM i sim etricne su u odnosu na tacku M, tako da j e MN = R, . Srediste traiene krui ni ee j e presek prave OM i simetrale duii 0 , N , odnosno duzi 0, N , itd.

723.

x + R. 1z pravouglog trougla DAD dob ija se da je:

Sredi~te

traiene kruiniee je presek kruzniea L( 0, R + r) i L,(O"R, +r). Konstruise se skup taeaka k iz kojeg se data strani ea trougla vidi pod datim uglom, a zatim prava I paralelna sa datom stranieom, na odstojanju j ednakom datoj visini od date stran iee. Trece terne trougla je u preseku kruzniee k i prave I. Ako j e k n I = {C , C,} , zadatak ima dva resenj a. Ako je k n I = {C}, zadatak ima jedno resenje. Ako je k n I = 0, zadatak nema resenja. Nekaje AA, = 1u

lu'

gde je 0 eentar opisane kruirtiee, aD srediste osnoviee trougla. Ako se elirninise x iz prethodnih jednacina, dobija se rvrdenje . 725.

1u

< b + ~.

f3 =

6r30', y = 90° i 0 = 15r30'.

727.

Nekaje AM nBC = {K}. Ugao AKB je spoljasnji ugao trougla ACK , paje L AKB > LACK. Na isti nacin je LAMB> L AKB. Na osnovu ove dye nejednakosti sledi nejednakost LAMB> L ACB.

728.

Odrediti na pravoj DC , iza D u odnosu na C, tacku E tako da je ED = NB (sl. 51). Trougao ABN podudaran je trouglu ADE,

Iz trougla AA,B sledi daje:

< C + ~, a iz trougla AA ,C da j e:

lskoristiti osobinu srednje linije trapeza.

726. a = 45°,

Ako se uzme zbir ovih nejednakosti, dobija se tvrdenje. 707.

::s~n(~ru~~ 2~ =

Neka simetrala s katete BC sece ovu katetu u tacki E, a hipotenuzu u tacki M. Kako je ME = MC, to je y = 0, pa je MC = MB (sl. 50). PostojeE+ 0 = 90°, ia + y = 90°, i y= otojea = E, paje MA = ME. Odatle sledi da je MA = MC = ME, sto je trebalo dokazati.

pajeLBAN Ugao MAE

o

..

c

=LEAD = ~. 2

a

N

= LEAD = 90°-'2'

712.

a = 15°.

713.

a = 75° , f3 = 105°.

714.

a = 54°.

715.

a = 120°.

716.

f3 = 41°.

717.

28° i 46°.

719.

11 em iii 21 em.

720.

Nema uputstva.

721.

Nema uputstva.

730. Stranica AB je zajednicka hipotenuza pravouglih trouglova ABM i ABN. Tacke A, B, M i pripadaju kruiniei k sa eentrom u tacki 0, kOJa je srediste duii AB itd.

722.

Nema uputstva.

732. Neka je EFD dobijeni trougao (51. 52),

paje MA = ME =DM +DE = =DM+NB.

c

A

y S1.51

729.

M

LCAB = LDCA, kao naizmenicni. LCAB = LCAB" Jer je prava AB, simetricna sa pravom AB u odnosu na CA . Dakle,. L DCA = L CAB, paje trougao AEC jednakokrak (AE . = .EC). DalJe je CB, = CB = DA i L DEA = L CEB" kao unakrsm, pa Je trougao ADE podudaran sa trouglomCB,E .

,

A

St 50

tada je ugao EDF =

.!. L EOF = 2

a =-I( 180 °-a)=90 °--. 2 2 258

259


A

I UgaoDEF = -LDOF = 2

736. Uglovi: APB,BPC i CPD su med usobno jednaki, kao perifenjski nad jednaklm tetl vama ltd .

..t..( 1800 - ,8) = 90 - ,8

2

2

I UgaoEFD = -LEOD = 2

I 10 8 ° - y) = 90° 2" Y = "2( c

(primedba. Periferijski ugao jednak je polovini centra lnog nad istom tetivom).

733.

Nekaje M tatka preseka stranica AB i DC, trougloviBMC i AMC SlI jednakokraki, izracunati njihove uglove itd.

738.

rp = 60°.

739.

Bez uputstva .

740.

Neka je dodima [acka proi zvoljne tangente: tada je L AOC = L COE = aiL BOD = L DOE = (J (zasto?). Tadajc 2a + 2,8 180° L COD = a + ,8 = = = 90°. 2 2

742.

Neka je E presecna [atka simetrale lInlltr3snjih uglova a 1 f3 cetvorougla ABCD. Iskoristiti [eoremu 0 zbiru unutraSnJih uglova trougla AEB i cetvorougla ABCD itd .

743.

Neka se simetrale unutrasnjih uglova a i y seku 1I tacki £ pod ostrim uglom x. Unutrasnji ugao kod temena £ cetvorougla ABCD Je ISO° - x. l skoristiti teoremu 0 zbiru unutrasnjih uglova cetvorouglova ABCD i AECD itd.

745.

Simetra1a ug1a a gradi sa stranicom BC ugao

SI. 52

Na osnovu primedbe u pretbodnom zadatku imamo da je I ,8 L ZXA = L ZCA = Y' L ABY = L YXA = (s1. 53), paje

"2

737.

2"

L zxy = L ZXA + L AXY = y+,8 = lS0 0- a = 900 - a 2 2 2 Slic no za druga dva ug1a.

F

x = ,8 + I!:... lz sistema a + ,8 + y = 180°" Y- ,B = 90°, sleduje da je 2

a + 2y = 270°, ~ + Y = 135°. lz jednacine x + y +

%= 180° proizlazl

daje x = 180° -1 35°= 45°.

SI. 53

734.

SI. 54

746.

30°, 150°.

747.

60°, 30°.

Neka suD,E iF dodirne tacke, ito: B-D4::,C-E-A , A-F-B. Tada jeBD =BF, CD =CE, AE = AF (tangentne duii), dalj eje

748.

lz podudarnosti trouglova ABF i COF sledi da je [rougao AFC jednakokrako pravougli , pa je ugao 45°.

BC - AB = BD +CD -BF - AF = = BD + CE - BD - AE = CE - AE, sto je trebalo dokazati.

749.

72°, 36°.

750. 60°.

735.

260

Uglovi ABD i AEB su pravi (sl. 54). Prema tome, AE i BD su visine trougla ABF, FN je treca visina, tj. FG.L AB.

751. 88°, 92°.

261


752.

Primenom podudarnosti trougloB N va imarno: I I iz podudamosti trouglova BCF i o BMF sledi BC = BM. [z podudarnosti trouglova ACD i AND sledi AC == AN . C Trouglovi BCM i ACN sujednakokraki (sl. 55). ISOo-,8 Iz trouglaBCM sledi ugao M == , 2 . troug Ia AC'N s Ie d'1 d a Je . ugao N = ISOo- a a lZ 2 Odatle proizlazi da je ugao MCN =

767.

A

SI. 55

a +,8 == 45°. 2

753.

Iz podudamosti trouglova ABC i AEC sl edi daje BC == EC, odatle L ABC == L CEA == rp. Iz trougla BHE ~ L H + 45°+rp + 45°-rp == ISO o ~ L H == 900~ BC.L CE.

754.

144°.

755.

Osmougao.

756.

IS0°.

757.

170 dijagonala.

758.

360° 360° - - - - - ==

6°~ n(n+ 2)= 1200~ n(n+ 2) == 10 · 12 ~ n+2 n = IOv n+2 == 12 ~ n = 10; 35dijagonala.

759.

27.

760.

sn+S - sn

761.

31 500°.

762.

45°.

763.

t == S.

765.

AD == AE + DE = 8 + 10 == IS. (BE' = SO, BE' == ED . AE,

766.

= (n - 2 + 5)lS00-(n - 2)ISO° = 900°.

Kako je 1:1 BA,B, itd.

0

768. Cetvorou gao ABMN je tetiv ni , pa je ugao MNB = 180° - a. Ij . ugao MNC == a. lIgao rCB == a (ugao izmedu IJngenre i reti ve !. Kako JC L MNC == L NCr == a. dakle naizmenicni lIglovi su jednaki. prave MN i I SlI paral elne. 769.

Neka je AD n BC == {S) i L ASB == 90°, to je: (1 ) AC' == AS' + CS ' (2) BC ' ==BS' +DS ' (3) AB ' ==A S' +BS' (4) DC' == DS ' + CS' . Zbir(l) i (2)je AC' +BC' == AS ' +CS ' +BS ' +DS', a zbir(3) i (4) AB ' +DC' = AS' +BS ' +DS ' +CS '. Odatleje AC' +BC' == AB ' +DC'; cimeje dokaz zavr~en .

770. Kako je L CPD == L APD == L PDC to j o PC == CD = 2BC, pa je L BPC == 30°. Trazeni ugao j e L APD == 75°.

772. Trouglovi BEC i DCF su podudarn i. Iz podudamosli sledi .da je L BEC == L DCF i L BCE == L DFC i L EBC == L BCD (nalzmenicni). U trouglu BEC je : L BEC + L BCE + L BCD == 1.80· ~Ii L DCF + L BCE + L BCD == 180°. Znaci duzi EC , CF pnpadaJu jednoj pravoj.

173. Neka je tacka M na simetrali datog ugla i BMI IAx(B E Ayl i CMllAy (C E Ax). Prema tome, cetvorougao ACMB je paralelo~~ pa je BM = AC ,CM == AB. Trougao AMC je jednakokrak, (zasto . ) pa je CA == MC == MB = AB, t ime j e dokaz zavrsen.

= CB,C, 6.

(SUS), odatle sledi da je A,B, == B,C,

774. Neka je OE .LAB i OC.L CD (sl. 56), to OE i OC pripadaju jednoj pravoj , takode OF i OH pripadaju jednoj pmvoj. Sem wga Je OE == OF = OC == OH jer su to visine podudamih trouglo va AOB BOC COD AOD. Prema tome. dijagonale EG I . FH c"elvoro, , , la cetvorougao ugla EFCH su Jednake i uzaj amno se polove, pa Je ) pravougaonik.

262

leorem u

771. a) Trouglovi BCM i CDN su podudami . pa je L MBC == L NCD. Kako je L NCD + L NCB == 90°, to je L AlfBC + L NCB = 90·. odatle L BEC == 90°. b) Cetvorougao ABEN j e teli vni . pa j e L AEB = L ANB. Kako je L ANB == L CMB == L MBA, to je trougao ABE jednakokraki.

n

ED == 10).

Iskoristil'i teo remu 0 uglu izmedu tangenle i telive trans ferzalnim uglov ima.


775.

Kako je svaki od uglovaEAD, EDA jednak po 45°, lIgao AED = 90'. S druge strane DE I AE tj . cetvorollgao EFGH je praVOli I" paralelogram. Medlltim GF = CF - CG, EF = DF -DE , POsto~~ CF = DF I = DF to Je GF = EF, tJ. cetvorollgao EFGH je kva. drat (s l. 57). itd.

IIBG

II CG

779.

Ako iskori stimo oznake i sli ku prethodnog zadatka imamo:

I<a+ b,l <c+ d, / < b+ c,f <0+ d, njihov zbir je 2/+ 2/ < 20+ 2b+ 2c+ 2d iii (4) I+ /<a+b+c+d. S druge strane. zbir (3) iz prethodnog zadatka 21 + 2/ > CI + b + C + d

CG

iii (5)

0+ b+ c + d 2 < 1+ /.

[z (4) i (5) imamo

o+b+c+d 2

F

780. SI. 56

SI. 57

776.

Neka je u trapezu ABCD,CD < AB i CD = AD +BC. Odredimo tacku E tako dajeD -E - C 1\ DE = DA . tadaje CE = CB. Trouglovi ADE i BCE su jednakokraki. Odatle je L DAE = L DEA, L CBE = L CEB. KakojeCDIIAB, toje LDEA = LBAE.LCEB = LEAB. Odatle proizilazi da j e L DAE = L BAE i L CEB = L EAB, tj . pravc AE i BE Sll simetrale uglova A i B na osnovici trapeza.

777.

Vidi dokaz u prethodnom zadatku .

778.

U datom konveksnom cetvorouglu ABCD neka Sll dijagonalc AC = I,BD = /, treba dokaza ti da je 1+ / >a+c iii 1+ / > b+d. Neka su: A,B,IIAC iC,D,IIAC,D E D ,C"B E A, B, a B ,C ,IIBD i A,D,IIBD,B E AA,B"D E C,D, (sl. 58). Iz odgovarajucih paralelograma sledi da je: AA, =B,C = x;A,B =D,D = y;BB, =DC , = z;AD, =CC, = /I. Iz trouglova AA,B,BB,C,CCID, ADD, sledi redom :

f-+-----,-,,;;>lc

SI58

781.

x+y>~x+z>~z+/I>~y+/I>d

x+y+z+u>a+c x+y+z+lI>b+d Kako je y+ z = I, X+ II = / (I) i (2) postaju (3) I+/>a+c i I+/>b+d,

a

Ako su unutrasnji uglovi a, f3, y, a spoljaSnji a" f3 " y" 0, tada je a + f3 + y + a= 3600~ y+o = 180' - a+ 180' -f3. Kako je a , = 180° - a, f3, = 180° - f3, dobijamo neposredno da je y + = a, + f3, . Kraj dokaza.

a

51 59

Neka je AI tangenta u tacki A krut nice opisane oko trougla ABC. Kako je cetvorougao BCB ,C, tetivni (sI.S9) to je f3+'P = I~O'. ~ druge strane, 'P + 0= 180°. pa je f3 = O. Kako Je f3 = w (za§IO.) sl.edl da je = w. Dakle, Alii C,B" (OA .LAI), ~tO jc trcbalo dokazau .

a

Zbirovi prve i trece nejednacine, zatim druge i cetvrte su :

(I) (2)

< 1+ / < CI + b + c + d, sto je i trebalo dokazatl.

782.

Neka je ugao pri vrbu a a uglovi na osnovici f3 i Y(f3 = y), ta~ Je = y = 2a, pa je a + f3 + y = Sa = 180° '" ~ = 36°,.8 = ~ = 72 :. Centralni ugao BOC = 72°. Manji luk BC Je petma kruzne 1t00Je a tetiva BC stranica pravilnog petougla.

f3

~to je trebalo dokazati .

265

264


78 3.

783.

784.

. r;; b r:; d . a b a' 2 K a k oJea=R..;2, = R..;3 , o atleJe r;;= r;;~ -, = - . ..;2 ..;3 b3

VI GLAVA

a) Na osnovu pretpostavke imamo 11(11- 3) ~-~= 1710~ 11(11- 3) = 3420~ 11(11-3)= 60·5 7

785.

6.1. Polinomi i opcracije sa njima

791. ~

11= 60.

2 Dakle, rnnogougao ima 60 stranica. b) Nema resenja. 786.

6. RACIONALNI ALGEBARSKJ IZRAZI

NekajeuL'.ABC , L C =90° , CD=DB, BE=p, AE=q, ladaje p ' = BD ' - DE ' , q' = AD ' - DE 'Njihova razlika p' - q' = AD ' - BD ' = AD ' - CD ' = Ae '.

1- 2x + 4x'+5x'.

a)3x'+6x+3; b)x' - x l +x ' -I+1. 793. ll+lOx+4x' +9x 3 794. 2x' + 3Xl -13x' + 13x-11. 792.

795. a) Xl +3x' + x; 796. a) -9x ' + 3;

Neka su x,y, z tangentne duzi konstruisane iz temena A, B,C. Tada je (x+ z) ' +( y + z) ' = ( x + y )' ~ xz + y z + z' = xy ~ xz + xy+ yz + z ' = 2.D' ~ ( y + z)(x+ z ) = 2xy. Kraj dokaza.

797. P(x) = 3 - x '-

Na osnovu pretpostavke je

798.

+x' -x-2; c) x ' -'- 3x' +x' - x + 1. e) 29x' + 21 x - 26. b)

Xl

a) Za odredivanje koeficijenata a, b,e treba da iskoristimo teoremu: dva polinoma su identicki jednaka ako su im odgovarajuCi koefi cijenti uz iste stepene jednaki. Sredeni polinom

11(11-3) +45= (11+5)(11+2) ~ 1011= 80~ 11= 8. 2 2

Q(x) = ax l + (b - 2a)x' + (e - 2b)x - 2e.

786.

Neka je D tacka duZi AM takva da je MD = ME . Trougao BMD je jednakostranican BD = BM . lz podudamosti trouglova ABD i BMC sledi daje AD =CM, paje AM = AD+DM =CM+BM.

Ako iskoristimo navedenu teoremu dobija se: P(x) = Q(x) ¢> ax l + (b- 20)x ' +(c- 2b)x - 2c = 2x ' -9x' Daljom primenom teoreme dobija se:

787.

Ako je broj stranica mnogougla 11, tada je n(n-3) (n+5)(n+2) 388 -'--~ + I 990 = ~ n = .

2

790.

Kako je n(n; 3) =

0= 211 b- 2a = -911 x- 2b = 1311-2e = -6", a=2I1b=-5I1e=3. Dakle, vrednosti realnih parametara za koje je P(x) = Q(x)su o = 2, b = - 5, e = 3; b)a=6,b=-17,e= 12; c)a=4,b=-12,e =5; d) a = I, b = -3, e = 3; e) ne postoji polinom ax' + bx +e koj i

2

8n~ n =

19. Pa je (19- 2)180 ° = 3060°.

zadovoljava postavljeni uslov. a) x-I;

b) 3x- 5;

800.

a) a- b;

b) a' -ab+ b' ; c) a- b;

801.

a) a = I;

b) a = 0,5.

802. a)a=-2,b=-5,e=6; 804. 80S.

Ostatak r

r=

= p( I) = I,

c) 2x'

+ 3x+ 4; d) 2x -

799.

803.

266

+ 13.< -6.

I.

d) x -I.

b)a=-7 , b= l,c=6.

(Bezuov stay).

p(-2) = 255.

r=1-~)=-~:' 267


_1 ~5.

806.

r= 1%)=

807.

0 tatak deljenja polinoma P( x ) sa f(x) j c linearn i polinom rex) = ax+ b, lj . P(x) re x ) ( I) - - = Ql x) + ¢> P( x ) = Q(x)f( x ) + CLf + b.

f(x)

6.2. Rastavljanje pOlinoma na cini oce

824.

808.

r = 2.

809.

re x } = 5.

810.

Kako je (I) p(x) = (x+ I)(x- I)Q(x)+ax+ b. Primenom BezlIovog stava P( I) 5, P( - I} 3. Za x = I i x = -I iz (I) sled i 0 + b = 51\ - 0+ b = 3. Odatle je 0 = I, b = 4. Dakle, ostatak delenja P(x) sa x' - I je rex ) = x + 4.

= =

f (x )

Za date polinome dobija se P(x} = Q( x )( x - 3}(x -l ) +ox +b. KakojeP( 3}= -I a P( I} = - 3, tad a iz ( I) imamo 30+ b = -11\ 0+ b = -3. Odavde je 0= I. b= -4.r(x} = x-4.

a} 4x'+ 12xy + 9y' ; c) «0+ b) +c)' 0' + b' +c' + 2ab + 2ac + 2bc' d) (a - ( b + c))' a' + b' + c' - 2ab - 2ac - 2b; h) 2a' + 2abJ6 + 3b'. .

825. 826.

a) x " + 6x'

a) x' +2x+ I =( x+ I)';

=

811.

rex) = 3x+ 3.

812.

Primeni Bezubv stav, m = -1.

813.

m l = Sv nI, = 1.

814.

/' = p( I) = 0 ¢> -n' + 4n ' - 3n = 0 <> -n(n - I)(n- 3) = 0 ¢> <> n l OV n, = Iv n, 3.

827.

+y

6

4

2x y'

a) (x - I)(x+ I);

f) a' +2..Jsa+5= (0 + ..fs)';

' b b' b , I) 1 a- -a + 4 = (a >-;

2

= (x ' + y' )';

I) 0'

c) (4-0 )(4 +a);

f) (3x - ..fi)(3x+..fi);

+ 0,25- a =(0 -

0.5)'.

e) (Ja-I }(Ja+ I);

g) (x 'y -O, I)(x' y +O,I );

h) (0,5xy - 0,0 I) '(O,Sxy + 0,0 I).

828.

=

d) x' -4mx+ 4m' = (x - 2m)';

,4 4 e)o ' + - a+ - ' 5 25' ' ( 1-2pt , ; g)I - 4p+p-= k} x·

=

b) 8x' - 36x' y + 5.>:)" _ ~ I y'.

+ 12x + 8;

a}(ia-ib)(~a+ib} b)(~x-~Y'Hx+~Y'}

f~ - or~ +a)(i+a')(~+a'}

=

g) (0 - b)(a + b)(a' + b' ).

815. 816.

0 = 3, b =0. 0 = -31, b = 71, c= -42.

829. a) (a+ b - c}(a + b + c); c) (x - 2y - 3z )( x - 2y + 3z); d) (0- 5b-ab)(0- Sb+ab); t) ( 1- 2x+ 5/)( 1+ 2x - 5y ' ).

817.

m=6.

830.

818.

12 identiteta ).., ., ) ., +d) 6x s +mx4 +27x +IIX - -5x+6 = (Jx--5x+6)(ax +bx-+cr proizlazi da je 0 2, b 3, c = 0, d = I, m = -1 9 i n -I S. Kolicnik Q(x) = 2x' - 3x' + 1.

=

=-

=

820.

m = -14, n = 24, Q(x} = x' + 3x - 4. m=O,n=I,Q(x)=x,'+l iii m=0,n=-4,Q(x}=x'-4.

821.

m = -4, n = 4, Q(x) = x- 3-

822.

m=7,n= I,Qlx) = x'+3x+7.

819.

831.

a) (20+ b- x- 3y)(2a+ 2b + x+ 3y); b) (40- 2b+ 1}(- 2b - I);

c) 8x(3y- x); d} (20+ 2b+c- 5)(20+ 2b - c+ 5). a) (30- 2b)(3o+ 2b)(90' + 4b' );

b)(~xy-SX~XY+ sXix' y' + 25} d}(x- 3)(x + 2);

e)(2x-~X2X+~); IS IS 269

268


t)(X -~)(X -I ). 832.

843.

a) (x -I )(x' + x + I); c) ( 1- 3a)( 1+ 3a + 9a'); d) (4a - b' )( 16a ' +4ab' + b'); t) ( IDa - 0, I b)( I OOa' + ab + 0, I b ' ). (x + 2)(x' - 2x + 4);

844.

°

833.

d)

845.

(3+ ~ Y)(9- ~ Y + ± i }

846.

e) ( I + 0, Ix)( I- 0, Ix + 0,0 Ix'); g) (a + 12)(a ' + 3a -I ). 834.

835.

836.

e;

a) (2x + I) ';

b) ( O, lx + Sy )' ; c) (a+ D,S) ';

d)(y - z)';

e)(a ' - 4c)' ;

h)

a) (a - 2W;

b) (3 x+ y )3;

c ) ( I+Sm)3;

d) ( 2x -I )3;

e) (j+a' f

t) ( 3m- 411 )3 .

a) a(a- b);

b) 6a 3(2a' + 3); c) mr( l - m); e)aMx(a" -I ); t) 50" + I(a" + 2 - 3).

d)2a"(a+3);

+ 2)'.

837.

a)4a( b+3c -2d ); b) (a+b)( 2+ x); c ) 3a' b( 3ab - 2 + 4b ' ); d) (x + I)(a - b).

838.

a) (x + y)( 3+a ); c)(c +d)(a -p); e) (x - 3)( b+c-I);

b) ( m+I1 )(x - y); d)(a' + b')(x + y); t) (x + y + I)(p - q+r).

a)(a+ 4 )(a+ 4); + 3);

b)(a - b)(a' + 2b'); d) (2a+ b)(2a + c).

839.

c) ( x- 3)(x'

840.

841. 842.

