Issuu on Google+


Matematik Ö¤retmeni

(Marmara Üniversitesi mezunu)

KEMAL TÜRKEL‹’nin Tüm ‹kö¤retim

8.s›n›f ö¤encilerini

L‹SELERE Girifl

TEST Seçme S›navlar›;

SBS; OGES (Ortaö¤retime Geçifl Sistemi) * ALS (Türk Silahl› Kuvvetleri Askeri Liseler ile Bando Astsubay Haz›rlama Okulu Seçme S›nav›),

* Özel YABANCI Liseler Adaylar›na * PYBS (Paras›z Yat›l›l›k ve Bursluluk S›nav›) ile Okulda MATEMAT‹K Dersine Yard›mc› Konu Anlat›ml› - Tüm Test sorular› Aç›klamal› Çözümlü

MATEMAT‹K TEST’lerini Pratik çözmeyi ö¤reten evinizdeki ö¤retmeniniz

Ö⁄RETMEN K‹TAP www.kemalturkeli.com kemal_turkeli@yahoo.com


©Copyright 2009; Bu kitab›n tüm yasal haklar› sakl› olup Kemal Türkeli’ye aittir. Bu kitab›n tamam› 5846 say›l› Fikir ve Sanat Eserlerini koruyan yasan›n hükümlerine göre kitab›n yazar› Kemal Türkeli’ye aittir. Bu kitaptaki tüm bilgileri kağ›t ortam›nda veya internet ortam›nda veya DVD-CD gibi bilgi depolama ve çoğaltma ortamlar›nda digital bilgi olarak kaydetme veya elektonik cihazlarda (fotokopi, yaz›c›) kopyalar›n› çoğaltma sonucunda ticari gelir elde etme hakk› Fikir ve Sanat Eserleri kanununu kapsam›nda yazar› Matematik Öğretmeni Kemal Türkeli’ye aittir. Kemal Türkeli’nin yaz›l› izni olmadan kağ›t, internet, DVD gibi benzer ortamlarda aynen veya değiştirilerek k›smen bile herhangi bir bilgi kay›t ortam›nda çoğalt›lmas› veya yay›nlanmas› yasakt›r. Matematik Öğretmeni Kemal Türkeli’nin yaz›l› izni olmaks›z›n tamamen veya k›smen elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kay›t yöntemi ile kitaptaki bilgiler çoğalt›lamaz, yay›nlanamaz, depolanamaz. ® www.kemalturkeli.com yazar›n kendi sitesidir. Kitab› yazan ve yay›na haz›rlayan Matematik Öğretmeni Kemal Türkeli. GSM: (0536) 511 84 00 e-mail: kemal_turkeli@yahoo.com Matematik (Marmara Üniversitesi) ve Elektronik Yüksek Mühendisi (‹stanbul Teknik Üniversitesi) mezunudur. Yazar, Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi ‹ngilizce Matematik Öğretmenliği bölümü öğrencisi olarak bir y›l 1350 Ders ‹ngilizce Haz›rl›k eğitimi alm›şt›r. Kitab›n ad›: Kemal Türkeli’nin 8. s›n›f ilköğretim öğrencilerine SBS’yi kazand›ran Konu Anlat›ml› MATEMAT‹K TESTLER‹'nin pratik çözümünü öğreten Ö⁄RETMEN K‹TAP’t›r.

Dizgi & Grafik Kitab›n Görsel Uygulama ve Dizgisi Önder KARÇI⁄A GSM: (0532) 374 37 98 e-mail: onkarciga@gmail.com

0212 575 48 15 e-mail: dmdara@gmail.com Gsm: 0532 556 24 24 Bahçelievler / ‹STANBUL Kapağ›n geliştirilmesine katk›lar›ndan dolay› teşekkür ederim.

www.kemalturkeli.com

kemal_turkeli@yahoo.com Nisan 2009 ‹stanbul

Eylül 2009 güncellendi


Milleti kurtaranlar yalnız ve ancak ö¤retmenlerdir. Ö¤retmenden, e¤iticiden yoksun bir millet, henüz millet namını almak istidadını keflfetmemifltir.            Toplumların uygarlık düzeyi, ö¤retmene verilen de¤erle ölçülür. Ö¤retmen; geçmiflin ö¤reticisi, gelece¤in kurucusudur. Çalıflmak demek, bofluna yorulmak, terlemek de¤ildir. Zamanın gereklerine göre bilim ve teknik ve her türlü uygar bulufllardan azami derecede istifade etmek zorunludur. Ben manevi miras olarak hiç bir ayet ve hiç bir dogma, hiç bir donmufl ve kalıplaflmıfl kural bırakmıyorum. Benim manevi mirasım ilim ve akıldır.  Medeniyet öyle bir ıfl›ktır ki, ona kayıtsız olanları yakar, mahveder. Medeni olmayan milletler, medeni olanların ayakları altında kalmaya mahkumdur.    

K.Atatürk. (www.add.org.tr)


Önsöz Say›n Ö¤retmenler, Say›n Veliler, De¤erli Çal›flkan Ö¤renciler, Geçmiflte ‹lkö¤retim 5.,6. ve 7. s›n›f ö¤rencileri için Okula yard›mc› MATEMAT‹K kitaplar› yazm›flt›m. Ayr›ca Lise 1 Konu anlat›ml› çözümlü Matematik Testleri Yard›mc› ve Üniversitelere Girifle haz›rlay›c› Ö⁄RETMEN K‹TAP ve KILAVUZ K‹TAP gibi 30 civar› Test veya Konu Anlat›ml› kitaplar yaz›p yay›nlam›flt›m. Elinizdeki bu kitab›, ‹lkö¤retim 8.s›n›f ö¤rencilerine Okuldaki Matematik derslerine ve Haziranda girecekleri SBS S›nav›nda sorulacak 20 Matematik Test sorusuna en iyi flekilde haz›rlanabilmeleri için yazd›m. ALS (Türk Silahl› Kuvvetleri Askeri Liseler ile Bando Astsubay Haz›rlama Okulunda Ö¤renim Görecek Ö¤rencileri Seçme S›nav›) ile PYBS (Paras›z Yat›l›l›k ve Bursluluk S›nav›) gibi s›navlara girecek tüm ö¤rencilere yard›mc› olacak flekilde kitab›mda konu anlat›m›na ve çözümlü Testlere yer verdim. 8.s›n›f›n Degifltirilen yeni program› ile örtüflen geçmiflte Liselere Girifl s›navlar›nda sorulmufl Test sorular›n› inceledim. Kitab›mdaki Test sorular›n› ve konu Anlat›m›m› , s›navlarda önemsenen bilgiyi kavrama, kurallar›(bilgileri) problemle iliflkilendirebilme becerisi ve ifllem (4 ifllem, üslü veya köklü say›larla gibi) performans› gibi ölçütlere uygun olarak yazd›m. Konular› kavratmak için cebirsel ifadelerdeki harflere olas› de¤erler atayarak konuyu say›sal sonuçlarla yorumlayarak daha iyi kavraman›z› kolaylaflt›rmaya çal›flt›m. Milli E¤itim Bakanl›¤›’n›n ö¤renilmesini önemsedi¤i program› hem MEB‘in internet sitesinden inceledim hem de yay›nlad›¤› ‹lkö¤retim 8.s›n›f Ders Kitab›, Ö¤renci Çal›flma Kitab› ile Ö¤retmen K›lavuz Kitab›ndan inceledim. Ayr›ca Ayd›n , Erdem ve Özgün yay›nlar›n›n 8.s›n›f Ders kitaplar›ndan MEB program›n› nas›l ifllediklerini inceledim. ‹nternetten veya ‹ngilizce Matematik ders kitaplar›ndan da Uluslararas› (Global) 8.s›n›f Matematik konular›n›n anlat›l›fl standard›n› da kitab›m› yazarken inceledim. Sonuçta bu kitap Uluslararas› Matematik konular›n›n içinden MEB’in 8.s›n›f için seçti¤i ( önemsediklerini) ö¤renciye kavratmay› konular› bilinçli daha derinden ö¤retmeyi amaçlayan bir ifllenmifl eser niteli¤ini de giderek kazand›. Liselere Girifl SBS s›nav›nda konuyu iyi anlam›fl ö¤rencilerin yapabilece¤i ama konuyu

iyi bilmeyen, birkaç formül veya belirli Test soru tiplerini ezberlemifl ö¤rencinin yapamayaca¤› seçici Matematik Test sorular› sorulmaktad›r. 2010‘da sorulan 20 Matematik Test sorusunun her aday ortalama 5 `ini(net) yapabildi. Ö¤rencilerin %3 ‘ü 16,3 netin üstüne ç›kabildi. Kitab›n sonuna 3 tane 20’fler soruluk SBS Matematik Deneme Testleri ve Çözümlerini de koydum. Kitapta yer alan tüm Test sorular›n›n do¤ru cevaplar› ile Aç›klamal› Çözümlerini de kitab›n sonunda verdim. Bir Test sorusunu do¤ru cevaplam›fl(yapm›fl) bile olsan›z Aç›klamal› çözümünü de incelemenizi öneririm. Kitaptaki çözümlü Test sorular›n›n da çözümünü bir ka¤›tla örtüp önce kendiniz çözmeyi deneyin. Çözemezseniz çözümünden yararlanarak nas›l çözmeniz gerekti¤ini ö¤renebilmeniz için çözümü mutlaka siz de tekrar ad›m ad›m yazarak kavramaya çal›fl›n. Gazete gibi okuyarak yazmadan ara ifllemleri yapmadan ve özet ç›karmadan Matematik ö¤renemezsiniz. Seviye Belirleme S›nav›nda Matematik Testinin a¤›rl›k katsay›s› 4, Türkçe testinin a¤›rl›k katsay›s› 4, Fen Bilgisi testinin a¤›rl›k katsay›s› 3, Sosyal Bilgiler testinin a¤›rl›k katsay›s› 3, Yabanc› Dil testinin a¤›rl›k katsay›s› 1 olacakt›r. Görülüyor ki Matematik Test sorular› 15 üzerinden 4(% 27) de¤erinde a¤›rland›r›lacak t›r. Benim hesaplad›¤›m net say›lar›na göre yaklafl›k 2010 SBS Formülü flöyledir: 2010 SBS 8.s›n›f = 4,62. Matematik + 3,963.Türkçe +3,344 Fen ve T. + 2,827 Sosyal +1,194 ‹ng + 172,734 (Taban puan) 2010 Liselere Girifl s›nav›nda 1019498 Aday yar›flm›flt›r. Adaylar›n 978061‘ i(% 96’s›) Tercih yapabilme hakk›n› kazanabildi. Bunlar›n 636024‘ ü tercih yapt›. Tercih yapanlar›n 328081’ i (Baflvuranlar›n %32’si) I. yerlefltirmede tercihlerinden birine yerlefltirildi. 1386 Anadolu Lisesini toplam 177550(S›nava girenlerin %17” si kazanabildi ) ö¤renci kazand›. 2010 Liselere Girifl s›nav›nda 100 soruyu do¤ru yan›tlayabilen ve okul baflar› notlar› okullar›nda en yüksek olarak hesaplanan 868 ö¤renci SP8 puanlar›na göre birincili¤i aralar›nda paylaflt›lar. 2010 da 8.s›n›flar aras›nda 100 net yapabilen ö¤renci say›s› 1544 oldu fakat bunlar›n 676‘s›n›n S›n›f Puanlar› 100 puan olmad›¤›ndan SP8 Puan›nda


s›nav birincisi olamad›lar. 142 Fen Lisesini ve Sosyal Bilimler Liselerini 11830 ö¤renci kazand›. ‹stanbul’daki 1644 ‹lkö¤retim okulunun (236’s› Özeldir) en iyileri olan ö¤renciler, en iyi okullar› kazanabilmek için 2011 SBS s›nav›nda birbirleriyle yar›flacaklard›r. Okullar›n›n en iyisi olmayan ö¤re nc ilerin, gözd e b ir A nadolu Lisesini kazanabilmeleri için zamanlar›n› çok iyi kullan›p çok iyi bir ders çal›flma program› yapabilirlerse iyi bir Anadolu Lisesini kazanabileceklerdir. 2010’da ‹stanbul’daki 127 Anadolu Lisesine 21340 ö¤rencilik kontenjan ayr›ld›. ‹stanbul’dan baflvuran 197206 mezun aday bir Anadolu Liselerini kazanabilmek için yar›flt›. Adaylar 2010 ‘da SBS‘ de sorulan 100 so ruyu (www .kemalturkeli.com veya http://oges.meb.gov.tr) Arflivinden çözmeyi denesinler. Ayr›ca SBS Adaylar› sitemde verilen geçmifl y›llarda sorulmufl Test s›nav sorular›n› da çözmeye çal›fls›nlar. Öncelikle ö¤rendikleri konularla ilgili sorular› çözmeye çal›fls›nlar. Kendi Performanslar›n›n iyi oldu¤u saatlerde henüz ö¤retilmeyen konular›, okulda ö¤retilmesini beklemeden ö¤renmeye çal›fls›nlar. SBS adaylar›n›n Y›lsonu Baflar› Puan› (YBP) sene sonu Karne notlar›ndan hesaplanacakt›r. Y›l sonu okul puan›n›z okulunuzdaki en baflar›l› ö¤rencinin baflar› puan›na bölünerek sonuç 132 ile çarp ›lacakt›r. En çok 132 p ua n ok uldan kazanabileceksiniz. Bulunan puan S›n›f Puan›n›z hesaplan›rken SBS’ nize eklenecektir. 8.s›n›f S›n›f Puan›n›z›n 368 puan›n› SBS den, 132 puan›n› da okul derslerinizdeki baflar›n›zdan kazanabileceksiniz. SBS puanlar›na YBP puanlar› da eklenece¤inden ö¤rencilerin okul notlar›n› artt›rmaya önem vermeleri de gerekmektedir. 2010 ‹stanbul Galatasaray Lisesinin (Frans›zca) 100. ö¤rencisinin en düflük OYP puan› 493,438 oldu. ‹stanbul Lisesinin (Almanca) 180. ö¤rencisinin (sonuncunun) puan› 491,749 idi. Befliktafl KABATAfi Erkek Lisesinin 120. (sonuncu; ‹ng) ö¤rencisinin OYP puan› 489,906 idi. Bahçelievler’deki Adnan Menderes Anadolu Lisesinin 150. ö¤rencisinin puan› 478,427 oldu. Ataköy Hasan Polatkan Anadolu Lisesini kazanan 90. ö¤rencinin puan› da 462,969 oldu. Ataköy Cumhuriyet Anadolu Lisesini kazanan 120. ö¤rencinin puan› 446,155 oldu. ‹nternet sitemde kitab›n bas›m› s›ras›nda gözden kaçan düzeltmeleri veya kitapla ilgili veya SBS Haz›rl›k sürecinizde yararl› Rehberlik yaz›lar›n› veya

ö¤rencilere yararl› olabilecek çeflitli ek b ilgil er i( S› nav S or ula r›, Dene m e S ›na v› S o r ul a r › , Ç öz ü m le r i , De r s k on u a n l a t› m › yararlanabilece¤iniz Sitelerin adreslerine ba¤lant›lar gibi) bulabileceksiniz. Sitemde tüm SBS veya Üniversite Adaylar›na(LYS, YGS) Okula Yard›mc› + S›nava Haz›rlay›c› çeflitli yararl› bilgiler bulacaks›n›z. Kitapta olmas›n› istedi¤iniz soru çeflitlerini veya istedi¤iniz konu anlat›m›n› sitedeki adresime yaz›p bana e-mail yollarsan›z kitab›m›n yeni bask›s›n› isteklerinizi göz önüne alarak gelifltirmeye çal›flaca¤›m. Okuma h›z›n›z› elinizden geldi¤ince artt›rmaya önem verin. KİŞİSEL GELİŞİM (DVD ; www.infinityteknoloji.com, H›zl› Okuma, Bellek Gelifltirme, Düflünce Gücü) DVD’sini çal›flarak s›navda baflar›n›z› artt›rabilirsiniz. 2011 8.s›n›f SBS Adaylar›na Matematik temellerini gelifltirme sürecinde, okul derslerinde ve istedi¤iniz Anadolu Lisesini kazand›rmada kitab›m›n sizlere yararl› oldu¤unu bildirece¤iniz emailleriniz (Elektronik Posta) yeni Test kitab› yazmak için çal›flma heyecan›m› olumlu yönde artt›racakt›r. Baflar› haberlerinizi almak umuduyla, Tüm okurlar›m›n öneri ve elefltirisi ile kitab›m›n içeri¤i daha da gelifltirilerek zenginleflecektir. S›navlarda baflar›l› olman›z› dilerim www.kemalturkeli.com sitesinin Rehberlik köflesi yazar› Matematik ö¤retmeni yazar

KEMAL Türkeli www.kemalturkeli.com sitemdeki SBS Adaylar›na Ayl›k Haberler Bültenim Köfle Yaz›m› + Arflivdeki yaz›lar›m› da ücretsiz okuyunuz. Tel:0212.442 3040 Cep; 0536.511 8400; 2010 Ekim güncellenmifltir ‹stanbul / Bahçelievler MSN veya e-mail yaz›flma adresim ;

kemal_turkeli@yahoo.com www.kemalturkeli.com www.facebook.com/kemal.turkeli


‹lkö¤retim 8. s›n›f SBS’ye Haz›rl›k + OKUL’a Yard›mc› MATEMAT‹K TEST’lerini ö¤reten evinizdeki ö¤retmeniniz Ö⁄RETMEN K‹TAP ‹çindekiler: 1. Ünite : Aralar›nda Farkl› iliflkiler (kurallar) olan fiekil ve Say› kümeleri (7), Fraktal geometri (Fractal geometry) (7) , Dönüflüm Geometrisi ; Koordinat sisteminde bir eksene göre bir fleklin yans›ma alt›ndaki görüntüsü (11), Orijin etraf›nda bir flekli döndürmek (12), fiekli eksenlere paralel öteleme (13), Araflt›rmalar için uygun soru oluflturma, Örneklem (14), Histogram oluflturarak grafi¤ini çizme (14), Üslü say›lar (16), Üslü say›lar›n bilimsel gösterimi (19), 1.Ünite Test Sorular› (20,çözümleri 183) 2. Ünite: Olas›l›k nedir? Çeflitleri (25), Olay çeflitleri (25), Olas›l›k Testleri (28, çözümleri 187) , Kareköklü Say›lar (30), Kareköklü say›larla ifllemler (32), Kareköklü Say›lar Testi (36), Gerçek say›lar (37), Standart Sapma (37) ,2.Ünite Test Sorular› (42,çözümleri 191’de), 3. Ünite: GEOMETR‹ ; Üçgenler (44), Üçgen eflitsizli¤i (44) , üçgen çizimi (47), Do¤ru parças›n›n orta dikme do¤rusunu çizmek(48), Yüksekliklerin özellikleri (49), Pisagor ba¤›nt›s› (51), Say› örüntüleri (60), Aritmetik dizi (61), Geometrik dizi (61), Özdefllikler (63), Üç terimli cebirsel ifadeleri cebir karolar›n› kullanarak çarpanlar›na ay›rmak (65), Rasyonel Cebirsel ifadelerle ifllem yaparak olabiliyorsa sonucun sadelefltirmelerini yapmak (66), 3.Ünite Test Sorular› (72,çözümleri 194), 4. Ünite: Kombinasyon (76), Permütasyon (77), Denklem sistemleri (79), Do¤rusal (1.dereceden) Denklem sistemlerinin cebirsel yok etme veya yerine koyma yöntemi ile çözümü (81), Üçgenlerin eflitli¤i (84), Üçgenlerin Benzerli¤i (87), Geometrik Cisimler; Üçgen prizma (95), Üçgen prizman›n Alan› (97), Düzgün alt›gen dik prizman›n alan› (98), Piramit (107), Dik koni (108), Küre (108), 4.Ünite Test Sorular› (109, çözümü 199), 5. Ünite; Dik Piramidin yüzey Alan›n›, hacmini hesaplama (114), Dik Dairesel koninin yüzey Alan› (117), Kürenin yüzey alan›n›n hesab› (120), Dik piramidin Hacmi (125), Dik dairesel Koninin Hacmi (128), Kürenin Hacmi (132), ‹zdüflümü ve Çok yüzlüler (136), Perspektif çizimi (136), Bir nokta ve iki nokta perspektifinin çizimi (137), Çok yüzlüler ve ara kesitleri (138), 5.Ünite SBS TEST Sorular› (142, çözümleri 205), 6. Ünite: Geometrik cisimler : Çok küplüleri kullanarak yap›lar oluflturmak (148), Geometrik cisimlerin simetrileri (149), Do¤runun E¤imi nedir? Nas›l hesaplan›r? (153) , Do¤rusal denklem sistemlerinin grafiklerini çizerek sistemin çözüm kümesini bulmak (155), Eflitsizlikler (157), ‹ki bilinmeyenli do¤rusal eflitsizliklerin çözüm kümesinin ikililerini koordinat düzleminde gösterme (158), Trigonometrik oranlar›n tan›m› (160), 30˚,60˚,45˚ aç›lar›n trigonometrik oranlar›(161), 6.Ünite Test Sorular›(166,��özümleri 213), 7. Ünite 8 SBS 1.Matematik Deneme Testi sorular› (172), 8 SBS 2.Matematik Deneme Testi sorular› (175), 8. SBS 3.Matematik Deneme Testi sorular› (178), 8.Ünite : 7 Ünitede çözülmeyen Test Sorular›n›n cevaplar› ile Aç›klamal› çözümleri. 20.sayfadaki 1.Ünite Testlerinin cevaplar› ile çözümleri (183), 28 sayfadaki 2.Ünite Testlerinin cevap ve çözümleri (187), 36. Sayfan›n 189’da, 42. sayfadakinin 191’de, 72. sayfadaki 3.Ünitenin 194’de, 109. sayfadaki 4. Ünitenin 199’da, 142. sayfadaki 5. Ünitenin 205’de, 166. sayfadaki 6. Ünitenin 213’de, 172. sayfadaki 1. Denemenin 219’da, 175. sayfadaki 2. Denemenin 224’de, 178. sayfadaki, 3. Denemenin 230’da cevap ve çözümleri verilmifltir.


ARALARINDA FARKLI ‹L‹fiK‹LER OLAN fiEK‹L veya SAYI KÜMELER‹

ÜN‹TE 1

Hal›, tarihi binalar›n duvarlar›, kumafl, perde, duvar ka¤›d›, defter kapa¤› gibi de¤iflik yüzeylerde gördü¤ümüz do¤ru, üçgen, çokgen, çember gibi elemanlardan oluflturulmufl grafik desenlerini inceledi¤imizde çizerin (ressam›n) bofl bir ka¤›da bunlar› hangi mant›k s›ras› ile oluflturdu¤unu merak ederiz. Ayr›ca Norveç’in çok girintili, ç›k›nt›l› k›y› fleridine benziyen resimler dijital fotograf makinalar›na say› dizisi olarak kaydedilirken bayt (byte) veya bit (1 Byte = 8 Bit) olarak bellekte çok yer tutarlar. Bunu azaltabilmek için Fraktal geometri (Fractal Geometry) den yararlanmaya çal›fl›l›r. Fraktal bir fleklin orant›l› olarak küçültülmüfl ya da büyütülmüflleri ile oluflturulan flekil kümeleri olan flekil örüntülerine k›saca fraktal denir. ‹sveçli Matematikçi Helge Von Koch (1870 - 1924) taraf›ndan gelifltirilen Koch e¤risinin (virajl›) hangi aflamalarla oluflturuldu¤unu inceleyelim. Deniz

1. Ad›m: A

B

160 - 90 = 70 mm uzam›fl durumdad›r. Düz k›y›y› doldurarak sahil fleridini 70 mm uzatm›fl olduk. Norveç’in girintili ç›k›nt›l› k›y›lar›n› and›ran bir Matematik model gelifltirmifl olduk. Size önerim k›rtasiyeciden 10 tabaka A4 boyu ince Ayd›nger ka¤›d› alarak her yeni flekli olufltururken yeni bir Ayd›ngeri bir öncekinin üstüne seloteyple yap›flt›rarak çizmenizdir. Böylece fraktal e¤rilerden oluflan örüntünün oluflumunu daha iyi kavrayabilirsiniz. Bu ifllemi n = 100 kez tekrarlad›¤›m›zda kar tanesine (snowfake) benzer bir flekil veya do¤adaki Norveç k›y›lar›na benzer bir flekil elde edilir. Oluflan e¤riye de fraktal (fractal) ad› verilir. Dikkat ederseniz her aflamada flekli oluflturan 1 do¤ru parçalar› bir öncekinin ü uzunlu¤unda ol3 makta, do¤ru parças› say›s› ise bir öncekinin 4 kat›na ç›kmaktad›r. K›y› fleridimiz de bir öncekinin 4 uzun3 lu¤unda kat› olmaktad›r.

K E |AB| = a = 90 mm = 3.30 4 . 4 . M 30 = 120 mm → 120 = 160 mm oldu. 3 3 A Deniz kenar›nda 90 mm’lik k›y› fleridimiz olsun. L fiimdi denizi doldurarak k›y› fleridini uzatal›m. Böylece k›y› fleridimiz 1 < 4 oldu¤undan her T fieridi 3 eflit parçaya bölelim. 3 Ü 4 1 R aflamada uzayacakt›r. 3 . 160 = 64 . 9 . 30 = 213,3 E K mm bir sonraki k›y› fleridimizdir. E Deniz k k L Bafll›ng›ç fleklini IABI = 270 mm alarak bir sonraki ‹ k k C D flekli de siz oluflturunuz. A B k

k = 30

k

k = 30

k

k = 30

Yani IABI deniz k›y›m›z 4.30 = 120 mm’ye uzam›flt›r. fiimdi 4 parçan›n herbirini 3’e bölerek herbirine bir önceki ifllemi tekrarlayal›m: Deniz

A

B

Polonyal› Matematikçi Vaclav Sierpinski (18821969) Sierpinski üçgeni (The Sierpinski Gasget, Sierpinski fiapkas›) denen fraktal› 1916 y›l›nda tan›tm›flt›r. 12. yüzy›lda bir kilisede süsleme olarak ayn› flekil çizilmifltir. Bir kenar› a = 32 mm Çevresi= 3a = 96 mm olan bir eflkenar üçgen çizelim.

A Bafllang›ç fleklimiz 3 tane 30 mm’den oluflurken flimdi herbir do¤ru parçam›z›n uzunlu¤u 1 . 30 = 10 mm olmufltur. 10 mm = k do¤ru par3 3 çalar›n›n say›s›n›n 16’ya ç›kt›¤›na yani 4.4 = 16 kat›na ç›kt›¤›na dikkat ediniz. Sahil fleridimiz de 90 mm’den 1 1 16 . k = 16 . 30 = 160 mm olmufl. 3 3 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

a= 32 mm

B

a= 32 mm

C

7


Fraktal

KEMAL Türkeli Tekrar ayn› ifllemi yineleyerek her üçgen yerine 3 üçgen yerlefltirelim. Yeni eflkenar üçgenlerimizin kenar uzunlu¤u 1 . 8 = 1 . a = 4 mm olur. 2 8 9 . 3 = 27 üçgenimizin kenar say›s› 27 . 3 = 81 3 tanedir. 27 üçgenin toplam çevresi bir öncekinin 2 kat› olacakt›r. 3 . 216 mm = 324 mm = 81 . a 2 8 = 81 . 32 = 324 mm olacakt›r. 8

‹kinci ad›mda A, B ve C köflelerine kenar uzunlu¤u 1 a = 16 mm olan 3 benzer eflit efl kenar üçgeni 2 çizelim. A 16 =

16

a 2

a 2 1. benzer üçgen

3. benzer üçgen

B 2. benzer üçgen

a 2

C

A 4

Yeni flekli bir önceki ile karfl›laflt›r›rsak, flekli oluflturan kenar uzunluklar› bir öncekinin a 1 si ( = 16 mm), toplam kenar say›s› 3 kat 9 2 2 eflit kenardan oluflan 3 yeni üçgenimiz olufltu. fiekli oluflturan do¤ru parçalar›n›n uzunluklar› toplam› ise S 9. 1 . a = 9 . 1. 32 = 3 . 96 = 144 mm = 3 . Ç B 2 2 2 2 S olmufltur.

8

4 4 4 4 4

11

5

1 3

2

4

7 6

8

9 19

10 12

20

21

4

Bir sonraki ad›mda her eflkenar üçgen yerine 13 16 22 25 1 si büyüklü¤ünde köflelerine 3 eflkenar üçgeni 4 2 14 15 17 18 23 24 26 27 M yerlefltirme ifllemini yineleyerek uygulayal›m. B C A A T E Dikkat ederseniz 64 eflit üçgenin 27 tanesi yar›dan M 8 A azd›r. Yani bu ifllemi n = 100 kez yenilersek üçgenlerin 1 T ‹ toplam alan› üçgenin (ABC) alan›na göre çok küçük K bir de¤er olacakt›r. 8

2

Deniz

3

IABI = 729 mm

A

B

D

8 4

8

B

5 8

7

6

8

9

8

8

8

A C

Oluflturdu¤umuz 9 eflkenar üçgenin kenar uzunlu¤u 1 .16 = 8 mm = 1 . 32 olup toplam ke2 4 nar say›m›z bir öncekinin 3 kat› 3 . 9 = 27 tanedir. 9 üçgenin toplam çevresi ise bir öncekinin 3 . 27 . 27 144 = 216 mm = (32) = a 2 4 4 8

4 9

4 9

4 9

C

E 1 9

Deniz

4 9

B

IABI = 729 mm = 9 k = 9 . 81 k = 81 mm 4 alal›m. Sonra da IABI’nin uzunlu¤unda 4 eflit 9 parçadan (her biri 324 mm) flekli olufltural›m. Daha önce eflkenar üçgenle yapm›flt›k flimdi de CDE ikizkenar üçgendir. IACI = ICDI= IDEI = IEBI = 4k = 324 mm Toplam k›y› fleridimiz 16 . IABI = 1296 mm 9 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


1. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Örnek TEST 1 :

Her bir kenara bir önceki ifllemleri yeniden uygulayal›m. Eflit herbir parçan›n uzunlu¤u

Afla¤›daki örüntünün devam› hangi seçenekteki flekil olabilir?

4 . 324 = 144 mm = 16 . 729 = 16 . IABI 81 81 9 fiekli oluflturan eflit do¤ru parças› say›s› 16’d›r.

A

144

A)

B)

C)

D)

B

fiimdi 16 do¤ru parças›n›n her birine temel ifllemleri tekrar yineleyelim. K Çözüm 1 : Düzgün alt›genin bir köflesinden E M geçen 3 köflegeni ilk 3 flekilde çiA zilmifl. Saat yönünde yeni bir köfle seçilip A, B, C seL çeneklerinde di¤er köflegenleri çizilmifl. Sonra di¤er T köfle saat yönünde seçilmifl D’de bunun bir köflegeni Ü B R çizilmifl. A Do¤ru cevap: A K E Oluflan flekilde eflit do¤ru parçalar›n›n uzunlu¤u L Örnek TEST 2 : 9 küçük kareden oluflan 1. ‹ fleklin içindeki kareler belli 64 . IABI = 64 . 729 = 64 mm’dir. bir kurala göre karalanarak (boyanarak) 2. flekil729 729 deki gibi bir desen elde edilmifltir. Kenar say›s› bir öncekinin 4 kat› oldu. Afla¤›daki desenlerden biri hariç di¤er üçü 16 . 4 = 64 do¤ru parçam›z flekli oluflturuyor. ayn› kuralla oluflturulmufltur. Kurala uymayan desen hangisidir? Deniz kenar›nda oluflan toplam k›y› fleridimiz 4096 . IABI = 4096 mm oldu. 729 Veya 64 . 64 = 4096 mm oldu. K›y› fleridimizi 4096 -729 = 4,62 kat art›rd›k. 729 Toplam k›y› fleridimiz 5 451 kata ulaflt›. 729

1. flekil

A)

B)

2. flekil

C)

D)

Çözüm 2 :

Doğanın muazzam kitabının dili matematiktir. Galileo KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

2. flekil ve A, B ve C flekillerinin ortak özelli¤i her sat›r ve her sütunda bir ve yaln›z bir küçük kare karalanarak (boyanarak) desenler elde edilmifl olmas›d›r. Oysa D seçene¤inde 3. sütunda birden çok kare boyanm›flt›r. Do¤ru cevap: D 9


Üçgenler

KEMAL Türkeli

Sözkonusu kurala göre birinci sat›rda 3 yerden birini seçebiliriz. 2. sat›rda ise kalan 2 yerden birini seçebiliriz, 3 x 2 = 6 adet farkl› desen oluflturabiliriz. Kalan 2 deseni de siz bulunuz. Örnek TEST 3 :

Afla¤›da verilen örüntüde bir sonraki flekil hangi seçenektedir?

A a

B

A D

a

a

C B

E F

C

IDAI = IDBI, IEAI = IECI , IFBI = IFCI A)

B)

C)

D)

8

Çözüm 3 :

Verilen örüntüde bir eflkenar üçgenden bafllanm›fl, sonra da her 1 kenar›n›n orta noktalar› birlefltirilerek küçültülmüflü 2 elde edilmifl. 3. de de son eflkenar üçgenin orta nok1 talar› birlefltirilerek bir öncekinin yine benzeri olan 2 üçgen elde edilmifl, örüntünün bir sonraki flekli B seçene¤indedir. Çünkü son üçgenin kenarlar›n›n orta noktalar› birlefltirilerek yine bir öncekinin 1 benzeri 2 olan eflkenar üçgen çizilmifl. Do¤ru cevap: B Örnek TEST 4 :

IABI = a = 729 mm uzunlu¤unda bir tahta çubu¤umuz olsun. Veya A ve B noktalar› aras› 729 m asfalt yeni yol yapt›¤›m›z› varsayal›m. A A A 10

8a 27a - 8a 19 19 = = a= .729 = 513 mm 27 27 27 27 k›salm›flt›r. a-

Do¤ru cevap D

B

a = 729 243

Çubu¤u marangoza 3 eflit parçaya böldürelim. a 729 Yeni parçalar = = 243 mm olacakt›r. Orta3 3 1 daki parçay› her seferinde ay›ral›m. Veya yolun ‘ü 3 olan ortas›n›n bir y›l sonra bak›ms›zl›ktan bozuldu¤unu varsayal›m. a 1. ifllem sonunda her parçan›n uzunlu¤u = 243 3 mm, kalan parça say›s› 2’dir. Kalan 2 parçan›n uzuna luklar› toplam› ise 2 = 2.243 = 486 mm’dir. Veya 3 ortas› bozulan asfalt yolun sa¤lam k›sm›n›n uzunlu¤u 486 m’dir. Tekrar her tahta parçay› marangoza üç eflit parçaya böldürüp ortadakini ay›ral›m. 2. ifllem sonunda elde edece¤imiz her parçan›n uzunlu¤u a 729 = = 81 mm, parçalar›n say›s› 4, kurala göre 9 9 elde edilen tahta çubuklar›n uzunluklar› toplam› ise a 4. = 4.81 = 324 mm olacakt›r. Tekrar marangoza 9 4 parçay› verip her parçaya ayn› ifllemi uygulamas›n› S istiyoruz. Hangi seçenekteki bilgi yanl›fl verilmifltir? B A) 3. ifllem sonucunda her bir tahta parças›n›n S uzunlu¤u 27 mm olacakt›r. B) 3. ifllem sonucunda kurala göre 8 adet 27 mm uzunlu¤unda tahta parçam›z olacakt›r. C) 3. ifllem sonucunda kalan parçalar›n uzunluklar› a toplam› 8. ⋲ 0,3.a = 216 mm olacakt›r. M 27 A D) 3. ifllem sonucunda çubu¤un boyu 486 mm T k›salm›flt›r. E M A Çözüm 4 : Söylenen kurala göre marangoz 4 T parçan›n her birini 3 eflit parçaya ‹ K bölecek fakat ortadaki parçay› kural gere¤ince bize vermeyecektir. a = 81 = 27 mm yeni parça uzunlu27 3 ¤u olacakt›r. 3. ifllem sonucunda kurala göre, a 4 x 2 = 8 adet 27 mm = boyunda tahta 27 parçam›z olacakt›r. 3. ifllem sonucunda kalan tahta a parçalar›n›n uzunluklar› toplam› 8. = 8.27 = 216 27 mm olacakt›r.

C

D

E F C ? a ?= 9

D

a 3 ?

G

B H B ?

3 için 8 .a = 27

( 23 ) .a oldu¤una dikkat ediniz. 3

Bu fraktal say›lamayacak kadar çok (sonsuz) say›da parçan›n uzunluklar› toplam›n›n s›f›ra yak›n oldu¤unu söylüyor. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹ KOORD‹NAT S‹STEM‹NDE B‹R ÇOKGEN‹N, DO⁄RULARDAN B‹R‹NE GÖRE YANSIMASI, ORJ‹N ETRAFINDA BEL‹RL‹ AÇILARDA DÖNDÜRÜLMES‹ veya HERHANG‹ B‹R DO⁄RU BOYUNCA ÖTELENMES‹ Örnek TEST 5 :

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1,5), B(5,2), C(9,5) ve D(5,8) dörtgeninin x eksenine göre yans›ma › › › › alt›ndaki görüntüsü (simetrisi) A B C D dir.

Bir fleklin x eksenine göre yans›mas› (simetrisi) alt›ndaki görüntüsü bulunurken flekli oluflturan her› hangi bir nokta K (a,b) ise yeni adresi K (a,-b) olur. Dikkat ederseniz ordinat› (-1) ile çarp›ld› veya z›t iflaretlisi yaz›ld› diyebiliriz.

y (x = 0)

Örnek TEST 4 :

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(6,4), B(2,1) ve C(6,1) olan üçgenin x eksenine göre yans›ma › › › alt›ndaki görüntüsü olan A B C üçgeni çiziliyor.

D(5,8)

y

5

A

C(9,5)

A(6,4)

x=0

B(5,2) O

B(2,1)

C(6,1)

y=0

x

K E M A L

Hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? › A) A (6, -4) › B) C (6, -1) T C) Her noktan›n ordinat› ile simetri¤inin ordinatlar› Ü R toplam› s›f›rdan farkl›d›r. › K D) B (2, -1) E L ‹ Çözüm 4 : y

x (y = 0)

1

Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? › › A) D (5, -8) dir. B) C (9, -5) dir. › › C) B (5, -2) dir. D) A (-1, 5) dir. Çözüm 5 : y (x = 0)

D(5,8)

5 A

C(9,5)

A(6,4)

x=0

2

B(5,2) x

B(2,1) ›

B (2,-1)

C(6,1) ›

C (6,-1)

y=0

1

x

A (6,-4)

5

y=0

B (5,-2)

-5

A

C (9,-5)

A(6, 4) A (6, -4) › B(2, 1) B (2, -1) › C(6, 1) C (6, -1) 4 + (-4) = 0 1 + (-1) = 0 oldu¤undan C seçene¤indeki önerme yanl›flt›r. Do¤ru cevap: C yA + yA = 4 + (-4) = 0 yB + yB = 1 + (-1) = 0 ›

D (5,-8)

A(1, 5) B(5, 2) C(9, 5) D(5, 8)

A (1, -5) › B (5, -2) › C (9, -5) › D (5, -8)

Do¤ru cevap: D

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

11


Eksene göre yans›ma alt›ndaki görüntüsü Çözüm 7 :

Örnek TEST 6 :

ABC üçgeninin x eksenine göre yans›mas›n›n (simetri› › › ¤inin) köfle noktalar›n›n koordinatlar› A B C dir. › A(2, 3) A (a, -3) › B(4, b) B (4, -1) › C(8, d) C (c, -2) Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? A) a + b = 3 B) a : b = 2 C) c - 3d = +14 D) 2c - a . b = 14 Çözüm 6 :

a = 2, -b = -1

b = 1, c = 8

(-1) d = -2

d=2

KEMAL Türkeli y A›

A (3,5)

C›(-7,2)

B›(-3,2)

B(3,2)

-7

-3

3

C(7,2)

x

7

A(3, 5) B(3, 2) C(7, 2)

A (-3, 5) › B (-3, 2) › C (-7, 2)

Do¤ru cevap: D

xA + xA = 3 + (-3) = 0 xB + xB = 3 + (-3) = 0 xC + xC = 7 + (-7) = 0 ›

oldu¤u hesaplan›r.

a + b = 2 + 1 = 3,√

a : b = 2 : 1 = 2, √

c -3d = 8 -3 . 2 = 8 -6 = 2 Örnek TEST 8 :

2c - ab = 2 . 8 - 2 . 1 = 16 - 2 = 14 Do¤ru cevap: C S Bir fleklin y eksenine göre yans›ma alt›ndaki B görüntüsü (simetri¤i) bulunurken fleklin köflelerine S › ait bir nokta K(a, b) ise, yeni adresi K (-a, b) olur. Dikkat ederseniz apsisini -1 ile çarp›yoruz veya z›t iflaretlisini al›yoruz.

8

Örnek TEST 7 :

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(3,5), B(3,2) ve C(7,2) olan üçgenin y eksenine göre yans›ma › › › alt›ndaki görüntüsü olan A B C üçgeni çiziliyor. y

5

D(3,5)

C(7,2)

B(3,2) 3

7

x

Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? › A) B (-3, 2) › B) A (-3, 5) › C) C (-7, 2) D) fiekle ait her noktan›n apsisi ile y eksenine göre yans›ma alt›ndaki görüntüsünün (simetri¤inin) apsisleri toplam› s›f›rdan farkl›d›r.

12

M A T E M A T ‹ K

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(1,3), B(5,0), C(9,3) ve D(5,6) olan dörtgenin y eksenine göre yans›ma › › › › alt›ndaki görüntüsü (simetri¤i) A B C D çiziliyor. y D

C›

D(5,6)

A› A

B›

C(9,3)

1

x

B(5,0)

Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? › › A) B (-5, 0) tür B) A (-1, 3) tür › › C) D (5, -6) tür D) C (-9, 3) tür Çözüm 8 :

A(1,3) B(5,0) C(9,3) D(5,6)

(-1) .1 = -1 = xA A (-1,3) › B (-5,0) › B (-9,3) › D (-5,6) d›r. Do¤ru cevap: C ›

O (0,0) noktas› (orijin) etraf›nda saat yönünde bir flekli 90º döndürürsek, flekle ait bir T (a,b) noktas›n›n yeni adresi T1 = (b, -a) olur. E¤er saatin dönüfl yönünün tersine döndürürsek T2 = (-b, a) olur. E¤er α = 180º saat yönünde döndürürsek T3 = (-a, -b) olur. Dikkat ederseniz TT3 do¤ru parças›n›n orta noktas› koordinat sisteminin bafllang›ç noktas› olan O(0,0)d›r. Yani 180º döndürmek orijine (O) göre simetri¤ini çizmeye eflittir. E¤er α = 360º döndürürsek T(a,b) koordinat› ayn› kal›r. Yeni flekil ayn› yerinde dönmemifl gibi görünür. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


1. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 9 :

Köfle noktalar›n›n koordinatlar› T(3,4), H(3,0) ve O(0,0) olan TOH dik üçgeni, orijin etraf›nda saat yönünde veya tersi yönünde döndürülüyor.

a + b + c + d = 3 + (-2) + 5 + 1 = 7, 2a + b = 6 + (-2) = 4, 3c - 2d = 15 - 2 = 13, 3a - 2c = 9 - 10 = -1 Do¤ru cevap: A

y

Verilen bir flekli x ekseninde a birim ötelersek › flekle ait bir nokta K(x, y) K (x + a, y) olacakt›r. fiayet flekli y eksenine paralel b birim (yukar› b +, afla¤› ise b’nin iflareti - al›n›r.) ötelersek ›› K(x, y) K (x, y + b) ‹stedi¤imiz s›rada her iki eksen boyunca flekli ››› ötelersek K (x + a, y + b) olur. fiekil ötelenirken bütün noktalar› bir arada ötelenir. Bir fleklin, bir do¤ru boyunca yans›mas›n› çizip sonra sözkonusu do¤ru boyunca ötelemesini çizmek yerine s›ray› de¤ifltirip önce öteler sonra do¤ruya göre yans›mas›n› çizersek, gene ayn› flekil olaca¤›na dikkat ediniz.

T(3,4) T2

C(-5,0)

H2 H3

O

-3

90°

A(5,0)

H

x

T3 (4,-3)

H1

T3

B(0,-5)

Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? A) Üçgen saat yönünde 90º döndürüldü¤ünde T’nin yeni adresi T1 (4, -3) olur. B) Saatin tersi yönünde 90º döndürülürse T’nin yeni adresi T2 (-4, 3) olur. C) Saat yönünde 180º döndürüldü¤ünde T’nin yeni adresi T3 (-4, -3) olur. D) H(3, 0) noktas› saat yönünde 90º flekil döndürüldü¤ünde yeni adresi H1 (0, -3) olur. Çözüm 9 : A; α = -90° için, T(a,b) T1 (b, -a) = T1 (4, -3) olur. T (3, 4) = T(a, b) B; α = +90° (tersi + al›n›r) için T2 (-b, a) = T2 (-4, 3) olur. C; α = 180° için T3 (-a, -b) = T3 (-3, -4) olur. D; H(3, 0) = H(a, b) a = 3, b = 0 H1 (b, -a) = H1 (0, -3) olur. Do¤ru cevap: C Örnek TEST 10 : KRM üçgeninin saat yönünde orijin etraf›nda 90° › › › döndürülme sonucundaki görüntüsü K R M üçgenidir. › › K(2, a) K (3, b) R(c, 1) R (d, -5) biliniyorken hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? A) a + b + c + d = 6 B) 2a + b = 4 C) 3c - 2d = 13 D) 3a - 2c = -1 ›

Çözüm 10 : K(2, a) K (a, -2) olmal›d›r. a = 3, b = -2 › R(c, 1) R (1, -c) olmal›d›r. 1= d, -c = -5 c = 5 olmal›d›r.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Örnek TEST 11 : y

K E M A L T Ü R K E L ‹

A

C

B B

A

C

A

A(-6, 4), › A (-6, -4), ›› A (5, 4), ››› A (5, -4),

O

B

››

B

›››

››

C C

A

››

x

›››

›››

B(-10, 1), C(-6, 1) › › B (-10, -1), C (-6, -1) ›› ›› B (1, 1), C (5, 1) ››› ››› B (1, -1), C (5, -1)

fiekille ilgili hangi seçenek yanl›flt›r? ›› ›› ›› A) ABC üçgeni 11 birim sa¤a ötelenerek A B C üçgeninin görüntüsü oluflmufltur. B) ABC üçgeninin Ox eksenine göre yans›mas› › › › A B C çizilmifl sonra do¤ru boyunca 7 birim ››› ››› ››› ötelenmifl A B C üçgeni oluflmufltur. ››› ››› ››› C) A B C üçgeni ABC üçgeninin Ox do¤rusu boyunca 11 birim sa¤a öteleyip yans›mas› ile oluflaça¤› gibi ABC’nin Ox do¤rusuna göre yans›mas› çizildikten sonra 11 birim sa¤a ötelenmesiyle de oluflmufl olabilir. › › › ››› ››› ››› D) A B C üçgeni A B C üçgeninin 11 birim sola ötelenmesi ile çizilmifl olabilir. 13


Histogram

KEMAL Türkeli ››

Örneklemini çocuklar›n oluflturdu¤u bir kümeye soraca¤›m›z sorular› oluflturmal›y›z. Örne¤in çocuklar›n boy ve kilogram geliflimi yafllar›nda olmas› gerekti¤i gibi mi? Afl›lar›n› düzenli yapt›rm›fllar m›?

Çözüm 11 : A(-6, 4) A (5, 4) -6 -6 + a = 5 a = 5 + 6 = 11 oldu¤undan ABC üçgeninin 11 birim sa¤a ötelenmesi ›› ›› ›› ile A B C çizilmifltir. › › › ABC ile A B C te apsisler ayn› ordinatlar z›t iflaretli oldu¤undan, ABC üçgeninin Ox eksenine göre yans›mas› olan flekildir. › ››› A (-6, -4) A (5, -4) -6 + a = 5 a = 11 birim › › › A B C ötelenmifltir. Do¤ru cevap: B

TABLO ve GRAF‹K OLUfiTURMA

H‹STOGRAM (Histograms) Oluflturma ve Yorumlama: Ad›m 1: Kaç adet veri oldu¤u say›l›r. Ad›m 2: Veriler küçükten büyü¤e s›ralan›r. Ad›m 3: En büyük de¤er - En küçük de¤er = De¤iflim aral›¤› = Aç›kl›k hesaplan›r.

ARAfiTIRMALAR ‹Ç‹N UYGUN SORU OLUfiTURMA,

Ad›m 4:

ÖRNEKLEME UYGUN ARAfiTIRMA SORUSU DÜfiÜNME

aç›kl›k = Veri grubunun geniflli¤i grup say›s›

Ad›m 5: Veri gruplar›n›n say›s› 10 civar›nda al›n›r. Ad›m 6: Her gruba düflen veri adedi say›l›r.

Araflt›rman›n amac›na uygun soru soraca¤›m›z S alt kümeyi saptamal›y›z. (Örneklem oluflturma) B Bir ilkö¤retim okulunun 8. s›n›f›nda okuyan 100 S ö¤rencisine SBS s›nav›na haz›rl›k düzeylerini ölçmek Ayn› hastal›k için iki ayr› fabrika taraf›ndan için 20 soruluk Matematik Testi uygulan›yor. üretilmifl iki ilac› 100’er kiflilik iki farkl› gözlem Y kümesine uygulayabiliriz. D -formulünden Matematik netleri hesap3 A ilac›n› verdi¤imiz 100 hastay›, B ilac›n› verdi¤imiz M di¤er 100 hastay› belirli aral›klarla test ederiz. ‹ki A lan›yor. 100 ö¤renciye ait Matematik netleri 10 gruba ilac›n her grupta kaç hastay› iyilefltirdi¤ini incelemeye T ayr›larak çal›fl›r›z. Tabi hastalar›n di¤er hastal›klar›, yafllar› gibi E 20 -- 0 20 aç›kl›k = = = 2 net veri grubuM di¤er özelliklerinin sonuca olumlu veya olumsuz etki- A 10 10 grup say›s› lerini saptamaya çal›fl›r›z. Karfl›laflt›r›labilir sonuçlar T nun geniflli¤i olarak seçiliyor. ‹ için sorular› iyi seçmeliyiz. 0 -- 2 aras› 0 ≤ x ≤ 2 SBS Matematik neti olan K ‹statistik; rastgele rakamlardan anlaml› sonuçlar ö¤renci say›s› 4 ö¤renciç›karmaya çal›flan Matemati¤in bir dal›d›r. dir. Örne¤in A ve B iki büyük süpermarket olsun. Bu 2 -- 4 aras› 2 < x ≤ 4 5 ö¤rencinin neti bu aramarketlerin yöneticileri ortalama bir müflterinin kaç l›ktad›r. TL’lik al›fl-verifl yapt›¤›n› bulup A ve B süpermarketleri 4 -- 6 6 ö¤renci (örne¤in bir ö¤rencinin neti için karfl›laflt›rabiliriz. Her iki markette en çok sat›lan 4,2’dir.) ürünleri karfl›laflt›rabiliriz. 6 -- 8 8 Veya iki farkl› ilkö¤retim okulundan seçilen 8. s›8 -- 10 13 n›f ö¤rencilerinin SBS s›nav›ndaki baflar› oranlar›n› 10 -- 12 22 karfl›laflt›rabilir, daha baflar›l› olan okuldaki ö¤rencilerin 12 -- 14 20 baflar› nedenlerini araflt›rabiliriz. Okulun uygulad›¤› 14 -- 16 14 özel bir program m› baflar›y› art›rmaktad›r? Yoksa 16 -- 18 aral›¤›nda Matematik neti olan 5 ö¤velilerin s›nav baflar›s›n› önemsemeleri mi ö¤rencileri renci motive etmektedir? 18 -- 20 3 Örne¤in yeni aç›lacak k›rtasiye, test kitaplar›, öykü ve roman satacak bir kitabevinin gelirinin yüksek olabilmesi için okula yak›n bir yerde aç›lmas› Matematiksel çalışmanın en önemli sonucu, gerekti¤ini söyleyebiliriz. Ö¤rencilerin en çok sat›n öğrencilerin düşünmesini sağlamaktır. almak istedikleri ürünlerden bir liste oluflturmal›y›z. John Wesley Young

8

14

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


1. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Bir ilkö¤retim okulunun 8. s›n›f›nda okuyan 100 20 soruluk SBS Matematik deneme s›nav›nda ö¤rencilerin Matematik netlerini 10 eflit gruba ay›rarak her grupta olan ö¤rencilerin say›s›n› [frekans (frequency)] düfley eksende gösterelim. Grafik: SBS Matematik denemesinde ö¤rencilerin baflar›s›

Grafik: Ö¤rencilerin kütlesi ile say›lar› aras›ndaki iliflki Kifli say›s›

30

25

Ö¤renci say›s›

20

20

15

15

10

10

5

5

0

Ö¤rencilerin kütlesi (kg)

Matematik netleri say›s›

0

Histogram› çizmifl olduk. Bir aral›¤a karfl› gelen dikdörtgenin yüksekli¤ini ö¤rencilerin say›s› ile orant›l› olarak çizdik. Histogram›n çubuk grafi¤i oldu¤una dikkat ediniz. Histogramda sütun genifllikleri eflittir. Oysa sütun grafi¤inde eflit olmayabilir. Histogram sayesinde ilgilendi¤imiz say›lar kümesi için daha kolay yorumlar yapabiliriz.

Örnek TEST 12 :

Bir okuldaki ö¤rencilerin kg cinsinden kütlelerine ait veriler 5 kg l›k grup geniflli¤i olacak flekilde 9 grup say›s› olacak flekilde kümeleniyor. Aral›¤› (kg)

Say›s›

45 - 50

3

45 ≤ x < 50

50 - 55

6

50 ≤ x < 55

55 - 60

10

60 - 65

29

65 - 70

24

70 - 75

15

75 - 80

7

80 - 85

4

85 - 90

2

85 ≤ x < 90

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

K Histogram› çizilen grafikle ilgili hangi seçenekteki E bilgi yanl›fl verilmifltir? M A) Kütleleri hakk›nda veri toplanan ö¤rencilerin A L say›s› 100’dür. B) 60-90 kg a¤›rl›¤›nda 81 ö¤renci vard›r. T Ü C) Ö¤rencilerin % 53’ü 60-70 kg a¤›rl›¤›ndad›r. R D) Histogram grafi¤i, dikdörtgen (çubuk)lerden K oluflturularak verilen aral›klarda gözlenen verilerin E L tekrarlanma s›kl›¤›n› göstermez. ‹

Çözüm 12 : Histogram grafi¤i dikdörtgen çubuklardan oluflturulan, seçilen aral›klarda gözlenen verilerin tekrarlanma s›kl›¤›n› gösterdi¤inden D’deki ifade yanl›flt›r. Do¤ru cevap: D Yukar›daki grafikte 45 kg’dan küçük ö¤renci olamad›¤›ndan “zikzak” k›r›k çizgisi çizilmifltir. Grubun 90 - 45 geniflli¤i bulunurken = 5 kg grup geniflli¤i 9 olarak seçilmifltir. Grup say›s› 9 olarak seçilmifltir. Grafikte orant›l› birimler kulllan›lm›flt›r. Histogram grafi¤inin bafll›klar› yaz›l›r. ve eksenleri anlafl›l›r olmas› için isimlendirilir. Genel olarak bir grubun geniflli¤i bulunurken aç›kl›k grup say›s›na (10, 9, 11 olabilir) bölünür bulunan say›ya en yak›n olan büyük tek say› grup geniflli¤i olarak seçilir.

15


SAYILAR

ÜSLÜ SAYILAR a ∈ R = Gerçek Say›lar Kümesi ve n ∈ Z+ = Sayma Say›lar› Kümesi olmak üzere n tane a n›n çarp›m›

Tam say›n›n (-2) tek say›da (3) tekrarl› çarp›m› negatif iflaretli bir say›d›r. (-8) a = 2, n = 2 ise (-2)2.2 = (-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2)

a . a . a . a ... a = an biçiminde gösterilir. n tane

a

taban

,

n

+4 +4 = (+4) . (+4) = 16 Negatif Tam Say›n›n çift say›da (4) tekrarl› çarp›m› pozitif iflaretlidir (16)

üs

n = 4, a = 10 ise 10 . 10 . 10 . 10 = 104 fleklinde yaz›l›r. 10 üssü 4 diye okunur. n = 1 a1 = a, 51 = 5 dir. an = 1-n a

=

2-3

Örnek TEST 13 : S B S

n = 4 ise 3-4, 3-3, 3-2, 3-1, 30, 3, 32, 33, 34 ,

1

,

1

,

1

, 1 , 3 , 9 , 27 , 81

8

M 81 27 9 3 A T 1 = 5-2 E Bir üslü ifade paydada iken paya M 52 yaz›l›rsa üssün iflareti de¤ifltirilir. A T Veya 1-2 = 52 yaz›l›r. ‹ 5 K a = -2 ∈ Z = Tam say›, n = -4 ise (-2)-4, (-2)-3, (-2)-2, (-2)-1, 1, -2, (-2)2, (-2)3, (-2)4, 1 (-2)4

,

1 (-2)3

1

,-

1

16

8

,

,

0 < a için

1 (-2)2

,

1 (-2)1

,

1

, -2 ,

4

,

-8

,

16

1

,-

1

,

1

, -2 ,

4

,

-8

,

16

4

2

(-a)2n = a2n dir.

0 < a için (-a)2n - 1 = -a2n-1 < 0, 2n-1 = Tek say›, n = Tam say› a = 2 ve n = 2 ise (-a)2n-1 = (-2)2.2-1 = (-2)3 = (-2) . (-2). (-2)

an = a0 = 1 dir.

n = 0 ise

a = -2 ise (-2)0 = 1,

; Negatif üslü ifade denir.

1

a ≠ 0 iken

23 = 1-3 2

veya n = - 3 ise 1 2-3 = 13 = dir. 8 2 a-n

(EXPONENTS)

a = 2 ise (2)0 = 1 dir.

A) 53

5 tane -3’ün çarp›m›n›n, 3 tane -3’ün toplam›na bölümü kaçt›r? B) (-3)4

C) 33

D)

5 3

Çözüm 13 : (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) (-3)5 (-3)4 = = -3 + (-3) + (-3) 3.(-3) 3 34 = = 33 = 27 3 Do¤ru cevap: C’dir.

?=

Örnek TEST 14 :

Afla¤›daki seçeneklerin hangisinde 5 24, 412, 49 12, 8 27 say›lar›n›n büyükten küçü¤e s›ralan›fl› do¤rudur? A) 4912 > 278 > 524 > 412 B) 4912 > 524 > 278 > 412 C) 4912 > 524 > 412 > 278 D) 4912 > 278 > 412 > 524 Çözüm 14 : 412 = (22)12 = 224 278 = (33)8 = 324 12 2 12 49 = (7 ) = 724 724 > 524 > 324 > 224 4912 > 524 > 278 > 412 fleklinde s›ral›n›r. Do¤ru cevap B’dir.

