00 trigonometria 4º iep fachse 2012

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TRIGONOMETRÍA 4 º de Secundaria Universidad Nacional “Pedro Ruiz Gallo” Facultad de Ciencias Histórico Sociales y Educación I.E.FACHSE “Pedro Ruiz Gallo”- Chiclayo Director Carlos Vásquez Crisanto Sub-Director Hebér Bocanegra

2010. Segunda Edición Lic. Juan Rojas Bernilla Virgilio Dall /orso Nº 150 Teléfono: 235871 FACHSE / UNPRG Chiclayo - Perú

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

PRESENTACIÓN El presente Módulo grado

de

Educación

TRIGONOMETRÍA

Secundaria

tiene como objetivo brindar al estudiante del cuarto una

información

adecuada

acerca

de

la

para lograr un mejor aprendizaje, con la finalidad de desarrollar

habilidades matemáticas que le sean herramientas útiles para la vida.

A través del presente Modulo de TRIGONOMETRÍA quiero definir un alineamiento metodológico a la altura de las escuelas del mañana, ya que los cambios en nuestra actualidad afectan a la enseñanza y el aprendizaje de las ciencias y humanidades. Su análisis nos proporcionará

no solo una mayor formación lógica; sino también, la

revolución de nuestra visión del arte y de la arquitectura.

La investigación, el debate y la enseñanza desarrollados en las diferentes instituciones me han permitido conocer de cerca la problemática educativa regional, las limitaciones metodologicas y la deficiente bibliografía utilizada en el proceso educativo.

Ante esta realidad se da desarrollado diferentes estrategias para mejorar tanto los contenidos como la metodología utilizada no solo en el dictado de clase.

En cada unidad de aprendizaje se desarrollan los aspectos teóricos con mucha facilidad, con el propósito de que los conceptos y definiciones sean asimilados en forma rápida, seguido del desarrollo de ejercicios

y/o problemas de aplicación y de

problemas propuestos en las prácticas a desarrollar.

Presento este trabajo de Trigonometría

a ti alumno y alumna como un

aporte para lograr la calidad educativa en nuestra Institución Educativa.

Los Autores.

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INDICE CAPITULO I: SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES....................................................................................5 SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA........................................................................................ 6 DEFINICIÓN DE TRIGONOMETRÍA:............................................................................................................ 6 SISTEMA DE MEDICIÓN ÁNGULAR............................................................................................................ 6 SISTEMA DE MEDICION ANGULAR............................................................................................................ 7 1.- SISTEMA SEXAGESIMAL:................................................................................................................... 7 2.- SISTEMA CENTESIMAL....................................................................................................................... 7 3.- SISTEMA RADIAL................................................................................................................................. 7 CAMBIO DE UNIDADES DE MEDICION ANGULAR....................................................................................7 RELACIONES PARTICULARES:.................................................................................................................. 7 PRACTICA Nº 01........................................................................................................................................... 8 CAPITULO II : LONGITU DE ARCO – ÁREA................................................................................................ 11 DE UN SECTOR CIRCULAR.......................................................................................................................... 11 LONGITUD DEL ARCO............................................................................................................................... 12 NUMERO DE VUELTA DE UNA RUEDA Y LONGITU DE ARCO................................................................12 ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR................................................................................................................ 13 PRACTICA Nº 02......................................................................................................................................... 13 CAPITULO III : RAZONES TRIGONOMETRICAS......................................................................................... 15 Razones Trigonométricas de ángulos agudos............................................................................................. 16 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO ( R T )........................................16 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO COMPLEMETARIOS. CO – RAZONES........................16 RAZONES TRIGONOMETRICAS............................................................................................................... 16 INVERSAS (Recíproca)............................................................................................................................... 16 PRACTICA Nº 03......................................................................................................................................... 17 RAZONES TRIGONOMETRICAS............................................................................................................... 19 DE ÁNGULOS NOTABLES......................................................................................................................... 19 PRACTICA Nº 04......................................................................................................................................... 20 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO.......................................................................................22 ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR.................................................................................................. 22 PRACTICA Nº 05......................................................................................................................................... 22 ÁNGULOS VERTICAL................................................................................................................................ 24 ÁNGULO DE ELEVACIÓN:...................................................................................................................... 25 ÁNGULO DE DEPRESIÓN:..................................................................................................................... 25 PRACTICA Nº 06......................................................................................................................................... 25 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL.........................................28 ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL......................................................................................................... 28 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL.......................................28 SIGNOS DE LA RAZONES TRIGONOMETRICAS..................................................................................29 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NEGATIVOS......................................................29 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS.......................................................................................29 CUADRANTALE.......................................................................................................................................... 29 REDUCCIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTICAS AL PRIMER CUADRANTE.......................................29 PRACTICA Nº 07......................................................................................................................................... 30 CAPITULO IV : IDENTIDADES TRIGOMETRICAS........................................................................................ 32 IDENTIDADES............................................................................................................................................ 33 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS........................................................................................................ 33 IDENTIDADES PITAGÓRICAS :.............................................................................................................. 33 IDENTIDADES RECÍPROCAS:............................................................................................................... 33 IDENTIDADES DE COCIENTE :.............................................................................................................. 33 IDENTIDADES AUXILIARES:.................................................................................................................. 33 TIPO DE PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES FUNDAMENTALES.......................................................33 I.- DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES:................................................................................................33 II.- PROBLEMAS DE SIMPLIFICACIÓN O REDUCCIÓN:.......................................................................34 III.- PROBLEMAS CON CONDICIÓN:..................................................................................................... 34 VI.- Problemas de la eliminación de la variable angular:..........................................................................34 PRACTICA Nº 08......................................................................................................................................... 34 3