847.

c)(2a+ 1)( 3a~ 1) 3(2b-I )(b

a) (a- b)(a+ b+ I ); c) (2a-m )(2a+m-I );

b) (x- y- 3)(x- y+ 3); d) (4 111 - 3x+ 2Y)(4111+ 3x- 2y ):

t) (x- y- I)(x+ y+ I). b) (x - y)(x+ y_I); d) (a + 1)(a+2)(a - 2).

a) ( x - y)( 2 - x + y); b) (lI1+n+x- y)( m+n- .< + y ); c) (a - b )( x - a + b); d) (3 + a + b - c)( 3+ a - b + c) a) (7 x + 2)( x+ 3)( x - 3); b) (x- I)' {x+ I); c) (x- y )' (x+ y ); d) (y' + I)(x-I)(x+ I). a) (a+ b)(b- 2)( b+ 2); b) ( x + 2)( x - 1)( x ' + x + I ): c) (a- I)(a+ I) '(a ' - a+ I ); d) (x - I)(x+ I)(p- q)( p ' qp + q').

848.

a) (x -I )(x+ I)(x+ 3)(x' - 3x + 9); b) (a -I )(a+ I)(a ' - a+ I)(a' + a+ I); c) (x- I)( y - I)(x' + x + I)(y' + y+ I); d) (a + 2)(b -I )(b+ I)(a' - 2a+ 4).

849.

a) (x - y )(x - z )( z - y ); c)(x- 3)(x - 4);

b) (b - 4)(b - I)(b+ 3):

d)(x+ I)(2a+4). 850. a) 5x"(x - 2)(x+2); b) a"b"(b-2)(b+2); c) 3x u +'(x u +, - 3)( x u +, +3); d) 4a"(a" -5)(a" +5). 851.

a) x ' +4 = x ' +4x'+ 4- 4x' = (x'+2) ' -4x' =

(x' - 2x+ 2)(x ' - 2x + 2); b) (x ' + 2 ~J' + 2y' )( x' - 2xy + 2y'); c) (a ' + ab + b' )( a ' - 2ab + b' ); d) I +x ' + x ' = ( I + x' )' - x' = ( I- x + x')(I+x+x'). 852. a) x 5 + x + 1= x 5 - x' + x' + x + I = x'(x' - I)+x' +x+,1 = = x' (x- I)(x' + x + I) +( x' + x + I)= (x'+x+ I)(x' - x' + I), b) x ' + x ' + I = x' + 2x' + 1- x' = , =(x ' - x ' )(x' + x' + 1) = (x' - x' + 1)(x' + X+ I)( .t' - x+ 1)

a)(2a- 3c)( 7b - Sa ); b) (a+b)(z ' + z +I ); c) 2x/( 2x' + 1)(4xz' -3y); d) a(a +b)(a- c); e) ( x + y )(a' -a+ I); t) (a+ b+ c)(x -I )x. a) ( x - I)( x - 9); b) (m+ 7)(m- I); c) 2(x + I)(x - 6); d)( x + 2)( x + 5); e)(a+ 6)(a-I); t) (x - 3)( x - 8). a)(2x + I)( x - 3); b) (2 x + S)(x-7); d) (3y+ 2)( y + 6); e)( y + 2)(a-I);

a) (a+ b+ c)(a + b - c); c) (2 - p+ q)(2 + p- q); e) (ab - c - S)(ab- c +5);

853. a) (x - y)(x - z)(y - z ): b)(x+ y + Z)3 - x ) - , (y' + =') (x + y + z - x)«x+ y + z) ' + x{x+ y + z )+ x') • - (y+z)(y' - yz - z' )= = (y + z)(3x' + 3xy+ 3xy+ 3xz + 3yz) 3(.1'+ =)(x+ y)(x+ .); J

:»;

.

=

=

=

271

270


c) Neka je x' + 5x = y, lada je: Y(r+ 10)+ 24 = y' + 10 y+ 24 = (y+ 4)(y+ 6) = (x- + Sx+ 4)(x' + 5x+ 6) = (x+ I)(x+ 3)(x+ 4)(x+ 2).

854.

876. (x+ 2)(x+ 4)(x' + Sx+ 8), (smena: x' + 4x+ 8 = I). 877- (x- I)(x+2)(x' +x+S), (smena: x' +x+ I = y).

Po~to s~

prosti cinioci broja 12: ± 1,±2,±3.±4,±6,± 12, treba odre. dltlkoJI cmlOc an uliradali polinom. Kako je P(-I) = 0 10 je P( .) delJlv sa x+1. Kolicnik je Q(x) = x' -3x ' -4 x+ l2. DakJ/ P(x)=(x+ I)(x' - 3x' -4x+ 12). Ponovimo posrupak za polinOl;1 q(x), 9(2~ = O. polinom Q(x) je deljiv sa x - 2, odgovarajllci kohcntk Je x- - x- 6, pa je: P(x) = (x+ I)(x- 2)(x' - x- 6) = (x+ I)(x- 2)(x+ 2)(x- 3).

878.

879.

880.

856. 857.

P(x) = (x+ 3)(x+ 2)(x- 2)(x- 3).

882.

858.

P(x)

859.

P(x) = (x+ 3)(x+ 2)(x- I)(x- 2)(x- 3).

860.

P(x)=(x-I)( x + 1)(x+2)(x -3)(x +4 ).

864.

Dati polinom P(x) = x(x- I)(x ' + x+ 1)(x 8 + I) + I, paje za x> Ii x< 0 P(x» O. S druge strane, P(x) = xl2 + ( 1- x)( I + x' ( I + x + x' + x' + x' pa Je za 0 < x < I lakode P(x) > 0, Ij. polinom P(x) je pozilivan za svako x.

P(x)

= (x+ 2)(x+ I)(x-I)(x- 2)(x -

= x' (x' + I) + X 4 + (x' + I)' + x( x ' + I) - I = = ( x +1 )(x ' +2x-+x)=x(x+I)'(x' +I). ' (6x'

+ I)'.

881. (2x+ 2b - a)'. ")

.,

.,

2

')

.,

2

(x+1 ) -(x-+I)+x-=(x +1)-+2 x(x-+I)+x = (x'+I+x)'.

I 883. Smena, a + -a

3).

»,

865.

«x' + I)+x)(x' +(x' + 1»- 1= '

= (x+ I)(x- I)(x- 2). P(x) = (x+ 4)(x+ 2)(x- 2)(x- 3).

855.

Mnozenjem krajn iih i srednjih cinioca proizvoda d I' I' al po mom se . bl'k( f ' svo d1nao , 1 x +8x+7)(x-+8x+IS)+IS. Smenom x- + 8x + 7 ~ y, postllpno se dobijaju cinioci dalog oli p noma (x+ 2)(x+ 6)(x - + 8x + 10).

.

= I, tada Je

,

1

a +-2 a

= 1, -

...

2 dall pohnom poslaJe '

884. (a' +a+I )'. 885. (x'+x-I)'. 886.

Dati polinom se svodi 11a oblik:

(x' + Sax + 4a' )(x' + Sax + 6a') + a" = =(x' + Sax)' + I Oa '(x' + Sax) + 2Sa' =(x ' + Sax + Sa' )'.

Kako je Pen) = (n' - n + I), s ledi da je Pen) > 0 za svako n.

870.

,), I b- . ( (x - I)(x+ I)(x '

871.

(-a+ b+c+ d)(a- b + c+ d)(a+ b- c+ d)(a+ b+c- d) .

872. 873.

(x- l )(x +l )(y -I )(y+ I)( z- I)( z +l~

888.

a) 3a' (a,b;e 0);

c) -, (a,c;e 0).

(x' + y')' +2(x' + y')+ 1-4x'y' =( x' + y' + 1) ' -4x'y' = = (x' + y' + I-hy)(x' + y' + 1+ 2xy).

1 2

889.

x +2 a)--,(a;e0,x;e-2); 2a . •

b).I., (x;e 0, a;e -b)" 2 m-3 f ) - , (y;e 0, m;e -3). a x-4 b) - , (y;e 0, x;e 4);

869.

2-a-

(1)' = (a(a+ I »". , 887 . a-'a+

+ I)(x ' + I)

+ I)(a' -

ild.

874.

(a+ I)'(a'

875.

Smenom x = ty, dati polinom postaje

=..:.

6.3. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

a+ I).

y'(t' -7t '+St ' +3It-30)=y'(t-I)(t-3)(1-5)(1+2), je t

'

cinioci polinoma su (x- y)(x - 3y)(x- Sy)(x+ 2y).

2

d)-I,(x ;e2); kako 890.

a) -(a+ I), (a;e I);

a

b) -, (a,b;e 0);

3c

y

y

273 272


d)

891.

a+b+2 2 , (a+b+2'" 0);

)

892.

893.

b

an n

!

, (a, b"'O,b"i c );

,

+ bn

\

b , (a'" O, a'" b~; a - n 1 d) a(a-I)' (a '" 0, a ~ -'-I);

a)

b) -"~I ' (b '" 0, a '" -I)' a + '

x '+ x ' + 1+ 2' x +2x-+2x (x'+x+I) ' ' +a'b' + b' + 2a'b ' - 2a' b- 2ab' (a'+b') ' -(CI-b) ' = ' = (a--ab+b ') (a' + b' -ab)' (a' -ab+ b')(a' +ab+ b' ) a' +ab+ b' .

x- + x+ I

a+b-c a) a_b+ c ,(a+b+c",O);

,

I - , (xy ,: 0, 1- Y

899.

a) -

900.

a)

°.

bc (0+ b-c,: 0) (b+c) ' -a" o+c- b,:

5 b) Y =I , (Y "'-2); c) x-3a,(x,:0). x-b a) Ako je x < 3,lx- ~ = -(x- 3), onda je:

xlx- 31+ x ' -9 (x-3)(-x+x+3) 3(x-3) 2x' - 3x' - 9x x(2x' - 6x+ 3x- 9) = x(x- 3)(2x+ 3) 3 = x(2x-3)' (x'" 3). Ako je x ~ 3,lx- ~ = x- 3, ondaje:

(x-3)(2x+3) x(x-3)(2x+3)

1

b;

b)(x - o)( x -b ) (x;e -a. x ,:-b).

,

b)a+I,(a"'±I); d)

0-

x'" ± I);

0+ b- c - d CI- b+ c - d a+b+c-d 902. a-b- c -d x +a- l 903. x +b- l a+b 904. a-b'

901.

x-3 a) x_I , (x",2);

xlx-31+x'-9 2x' -3x' -9x

x x +1 x+1 +1 d) za "'r < -I ) - - - ,' za x E [- 10] x , -" -, zax > 0 x 2- x x - 2' 0+2 (x + y )' a) (0'" 0); b) " " a-2 x -+xy+ y-

e) an (CI- I), (CI '" 0, 0 ,: -I).

x ' -x+ I

a+b-2

896.

898.

(x' + I) ' - x '

a)

1

x

all -I

.. ., x '" +x 2 +I-x.

c) a_b+2 , (a+b"'-2);

895.

I

c) - -, za x < 2; - za x ~ 2;

e) I, (x'" ± I, a '" ± I).

bt'

894.

1 I - za 0 < 2; - - zaa~ 2' 0+1 CI+3 '

b) -

I b) - , - ,(a'" ± I, x'" + I)' a- -I - ,

a+b a) 3(a- b) ' (a± b); d a(b+c)

a-3 e) b_I,(a",-3).

3

=~,(x'" 3, x"'-'2);

a' + b' , ,, (a+b+ c"' O). a- - ba+b+1 906. a+b-I 907. (a + b + c + 2)(a+ b + c + I), (smena: a+ b +c x). 908. Na osnovu uslova zadatka daii razlomak je skracen kvadratnim polinomom ax' + bx + c zato vaze identiteti : x' +3x' +x"':'5= (ax ' +bx + c)(x -I ) i x' + lx' + mx ' + /IX + P =(ax' + bx+ c)(x' - 4x + 5), odakle se dobije: a= I, b=4,c = 5, 1= 0.m = -6.,, = i p=25. 909. Za x < 3, A = x+ I; za x = 3; neodreden ; za x > 3, A = x+ 3.

90S.

=

=

°

910. 911.

Za x < 5, A = x + 3; za x = 5, m:odreden; za x> 5 A = x- I. Za x < 10, A = x+ 6; za x = 10, neodreden: za x > 10, A = x+ 12. 275

274


912.

a+2 A = - - (a;.o ±2). a-2

925.

=

913.

a) S = a(a- 2)(a+ 2); c) S = ( y + b) ' (a- b);

b) S 3( x -I) ' ( x+ I ); d) S = 6 y(y - I)( y + I).

914.

a)S=6a(a-S)'(a+5); c) S = 5ob(a+ b)(a- b);

d) S = -3(a - S)(a+ S).

.915.

a) S = xy(x + y) ' ; c) S = 2(50-1) ' (50+ 1)' ;

b) S = 18(m- n) ' (m+ n); d) S = -Sara ' + 9 )'(a ' - 9).

916.

a) S = -2(x- 2)'(x+ 2); c) S = 2(a' + 1)(a' -I).

b)S=a(a+4) 3;

917. 918. <4'9.

e

920. 921.

b) S = 3(a - I)(a+ I)(a + 3);

3x - 1 ' 12 d) - , (a" I). c) 2 ' ; a-I (x - 2S)" 2x+ 6 J? 2x ' b)--.(x"3); c )-- .(t"-I). 926. a) - -, (x;.o 2); x+S x+7 I- x x Sx 2 927. a) - , ( 2x - y " 0, 2x + 3y" 0); b) - - , (x" ± -). y 2- 3x 3

928.

a)6x,(x "~);

a) S = -12(3a- 5)'(3+ S); b) S = 10ay( y - I) ' ( y + I)'; c) S = (2a+ b) ' (2a- b)( 4a' - 2ab+ b ' ).

929.

a) -

a) S = ISnx'(x- 2) ' ( x + 2) 1; b) S = 3x(2x- y )'(2x + y )'; c) S = 3abx( x + 2) ' ( x - 2) ' .

930.

a) - - , (a ;.o ± I);

a)~;

6 c) 2m d)x+l ; e ) - -. x 3 ' a S- x 8a+llb 4x+3 y 3-2a a) 3 ; b) 2 ' c) - , , (ab;.o 0). 4 12b 2b 3b a) ( b) , (ab;.oO,a;.o{3); b) , " aaa--9b- \ -- I ~ d) 0, (?l>" ± 1/ x ;.0 0). b)l ;

a)

x~

I ,(x;.o 6(4x -I)

±~);

924.

a) -1, (xy;.o 0, x;.o y);

2 c) - - , (x;.o ±S); S-x 2a' a) - - , (ab;.o 0, a;.o b); a+b c)

lla+x ,(a;.o b, x;.o a). 6(a-x)

2x'+Sx-3 x;.o+ 3) . (x-3)'(x+3)'( -, Sly-IS d) , , (y;.o 0, y;.o ±3). 2y(y- - 9) b)

2

c) 0, (a;.o ±2);

923.

9 b) - - . ( x '" ±3, x'" 0)'

2, (x;e I); 4x'

931.

,

:-a

b) - -, (a;.o ±2); a+2 a-I d) - ,- , (a;.o I, a;.o 0). a

6 -, (x " O, lxl" a);

a+ x

b)

2\1:::) ,(x ",o,x,,±~). 2

b) - - , (x" a).

x+a

a b) a - b, (ab;.o 0, a" b); a+ x 3a ' 3 c) - - , (x ;.o ± I, a ;.o 0); d) -, (x" ±y ). x -I 2 2 x+y+ z a) - -, ( x;.o ±I,a ;.oO ); b) b ; x-I +c - a c) a, (x;.o ± I , ±2, a;e - 1). a ) 4mn 2 " b) - "2,x,, - 2ix,,'2 ; 117 -n 7 , 1- b I b I) c)':' , ( z ;.o 0, x- - yz ;.o 0); d)-,(a"± ' ''- '

x"

932.

~.0' 922.

a)

I(

x

933.

a

a)~ (ab;eO)' . 9ab' "

b)~,(a,b,c.x, y "O); 6bx

... 3)', c ) (x-S)( x + 3) , ( x ;t:. - S, x.,...

x'

934.

I)

mn - , (m;.o 0, n;e 0, m;.o n); m+n

a) -

c) _6_ , (x;.o 0, x;.o ± -21); 2x + 1

d)

b+y , (b" .. a;e y). 3(a - y)

b)~, (x'" ± I); 1+ x d) a, (x '" - 1);

II e) x+2 , ( x ;o!4,x ;o!- 2, x ;o!S ).

b) I, (ab;.o 0, a;.o ±b);

Sx -ll 935.

a) -~, ( y ;.o ±a), a " 0, y;o! 0 ); y 277

276


c) 4 - 2a, (a '" 0, a '" 2). 936.

ax +by

a) x+ Sa, (x'" Sa):

c) 3a,

b)

(a '" 0, x'" 卤 ~) :

b'

,(b '" 0,

x'" 0, y'" 0);

937. 938.

b) (2x+a)i:2x - a);

c) I +a;

d) x.

1 b) -, . (x '" y '" 0, x'" -y). x

-n' (b '" 0);

940.

Za

948.

x+1

1 a) - -, (x'" 0, y '" 0, x '" - )1) ' b) - - , (x>' O, y'" O,X"' -)')路 x+Y , XJI ' 2a x+Y , ,,(x'" O,y '" 0). c) 3(a-4)' (Ial'" 2,a'" 4); d)

2a+ I a) - 2 -' (r! '" J);

b) -a, (a '" O, b '" 0).

a) _1_ , a+2x

943.

2xy a), , x +Y

'"

x-2y e) - 2- , (x '" 0, y '"

944.

945.

a)

2bc

9

2

949.

b)

4a' +4a-5 (2a+1) (2a-3) ,

d) 0,

(1m!>'

(lal >' ~). 2 '

H

b) 9,(I~ >' 2.x '" I);

(I~ '" 2,1路~ '" I).

. I I 2 d ' a)P ostoJe--+--=--, on aJe: x-I x+1 I- x I I 2 2 2 4 - + - - + - - = - - + -- = - -. I- x I+x I+ x' I- x' I+ x' I_ x' Dodavanjem ovom zbiru cetvrtog razlomka, zatim petog i sestog dobija se konacno:

I+x'

3,1~ "'~) .

1 b) -, (x'" - 3, x '" -I , x >' 2a). 2,x '" a 2 ' x- Y ,(x'" 0, y '" O,I~ y); b) -,(I~'" y.y>' 0); y

(x '"

4m (m>'Om>'I )' (m-I)'" ,

I I 2 4 8 16 32 - + - - + - - + - - + - - + - -'6= - - , I- x I+x I+x ' I+x' l+ x

I c) 6a' (a '" O,a '" -2 ). 942.

n

a) -,(I~'" y); x- y

x +2

Y- +x'

941.

(rl '"

c) - ,

x'" O,X'+I.

,(x"'y, I~"'2 y);b)

I c) - , (r! '" I); a-I

c) 0, (x '" y'" O,x '" - y); 939.

x-y

947. a) 9a',

a- 2b

a)

~x-2~

c) I, (a '" -I).

d) 2ab.(a '" 0, b '" 0);

e)(u - v)', (1/ '" \I). 4a' + b' a) 2ab ;

946. a)

0, 1~ '"

.

(b+c-a)2 ' a+2 e) a'+1 ,(a '" O,r! '" l,a '" 3). 1 a) , <Izl '" 2); z+2 e) _m_, (c '" 0,1m! '" 2c).

2y).

b) -

1

xy

I-x"

b) dati zbir se lako odreduje ako se napi~e u obliku:

(;- x:J+C:I- X~2)+(X~2- X~3)+

, (x'" O,y '" O,x '" - y);

e)l;

d)I,(I~"'I);

2a- 2 e)-,(a>' O,ao! 2,ao! I) . a-2

2c-m

279 278


950.

Za x < I razlomak je -1; za -I $ x < 1/\ x '" 0,

2 + x- r l - . . a za Xl

+I

'

X> I, I; 3 -x 'b) za x < - 2, - - ; za - 2 $ x+2

5- X 2 , ,--3 X < 2, - - ; a za x <! 2, -' - -' x+2 x+2 ' 2x' c)zax< -l , 2; za -l $ x<J, ; za x<! I O' 2x' - I ' ,

953.

a) 0, (a'" b '" c); 4.

954.

3x- 2.

955.

2a+ 3.

956.

2x+ L ab

957.

b) I, (x'" Y '" z);

c) 0,

()aI '" -

-I, ÂŤ0+ b)(c+ d) '" 0,0+ b '" c + d), (smene: a+ b = x,c + d = yl.

971.

20 ' ----==---, Gc+ dJ;c 0).

972.

973.

o+ c+d Ilo+c+d ':"":=--=---, (0'" b, 0'" c + eI) . 6(0-c- eI) 2,0 + b,. I. 12

l+x ' l+ x' d) za x < 0/\ x'" -I , - , ; za x <! 0/\ I, x '" - - ,. 1- x 1- x952.

970,

974. - - - , (x + y '" I, smena : x + y = 0). x+ y -I 6

b, b '" - c).

(a+b) "

975. -":--, (x'" O,x '" y+ 3). x+ y+3 2 976. ~~ a + b) . x+a+b x-a -b ,d~"'o+b,a +b"'O) . 977. o+b

----==---, '"

I

978.

----=----=, Qx+ ~ '" I). x + y- I

979.

I ---=---, (a+b'" I). o+b-l

958.

2.

959.

-I.

960.

2k-1.

961.

4.

4(0+b) 980. -------''----------.:..-" (0+ b '" O,a+ b '" I). (o+b -I) -

962.

Za a) i b) vaii x'" y '" z '" 0, a za c) i d) a '" b '" c '" 0.

981.

964.

Primedba. U oarednim zadacima rad se pojednostavljuje uvodenjem

982.

odgovarajuce smene.

984.

6

--------'-, (smena: y+ 3 = a). x + y +3

985.

ab, ()aI '" b). I, (mnp'" 0, m '"

-11, III '" -

p,

11 '" -

p).

4 , (abc'" 0). b) Kvadriranjem pretpostavke x+ y+ z = 0 dobija se: (A) x' + y' + z' -2( xy + yz + xz). Takode IZ pretpostavke se do-

=

965.

- - - , (smena: y+2=a). x+ y+2

966.

0, x '" a+ b '" O,X '" -a- b.

-- y - z =- x - 2 z,z -x-- y-2X:--V=-z-2 y. , -' . bIja Zbir kvadrata ovih jednakosti svodi se na: (B) (y- z)' +(z -xl' +x- y)' = 5(x' + y' + z')+4(xy~ _o + :vz~ Koli~nik (A) i (B) postupno se transformi~e oa sledeci Da~\D :

967.

4, Ix+ ~ '" b. l ,x + y ",-L

---;-~2~(xy~+~yz~+:.._:..x=:'-)-:_:::: x +y z _ (y_ z)' + (z _ x)' + x - y)' - 5(x' + / + z')+4(XY+ .c+ y:)

968. 969.

2

I

x+ y .J --"---, x + Y! '" 2. x+ y+2

,

'+'

___

- 2(xy+xz+ yz) I = -IO(xy+ xz + yz)+ 4(xy+ xz + yz) =

3; 2lt1

280


c) posto je

a-b b- c c-a) a 20' --+ ---+-- ._ - = 1+i ( c a b) b- c be

I I I- =0=>-+-=--,0 II Idkl ' I ' -+-+ a ClzaZl:

ab

c

abc

a-b b- c c- a) b '--= (--+--+-c a ' b c-a

I I I 3 3 -+-+-=--J J a b' c a'b ab "

2b ' ac'

1+-

Dakle,

Mnozenjem ove jednakosti sa abc dobija se:

bc + a~ a' b-

a-b +!!..=-!:.+ c -a)(_ c +_a + _ b )= ( ca b b-a b - c c-a

+ a~ = _ 3C(.!. +.!.) = _ 3C(-'!') = 3, c-

abc

J

986.

a) Prvi razlomak tvrdenja prosiri se sa z a drugi sa zx i iskoristi daje xyz = 1. b) Posle identicnih transformacija leva strana tvrdenja postaje: ".,

x- +y+z ' +

X 'l y 2 + X 2 Z 'l+y2 Z 'l

, (.\yz)-

J

2c' 2a' 2b' 3 2(a +b J +c ) 2·3abc = 3 +-+-+-= + =3+--= ab bc ac abc abc J = 3+ 6= 9, jer je a + b + c = 0=> a + b' + c ' = 3abc.

sto je trebalo dokazati .