= (+4) . (-2) = -8 16

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


1. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

ONDALIK KES‹RLER‹N TEKRARLI ÇARPIMI

( ba )

b ≠ 0 iken

m

ÜSLÜ SAYILARIN ÇARPIMI

am bm

=

102 . 103 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 105

3

( 103 ) = 103 . 103 . 103 3 ( 103 ) = 0,027 dir. 5 10

( )

2

= 10 33

=

27 1000

=

103

2+3

= 100 000

Tabanlar› ayn› olan iki üslü say›y› çarparken, ortak taban yaz›l›r. Say›lar›n üsleri toplam› ortak üs olarak yaz›l›r. x ∈ IR - {0} ve m, n ∈ Z+ iken

25 = = 0,25 dür. 100

( ba )

m = -1 ise

3

2

a = 3, b = 10, m = 3 ise

-1

xm , xn = xm + n

dir.

b d›r. a

=

22 . 25 = 27 -1

( 107 )

=

10 3 =1 7 7

2

-2

( ba ) = ( ba )

m = -2 ise

2

=

b2 dir. a2

K E M A L

a = 7 , b = 10, m = -3 ise -3

( 107 )

=

-1 3

[ ( 107 ) ]

=

( 107 )

3

=

3

10

3

7 1000 314 -3 = =2 = 7 . 10 3 343 343

( )

3

=

-4

( 23 ) (

3 4

23 33

8 dir. 27

=

-1 4

3.3.3.3 9.9 81 1 = = =5 2.2.2.2 4.4 16 16

) = [( = =

(-4)3 3

3

-1 3

3 -4

=

2 3

-4

2 3

)=( 36

= =

-6

=

26

-1 6

2 -3 ) = [ ( -3 ) ] = ( 2 ) 32. 32 . 32 23. 23

9. 9. 9 81 . 9 = 8. 8 64 729 64

=

1 7

3

=

= 11

25 dir. 64

1 1 = 9. 9. 9. 3 2187

3

24

-1 3

-4

(x + y)1 . (x + y)1 = (x + y)1+1 = (x + y)2 (x - y) . (x - y) = (x - y)2 3

) ] = [ ( ) ] =( 3 ) =

-2

) .(

7

4

=

3 4

( 32 )

4

[ ( 23 ) ]

-3

2 3

3-2 . 3-5 = 3-7 =

=

=

(

T Ü R K E L ‹

RASYONEL SAYILARIN KEND‹LER‹ ‹LE ÇARPIMI 2 3

5

( 23 ) . ( 23 ) = ( 23 )

(-4) . (-4) . (-4) 16 . (-4) = 3.3.3 9. 3

-64 10 26 = -2 =dir. 27 27 33

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

(x - y)2 . (x - y) = (x - y)3

Çarp›lacak iki üslü say›n›n üsleri ayn›, tabanlar› farkl› ise tabanlar›n çarp›m›na ortak üs yaz›l›r. an . bn = 25 . 55 = (2.5)5 = 105

17

6


Üslü Say›lar

KEMAL Türkeli n ∈ Z+ için

a, b ∈ R - {0} iken an , bn = (a . b) n

( )

dir.

a = 100, b = 4 iken n = 2 ise

23 . 53 = (2 . 5)3 = 103 = 1000

1002 2 3

4

2 3

7

4

3 2

2 = 3

3 . 2

( ) .( ) ( 3 2

( ) ( 33 .

.

43

7

=

2 . 3 3 2

4)3

123

) (

= (3 .

=

4

)

4

= 14 = 1

)

7

=

(-1)7

6

5 2

6

6

= -1

4 2

) =(

Bölünecek iki üslü say›n›n tabanlar› ayn› üsleri farkl› ise ortak tabana üsler fark› üs olarak yaz›l›r. m, n ∈ Z+ iken

am 1 = am-n = n-m n a a a = 10, m = 5, n = 3 ise 105 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 105-3 = 102 10 . 10 . 10 103 = 100 =

3

274

4

=

( 273 )

25 25x = x 5 5

( )

6

= (-2)6 = 26 = 64

a ∈ IR - {0} iken

10 103 = 3 2 2 34

)

( 100 4 )

( )

= 12 . 12 . 12

4 5 . 5 2

) =(

=

2

= 144 .12 = 1728

( 45 ) . (

x

2

= 252 = 54 = 625

= 53 = 125 = 94 = (32)4 = 38 = 6561 = 5x

S B S

Örnek TEST 15 : [(48 . 10-4) : (2,4 . 10-3)] . a = 1 eflitli¤ini do¤ru yapan a say›s› kaçt›r?

8

A) 2

M A T E M A T ‹ K

B)

1 2

C) 10-1

1 20

10 oldu¤undan 10

48 . 10-4 . a = 1 24 . 10-4

48 . 10-4 . a = 1 2,4 . 10-3

a = 1 dir. 2

2a = 1

Do¤ru cevap B’dir.

1 -2

10

(2-1 + 3-1)-1 = a say›s› afla¤›dakilerden hangisine eflittir?

52 1 1 1 = = = 57 57-2 55 3125 A) 52 25 = = 1 = 52-2 = 50 2 5 25

(a + b)

D)

Çözüm 15 : 1 = 10 . 10-1 =

Örnek TEST 16 :

(a + b)2

n ∈ Z+ için

a ∈ R, b ∈ R - {0} iken a n an dir. n = b b

50 = 1 olur.

= (a + b)2-1 = a + b

5 6

B) 6

C)

6 5

D)

Çözüm 16 : (2-1 + 3-1)-1 = (

=

-1

-1

( 3 +6 2 ) = ( 56 )

=

1 8

1 1 -1 + ) 2 3

6 1 =1 5 5

= 1,2

Do¤ru cevap C’dir. Bölünecek iki üslü say›n›n üsleri ayn›, tabanlar› farkl› ise say›lar›n tabanlar› bölümüne ortak üs yaz›l›r. 18

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


1. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 17 : 2 2 2,89 . 10-1 . (-10)-1 . 10 (1,7)2 . 10-2

( )

iflleminin sonu-

ÇOK BÜYÜK veya ÇOK KÜÇÜK POZ‹T‹F SAYILARIN B‹L‹MSEL GÖSTER‹M‹ (SCIENTIFIC NOTATION)

cu kaçt›r? B) 4.10-1

A) 0,04

C) -4.10-2

D) 4.10

Çözüm 17 :

( 102 )

2

-1 . 2,89 . [10 . (-10)] -2 2,89 10

? =

4(-102)-1 4 = = 2-2 0 . 10 10 (-102)

4 102

? = - 4 . 10-2 = -0,04 Do¤ru cevap C’dir.

Örnek TEST 18 : 1 3

(

-2

)

1 ≤ a < 10 aras›nda bir gerçek (Reel) say› olmak ��zere m ∈ Z iken a x 10m gösterimine Bilimsel Gösterim ad› verilir. 10’un pozitif veya negatif kuvvetinin katsay›s› “1” ile “10” aras›nda veya 1’e eflit bir gerçek say› olacak flekilde bir say›n›n yaz›lmas› Bilimsel Gösterim diye adland›r›l›r. Örne¤in ›fl›¤›n h›z› 300 000 000 m/s dir. Bilimsel Gösterimle 3 . 108 m/s = 300 000 000 m/s fleklinde gösterilir. 0,000137 m = 1,37 . 10-4 m Çok küçük say›n›n bilimsel gösterimidir. Güneflin kütlesi 2 x 1030 kg

AIDS virüsünün uzunlu¤u 0,00011mm K = 1,1 x 10-4 mm ifllemlerin sonucunda bulu- E 5 -3 M Dünyam›z›n hacmi 1,08 x 1012 km3 nacak üslü say› seçeneklerde verilen hangi say› A = 1,08 x 1021m3 ile çarp›l›rsa ifllem sonucunda bulunucak say› L pozitif bir tam say› olur? T ‹nsan vücudundaki hücrelerin ortalama say›s› A) 3 B) -3 C) -3.10-2 D) -3-2 Ü R1014 tür. K E Çözüm 18 : Hidrojen atomunun yar›çap› L 0,4A0 = 0,4 x 10-10m = 4 . 10-11m ‹ 1 -1 = -3 olup 3 Örnek TEST 19 : 570 000 000 cm uzunlu¤u1 -1 2. 2 nun bilimsel gösterimi han(-3) (-3)2 . (-3)2 (-3)2x2 3 gi seçenekte do¤ru yaz›lm›flt›r? = = ?= -35 -35 -35 A) 5,7 . 10-8cm B) 5,7 . 107cm C) 5,7 . 108 cm D) 57 . 107 cm (-3)4 1 1 = = = -35 35-4 3 Çözüm 19 : 570 000 000 cm = 5,7 . 108 cm çok büyük say›n›n bilimsel gösteri1 . (-3) = +1 ∈ Z olur. midir. 3 Do¤ru cevap C’dir. Do¤ru cevap B’dir.

(

. (-3)2

)

[(

)]

Örnek TEST 20 :

Baflar›n›n s›rlar›ndan biri, geçici baflar›s›zl›klar›n bizi yenmesine izin vermemektir. Mark Kay KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

0,000007 cm çok küçük say›s›n›n bilimsel gösterimi afla¤›dakilerden hangisidir? A) 7 . 106cm B) 7 . 10-6cm C) 70 . 10-8cm D) 700 . 10-9cm Çözüm 20 : 0, 000007 cm = 7 . 10-6 cm olup Do¤ru cevap B’dir. 19


TEST SORULARI

ÜN‹TE 1

Do¤ru cevaplar›, aç›klamal› çözümleri 183. sayfadad›r.

1. 0,0007 = a x 10-4 ise 24 x 10a kaç basamakl› bir say›d›r? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10

310 + 311

8.

311 - 312

iflleminin sonucu afla¤›dakilerden

hangisidir? 6

7

2. 0,3 x 10 + 0,07 x 10 (4 x 102) x (0,05 x 104) A) 1

B) 5

iflleminin sonucu kaçt›r?

C) 10

D) 21

2 pozitif bir say› oldu¤una göre afla3 ¤›dakilerden hangisinin ifllem sonucu bulunacak say› negatiftir?

23 + 23 + 23

2

3

D)

2

3

4

8

M 5. 59. 29. 10 iflleminin sonucu afla¤›dakilerden A hangisidir? T 10 9 9 9 E A) 10 B) 10 C) 3 . 10 D) 10 . 7 M A T -1 0 -1 3 6. (3 + 3 ) . 2 iflleminin sonucu afla¤›daki- ‹ K lerden hangisidir? 4 3

A)

B) 3 3 D) 2

C) 6

-1

7.

( 13 ) : ( 13 ) 2 ( 13 )

iflleminin sonucu afla¤›daki-

den hangisidir? A) 33 1 C) 4 3

20

B) 34 D)

30

2 3

D)

9. a =

iflleminin sonucu afla¤›da34 + 34 + 34 + 34 S kilerden hangisidir? B 1 S A) 2 . 3-3 B) 33 C)

B) -2

C) -6

3. (5,1 x 10-11 + 0,9 x 10-11) x 106 iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir? A) 51 . 10-6 B) 9 . 10-5 5 C) 6 . 10 D) 6. 10-5 4.

2 3

A)

-1

A)

( 23 )

C)

(

10.

A) 4

2 3

)

( D) - ( B) -

2

a = 2 iken b B) -1

( ba )

x

2 3

= 16

C) -4

-3

) 2 -2 3)

oldu¤una göre, x kaçt›r? D) -

1 4

2 3 11. 8 + 2 . 4 = a say›s› kaçt›r? 25 : 42 A) 24 B) 3. 24 C) 3 . 25 D) 6

12. Dünyam›z›n kütlesinin kg birimi ile bilimsel gösterimi hangi seçenekte do¤ru yaz›lm›flt›r? A) 597 x 1022 kg

B) 59,7 x 1023 kg

C) 5,97 x 1024 kg

D) 0,597 x 1025 kg

13. Afla¤›dakilerden hangisi 729 do¤al say›s›n›n üslü say› olarak yaz›l›fllar›ndan biri de¤ildir? A) 93 B) (-3)6 C) (-27)2 D) 123 14. 0,0000987 = 9,87 . 10x olmas› için, x kaçt›r? A) -5 B) -4 C) 4 D) 3

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


1. Ünite Test Sorular›

KEMAL Türkeli

15. 3m = 125

Fulya bu verileri 20 puanl›k aral›klara kaydederek yeni bir tablo oluflturuyor. Sonra da bu verilerin grafi¤ini çiziyor.

5n = 15 oldu¤una göre, m nin n türünden efliti afla¤›dakilerden hangisidir? A)

3+n

n 3 C) n+1 16.

( 811 )

A) -3

Net 0 - 20 21 - 40 41 - 60 61 - 80 81 - 100

3 B) n-1 n-1 D) 3 x

= 96 oldu¤una göre x kaçt›r? B) -2

C) 2

Ö¤renci Say›s› 8. S›n›f SBS Deneme S›nav› Testi

D) 3 35

17. Afla¤›daki ifllemlerden birinin sonucu di¤erlerinden farkl›d›r. Sonucu farkl› olan hangi seçenektedir? 109 A) 103 . 102 B) 104 C)

103

18. Afla¤›daki eflitliklerden hangisi yanl›flt›r? A) 4-3 = B)

30

20 13

D) 10-4 . 10-1

10-2

1 . 1 . 1 4 4 4

( 12 ) . ( 12 ) . ( 12 ) = 2-3

C) 1000 000 = 106 D) 121 = 122 19. 8. s›n›f ö¤rencilerine SBS’ye haz›rl›k düzeylerini ölçmek için bir test deneme s›nav› uygulan›yor. Y Dformülünden ö¤rencilerin net puanlar› 3 hesaplan›yor. Net 0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 -100

Ö¤renci Say›s› 4 9 13 23 29 6 7 4 3 2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Ö¤renci Say›s› 13 A 35 11 B

K E M A L

Net Say›lar› 0-20

21-40

41-60

61-80

81-100

Afla¤›daki seçeneklerin hangisinde verilen önerme T yanl›flt›r? Ü R A) B = 5 tir. K B) A = 36 d›r. E L C) 8. S›n›f SBS Test denemesine kat›lan ö¤renci ‹ say›s› 100’dür. D) Grafikte 41 - 60 aral›¤›nda ve 81 - 100 aral›¤›nda neti olan ö¤renciler say›s› do¤ru çizilmifltir. 20. Koordinatlar› A(2, 1), B(6, 1), C(6, 4), D(2,4) olarak verilen bir dikdörtgen 7 birim sola, 4 birim afla¤›ya öteleniyor. y

D(2,4)

A(2,1)

C(6,4)

B(6,1)

x

Hangi seçenekte verilen bilgi yanl›flt›r? ›› ›› A) A (-5, -3) d›r. B) C (-1, 0) dir. ›› ›› C) D (-2, -3) dir. D) B (-1, -3) dir.

21


1. Ünite Test Sorular›

SBS 8 MATEMAT‹K 24. Afla¤›daki say›lar›n de¤erlerini bulunuz. Hangisi di¤er üçünden farkl›d›r?

21. Afla¤›daki flekillerdeki flekil örüntüsünün bir sonraki ad›m› hangi seçenektedir?

A)

A) 100-10 . 10010

B) (-1)2009

C) (-1)111

D) (-1)-2007

25. 597,83 g kaç teragram (Tg) eder? (1 teragram = 1 000 000 000 000 g = 1 trilyon gram = 1 milyar kg)

B)

A) 597,83 g = 5,9783 . 10-10 Tg B) 597,83 g = 597,83 . 10-13 Tg C) 597,83 g = 5,9783 . 10-14 Tg D) 597,83 g = 59,783 . 10-13 Tg

C)

D)

26. Hangi seçenekteki say› negatiftir? A) (-5)-8 B) (-3)2008

22. Afla¤›daki örüntülerden hangisi fraktald›r? K E M A) B) A L

C)

C) (-7)2009 D) 2-501 5. 4. 6 27. 7 49 2 iflleminin sonucu afla¤›dakiler43 . 495

T den hangisidir? Ü R 343 A) K 2 E L C) 49 ‹

D)

23. Afla¤›daki örüntünün bir sonraki ad›m›nda gelmesi gereken flekil hangisidir?

B) 343 D) 98

28. Hangi seçenekteki eflitlik yanl›flt›r? A) 10-7 . 107 = 1 B)

I A)

II

III B)

39 94

=3

C) 3-2 . 27 = 3 D)

2 -1 0

[ [ ( 23 ) ] ]

=

9 4

29. 3 . 58 . 27 iflleminin sonucunda kaç basamakl› bir say› bulunur? A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 C)

D) 30. 38 = 6561 oldu¤u bilinirken 36 ifadesinin de¤erini hesaplay›n›z. A) 2187 B) 19 683 C) 729 D) 59 049

22

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


1. Ünite Test Sorular›

KEMAL Türkeli 35. Say› örüntüsünde x yerine hangi say› yaz›lmal›d›r? 1 , 1 , 1 , x , 1 , 3 , 32 , 27 , 81 81 27 9

31. Çözümlemesi 9 x10 3 + 7 x 10 2 +8 x10 + 3 x 10 0 + 4 x10 -1 + 6 x 10 -2 + 5 x 10 -3 olan say› hangi seçenektedir? A) 9783,0465 B) 9783,465 C) 978,3465 D) 9780,3465

A) 3-1 C) 3-2

32. Köflelerinin koordinatlar›, A(-2, 0), B(3, 0), C(3, 2), D(-2, 5) olan dik yamuk saatin tersi yönünde › › › › orijin etraf›nda 90° döndürülüyor. Son konumu A B C D dir.

B) 30 D) 6

36. Afla¤›daki önermelerden hangisi yanl›flt›r? A) 102 < 210 B) 52 < 25 5 5 C) - (-2) = -2 D) (-0,5) . (-0,5) = 2-2

y

37. fiekil örüntüsünün 4. ad›m›nda hangi flekil olmal›d›r?

D

5

60°

45°

90°

C

2

I O(0, 0) A -2

II

III

x

B 3

K E M A L

Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? › › A) B (0, 3) B) A (0, -2) › › C) D (-5, -2) D) C (-3, 2) 33. ABCD dörtgenin köfle noktalar›n›n koordinatlar› A(-2, 2), B(5, 2), C(1, 6), D(-6, 6) olup orijin › › eraf›nda döndürülerek A (2, -2), B (-5, -2), C(-1, -6), › › › › › D (6, -6) olacak flekilde A B C D dörtgeni oluflturuluyor. fiekil orijin etraf›nda saat yönünde kaç derece döndürülmüfltür?

T Ü R K E L ‹

A)

C)

B)

180°

72°

120°

D)

y

38. Matematik s›nav›na kat›lan ö¤rencilerin puanlar› 100 üzerinden de¤erlendiriliyor ve 100 puan 10 eflit veri grubuna ayr›larak her grupta kaç ö¤renci bulundu¤u saptan›yor.

C

D

A

B

O(0, 0)

x

A) 90° C) 270°

B) 180° D) 360°

5. 8 34. x = 3 3 , 9

y=

say›s›n›n kaç kat›d›r? A) 3 C) 27

93 . 92 ise x say›s› y 32

B) 9 D) 81

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

0 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 -100

3 ö¤renci 5 ö¤renci 10 12 18 20 15 11 4 2 23


1. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K fiimdi Histogram› çizelim:

Ö¤renci Say›s›

20 16 12 8 4

Ö¤renci puanlar›

Veri grubundan ve Histogramdan yararlanarak seçeneklerde verilen ifadelerden biri yanl›fl verilmifltir. Yanl›fl olan seçenek afla¤›dakilerden hangisidir? A) S›nava kat›lanlar›n %53’ü, 51 puan veya üzerinde puan alm›flt›r. B) S›nava kat›lanlar›n % 30’u, 41 puan›n alt›nda puan alm›flt›r. C) 71 veya üzeri puan alanlar, s›nava girenlerin % 17’sidir. D) 41’e eflit veya çok 71’den az puan alanlar, s›nava girenlerin % 53’üdür. Okulda ve SBS’de Matematik dersinden daha baflar›l› olabilmeniz için baz› öneriler; Kitab›mdaki formülleri konular› özet ç›kararak yazarak çal›fl›n›z. Çözece¤iniz bir Test sorusunun çözümünü önce ka¤›tla örtünüz. Ortalama 2 dakika akl›n›zdan yapmay› deneyiniz. Yapam›yorsan›z konu anlat›m›na ve daha önce çözdü¤ün çözümlü sorular› veya ders kitab›ndan ilgili konuyu inceleyerek alaca¤›n yard›mla çözmeyi denemelisin›z. 2 dakika içinde (ortalama süre) çözememiflseniz çözümünü yazarak(çözümü okuman›n fazla bir yarar› olmayacakt›r) anlamaya çal›flmal›s›n›z. Soruyu çözememe nedeninizi de araflt›rmal›s›n›z. Bilgi eksikli¤iniz mi var, yoksa bilgileri çözüme mi uygulayam›yorsunuz. Yoksa ifllem alt yap›n›z m› zay›f? Unutmay›n›z ki SBS zamana karfl› bir yar›flt›r ayn› sürede daha çok net soru yapabilen daha baflar›l› olacakt›r. Her gün 30 dakika bir Konu Testi veya Deneme çözerek h›zl› karar vermeye h›zl› okumaya kestirme ifllem yollar› gelifltirme denemeleri yapmaya önem vermelisiniz. E¤er ifllem yetene¤iniz iyi de¤il ise ders çal›flmaya dört ifllem, rasyonel say›lar, köklü ve üslü ifadeler konular›ndan biri ile bafllamal›s›n›z. ‹lkö¤retim 8.s›n›f ö¤rencileri özellikle dört ifllem (toplama, ç›karma, bölme, çarpma) performanslar›n› çok iyi gelifltirmifl olmal›lar. 24

Al›flveriflte bir fley sat›n alaca¤›m›z zaman, yemek yaparken kullanaca¤›m›z malzemenin ölçüsünü ayarlarken matematikten yararlanmaktay›z. Matematik ayn› zamanda, iliflkileri görebilmeyi, verilenler aras›nda neden -sonuç iliflkisini kurabilmeyi, tablolar›, grafikleri yorumlay›p bilgileri kullanabilme becerisini de gelifltirmifl olmay› gerektirir. Matematik ö¤reniminde temel amaç ö¤rencilerde düflünebilme yetene¤ini gelifltirmektir. Matematik, karfl›laflt›¤›m›z olaylar› ve problemleri mant›kl› inceleyebilmeniz için size temel bilgileri kazand›rmaya çal›fl›r. Ö¤renci sorunun ne anlama geldi¤ini kavramak için dikkatli bir flekilde soruyu okumal›, verilen bilgiler ile bulunmas› istenen sonucu iyi anlamaya çal›flmal›d›r.Ö¤renci çözümü yaparken ifllem hatas› yapmamaya özen göstermelidir. Matematik dersinde bir konuyla ilgili çok farkl› Test sorular› sorulabilir. Matematikte sorularda verilen hiçbir bilgi(veri) gereksiz de¤ildir. Her veri sorunun çözümünde seçilen çözüm yoluna göre kullanabilece¤iniz bir ayr›nt›d›r. Sorularda her ayr›nt›ya dikkat etmek S gerekir. Verilen bilgiler kümesinin elemanlar›n› mant›k B ve uygun formüllerle iliflkilendirece¤iniz bir mant›k S s›ras› izleyerek sorunun çözümüne ulaflmal›s›n›z. Okulda veya dershanede derse öncelikle bir ön haz›rl›k yaparak gitmelisiniz. Derslerde ö¤retmenin konuyu anlat›m›n› ve verdi¤i örnekleri not alarak M dikkatle izlemeli konunun nas›l ö¤renilece¤ini kavraA maya çal›flmal›s›n›z. Derste anlafl›lmayan ve eksik T kalan noktalar› ö¤retmenine hemen sormal›s›n›z. E M Ö¤retmenin soru çözmede kulland›¤› pratik k›sa A yollar›, ölçü birimlerini, formülleri ezberlemek yerine T neden-sonuç iliflkisi kurarak ö¤renmeye çal›flmal›s›n›z. ‹ Konuyu daha iyi kavramak için ders kitab›ndaki hangi K sayfalardaki al›flt›rmalar› yapman gerekti¤ini ö¤renmek için ö¤retmeninize mutlaka dan›flmal› çal›flman› yönlendirici bilgi almal›s›n›z. Matematik dersindeki konular› derste iyi ö¤renmifl olsan›z bile, evinizde düzenli test çözmezseniz konuyu ve ayr›nt›l› düflünceleri çok çabuk unutursunuz. Matematik Testinde çok net ç›karabilmek için ön yarg›s›z, sab›rl› ve programl› çal›flman›z önemlidir. Belirli bir programa göre konular› biriktirmeden çal›flmal›s›n›z. Bu çal›flmalarda çözülemeyen sorular›n vakit kaybetmeden do¤ru çözümlerini ö¤renmeye gayret etmelisiniz. Elden geldi¤ince çok say›da ve farkl› tarzda sorular ile çal›flman›z› zenginlefltirmelisiniz. Matematik dersindeki baflar›s›zl›¤›n temeli, kiflinin yapmas› gereken çal›flmalar› gününde ve yeteri kadar yazarak yapmamas›ndan kaynaklan›r. Baflar›lar dilerim. Matematik ö¤retmeni Kemal Türkeli (2009 ‹stanbul) www.kemalturkeli.com

8

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


ÜN‹TE 2

OLASILIK (Probalitiy)

OLASILIK ÇEfi‹TLER‹ Osman bir flans oyununda 1 ve 10 (dahil) aras›nda olan 3 say›y› tahmin etmek istiyor. Osman’›n 3 say›n›n 3’ünü çekilifl yap›lmadan önce onun bir defada do¤ru tahmin etme olas›l›¤›n› bulal›m. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinden elde edilebilecek 3’lü alt kümelerin say›s›

OLAY ÇEfi‹TLER‹

Bir olay›n oluflmas›, di¤er olay›n olas› durumlar›n› etkilemiyorsa bu iki olaya ba¤›ms›z olaylar, e¤er etkiliyorsa iki A ve B olay›na ba¤›ml› olaylar denir. Örne¤in bir madeni para ile bir zar ayn› anda birlikte düfley at›ld›¤›nda paran›n yaz› yüzünün, düfltü¤ünde üste gelmesi zar›n üst yüzüne gelecek n! 10! say›y› etkilemeyecektir. Para ve zar› birlikte atma C(10, 3) = = (n - r)! . r! (10 - 3)! . 3! deneyinde iki olay birbirinden ba¤›ms›zd›r. 3 4 Bir torban›n içinde ayn› büyüklükte 10 bilye olsun. 10 . 9 . 8 . 7! = = 30 . 4 = 120 Bunlar›n 2’si k›rm›z› renkte, 3’ü mavi, gerisi sar› renk3 . 2 . 1. 7! tedir. Birinci çekiliflte k›rm›z› bilye çekilmek isteniyor. Osman 120 alt kümeyi (olas› durum) yaz›p 120 2 Bunun ç›kma olas›l›¤›n›n oldu¤una dikkat ediniz. 10 120 tahmin ücreti öderse kazanma flans› = 1 olacak- ‹kinci çekilifli yapacak kifli de k›rm›z› bilye çekmek 120 K istiyor. Bu kifli birinci çekiliflte çekileni (ç›kan) içine t›r. Ama, Osman’dan baflka 3 say›y› tahmin edenler E atarak bir bilye çekerse k›rm›z› çekme flans› M ç›karsa ödül do¤ru tahmin edebilenler aras›nda pay- A 2 1 1 = geri atmadan çekerse flans› dir. laflt›r›lacakt›r. L 10 5 9 1 1 T 1 < oldu¤undan ç›kan k›rm›z› bilyeyi geriP(3’ünü do¤ru) = = 0,0083 9 5 Ü 120 R ye tekrar torbaya atarak bir bilye çekerse k›rm›z› K bilyeyi çekme flans› yükselecektir. Geri koyarak Bu olas›l›¤a Teorik Olas›l›k ad› verilir. E Bir olas›l›k deneyi sonucunda hesaplanan olas›l›¤a L çekme iflleminde iki çekilifl birbirinden ba¤›ms›zd›r. deneysel olas›l›k ad› verilir. Madeni para ile yap›lan ‹ Geri koymazsa iki olay ba¤›ml›d›r denir. Ba¤›ml› ve 1 ba¤›ms›z olaylar›n olma olas›l›klar›n› hesaplay›p deneyde paran›n yaz› gelme teorik olas›l›¤› = 2 karfl›laflt›ral›m. olmas›na karfl› yap›lan 100 deneyin 49’unda paran›n Bir torbada renkleri d›fl›nda ayn› özelliklere sahip yaz› geldi¤i gözlenmifl olabilir. 5 beyaz, 4 siyah top bulunmakta olsun. 49 1 Torbadan toplar› iki farkl› flekilde çekece¤iz. ≠ d›r. 1000 deney yap›ld›¤›nda yaz› 100 2 1. durum: Fulya birinci topu torbadan çektikten say›s› 493 olabilir. Yani deney say›s› art›r›ld›¤›nda sonra torbaya geri atarak ikinci topu çekecektir. bulunan olas›l›k sonucu beklenen teorik olas›l›k E¤er iki çekiliflte de beyaz top çekebilirse Fulya kazanm›fl kabul edilecektir. Çekilen iki topun da beyaz de¤erine yak›nlaflacakt›r. Öznel olas›l›kla kiflilerin kendi düflüncelerine göre renkli top olma olas›l›¤›n› bulal›m. A¤ac›n dallar›ndan yapraklar›na do¤ru görünübir olay›n olas›l›¤›n› tahmin etmeleridir. Örne¤in Elif’in flüne benziyen a¤aç çizelgeyi olufltural›m. SBS’de baflar›l› olaca¤›n› annesi % 80 olas›l›kla tahmin edebilir. Oysa Matematik ö¤retmeni s›navda baflar›l› olma olas›l›¤›n› % 91 olarak tahmin edebilir. ‹laç fabrikas›, üretti¤i bir ilac›n ortalama her 100 kifliden 95’ini iyilefltirdi¤ini iddia edebilir. Elimizdeki bir tafl› avucumuzdan 100 kere yere b›rak›rsak 100’ünde de yere düflece¤inden serbest 100 b›rak›lan tafl›n yere düflme olas›l›¤› = 1 dir. 100 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

5 9

4 9

5 9

B

BB

4 9 5 9

S

BS

B

SB

4 9

S

SS

B

S

1. Çekilifl

2. Çekilifl

Ç›kt›lar = Sonuçlar

25


Olas›l›k

KEMAL Türkeli

Fulya’n›n çekti¤i iki topun beyaz olma olas›l›¤› (BB);

40 45 < 81 81

P(BB) = 5 . 5 = 25 9 9 81

Topu geri atmadan çekilifl yapma yönteminde farkl› iki topu çekme flans›m›z›n daha fazla olaca¤› görülüyor.

Farkl› renkte çekme olas›l›¤› 5 . 4 4 . 5 20 + 20 40 + = = 9 9 9 9 81 81

P(SB) =

Fulya’n›n çekti¤i iki topun da siyah renkte olma olas›l›klar›n› karfl›laflt›ral›m.

Fulya’n›n çekti¤i 2 topun da siyah olma olas›l›¤›

P1 (SS) = 16 81

P(SS) = 4 . 4 = 16 dir. 9 81 9

P1 (SS) = 25 + 40 + 16 = 81 = 1 oldu¤una dikkat ediniz. 81 81 81 81 2. durum: Bu kez Fulya birinci çekiliflten sonra çekti¤i topu torbaya geri atmadan ikinci kez torbadan tekrar bir top çekecektir. Bu durumda çekilen iki topun da beyaz top olma olas›l›¤› kaçt›r? S ‹kinci çekiliflin sonucunu birinci çekiliflte çekilen B S topun renginin etkileyece¤ine dikkat ediniz.

5 9

4 9

4 8

B

BB

P= 5 . 4 = 5 9 8 18

4 8 5 8

S

BS

P= 5 . 4 = 5 9 8 18

B

SB

P= 4 . 5 = 5 9 8 18

3 8

S

SS

P= 4 . 3 = 3 9 8 18

B

S

1. Çekilifl

2. Çekilifl

Ç›kt›lar

‹ki farkl› yöntemde BB olas› durumu ile karfl›laflma olas›l›klar›n› karfl›laflt›r›rsak,

5 . 5 25 25 = < 18 5 90 81 Ç›kan topu tekrar torbaya geri atarak çekilifl yaparsa, ikisinin de beyaz olma olas›l›¤›n›n azald›¤›n› (%3) görüyoruz. ‹ki topu farkl› çekme olas›l›klar›n› karfl›laflt›r›rsak P1 (SB) = 40 81 5 5 10 5 P2 (SB) = + = = 18 18 18 9 = 26

5 . 9 9 9

=

45 81

32 102

P2 (SS) = 3 18 P2 (SS) =

27 olup 162

32 27 > oldu¤u ndan topu geri atmadan 162 162 2. topu çekme yönteminde Fulya’n›n iki topu da siyah çekme olas›l›¤›n›n azald›¤› görülüyor.

5 5 5 3 18 + + + = = 1 oldu¤una dikkat 18 18 18 18 18 ediniz. 2. durumda topu torbaya geri koymad›¤› için ç›kan topun renginin 2. çekiliflin sonucunu etkiledi¤i için bu olay ba¤›ml› olayd›r. Oysa 1. yöntemde çekilen topu Fulya tekrar M A torbaya geri att›¤› için 1.nin sonucu 2. olay›n sonucunu T (ç›kt›lar›n›) etkilemedi¤inden iki olay ba¤›ms›z olayE lard›r deriz. M A Örnek TEST 1 : 3Y, 7S 1. kutu T ‹ 2Y, 5S 2. kutu K

8

‹çinde yanm›fl ve sa¤lam ampuller olan iki kutu verilmifl olsun. 1. kutuda 3’ü yanm›fl 10 ampul olsun. 2. kutuda ise 2’si yanm›fl 7 ampul bulunuyor olsun. Rastgele bir kutu ve sonra da bu seçilen kutudan rastgele bir ampul çekiliyor. Bu çekilen ampulün yanm›fl ampul olma olas›l›¤› kaçt›r? A)

99 140

B)

11 70

C)

41 140

D) 1

Çözüm 1 : Bu soruda iki deney dizisi vard›r. Birinicisi iki kutudan biri seçilmektedir. Sonra da seçilen kutudan yanm›fl (Y) ya da sa¤lam (S) bir ampulün seçimi. A¤aç flemas› ile a¤ac›n her dal›n›n olas›l›¤›n› düflünelim. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


2. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K 3 10

Y

P

P= 1 . 3 = 3 2 10 20

7 10 2 7

S

P

P= 1 . 7= 7 2 10 20

Y

P

P= 1 . 2 = 1 2 7 7

5 7

S

P

P= 1 . 5 = 5 2 7 14

1.

1 2

1 2

2.

1. Çekilifl

2. Çekilifl

1. kutuyu ve sonra da onun içinden yanm›fl bir ampulü çekme olas›l›¤› 1 . 3 = 3 dir. 2 10 20 Yanm›fl ampulü çekmek için birbirinden farkl› iki yol oldu¤undan bu yollar›n olas›l›klar›n›n toplam› istenen olas›l›kt›r. P=

41 3 1 21 + 20 + = = d›r. 140 20 7 140 Do¤ru cevap: C

Sa¤lam ampulün çekilme olas›l›¤›: 1 . 7 1 + 2 10 2

. 5 7

=

7 5 + 20 14 (7)

Olas› 3 x 2 = 6 sonuçtan yaln›z ikisinde çarklarda oklar›n önünde duran say›lar›n çarp›m›n›n tek say› oldu¤u görülüyor. P=

2 1 = 6 3

Ortalama her 3 deneyin birinde istenen durum gerçekleflecektir. fiayet 2 kifli 2 çark› çevirip bu kurala göre sonuç tek oldu¤unda biri, sonuç çift oldu¤unda da di¤eri

2 4 < oldu¤undan bu kuralla oyna6 6 nan oyun adil olmayacakt›r. Çünkü çarp›m›n tek oldu¤u sonuç say›s› 2 iken tek olmad›¤› (çift) oldu¤u sonuç say›s› 4 dür. Örne¤in 2 çark 9 kez dündürüldü¤ünde ortalama tek sonuç 3, çift sonuç 6 kez olabilir. fians›n adil olmas› için yar› yar›ya olmas› gerekirdi. Çünkü kazanma flanslar› eflit de¤ildir. kazan›yorsa;

K E Bir kolide, renkleri d›fl›nda ayn› büyüklükte M A k›rm›z›, beyaz ve sar› kalemler vard›r. Bu koliden L rastgele seçilen bir kalemin k›rm›z› renkte olma olas›l›¤›

(10)

T 2 , k›rm›z› veya sar› renkte olma olas›l›¤› 13 ’dir. Ü 5 15 49 + 50 99 R Kolide 60 kalem oldu¤u bilindi¤ine göre beyaz = = olup 140 140 K E kalemlerin say›s› sar›lardan ne kadar azd›r? L A) 8 B) 28 C) 20 D) 16 41 99 140 + = = 1 e eflit oldu¤una dikkat ‹ 140 140 140 2 ediniz. Çözüm : 60. = 12. 2 = 24 tane k›rm›z› 5 renkte kalem vard›r. 60 . 13 = 4.13 = 52 tane k›rm›z› 3 15 7 veya sar› kalem olmal›d›r. Bunlar›n 52 - 24 = 28 tanesi 5 sar› renktedir. 60 - 52 = 8 kalem de beyaz renktedir. 8 2 Beyaz kalemlerin say›s› (8), sar› renkteki kalemlerden 1. çark 2. çark (28) 8 - 28 = -20 tane daha azd›r. fiekildeki iki çark döndürüldü¤ünde oklar›n önünde durdu¤u say›lar›n çarp›m›n›n tek say› olma olas›l›¤›n› bulal›m. (Okun önünde iki bölgenin s›n›r›n›n durmad›¤›n› varsayal›m.)

1. çark 2 2 3 3 5 5

2. çark 7 8 7 8 7 8

Say›lar›n çarp›m› 14 tek de¤il 16 tek de¤il 21 tek 24 çift 35 tek 40 tek de¤il

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Do¤ru cevap: C

Okuma h›z›n›z› elinizden geldi¤ince art›rmaya önem verin. K‹fi‹SEL GEL‹fi‹M (DVD: www.infinityteknoloji.com, H›zl› Okuma, Bellek Gelifltirme, Düflünce Gücü)’den s›navda ve s›nava haz›rl›k sürecinizde çok yararlanacaksan›z . 27


OLASILIK KONUSUNU PEK‹fiT‹R‹C‹

ÜN‹TE 2

TEST SORULARI

Do¤ru cevaplar›, aç›klamal› çözümleri 187. sayfadad›r.

1. fiekilde gösterilen çarklar 5 ve 3 bölgeye ayr›lm›fl ve her bölgeye bir rakam yaz›lm›flt›r. Çarklar h›zland›r›l›p b›rak›ld›¤›nda bir süre sonra duruyorlar. Çarklar durduruldu¤unda sabit oklar›n gösterdi¤i bölgedeki iki rakam toplan›yor. Toplam›n çift say› olma olas›l›¤› kaçt›r?

5

7

4

A) Asal say›da çark›n durma olas›l›¤› 5 dir. 12 B) Asal say›da çark›n durma olas›l›¤›n›n durmama 5 olas›l›¤›na oran› dir. 7 C) 13’ten küçük bir sayma say›s›nda çark›n durma olas›l›¤› 1’dir. D) Çark›n 12 do¤al say›s›n›n bölenlerinden biri önünde durma olas›l›¤› 5 dir. 12

4. A torbas›nda ayn› büyüklükte 2 beyaz, 3 siyah top vard›r. B torbas›nda ise 2 beyaz ve 1 siyah top 8 3 6 vard›r. Fulya A torbas›ndan bir top çekiyor ve bu topu B torbas›na at›yor. Seçeneklerin birinde verilen 1. çark 2. çark önerme yanl›flt›r. Yanl›fl olan hangisidir? A) Fulya’n›n arka arkaya siyah top çekme olas›l›¤› 7 8 4 1 A) B) C) D) 3 dur. 15 15 15 K 15 E 10 B) Fulya’n›n arka arkaya birer beyaz top çekme M A 2. Yüzlerinde 1’den 6’ya kadar 6 yüzü L olas›l›¤› 3 dur. 10 numaraland›r›lm›fl iki zar, ayn› anda yuvarlan›yor. C) Fulya’n›n 1.sinden beyaz, 2.sinden siyah top Olas› durumlarla ilgili verilen olas›l›klardan biri yanl›flt›r. T Ü 1 Yanl›fl önerme hangi seçenektedir? R çekme olas›l›¤› 10 dur. A) ‹ki yüzünden en az birinin 5 gelmesi olas›l›¤› K D) Fulya’n›n 1.sinden siyah, 2.sinden beyaz top E L P (x , 5) = 11 3 36 ‹ çekme olas›l›¤› 5 dir. B) ‹ki yüzünün de eflit olmas› olas›l›¤› 1 5. Bir torbada, renkleri d›fl›nda ayn› özelliklere P (x , x) = 6 sahip yeflil, k›rm›z› ve sar› renkte toplar vard›r. Bu C) Üste gelen iki yüzünün toplam›n›n 6 olmas› torbadan rastgele çekilen bir topun k›rm›z› olma 9

2

olas›l›¤› 5 d›r. 36 D) Üste gelen iki yüzündeki rakamlar›n çarp›m›n›n 12 olmas› olas›l›¤› 1 dir. 12

3. Çarka ait her seçenekte de¤iflik bir durumun olas›l›¤› verilmifltir. Hangisi yanl›flt›r? (Not: Çark›n s›n›r çizgisinde durmad›¤›n› varsay›n›z.)

28

11

12

1

2 3

10 9

4 8

7

6

5

5 3 , yeflil renkte olma olas›l›¤› dir. Tor12 20 bada 120 tane top oldu¤una göre, k›rm›z› toplar›n say›s› sar›lardan kaç tane azd›r? A) 1 B) 2 C) 17 D) 16 olas›l›¤›

6. Bir torbada 2 de¤iflik renkte ayn› büyüklükte bilyeler vard›r. Mavi bilyelerin say›s›, torbadaki bil1 yelerin say›s›n›n ‘sidir. Mavi d›fl›nda sar› bilyeler 2 torbada bulunmaktad›r. Torbaya geri at›lmamak üzere art arda torbadan çekilen iki bilyenin de mavi olma 3 olas›l›¤› ‘dür. Bu bilgiye göre torbada toplam kaç 13 bilye vard›r? A) 14 B) 16 C) 26 D) 10 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


2. Ünite Test Sorular›

SBS 8 MATEMAT‹K

C) Çekilen say›n›n 2 veya 3 ile bölünebilen bir 7. Ö¤rencilere promosyon olarak bir defter ile bir kalem verilecektir. Defter ve kalem çeflitleri ile say› olma olas›l›¤› 5 dir. 7 say›lar› tabloda verilmifltir. Defterlerin her biri ay›rt11 D) 5’e bölünebilen bir say› olmama olas›l›¤› edilemeyecek ayn› ambalaja konmufltur. Kalemlerin 14 her biri de d›flar›dan ay›rtedilemeyecek flekilde amba- tür. lajlanm›flt›r. A: Kareli defter 4 adet 10. ‹ki zar ayn› anda at›ld›¤›nda her iki yüzde de B: Çizgili defter 6 adet ayn› rakam (2, 2) gibi gelme olas›l›¤› hangisidir? C: Çizgisiz defter 8 adet 1 1 1 1 A) B) C) D) D: Kurflun kalem 9 adet 36 18 6 12 E: Tükenmez kalem 7 adet F: Ucu de¤ifltirilebilen kalem 5 adet G: K›rm›z› kurflun kalem 11 adet A) Rastgele seçilen defterlerin çizgili ve kalemin 7 Aşağıdaki sorularıma cevaplarınız olumlu tükenmez kalem olmas› olas›l›¤› d›r. 96 mu? B) Rastgele al›nan defterlerden 1.sinin çizgisiz, 1. Teorik Olasılığı bir örnekle açıklayabilir 2.sinin kareli ve kalemlerden 1.seçilenin kurflun kalem ve hesaplayabilirim. 2.sininde ucu de¤ifltirilebilir kalem ç›kma olas›l›¤› 2. Deneysel Olasılığı bir örnekle açıklayabi5 tür. lirim. Teorik olasılıkla ilişkisini açıklayabilirim. 1054 K 3. Öznel Olasılığı bir örnekle açıklayabilirim. C) Rastgele al›nan bir defterin kareli veya çizgili E kalemin k›rm›z› renkli kurflun kalem ç›kma olas›l›¤› M (Örneğin Matematik Öğretmeninize göre SBS’de A 20 Matematik Test sorusunu doğru cevaplama 11 dir. L 288 olasılığınız %85 gibi Rasyonel bir sayı olabilir D) Rastgele al›nan 1. kalemin tükenmez, 2.sinin T mi? ucu de¤ifltirilebilir kalem 3.kurflun kalem ç›kma olas›l›¤› Ü 4. Bağımlı ve bağımsız olayları bir örnekle R 21 K açıklayabilirim. tür. 1984 E 5. Bağımlı ve bağımsız olayların olma olasıL ‹ 8. Bir zar ile madeni para ayn› anda rastgele yu- lıklarını bir örnek soru üzerinde hesaplayabilirim. Hangisine cevabınız olumsuz ise başa dönüp kar› at›ld›¤›nda zar›n 5, madeni paran›n ise yaz› yüzü eksiğinizi gideriniz. üste gelecek flekilde yere düflme olas›l›¤› kaçt›r? A) 2 3

B) 1 8

C) 1 12

D) 1 6

9. 2 ile 15 aras›ndaki tam say›lar (2 ile 15 dahil) al›narak efl büyüklükteki küçük kare fleklindeki karton ka¤›tlara her biri yaz›l›yor. Sonra tam say›lar› yazd›¤›m›z kartonlar bir torbaya konuluyor. Torbadan rastgele bir say› yaz›l› karton ka¤›t çekti¤imizde seçeneklerde verilen teorik olas›l›klardan hangisi yanl›fl hesaplanm›flt›r? A) Çekilen say›n›n asal ve 2 ile bölünebilen bir 1 say› olma olas›l›¤› tür. 13 B) Çekilen say›n›n asal veya 2 ile bölünebilen bir 6 tam say› olma olas›l›¤› dir. 7 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Engeller beni durduramaz, her bir engel kararlılığımı daha da güçlendirir. Leonardo da Vinci SBS adaylarına önerim Matematik temellerini kuvvetlendirecek şekilde günlerini verimli geçirmeleridir. Matematik sorularının pratik çözüm yollarını da araştırınız. Kazananlardan biri olmanız için bilinçli ısrarlı gayret göstermeniz gerekir. Pes etmeyin düşünerek ders çalışırsanız kazanacağınıza inanın. Test sınavlarını ciddiye alıp çalışınız. Öğretmeniniz Matematik Öğretmeni Kemal Türkeli www.kemalturkeli.com 29


KAREKÖKLÜ SAYILAR (Square Roots) 2

2 . 2 = 2 (2’nin karesi) 2 2 . 2 = 2 = 4 olup karesi 4 olan say›y› bulma ifllemine karakök alma ifllemi ad› verilir. 2 2 = 2 olarak yaz›l›r.

4 =

Do¤al say›lar (N), Tam say›lar (Z) ve Rasyonel say›lar (Q, kesirler) say› do¤rusu üzerindeki tüm noktalar› gösteremezler. Bunlarla gösterilemeyen baz› noktalar› gösteren (noktalarla eflleflen) say›lara irrasyonel say›lar (I, rasyonel de¤il anlam›nda) ad› verilir. 2, π = pi = 3,14 gibi say›lar irrasyonel say›lara örnektir. 2

2 3 . 3 = 9 = 3 oldu¤undan 3 = 3 = 9 yani karesi 9 olan say›y› bulma ifllemi “9’un karekökü 3’tür” diye söylenir. Say› do¤rusu üzerinde 2 irrasyonel say›s›n›n S B adresinin nas›l bulunaca¤›n› görelim. S

1

2

2

B 1

C(

2)

2

IOAI = 1 + 1 (Pisagor ba¤›nt›s›) 2 IOAI = 2 IOAI = 2 cm O merkezli IOAI = 2 cm yar›çapl› çember yay›n›n say› do¤rusunu kesti¤i C noktas›n›n da O’ya uzakl›¤› 2 cm’dir. C ( 2 ) dir. ICOI = IAOI = 2

1 . 1 = 1 olup

30

2 cm 1 =

2 1 = 1’dir.

2 .

2 = 2 olup

2 .

2 = 2 olup ifllemin tersi

4 .

4 =

olup

3 =

2

4 =

4 =4

5 .

5 = 5

6 .

6 = 6

7 .

7 = 7

8 .

8 =

8 =8

tersi

8 =

4 .

2 = 2

2 dir.

9 .

9 =

9 =9

10 .

10 = 10 fleklinde yaz›l›r.

2

2

2

2 < 1,41 ≠

2

2 = 2 dir.

9 = 3

2 say›s› 1 ile 2 aras›ndad›r. (1< 1<

3

2 < 2)

2

2 yaklafl›k de¤eri a b

2 say›s›na eflit bir say› ‹ki tam say›y› bölerek bulunamam›flt›r. (1,5) . (1,5) = 2,25 oldu¤undan M 1 < 2 < 2,25 oldu¤undan 1 < 2 < 2,25 A T E 2 nin 1’den büyük 1,5’dan 1< 2 < 1,5 ; M küçük bir say› oldu¤u görülüyor. A T (1,4) . (1,4) = 1,96 oldu¤undan ‹ K 2 < 1,96 < 2,25 ise

1

O

3 = 3

8

A

45°

3 .

2=

2 olur.

1,4 <

2 < 1,5 aral›¤›ndad›r.

1.1=1

1 =1

2.2=4

4 =2

3.3=9

9 =3

4 . 4 = 16

16 = 4

5 . 5 = 25

25 = 5

6 . 6 = 36

36 = 6

7 . 7 = 49

49 = 7

8 . 8 = 64

64 = 8

9 . 9 = 81

81 = 9

10 . 10 = 100

100 = 10

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


2. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Karekökleri tam say› olan 1, 4 , 9 , 16 , 81 gibi do¤al say›lara tam kare say› (perfect square) ad› verilir. 16 < 19 < 25

16 <

19 <

25

4 < 19 < 5 19 4,36 olup 4’ten büyük, 5’ten küçük bir say› oldu¤unu tahmin edebiliriz. 2

19 <

(4,3) <

- 25 < - 19 -5 <-

(4,4)

<-

2

4,3 <

-4,36 say›s› -5’ten

büyük, -4’ten küçük bir irrasyonel say›d›r. -4,4 < - 19 < -4,3 yazabiliriz.

25 16 1

4

1 2

9

3

4

5

Do¤al say›lar›n karesi flekilde çevrelerine çizilen karelerin alan›na eflittir. 2 2 x = 25 Karesi 25 cm olan karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 5 cm’dir. Karenin bir kenar uzunlu¤unun pozitif bir gerçek say› olaca¤›na dikkat ediniz. 2 2 25 = (+5) . (+5) = (5) = (-5) . (-5) = (-5) olmas›na ra¤men kenar› -5 cm olan kare çizilemeyece¤inden yaln›z

25 = 5 al›n›r. 2

Alan› 121 m olan kare fleklindeki bir bahçenin bir kenar uzunlu¤unun kaç metre olaca¤›n› bulal›m. 11 . 11 = 121 oldu¤undan 2 a . a = 121 a = 121 a = 121 2

a = 11 = 11 cm bulunur. Tam kare olmayan 55 say›s›n›n karekökünü tahmin etmek için strateji; 49 < 55 < 64 7<

49 <

55 <

7,3 + 7,53 2

14,83 2

7,42

19 < 4,4

16 oldu¤undan

19 < - 4 ; - 19

550 7,3 511 7,53 390 365 250 219 31

64

55 < 8

55 - 49 = 7, 64 - 55 = 9 farklar› karfl›laflt›r›ld›¤›nda 55 say›s› 7’ye daha yak›n oldu¤undan 7,3 ondal›kl› de¤eri yaklafl›k tahmin edilir. 55’i 7,3’ bölelim. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

5500 7,42 a=b.b 5194 7,4 a = b olmal› 3060 b 2968 55 = 7,4 . 7,4 + 0,24 (kalan) 92 veya, 7,4 55 7.2 = 14 144 49 4 600 576 576 K 24 E M Bölen ve bölümün ondabirler basama¤› ayn› A oldu¤undan 55 7,4 alabiliriz. L 0 < a , 0 < b iken a . b = a . b dir. T Ü 20 = 4.5 = 4 . 5 = 2 5 R K Örne¤in alan› 20 cm2 olan karenin bir kenar›n›n E L uzunlu¤u 2 5 cm’dir. ‹ a2. b = a2 . b = a b dir. 72 =

36 .

98 =

72 . 2 =

62 .

2=

72 .

2 = 6 2 = 7

2 dir.

2

98 2 49 7 7 7 1 128 =

4 .

4 .

=2.2.2. 128 64 32 16 8 4 2 1

4 .

2 = 8

2 2

veya

2 veya 128 = 23 . 23 . 2 = 8 . 8 . 2 2 = 64 . 2 oldu¤undan 2 128 = 64 . 2 = 64 . 2 2 2 = 8 2 dir. 2 2 31


Kareköklü Say›lar

KEMAL Türkeli

Dikkat edilirse karakök içindeki say›n›n çarpanlar›ndan biri tam kare ise bu kural› uygulayabiliriz.

Örne¤in; 3

5 + 2

20 = 3

5 +2

4.5

5 dir.

=3

5 +2.2

a b flekindeki karaköklü bir ifadenin a katsay›s›n› kök içine alarak a2. b fleklinde yazabiliriz.

=3

5 +4

=7

5

405 =

81 . 5 =

81 .

= 9

5

a

b =

a2 .

b =

a2. b

2

3 =

2

2 .

3 =

4.3 =

-3

2 =-

2

3 .

2 = -

9.2 = -

5

5 =

52 .

5 =

53 =

a

b =

3

3 =

2

18

32 .

= 10 =

9.3 =

3 =

c + b

c = (a + b)

c

2

5 + 3

5 = (2 + 3)

5

= 5 3 + 3

5 =

27

3 = (7 + 3) = 10

125

3

3 =

300

KAREKÖKLÜ SAYILARIN ÇIKARILMASI a

c - b

c = (a - b)

c

12

3 - 4

3 = (12 - 4)

3

= 8 a,b ≠ 0 iken ediniz.

a+b ≠

a + b oldu¤una dikkat

7

7

7 700

KAREKÖKLÜ SAYILARIN ÇARPILMASI S B S

8 M A T E M A T ‹ K

a

c .a

c = (a . a) veya

c = a2. c

c .

( a c )2 = a2 ( c )2 = a2. c dir.

(2 3 ) . (2 3 ) = 2 . 2 . 3 . 3 = 4 . 3 = 12 veya

(2 3 )2 = 22 . ( 3 )2 = 4 . 3 = 12 (3 5 ) . ( 3 5 ) = 32 . ( 5 )2 = 9 . 5 = 45 (5 7 ) . ( 2 7 ) = 5 . 2 . 72 = 10 . 7 = 70 ( a b )n = a n .

192

7

( 3 4 )3 = 3 3 .

bn 3 43 = 3 .

82

= 27 . 8 = 216 (43 = 82) dir.

16 + 9 ≠

16 +

9

25 ≠

4 +

3

5

7 dir.

3 =

7 + 4

= (6 + 4)

125

5

9.7 + 4

=2.3

a2. b , 0 < a dir.

a

Olumsuz tek örnek kural›n do¤ru olmad›¤›n› göstermeye yeter. Toplama veya ç›karma iflleminin yap›labilmesi için karakök içindeki say›lar›n ayn› olmas› gerekir.

32

7 =2

12

KAREKÖKLÜ SAYILARIN TOPLANMASI

7

63 + 4

5

Çarp›lacak karaköklü say›lar farkl› ise

( a b ) . ( c d ) = ac

bd

(2 5 ) . (3 7 ) = 2 . 3 . 5 . 7 =6

35

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


2. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Çözüm 1 :

KAREKÖKLÜ SAYILARI BÖLME: 6

2

3

2

a

b

c

d

18

12

2

3

a c

=

b d

18 . 2

12 =9 3 =9

4

49 = 100

49 100

I- 3 =

7 10

0,49 = 7 . 10-1 = 0,7

4 = 100

0,04 = 0,04 =

0,81 +

4 100

=

2 10

1 = 0,2 = 2. 10-1 = 5-1 5 1,44 =

2

9 + 100

144 100

9 12 21 = + = 10 10 10 1 = 2,1 = 2 10

9 11 + 10 10 2 10

K E M A L T Ü R K E L ‹

8 :3

=

3 -- 75

III - 5

3 . 7+

4 10

= 20 . 10 = 20 = 10 10 2 2

Afla¤›daki ifllemlerden hangisinin sonucu bir tamsay›d›r?

4

II - 5

IV -

121 100

9 + 10

Do¤ru cevap B’dir.

Örnek TEST 2 :

22 = 9 . 2 = 18

ONDALIK KES‹RLER‹N KAREKÖKLER‹N‹ ALMAK 0,49 =

1,21

0,04

=2

3

=

=

a=

6

=

0,81 +

48 63

A) II ve IV C) II ve IV

B) II ve III D) I ve III

Çözüm 2 : I-

3

8

3

4

=

II- 5

3 --

III- 5

3 .

8 = 4

2 ∉Q ,

25 . 3 = 5 48 = 5

3 -- 5

2 ∈ Q=I

3 =0∈Z

3 . 16 .

=5. 4

3 .

3 3

= 20 . 3 = 60 IV-

Örnek TEST 1 : 0,81 +

1,21

0,04

7 +

63 = =

= x ise x’i hesaplay›n›z.

A) 20

B) 10

C) 1

D)

9 2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

=4

7 +

9 .

7+ 3

7

7

7 ∉Z

II ve III’teki ifllemlerin sonucu bir tam say›d›r. Do¤ru cevap B’dir.

İlk çağlarda güçlü olan, endüstri çağında zengin olan kazanırdı. Bilgi çağında ise bilgili olan kazanacaktır. A. Toffler 33


Kareköklü Say›lar Örnek TEST 3 : ( 98 + 18 ) . hangisidir? A) 23,45 C) 46,9

KEMAL Türkeli

22 say›s›n›n yaklafl›k de¤eri 4,69 verildi¤inde 11 iflleminin yaklafl›k sonucu

Örnek TEST 6 : 50 --

72 +

32 --

98

B) 234,5 D) 98,49

Çözüm 3 : ? = (

98 +

=(

afla¤›daki seçeneklerde verilen hangi say› ile çarp›l›rsa çarp›m bir tam say› olur?

18 ) .

49.2 + 2 + 3

= 10

2.

A)

11

9 .

=(7 = 10

2 ).

2

C) 2

11

B)

3

D)

10

Çözüm 6 :

2 ) . 11

25 .

11

2 --

16 .

2 --

=

(5 -- 4 -- 6 + 7)

2

2

A) -8 ile -7 C) -9 ile -8

81 < -- 69 < --

2

=

2

Do¤ru cevap A’d›r. 0,4

Örnek TEST 7 :

= a ifllemler 0,8 . 0,2 sonucunda bulunacak a kaçt›r? B) 0,1 D) 1

A) 4 C) 2

Çözüm 7 : 0,4 a= = 0,8 . 0,2

4 .