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ANGULO COMPUESTO............................................................................................................................. 38 FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS...................................................38 FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS :......................................38 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA DE TRES ÁNGULOS :.................................................38 IDENTIDADES AUXILIARES................................................................................................................... 39 PRACTICA Nº 09......................................................................................................................................... 39 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ÁNGULO DUPLO :....................................................................41 IDENTIDADES FUNDAMENTALES......................................................................................................... 41 IDENTIDADES ADICIONALES :.............................................................................................................. 41 IDENTIDADES PARA “ DEGRADAR”...................................................................................................... 41 IDENTIDADES AUXILIARES................................................................................................................... 41 PRACTICA Nº 10......................................................................................................................................... 42 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE......................................................................45 IDENTIDADES ADICIONALES................................................................................................................ 45 PRACTICA Nº 11......................................................................................................................................... 45 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD.......................................................................48 IDENTIDADES FUNDAMENTALES......................................................................................................... 48 IDENDIDADES ADICIONALES :.............................................................................................................. 48 PRACTICA Nº 12......................................................................................................................................... 48 CAPITULO V: TRANSFORMACIONES.......................................................................................................... 51 TRIGONOMÉTRICAS.................................................................................................................................... 51 TRANSFORMACIÓN DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO............................................................51 PROPIEDADES:......................................................................................................................................... 51 TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS A SUMA O DIFERENCIA (A > B).............................................52 PRACTICA Nº 13......................................................................................................................................... 52 CAPITULO VI: ECUACIONES........................................................................................................................ 56 TRIGONOMÉTRICAS.................................................................................................................................... 56 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS......................................................................................................... 56 TIPOS DE ECUACIONES:.......................................................................................................................... 56 A. ECUACIONES DE PRIMER TIPO:................................................................................................56 B. ECUACIONES DE SEGUNDO TIPO:........................................................................................... 56 ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL:.........................................................................................56 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN............................................................................................................... 56 FÓRMULAS GENERALES......................................................................................................................... 57 RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN:....................................................................57 PRACTICA Nº 14......................................................................................................................................... 57 CAPITULO VII: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULO..........................................................61 I. LEY DE SENOS: O DE BRIGGS........................................................................................................... 61 * Con el Circunradio............................................................................................................................... 61 LEY DE COSENOS O DE CARNOT......................................................................................................... 61 LEY DE TANGENTES O DE NEPPER........................................................................................................ 62 PRACTICA Nº 15......................................................................................................................................... 62 CAPITULO VIII: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS....................................................................................66 INVERSAS..................................................................................................................................................... 66 PROPIEDADES:......................................................................................................................................... 66 PRACTICA Nº 16......................................................................................................................................... 68 CAPITULO IX: LOGARITMOS....................................................................................................................... 73 DEFINICIÓN................................................................................................................................................ 73 PROPIEDADES.......................................................................................................................................... 73 1.LOGARITMO DE UN PRODUCTO...................................................................................................... 73 2.LOGARITMO DE UN COCIENTE........................................................................................................ 73 3.LOGARITMO DE UNA POTENCIA...................................................................................................... 74 4.LOGARITMO CON BASE POTENCIAL...............................................................................................74 5.LOGARITMO DE MISMA BASE.......................................................................................................... 74 6.LOGARITMO DE LA UNIDAD.............................................................................................................. 74 7.ARTIFICIO DE CALCULO.................................................................................................................... 74 8.CAMBIO DE BASE............................................................................................................................... 74 9.REGLA DE LA CADENA....................................................................................................................... 74 10.