987.

a) Leva strana se postupno transformise na sledeci nacin

I 1·2

1 2·3

I 3·4

= (1-

i)+(i-~) + (~- ~)+ ... +(;- n~ I) =

- + - + - + ... +

+6-

1 y x) z yz xz xy - xyz+-+-+-+-+ - + - +- = ( xyx y z.xyzxzyz

1

n + 1-1

n+1

n+l

= 1- - - =

1 m(n+l)

=

X' • d0 kaz zavr,en. x = -n- "lme Je

n+I'

b), c), d), analogno pod a). 988.

. OClgledna jednakost

c) proizvod:

.

a-b + b-c + c-a)._c_= I+_c_.(b-C + c -a)= ( cab a-b b-I a b c b'-bc+ac-a' = 1+--' a-b ab

k (k+l)

1

= 1-'2';

=- -

,

k'

5 2' :3'

3' ·4' = 3' -

1 za k (k+I)'

= 1,2,3, ... n

I

= 2' -3'; 1

2n + I

42'"'' n'(n + I) =;;a - (n + I) "

Sumiranjem gomjih jednakosti dobija se: 3 5 7 2n+ 1 _ n(n+2).

-+--+--+ + ,' 1"2' 2"3' 3'·4' .. , n'(n+I)' (n+l)

a-b ~ ~ c = -(a + b), to posmatrani proizvod ima vrednost

b) n(n+ 1),. 2(2n+ 1)-

1 + 2c' . Na isti naCin dobijaju se proizvodi: 989.

990.

282

+1

7

c c(a-b)-(a'-b') = 1+--' a-b ab

= 1+_c_. (a- b)(c-(a+ b» = 1+ ~(c - (a+ b)); posto je

ab

3

postaJe I' .2 '

2k 1

1.

23


991. 992.

4. a J bJ

'

993.

abc.

994.

a+ b+c (uputstvo:

995.

0+ b (uputstvo: 3 = I I l). 0+ b+ c (brojilac napisi u obliku:

996.

+c

(-a:: + c 997. 998. 999.

1000.

100),

1002.

3 = I + I + I ) a+b+ c a+b+ c a+b+ c o+b+ c'

++

1005.

e = O.

Sredivanjem ove jednakosti dobija se F(x,y, z) = AX' +Ay' +Az ' + Bxy+8xz + 8yz . gde je

160bc

(I

b' c' - , lreci - . 8ac 8ab 3 8

Ako je vrednost razlomka e = eonst. tada je

(x+ y+ mz) ' + (x + my + Z)' + ( IIIX+ y+ :) ' (x - y) ' +(y- z)' +(x - z) '

+1)+(0_2:+c+1)+L+2:_c+I)

+a)(I +b)( I +

c)

A = m' - 2e+ 2, B = 4m+ 2c+ 2.

Zamenom datih vrednosti za x, y i z, dobije se tvrdenje.

F(x, y, z) = 0 ¢;> A = 01\ B = 0 ¢ m = -2. -2(a' +b' +ob) ab I- x 1_I+x 1+ I + x = -4x + 1= 0 A(B(x)) B(A(x)) + I = 1- x I + x 1- 1- x 4x ' 1+ - 1+ x (x;e ±I,x;eO). I-x

1006.

Slicno prethodnom zadatku,

1007.

Iz pretpostavke

I

I

o

b

-+ -

In

= SV m= 6.

I .. a+ b ab = - - , postupno se doblJ a - - = -~.

a+ e = __ oe __ b+e = __ b b2 ' a a+b + __ a+c + _ b+c __ _= e b a

Ako se kuhira pretpostavka dohija se lanae ekvivalencija (a+ b) ' = (_e) ' <0:> a ' + b J + 3ab(a+ b) = _ c ' <0:> a + b J + e J = -3ob(a+ b) = 3obe. ' lz pretpostavke b + c = -a, a + c = - b i a + b = - c, zamenom ove vrednosti u datu jednakost dobija se tvrdenje.

Iz pretpostavke sledi da je a + b = -c, a + c = - b, pa je a' -(b-e) ' = (a+ b-c)(a+ c- b) = 4be, analogno b' - (a- c) ' = 4ac, c' - (a - b)' = 4ab. Ako se iskoristi prethodni zadatak d je a J + b ' + c ' = 3obc, dokaz se lako izvodi. 1004. Ako se iskoristi uputstvo iz prethodnog zadatka i ekvivalencija a+b+e= 0<0:> b'+c' =a'-2bc, tadaje prvi sabirak

1003.

o' (a ' - 2be) = a'(a ' - 2bc) a' -(b- e)' (a' +(b- c)')(a'-(b- e)' ) = a' (a ' - 2be) _ a' . . = (?' 4b )4b - 8b ,analogno dmgl sablrak _a c c c .. . . a' b' c' a J + bJ + c J NJlhovzblrJe-+ - + = = 8 be 8ae 8ab 8abe

e

C

-bc.. nJlhov zb"Ir Je a2'

I I)

C'

.

-ab ~I - + -J+ -J . KakoJe aJ b c

' _I + _I) J = ( _ _I) J _I + _I + _I = _ 3 , odatle sledl. tvrdenJe. ( a b c a J b J c J abc

1008. 1009.

Vidi uputstvo prethodnog zadatka. III n p . . bl'k Pretpostavka _ = _ = - = k, se moze napisatl u 0 I U. X Y z . (I) m = lex 1\ n = Icy 1\ P = Ia. Zbir kvadriranih jednacma (I) Je m' +n' + p ' = k'(x'+ y' + z') <>

(2) k' = m' + n' + p ' x ' +y' +z"

2 5

284


VII

路 (I) se moze - napisatl . . u 0 bl'leu m kx n ky p kS lstem 1 - = - / \ - = - / \ _ = -.:. a a b bee Zbir njihovih kvadrataje nl

,

n

2

p,

y 2 Z ') 2 (2 - + - + - =k ' I= k -

.,x

(3) - 2+ - + -=ka b2 c2

1z (2) i (3) sledi tvrdenje.

Q2

7. HOMOTETlJA I SLiCNOST

"t

b

2

c2

GLAV A

7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teorema

.

1010.

Kon~trukcija. Na polupravoj Ax odredimo redom tacke C, D i F tako da je A C = m, CD = n i DF = p (51. 60). Zatim konstrui~emo DN IIFB i CMIIFB. Tacke M i N dele datu duz u datoj razmeri. Dokaz. - Primenom Talesove teoreme dobija se: AM:MN :NB = AC:CD:DF iIi AM:MN :NB = m:n :p. Dakle, tacke MiN dele duz AB u razmeri m:n:p.

x F

m

p

o

n n

c

p

N

A

B

SI. 60

1011.

Na polupravoj Ax odredimo tacke C, D i F tako ~a je AC = m i = CF = n (51. 6 1), zat im konstrui~imo DB IICM 1CN IIFB.

CD

x m

1

m/ ,?y:.C

D

N A

,,8

SI. 61

287

286


Dokaz. - Primenom Talesove teoreme dobija se : (1) MA

= CA = m

MB

CD

1024.

i

n

Iskoristite dokaz pretbodnog zadatka (sl. 63). Kako je BD IICN , CN Sllnetrala spoljasnjeg llgla kod temena C prema Talesovoj teor ' eml dobija se AN :NB = AC :CD. '

~

(2) NA = CA = m. NB CF n

Tacka M deli duz AB unutTa~ njom podelom II razmeri 111 : 11, a tacka II' "dlIZ• AB spo I'" . . razmen. m :l1 , tj.. -MA =NA JasnJom po de Iom u IstOj -. d eu

MB

Iskoristiti resenj e prethodnog zadatka.

1013.

Na polupravoj Ax odredimo tacke M " M 2' M J ' M, i M I tako da je AM, = M,M , = M , M , = M , M , = M , M zatim " M,N . II M ,B, M )N 311 M ,B itd. Neka je x duzina trazene duzi. Kako je x = ab ¢> x :a = b:I, prime· nom Talesove teoreme konstruise se trazena duz. a

b)x=-¢>b:l=a:x; b a-b c) x = - - ¢> (a+ b):1 = (a- b):x; a+b a ' - b' d) x = ¢>a :(a-b)=(a+b):x. a

N

1025.

Neka je DC = x, tad a je BD = x - 3. Kako je (x - 3) :x = 8: 14, (na osnovu prethodna dva zadatka) odatle je x = 7 em, BC = II em.

1026.

= 7 :5, odatle AB :EB = 12:5 (sl. 64). Posto je BE = BD, aBD = BC , toje AB :BD = 12:5ili AB:BC = 12:10 = 6:5. Kako je AE :EB

2

o

1015.

Analogno prethodnom zadatku.

1016.

AB = 12 em, CB

1017.

BC = 8 em.

1018.

3:5; 5:2.

1019.

6 m.

1020.

BD:BC

1021. 1023.

10 em i IS em. SI. 62 NekajeCM simetrala llgla LACB, aBDIICM i A-C-D. Prema Talesovoj teoremi imamo proporeiju (sl. 62) (1)

B

Slika 63 .

1012.

1014.

A

NB

= 7,2 em. Slika 64.

1027.

= 1:3; EC:BC = 1:3.

A

AM:MB = AC:CD.

Kako je y = y'; y = 0, y' = E, to je E = 0, t!.CBD jednako~a~~.. =CD. Proporeija (I) postaje AM:MB = AC:CB. Kraj 0

U trouglu ABC sime~la ugla B deli stranieu AC na dva deja tako da je DC:AD = a:c¢> (DC + AD)DC = (a+ c):a¢>

ab .... bDC =(a+c):a¢> DC = -.

a+C U trouglu BCD kODstruisana je simetrala CD ugla C, odatle:

OD OB

DC

b

=-;-= a+c'

CB

29 288


7.2. Romotetija 1028.

Na polupravoj CxllAB (sl. 65) postupno prenosimo odseckeCD = III DE=n, EF=p. Prave Ac nBF= {S}, SDnAB={M} i ' SEnAB = {N}. Na osnovu homotetije H(S ,k) dobija se AM :m = MN :n = NB :p. Da bismo podelili duz AB na pet jednakih delova, na polupravu Cx nanosimo pet jednakih duzi, postupno kao u prethodnom slucaju (sl. 66). ,........!!L... ,....!!....,

s

sadni tacku A i paralelan je sa 0, M iii 0, M" tj .: AO'II MO , i i 0' su sredista trazene kru:znice . Ako A prip~da oblasti datog ugla xSy i LxSz < 180·, zadatak ima dva resenja.

o M,IIAO. Tacke 0

y

s

• s 51. 68

1034. Kruznice K i K su inverzno homoteticne u odnosu na centar homotetije M.

R

51. 65

51. 66

Ovaj nacin deljenja duii na jednake delove je op~ tiji i jednostavnij i, jer je potrebno lenjirom i ~estarom konstruisati sarno jednu polupravu paralelnu datoj. 1031.

Proizvoljna dui M,P" ciji krajevi pripadaju dvema stranieama tro· ugla ABC (sl. 67) je straniea jednakostranicnog l:!.M, N ,P, koji je homotetican sa trazenim trouglom MNP u homotetijiH(A,K). Teme N trazenog trougla je presek poluprave AN, i strane BC. SI. 67

1032.

Neka je xSy dati ugao i A data tacka u oblasti ugla (sl. 68). Sredi ~te trazene krufuice pripada simetrali SI datog ugla xSy. Proizvoljna tacka 0, simetrale SI je sredi~te kruZnice K, (0,), koja dodiruje krake datog ugla. Konstruisana krufuica K, (0,) i traZena kruiniea su homoteticne u homotetiji H(S,K). Tacki A traZene kruznice odgovaraju dye homoteticne tacke M i M, kruznice K(O,). poluprecmk

Hom~teticna slika duii AC je duz BD itd.

1035. Iskoristiti homotetiju kruznica itd. 1036. Konstruisati jednakokraki trougao osnov!ce n i kraka m, zalim dopu-

niti trougao do jednakokrakog trapeza dl)agonale p, pa potom Iskoristiti datu visinu i homotetiju sa centrom u )ednom od temena tra-

peza. .. . AB B C =n vlSlna p d , - 111, ! ' 'z' 1037. Konstruisati trapez AB,C,D, tako ale i LA = a dati ugao . Trapez AB,C ,D , je homotetlcan sa tra emm trapezom ABeD, sa centrom homotetije A itd.

1039. Analogno prethodnom zadatku. 1040. Nema uputstva. I' K tru' sati pravoug I trOuAko)' en 1041. Neka je 0 srediste tetive datog odsecka. ODS. I k . tacka 0 sredlste stete n.

gao cija je kateta n, hlpotenuza m, . ugaoDik je bostranica a m dijagoDala pravougaonika, trrlent .~rav~k 0 'td . ' . tar homotetl)e ta~ e I . motencan sa oVlm u odnosu na cen . .... trU kruZnog iseC!ka. k . 1042. Iskoristiti homoteti)u CI)I Je centar u cen . In - {s} i neka je K '(O') rna o)a 1043. Neka je I simetrala duil ~B, !' - . AB i tangenti p. KruZnica kruZnica sa sredistem na slmetralt duZl centrom homotetije u K'(O') i traZena kruznica homotencne su sa

!

tacki S. 291

290


1044.

Nekaje pn/= {S} . aK'(O') bilo koja kruzniea . a sredistem na pra. voj I. Trazena kruzn iea homoteticna j e sa kruzni eo m K 'r 0 ' ) I sa ~e n . trom homotetije u taeki S.

1060.

44 cm. 77 cm.

1061.

16,25 cm .

1062.

48 cm.

7.3. Slicnost trouglova

1063.

Nema uputstva .

1064. 1066.

9 cm. Na polupravoj A B treba odrediti tacku E tako da je BE tad a j e tlAEC - MCB itd.

1045.

BK = 12.

1048.

U MBC. CH 1.AB, CD = 2R (R poluprecnik opisane kruznice) - (s l. 69). Potrebno je dokazati da je AC B C =CD ·CH . Dokaz. - Kako je LA = LH = 90°, LB = LD (zasto?) =- tlCHB - tlCAD => CH :CA = CB :CD CA ·CB = CD ·CH . Ako iskoristimo uobieajene oznake CA = b, CB = G, CH = he> CD = 2R , tvrdenje se moze napisati u obliku G ' b = 2R . h<.

1049.

MN =5cm.

1052.

3,2 cm.

1053.

3 cm.

1054.

2.

1055.

6 cm, 4 cm, 6 cm.

1056.

19 cm i 23 cm.

1057.

45, 35, 30.

1058.

8,4dm.

1059.

12 cm, 15 cm, 9 cm.

292

A

51. 70

[067.

h= - .

1069.

6 em i 9 em.

1072.

2ms 2ns --m+n' m+n

1073.

51. 69

1074.

e

0

2

G

Dato je: MBC , CD 1. AB, AE 1.BC (sl. 70). Dokazati : tlDBE - MBC. Dokaz: ugao LB je zajednicki za MBE i /::,CDB . LE = LD = 90° => MBE - tlCDB =- AB :BC = BE DB . c Pored toga, AB i BC su stranice I1ABC , BE i DB stranice tlDBE , LB je zajednicki zahvacen ovim stranicama, pa je tlDBE - MBC , time je dokaz zavrsen.

]051.

b

= Be = a:

ah

a+b be

c

a-b

L£ h.

1075.

11 ,25 km , 1:250000.

1076.

3 cm , 2,4 cm , 1,8 cm, 3,6 em.

1078.

69 crn.

1079.

100 cm. 40 om.

1080.

6 em.

1081.

18,6 cm, 27,9 cm, 37,2 em.

1082.

30 em, 22,5 crn, 13,5 em, 12 em. . . ,. . elodom sli~nth slika KonAnaliza. - Ovaj zadatak resavamo m . " reslikamo izve nom struiserno prvo lik sliean traZenom, a ~nru ga p . I /::,A 'B'C'. . lik K rukCI]3. - Konstnu el 0 homotetijom na trazem . ons . CC' = h viSlOa ovog ITougla. tako daje LA' = a, LB'.= {3.,Ne~~J~ tako da je ee, h< KonOdredimo na poluplllvO] I ta" .' 'h motetiji sa eentrom C i struisimo zatim sliku trougla eA B pn 0

1083.

A

ee

k=

ec, -=ec

8

C, 1 71

=

(sl. 71).

I C trazeni trougao. Iz 0 oblOe Dokaz. - Dokazujemo da je MB homotetije sledi da je , _ {3 C' = LC = 90°, tj . CC Je vi. lOa LA = LA' = a, LB = LB - , L I


1084. 1089. 1092.

trougla tMBC. Po konstrukciji eel = he. dakle !!!.ABC je zaista tl"aZeni trougao. Iz konstrukcije zakljucuje mo da zadatak uvek ima

Trouglovi BMN i BAC su slicni, paje: (2) MN :BM = b:a. b

re~enje.

lz ( I) i (2) dobija se d. je MN = _a_. a+b

Analogno prethodnom zadatku konstrui ~ emo jednakostranican

f1A'B 'C' itd. Rd rd --,-. R+r R +r Ako je DE n AC ~ {PI. tad. je ME? - MDC , odakle sledi A?:C?~ AEDE ~ AE :2AE ~ 1:2.

k.J4b'-a' (a-k),)4b ' -a' 10931094.

2b

2b

Ncka je AE simcuala ugla BAG (s1. 72) Tada su trouglovi ABC i ABE slieni (WIO 1). lz slLcnosti je: AB:AC = BE:AB <:> a:b= (b-a):a<:> a~ = b(b-a) <:>

.. b' = a' +ab .. b ~ ,Ja(a+b).

e

M A

o· k a 51. 72

1095.

A

,, ,,

T

7.4. Primena sli~nosti kod pravouglog trougJa

51. 73 .

Nekaj,e AD visinajednakokrakog trougla koja odgovara osnovici. a. E dodirna tacka kraka AS i kru:!nice, 0 ceotar kruwice. Iz slicnostl pravouglih trouglova ABD JADE imamo AB:BD = AO :£O= 12:5. (EO =DO), odatle je BD =25 em, BC =50 em. 1097. Kakoje AM:MB = b:a"(AM+ MB):MB ~(a+b):a" (I)

294

a'

MB=-. a+ b

L

= a- Y. miminacijom y iz ( I ) 24 x+8 i (2) dobija se jednatina x 2 = 25600 x = 16 em.

(2)

,, ,,

Nek.je ,nk = {A,B} i Ink = {T} . Trouglovi MAT i MBT (sl. 73) su siicnijer je LBM!' = LAMT i LMTA = LTBA (Ugao izmedu tan· gentc i tclive i periferijski ugao oad tom tetivom), pa je MA :Mr = Mr :MB .. Mr' = MA'MB =4'9~ 36~ Mr = 6cm.

1096.

Kako je BD :AD = a:b ¢> c :BD = (0+ b):a<:> ac (I) BD=b' a+ Ix 5 1 i~nosti trouglova BED i ECA sledi da je (2) DE:ED = b :c. ab Iz (I) i (2) dobija se da je DE ~ - -. a+b 1099. Trouglovi BEA i GEe su sl icn i (sl. 74), odakle je Q- Y a 8a _ _ = _ c y = a--. (I) 8 x x Iz slicnosti trouglova DGF i GBe imamo

1098.

1103, 1° Neka je O,KIIAB u pravouglom trauglu !:lOq ,K hipotenuza 00 1 =R+r, a katete OK =R -r i 0 1K = t; tadaJe 12 = (R +r)2 _ (R _r) 1 <:> t 2 = 2R·2r.

I I 2°KakoJ'e LTAB+LTBA = -LAOT+-LTO ,B, = 2 2 I , '2(LAOT+LTO,B,)=90°,

sledi daje LATB = 90 0 (sl. 75).

JO Zajednicka unuI~nja tangenta MT' sece AB u tacki M, koja je sredilte duzi AB po~to je MA MT MB. K.koje MTJ..OO. pro-izlazi da je 001 tangcnta krufnice precnika AB.

=

o

=

SI. 7S

295


1104.

a) 65 em, 25 em, 169cm, 60 em; b) 255 em, 136 em, 289cm, 120 em; c) 255 em, 289 em, 64 em, 255 em; d) 338 em, 50 em,28S em, 120 em; e) 25 em, 20 em, 15 em , 12 em.

1105.

18,5 em.

1106.

24 dm.

1107.

6 em.

1108.

40 em.

SB

~

b (51. 79).

Q---

:~ s

13 em.

1109. 1110.

25 em iii 7 em.

1112.

r = 6 em.

1114. 1116.

5 dm. 2 Potrebno je konstruisati dui x take da je a:x= x:b iii x =ab iii x~ .Jab.

S~----YV-----~A~--

A

Q

51. 78

1118.

51. 19

2

I"Kako je x == a' ka, sledi da je x geomelTijska sredina dufi (J 1 Iur. dakle konstrukcija moze da se izvrlii kao u zadatku (1 116). 2' Broj k se maze uvek predstav iti kao zbir iii razlika kvadrata. pa se konstTUkcija maze obaviti kao u zadatku (1117), Na primer. ako se konstrui~u duii OA = a (sl. 80), AB = a (AB 1. OA), BC = a (Bel-OB ) itd" dobiju se postupno odsecci:

DB ~ .fa' +a' ~ a.fi. DC ~

, / I

"

Q

II

b

, 51. 76

. /

I I

"

,

SI. 77

I nacin .- Na polupravoj AI konslnlisati odsccke HA = a i fib == b (sl. 76). U tacki H konstruisati normalu do presecne tacke M sa kruinicom precnika AB. Duz HM = x.

Dokaz. - Iz pravo~lg l og trougJa AMB je HM2 = AH ·HB (poznata teorema), dakle x je geometrijska sredina za a i b. II nacio. - Na polupravoj AI konstruisati odsecke AB = b i AH = 0 (sl. 77). U tacki H konstruisati nonnalu do preseka sa kruinicOJ1l precnika AB. Du1 AM = x. Dow. - Trougao, ABM je pravougli. pa je AM 2 == AS' AH (poznata teorema) Xo· :::; ab,

Da bismo konstruisa li dui: dutine x = prcdstavijama

am,

296

51 SO

je na jedan od sledeCih na~ina: x' ~ a' 13a iii x' ~ (3a)' + (20)' iii x ' ~ (7a)' - (60)'.

1119. Konstrukcija. _ Obavicemo postupno sledece konslrukcije (sl. 81 I. 2 a) konstruisati odsecak m iz jednakosti m == ab; b) konstruisati odsetak n iz jednakosti e:c == d: n; c) konstruisati odsecak p iz J'ednakosti p l = lid; .' ,+ ' d) konstruisati odsocak x iz jednakostl :C- = n ' p;

,

1117. Duz x je hipotenuza pravouglog trougla SAB katete SA == a i 5S :::: b (51. 78). • Duz y je kateta pravouglog trougla SAB, bipotenuza BA == a i kate ta

••

OD~a.J4, DE ~ a../5 itd.

II

"

,13a' + a' ~ a.fi.

Sl. 81

o--L-.

~

t=npr-

, •

,

•"


1120.

Kako je,f7 = Fl =

../4' - 3'; .JI2 =.J).4 = ../4' - 2' ;

Ji7 = .J'i7"-:j = .j4 + I', 2

(3) h' = (c- a' +c' - b')(c+ a' +c' - b') . la - . Ako se zahm ad abe 2a d . strane jednakosti a + b + c = 2s oduz jednakosti: me re om "la, 2b 12c. dobijamo

rreba konstruis8ti jednu od prethodnih

konstrukcija.

~+~d> x= ab, gdeje y= .,fa' + b l

1121.

C) Iskoristiti daje.2,=

1122.

Neka jc x stran ica tra~enog Tada je: , a) x = b-" + c; b) x·' b = ". -

1123.

0-

itd. b" y kvadrata, a, b i c stranice dat ih kvadrala.

,

1

1

• 1

~:=::'o:::;::::"==~ C sf-

Aka je x stranica trafenog kvadrala, a i b stranice prvog pravQuga_ onika. a,e i d stranice drugog pravougaonika, tada je

na oblik (5):

a)x~=ab+cd;

(5) h l = 4a 2 (b+a- c)(b - a - cXa+c-bXa+ b+c~

1

b)x ~ =ab- cd itd.

=R~2 - Ji; a" =R~2 - Jj.

a.

1125.

a,h i hth' s u stranice i visine datih trouglova. Aka jc x stranica ,

ah

trafenog kvadrata, na asnovu pretpostavke x' = " , '10 ,b. x· = y- - z • gde JC y = -' h, Z - = - ' h' ltd. 2 2

1127.