5 + 2

3 3

=

2(

5 +

4.

5 +

3

5 + 5 +

3 ) 3

3 =

0,4 16 100

=

0,4 4 10

0,4 8 . 2 10 10 =1

= 2 olur.

Do¤ru cevap D’dir.

34

2

2 ! Z bulunur.

64

B) 3 D) 2

5 +

2

= a say›s› kaçt›r?

Çözüm 5 : a = 2

2

2

=

M A T -- 9 < -- 69 < -- 8 oldu¤undan E -- 9 < -- 8,3 < -- 8 M A Do¤ru cevap C’dir. T ‹ K

--

A) 5 C) 4

=

2

8

Örnek TEST 5 : 3

49 .

S -- 69 say›s› hangi ard›fl›k B S iki say› aras›ndad›r? ‹fllem sonucu bulunan 2 say›s›n› A seçene¤inB) -7 ile -6 deki 2 say›s› ile çarparak D) -10 ile -9 2. 2=2!N

Örnek TEST 4 :

5 +

(12 -- 10)

=

Do¤ru cevap C’dir.

12

2+

2

22

= 46,9

20 +

36 .

2

= 10 . 4,69

Çözüm 4 :

iflleminin sonucu

4

Do¤ru cevap D’dir.

KEMAL TÜRKELİ • 8. sınıf SBS MATEMATİK


2. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 8 :

A) 10

B) 5

C) 2

D)

A)

360 = 22 . 32 . 2 . 5

360 180 90 45 15 5 1

360 =

22 .

32 .

=2.3. =6

360 = 6 10 = a

10

10 =

a = 6, b = 10 dur.

A) 2

B)

2

C) 3

12 .

2

6 .12 .

2

9. 4

=

144 36

=

4 =2

Örnek TEST 10 :

4

48

3 .

2

B)

5 4

C) 20

B)

1 2

11

D)

5 6

11

iflleminin

D)

2

=

2

5

1 4 11

3

Do¤ru cevap C’dir.

6

Örnek TEST 12 : 10 (

0,18 +

0,32 --

0,72 ) :

(

=(

9.

4

3 .

48 2

=

=

25 . 4 5.4 4

2 . 3 . 3

3

16 .

3

32 --

72

2 + 16 .

2 + 4

2 -- 6

=( 7

2 -- 6

2

= =5 Do¤ru cevap A’d›r.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

2 :

1 2

=

2 D) 2

2

):

): 2 .

2

1

1 2 2 ):

2 -- 36 .

=( 3

2

1

100 . 0,32 -- 100 . 0,72 ) :

100 . 0,18 +

= ( 18 +

C)

2 ):

Çözüm 10 : 50 .

11

6

(3)

T Ü iflleminin sonucu kaçt›r? R K A) 1 B) 2 E L ‹ Çözüm 12 :

sonucu kaçt›r? A) 5

kaçt›r?

11

=

Do¤ru cevap D’dir.

50 .

11

3

2

D) 2

Çözüm 9 :

iflleminin sonucu

12 4

11 (2)

K iflleminin E M 9. 4 A sonucu hangisidir? L

6.

11

9 2 + 9 9

Do¤ru cevap A’d›r.

Örnek TEST 9 :

3 1 6

1 4

3 --

Çözüm 11 :

10

b

--

11

C)

22 . 32 . 2 . 5

=

2 9

1+

30

Çözüm 8 : 2 2 2 3 3 5

Örnek TEST 11 :

360 = a b ise b sayma say›s›n›n en küçük say› de¤eri kaçt›r?

1 2

1 2

1 2 2 =2

Do¤ru cevap B’dir.

35

2


ÜN‹TE 2

TEST SORULARI Do¤ru cevaplar›, aç›klamal› çözümleri 189. sayfadad›r.

1 1 : 16 36 nucu hangisidir?

1 4

1.

A) 1

B)

C) 1,1

6 . 10 . 15

A) 1 4. a =

2, b =

A) 6 C) 15

7, c =

D) 30

3 oldu¤una göre

378 in a, b ve c cinsinden de¤eri hangi seçenektedir? A) abc

B) 7

B) 2abc

C) 3abc

C) 2

4,4 + 17,6 1,1

= a ise, a’y› hesaplay›n›z.

B) 2

D) 6,4

D) 3

D) 0,9 10.

2.3.5

C) 8

9. 147.a = b, a ve b pozitif birer tam say› olacak flekilde a rakam›n›n alabilece¤i en küçük de¤er kaçt›r? (a do¤al say›d›r.) A) 27

B) 10-2

3.

B) 6

D) 2

iflleminin sonucu kaçt›r?

10-2

A) 1

2 . 32 iflleminin sonucu kaçt›r? 0,09 + 0,49

8.

iflleminin so-

A) 4 C) 0,5

5

10-2 -- 10-4

2.

1 9

D) a

bc

iflleminin sonucu kaçt›r?

B) 20

C) 12

(

D) 18

)

75 108 = a iflleminin sonucu S 11. 20 16 25 B S olan a gerçek say›s› hangi seçenektedir?

8

M A T ( 2 2 . 5 ) + 3 10 5. . a iflleminde a yerine E 6 5 -- 5 M A seçeneklerden hangisi yaz›l›rsa, ifllem sonucu bir T ‹ tam say› olmaz? K A) 2 B) 10 C) 8 D) 18

A) 2

5

12.

11 --

A) 1

13.

B)

C)

3

1+

C) 3

1 1 + -64 36

D) 9

7 5 -2 4

) .12 iflleminin

sonucu hangisidir? 6. 5 6, 6 4 ve 9 do¤ru s›ral›n›fl› hangisidir? A) 6

4>9

2>5

6

B) 9

2>6

4>5

6

C) 5

6>9

2>6

4

D) 9

2>5

6>6

4

7.

2 irrasyonel say›lar›n›n

B) 32

B) 2

14. ? =

2 -5

A)

(-3)2 -- (-2)2 -- (-3)3 iflleminin sonucu kaçt›r?

A) 28

A) -15,5

C) 22

D) -22

C)

3 10 10 3

10

3

9 say›s› hangisine eflittir?

B) 2

(

D) 2

5

C) 4

5 2

D)

1 2

iflleminin sonucu kaçt›r? B) D)

3 10

10

3 10

Bütün büyük işler, küçük başlangıçlarla olur. Cıcero 36

KEMAL TÜRKELİ • 8. Sınıf SBS MATEMATİK


SAYILAR:

GERÇEK SAYILAR

(Real numbers) R = Q ∪ ‹ = Q ∪ Q› , ‹ ⊂ R

IOHI = 2

A

N⊂Z⊂Q⊂R

IHAI = 1

2

1

={ }

Q∪‹=R

1

0

Q∩‹=

x

B 3

H

+

IOAI2 = IOHI2 + IHAI2 Pisagor ba¤›nt›s› IOAI = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 IOAI = IBOI = 5 2,24

π (pi) say›s› yaklafl›k 3,14 olup irrasyonal bir say›d›r. π = 3,141592... Merkezi Yay›lma Ölçütlerinden

STANDART SAPMA Reel say› do¤rultusunda her noktan›n eflleflti¤i (Standard deviation) bir gerçek (reel, gerçel) say› vard›r. B noktas›n›n bafllang›ç noktas›na uzakl›¤› 5 2,24 birim olup 5 ‹statistik dersinde rastgele rakamlardan belirli irrasyonel bir say›d›r. a ve b tamsay› olmak üzere 5 ’e eflit olan bir rasyonel say› bulunamad›¤›ndan sonuçlara varmak için çeflitli yöntemler gelifltirilmifltir. Bir örnekle standart sapmay› aç›klayal›m. 5 ’e irrasyonel say› (rasyonel de¤il) ad› verilir. a 100 bin ö¤renci 20 soruluk SBS 8 Matematik 5 ≠ , a ∈ Z, b ≠ 0 ve b ∈ Z dir. b K Test sorular›n› yan›tlam›fl olsun. Say› do¤rusu üzerindeki herhangi bir noktan›n E Yanl›fl say›s› Y M D -= Do¤ru say›s› -adresi (IBOI = 5, bafllang›ç noktas›na uzakl›¤›) Do- A 3 3 L Formulünden her ö¤rencinin Matematik net sa¤al say› (5 gibi, 5 ∈ N) veya y›lar› hesaplanacakt›r. 100 bin ö¤rencinin net say›lar›n› Negatif tam say› (-3, -3 ∈ Z-) veya Rasyonel (kesir) T Ü bilgisayar toplayarak s›nava giren ö¤renci say›s›na 3 3 say› ( , ∈ Q) veya rasyonel say› de¤ilse irras- R (100 bin) bölerek SBS adaylar›n›n 20 Matematik 2 2 K yonel say›d›r. E sorusundan ortalama kaç tanesini net olarak do¤ru L yapt›¤›n› hesaplar. Somutlaflt›rmak için net matematik › ( 5, 5 ∈ Q = ‹) ‹ ortalamas›n› 3 net (gerçekte 2,965 gibi bir say› olabilir Genel bir gerçek (reel) say›, ben kolay anlay›n diye yuvarlat›p 3 net olsun dedim) a+b c =2+3 5 8,7 rasyonel ve irrasyo- olsun. nel ( ‹ ) 2 farkl› türden say›dan oluflabilir. ‹ki rasyonel 100 bin ö¤renciye ait Matematik net say›lar›n›n say›n›n toplam›n›n yar›s› da rasyonel bir say› oldu¤un- oluflturdu¤u Normal da¤›l›m e¤risi (kilisedeki çana dan rasyonel say›lar say› do¤rusunda yo¤undur denir. benzetilir) simetrik bir e¤ri olup 100 bin ö¤renciden Rasyonel say›lar›, ondal›k say› olarak yazmaya 50 bininin netleri 3’ten büyüktür. rasyonel say›n›n ondal›k aç›l›m› denir. Oysa 2 gibi irrasyonel say›lar›n ondal›k aç›l›m› devirli de¤ildir. 5 = 0,8333... = 0,83 6 A Normal da¤›l›m e¤risi %34 2 = 1,414213... Q I %50 Q = Rasyonel Say›lar

.

3 2

. -- 3

‹ = ‹rrasyonel Say›lar

Z = Tam Say›lar

N Do¤al Say›lar

.5

B

I

I=Q

.

%14

R = Gerçek say›lar

5

evrensel kümesi

‹⊂R

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

x =3 s

2s

C 3s

Adaylardan 100 binden 34 bininin aritmetik ortalamadan ne kadar uzakta oldu¤u bilgisini bize standart sapma (A bölgesi) verir. 37


Standart Sapma

KEMAL Türkeli

1 standart sapma ile 2 standart sapma aras›nda 100 bin aday›n 14 bini (B bölgesi) bulunmaktad›r. 2 standart sapma ile 3 standart sapma aras›nda ise 100 bin ö¤rencinin 2 bini (% 2) si bulunmaktad›r. ‹stanbul’daki yüksek puanl› Anadolu Liselerini standart sapmas› 3’ten büyük olan ö¤rencilerin kazanma flanslar› yüksektir. Anlaml› olsun diye 20 Matematik test sorusundan aritmetik ortalama (3’ten) den fazla net ç›karan 34 bin ö¤renciden puan› en yüksek olan›n neti 3 + 5 (Standart Sapma olarak varsayd›m, gerçekte bu say› 5,154647 gibi bir say› da olabilir.) 3 (Aritmetik ortalama) + 5 (Standart sapma) = 8 net olacakt›r. ‹flte aritmetik ortalamadan fazla olan bu 5 net say›s›na standart sapma ad› verilmektedir.

404 = 16 - 1

Standart sapma = =

404 15

26,933

= 5,19 Standart sapma

A

m=4

A

9,19 = 5

Veri kümesinin % 34’ü x : Ö¤rencinin net say›s›

4 ≤ x ≤ 4 + 5,19 4 ≤ x ≤ 9,19 {4, 6, 7, 8}

16 ö¤rencinin 20 SBS Matematik Test sorusunda Standart sapman›n nas›l hesapland›¤›n› daha iyi hesaplanan netlerinden yola ç›karak standart sapma anlaman›z için bir örnek daha inceleyelim. de¤erini hesaplayal›m. Gerçek s›navda ö¤renci say›s› Bir kargo flirketindeki paketlerin a¤›rl›klar› (kg) 990 bin olup aritmetik ortalama ve standart sapmay› S B kümesi = {2, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 8, 9} bilgisayar hesaplamaktad›r. Kolay anlafl›ls›n diye 16 S ö¤renciyi örnek ald›m. 45 m=2+2+3+3+5+6+7+8+9 = 16 ö¤rencinin Matematik netleri kümesi = {0, 0, 9 9 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 15, 16} m = 5 kg 9 paketin ortalama a¤›rl›¤›d›r. Standart sapmas› bulunacak say›lar›n aritmetik M ortalamas›n› (mean) bulal›m. x x -- 5 (x -- 5)2 A 2 -- 3 9 T 0+0+0+0+1+1+1+1+1+3+4+6+7+8+15+16 E 2 -- 3 9 m= M 16 3 -- 2 4 A 3 -2 4 64 T = 5 0 0 ‹ 16 6 1 1 K m=4 Aritmetik ortad›r. 7 2 4 8 3 9 2 9 4 16 x x -- 4 (x -- 4) + 0 -- 4 16 56 0 -- 4 16 0 -- 4 16 56 0 -- 4 16 Standart sapma = 1 -- 3 9 9 - 1 paket say›s› 1 -- 3 9 1 -- 3 9 56 56 1 -- 3 9 Standart sapma = = = 7 8 1 -- 3 9 8 3 -- 1 1 4 0 0 Standart sapma = 2,646 kg’d›r. 6 2 4 7 3 9 8 4 16 15 11 121 16 12 + 144

8

404

38

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


2. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Verilerin aritmetik ortalamalar› Aritmetik 32 + 52 + 52 + 56 + 59 + 61 + 73 ortalama (mean) = 7

A

2,354 5

A

=

Aritmetik 15 + 30 + 42 + 53 + 75 + 75 + 95 ortalama (mean) =

m2 = 55 Ayd›n ö¤retmenin ö¤rencilerinin netlerinin aritmetik ortalamas›d›r. Görülüyor ki iki s›n›ftaki çal›flkan ö¤rencilerin aritmetik ortalama puanlar› eflittir. fiimdi her grubun verilerini kullanarak standart sapmalar›n› hesaplayal›m. K E M A L

x 32 52 52 56 59 61 73

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

x -- 55 -- 23 -- 3 -- 3 1 4 6 18

Standart sapma =

(x -- 55)2 529 9 9 1 16 36 324 + 924

924 = 7--1

154 = 12,4

Bülent ö¤retmenin çal›flkan ö¤rencilerinin standart sapmas›d›r. 55 -- 12,4 < x < 55 + 12,4 42,6 < x < 67,4 Bülent ö¤retmenin ö¤rencilerinin % 68’i {52, 52, 56, 59, 61} bu aral›ktad›r. x 15 30 42 53 75 75 95

Önce her veri grubunu küçükten büyü¤e do¤ru s›ralayal›m: Bülent ö¤retmenin ö¤rencileri; 32, 52, 52, 56, 59, 61, 73 Ayd›n ö¤retmenin ö¤rencileri; 15, 30, 42, 53, 75, 75, 95 B veri grubunun aç›kl›¤› 73 - 32 = 41 A veri grubunun aç›kl›¤› 95 - 15 = 80

7

385 = 7

T Ü R K Bülent ve Ayd›n ö¤retmen 8. s›n›fta okuyan E ö¤rencilerinden 7’sini Fen Lisesi kazanmalar› için L ‹ haz›rlamaktad›rlar. 100 soruluk SBS ortak deneme s›nav›nda ö¤rencilerinin netleri flöyledir.Bu iki grubu baflar›lar› aç›s›ndan karfl›laflt›ral›m. Bülent ö¤retmenin ö¤rencilerinin netleri; 52, 32, 52, 59, 56, 61, 73 Ayd›n ö¤retmenin ö¤rencilerinin netleri; 30, 15, 53, 42, 95, 75, 75

7

m1 = 55 Bülent ö¤retmenin ö¤rencilerinin netlerinin aritmetik ortalamas›d›r.

7,646 kg

A : Verilen % 34’ü = {5, 6, 7 kg’l›k paketler} Çan e¤risinin A bölgesindedir. 5 ≤ x < 7,646 kg Paketlerin say›s›n›n % 34’ü 1 standart sapma (2,646) kg aral›¤›ndad›r. Özetlersek kargo flirketinde bulunan 9 paketin standart sapmas›n› bulmak için önce paketlerin ortalama a¤›rl›¤›n› hesaplad›k. Sonra her paketin a¤›rl›¤›n›n ortalamadan sapmas›n› bulduk. Daha sonra sapmalar›n karesini al›p dokuzunu toplad›k (56 kg). Buldu¤umuz say›n›n paket say›s›n›n bir eksi¤ine bölümünün (7) kare kökünü 7 = 2,646 kg hesaplad›k. Buldu¤umuz 2,646 kg de¤eri 9 paketin a¤›rl›klar›n›n ço¤unun (%68) aral›¤›ndad›r. 5 ± 2,646 2,4 < x < 7,65 kg a¤›rl›¤›ndad›r. Bunlar; {3, 3, 5, 6, 7} olanlard›r.

385

x -- 55 -- 40 -- 25 -- 13 -- 2 20 20 40

(x -- 55)2 1600 625 169 4 400 400 + 1600 4798

4798 = 799,7 28,3 Ayd›n ö¤ret7--1 menin ö¤rencilerinin netlerinin standart sapmas›d›r. Ss =

39


Standart Sapma

KEMAL Türkeli

55 - 28,3 < x < 55 + 28,3

fiimdi 7’fler ö¤renciden oluflan Fen Lisesini 26,7 < x < 83,3 Ayd›n ö¤retmenin ö¤renci- kazanmak isteyen iki grubu baflar› aç›s›ndan lerinin % 68’i {30, 42, 53, 75, 75} aritmetik ortalaman›n karfl›laflt›ral›m. Merkezi e¤ilim ölçülerinden aritmetik ortalamalar› 55 oldu¤undan gruplar eflit de¤erdedirler 1 standart sapma komflulu¤undad›r. diyebiliriz. Any›ca B grubunun aritmetik ortalamadan fark puan (56, 59, 61, 73) alan 4 ö¤renci varken A’da 3 (75, 75, 95) ö¤rencinin puan› aritmetik ortalamadan fazlad›r. Bu nedenle B grubunun daha çok say›da %34 %34 ö¤rencisini Fen Lisesine yollama flans› vard›r. B grubunda 1 standart sapman›n sa¤›nda (67,4) 1Ss tek puan› 73 olan ö¤renci vard›r. A grubunda 1 55 26,7 83,3 standart sapman›n sa¤›nda (83,3) tek 95 puanl› Tepe de¤er B 32, 52, 52, 56, 59, 61, 73 (mod) 52’dir. ö¤renci vard›r. Yani kazanma flanslar› eflit gibidir. B grubunun çeyrekler aç›kl›¤› (9) iken 2 x standart alt uç alt ortanca üst üst uç de¤er çeyrek çeyrek de¤er sapma = 2 x 12,4 = 24,8 puan aral›¤›nda ö¤rencilerin % 68’i bulunur. Gerçekte bu bilgiler böyle 7 ö¤renci Çeyrekler aç›kl›¤› = üst çeyrek -- alt çeyrek için de¤il de 700 bin ö¤rencinin baflar›lar›n› yorum= 61 -- 52 layabilmek için gelifltirilmifltir. A ö¤renci grubununun =9 standart sapmas› 28,3 > 12,4 (B grubu) büyük de¤er A 15, 30, 42, 53, 75, 75, 95 Tepe S oldu¤undan ö¤rencilerin % 34’ü aritmetik ortalaman›n (mod) 75’dir. B sa¤›nda daha büyük puanlar ald›klar›ndan A grubu alt uç alt ortanca üst üst uç S B grubundan daha baflar›l›d›r diyebiliriz. de¤er çeyrek çeyrek de¤er

8

Çeyrekler aç›kl›¤› = üst çeyrek -- alt çeyrek = 75 -- 30 Okul aç›ld›¤›nda yeni gelen Matematik ö¤ret= 45 Ayd›n ö¤retmenin ö¤M menine bir ö¤renci yaz›l›da alabilece¤i puan› önrenci grubunun çeyrekler aç›kl›¤›d›r. A görebilmek amac›yla ö¤retmenine yaz›l›larda s›n›ftaki T E ö¤rencilerden ortancan›n puan›n›, tepe de¤erini (mod) B grubunun yay›lma ölçütleri; M veya aritmetik ortalaman›n ne oldu¤unu soruyor? Aç›kl›k = 41, A Çeyrekler aç›kl›¤› = 9’dur. T Matematik ö¤retmeni de aç›kl›yor. Aritmetik ortalama ‹ 100 puan üzerinden 47, ortancan›n puan› 44, tekStandart sapmas› = 11,4 K rarlayan puan olursa tepe de¤eri (mod) genelde 55 B grubunun merkezi e¤ilim ölçüleri; Aritmetik puan› oluyor diyor. ortalama = 55, Veri grubunda terim say›s› tek (7) oldu¤undan en ortada bulunan say› (56) ortanca de¤eridir. Veri grubunda en çok tekrar eden say› 52 olup tepe de¤er (mod) olarak isimlendirilir. Ayd›n ö¤retmenin grubunun verilerinin say› do¤rusunda yay›lma ölçüleri; Aç›kl›k = 80, Çeyrekler aç›kl›¤› = 45, Standart sapmas› = 26,2’dir. A grubunun merkezi e¤ilim ölçüleri; Aritmetik ortalama = 55, Ortanca (medyan, madian) = 53, Tapa de¤eri (mod) = 75’tir. 40

Afla¤›daki TEST sorular›n› verilecek bilgilerden yararlanarak cevaplay›n›z.

‹lkö¤retimde 8. s›n›fta okuyan 15 ö¤renciye 100 test soruluk SBS deneme s›nav› uygulan›yor. D --

Y 3

formulünden ö¤rencilerin netleri afla¤›daki

gibi hesaplan›yor. A = {32, 30, 34, 28, 36, 36, 41, 43, 40, 45, 50, 53, 67, 60, 80}

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


2. Ünite Örnek TEST 1 :

SBS 8 MATEMAT‹K Seçeneklerin hangisinde aç›klanan ifade yanl›flt›r?

A) Veri grubunun aç›kl›¤› (range) 52 dir. B) Veri grubunda tepe de¤er (mod) 36 net puand›r. C) Veri grubunda ortanca de¤er (medyan) 40’t›r. D) Veri grubu küçükten büyü¤e do¤ru s›raland›¤›nda alt çeyrek 34 net puand›r. Çözüm 1 :

Önce 15 ö¤rencinin netlerinden oluflan veri grubunu küçükten büyü¤e do¤ru s›rayal›m. 28, 30, 32, 34, 36, 36, 40, 41, 43, 45, 50, 53, 60, 67, 80 Veri grubundaki en büyük de¤er (80) ile en küçük de¤erin fark› olan aç›kl›k 80 -- 28 = 52’dir.

x 28 30 32 34 36 36 40 41 43 45 50 53 60 67 80

x -- 45 -- 17 -- 15 -- 13 -- 11 -- 9 -- 9 -- 5 -- 4 -- 2 0 5 8 15 22 35

(x -- 45)2 289 225 169 121 81 81 25 16 4 0 25 64 225 484 + 1225 3034

B

Veri grubunda en çok tekrar eden 36 say›s›na 3034 = tepe de¤er (mod) ad› verilir. Ss = 216,7 = 14,7 Standart 15 -1 sapmad›r. C Veri grubunda ortada bulunan veri 41 olup K ortanca de¤er (medyan, median)’d›r. 15 ö¤rencinin % 68’inin (32, 34, 36, 36, 40, 41, E Do¤ru cevap C’dir. M 43, 45, 50, 53) A 45 ± 14,7 45 - 14,7 < x < 45 + 14,7 Ortanca de¤erin solunda kalan 7 verinin tam L 30,3 < x < 59,7 net puanlar› aras›ndad›r. ortas›ndaki 34 alt çeyrektir. T Ü Örnek TEST 2 : Seçeneklerin hangisi daha R K önce verilen bilgilere göre E %34 %34 yanl›flt›r? L ‹ A) Veri grubunda üst çeyrek 53 net puand›r. 55 55 -1 +1 B) Merkezi e¤ilim ölçülerinden aritmetik ortalama 45 30,3 59,7 44’tür. C) Çeyrekler aç›kl›¤› 19’dur. Bunları öğrendiniz mi? D) Yay›lma ölçülerinden Standart Sapma 14,2 1. Standart sapmanın ne anlama geldiğini şöyle net puand›r. açıklayabilirim.” 20 soruluk SBS Matematik Test sınavında adayların aritmetik ortalaması 9 net ve standart Çözüm 2 : Ortanca de¤er (medyan) olan 41’ sapması 3 net ise adayların her 100’ünün (gerçek sınavda in sa¤›ndaki 7 verinin tam ortas›nbunu 100 bin de düşünebiliriz) 68’inin daki veri olan 53 net üst çeyrektir. 9-3≤x≤9+3 6 ≤ x ≤ 12 = [6, 12] net aralığında net cevabı olduğunu söyleyebilirim. Veya her 28+30+32+34+36+36+40+41+43+45+50+53+60+67+80 m= 100 öğrencinin 68’i aritmetik ortalamadan 3 uzaklığa 15 yayılmışlardır. Dikkat ederseniz %34’ünün neti 675 m= = 45 Aritmetik ortalama (mean) 9 ≤ x ≤ 12 = [9, 12] aralığına yayılmıştır diye 15 Do¤ru cevap B’dir. açıklayabilirim.” 2. Standart sapmayı, aritmetik ortalamayı bir veri grubuna uygulayarak hesaplayabilirim? C Çeyrekler aç›kl›¤› = 53 - 34 = 19 net puand›r. Bunları öğrenmedinizse dönüp tekrar çalışın. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

41


ÜN‹TE 2

SBS TEST Sorular› Do¤ru cevaplar›, aç›klamal› çözümleri 191. sayfadad›r.

Afla¤›daki test sorular›n› verilecek bilgiden yararlanarak yan›tlay›n›z.

5. (2 + 2 2 ) - (2 2 - 1) = x iflleminin sonucu olan x say›s› afla¤›daki say› kümelerinden hangisinin eleman› de¤ildir? A) Rasyonel say›lar kümesi B) Tam say›lar kümesi C) ‹rrasyonel say›lar kümesi D) Gerçek say›lar kümesi

Bir pazar günü bir hayvanat bahçesini ziyaret eden çocuklar›n yafllar›: 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 15, 15, 16, 17’dir. 1. Seçeneklerin hangisinde aç›klanan ifade yanl›flt›r? A) Veri grubunun aç›kl›¤› 11’dir. B) Veri grubunda tepe de¤er (mod) 11 yafl›ndaki çocuklard›r. C) Veri grubunda medyan 10’dur. D) Veri grubu küçükten büyü¤e s›raland›¤›nda alt çeyrek 8 yafl›ndad›r.

6. Onur’un torbas›nda 3 sar›, 5 yeflil renkte bilye bulunmaktad›r. Seçeneklerden hangisindeki önerme yanl›flt›r? A) Onur 1. bilyeyi torbadan çekiyor ama torbaya geri atmadan 2. bilyeyi çekerse 1.’nin sar› 2.nin yeflil 15 gelme olas›l›¤› dir. 56 S B) Onur çekti¤i bilyeyi torbaya geri at›p 2.yi B 2. Veri grubuna göre seçeneklerin hangisinde S çekiyor. 1yi sar›, 2.yi yeflil çekme teorik olas›l›¤› 15 64 aç›klanan ifade yanl›flt›r? tür. A) Veri grubunda üst çeyrek 15 yaflt›r. C) Onur, çekti¤ini yerine koymadan yeflil renkli B) Merkezi e¤ilim ölçülerinden aritmetik ortalama 5 bilyeleri çekme olas›l›¤› tür. 12 yaflt›r. 14 M A C) Çeyrekler aç›kl›¤› 7 yaflt›r. D) Onur çekti¤i bilyeyi tekrar torbaya at›yor. D) Yay›lma ölçülerinden Standart sapma 3,4 T 9 E ‹kisinin de sar› gelme olas›l›¤› d›r. 56 yaflt›r. M A T 7. Medeni Berk ‹lkö¤retim Okulu’nda 8 A flu3. {3, 4, 6, 8, 9} say›lar›n›n standart sapmas›n›n ‹ besinde 39 ö¤renci bulunmaktad›r. Ayn› gün yap›lan K karesi (variance) hangisidir? Matematik ve Türkçe yaz›l›s›nda de¤iflik gerekçelerle A) 26 B) 5 C) 6,5 D) 6 6 ö¤renci kat›lamam›flt›r. Matematik dersinden baflar›l› olan 26 ö¤renci, 16 ö¤renci de Türkçe’den baflar›l› 4. 8. s›n›fta okuyan 11 ö¤renciye 100 soruluk olmufltur. Matematik veya Türkçe yaz›l›s›na giren SBS deneme s›nav› uygulanm›fl ve biri ad›n› yazmay› ö¤renciler aras›ndan her ikisinden baflar›s›z olan unuttu¤u için 10’unun netlerinin aritmetik ortalamas› ö¤renci yoktur. 60 net olarak hesaplanm›flt›r. Sonradan ad›n› yazmay› Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? unutan Fulya baflvurarak puan›n› 71 olarak optik A) Herhangi bir gün s›n›ftaki 39 ö¤rencisinden okuyucuda hesaplatm›flt›r. biri ile konufltu¤umuzda bunun hem Matematik hem 11 kiflilik s›n›f›n matematik netlerinin aritmetik Türkçe’den baflar›l› bir ö¤renci olmas› olas›l›¤› 7 39 ortalamas› kaçt›r? dur. B) 39 ö¤rencisinden rastgele bir ö¤renci seçilA) 64 B) 63 C) 62 D) 61 di¤inde bunun sadece Matematik yaz›l›s›ndan baflar›l› 17 olmufl bir ö¤renci olmas› olas›l›¤› dur. 39 C) 39 kiflinin oldu¤u bir gün rastgele bir ö¤renci Bilginin efendisi olmak için seçildi¤inde bunun yaln›z Türkçe’den baflar›l› olabilmifl çalışmanın uşağı olmak şarttır. 7 Balzac bir ö¤renci olmas›n›n teorik olas›l›¤› dur. 39 42 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

8


2. Ünite Test Sorular›

SBS 8 MATEMAT‹K

D) 39 kifli s›n›ftayken rastgele bir ö¤renci seçildi¤inde bunun Matematik veya Türkçe yaz›l›s›nda 11 baflar›l› olmufl bir ö¤renci olmas› olas›l›¤› tür. 13 8. Bir markete gelen müflteriler 14, 12, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 8, 10, 11 TL’lik al›fl verifl yap›yorlar. Seçeneklerde verilen hangi önerme yanl›flt›r? A) Al›fl verifl yapanlar›n aritmetik ortalamas›, 9 TL’dir. B) Veri grubunun standart sapmas› 6,1 2,5’tir. C) Veri grubunun çeyrekler aç›kl›¤› 4 TL’dir. D) Aritmatik ortalama 9 TL, ortanca (medyan) 8 TL, tepe de¤eri (mod) 8 TL merkezi e¤ilim ölçütlerindendir.

A

12.

B

E

F

D

C

fiekildeki alt› nokta, efl karelerin köfleleri üzerinde bulunmaktad›r. Söz konusu alt› noktadan rastgele seçilen üç noktas› birlefltirildi¤inde bir üçgen oluflturmam›z olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir? (Ayn› 9. ( 5 + 2 ) . x = 3 eflitli¤ini (aç›k önermesini) do¤ru üzerindeki üç noktan›n bir üçgen oluflturamayado¤ru yapan x gerçek say›s› hangi seçenektedir? ca¤›na dikkat ediniz.) A) 5 -- 2 19 9 A) B) K B) 5 -- 2 2 20 10 E C) 2 5 -- 2 M 4 17 C) D) A D) ( 5 + 2 )-1 5 20 L 10.

D

C

T SBS ile kazanabilece¤iniz ‹stanbul Befliktafl Ü Kabatafl Anadolu Lisesi’ni (1908-2008) tan›tan R b K k›sa bilgi; E Ç›ra¤an Caddesi No: 40 L ORTAKÖY Befliktafl / ‹STANBUL A B ‹ a Tel : 0212 260 48 70 – 71 Seçeneklerdeki ABCD dikdörtgeninin uzun kenar e-Posta : kabatasel@yahoo.com uzunlu¤u k›sa kenar uzunlu¤unun 3 kat›d›r. ABCD www.kabataserkeklisesi.k12.tr dökdörtgeninin çevresi 40 2 cm ise alan› kaç cm2 dir? 2008’de ‹stanbul KABATAfi Erkek Lisesini kaA) 96 cm2 zanabilen 176. sonuncu ö¤rencisinin puan› 487,832, B) 150 cm2 Türkiye s›ras› 2450, ‹l Baflar› s›ras› 526 ve neti 96,7 C) 75 2 cm2 oldu. 2008 ÖSS’de mezun 174 ö¤rencisinin en iyi D) 300 cm2 %10’u 30 Matematik-2 Test sorusunun en az 29,1 11. 2 27 + 3 3 - ( 27 + 2 3) iflleminin sonucuna eflit olmayan seçenek hangisidir? A) 4 3 B) 48 C) 2 12 D) 3 3

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

netini do¤ru cevaplad›. En iyi %10’ luk grup en çok 300 olabilen Say›sal-2 puan türünde en az 293,1 veya üstü puan ç›kard›. 100. y›l›n› geçen y›l kutlad›. 1942 y›l›nda Ortaokul k›sm› kapat›ld›¤› için yaln›z Lise k›sm› mezun vermektedir. Ö¤retim süresi 5 YIL (Haz›rl›k + 4 Y›l)’d›r. K›z + Erkek ö¤renci almaktad›r. Yat›l› Ö¤renciler için Okulla ayn› alan içinde 75 K›z ve 150 Erkek Ö¤rencilik Pansiyonlar vard›r. KABATAfi ERKEK L‹SES‹'nde Birinci YABANCI D‹L ‹NG‹L‹ZCE, ‹kinci Yabanc› Dil ALMANCA veya FRANSIZCA’d›r. 43


ÜN‹TE 3

GEOMETR‹ (Geometry) Üçgenler (Triangles)

Atatürk 1937 y›l›nda Geometrinin ö¤retilmesinde Herhangi bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar› Arapça ve Farsça terimlerin engel oldu¤unu düflü- aras›ndaki üçgen eflitsizli¤i ba¤›nt›s›: Herhangi bir üçgende herhangi bir nerek Geometrinin daha kolay ö¤renilmesine katk›da |b - c| < a < b + c kenar›n›n uzunlu¤u, di¤er iki kenar›n bulunmak için bir Geometri K›lavuzu yazm›flt›r. |c - a| < b < c + a uzunluklar› toplam›ndan küçük, fark›n›n Atatürk Frans›zca Geometri kitaplar›n› inceleyerek, |a - b| < c < a + b mutlak de¤erinden büyüktür. ço¤u Geometri terimlerine yeni Türkçe karfl›l›klar önermifltir. Yeni karfl›l›klar›n ço¤u günümüze kadar Çizimle kural› anlayal›m. kullan›lmakta, çok az› de¤ifltirilmifl bulunmaktad›r. A Bu çal›flmas› ile Türk diline, Matemati¤e ve Frans›zca’ya çok iyi hakim oldu¤unu anl›yoruz. Kitap üzec=4 x rinde Atatürk ad›n› koymam›flt›r. Geometri ö¤retmenlere veya kitap yazacaklara terimlerin Türkçe B C karfl›l›klar›n› öneren bir K›lavuzdur. Silindir, küp, küre a=5 gibi sözcükleri Atatürk bu Geometri K›lavuzu’nda ilk kez önermifl ve toplumca benimsenmifltir. Atatürk’ün a = |BC| = 5 cm, S yazd›¤› Geometri K›lavuzu kitab› 44 sayfad›r. c = |AB| = 4 cm olan üçgenin b = |AC| = x kenar›n›n B Üçgenin 3 kenar›n›n uzunluklar› aras›ndaki iliflkiler: S uzunlu¤unun ne olmas› gerekti¤ini anlamak için Do¤runun ifllemsel tan›m›: Elinize bir ip al›p iki verilen elemanlar› yard›mc› bir üçgen (taslak) üzerinde noktas›ndan s›k›ca tutun ve ipi gerin, elde edece¤iniz gösterelim. gergin ip do¤ru sözcü¤ünün dünyam›zdaki karfl›l›¤›d›r. |c - a| < b < a + c M 5-4<b<5+4 A B A T 1<b<9 E b uzunlu¤u do¤al say› ise 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 cm Bir arkadafl›n›z yard›m› ile ipi bir noktas›ndan M A uzunluklar›nda olabilir. A noktas› B merkezli c = 4 gevfleterek k›r›k çizgi oluflturunuz. T cm yar›çapl› çember üzerinde olmak zorundad›r. D ‹ C K noktas›n›n C’ye uzakl›¤› 1 cm olup üç nokta do¤rusal olaca¤›ndan üçgen oluflmaz. Çap›n öbür ucunda E’de de olamaz, E’nin C’ye uzakl›¤› 4 + 5 = 9 cm olacak fakat üçgen oluflamayacakt›r. B A

8

‹ki nokta aras›ndaki k›r›k çizginin uzunl¤u [AB] den uzundur. [AB] < [AC] + [BC] oldu¤una dikkat ediniz. C c A

a<b+c b<c+a

b a

Üçgen eflitsizli¤i ba¤›nt›s›

4 E

4

B

O 4

b=2 1

C

c<a+b B

Herhangi bir üçgende: Herhangi bir kenar›n uzunlu¤u di¤er iki kenar›n uzunluklar› toplam›ndan küçüktür.

44

A1

C merkezli b = 2 cm yar›çapl› çemberin di¤er çemberi kesti¤i nokta A’n›n adreslerinden biridir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

fiimdi b = 3 için çizelim.

Son y›llarda liselere girifl s›nav›nda (SBS) sorulan Matematik sorular›n›n ço¤unu do¤ru cevaplayabilmek için konular› iyi ö¤renmifl olman›z gerekiyor. Formülleri ve onlarla ilgili belirli say›da test çözmüfl ö¤rencinin baflar›l› olmas› imkans›z hale gelmifltir. Konular› iyi anlaman›z için b kenar›n›n de¤iflik uzunluktaki de¤erleri için çizimi nas›l yapaca¤›n›z› gösterdim. Siz de pergel ve cetvelle yukar›daki üçgenleri çiziniz. b = 6, b = 7 cm için de üçgenleri çiziniz. Unutmay›n›z: Çal›flman›n kölesi olmadan bilginin efendisi olamazs›n›z.

A2 4 B

3 C

5

b = 3 için (Dik üçgen) Örnek TEST 1 :

Bir üçgende c = 5 cm, a = 12 cm ise hangi seçenekte verilen b’nin olas› de¤eri için ABC üçgeni çizilemez? A) 13 cm B) 12 cm C) 16 cm D) 6 cm

A3 4 B

4 5

C

b = 4 = c (‹kizkenar üçgen) A4 b=5=a

4 B

a=5

C

8

5

Üçgen eflitsizli¤inden yararlan›rsak 12 - 5 < x < 12 + 5 7 < x < 17 A

c = 5 cm

x=b

B

a = 12cm

C

x ∈ {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} olabilir. Ondal›kl› say› olarak 7,5 cm, 16,5 cm de olabilece¤ine dikkat ediniz. Do¤ru cevap D’dir Kenar uzunluklar› c = 8 cm, a = 15 cm olan bir üçgende b’nin olas› tek say› pozitif tam say› de¤erlerinin say›s› kaçt›r? A) 7 B) 15 C) 8 D) 14

A7

B

T Ü R K E L ‹

Çözüm 1 :

Örnek TEST 2 :

(‹kizkenar üçgen)

4

K E M A L

C

Çözüm 2 : Üçgen eflitsizli¤inden yararlan›rsak a-c<b<a+c 7 < b < 23 s{9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} = 7 b’nin tek say› olas› de¤erlerinin say›s›n›n 7 oldu¤u görülüyor. Veya

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

21 - 9 + 1 = 7 dir. 2

45


Geometri

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 3 :

Çevresi 22 cm ve kenar uzunluklar› tam say› olan kaç tane ikizkenar üçgen vard›r? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 Çözüm 3 :

Bir dik üçgenin bir dökdörtgenin yar›s› oldu¤una dikkat ediniz. fiekildeki ABC dik üçgeninde s(C) = 90° dir. Dik aç›n›n karfl›s›ndaki [AB] kenar›na hipotenüs denir. Dik aç›y› oluflturan [CA] ve [CB] kenarlar›na ise dik kenarlar denir. Siz de cetvel ve aç› ölçerle 3, 4, 5 cm üçgenini çizip aç›lar›n› ölçünüz.

A

c

b=c

B

37°

a + b + c = 22 a + 2b = 22 Üçgen eflitsizli¤i kural›ndan b-b<a<b+b 0 < a < 2b koflulu do¤rulanmal›d›r. ‹ki çift say›n›n toplam› bir çift say› olabilece¤inden a bir çift say› olmal›d›r. a = 2k (k ∈ Z+) a < 2b = 22 - a a + a < 22 2a < 2 . 11 a < 11 olmal›d›r. 11’den küçük pozitif çift do¤al say›lar 2, 4, 6, 8, 10’dur. s{2, 4, 6, 8, 10} = 5 Görülüyor ki 5 ikizkenar üçgen çizilebilir. A

s(A) < s(B) < s(C) ise a < b < c dir. S B S

A 40°

8

c

M A T E M A T ‹ K

B

B

2

C

10

Eflkenar üçgende aç›lar

C

A

hipotenüs

B

53° a = 3cm

46

4cm

B

37° c

4cm = b

C dik kenar

C

dik kenar

60°

180 = 60° dir. 3

s(A) = s(B) = s(C) = 60° ise a = b = c dir.

60°

A

c = 5 cm

70°

a

a < b = c olur. 25 mm < 32 = 32 mm

Di¤er 3 ikizkenar üçgeni de siz çiziniz. Araflt›rmac› olursan›z SBS’de baflar›l› olabilirsiniz. D

70°

40 < 70 = 70

6

B

b=c

s(B) = s(C) ise IABI = IACI dir.

10 6

< 90°

Görülüyor ki bir üçgenin aç›lar› farkl› ise kenar uzunlukar› da farkl›d›r. Ayn› üçgende büyük aç› karfl›s›nda uzun kenar bulunur.

A 10

53°

3 cm < 4 cm < 5 cm

C

a

<

4cm 60°

C 4cm Yeterli say›da eleman›n ölçüleri verilen üçgeni çizme: Bir üçgenin çizilebilmesi için biri kenar uzunlu¤u olmak üzere en az üç eleman›n›n verilmesi gerekir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Kenar uzunluklar› verilmeyen bir eflkenar üçgen çizilemez. Çünkü aç›lar› 60 ° olan birden çok üçgen çizebiliriz. 3 kenar›n›n uzunlu¤u (KKK) verilen üçgeni pergel, cetvel, aç›ölçer vb kullanarak çizelim. Kenar uzunluklar› a = 6 cm, b = 5 , c = 4 cm olan üçgen çizilebilir mi? Çizilebiliyorsa çizim sürecini anlat›n›z. Önce bir taslak üçgende (yard›mc› üçgen) verilenleri yaz›p çizme statejimizi belirlemeye çal›flal›m.

Çizime yard›mc› olmas› için önce bir taslak üçgenin üzerine verilen elemanlar› yazal›m. A

40°

B

85°

C

8cm

Önce IBCI = a = 8 cm do¤ru parças›n› çizelim. Sonra aç› ölçer (iletki) ile s(ABC) = 40° aç›s›n› çizelim.

A

B

Sonra C köflesinden iletki yard›m›yla s(BCA) = 85° aç›y› çizelim. [BA ›fl›n› ile [CA ›fl›nlar›n›n kesiflimi A noktas›d›r.

b=5

c=4

b-c<a<b+c 5-4<6<5+4 1 < 6 < 9 üçgen eflitsizli¤i sa¤land›¤›ndan K E üçgen çizilebilir. M A Önce 6 cm uzunlu¤unda [BC] do¤ru parças›n› L çizelim. Sonra pergelimizi 4 cm aç›p sivri ucunu B’ye T koyup 4 cm yar›çapl› çember yay›n› çizelim. Ü R K E L 4cm ‹ B

Sonra pergelimizin aç›kl›¤›n› 5 cm’e ayarlay›p C merkezli çember yay›n› çizelim. ‹ki çember yay›n›n kesiflti¤i A noktas›n›n B’ye uzakl›¤› 4 cm, C’ye uzakl›¤› ise 5 cm’dir. A

B

B

40°

85°

8cm

C

A K A kural›na göre ABC’ni çizmifl olduk. 40° 8cm 85°

[BA ∪ [CA = {A} d›r. ‹ki kenar uzunlu¤u ile bu kenarlar›n aras›ndaki aç›n›n ölçüsü (KAK) verilen üçgenin çizimi.

C

6cm

4cm

A

C

a=6

a = IBCI = 6 cm, olan üçgeni çizelim.

s(B) = 55°, c = IABI = 8 cm A

c = 8 cm

5cm

6cm

C

Bir kenar›n›n uzunlu¤u ile iki aç›s›n›n ölçüsü (AKA) bilinen üçgenin çizimi: a = IBCI = 8 cm s(B) = 40 °, s(C) = 85° olan ABC üçgenini AKA kural› ile çizelim. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

B

55°

a = 6 cm

C

Verilen elemanlar›, önce yard›mc› bir üçgen (taslak üçgen) üzerinde gösterelim. Üçgeni çizme stratejimizi KAK kural›na göre saptayal›m.

47


Üçgenler

KEMAL Türkeli

A

A¤›rl›k merkezi G harfi ile gösterilir. A¤›rl›k merkezi G ile A aras›ndaki uzakl›k G ile D aras›ndaki uzakl›¤›n iki kat›d›r. IGDI = 3 = k ise IGAI = 2k = 2 3 tür.

6 cm

ABC eflkenar üçgeni ayn› zamanda bir ikizkenar üçgendir. Bir do¤ru parças›na orta noktas›ndan bir dikmeyi çizmek için pergelimizin ayaklar›n› do¤ru parças›n›n uzunlu¤undan biraz fazla aç›p merkezi, do¤ru parças›n›n uçlar› B ve C olan kesiflen iki yay çizelim.

Önce 6 cm uzunlu¤undaki BC do¤ru parças›n› cetvel yard›m›yla çizelim. Sonra s(CBD) = 55° çizelim.

D

B

55°

C

A

Sonra [BD ›fl›n›n› kesecek flekilde pergelimizi 8 cm açarak, sivri ucunu B noktas›na bat›rarak çizersek ›fl›n› kesti¤i nokta A’d›r. A ile C’yi birlefltirirsek ABC üçgenini çizmifl oluruz. A

KAK göre çizim yap›ld›.

8 cm

B

55°

B

D

C

8

C

6 cm

S B S

M A E Üçgende kenar ortay, kenar orta dikme, aç›ortay T E ve yüksekli¤i çizmek. Kesiflen yaylar›n kesim noktalar›n› (A ve E) M A Düzgün bir flekil olan eflkenar üçgeni inceleyelim. birlefltirdi¤imizde BC do¤ru parças›n›n orta nokT Üç kenar›, üç aç›s› eflit oldu¤u için eflkenar üçgene ‹ tas›ndan geçen dikmesi çizmifl oluruz. düzgün çokgen denir. [DA ⊥ [BC], IDBI = IDCI dir. K BC kenar›n›n orta noktas› D’yi A’ya birlefltiren s(BDA) = s(CDA) = 90° IADI = Va = 3 3 5,2 cm’dir. Eflkenar üçgende Va = Vb = Vc = 3 3 cm üç keBC do¤ru parças›n›n orta dikme do¤rusu üzenarortay eflit uzunluktad›r. rindeki her nokta B ve C noktalar›ndan eflit uzakA 3

3 2 3=2k G

3 B

3 3=2k

3

D

3

C

Bir üçgende üç kenarortay üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesiflirler (noktadafl). Bu noktaya üçgenin a¤›rl›k merkezi ad› verilir. 48

l›ktad›r. IABI = IACI = 6 cm oldu¤undan eflkenar üçgenin A köflesi BC’nin orta dikme do¤rusu üzerindedir. fiöyle de söyleyebiliriz: B ve C noktalar›ndan eflit uzakl›ktaki noktalar kümesi, [BC] do¤ru parças›n›n orta dikme do¤rusu üzerindedir. IGBI = IGCI = 2 3 cm’dir. Dikkat ederseniz eflkenar üçgende kenarortay ile orta dikme çak›fl›k do¤rulard›r veya ayn› do¤rudur. [DA] [BC] ve IADI = 3 3 cm = Va d›r. s(A) = 60° lik A aç›s›n› iki efl aç›ya bölen do¤ru parças›na o aç›n›n aç›ortay do¤rusu ad› verilir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

s(BAD) = s(DAC) = 30° ve IADI = nA = 3 aç›ortay do¤rusunun uzunlu¤udur.

3 cm

Bir üçgenin iç aç›ortaylar› üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesiflirler. Eflkenar üçgende bu nokta a¤›rl›k merkezi ile çak›fl›kt›r. ‹ç aç›ortaylar›n kesiflme noktas› üçgenin üç kenar›na içten te¤et olan çemberin merkezdir. Aç›ortay do¤rusu üzerindeki her noktadan aç›n›n kenarlar›na çizilen dikmelerin uzunluklar› eflittir. IGEI = IGFI = 3 cm

Eflkenar üçgen dar aç›l› bir üçgen oldu¤undan yükseklikleri üçgenin iç bölgesinde G noktas›nda kesiflirler. Özetlersek ABC eflkenar üçgeninde (düzgün çokgen) kenarortay, kenar orta dikme, aç›ortay ve yükseklik ayn› (çak›fl›k) do¤rudur. Va = nA = ha = 3 3 = IAHI kesiflme noktalar› G’dir. fiimdi üçgenin yard›mc› elemanlar›n› bir ikizkenar dik üçgende inceleyelim. A

A 2 3

30° 30°

E 3

3

3

3

3

K E 3 3 D M Eflkenar üçgende BC kenar›n›n IADI = 3 3 cm A L kenarortay do¤rusunun, [BC] nin orta dikme do¤rusu ve A aç›s›n›n da aç›ortay do¤rusu oldu¤una T Ü dikkat ediniz. R K IADI = Va = ha = nA = 3 3 cm E L ‹ Üçgende Yükseklik: A köflesinden karfl›s›ndaki [BC] do¤ru parças›na çizilen dik do¤ru parças›na o kenara ait yükseklik ad› verilir. A noktas›n›n [BC] do¤ru parças›na uzakl›¤› IAHI = ha = 3 3 cm A noktas›ndan [BC] ye paralel d do¤rusu üzerindeki herhangi bir noktan›n [BC] ye uzakl›¤› ha = IAHI = 3 3 cm’ye eflittir. d // [BC] ye efl uzakl›kl› do¤rular ad› verilir. C

2

2

2

2

D

C

IADI = Va = 2 cm [DA] BC, [AD] do¤ru parças› [BC] nin ortadikmesidir. IADI = nA = 2 cm Aç›ortay IADI = ha = 2 cm = Va IABI = hb = 2 2, ICAI = hc = 2

2 cm

Dik aç›l› üçgende yükseklikler üçgenin s(A) = 90° olan A dik köflesinde kesiflirler. A 2 2

2

45° 45°

G

E 2

45°

B

D

45°

C

Vb = IBEI = 10 cm = 3,2 cm (pisagor ba¤›nt›s›ndan) Vb = Vc AC kenar›n›n orta dikmesi IEDI = 2 cm (ADC Dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yar›s›na eflittir.)

3

B

D

A

2

B

B

d

45° 45°

3 F

G

2

3

H

3

3

Veya EDC üçgeninde s(EDC) = s(ECD) = 45° oldu¤undan eflit aç›lar karfl›s›nda eflit uzunlukta kenarlar bulunaca¤›ndan IEDI = IECI = 2 cm’dir.

C

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

49


Üçgenler

KEMAL Türkeli A

A k

te¤et

2

T

2 22,5° 22,5°

B

10

E

I

k k 45° 45° k

B

2

B

2

5

H O

8

C

8

Çevrel çember

Çevrel çember

O

6

2

C F 2 2 D IBTI = IBDI, IEAI = IEFI = k A

2

IAHI= 6 cm

5

[HA] [BC] kenar›n›n orta dikme do¤rusudur. Ortadikme do¤rular›n›n kesiflme noktas› olan O A, B ve C’den eflit uzakl›kta oldu¤undan çevrel çemberin merkezidir.

C

A 10 53° 3 kenar›n›n orta dikme do¤rular› O noktas›nda L kesiflirler. O noktas› A, B, C noktalar›ndan 2 cm I uzakl›kta oldu¤undan üçgenin köflelerinden geçen S B 18,5° çemberin merkezi oldu¤una dikkat ediniz. S 8 8 B C K AD = nA = 2 cm ve nB nin kesiflme noktas› I’dan üçüncü aç›ortay›n›n da geçti¤ine dikkat ediniz. IAKI = nA = 6 cm Aç› ortay do¤rusu Aç›ortaylar›n kesiflme noktas›n›n üçgenin kenarlar›na 50 IBLI = nB , IALI = (Aç›ortay kural›ndan) te¤et olan çember oldu¤una dikkat ediniz. 13 M I = ‹ç aç›ortay do¤rular›n›n kesiflme noktas› üçA T genin kenarlar›na içten te¤et çemberin de merkeE ‹kizkenar üçgende üçgenin yard›mc› eleman- M zidir. lar›n› inceleyelim. A IAHI = ha = 6 cm T IADI = VA ‹ IBEI = hb = 9,6 cm (3k, 4k, 5k dik üçgeninden) IGDI = 2, IGAI = 4 cm K s(BAC) = 106° > 90° Genifl aç›l› ikiz kenar üçgen IBEI = Vb G A¤›rl›k merkezidir. H

8

E

D A

A 10

G

4

8

D

5 8

37°

C

IBCI = 16 Kenarortay, bir köfleyi karfl› kenar›n orta noktas›na birlefltiren do¤ru parças› oldu¤undan üçgenin iç bölgesinde kald›¤›nda dikkat ediniz.

50

9,6=hc

6

E

2 B

10 53° 53° 10

hb

5

B

8

H

8

C

Dikkat ederseniz genifl aç›l› (106°) bir üçgende üçgenin herhangi iki veya üç yüksekli¤i üçgenin d›fl bölgesinde bir H noktas›nda kesiflirler. [HA ∩ [BE ∩ [CD = {H} Hat›rlatma: Bir A köflesinden karfl›s›ndaki [BC] do¤ru parças›na inilen dikme nas›l çizilir. KEMAL TÜRKELi • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Pergelin sivri ucunu A’ya koyup do¤ruyu M ve N noktalar›nda kesecek bir yay çizeriz. A

D‹K ÜÇGENLERDE P‹SAGOR

(Pythagoras, Pythagoras theorem)

BA⁄INTISI H α

B

M

N

C

α < 90°

A›

Bir çat›ya yerlefltirilecek kiremit say›s›n› hesaplayabilmek için Pisagor ba¤›nt›s›ndan yararlan›r›z. s(C) = 90° Diküçgende en büyük aç› (90°) karfl›s›nda en uzun kenar bulunur. Dik aç› karfl›s›ndaki AB do¤ru parças›na hipotenüs ad› verilir. Birbirine dik olan BC ve AC kenarlar›na dik kenarlar ad› verilir. A

Çat› kiremiti

5 Sonra pergelin aç›kl›¤›n› bozmadan sivri ucunu 3 5 M ve N noktalar›na koyup çizece¤imiz iki yay›n D B 4 4 C kesiflme noktas›na A› diyelim. AA› do¤rultusunun K BC’yi kesti¤i nokta H dikme aya¤›d›r. E › [AA ] ⊥ BC M A noktas›n›n BC do¤rusuna en k›sa uzakl›¤›n›n A 52 = 42 + 32 Bir dik üçgenin hipotenüs uzunIAHI oldu¤una dikkat ediniz. Çünkü AHC dik üçge- L lu¤unun karesi, dik kenarlar›n›n uzunluklar› kareleri ninde dar aç› karfl›s›ndaki kenar hipotenüsten daha T toplam›na eflittir. Ü k›sad›r. R IAHI < IACI, IAHI < IABI dir. K 5 Tersine s›navda flöyle de söylenir. BC do¤rusunun E L A’ya en yak›n noktas› hangisidir? Do¤ru Cevap H’dir. ‹ H ∈ BC 25 cm2 A Bir ABC üçgeninde, A köflesinden çizilen yük3 seklik, aç›ortay ve kenarortay do¤ru parçalar›n›n 5=b 9 cm2 uzunluklar› aras›nda ha < nA < Va s›ralama ba¤›nt›s› 5 3=c oldu¤una dikkat ediniz. (IABI < IACI) A c=6 5

B

6

ha

H

B

4=a

C

16 cm2

b = 20 cm Va=13 E D

11

C

IAHI = ha, IAEI = nA Aç›ortay do¤rusu IADI = Va Kenarortay do¤rusu IBDI = IDCI = 11 cm, IHDI = 5 cm, IBHI =6 cm, IAHI = 12 cm, IAEI = Aç›ortay = nA = 12,3 cm,

b2 = a2 + c2 25 = 16 + 9’a eflittir. Pisagor ba¤›nt›s›n›n 78 yoldan ispat› vard›r.

m(BAE) = m(EAC) IADI = Va = 13 cm Kenarortay do¤ru parças› 12 < 12,3 < 13 oldu¤una dikkat ediniz. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

51


Pisagor

KEMAL Türkeli

Kenarlar› do¤al say› olan baz› dik üçgenler; (3k, 4k, 5k), (5k, 12k, 13k), (7k, 24k, 25k), (8k, 15k, 17k), (9k, 40k, 41k), (11k, 60k, 61k)

5 A

b=5

c=4 D B

Y Z

D H

a=3

a=3 E1 C

3

5

T B

M

53°

10 5 M Böylece 78 farkl› yoldan do¤rulu¤u ispatlanabilen pisagor ba¤›nt›s›n› bu yollardan biri ile daha ispatlam›fl olduk.

3=a K

Pisagor (Pythagoras) ba¤›nt›s›: D

A(EKG) = A(FHG) = 6 cm2 c2 + a2 = 16 + 9 = 25 A(AEGF) = 25

a S B S

Pisagorun do¤rulu¤unu gösterme: fiekli kareli ka¤›da çiziniz. 102 = 62 + 82 T, V, X, Y, Z ile isimlendirilen befl parçay› makasla keserek bir kenar› 10 cm olan bir kare oluflturunuz. M A T K 8 A D E 53° M L X A 5 T 5 10 ‹ T H Y K 5 5 37° 53° M V C 6 G B N

8

Z

E

6

V G

3 5

10

6

5

A(ABE) = A(ADF) = 6 cm2

F

Karenin bir kenar› olan 10’un DCG dik üçgeninin hipotenüs uzunlu¤una eflit oldu¤una dikkat ediniz.