ECUACIÓN LOGARÍTMICA.......................................................................................................... 74 COLOGARITMO:........................................................................................................................................ 74 4

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ANTILOGARITMO....................................................................................................................................... 75 OBSERVACIONES.................................................................................................................................. 75 PRACTICA Nº 17......................................................................................................................................... 75 CAPITULO X: FACTORIAL DE UN NÚMERO................................................................................................ 81 NOTACIÓN:................................................................................................................................................. 81 PROPIEDADES:......................................................................................................................................... 81 OPERACIONES CON FACTORIALES........................................................................................................ 82 PRACTICA Nº 18......................................................................................................................................... 82 CAPITULO XI: BINOMIO DE NEWTON......................................................................................................... 84 NÚMERO COMBINATORIO............................................................................................................................... 84 Forma Matemática...................................................................................................................................... 84 POTENCIA DE UN BINOMIO............................................................................................................................. 84 FÓRMULA PARA CALCULAR UN TÉRMINO CUALQUIERA DEL DESARROLLO DE UN BINOMIO A UN EXPONENETE DADO (x+a)n........................................................................................................................................................... 84 PRACTICA Nº 17......................................................................................................................................... 85 BIBLIOGRÁFICAS...................................................................................................................................... 87

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C A P ÍT U L O

01

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Reconocer y definir un ángulo trigonométrico.

Reconocer y definir un ángulo trigonométrico.

Reconocer los sistemas de medición angular más conocidos.

Reconocer los sistemas de medición angular más conocidos.

Aplicar las relaciones entre los sistemas de medición angular más conocidos.

Aplicar las relaciones entre los sistemas de medición angular más conocidos.

ANGULO ANGULO TRIGONOMÉTRICO TRIGONOMÉTRICO

Se genera cuando un rayo rota.

Su medida puede ser ilimitada

SISTEMA DE MEDICIÓN

SISTEMA SEXAGESIMAL

S = 180K

SISTEMA CENTESIMAL

CONVERSIÓN

C = 200K R = πK

6

SISTEMA RADIAL

Para la medida de un ángulo: S: nº de grados sexagesimales C: nº de grados centesimales R: nº de radianes

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trío (tres) y metrom (medida), de lo que puede deducir que trata de la medida de los triángulos.

La medida de las distancias largas ha sido uno de los problemas que el hombre ha buscado resolver con ayuda de la matemática. La geometría ha resuelto en parte este problema. El aporte de la trigonometría ha sido fundamental en la resolución del problema sobre la medición de distancia, por que ha establecido una relación entre el ángulo y la longitud.

Aparte de la medición de distancia, las funciones trigonométricas han logrado modelar una serie de fenómenos de carácter periódico, como la corriente eléctrica, los latidos del corazón, la vibraciones del sonido, de las ondas sísmicas, la luz etc.

SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA A diferencia de la Aritmética, el Álgebra y la Geometría, alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos, la Trigonometría sólo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era. Y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una Geometría ya razonada, y sobre todo de un Álgebra sin titubeos, para darle la flexibilidad y todo el vuelo de que la Trigonometría es capaz.

