Issuu on Google+

MATHEMATICS Learner’s Study and Revision Guide for Grade 12 CIRCLE GEOMETRY 

  

 

 

 

 

Revision Notes, Exercises and Solution Hints  by 

Roseinnes Phahle    Examination Questions by the Department of Basic Education  1   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

Contents  Unit 14 All you need to know: Revision notes 

 

 

 

 

 

 

Exercise 14 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answers 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Examination questions with solution hints and answers   

 

 

 

More questions from past examination papers   

 

 

 

 

Answers  

 

 

 

 

15 

 

 

 

 

 

How to use this revision and study guide 1. Study the revision notes given at the beginning. The notes are interactive in that in some parts you  are required to make a response based on your prior learning of the topic from your teacher in class or  from a textbook. Furthermore, the notes cover all the Mathematics from Grade 10 to Grade 12.  2. “Warm‐up” exercises follow the notes. Some exercises carry solution HINTS in the answer section. Do  not read the answer or hints until you have tried to work out a question and are having difficulty.  3. The notes and exercises are followed by questions from past examination papers.  4. The examination questions are followed by blank spaces or boxes inside a table. Do the working out  of the question inside these spaces or boxes.  5. Alongside the blank boxes are HINTS in case you have difficulty solving a part of the question. Do not  read the hints until you have tried to work out the question and are having difficulty.  6. What follows next are more questions taken from past examination papers.  7. Answers to the extra past examination questions appear at the end. Some answers carry HINTS and  notes to enrich your knowledge.  8. Finally, don’t be a loner. Work through this guide in a team with your classmates. 

     

  2 

 


Analytical geometry of the circle 

REVISION UNIT 14: ANALYTICAL GEOMETRY OF THE CIRCLE  The circle is defined as the locus of all points, P ( x; y ) , which are equidistant from some given point C

(a; b)  suppose that the distance of the points P from the given point C is  r , then   CP 2 = r 2  

and using the distance formula: 

( x − a )2 + ( y − b )2

= r2 

which gives the STANDARD FORM of the equation of a circle with centre  (a; b )  and radius  r .  In CANONICAL FORM the equation of the circle is  x 2 + y 2 + 2 gx + 2 fy + c = 0 .  To convert from canonical to standard form, use the method of completing the square and complete the  squares on the  x  and  y terms.  IN ORDER TO ANSWER THE EXAM QUESTION ON THE CIRCLE, YOU MUST KNOW THE ABOVE AS WELL  AS ALL THE ANALYTICAL GEOMETRY OF THE STRAIGHT LINE WHICH INCLUDES THE DISTANCE  FORMULA, THE MID‐POINT FORMULA, THE PRODUCT OF THE SLOPES OF PERPENDICULAR LINES AND  THE EQUATION  OF A STRAIGHT LINE . LEARN ALL THIS AND YOU WILL BE ASSURED OF ANSWERING  TWO QUESTIONS IN PAPER 2!!!! 

EXERCISE 14   1. Find the centre and radius of the circles with equations:  a)

( x + 2 )2 + ( y − 3 ) 2

b)

x 2 + y 2 − 10 x − 6 y = −18  

= 49  

2. Show that part of the line  4 y − 3 x − 9 = 0  is a chord of the circle  x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 15 = 0 and find the length of this chord.  3. Find the equation of (i) the tangent and (ii) the normal to the circle  x 2 + y 2 + 4 x − 10 y = −4 at  the point (2; 8) on the circumference of the circle.  4. Find the equation of the circle passing through the points (‐3; 6), (1;‐2) and (4; 7); find its radius  and centre as well.  5.  Show that the circles  x 2 + y 2 − 2 y − 4 = 0 and  x 2 + y 2 − x + y − 12 = 0 intersect in two            distinct points and find the equation of the common chord. (Hint: the common chord is found by  subtracting one equation from the other. Thereafter, find the points of intersection.)  6. Prove that the circles  x 2 + y 2 + 2 x − 8 y + 5 = 0  and  x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 7 = 0 are orthogonal  (meaning that their radii meet at right angles at the points where the circles intersect). 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