I

a+c-b= 2(s-b)i a+ b - c= 2(s-c). lednakost (3) se transformge

. d. c" It

1124.

1126.

(4) b+c-a = 2(s-a),

Kako je ispunjena j ednakost a~ + b = c Za p 2, q 1; a 4. b 3. c = 5. Za p = 3, q= I; a = 6, b= 8, c= la, itd. 2

=

=

=

=

2

,

Primeni tri puta Pitagorinu teoremu.

1129.

Primeni Pitagonnu teoremu.

1130.

Iz pravouglih trouglova ACD i ABD (sI.82) je:

Eliminacijom h iz (I) dobija se:

h = -~s(s a)(s

blf'

a

bXs-c).

T a da Je 'povcSJRa . trouglaP = -oh = _·_.Js(s a 2 ~;-c---",-=-~ oXs -bXs - c) iIi ,..,._""",",_~,-_2 2 a

(6) P =

~s(s - a)(s- bXs -c).

Obrazac (6) se naziva Heronov obrazac.

I

1

na trouglove ACD i CBD (sl. 83) dobija se: h 2 = b 2 _ b12 , a 2 = hl +(c- bl )2. Odatle sledi da je 2 2 l a = b + c - 2cbl · Ovaj obrazac se naziva Kamoov obrazac.

1133.

I

b

0

1 1

D

c-b,

,

~"

Kako je M'AD - "'PCB (sl. 84),

(2) x = ::....:'7--=-

Y

Tada prva jedna¢ina (1) postaje:

onda j e PA ;PC=PD :PB.

------

2a

1 I

jer je ugao P zajedni¢ki. a L.B = L.D, kao periferijski uglovi nad istim lulcom AC,

a 2 + c 2 _b 2

C

1131. Primenom Pitagorine teoreme

tvrdenje je ta¢no.

1128.

( 1) h'=c'-x'ih'=b'-(a - x)'.

l ednakost (4) i (5) odreduje nepoznatu visi nu h I; . 2 ' ~ ..

- - . Odavdc je b2

Analogno prethodnom zadatku, aka je x stranica tra:!enog kvadrata, a,h i h,h' stranice i visine datih rombova, lada jc Xl =oh+bh'= y~ +z ", gdeje: / =ah i z~ = bll' itd.

iii 12

Odatle sledi tvrdenje da je:

c ~

PA·PB =PC·PD. 51.14

299


1134.

Iz sl itnOSli trouglova PAM i PMB sledi IVrdenje.

1135.

Nema UpulStv3.

1136.

Konstrukcija. - Neka je

BC .1 AD i BC ca

odatle BC = 4D£ i AD = 4DE. Prema tome sledi da je A£ = 3DE (sl. 86).

=::..2 Kmini-

k(C.~t sece duz AC u

lacki D, a krui.nica L(A, AD ) dUl: AD u tacki M. koja deli dUl AB po zlatnom preseku .

l

c

Dokaz. - Aka se iskoriste A prcthodni zadatak i slika 85. bice: ( I) AB' = AO·AE. Neka je AM = x: tada je A£ = a+ x, pa (1) pos laje x(x+ a) = a~ ~ x 2 = a(a- x)

S!.8S

Aka je h ipotenuza 2x i na osnovu s lienosli odgovarajucih Irouglova imamo: 30:10= 2x:(I0 -x) o x=6(:;> 2x= 12.

1147.

Neka je BE 1. AC, E E AC, tatka G presck dijagonala. Na osnovu

vog ugla, 1148.

~.

..!.. 90<>, znaci 4

ugao EBG je polovina pra-

45<>.

Neka su dodime laeke na kracirna DiE, a na osnovici F. Kako je AD = AF SF = BE = 9, CD = CE = 18. lz slicnosti trouglova ABC i COE imamo : AB:DE = AC:CO" 18:0E = 27:18. ad"I,),

=

Q

OE= 12. 1149.

~to znaci da se tacka M, koja deli duz a po zlatnom prcseku moze

Precnik AD sece osnovicuBC u taeki £ . Iz pravouglog trougla ABO, hipotenuzina visina

racunski odrediti. o w j ednacinu

a&

1139.

X= - . n-m x=30.

1140.

Iskoristiti Karnoov obrazac. Tupougli; h = 12.

11 41.

Ako se dijagonaJe AC = d i BD = d pravilnog petougla stranic~ a seku u lacki M, onda je I1ABC - MeM. Iz s li cnosti sledi da JC d:a= a:(d- x), gde je AM = x. Treba dokazati da je a x AM, odak le sledi tvrdenje.

BE~ = AE 'ED(~) Z = h(2r- h). Zamenom

a= 2r -

u

2 h dobija se h = Sr.

1150. Neka je BC osnovica trougla, a DF = 2r precnik kruga (8CllDF). Trouglovi ABC i ADF su slicni, otuda imamo: 12:2r = 9:(9 - r) <> 12(9-r) = ISr" r = 3.6.

= =

300

1146.

a:x = x:(a-x). c imc je

<>x=i(.J5- I).

Pravougli trouglovi ADE i BAD su slicni, jer su im j ednaki uglovi DAE i ABO (zaSlo?) , ladajeDE:AD = AD:AB. Kakoj e AB = 2AP, to jc DE :AB = 1:2. Znaei. DE je polovina stranice AD iii cervrtUlB

odOC.

,

Na osnovu zadatka 1136. sledi: PD 2 =PA'PB i PA.PB=PE l, odailejePD 2 =PE 1 -=-PD=PE .

pretpostavke ugao EBC = Q

AC!=AB~+BCle(x+~r =a2 +(~r ex+~=J~:

1142.

,

1145. R = S.

dokaz zavr~en. [z pravouglog trougla je:

1138.

,

"&6

1144. x

,

Iz slicnosti trouglova FBe i DEF imamo : BC:D£ = BFDF:; 4,

1143.

1151. x

=.....!!!.....-. a+2r

(Uputstvo: iskoristili slicnost odgovarajucih prnvouglih

trouglova).

1152. r=J3dm. 1153. x= 9 dm. 1IS4. T · ABO . ACO su pravougli prtcnika AD: SD = AC. roug IOVI I • ED AE <;> ED - 10: EB=EC.PajeBE'=I44-64=80.B£ " = · -. AO=8+IO= 18. )01


1155.

Neka je AE = AC i E - A - B. Trouglovi EBC i AEC su jednako_ kraki i sli~i, pa je 2 EB:EC=BC :AC<> (b+e):a=a:b<>a = b(b+e)<>

~ a 2 = 2(2+3)~ a~ = IO~ 1156. 1157.

IIS8. IIS9.

Nema uputstva. a(s-h) h(a-s) a h • a-h 84 -em. 13 18 em, 7 em.

0=

VIII GlAVA 8. TRlGONOMETRlJA PRAVOUGLOG TROUGLA

JlO.

8.1. Trigonometrijske funkcije oJtrog ugla . Osnovne trigoo()metriJske identifnosti. Re§avanje pravouglog trougla .

4

3

4

3 .

3

4

1160. sma = -,eosa = -, tg a = - , cotga =- ,sm/3 =-,cos/3 =-, ild. 5 5 5 4 5 5

Ji, eosa = fI, tg a = .fi, eotg a = J2.

1162.

sin a =

1163.

19,2 em, 14,4 em.

1164.

30 em, 24 em.

1165.

a)

Vl

3

2

1168.

2'I ; b) 2; c) 2. 213 4.fi a) I' b)O·c)-·d)-.

1170.

Ig

1171.

a) eos a =

1172.

,

,

3'

3

a = I; a = 45°. 4

3.

4

'5; tg a = '4 I COI~ a = '3;

4a a"-4 b) sin a = - ,- ; eosa = -:;---4' a +4 a- + 9 40 40 a) sina =- eosa = - i eotg a =-;;-; 41' 41 , 2 • 0 _9 a 2 -9. b)sma=, - , tga=-6a. a +9

2 6a 0 - 9 e)eosa=-tga=-. a 2 +3' 6a

1173.

31

99'

302

303


1174.

Leva strana date jednakosti moze se identicno transfonnisati na sle. deci naein: sin ~ a +005 2 a+sin 2 acos! a = sin" a(si n 2 a +cos 2 u)+cos 2 a = sin 2 a +C05 2 a = I. Vati za svako a.

1190.

Na osnovu Pitagorine teoreme jc:

e = ·h04' + 297' =

.

Kako Je 19 a =

~92416+ 88209 = JI80625 - 425 em. 304

a

b:=> tg a = 297 :::- tg a = 1,02357 => a = 45° 40',

12 date jednakosti sledi sin a+sin fJ = I ::::.sin a= i -sin 2 p ~ 2 ::::. sin 2 a=cos f3. Kako su ugJovi a i f3 ostri , to je sina>O casp > 0, pajesina = cosf3 ¢:> sin a = 5in(900-,8)0 ' o a = 90 -fJ <;> a + fJ = 90°, tj. trougao je pravougli .

1191.

a) a = 1,662 em, b = 1,496 em, ,8 = 42".

1183.

Karistiti obrasce za komplementame uglove .

1192.

a)b=63em,a =1 4" IS.

Jl8S.

A= L

1193.

a)e=53,12em,b=45,05em.

1186.

a) Iz sistema 2sina+3cosa = 31\5in 2 a+cos 2 a = 1, nalazirno

1194.

a) b = 380 em, a = 34" 39'.

~). . 3 4. ..fi b)sma=-,cosa =-' c) sma = cosa = -

1195. a) b = 1,228 em, e = 2, 123 em.

1181.

2

2

1

(sin a = OAcosa= l)V(Sina= 12 Acosa = 13 13 '

5

5'

1197.

2 .

( )'

.

I

.

I

3

::::.2smacosa= l --:::>sinacosa=4 8'

4

sin a+cos 4 a= 2 (sin a)2 + (C05 2 a)l + 25in 2acos l a _ 2sin 2 acos 2 a =

(. ,

"

.

(3)'

sm a +cos a) -2(sm a cOSa) 2= 1-2_

1189.

g

23 =_. 32

Za ostre uglove pravouglog trougla vazi a + f3 = 90", odakle je: ,8 = 90"-28"24' = 61 " 36'. Iz definicije Irigonometrijskih funkeija u pravouglom trouglu je : a . - = sm a c:> 0= csin a c:> a = 50sin 28"24' e ' paje: 5;::: 50'0,47562 em::::: 23 78 em. ' Slieno je: b - = cos a <0 b = SOcos28"24' e ' paj. b~ 50 '0,87965 em ~ 43,98 em.

3114

a=,8 = 82"22' 19",y =1 5" 1S22".

1198.

lz date jednakosti je: (sma-cosa)= 2 pa je:

f3 = 44" 20'.

1196. b = 61,59 em. y = 75"36'.

1187. 1l88.

iz a + {3 = 90" dobijamo

a=15,886em, a=66"36'. 1199. Uociti jednakokraki trougao tija je osnoviea slraniea p~vouglog de· vetougla i krak poluprecnik opisanog kruga. Ugao pn vrhu ovog lI'ougla je devetina punog ugla. Re~avanjem dobijamo a =3.371 em. R = 3,884 em.

R = 10,26 em, r = 9,758 em. em ' d,. = 10,52 em. 1201. d I = 2157 , 1202. 4,95 m. 1200.

1203.

d = 800./3 - 507,16", 1+ ./3

1204.

mkm.

1205.

a = 52" 13' 39" , R = 7137,69N.

1206, 432 ,71 m.

305


IX GLA V A 9. LINEARNE JEDNACINE I NEJEDNACINE 9.1. Linearna

jedna~ina

sa jednom ncpozn atom

1236.

x- 3

. d •.

a) Data Jc navlna x +! = Oo x - 3 =O i\x+ l;eO

<::>x-3=Oc:> x =3, tj . re~ enje date j edn a~ i ne je x = 1 I 1237. a)x=-O,6; b)x =-4; e) x=l; d)x =1 2.

1215.

Nisu.

123B. a)y=3;

1217. 1218. 1219. 1221.

Tvrdenje je ta~no jer se data jednatina svodi Da O· x = 3. Data jednalina je neodredena jer se svodi na obtik o·x = O.

1239.

a)a ER I {O,2} ; b)xE 0. e),=3.

1240.

x= - H~ "'%)

1241.

x=3,(IxI "' %)

1242.

x=-3,(I~"' ~ , x "'0)

Nisu, jer im se skupovi

re~enj a De

poklapaju.

a) -27; b) neodredena; e) 7. I

a)2;b)l;e)-3 1223. a) -3; b) - 1,1; e) nemogul • . 1224. x = 10. 1225. x = -4. 1226. x = 12. 1222.

x=2

1227. 1228. x = 9. 1229. x =- 3. 1230. x = 1,1. 1231. 1232. 1233. 1234. 1235.

I I a) 3; b) 13; e) 5-; d)-.

3

a) 0,1; b) 20; e) O,BOB.

Data konjunkcija x+ 3 ~ OA x 2 - 9 = 0 <;> .. x+ 3 '" OA (x - 3Xx+ 3) = 0 .. 00 x-3= 0, odnosoo x = 3, tj . Rdenje date konjunkcije je x = 3; 6 b)x=-I; e) x = - -. 5

x = 16, (x'"

e) \fYER ' {H

3, x'" -4 ).

Y = 22. (I~ '" 2, Y '" - 3). Y = - 50, (y" 6, y " - I, y" - 3). 5 1='2,(111"'4).

1247. Nema rclenjc. Z~ to? I 9 124B. a)x =-I; b)x =); e)x =- B,5; d)x=\ii '

5

a) Nemoguca; b) 3; e) 7; d) 19. 5 a) Neodre4ena; b) 13; e) 3.

1243. 1244. 1245. 1246.

b)y =9;

1249.

I a)y =-I; b) y =-'6; e) y =4.

1250. a) Aka je x < 0, data jedn3cina: 1~+2(x-3)= 6<> -x+2x - 6 = 6,,<0 <> x~ IlAx<O.. Ova konjunkcija je .i, pa jednac!ina U ovom sluc3JUnenta reScnJa. Aka je x ~ 0, data jednacina:

I~ + 2(x- 3) = 6 <> x+ 2x- 6 = 6" " 0 c:>

3x=

1 2t\ x ~O

c:> x = 41\ X 2: 0o o0c datc °ednafinc jc x = 4. Konjunkcija je ta~na za x = 4: daklc rek ~ J I

b)x=-2vx=6; e) x =Ov x =l; d)x =-5vx=); 301


e)O:5xS l; f)-2::>xs3; h)xl=lVX1=3; k)x2:6; II

1251.

l)x 1 = Iv Xl =-; m)x=-2V x ?:: 2. 2 a)xE[-5.2]; b)xE[7.+o');c)xE(-~,5];

12 66.

x= 15.

1267.

x = 20.

'268.

a) x= 3; b) x=24.

1269.

a) Data jedna~ ina j e ekvivalentna jednacini:

(m- 2)(m+ 2)x = -(111+ 2). Za egzistenciju rdenja date jednacine u zavisnosti od realnog parametra posloje slcdcce mogucnosti : I s lucaj . - Ako je ( m- 2)(m+ 2);t. 0, ti.

1252.

m yt.. ±2, Tada data jednacina irna broj ~ kao jedinstveno r~nje.

17

1253.

J(3,Js + 2) x= . 41

1254.

:c=

1255.

49,Js x=--.

2 -111 II slucaj. - Za 111-2 = 0, tj. m= 2. Po~to smo za m dobili sasvim odredenu vrednost, prethodno cerna odrediti jednacinu koja odgovara loj vrednosti, To je jednacina: (2 - 2)4x= -4, U. O· x= -\ i cna je nemoguca.

41 - ,[2 46

ill slucaj . - Ako je m+ 2 = O. Ij. m = - 2. Za tu vrednost parametra m data jednacina se svodi na jednaCinu o·x = O. svaki realan broj jc njeno rcienjc . b) Ako jc m -;C. ±2, m;t; 0, jednacina ima jedinstvcno reSenje

80

m-2

1256.

1257. 1258.

m(m+ 2) Za m= -2 j IJ = ajednacina sesvodi na a·x= 16, odnosno O'x= 4; jednacina je nemoguca. Za m = 2 jedllacina se svodi na O' x = 0, pa je neadredena i ima bezbraj rclenja. . 4 c) Aka je In;t! 0 i m;t! I, jednacina imajedins[veno re~nJe;.

43

x= (12 -7.,[6)( I + ,(2).

Za m = 0 nemaguca, za m = I neodredena. 1259.

d) Za

2 I

1260.

a)y=3; b)y=2';

1261.

a) x=

1262.

x = 24. x = 2. x = 10. x= 24.

1263. 1264. \265.

308

I 2';

b) x= -2.

d) y= 3.

III -;C.

3 rdenjeje _I_, a za m= 3jednacinaje nemoguca.

m-3 1270. a) Za a;t; I re~enje je x = -I, a za a = I neodredena; b) za a ~ a resenje jc x = 40, za a = 0, neodredena; a+1 . c) aka J'e a -;C. 0 i a -;C. -I resenje x = - , L'l a = 0 nemoguctl. ,

1271.

a) b) c) d)

a'

=

Za c;t: 0 re~enjc je y= le. za c O. neadrdena: . za a;t: I re~enje je y = a+ I, za a = I, neodredena~ za b;t: c reSenje je y = b+c. za b = c, neodredcna. za a ;t: b rdenje je y = b - a, za b = 0, neodredena.

309


1272.

a

2

I

+ 2b . (a;<2b).

1213. 1274.

x=

a'+b '-3ab • (b :;ta.) b -a

1275.

x=

49a' + 68a+ 23 38a+ 34

1276.

I x= ,(a;l!O,a;e-l). 40(a+ I) Za

40' 1 d) aka je a \ ~ -2 ' a ~ 1, re~enj e jednacine je x = , a ako je I-a a = I jednal:ina je nemoguca.

1

y=

1277.

c) aka je a :¢ 0, a ;t: 2, a;t: - 3, resenjc jednacine je x = 6 - a -0 ,a -2' - 3'Je dna, ., . a+)' zaa- l a-.. maJcncmoguca;

x=a'+ab+b' ,(iaI;<b). b-a a - 2b

a;l!

1282. x=a'-b',(la l ;<b,ab;<O).

1284. 1285.

0 jedinstveno resenje x = 2a, aka je a = 0 jednacina je

neodredena. Jed.na6na ima jedinstvcno re~enje x = 3a za a;t: 0, a za a = 0 jednacina je neodredena. ,. ' . di , , 36b za b b= ;t: O , a za 1219. Je d na. . lDa una Je nstveno re;:,cnJe x = -

1278.

°

neodredena je. 1280.

25

,6m J a) Za AI;t: m, resenJe x = 2;

I

c) aka je I~;t: a, b;t: 0 rdenje jednacine je x =

2b

,za

,

d) za IaI ;t; b resenje jednacine je x = _a_, a za a = b = 0 jednaCina je b-a neodredena. 1281.

a) Za lal;t.2, a;t:O. rclenje jednatine je x = 80 - 2, za a=O

jednacina je nemoguca;

I I;t: 3, n;t: 0, re!cnje jednaCine x =

b) za n

a

18n - 3, za n = 0 n

1286.

x = 20, (x;<

1287.

x=o,(a;<

o,lx l;< 2o -4b),

o,lx\;< ~)

4-a 1288. y= a+2 ,(lyl;<4.a;<-2). 1289.

z=a+b.(za l z \ ~a,a ;t;O, a~-b. aza a=-bneodredenaje).

1290.

3 x= -, (Ial;< 2,a ;< 3). 4

a+b

1l91. a) Aka je x ~ a, x ~ b, a~ b resenje jedoacioeje x= 2

~, b- c

za b = c jednacina je nemoguca, a aka je b = c = 0, jednaCina je

neodred.ena.

--- ,(a~ 0, x~O,a;t;

(a -b )'

b) aka je a;t: b ;t; 0, IaI ;t; h, resenje jednacine je x a = b = 0 oeodredena;

a -I ). 2a+2 a'(a + 2) x= ,(a ~-l, a;t;O). a+1

x=

·

b} Posle sredivanja data jednacina ekvivalenma je konjunkciji (a;< Ol\ x ;< -3x;< 1)1\(1- 60)x= 13a-4. 13a-4 I Akoje x ~-3, tj . ~-3o a;t -5· 1-6a 13a- 4 5 Zax~l· ~loa'#.-. , 1-60 19

I I 5} _~ Akoa", { 0'(;'-5 ' 19 "'x- 1- 60

jednacina je nemoguca; 31 1

10


jedinstveno resenje jednacine. Za a =

i

jednaCina je nemoguca.

c) Posle svodenja data jednacina ekvivalentnaje konjunkciji (m;< 111 x;< -211 x;< -1)11 (4m-I)x = 5- 8m. 5-8m Za x;< -2~ . - - ; < -2 => m;< -3=> m;< 0. 4m-I Za m;< -1, 5- 8m ;< -1 ¢> m;< l. Dakle, ako m f/. {I).}jednaCina 4m-I 4 . . di nstveno resenJe . x=5--8m ' m = 1, m = -1 Je . dn acinaje . Ak0 Je lmaJe 4m-I 4 nemoguca, nema resenja. d) Ako je a;< 2, reSenje jednacine je x

=

a + 3 , a za a 2(a- 2)

= 2 jednacina

je nemoguca. v

1293.

I=

1294.

s=

peR +r) , (r r(p-r) P-r'n m:

3v+ h'

1296.

1 , x="2(m-I)- .

1297.

x =-abo 2

1298.

x=2n.

1299.

x= 2n+ I 1 X=-. 2 x=O.

1301.

1302.

(h;< 0).

I

Za b;e 0 i a ;e e reSenje x = ~, za b = 0 jednacina je neodredena, a za a 0 nemoguca. a- b

=

+ 2a + 2 = (a+ I) ' + I > 0 za svako 0;

c) x = 0 za a = -1.

1304.

a) Za m'" 0 i m'" 2 resenje x = m+ 1; b) za n'" p'" 0 i JxJ;< p resenje x = ..!P...,(m,;n). m-n

1305.

Data jednacina j e ekvivalentna jednacini:

x-a _ ( a+b

c)+( x - ae _ b)+(X- be -0) = 0 a+ e

x-~-x-k

a+ b

+

b+c

x-x- k-~

a+c

{ II

+

x - ~ - ~-oc

b+e

=0

I) =0

¢>(x-ab-ae -be --+-- +- a+b a+ c b+e I

¢>

I

I

x -ab-ae - be= 011--+--+ - - ' ; O. a+b a+c b+ c

Odavde izlazi da je resenje date jednacine:

x=ab+ae+ be.

r

1300.

b) za a > -1, jer je a'

p ;< 0, r ;< R).

, (r;< 0).

1295.

3h"

;<

4(a+l) , ; a + 2a+ 2

a) Za a '" 0, x =

¢>

M) = w(n, (v ;< W, n;< M). M-n

1292.

1303.

Ako je _1_ + _1_ + _1_ = 0, data jednacina postaje identitet

a+ b

a+e

b+ e

i zadovoljena je za svako

X.

1306. Data jednacina ekvivalentna je jednacini:

-b _!_!)+( X- b _!_2.)=0 ( ~_.!._!)+(X be b ae ob b e

¢>

e

0

0

(x- a- b- e)(_1 +.!. +.!.) =O.

Ako je abc ;e 0,

be

ae

ob

.2.. +.!. +.2.. ,; 0, resenje date jednacine je be

ac

ab

x=a+b+ e. 3\3

312


1307.

Data jedn a~in a je ekvivalentna jednacini:

(a+

I)+( + 1)= {I I I) a+b+c-x ,o(a+b+ c-x -+-+-

~-x + I)+(a +~- x +

=4-

4x a+b+c

1117.

b+:-X

abc

-4

a+b+ c

lllS.

=0

4 )=0

.c:>

1308.

III 4

x =a+b+ cl\-+-+- abc

a+b+c

;e O.

Slicno prethodnom zadalku data j ednacina ekvivalentna j e jednacini:

xl +(X-b xl ( x-b a-b --;; + a _b

x+b ( a+b --;; ~

2

ab-bx a(a+ b)

ab-bx a(a- b)

~(ab-b,.1

I

,\a(a+b)

2

b-X) (a+b)2 = 0

2(ab-bx) (a+ b)'(a - b)

I _

a(a -b)

1322.