Desde el punto de vista etimológico la Trigonometría trata de la resolución de los triángulos, proviene de tres vocablos griegos: Tri = tres, Gono = ángulo, Metron = medida.

ÁNGULO TRIGONOMETRICO El ángulo trigonométrico se genera por la rotación de un rayo alrededor de su origen (llamado vértice) desde una posición inicial (llamado lado inicial) hasta una posición final (llamado lado final)

En realidad, nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la Trigonometría, que en un comienzo fue sólo un simple capítulo de la Astronomía.

La época que al nacimiento de la Trigonometría se quiera atribuir depende, en realidad, de la acepción que a dicho término se le de, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiera encontrar.

Así tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en las lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.

ORIGEN B

LADO FINAL

O LADO INICIAL

A

SISTEMA DE MEDICION ANGULAR La medición de un ángulo requiere de otro ángulo como unidad de medida. La unidad de medida angular se ha establecido principalmente con dos criterios dividiendo el ángulo de una vuelta

Si la consideramos como ese capítulo indispensable que fue siempre de la Astronomía, donde ciertas funciones del ángulo ya eran conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco, allá por el año 140 A.C.

en partes iguales y utilizando la relación del arco con el radio de la circunferencia.

A continuación veremos tres sistema de medición angular.

Pero la Trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático francés VIETA perfeccionara admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidarse esta ciencia.

1.- SISTEMA SEXAGESIMAL: Denominado también Sistema Ingles, este sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene al dividir al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales, a esta unidad se llama Grado Sexagesimal cuya medida se representa así 1o Equivalencias: 1 vuelta < > 360° 1° < > 60' < > 3600 " 1' < > 60"

DEFINICIÓN DE TRIGONOMETRÍA: Es una parte de la ciencia matemática elemental que estudia y resuelve figuras geométricas relacionando lados y ángulos.

SISTEMA DE MEDICIÓN ÁNGULAR La trigonometría es parte de matemática.

Etimológicamente, la palabra trigonométricas proviene delas palabras griegas gonos (ángulo),

2.- SISTEMA CENTESIMAL 7

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Denominado también Sistema Francés este sistema tiene como unidad a un ángulo que se obtiene al dividir al ángulo de una vuelta en 400 partes iguales, a esta unidad se le llama Grado Centesimal cuya medida se representa así 1g Equivalencias: 1 vuelta < > 400 g.

1 g. < > 100m. < > 10,000 s 1 m < > 100 s.

m 27



n

p

50

81



q 250

m = # de minutos sexagesimales n=

# de minutos centesimales

p = # de segundos sexagesimales 3.- SISTEMA RADIAL Denominado también Sistema Circular o también Sistema Internacional este sistema tiene como unidad a un ángulo cuyo vértice esta en el centro de una circunferencia y que subtiende a un arco cuya longitud es igual al radio de dicha circunferencia.

A esta unida se llama RADIAN cuya medida se representa así 1 rad.

1 vuelta = 2  rad.

R

α

q = # de segundos centesimales

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE 01 01

Determinar la medida circular de un ángulo que cumple:

= 1 radian

01 01 22

S C 85    R 4 5 3

Se tiene un ángulo tal que su número de grados centesimales excede en 4 a las dos terceras partes del número de grados sexagesimales de dicho ángulo. Halle la medida del ángulo en el sistema sexagesimal.

R

CAMBIO DE UNIDADES DE MEDICION ANGULAR

02 02

Para un cierto ángulo se cumple que la suma del número de grados sexagesimales, el doble del número de grados centesimales y el triple del número de radianes es igual a 1740+9. Halle la medida del ángulo en el sistema radial.

Sea el ángulo AOB cuyas medidas en grado sexagesimal es S o, en grado centesimal es C g y en radianes, R rad. Debemos encontrar una relación entre ellos.

A

03 03

El número de grados centesimales que contiene un ángulo excede a su número de grados sexagesimales en 5. ¿Cuánto mide dicho ángulo en radianes?

SO = C g = R rad

O

S : # de grados sexagesimales

04 04

B

R : # de radianes

Halla la medida circular de un ángulo que verifica.