Neyi arad›¤›n› bilmeyen,onla karfl›laflsa da onu buldu¤unu anlayamaz. Cladue Bernard 52

X

L

D 4

53°

5

F

K

5

H

a

45°

E

K a 45° M

L c

C a

N

F 10

H

P

a A

a

I

O J

G

B

1- Karenin AC ve BD köflegenlerini çiziniz. 1 2- EF //CD (IEDI ≤ IADI) çiziniz. 2 3-[EF] do¤ru parças›n›n›n köflegenleri kesti¤i M, N noktalar›ndan geçen AD’ye paralel IK ve JL do¤ru parçalar› ve bu do¤ru parçalar›n›n köflegenleri kesti¤i P ve O noktalar›ndan geçen [HG] do¤ru parças›n› çiziniz. 4- K ile F, F ile J, J ile H ve H ile K’y› birlefltren [KF], [FJ], [JH], [HK] do¤ru parçalar›n› çiziniz. FJHK dörtgeni bir karedir. IKFI = c ab A(HAJ) = A(FJB) = A(CKF) = A(DHK) = 2 IKMI = IKDI = IDEI = IEMI = a, IMFI = IKCI = IPGI = IIBI = b IKFI = IFJI = IHJI = IKHI = c b = IDHI = IAJI = IBFI = IKCI A(ABCD) = (a + b)2 ab (a + b)2 = 4 . + c2 (içteki karenin alan›) 2 a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2 c2 = a2 + b2 (Pisagor ba¤›nt›s› ispatlanm›fl olur.)

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K A

Bir dik üçgenin dik kenarlar›n›n uzunluklar›n›n kareleri toplam›, hipotenüsün karesine eflittir. 52 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25

10 cm

6 cm

A

B

5=c

3=b

C

C 8 cm IACI = hipotenüs uzunlu¤u IACI2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102 IACI = 10 cm bulunur.

hipotenüs

B

4=a

A

Eski M›s›rl›lar da Pisagor ba¤›nt›s›n› biliyorlarm›fl. Pisagor ba¤›nt›s›n›n do¤rulu¤unu göstermek için bir di¤er yol; Geometri tahtas›nda afla¤›daki flekli oluflturarak gösterelim. a=3

D

53°

b=4

E

53°

a=3

37°

b=4

(a + b) 2

=2.

C

dik kenar

A 17 cm

8 cm

B

C

15 cm

IACI2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 = 172 IACI = 17 cm A

B

IABI + ICDI (a+b).(a+b) A(ABCD) = . IADI = 2 2 2

a = 12 cm

IACI2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 IACI = 13 cm

T Ü R K E L ‹

90°

A

B

K E M A L

37°

hipotenüs

dik kenar

C

c=5

13 cm

c = 5 cm

ab c.c + 2 2

(a + b)2 = 2ab + c2 a2 + b2 + 2ab = 2ab +c2 gene a2 + b2 = c2 Pisagor ba¤›nt›s›n› buluruz. 52 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

Ne kadar bilirsen bil, söylediklerin karfl›ndakilerin (dinleyicilerinin) anlayabilece¤i kadard›r. Mevlana KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

1

B

2

1

IACI2 = 12 + 12 = 2 IACI = 2 ⋲ 1,4 cm C A

IAHI2 + 32 = 62 IAHI2 = 36 - 9 IAHI2 = 27 = 9.3 = (3 3) 2 IAHI = 3 3 = 5,2 cm 6

30°

3

60° B

3

H 53

3


Üçgenler

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 1 :

IDCI = IACI -- IADI = 10 -- 5 = 5 cm bulunur.

C

Çevre (BCDE) = x = 3 + 8 + 4 + 5 x = 20 cm’dir.

D dik yamuk 4 A

3cm

E

3cm

Alan (BCDE) = y =

IBCI + IEDI . IBEI 2

dik yamuk

8+4 . 3 2

y=

y=6.3 y = 18 cm2 ’dir.

B

ABC diküçgeninde IAEI = IEBI = 3 cm IEDI = 4 cm, s(B) = s(E) = 90° ise

Do¤ru cevap D’dir.

x = Çevre (BCDE) cm = BCDE yamu¤unun çevresi (cm birminde) y = A(BCDE) = BCDE yamu¤unun alan› (cm2) A) x = 20 cm y = 24 cm2

B) x = 18 cm y = 20 cm2

C) x = 21 cm y = 18 cm2

D) x = 20 cm y = 18 cm2

Örnek TEST 2 :

IBCI IABI IACI = = IEDI IAEI IADI IBCI 6 = 4 3

IBCI = 4 . 2

IBCI = 8 cm’dir. IACI 6 = 5 3

IACI = 5 . 2

30° 30°

8

M A Çözüm 1 : Pisagor ba¤›nt›s›n› AED dik üçgenine T E uygularsak M A IADI2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 T IADI = 5 cm olur. ‹ K ADE dik üçgeni ile ABC dik üçgenleri s(EAD) = s(A) = 53° aç›lar› ortak oldu¤undan benzerdirler.

A

S B S

a=2 h=?

B

60°

1

C

1

H

ABC eflkenar üçgeninin bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 2 cm ise IAHI yüksekli¤i kaç cm’dir? A) 3 C)

B) D) 2

2

Çözüm 2 :

3 3

ABH (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak

IABI2 = IBHI2 + IAHI2 22 = 12 + IAHI2 IAHI2 = 4 - 1 IAHI2 = 3 IAHI = 3 cm bulunur. Do¤ru cevap B’dir.

IACI = 10 cm’dir.

Güçlükler baflar›n›n de¤erini art›ran süslerdir. Moliere 54

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K A

Özel üçgenlerden ikizkenar dik üçgende hipotenüs ile dik kenarlar aras›ndaki ba¤›nt›;

fiayet bir dik üçgenin k›sa kenar› k ise uzun dikkenar k 3 cm, hipotenüs 2k uzunluk birimidir. (2k)2 = k2+(k 3 )2 dir.

30°

2k

k 3

A 45°

x

Pisagor ba¤›nt›s›

45°

B

60°

B

C

a Pisagor ba¤›nt›s›ndan x2 = a2 + a2 = 2a2 = ( 2a)2 x = 2a = a 2 bulunur.

C

k

a

Örnek TEST 3 :

Seçeneklerin birinde bilinmeyen yanl›fl verilmifltir. Yanl›fl çözülen hangisidir?

A 45°

A)

A

B)

A

30°

IABI = 10

B

x=5

x

C

5

2

60°

B

T Ü R K E L ‹

C

2

3

x=4

C)

A

D)

3

45°

Örnek TEST 4 :

2

x

2

Seçeneklerin hangisinde bilinmeyen yanl›fl hesaplanm›flt›r? B)

30°

3

C

a

A)

A

30°

2

K E M B 3 A L

30°

x=?

60°

2a

‹kizkenar dik üçgende dik kenarlar›n uzunlu¤u a ise hipotenüsün uzunlu¤u a 2 uzunluk birimia dir.

6

5

45°

2

45°

3 B

60°

C

x x=

B

60°

3

Çözüm 3 :

2

k=

olmal›d›r. k

3=

2.

3=

2

2

6 45°

2

6 d›r. Do¤ru cevap D’dir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

x=5 D)

x

x = IBCI =

2

C)

D seçene¤inde 2k = 2

x

x=3

C

x x=2

x

45°

x x=

x

x 3

x=

3

55


Üçgenler

KEMAL Türkeli

Çözüm 4 :

Örnek TEST 6 :

ABCD yamu¤unda, IABI = 10 cm, ICDI = 6 cm, s(A) = 30° ve s(B) = 60° dir. ABCD yamu¤unun çevresi hangisidir?

45°

2

x

D

45°

6 cm

C

x 2= x

2.

2 =x

2

x=

A

2 = 2’den gene

x= 2 bulunur.

2

.

2

2

=

2

2 2

=

2 uzunluk birimi

Hangisi seçenekteki do¤ru parças›n›n uzunlu¤u yanl›fl verilmifltir? S B A S

60°

30°

C

H IBCI = 8 cm

A) IACI = 4 cm C) IAHI = 2 3 cm

B) IABI = 4 3 cm D) IBHI = 5 cm

Çözüm 5 : 60°

3

2

30°

B

6

3 cm

Çözüm 6 : C noktas›ndan [AD] ye paralel [CE] do¤ru parças›n› çizelim. D

6 cm

C 2 cm

30°

A

30°

6 cm

60°

4 cm

E

B

M A s(BEC) = s(BAD) = 30° (Yöndefl aç›) olup BCE T E diküçgeni 60° -- 30° -- 90° oldu¤undan 4 M IBCI = = 2 cm, ICEI = 2 3 cm’dir. A 2 T ICEI = IDAI = 2 3 ‹ K Çevre (ABCD) = 10 + 6 + 2 + 2 3 cm = 18 + 2 3 cm reel say›s›d›r. Ç = Yaklafl›k 21,46 cm’dir. Do¤ru cevap A’d›r.

A

4

B

B) 16 + 2 3 cm C) 20 cm D) 20 3 cm

8 B

10 cm

A) 18 + 2

Do¤ru cevap C’dir.

Örnek TEST 5 :

60°

30°

2 bulunur. Veya

3

Örnek TEST 7 :

H

Çizilen dörtgensel bölgenin alan› kaç cm2’dir? (‹ki nokta aras› uzakl›¤› 1 cm al›n›z.)

C

ABH üçgeninde IBHI = 2

3. 3

D

=2.3

B

IBHI = 6 cm’dir.

1 cm

Do¤ru cevap D’dir.

A

IHCI = 2 cm oldu¤una dikkat ediniz. A) 5 cm2 56

1 cm

B) 11 cm2

C) 13 cm2

D) 12 cm2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Çözüm 7 : CDE dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak

1

C E B

ICDI=a

2

1 F

4

a=1

1

5

G

6

3

B

A

A 2

E

C a=1

D

1

D

1

7

2

H

45°

8

1

1

2

ICDI = 2 + 3 =4+9 2 a = 13 cm2 karenin alan›d›r.

9

K 1

10

Di¤er bir yol karenin alan› alanlar› 3 cm2 olan 4 dik üçgen ile alan› 1 cm2 olan karenin alanlar› toplam›na eflittir. C 3

L 11

1 M

K Bir OAB ikizkenar dik üçgeni çizelim. Bunun hipoE 3 B M tenüsünün uzunlu¤u 3 A IOBI2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 L IOBI = 2 cm’dir. A T Sonra B noktas›ndan OB’ye dik bir do¤ru üzerinde Ü R ? = 4 . 3 + 1 = 12 + 1 = 13 cm2 ICBI = 1 cm olacak flekilde OBC dik üçgenini K E çizelim. Di¤er bir yol L Pisagor ba¤›nt›s›ndan, 52 = ? + 4 . 3 ? = 25 - 12 ? = 13 cm2 bu- ‹ IOCI2 = IOBI2 + IBCI2 olaca¤›ndan lunur. IOCI2 = 2 + 1 = 3 C IOCI = 3 cm olur. Benzer çizimi tekrarlarsak IODI2 = IOCI2 + 12 = 3 + 1 = 4 3 3 IODI = 4 cm olur. Dikkat ederseniz bu 3. hipoD ? tenüs oldu¤undan kural IODI = 3+1 olabilir mi sizB 3 ce? 3 3 Benzer flekilde [OD] do¤ru parças› üzerine ODE 3 2 diküçgenini çizelim. A 2 IOEI = 4 + 12 = 5 Do¤ru cevap C’dir. IOEI = 4+1 4. hipotenüs uzunlu¤u 2 2 2 IOFI = IOEI + 1 = 5 + 1 = 6 Bu sorunun çözümünde bir bütün parçalar›n›n IOFI = 6 = 5+1 toplam›na eflittir mant›k kural›n› kulland›k. 5. hipotenüs uzunlu¤u D

1

3

IOGI2 = IOFI2 + 12 = 6 + 1 = 7 IOGI = 7 = 6+1 6. hipotenüs uzunlu¤u

‹yi bir bafllang›ç, yar› yar›ya baflar› demektir. Andre G›de KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

IOHI2 = IOGI2 + 12 = 7 + 1 = 8 IOHI = 7+1 7. hipotenüs uzunlu¤u 57


Üçgenler

KEMAL Türkeli

IOKI2 = IOHI2 + 12 = 8 + 1 = 9 IOKI = 9 = 8+1 8. hipotenüs uzunlu¤u

ABD dik üçgeninde Pisagoru uygularsak

IOLI2 = IOKI2 + 12 = 9 + 1 = 10 IOLI = 10 = 9+1 9. hipotenüs uzunlu¤u

IADI = 3 2 cm’dir.

IADI2 = IABI2 + IBDI2 = 32 + 32 = 2 . 32 = (3 2)2

Çevre (ABC) = 3 + 4 + 5 = 12 cm’dir. Yanl›fl cevap B’de önerildi¤inden do¤ru cevap B’dir. Do¤ru cevap B’dir.

IOMI2 = IOKI2 + 12 = 10 + 1 = 11 IOMI = 11 = 10+1 10. hipotenüs uzunlu¤u

Örnek TEST 9 :

Birbirini takip eden dik üçgenlerin hipotenüs uzunluklar› aras›ndaki örüntü, flöyledir. n . Hipotenüsün uzunlu¤u n+1 cm’dir. Veya Genel n+1 . a cm’dir. Örne¤in 15. hipotenüsün bu örüntüdeki uzunlu¤u 15+1 = 16 = 42 = 4 cm olur.

A c=15 cm

b=20 cm h=12 cm

B

53°

37°

H

p=9 cm

k=16 cm

C

Örnek TEST 8 :

ABC dik üçgeninde IACI = (x+2) cm, IDCI = 1 cm fiekildeki üçgenlerin kenar uzunluklar› S IBDI= 3 = x cm ve IABI = 3 cm ise afla¤›daki B a = 25 cm, b = 20 cm, c = 15 cm, h = 12 cm S veriliyor. Seçeneklerde verilen eflitliklerden hangisi hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? yanl›flt›r? A a b A) = c p

8

3 cm

B

M A T E M A T ‹ K

(x+2) cm

x

D

1 cm

C

A) IBDI = x = 3 cm’dir. B) A(ADC) = 3 cm2 C) ABD üçgeninin IADI hipotenüsü 3

2 cm’dir.

D) Çevre (ABC) = 12 cm’dir.

IDCI . IABI 1.3 3 Çözüm 8 : A(ADC) = = = 2 2 2 1 5 =1 =1 = 1,5 cm2 2 10 ABC dik üçgeninde Pisagor kural›n› uygularsak IACI2 = IABI2 + IBCI2

(x +2)2 = 32 + (x + 1)2

(x +2)2 -- (x +1)2 = 9 (x +2 -- x--1) . (x +2 + x+1) = 9 1. (2x+3) = 9 2x = 6 x = 3 cm hesaplan›r.

58

h p = k h c a C) = p c

h2 = p . k

B)

D)

c2 = p . a

b a = k b

b2 = k . a

Çözüm 9 : 53° + 37° = 90° oldu¤undan s(BAC) = 90° dir. ABH CAH Eflit aç›lar karfl›s›nda orant›l› kenarlar bulundu¤undan IAHI IBHI = IHCI IAHI

h p = k h

h2 = p . k Öklit’in (eukliedes) yükseklik ba¤›nt›s›d›r. C; ABC HBA IABI IBCI c a Benzer üçgenlerde = = IBHI IABI p c c2 = p . a

Öklit’in dik kenar ba¤›nt›s›d›r.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

ABC

IACI IBCI = IHCI IACI b2

Örnek TEST 11 :

HAC Benzer üçgenlerde

=k.a

b a = k b

c

Öklit’in dik kenar ba¤›nt›s›d›r.

a b = c p

25 ? 20 = 15 9

5 3

B

2 ? =2 9

x

x

x

x

C H

y

y

A

Çözüm 11 :

y

K x

E

x

F

G

x

x

D

12

12

12

K E M A L T Ü R K E L ‹

12 5

K

H

5

A

5 12

E

12

12

G

144 + b2 + b2 = 194

2b2 = 194 -- 144

Çözüm 10 : 5

Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak c2 = 122 + b2 yazar›z.

c2 + b2 = 194

B

IBHI = IHCI, IABI = 48 m, IBCI = 10 m Dik kenarlar› 48 m ve 10 m olan dikdörtgen fleklindeki bir bahçenin uzun kenar› 4, k›sa kenar› 2 eflit parçaya ayr›l›yor. K›sa kenarlar›n orta noktalar› uzun kenar üzerindeki en yak›n eflit parçaya ait noktalara flekildeki gibi birlefltirilerek alt›gensel bölge oluflturuluyor. Domates yetifltirilecek alt›gensel bölgenin çevresi kaç metredir? A) 88 m B) 76 m C) 96 m D) 100 m

C

a=12 cm

c2 + b2 = 194 oldu¤una göre üçgenin çevresi kaç cm’dir? A) 25 m B) 27 m C) 30 m D) 33 m

Örnek TEST 10 :

y

b

ABC dik üçgeninde s(C) = 90°, a = 12 cm

2 2 1 ≠2 oldu¤undan A eflitli¤i 3 9 yanl›flt›r. Do¤ru Cevap A’d›r.

D

A

2b2 = 50 b2 = 25 = 52 b = 5 cm hesaplan›r.

c2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 132

c = 13 cm

Çevre (ABC) = 12 + b + c = 12 + 5 + 13 = 30 cm Do¤ru cevap C’dir. Örnek TEST 12 : Bahçede yap›lan Beden E¤itimi dersinde ö¤retmen ö¤rencilerin birbirine göre konumlar›n› flöyle ölçtürüyor: Beliz 5 m Elif’in bat›s›nda; Gizem, Elif’in 8 m güneyinde ve Beliz 4 m Fulya’n›n güneyinde bulunmaktad›r. Bu bilgilere göre Fulya ile Gizem aras›ndaki en k›sa uzakl›k kaç metredir? A) 12 m B) 13 m C) 15 m D) 17 m

12

KAE dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak 10 : 2 = 5 m = IAKI, (48 : 4) = 12 m = IAEI IKEI2 = IAEI2 + IAKI2 IKEI2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 132 IKEI = 13 metredir.

Çözüm 12 : Fulya ile Gizem aras›nda en k›sa uzakl›¤› bulabilmek için ikisi aras›na gerece¤imiz ipin uzunlu¤unu hesaplayal›m. FGH dik üçgeninde pisagoru uygulayal›m.

Do¤ru cevap D’dir. KEMAL TÜRKELİ • 8. sı nı f SBS MATEMATİK

Fulya

4m Beliz

Bat›

Do¤u Güney

Elif

5m Kuzey

8m

8m Do¤u

Kuzey

? = Çevre (Alt›gensel bölge) = 4 . 13 + 4 . 12 = 4 (13 + 12) = 4 . 25 = 100 metredir.

F

H

5m

G

Gizem

59


Üçgenler

KEMAL Türkeli

IFGI2 = (8 + 4)2 + 52 = 122 + 52 = 144 + 25 2 2 IFGI = 13 IFGI = 13 metredir. Do¤ru cevap B’dir.

Çözüm 13 :

a=

3 ise

f= 3.a = 3. 3 f = 3 cm cisim köflegeninin uzunlu¤udur. B; a =

27

f=

3.a =

3 . 27 =

f=

2

Küpün cisim köflegen uzunlu¤u: D›

a=

C›

A›

A

e

B

a

3 . 12 =

36 =

62 = 6 cm

SAYI ÖRÜNTÜLER‹ (Patterns) ve ÖZDEfiL‹KLER

C

a

f=

9 = 9 cm

Do¤ru cevap A’d›r.

B› D

12

81 =

3 . 27

KARESEL SAYILAR (Square Numbers): 12, 22, 32, 42, ... , n2

D

a

e

4

1 A

B

a

ÜÇGENSEL SAYILAR (Triangular numbers):

Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak e2 = a2 + a2 = 2a2

e=

16

9

2.a ’d›r.

n (n+1) 2

1, 3, 6, 10, ... ,

D›

a

1

f

3

6

10

Paskal (Pascal) üçgeni: D

2.a=e

1

B

1

D DB dik üçgenine Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak ID›BI2 = f2 = a2 + e2 = a2 + 2a2 = 3a2 f=

1 1

3.a bulunur. 1

Örnek TEST 13 : Kenar uzunluklar› verilen küplerden birinin cisim köflegen uzunlu¤u yanl›fl hesaplanm›flt›r. Hangi seçenekte cisim köflegeni yanl›fl yaz›lm›flt›r? A) a =

3 cm

f=

3 cm

C) a = 2 cm f = 2 3 cm 60

B) a =

27 cm

f = 9 cm D) a = 12 cm f = 6 cm

1

3 4

1

2

1

3 6

4

1

Fibunacci (Fibonaçi) dizisi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... , n ‹lk ikisi d›fl›nda her say› kendisinden önce gelen iki say›n›n toplam›na eflittir. 144 = 1,617 devam edilirse her say›n›n bir önceki 89 say›ya oran› 1,618’e kadar yaklafl›r ki bu orana Alt›n oran ad› verilir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Aritmetik Dizi (Arithmetical sequences): Ard›fl›k iki teriminin fark› sabit olan say› dizisidir. Farka dizinin ortak fark› ad› verilir. Örne¤in, Beliz kumbar›na ay›n birinci günü 3 TL at›yor. Sonra 2. günü 2 TL at›yor. Beliz her gün kumbaras›na 2 TL atarsa ay›n 17. gününün akflam› kumbaras›n› açarsa kaç liras› oldu¤unu görür? an = a + (n -1) r = 3 + (17-1) 2 = 3 + 16 . 2 = 3 + 32 a17 = 35 TL’si kumbaras›nda birikecektir. 3, 3 + 2 = 5, 5 + 2 = 7, 7 + 2 = 9, 1.gün

2.gün

3.gün

4.gün

Hergün kumbaradaki paras›n›n 2 TL artt›¤›na dikkat ediniz.

1 101 1 = n 2 2 2 1 101 an = n dir. n. terimdir. 2 2 50 - (n - 1) .

Geometrik Dizi (Geometric sequences): Ard›fl›k terimlerinin oran› ayn› (sabit say›) olan say› dizisine denir. Sabit orana geometrik dizinin ortak çarpan› ad› verilir. Say› örüntüsünün birinci say›s›n› 2 olarak alal›m. Say› örüntüsünün 2. terimini bulmak için dizinin ortak çarpan› olarak 3 say›s›n› seçelim. a2 = a1 . r = 2 . 3 = 6, 3. terimi bulmak için a3 = 2 . 3 . 3 = 2 . 32 = 18, Geometrik dizinin 4. terimi a4 = 2 . 34-1 = 2 . 33 = 2 . 27 a4 = 54 olur.

Elif’in 35 TL paras› oldu¤unu (babas› harçl›k veriyor) ertesi gün ve hergün 2 TL harcad›¤›n› düflünelim. 17. günün akflam› kumbaras›nda kaç TL’si K n. terimi an = 2 . 3n-1 kalacakt›r? E M an = 35 - (n - 1) . 2 2, 6, 18, 54, ..., 2 . 3n-1, say› örüntüsüne geometrik A 35, 35 - 2 = 33, 33 - 2 = 31, L dizi ad› verilir. T Ü R K E Elif’in ilk günü 35 TL’yi kumbaras›na koydu¤unu L paray› ertesi gün bafllayarak hergün 2’fler TL alarak ‹ harcad›¤›n› varsayd›k. 35, 33, 31, 29, 27, ... , 3 1.gün

2.gün

3.gün

35 - 16 . 2 = 35 - 32 = 3 TL’si kalacakt›r. an = 35 - (17 - 1) 2 = 35 - 16 . 2 = 35 - 32 = 3

‹lk say›s› -3, dizinin ortak fark› 5 ise Aritmetik diziyi yazal›m. -3, -3 + 5 = 2, -3 + 2 . 5 = 7, 1.say› 1. terim

2.say› 2. terim

3.say› 3. terim

-3 + (4 - 1) 5 = -3 + 15 = 12, ... 4.say› 4. terim

an = -3 + (n - 1) 5 = 5n - 8 n. say›, n. terim say› örüntüsünün n. eleman›n› veren ba¤›nt›d›r. 1 ‹lk terimi 50, dizinin ortak fark› olan Aritmetik 2 dizinin say›lar›n› s›ralay›p bir say› örüntüsü olufltural›m. 50, 50 1. terim

50 - (

1 99 = , 2 2 2. terim

1 1 1 + ) = 50 - 2 . = 50 - 1 = 49, 2 2 2 3. terim

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Örnek TEST 14 : ‹lk terimi -10, ortak fark› -3 olan Aritmetik dizinin n. terimi hangi seçenektedir? A) -10 + (n-1).3

B) -10 + (n-1) + 3

C) -10 - (n-1).3

D) -7 + 3n

Çözüm 14 :

an = a + (n-1) r a = -10, r = -3 yaz›l›rsa n. terimi

an = -10 + (n-1) . (-3) an = -10 - (n-1). 3 = -10 + 3 - 3n= -7 - 3n Do¤ru cevap C’dir. Say› örüntüsü; -10, -13, -16, -19, -22 olup bir aritmetik dizidir. 28 26 22 , , 8, , a say› 3 3 3 örüntüsü bir kurala göre oluflturulmuflsa a afla¤›dakilerden hangisidir? Örnek TEST 15 : 10,

A)

19 3

C) 7

20 3 17 D) 3 B)

61


Örüntüler ve ‹liflkiler

KEMAL Türkeli

Çözüm 15 :

Say› örüntüsünde ard›fl›k iki terimin fark›, 26 28 26 - 28 2 = =olup sabit oldu¤undan 3 3 3 3 örüntü bir Aritmetik dizidir. 22 2 a=olmal›d›r. 3 3 a=

2 22 22 - 2 20 = = 3 3 3 3 Do¤ru cevap B’dir.

Örnek TEST 16 : Seçilen 64 say›s› ard›fl›k olarak 2’ye bölünerek veya 1 ile çarp›larak bir geometrik dizi oluflturulursa 2 n. terimi hangisidir?

( 12 ) C) 32 . ( 1 ) 2 A) 64 .

n

B) 64 . 2n

n

D) 64 . an = a . rn -1

Çözüm 16 :

( 12 )

n -1

a = 64, r =

oldu¤undan

( )

1 an = 64 . 2 = 64 . 2 .

n -1

( 12 )

n

= 64 .

( 12 ) . ( 12 )

= 128 .

n

( 12 )

1 2

-1

n

Örnek TEST 18 : 81, 54, 36, ? , 16 say› örüntüsü bir kurala göre oluflturulmufltur. ? yerine hangi say› olmal›d›r? A) 26 B) 22 C) 24 D) 54 54 36 18 . 2 2 = = = olup 81 54 18 . 3 3 ard›fl›k iki terimin oran›n›n sabit oldu¤u görülüyor. ? = 2 = 2 x 12 = 24 ? = 24 veya 36 3 3 x 12 36 Çözüm 18:

36 . 2 = 12 . 2 = 24 bulunur. 3 Do¤ru cevap C’dir. Örnek TEST 19 : 1, 3, 6, 10, 15, a say› örüntüsündeki say›lar bir kurala göre yaz›lm›flt›r. a yerine yaz›lmas› gereken say› hangisidir? A) 19 B) 21 C) 25 D) 20 Çözüm 19 :

1, 3, 6, 10, 15, a say›lar›n›n n. n(n+1) eleman›n›n kural›na göre 2 yaz›lmas› gerekir. a n = 6. say› örüntüsünün 6. eleman› oldu¤undan n(n+1) 6(6+1) a6 = = = 3 . 7 = 21 say›s› yaz›l2 2 mal›d›r. Do¤ru cevap B’dir.

Do¤ru cevap D’dir.

Örnek TEST 17 : Verilen say› örüntüsü belli bir kurala göre oluflturulmufltur. ? yerine hangi say› yaz›lmal›d›r? 5, 15, 45, 135, ? A) 405 B) 180 C) 195 D) 270 Çözüm 17 :

Say› örüntüsünde ard›fl›k iki teri45 135 min oran› = = 3 olup ay15 45 n›d›r. Geometrik dizinin ortak çarpan› 3’tür.

Örnek TEST 20 : 3, 7, 15, 31, a, 127 say› örüntüsü bir kurala göre oluflturulmufltur. a yerine hangi say› yaz›lmal›d›r? A) 65 B) 60 C) 61 D) 63 Çözüm 20 :

2 . 3 + 1 = 7, 2 . 7 + 1 = 15, 2 . 15 + 1 = 31, 2 . 31 + 1 = 63, 2 . 63 + 1 = 127 oldu¤undan a = 63 olmal›d›r. Kural önceki say›n›n iki kat›n›n 1 fazlas›n› hesaplayarak sa¤›ndaki say›y› buluruz. Do¤ru cevap D’dir.

? = an = a . rn -1

= 5 . 3n -1 = 5 . 34 = 5 . 81 = 405 veya

? = 135 . 3 = 405 bulunabilir. Do¤ru cevap A’d›r.

62

Örnek TEST 21 : 9, 16, 30, 58, a, 226 say› örüntüsünde yaz›lmayan a say›s› hangisidir? A) 114 B) 118 C) 116 D) 98 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Çözüm 21 :

2 . 9 - 2 = 16, 2 . 16 - 2 = 30, 2 . 30 - 2 = 58, 2 . 58 - 2 = 116 - 2 = 114, 2 .114 - 2 = 228 - 2 = 226 Soldaki say›n›n iki kat›ndan iki ç›kar sa¤›ndaki say›y› hesapla kural› ile a = 114 olmal›d›r.

Özdeflliklerin modellerle aç›klanmas›: C 2=b

b

a-b

4 b

A

D a-b

B

Do¤ru cevap A’d›r. a=6

b

(Algebraic expressions)

Gerçek (reel) say›lar kümesinin tüm elemanlar› için do¤ru olan eflitli¤e özdefllik (identity) ad› verilir.

E

a

CEB‹RSEL ‹FADELER ve ÖZDEfiL‹KLER

a

A

a-b

b

a-b=4

a=6

Bir kenar uzunlu¤u a = 6 uzunluk birimi olan bir Örne¤in a - 1 (a - 1) . (a +1) eflitli¤i bir özdefl- kare çizilir. C köflesinden bir kenar uzunlu¤u b = 2 liktir. a = 7 (rastgele seçtik) için eflitlikteki de¤iflkene olan baflka bir kare içine çizilerek kesilir. (DE do¤ru bir de¤er verilirse eflitli¤in sa¤land›¤› görülür. parças› boyunca kesilir.) Kalan parçalar flekildeki gibi ? 2 birlefltirilerek bir dikdörtgen olflturulur. Bu dikdörtgenin 7 - 1 = (7 - 1) . (7 +1) = 6 . 8 K ? 49 - 1 = 48 E alan› (a-b).(a+b) olacakt›r. Bu dikdörtgenin alan›, alan› M a2 olan büyük kareden alan› b 2 olan küçük karenin 48 = 48 √ A ç›kar›lmas›ndan sonra kalan alana eflit oldu¤undan Kuvvetli bir eflitlik oldu¤undan = yerine sembolü L özdefllik yaz›labilir. yaz›l›r. T a2 - b2 (a - b) . (a + b) bura da a > b olarak seÜ Gerçek (reel) say›lar kümesinin bir alt kümesinin R çildi. elemanlar› için sa¤lanan eflitliklere denklem ad› ve- K 62 - 22 (6 - 2) . (6 + 2) = 4 . 8 = 32 cm2 E rilir. L ‹ 3x + 1 = 10, eflitli¤i x = 3 için Örnek TEST 22 : a2 - b2 (a - b) . (a + b) öz? 3 . 3 + 1 = 10 deflli¤inden yara rlanarak ? 9 + 1 = 10 9x2 - 4 ifadesinin çarpanlara ayr›lm›fl ifadesi han10 = 10 √ gisidir? A) 9x2 - 4 = (3x - 4) . (3x + 4) Eflitli¤in sa¤lad›¤› görülür. Oysa x = 0 için B) 9x2 - 4 = (9x - 2) . (9x + 2) 3 . 0 + 1 = 10 1 ≠ 10 oldu¤undan eflitli¤in C) 9x2 - 4 = (9x - 4) . (9x + 4) sa¤lanmad›¤› görülür. D) 9x2 - 4 = (3x - 2) . (3x + 2) 3x + 1 = 10 2

3x = 10 - 1 3x = 9 9 x= x=3 denklemi sa¤layan say› 3 olup denklem kökü 3’tür denir. 3 çözüm kümesinin eleman›d›r. 3x + 1 = 10

Ç = {3}

Basit bir adamın elinden geleni yapmaya çalışması, zeki bir adamın tembelliğinden daha iyidir. G. Gracıan KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x - 2) . (3x + 2) Bu eflitlikte x de¤iflkeni yerine çeflitli say›sal de¤erler yazarsak tüm de¤erler için eflitli¤in sa¤land›¤›n› görürüz. x = 1, için 9 . 12 - 4 = 5 = (3.1 -2) . (3.1 + 2) 5=1.5 5=5 √ Do¤ru cevap D’dir. Çözüm 22 :

63


KEMAL Türkeli

Cebirsel ‹fadeler Örnek TEST 23 :

Afla¤›da verilen eflitliklerden hangisi denklemdir? 2 2 A) a - 4b = (a - 2b) . (a + 2b) B) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 C) 3x - 2 = 13 D) (2a - b)2 = 4a2 - 4ab + b2 Çözüm 23 :

3x - 2 = 13

3x = 13 + 2 15 3x = 15 x= x=5 3 Verilen 3x - 2 = 13 eflitli¤i x de¤iflkeninin yaln›z 5 de¤eri için sa¤lanabilir. x ≠ 5 de¤erler için eflitlik sa¤lanamayacakt›r. Di¤er eflitlikler özdeflliktir. Do¤ru cevap C’dir.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 özdeflli¤inin do¤rulu¤unu görmek için bir kenar› x = 6 cm olan kare biçiminde bir ka¤›t al›p a = 4 cm, b = 2 cm olacak flekilde iki kare ve iki eflit dikdörtgen çizelim. Bafllang›çtaki karenin alan› (36 cm2) içine çizilen parçalar›n alanlar› toplam›na eflit olacakt›r. x = a + b = 4 + 2 = 6 cm

Örnek TEST 24 :

Afla¤›da verilen eflitliklerden hangisinde 2 2 2 (a+b) = a + 2ab + b özdeflli¤i do¤ru uygulanm›flt›r? A) (2a + 1)2 = 4a2 + 2a + 1 B) (a + 2)2 = a2 + 2a + 4 C) (3a + 2)2 = 9a2 + 12a + 4 D) (4 + b)2 = 16 + 4b + b2 (3a + 2) 2 = (3a)2 + 2 . 3a . 2 + 22 görülüyor ki özdefllik do¤ru uygulanm›flt›r. 2 2 (2a + 1) = 4a + 4a + 1, (a + 2)2 = a2 + 4a + 4, (4 + b)2 = 16 + 8b + b2 do¤ru uygulamas›d›r. Do¤ru cevap C’dir. Çözüm 24 :

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 özdeflli¤inin do¤rulu¤unu modelle aç›klayal›m. a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab ye eflit oldu¤una dikkat ediniz. 0 < b < a olsun. b

b ab

b2

b2

b = 2 cm

a-b=3 a

b = 2 cm

ab (a-b)2

a-b=3

a = 25 a=4

a2=16

a

ab

a = 4 cm

b = 2 cm

a ∈ R+, b ∈ R+ 0 < a, 0 < b varsayd›k x2 = (a + b)2 = 62 = 36 cm2 x2 = a2 + ab + ab + b2 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 36 = 16 + 2 . 8 + 22 36 = 16 + 16 + 4 36 = 36 oldu¤u görülür.

İyi bir kafaya sahip olmak yetmez; mesele onu iyi kullanabilmektedir. Rene Descartes 64

ab = 10 a = 5 cm

b=2

a = 5 cm

(a - b)2 + 2ab = a2 + b2 (5 - 2)2 + 2.5.2 = 52 + 22 32 + 20 = 25 + 4 29 = 29 √ eflitli¤in do¤ruland›¤› görülür.

Örnek TEST 25 : Afla¤›da verilen eflitliklerin 2 hangisinde (a - b) = a2 - 2ab + b2 Her a ∈ R, b ∈ R özdeflli¤i yanl›fl uygulanm›flt›r? A) (a - 2)2 = a2 - 4a +4 B) (3 - b)2 = 9 - 3b + b2 C) (2a - 1)2 = 4a2 - 4a + 1 D) (3a - 2b)2 = 9a2 - 12ab + 4b2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K (3 - b)2 = 32 - 2 . 3b + b2 = 9 - 6b + b2 do¤rusudur. Do¤ru cevap B’dir.

Çözüm 25 :

x2 + 4x + 4 ifadesinin cebir karolar›n› kullanarak çarpanlara ayr›lm›fl ifadesi hangi dikdörtgensel bölgede do¤ru oluflturulmufltur? Örnek TEST 26 :

Cebirsel ‹fadeleri Çarpanlar›na Ay›rma a x2 + b x + c = x2 + 3 x + 2

x

x2

x

a=1, b = 3, c = 2

x

x A)

x

1

x2

x

x

1

1

B)

x+2

1

x

x2

x

x

1

x

1

1

1

x

1

1

x+2

x+3 x2

x

x

x

x

1

1

1

x+1

K E C) D) x+1 x+1 Cebir karolar›n› kullanarak x + 3x + 2 ifadesini M 2 çarpanlar›na ay›rabilmek için 1 adet x , 3 adet x ve A x2 x2 L x x x 2 adet birimkare olan parçalardan seçilir. Alan› en x+2 x+4 büyük parçalar dikdörtgenin sol üst köflesine T x 1 x 1 Ü yerlefltirilir. Oluflturaca¤›m›z büyük dikdörtgensel R x 1 x 1 bölgenin alan›n› kenar uzunluklar› küçük parçalar›n K x 1 kenar uzunluklar› cinsinden yazar›z. x = 3 için alan E L 2 2 x 1 ? = 3 + 3.3 + 2 = 20 cm olaca¤›na dikkat ediniz. ‹ x2 + 3x + 2 = (x + 2) . (x + 1) Çözüm 26 : x 2 + 4x + 4 ifadesinde 1 adet x 2 , = (3 + 2) . (3 + 1) d ört a de t x ve 4 a de t bi ri m = 5.4 = 20 cm2 karelik parça kullanmal›y›z. Oluflturulan büyük = x2 + x + 2x + 2.1 dikdörtgensel bölgenin alan›n› kenar uzunluklar› 2

x+1 x

x2 = 9

3 x

1

x=3

1

1

x=3 x

1

x+2

Dikkat ederseniz oluflturulan dikdörtgensel bölgenin alan› x = 3 için 20 cm2 dir.

kulland›¤›m›z küçük parçalar›n kenar uzunluklar› cinsinden yazarsak x 2 + 4x + 4 = (x+2) . (x + 2) = (x + 2) 2 Do¤ru cevap A’d›r. Dikdörtgenin ayn› zamanda kare oldu¤una dikkat ediniz. B) x 2 + 4x + 3 = (x + 1) . (x + 3) C) x 2 + 3x + 2 = (x + 2) . (x + 1) D) x 2 + 5x + 4 = (x + 4) . (x + 1) oldu¤una dikkat ediniz.

En büyük zaman hırsızı kararsızlıktır. C. Floru

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

65


Cebirsel ‹fadeler

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 27 : 2x 2 + 5x + 3 üçterimli cebirsel ifadesinin verilen cebir karolar›n› kullanarak çarpanlar›na ayr›lm›fl ifadesi hangi dikdörtgensel bölgede oluflturulmufltur?

Rasyonel Cebirsel ‹fadelerle ‹fllem Yapma ve ‹fadeleri Sadelefltirme 6a2 a

a2 = 6 . a 2-1 = 6 . a = 6a a

=6.

30a2 .x2 x

x

x2

6a2 x

1

5 . 0 . 2-1 a x 1 = 5x a ≠ 0 d›r. =

1 1

x A)

30 . a2 . x2 6 a2 x

=

1

B) x2

x

x

x2

x

1

x

4x2

2

+

=

x

1

8x

+

4x2

4x2

=

8x + 1 4x2

1 x2

x

x

x2

x

1

4

1 x

1

1

C)

x

1

1

x

1

1

x2

x

a S B S

D) x2

x

x

x

8

1 x2

x

x

1

x2

x

1 x

1

x

1

x

1

Çözüm 27 : 2x2 + 5x + 3 cebirsel ifadesini cebir karolar›n› kullanarak çarpanlar›na ay›rmak için 2 adet x2 , befl adet x ve 3 adet birim karelik parça seçerek bunlardan oluflturaca¤›m›z dikdörtgensel bölgenin alan›n› kenar uzunluklar› küçük parçalar›n kenar uzunluklar› cinsinden olacak flekilde yazarsak 2x2 + 5x + 3 = (2x + 3) . (x + 1) x=3 cm seçersek 2 . 32 + 5.3 + 3 = (2 . 3 + 3) . (3 + 1) 18 + 15 + 3 = 9 . 4 36 = 36 cm2 oldu¤u görülür. Do¤ru cevap D’dir. 2 A) 2x + 5x + 2 = (2x + 1) (x + 2) B) ‹fadesi yanl›flt›r. Çünkü yaln›z x = 3 için cebirsel ifade do¤rulan›r. x ≠ 3 de¤erleri için yanl›flt›r. Ayr›ca alan 2x2 + 5x + 7 ≠ 2x2 + 5x + 3 C) x = 3 al›nd›¤› için yanl›flt›r. x herhangi bir say› olabilir. 66

M A T E M A T ‹ K

a

:

4

=

2

2

.

a

a

=

8 a2

Örnek TEST 28 : Afla¤›daki rasyonel cebirsel ifadelerde gerekli ifllemler yap›lm›fl, gerekiyorsa ifadeler sadelefltirilmifltir. Hangi seçenekte ifllem hatas› yap›lm›flt›r? A) B) C) D)

2x3

= 2x2

x

8 a2 .b3 2

12 b .a 5

+

2x 6x2 y

:

2

3 4 3x 5y

Çözüm 28 :

= =

3b 2

10 + 3x 4x

= 10x 8 12

.

a2 a2

.

b3 b2

= =

5 2x (2)

+

3 4

=

10 + 3x 4x

2.4 3.4 2b 3

. a2-2 .b3-2 B yanl›flt›r.

,

(x)

6x2 3x 6x2 5y 6 . 5 x2 y . . . : = = = 10x y 5y y 3x 3 x y Do¤ru cevap B’dir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K x2 - 4x + 4

Örnek TEST 29 :

x2 +

rasyonel

x-6 ifadesinin pay ve paydas›nda bulunan cebirsel ifadeleri (Polinom) çarpanlar›na ay›r›n›z. Bu çarpanlardan pay ve paydada ayn› olanlar› sadelefltiriniz. Hangi seçenekteki rasyonel ifadeyi elde ettiniz? A)

x-2 x+3

x-2 x-3

B)

(x - 2)2 D) x+3

x+2 C) x+3

x2 - 4x + 4 = (x - 2) . (x - 2)

Çözüm 29 :

= (x - 2)2 olup

x-2 x-2

x2 + x - 6 = (x - 2) . (x + 3) dir. x-2 x+3

K E M A Do¤ru cevap A’d›r. L

(x - 2) . (x - 2) x-2 x2 - 4x - 4 = = dir. (x + 3 . (x - 2) x+3 x2 + x - 6

T Ü Örnek TEST 30 : Afla¤›daki rasyonel ifade- R lerden hangisi yanl›fl sade- K E lefltirilmifltir? L ‹ 8x + 16 A) = 2x + 4 4 B)

C)

D)

6a2 + 12a

= 2a + 4

3a 2x - 3x -x-3

2y - 5y - 3

Çözüm 30 :

=

dir.

y+1 2y + 1

Örnek TEST 31: Seçeneklerdeki rasyonel ifadelerle yap›lan ifllemler sonucunda hangisinde ifllem hatas› yap›lm›flt›r? 1

A)

2x 3

B)

3x 2

-

4x 2x2

C)

2

+

2

3x

5x

:

7y

14y

x-1

D)

:

x+1

7

=

6x 9x - 8

=

12x2 4x

=

5

x2 - x 2x + 2

1

Çözüm 31 :

2x

+

(3)

3

-

4x

(3x)

2 3x2

=

(4)

2x2

.

7y .2 5x .

=

x+1

=

x

2 3x

=

=

7

A do¤ru

6x

B do¤ru

12x2 4x

C do¤ru

5

x (x - 1)

6x

(2)

9x - 8

2 (x + 1)

3+4

=

2 x Do¤ru cevap D’dir.

2y + 1

4

16

+

4

4 6a2

x+1

y+1

8x

3a

(2y + 1).(y - 3)

x

Do¤ru cevap C’dir.

x+1

4 (2x + 4)

=

(y + 1).(y - 3)

=

- 5y - 3

=

(x + 1) (2x - 3)

x-1

=

2

3a

y2 - 2y - 3

7y

x

=

y2 - 2y - 3

6a2 + 12a

2x - x - 3

2y2

x (2x - 3)

=

2

x-1

2

2x2

2x2 - 3x

+

12a 3a

Örnek TEST 32 : = 2x + 4 veya

= 2x + 4

= 2a + 4

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

A) C)

x+5 x2

-1

2x + 3 x2

-1

1

1

-

+

3

ifllex-1 x+1 x -1 minin sonucu hangisidir? B) D)

2

5 x2

-1

3 x+1

67


Cebirsel ‹fadeler

KEMAL Türkeli

1

Çözüm 32 :

1

-

x-1

x+1

(x + 1)

= =

+

(x - 1)

3

9x2 - 4

C)

2

x -1

3x2

(1)

(x + 1) - (x - 1) + 3 5 x -1

+ 4x - 4

4a2

+ 20a + 25

bulunur. Çözüm 34 : Do¤ru cevap B’dir.

2

x +x-2

A)

x2

+ 4x + 4

2

3x + 21x + 30

C;

4x2

- 12x + 9 2x - 3 -3 2 = 10x - 15x 5x2

B)

4x2 - 9a2

C)

2x - 3a 2a2 + 5a + 2

D)

2

6a + 3a

=

a+2

8

3a

(3x)2 - 22 (x + 2) (3x - 2)

a2 D;

-

b2

3a + 5

=

3a (a + 1)

=

(1 - a)(a + 1)

3a 1-a

(x - 2)(x + 5) 3(x2 + 7x + 10) (x - 2)(x + 5) 3 (x+2)(x + 5)

=

x-2 3(x + 2)

(3x - 2) ( 3x + 2)

=

(x + 2) (3x - 2)

=

S B S

= 2x + 3a

=

=

x+2

a+2

(1 - a)(1 + a)

x+1

=

=

3a2 + 3a

x2 + 3x - 10

Örnek TEST 33: Afla¤›daki ifadeler en sade biçmde yaz›l›rken birinde hata yap›lm›flt›r. Hangi seçenekte yanl›fl yap›lm›flt›r?

x+2

2a2 + 11a + 15

D)

x2 - 1 2

3x + 2

=

3x + 2 x+2

= (a - b) (a + b) özdeflli¤inden yararland›k.

2a2 + 11a + 15 2

4a + 20a + 25

=

(a + 3) (2a + 5) (2a + 5) (2a + 5)

=

a+3 2a + 5

Do¤ru cevap D’dir. M x-1 A Çözüm 33 : 2 = = x + 4x + 4 (x + 2)(x + 2) x + 2 T x2 + mx + 3 x+3 E Örnek TEST 35 : = olaM 2 2 4x - 12x + 9 (2x - 3)(2x - 3) 2x - 3 x -1 x-1 A = = rak sadeleflebilmesi için m T 10x3 - 15x2 5x2 (2x - 3) 5x2 ‹ 4x2 - 9a2 (2x)2 - (3a)2 (2x - 3a)(2x + 3a) K tam say›s› ka�� olmal›d›r? = = 2x - 3a 2x - 3a 2x - 3a A) 2 B) 3 x2 + x - 2

= 2x + 3a 2

2a + 5a + 2 2

6a + 3a

(x -1)(x + 2)

a2 - b2 = (a - b) (a + b) oldu¤undan =

(a + 2)(2a + 1) 3a (2a + 1)

=

C) 4

a+2 3a

Çözüm 35 :

Do¤ru cevap A’d›r.

D) -4 x2 + mx + 3 (x - 1) (x + 1)

=

(x + 3) (x - 1)

.

(x + 1) (x + 1)

pay ve payday› x + 1 ile çarp›yoruz. Örnek TEST 34: Seçeneklerdeki ifadelerden biri yanl›fl sadelefltirilmifltir. Yanl›fl sadelefltirilen rasyonel ifade hangisidir? A) B)

68

3a2

+ 3a

1-

a2

=

3a

x2 + mx + 3 = x2 + 4x + 3

iki ifadenin eflit

olabilmesi için x’in katsay›s› olan m = 4 olmal›d›r. (4 ∈ Z)

1-a

x2 + 3x - 10

= 3x2 + 21x + 30

x-2

Do¤ru cevap C’dir.

3 (x + 2) KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 36 :

Çözüm 37 :

10 2x + 1 2 2+ 1 2+ x

(x + 2)

=

iflleminin sonucu hangisidir? A) C)

2 3x + 1

B)

10 3x + 1

D)

Çözüm 36 :

?=

10 2x + 1 = 2 2+ 2x + 1 x

5 3x + 1 5 x+3

10 2x + 1 2 2+ 2x 1 + x x

=

10 2x + 1

10 2x + 1 2x 2+ 2x + 1

= = 2(2x + 1) 2x + 2x + 1 2x + 1

10 2x + 1 6x + 2 2x + 1

10 . 2x + 1 5.2 5 = = = 2x + 1 2 (3x + 1) 2 (3x + 1) 3x + 1

10 (x - 2) ( x 3- 2 - x +2 2 ) : [ (x12x - 2) x (x - 2) x ]

?=

(x - 2)

- 4) : [ 3x(x +- 2)6 -. (2x (x + 2) ]

=

x (x + 10) x + 10 . (x -2) x = (x -2) . (x + 2) 2x + 20 (x + 2) . 2(x + 10)

=

x 2(x + 2)

Do¤ru cevap A’dir.

Örnek TEST 38 :

K E M A L T Ü R K E L ‹

?=

A)

4 9

B)

Çözüm 38 :

4 15

verilen rasyonel ifadelerin ifllem sonucuna eflittir? A)

x 2(x + 2)

B)

2x x+2

C)

x 2(x + 10)

D)

2 x+2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

iflle-

(5,75)2 - (3,25)2

C)

8 15

4 5

D)

a2 - b2 = (a - b) . (a + b) özdeflli¤inden yararlanal›m.

?= =

(3,5 - 0,5) . (3,5 + 0,5) (5,75 - 3,25) . (5,75 + 3,25) 8 3.5

=

=

3.4 2,5 . 9

=

4 3 . 2,5

8 15 Do¤ru cevap C’dir.

Örnek TEST 39 :

3 2 12 10 ( ): ( ) = ? ifllemini x-2 x+2 x-2 x yaparak en sade biçime getiriniz. Hangi seçenek

(3,5)2 - (0,5)2

minin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

Do¤ru cevap B’dir.

Örnek TEST 37 :

12x - 10x + 20 (x - 2) x

=

(a - b)2 -- (a + b)2 ab

ifadesinin en sade biçimi afla¤›dakilerden hangisidir? A) -4 Çözüm 39 :

B) 4

C) -2

D) 2

x2 - y2 = (x - y) . (x + y) özdeflli¤inden yararlanal›m.

?=

[(a - b) - (a + b)] [(a - b) + (a + b)] ab 69


Cebirsel ‹fadeler

KEMAL Türkeli

(a - b - a - b) (a - b + a + b) ab -2b . 2a ?= = -4’e eflittir. ab

Örnek TEST 42:

=

4-4 a+a 4-a

?=

ifadesinin en sade biçimi hangisidir?

Do¤ru cevap A’dir. Örnek TEST 40:

4x = 2

7 + 3 ise

A)

a-2 a+2

B)

11+

C)

2- a 2+ a

D)

2+ a 2- a

16x2 - 24x + 9 ifadesinin de¤eri hangisidir? A) 4

B) 28

7

C) 7

D) 14

16x2 - 24x + 9

Çözüm 40 :

Çözüm 42 : 4-4

4x - 3

4-4

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

?= 2

4x - 3 = 2

7 oldu¤undan

7 = 4. 72 = 4 . 7 = 28

7.2

a + a = (2 -

4 - a = (2 -

?= 16x2 - 24x + 9 = (4x - 3) . (4x - 3) 7+ 3

a + a = 22 - 2 . 2

a )2

a+(

(x - y)2 = x2 - 2xy + y2

= (4x)2 - 2 . 4x . 3 + (3)2

4x = 2

a a

a ).(2 -

a) . (2 +

a)

a)

x2 - y2 = (x - y) . (x +y) ?=

Do¤ru cevap B’dir.

(2 (2 -

a) . (2 a) . (2 +

a) 2- a = a) 2+ a Do¤ru cevap C’dir.

Örnek TEST 41: 9 + 4x

16x +

Örnek TEST 43: x iflleminin sonucu 4x hangisidir?

(3x3 + 15x2) . (4x2 - 9) ifadesinin çarpanlar›ndan biri olamaz?

A) 9x + 1 2 x

B) 3 + 9x x

A) 2x - 3 C) 3x

C) 3 + 3x 2 x

D) 3 + 9x 2 x

Çözüm 43 :

Çözüm 41 : ?= ?= ?= = =

3 2

x 3

2

x 3

2

x

3 2

x 3

2

x

?=

3 2

+4

x +

+4

x +

+4

x +

+ +

9

x 2

=

+4

x x

x +

2

x x. x

x

x

Seçeneklerden hangisi

B) x + 5 D) 3x + 2 3x2. x + 3x2. 5 = 3x2 (x + 5) olup

a2 - b2 = (a - b) . (a + b)

x 2

x

(2x)2 - 32 = (2x - 3) . (2x + 3) ? = (3x3 + 15x2) . (4x2 - 9) = 3x2 (x + 5) . (2x - 3) . (2x + 3) 3x2 = 3x . x olabilir. Do¤ru cevap D’dir.

2x x 2 3 2

x

Örnek TEST 44: +

9

x. 2

x

?=

x

9x 3 + 9x 3 (1 + 3x) = = 2 x 2 x 2 x

x y -y x

x = 5 -- 3 y = 5 + 3 ise iflleminin sonucu hangisidir?

A) 2

5

B) -2

15

C) -

15

D) -2

3

Do¤ru Cevap D’dir. 70

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Çözüm 44 : x= -1/+ y = x - y = -2 xy = (

?=

55+

3 3

3

olup

5-

x2 - y2 (x - y) . (x + y) = xy xy x= y=

5- 3 5+ 3

x+y=2

3) . (

5+

5

3) = (

(Taraf tarafa toplarsak)

5)2 - (

3)2

xy = 5 - 3 = 2 yerlerine yazarsak ?= x y

-2

--

y x

3.2 2

5

= -2

= -2

15

15 ’e eflittir. Do¤ru cevap B’dir.

? = 6a + 3b + 2ab + b 2 ifadesinin çarpanlar›na ayr›lm›fl hali hangisidir? A) (3b + 1) . (2a + b) B) (2 + b) . (3a + b) Örnek TEST 45:

C) (a + 2b) . (3 + b)

3. ünitede bunlar› ö¤rendiniz mi? 1. Özel say› örüntülerinde say›lar aras›ndaki iliflkileri bir örnekle aç›klayabilirim. ? = 1 + 3 +5 + 7 + 9 + 11 + 13 ard›fl›k tek say›lar›n›n toplam›n›n ?=

2

2

( n +2 1 ) = ( 132+ 1 )

= 72 = 49 oldu¤unu

hesaplayabilirim. 2. Özdefllik ile denklem aras›ndaki fark› bir örnekle aç›klayabilirim. 4x 2 - 25 (2x - 5).(2x + 5) eflitli¤i tüm gerçek say›lar için do¤ru oldu¤undan bir özdeflliktir. Oysa 2x - 6 = 0 eflitli¤i x’in yaln›z x = 3 de¤eri için sa¤land›¤›ndan bir denklemdir. 3. Cebirsel ifadeleri çarpanlar›na ay›rabildi¤imi bir örnekle gösterebilirim. ?=

x2 - x - 6 x2

- 6x + 9

=

(x + 2) . (x - 3) x+2 = (x - 3) . (x - 3) x-3

D) (2a + b) . (3 + b)

4. Rasyonel cebirsel ifadelerle ifllemler yapabilK di¤imi örnekle gösterebilirim. E Çözüm 45 : Verilen 4 terimi 2'fler grupland›ral›m.M x-3 2 2 x-3 + 2 2 ?= + + = + A (6a + 2ab) + (3b + b.b) x-1 x+1 x-1 x-1 x+1 L = 2a (3 + b) + b (3 + b) = (3 + b) . (2a + b) x-1 + 2 x-1 2 2 x+1 ?= + =1+ = = (3 +b) den (2a + b) tane oldu¤una dikkat ediniz. T x-1 x-1 x+1 x-1 x-1 Bu tip çarpanlar›na ay›rma yöntemine gruplan-Ü R 5. Rasyonel cebirsel ifadeleri sadelefltirebild›rarak çarpanlar›na ay›rma yöntemi denir. K di¤imi bir örnekle aç›klayabilirim. Do¤ru cevap D’dir. E L 32 - 2x2 2 (42 - x2) 2 (4-x).(4+x) Örnek TEST 46: ‹ ?= = = 1 2 (4 - x).(3 + x) (4-x).(3+x) 112 + x - x x ?= 4 5 2 (x+4) 1+ ? = 2 x x x+3 ifadesinin sadelefltirilmifl flekli hangisidir? x x-1 A) B) Okuma h›z›n›z›. K‹fi‹SEL GEL‹fi‹M DVD’si ile x+5 x+5 h›zland›r›n. DVD: www.infinityteknoloji.com, H›zl› x-1 x C) D) Okuma, Bellek Gelifltirme, Düflünce Gücü bölümlex x-1 Çözüm 46 : x 1 x x ?= 2 x 4x 5 + x2 x2 x2 =

rinden oluflan bu DVD ’den s›navda ve s›nava haz›rl›k sürecinizde çok yararlanacaksan›z.

=

x-1 x x2 + 4x - 5 x2

x-1 . x x2 = dir. x x+5 (x - 1) . (x + 5) Do¤ru cevap A’d›r.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

www.benidahilet.org Egitim Portal›n› incelemenizi öneririm. E¤itim DVD’lerini incelediniz mi? Baz›lar›; Donan›m Rehberiyle Kendi Bilgisayar›n›z› oluflturmay› ö¤reten DVD Windows Vista ve Office 2007 E¤itimi DVD’si 71


SBS TEST Sorular›

ÜN‹TE 3

Do¤ru cevaplar›, aç›klamal› çözümleri 194. sayfadad›r.