2

)-0

(a+b)'(a-b) -

1323.

.

1310.

a- 2 a+2 a+b x =l-.

1311.

x=

X=--.

(a- b)'

l;e

Aka je b + c

x=

0

Odatleje ab-bx= De x=a za ab:;t:. 0 i a:;t:. ±b.

1309.

x =6(a + b),(lxl-.ea+b). Prlmedb a. U zadacima od 1318 do 1332, treba koristiti smenu za 13 18,0 + b = c, za 1319. m+ n = b ild. a' 1319. Za a;e ±(m+ n) re~enje jedna6ne je x= - ' - m+n-o 1320. Za b+c 2, a;e 0 re~enje jednacine je x = 8(b +c)- 2 za b+c ' b+ c = 0, jednacina je nemoguCa . . . d ,. . 18(a +b) - l ,za 1321. Za Ia+ bl ;t:.3,a+ b ;e 0 rdenJ eJe nal,:LOeJex= a+b a + b = 0 j ednacina j e nemoguca.

I

(a +b+c- J 1.+.!.+!b c a+b+ c

\0

7

x=g'

;at

0, b +c;ll!: 2, b+ c;;o! - 3 rdeoje jednacine je

6 - c-b c + b+3

I . . .. 4{m+n)1 AkoJ', Im+nlot- m+notl re~enJeJednac!meJex = I ,a 2" -m-n

aka je m+ n = I jedna6na je nemoguca, 1324.

Ako je a ot 0, o+b+c x=

X;C

a, x ;t b+ c, a+ b+c ~ 0, b '# - c. rdenje je

132S.

2 m+n+3 Aka je m+ n ot 2 i m+ n ~ 3 re~enje jednaC!ine je x = 2(m+ n- 2>' a 1 • za m + n = 2 jednacina je nemog uca ,

1326.

Za

la+ bl'# I i 0+ b ot 0 reSenje jednaC!ineje x='2(a+b-I) ·.

m+n 1327. Za Im+ n Iot x rcl:enje je x = U'

2(a+ b) -I

I

Za m;e 3, x = - - , za m = 3 neodredena a za m = - 3 nemaguca. m-l 2m+2 1313. x=

" 132S. Akoj, Ixl"(m+n) 1 rclenJ'J,x -i

1314.

1330.

1315.

x= 1. x= 3.

1316.

x =O.

1331.

1312.

m-2

314

1329.

3(a+b) e Za '# ~(a+ b) i 0+ b ~ 0 rc~enje jednacin je x = 8 2 2 2(m+n)+l SO ' xZa l m+nl;e"2 ,m+n;e 1m n 3' -2(m+n)-3 . I Zalm+nl"~; m+n,,-I, x= 3(m+n+lj' 3

Ixl

+;e

lIS


1332.

Za 0+ h ... ±3, jednaCina ima jedinstveno resenj e x = - -

1333.

Data j ednacina ekvivalentna je jednacini:

__

a+b+3'

1345.

x=

1346.

x = b, (x ... 0, a ... 0, b ... 0).

x-o cI) +33x - - I ) + (x-b - - - I ) + (-x--=Oe:o (h+c c+a 0+ b a+ b+ c

1347.

x=ab, (a ... ±b).

J 1 1 1 (x -o-h-c~b+ c + c+a + o+b -

1348.

x = a + b + c. Uputstvo . Brojilac napisati u obliku

3) a+b+c =0.

(X~a2a + 1)+C~b2b + 1)+ C~C2C + I}

Odatle se dobija resenje jednacine x = a+ b + c.

1334.

Data jednacina ekvivalentna je laneu ekvivaleneija

(b - e)(-I- -

x-a

_1_) _(a _ d)(_I__1_) = ° x -d x -b x - e

(b - c)(a- d) (x -a)(x- d)

°

(a - d)(b - c) = (x- b)(x-c)

¢'>

(x- b )(x- c) = (x- a)(x- d) <>

ad- be ,. a+d-b-e

(x"'a,b,c,d i a+ b ... b+e). 1335.

x = m, (m ... 0).

1336. 1337.

x = ab, (101'" b). x = b, (ab ... 0).

1338.

x=

1340. 1341.

a' + 2b' a+b

2a x = --,(a'" b,x'" a, x ... b). a+b

1350.

x = I, za a ... b; za 0 = b neodredena.

1351.

Za a'" c, x =

1352.

Za a ... 0, x

1353.

Neka je x - a = I, x - b = u, tada data jednacina se svodi oa jednacinu u 2 - 3u = 12 - 31. Ako se vratimo na nepoznatu x dobij a se 2(a - b)x = (a - b )(a+ b+ 3). Ako je a ... b;t :!: I, jedinslveno resenje

,(Ia l;eb). x=

x =_2_ (x ... .!. x ... .!. a+b ... a+b' a' b'

o) .

I . .. Za x ... - - resenJe Je x =

4a

+I

1342. 1343.

x = -2a, (x ... 0, x;e ±a). x=a, (a ... O,X ... 0).

1344.

x = a + b + e, (data jednacina je ekvivalentna jednacini _I)+(x- b _I)+(x-e ( x-a b+e e+a a+b

-I)

2a-

za a = 0 neodredena.

.

. Ako Je a = b, neodredena.

1354.

- 2- .

a

3

=- "

a+b+3 2

a+c 2 ' za a = c neodrede na. a-+ac+ c

,

9.2. Primena linearnih jednacina sa jednom nepolnatom na resavanje raznih problema

x =-91.

a

316

1349.

¢'>

(a+d-b-e)x=ad-be ¢'> x =

1339.

1 ,(x ... ± I). a- +a+ 1 ,

x:(45-x)= 7 :8; 21 i 24. 5 1355. _x_=2+__; 14i 33. 47-x 47-x 3 1356. 5

= 0).

317


1357.

"3

. broJ!"1 ae 2 x. N a osnovu uslova Neka je imenilae razlornka x, lada Je zadatka je: 2

jednaka je 7,9 km/s, druga kosmicka brzina jednaka je 11 2 kmls treea kosmieka brzina jednaka je 16,4 kmls . " 1368.

51 + 61 = 55, posle 5 easova.

1369.

601 = 80C t - 2,5); u 16 h posle 300 km.

3 Razlomak koji zadovoljava postavljeni uslov ne postoji.

1370.

301 + 221 = 728; posle 14 sekundi.

1358.

15,4; 1,54.

1371.

1359.

25.

1360.

lednaeina koja izlazi iz postavljenog uslova je neodredena, pa su traieni brojevi: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.

1361.

36.

1362.

45+ x = 2(x+ 22); kroz jednu godinu.

-x+5 3 x+ 15

.!. 2x + 15 = x + 15x = O.

1363. (x- 5)4 = x+ 18- 5; majka ima 29 godina, keerka 11 godina. 1364. (x+ 1)(x+ 2)-(x-1)(x- 2) = 600 ¢> x = 100. 1365.

1372.

(I I I)

- + - + - 5= 1,30 dana. 10 IS x

_1_ + '!']3 = 1;9easova i 45 minura. [4.!.3 x

1_] x = 1; 3 easa i 28 miDuta.

_I __

1373.

Neka je traieno rastojanje x km. Tada je rastojanje po etapama:

[

I.!. 2.!. 3

xkmxkm''''km . ! "6 ' a vreme po etapama Je:

"2

x

"3

x

x

.l..; ..1.. i ~. 80 60

1374. x+(x+ 20~) +(6':'+ 6':" 20) = 14500; 100

5 100

1375.

I. 4000 d; ll. 4800 d; ill. 5760 d. I. 6000; II. 8000; ill. 10 000; IV. 12000.

odakle nalazimo da je x = 1440 km.

1376.

3 em.

x

x

Neka je srednja brzina jednaka x km/c, a rastojanje izmedu A i B, 9.3. Lineama funkclja I njen grafik

s kilometara. Tada je: ss2s 112 -+-=-¢>-+-=-I\s¢O 9060 x 9060x ' 2'180

¢>

1367.

5

Po uslovu zadatka je:

160 + 180 + 240 = 23,

x

1366.

40

6

x =- - = 72 km/c.

1378. 1379.

5

Ako je pFYa kosmicka brzina x km u sekundi, tada je druga (x+3,3) km u sekundi, a treea (x+3,3+5,2 ) kID u sekundi. Na osnovu pretpostavke sledi: x(x+ 8,5) =(x+ 3,3)2 + 4, 12, odakle nalazimo da je x= 7,9 km u sekundi, tj.: prva kosmicka brzioB

Antidomen

) (59)}

B = {1,3,5,7,9};f = {(l,I),(2,3),(3,5),(4,7, ,

1380.

.

I( -2) = -5; 1(0) = - 8; 1(3 - 1.(0)) = I; l(f(x» = 3 (3x- 2)- 2 = 9x- 8, l(f( -x» = 3 (3 (-x)- 2)- 2 =-9x- 8. I(b)=ab+b }~/(b) = 1(f(0» = a (a'O+ b)+ b == ab+ b

I(f(O»)'

1381. l(f(x» == 3 - (3 - x) == x. 318

319


1382.

a) Grafici svib funkcija zaklapaju isti ugao sa x - os om a imaju razlicite odsecke Da y - osi (51. 87);

1385.

Ako je x < 0, tada je x y=x--=x-l. x Ako je x > 0, tada je x y=x+-=x+l. x

x SI. 92

Promene date funkcije prikazane su tabelom: x

y 51. 87

a) Za x < 0, y = -x-I, a za x ~ 0, y = x - I. PromeDe date funkcije su prikazaoe tabelom, a grafik ima oblik (51. 89).

I:: '"

x Y

/

II

-I

-I

0

0

'"

-I

/

0

/

e) graftk je prikazan na slici 90; f) grafik je prikazan Da slici 91. 1

+1

/

+'"

a grafikje prikazan na slici 92. Tacke A iB ne pripadaju graflku jerza x 0 funkcija nije definisana.

=

1386. m= 2, y= 2x-4. 1387. k = 4, y = 2x - 3. 1388.0=2, y=-2x+4. 1389. m= 5. 1390. m = 4, Y = 2x - 3. 1391. 0=-1, f(x)=-3x+5. 1392. a) Za x<-I i x> I, y=2x -2; za - I < x < I, y =- 2; b) akoje x <O, y= 2x-I, akoje

OSx<I,y =-I,iza x ~~y=l;

1

Y

c)zax<-I,y= -I, za - I S x < I, y = x i za x 2: I, Y = 1. x

---';.,

:.s

1393.

(-2 S x < 0) I"I..J- 2x-- {-3X, -x, (OSxS4) (51. 93);

51. 89

+'"

51. 88

b) imaju isti odsecak na y - osi, a razlicite ugaoDe koeficijente (51. 88).

1384.

I::

0

SI.90

51.9 1

b)B= {~-4SyS6}.

51. 93

321

a20


1394.

1396.

a) Za -4 :Sx< 0, I(x)= -x-4; za 0 oS x oS 4./(x) = x- 4, (,1.94) ; b) B = {yj yE (-4, OJ) .

y

"

. 2 I 0 I . 4 1406. a)AkoJc p+ = .e:>p= - '2, prava Je Y=- 13;

o

a) Nekaje x-2 = t, tadaje f(l) = (1+ 2)+ 3 = 1+5" f(x) = x+S; b) aka je x+ 1 = t, tada je f( l) 3(1-1)- 4 31 - 7 .. f(x) = 3x -7;

=

5 b) 3p -S= Oe p =} ' x=

1407.

51. 94

3m - 2"+ 5 m-n

x

a) Primenom formule j -'(f(x» = x dobija se

f-'(J X- I)

1408. A=6,B =-6.

funkciju . Smenom ..!.x-l =

1409. S(I,-3).

2 sex=21+2; tadaje (I) = 21+ 2 (,1.95) bl r'(x)=-x+3;

dohija y

r'

2m - 5n+ 1

m-n

.

, treba JC

1/1 2m-5n+ I = 0, odavde sledi daje

m-n

,It

1410.

Y = x-I.

1411. 1412.

m=4, y =21x1 - J. m= 2. y= -21-'1+4. 9.4. Sistem linearnih jednafina

1413. D• . 1414. 1415.

b)(S, 2);

c) (3, I);

d) (4,

n

Primenom definicije kvadratnog korena dobija se:

y

1416.

=.Ix' +~(x - 5) ' =IxI+ Ix- ~ itd.

a) Linearna funkcija y = 10: + n sadrfi koordinatni pocetak aka jc odsetak na y - osi n = O. Kako se data funk cija svodi na ablik

5

3-4p

. 3-4p

y =3 x +~toJe-3-=Oo

3-4 p

b) - 3-=5<> p=-3.

322

,

,

c)r'(xJ =.!.x+2; 2 d) r'(x)= - x+2; e l r' (xl=-3x - 3; f) r ' (x) = 5-x.

1405,

m-n

x+

II 3 b)m= -"1,n=-"1'

= x.

Re!avanjem ave funkcionalne f - I dobijamo trazenu t

3m-2n+S

m=-3, n= - 1.

jedn a~ine po

1398.

a) Data funkcija j e obhka y =

uporediti sa jednaeinom sirnctrale I kvadranla y =X, pa je:

=

c) f(x)="2+ I.

1397.

20

'- 13'

3

P="4'

.)(-2,3); b)( 3, -2); c) sistem neodreden (( a,

}

-5t

-a- IIaE R '

d) sistem neodreden (~~~ ,a E R). 1418.

l

aJ (8,-4); b) (5, 2); c) (5. n · d) sistem je nemogue.

1419. (-4, I). . sve uredenc paro vc kOJc . ( 01'0) re~nJa. tJ 1420. Sistcm ima bex braj . ron > _ 2 == 0 udovoljavaju j cdnaclnu 4x- 3y 323


1421.

(1,3). I

1422.

1423.

-.!.) ( .!. 2' 2

(13,

I

c) smena: - - = u; - - = v, (I, 2); x+2y 2x+ Y

t

d) smena:

2 17

I

x+ y -I

u;

I

x- y + I

= V; (5, 4).

1425.

(4, 3). (0, - 2).

1440.

I ) Smena: - = u, - = v, (1,5; 2,5). x y I I )) Smena: -; = u, = v, ( "3).

1426.

(-~'-H

1441.

) I Smena: - - = u, - - = v, (4; 4).

1427.

a) (3, 4); b) (5,-3); c) (8,5);

1428.

a) Nemoguc;

1442.

(7, 3).

1429.

(2, I).

1443.

Smena:

1430.

(3, 2).

1431.

Svi uredeni parovi koji pripadaju pravoj 5x- 2y datog sistema.

1444.

(3, I).

1424.

1432.

(3' H

1433.

(3,2).

1434.

(5,10).

1439.

d) (3, 2).

b) (1,-3).

= II

su resenja

1436.

(5, 4).

1437.

Sistem je neodreden, svaki uredeni par koji pripada pravoj x + 5Y = 5, je reSenje sistema.

1438.

a) Uvodenjem novih nepoznatih,. na primer.!. = u, .!. miSe se u ekvivalentni sistem: x y

2x-

I

= u, 3x- 2Y = v, (5,3). y

3

1 =u,5x-4y+l= v,(5,4). 3x- 2y- 2

1446.

Smena:

1447.

Smena: x

I

= u, -I = v, (a, b). y

(a+ b, a- b). 1449. (5, 2).

1448.

14u+24v= lOA 7u-18v=-5, odakle se reSenje dobija Gausovom metodom: I I d . 1 1.1 . 1

u="7,v=3,ata aj e-;="7 I =3'

Y

pa kona~no dobijarno re~enje sistema (7, 3);

32A

y -3

x-2

I

5;

1445. (2, H

1435â&#x20AC;˘ . (3,2).

b)(~.;}

y

= v,

transfor¡

1450. (-2,-5). 1451. (2, 1) 1452. Smena: 1453.

1 _ 1 - u, 2x- y+ 3 2x+ y-

=v, (I, I).

(3,-1).

1454. (5, 3). 1455. (21,-2). 1456. (-14,1). 1457. (5,3).

3lS


re~enja .

1458.

Sistem je nemoguc. nema

1459.

(3, 2);

1460.

(%, 121} (~, ~I).

1461.

44 _ 39). ( 7' 7

1462.

Ako je x ~ 0, y ~ 0 tada sistem postaj e x + y = I, x + Y = 1. Resenja su svi uredeni parovi ciji je zbir clanova 1. Za x < 0 i y < 0 sistem postaje x + y = -I, x + Y = -I. Rdenja su svi uredeni parovi ciji je zbir clanova - I.

1463.

1468.

(-5, 2).

a) Ako .~e prva j ednacin~ pomnozi sa 2 i dod a drugoj, zatim se prva pomnozl sa 3 I doda treeo] , dobl]a se ekvivalentni sistem:

x+2 y - 5z = 6, 5y - 8z =17 , 9y-19z=26.

( I)

Eliminacijom y iz druge i trece dobija se jednacina 23z = 23, pa je sistem (I) ekvivalentan trougaonom sistemu:

x+2y- 5z = 6, 5y- 8z= 17 , 23z = 23.

(2)

(2, I).

1464.

~)'(-I-I)'(I I)(-~2' -~). (~2'3' , " 3

Iz sistema (2), sukcesivno iz trece jednacine, dobije se z = I, iz druge re~enje datog sistema je uredena trojka (I, 5, I);

1465.

(5, I).

b)(-I,~ , n

1466.

(2, I); (8,13).

1467.

a) (2, 3); b) (4, I); c) da bismo izbegli rad sa razlomeima, korisno je izmeniti redosled jednacina i za prvu jednacinu, ako takva postoji, uzeti onu jednacinu u kojoj je koeficijent uz prvu nepoznatu I iii -I. S obzirom na ovu napomenu, urnesto datog sistema uzima se ekviva路 lentni sistem:

y = 5 i, na kraju, iz prve x = I; dakle

x+y=-I, 2x+y=0, 3x-2y=7. Ako prvu jednacinu pomnozimo sa - 2 i dodamo je drugoj, a zatim prvu jednacinu pomnozimo sa - 3 i dodamo trecoj, dobijamo ekvivalentni sistem:

x+ y= -I, - y= 2, -Sy= 10. Iz druge i trece jednaCine dobijamo y = -2. Zamenom -2 urnesto y iz prve jednacine naJazimo x = I. Prema tome, uredena dvojka (1,-2)jejedinstveno reAenje datog sistema; d) primenom Gausovog algoritma dati sistem ekvivalentan je sistemu x+ y= -1/\ - y= 2/\ -3y= -3. Prema tome, za y se dobije iz druge jednacine y -2, a iz trece y I, 搂to je istovremeno nemoguce; dakle sistem je nemoguc.

=

=

e)(4, 5. 6);

I, -

1469.

3); g) (10, 5, 2). a)(5, 11, 17); b)(4,1 , -I);

1470.

(5,3, - I).

1471.

(-5,8,7).

1472.

Sistem je neodreden.

f) (2,

d) (4, 3, 2);

e)( I, 2. 3);

(I ) e)(I,-2, 3);

d) 1' 2' ,-1 .

1473. (11,4,5). 1474. (12, 24, 36). 1475.

(-10, 30, 20).

1476.

(2,3,1).

1477.

(2, I, - I).

1478.

(-1,6,8).

1479.

(1,2,5).

1480. (9,7,3).

1481. (6,2, I). 1482. (6,2, - 2).

326

327


1483.

(6,4,2).

1503.

1493.

1496. 1497.

a)(2, I,- 1); b)(-I,6,8 );

c)(-2,2,3);

1498.

a)(5, 6, 7); 0) (2, 3, 4);

c)O , 2: 3);

1505.

1

1

1

1

zyx

1

1

y

zyx

1 v, - = I, (1 , 2, - 2). x

b)(7 , 6,5); t) (2, 3, 4).

d)(4.5,6). d) (4,3,5);

1 1 1 . a) Smenom - = II, - = v, - = t dati sistem ekvivalentan je sistemu: x y z 6u +4v+5t = 4/\ 311+ 8v+ 51 = 41\ 9u - 12v-lOt = 4 ¢ I 1 1 u =- Av=-At=3 4 5

b)(6, 12,8); c) (4, 3, I);

I~ (Smena: 1. = u..!. = x

y

Data produtna proporcija ekvivalentna je sistemu: 333333 333 -+- - = 7A---+-= 1111.--+-+ - = 5. xy

xz

1 Nekaje xy

yz

xy

Xl

1

=11,

yz

1

xz =v, yz =1, tadaje

xy

1

yz

xz

xy =3,

1 Xl

1 =2, yz

8

="3'

2 1 J odatle x=±3 'Y=± 2,z=±4' 1506 . (3,2, 1). 1507. • )(8, 12,4,8); b)(l.l. l. l): c)( I,- 1.2, -1 ); d)( I.2.l.4). 1508. lzraz ab - cd(a, b,c. d brojevi iii izrazi) dogovomo se zapisuJc obliku kvadratne $erne

( lOati

1:

U

~ 1 i naziva detenninanta drugog reds

I: ~1=Ob - Cd )

a)l~ ~ 1=1 '5- 2'2=5-4=1;

Rdenje datog sistema je uredena lTojka (3, 4, 5);

328

1

1504. (-1.1.2).

m(Ao+Bb+Cc) b- n(Ao+B+Cc) c- P(AO+Bb+CC)) ( Am+Bn+Cp' Am+Bn+Cp ' Am+Bn+Cp ' (5,10, 15). ' '. (9,10, 17). 0,4,7).

ISOI. ( 1,3,5).

3

z

0-

1500, (4, 2,

2

Zalim smeRa : - = II , - =

(99; 112,5; 504).

1499.

2

zyx

(51,76, 1).

1492.

1495.

' (4.2, 1).

Dati sistem ekvivalcnlan je sistemu :

4

1490. (0, I, 3). 1491. (3, I, 1).

1494.

=1

-+---= - 3/1.---+-= -111-+-+ _ = I.

1488. (4, 2,12) 1489.

1 1 1 =11, =v 2x+3y 3y+4z . 3x+4z

1502. Smena:

(1, 10,100). 1485. (3, 5,7). 1486. (-I, I, 2). 1487. (6, 4, 2). 1484.

• I go ) 2 +b'·, b) 4; c) - 2; d) 0; e)o'-b'; t)a 2 - b'' -; h)Xl_yl;

d) (4, 3, 2).

v..!.z = t ). 1509.

329


/

2 4/

1 5 10-4 6 - = -3 = 2, Y = 2 -1 1=2+1 11

1511.

• d ' sistema Je ure em par (3 2)' ' ,

1

1516.

b)(4,f} 1510.

X"

re~enJe

c)(2,-I);

.

1517. (a 4 +a' b' +b', -ab(a' +b' )).

(I

1518.

(-b' , b(a' : b'» )

1519.

(~,~). (a 'I' 0).

a) Ako je m 'I' 2 re~enje sistema - - , 2(1-m») , a za m = 2, sistem je nemogu6; 2-m 2-m ( ) b) ako je iaI'I' 4, sistem ima jedinstveno resenje _1_ , _2_ , za a = 4 neodreden, a za a = -4 nemogu6; a+4 a+4 c) ako je ab'l' 0 re~enje sistema (3b,-2a), a za a = b = 0 sistem je neodreden; d) zaa 'I' 0 jedinstveno resenje (5, -a), za a = 0 sistem je neodreden. a) Za m'l' 0 i n 'I' 0 jedinstveno resenje (m, n) a za m = n = 0 neodreden; (3m+ 8 4 b) sistem ima jedinstveno resenje , ,m ; m +6 m'+6 c) ako je m'l' 0 i m'l' 3 jedinstveno rdenje:

9)

m+l)

(a~b ' a!b).

d)(3, I).

.

. .

m+2 - , - - , za m= 0 I m= 3 slstemJe nemogu6; ( -m m-3

°

(_1_, ~),

d) za a + b 'I' jedinstveno resenje a za a + b = 0 sistem je nemogu6; a+b a+ b e) za a"# 9 jedinstveno resenje (-a - 11, a + 9), za a = 9 sistem je neodreden; f) za a 'I' -6 jedinstveno resenje (10 - a, a - 6), za a = -6 neodreden. 15U.

abc abe ) 1515. ( ab + ac + be ' ab + ae + be .

b) Za Ia 1"# b jedinstveno re§enje

(~, _b_); za a = b sistem je a-b b-a

nemoguc, a za a = -b neodreden;

c) za lal"# b re§enje (_a_,_b_); lal = b neodreden; a-b a+b

1520. (a- b,a+ b), (ab 1521. (a+ b,

'I'

0).