C S2  6 5 Siendo, C y S la conversional

RELACIONES PARTICULARES:

05 05

C : # de grados centesimales

S 180

S 9



C 10

;

o 

Siendo S, C y R conocido para un ángulo, tal que: (180+S)(200+C)(+R)=27.S.C:R Halla la medida radial del ángulo.

C

R g  π 200

S 180



R π

;

C 200



R π

8

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06 06

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17 17

Halla la medida de un ángulo en grados sexagesimales de un ángulo que cumple:

Simplificar:

M

C  S 2R  C  S 57 07 07

18 18

Calcular el valor de S en:

Simplificar:

200 180  1 S C 08 08

P 19 19

Hallar: P

20 20

Determinar “R”, si:

S  S  S  .....  C  C  C  C.....

Hallar R, (R  0)

Donde S, C y R son lo convencional para un mismo ángulo:

   76 C2  S 2  R 2  10R     100 

12 12

(C  S )2  ( C  S )2

 C  S   C  S  R Q     :  38   2  

Si a la cuarta parte de la medida sexagesimal del ángulo se le aumenta 22 resulta la mitad de su medida en centesimal. Calcular su medida radial del ángulo.

11 11

(C  S )2  ( C  S )2

Simplificar:

CS CS 6 3 8 CS CS

09 09

10 10

180(C  S)(C  S) 19.S.C.

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Hallar: C – S

S C 2R   4 180 200 

La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo es 95. Halle dicho ángulo en el número radial.

13 13

14 14

01 01

Halla: R

2S  C   CS R

C 15 15

relación:

Halla un ángulo en radianes, si:

1 1 30 S C

A) 1 D) 19

1

 C

1 50 S C

02 02

5R  M 17R 3(C  S)   Donde: S, C y R es la convencional.

A)  /4 D)  /9

Calcular el valor de :

 40g  rad 3 Q  6º  rad 10

1 1 1 1 1     x S C S C B) 9 E) 38

C) 10

Calcular R si:

CR 720 R  2R  2 S

Reducir:

SC

16 16

Obtener el valor de «x» que verifique la

03 03

B) /6 E) /10

C) /3

Calcular R si:

 S  C   1  1  9   18  20  9

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A) /2 D)  /5 04 04

B)  /7 E)  /4

11 11

C) /10

Halle la medida radial del ángulo que cumpla con la igualdad: 2S  C 3R  2  2S  C 3R  2

Si:

A) /5 D) 16 /5

S 2C  3R 5 Hallar la medida del ángulo en radianes.

A) /2 B) 3/2 C) 5/4 D) 3/4 E) 4/3 05 05

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12 12

S C SC   150 2 10 A)  /5 D) 4 /5

C  S 3(C  S)  CS 10R B) 10 E) 25

C) 15

13 13

Calcular la medida de un ángulo en grados sexagesimales, sabiendo que se cumple:

A)  D) /4

B) 18º E) 45º

C) 3 /5

Hallar el valor de:

A) 10 D) 17

 S  C  C      16  2  5  2 A) 9º D) 36º

B) 2 /5 E) 

 S 4R C   25  1 P   .  40   C  S  2  36 

06 06

07 07

Hallar el ángulo en radianes que cumpla

con:

Calcular:

A) 5 D) 20

B)  C) /5 E) 11  /5

14 14

C) 27º

B) 12 E) 20 Simplificar: Q

Calcular R, si: S+C+R=380+  B) /2 C) /3 E) /5

A) 18 D) 22

B) 16 E) 12

C) 15

2.(C  S)(C  S) 380R2

C) 20

20 20 08 08

A) 5 D) 15 09 09

Determinar un ángulo en radianes que verifique:

Calcular n, si: C+S=95 y C-S=n B) 4 C) 10 E) 16

S  C S  10R C  10R   4 19 18   20  

A) 3 /10 D) 2 /5

Si:

S:# grados sexagesimales C: # grados centesimales Relacionados por:

21 21

200 180  1 S C Calcular S. A) 360 B) 362 D) 182 E) 92 10 10

A) 1 D) 5

C) 180

A) 4 D) 10 22 22

Reducir:

B) /10 C)  /5 E) 3 /20

Calcular:

2C  S  20R C  S

B) 6 E) 12

C) 8

La suma del doble del número de grados sexagesimales y el triple del número de grados centesimales de una medida angular resulta 96.