1. Fibonacci (Fibonaçi) dizisinde afla¤›daki say›lardan hangisi yanl›flt›r? 0, 1, 1, 2, 3, 5, A, 13, B, 34, C, 89, D, 233, ... A) 8 B) 21 C) 55 D) 143 2. Melis ay›n birinci günü kumbaras›na 1 TL, ikinci günde 2 TL koyuyor. Her gün ay›n kaç›nc› günü ise örne¤in 11. günü ise kumbaras›na 11 TL koymay› sürdürüyor. Üçgensel say›lar örüntüsünden yararlanarak 21. gün 21 TL kumbaras›na koyduktan sonra kumbaras›nda kaç TL birikti¤ini hesapl›yor. 21. günün sonunda Melis’in kumbaras›nda kaç TL birikmifltir? 1. gün 2. gün 3. gün 4. gün

7. Bir dikdörtgenin a ve b kenarlar›n› cm cinsinden gösterelim.

D

C b

A

B

a

a2 + b2 = 25 ve Alan› a . b = 12 cm2 ise çevresi kaç cm’dir? A) 10

B) 13

C) 7

8. ABCD dikdörtgeninin kenar uzunluklar› a ve b cm olsun. D

A) 231

B) 462

C) 210

4. Seçeneklerde yaz›lan Geometrik dizilerden birinin bir say›s› yanl›fl yaz›lm›flt›r. Afla¤›daki hangi seçenekteki dizi geometrik dizi de¤ildir? A) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... B) 2187, 729, 243, 81, 27, 9, 3, 1, 3-1, ... C) 2, -6, 18, -54, 162, -486, 1457, -4374, ... D) -729, 243, -81, 27, -9, 3, -1, 3-1, ... 2

5. a + 2 = x, a - 2 = y, a - 7 = 0 ise xy say›s› kaçt›r? A) 11

B) 3

C) 5

72

B) 11

C) 22

b A

B

a

a - b = 7 (iki kenar›n›n uzunluklar› fark›) a2 + b2 = 180 ise dikdörtgenin alan› kaç cm2 dir? A) 131 C) 49

B) 65,5 D) 114,5 cm2

9. x2 + y2 = 169 ve xy = 60 ise (x + y) = ? bulunuz. A) 14

B) 13

C) 17

D) 18

10. x - 3y = 1, xy = 4 ise x 2 + 9y2 = ? afla¤›dakilerden hangisidir? A) 9

B) 24

C) 23

D) 25

11. 2x2 + 7x + 6 üç terimli ifadenin verilen cebir karolar›n› kullanarak çarpanlar›na ayr›lm›fl ifadesi afla¤›daki hangi seçenekte do¤ru oluflturulmufltur?

D) 9

6. a ile b birer do¤al say› iken (a + b) . (a - b) = 11 ise 2a + 3b nin de¤eri kaçt›r? A) 27

C

D) 220

3. Seçeneklerde yaz›lan Aritmetik dizilerden birinin bir say›s› yanl›fl yaz›lm›flt›r. Yanl›fl yaz›lan Aritmetik diziyi bozan say› hangi seçenektedir? A) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... B) 38, 33, 28, 23, 18, 13, 8, 3, -2, ... C) -33, -29, -25, -21, -17, -13, -9, -5, 0, ... D) -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, ...

D) 14 cm

D) 28

x2

x 1 1

1

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite A) x

x

SBS 8 MATEMAT‹K 15.

B) x2

x

2

x x x

x2

x

x x

2

x

x

x x

1 1

x x x

1 1 1 1 1 1

C) x

2

x

2x - 5

3 - 5x

x + 1 x2 - 1

A

B

x + 3 x2 + 2x - 3

C

D

A) D = 9 - 12x - 5x2 B) A = 2x2 - 3x - 5 C) C = 2x2 - x - 15 D) B = 3 - 2x - 5x2

x2

x

x-1

Cebirsel ifadelerin çarp›m tablosunun baz› sonuçlar› afla¤›daki seçeneklerdedir. Yanl›fl yaz›lan› bulunuz.

D) 2

.

x 16. Afla¤›daki ifadelerden hangisi özdefllik de-

1 1 1

1 x

x

2

x 1 1 1 1

x 1 x

12. Afla¤›daki rasyonel cebirsel ifadelerde gerekli ifllemler yap›larak ifadeler sadelefltirilmifltir. Hangi seçenekte ifllem hatas› yap›lm›flt›r?

13. (997) . (1003) çarp›m› afla¤›dakilerden hangisine eflittir? B) 105 - 9

C) 104 - 9 D) 106 - 3

(x + 2y - 3)2 - (x - 2y + 3)2 ifadesinin en 2y - 3 sade flekli afla¤›daki hangi seçenektedir? 14.

A) 2x + 1 C)

4x + y 3

17. 3, a, 12, x, 48, b, 192, ... terimleri pozitif gerçek say›lardan oluflan geometrik dizisinde a .b x2 ifadesinin de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir? B) 1 2

C) 1

D) 9

18. Televizyon veya bilgisayar ekranlar›n›n büyüklükleri al›c›y› büyük say› ile etkileyebilmek için dikdörtgensel bölge fleklindeki ekran›n köflegen uzunlu¤unu söyleyerek belirtilmektedir.

15a2 . b 5b : = 6a c2 2ac2

A) 106 - 9

1 2 1 ) =x+ -2 x x2 C) 2x + 26 = (5 + 2x) . 3 - 4x + 11 D) x + x + x + 5 = x3+ 5 B) (x -

A) 1 3

24 x3 y 4x2 = 2 2 x y2 y 4 3 -16a . b B) = - 4 a3 4a . b3 6 + 4x 2 4 + = C) x 3 3x A)

D)

¤ildir? A) x2 - 172 = (x - 17) . (x + 17)

B) 4x D) 2xy

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

D

C 5k

A

a = 4k

3k = b B

Pisagor ba¤›nt›s›na göre bir standart 3k, 4k, 5k diküçgenidir. Uzunluk birimi standard› olarak 1in = 2, 54 cm = 1 inç (inch) kullan›lmaktad›r. 42 inç olan bir televizyonun geniflli¤i ve yüksekli¤i kaç inç’dir? A) a = 33,6 inç , b = 25,2 inç B) a = 33,6 inç , b = 26,04 inç C) a = 33,12 inç , b = 25,2 inç D) a = 36, 96 inç , b = 25,2 inç 73


KEMAL Türkeli

3 Ünite Testi 19.

A

21.

40°

A B 3 km

65°

D

2 km E

C H

d

›rmak

12 km

[AH]

d, [BE]

B

d

fiekilde s(ABC) = 90°,

IAHI = 3 km, IBEI = 2 km A köyünden bir çoban 101 koyunu satmak için B noktas›ndaki pazara götürmek istiyor. Yolda en az bir kez C ∈ [ME] olacak flekilde bir C noktas›nda koyunlar›na d do¤rusu boyunca akan ›rmakta su içirmek istiyor. Bizden IACI + ICBI yolunun en az kaç km olaca¤›n› hesaplamam›z için yard›mc› olmam›z› istiyor. Sizce IACI + ICBI toplam yolu en az kaç km olabilir? A) 15 km

C

B) 13 km

C) 14 km

D) 16,3 km

20. M noktas›nda boynunda uzunlu¤u esnemeyen 15 m uzunlu¤unda ip bulunan bir koyun ip ile ba¤lanm›flt›r.

s(CAD) = 40° dir.

s(ADC) = 65° ise seçeneklerdeki kenar uzunluklar› içinde en uzun kenar hangisidir? A) IBCI

B) IABI

C) IADI

22.

D) ICDI

A

5 cm

B

C

fiekilde IABI = 12 cm, IACI = 5 cm olan üçgende IBCI kenar›n›n uzunlu¤unun olabileci¤i tüm tam say› de¤erlerinin (cm olarak) toplam› kaçt›r? A) 108 cm B) 95 cm

C) 100 cm D) 125 cm

y

E (0, 12)

23. Afla¤›daki ifadelerden yanl›fl olan› hangi

D (0, 9) C (0, 7) F (0, y) B (0, 4) A (0, 2) O

IOMI = 12 m’dir.

M (12, 0)

IOEI = 12 m do¤ru parças›

üzerinde koyunun su içebilece¤i yalak bulunmaktad›r. Sizce koyun hangi noktadan su içemez? A) B(0, 4) C) D(0, 9)

B) A(0, 2) D) E(0, 12)

Kararlılık insan iradesinin uyandırma zilidir. Anthony Robbins 74

seçenektedir? A) Dar aç›l› bir ABC’nde yükseklikler üçgenin içinde noktadafl, üçgen genifl aç›l› ise yükseklikler üçgenin d›fl›nda noktadaflt›r. Dik üçgenlerde ise yükseklikler dik aç›n›n köflesinde kesiflirler. (noktadafl) B) Bir üçgende aç›ortay do¤rular› daime üçgenin iç bölgesinde kesiflirler. (noktadafl) Kesiflme noktas› üçgenin üç kenar›na da te¤et olan iç te¤et çemberin merkezidir. ‹ki aç›ortay do¤rusunun kesiflme noktas›ndan üçüncüsü de geçer. C) Üçgenin kenarlar›n›n orta dikme do¤rular›n›n kesiflme noktas› köflelerinden (A, B, C) geçen çemberin merkezidir. (Çevrel çember denir.) ‹ki ortadikme do¤rusunun kesiflme noktas›ndan üçüncüsü de geçer. D) Bir üçgenin üç kenarortay› üçgenin d›fl›nda bir noktada kesiflirler. (noktadafl) ‹ki kenarortay›n kesiflme noktas›ndan üçüncüsü bazen geçmeyebilir. Bu noktada üçgenin a¤›rl›k merkezi ad› verilir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


3. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

24. fiekilde d do¤rusu (y = 5) Ox eksenine

26. x =

5+

3 ve

y=

5-

3 ise

paraleldir. A(-3, 0), B(2, 0), C(0, 5), D(6, 5), E(5, 0), F(0, 8) noktalar› koordinat düzleminde gösterilmifltir.

A) 2 C) 2

y F(0, 8) C(0, 5)

D(6, 5) d

B(2, 0)

x.a 2 + y.a 2 5 3

ifadesinin de¤eri hangisidir? B) -2 5 D) 16

y=5

E(5, 0)

Hangi seçenekteki önerme verilen bilgilere göre yanl›flt›r? (x ve y ekseninde 1 birim uzunluk = 1 cm al›n›z.) A) A(ABC) < A(AED) B) A(ABF) < A(ABD) C) A(ABC) = A(ABD) D) A(ABC) < A(ABF)

5x3 - 5x2 - 30x x3 - x2 - 6x

5 x

x+3

x2 - x - 6 x-3

Cebirsel ifadenin çarpanlar› çarpan a¤ac› yöntemi ile bulunmufltur. Hangi seçenekteki çarpan yanl›fl bulunmufltur? A) x3 - x2 - 6x C) x + 3

x2a 2 - y 2a 2

x

O A(-3, 0)

25.

?=

B) x2 - x - 6 D) x - 3

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Adnan Menderes Anadolu Lisesi (‹stanbul Bahçelievler, www.adnanmenderes.net) Tel:0212. 641 35 35 ) 2008 Liselere Giriflte Adnan Menderes Anadolu Lisesi’ni kazanan en yüksek puanl› ö¤rencinin puan› 495,62 (Türkiye baflar›s› : 443, neti: 98,75 ‹stanbul baflar› s›ras›: 95 idi). 2008’de Liselere Girifl s›nav› ile Liseyi kazanan en düflük puanl› 150. ö¤rencisinin puan› 472,887 Türkiye baflar› s›ras› 9713 ‹stanbul baflar› s›ras› 1921, neti ise 93 oldu. 2008 ÖSS s›nav›nda Bahçelievler Adnan Menderes Anadolu Lisesinin 185 mezun ö¤rencisinin en iyi %10 ‘u Matematik-2 Testinde sorulan 30 sorunun en az 28,4 netini veya fazlas›n› yapt›. En çok 300 olan ÖSS Say›sal-2 puan türünde en iyi %10’luk grup 287,8 puan›n›n üstüne ç›kt›. 2008 ÖSS’de, Say›sal-2 puan türünde Türkiye 7.si, EA-2 puan türünde ise Türkiye 5.si ve Söz-2’de Türkiye 4. sü Liseden ç›kt›. Yabanc› dil e¤itimi olarak ‹ngilizce, seçmeli dil olarak da Almanca e¤itimi verilmektedir. Lise 1989 y›l›nda e¤itime bafllad›. 2008 mezunlar›n›n %85’i Üniversite kazand›.

75


ÜN‹TE 4

KOMB‹NASYON, PERMÜTASYON

Olas› durumlar› belirleme: n = 5 elemanl› bir A = {a,b,c,d,e} kümesinin r = 2 li alt kümelerinin say›s›n› bulmaya 5 elemanl› bir kümenin 2 elemanl› kombinasyonunu hesaplamak diye söylenir.

Görülüyor ki ö¤renci 5 sorudan cevapland›rmayaca¤› 2 soruyu 10 farkl› flekilde seçebilir. Veya formülle yaparsak; =

a , b , c , d , e

= C(5,3) =

{a,b} , {a,c} , {a,d} , {a,e} {b,c} , {b,d} , {b,e} {c,d} , {c,e} {d,e}

=

=

=

= 10 Do¤ru cevap A’d›r.

Görüyoruz ki, 5 elemanl› bir kümeden oluflturulabilecek 2 elemanl› alt kümelerin say›s› 10’dur. denir.

Ö¤renci 5 s›nav sorusundan 3’ünü 10 farkl› flekilde seçebilir. Dikkat ederseniz 1, 2, 3, 4, 5 sorular›ndan örne¤in Formülle bulmak istersek; = 5.4 = 5.2 = 10 veya (1,2) yi yapmaz ise {3,4,5} sorular›n› cevapland›rabilir. 1.2 S Kombinasyon (Combination) C(5,2) C(5,3) = C(5,2) = 10 oldu¤una dikat ediniz. B S Yani 5 kifliden 3 kifliyi seçmek, 5 kifliden 2 kifliyi C(n,r) = C(5,2) = = gruptan ç›karmaya denktir. =

=

= 10

8

A = {1 , 2 , 3} üç elemanl› bir kümenin 2 elemanl› alt kümelerinin say›s›n› bulal›m. M = 10 = C(5,2) dir. A {1,2} , {1,3} , {2,3} görüyoruz ki 3 elamanl› T E bir kümenin 2 elemanl› kombinasyonlar›n›n say›s› M 3’tür. Dikkat ederseniz 3 elemandan rastgele birini A Örnek TEST 1 : Matematik yaz›l› s›nav›nda almaz kalan 2’sini al›rsak bunu 3 farkl› flekilde T matematik ö¤retmeni 5 ‹ yapabiliriz. soru sormufltur. Fakat ö¤rencilerden seçecekleri K Formülle ; 3 soruyu cevapland›rmalar›n› istemifltir. Bir = C(3,2) = = ö¤renci 5 soru içinden cevapland›raca¤› 3 soruyu kaç farkl› flekilde seçebilir? A) 10 C) 24

B) 20 D) 96

Çözüm 1 :

Befl soruyu 1, 2, 3, 4, 5 diye numaralarla gösterelim. Yukar›daki örnekten yararlan›rsak,

=

=3

Kitapl›k kolunda çal›flmak isteyen 4 ö¤renciden 2’sini ö¤retmen kaç farkl› flekilde seçebilir? Ö¤rencileri a , b , c , d ile gösterelim.

1 , 2 , 3 , 4 , 5

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5) yapmayabilir. (2,3), (2,4), (2,5) yapmayabilir. (3,4), (3,5) yapmayabilir veya (4,5) yapmayabilir. 76

(a,b), (a,c), (a,d) (b,c), (b,d), (c,d) 4 eleman›n 2’li kombinasyonlar›n›n say›s› 6’d›r denir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


Kombinasyon

SBS 8 MATEMAT‹K

Formülle de bulabiliriz. C(4,2) =

=

A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} alt› elemanl› kümenin 4

=

elemanl› alt kümelerini yazal›m. = C(4,2) = 6’d›r.

Örnek TEST 2 :

6 kiflilik bir grup aralar›ndan 2 kifliyi ö¤retmenle konuflmas› için seçmek istiyor. 6 kiflinin 2’li kombinasyonlar›n›n say›s› kaçt›r? A) 6 C) 24

B) 10 D) 15

Çözüm 2 :

Ö¤rencileri 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

{1,2,4.5}

{1,3,4,5}

{1,2,3,5}

{1,2,4,6}

{1,3,4,6}

{1,2,3,6}

{1,2,5,6}

{1,3,5,6}

{1,4,5,6}

{2,3,5,6}

{2,3,4,5}

{2,4,5,6}

{2,3,4,6}

{3,4,5,6}

Farkl› 6 say›dan 4’ünü 15 farkl› flekilde seçebilece¤imiz görülüyor. O¤uz A ve B öykü kitaplar›n› AB ve BA s›ras› ile okuyabilir.

ile gösterelim. ? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 {1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5} , {1,6} {2,3} , {2,4} , {2,5} , {2,6}

{1,2,3,4}

5

4

Veya {1,2} kümesinin elemanlar›n› kullanarak K rakamlar› farkl› 12 ve 21 iki basamakl› say›lar›n› yaE zabiliriz. M A O¤uz’un 3 öykü kitab› olsa idi, öykü kitaplar› A,B L ve C ise,

T A B CAB, ACB , ABC Ü B A CBA , BCA , BCA C kitab›n›n her R {4,5} , {4,6} 2 K durumda yerini de¤ifltirerek 6 farkl› s›rada okuyabilir. E O¤uz 3 öykü kitab›n› bu 6 s›radan biri ile okuyabilir. {5,6} 1 L Veya A={1,2,3} kümesinin elemanlar›n› kullanarak ‹ 6 elemanl› bir kümenin 2 elemanl› alt kümelerinin rakamlar› farkl› 3 basamakl› say›lar› yazal›m. say›s› (6’n›n 2’li kombinasyonu) 15’tir. 1 2 312 , 132 , 123 Formülle; 2 1 321 , 231 , 213 {3,4} , {3,5} , {3,6}

3

= C(6,2) = =

= 6.5.4.3.2.1 1.2.4.3.2.1 = 10 Do¤ru cevap D’dir.

C(6,4) = C(6,2) = oldu¤una dikkat ediniz. 6 kiflilik bir sporcu kümesinden tak›m›n koçu 4 kifliyi çal›flt›rmak için seçmek istiyor. Bu seçimi kaç türlü yapabilir. C(6,4) = C(6,2) = 15 Yani 6 kifliden 2 kifliyi 15 türlü gruptan ay›rabilece¤inden kalan 4’ü ile çal›flabilir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Veya sinemada 3 kiflilik yere 3 kifliyi 6 farkl› flekilde oturtabiliriz. 1 2 3 Dikkat ederseniz 3 2 1 1. kutuya 3 rakamdan birini yazabiliriz. 2. kutuya elimizde 2 rakam kald›¤›ndan ikisinden birini, 3. kutuya da elimizde kalan sonuncu rakam› yazar›z. n = 3 elemanl› kümenin r = 3 elemanl› s›ralan›fllar›n say›s› 3.2.1 = 3 ! = 6 (3 faktöriyel diye okunur) d›r. n = 3 eleman›n› r = 3 elemanl› s›ralan›fl›n›n say›s›na 3’ün 3’lü permütasyonu (permutations) 6’d›r diye ifade edilebilir. n = 3 elemanl› A={1,2,3} kümesinin r = 2’li permütasyonlar›n›n say›s› P (n,r) = P (3,2) =

=

=

= 3! = 6

77


Permütasyon

KEMAL Türkeli

6 farkl› s›ralan›fl› yazal›m. 12

21

31

3 x 4 = 12 flekilde kitapl›k kolu ve k›z›lay kolunda çal›flacak ö¤renci ikilisini seçebilir.

13

23

32

Do¤ru cevap C’dir.

1 2 Veya

3 2

1

s{1,2,3} = 3 olup iki basamakl› say›lar› yazarken

A

1 nolu yere 3 say›dan birini yazar›z. Kalan 2’sinden A = {1,2,3} kümesinden oluflturulabilecek

=

=

=

1 2

C

3 4

Bir ö¤renci A noktas›nda olan evinden C noktas›ndaki okuluna kaç farkl› flekilde gidebilir. fiekle göre A ile B aras›nda 3 sokak B ile C aras›nda 4 sokak varsa ö¤renci evinden okuluna 3 x 4 = 12 farkl› yoldan gidebilir.

r = 2 elemanl› kombinasyonlar›n (combinations) say›s› = C(n,r) = C(3,2) =

2 3

birini de 2 nolu yere yazabiliriz. n=3

B

=

C(3,2) = 3’tür. Örnek TEST 4 : Bir s›n›fta baflkan veya {1,2,} , {1,3} , {2,3} Kombinasyonda elemanlar›n S baflkan yard›mc›s› olarak s›ras›n›n önemli olmad›¤›na dikkat ediniz. Oysa per- B seçime 10 ö¤renci kat›l›yor. Seçim kaç türlü mütasyonda elemanlar›n her farkl› s›ralan›fl› yeni S sonuçlanabilir? (farkl›) bir olay olarak kabul edilir. A) 100 B) 90 P(n,r) = r ! . C(n,r) C) 20 D) 110

8

6

= 2! . 3 iliflkisi oldu¤una dikkat ediniz.

M A P(3,2) = 2 ! . C(3,2) Çözüm 4 : Baflkan 10 ö¤renciden biri aras›nT E dan seçilebilir. Baflkan seçildikten M sonra geriye kalan 9 adaydan biri baflkan yard›mc›s› A olarak seçilebilir. 10.9 = 90 farkl› flekilde sonuçlanabilir. T ‹ Örnek TEST 3 : Bir s›n›fta kitapl›k kolunda P(n,r) = P(10,2) = = = çal›flmak için 3 ö¤renci, K K›z›lay kolunda görev almak için bunlardan farkl› 4 ö¤renci baflvurmufltur. Ö¤retmen bunlar›n = = 10 . 9 içinden birer ö¤renciyi seçmek istiyor. Ö¤retmen seçimi kaç türlü yapabilir? yine P(10,2) = 90 bulunur. A) 7 C) 12

B) 9 D) 15

Do¤ru cevap B’dir.

1

A

Çözüm 3 :

2

B C

Kitapl›k

n = 4 elemanl› A = {a,b,c,d} kümesinin r = 3’lü permü-

4

tasyonlar›n›n say›s› x olsun. Ayn› n = 4 elemanl›

K›z›lay

3 x 4 = 12 Ö¤retmen kitapl›k kolunda çal›flacak herhangi bir ö¤renciyi seçtikten sonra K›z›lay kolunda çal›flacak 4 ö¤renciden birini seçebilir.

78

Örnek TEST 5 :

3

A = {a,b,c,d} kümesinin r = 3’lü kombinasyonlar›n›n say›s› y ise A) 4 C) 3

hangisidir? B) 12 D) 6

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Çözüm 5 :

n = 4 elemanl› A = {a,b,c,d} küme-

Çözüm 6 :

sinin r = 3’lü permütasyonlar›n›n

= -1

= -1=

x + 1 = 2 (- 1) = - 2 x=-2-1 x = - 3 bulunur.

say›s› x = P(n,r) = P(4,3) =

-

=

Do¤ru cevap A’d›r.

= 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 n = 4 elemanl› A = {a,b,c,d} kümesinin 3 elemanl› alt kümeleri A1 = {a,b,c} , A2 = {a,b,d} , A3 = {a,c,d}

Örnek TEST 7 :

A4 = {b,c,d} Veya y = C(n,r) =

?=

=

= 4 bulunur.

A) {-3}

B) {3}

C) {4}

D) {-4}

Çözüm 7 :

= 6 = 3! oldu¤una dikkat ediniz.

-8=

Genel yoldan çözüm;

?=

=

+ =r!=3!=6=

Do¤ru cevap D’dir.

K E M A L

T Permütasyonda 3 eleman›n 3 ! s›ralan›fl› önem- Ü R senirken kombinasyonda elemanlar›n s›ralan›fl› K E önemsenmemektedir. L ‹

DENKLEM S‹STEMLER‹ -4=0

=

8 (x - 3) = 2x 4x - 12 = x

4 (x - 3) = x 4x - x = 12

4x - 3x = - 2

x = - 2 bulunur. Çözüm kümesi = {-2} Rasyonel denklemde payday› s›f›r yapan x = 0 say›s›n›n çözüm kümesinin eleman› olamayaca¤›na dikkat ediniz.

Örnek TEST 6 :

-1=

rasyonel

denkleminin çözüm kümesinin eleman› hangisidir? A) -3 C) 0

B) -1 D) 1

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

3x = 12

x=4

bulunur. Do¤ru cevap C’dir.

Örnek TEST 8 :

bir bilinmeyenli rasyonel denk-

= 3x - 2 = 4x

=8

=8

+

= 0 rasyonel

denklemini sa¤layan say› hangisidir?

lemin çözüm kümesinin eleman›n› bulunuz. =4

rasyonel

denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

= C(4,3) =

=

-8=

A)

B) -

Çözüm 8 : 2 (5x + 6) = - 3x

C) -

=-

D)

=

10x + 12 = - 3x

13x = - 12

x=Do¤ru cevap B’dir. 79


Rasyonel Denklemler Örnek TEST 9 :

KEMAL Türkeli

-

(x + 36) .

= 0 rasyonel

x + 36 = - 8x x = - 4 bulunur.

denklemini gerçek say›lar kümesinde çözümü hangisidir? A)

B)

C)

Çözüm 9 :

5x - 2x = 5 + 6 x=

x + 8x = - 36

9x = - 9.4

Do¤ru cevap C’dir.

D) - 1

Örnek TEST 12 : Tafl›ma s›ras›nda yumurtalar›n

=

5 (x - 1) = 2 (x + 3)

= - 8 denklemini yazabiliriz.

‘si k›r›l›yor. K›r›lmayan yumurtalar›n say›s›n›n 45 oldu¤u biliniyorsa, yumurtalar›n baz›lar› k›r›lmadan önce toplam yumurta say›s› kaçt›?

5x - 5 = 2x + 6 3x = 11

A) 63 C) 18

=3 Do¤ru cevap B’dir.

B) 49 D) 157

Çözüm 12 :

-

=

=

‘si k›r›lmam›flt›r.

. x = 45 5x = 7.5.9 x= = 63 S denklemini sa¤layan ger- B Tafl›madan önce (k›r›lmadan önce) yumurtalar›n S çek say› hangi kümededir? toplam say›s› 63 bulunur. Örnek TEST 10 :

A) {-2}

Çözüm 10 :

-

B)

=

C) -

-

=

rasyonel

D) -

=

= -

=

x=-

Ç= Do¤ru cevap C’dir.

8

M A T E M A T ‹ K

Do¤ru cevap A’d›r.

Örnek TEST 13 : Hangi rasyonel say›ya eklersek sonuç A)

B)

Çözüm 13 : x=

‘e eflit olur?

-

C)

x+

=

=

Hangi say›n›n 36 fazlas›n›n söz konusu say›n›n çarpmaya göre tersi ile çarp›m› -8’e eflittir? B) - 3

C) - 4

D) -

denkleminden

=

Örnek TEST 11 :

A) 4

D)

= Do¤ru cevap B’dir.

Örnek TEST 14 :

-

= 0 denkleminin

çözüm kümesi hangisidir? Çözüm 11 : Bilmedi¤imiz say›y› x ile gösterirsek say›n›n 36 fazlas› x + 36 olacakt›r. Di¤er yandan x say›s›n›n çarpma ifllemine göre tersi oldu¤undan

80

A)

Çözüm 14 :

B) {- 5}

=

C) {5}

D) {7}

olmal›d›r.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Örnek TEST 15 :

(x - 7) . (x + 5) = x (x - 9) x2 + 5x - 7x - 35 = x2 - 9x - 2x - 35 = - 9x x=5

9x - 2x = 35

x=

Ç = {5} Do¤ru cevap C’dir.

DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N CEB‹RSEL YÖNTEMLE ÇÖZÜMÜ Birinci dereceden (do¤rusal) iki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme metodu ile çözmek: (Solving systems of linear equations in two variables)

YOK ETME METODU (Linear-Combination Method)

7x + 3y = -15 5x + 4y = -7 Denklem sistemini çözerek

x + 2y’yi hesaplay›n›z. A) -1 C) 1

B) 0 D) -7

Çözüm 15 : Verilen denklem sisteminde y bilinmeyenin katsay›lar›n› ters iflaretli olacaklar› flekilde en küçük ortak katlar›na eflitleyelim. 4/ 7x + 3y = -15 -3/ 5x + 4y = -7 28x + 12y = - 60 -15x - 12y = 21 28x - 15x = - 60 + 21 13x = -39 x = - 3 hesaplan›r. 5x + 4y = - 7 5 (- 3) + 4 y = - 7 4y = 15 - 7 4y = 8 y = 2 bulunur. Soruda x + 2y = - 3 + 2 (2) = - 3 + 4 = 1 bulunur.

K Do¤ru cevap C’dir. 3x - 2y = 5 Birinci dereceden (do¤rusal) iki E M 2x + 3y = 12 bilinmeyenli denklem sistemini A yok etme metodu ile çözmek için L DENKLEM S‹STEM‹N‹ YER‹NE KOYMA y bilinmeyenini yok etmek isteyelim. y’nin katsay›lar›n› T METODU ‹LE ÇÖZME eflit yapabilmek (en küçük ortak katlar›na eflitleriz.) Ü (Substitutions) için gereken denklemi uygun say›larla (s›f›rdan farkl›) R K çarpmal›y›z. y’nin katsay›lar› z›t iflaretli oldu¤undan E Denklemlerin birinden bilinmeyenlerden birini y katsay›lar›n› eflitledi¤imiz iki denklemi taraf tarafa L ‹ di¤eri cinsinden buluruz. Bulunan bilinmeyenin bu toplayarak x’i buluruz. ifadesini di¤er denklemde yerine yazarak denklemi 3/ 3x - 2y = 5 9x - 6y = 15 bir bilinmeyenli bir denkleme dönüfltürürüz. Elde 2/ 2x + 3y = 12 4x + 6y = 24 edilen bir bilinmeyenli denklemi çözerek bilinmeyeni 9x + 4x = 15 + 24 buluruz. Bulunan bilinmeyenin de¤eri verilen denk13x = 39 lemlerin birinde yazarak di¤er (ikinci) bilinmeyeni buluruz. x= x=3 Buldu¤umuz bilinmeyenlerden birini (x = 3) verilen iki denklemden birinde yerine yazarak di¤er bilinmeyeni buluruz. 3x - 2y = 5 3 . 3 - 5 = 2y 2y = 4 y=2 ‹ki denklemi de do¤rulayan (gerçekleyen) (x,y) = (3,2) s›ral› ikilisine verilen denklem sisteminin çözümü ad› verilir. Ç = {(3 , 2)} Sa¤lamas›: 3.3-2.2=5 9-4=5 5=5√ 2 . 3 + 3 . 2 = 12 6 + 6 = 12 12 = 12 √ Görülüyor ki, s›ral› say› çifti iki denklemi de sa¤lamaktad›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

5x - 3y = 7 2x - y = 3 denklem sistemini yerine koyma metodunu kullanarak çözelim: 2x - y = 3 y = 2x - 3; y’yi x cinsinden bulduk. 5x - 3y = 7 5x - 3 (2x - 3) = 7 5x - 6x + 9 = 7 x=9-7 x = 2 bulunur. 2x - y = 3 2.2 - y = 3 y = 4 - 3 y = 1’dir. Ç = {(x,y)} = {(2,1)} buldu¤umuz (x,y) = (2,1) s›ral› ikilisi verilen iki denklemi de sa¤lar.

81


‹ki Bilinmeyenli Denklemler

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 16 :

2x + 5y = 3 x - 3y = 7 Denklem sistemini yerine koyma yöntemi ile çözerek bulaca¤›n›z (x, y) s›ral› ikilisinin seçeneklerde verilen hangi denklemi sa¤lad›¤›n› bulunuz. A) x + 8y = 4 C) 4x - y = 16

Beliz; 2x + 3y = 22 Elif; 3x + y = 19 Yok etme metoduyla çözelim. - 9x - 3y = - 57 2x + 3y = 22 - 9x + 2x = - 57 + 22 - 7x = - 35

B) 3x + 2y = 9 D) x + y = 3

x=

3x + y = 19 3.5 + y = 19 y = 19 - 15 y = 4 TL x + y = 5 + 4 = 9 TL

Çözüm 16 : x - 3y = 7 x = 7 + 3y 2(7 + 3y) + 5y = 3 14 + 6y + 5y = 3 11y = 3 - 14

y=-

x = 5 TL

Do¤ru cevap C’dir.

y = -1

x = 3 (-1) + 7 = 4 bulunur. x + y = 4 + (- 1) = 3 oldu¤undan

Örnek TEST 18 :

Do¤ru cevap D’dir.

+

=-1

+

= 7 denklem sis-

teminin çözüm kümesi olan (x, y) s›ral› ikilisinin 2x + 3y = 4 toplam› (x + y = ?) kaçt›r? 3x + 2y = 3 S A) - 8 B) 8 denklem sistemini çözmek için di¤er bir yöntem B S C) 7 D) 9 flöyledir. x ve y‘yi içermeyen 4 ve 3 sabit terimlerinin en küçük ortak katlar›na eflit olmalar› için denklemler Çözüm 18 : + = - 1 4x + 9y = - 12 gereken say›larla çarp›l›r. 6x + 9y = 12, 12x + 8y = 12 + =7 x + 10y = 28 M 12 = 6x + 9y = 12x + 8y’den A x = 28 -10y yerine koyma metodu 12x - 6x = 9y - 8y y = 6x ba¤›nt›s› bulunur. T 4 (28 -10y) + 9y = -12 112 - 40y + 9y = -12 E 2x + 3y = 4 2x + 3.6x = 4 M 31y = 124 y= y = 4 bulunur. A 20x = 4 x= = 0,2 bulunur. T x + 10.4 = 28 x = 28 - 40 x = - 12’dir. ‹ y = 6x = 6 . = = 1,2 x + y = 12 + 4 = 8 bulunur. K Do¤ru cevap A’d›r. , Ç = {(x,y)} = = {(0,2 , 1,2)}

8

Örnek TEST 17 :

Beliz ve Elif Beyaz Adam kitabevinden iki farkl› kal›nl›ktaki defterlerden farkl› say›larda sat›n alm›fllard›r. Beliz 2 adet kal›n defter ile 3 adet ince defter için 22 TL ödemifltir. Elif ise 3 adet kal›n defter ile 1 adet ince defter için 19 TL ödemifltir. E¤er bir kal›n defter ile bir ince defter al›rsak kaç TL öderiz? A) 10

B) 7

C) 9

D) 8

Çözüm 17 : Bir adet kal›n defterin fiyat›n› d = x ile bir ince defterin fiyat›n› y ile gösterelim.

82

Örnek TEST 19 :

Tamam› x litre su alan bir su deposunun (bidon) içinde y litre su vard›r. Depoya (bidona) 25 litre su ilave edilirse bidonun

‘ü dolu, di¤er yandan

bidondan 21 litre su kullan›l›rsa bidonun

‘ü

bofl olacakt›r. Söz konusu bidonun tamam›na kaç litre su depolanabilir. Yukar›daki problemin çözülebilmesi için oluflturman›z gereken denklem sistemi hangi seçenektedir. A) y + 25 =

x

B) y + 25 =

x

y - 21 =

x

y - 21 =

x

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

C) y + 21 =

x

D) y + 25 =

x

y - 25 =

x

y - 21 =

x

Çözüm 19 : su

y

3 x = dolu 4

y + 25 =

3 x 4

Örnek TEST 21: Bir çiftlikteki kümeste tavuklarla koyunlar›n say›lar› toplam› 38, ayaklar›n›n say›lar› toplam› 102 ise, bu kümesteki koyunlar›n say›s› tavuklardan ne kadar azd›r? A) 12 C) 14

B) 13 D) 25

Çözüm 21 : Tavuklar›n say›s›n› x ile koyunlar›n say›s›n› y ile gösterirsek,

3 ‘ü bofl 4

1 y - 21 = x 4

y-21 ( 3 ‘ü bofl ise 1 ‘inin dolu olaca¤›na dikkat 4 4 ediniz.) Do¤ru cevap B’dir.

2x + 4y = 102

x + 2y = 51

x + y = 38

x + y = 38 y = 13 koyunlar›n say›s›

x + 13 = 38 x = 25 Tavuklar›n say›s›d›r. ? = x - y = 25 - 13 = 12 Do¤ru cevap A’d›r.

K Soruda istenmemesine karfl› sözkonusu deponun E Örnek TEST 22: ‹ki farkl› kalitedeki zeytinden M tamam›n›n kaç litre su alaca¤›n› bulal›m. kilogram› 3,5 TL olan›ndan x A 3 kg ve kilogram› 4 TL olan›ndan ise y kg al›narak L y + 25 = x 4 kar›flt›r›l›yor. Elde edilen kar›fl›m›n kg’› 3,7 TL den T sat›l›yor. Bu bilgilere göre x (kg) ile y (kg) aras›nda 1 y - 21 = x Ü 4 R nas›l bir iliflki vard›r? 2 x x K A) x = 2y B) 2x = 3y 25 + 21 = x= 46 = E 4 2 2 C) 3x = y D) 3x = 2y L Depo x = 92 litreliktir. ‹ Örnek TEST 20 : Toplamlar› 81 olan öyle iki say› bulunuz ki, küçük 4 1 say›n›n ‘si ile büyük say›n›n ‘i eflit olsun. 7 5 Say›lar› veren denklem sistemi hangisidir? A)

x + y = 81 20x - 7y = 0

B)

x + y = 81 28x - 5y = 0

C)

x + y = 81 35x - 4y = 0

D)

x + y = 81 4x - 35y = 0

Çözüm 20 : ‹ki say›n›n toplam› 81 oldu¤undan y x < y ile 4 x = 20x = 7 y 5 7 20x - 7y = 0 Say›lar› bulal›m: 20(81 - y) -7y = 0 +20y + 7y = 1620 27y = 1620 y = 60 , x = 81 - 60 = 21’dir. Do¤ru cevap A’d›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Çözüm 22 :

x kg zeytin 3,7 TL = 370 Kr’tan

sat›ld ›¤›nda n kilogram b afl›na 370 - 350 = 20 Kr pahal›ya sat›yor. Di¤er yandan 400 - 370 = 30 Kr’tan y kg zeytin zarar›na sat›l›yor. y.30 Kr zarar söz konusudur. 20x = 30y olmal›d›r. Buradan 2x = 3 y iliflkisi bulunur. Do¤ru cevap B’dir. Di¤er yol; x . 350 + 400y = (x + y) 370 35x + 40y = (x+y) 37 40y - 37y = 37x - 35x yine 3y = 2x bulunur.

Örnek TEST 23: Bir otomobilin x litre benzin alan deposunun üçte biri doludur. y litre benzin harcad›ktan sonra bu arac›n deposu tamamen doldurularak 114 TL ödeniyor. Bir süre sonra araban›n deposunun yar›s› dolu 83


Üçgenler

KEMAL Türkeli

iken y litre daha benzin tüketildikten sonra söz konusu arac›n deposu yine tamamen doldurularak 87 TL ödeniyor. Benzinin bir litresinin fiyat› 3 TL ise otomobilin deposunun tamam› kaç litre benzin alabilmektedir? A) 48 C) 54

ÜÇGENLERDE EfiL‹K (ÜÇGENLER‹N Efi‹TL‹⁄‹) ‹ki üçgenin benzerlik oran› 1 ise bu üçgenlere efltirler deriz. Veya iki üçgeni kesip üst üste koydu¤umuzda her biri di¤erini tam örtüyorsa eflittirler. Eflitlikte üçgenlerin her biri di¤erini tam örtüyorsa eflittirler deriz. Eflitlikte üçgenlerin 3 köflesinin di¤erinin 3 köflesine çak›flmas›, di¤erini taflmayacak flekilde örtmesi yeterlidir.

B) 52 D) 60

Çözüm 23 : 3 2x + y = 114 3 x + y = 87 2

3

2x + y = 38 3

A

x + y = 29 2

5

2x - x = 38 - 29 4x - 3x = 9 3 2 6 x = 54 litrelik deposu vard›r.

B

Do¤ru cevap C’dir. S B S 1 ‘ i, 3 5 Gizemin paras›n›n ‘ine 9 eflittir. Osman, Gizem’e 15 TL verseydi paralar› M A eflit olacakt›. Osman’›n paras› kaç TL dir? T E A) 75 TL B) 45 TL M A C) 60 TL D) 72 TL T ‹ Çözüm 24 : Osman’›n paras›n› x TL, Gizemin K Örnek TEST 24: Osman’›n paras›n›n

D

3

37°

C

A ile D B ile E C ile F

5 E

3

37°

F

4

Çak›flt›r›l›rsa üçgenlerin eflit oldu¤u görülür.

KAK lar› eflit olan üçgenler efltir.

8

A

D

3 B

C

4

ABC DEF [AC] = [DF] 3 cm [BC] = [EF] 4 cm s(C) = s(F) = 90°

3 E

F

4

ABC

DEF (KAK)

paras›n› y TL ile gösterelim. 1 . x = 5 .y, 3 9 3x = 5 y

x - 15 = y + 15 x = y + 30

Görülüyor ki, iki üçgenin birer aç›lar› ve bu aç›n›n kenarlar›n›n karfl›l›kl› eflit olmas› üçgenlerin eflit oldu¤unu söylememiz için yeterlidir.

5x = 5y + 150 5x = 3x + 150 2x = 150

5

x = 75 TL Osman’›n paras›d›r. Gizemin paras› 75 -15 = y + 15 45 = y’dir. y = 45 TL Do¤ru cevap A’d›r.

D

3

B

5 C

3

E

fiekilde IBDI = ICEI = 3 cm IABI = IACI = 5 cm ise hangi seçenekteki önerme do¤rudur? A) IADI IAEI C) IADI > IAEI

84

A

Örnek TEST 25:

B) IADI = IAEI D) IADI < IAEI

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Çözüm 25 : ADB AEC üçgenlerinde 1 - 1 eflleme yap›ld›¤›nda KAK kural›na göre üçgenlerin efl oldu¤u görülür. ABC ikizkenar oldu¤undan s(ABC) = s(ACB) = α oldu¤undan bütünler aç›lar da eflit olacakt›r. IDBI = ICEI = 3 cm IABI = IACI = 5 cm s(ABD) = S(ACE) = 180 - α

ABD

ACE (KAK)

Eflit üçgenlerde eflit aç›lar karfl›s›ndaki kenarlar›n uzunluklar› eflit olaca¤›ndan IADI = IAEI‘dir. Do¤ru cevap B’dir.

AKA (Aç› - Kenar - Aç›) A 53°

5 cm

B

D

37°

5 cm

C

53°

37°

E

F

‹ki üçgenin bire bir efllemesi, ABC

DEF iken

5= IABI = IEDI veya [AB]

[ED]

B = E veya s(ABC) = s(DEF) = 37°

A D s(BAC) = s(EDF) = 53° ‹ki üçgen aras›nda yap›lan bire bir efllemede birer A Örnek TEST 26: kenar uzunluklar› eflit ve bu kenar›n uç noktalar› olan αα aç›lar› kendi aralar›nda eflit oldu¤undan AKA kural› gere¤ince iki üçgenin efl oldu¤una karar vermemiz için yeterlidir. B C H ‹ki üçgen eflit olduktan sonra eflit aç›lar karfl›s›nda K eflit kenarlar bulunaca¤›ndan IACI = IDFI fiekildeki ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. E IBCI = IEFI yine eflit kenarlar karfl›s›nda da eflit M IABI = IACI, s(BAH) = s(CAH) = α A aç›lar olaca¤›ndan s(BCA) = s(EFD) = x = 90°’dir. Yani AH do¤rusu BAC‘nin aç›ortay do¤ru- L sudur. T Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? Ü Örnek TEST 27: A A) AH do¤rusu hem aç›ortay, hem kenarortay, R K hem yükseklik, hem orta dikmedir. E L B) s(ABC) = s(ACH) 23° ‹ B C 12 cm C) s(BHA) = s(CHA) = 90° D) ABH

D

AHC

Çözüm 26 : IABI = IACI veriliyor. s(BAH) = s(CAH) = α (AH aç›ortay

23°

F

12 cm

E

do¤rusu oldu¤undan) IAHI = IAHI (iki üçgenin ortak do¤ru parças›) ABH

ACH bire bir efllemesinde KAK yeterli

koflulu oldu¤undan ABH

ACH ‘dir. ‹ki üçgen eflit

oldu¤undan eflleflen aç›lar ve kenarlar eflit olaca-

fiekilde uzunluk ölçüsü eflit olan kenarlar ile eflit olan aç›lar belirtilmifltir. Hangi seçenekte verilen bilgi yanl›flt›r? A) ABC DEF C) IABI ≠ IDEI

B) IACI = IDFI D) s(BAC) = s(FDE)

¤›ndan s(ABH) = s(ACH) Çözüm 27:

s(BHA) = s(CHA) = x x + x = 180

2x = 180

x = 90° olmal›d›r.

α karfl›s›ndaki IBH = ICHI oldu¤undan IAHI = Va (kenarortay) oldu¤unu anl›yoruz. Do¤ru cevap D’dir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Verilen üçgenler aras›nda uygun

bire bir eflleme yaparsak ABC IBCI = IEFI = 12 cm s (BCA) = s(EFD) = 90° s(CBA) = s(FED) = 23°

DEF

AKA kural› gere¤ince iki üçgenin eflit oldu¤unu söylememiz için yeterlidir.

85


Üçgenlerde eflitlik

KEMAL Türkeli

ABC DEF‘dir. Eflit üçgenlerde eflit aç›lar karfl›s›nda eflit kenarlar olaca¤›ndan IABI = IDEI , IACI = IDFI

Eflit üçgenlerde eflit kenarlar karfl›s›nda eflit aç›lar olaca¤›ndan

Eflit kenarlar karfl›s›nda eflit aç›lar olaca¤›ndan

s(BAC) = s(ACD),

s(BAC) = s(EDF) ‘dir.

s(ACB) = s(CAD) s(ABC) = s(ADC)

KKK (Kenar - Kenar - Kenar) A

Do¤ru cevap C’dir.

D

KAA (Kenar - Aç› - Aç›) 13

12

13

12

A B

C

5

E

F

5

D

53°

53°

6 cm

6 cm Üçgenler aras›nda ABC DEF bire bir efllemesini yapt›¤›m›zda 37° 37° B C E F IABI = IDEI = 13 cm [AB] [DE] IACI = IDFI = 12 cm [AC] [DF] ‹ki üçgenin ikifler aç›lar› birbirine eflitken eflit S IBCI = IEFI = 5 cm [BC] [EF] B aç›lardan birinin karfl›s›ndaki kenarlar›n uzunluklar› ABC DEF , eflit üçgenlerde eflit kenarlar kar- S da eflitse iki üçgenin eflitli¤ine karar vermemiz için fl›s›nda eflit aç›lar olaca¤›ndan yeterlidir. s(ACB) = s(DFE) = 90° IACI = IDFI = 6 cm s(ABC) = s(DEF), s(BAC) = s(EDF)’dir. s(BAC) = s(EDF) = 53° M A s(ABC) = s(DEF) = 37° ise üçgende iç aç›lar›n T E toplam› 180° oldu¤undan Örnek TEST 28: M 37 + 53 + s(ACB) = 180° s(ACB) = 90° bulunur. 8 cm D C A AKA kural›na dayanarak, iki üçgenin eflit oldu¤una T ‹ K karar vermemiz için yeterlidir. Eflit iki üçgende eflit 6 cm 6 cm aç›lar karfl›s›nda eflit kenarlar olaca¤›ndan

8

A

8 cm

B

fiekilde ölçüleri eflit olan kenarlar gösterilmifltir. Hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r?

IBCI = IEFI , IABI = IEDI’dir.

Örnek TEST 29:

A) s(BAC) = s(DCA) B) ABC

A

CDA

C) s(ACB) = s(ACD)

5 cm

D) s(ABC) = s(ADC) =90° B

Çözüm 28:

ABC

CDA bire bir efllemesini

yapal›m. IABI = ICDI = 8 cm

KKK kural› üçgenlerin eflit

IBCI = IADI = 6 cm

olmalar› için yeterlidir.

IACI = IACI

ABC

86

D

CDA

37°

5 cm C

E

37°

F

Hipotenüsleri ve birer dar aç›lar› efl olan iki dik üçgenle ilgili hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? A) IACI = IDFI

B) IBCI = IEFI

C) s(BAC) = s(EDF)

D) ABC

DFE

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Çözüm 29:

ABC D EF bire bir efllemesini yaparsak

IABI = IEDI = 5 cm

ÜÇGENLER‹N BENZERL‹⁄‹ (Üçgenlerde Benzerlik)

KAA kural›ndan iki üçgenin eflit oldu¤unu söyleyebiliriz.

s(ABC) = s(DEF) = 37° s(BCA) = s(EFD) = 90°

Bir ka¤›da bir üçgen çiziniz. Sonra fotokopi makinas›nda Zoom = 70’i ayarlayarak bir tane fotokopisini yap›n›z. Sizin üçgende bir kenar 10 cm ise fotokopide 7 cm olacakt›r. Sizin üçgeniniz fotokopideki üçgenle benzer olacakt›r. Bir bebek 52 cm do¤uyor, 10 y›l sonra benzer olarak uzad›¤›n› gözlemleriz. Mimarlar yapacaklar› binalar›n benzerlerini kartondan yaparak (maket denir) bir masa üstüne koyarlar.

Eflit üçgenlerde eflit aç›lar karfl›s›nda eflit kenarlar bulunaca¤›ndan IACI = IDFI,

IBCI = IEFI,

s(BAC) = s(EDF) = 53°’dir. ABC

DEF ‘dir. Do¤ru cevap D’dir.

Üçgenlerin benzer olabilmesi için üç aç›s›n›n da kendi aralar›nda eflit olmas› gerekir. Di¤er yandan üçgende iç aç›lar›n toplam› 180° oldu¤undan ikifler Üç kenar› farkl› uzunlukta iki efl üçgenle bu üçaç›lar›n›n birbirine eflit olmas›n›n benzer olabilmeleri genleri çeflitli flekillerde bir araya getirerek kaç de¤iflik için yeterli oldu¤u sonucuna var›r›z. AA (Aç› - Aç›) paralelkenar oluflturabilirsiniz? olan iki üçgende eflit aç›lar karfl›s›nda orant›l› kenarlar Ortak kenar› 3 farkl› flekilde alabilece¤imizden 3 K bulunur. farkl› paralelkenar oluflturabiliriz. E M D A L 6 5

3

6

6

3

3

5 3

5

3

5

6

6

5

‹sterseniz 6 cm köflegen (ortak kenar) iken 3 ile 5’in de yerini de¤ifltirebilirsiniz.

5

A 26 13

12

68°

C

24

3 6

3

T Ü R K E L ‹

B

5

5

Üçgenlerin eflli¤inde AAA (Aç› - Aç› - Aç›) yeterlik koflulu uygulanabilir mi? Bire bir eflleme yapt›¤›m›zda karfl›l›kl› üç aç›s› eflit olan üçgene benzer üçgenler diyoruz. Eflit aç›lar› karfl›s›ndaki kenarlar›n oran› (benzerlik oran›) 1 (bir) ise ancak iki üçgene eflittirler diyebiliriz.

Sizi sınırlayan düşüncelerinizdir. Zihin bir şeyi yapabileceğine inandığı kadar başarılı olur. Yüzde 100 inandığınız sürece her şeyi yapabilirsiniz. Arnold Schwarzenegger KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

68°

E

F

10

ABC DEF efllemesini yapal›m. s(B) = s(E) = 68° s(C) = s(F) = 90° AA kural›na göre iki üçgen benzerdir. ABC

DEF yaz›l›r.

IACI IBCI IABI = = IDFI IEFI IDEI 12 5 13 = = 24 10 26

=k

k=

1 2

benzer

iki üçgenin benzerlik oran›d›r. Birer dar aç›s› efl olan iki dik üçgenin benzer üçgenler olaca¤›na dikkat ediniz. 87


Üçgenlerde benzerlik

KEMAL Türkeli IBCI IABI IACI = = IEFI IDEI IDFI

F 37°

10

C 37°

5 53°

A

3 A

B

53°

E

Benzerlik oran› 1 olan efl iki üçgen eflit aç›lar üst üste olacak flekilde çak›flt›r›l›rsa, birbirlerini örterler. Yani taflan veya küçük gelen bir k›s›m gözlenmeyecektir. Benzerli¤i daha iyi anlaman›z için iki benzer üçgen daha inceleyelim.

8

C

4 B

D

53°

E

6

C

ABC

30°

DEF

4

Aç›lar eflit

37°

D

3 4 5 = = =1 3 4 5

2

F

3

30°

F

2

ABC üçgeninden DEF üçgenini fotokopiden elde S etmek için Zoom’u 200’e ayarlamal›y›z. B 8 S IEFI s(A) = s(D) = = 2, 4 IBCI

A

60°

8

6 IDEI = = 2, 3 IABI

B

2 ABC

D

60° 1

3

E

DEF

Fotokopi makinas›nda ABC üçgeninden DEF 50’ye M üçgen büyüklü¤ünü elde etmek için Zoom A ayarlamal›y›z. T 10 IDFI s(B) = s(E) = 90° = =2 E IABI IBCI IACI 5 2 2 3 4 IACI M = = = = =2’dir. IDEI IEFI IDFI 1 3 2 A Ayn› say›ya eflit olanlar birbirine eflit olaca¤›ndan T 1 ‹ Soldaki üçgen oran›nda küçültülerek DEF IEFI IDEI IDFI K 2 = = = 2 ve s(A) = s(D) = 53° 2 1 IBCI IABI IACI üçgeni çizilmifltir. Veya = iki üçgenin benzerlik s(C) = s(F) = 37° 4 2 oran›d›r. s(B) = s(E) = 90° 53° 37° 90° s(A) = s(D) = 60°, s(C) = s(F) = 30°, s(B) = s(E) = 90° biliniyorsa bu benzerlik (A.A.A) Dikkat ederseniz iki üçgenin karfl›l›kl› kenarlar› benzerlik özelli¤i diye isimlendirilir ve örnekte görülorant›l› ise orant›l› kenarlar karfl›s›nda da eflit aç›lar dü¤ü gibi eflit aç›lar karfl›s›ndaki kenarlar orant›l› olup bulunacakt›r. Bu durum (K.K.K) benzerlik özelli¤i di- bu oran 2’dir. (2’ye benzerlik oran› denir.) ye isimlendirilir. KAK; D C F s(C) = s(F)

5 A

3

4

B

5 D

3

4

E

fiayet iki üçgenin benzerlik oran› 1 ise sözkonusu üçgenler birbirine efltir denir. 88

10 cm

A 5 cm B

53° 6 cm

C

E

53° 12 cm

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

F


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K 3. 2,5 = 6.3 x = 18 cm olaca¤›n› iki 2. 72,5 dik üçgenin benzer olmas›ndan yararlanarak hesaplam›fl olduk. Di¤er yandan Pisagor (Pythagorean kural›) kural›ndan yararlanarak IACI2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 132 IACI = 13 cm bulabiliriz. Benzerlikten

Verilenler; s(B) = s(E) = 53°, ‹ki üçgenin birer aç›s› eflit ve eflit aç›lar›n kenarlar› orant›l› ise KAK benzerlik özelli¤i gere¤ince bu iki üçgene benzerdirler denir. IABI 5 1 = = , IDEI 10 2

x = 12.

IBCI 6 1 = = ise IEFI 12 2

ayn› say›ya eflit olduklar›ndan IABI IBCI 1 = = IDEI IEFI 2 s(B) = s(E) = 53°

}

IDFI 3 7,5 3. 2,5 = = = 13 5 2. 2,5 2 39 1 IDFI = = 19 = 19,5 cm bulabilece¤imiz 2 2 gibi Pisagor kural›ndan da IDFI2 = 182 + (7,5)2 = 324 + 56,25 = 380,25 = (19,5)2 2 IDFI = 19,5 cm hesaplayabiliriz.

yazabiliriz. K.A.K benzerlik özelli¤i

Dikkat ederseniz orant›l› kenarlar karfl›s›nda eflit aç›lar bulunaca¤›ndan s(C) = s(F) ve s(A) = s(D) olacakt›r. Sonuçta iki üçgenin 3 aç›s›n›n karfl›l›kl› eflit olmas›ndan benzer olacaklar› sonucuna var›r›z. IDFI = 2IACI dir.

Örnek TEST 30: ‹ki dik üçgen flöyle verilmifl olsun. A s(A) = s(D) = 23°, IBCI = 5 cm, IEFI = 7,5 cm, K E 5 IABI = 12 cm biliniyorsa, M IDEI = ? cm’dir? C 22° A B L 12 F C 7,5 cm

5 A

23° 12

B D

23° x cm

E

s(A) = 23° Verilenler; s(A) = s(D) = 23°

s(B) = s(C) = 90°

IBCI = 5 cm , IABI = 12 cm , IEFI = 7,5 cm Sorulan;

T Ü R K E L ‹

24

D

x

E

fiekildeki bilinmeyenlerle ilgili hangi seçenekte verilen bilgi yanl›flt›r? A) IDEI = x = 10 cm

B) IAEI = 40 cm

C) IACI = 13 cm

D) ICEI = 26 cm

IDEI = x cm = ? Çözüm 30: ABC ‹ki dik üçgende birer dar aç›lar› birbirine eflitse, sözkonusu dik üçgenler benzerdir.

EDC bire bir efllemesinde

s(ABC) = s(CDE) = 90° s(ACB) = s(ECD) = 22° (Ters aç›lar)

AA benzerlik kural›

‹ki üçgen benzer oldu¤undan s(A) + s(C) = 90° (tümler iki aç› oldu¤undan) 23 + s(C) = 90° s(C) = 90 - 23 = 67°dir. Benzer flekilde s(D) + s(F) = 90° oldu¤undan s(F) = 67° bulunur. Benzerli¤in temel tan›m›na göre iki üçgenin üç aç›s› aralar›nda eflit olduklar›ndan iki üçgenin benzer olduklar› sonucuna varabiliriz. Eflit aç›lar karfl›s›ndaki kenarlar orant›l› oldu¤undan IDEI IEFI x 7,5 = = yazabiliriz. IABI IBCI 12 5 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

IBCI IABI IACI = = ICDI IDEI ICEI

12 5 = 24 x

x = 10 cm’dir.

Pisagor ba¤›nt›s›ndan IACI2 = 52 + 122 = 132 IACI = 13 cm 1 13 = ICEI = 26 cm’dir 2 ICEI 13 + 26 = 39 ≠ 40 cm Do¤ru cevap B’dir. 89


Üçgenlerde benzerlik

KEMAL Türkeli

KKK (Kenar - Kenar - Kenar) Benzerlik Koflulu fiekildeki üçgenler aras›nda ABC bir efllemesini yapal›m.

KAK (Kenar - Aç› - Kenar) Benzerlik Koflulu ‹ki üçgenin karfl›l›kl› ikifler kenar›n›n uzunluklar› orant›l› ve bu kenarlar aras›ndaki aç›lar› efl ise bu iki üçgenin benzer olmas› için yeterlidir.