~). (ab 'I' 0).

1522. (a,a+ b). 1523. (_a_, _b_), (a 'I' 0, a '" b). a+b a+b

1524. (a- b, b-c). 4

1525. (

3

a • a (I+a+a :» )(a",0, a ", 1). (1 +a)(1 +a' ) (l+a)(1 +a-) 3

1526. (a +b 2b"

3

a' +ab-2b')(a= 0, b'" 0). 2b

1527.

1528.

d) za Ia 1"# 3b i ab "# 0 resenje je (a + 3b, a - 3b).

1513. (a,-a). 1514. (a- 2b+ 3c,a+ 2b- 3c).

1529. (a,-a).

331


1530.

Dali sislem ekvivalenlan je sistemu:

x-c a+b

y +b y+b-a-c x-b-a- c + =0. a+c o-b b+ c Rezultat: (0 + b+c,a + c - b)_ 1531. Iz prve jednacine koristeci osobinu praporeije: a ka j e ~ = E, onda n q . m+n p+q _. 2x o+b-c a+b-c Je - - = --, dablJase - = <> x y_ m-n p-q 2y a+ c -b a+c -b

1536. «a+b)',(a-b)'). 1537. (2 11 + I, ] - 2n).

- - - I + - - - I=O A

Zamenom xu drugoj jednacini nastaje lanae ekv ivaleneija

o+b-e

"---"---..:. y + c

"a-,-+".c_-"b,-_ = a+b - Co (a+ b)( y+ b) = (a+c)(a+b-c) +c(a+ c) ~ y+h o+c a+c b (a+c)(a+b-c)y (a+ b)y= c(a+c)- b(a+ b)o a+c -b

1538.

a)( 2n- l, 2nn+ I} b)(a l +b 1 ,a 2 _b 2 ),

1539, a = 2, b = 2 iii a= O,b=O, 1540. a =l ilio=-2. 1541. a)a = 3; b)a=-2. 1542. a)m=-3 b)m=3. 1543. k .. 2. 16

8

1544.

P=i7 , q=i7

1545.

a) Sabiranjem sve tri jednacine dobija se: (m+ 2)(x+ y+ z) = ml + m+ I. Aka je m.,t - 2, tada je:

(a + b)(a+ c) - b(a+ b) -(a+c)(a + b) +c(a+ b) hi y = c(o+b)-b(at 0 a+c h c(a +b)-b(a+b) y b =c(a+b)-b(a +b )o a+c

( I) x+y+z =

x(1-m)= y(I -m) =

ab+:~+

Cb+:::"+bc ' be} . . 2 1533. Zak = i1 sistem Je neodreden, y> 0 za x> 5' 1534. a) Za

z(l -m )=

101" b i ab .. 0 relenje je (a+ b,a- b).

Za

b) zaa b .. 0 J'ed'mstvenordenJe . (a+b . 0 - - , _a - b) zaab=Oslstemne· dreden; 2 2

2:e::b;t 0 reknje (a: b,a: b). je

d) (0

3

-

b

3

,0

3

+b

l

).

1535. «m+n)',(m-n)').

a za

ab = 0

sislem j e neo-

.

m+2

Kombinovanjem (I) sa sve ui jednacine dalOg sistema dobija se:

y =a+ c -b, x =a+b- c. (a+b-e, a+ c - b). 1532.

m 2 +m+ 1

m;t;

m2 +m+1 m+2

ml+m+ ]

m+Z

2

m _ 1

1 = - -. m+2 (m -I )

m=--,

m+Z

2

m 2 +m+1

m+2

1

-m

=

(m _I )(I _ m ) +2 -

m

J dao 'sistem ima jedioslVeno reknje :

m+ I I ( I +m)') (- m+2'm+2' m+2 ' , . J-ednu jednatmu: Za m = I dati sistem se SVodl same na x+y+z =l, ~ja za x=aER i neodreden J'e i ima beskonac!no ~og~ ---Aena troika - -"cnje sIstema W~ 'J y ={JER,z=l-a- fJ ,paJe l~ (a.f3.I- a - fJla E R AfJ E R> 333

332


9.5. Primcna sistema lin ea rnih j cdna fina n. i . . re avanJe rll2n1h problema

Za m= -2jednacina (1) poslaje: O(x+ y + z) = 3, fada je sislem nemoguc; b) sumiranjem sve tri jednacine dobija se:

1550.

(0+ b+c)(-,+ y + z) ~ O. Kakojea+b+ c~ O. ondaje x+ y+z = 0, paje x+ y= -z. z+x=-y.y +z=-x.

x

1552.

0, 0, (0+ b)(-z)-cz + b-a~ 0,

1553.

(b+c)(-x)-ax+ c -b~

odakle se dobija jedinstveno rdenje

1554.

L:~!c' a:~:c ' a!~:c).

1555.

1547.

(b 1 - be + c 2 , 0 2 -ac + c 2 , a 2 - ab+ b 1 ). Ako se prva jednaeina podeli sa ab, druga sa ac, a treea sa be.

(abe.,e 0) dobija se sislem

yxcxzbzya b a o b a c a c c b bc

.

.,'

-+-= -11- + - = -11-+- = - . Zblr sve tn Jednacme

1556.

c2ab

acbc

(C-d)(b-d) (a-d)(c-d) (b-d)(O-d)) 1548. ( (c-o)(b-o) '(0- b)(c- b)' (b c)(a- b) . 1549.

(a-3

6

~

'3'

a+ 6 a+ 12)

3 •

3

.

x

.

(6,3).

S 7

9 7 Na osnovu pretpostavke dobija se jednafina: y'" (x-I)(y- I)= I. Po~to celi brojevi x- I i y - I imaju proizvod I, 10 tra1eni par (x, y ) mora bili re~e nj e sistema: (x-I = Ill y -I = I)V(x- 1 =- ll\y-I=-I ), odakle izlazi

relenjc (0. 0) ;!i (2, 2). OlOaee se sa x i y teiine u ki logramimn prvog i f rugog metala u splavu. Na osnovu prerposlavke dobija se sistem: px qy 100b-aq ap- IOOb x+ y=al\-+-=bo x= I\y= 100 100 p-q p-q

. . -+-+X Y Z=I-( C . slstemaJe - +b -O + -). Odavde Je

ab

22; (9, 10).

xy ~x +

c) (-obc,ab+ bc+ac,-a- b-c). 1546.

f~

1551___ (x+ 3):(y + 3) = 1 : 2 1I.l = 2 +~; sistem J'e neodreden

Dalje dati sistem svodi se na oblik: (c+o)(- y )-by+o-c~

4x+(y+ 4 ) ~ SOA 3-,-

1557.

Neka je p prost nepat8n broj. a x i y prirodni brojcvi. Tada je: x'- y' ~ p"' (x - y)(x+ y)~ p. Po~to je p prost broj , tada Je: p+1 p-I x - y= I l\x+ y= P Q x = 2 I \ y = 2' Dakle, prost broj p moie se predslaviti kao razlika kvadrato dva . p-I prirodnabrojax 2 - yl akojcx= p+ " Y=T'

1558. Na osnovu prerposlBvke sledi: 25 _ 7' 2S =5' 25x' - y' ~ IDS'" (x- y)(x+ y)~ I·IOS~ 3· .Poslednja jednaCina ekvivalentna JC slsleml~35)V (x- y = 7 II (x-I ~ IA x+ y ~ 10S)V(x- y= 3AX+ yAx+ y~ IS)V(x- y~ SAX+ y~ 21), odakle izlazi da je:

1

1

2 _ tl2 _

IOS~S3 ' -S2 ' ~19 ' -16 ' -16 ~13 -8 -

42. 335

334


1559. 1560.

I I I 6 9 51 _+ _ = _1\_+ - = - , xy

8

. 2 14 casova I 18 - casa. xy56 3

I

I

I

9

6

2

x

y

12

x

y

3

_+ _= -11-+-=-,18

mn+np- mp

Az =

np +pm-nm

2 mnp pm +mn-pn'

dana I 36 dana.

x+ y

1562.

x - y =5A IOx+ y =2+

1563.

9s-m 9s+m x + y = sA lOx+ y = lOy-x-m, x= -I-S-' y= - I-S-'

lO y + x

2mnp

lIy=

.

9.6. Linca rne nej ednacine sa jedoom nepoznatom I njlhoyo relava nje

IOx + y lOT ' b . . 56 1561. ='':''';'''<'=S+-AI0x+y=1 y + x. raZeD! rOJJe .

x+ y

2mnp

x=

7 . . S3. . Tmem. b rOJJe lOy + x

21

x> -;

b) x < 2;

c) x > 0;

a)x<7 ;

b)x <l ;

c)x S 3;

a)2!5x:::o4;

b)-4 < x<l;

1573.

a)

1574. 1575.

19

1 4

d) X<-.

d)xs2.. 8 c)x E( - oo,-I )U(4,+ lXI);

5

1564.

Aka su godine sina sada x, a godine oca y, tada je y -4 = 7(x - 4)/\ y +4 = 3(x+ 4), odakle izlazi x = 8, y= 32.

1565.

«x + y = 46/\ x+ 10 = 2(y+ 10» , 12 godina i 34 godine.

1566.

~+~= IA-'-=L.-'-; (JI+L))I+ 100)). x y x 100 y '\ 100"\ p

1567.

aVI +av 2

= dll.av 1 -

QV1

= de

VI

=

d(a+b) lob

d(a-b) '

"'2

=

2ab

p-r 2r+ p 1568. - - em ' - - em, za p > 4r. 3 3 1569.

x 3 z 3 x+ y + z = SOA- = 3+-A-= 3+-;(IS, 6,57).

1570.

x+ y+ z = 16 /\ lOOx+ 1Oy+ z-(IOOx+ 10z + y) = 72/\

y

y

x

x

lOOx + 10y+ z 7 ===!...:...~ = 76 + -. Tra!eni broj je 69 1.

y

1571.

Ako su trafeni brojevi x, y, z, a dati zbirovi a, h, c tada je:

1576.

5.

1577.

-I.

1578.

a) Razlikujemo tri slutaja: 1° ako je m> 0, tadaje mx > 3 <> x > ~, paje re!enje svaki broj koji

m 3 Je ve",1 od-; m r ako je m < 0, tada je mx > 3 <> x < ~, pa je rclenje svaki broj koji m . .. d 3 Je manJI 0 - ; m r ako je m= 0, lada nejednac!ina g1asi O'x>3; i oerna ni jedno .

•.

~enje ;

. b) za m= Ije 0 ' x< 3, paje x ma koji realan bro);

(~+~)m= I A (~+;)m= I A (;+~)P= 1

akoje m> I, tadaje

m+2 x <-m- I' m+2

ako je m< I, tadaje x > 1;

m- 3 m- 3 < 2 .. >- u m>2·:X<-2 . c) zam=2, xE(-oo,+ OO zam , '" 2-m -m

a+c-b a+h-c ::.b.:.+~c_-...:a:. x= I\y= I\z=222

336

3

y

x+y=aAy+z=hAz+x=c o

1572,

e) -3:S x :s - -.

.

0

1579. a) -2:s; x:s; 9;

m)

b) 53 <x<20; 4

e)x E I2l 137


d)XE(~ ~)19' 9' 1580.

1583.

0)x>5 -

a) Koristimo ekviva\enciju AB > 0<> (A >OAB > O)V(A <OAB < 0), gde su A i B bi la koji realni brojevi. Tada je: (x-I)(" -4Âť 0<> e (x -I > 0" x-4> O)V(x-\ < 0/\ x- 4 < 0) e (x> JAx>4)V(x< l/\x<4) <:> x> 4v x< I. Prema lome, polazna nejednacina je ekvivalenrna sa disjunkcijom x>4v x< I. b) Iskoristite ekvivalenciju AD <O~ .(A < DAB> O)V( A > DAB < 0); -3 sxs5; c) Iskonstlte ekvivalenciju

A B > 0<> (A >OAB > O)V(A <OAB <0); 2 <x<5;

a){x Ix = I};

b) {mlm=-5,-I,-4,-3,-2.-I}; c) {yly= -2,-1 , 1,2, 3} . b) x> 5; c)x>-2; 1584. a) x < I; 1 '1- x< 0; e) x>211

1581.

<> <>

2(x-2)- 3(x- 2) <0 2(x- 2)

4- x 2(x-2)

<0

a) n+"',-%)+~ ,-"} nE(-H

1586.

kE (-2, 3).

1581.

l'a)kE (-~2' 2)2 '

b)

2'a)kE(-1, 3); b)kE (-I.S); c)kE(-" , -I)U(S.+" ~

-2<m<4. 1589. 0<-3. IS88.

A B <O<>(A>OAB<O)V(A<OAB>O) dobije daje xE(-oo,-2)U(4.+co); b) xE (-"',-5)U(I,+"'); 1582.

2a

1591.

x= - - - aE (-'" -2)U (-I ,+"')'

1592.

x = ~;aE(I,2)a- I 2

1593.

x=

1594.

x=~ - bE (-"',-~l U (4,+ ",).

,

tada se primenom ekvivalencije:

0+2'

,

n -nE(_oo,_2)U(-I,+oo). 2(n+ I)'

3b - 4'

3

1595. -2 <m<-1. 1596. a> I 2 __ 5 1597. m> --Ih m< - -,

3

c) 3<x<4.

1598.

nE(-2. ~l.

a) {xlx= I, 2, 3, 4}; b){mlm= I, 2} ; c) {yly= -4,-3, -2, -I} _

1599.

mE (-~3'42.)_

2

IS' 7

1600. m> 2. 338

nl}x<4 iii x>2.

1585.

d)-3:$x<4.

. x-I 3 x-I 3 a) KakoJe--<-<> - - --<0 x-2 2 x-2 2

d)z<O;

339


1601.

10-Sa

20-13

x = 3(a+3)' Y = 3(a+3) , (a

la = 3, 4, 5, 6).

1620. a) Na osnovu pretpostavke a < b ==- a +a < + b a+b

1602. 1604.

7- m m-3 '

2+m m-3'

x = - - y = - - {mlm =4 5 6}

a+b (2 ) -2-<b.

(-~, 0);

a+b a< --<b.

2

c) Na osnovu pretpostavke a < b" c > 0 => ac < be =>

a a+c a b +ac<a b + bc=>a(b+c)<b(a+c)=>-c_ b b+c time je tvrdenje dokazano. 1621.

Primedba. - I" AritmetRka sredina A POZilivnih hrojeva a i h je: <1</' 0+ b A=-.

1609.

XEH)

1610.

XE(O,~)

1611.

xE (-~,-I)U (-I, O)U (3,+~).

1612.

a)YE(~,~} b)mE(-~'I~}

1613.

a)xER; b)xE(-S,O)U(2,+~).

(o+b) ·

1614,

a)aE(-~,-J)U(-3,+",); b)aE(-I ,~)U(~'I)

(1)

1615.

xER.

~ E (-~ '21.).

1617.

xE (-18,+~).

1618,

a)XE(-~,_I:}

.,

2

2" Geometrijska sredina G pozitivnih brojeva oi h je: G = .lab. ., 7nb 3" Harmonijska sredina H pozitivnih brojeva oi bje: H = -b. a+ Uocimo Ii tacou konjunkciju (k), sledi lanae ~kvivalencij8 : (k) ((a-b) ' "OAa>OAb>O ) ~(a-b)"+4ab

c)tE(-I,2S;O,75).

,

~4ab<;>

(au)'

a: "..Jab, b

-2- "a b

tj. A "G.

Dalje slede ekviva\encije:

a+b "a+b -2-~",abo 2ab (2)

1619.

=>0+6<26

lz (I) i (2 ) sledi tvrdenje:

cJ x E (O, - ~); d) xE ( - ~, I]U [S,+~). 1605. .) xE (-4, 2); b) xE (-~, -1 2)U(3, +~). 1606. xE (-3, O)U ( O, +~). 1607. xE (-~, -I )U(-I, 0). 1608. xE (-3, O)U(O,+ ~).

1616.

:::;Io2aca+b»

takode oa osnovu pretpostavke a < b => a+ b < h+ b

".

• ) xE (-~,-6)U(-*,+~} b) xE

a

a<-2- '

(I)

b)XE(-H)

a) -4s xS 7; b) xE 0, c) xE 0, d) 2 sxs9; • )xE(-~,I)U(3,4]; f)xE(I,+"']; g)xE[3,4]; h) xE( I, 3).

lfi22.

I

0

:.Jab'

2ab S..Jab '" H ? G. a+b

Jz (I) i (2) sledi daje H S GSA. . Aka iskoristimo dokazanu nejednakosl A ~G. tada JC

a

b

b+~ lab a b 2~Vb'-;; 0 b+;2: 2. 341

341)


1623.

1624.

Ako se iskoristi dokazana ne~nakosl A ~ G. dobija se (I) Q+b~2Fab,o+c';?2.Jac i b+ c ~2$c. Na osnovu prelposI8Vkc sledi: (2) Q+b=l-~a+c= l -cib+c=l-a. . Nejednakosl (Ilie svodi. aka se uzme U obzlr (2), na obhk: (3) l-a'i:!2JbC.I-b~2& i l-c2:2.Jab. Njihov proizvod daje tvrdenje.

1628.

Konstrui!imo najpre skup dopustivih re!enja. Da bismo to postigli konstrui~imo granke pravih: x- y= 3, x = 4, x+ 2y= 10 i x- y = 2 i ispitajmo da Ii koordinatni poi!elak zadovoljava odgovarajuce ~e­ jedna~ine. Zamenom x = 0 i Y = 0 dobijamo da su sve dale neJednatine latne. Prema tome, skup dopuslivih re~enja je ~rafirana oblast na slici 98, pri temu su uzeti i uslovi nenegativnosli re~enja(x ~ 0 i Y ~ 0). Funkcija cHj a je L = x+ y. Varirajuci L dobijemo familiju pravih. Od svih pravih koje seku skup dopustivih re~enja treba odrediti onu kod koje je L maksimalno. Kako L Taste, SI.98 grafik prave x+ y=L se translalomo pomera sleva nadesno. Ekstremum (maksimum) funkcije bice dostignul kada prava x+ y = L sadrZi tatku (4, 3). Tada je max.L = 7. Da smo tra:Wi minimum, on bi bio dostignul za oou pravu koja saddi latku (0.0). Prema lome, bilo da trafimo maksimum, bilo minimum , dohijemo tacno jedno re~enje.

1629.

Konstrui~imo najpre prave;l;- y= I, 2x+ y = I I, y=5ix+ y= 1 j ispilajmo tatoosl odgovarajucih nejednakosti ulaNd 0(0, 0). lamenom x = 0 y = dobijamo da su prve cetiri nejednacine lacne, a da pela nije . Skup dopustivih rdenja srafiran je na slici 99. Na istoj slici prikazane su i neke od pravih 2.< - y=L(LER). KakoL opada zdesna ulevo, minimalna vrednost se dobij e za pravu 2x- y= 3, pa j e min.L =-3. Tacke lz skupa dopustivih resenja, koje sadrii prava SI.99 2x- y= 3, jesu sve tacke duzi cije su krajnje lacke (0, 3) i (1,5). Prema lome, u ovom slucaju problem nema jedinstveno re~enje, vee ima beskonacno mnogo re~enja.

lskoristili otiglcdne nejednakosti (a-b}l 'i:!O.(a-c)l2:0,(b-C)l2::0 i pretposlavku.

1625. Na osnovu prtipoSl8vke sledi: z , " "2 ( Q- b)' Ql 2!a -(b- c)", b- 2: b' -(c-o)". c· 2: c '. 2 2 Z Njihov proizvod: a b c 2:(0+ b-c)l(a+c- b)l(b+ c - a)2 e abc 2:(0+ b - c)(o +c - bleb + c -o). 9.7. Gramka interprelacija sistema lin ea rnih n ej ednac in a sa dve DepOIRate. Reb vanje problema Iinearnog programiranja

1626.

Srafirane oblasti prikazane su

Da

sliei 96 a-d.

°

51. 96

1627.

Na sliei 97 prikazane su ~rafirane oblasti pod c) i d),

SI. 97.

)42 )4)


1630.

Funkci'a L, ima najmanju vrednost L, = 2 za.x = 2 i y = ~, a najveeu vrednC:st nema (sl. I00). SIi~no se zaklJucuJe da funkcljaL, nema najrnanju vrednost, a da je najveca max L , = -I za x = 0 1 Y = O.

X

GLAVA

10. RAZNI ZADACI

1632. 1633.

1634.

x= 2. Sistem 3x+ y= 1311 x- y= 7 ex = 5y= -2, zoaci i treea jednacina treba da sadrZi R(5,-2), tj.: (a- 2)' + 10 = 10 e a = 2.

Pov~ina pravouglog trougla P =

ab. Ako se uzme u obzir 2 " (a+ b) ab pretpo5tavka, doblJe se = - e (a- b)' = 0 e a = b. ,

8

2

Rezultat: a = 45°,f3 = 45°,), = 90°. 51. 100

1635.

Dati izraz postupno se transfonnise identicnim transformaeijama na sledeei nacin : (a+ b+e)(ab+ be+ae)-abe = a'b+ b'e +e'a+ab' '+- be ' +ea' + 3abe-abe = = (abc'+a'b)+ (b 'e + ab ' ) + (ae' + a' e)+ (be' + abc) = =ab(a+ c )+ b'(a+e)+ac(a+c)+ bc(a+e) = =(a + e )(ab + b' + ae+ be) = (a+ e)(b(a+ b) + c(a+ b» = =(a+e)(a+ b)(b+e).

=

1631. a) maxL= 33za x =2, y =5; b) max L= 28 za x= 6, y= 2; c) min L = 33; d) nema resenja; e) max L, = 46, min L, = 20.

1636.

Analiza. - Upisani trougao ima uglove od 60°, pa je i on jednakostranican. Trouglovi AKM ,ELK i CML podudami su medusobom. Pravougli trougao AKL ima ostre uglove od 30° i 60°, pa je AM = 2AK. Konstrukeija i dokaz slede neposredno iz analize

c

(51. 101). 1637.

344

Dati izraz. identi~nim transfonnaeija- A I-_~""- _ _ _--I> B rna, postupno se rastavlja na cinioee K 51. 101 na sledeci na~in : a' -a = (a-l)o(a+ I)(a ' + I) = =(a-I)a(a+ I)«a' -4)+5)= = (a- 2)(a- I)a(a+ 1)(a+ 2)+ 5(a-l)a(a+ I). Kako su ~inioei prvog sabirka pet uzastopnih eelih brojeva, njihov proizvod je deljiv sa 30, a drugi sabirak ima za cinioee broj 5 i tri uzastopna eela broja, pa je njihov proizvod deljiv sa 6, a ~itav proizvod u drugom sabirku sa 30; dakle i dati izraz je deljiv sa 30.

345


1638.

BCD, tadaje MN

=

1640.

1647. 1648.

f(2) + 3fW = 4, a za x = dobija se jedna~ina

jedna~ina

f(~) iz gornjih

f(2) 1641.

1642.

13

4

SI. 102

1650.

Ako se kvadrirajednakost( I) i uzme u obzir jednakost(2), dobije se : (3) xy = ab, Ako se (I) kubira i uzmu u obzir (2) i (I), dobije se tvrdenje.

1654.

= - 32 '

IIBc,

30°,

(2)a, =j3+y. Iz (I) i (2) dobija sc jedna~ina j3 = j3 + y 2 Odavde sledi j3 - y = 60°.

AM+MB<AC+CB.

Prava MN se~e produzetke stranice AB i AD (s l. 103) u tackama Pi Q. Trouglovl: ~BPM , ~ MCN i ~ NQD su med usobno podudami (za~to?), pa je PM = MN = NQ . Posto j e MN srednja li nij a trougla

=a , -

2 a iz ABC sledi:

posle sabiranja ovih jednakosti dobija se

1646.

~q + p '

Neka su a,j3, y unutra~ nji uglovi trougla ABC, a a, spolj~nji ugao trougla sa temenom u A. Posto je na osnovu pretpostavke

(I) j3

Nekaje AM nCB = {K}, tada se primeni nejednakost trougla najpre ns trougao AKC, pa na trougao MKB:

J

p' +

SI. 103

AE = AD , tada je L DAE = 60° i LADE = 30°. Iz L ABD sledi : 2

Po~to je MN srednja linija trougla BCD, to je MN tj . MN .l CA. PO~LOje i CD.l AM, to je N ortocentar ~ ACM, a AN je visiDa istog trougla, tj . AN .l Me.