Calcular el complemento del ángulo.

A) 72º B) 75º C) 80g g D) 82 E) hay 2 respuestas

CS CS   17 CS CS B) 2 C) 4 E) 6 10

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D) /16

E) /36

23 23

Se ha medido un ángulo en el sistema sexagesimal y centesimal. La diferencia de los números que representan dichas medidas es 7,2.

Calcular la medida del ángulo en el sistema radial.

A) 2 /25 B) 3 /25 C) 4 /25 D) 7 /25 E) 9 /25 24 24

Halle el ángulo en radianes, tal que se

cumpla: C+S+R=95+ /4 B) /6 rad C) /4 rad E)  /2 rad

A)  /8 rad D) /3 rad 25 25

Si se cumple:

46 C  3 4 S  Calcular la medida del ángulo A) 16o / B) 18o / o D) 22 / E) 24o /

A)  /2 D)  /5

B)  /3 E) /6

C)  /4

Siendo: S, C y R lo conocido para un mismo ángulo, calcular:

(C  S)  40R 17R

Siendo S y C los números que representan las medidas de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales, hallar el ángulo que satisface la relación en grados sexagesimales.

C  S CS  C  S 100 B) 4º E) 7º

C) 5º

26 26

Calcular la medida radial de un ángulo que verifique la siguiente relación: 2

2

B) /10 E) 3 /20

C)  /5

26 26

Calcular un ángulo en radianes que cumple: S=ax2+7 C=ax2+12 A)  /3 rad B) /4 rad C) /6 rad D) /2 rad E)  /5 rad C A P ÍT U L O

02

B) 20 E) 50

C) 30

Si a la cuarta parte del número de grados sexagesimales se le disminuye en 2, se obtiene la quinta parte de su número de grados centesimales.

Calcular su medida en radianes.

A) /5 B) 2/5 C) 3/5 D) 4/5 E) 3/15 31 31

Calcular el números de radianes “R” de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales “S” y de grados centesimales “C” cumple la relación: 2C – S = 44 A) / 3 B)  / 4 C) / 5 D) / 6 E) / 7

2

CR  18   20      S    C    10R   S      

A) 3 /10 D) 2 /5

A) 10 D) 40 30 30

26 26

A) 3º D) 6º

C) 20o /

29 29

Calcular R, si:

S C R    37 3 4 

27 27

28 28

Señale la medida circular de un ángulo que cumple: S=3x-2 C=2x+4 Siendo S y C lo conocido.

A) /12 B) /15 C) /24 OBJETIVOS: OBJETIVOS: Aplicar correctamente la fórmula general.

Aplicar correctamente la fórmula general.

Calcular la longitud de un arco.

11 Calcular la longitud de un arco.

Aplicar propiedades de la longitud de un arco.

Aplicar propiedades de la longitud de un arco.

Calcular el área de un Sector Circular Calcular el área de un Sector Circular

32 32

Reducir, siendo S y C lo convencional: M

A) 1 D)8 33 33

3S  2C CS

B) 2 E) 9

C)7

Si: 2S + 3C = 96. Calcular dicho ángulo en grados centesimales, siendo S y C lo convencional.

A) 10g B) 20g C)24g D) 28g E) 30g

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

APLICACIONES APLICACIONES

LONGITUD DE ARCO Donde: θ = nº de radianes (sin unidad) R = medida de radio

Donde: θ = nº de radianes (sin unidad) L = longitud de arco R = medida de radio

LONGITUD DEL ARCO

NUMERO DE VUELTA DE UNA RUEDA Y LONGITU DE ARCO

En el numero de radianes que mide un ángulo central es igual al cociente de la longitud del arco que subtiende entre el radio de la circunferencia que lo contiene.

Numero de Radianes =

Una rueda en rotación barre arcos cuyas longitudes depende del número de vueltas que da la rueda y la longitud del radio.

A continuación analizaremos tres situaciones distintas.

1.- Rotación de una rueda sobre el plano:

Longitud del arco radio

Si representamos con α el número de radianes que mide el ángulo central tenemos.