DEF bire

A

A 6

D

8 3

B

C

12

E

4 6

F

IABI 6 IBCI 12 = =2, = =2 IDEI 3 IEFI 6

D

24

IACI 8 = = 2 olup IDFI 4

12

IABI IBCI IACI = = = 2 olup orant›l› kenarlar karIDEI IEFI IDFI fl›s›nda efl aç›lar olaca¤›ndan ABC ~ DEF’dir. s(ACB) = s(DFE),

B

s(BAC) = s(EDF) S B S

Örnek TEST 31: A E

C

10

E

F

5

ABC DEF birebir efllemesinde IABI 24 IBCI 10 = =2, = =2 IDEI 12 IEFI 5

8

IABI IBCI = = 2 , s(B) = s(E) = 90° oldu¤undan IDEI IEFI 6 9 KAK benzerlik kofluluna göre iki üçgenin benzer B C F D M A oldu¤unu anlar›z. 20 12 T Benzer üçgenlerde orant›l› kenarlar karfl›s›nda E fiekildeki üçgenlerle ilgili hangi seçenekteki eflit aç›lar bulunaca¤›ndan, M bilgi yanl›flt›r? A IACI s(BAC) = s(EDF), s(ACB) = s(DFE) , = 2’dir. T IDFI A) ABC ~ EFD benzer üçgenlerdir. ‹ 5 K B) ‹ki üçgenin benzerlik oran› tür. 3 C) s(BAC) = s(EFD) Örnek TEST 32: 10

15

A

D) s(ACB) = s(EDF) Çözüm 31:

IABI 10 5 , = = IEFI 6 3 IBCI IACI IABI 5 = = = IFDI IEDI IEFI 3 KKK benzerlik koflulundan iki üçgen benzerdir. ABC ~ EFD Orant›l› kenarlar karfl›s›nda eflit aç›lar olaca¤›ndan s(BAC) = s(FED),

s(ABC) = s(EFD),

s(ACB) = s(EDF) Do¤ru cevap C’dir. 90

?=x

IBCI 20 5 , IACI 15 5 = = = = IFDI 12 3 IEDI 9 3 B

6 6 9

E

C 4

3 D

fiekilde IBCI = 9cm, ICEI = 6 cm, IACI = 6 cm, ICDI = 4 cm, IDEI = 3 cm ise IABI = x cm hangi seçenekte do¤ru yaz›lm›flt›r? 9 A) cm B) 5 cm 2 11 C) 6 cm D) cm 2 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Çözüm 32:

3 IBCI 9 3 , IACI 6 = = = = 2 ICEI 6 2 ICDI 4

oldu¤undan

IBCI IACI = = ICEI ICDI

Örnek TEST 33: A

3 ve 2

Ters aç›

s(ACB) = S(DCE)

G

D

‹ki üçgenin birer aç›s› eflitken aç›n›n kenarlar› da orant›l› ise KAK koflulu gerçekleflti¤inden iki üçgenin benzer oldu¤u sonucuna var›r›z. IABI 3 = IDEI 2

x 3 = 3 2

9 2

x=

cm’dir.

Ç(DEF)

seçenekteki bilgi yanl›flt›r?

c=3

C) K E M A L

B

D

2=b C

a=4

f=1,5 E

ABC ~ DEF

d=2

A(DEF)

Ç(ADE) A(ADE) A(BCED)

= k2

B)

=

4 5

D)

2 3

A(ADE) Ç(ADG) Ç(ABP)

=

9 4

=

3 2

2

2

4

G

60°

D

B

A(ABC)

A

4

E

2

2

3 60°

P

3

C

3

Eflkenar üçgende a 6 Va = IAPI = 3= 3 = 3 3 cm 2 2 Kenarortaylar›n kesim noktas› G için IGAI = 2IGPI = 2k

Ç(ABC) Ç(ADE)

3

k=

3 cm

=

6 3 = 4 2

IGAI = 2

3 cm dir.

benzerlik oran›d›r.

Veya ABC ~ ADE (A.A) oldu¤undan IAPI

k=

a b c = = d e f

k=

k=

ha h h n V = b = c = a = a hd he hf nd Vd

Ç(ABC)

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

3 2

a=6

3k = 3

Benzer iki üçgenin karfl›l›kl› bütün elemanlar›n›n uzunluklar› oran›n benzerlik oran›na eflit oldu¤una dikkat ediniz.

=

Çözüm 33:

T 1=e Ü R F K E L ‹

Benzer iki üçgenin alanlar› oran›, benzerlik oran›n›n karesine eflittir. A(ABC)

Ç(ABC)

A)

a+b+c a b c =k= = = d+e+f d e f

A

C

G a¤›rl›k merkezinden [DE] // [BC] çiziliyor. Hangi

Benzer iki üçgenin çevreleri oran› benzerlik oran›na eflittir. =

P 3 a=6 cm

Bir ayr›t› a = 6 cm olan ABC eflkenar üçgeninde

Do¤ru cevap A’d›r.

Ç(ABC)

3

B

E

IAGI

Ç(ADE)

=

=

3

3

2

3

=

3 IACI 6 = = 2 4 IAEI

3.6 6 3 = = dir. 3.4 4 2

bulunur.

A do¤ru

91


Üçgenlerde benzerlik A(ABC)

( ) (

C; A(ADE) = 4A ise D;

)

IAPI 2 3 = IAGI 2

= k2 =

A(ADE)

KEMAL Türkeli 3 2 9 = 3 4

Örnek TEST 35:

B do¤ru

A (BCED) = 9A - 4A = 5A’d›r.

Ç(ADG)

IAGI 2 = = IAPI 3 Ç(ABP)

3 3

=

3

E

D

y=?

x=?

2 3

A

Do¤ru cevap D’dir. Örnek TEST 34:

8

A y=IAEI

6 28°

D

4

E

B

IDBI=x

12 cm 107°

B

45° 10

C

ABC’nin [AB] kenar› üzerinde al›nan bir D (IDAI = 6 cm) noktas›ndan [BC] kenar›na paralel olacak flekilde [DE]’n› çizelim. [DE] // [BC] IDEI = 4 cm, IBCI = 10 cm, IECI = 12 cm ise IDBI = x = ? cm ve y = ? cm’dir? A) x = 9 cm B) x = 8 cm y = 10 cm y = 9 cm C) x = 9 cm D) x = 6 cm y = 8 cm y = 12 cm Çözüm 34:

ABC

ADE dir. Çünkü

C

6

s(B) = s(D) = 90°, IEDI = 3 cm, IBCI = 6 cm S B ise IADI = x cm, IAEI = y cm hangi seçenekte S verilmifltir?

8 M A T E M A T ‹ K

A) x = 4 cm y = 7 cm

B) x = 5 cm y = 34 cm

C) x = 5 cm y = 8 cm

D) x = 4 cm y = 5 cm

Çözüm 35:

ABC

E

ADE olup

3

D

y=5 cm

x=4 cm 37°

A

s(A) = s(A) = 28° (iki üçgenin ortak aç›s›d›r)

37°

s(B) = s(D) = 107° (yöndefl aç›lar) s(C) = s(E) = 45° (yöndefl aç›lar) En az iki aç›s› eflit olan 2 üçgen benzer olaca¤›ndan (Temel Benzerlik Özelli¤i) IDEI IBCI

=

IAEI IACI

2 y = 5 y+12 6 2 = 6+x 5

=

IADI IABI

10

4 y 6 = = 10 y+12 6+x

5y = 2y + 24 3y = 24 y = 8 cm 2x + 12 = 30

2x = 18 x = 9 cm hesaplar›z. Do¤ru cevap C’dir.

92

8

B

6

C

s(EAD) = s(BAC) = 37° (ters aç›) Birer dar aç›lar› eflit olan dik üçgenler benzer oldu¤undan eflit aç›lar karfl›s›nda orant›l› kenarlar olmal›d›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Örnek TEST 37:

s(EDA) = s(ABC) = 90° (iç ters aç›lar)

C

s(AED) = s(ACB) = 53° (iç ters aç›lar) IADI IEDI IAEI = = yerine bilinenleri yazarsak IABI IBCI IACI x 8

=

3 6

=

1 2

4

x

37°

A

IACI2 = IABI2 + IBCI2

B E IBCI = 6 cm, IABI = 8 cm, IADI = 4 cm,

IACI2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 102

IDEI = ? cm, s(ABC) = 90°

ABC dik üçgeninde pisagor kural›n› yazarsak

IACI = 10 cm bulunur. 3 y 1 Benzerlikten = y = 10 . = 5 cm dir. 6 10 2 Veya IAEI2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 IAEI = 5 cm

ABC dik üçgeninde AC üzerinde A’dan 4 cm uzakl›kta bir D noktas› (IDAI = 4 cm) al›n›yor. ED AC olacak flekilde D’den AC’ye bir dik do¤ru çiziliyor. Dikmenin AB do¤rusunu kesti¤i E noktas›n›n D’ye uzakl›¤› kaç cm’dir? A) 3 cm B) 2,5 cm C) 3,5 cm D) 3,75 cm

Do¤ru cevap D’dir. Örnek TEST 36:

E 72°

hm

C A

6 cm

D

1 x=8. = 4 cm 2

18°

6m

72° 2m

B

IADI = 30m

D

2 m yüksekli¤indeki (IBCI= 2 m) bir duvar›n belli bir saatte gölgesinin boyu 6 m (IABI = 6 m) ölçülüyor. Ayn› saatlerde yüksekli¤i hesaplanmak istenen bir a¤ac›n gölgesinin boyu 30 m (IADI = 30 m) ölçülüyor. A¤ac›n yüksekli¤i kaç metredir? A) 8 m B) 10 m C) 11 m D) 12 m Çözüm 36:

ABC diküçgeni ile ADE diküçgeni benzerdir. Çünkü s(BAC) = 18° dar aç›lar› eflittir.

IDEI

h 30 = = 5 h = 10 m 2 6 IBCI IABI IACI olarak a¤ac›n boyunu buluruz. Do¤ru cevap B’dir. =

IADI

=

K E M A L T Ü R K E L ‹

Çözüm 37: s(EAD) = 37° lik dar aç›lar› eflit olan ABC ve ADE dik üçgenleri benzer oldu¤undan IEDI IBCI

=

IADI IABI

x 4 = 6 8

=

IAEI IACI x = 6.

4 = 3 cm bulunur. 8 Do¤ru cevap A’d›r.

Di¤er yandan pisagordan IAEI2 = 42 + 32 = 25 = 52 IAEI = 5 cm ve IEBI = IABI -- IAEI = 8 - 5 = 3 cm’dir. Yine pisagor ba¤›nt›s›ndan IACI2 = IABI2 + IBCI2 IACI2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 102 IACI = 10 cm IDCI = IACI -- IADI = 10 - 4 = 6 cm olup sorulsayd› hesaplard›k.

IAEI

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Deneyim (tecrübe): En acımasız öğretmen odur. Fakat en iyi öğretmen de odur. C. S. Lewis

93


KEMAL Türkeli

Üçgenler Örnek TEST 38 :

Çözüm 39 :

C

2 4 4 cm

D 70°

70°

E

6

=

4

IABI

8

IEDI

=

ABC

B

IDFI

=

IACI IEFI

EDF efllemesi yap›l›r.

EDF

IADI = 4 cm, IBCI = 4 cm, IABI = 8 cm,

Do¤ru cevap C’dir.

s(ADE) = s(ABC) = 70° Örnek TEST 40 :

fiekilde s(ADB) = s(ABC) = 47° IBAI = x+2, IACI = x+5, IADI = x, IDBI = 2x ise IBCI = ? cm’dir?

s(BAC) = 30° ise IEDI = ? cm dir? A) 1,5 C) 2,5

IBCI

Orant›l› kenarlar karfl›s›nda eflit aç›lar bulunaca¤›ndan s(C) = s(F), s(A) = s(E), s(B) = s(D)

x

30°

A

3

=

B) 2 D) 3

A Çözüm 38 : ABC s(BAC) = 30°

IBCI x 4

IADI

=

=

IABI 4 8

=

IAEI IACI

1 x=4. = 2 cm’dir. 2 Do¤ru cevap B’dir.

ABC’de IABI = 2 cm, IBCI = 3 cm, IACI = 4 cm DEF’de IDEI = 4 cm, IEFI = 8 cm, IDFI = 6 cm ABC ile DEF üçgenleri aras›ndaki benzerlik iliflkisi hangi seçenekte do¤ru verilmifltir? D 4

2 B

3

4 C E

B

A) 12

30°

B) 8

C) 10

C

D) 9

Çözüm 40 : s(BAD) = 180 - (30 + 47) = 180 - 77 = 103 olup ADB ABC IABI IACI x+2 x+5

}

=

=

ABC IADI IABI

=

x

ADB benzer oldu¤undan IBDI IBCI

d›r.

(x+2) (x+2) = x(x+5)

x+2

x2 + 4x + 4 = x2 + 5x 4 = 5x - 4x x = 4 cm bulunur. IBCI

F

5

30° 17°

IBDI

6 8

D

47° 2x

Örnek TEST 39 :

A

x+2

iki üçgende ortak aç›d›r.

s(ADE) = s(ABC) = 70° ikifler aç›lar› kendi aralar›nda eflit oldu¤undan üçüncü aç›lar› da eflit olacakt›r. IDEI

x

ADE üçgenleri benzerdir.

=

8 IBCI

=

x x+2

=

4 6

=

2 3

2.IBCI = 2.4.3 IBCI = 12 cm hesaplan›r.

A) ABC

DEF, s(A) = s(D)

B) ABC

FED, s(B) = s(E)

C) ABC

EDF, s(C) = s(F)

D) ABC

EFD, s(A) = s(F)

94

Do¤ru cevap A’d›r.

Dünyada yeteneksiz insan yoktur. Sadece iyi eğitilmemiş ve iyi yönlendirilmemiş insanlar vardır. Angle Peartri KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Taban çevresi = Ç = a + b + c = 5 + 4 + 3 = 12 cm’dir. Prizman›n 6 köflesi 9 ayr›t› vard›r.

GEOMETR‹K C‹S‹MLER Üçgen Prizma Üçgen dik prizman›n aç›k fleklini çizelim.

A

B

Üst Taban A 3 4

3

A

C 4

Yanal Yüzey 4 B

3

4

A

B

h=7

3 ›

C

A

Prizman›n Taban› A 4 3

5

h=7

Eflkenar üçgen prizman›n aç›n›m›n› çizelim.

A

5 A›

B›

4 C

A

4 120° = s(A0C) 4 O 4 B a=4cm C

4

O 4

B

4

h=6 h=7

4 B

C›

O

C

4

s(A›O›C›) = 120°

[BC] // [B›C›]

C h=6cm

O› IOO›I = 6 cm

A›

Alt Taban

K E M A L T Ü R K E Eflkenar üçgen prizman›n tabanlar›n›n a¤›rl›k L › ‹ merkezinden geçen. IOO I = 6 cm’lik do¤ru parças›na eksen ad› verilir. fiayet prizma bu eksen etraf›nda 120° döndürülürse, prizman›n döndürüldü¤ü Prizman›n taban›ndaki üçgen dik üçgen olduanlafl›lamayaca¤›ndan “Eflkenar üçgen dik prizma ¤undan prizmaya dik üçgen dik prizma denir. 120° lik dönme simetrisine sahiptir.” denir. Prizman›n tabanlar›n› oluflturan IABI = 3 cm, IACI = 4 cm, IBCI = 5 cm’lik do¤ru parçalar›na GEOMETR‹K C‹S‹MLER‹N YÜZEY ALANLARI taban ayr›tlar›, yan yüzlerin ara kesiti olan IAA›I = IBB ›I = ICC›I = 7 cm do¤ru parçalar›na Dik Prizmalar›n Yüzey Alanlar›n›n Hesapyanal ayr›tlar› denir. lanmas› (Surface Areas of Prisms) Ayr›tlar›n kesiflti¤i A, B, C, A›, B›, C› noktalar›na Küpün Alan›: da köfle denir. [AA›] // [BB ›] // [CC › ] Alt ve üst tabanlar› paralel olup efl üçgenlerdir. D› C› Yan yüzleri tabanlara dik ise prizmaya dik prizma; A› B› yan yüzleri tabana dik de¤ilse e¤ik prizma diye isimlendirilir. Yükseklik h = 7 cm olup tabanlar aras›ndaki C uzakl›kt›r veya tabanlardan birinin bir noktas›ndan A B di¤er tabana indirilen dikmenin uzunlu¤udur. a= 5 cm Üçgen dik prizman›n 5 yüzü vard›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

95


KEMAL Türkeli

Geometrik Cisimlerin Alan› a

Kare Prizman›n Alan› Tabanlar› karesel bölge olar dik prizman›n bir taban›n›n alan› a2 dir.

a a=5cm

a

a

a

a

a

D› A›

C› B› h≠a

D

C a

A

B

a

a=3 9

a=3

12

3 12

12

12

3

3

3

3

3

a = 5 cm olan bir küp yapmak için kaç cm2 karton gerekir? Küpün 6 yüzünün alan› eflit oldu¤undan A = 6a2 = 6.5 2 = 6.2 5 = 150 cm2 karton gerekir. Küpün taban çevresi = 4a = 4.5 = 20 cm = Ç Taban alan› = a2 = 52 = 25 cm2 Yanal alan› = Ya = Ç.h = 20. 5 = 100 cm2, h = 5 cm’dir. 2 Ya = 4a. a = 4a dir. Ya = 4 . 5 2 = 100 cm2 dir. Bütün alan›; A = Ya + 2Ta = 100 + 2 . 25 = 150 cm2 dir. A = 4a2 + 2a2 = 6 a2 = 6 . 52 = 150 cm2 küpün bütün alan›d›r. Örnek TEST 41: Bütün alan› 54 cm2 olan bir küpün tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› kaç cm’dir A) 36 cm

B) 24 cm

C) 27 cm

D) 3

2 cm

6a2 = 54 a2 = 9 = 32 a = 3 cm olup Bir küpün 12 ayr›t› oldu¤undan 12a = 12 . 3 = 36 cm’dir. Do¤ru cevap A’d›r. Çözüm 41 :

96

9

h=4cm

a

a=3 Kare dik prizman›n aç›k flekli

Kare dik prizman›n bir taban›n›n alan› Ta = a2 = 9 cm2 Yanal alan› = Ya = Ç.h = 4a.h Ya = 4(3.4) = 4.12 = 48 cm2 Kare dik prizman›n bütün alan› A = Ya + 2Ta A = 4ah + 2a2 = 2a (2h + a) = 4 . 3. 4 + 2. 3 2 = 48 + 2 . 9 = 48 + 18 A = 66 cm2 kare dik prizma yapmak için gereken kartonun alan›d›r.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Örnek TEST 43: Ayr›tlar› a = 4 cm, b= 3 cm ve c = 2 cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n bütün alan› kaç cm2 dir?

Örnek TEST 42: Taban› 3 cm olan kare dik prizman›n tüm ayr›tlar›n›n toplam› 40 cm’dir. Bu kare dik prizman›n bütün alan› kaç cm2 dir? A) 48 cm2 C) 66 cm2

A) 28 cm2 C) 26 cm2

B) 56 cm2 D) 60 cm2

Çözüm 42 :

Çözüm 43 : Prizman›n alan› A = 2(ab + ac + bc) = 2(4.3 + 4.2 + 3.2) = 2.26 = 52 cm2 dir. Do¤ru cevap D’dir.

Kare dik prizman›n 12 ayr›t› olup karfl›l›kl› ayr›tlar birbirine paralel olup uzunluklar› eflittir.

40 = 8a + 4h 4h = 40 - 8.3 = 16 h = 4 cm prizman›n yüksekli¤idir. Kare prizman›n alan› = 2a2 + 4(ah) = 2.32 + 4(3.4) A = 18 + 48 = 66 cm2 dir. Do¤ru cevap C’dir. Dikdörtgenler Prizmas›n›n Yüzey Alan› D›

C›

A›

B› D

A

B

a=3

b

ab a

b=2

c cb

ac

bc

ab

b

b

b

b

c=1 C b=2

a ac

c=1

B) 40 cm2 D) 52 cm2

Tabanlar› eflkenar üçgen (a = 4 cm) yan yüzleri dikdörtgensel bölge olan eflkenar üçgen dik prizman›n toplam alan›n› hesaplayal›m. C 4

K E M A L

4

60°

A

2

2

F

B h = 5 cm

T Ü R K E L ‹

D

E

a=3

Dikdörtgenler prizmas›n›n aç›k flekli

C

Bir kibrit kutusu veya bir oda dikdörtgenler prizmas›na birer örnektir. Odada bir duvar›n karfl›s›ndaki duvar ona paralel olup alanlar› eflittir.

30°

Yanal alan = Taban çevresi x Yükseklik = Ç . h

Ç = 2a + 2b, h = c olup Ya = 2(a+b).c = 2(3+2).1 = 10 cm2 Taban alan› = Ta = a.b = 3.2= 6 cm2 Bütün alan = Yanal alan + 2.Taban alan› A = Ya + 2Ta A = 2ac + 2bc + 2ab = 2(ab+ac+bc) KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

a=4

2

A

3

60° 2

H

2

B 97


Geometrik cisimlerin alan›

KEMAL Türkeli Düzgün Alt›gen Dik Prizman›n Alan›

Yüzey alan› = A (Üçgenin çevre uzunlu¤u x h) + 2 x (üçgen alan›) A = Ç(ABC) x h + 2 x A(ABC) Ç(ABC) = 3a = 3.4 = 12 cm, h = 5 cm 4. 2 3 = 4 3 cm2 2 A = 12.5 + 2.(4 3) = 60 + 8 3 A ⋲ 60 + 13,86 ⋲ 73,86 cm2 dir. a2 3 A = 3ah + 2 A(ABC) =

h

a

Örnek TEST 44:

a

a = 4 cm

D

Aç›k flekli a

a

A

E 10 cm 12

C

ICFI = IADI = IBEI = 10 cm c = IABI = 5 cm, IBCI = a = 12 cm

a

h=2

S B S

5. 12 Çözüm 44 : A(ABC) = = 30 cm2 2 ABC dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak; IACI2 = 5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 132 IACI = 13 cm Paralel olan yüzeyler taban oldu¤undan ABC ve DEF’leri prizman›n tabanlar›d›rlar. Taban›n çevresi = 5 + 12 + 13 = 30 cm Prizman›n bütün yüzey alan› = PYA = 30.10 + 2.30 = 300 + 60 PYA = PY.A = 360 cm 2‘dir. Do¤ru cevap C’dir.

a

a

a

a

a

8

Taban ve tavan› dik üçgensel bölge yan yüzleri dikdörtgensel bölge olan dik üçgen dik prizman›n M A yüksekli¤i 10 cm, c = 5 cm, a = 12 cm T E s(ABC) = 90° ise prizman›n bütün alan› kaç M 2 cm dir? A T 2 2 A) 270 cm B) 300 cm ‹ C) 360 cm2 D) 330 cm2 K

98

a

F

5 B

a

a

3

a

a a

a a a = 4 cm

a

a O

IOAI = 4 cm IOHI = 2 3 cm IAHI = 2 cm

a

4=a 60° a a

a

60° A

H a

Dikkat ederseniz taban› 6 efl eflkenar üçgenden oluflmaktad›r. Taban›n alan› a2 3 1 a. 3. )=6 4 2 2 3 3 2 4. 2 3 Ta = a =6( ) = 24 3 cm2 2 2 Ta = 6.(a .

Düzgün alt›gen prizman›n yanal alan› Ya = Ç.h = 6a.h = 6.4.2

3

Ya = 48 3 cm2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Örnek TEST 46:

Düzgün alt›gen prizman›n bütün alan› A = Ya + 2Ta A = 6ah + 2. 3

2

3 a2 = 6ah + 3 3 a2 = 3a (2h + 3 a)

A = 48 3 + 2(24 3) = 96 96

3 cm2 ⋲ 288 cm2

Afla¤›daki flekilde dik silindir ile kare dik prizman›n yüksekliklerinin uzunluklar› ve yanal alanlar› birbirine eflittir. Buna göre, silindirin toplam alan›n›n prizman›n toplam alan›na oran› kaçt›r? 2 1 a = 1 cm , r = , h= , π = 3 al›n›z. π π

3 cm2 yüzey alan›d›r. a

Örnek TEST 45: Taban kenar› a= 2 cm ve yüksekli¤i h = 3 cm olan düzgün alt›gen dik prizma ile ilgli hangi önerme yanl›flt›r? A) Bütün alan› 24

3 cm2 dir.

B) Yanal alan› 12

3 cm2 dir.

C) Taban alan› 6

3 cm2 dir.

a

A)

5 6

B) 1

K E Çözüm 45 : Düzgün dik alt›gen prizman›n taban M A alan›, 6 eflit eflkenar üçgenin alanlar› L toplam›na eflit oldu¤undan T 2 3 Ta = 6A = 6 . = 6 3 cm2 C do¤ru Ü 2 R K E L ‹ 30°

Çözüm 46 : Yar›çap› r, yüksekli¤i h olan silindirin yan alan› 2πrh Kare dik prizman›n yan alan› 4a.h 2πrh = 4ah πr = 2a Silindirin toplam alan› 1 4 2πrh + 2πr2 = 2.2. + 2.3. 3 9 4 8 12 2 SA = + = = 4 cm 3 3 3

a=2

3 60° 1

1

Yanal alan› = taban çevresi x yükseklik = 6a.h = 6.2. 3 Ya = 12

3 cm

2

Kare dik prizman›n toplam alan›

B do¤ru

Bütün alan = Ya + 2Ta = 12

3 + 2.6

3

= 24 3 cm 2 Tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› = 12a+6h ? = 12.2 + 6

3

= 24 + 6

3 cm

1 5

D) 3 5

C) 1

3 cm ⋲ 22,4 cm’dir.

2

h

a=1 cm

D) Tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› = 12 + 6

h

D yanl›flt›r.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

4a.h + 2a2 = 4. PA = 3

1 4 +2= +2 3 3

1 10 = cm2 3 3

SA 4 12 6 1 = = = =1 = 1,2 hesaplan›r. 10 5 5 10 PA 3 Do¤ru cevap B’dir. 99


Geometrik Cisimler

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 47:

Bir dikdörtgenler prizmas›n›n boyutlar› aras›nda ba¤›nt›s› varken tüm ayr›tlar›n›n

Çözüm 49 : IABI = a 3 = 3 3 a = 3 cm oldu¤u anlafl›l›r. 2 ? = A = 6a = 6.32 = 54 cm2 dir.

a b c = = 2 3 6 uzunluklar› toplam› 44 cm olarak veriliyor. Bu dik prizman›n bütün alan› kaç cm2 dir? A) 72 cm2 B) 36 cm2 C) 60 cm2 D) 90 cm2 Çözüm 47 :

Do¤ru cevap A’d›r. Özel Geometrik Cisimlerden Prizman›n Hacminin Hesab›

a b c = = 2 3 6

Dik Prizmalar›n Hacminin Hesab›; Kenarlar› 1 cm olan 8 küpten bir kenar› 2 cm olan bir küp olufltural›m. Küpün hacmi 8 cm3 tür.

3a = 2b = c = 6k ise a = 2k, b = 3k, c = 6k alal›m. 44 = 4(a + b + c) oldu¤undan 11 = 2k + 3k +6k 11k = 11 k=1 a = 2 cm, b = 3 cm, c = 6 cm oldu¤u anlafl›l›r. A = 2(ab + ac + bc) = 2(2.3 + 2.6 +3.6) = 2.36 A = 72 cm2 hesaplan›r. Do¤ru cevap A’d›r.

1 cm 1 cm 1 cm2 1 cm

1 cm

S Taban›n›n bir kenar› 6 cm B S Küpün taban›, yüzey alan› 1 cm2 olan 4 kareden ve ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› 76 cm olan kare dik prizman›n bütün alan› oluflmaktad›r. Taban alan› = 2 x 2 = 4 cm2 kaç cm2 dir? 2 2 A) 168 cm B) 240 cm 2 M C) 198 cm D) 276 cm2 A T E Çözüm 48 : 76 = 8.6 + 4.h M 4h = 76 - 48 = 28 A T h = 7 cm prizman›n yüksekli¤idir. ‹ 2 2 A = 2a + 4a.h = 2.6 + 4.6.7 K = 72 + 168 = 240 cm2 Örnek TEST 48:

8

Do¤ru cevap B’dir. Örnek TEST 49:

B

A fiekildeki küpün [AB] cisim köflegeninin uzunlu¤u 3 3 cm ise bütün alan› kaç cm2 dir? A) 54 cm2 B) 45 cm2 2 C) 36 cm D) 63 cm2

100

Küpün hacmi = Taban alan› x Yükseklik = (2 x 2) x 2 = 4 x 2 = 8 cm3 Genellefltirirsek bu küpe taban› kare fleklinde olan yan ayr›t› tabana dik durumda oldu¤undan “Dik kare prizma”n›n özel bir durumu olarak düflünebiliriz. Küpün Hacmi = a x a x a = a2 x a = a3 tür. a = 3 bir kenar›n›n ayr›t› 3 cm olan bir küp oluflturmak için 3.3.3 = 9.3 = 27 adet küp fleker kullanmam›z gerekir. Küpün hacmi 27 cm3 tür. a = 4 cm olan bir küp yapmak için 4.4.4 = 16.4 = 64 adet küp kullanmam›z gerekecektir. Küpün hacmi 64 cm3 tür. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Genel olarak herhangi bir Dik prizman›n hacmi = Taban alan› x Yükseklik ba¤›nt›s› ile hesaplan›r. 2 2

Kare Dik Prizman›n hacmi h = 3 cm

Bütün yüzleri dikdörtgensel bölgelerden oluflan dik prizmaya dikdörtgenler prizmas› denir. V = a.b.c = taban alan› x yükseklik V = (4.3).2 = 12 (cm2) . 2 (cm) = 24 cm3 tür. a = 2 cm a = 2 cm

K E M A L

Üçgen Prizman›n Hacmi Taban yüzü önde olacak flekilde bir ikizkenar üçgen prizmay› yüzlerinden biri üzerinde çizdim. D

A

T Ü R K E L ‹

5 4 cm B

V = 2.2.3 = 4.3 = 12 cm3 tür. Prizmalar tabanlar›n›n flekline göre isimlendirilir. Dikdörtgenler Prizmas›n›n Hacmi Ayr›t uzunluklar› a = 2 cm, b = 3 cm, c= 4 cm olan dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi a.b.c ile hesaplan›r.

E

5 cm

3

6 cm C

3

‹çinde yat›lan bir bez çad›r›n benzeridir. Veya baton bir pastaya benzetebiliriz. Üçgen prizman›n hacmi = Taban alan› x Yükseklik

6.4 x 6 = 12 x 6 2 V = 72 cm3 tür. =

c = 2 cm . .

b = 3 cm

a = 4 cm KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

101


Geometrik Cisimler

KEMAL Türkeli Eflkenar dörtgen dik prizman›n hacmi:

Baton Pasta A

4

5

4 cm h=2

3

60° B

2

4

h = 6 cm

5 cm

5

C

2

3 4

3

taban 5

Prizman›n taban›

Eflkenar üçgen prizman›n hacmi:

Ta =

4.2 3 = 4 3 cm2 2 V = Ta.h = 4 3.6 = 24 3 cm3 ⋲ 41,57 cm3

6.8 = 24 cm2 2

Ta =

A

5 cm h = 7 cm B

C

a = 3 cm

Prizman›n taban›

Eflkenar dörtgen prizman›n hacmi = V = Ta.h V = 24.10 = 240 cm3

Dik üçgen prizman›n hacmi;

Paralelkenar dik prizman›n hacmi:

3.4 Ta = = 6 cm2 2 V = Ta.h = 6.7 = 42 cm3

7 cm 5

Tembel insan yoktur. Sadece kendine esin kaynağı oluşturacak kadar güçlü amaçları olmayan insanlar vardır. Anthony Robbins 102

4 cm h = 10 cm 3

4 cm

Ta = 7.4 = 28 cm2 V = Ta . h = 28.10 = 280 cm3 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Dik düzgün alt›gen prizman›n hacmi:

2

2

2 2

2

2

3

1 a=2

(

Taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a= 4 cm, yan ayr›tlar›ndan biri h = 5 3 cm olan düzgün alt›gen dik prizma ile ilgili verilen önermelerden biri yanl›flt›r. Yanl›fl olan hangi seçenektedir? A) V(hacmi) = 360 cm3 B) Bir taban›n›n alan› = 24 3 cm2 C) Tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› = 48 +30 3 cm D) Bir taban›n›n çevresi = 8+10

2

60°

V=6

Örnek TEST 50:

1

h = 10 cm prizman›n taban›

)

3 2 a .h 4

Çözüm 50 : Düzgün alt›gen dik prizman›n taban› a = 4 cm olan 6 eflkenar üçgenden olufltu¤undan

(

3 cm’dir. 4

4

4 60°

4

)

4 4.2 3 2 3 2 4 = 24 3 cm Düzgün alt›gen dik prizman›n taban alan›, 6 tane Ta = 6 2 2 2 olup efl eflkenar üçgenin alan›na eflittir. Prizman›n hacmi K 2. 3 V = 24 3 . 5 3 = 360 cm3 dir. 2 Ta = 6 = 6 3 cm E 2 Tabanlardaki ayr›tlar›n uzunluklar› toplam› M A 12. 4 = 48 cm L V = Ta.h = 6 3 .10 = 60 3 cm3 ⋲ 104 cm3 6 yan ayr›t›n›n uzunluklar› toplam› 30 3 cm Genel ba¤›nt› alt›genin bir ayr›t› a ise 18 ayr›t›n›n uzunluklar› toplam› T Ü 48 + 30 3 ⋲ 100 cm’dir. 3 Ta = 6 (a. a. 3 . 1 ) = a2. 3 R 2 Bir taban›n›n çevresi = 6a = 6.4=24 cm’dir. 2 2 K E 3 Do¤ru cevap D’dir. V= . 3.a2h Hacmi L 2 ‹ h: Prizman›n yüksekli¤i

(

)

Örnek TEST 51:

Yamuk dik prizman›n ayr›tlar› afla¤›daki flekilde verilmifltir.

Düzgün Alt›gen Dik Prizman›n Özellikleri • Toplam 8 yüzü vard›r. Birbirine paralel olan alt ve üst tabanlar› düzgün alt›gensel bölge, yan yüzleri birbirine efl 6 dikdörtgensel bölgelerden oluflur. • 18 ayr›t› vard›r. Taban ayr›tlar›n›n uzunluklar› birbirine eflittir. Yan ayr›tlar› 6 tane olup uzunluklar› birbirine eflittir. Yan ayr›tlar› ayn› zamanda prizman›n yükseklikleridir. • 12 köflesi bulunur. Bir taban›n›n çevresi Ç = 6a’ya eflittir.

D›

D

3

5 cm

4 cm

A

Önce biz alışkanlıklarımızı oluştururuz, sonra da alışkanlıklarımız bizi oluşturur. John Dryden KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

C

8 cm

H

2 cm

C›

B›

5 cm

B

IABI = 2 cm, ICDI = 8 cm, IAHI = 4 cm IBB›I = 15 cm (Prizman›n yüksekli¤i) IADI = IBCI = 5 cm Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? 103


Geometrik Cisimlerin Hacmi

KEMAL Türkeli

A) Prizman›n taban alan› = 20 cm2 dir. B) Yamuk dik prizman›n taban›n›n çevresi Ç = 20 cm C) Prizman›n hacmi = V = 150 cm3 D) Tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› = 100 cm Çözüm 51 :

Örnek TEST 53: D› c

A(ABCD) = 5.4 = 20 cm2 Prizman›n hacmi = V = Ta.h = 20.15 = 300 cm3 Taban›n çevresi = 2 + 5 + 8 + 5 = 20 cm Prizman›n tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› 2 x Taban çevresi + 4.h = 2.20 + 4.15 = 40 + 60 = 100 cm’dir. Do¤ru cevap C’dir.

Örnek TEST 52:

c = 8 cm

b = 10 cm

Çözüm 52 : 2 L = 2000 cm3 = 2 dm3 oldu¤undan 2000 = Ta . 8 Ta = 250 cm2 Ta = ab 250 = 10a a = 25 cm hesaplan›r. Do¤ru cevap C’dir.

Alışkanlık hizmetkarların en iyisi, efendilerin en kötüsüdür. Nathaniel Emmons 104

36 cm2

C

c

a A B ab = 36 cm2, bc = 24 cm2 Bir fabrikada herhangi iki yüzünün alanlar› 36 cm2 ve 24 cm2 olan dikdörtgenler prizmas› fleklinde kutular üretildi¤i bilgisi veriliyor. Bu bilgiden yola ç›karak kutular›n ayr›tlar›n›n uzunluklar› santimetre cinsinden ve birer do¤al say› olacak flekilde kaç farkl› hacimde kutu üretilmekte oldu¤unu ve hacmi en büyük dikdörtgenler prizmas›n›n hacminin kaç cm3 olaca¤›n› bulunuz? A) 4 farkl› kutu, 432 cm3 B) 6 farkl› prizma kutu, 864 cm3 C) 6 farkl› kutu, 72 cm3 D) 4 farkl› prizma kutu, 288 cm3 ab = 36 cm2, bc = 24 cm2 ise ortak ayr›t b’nin olabilece¤i de¤erler 24 ve 36’n›n ortak bölenleri kümesinin elemanlar›d›r. Çözüm 53 :

24 12 6 2

a = ? cm Dikdörtgenler prizmas› fleklindeki akvaryum içinde 2L (litre) su vard›r. Bu akvaryumdaki suyun yüksekli¤i 8 cm ve taban ayr›tlar›ndan bir 10 cm’dir. Bilinmeyen taban ayr›t› kaç cm’dir? A) 20 cm B) 22 cm C) 25 cm D) 30 cm

24 cm2

D

b

a+c . 2+8 . h= 4 2 2

b

B›

A›

‹kizkenar yamuk dik prizman›n birbirine paralel olan tabanlar›n-

dan birinin alan› A(ABCD) =

C›

36 18 9 3

2 2 3

1 1 2 4

1 2 4

3 3 6 12

b ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12} olabilir. b

a

c

1 2 3 4 6 12

36 18 12 9 6 3

24 12 8 6 4 2

V 864 cm3 432 cm3 288 cm3 216 cm3 144 cm3 72 cm3

En büyük hacimli prizma

En küçük hacimli prizma

Verilen eksik bilgiden yola ç›karak verilen koflullara uygun 6 farkl› hacimde kutu üretiliyor olabilece¤inin ve üretilmekte olan en büyük hacimli prizman›n hacminin 864 cm3 olabilece¤ini ak›l yürüterek verilenlerden ç›karm›fl olduk. En küçük prizma kutunun hacminin en büyü¤ünün 12’de biri olaca¤›na dikkat ediniz. Do¤ru cevap B’dir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K A) Hiçbir yüzü boyal› olmayan küplerin say›s› 12’dir. Taban alanlar› farkl› (1 cm 2 dahil) 6 prizma oluflturulabilir.

Örnek TEST 54:

Bir ayr›t› 8 cm olan küp flek1 lindeki bir kab›n i bofl 4 gerisi su ile doludur. Küpteki tüm su taban ayr›t uzunluklar› 12 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizmas› fleklinde bir kaba boflalt›l›yor. Prizman›n yüksekli¤i suyun taflmayaca¤› kadar yüksekse gözlenen suyun yüksekli¤i kaç cm olur? Suyun kendine özgü bir flekli olmad›¤›na içinde bulundu¤u prizman›n fleklini alaca¤›na dikkat ediniz. A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6 cm

B) Hiçbir yüzü boyal› olmayan küplerin say›s› 16’d›r. Taban alanlar› farkl› (1 cm2 dahil) 5 prizma oluflturulabilir. C) Hiçbir yüzü boyal› olmayan küplerin say›s› 12’dir. Taban alanlar› farkl› (1 cm2 dahil) 4 prizma oluflturulabilir. D) Hiçbir yüzü boyal› olmayan 8 küp vard›r. Taban alanlar› farkl› (1 cm 2 dahil) 6 prizma oluflturulabilir.

Çözüm 54 :

Küpteki suyun yüksekli¤i 4 1 3 3 = 8. = 6 cm 4 4 4 4 suyun yüksekli¤idir. Suyun hacmi 8.8.6 = 64.6 = 384 cm3 su vard›r.

Ta = 12.8 = 96 cm2 h

Çözüm 55 :

K E M A L

384 = Ta.h 384 = 96.h h = 4 cm suyun yüksekli¤idir. T Do¤ru cevap B’dir. Ü R K E L Örnek TEST 55: ‹

12 6 3 1

2 2 3

Hiçbir yüzü boyal› olmayan 4 x 3 = 12 küp vard›r ve hacimleri 12 cm3’tür. 12 = 22.31

1 2 4

1 1 2 4

3 3 6 12

(2 + 1)(1 + 1) = 3.2 = 6 farkl› taban olabilir. Do¤ru cevap A’d›r. Prizmalar›n tabanlar› = {1, 2, 3, 4, 6, 12 cm2} olabilir.

Örnek TEST 56:

D

A

60°

3

F

B

Ayn› büyüklükteki 64 tane küçük küpten oluflturulan flekildeki küpün ön yüzü hariç geri kalan 5 yüzü (taban› dahil) boyan›yor. Hiçbir yüzü boyal› olmayan küpler kaç tanedir? Sizce hiçbir boyal› yüzü olmayan bu küplerle taban alan› farkl› kaç dikdörtgenler prizmas› oluflturulabilir. Küplerin hacmini 1 cm3, ayr›t›n› da 1 cm al›n›z. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

60° C

fiekli verilen dik üçgen dik prizman›n taban›ndaki IABI = 3 cm s(ACB) = s(AFD) = 60° ‘dir. Dik üçgen prizman›n hacmi kaç cm3’tür?

3 cm3

A) C)

9 2

3 cm3

B) 3

3 cm3

D) 9

3 cm3 105


Geometrik Cisimlerin Hacimleri Çözüm 56 :

KEMAL Türkeli

D 6

A

2 30°

60°

4 2

3=

3.

3

3

3 60°

3 E

F

60°

B

C

3

Yan CF ayr›t› ABC taban›na dik oldu¤undan s(ACF) = 90° olup ABC taban› DEF üçgen tabanlar› paralel oldu¤undan s(CAF) = s(AFD) = 60° (iç ters aç›lar eflit oldu¤undan) 3 tan(ACB) = IBCI = 3 tan 60 = 3 3 3 . IBCI = = 3 cm bulunur. 3 3 IBCI 1 cos (ACB) = cos 60 = IACI 2 3 1 IACI = 2 3 cm 2 = IACI (30°, 60°, 90°)

ACF de IACI = 2

3 cm

ICFI = 3 .IACI = 3 . .2 = 6 cm’dir. V = Hacim = Taban alan› x yükseklik V=

3.

3

2 prizman›n hacmidir.

x6=9

3 cm3

Örnek TEST 57: D›

C›

A›

B› C

D

A

12 cm

B

fiekildeki dikdörtgenler prizmas›n›n hacmi 240 cm3, yüksekli¤i 5 cm, uzunlu¤u IABI = 12 cm verildi¤inde taral› olarak gösterilen bölgenin alan› kaç cm2’dir? A) 52 cm2 B) 39 cm2 C) 45, cm2 D) 65 cm2 106

D›

A›

C›

c = 18 cm

B›

C

b = 12 cm A

a = 24

B

Ayr›tlar› a = 24 cm, b = 12 cm, c = 18 cm olan dikdörtgenler prizmas› fleklinde bir kutunun içerisine, kutuyu tam dolduracak flekilde küp fleklinde en az say›da küpler yerlefltirmek istiyoruz Afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r? A) En az 24 küp ile prizma tam doldurulabilir. B) Küplerin bir ayr›t› 6 cm’dir. C) Küplerin hacimi 64 cm3’tür. D) a,b ve c’nin EBOB’u 6 cm’dir. Çözüm 58:

Do¤ru cevap D’dir.

h=5

Çözüm 57 : Dik prizmn›n hacmi = taban alan› x yükseklik V = 240 = Ta.5 Ta = 48 cm2 IABI . IBCI = 48 IABI = 12 cm bilindi¤inden 12.IBCI = 48 IBCI = 4 cm’dir. AA›B dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak IA›BI2 = IAA›I2 + IABI2 IA›BI2 = 52 + 122 IA›BI2 = 25 + 144 = 169 = 132 IA›BI = 13 cm hesaplan›r. Taral› bölgenin alan›= IA›BI.IBCI=13.4=52 cm2dir. Do¤ru cevap A’d›r. Örnek TEST 58:

Kutunun içine yerlefltirilecek küp fleklindeki kutular›n bir ayr›t› 2.3 = 6 cm (EBOB) oldu¤unda en az say›da kutu ile prizmay› tam doldurabiliriz. 24 18 12 2 12 9 6 3 4 3 2 24 . 18 . 12 = 4.3.2 = 24 tane ayr›t› 6 cm 6 6 6 olan küplerle prizmay› tam doldurabiliriz. Do¤ru cevap C’dir. Bir küpün hacmi = 6.6.6 = 216 cm3 tür. Örnek TEST 59:

Ayr›tlar› a = 24 cm, b = 12 cm ve c = 18 cm olan dikdörtgenler prizmas› fleklindeki karton kutular›n en az kaç tanesi ile bir küp oluflturulabilir? Küpün bir ayr›t› kaç cm’dir? KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

A) Küpün bir ayr›t› 18 cm olup 72 gerekir. B) Küpün bir ayr›t› 72 cm olup 72 gerekir. C) Küpün bir ayr›t› 48 cm olup 24 gerekir. D) Küpün bir ayr›t› 72 cm olup 36 gerekir.

adet prizma

P‹RAM‹T

adet prizma

M›s›rdaki tarihi eserler piramide benzer. Kare dik piramit ve aç›k flekli

adet prizma

T

Tepe

C

C 53°

adet prizma

12

2

7

37°

E 8

6

74°

D

8

B

C

12

12 E 6

12

6 H

E

6 6

A

12

Yanal yüz yüksekli¤i 6

D

Çözüm 59 :

Prizma fleklindeki kutular›n birlefltirilmesi ile oluflturulacak küpün bir ayr›t› prizma ayr›tlar›n›n EKOK’d›r. 24 18 12 2 12 9 6 3 4 3 2 2 2 3 1 2 1 3 1 3 1 1 1

T

10

6

B

ITHI = h = 2 7 ⋲ 5,3 cm (T,ABCD) piramiti

A

H 12

C

Taban 12 D

2.2.2.3.3 = 8.9 = 72 cm küpün bir ayr›t› olacakt›r. küpün hacmi 72.72.72 ?= = K prizman›n hacmi 24.18.12 E = 3.4.6 = 12.6 = 72 tane prizma gerekir. M Do¤ru cevap B’dir. A L Örnek TEST 60:

T Ü R Piramidin cisim yüksekli¤i taban merkezi H’dan K A› E geçti¤inden dik piramit olarak isimlendirilir. B› L ITHI = 2 7 cm ‹ C ITEI = 8 cm yanal yüzeylerinden birinin yüksekli¤idir. A B IABI = IBCI = ICDI = IDAI = 12 cm taban fiekildeki küpte yüzey köflegeni ayr›t›d›r. IB›D›I = 18 ise hangi önerme yanl›flt›r? TBC, TAB, TCD, TAD yanal yüzeyleridir. ‹kizkenar 3 A) Küpün hacmi 27 cm ’tür. üçgendirler. ABCD dörtgensel bölgesi bir kare olup piramidin B) Küpün cisim köflegeni 3 3 cm’dir. taban›d›r. C) Küpün ayr›tlar›n›n toplam› 24 cm’dir. ITAI = ITBI = ITCI = ITDI = 10 cm yanal ayr›t D) 8 köflesi vard›r. uzunlu¤udur. Piramitler, taban›n› oluflturan çokgene göre Çözüm 60 : Küpün yüzey köflegeni adland›r›l›r. a 2 = 18 Üçgen piramit, Dörtgen piramit, Düzgün alt›gen piramit. 18 18 = 9 = 3 cm olup hacmi a= = Taban› düzgün çokgen (eflkenar üçgen, kare, 2 2 3 beflgen, at›gen) olan yüksekli¤i de taban›n merV =KEMAL 3.3.3 = 27 cm ’tür. Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK kezinden geçen piramide düzgün piramit denir. Cisim köflegeni = a 3 = 3 3 cm’dir. Yanal yüzlerin tepe noktas›n›n ortak oldu¤una 12 ayr›t›n›n uzunluklar› toplam› = 12.3 = 36 cm dikkat ediniz. Do¤ru cevap C’dir. D›

C›

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

107


Koni, Küre

KEMAL Türkeli

Dik Koni (Dönel Koni, Cone) Huni, dondurma külah› koniye benzer. Koniye benzeyen çad›rlar da vard›r. T

Tepe

TOB dik üçgensel bölgenin TO dik kenar› etraf›nda 360° döndürülmesiyle oluflan cisim oldu¤unu hayal ediniz. Koninin taban yüzeyi bir dairedir. Koninin yanal yüzü bir daire dilimidir.

a=10 cm

h=8 cm

Küre (Sphere)

h2 + r2 = a2 B

O

ITOI = h = 8 cm

Uzayda sabit bir O noktas›ndan r = 10 cm uzakl›ktaki noktalar kümesinin oluflturdu¤u flekle küre ad› verilir. O noktas›na kürenin merkezi, üzerindeki herhangi bir A noktas›n›n O’ya uzakl›¤›na IAOI = r = 10 cm yar›çap ad› verilir. Kürenin merkezi O noktas›ndan geçen herhangi bir düzlemle küre yüzeyinin ortak noktalar›na (ara kesit) büyük çember ad› verilir. Çap = 2r = 2.10 = 20 cm olup kürenin çap uzunlu¤udur.

A

r=6 cm

cisim yüksekli¤i

M

A

B

Koninin aç›l›m› T a = 10 cm

O

r = 10 cm

A

Ekvator’a benzer = Büyük çember

A

α = 216° Daire Dilimi Yanal Alan› oluflturur. B O r = 6 cm Taban Alan›

O Kürenin merkezi IOAI = r = 10 cm = Yar›çap IABI = 2r = 20 cm = Çap Topa benzetirsek topa dokundu¤umuz noktalar›na yüzeyi denir (O,r) = (O,10 cm) kürenin büyük çemberi

T noktas›ndan taban düzlemine inilen dik, taban›n merkezi O’dan geçiyorsa dik koni, geçmiyorsa e¤ik koni diye adland›r›l›r. Tabandaki çemberin çevresi üzerinde al›nan her noktan›n tepe noktas›na uzakl›¤›na ana do¤ru parças› uzunlu¤u denir. a = 10 cm uzunlu¤udur. Tepe noktas›ndan geçen ve çembere dayanan ITAI do¤rusunun hareket ettirilmesiyle uzayda süpürdü¤ü noktalara yanal yüzey denir. Koniler TO ekseni etraf›nda döndürülürse görünüflleri de¤iflmeyece¤inden dönme simetrisine sahiptirler denir. Yüksekli¤i simetri eksenidir. 108

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


8 SBS TEST Sorular›

ÜN‹TE 4

Do¤ru cevaplar›, aç›klamal› çözümleri 199. sayfadad›r.

1. Bir postac› bir apartmandaki 4 farkl› daireye ait 4 farkl› mektubu dairelerin posta kutular›na rastgele birer birer da¤›t›yor. Bu postac›n›n, mektuplar›n dördünü de do¤ru adreslerine da¤›tmas›n›n olas›l›¤› nedir? A) 1 6

B) 1 24

C) 4!

D) 1 12

7 ! x = 1 eflitli¤inin do¤ru olabilmesi için 9 ! y x ile y aras›ndaki ba¤›nt› hangisi olmal›d›r? 2.

A) x = 9y B) x = 8y C) x = 72y D) 9x = 8y

B) 24

C) 12

D) 36

4. A = {2, 9, 6, 7, 8} kümesinin elemanlar›n› birer kez kullanarak 4 basamakl› ve 2 ile tam bölünebilen kaç do¤al say› yaz›labilir? A) 72

B) 24

C) 553

D) 625

5. DEN‹Z kelimesindeki harfleri bir kez kullanarak sonu N ile biten anlaml› ya da anlams›z 4 harften oluflan kaç kelime yazabilirsiniz? (Yazaca¤›n›z 4 harfli kelimelerde her harf yaln›z bir kez kullan›lacakt›r.) A) 64

B) 125

C) 40

D) 24

6. n eleman›n›n r’li (r ≤ n) kombinasyonlar›n›n say›s› C(n,r) ile gösterilir. Buna göre verilen eflitliklerden hangisi do¤rudur? A) 3.C(6,4)= 4.C(6,3) C) C(6,4)= 2.C(6,2)

B) C(6,3)= 2.C(6,4) D) 2.C(6,4)= C(6,3)

7. C kombinasyonu gösterdi¤ine göre C(9,0) say›s› hangisine eflittir? A) 0

A) 15

B) 10

C) 6

D) 9

9. 3’ü k›z ve 2’si erkek 5 ö¤renci bir s›rada oturarak an› olsun diye foto¤raf çektirmek istiyorlar. K›zlar bir tarafta (birarada) erkekler di¤er tarafta birarada olacak flekilde kaç de¤iflik biçimde oturabilirler? A) 12

B) 24

C) 5 !

D) 48

10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} elemanl› bir kümeden 3 elemanl› alt kümeler oluflturmak istiyoruz. Kümenin elemanlar›ndan birisinin 5 olmas›n› istersek kaç tane üç elemanl› küme oluflturabiliriz?

3. A = {1, 3, 5, 7, 9, 2} kümesinin elemanlar›n› birer kez kullanarak oluflturulacak 4 basamakl› say›lardan kaç› çift say›d›r? A) 60

8. Bir düzlemde herhangi üçü bir do¤ru üzerinde olmayan 6 noktadan kaç do¤ru geçer?

B) 9

C) 8 !

D) 1

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

A) 21

B) 20

C) 15

D) 35

4 x - 1 = 0 denkleminin çözüm küx + 1 2 mesi hangisidir? 11.

A) {-3, 3} C) {-2

B) {1, -1}

2,2

2}

D) {-7

-1 = -5 ise x kaçt›r? 2 1x 3 3 2 5 A) B) C) 5 3 6

7,

7}

12.

13.

A

15 km/saat

D)

6 5

B

x km/saat Bir bisekletli A noktas›ndan B noktas›na 15 km/saat ortalama h›zla gidip x km/saat ortalama h›z› ile geri dönüyor. Gidifl dönüflte ortalama h›z› saatte 12 km ise dönüfl h›z› saatte kaç km’dir? 21 A) 10 B) 9 C) 11 D) 2 2 x+2 = 0 denklemini sa¤layan x + 2 8 x’lerin oluflturdu¤u çözüm kümesinin elemanlar›n›n çarp›m› kaçt›r? (x gerçek say›d›r.) A) -16 B) 12 C) -12 D) -4 14.

109


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

3x + 2y = -1 20 Denklem sistemini sa¤la+ 4y = x 3 yan x ve y say›lar›n›n çarp›m› olan xy = ? kaçt›r? 4 2 A) 1 B) -1 C) D) 9 3 15.

16. 1 (x - 4y) = -1 5 Denklem sisteminin çö1 (x + 2y) = 2 züm kümesi hangi seçenektedir? A) C)

2, 3 4 -2 , 3 2

B) D)

-1 , 3 4 -2 , 3 4

B) 270

C) 375

A) 35

B) 56

5x 15 1 = 3x - 9 3x - 9 3 züm kümesi hangisidir? B) {5}

23.

A

E

D) 42

2a + 3 4a - 5 6 = denkleminin çözüm 6 10 5 kümesinin eleman› a afla¤›dakilerden hangisidir? 19.

13 5

B) -3

C) 3

F

D)

G

B

C

12 cm

ABC bir üçgen [DF] // [EG] // [BC] IADI = IDEI = IEBI, IBCI = 12 cm Verilen flekilde IGEI = x x kaç cm’dir? A) 4

A)

D) { }

D) 95

2 kat›na eflit ise annenin flimdiki y›fl kaçt›r? C) 40

denkleminin çö-

C) {1}

D

(Elif, Onur) yafllar› toplam›n›n 3 kat›na eflitti. Annenin flimdiki yafl›, çocuklar›n›n flimdiki yafllar› toplam›n›n B) 36

D) 120

ÜÇGENLERDE ÖLÇME, GEOMETR‹K C‹S‹MLER‹N HAC‹M VE YÜZEY ALANLARI

18. 4 y›l önce bir annenin yafl›, iki çocu¤unun

A) 20

C) 63

22.

A) {3}

17. Bir okulda SBS’ye giren 645 ö¤renciden, 3 5 erkeklerin ‘i, k›zlar›n ‘s›na eflit ise, bu okulda 5 6 ki k›z ö¤rencilerin say›s› erkek ö¤rencilerden ne kadar azd›r? A) 105

21. Bikem ö¤retmen, yapt›¤› bir yaz›l› s›nav›nda 10 soru sorar. 1. ve 2. soruyu herkesin cevapland›rmas›n› ve toplam 7 soruyu do¤ru çözene 100 puan verece¤ini söyler. Matematik yaz›l›s›nda bu kurala göre 7 soruyu bir ö¤renci kaç farkl› flekilde seçip yan›tlayabilir?

B) 3

C) 2

D) 1 cm

A

24.

11 2

AB//EF//DC 12

20. Bir çocuk park›nda 3 veya 5 çocu¤un oturabilece¤i toplam 20 adet s›ra (bank) vard›r. 74 çocuk bunlarda oturdu¤una göre hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? (S›ralarda bütün yerler doludur.) A) 13 s›ra 3 kifliliktir. B) 39 ö¤renci 3 kiflilik s›ralarda oturmaktad›r. C) 5 kiflilik s›ralar›n say›s› 3 kiflilikten 6 tane daha azd›r. D) 6 s›ra 5 kifliliktir.

110

D

E y

B x

F

4 3

C

IABI = 12 cm, ICDI = 4 cm, IFCI = 3 cm IBFI = x, IEFI = y Verilen bilgiye göre x - y fark› kaç cm’dir? A) 9 cm

B) 3 cm

C) 12 cm

D) 6 cm

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


KEMAL Türkeli

4. Ünite Testi 25.

C

D

27.

C 13

8 cm

F

A 3

A

4 cm

B

6 cm

E

D

4

E

x

B

fiekilde s(ABC) = 90° E ve F noktalar› ABCD dikdörtgeninin kenarlar› üzerindedir. IAEI = 4 cm, IEBI = 6 cm, IBCI = 8 cm ve s(FEC) = 90° oldu¤una göre IFCI = ? kaç cm’dir? A) 11 cm

B) 5

5 cm

C) 5

D) 2

29 cm cm

3 cm

IADI = 3 cm, IBDI = 4 cm IACI = 13 cm ise IBEI = x cm = ? s(ABD) = s(BEC) = 90°’dir B) 7 1 cm 5 D) 6 cm

A) 9,6 cm C) 8 cm

A

26.

28. Bir dikdörtgenin çevre uzunlu¤u 14 cm, köflegen uzunlu¤u 5 cm ise alan› kaç cm2 ’dir? A) 6 cm2 B) 15 cm2 C) 10 cm2 D) 12 cm2

5

D

A

29. 5

E

13

B

B

12 5

O

F

5

C

C

6

s(ABC) = s(ADE) = 90° IADI = IDCI = 5 cm

E

IBCI = 6 cm ise IDEI kac cm’dir? A) 3,75 cm C) 20 cm 3

16 cm 3 D) 25 cm 4 B)

D

fiekilde [AB] // [CD] ve IADI IBCI IEOI = IEDI ve IFOI = IFCI = 5 cm veriliyor. Hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? A) IEOI = IEDI = 12 cm’dir. B) ICDI = 26 cm

Başarının sırrı işini tatile çevirmektir. Mark Twin KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

C) IEFI = 12 cm D) IOBI = 5 cm 111


4. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

30. Hangi seçenekteki ifade yanl›flt›r?

33. A

A) Üç aç›s› karfl›l›kl› eflit olan iki üçgen benzerdir. B) ‹ki aç›s› ile bunlardan birinin karfl›s›ndaki kenarlar› orant›l› olan iki üçgen benzerdirler.