ANSWERS Answers:  Equation of the circle is                   x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 15 = 0   or 

EXERCISE 14  1 (a) radius = 7 and centre at (‐2;3)     (b) radius = 4 and centre at (5;3)    2. HINT: If the line is a chord of the circle then it  must intersect the circle at two distinct points. To  find out, solve the two equations simultaneously.  Answer:  The line cuts the circle at the points (‐3; 0) and (5;  6). Hence the line is a chord.    3. A normal refers to a perpendicular line. In this  case, the perpendicular to the tangent passes  through the origin of the circle and so the radius is  a segment of the normal. Find the centre of the  given circle and together with the point (2; 8) find  the slope of the radius (which is the slope of the  normal).     HINT:  Knowing the gradient of the normal and a point on  the normal, you can determine the equation of the  normal.     You can deduce the gradient of the tangent from  the gradient of the normal and so go on to  determine the equation of the tangent.    Answers:  Equation of the tangent is  4 y + 3 x = 38   Equation of the normal is  3 y − 4 x = 32     4. HINT: You can use either form of the equation  of a circle. But it will be quick to use the canonical  form:  x 2 + y 2 + 2 fx + 2 gy + c = 0 .    Substitute each of the given points into this  equation so you will have 3 simultaneous  equations in 3 unknowns:  f , g and c .    Taking these equations two at a time, eliminate  c by subtraction. That will leave you with two  simultaneous equations in the two unknowns  f and g . Solve for  f and g . 

                 ( x − 1) + ( y − 3) = 25   The centre is at (1; 3) and the radius is 5.    5. On subtracting the equation of one circle from  the equation of the other the equation of the  common chord is found as:                     3 y − x − 8 = 0     To find the points of intersection of the two  circles, solve the equation of the chord  simultaneously with any of the two equations of  the circle.    Other Answers:  Points of intersection are (‐2; 2) and (1; 3).    6. HINT:  Do as above to find the equation of the common  chord.    Use the equation of the common chord to find the  points of intersection of the two circles.    The points of intersection are (1,2;  2,0) and (2,3;   3,0) rounded off to 1 decimal place.    Find the coordinates of the centre of each circle.   You should get (2; 2) and (‐1; 4).    Find the gradients of the radii drawn to the points  of intersection.    What is the product of the gradients? Are you now  able to deduce perpendicularity?      2

4   

2


Analytical geometry of the circle 

PAPER 2  QUESTION 2    

 

 

 

 

        DoE/ADDITIONAL EXEMPLAR 2008 

 

 

 

 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

PAPER 2  QUESTION 2    

 

 

 

 

Number  Hints and answers  2.1  Work out  r and write down the equation.      Answer:  x 2 + y 2 = 25   2.2  AB is what to the circle? So its length?    Answer: AB = 10 units  2.3  Multiply out the brackets.      Answer:  x 2 − 6 x + y 2 + 8 y − 75 = 0   2.4  Is this a transformation? If so describe it  fully.    Answer: these coordinates of A represent  a rotation of B through an angle of  180 o   about the origin  2.5  Use the gradient formula.    Answer:  m AB = − 2.6 

Answer:  y = 2.7 

29   3   6 

 

 

 

 

3 25   x− 4 4

   

 

 

You know something about C. Substitute  it into the equation of BC you found in  2.6 above.        Answer:  k =

Work out the solutions in the boxes below   

4   3

There are two formulae on the formula  sheet. Choose either one.    Recall that the product of the slopes of  lines that are perpendicular is ‐1.         