Kvadriranjem i svodenjem slicDih monoma pretpostavka se svodi na oblik: 2x' + 2y' + 2z' - 2xy- 2xz - 2yz = O. Odavde izlazi da e : ( x - y)' +(x- z) +(y- z) ' = O. Zbir kvadrata jednak je nuli ako j e svaki sabirak j ednak nuli, tj . x - y = 0, x- z = 0, y - z = 0; odavde sled i da je x =.y = z.

p

Vrednost datog izraza A = 0, dakle ne zavisi od a i b.

AK<AC+CK MB<MK+KB;

1643.

I X=-. 2

j"".J2~

je jedna~ina

-8f(2)=4-~, odakleje

81.

1649.

.!

Rezultat eliminacije

0.

BK=KL=LD.

Za x = 2 dobija se jedna~ina

~~)+ 3~(2) = ~.

IIBD.

Primenom Talesove teoreme sledi

Trouglovi KLM i QMP su podudami (wto?). odakle sledi KM PQ (sl. 102).

1655.

+ 30°.

Neka je trazeni dvocifreni broj lO x + y, na osnovu pretpostavke moze se fonnirati jednacina J , tj.: J~

10x+ y Y

~ 10x+

x

= y +Y

y = y' + x

~

9x= y(y -I) ~ x = ::...y(o.::Y_-_I...:..) 9 . ~o~to ~u x i y prirodni brojevi manji od 10 i zadovoljavaju poslednju JednaclOu, lzlaZl da Je x = 8, y = 9, a trateni broj je 89.

346 347


I' ITO glovi AMB i ABN imaju istu (zajednicku) . 1656. AnalIza. - Pravoug I u hipotenuzu, koja pri· pada datoj pravoJ p. Na osoovu teoreme .. Ugao nad precniko~ je prav" sledi da. Je du!, ciji su kraJevl date ta€ke MiN, teti· va polukruZnice pre· cnika AB. I' KOMtrUkcija. - Neka ~~L---------~--------~~B~ je s simetrala date dufi SI. 104 MN, a sn p = {O}. KonstrUi~irno kruZni· cu K(O ,OM). Dva temena trougla su tacke Ai B,knp = {A,B}. Treee terne C tIougla se dobije u preseku pravih AM i BN (sl. 104). Dokaz se lako L izvodi na osnovu analize i I I konstrUkcij e. I A 1658. Ncka je HQ-LAB E c p DP -L AB (sl. 105). lada je: I ( I) t>BQH =. t>CLB I (USU)~BL = QH;

(2) t> APD =. t> ACL (USU)~AL =DP.

Hipoteouza trougla AB = AL+LB. Na osoovu ( I) i (2) sledi da je AB = PD + QH, cime je dokaz zavrSeo. 1659.

I

/

I

n I (I) -=k+-~n=5k+l, 5 5

m 2 (2) -=I+-~m=51+2, k,lEZ. 5 5 Razlika cetvrtih stepena podeljena sa 5

R=

y

=,

Data funkci~a se svodi na oblik y =Ix - II-\x + 3\. Ako se uzme u obzir definicija apsolutne vrednosti, onda je:

(n' + m')(n' - m') =.'------'-''---...:.

5

2

5(5k' +2k+5I ' +41 + 1)(25k' + IOk-51 -201- 3) Z R= E , 5 cime je dokaz 1661.

zavr~en.

Po pretpostavci imamo da je

ax+b=kM,MEZ,ex+d=kP, PEZ. Odavde se dobija da je b = kM -ax i d = kP - ex. Razlika ad - be = a(kP - ex) - c(kM - ax) = k(aP - eM} E Z. Dakle, razlika ad- be je deljiva sa k. 1662.

Zaa'" 0, x = 2a+3;X<_I,XE(0,2). 2a -3 2

1663.

Za

1664.

Ako je a'" 9, re~enj e sistema je (-a - II, a + 9); da bi x 2: y SO aE(-oo,-II }.

1665.

Akojea'" -6, re~enje sistemaje ( - 2 -' -2- ,Y = 3x za a = 9.

1666.

Za a '"

x =~' x>2 zaaE(-6 _2). 2a+3' , 2

3

a"'-, 2

10- 2

a-6)

°

i

-~ re~enje j ednacine je 3

x =~ x<lzaa E(- oo , -~)U (4 ' +00). 3a- 4 ' 3

l )x < - 3f1y = 4, 2) - 3 s x < I fI Y = - 2x - 2,

n' - m' 5

ako se uzmu u obzir (I) i (2), tadaje

SI. 105

y

Neka su brojevi min. Na osnovu pretpostavke je:

/

o

K

1660.

1667.

L MAN +L MEN = 180°.

3) x 2:ifl y =- 4. Grafi k je prikazan na sl. 106. 348

SI. 106

349


1668.

. b ' A 'Iea u odelJ' enju a y broj uilenika sa ocenom • eka Je x TOJ u"em dobar. Tada je -=+-=+-=+ y= x ~ y = 7x (:c,y E {2 1, 22..... 39)). 6 3 9 18 . . x =36 , 18~{ 2. I , 22 . d I" sa I8zax -18i . ' .... , 39}, paJebroJ . 7xJc eJlvo uilenika u odeljenju 36, a sa ocenom tn oeenJeno Je 14 uilemka.

1669.

Kvadriranjem prve jednakosti dobija se: (a+b)'=(-c)' ~ a'+ b ' -c'=-2ab ~ (a' +b' - c')' = 4a'b' ~ (I)a' + b' +c' = 2a'b' + 2a'c' + 2b 'c'. Kvadriranjem drugejednakostije (a' +b' + c')' = I' "" , ., ., , 4 b' , (2)2a'b'+2ac' +2b'c' =I-a - c. Iz ( I) i (2) dobijamo:

• , , 'b' 4 a'+b'+c' =I-a -b - c ~a + + c Ako je y ~ 0, tada je y= x+1 x - 3 ~ Odavdeje: a) y~lIx ~3I1 y = 2x-3; b) Y ~411\x < 311 y = 3. Ako je y < 0, lada je y= - x - l x -3 ~ Odavdeje: a) y < ~ ~ 311 y = -2 x+ 3, b) y <O)x<3I1y=-3 (51. 107). 1671.

1672.

Dati izraz poslUpno transformi~imo na sledeci nacin:

1673.

2 a ' +1 a'-1+2 (a-I)(a'+a+I)+2, --= =a'+a+l+--. a-I a- I a-I a- I Dati izrazje ceo broj ako i sarno ako je a-I = ±1 i a-I = ±2. Odavde sledi da je a E {-I. O. 2. 3} . Kako je z = -x- y, tada je: z' = - x ' - y' -3x'y-3xy'. Odavde sledi da je: x' + y' + z' = -3xy(x+ y) = -3xy(-z) = 3xyz. Dakle. zbir kubova ovakva tri broja je deljiv sa 3.

1674.

Ako se odrede zbir i razlika datih jednacina, dobijamo da je:

I(_x_) = 3x i g(2x+ I) =~. Ako se uvedu smene _x_ = t i x- I 2 2 x-I 2x+ I = z. lako se dobija da je I(x) = ~ i g(x) = x - I 2x-2 4

="2'I 1675.

Data jednacina se postupno svodi na ekvivalentne jednacine: ' 2xy+y-=I+xy ' x , +xy+y , =I""x'+ "" (x+ y)' -I = xy "" (x + y+ I)(x+ y- I) = xy. Na osnovu pretposlavke treba odrediti koji celi brojevi su reSenja poslednje jednacine. PoSto su x i y eeli brojevi to x + y + 1 i x + y - 1 treba da budu celi brojevi. Treba reSiti u skupu eelih brojeva sledece sisteme: (x = 0 II x+ y + I = O).(x = 0/\ x + y- I = 0), (y= Oll x+ y + I = O). (y= o/\ x + y -l = 0). (x+ y+ I = xII x + y- I = y), (x + y+ I = y ll x + y -I = x). (x + y + I = - xII x + y -I = - y ), (x+ y + I = - yll x+ y -I = - x). Skup uredenih parova {( 0,-1 );( -I, 0);( 0, I );( I. 0);( I, - 1);( -I, I)} su sva eelobrojna reSenja.

1676.

Straniee pravougaon ika su: x = 3,3 i 3x = 9,9 iIi x = 4 i 3x = 12. Straniea kvadrala je x = 12 em.

51. 107

I nailin. - PoslUpno transformiSemo dati izraz na ovaj nailin , n' + lin = n(n' + II) = n(n ' -I + 12) = = n«n-I)(n+ J)+ 12) = n(n- J)(n+ 1)+ J2n. Prvi sabirak je deljiv sa 6 jer je proizvod tri sukeesivna broja deljiv sa 6. Drugi sabirak je deljiv sa 6 jer je 12 deljivo sa 6. n nacin. - Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa dva i sa tri oBroj je de, Ijiv sa dva ako je deljiv sa n = 2k i n = 2k + 1. Broj je deljiv sa 3 ako je deljiv sa n = 3k, n = 3k + lin = 3k + 2. Lako se proverava da je ovo rvn1enje u ovom zadatku ispunjeno.

1677. 1678.

l edna dij agonala romba j e visina h = 2.Js em, koja odgovara osnoVIC I Jednakokrakog trougla, druga dijagonala d = 4 em, a 5tranica romba x = 3 em.

350 351


1696.

1679. 1680.

d, = 40 em, d, = 63 em. 0 = 39 em. b = 25 em.

168\.

m=O. Drugi polinoro je oblika Q(x) = x' + x+ e, e je realan broj. Iz. identiteta P(x) = (Q(x))' dobija se da je 0 = 3,b = I,e = I a pohnoro

1682.

1697.

Q( x ) = x ' +x+ I. 1683.

Ako se pomnozi data jednakost sa najmanjim zajedni~kim imeniocem, dobija se jednakost: ( A +B)x ' +(B+C)x+ A +C = x+ 3. Ova jednakost vui za svako x ako i sarno ako je A +B = OAB +C = IA A +C = 3. Odatle se dobija daje A = I,B = -I, C = 2. I

A=- B=-- , C=O, D=1. 2' 2

1685. 1686.

A = B = - I. C = I. A =-3,B=I , C=2,D=-2. A =-I, B = 2, C= I,D=2. . . . d' . 2m+2 Za m"" 2 i x" 2 jednatma Ima Je mstveno resenJe x = - -. m-2 Za m = 2 i x = 2 jedna~ina je nemoguca: mE (- 00, I)U(5,+ 00). Za m"" 3 i 2 jedna~ina ima jedinstveno resenje:

1687. 1688.

1689.

=

Na osnovu uslova zadatka imamo da je X4 + 2ax' + bx+ e = (x- I)'(x+ n), odakle se dobija da je o = - 6, b = 8, e = - 3, n = 3.

1699.

m=-3,n= l,p=2.

1701.

f(f(x» = x.

1702.

a) lz sli~nosti 6. AMB - 6. PMD sledi da je (I) AM:MP = MB:MD; iz slicnosti 6. MBN - 6. AND sledi da je (2) MN:AM = MB:MD. Iz (I) i (2) sledi da je AM' = MP· MN . b) Iz sli~nosti 6. DPA - 6. ANB sledi da je DP:AD = AB :BN "" DP' BN = AD · AB = eonsl. a) Pravougaonik straniea min je homoteti~an upisanom pravougaoniku u trouglu ABC itd. b) 6. ABC -6. QPC (QE AC,PEBC)o<> AB:QB =CH:CK (K E CH). Obim, 0 = 2(QP+PS) = 2(CK +PS) = 2(CK +KH ) = 2CH = 2AB. a) Osenceni deo je oblast trougla cija su ternena

1703.

x""

mE(-00-2)u(_~ +00). m+3 ' , 2 2'

=

1698.

I

1684.

Trazeni polinom P(Q(x» = (x' + 3x+ 2)' - 3(x' + 3x+ 2) + 2, (1+ 2)' - 3(1+ 2)+ 2 smenom x' + 3x = 1 dalje je P(Q(x» = 1(1 + I) = (x' + 3x)(x' + 3x+ I). Kako je (x-I)(x' + 6x+ 8) = (x-I)(x+ 2)(x+ 4), primenom Bezuovog stava P(I) = 0, P(-2) = 0, P(-4) = 0, dobija se m+n+ p+9= OA-8n+4n-2p+24= 0 A - 64m+ I6n- 4p+ 264 = O. Odakle se dobija da je m = 4, n = - 3, P = - 10.

1704.

x = __ 1

0-2 0+2

1690.

x = - -, oE [0,+00).

1691.

4-130 I (6) x = 6a_I,zao",,0,0""6, oE 25,2 .

1692.

5-Sm x= - - mE (- I ) I 4m-I ' 2"

1693.

Dve tatke.

352

15 30) 0(0, 0), A(5, O),C ( -7'-7 ; b) sve tri 1705.

ta~ke

pripadaju graftku.

Data jednakost se transformise postupno: 4 4 a + b + 2a' b' - 2a'b ' + c' + d' + 2e' d' - 2e'd' = 4abed (a ' - b')' +(c' - d ' )' + 2(ab-ed) ' = O. Zbir kvadrata jednak je nuli ako i sarno ako je svaki kvadrat jednak nuli, tj . a' -b ' = OAe' -d' = OAab- ed= 0, odatle sledi da je a=b= e =d.

353


Oat izraz ideDti&i je jednak izrazu: (a-b)'+(b-c)'+(c-d)'. Zbir kvadrata je jednak nuli ako i sarno ako je svaki kvadrat jednak nuli, tj. (a- b)' OV (b - c)' OV (c- d)' = 0, odavde je a=b=c=d. 1707. Neka je ta~ka T zajednitka tatka kruZniee i tangente PT, a Q presetna tatka kruZniee i seciee PM, tada je: PT' =PM'PQe PM:PT =PT : QPe PM:a=a :QP. Dakle, PQ je cetvrta proporeionala za tri date duzi, pa se tacka Q po Talesovoj teoremi lako odredi Da pravoj PM, sada su poznate tri tacke M, N i Q oko kojih treba opisati kruZniou itd. 1706.

=

1708.

=

(x,y)E {(4, 6);(2,-8);(10, 0);(-4,-2)} .

1709.

a) x' +_1 = IS' x' '

1715.

x= ±l 000. Dati izraz se transformise Da oblik

1716.

Ako turista prelazi x km, tada je: lOS lOS - - - - = 2 e x(x - 6) = 21 1Se x = 21 km.

x- 6

x

'

1710.

~V=(~+...!....)(V-6) e v=36 km . 4 4 20

1711.

I , I I = 9 <'> (x I ) ' =9<'> x + -I =±3. x , +,=7<'>x"+2x-+-, +x x x" x x

b) x

x

n(n ' -4)(n'-1)

IW

S!

=

(n+2)(n+l)n(n-l)(n-2)

5!

=(n:2) avo je binornDi koefieijent, dakle prirodan broj. Za n + 2 <= S, odnosno n <= 3, za n < 3, ( n+2) 5 = O. 1717.

Ako je x eifra desetiea, onda je 11- x eifra jediniea, pa je prvi broj 10x(11- x) a drugi sa zarnenjenirn eiframa 10(11- x) + x, pa je na osnovu pretpostavke 10(II- x) + x = 3(IOx+ II- x) +S. TraZeni broj je 29.

171S.

Na osnovu pretpostavke irnarno 100(10- x)+ 50+ x = 39+ 2(100x+ SO + 10- x). Odakle je x = 3, broj je 357.

1719.

Relaeiju zadovoljavaju sve tacke u I kvadrantu koje pripadaju pravoj y = xi koordinatni pocetak, sve tacke u ill kvadrantu i sve tacke Da negativnorn delu x - ose (51. lOS).

1720.

Bez uputstva.

1721.

Svi uredeni parovi (x, y) u trouglu ABC i tacke na stranieama AB i AC. TerneDa trougla su: A(O, 1),B(-3,-2),C(6,-2). (51. 109).

AB = IS km .

1712. Neka je dati razlomak x, tada je x + ~ = 3xe x =...!.... = ~ S 10 10k ' Znaei, 10k - k = I 99S <'> k = 222. Dakle, trazeni razlornak je 222 . 2220 1713.

4

n(n'-Sn'+4)

-'--------'- =

Data jednacina ekvivalentna je jednacini (x - 3)(y+ I) = 7 e x - 3 = _7_. Odakle zak ljucujerno da je y+1 y+I=±IVy+ I=±7, tj . x - 3 E {-I, I:-7 , 7},a xE {-4, 2, 4, 10}. Re~enje je skup uredenih parova

1 +-, =47.

1714.

y

• . I . 40x T razem raz omak Je 71x' pa je

40x+7Ix=199S<'>1lIx -1 ' -720 - 99S <'> X=IS, raz Iorna k Je -. 127S SI. 108

SI. 109

354 355

=


1722. 1723.

1724.

1725.

1726.

8roj pisan jedino ciframa 6 i 2 je delji~ sa dva ali nije sa 4, dok je razlika kvadrata, ako je paran bro), del)lva 1 sa 4. eka je A minimum prvih koordinata a B minim~m drugih koordinata la~ka iz S i neka su (A. Y) i (X ,B) dYe lacke IZ S. Kako u skupu T = ({x,y)ll:S x:S X, 1:S y :S Y) ima konacDo .rnnogo celobrojDih tacaka, posloji tacka (x,y) iz S ko)a mu ne pnpada. Za n)u vaii A :s x, Y :s y iii X :s x, B :s y. Kako je k - {k+I) -(k+2)+(k+3)=0 za k =4,5, .. .,1 992 i 1+ 2 - 3 = 0 predznaci se mogu izabrati da vrednost izraza bUde Dula. DovoljDO je dokazati da se dijagonale polove. Neka je 0 presek dijagonala. Kako su povr§ine trouglova ACD i ACB jednake, visiDe iz lemena D i B su jednake. [z jednakosti povr~ina ACD i BCD sledi jednakosl pov~ina trouglova AOD i BOC. Kako su im visine iz temena D, odnosno B jednake, vredi AO = CO . Slieno se pokazuje da je BO =DO. Trouglovi AEC i BFC su podudami j er j e AC = CF,CE =CB LACE = L BCF = y + 60·. Stoga je AE = BF. Ovi trouglovi rotac'ijom oko C za 60· preslikavaju se jedan u drugi. Sloga se i odgovarajuce prave AE i FB seku u nekoj tacki 0 pod uglom od 60·, dakle L AOF = L BOE = 60·. Kako se dliZ AF vidi iz tacke 0 pod uglom od 60·. cetvorougao AOCF je lelivan, pa je i L COF = L CAF = 60·. Sloga je L AOC = 120·. Slicno se dokazuj e da je L BOC = 120·. Ugao L AOB je dopuna zbira ovih uglova do punog ugla, pa iznosi takode ,120·. Analogno se dokazuje da se duzi DC i BF seku u nekoj tackl 0 IZ ko)e se dliZ AB vidi pod uglom od 120· . Kako su 0 i 0' sa iSle strane prave AB, moraj u se 0 i 0' poklapati. Time je dokaz

Tadaje AM'+M'B =C' M'+M'B ~C'B >CB = 15m (jer jeC' niza od C). Dakle M je trateni poloiaj, a traiena visina se lako racuna: BD = 12, CP = 3 => MN = 7.

1728.

Sc+d Sa+b d b => - - = - - => - = - = k => d = kc, b = ka => c a c a

=> 7a+ ka = 8 => 9. = 8 => 9a+ b = 9a+ ka = 9. = 8. 7c+kc c 9c+ d 9c+ kc c Dakle 9a+ b = 8. 9c+d

1729.

Ne. Neka je 2n' = dk. k '( n ' +d)= k'n' +k 'd = k'n' +k2n ' = = n'(k' + 2k) = n'[(k + I)' -I]. Izraz [(k + I) ' - I] nije kvadrat ni za jedno k.

1730.

Neka je Ali-Baba poneo x kg dijamanata i y kg zlata. Jasno je da su x i y nenegativDi realni brojevi. 1z ogranicenosti prostora u kovcegu sledi da je:

~+..L:sl. 40

zav~en.

1727.

Teg ce se spustiti do Dajmanje moguce visine. Neka su lacke A,B ,P ,Q oznacene kao Da (sl. 110). Neka je ClackanaAPlakvadajeBC = 15m. Simetrala duti AC sece dliZ Be u tacki_ M koja je lacka ravnoteznog poloza)a lega. Dokaiimo to. Neka je M' tacka na kojoj se zaustavlO leg. Neka je M' niiB od tacke M. i neka je C' tacka na AP razlicita od A, lakva da je ' AM'= M'C' .

8

c'

,,

, I

__ ______ __ ~

, ,,

0

I

P'--,-_ _.JO N

51. 110

200

Kako Ali-Baba ne moze da ponese teret tezi od 100 kg, to je x + y :S 100. Odavde dobijamo da je y :S 200 - 5x, y :S 100 - x. Sledi da je y :S 100 - x , 0 :S x :S 25; y :S 200 - 5x, 25 :S x :S 40. Ali-Babin profit iznosi 60x+ 20y:s 2 000+ 40x, O:s x :S 25; 60x + 20 y :S 4 000 - 40x, 25 :S x :S 40. Sledi da ce Ali-Babin profit biti najveci ako ponese 25 kg dijamanata i 75 kg zlata, i u tom slucaju ce iznositi 3 000 dinara.

A

c

Sa-b 6a+b 6c+d 6a+b c a --=--=>--=--=>--=--=> Sc+d 6c+d Sc+d Sa+b Sc+d Sa+b

1731.

Razbijmo skup A na disjunktne podskupove: Ao - skup svih brojeva deljivih sa 3, AI - skup svih brojeva koji pri deljenju sa 3 daju ostatak 1, i

356 357


A, - skup svih brojeva koji pri de.lj enju sa 3 daju ostatak 2. Bmj elemenata u ovim podskupovlma Je, redom, 26,27,27. Da bi zbir a + b + c bio deljiv sa 3 moraJu: (I) sva tri sabirka davati pri deljenju sa 3 isti ostatak, tj . svi biti iz jednog od ovih podskupova, iii .,. . . (2) sabirci davati raz1icite ostatke pn delJenJu sa 3, tJ . IZ svakog od ovih podskupova biti po I sabirak. 26·25· 24 27·26·25 Podskupova prve vrste ima 6 +2 6 = rn,

a podskupova druge vrste ima 26· 27 2 = n. TraZeni broj podskupova je m + n.

1734.

To je 4. Za n > 4 i n = ab imamo: a ~ b iii n = a', a > 2.

1735.

Obelezimo sa K presek AE i CD. Trougao AKC je jednakokraki (jer jeLKCA = LKAC = 30,,), paje AK = KC i L AKC = 120°. Kakoje L AKC dva puta veci od L ABC dobijamo da je K centar oplsanog kruga oko 6. ABC (centralni ugao nad tetivom AC je dva puta veci od periferijskog), pa je AK = KB = KC. 6. AKB je jednakokraki (AK = KB) => L KAB = L KBD = 50°- 30°= 20°. L DKE = L AKC = 120° (unakrsni uglovi), sledi da je cetvorougao DBEK tetivni, pa je L KDE = L KBE (periferijski uglovi nad istom tetivom). L KDE = L KBE = 60° - 20°= 40°. Znaci L CDE = 40°.

1736.

a) x' + x' y' + y' = x' + 2x' y' + y' - x' y' = = (x' + xy+ y')(x' _ xy+ y'). b) Neka je a = 3999 • Dati broj je a' + a' + I = a' + 2a' + I-a' = (a' + I)' - a' = = (a' +a+ I)(a' -a+ I). Kako je 3'998 + 3 999 + I > Ii 3'998 - 3 999 + I > I, to je dati broj slozen.

1737.

U izrazu G(x,y)=(x- y)V(x,y) zamenimo y = 0 i dobijemo x , , f(x)=, ,«a-b)-(c-x)c-(c-a)"(b-x)b). a (a- x)Slicno, zamenom x = 0 dobijamo g(y) = fey). Proverom se utvrduje da zaista vaii za svako I x,yE R \ {o},x ~ y,v(x,y) = --(f(x)- f(y»' x- y

1738.