12 cm C

B

C) Benzer iki üçgenin çevre uzunluklar› oran› benzerlik oranlar›na eflittir. D) Benzer iki üçgenin alanlar›n›n oran› benzerlik oranlar›na eflittir.

31.

A›

A C›

b

c

h = 10 cm

B

a

C

20 katl› bir apartman›n girifl merdivenlerinin yan›na eflya tafl›nmas› veya acil durumda sakinlerinin hastaneye kolayca tafl›nabilmesi için üçgen dik prizma fleklinde bir rampa yap›lm›flt›r. Tabanlar›ndan birinin çevresi 30 dm ve bir taban alan› 30 dm2 dir. Üçgen prizman›n yüksekli¤i 10 dm’dir. Hangi seçenekteki bilgiye eriflemeyiz?

D

E

F

fiekildeki prizman›n taban› bir diküçgen olup dik kenarlar›ndan birinin uzunlu¤u 12 cm’dir. IACI = 12 cm, IEFI = 15 cm Üçgen prizman›n yüksekli¤i ICFI = h = 5 cm’dir. Seçeneklerdeki hangi ifade yanl›flt›r? A) Üçgen dik prizman›n hacmi 270 cm3’tür B) Yüzey alan› 1,8 dm2’dir. C) Yanal yüzünün alan› bir taban›ndan 126 cm2 büyüktür. D) Ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› 87 cm’dir.

34.

A 20

15

A) Yanal yüzünün alan› 3m2 ’dir. B) Üçgen prizman›n hacmi 300 000 cm3’tür

15 cm

B

C 9

H

C) Üçgen prizman›n yüzey alan› 36 000 cm2’dir. D) Üçgen prizman›n ay›rt say›s› köfle say›s›ndan iki fazlad›r. Taban

32. Hangi seçenekteki ifade yanl›flt›r? A) Dik koniler, eksen etraf›nda döndürülürlerse dönme simetrisine sahiptirler. B) Bir koninin bir köflesi ve bir taban› vard›r. C) Bir koninin merkezinden geçen herhangi bir düzlemle küre yüzeyinin ara kesitine büyük çember ad› verilir. Oluflan dairenin çap› r uzunlu¤undad›r. (Kürenin yar›çap› r uzunlu¤undad›r.) D) Kürenin temel elemanlar› merkezi, yar›çap›n›n

Melisa, üçgen prizma fleklinde karton bir kutu yapmak için kartona yandaki aç›n›m›n› çiziyor. Hangi seçenekteki ifade bu üçgen prizma için do¤ru olmayacakt›r? Yükseklik = 15 cm A) Melisa prizmay› oluflturmak için en az 1250 cm2 karton kullanm›flt›r. B) Prizman›n hacmi 2,25 dm3’tür. C) Bir taban›n alan› 150 cm2’dir. D) Tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› = 165 cm’dir.

uzunlu¤u ve topa benzeyen yüzeyidir.

112

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


KEMAL Türkeli

4. Ünite Testi T

35. x

B

13 C

D

H

3. Doğrusal denklem sistemlerini çözebildiğimi bir örnekle gösterebilirim. Yok etme yöntemi 2x - 3y = 3 2x - 3y = 3 x - y = 4 -3x + 3y = -12 -x = - 9 x=9 x - y = 4 9 - y = 4 y = 5 Ç = {(x,y)} = {(9,5)} yerine koyma: y = x - 4 2x - 3(x - 4) = 3 2x - 3x + 12 = 3 x = 9 bulurum. 3 ile 4’ün EKOK’ı, 12’ye eşitleyebilirim. 8x - 12y = 12 = 3x - 3y 5x = 9y x = 9k, y = 5k seçersem 9k - 5k = 4 4k = 4 k = 1 bulurum. x = 9k = 9.1 = 9 y = 5.1 = 5 bulurum.

}

6 A

fiekildeki eflkenar üçgen piramitte yükseklik ITHI = 13 cm, IABI = IACI = IBCI = 6 cm biliniyorsa ITAI = ITBI = ITCI = x = ? yanal ayr›t›n› bulunuz. (Piramidin tepe noktas›n› tabandaki üçgenin a¤›rl›k merkezine birlefltiren TH do¤ru parças› taban düzlemine diktir.) A) 4,5 cm

B)

C) 5 cm

D) 6 cm

19 cm

4. Ünitede bunları öğrendiniz mi? 1. Permütasyon sayısı ile kombinasyon sayısı arasındaki ilişkiyi P(n,r) = r! . C(n,r) bağıntısı ile açıklayabilirim. A = {1,6,8,9} kümesinin rakamlarını birer kez kullanarak iki basamaklı n! 4! 4.3.2! P(n,r) = P(4,2) = = = (n-r)! (4-2)! 2! P(4,2) = 12 farklı sayı yazabiliriz. s(A) = 4 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt n! kümelerinin sayısının C(n,r) = C(4,2) = (n-r)! r! 4! 4.3.2! C(4,2)= = (4-2)! 2! 1.2.2! 4.3 = 6 olduğunu hesaplayabilirim. 1.2 12 = 2!.6 olduğunu söyleyebilirim. Yani 4 kişiden iki kişilik alt kümeler oluştururken biri başkan diğeri de yardımcısı olacak dersem alt küme sayısı r! = 2! katına çıkar. 2. Bir bilinmeyenli rasyonel denklemleri çözüp yorumlayabilirim. 2x - 6 2 (x - 3) x+ =5 x+ =5 x-3 x-3 C(4,2) =

x+2=5

ğum bu sayı rasyonel denklemin paydasını (x-3) sıfır yaptığından denklemin çözüm kümesinin boş küme olduğunu söyleyebilirim.

2 + 1 = 1 bir bilinmeyenli ras3x - 5 3x + 5 4 yonel denkleminin çözüm kümesini bulabilirim. 4[2(3x + 5) + 3x - 5] = (3x - 5) (3x +5) 4[6x + 10 + 3x - 5] = 9x2 -25 9x2 = 9(4x + 5) x2 - 4x - 5 = 0 (x + 1) (x - 5) = 0 çarpanlardan herbirinin sıfır (yutan eleman) olması için x+1=0 x = -1, x - 5 = 0 x=5 Ç = {-1, 5} Denklemin köklerini bulmuş oldum. 4.

5. Üçgen eşlik şartlarının (koşullarının) Kenar - Açı - Kenar (KAK) Açı - Kenar - Açı (AKA) Kenar - Kenar - Kenar (KKK) Kenar - Açı - Açı (KAA) şeklinde adlandırıldığını örneklerle açıklayabilirim. (AA) örnek; birer dar açıları eş olan dik üçgenler benzerdir. Benzer iki üçgenin çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir. Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

x = 3 bulurum. Fakat buldu-

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

113


D‹K PiRAM‹D‹N YÜZEY ALANINI HACM‹N‹ HESAPLAMA

ÜN‹TE 5

Piramidin yüzey alan› = taban alan› + yan yüzlerin alanlar› T

Kare piramidin taban alan› = Ta = a2 Ta = 62 = 36 cm2 Ya = Yan yüzleri birbirine eflit 4 tane ikizkenar üçgendir. Ya= 4

D C 3

dir.

A = Ya + Ta = 2aha + a2 A = 2.6.4 + 62 = 48 + 36 A = 84 cm2 kare dik piramidin alan›d›r.

E a=6

3 3

A

2

Veya Ya =

4

H

a

Ç.ha Ç = 4a = 4.6 = 24 cm 2 24.4 gene Ya = = 48 cm2 hesaplan›r. 2

5

7

( a.h2 ) = 4( 6.42 ) = 4.12 = 48 cm

Örnek TEST 1:

T

B

a=6

ITEI = ha = 4 cm = yanal yüz yüksekli¤i D

D

3 5 4

3 A

4 5

4

4

4

3 3

B

C

a = 6 cm a=6 D

12

3

T

D

C

3 C

18 = b

H Aç›k flekli (kartona çiziniz)

A

a = 32

B

ITHI = h = 12 cm Taban› dikdörtgen fleklinde olan dik piramidin yüksekli¤i 12 cm (ITHI = 12 cm) taban›n›n ayr›tlar› IABI = 32cm, IBCI = 18 cm ise seçeneklerden hangisinde piramitle ilgili verilen bilgi yanl›flt›r? A) Piramidin yanal yüzünün alan› 840 cm2 dir. B) Piramidin taban alan› 576 cm2 dir. C) Piramidin hacmi 2304 cm3 tür. D) Piramidin 5 yüzünün alan› (toplam alan›) 1316 cm2 dir.

114

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


Piramidin Hacmi

SBS 8 MATEMAT‹K T

Çözüm 1 :

C

C E

16

15 cm

T

90 cm2

16

D

B

F

H

C 9

20 cm

12

E

16

Pisagordan ITEI2 = 12 2 + 16 2 = 202 ITEI = 20 cm

9

T

D T K E M A L

15 12

D

C 9 cm

A

16

F

E

16

H 9

9 cm

16

15 cm

T Ü R K E L ‹

F

IHFI =

a 32 IHEI = = =16 cm 2 2 IBCI . ITEI 18.20 A(TBC) = = = 180 cm 2 2 2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

H

9 cm b 18 = = 9 cm 2 2

ITFI 2 = ITHI 2 + IHFI 2 = 122 + 9 2 = 15 2 ITFI = 15 cm

B

ITFI = 15 cm ITEI = 20 cm IHEI = 16 cm IHFI = 9 cm Dikdörtgen dik piramidin taban alan› Ta = a.b = 32.18 = 576 cm2 B do¤ru

12 cm

A(TAB) =

IABI . ITFI 32.15 = = 16.15 2 2

A(TAB) = 240 cm 2 Dikdörtgen dik piramidin yanal yüzünün toplam alan› Ya= 2A(TBC) + 2A(TAB) = 2.180 + 2.240 Ya = 360 + 480 = 840 cm2 A do¤ru Dikdörtgen piramidin hacmi= V = V=

576.12 = 2304 cm3 3

a.b.h 3

C do¤ru

115


KEMAL Türkeli

Alan, Hacim Hesab› Dikdörtgen piramidin toplam alan› = A A = Ya + Ta = 840 + 576 = 1416 cm2 oldu¤undan D seçene¤indeki sonuç bilgi yanl›fl verilmifltir. Do¤ru cevap D’dir.

Düzgün alt›genin taban alan› 3 3 2 a = 2

Ta =

Ta = 4 Örnek TEST 2:

.6

3.6 = 24

3 cm2 olup

A do¤rudur.

T

Yanal yüzlerden birinin yüksekli¤ini pisagordan hesaplayal›m. T

4 cm h=2 E F

D C

H

H

K A

B

4 cm

Düzgün alt›gen dik piramidin taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 4 cm (IABI = 4 cm) ve yüksekli¤i 2 cm (ITHI = 2 cm) dir. Seçeneklerden hangisinde verilen önerme yanl›flt›r? cm2

A) Piramidin taban alan› 24 3 dir. B) Piramidin yanal alan› 48 cm2 dir. C) Piramidin tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› 24 + 8 5 cm’dir. D) Piramidin bütün alan› 48 + 24 3 ⋲ 89,57 cm2 dir.

2

K

3

ITKI2 = ITHI2 + IHKI2 = 22 + (2 3)2 ITKI = 4 + 12 = 16 = 42 ITKI = 4 cm ‹kiz kenar üçgen olan yanal yüzlerden birinin alan› T

2

5

4

Çözüm 2 : D

D

B Yan Alan›

E

A(TBC) =

C

T

B

a=4

2

K

C Taban Alan›

H 4

D 2

E

116

2

C

IBCI .ITKI 4.4 = = 8 cm2 2 2 B do¤ru

2

A

F

K

Yanal alan = 6A = 6.8 = 48 cm2 A = Ta + Ya = 24 3 + 48 = 24 (2+ 3 ) cm2 A ⋲ 89,57 cm2

K a = 4 cm F

2

Düzgün alt›gen piramitin tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› = 6.4 + 6. ITBI Pisagor ba¤›nt›s›ndan (TKB üçgeninde) ITBI2 = ITKI2 + IBKI2 = 42 + 22 = 20 ITBI = 2 5 cm

2

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

? = 6.4 + 6.2 5 = 24 + 12 = 24 + 26,83 = 50,83 cm

Veya dikkat ederseniz daire kesmesinin yay uzunlu¤u koninin taban›n›n çevresine eflit oldu¤undan

5 cm

Do¤ru cevap C’dir.

α r 2πa . α = = 2πr = ya eflittir. 360 a 360 α r Ya = π.a.a . = π.a.a . = πra formulü 360 a bulunur. Ya= π.3.5 = 15π ≈ 45 cm2 dir.

Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan› T

A = πr2 + πra = πr(a+r) Dik koninin bütün alan›n› a ve r’yi biliyorsak hesaplayabiliriz. a=5 cm

h=4

Örnek TEST 3: h = 8 cm

B

H

r=3

A

3=r K E M A L

T

4

O

h2 + r2 = a2 h2 + 32 = 52 Pisagordan h = 4 cm bulunur. ITAI = a = 5 cm dik koninin ana do¤rusunun T r = 3 cm uzunlu¤udur. Ü ITOI = 4 cm R A K E Kalem veya rokete benziyen kat› cismin yüzey A L 2 T ‹ alan› kaç cm dir? (π = 3 al›n›z.) Yanal Yüz A) 171 cm2 dir. C) 216 cm2 dir. B) 189 cm2 dir. D) 243 cm2 dir. α = 216° Ya = πra

B

Çözüm 3 :

Dikkat ederseniz kat› cismin bir koni ile bir silindirin yap›flt›r›lmas›ndan olufltu¤unu varsayabiliriz. A

r = 3 cm H

5

3

Ta = πr2 T

4

O

Koninin yüzey alan› = Taban alan› + Yanal alan› Ta = πr2 = 3.32 = 27 cm2 (π = 3 ald›k 3,14 yerine) 2 2 Yanal alan› = Ya = π.a . α = π.5 .216 360 360

= 25π . 36.6 = π.3.5 10.36

B

Pisagor ba¤›nt›s›ndan ITAI2 = 42 + 32 = 52 ITAI = 5 cm hesaplan›r.

Ya = 15π cm2 ⋲ 45 cm2 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

117


Koni

KEMAL Türkeli 172 = 152 + r2

Ya = dik koninin yanal alan› = πra Ya = π.3.5 = 15π ≈ 45 cm2 (r = 3, a = 5 ald›k) Silindirin yanal alan› = 2πr.h = 2π.3.8

Ya = πra = π8 . 17

= 48π cm2 ≈ 144 cm2 Dairenin alan› = πr2 = π32 = 9π = 27 cm2

= 136π ≈ 408 cm2 yanal alan›d›r. 2 2 Ta = πr = π8 = 64π = 192 cm2

? = A = dik koni yanal alan› + silindir yan alan›+ daire alan›

A = Ta + Ya = 64π +136π = 200π = 600 cm2 oluflan kat› cismin alan›d›r. Boyayaca¤›m›z toplam alan 600 cm2 dir.

A = 15π + 48π + 9π = 72π = 216 cm2 cismin toplam alan›d›r. Cismi boyamak istersek boyayaca¤›m›z toplam alan 72π cm2 = 216 cm2 dir. Do¤ru cevap C’dir.

Örnek TEST 5: A

Örnek TEST 4:

r2 = (17 - 15) . (17 + 15) = 2.32 r = 8 cm’dir.

T

a=12 cm

B

α = 180°

T

C a = 17 cm

S B S

15 = h

A

O

8

D

r

Hipotenüsü 17 cm, dik kenarlar›ndan birinin M A Aç›k flekli verilen koni ile ilgili hangi seçenekte uzunlu¤u 15 cm olan bir dik üçgen, 15 cm uzunlu- T ¤undaki dik kenar› etraf›nda 360° döndürülüyor. E verilen önerme yanl›flt›r? (π = 3) A) Dik koninin taban alan› 108 cm2 dir. Oluflan hayali cismin boyutlar›nda bir kat› cismi M A marangoza yapt›r›p tahta yüzeyi boyamak ister- T B) Dik koninin yanal yüz alan› 216 cm2 dir. ‹ seniz boyayaca¤›n›z bütün alan kaç cm2 dir? C) Dik koninin toplam alan› 288 cm2 dir. K (π = 3) D) Dik koninin hacmi 216 3 cm3 tür. A) 408 cm2 C) 472 cm2

B) 600 cm2 D) 570 cm2

Çözüm 4 :

Aç›k flekil daire etraf›na katland›¤›nda, 2π12 . IACBI = 180 = 2πr’ye eflit olaca¤›ndan 360 r = 6 cm olmal›d›r.

T

a=17

A

Çözüm 5 :

r=8

Ta = πr2 = π62 = 36π ≈ 108 cm2 dir. A do¤rudur. Yanal alan = Ya = πra = π.6.12

h=15

O

Ya = 72π ≈ 216 cm2 dir. A = Ta + Ya = 36π + 72π A = 108π = 324 cm2 dir.

B

B do¤rudur. C yanl›flt›r.

TOA dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak

118

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K A

T

30°

a=12 h =6 3

a=4

2 3=r

C

O

A

6

B

IOAI = r = 6 cm ITOI2 + IOAI2 = ITAI2 h2

+

62

=

122

60° H 2 cm

C

Pisagor ba¤›nt›s›

h2 =

(12 - 6).(12 + 6)

= 6.18 = 36.3 h2 = V=

(6

3)2

h = 6 3 cm

πr2.h = π.36.6 3 = 72π 3 3

3

= 216

3 cm3 D do¤ru

Do¤ru cevap C’dir.

IAHI = r = 2 3, h = 2 cm = IHCI Bir koninin yanal alan› = Ya = πra = π.2 3.4

Ya = 8 3π = 24 3 cm2 K E ? = 2Ya = 2.24 3 = 48 3 cm2 dönel cismin Örnek TEST 6: Bir kenar›n›n uzunlu¤u M toplam alan›d›r. a = 4 cm olan eflkenar üç- A L Do¤ru cevap A’d›r. gen, kenarlar›ndan birinin etraf›nda 360° döndürülüyor. Meydana gelen cismin toplam alan› kaç T Örnek TEST 7: Bir dik koninin yanal alan›, Ü cm2 dir? R taban alan›n›n 2 kat›d›r. Bu koninin taban yar› K A 2 E çap› 3 cm ise, bütün alan› kaç cm dir? (π = 3) 2 2 L A) 54 cm B) 72 cm ‹ 2 C) 63 cm D) 81 cm2 Çözüm 7 : r = 3 cm ise

B

a = 4 cm

A) 48 3 cm2

B) 48 cm2

C) 24 3 cm 2

D) 48 2 cm2

C

Ta = π.r2 = π.32 = 9π = 27 cm2 Ya = 2 Ta = 2.27 = 54 π.ra = 54 3.3.a = 54 a = 6 cm olmal›d›r. A = Ta + Ya = π.r2 + πra = 27 + 3.3.6 = 27 + 54 = 81 cm2 dir. Do¤ru cevap D’dir. Örnek TEST 8:

Çözüm 6 :

Oluflan dönel tabanlar› çak›fl›k yükseklikleri ((HCI = 2 cm) eflit olan iki dik konidir. (π = 3 al›n›z.)

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Yar›çap› 12 cm olan bir dairenin 150° lik bir parças› kesilerek bir koni (külah) yap›l›yor. Oluflan bu dik koninin yanal yüzünün alan› kaç cm2 dir? (π = 3 al›n›z.) A) 180 cm2 C) 144 cm2

B) 150 cm2 D) 195 cm2

119


Koni, Küre

KEMAL Türkeli

Çözüm 8 :

Çözüm 9 :

a= 12 cm

a= 15 cm α = 120°

α = 150°

Yar›çap› r = 12 cm olan daire kesmesinin alan› 2 A = π12 . 150 = π.12.12 . 5 = 60π 360 12 A ≈ 180 cm2 lik daire dilimi katlanarak dik koni oluflturuldu¤undan dik koninin yanal alan› da 180 cm2 olacakt›r. Do¤ru cevap A’d›r.

Örnek TEST 9:

A

5

5

B

a = 15 cm

2π5 = 2π.15 . α eflit olmal›d›r. 360 α 5= α = 120° dir. 24 Ya = πra = π.5.15 = 75π = 225 cm2 dir. S B S

Veya Ya =

π.152 . 120 = π.5.15 = 225 cm2 dir. 360

Do¤ru cevap D’dir.

8

Kürenin Yüzey Alan›n›n Hesab› M (Surface Areas of Spheres) A T E Kürenin yüzey alan› = 4πr2 M A Uzayda sabit bir O noktas›ndan r = 5 cm uzakT ‹ l›ktaki noktalar kümesi bir küre oluflturur. O noktas›na kürenin merkezi ad› verilir. K

T

Taban çap› 10 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u 15 cm olan bir külah (dik koni) yapmak için kaç cm2 alan› olan bir daire dilimine gereksinmemiz var? Daire diliminin merkez aç›s› kaç derecedir? (π = 3)

A

O

r = 5 cm

B

A) Alan = 96 cm2 , α = 120° B) Alan = 144 cm2 , α = 150°

C) Alan = 144π cm2 , α = 180° D) Alan = 225 cm2, α = 120°

120

Küre fleklindeki bir karpuzu merkezinden geçen bir düzlemle kesersek yar›çap› kürenin yar›çap›na eflit olan (r = 5 cm) en büyük daire elde edilir. Merkezden geçmeyen bir düzlemle kesersek arakesit dairenin yar›çap› x < r = 5 cm olacakt›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 10:

A)

2 3

B)

Yar›çaplar› 2 cm ve 3 cm olan iki kürenin alanlar› oran› kaçt›r?

4 9

C)

2 3

A1 4π.22 = = A2 4π.32

Çözüm 10 :

D)

Çözüm 12 :

( rr )2 = ( 35 )2

8 27

( 23 )2 =

A1 4π.r12 9 = = A2 4π.r22 25 1 2

4 9

‹ki kürenin benzer kat› (3 boyutlu) cisimler olduklar›na ve alanlar› oran›n›n benzerlik oran›n›n 2 ( ) karesine eflit oldu¤una dikkat ediniz. 3 Do¤ru cevap B’dir.

r1 3 = = 0,6 oldu¤u görülür. r2 5 Bütün küreler birbirlerine benzer geometrik cisimler olduklar›ndan alanlar›n›n oran›n›n benzerlik oran›n›n karesine eflit oldu¤una dikkat ediniz. k2 =

9 = 25

( 35 )2

k = benzerlik oran› =

Örnek TEST 11 :

3 = 0,6’tir. 5 Do¤ru cevap B’dir.

Örnek TEST 13:

Bir küre merkezinden 4 cm uzakl›ktaki bir düzlemle keK sildi¤inde elde edilen arakesit çemberinin çevresi E A B M 6π oldu¤una göre sözkonusu kürenin alan› kaç A cm2 dir? L 2r = 31,25 A) 36π cm2 B) 64π cm2 T C) 100π cm2 D) 136π cm2 Edirne’deki Selimiye Camiinin kubbesinin çap› Ü R 31,25 cm oldu¤una göre alan› kaç m2 dir? ( π = 3 al›n›z.) K E Çözüm 13: L 2 2 A) 14648 m B) 2929,7 m ‹ C) 5859,4 m2 D) 732,4 m2 H 3 A B Çözüm 11 :

Mimar Sinan 80 yafl›ndayken Seli-

miye Camiini 1575 y›l›nda bitirmifltir. 31,25 2 4π.22 Alan = = 2.3 2 2

(

=

O

)

9 olan iki 25 kürenin yar›çaplar›n›n oran› hangisidir?

27 125

r

3. 9 76,5625 ≈ 1464,8 m2 dir. 2

Örnek TEST 12 :

A)

4

B)

3 5

Alanlar› oran›

C)

3 5

D)

9 25

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Düzlemle küre yüzeyenin kesiflimi olan çemberin çevresi 6π = 2π. IHAI IHAI = 3 cm Pisagor ba¤›nt›s›n› OHA dik üçgenine uygularsak IOAI2 = IOHI2 + IHAI2 r2 = 42 + 32 = 52 r = 5 cm Kürenin alan› = 4πr2 = 4π52 = 100π cm2 dir. Do¤ru cevap C’dir.

121


Alan, Hacim

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 14:

fiekilde çap› 6 cm olan 1 dairenin ü çizilmifltir. 4

B

Örnek TEST 16: Bir kürenin hacminin alan›na eflit olabilmesi için yar›çap› kaç cm olmal›d›r? A) 6 cm B) 5 cm C) 4 cm Çözüm 16 :

O

D) 3 cm V=A

A

Bu daire diliminin [OA] do¤ru parças› etraf›nda 360° döndürülmesi ile meydana gelen cismin ayn›s› marangoza tahtadan yapt›r›l›yor. Oluflan cismi boyamak istersek, boyayaca¤›m›z toplam

4 πr3 = 4πr2 3 r = 3 cm olmal›d›r. Do¤ru cevap D’dir.

Örnek TEST 17: 0 3

alan kaç cm2 dir? (π = 3) A) 54 cm2 B) 81 cm2 C) 108 cm2

h=5 cm

D) 135 cm2

Çözüm 14 :

A

H

B

3

B

4 T

3

2r=6 cm r=3 cm 0

3 cm

A

3

B›

Oluflan yar›m kürenin toplam alan› 4πr2 + πr2 = Cismin toplam alan›d›r. A= 2 A = 2π32 + π32 = 18π + 9π = 27π = 81 cm2 Do¤ru cevap B’dir. Örnek TEST 15:

A) 48 cm2 C) 60 cm2 Çözüm 15 : r3 = 8 = 2 3

3

Hacmi 32 cm olan bir kürenin alan› kaç cm2 dir? (π = 3) 2 B) 36 cm D) 24 cm2

4 πr3 = 32 3 r = 2 cm kürenin yar›çap›d›r.

Kürenin alan› = A = 4πr2 = 4π.22 =16π = 48 cm2 Do¤ru cevap A’d›r.

122

Bir cisim taban yar›çap› 3 cm, yüksekli¤i 5 cm olan bir silindir, onun alt›nda yüksekli¤i ITHI = 4 cm olan bir dik koni ile en üstte yar›çap› 3 cm olan bir küreden oluflmufltur. Bu cismi boyamak istersek kaç cm2 yüzeyi boyamam›z gerekecek? ( π= 3 al›n›z.) A) 189 cm2 B) 135 cm2 C) 144 cm2 Çözüm 17 : A1 =

D) 216 cm2 Yar›m kürenin alan›

4πr2

2 A1 = 2 π.32 = 18π = 54 cm2 Silindirin yanal alan› = A2 A2 = 2 πr.h r = 3 cm, h = 5 cm A2 = 2 π.3.5 = 30π = 90 cm2 Pisagor ba¤›nt›s›n› THB dik üçgenine uygularsak ITBI 2 = 4 2 + 3 2 = 5 2 ITBI = 5 cm Koninin yanal alan› = A 3 A3 = πr.ITBI = π.3.5 = 15π Boyanacak toplam alan = A = A1 + A 2 + A3 = 18π + 30 π + 15π = 63π = 189 cm2’dir. Do¤ru cevap A’d›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Prizman›n taban flekli:

De¤iflik spor dallar›nda kullan›lan toplar oyunun kurallar›na uygun gelifltirilmifl teknoloji harikalar›d›r. Örne¤in futbol topunun yar›çap› 11 cm’ den az olamaz. A¤›rl›¤› ortalama 450 gram, çevresi 68 cmden az olamaz, deriden üretilmifltir. Bas›nc› 600 g/cm 2 - 1100 g/cm 2 aras›nda olabilir. Futbol topundan beklenilen özelliklerinden baz›lar› da ya¤murda a¤›rlaflmamas›, s›cakl›¤›n de¤iflmesi ile performans›n›n düflmemesi, hedefine giderken kendili¤inden yolunu de¤ifltirmemesi gibi birçok koflula uygun üretilmifl olmas› istenir. Oysa basketbol toplar›n›n ortalama a¤›rl›¤› 625 gram, çevresi 78 cm’dir. Örnek TEST 18:

4

E

3

E

7

A

B

5

Beflgen dik prizman›n bir taban› üzerinde iken görünüflü: D

3

C

7 cm

B

K E M A L

7

B› A

B

IBB›I = 6 cm

ABCDE taban›n›n ayr›tlar› IAEI = IBCI = 7 cm, IEDI = 4 cm IDCI = 3 cm yüksekli¤i ise 6 cm olan dik prizman›n toplam alan› kaç cm2 dir? A) 82 cm2 C) 238 cm2

5

E

C› C

Çözüm 18 :

Prizman›n yüzey alan› A = 2Ta + Ya Ta = A(EDC) + A(ABCE) IEDI.IDCI = + IABI.IBCI 2 Pisagor ba¤›nt›s›ndan 2

IECI = 4 + 3 = 5 IECI = 5 cm 4.3 Ta = + 7.5 = 6 + 35 = 41 cm 2 2 Ya = Taban›n çevre uzunlu¤u x yükseklik Ya = (7 + 5 + 7 + 3 + 4).6 = 26.6 = 156 cm2 dir. A = 2.(41) + 156 = 82 + 156 = 238 cm2 beflgen dik prizman›n toplam alan›d›r. KEMAL TÜRKELİ • 8. sınıf SBS MATEMATİK

h = 6 cm

7

D›

C›

B› 5 cm

E›

A›

Do¤ru cevap C’dir.

T Ü R K E L ‹

B) 197 cm2 D) 279 cm2

2

C

5

4

4

2

3

7

D›

6

D

D

Örnek TEST 19: Bir sac plakadan yar›çap› 18 cm, merkez aç›s› 180° derece olan bir daire dilimi kesilerek bir dik koni (huni) fleklinde süzgeç yap›l›yor. Ortalama her 9π cm2 ye 1 delik delinecektir. ( π= 3 al›n›z.) Bu bilgilere göre hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? A) Oluflan huni (dik koni)nin yanal alan› 486cm2 dir. B) Oluflan huninin derinli¤i 9 3 ≈ 15,6 cm’dir. C) Süzgeç (dik koni) üzerinde 18 delik açmak gerekir. D) Huninin hacmi 243 3 cm3 tür.

Plansız çalışan kimse, ülke ülke dolaşıp hazine arayan bir insana benzer. Descartes 123


Ölçme

KEMAL Türkeli

Çözüm 19 :

Örnek TEST 20: O

B

a = 18 cm

D

C

A

H

5

α = 180° A

H 9=r

E

B

A

h 18

h=9

3 cm T

Dik kare piramidin taban›n›n bir ayr›t› 10 cm (IABI = IBCI = 10 cm) ve yüksekli¤i 12 cm (THI = 12 cm) biliniyor. Seçeneklerden hangisindeki bilgi yanl›flt›r?

T 2πr = 2πa . α 360

A) Dik kare piramidin toplam alan› 360 cm2 dir. B) Dik kare piramidin hacmi 600 cm3 tür.

r = 18 . 180° = 9 cm olmal›d›r. 360 THA dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak a2 = r2 + h2 182 = 92 + h2 h2 = (18 -9).(18+9) = 9.3.9 h = 9 3 cm oluflan huninin derinli¤idir. B do¤ru Oluflan huninin yanal alan› Ya = π.ra Ya = π.9.18 = 162π = 486 cm2 dir.

A do¤ru

C) Piramidin yanal yüzünün alan› 260 cm2 dir. D) Dik kare piramidin 8 ayr›t› vard›r. Çözüm 20 :

5

H

E

13 cm

12

Ya 162π = = 18 adet delik açarak süzgeç huni 9π 9π elde edebiliriz. C do¤ru V=

Ta.h πr2.h π.92.9 3 = = 3 3 3 3 V = 243 3π cm huninin hacmidir.

V = 729

3 ⋲ 1262,7 cm3 Do¤ru cevap D’dir.

Zor bir iş, zamanında yapmamız gerekip de yapmadığımız kolay şeylerin birikmesiyle oluşur. Henry Ford 124

T

Dik kare piramidin taban alan› Ta = a2 = 102 = 100 cm2 Ç.h Ya = Ç = 4a = 40 cm, h = ITEI = 13 cm 2 ITEI2 = 52 + 122 = 169 = 132 ITEI = 13 cm Ç.h 40.13 Ya = = =260 cm2 C do¤ru 2 2 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite B

SBS 8 MATEMAT‹K E

5

5

ABCD karesine piramidin taban›, T noktas›na da piramidin tepesi denir. Piramidin tepe noktas› T den taban düzlemine indirilen ITHI = 2 7 cm dikmesine (T noktas›n›n tabana uzakl›¤›d›r.) Piramidin cisim yüksekli¤i denir.

C

T

13 10 cm

194 = 13,9 cm

10 cm 8 cm

B

T

6 cm E 6 cm

C

A = Ta + Ya = 100 + 260 = 360 cm2 A do¤ru T .h 102.12 V= a = = 400 cm3 dik kare 3 3 piramidin hacmidir. Dik kare piramidin 8 ayr›t› vard›r. D do¤ru

AAB, TBC, TCD, TDA üçgensel bölgelerinin alan12.8 lar› = 6.8 = 48 cm2 olup piramidin yanal yüzey2 leri ad›n› al›rlar. ITAI = ITBI = ITCI = ITDI = 10 cm do¤ru parçalaDo¤ru cevap B’dir. r›na piramidin yanal ayr›tlar› denir. K IABI = IBCI = ICDI = IDAI = 12 cm do¤ru parçaDik Piramidin Hacmi (Volumes of Pyramids) E lar›na piramidin taban ayr›tlar› denir. M A Yanal yüzleri oluflturan üçgenlerin yükseklikPiramite örnek olarak M›s›r’daki Keops Piramitini L lerine (ITEI = 8 cm gibi) piramidin yanal yüz yüksek(145 metre yüksekli¤i, M.Ö.2550) verebilirim. T likleri denir. Ü Taban› üçgen fleklinde ise üçgen piramit, R T tepe Taban› kare fleklinde ise kare piramit, K E Taban› dikdörtgen fleklinde ise dörtgen piramit, L Taban› beflgen fleklinde ise beflgen piramit, ‹ TH’in H noktas› karenin köflegenlerinin kesim 10 noktas› (Taban merkezinden geçiyorsa, a¤›rl›k merkezi ise) dik piramit, geçmiyorsa e¤ik piramit diye isim8 lendirilir. Kartondan flekildeki kare piramidi yapal›m. 2 7 D

C

B

6 H

E

6

A

12

B

ITHI = Yükseklik = 2 7 cm ITEI = Yanal yüz yüksekli¤i = 8 cm TBC Piramidin yanal yüzlerinden biri ikizkenar üçgendir. IBCI = 12 cm = Piramidin taban ayr›t› Taban› ABCD karesi Alan› = 122 = 144 cm2 dir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

10

12

6

B

10 A

6

10 74° 8

T 74°

74°

E 10

6 C

10 12

12

12 D

H 12

B 12

A

125


Piramidin Hacminin Bulunmas›

KEMAL Türkeli

T merkezli 10 cm yar›çapl› (ITBI = 10 cm) çemberi çiziniz. Sonra TD yar›çap›n› çiziniz. s(DTC) = 74° çiziniz. Benzer flekilde s(DTA) = 74° aç›s›n› çiziniz. Sonra s(CTB) = 74° çiziniz. BC, CD, DA, AB kirifllerini çiziniz. Sonra CD üzerine ABCD karesini çiziniz. Makasla kartonu keserek kare piramidi oluflturacak flekilde katlay›n›z. Cetvelle ITHI = 2 7 ⋲ 5,3 cm yaklafl›k eflit mi kontrol ediniz. ITEI = 8 cm mi? Kare piramidin düzlemde aç›n›m›n› çizmifl olduk. ‹lerde mimar olmay› düflünüyorsan›z bu becerinizi gelifltiriniz. Yapaca¤›n›z binalar›n maketini kolayca yapars›n›z. Kare dik piramidin hacminin bulunmas›: V=

taban alan› x yükseklik T .h = a 3 3

Ta = 12.12 = 144 cm2, V=

144.2 3

V = 96

7 288 7 = 3

h=2

G

T

F

E

Kare prizman›n üst taban›ndaki E, F, G, H noktalar›n›n T ye gelecek flekilde prizman›n büzülmesi ve ITAI = IEAI = IFBI = 10 cm oluflmas› ile piramidin olufltu¤unu düflünebiliriz. M›s›r’daki Keops piramitinin taban kenar› 227 m olan bir dikdörtgen olup alan› 50 524 m2 dir. Yüksekli¤i ise 145 m’dir. 50 524.145 = 2441993 m3 hacmidir. 3 Keops piramitinin hacmi 2 441 993 m3 tür. V(Keops) =

7 cm ise

kare pirizman›n hacmi

7 ⋲ 254 cm3 olarak hesaplar›z. H

H

T

Örnek TEST 21:

G T

5 E

2

F

7

8

D

10

3 2

8

7

12

H

A

12

C

B

fiekildeki tabanlar› ve yükseklikleri eflit olan prizma ile piramit aras›nda Prizman›n hacmi = 3.Piramit hacmi Ta . h = 3. Ta.h 3 Ta . h = Ta.h 288 3 = 3.(96 3) cm3 oldu¤una dikkat ediniz. T noktas› EFGH karesinde köflegenlerin kesim noktas›d›r.

Bir şeyin mühim noktası, başlangıçtır. Eflatun 126

C H

A

4

B

fiekildeki ikizkenar yamuk tabanl› dik piramidin ICDI = 8 cm, IABI = 4 cm, h = 3 cm (yamu¤un yüksekli¤i) ve ITHI = 5 cm (piramidin yüksekli¤i) biliniyorsa hacmi kaç cm3 tür? A) 90 cm3 B) 30 cm3 3 C) 60 cm D) 40 cm3 Çözüm 21 :

A

4 cm

B

3 cm D

ICDI = 8 cm

C

Piramidin taban alan› flekli yamuk oldu¤undan (a+c) (8+4) .h = .3 = 6.3 = 18 cm2 dir. Ta = 2 2 T .ITHI 18.5 V(piramidin hacmi)= a = = 6.5 = 30 cm3 tür. 3 2 Do¤ru cevap B’dir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 22:

Düzgün alt›gen piramidin hacmi = 6 x eflkenar üçgen piramitin hacmi V = 6.60 = 360 cm3 düzgün alt›gen piramidin hacmidir. Do¤ru cevap D’dir.

T

Örnek TEST 23: Bir kare dik piramidin taban alan› 36 cm2 ve yanal yüz yüksekli¤i 5 cm ise hacmi kaç cm3 tür? A) 108 cm3 B) 54 cm3 3 C) 72 cm D) 48 cm3

5 3

E

D

F

C

H A

ITHI = 5 E

4 cm

B

4 cm

Çözüm 23:

T

3 cm D

4

4

4 H

F

A

C 4

4

4

5

4 4

4

K E M A L

D

C 3

B

T E H 3 Ü Taban› bir eflkenar üçgen olan (T,ABH) pirami- R 3 dinin hacmi 60 cm3 olarak biliniyorken (T,ABCDEF) K E A B düzgün alt›gen piramidin hacmi kaç cm3 tür? L a = 6 cm Eflkenar üçgenin bir ke nar› IABI = 4 cm ayn› ‹ Piramidin taban› kare oldu¤undan zamanda düzgün alt›genin bir kenar uzunlu¤una a2 = 36 = 62 a = 6 cm’dir. eflit olup, yükseklikleri de ITHI = 5 3 cm eflittir. Dik piramitte T’den taban düzlemine indirilen fiekilde düzgün alt›gen piramidin taban› (ABCDEF) ve eflkenar üçgen piramidin taban› ABH eflkenar dikmenin H noktas› karenin köflegenlerinin kesim a 6 üçgeni de daha iyi soruyu anlaman›z için çizilnoktas› oldu¤undan IHEI = = = 3 cm’dir. 2 2 mifltir. THE dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak A) 180 cm3 B) 300 cm3 3 C) 240 cm D) 360 cm3 ITEI2 = ITHI2 + IHEI2 5 2 = ITHI2 + 32 ITHI2 = 2.8 = 42 ITHI = 4 cm Çözüm 22 : Burada dikkat edece¤imiz noktalar: * ‹ki piramidin de yükseklikleri ITHI = 5 3 cm eflittir. * Düzgün alt›genin bir kenar› ile eflkenar üçgenin kenar uzunluklar› IABI = IBCI = 4 cm eflittir. Di¤er yandan düzgün alt›genin alan›n›n 6 eflkenar üçgenin alan›na eflit oldu¤unu bildi¤inizden ‹ki piramidin de T tepe noktas› ortakt›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Ta.h 36.4 = = 12.4 3 3 V = 48 cm3 oldu¤u hesaplan›r. V=

Do¤ru cevap D’dir.

Başarıya ulaşamayanların yüzde doksanı yenilgiye uğramamıştır. Sadece pes etmişlerdir. Paul J. Meyer 127


Hacim Hesab›

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 24: Taban› eflkenar üçgen olan bir dik piramidin taban›n›n bir ayr›t› 4 cm, hacmi 64 cm3 oldu¤u biliniyorsa, yüksekli¤i hangisi olamaz? A) 192 cm B) 16 3 cm C) 4 48 cm D) 2 192 cm

4.2 3 =4 2 3 . h = 192

Ta = 4 h=

48

h=2

3 = 16

3

192 . 4 3

3 cm = 4

C

3 cm

12 cm

B

E

Paralelkenar›n alan›; Ta = 12.3 = 36 cm2 Paralelkenar dik piramidin hacmi T .h 36.8 V= a = = 96 cm3 su konulmufltur. 3 3 Piramidin su yüksekli¤i 96 = 36.x 8.12 8 2 x= = =2 cm 3.12 3 3 8 Prizmadaki su yüksekli¤i cm’d ir. 3 Do¤ru cevap A’d›r.

3 cm2 h=

D

36 cm2

A

Ta.h V = 64 = 3 Ta.h = 192 cm3

Çözüm 24:

Çözüm 25:

3 3

48

192 cm yazabiliriz. Do¤ru cevap A’d›r.

Dik Dairesel Koninin Hacmi

Örnek TEST 25:

(Volume of a Cone)

T

T

8

D

5

C

h=4

H

3 cm

r=3 A

12 cm

B

E

Paralelkenar dik piramidin yüksekli¤i 8 cm (ITHI = 8 cm) taban› olan paralelkenar›n bir kenar› 12 cm, yüksekli¤i ise 3 cm (ICEI = 3 cm) oldu¤u biliniyor. Paralelkenar dik piramidin içi su dolduruluyor. Sonra da taban alan› ve yüksekli¤i ayn› olan paralelkenar dik prizmaya su tamamen boflalt›l›yor. Prizman›n yüksekli¤i de 8 cm oldu¤una göre suyun yüksekli¤i kaç cm’dir? (Prizman›n bir taban› üzerinde masaya konuldu¤u düflünülecektir.) 2 A) 2 cm B) 4 cm 3 8 C) 2 cm D) 5 128

O

A

Taban alan› = Ta = πr2 = 3.32 Ta = 27 cm 2 ( π = 3 al›nd›) ve yüksekli¤i ayn› h = 4 cm olan silindirin hacmi V = Ta.h = 27.4 = 108 cm3 dür. Oysa koninin hacminin (36 cm3) silindirin hacminin üçte birine eflit oldu¤unu anlayabiliriz. 108 3.36 = = 3 kat›d›r. 36 36 Koniye toz fleker doldurup ayn› taban ve ayn› yükseklikteki silindire boflalt›rsak, 3 defada silindirin doldu¤unu görürüz. 2 V = πr .h = K oninin hacmi 3 KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Örnek TEST 26:

Ana do¤rusu 10 cm, taban yar›çap› 6 cm olan bir koni yapal›m. Karton kutu üzerine a = 10 cm yar›çapl› bir çember çiziniz. B

r = 3 cm

h = 4 cm

O a = 10 cm

a = 5 cm

A

α = 216° Daire Dilimi Dondurma külah›na benzeyen dik dairesel koninin taban yar›çap› r = 3 cm, yüksekli¤i 4 cm ise hacmi kaç cm3 tür? ( π = 3) A) 12 cm3 B) 36 cm3 3 C) 48 cm D) 64 cm3

C 2πr . 2.π.a . 216 = 36.6 360 10.36 12.π.10 = = 12π cm 10 Koninin taban çevresi 2πr = 12π r = 6 cm bulunur. s(ACB) =

K E M A L

T

h

a = 10 cm

r=6 O

A

12π = Ç

h2 + 62 = 102

h2 = 100 - 36 = 64 = 82

V=

Ta.h = 3

27.4 3

h = 8 cm’dir.

Koninin hacmi (π= 3 alal›m) Ta.h π.62.8 = Ta = 108 cm2 3 3 864 V= V = 288 cm3 hesaplan›r. 3

= 36 cm3 Do¤ru cevap B’dir.

T Örnek TEST 27: Bir dik dairesel koninin taÜ ban yar›çap› 2 cm, yükR K sekli¤i ise 9 cm’dir. Bu koni ile ayn› hacme sahip E ancak yar›çap uzunlu¤u üç kat› olan dik dairesel L ‹ koninin yüksekli¤i kaç cm’dir? A) 9 cm B) 3 cm C) 2 cm D) 1 cm Çözüm 27:

Daire dilimini kesip dik koni oluflturacak flekilde katlay›n›z. Dik dairesel koninin yüksekli¤ini pisagor ba¤›nt›s›ndan hesaplayal›m. h2 + r2 = a2

Ta = πr2 = 3.32 = 27 cm2

Çözüm 26:

2

Dik dairesel koninin taban alan› 2

Ta = πr = π.2 = 4π, h = 9 cm T .h 4π.9 V= a = = 12π cm3 tür. 3 3 Ayn› hacme sahip ikinci dik koninin hacmi T›a.h› π.(3r)2 . › π.(6)2.h› V= = h = = 12πh› = 12π 3 3 3 12π h› = h› = 1 cm’dir. 12π Do¤ru cevap D’dir.

V=

Siz de kartondan oluflturdu¤umuz dik dairesel koninin yüksekli¤ini ölçünüz. h = 8 cm mi? KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Taşı delen suyun gücü değil, damlaların sürekliliğidir. Latin Atasözü 129


Koni

KEMAL Türkeli

Örnek TEST 28:

Örnek TEST 29: T

D

3

A

C

B

4 13 = a

C

h

5=r

B

A

O

Taban› silindirin taban› ve tepe noktas› silindirin üst taban›n›n merkezi olan bir koni, flekildeki gibi silindirin içersine yerlefltiriliyor. Silindirin taban çap› 10 cm ve dik koninin ana do¤rusunun uzunlu¤u 13 cm olarak veriliyor. Silindir ile koninin aras›ndaki bofllu¤un hacmi, koninin hacminden kaç cm3 fazlad›r? ( π = 3) A) 200π C) 200

B) 150π D) 300 cm3

Çözüm 28:

TOA dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak;

h2 + 52 = 132,

2r = 10

r = 5 cm

h2 = 169 - 25 = 144 = 122, V (koni) =

π.52.12

V silindir =

3

π52.12

h = 12 cm’dir.

= 100π cm

E

6

D

fiekildeki ABC ve CDE dik üçgenleri [AD] etraf›nda 360° döndürülüyor. Oluflan cisimlerin hacimleri toplam› kaç π cm3 tür? IABI = 3, IEDI = 6 cm ve IACI = 4 cm A) 4 cm3 B) 108 cm3 3 C) 96 cm D) 84 cm3 Çözüm 29: 3

A

B

3

4

= 300π

5

"

? = 300π -- 100 π = 200π Silindir ile koni aras›ndaki bofllu¤un hacmi Bizden 200π = 100π + ? ? = 100π = 300cm3 Silindir ile koni aras›ndaki bofllu¤un hacminin koninin hacminin 2 kat›na eflit oldu¤una dikkat ediniz. 2V = V + ? ? = V = Koni hacmi kadar fazlad›r.

C

"

8

Do¤ru cevap D’dir.

E

200π 100π

10

130

12

6 D

[AD] do¤ru parças› etraf›nda verilen flekil 360° döndürüldü¤ünde taban yar›çaplar› 3 ve 6 cm olan tepe noktalar› C olan iki dik koni hacmi uzayda süpürülür. KEMAL TÜRKELİ • 8. sınıf SBS MATEMATİK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

3 6 = ICDI = 8 cm olup benzer 4 ICDI üçgenlerden de hesaplanabilir. Oluflan dik dairesel konilerin hacimleri toplam›; π.32.4 π.62.8 ?= + = 12π + 96π =108π cm3tür. 3 3 Do¤ru cevap B’dir. tan α =

T

a=5

h

Büyük koninin benzerinin 23 = 8 kat› oldu¤una dikkat ediniz. H

Örnek TEST 30:

Aç›k flekilleri verilen dik dairesel konilerden hangisinin hacmi, üzerindeki verilere göre bulunamaz? A)

B)

B

T

a

B

A

T

216°

K E M A L

r

C)

D) T

a

A

B

α C

B;

C r=3cm

B

A

216°

C

α

V=

Ta.h 3

V=

9π.4 = 12π cm3 tür 3

Ta = π32 = 9π

5 cm yar›çapl› dairenin çevresi 2π5 = 10π olup 10π 360 IACBI IACBI =

216 10π.216 = 6π cm’dir. 360

Buradan 6π = 2πr r = 3 ve hacim art›k hesapT Ü lanabilir. R A K D; a = 5 cm, r = 3 cm bilindi¤inden pisagordan E h = 4 cm bulunup hacim hesaplanabilir. L ‹

6π cm

Örnek TEST 31:

A

B r=3cm

A,B

r=3

r=3cm

T

α = 240° Çözüm 30:

C seçene¤inde IACBI yay uzunlu¤u koninin taban çevresine eflit oldu¤undan IACBI = 6π = 2π3 = 6π oldu¤undan birinin verilmesi yeterliydi. α aç›s› bilinmeden dik koninin ana do¤rusunun uzunlu¤u hesaplanamaz. Ana do¤ru bulunmazsa, pisagordan koninin cisim yüksekli¤i bulunamaz, k›saca koninin hacmini bulamay›z. Do¤ru cevap C’dir. A;

IACBI = 2π3 = 6π

6π =

dan a = 5 cm olmal›d›r. Pisagordan h2 + 32 = 52

2π.a . 216 oldu¤un360 h = 4 cm’dir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Yar›çap uzunlu¤u 12 cm ve merkez aç›s›n›n ölçüsü 240° olan flekildeki daire diliminden dairesel dik koni biçiminde (taban› yok) külaha benzer bir cisim oluflturuluyor. Koninin yüksekli¤i ve ana do¤rusu hangi seçenekte do¤ru verilmifltir? A) h = 4 5, a = 10 cm B) h = 3 5, a = 13 cm C) h = 4 5, a = 12 cm D) h = 8 cm, a = 12 cm 131


Koni, Küre Çözüm 31:

KEMAL Türkeli Verilen daire diliminden bir koni oluflturdu¤umuzda taban›n›n çev-

2π.12 . 240 360 taban çap› 16 cm’dir. resi 2πr =

r=

1 . 240 = 8 cm olup 30

Taban› olmayan koninin yüksekli¤ini ise pisagor ba¤›nt›s›ndan

Kürenin Hacmi (Volume of Sphere) Bir silindirin tabanlar›na ve yanal yüzlerine te¤et bir kürenin hacmi ile silindirin hacmi aras›ndaki oran› araflt›ral›m.

h2 + 82 = 122 h2 = 144 - 64 = 80 = 16.5 = (4 5)2 h = 4 5 cm ⋲ 8,94 cm hesaplan›r.

r=3

V

a = 12 cm 5 cm

H r = 8 cm

A,B

Do¤ru cevap C’dir. Örnek TEST 32:

Yar›çap ve yükseklikleri verilen 4 tane dik koniden hangilerinin hacimleri birbirine eflittir? Dik koni Yar›çap Yükseklik 1. r h h 2. 2r 2 r 3. 2h 2 r 4. 3r 9 A) 1 ile 2 B) 1 ile 3 C) 2 ile 4 Çözüm 32:

D) 1 ile 4 V1 =

V2 = π(2r)2 . h . 2 r V3 = π( )2. 2h. 2 V4 = π( 3r)2.

πr2.h , 3

2

1 = 2 πr .h = 2V1 3 3 2 1 1 1 = . πr .h = V1 2 2 3 3

2 h . 1 = 1. πr .h = 1.V1 3 9 3

Görülüyor ki V1 = V4 =

132

r=3

2V

T

h=4

h = 2r h = 6 cm

O

πr2.h 4

Do¤ru cevap D’dir.

r = 3 cm 4 . π . r3 Kürenin hacmi = V = 3 4 . . 3 V= π 3 = 36π = 108 cm3 3 Silindirin hacmi = πr2.h = (Taban alan›) . Yükseklik h = 2r = 2.3 = 6 cm V = π32.6 = (9π).6 54π = 162 cm3 Kürenin hacmi Silindirin hacmi

=

36π 2.18 2 = = bulunur. 54π 3.18 3

Arflimet bu oran› bulmufltur. Deneyle bu oran› do¤rulayabiliriz. Küre fleklinde bir topu delerek içini kumla tamamen doldurup sonra da yukar›daki koflullara uygun bir silindire boflalt›rsan›z 2 .6 = 4 cm’e kadar dolaca¤›n› silindirin yüksekli¤inin 3 görünüz. Topun kabu¤unun olabildi¤ince ince olmas› gerekir. Yoksa kum yüksekli¤i silindirin yüksekli¤inin 2 ünden az olur. Matematik yoldan ispat›n› ise Lise 3 sonda integral konusunu ö¤renince göreceksiniz. Görülüyor ki silindirin hacmi .

2 = Kürenin h. 3

2 4 = π r3 √ 3 3 Dikkat ederseniz silindir ile küre aras›ndaki bofllu1 . ¤a su doldurursak (54π) = 18π = 54π cm3 su 3 dökebiliriz, fazlas› taflacakt›r. 54π = 36π + 18π (πr2.2r).

Silindirin H = Küre H + Bofllu¤un hacmi

3V = 2V +

V

iliflkisine dikkat ediniz.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Kürenin hacminin, taban yar›çap› r, yüksekli¤i r olan 4 tane dairesel dik koninin hacmine eflit oldu¤una dikkat ediniz. Lise sonda ispat›ni ö¤reneceksiniz.

(

2 V = 4 . πr .r 3 4 V= πr3 3

T

)

9 16 7 C) 1 9

r

Hacim formulünü aç›klamak için di¤er bir yol da alanlar› olabildi¤ince küçük yükseklikleri de kürenin r yar›çap›na eflit olan say›lamayacak kadar çok say›da külah› (dik koni) Tepe noktalar› küre merkezinde olacak flekilde küre içine yerlefltirdi¤imizi hayal edelim.

r

O

n tane koninin hacmi

( T.r3 ) = (nT) . 3r kürenin alan› formulü

( T.r3 ) = (4πr ). 3r 2

Örnek TEST 33:

Yar›çap› 3 cm olan kürenin hacmi kaç cm3’tür? B) 81

C) 135 cm3

D) 324 cm3 Kürenin hacmi = V =

π = 3, r = 3 yazarsak

V1 = V2 =

3 4

=

A) 108 cm3

Çözüm 33:

Çözüm 34:

3r ise

4 3 kürenin haπr 3 cim formulü elde edilir. Konilerin yükseklikleri kürenin yar›çap›na eflittir. Siz de ka¤›ttan ayn› büyüklükte külahlar (koni) yaparak yöntemi anlamaya çal›fl›n. ?= n

3 2 27 D) 64 B)

r1 3 3k = = r2 4 4k

4 πr13 3 4 πr23 3 3

=

=

r1 3 r2 3

=

r1 r2

k = 1 için 3

3 . 3 . 3 27 = 4 4 4 64

‹ki küre benzer cisimler oldu¤undan benzer iki cismin hacimleri oran›n›n benzerlik oran›n›n küpüne eflit oldu¤una dikkat ediniz. Yar›çap uzunluklar› r cinsinden verilen kürelerin K E hacimlerini hesaplay›n›z. π = 3 M Kürenin yar›çap uzunlu¤u, r = 6 cm V = ? cm3 A L 32π 3 4 .r dir. 2r ise .π. (2r)3 = 3 3 T Ü 4 . 3.123 = 6912 cm3 dir. R 3 K 3 π .3 r 4 r E ise = r π L 2 3 2 6 ‹ 4 . 3.33 = 108 cm3 dir. 3

r

nT = 4πr2

‹ki kürenin yar›çap uzun4 luklar›n›n oran› ise ha3 cimlerini oran› kaçt›r?

A)

r

n

Örnek TEST 34:

r ise 3

4 π. (3r)3 = 36π.r3 3 4 . 3.183 = 23328 cm3 dir. 3 3 r 4 4π . 3 = r π 3 3 81 4 . 3.23 = 32 cm3 dir. 3

20 cm olan küre 3 fleklindeki Alüminyumdan yap›lm›fl bir topun kütlesi kaç gramd›r? (π = 3, Alüminyum özkütlesi (density) 2,7 g/cm3 tür.) 4000 A) 400 g B) g 27 C) 4000 g D) 400π g Örnek TEST 35:

4. 3 π.r 3

V = 4 .3.33 = 4.33 = 4.27 = 108 cm3’tür. 3 Do¤ru cevap A’d›r. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Çap›

133


Hacim Hesab› Çözüm 35 :

V=

KEMAL Türkeli m = V.d olup Alüminyum kürenin hacmi

4 . 3 . 10 3 3

3

2r =

20 3

r=

10 cm 3

olacakt›r. 1000 4000 . 27 27 4000 4000 27 m = V.d = . 2,7= . = 400 g 27 27 10 Do¤ru cevap A’d›r.

Yüksekli¤i yar›ya indirildi¤inde hacmi 102.6 = 100.2 = 200 cm3 3 Görülüyor ki çarpanlardan biri yar›ya indirildi¤inde hacmi de yar›ya düflmektedir. V2 =

Do¤ru cevap C’dir.

V = 4.

Örnek TEST 38:

Küre fleklindeki bir karpuz tam ortas›ndan kesiliyor. A

B

Örnek TEST 36:

1997 y›l›nda Antalya’da yap›lan Cam Piramit Sabanc› Kongre ve Fuar Merkezi’nin taban› 3000m3 ve yüksekli¤i 22,76 m oldu¤una göre hacmi kaç m3 tür? A) 68 280 m3 C) 34 140 m 3

B) 22 760 m3 D) 45 520 m3

Çözüm 36:

A

Cam piramidin hacmi = Taban Alan› x Yükseklik 3 3000.22,76 CPV = = 1000.22,76 3 = 22760 m3 bulunur. Do¤ru cevap B’dir. Örnek TEST 37:

Taban›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 10 cm olan kare piramidin yüksekli¤i 12 cm’dir. Taban› ayn›, yüksekli¤i ise yar›s› olan piramidin hacmi kaç cm3 tür? A) 300 cm3 C) 200 cm3

B) 250 cm3 D) 400 cm3 ITHI = 12 cm, 12 = = 6 cm 2 102.12 V1 = = 100.4 3 = 400 cm3 IT›HI

T

6 T

D

I

C

6 6 H

5 6

A

134

10 cm

A

IOAI = 13 cm, IOBI = 12 cm Kürenin yar›çap› 13 cm, karpuzun kabuk kal›nl›¤› 1 cm ölçülüyor. Yar›m karpuzda kabuk k›sm›n›n hacmi kaç cm3 tür? (π=3) A) 938 cm3 C) 1876

B) 3456 D) 469 cm3

Çözüm 38: V1 =

Çözüm 37:

B

O

Yar›m kürenin hacmi; r = 13 cm

4 1 = π.r3 . 3 2

4 1 .3.133 . 3 2

= 2.133 cm3 = 4394 cm3 tür. Karpuzun yenebilen k›sm›n›n hacmi; r = 12 cm V1 =

1 . 2

4 1 πr3 = . 3 2

4 .3.123 3

= 2.123 = 3456 cm3 ? = V1 - V2 = 4394 - 3456 = 938 cm3 karpuzun kabuk k›sm›n›n hacmidir. Do¤ru cevap A’d›r.