       DoE/ADDITIONAL EXEMPLAR 2008 

 


Analytical geometry of the circle 

PAPER 2  QUESTION 2    

 

 

 

 

 

 

  DoE/NOVEMBER 2008 

 

 

 

 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

PAPER 2  QUESTION 2    

 

 

 

Number  Hints and answers  2.1  You know the centre and you are  given a point on the circle.  So work out the radius and write  down the equation of the circle.    Answer:  x 2 + y 2 = 169   2.2  You know the  y ‐intercept and you  can work out the gradient of the line.    Answer:  y = 2.3 

2.4 

 

 

 

Work out the solutions in the boxes below   

 

5 x  12

Simple! The point P is symmetrical with the point Q; or P is a rotation of Q through  180 o .This  alone should enable you to write the coordinates of P without any working out to do.    Or, you can do so working out by solving the answers to 2.1 and 2.2 as simultaneous  equations.    Answer: You write down the answer.    You know the measure of  mOQ from  2.2. You are given that QR is a tangent  you also should know that diameter  ⊥ tangent. So use  m OQ .m QR = −1 . 

2.5 

2.6 

2.7 

 

  Answer: You write down the answer.  You know  mQR from 2.4 and you are 

 

given a point on QR. So you can write  the equation in the form  y = mx + c and work out  c.     Answer:  y = −2,4 x + 33,8   There are several ways of calculating    the value of  t .    One way is to substitute R( t ;1) into  the equation of QR.    Answer:  t =14,5  Simple! This is a translation of the centre of the circle in the diagram.    Answer: You write down the answer.   

8   

  DoE/NOVEMBER 2008 


Analytical geometry of the circle 

MORE QUESTIONS FROM PAST EXAMINATION PAPERS Exemplar 2008


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

Preparatory Examination 2008

10   


Analytical geometry of the circle 

Feb – March 2009


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

November 2009 (Unused paper)

12   


Analytical geometry of the circle 

November 2009 (1)


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

Feb – March 2010

14   


Analytical geometry of the circle 

ANSWERS Exemplar 2008  2.1    Proof required. Provide a proof and check             with the classmates or teacher if it is correct.  2.2    D(‐2;  0)  2.3    C(3;  

5 )  2 2

5⎞ 125 ⎛   2.4     (x − 3) + ⎜ y − ⎟ = 2⎠ 4 ⎝ 2.5      y = −2 x + 21   2

2.6     A’(‐2;  5)    Preparatory Examination 2008  2.1        k = 3     2.2.1     M(3;  ‐1)  2.2.2     r = 10 − t   2.2.3     t = −7     Feb/March 2009  2.1      Midpoint of AB = (‐4;  3)  2.2       y = −2 x + 5   2.3      AM =  20

( ) 

2.4       x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 5 = 0   2.5      Say which one is it and prove it.    November 2009 (Unused paper)  2.1.1     Midpoint  of BD  =  (3;  ‐2)  2.1.2     Proof required. Provide a proof and check                 with the classmates or teacher if it is                correct.  2.1.3      ( x − 3) + ( y + 2 ) = 25   2

2

2.1.4       θ = 36,87 o   2.1.5       E(6;  ‐6)  2.1.6     Give an explanation and check it with your                 classmates or teacher to see if it is                acceptable. 

4 31 x+   3 3 2 2 2.2.1         (x + 3) + ( y − 6 ) = 10  

2.1.7        y = −

                 

2.2.2      Give an explanation and check it with your                 classmates or teacher to see if it is                 acceptable.    November 2009(1)  5.1     M(‐1;  1)  5.2     Proof required. Provide a proof and check              with the classmates or teacher if it is             correct.  5.3     Give an explanation and check it with your              classmates or teacher to see if it is             acceptable.  5.4     AD = AB = 10  5.5     Proof required. Provide a proof and check              with the classmates or teacher if it is            correct.  5.6      θ = 45 o   5.7       r = 2,93     Feb/March 2010  6.1     Centre at (‐4;  ‐2) 

r = 58   6.2      Distance = 11,31  6.3      Proof required. Provide a proof and check              with the classmates or teacher if it is             correct.  6.4      Proof required. Provide a proof and check              with the classmates or teacher if it is            correct.         


Analytical Geometry of the Circle