Da. Primetimo daje 1+3 ' = 4 '7, odakle sledi daje svaki broj oblika 3" + 3"+l, gde je n nenegativan ceo broj, deljiv sa 7. Prvim potezom Arkadije zamenjuje prvu zvezdicu (ispred broja I) znakom +. Zatim grupi§e preostalih 1 998 clanova u 333 sestorke uzastopnih stepena, a u okviru svake sestorke formira tri para oblika

6

6

1732. (a ' +b')'=a +3o'b' +3o' b'+b = = a 6 _ 6o'b ' + 9a' b' + b 6 - 6a' b' + 9b'a' = (a' -3ob')' +(b' - 3ba')' = 8' a' + b' = 1733.

=

+W = 125.

l./l25 = 5.

Oznacimo sa A" B"C, presecne tacke simetrala uglova sa naspramDim stranicama. Tada imamo: cb -acAA = --AC+-AB BB, =-BA+--BG. ' b+c b+c' a+ c a+c Oznacimo sa S centar upisanog kruga: (S) = AA, nBB" AS = ,\ AA, i BS = f.t BB, .

Iz AS = AB+ BS dobijamo:

,\ =

b+c f.t = a+c a+b+c a+b+c'

Odatle se dobija aAS+ bBS+cCS =

(3 610 +' , 36>+ '),(3 6>+' ,3 61+'), (3 6>+', 36>+6), (k

0.

Kad Branislav zameni zvezdicu nekim znakom, Arkadije zamenjuje zvezdicu istim znakom ispred drugog broja iz istog para. Dobijeni broj, ocigledno, pri deljenju sa 7 daje ostatak I.

Neka je S, neka tacka za koju vaii:

aAS,+bBS ,+ cCS, = O. Imamo(a+b+c)SS, =O"'SS, =O",S , =S. 358

= 0,1,2,3, ... ,333).

1739.

Tacka M se ne moze naiaziti na nekoj od pravih AB, AC,BC. Prema tome, imamo sledece slucajeve:

359


(I) M je unutar t. ABC. Tada je P(t. ABM) =P(t. BCM) = P(t. CAM) =

1741.

NekajeP sredi§te dui:i A,A,. TadajeB,PB,B, paralelogram, paje N sredi~te duzi PB,; 1 MN je srednja linija trougla B,PB" tj.MN = -ZPB,. a Kako je PB, srednja linija trougla A,A,A" sledi da je MN = 4'

1742.

Oznacimo sa a broj I 999. Tada je

I 3P(t. ABC).

Ako bi se M nalaxi la unutar nekog od trouglova ABT,BCT.CAT (T je tei:i~te t. ABC), re~imo uoutar t. ABT, irnali bismoP(t. ABM) <pet. ABT) = 3P(t. ABC). DakJe, mora biti M = T. (2) Neko teme trougla ABC se nalazi unutar trougla odredenog tackom M i sa ostala dva temena. Neka Je to teme A. Tada Je P(t.BCM) = P(t. ACM)+P(t. ABM)+P(t. ABC), pa ovakva tacka M ne zadovoljava traZeoi uslov. (3) Tacke A,B.C, M su temena kooveksoog cetvorougla. Ako je S presek njegovih dijagonala (npr. (S) = AB nCM), irnarno P(t. ACM) =P(t. BCM) => hA = hR' gde su hA i h. rastojanja tacaka A,B od prave CM redom, pa je AS = SB. P(t. ACM) =P(t. ABM) => P(t. ACS) = P(t. BMS) => CS = SM. Dakle, dijagonale cetvorougla ABCM se polove. Prema tome, postoje ukupno 4 traZene tacke M : tezi ~ te t. ABC, i tri tacke simetricne temenima trougla u odnosu na sredi~ta naspramnih stranica. 1740.

Neka je A"A" ... A, osmougao kao u zadatku i neka su a"a" ...a, dutine njegovih stranica. Dokatimo da je cetvorougao A,A,A,A , paralelogram. Neka su p,q,r,sprave koje same temena A, i A" A, i A" A, i A" A, i A" redom, aP,Q,R,S preseene tacke pravih p i q, q i r, r i s, sip, redom. Lako je dokazati da j e eetvorougao PQRS pravougaoDl'k

,fi

X"

~IJe

• PS,fi ,fi I. su straDlce = a, '-+a, +a,'2 - 2

,fi

.

RQ = a, '-+a, +a, ' -. Kaleo Je PS

2 2 ,fi a, -a, = (a , +a, - a, -a, ) · -.

..

P(1 999) = pea) = a"lllO - (a + l)a 1999 + ...-(a+ I)a+ a+ I = a'ooo _a"lllO _a'999 +a'999 + .. .+ a ' _a' -a+a+ I = I. 1743.

= I takvi daje

2( :' )' + ~ : ' )' = I. Tada je 2p,' + 5Pi = q', odnosno q' == 2p,'(mod5). Znaei 51 q i 51 p" pa 2515p;. Dakle 51 p ,. To je kontradikcija sa pretpostavkom NZD(p" p" q) = I. 1744.

I) A = 0. Tada je - simetricna, antisimetricna i tranzitivna, a nije refleksivna. 2) A irna tacno jedan element. Tada - oije refleksivoa, a jeste simetriena, antisimetricna i tranzitivna. 3) Ako A ima bar dva elementa, tada - oije oi refleksivna, ni aotisimetriena, oi tranzitivoa, a jeste simetricoa.

1745.

Neka prava koja prolazi kroz M i paralelna je sa BC sece AB i DC u tackama P i R, a prava koja sadrZi M i paralelna je AB oeka sece AD i BC u tackama S i Q. Tada je MA < AP + MP = AS + AP. Slicno MB<PB+QB;MC<CQ+RC;MD<DR+DS i sabiranjem dobijemo tvrdeoje.

1746.

= RQ doblJamo:

n"-128n' +4096 (n'-64)' = (n'-4n'+8n-8)' = «n-2)(n'+2n+4)-4n(n-2»' (n' - 8)(n' + 8) ) ' =

=( (n-2)(n'-2n+4)

2

Po§io su duzine stranica racionalni brojevi dobija se a, -a, = O. DakJe, cetvorougao A,A,A,A , je paralelogram jer ima dYe paralelne i jednake stranice. Njegove dijagonale A,A, i A,A, seku se u taeki O. Shcno se moze dokazati da su i ostali cetvorouglovi obrazovani parovirna nasprarnnih stranica osmougla paralelogrami i da je tacka o zaj ednicki centar simetrije tih cetvorouglova, a time i datog osmougla.

Neka su p"p" qE Z i NZD(p"p"q)

=(n-2)'(n'-2n+4)'(n+2)'(n'+2n+4)' = 1747.

(n- 2)'(n' - 2n+ 4) ' =«n + 2)(n' + 2n+ 4»'. Ozoacimo sa a broj 1999. Tada je

360

361


P( 1999)

=P(a) =a

lOOO

=a lOOO -a -

-(a+ l)a'''' + ...-(a+ l)a+a+ I _a'999 +a '999 + ... +a' _a' -a+a+ I

=

=

LlTERATURA

= I.

=

6.BKC S! 6.CLD ~ LBSL LCSK 180·-LSCK -LSKC 1748. =180.-LLCD-LDLC = 90·; LBAL+LBSL = 180·. b) L ASB = LALB (ier je cetverougao ABSL tetivni) L ALB =L CKB = L KBA. Sledi AS = AB. 1749. I) A = 0 Tada je - refleksivna, simetricna, antisimetricoa Iranzitivoa. 2) A .. 0. Tada - nije oi refleksivna, oi antisimetricoa, ni traozitivna, a jeste simetricoa. a)

1750.

Jedino

re~enje

je p = 5. p = Sk ± I. SI4p'

11. 12. 13.

H.n. AHTOHOB. M. 51.6ro6cKH, 6.6. HIIKHTIIII. A.M. CaHKHH: C60PHUK 3aoa. MocKoa 1964. HB. AileD. A.AnrcnoB. n. CT8M6onOB: C60P"UK om 3aoa.u no Wlze6pa. C",pURa 1958. A1endorfer i Ok1i : Principles of Mathematics. u prcvodu. Beograd 1966. C. Br6ard: Mathematiqlles 3~ Paris 1962. C. Breard: Mathtimatiques 2~ Paris 1969. V.Bogoslavov: ZbirkD reSenih zadatakD iz algebre. 1 razred gimnazije, Beograd 1972. P. Vasie. R. Janie. V. Bogoslavov: ZbirkD reSenih zadatakD iz matematike za 1/ razred zajednicke osnove srednjeg IIsmerenog obrazovanja, Beograd 1978. A.Combes: Excercices & Problemes de Mathematiques, Paris 1968. Doekciani, Berman, Freilich: Modern algebra Strukture and Method Book I: Boston .. New York. Atlanta. Geneva. ill. Dalas. Palo Alto. B.K.ErcpeB, B. B. 3aAueB. 6. A. KopneHcKH, T. H. MacnoBa, H. <1>. OpnoBCKIUI. P. H. n030AcKHA. r .c .p'XOBCKIUI. M.H. CKallaBH: C60PHIIK 3aOa. no AfameAfOmUKe ORR KOHK)'PCllblX 3K3Qltfeu06 aD amY3b1. Maclma 1969. It K. <l>ap.1l.1leeB II H.C.COMHHCKHA: AlIze6pa. MocKBa 1966. P. A. KanH HH : AlIze6pa u 311eArellmapllble ,PYIIKl/UIi. MocKBa 1966. B. A. Kpe<'Map: 3aoa.lIllI( no Wlze6pe. MocKBa 1968:

14.

Ii. U.

I.

no 3J1e.Afelimaplloii AfameMamUKe.

2.

3. 4. 5. 6. 7.

+ I. p = Sk ± 2. 516p2 + I.

8. 9. 10.

KYUJCI-IKO: C60PHUK KOIIK}'PCllblla sQ()a~

no Afame.MamUKe,

flCHl-fHrpaIl

1964. 15. V. Lespinard ct R. Remel: Algebre classe de premiere A'·C-M-M·. Lyon 1961. 16. B.E. f1'U1CKHA . f1 .B. OBC.HIIIIKOB, A. H. TynoAKoD. M. H. Wa6YHHH: 3aoa.1I no 3IIeJ.fellmaplI 0l1 AfameMOmUKe, MOCKB8 1968. 17. V. Lespinard et R. Pemel: Geometrie I' A'CMM' . Lyon 1961. 18. V. Mihailovie: Geometrija za I razred gimnazije. Beograd 1964. 19. ' V.Mihailovie: Geollle/rija za /I razred gimnazije. prirodno-matematickog smera, Beograd 1964. 20. Michel Queysanne, Andre Rcvuz: Mathematique tome 1. Paris 1969. 21. n .c. MoneHoa: C60PH IIK saoa. no Cne~llnbllOM KJ'PCY 311ftMeHmapilble .MOme.MomUKe. MOCK08 1864. 22. E.neTKal",,", C.MaHonoa, H.MaPTHHoB, K.nCTpoB: C60PIIUK am saoa.1I no JUQme.MOmUKe so Kououoom-cmyoeHmu, COcllH1I 1965. 23 . };I .X. CH08WHHCKH : 3QOO~IIUK no 3JJeMeltmapHOii Mame,.wDmUKe. MOCK08 1966. 24. 1. Stanlate. 1. Stoian: Culegere de probleme de algebra. Bucuresti-1965 . 25.

K.Y.WaxHO: C60PHW( 300a ll no 3neJ;leHmapHoii MameAlOmUKe, n06bluieHou..

26.

MHHCK 1965. C.H. TYMaHoB : AlIze6pa. MocKBa 1966.

362 363


SADRZAJ

BELEAKA 0 AUTORU ( GLAVA

Mr Vc:ne Bogoslavov roden je 1932. godine u sclu Parelovu. opltino Bosilegrad. Po ZlH'klku glmnazije u Bosilegradu. zavrSio jt matcmatiku 08 Prirodno·matc:matiekom

I. LOGIKA I SKUPOVI 1.1. Osnovne logifkc opcraeije . . J .2. Osnovne skupovne opcracijc . 1.3. Relaeije i funkcijc .. . 1.4. Elementi kombinatorike

faJcultclu u BeograDU (1958). Godinc 1967. ZlvrSioJc 5pecijalisti~Jce studije na Prirodno·matemali~kom fakullclu. a magJllrirao JC 1981 godlnc ns ElekU'olchniekom fakuhctu. U 1980 godini mr Vene B080511\1ov JC za lZU2CtnC' TCzullatC' u vaspltno-obrazovnom radu stekao zvan)c pcdago!kog

II GLAVA

SIVelnlk.a

2. UVOD U GEOMETRIJU. VEKTORI 2.1. Taeka, prnva. ravsn. Odnosi pripadanjo i rusporedo 2.2. Parolelnost 2.3. Du1 i ugao

Red", vek zapotcoJc leao gimnazijski profesor u beogradskim srcdnjim Skolama. Od 1965. godinc radi koo profesor u PCloj bcogradskoj gimnoziji. U loku rade mr Vent BogoslavQv bio je na mnogobrojnim funkcijama: rukovodilac al..11V1 malcmalieara grade Beograda i matiene skole, men lor novim profesorim a. elan uredivaekog tima u Zavodu za ud1bcnikc i naslavna sredstva, elan odbora zs proutavanjc problema nastavc malcmstikc u osnovnim i srcdnjim ~ko J ama pri Prosvctnom savclu Srbijc i dr. Pored ovih funk.cija. obavljao je i druge Slruene poslove kao ~to su: elan ~kolskog odbora i saveta ~kole. u sindikatu itd. Ob)BVloje mnogobrojne knjige i elanke iz oblasti mlltematikc koji su dativeli zapa1cn uspch. imali velik i broj izdanja u milionskom tira1u. Njegovc zbi rke postaic su op~ti jugoslovenski udtbenici koji se svakodnev no koriste na svim proslorima biv~e i dan~nje Jugoslavije. Udtbenlci lblriro ,adarairo iz maremalike za lV razred gimnazije (prvo izdanje 1968.. 3~ . Iwanjc 1998. g.: ukupan lira! 216802 primeraka): lbirko rdeni" zada/aka i: mar.mar,fa I (prvo izdonjc 1970. g.. 25 . izdanjc 1998. g.: ukupan tirat 317835 primcraka) : lblrlca rtlenlh zodatakD Iz mo/ematike 2 (prvo izdanje 1971. g .. 23. izdanjc 1998. g.: ukupan lira! 212816 primerakal: lb,rlco reJenih : odotaka IZ mofematike 3 (prvo izdanje 1972. g.. 22 izdanjc I99S. g.: ukupan llral 2353 10 primcraka): Zbirka zadotaka za IV razred pnrodno~m8lcmatleke slrukc-tetin IzdanJa (prvo izdanje 1980. g.: ukupan Ura! 32000 primcrak..a): Zblrlca zadotako za II razred usmerc nog obrazovanja-dva Izdanja. uk.upan lira! 120.000 primer aka. koaulori dr Petar Vasi e. dr RadovBn jan ie: Malemiltika za IV rsued usmercnog ohrazovanja elektrotehnieke i gradcvinske struke. koaulori dr Petar Vasi( dr Radovan janie i dr Dobrilo Tomie (ukupan lira! IS.000 primcraka); 50 fe stoVQ zo proveru znonja tZ matemofike to osnOYIJU Jlco/u, koaulori : dr Du~an Adnadtvi e. Gli~a Nelkovi¢ i Dragoslav Mili¢ (prvo izdonje 1988. g.. 7. izdonje 1995.g.: ukupan lirat 139.000 primeraka): Logarlfamske rablle. (prvo izdonje 1993.g.• ukupon lirat 30.000 primeraka); LogorilomJko I eksponl!lJcijo/no junlcclj'o sa zbirkom zadafoko. koautor: Svctozar Brankovi¢ (prvo izdanjc 1996.g.). Mr Vene Bogoslavov bio je rt eenzent mnogih ud:!benika matcmatikc. 011 jc nosilac mnogih diploma.. priznanja (Arhimc:dcs. PlakC:la Zavada za izdav811je udtbcn ika) i zohvolniea. . ti.~i u Beograd~ . penzionisan je 19. 09. 1999. g. kao profeso r Pete beogradske gunnuJje. sa 40 godma rada u nastavi.

364

9 9 13 21 24

30 30 31 32

III GLAVA 3. REALNI BROJEVI 37 3.1. Pregled brojeva. Polje reaJnih brojcva . . . . . . . 37 3.2. Pribliine vrednosti. Apsolutna i relativns grdka. Granica grdke. Znaeajne cifre i zaokrugljivanjc brojeva . . . . . .\ . '. . . . . . . . 43 (VGLAVA 4. PROPORCIONALNOST VEUCINA . 4.1. Razmera i proporcija . . . 4.2. Primens proporcije . . . . 4.3. R,tun raspodele i melanj. 4.4. Procenlni i promilni raeun 4.5. Kamatni ratun . . . . . .

46 46 48 49 50 52

VGLAVA 5. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE 5.1. PodudamoSl figura 5.2. Ortogonalnost prave i ravni. Ugao pravc i ravni . . . . . . . 5.3. Veklori . . . . . . . . . . 5.4. Osna i ce ntraill a si melrija 5.4. 1. Osn. si metrija . . . 5.4.2. Ce ntr,I", si metrija 5.5. Translaeija . . . . . . . . 5.6. Rotacija . . . . . . . . . . 5.7. Neke va2nije teorerne 0 trouglu. ectvarouglu. mnogouglu i krutllici

"

54 54 59 60 64 64 66 68 70

87 93

VI1GLAVA 7. HOMOTETIJA I SLiCNOST 7.1. Proporcionalna velj~ina . TaJesova tcorcma . . . . . . 7.2. Homolelija . . . . . . 7.3. SlitnosllIouglova . . 7.4. Primeno slienosti kod pravouglog lrougl. . . . . . . . . .

113

I 13 114 116 120

VIll GLAVA 8. TRIGONOMETRlJA PRA VOUGLOG . .. 126 TROUGLA . . . . . . . . 8.1 Trigonometrijske funkcije oltrog ugla Osnovne trigonomclIijske idcntic!nosti. Re~avanje pravouglog trougla . . . . . . . . . . . . . . . . 126 IXGLAVA 9. LlNEARNE JEDNACINE I NEJEDNACINE .. . .. . . 9.1. Lineamajcdnatina sajednom .. . .. .. . ncpoznalom 9.2. Primens lineamihjednaeina sa jed nom nepoznatom na rcSavanje raznih problema 9.3. Lineama funkcija i njen grafik . . 9.4. Sistem lineamihjednaOina 9.5. Primena sistema linearnihjednatina oa re~av anjc razn ih problema . 9.6. Lineame ncjednatine sajednom nepoz.nalom i njihovo rebvanje 9.7. Grafi(!ka interpretacija sistema Iinearnih nejedna¢ina sa dYe "cpoznate. Rdavanje problema .. . . lineamog programiranja

131

145 145 150 163 166

171

XGLAVA 10. RAZNI ZADACI . . . . . . . • .. .. . . . 173

72

RESENJA (GLAVA

VIGLAVA 6. RACIONALNI ALGEBARSKIIZRAZI 6. 1. PoJinomi i opcracijc sa njima .. .

6.2. Raslavljonje polinoma na Cinioce 6.3. Operacije ss racionalnim olgebarskim izrazima .

84 84

I.LOGIKA I SKUPOVI 1. 1. Os novne logitkc operacije

184 184

365


I 2. Osnovne ,l-upo>nc opcracije . . . . . . . 187 194 I 4 E1cmcnti kombonatonke .. . •... 199

U . Rdocije ,funkcijc: . . . . . . . . • . .

"GLA A 2 UVOD U GEOMETRJJU .. . . . . . . . .. 204 2.1 Tatka. prava. novan. Odnosi pripadanJa i rasporcda . . . . . . . . . . 204 2 2. Paralelnost . . . . . •. . 204 2.3. Dut i usoc .... . .... . •. .. . . 205 III GLAVA 3. REALNI BROJEVI . . . . . . .... . .. . 209 3. L Prcgled brojeva. Polje rcalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . 209 3.2. Priblitnc: vrcdno'tL ApsoluUla i rcl81ivna grcSka. Gnonica grclkc. Znatajne cifre i zaokrugljivanje brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 IVGLAVA 4. PROPORCIONALNOST VEUCINA . . . . . 4. L Razmera i proporeija . . . . . . . . . . . 4.2. Primena proporcije . . . . . . . . . . 4.3. Raton raspodelc i melanj> . . . . . . 4.4. Proccntni i promilni meun .. 4.5. Kam.tni roeun . . . . . . . . . .. . .

22 1 22 1 222 224 226 229

366

· 273

7. HOMOTETIJA I SLiCNOST 7.1. Proporcionaloa vclieina. Talesova teorems ... . 1.2. Homotctija . . . . . . . . . . . . 7.3. SliCnosttrouglova ... . ... . 7.4. Primena sJitnosti kod pravouglog trougla ... . . . . .. . . .. .

· . 287

· 287 · 290 . 292 · 295

VIII GLAVA

ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE I Dvadesel sedmo izdanje

/zdom c

ZAVOD ZA UDZBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA Beograd. Obili~v venae 5

Likovni urednik

Mr TAMARA POPOVIC· NOVAKOVIC

8. TRJGONOMETRJJA PRA VOUGLOG TROUGLA . . . . . . . . . . . .. : . 30) 8. 1. Trigonometrijske funkeije oltrog ugJa Osnovne trigonomctrijskc identiCnoslL Re!8vanje pnovouglog trougl • . . . . . . . . . . . . . .. . . . 303

u/uor SELMA COLOVIC Korice

i.ELJK0 DUROVIC

IX GLAVA

252

XGLAVA 10. RAZNI ZADACI .

.. 267 . . 267

Mr Vent T. Bogoslavov

VII GLAVA

236 239 244 244 246 247 250

231 231

VIGLAVA 6. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI 6. J. Polinomi i operacijc sa njima . ..

· 269

9. L1NEARNE JEDNACINE I NEJED· NACINE . . . . . . . . . . . . . . · 306 9.1. Lineamnjednatina sa jcdnom nepoznatom . . . . . . . . . · 306 9.2. Primcna linearni hjednatina sa jednom nepoznalom na rdavanje raznih problema . . . . . . . . . · 317 9.3 . Lincama funkcija i njen grafik . , · 319 9.4. Sislem lineami hj edna~i na ... , . . · 323 9.5. Primena sistema Iineamih jcdnaeina nn re~ava nj e raznih problema . · 335 9.6. Lineame nejednatine sajednom nepoznatom i njihovo rdavanje .. . .. 33.7 9.7. Grafi~ka intcrprctaeija sistema lincamih ncjednaeina sa dve nepoznale, Re~av8njc problema lineamog programiranja . . . . . . . 342

VGLAVA 5. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE ... 5. L Podudamost figuno . . . . . . . . .. S.2. Onogonalnost pravc i rav"i. Ugao pravc i ravni . . . . . . . .. 5.3. Vektari . . . . . . . . . . . 5.4. Osna i centralna simctrija ... . .. .. SA. L Osn. simetrij> . . . . . . . . . . . 5.4.2. Centroln. simetrija . . . . . ... 5.5. Translaeij • . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Rotaeij. . . . . . . . . . . . . . .. " 5.7. Neke vamijc: teoreme 0 trouglu. ectvorouglu. mnogouglu i krufnici . ..

6.2. Rastavljanje polinoma no l!iniDce 6.3. Operacijc sa racionalnim algebarskim izrazima . . . . . . .

Grafil ki urt!dnik

DUSAN KNE2:EVlC Korekrorr

ZORICA BACKOVIC GORJCA MARKOVIC TATJANA ZORiC Konrpjul~rska obrada RADOYANOVI C' "P.S. Tech "

Obirn: 23 l tampm k. l.bai<a Fonnnt: A5

Tim!: 17 000 primeraka Stompo DSIP ..Bakor" - Bor

· 345

LITERA TURA .. . .

· 363

BELESKE 0 AUTORU .

· 364

Profile for keti naumoska

104858705 vene bogoslavov zbirka rešenih zadataka iz matematike 1  

104858705 vene bogoslavov zbirka rešenih zadataka iz matematike 1  

Profile for ketin
Advertisement