B

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 39:

T

Çözüm 40: Bir portakal›n hacmini hesaplayal›m. 2r = 6 cm r = 3 cm olup 3 3 4 V= .3.3 = 108 cm bulunur. 3 5 . 108 = 60 cm3 portakal suyu elde edecektir. 9 0,6 Litre = 600 cm3 için 600 = 10 adet portakal s›kmas› gerekecektir. 60 Do¤ru cevap D’dir.

12

H A

2

2

Örnek TEST 41: B D

Yüksekli¤i 12 cm (ITHI = 12 cm), Taban çap› 4 cm (IABI = 4 cm) olan koni fleklindeki Everest da¤› modelini oluflturmak için kaç cm3 hamur kullanmam›z gerekir? (π= 3) A) 144 cm3 C) 48 cm3

B) 60 cm3 D) 192 cm3

V = Ta.h 3 Ta = πr2 = 3.22 = 12 cm2 2r = 4 2 cm V = 12.12 = 12.4 = 48 cm3 hamura ihtiyac›m›z 3 vard›r. Çözüm 39:

C

h = 6 cm

O

K E M A L

r = 4 cm

A

B

Bir küre içerisine alt ve üst taban çaplar›n›n

T uç noktalar› küre üzerinde olan bir silindir yerleflÜ R tiriliyor. Küre ile silindir aras›nda kalan bofllu¤un K hacmi kaç cm3’tür? (π = 3) E L A) 212 cm3 B) 288 cm3 ‹ 3 C) 188 cm D) 260 cm3 Do¤ru cevap C’dir. Çözüm 41:

Örnek TEST 40:

Diyet program› uygulayan Melis günde ortalama 0,6

H

D

C

3

litre portakal suyu içmeyi planl›yor. Efl portakallardan birini iki eflit parçaya bölüp çap›n› 6 cm

O

olarak ölçüyor. Bir portakal› s›kt›¤›nda hacminin 5 ‘u kadar portakal suyu ç›kt›¤›n› sapt›yor. Geri 9 kalan› posa ve kabuk olarak sapt›yor. 0,6 Litre

3 A

h = 6 cm r 4 K

B

portakal suyu içmek için kaç tane portakal s›kmas› gerekecek? (π=3, portakal› küre olarak varsay›n›z) A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Silindirin alt ve üst tabanlar› paralel eflit oldu¤undan kürenin merkezinin iki tabandan eflit uzakl›kta olmas› gerekir. 6 IOHI = IOKI = = 3 cm olacakt›r. 2 OKB üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›n› uygularsak, r2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 r = 5 cm kürenin yar›çap uzunlu¤udur. 135


Hacim Testleri

KEMAL Türkeli

4 .3.53 = 500 cm3 tür. 3 Silindirin hacmi = πr2.h = (3.42).6 Kürenin hacmi =

= 48.6 = 288 cm3 ? = Küre - Silindir = 500 - 288 = 212 cm3 Küre ile silindir aras›ndaki bofllu¤un hacmidir. Do¤ru cevap A’d›r.

Dik koninin hacmi 128 cm3 oldu¤u bilindi¤ine göre, küre ile koni aras›ndaki bölgenin hacmi kaç cm3 tür? (π = 3 al›n›z) A) 500 cm3 C) 300 cm3

B) 372 cm3 D) 628 cm3

Çözüm 43:

T

Örnek TEST 42:

Silindir fleklindeki kab›n içinde su varken yar›çap› 6 cm olan bir küre batacak flekilde içine b›rak›l›yor. Kab›n su seviyesi 4 cm yüksekli¤ine göre silindirin yar›çap› kaçt›r? (π = 3) A) 6 cm C) 3 2 cm

B) 6 2 cm D) 9 cm

r O

A

Çözüm 42:

4 cm

Seviyedeki art›fl Su

6 cm O

r

Yükselen su seviyesinin hacmi kürenin hacmine eflit oldu¤undan 4 π63 = π.r2.4 3 r2 = 72 = 36.2 = (6 2)2 r = 6 2 cm hesaplan›r. Do¤ru cevap B’dir.

r

8-r

H

4 cm

B

πr2h = 128

42.h = 128 h = 8 cm 3 koni yüksekli¤idir. OBH dik üçgeninde Pisagor ba¤›nt›s›n› uygulayal›m. r2 = 42 + (8 - r)2 r2 = 16 + 64 - 16r + r2 16r = 80 r = 5 cm Kürenin hacmi ise 4 V1 = . π.r3 = 4.53 = 500 cm3 3 ? = Küre hacmi - Koni hacmi = 500 - 128 ? = 372 cm3 küre ile koni aras›ndaki bölgenin hacmidir. Do¤ru cevap B’dir.

‹z Düflümü ve Çok Yüzlüler Perspektif Çizimi: (Perspective Drawing)

Örnek TEST 43:

T

O

A

H

B

fiekilde, taban yar›çap› 4 cm olan dairesel dik koninin tepe noktas› T olup taban›n›n çemberi O merkezli kürenin yüzeyinde bulunmaktad›r. 136

Gerçek dünyadaki 3 boyutlu cisimleri 2 boyutlu bir ka¤›da çizerken gerçe¤ine yak›n bir izlenim yaratmay› amaçlayan bir çizim yöntemidir. Amaç gözlemcide biçim ve orant› bak›m›ndan gerçe¤e yak›n (3 boyutlu) bir etki yaratmaktad›r. Bir tren yoluna bakt›¤›m›zda paralel raylar›n ileride ufuk çizgisinde (tren raylar›n›n bitti¤i yerde) gökyüzüyle birleflen çizgiye ufuk çizgisi denir. Gözümüzden uzaklaflt›kça birlefliyorlarm›fl gibi görünen raylara (çizgilere) kaybolunan do¤rular, tren raylar›n›n birlefliyorlarm›fl gibi göründü¤ü noktaya da kaybolunan nokta ad› verilir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Bir Nokta Perspektifi yöntemi ile ön yüzü çizim düzlemine paralel olan dik üçgen prizma fleklindeki çad›r›n çizimini yapal›m Çad›ra sa¤dan bakt›¤›m›z› varsay›yoruz. N noktas› kaybolunan noktad›r.

Dünyam›z tepsi (düzlem) gibi olmad›¤›ndan uzaktan bir geminin önce bacas› görülür. Geminin denizde görülmeye baflland›¤› nokta ufuk çizgisidir. Gökyüzü

A

Ufuk çizgisi

Kaybolunan Nokta

N

Tren Raylar›

A›

A C› Bir Nokta Perspektifi:

N

K E M A L

B

C

‹ki Nokta Perspektifi:

T Ü R K E L ‹ E

D C

B

A

Ön yüzü çizme (resim) düzlemine paralel olan prizman›n perspektifini çizelim. Prizmaya sa¤›ndan bakt›¤›m›z› varsayal›m. N noktas› kaybolunan noktad›r. ABCDE beflgeninin befl noktas›n› N ile birlefltiren noktal› do¤ru parçalar›n› çizdik.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Prizman›n ön yüzü çizim düzlemine paralel de¤ilse yani prizman›n bir köflesinde kesiflen üç yüzeyinin de görünmesi amaçlan›yorsa iki kaybolunan nokta ile cismin (prizma) perspektifi çizilir.Örnekte ön kapa¤› s›rt› ve bir yan yüzü görülecek flekilde çizim düzlemine bir yan yüzü paralel olmayan bir kitab›n (dikdörtgenler prizmas›) perspektif çizimi yap›lm›flt›r.

137


Ölçme

KEMAL Türkeli

ÇOK YÜZLÜLER VE ARA KES‹TLER‹ (Polyhedra) Bütün yüzleri, bütün ayr›tlar› efl olan çok yüzlülere düzgün çok yüzlü denir. Bunlar yüzeyleri düzgün çokgenlerdir. Eski Yunan filozofu Platon kenarlar› (ayr›t uzunluklar›) efl olan çok yüzlülerle tabiat› aç›klayan modeller öne sürdü¤ünden düzgün kat› cisimlere platonik cisimler denir. Dört yüzü birbirine efl ve eflkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü (Tetrahedron) denir. Düzgün dörtyüzlünün alt› ayr›t› da eflit uzunlukta (ITAI = ITBI = ITCI = IABI = IBCI = IACI = 6 cm) olup piramidin yükseklik aya¤› tabandaki eflkenar üçgenin a¤›rl›k merkezidir. A¤›rl›k merkezinin kenarortaylar›n kesim noktas› oldu¤unu hat›rlay›n›z.

Düzgün dört yüzlüde bir köflesinde kesiflen yüzey say›s› 3’tür. Bir yüzeyinin kenar say›s› 3’tür. Düzgün dört yüzlünün her hangi iki noktas›n› (AB, AD, TH) birlefltiren do¤ru parças›n›n tüm noktalar› bir yüzeyinde veya cismin içinde kald›¤›ndan D›flbükeydir. Düzgün dört yüzlü TH yüksekli¤inin orta noktas› E’den geçen taban düzlemine paralel bir düzlemle kesilirse ara kesiti taban alan›na benziyen bir üçgendir. (T,A›B›C›) ve (T,ABC) düzgün dört yüzlüleri benzerdirler. T

3

3 A›

T

3

3

C›

E

3

3

B› 6 6

2

C

A

6

H 6

6 A

C 2

3

3

3

H

D

a=6 B

a 3 2 Düzgün dörtyüzlünün yan yüz yüksekli¤i a 3 IADI = = 3 3 cm 2 (IADI = ITDI = 3 3 ⋲ 5,2 cm) 3, IAHI = 2

3,

IADI =

Düzgün dörtyüzlünün cisim yüksekli¤i a 6 ITHI = ITHI = 2 6 ⋲ 4,9 cm 3 (TAH) dik üçgeninde pisagor ba¤›nt›s›ndan bulunur.) Düzgün piramitte bir yanyüz yüksekli¤ine düzgün piramidin apotemi (Apothem) denir. a 3 IADI = = 3 3 cm 2 Düzgün dört yüzlünün köfle say›s› = K = 4 Düzgün dört yüzlünün yüzey say›s› = Y = 4 Düzgün dört yüzlünün ayr›t (kenar) say›s› = A = 6 Euler ba¤›nt›s› K + Y - A = 2 (Euler Formülü) 4+4-6=2 138

ITHI = 6 2 4.A (A›B›C›) = A (ABC), V (TABC) = 8.V› (TA›B›C›) Dikkat ederseniz kenarlar›n›n benzerlik oran› 2 oldu¤undan taban alanlar› 22 = 4 kat iliflkisi vard›r. Hacimlerinde ise 23 = 8 kat (Benzer iki cismin hacimleri oran› benzerlik oran›n›n küpüne eflit olaca¤›ndan) iliflkisi vard›r. Düzgün dört yüzlünün alan›: Bir ayr›t› a = 6 cm ise ITEI = IEHI =

3

IHDI =

B

a2. 3 = a2. 3 = 36 4 Düzgün dört yüzlünün hacmi: A=4

V=

a3. 2 = 18 12

3 ⋲ 62,4 cm2

2 ⋲ 25,5 cm3

Düzgün dört yüzlü taban›na paralel bir düzlemle kesildi¤inde kesit düzlemi A›B›C ve düzgün piramidin taban› aras›nda kalan cisme, düzgün kesik piramit denir. Dikkat edilirse tabanlar› birbirine benzer birer eflkenar üçgendir. Yan yüzleri, birbirine efl birer ikizkenar yamuktur.

do¤rudur.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Tabanlar›n a¤›rl›k merkezlerini birlefltiren do¤ru ITHI parças› IHEI = = 6 cm tabanlara diktir ve 2 uzunlu¤u kesik piramidin yüksekli¤idir. Düzgün dört yüzlü tepe noktas› T’den, H’den ve A noktas›ndan geçen bir düzlemle kesilirse ara kesiti TAD üçgeni olur.

DÜZGÜN ALTI YÜZLÜ (Cube, Küp, Hexahedron) D›

C›

A›

B›

T 6

D

a = 6 cm

2

6

A

2

3

6

3 A

B

6

B› köflesinde kesiflen üç yüzeyinden üst taban ile sa¤ ve sol yan yüzü görünecek flekilde yerlefltirilmifl olsun. ‹ki nokta perspektifi ile perspektifini çizelim.

D

H

3

C

3

X ITHI = IAHI =

a

6 3

a

=2

6 cm

=2

3 cm

3 3

K E M A L

3 = 3 cm 6 ITDI = IADI = 3 3 cm IHDI =

a

T Ü R K E L ‹

TAD üçgeni ikizkenar üçgendir. T

3 C›

A› 3

A

C 3

3 D

E 3

3 B

Düzgün dört yüzlünün kenarlar›n›n orta noktalar› A›,C›,D,E olan

Y

D› C›

A› A

B›

C

B Küpün alt› yüzünün her biri karesel bölgedir. 12 ayr›t› vard›r ve uzunluklar› eflittir. 8 köflesi vard›r. Herhangi bir köflesinde kesiflen üç ayr›t› birbirine dik ve uzunluklar› eflittir. IABI = IBB›I = IBCI = a = 6 cm’dir. K= Köfle say›s› = 8 Y= Yüzey say›s› = 6 A= Ayr›t (kenar) say›s› = 12 Euler formülü K + Y - A = 2 8 + 6 - 12 = 2 do¤rudur. Bir küp, tabanlar›ndan birine paralel bir düzlemle kesilirse ara kesiti bir kare olur.

noktalar›ndan geçen bir düzlemle ara kesiti

A›C›ED

dörtgeni bir eflkenar dörtgendir.

IA›C›I

= IDEI =

IA›AI

IA›TI

=

IA›DI

=

IC›EI

= 3 cm

= IDAI = IDBI = IEBI = IECI = 3 cm

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Yapılmış küçük işler, planlamış büyük işlerden daha iyidir. Nathaniel Emmon 139


Cisimlerin Ara Kesitleri

KEMAL Türkeli

D›

C›

C›

A›

6 6

A›

B›

H

a = 6 cm

6

G 6

E

F

6

6 A

A

C

B

6

EFGH’nin alan› a2 = 62 = 36 cm2 dir. Düzgün alt› yüzlü (küp) nün herhangi iki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças› ([AB], [AC›], [AB›] n›n tüm noktalar› alt› yüzlünün bir yüzünde veya içinde kald›¤›ndan d›flbükeydir. C›

a

IACI = a

a

C

2

A

2=6

2 cm’dir.

geçen bir düzlemle kesilirse ara kesiti bir ikizkenar üçgendir.

5 2

T

T

4

3

A

a r

5 B

6 cm

A

2r = 6 cm

B

B

a=6

D›

C›

a = 2r ise arakesit düzlemi bir eflkenar üçgendir. Dik silindir taban merkezlerinden geçen tabana dik bir düzlemle kesilirse ara kesit yüzeyi bir dikdörtgen olur. A›

A›

O›

A›

O›

A›

A›

B› h

h

G

3

3

2

2 3

F

3

IGB›I

C

E

B

IFAI = IFBI = IGBI = = IEBI = IECI = 3 cm olacak flekilde bir küp EFG noktalar›ndan geçen bir düzlemle kesilirse ara kesit yüzeyi olan EFG üçgeni a . bir kenar uzunlu¤u 2 = 3 2 cm olan bir 2 eflkenar üçgen olur. 140

a=5

r=3 a = 5 cm

Bir küp, flekildeki gibi A›C›B noktalar›ndan geçen bir düzlemle kesilirse ara kesit yüzeyi bir eflkenar üçgendir. IA›C›I = IA›BI = IBC›I = a 2 = 6 2 ⋲ 8,5 cm’dir

A

2

Bir dik koni AB çap›ndan ve T tepe noktas›ndan

B›

a

2=6

Küp AC taban köflegeninden ve A› noktas›ndan geçen bir düzlemle kesilirse ara kesit yüzeyi bir dikdörtgendir. Dikdörtgenin IAA›I = a = 6 cm

2

A›

C

a

A

O

B

A

r

O

r=3 B

Ara kesitin bir kare olabilmesi için h = 2r = 2.3 = 6 cm olmal›d›r.

Bir eylemin atası düşüncedir. Ralph Waldo Emerson KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Örnek TEST 44: Afla¤›daki ifadelerden yanl›fl olan› hangisidir? A) Bütün yüzleri ve bütün ayr›tlar› efl olan çok yüzlülere düzgün çok yüzlü (Platonik cisimler) denir. B) Küp tam ortadan bir düzlemle kesildi¤inde ara kesiti yüzeylere dik olacak flekilde bir karesel bölgedir. C) Herhangi iki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças›n›n tüm noktalar› çok yüzlünün yüzeyinde D) K + Y - A = 3 Euler formülü çok yüzlülerin köfle say›s› (K), yüz say›s› (Y) ve ayr›t say›s› (A) aras›ndaki iliflkiyi verir. Euler Formülü (ba¤›nt›s›)

K + Y - A = 2 oldu¤undn D seçene¤i yanl›flt›r. Do¤ru cevap D’dir.

10 cm

O

5

3

A›

4

O› 2

T

IOAI = r1 = 10 cm, IO›A›I = r2 = 4 cm,

8 125

B)

2 25

C)

3

3.102.5 = 500 cm3’tür. 3 π.42.2 Küçük koninin hacmi = = 32 cm3’tür. 3 Dik dairesel küçük koni tam ortadan iki eflit V=

parçaya ayr›l›rsa yar›s›n›n hacmi 16 4 = 500 125

32 = 16 cm3 2

Do¤ru cevap C’dir.

Küçük koni ile büyük koni benzer cisimler olduklar›ndan hacimlerinin oran› benzerlik oran›n›n küpüne eflittir. V1 V2

=

( 104 = ( 25

A) 32π

fiekildeki dik dairesel koninin taban yar›çap› IOAI = r1 = 10 cm, yüksekli¤i ise h1 = 5 cm olup taban düzlemine paralel olarak kesiliyor. IOO ›I = 3 cm, IOTI = 5 cm, IO›TI = 2 cm’dir. Oluflan küçük koni TO › boyunca tam ortadan eflit (simetrik) iki parçaya bölünüyor. Küçük koninin yar›s›n›n hacminin tamam›n›n (büyük dik dairesel koni) hacmine oran› hangi seçenekte verilmifltir? (π = 3 al›n›z.) A)

π.r2.h

3

3

=

8 8V = dir. 125 125V

Küçük koni simetri ekseninden geçen taban K düzlemine dik bir düzlemle iki eflit parçaya bölünE M 8V A dü¤ünden yar›s›n›n hacmi: 2 = 4V’dir. L 4V V B ?= = istenilen orand›r. 125V 125 T Ü R Örnek TEST 46: h2 = 3 cm K A Çap› 4 cm olan 2 plastik top, E L silindir fleklindeki kutuya alttan, ‹ üstten ve yanlardan de¤ecek flekildedirler. Üstten aç›lan bir delikten huni ile toplar ile silindir aras›ndaki h1 = 2 cm bofllu¤a (uygun yöntem kullanarak) 4 en çok cm3 su doldurulabilir? (π = 3 al›n›z.)

Örnek TEST 45: A

Koninin hacmi =

r = 10 cm, h = 5 cm

?=

veya içinde kal›yorsa d›flbükeydir.

Çözüm 44:

Çözüm 45:

4 125

D)

8 25

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

B) 64

C) 96

D) 32

Çözüm 46: Silindirin hacmi = Taban alan›.yükseklik = T.h V = πr2.h = π22.8 = 32π = 96 cm3’tür. Toplardan birinin hacmi= V = 4 πr3 = 4 π23 3 3 32π = = 32 cm3 3 2 32π Bofllu¤un hacmi = 32π - 2. = 32(1)π 3 3 32π = ⋲ 32 cm 3 Görüyoruz ki aradaki bofllu¤a 3 32π en çok ⋲ 32 cm3 su doldurabilir. Fazlas› d›fla3 r›ya taflacakt›r. Do¤ru cevap: D 141


SBS TEST Sorular›

ÜN‹TE 5

Do¤ru cevaplar›, aç›klamal› çözümleri 205. sayfadad›r.

1. Ayr›tlar› a = 10 cm, b = 5 cm, c = 20 cm olan dikdörtgenler prizmas› fleklindeki içi bofl bir kaba bir musluktan dakikada 25 cm3 su ak›t›yoruz. t = 30 dakikada kab›n bofl k›sm›n›n hacmi kaç cm 3 olacakt›r? 3

3

A) 350 cm

C) 250 cm

B) 300 cm

3

D) 200 cm

6. Bir dik düzgün alt›gen piramidin taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 4 cm, yüksekli¤i ise 2 cm olarak biliniyor. Bu dik alt›gen piramitle ilgili hangi seçenekte verilen bilgi yanl›flt›r? A) Hacmi 16

3 cm3 tür.

B) Bütün alan› 48 + 24 3 cm2 dir. C) Yanal yüz yüksekligi 4 cm dir

3

D) Yanal yüzlerin toplam alan› 42 cm2 dir. 2. Yar›çap› 5 cm olan silindir fleklindeki bir kapta h = 15 cm yüksekli¤inde su vard›r. Silindir fleklindeki kapta bulunan suyun tamam› taban›n›n bir kenar›n›n uzunlu¤u a = 5 cm olan kare dik prizmaya boflalt›l›rsa suyun yüksekli¤i kaç cm olur? (π = 3) A) 48 cm C) 39 cm

7. Çap› 6 cm olan küre fleklindeki bir dondurma topu taban çap› 6 cm yüksekli¤i 12 cm olan bir külaha flekildeki gibi konuyor. fiayet dondurman›n hepsi hiç yenmeden erirse hangi seçenekteki durum gerçekleflir. (π = 3)

B) 45 cm D) 33 cm

3

3

3

3

3. Ayr›tlar› 2, 3, 5 ile do¤ru orant›l› olan a b c = = bir dikdörtgenler prizmas›n›n bütün 2 3 5 alan› 248 cm2’dir. Bu dik prizman›n yar›s›n›n hacmi kaç cm3 tür? A) 120 cm3

B) 125 cm3

C) 130 cm3

D) 135 cm3

A) Eriyen dondurma taflacakt›r. Taflan s›v›n›n hacmi 6cm3 tür.

4. Bir dik piramidin hacmi 400 cm3, yüksekli¤i ise h = 12 cm’dir. Bu dik kare piramidin toplam alan› kaç cm2 dir? T A) 230 cm2 B) 360 cm2

h

C) 425 cm2

D

D) 460 cm2

C H

A

E B

5. Yüksekli¤i 8 cm olan bir kare dik piramidin hacmi 384 cm3, bütün alan› 384 cm2 ise bir yanal yüzünün yüksekli¤i kaç cm’dir? A) 14

B) 12

C) 10

h = 12 cm

D) 8

B) Eriyen dondurman›n 3 cm3 lük k›sm› taflacakt›r. C) Eriyen dondurman›n hacmi külaha eflit oldu¤undan taflma gözlenmez. D) Eriyen dondurma taflmaz, külahta 6 cm3 daha boflluk kal›r. 8. [OA] do¤ru parças› O (0,0) ve (12,5) noktalar›n›n birlefltirilmesiyle oluflmufltur. [OA] do¤ru parças› x ekseni etraf›nda " aç›s› sabit olacak flekilde 360° döndürülüyor. (OAH düzlemi döndürülüyor diye düflünün). Oluflan hayali koninin ayn›s› bir marangoza tahtadan yapt›r›l›yor. Hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? (π = 3) y ekseni A (12,5)

O

x ekseni

" = 23 H

(12,-5)

142

KEMAL TÜRKELİ • 8. sınıf SBS MATEMATİK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

A) Dik koninin hacmi 900 cm3 tür. B) Dik koninin bütün alan› 270 cm2 dir. C) Dik koninin yanal alan› 195 cm2 dir. D) Dik koninin taban›n›n çevresi 30 cm’dir.

12. Taban yar›çap› 6 cm, yüksekli¤i 8 cm olan dik koninin içine taban›na ve yan yüzlerine te¤et olacak flekilde bir küre yerlefltiriliyor. Koni ile küre aras›nda kalan bofllu¤un hacmi kaç cm3 tür. (π = 3) T

3

A) 150 cm 9. Taban yar›çap› r ve yüksekli¤i 8 cm olan bir dik koninin hacminin, yar›çap› r olan bir kürenin hacmine eflit olmas› için r kaç cm olmal›d›r? A) 1 cm

B) 2 cm

C) 3 cm

D) 4 cm

4 10. Alanlar› oran› olan iki kürenin hacimleri 9 oran› afla¤›dakilerden hangisidir? 8 2 13 2 2 A) B) C) D) 27 3 9 3 3 11. Taban yar›çap› r = 3, yüksekli¤i h = 2r = 6 cm olan silindirin tabanlar›na yar›çaplar› r = 3 cm yükseklikleri h = r = 3 cm olan iki dik koni flekildeki gibi yerlefltiriliyor. Silindir ile iki koni aras›ndaki bofllu¤un hacmi için hangi seçenekteki önerme do¤rudur? A) 1 cm

B) 2 cm

C) 3 cm

D) 4 cm

O

r = 3 cm A

B) 160 cm3 C) 170 cm3

O O

D) 180 cm3

6

13. Bir dikdörtgenler prizmas›n›n ayr›tlar› 3, 4, a b c 12 ile orant›l›d›r. = = Bu dikdörtgenler 3 4 12 prizmas›n›n cisim köflegeni 26 cm ise bütün alan› kaç cm2 dir? A) 384 cm2

B) 576 cm2

C) 768 cm2

D) 816 cm2

14. Bir dikdörtgenler prizmas›n›n a, b, c boyutlar› 1 1 1 31 aras›nda + + = ba¤›nt›s› vard›r. a b c 30 Bu prizman›n hacmi 30 cm3 ise bütün alan› kaç cm2 dir? A) 31 cm2

B) 62 cm2

C) 93 cm2

D) 60 cm2

15. Dik dikdörtgen piramidin yüksekli¤i ITHI = 12 cm’dir. IABI = a = 18 cm, IBCI = b = 10 cm ise hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? T

12 C

D 5 F

H 5

A) Yar›çap› r = 3 cm olan küre hacmine eflittir. B) Yar›çap› r = 3 cm olan kürenin yar› hacmine eflittir. C) Yar›çap› r = 6 cm olan küre hacmine eflittir. D) Yar›çap› r = 6 cm olan kürenin yar› hacmine eflittir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

A

9

E

9

B

A) Dik piramidin toplam alan› 554 cm2 dir. B) Dik piramidin yanal alan› 384 cm2 dir. C) ITEI = 13 cm’dir. D) ITFI = 15 cm’dir. 143


KEMAL Türkeli

5. Ünite SBS Testi 16. Dik düzgün alt›gen piramidin taban›n›n bir ayr›t› 6 cm, piramidin yüksekli¤i de 3 cm dir. Hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? A) Taban alan› 54 3 ⋲ 93,5 cm2 dir.

20.

B) Yanal yüzünün yüksekli¤i 6 cm’dir. C) Toplam alan› = 54 3 + 96 ⋲ 189,5 cm2 dir. D) Hacmi 54

B

5

O

D 2

6 cm3 tür. A

17. Ana do¤rusunun uzunlu¤u a = 12 cm olan bir dik koninin aç›l›m› flekilde verilmifltir. Hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? (π = 3) 12

C

3

s (BAC) = s (ACD) = 90°, IABI = 5 cm IACI = 3 cm, ICDI = 2 cm fiekil O merkezli 3 cm yar›çapl› çeyrek bir daire ile bir dikdörtgenden oluflturulmufltur. Kapal› bölgeyi AB kenar› etraf›nda 360° döndürdü¤ümüzde oluflan cisim ile ilgili hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? (π = 3)

r

A) Yar›m kürenin alan› 54 cm2 dir. B) Silindirin yanal alan› 36 cm2 dir

A) Dik koninin taban yar›çap› 5 cm’dir. B) Yanal alan› 180 cm2 dir. C) Dik koninin yüksekli¤i 119 = 10,9 cm’dir. D) Koninin bütün alan› 245 cm2 dir. 18. Taban yar›çap› 5 cm olan bir dik koninin yanal 2 alan›n›n si, 26π cm2 dir. Bu koni ile ilgili hangi 5 seçenekteki önerme yanl›flt›r? (π = 3)

C) Cismin hacmi 108 cm3 tür. D) Cismin toplam alan› 81 cm2 dir. 21. fiekilde r = IOAI = 3 cm olan geometrik cisimde dik koninin taban› ile kürenin en büyük dairesi ayn›d›r. Hangi seçenekteki bilgi yanl›flt›r? IOTI = 4 cm’dir. (π = 3) T

2

A) Yanal alan› 195 cm dir. B) Konini yüksekli¤i 12 cm dir. C) Bütün alan› 260 cm2 dir. D) Hacmi 300 cm3 tür. 19. Bir küre içine flekildeki gibi yerlefltirilen silindirin taban yar›çap› 3 cm ve yanal alan› 48π cm2 dir. Bu kürenin alan› kaç cm2 dir.

A) 225 cm2 B) 300

cm2

C) 432 cm2 D) 450 cm2

h

H

144

r 3

O

3 cm

A

A) Tabanlar› çak›fl›k dik koni ile yar›m küreden oluflturulan cismin toplam alan› 99 cm2 dir. B) Cismin hacmi 90 cm3 tür.

O h

B

A

C) Cismin iki farkl› yüzü vard›r. D) Dik koninin yanal yüzeyini oluflturan sektör yay›n›n uzunlu¤u, koninin taban›ndaki çemberin çevre uzunlu¤unun 2 kat›na eflittir.

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K A) fiekildeki piramidin hacmi 16 cm3 tür. B) fiekildeki piramidin toplam alan›

22. Yüksekli¤i 12 cm, taban yar›çap› 5 cm olan ITOI ekseni boyunca kesilerek oluflturulan üçte bir koni ile ilgili hangi seçenekteki ifade yanl›flt›r?

22+6 17 ⋲ 46,7 cm2 dir C) fiekildeki piramidin yanal alan›

T

10+6 17 ⋲ 34,7 cm2 dir D) fiekildeki piramidin ayr›tlar›n›n uzunluklar› A

12

r = 5 cm

toplam› 8 + 4

0

120°

A

O

5

120°

C

B

C

B

s(AOB) = 120° ITOI = 12 cm IOAI = IOBI = r = 5 cm s(ACB) = 120° olup daire kesmesi üçte bir koninin taban›d›r. (π = 3 al›n›z)

26 cm’dir.

25. Yüksekli¤i 10 cm olan bir silindir alt ve üst tabanlar›na dik taban merkezinden geçen bir düzlemle kesildi¤inde silindirin ara kesiti kare oluyor. Oluflan yar›m silindirlerden birinin toplam alan› kaç cm2 dir? (π = 3)

A) Üçte bir koninin yüzey alan› 90 cm2 dir. B) Üçtebir koninin hacmi 100 cm3 tür. C) Dik koninin ana do¤rusunun uzunlu¤u ayn› zamanda koninin yüksekli¤i olup 12 cm’dir. D) Kesik dik dairesel koninin yanal alan›n› oluflturan daire diliminin yay uzunlu¤u 10 cm’dir. 23. Bir kürenin içine taban alan› 48 cm2 yüksekli¤i 6 cm olan bir silindir yerlefltiriliyor. Silindirin taban dairesinin çevresi küre yüzeyi üzerinde oldu¤una göre kürenin alan› kaç cm2 dir? (π = 3 al›n›z) A) 144

B) 300

C) 96

O

A) 325

T

C) 225

D) 475

26. Afla¤›dakilerden hangisi platonik (Platonic) bir cisim de¤ildir? A) Tetrahedron (4 yüzlü) B) Kare piramit C) Hexahedron (Küp veya 6 yüzlü) D) Octa hedron (8 yüzlü)

D) 216

24. Taban› dikdörtgen fleklinde olan piramidin taban ayr›tlar›n›n uzunluklar› IABI=6 cm, IBCI=2 cm dir. Piramidin yüksekli¤i ITHI = 4 cm ise dik piramitle ilgili hangi ifade yanl›flt›r? (π = 3 al›n›z)

B) 250

27. Afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r? A) Piramit bir düzlemle kesildi¤inde gene bir çok yüzlü elde edilir. B) Çok yüzlülerin yüzleri bölge fleklindedir. C) Herhangi iki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças›n›n tamam› çok yüzlünün yüzeyinde veya içinde kal›yorsa D›flbükey (convex) dir. D) Çok yüzlüler ayr›t (kenar) say›lar›na göre isimlendirilir.

D

C H

A

6 cm

2 cm B

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Erişmek istedikleri bir hedefi olmayanlar, çalışmaktan zevk almazlar. Emile Raux 145


KEMAL Türkeli

5. Ünite SBS Testi 28. Afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r?

30. Ön yüzü ile alt taban› görünecek biçimde kutuya (dikdörtgenler prizmas›) sa¤ alttan bak›lmaktad›r. Kutuyu uçan bir uça¤a benzetebilirsiniz. ABCD ön yüzü çizimin yap›ld›¤› ka¤›t düzlemine paraleldir. Afla¤›daki ifadelerden (aç›k önermelerden) hangisi yanl›flt›r? fiekilde sa¤ alttan bak›ld›¤›ndaki görünüme göre perspektif çizimi yap›lm›flt›r.

A) Ayn› düzlemdeki iki do¤ru birbirine paralel, çak›fl›k veya kesifliyor durumunda olabilir. B) Ayn› düzlemdeki bir do¤ru ile bir çember iki veya bir noktada (Te¤et = Tangert) kesiflebilir. C) ‹ki düzlemin kesiflimi bir düzlemdir. D) Silindir, Koni veya Küre bir düzlem ile kesildi¤inde ara kesiti bir dairesel bölge olabilir.

D

C

SBS 8 M

29. A köflesinden geçen ayr›t (kenar) uzunluklar› 10, 8, ve 6 cm olan flekildeki prizman›n içi silindir (çap› 4 cm) fleklinde oyulmufltur. Hangi seçenekteki önerme yanl›flt›r? (π = 3)

A

B

F

E

D

C

SBS 8 M A

B

6 cm

G

6

E

8

4 cm 10

F

A Z

Y

X

A) Bu cisim tam ortas›ndan silindirin tabanlar›na paralel kesildi¤inde oluflan ara kesitin alan› 48cm2 dir.

A) Kutunun ön yüzü, resmin (çizginin) düzlemine paralel olan perspektif çizimin tipine “Bir Nokta Perspektifi” denir.

B) Bu cisim tam ortas›ndan silindirin tabanlar›na paralel kesildi¤inde oluflan cisimlerden birinin hacmi 192 cm3 tür.

B) fiekildeki perspektif çizim tipine “‹ki Nokta Perspektifi” ad› verilir.

C) Cisim tam ortas›ndan silindir tabanlar›na dik olacak flekilde kesildi¤inde oluflacak ara kesitin alan› 48 cm2 dir. D) Cisim tam ortas›ndan silindirin tabanlar›na dik olacak flekilde kesildi¤inde oluflan iki cisimden birinin toplam alan› 212 cm2 dir.

C) Kutu sa¤dan gözlendi¤inde kaybolunan nokta (X) ufuk çizgisinin (YX do¤rusu) üzerindedir. D) BE ve CG ›fl›nlar› gözümüzden uzaklaflt›kça birlefliyorlarm›fl (X) gibi görünürler bunlara “kaybolunan do¤rular” denir.

Benim kuşağımın yaptığı en büyük keşiflerden biri, insanın düşüncelerini değiştirerek yaşamını da değiştirebileceği gerçeğini bulmasıdır. 146

KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


5. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

31.

A) Koni taban›n›n çevresi 4π cm’dir. B) Koninin yüksekli¤i ITOI = h = 2 C) Dik dairesel koninin hacmi 8 cm3 tür.

15 cm’dir.

15 = 8

15 .π 3

D) Çeyrek dairenin yar›çap› (koninin ana do¤rusunun uzunlu¤u) 6 cm’dir.

7 küp flekildeki gibi yerlefltirilmifltir. Seçeneklerden hangisi oluflturulan yap›n›n herhangi bir yönden görünümünün çizimi olamaz? A)

B)

C)

D)

32. Hangi seçenekteki önerme (ifade) yanl›flt›r? A) Koni iki yüzlü bir geometrik cisimdir. B) Silindir üç yüzlü bir geometrik cisimdir. C) Küre bir yüzlü bir geometrik cisimdir. D) Kare piramit dört yüzlüdür. 33. Bir dik koninin taban›n›n alan› 4π cm2 ve yanal yüzeyinin aç›n›m› flekildeki gibi merkez aç›s› 90° olan bir çeyrek dairedir. a

T

T

A

5. Ünitede bunlar› ö¤rendiniz mi? 1. Herhangi iki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças›n›n tüm noktalar› (tamam›) çok yüzlünün yüzeyinde veya içinde kal›yorsa d›flbükey çokyüzlüdür denir. Koflula uymayanlara içbükey denir. 2. Küp gibi bütün yüzleri ve ayr›t uzunluklar› efl olan çok yüzlülere düzgün çok yüzlü ad› verilir. Karton k⤛d›n› keserek düzgün dört yüzlü oluflturabilirim. 3. Yüz say›lar›na göre çok yüzlüler isimlendirilir. Dörtyüzlü; dört yüzü olan bir üçgen piramittir. 4. Cisme önden bakarak yap›lan perspektif çiziminde; ön yüz ile taban yüzlerinden biri d›fl›nda di¤er yüzler görülmez. Bir perspektifte kaybolunan nokta say›s› 2 ise buna 2 nokta perspektifi ismi verilir. Perspektif çiziminde cisme sa¤dan bak›l›yorsa kaybolunan nokta sa¤dad›r. E¤er soldan cisme bak›l›yorsa kaybolunan nokta soldad›r. 5. Yar›çap› r = 3 cm olan kürenin hacmini 4 V= πr 3 = 4 π.33 = 36π ⋲ 108 cm3 he3 3 saplayabilirim. 6. Taban›n›n yar›çap› r = 3 cm, yüksekli¤i h = 4 cm olan dik koninin hacmini 2 2 V = πr .h = π3 .4 = 12π ⋲ 36 cm3 hesapla3 3 yabilirim.

90°

B A

a

h r

A

O r

B

Dik dairesel koni ile ilgili hangi seçenekte verilen bilgi yanl›flt›r? ( π = 3 al›n›z.) KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

147


GEOMETR‹K C‹S‹MLER ve S‹METR‹

ÜN‹TE 6

Çok küplüleri kullanarak de¤iflik üç boyutlu flekiller oluflturabilirz. Oluflan yap›n›n görünümünü izometrik ka¤›da çizebiliriz. Veya tersine izometrik ka¤›da çizimi verilen yap›lar› 6 de¤iflik çok küplü ile oluflturaca¤›z. Çok Küplüler Kümesi = {D, L, Z, 3, 2, 1} D Çok küplüsü : (9 küpten oluflmufltur.)

Z Z

Z (4 küpten oluflmufltur.) D

D

3

3

D foto¤raf› 3 çok küplüsü (3 küpten oluflmufltur.)

L

L

2

2

Foto¤raf› görülen L çok küplüsü 4 küpten oluflmufltur. 148

2 çok küplüsü KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


6. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K Geometrik Cisimlerin Simetrileri

‹zometrik ka¤›da çizelim

Geometrik cisimlerden dairesel silindiri ele alal›m. Bir elmay› tam ortas›ndan iki eflit parçaya ay›r›rsak, her parça birbirine eflit olacakt›r. Benzer flekilde dairesel silindiri (do¤um günü pastas›) ekseninden geçen bir düzlemle (örne¤in b›çak) kesersek, birbirinin efliti iki parça elde ederiz.

1 küplü

6 taneden 26 = 64 alt küme alt küme oluflturabiliriz. Ayr›ca baz›lar›n› birden çok say›da kullanabiliriz. DL3 yap›s›n›n görünümünü izometrik ka¤›da çizelim ve yap›n›n görünümünü çizelim.

x O

A

F r=10 cm

B

E O›

D

C

Y Parçalardan birine ait herhangi bir noktadan ABCD arakesit simetri düzlemine bir dikme indirir kendisi kadar uzat›rsak gene parçaya ait bir F noktas›n› buK luruz. E IEOI = IOFI M s(AOE) = s(AOF) = 90° A Yani her noktan›n simetri düzlemine göre simetri¤i L di¤er parçada mutlaka vard›r. Yoksa simetri düzlemi T Ü de¤ildir. Taban merkezi O’den geçen ve tabana dik R düzlemlere göre silindir simetriktir. Ekseni etraf›nda K herhangi bir aç› kadar döndürülmekle silindirin görüE L nüflü de¤iflmez. ‹ Bir küre O merkezinden geçen herhangi bir düzlemle kesilirse simetrik iki parça elde edilir.

DL3

A A

A

DL3 C

B C

B

A: 3

B

C

B C

B: L C: D’dir.

DL3 Yap›n›n Görünümü Bir yap›n›n kodu, yap›y› oluflturan çok küplülerin kodlar›n› yazarak bulunur. Çok küplülerin kodlar› flekillerin (elemanlar›n) yer de¤ifltirmesiyle de¤iflmez. Bu nedenle kodu ayn› olmas›na ra¤men farkl› görünüflte yap›lar oluflturulabilir. Yap›n›n kodunu oluflturan harflerin s›ras› yer de¤ifltirebilir. Çok küplüler tak›m›ndan en fazla 4 çok küplü ile bir yap› oluflturulur. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

A

O

B

C

Küre, herhangi bir çap›ndan (AB) geçen bir düzlemle keslirse simetrik iki parça oluflur. AB çap› ve küreye ait bir C noktas›ndan geçen düzlem simetri düzlemidir. Elmay› (partakal›) tam ortas›ndan benzer flekilde keserek iki eflit yar›m elma elde ediniz. Küre AB çap› etraf›nda döndürülürse görünüflü de¤iflmedi¤inden AB do¤rusu simetri eksenidir. Simetri düzlemlerinin sonsuz düzlemler olduklar› varsay›l›r. 149


KEMAL Türkeli

Geometrik Cisimlerin Simetri Düzlemleri

O

D

Silindir, tabanlara paralel tam ortas›ndan (yüksekli¤inin orta noktas›ndan geçen) geçen bir düzlemle kesilirse simetrik 2 parça elde edilir. Ekseni dik olarak ortalayan düzleme göre silindir simetriktir. Dönel dairesel koni, ekseninden geçen her bir düzleme göre simetriktir. Ayr›ca, ekseni etraf›nda herhangi bir aç› kadar döndürülürse görünüflü de¤iflmez. XY ekseni koninin simetri eksenidir. Koni O taban merkezinden geçen ve taban düzlemine dik olan herhangi bir düzleme göre simetriktir.

x

T

O

A

B

Y TAB düzlemi dönel dairesel koninin simetri düzlemlerinden biridir. Küpün simetri düzlemlerini inceleyelim. Küp, paralel olan iki yüzünün kenarlar›n›n orta dikme düzlemlerine göre simetriktir. Küpün simetri düzlemi ile iki eflit parçaya kesildi¤ine dikkat ediniz.

A

C B

ABCD düzlemi simetri düzlemidir. Küpün böyle 3 simetri düzlemi oldu¤una dikkat ediniz. ‹kinci simetri düzlemi flekildeki düzleme dik küpü 2 eflit parçaya ay›r›r (AB do¤ru parças›n›n orta dikme düzlemidir.) üçüncüsü ise BC do¤ru parças›n›n orta dikme düzlemi olup küpü yine 2 eflit parçaya böler. Küp paralel iki yüzünün yüzey köflegenleri olan AD ve BC do¤ru parçalar›ndan geçen düzlemle kesilirse, yine eflit iki parçaya bölünece¤inden küpün simetri düzlemidir. Bir küpün bu flekilde 6 farkl› simetri düzlemi oldu¤una dikkat ediniz. Küp fleklinde bir cismi paralel yüzlerinin yüzey köflegenlerinden geçecek flekilde 6 farkl› simetri düzlemi ile eflit iki parçaya bölebilece¤inizi deneyerek görünüz. Simetri düzlemlerinin yüzey köflegenine ait düzleme dik olduklar›na dikkat ediniz. A›

D›

A

D O› O

h=3

D A

h=3

150

C B

B›

C›

90° B

C

O, ABCD yüzünün köflegenlerinin kesim noktas›, O› ise A›B›C›D› paralel yüzünün köflgegenlerinin kesim KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK


6. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

noktas› olmak üzere küp OO› ekseni etraf›nda her 90° lik dönmede görünüflü de¤iflmez. Küp, OO› ekseni etraf›nda her 90° lik döndürülmede görünüflü de¤iflmez. Küpün OO› ekseni etraf›nda 90° ve k90° k = do¤al say› olmak üzere 90° nin tam katlar›nda döndürülürse görünüflü de¤iflmez kal›r. ›

X D

C O

A

B

D

A›

D›

D

A

O›

A›

Y

B›

C›

B

C

Küp BD › cisim köflegeninden geçen do¤ru K etraf›nda 90° veya katlar› kadar döndürüldü¤ünde E M görünüflü ayn› kald›¤›ndan BD› cisim köflegeni küpün A eksenidir. Küpün CA›, AC›, DB› cisim köflegenleri et- L raf›nda 90° veya tam katlar› döndürülürse görünüflü T Ü de¤iflmez kal›r. R K E F L ‹ h=4

D A

G

C B

H

h=4 E

Dikdörtgenler prizmas› fleklinde bir pastay› iki eflit parçaya ay›rmak için EF ayr›t›n›n orta dikme düzlemi (IBFI = IBEI = 4 cm) boyunca kesmemiz gerekir. ABCD ara kesit düzlemi; dikdörtgen prizmas›n›n simetri düzlemidir. AB › n›n ortas› G noktas›ndan geçen AB do¤ru parças›na dik olan düzlem de prizmay› (pastay›) iki eflit parçaya böler. BC do¤ru parças›n›n orta noktas› H dan geçen BC do¤ru parças›na dik olan düzlem de dikdörtgenler prizmas›n› iki eflit parçaya bölece¤inden prizman›n simetri düzlemidir. KEMAL Türkeli • 8. sınıf SBS MATEMATiK

C›

B›

Dikdörtgenler prizmas› karfl›l›kl› paralel ABCD dikdörtgeninin köflegenlerinin kesim noktas› (a¤›rl›k merkezi) O ile A›B›C›D› yüzünün a¤›rl›k merkezi O› noktas›ndan geçen OO› = XY do¤rusu etraf›nda 180° döndürülürse prizman›n görünüflü de¤iflmez. Bu eksenlerin 3 tane oldu¤una dikkat ediniz. D›

D

C A›

x

y

C›

B›

B

A

Dikdörtgenler prizmas› AC › cisim köflegeni etraf›nda 180° döndürülürse görünüflü de¤iflmez kal›r. BD›, B›D, CA› cisim köflegenleri etraf›nda 180° veya tam katlar› döndürüldü¤ünde görünüflü de¤iflmez kal›r. Bir kibrit kutusunu benzer kurallara uygun eksenler etraf›nda söylenen aç›larda dördürerek konuyu kavramaya çal›fl›n. Eflkenar üçgen piramidin TH do¤rusundan ve C noktas›ndan geçen taban düzlemine dik düzlem piramidi iki efl parçaya böldü¤ünden simetri düzlemidir. C

T 120°

H 120° D

A 120°

A

O

C

H

B B

151


Geometrik Cisimlerde Simetri

KEMAL Türkeli

TAH düzlemi ile THB düzlemleri de piramidin birer simetri düzlemidirler. Çünkü AH, BH, CH do¤rular› tabandaki eflkenar üçgenin simetri do¤rular›d›rlar. Eflkenar üçgen piramidi TH do¤rusundan geçen eksen etraf›nda 120° veya tam katlar› döndürürsek piramidin görünüflü de¤iflmeyecektir.

L G›

A

C› F

Kare piramidin simetri düzlemlerini ve görünüflünün de¤iflmez kald›¤› döndürülme eksenini ve döndürülme aç›s›n› inceleyelim.

120°

E

G

H

120°

B

C

D

T

A G

B

C

L K

D

F

C

E

H

S B S

8

K

H A› G›

B›

C›

M A Prizman›n tabanlar›n›n a¤›rl›k merkezleri G ve G› G T › E noktalar›ndan geçen GG do¤rusu 120° veya tam [TH] ABCD düzlemi M katlar› döndürülürse, eflkenar üçgen prizman›n Kare dik piramidin T tepe noktas›ndan geçen ve A görünüflü döndürülmeden önceki konumunda T kare düzleminin simetri eksenleri AC, BD, EF, GK ‹ olaca¤›ndan GG› ekseni dönme simetri do¤rusudur. Eflkenar üçgen dik prizma fleklindeki bir pastay› dan geçen düzlemler kare dik piramidi iki eflit simetrik K (patatesten de yapabilirsiniz.) simetri düzlemlerinden parçaya böldü¤ünden TAC, TBD, TEF, TGK arakesit düzlemleri piramidin simetri düzlemleridirler. Kare keserek iki eflit parçaya ay›rmay› deneyiniz. dik piramit TH ekseni etraf›nda 90° veya tam katlar› Düzgün alt›gen piramidi iki eflit parçaya bölmek döndürülürse kare dik piramidin görünüflünde bir için TAD arakesit düzlemi boyunca bölmemiz yeterde¤iflme gözlenmez. lidir. T A

B

Eflkenar üçgen dik prizmay› yüksekli¤inin orta noktas› H’dan geçen CC› ye dik olan bir düzlemle kesersek, eflkenar üçgen dik prizma iki eflit parçaya bölündü¤ünden, LHK den geçen sonsuz düzlem prizman›n simetri düzlemlerinden biridir. ABC eflkenar üçgeninin simetri eksenleri olan AD, BE veya CF den geçen ve taban düzlemine dik olan düzlemler de prizman›n simetri düzlemleridir.

E F

C

O A

152

D

B

KEMAL TÜRKELi • 8. sınıf SBS MATEMATiK


6. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K E

D

O

F

A(-12,5)

C x

O

H -12

pozitif yön

O(0,0)

5 x do¤runun denklemidir. x’in katsay›s› 12 5 olan m = < 0 say›s›na do¤runun e¤imi denir. 12 5 5-0 = oldu¤una dikkat ediniz. 12 -12 - 0

B

A

5 5

5

60°

y

12 ileri

y=-

TAD düzlemi düzgün alt›gen piramidin simetri düzlemlerinden biridir. TBE, TCF düzlemleri de pira360 midin simetri düzlemleridir. = 60° oldu¤undan 6 piramidi TO ekseni etraf›nda 60° veya tam katlar› (60 k) döndürecek olursak, piramidin döndürme öncesi durumunda kald›¤›n› görürüz.

x eksenine paralel do¤runun (yatay yol) e¤imi s›f›rd›r. (y = 5 do¤rusu örnektir.) Örnek TEST 1:

Do¤runun E¤imi (The Slope of a Line) y 5

12 m

y=

5 x 12

A(12,5)

A(20,4)

K E M A L

IAHI = 4

5m

T O x Ü H IOHI = 20 R H x pozitif yön K O 12 m 12 Bafllang›ç noktas›ndan geçen OA do¤rusunun E L e¤imi kaçt›r? E¤imli bir yol, yatayda her 12 m gidildi¤inde 5 m ‹ yükseliyorsa, dikey mesafenin yatay mesafeye oran›na A) % 16 B) 0,24 do¤runun e¤imi ad› verilir. 20 C) D) % 20 4 IAHI 5 E¤im (OA do¤rusu) = = ⋲ 0,42 ⋲ %42 IOHI 12 y IAHI Bafllang›ç noktas›ndan geçen do¤runun denklemi Çözüm 1 : [OA ›fl›n›n›n e¤imi = = x IOHI 5 y= x x’in katsay›s› do¤runun e¤imidir. 12 4 4.5 20 = = = e¤im = 0,20 = % 20 dir. 20 20.5 100 Do¤ru cevap D’dir. Kuzey ülkelerinde çat›lar›n dik (e¤imi fazla) yap›lmas›n›n nedeni biriken kar›n afla¤›ya kayarak düflmesi içindir. Çat›da kar›n yüzeye sürtünmesini azaltmak için çat› çinko ile de kaplan›r. Aksi takdirde kar›n a¤›rl›¤›ndan çat› çökebilir. AOH aç›s›na OA do¤rusunun e¤im aç›s› da denir. Do¤runun x ekseninin pozitif yönü ile yapt›¤› aç› dar aç› ise e¤imin iflareti pozitif, genifl aç› ise e¤im negatif bir gerçek say› olur. KEMAL TÜRKELi • 8. sınıf SBS MATEMATiK

y = mx + n do¤rusunun e¤imi m’dir. y

A 3

B -4

α

O

A(0,3), B(-4, 0) noktas›ndan geçen do¤runun e¤imi x

153


Do¤runun E¤imi m=

IAOI IBOI

=

y = mx + n = 3=

3 4

3

KEMAL Türkeli

olup

4 3

Örnek TEST 2:

x+n

4

.0 + n

y

A(0,3) den geçti¤inden

n = 3 bulunur. 3

Verilen do¤runun denklemi: 3 3 y= x+3 x’in katsay›s› = m = do¤ru4 4 nun e¤imidir. 3 y= x+3 3x - 4y + 12 = 0 fleklinde 4 yaz›labilir. ax + by + c = 0

a = 3, b = -4, c = 12 dir.

y

A B

-3

-4

4

x

O

A(0,4) ve B(-3,0) noktas›ndan geçen do¤runun IAOI 4 e¤imi = = , denklemi ise IBOI 3 4 y= x + 4’tür. 3 3 4 < oldu¤undan e¤imin artt›¤›n› anlar›z. 4 3

y=

3 3

B) m =

θ

}

(

154

)

x -4

3

3 x -4 4 4 y=x -4 3

4 4 C) m = 3 D) m = -

4

y=

4

y=

3

4 3

x -4

Çözüm 2 : y

C(6,4) H

3

Sonuçta do¤runun x ekseninin pozitif yönü ile yapt›¤› aç›s› da büyümüfltür. α = 37°, θ = 53° olup α < θ 37° < 53° olur. Do¤runun e¤imini etkileyen α aç›s› 0° ≤ α < 180° dir. Genel olarak bir do¤runun denklemi ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) fleklinde biliniyorsa sözkonusu do¤runun e¤imi a m=‘dir. b Orjinden geçmeyen 3x - 4y + 12 = 0 a = 3, b = -4, c = 12 ax + by + c = 0 do¤rusunun e¤imi 3 a 3 3 m==== tür. 4 b -4 4

B

A(3,0) ve B(0,-4) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi ve denklemi hangi seçenekte do¤ru verilmifltir? A) m =

4

x

A

O

Oα -4

A

x

6

B

α = (CAH) = (OAB) (ters aç›lar eflittir) tan α =

IOBI IOAI

m = tan α = y=

4 3

= 4 3

α aç›s›n›n karfl›s›ndaki dik kenar›n uzunlu¤u α aç›s›n›n komflu dik kenar›n›n uzunlu¤u

= e¤im,

x -4 = mx + n

y=

4 3

x -4 do¤run un

denklemidir. B(0,-4) noktas›n›n koordinatlar› do¤ru denklemini sa¤lamal›d›r. Do¤ru cevap A’d›r. KEMAL TÜRKELi • 8. sınıf SBS MATEMATiK


6. Ünite

SBS 8 MATEMAT‹K

Do¤rusal denklem sistemlerinin grafiklerini çizerek sistemi çözme:(The graphing

Çözüm 3 : y

method for solving a system of linear equations in two variables)

D C

3x - 2y = 5 ve 2x + 3y = 12 denklemlerinin grafikleri paralel veya çak›fl›k de¤illerse bir noktada do¤rular kesifleceklerdir. Do¤rular›n kesiflme noktas›n›n koordinat düzlemindeki adresi K(x,y) = (3,2) y çözüm kümesinin eleman›d›r. denklem sisteminin y(x=0)

4

A

2

D

O -2,5

5 3 3

C

A

3x - 2y = 5

K(3,2) B

5

-3

O

x

H

C(-3,5), D(0,8) x(y=0)

AOBC yamuksal bölgesinin alan› AHC dik üçgeni

6

ile HOBC dikdörtgeninin alanlar› toplam›na eflittir.

2x + 3y = 12

5.5

+ 3.5 =

25

2 2 yamu¤unun alan›d›r. 3x - 2y = 5 do¤rusunun eksenleri kesti¤i noktalar: x = 0 (y ekseni) için 3.0 - 2y = 5 5 1 5 y== -2 = -2 = -2,5 C(0,-2,5) dir. 2 2 10

K E M A L

+15 =

55 2

= 27,5 cm2 = AOBC

Veya A=

a+c . IAOI + IBCI . h= IOBI 2 2

8+3 . 55 T = 5= = 27,5 cm2 bulunur. Ü 2 2 R K IOAI = IDOI = 8 cm oldu¤undan AOD üçgeninin E ikizkenar dik üçgen oldu¤una dikkat ediniz. L Do¤ru cevap C’dir. ‹

y = 0 (x ekseni) için 3x - 2.0 = 5 2 5 5 x= =1 D( , 0) dir. 3 3 3

C

y=5

A(-8,0), B(0,5)

?=

x 0 y -2,5

B

45°

-8 cm 5

8 cm

45° 3 45° 5 cm

3 45°

y-x = 8

5/3 0 D

2x + 3y = 12 do¤rusunun eksenleri kesti¤i noktalar; x = 0 (y ekseni) için, 2.0 + 3y = 12

y=4

A(0,4)

y = 0 (x ekseni) için, 2x + 3.0 = 12

x=6

B(6,0)

Örnek TEST 3:

x ekseni, y ekseni, y = 5 do¤rusu ve y - x = 8 do¤rular›n›n s›n›rlad›¤› yamuksal bölgenin alan› kaç cm2 dir? (Not: x ve y eksenlerinde 1 birim uzunluk 1 cm olarak kabul edecektir.) A) 12,5 cm2 B) 4,5 cm2 2 C) 27,5 cm D) 32 cm2

KEMAL TÜRKELi • 8. sınıf SBS MATEMATiK

Bir baba o¤lundan 27 yafl büyüktür. Baban›n yafl› o¤lunun yafl›n›n dört kat›na eflit oldu¤una göre, baba ile o¤lunun yafllar› toplam›n› bulunuz. Bu problemi çözerken o¤ulun yafl›n› x ile baban›n yafl›n› y ile göstererek iki bilinmeyenli iki denklemi yazal›m. Baba o¤lundan 27 yafl büyük oldu¤undan; y= x + 27 Baban›n yafl› o¤lunun yafl›n›n dört kat›na eflit oldu¤undan; y = 4x