R

α

TRAPECIO CIRCULAR

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

L = θ. R

L=

R

α .R

L = 2Rn En cada vuelta barre la longitud de la circunferencia (2

 R) en n vueltas barre 2  Rn. Luego

R L = longitud del arco R = Longitud del radio α = Medida del ángulo central en radianes

2Rn LL==2Rn

12

n

L 2πR

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASES

n = numero de vueltas que da la rueda al desplazarse L = longitud del arco barrido por la rueda 01 01

R = radio de la rueda

Hallar el área del sector circular mostrado

(X + 6 )c m 2.- Rotación de una rueda sobre una superficie

(3 x + 1 4 )c m

2 ra d

circular cóncava

n

r

α(Rr )

02 02

2πr

Hallar el área del sector mostrado

(3 x -5 )c m (5 x + 3 )c m

2 ra d

r

α 03 03

R

R

Dada la circunferencia de 24cm de radio.

Encontrar la longitud de arco substendido por un ángulo central 2/3 rad.

3.- Rotación de una rueda sobre una superficie circular convexa

04 04

n

Hallar x + y – z

y

α (Rr ) 2πr

z

3



O

x 2 r= m

05 05

La longitud del arco BC es 4 m y “O” es punto medio de AC. Calcular el área de la región sombreada (CO = OA = OE)

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

α

A la porción sombreada de la figura ,se le denomina r

α

R

Si el

r

sector circular

es el ángulo central expresado en radianes,

de una circunferencia de radio r y si “S “denota el área de un sector circular subtendido por

α

B

E  O

C

120º A

06 06

entonces:

Si: la longitud de arco AB es 2pm. Calcular el área de la región sombreada. (OA = OB = OC = 12m).

A B

C O De la figura, calcular el área de la región sombreada (Arco CD = 2cm) B C 07 07

SAOB = α R2 RL L2   2 2 2α 13

A

3

4 O



D

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08 08

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Calcula: L1 + L2 + L3

L

15 15

1

L

Calcular "x" a partir de los sectores

circulares.

3

L2

40g

3

60º 15cm

09 09

Halla el arco del trapecio circular y el ángulo central.

2

3 10 10

7

16 16

circulares mostrados.

6

ab

Obtener: M =

en los sectores

ab

a 3

Calcular el área de la región sombreada

4

b 3 ra d

17 17

4cm

2cm

En los sectores circulares mostrados, calcular: a - b.

18

11 11

Area de la región sombreada es 8 cm2.

Calcula .

2cm

5L

8L

9L

4cm  12 12

18 18

Según la figura, obtener el área de la región sombreada:

Determinar “”

S

12

19 19

2 S 13 13

De la figura que se muestra, obtener

O

S

2S

sombreadas, además se cumple que OA = AB; OB = BC.

2 S 1

Determinar 



,

siendo

14 14

F 20 20

30º

A

L

1

14

2

de

las

O

regiones

B

1

S

A 30º

2

E

D

De la figura, calcular “θ”; si S2 = 2S1

S1

45º x

L

área

C S

La bolita se deja caer a partir del punto "A" y recorre los arcos "L1" y "L2" hasta el punto C. Calcular "x". Si: L1 + L2 = 12 π.

C

"S"

G

S

O

8

6

1 ,5 r a d

O

2

S2

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21 21

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De la figura, calcular: E = S1/S2 01 01

S1

 2

O

Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 18º, en una circunferencia de 40m de diámetro.

A) m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5m

S

2

02 02 22 22

A

De la figura; Calcular “θ”; si: S 1 + S2 = 20π. Además R = 2

O



R S1

S

R

C

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

R

R

Del gráfico mostrado, halle el valor de “x” E 10

O 4

F

2

D

x

B

5

R

x+ 9

03 03

R

23 23

Del gráfico mostrado, halle: L1+L2+L3; si AOB, COD y EOF son sectores circulares.

24 24

A) 3m B) 5m C) 7m D) 9m E) 11m

Se tiene un sector circular de radio “R” y un ángulo central 36°. Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que el área no varíe, si su radio disminuye un cuarto del anterior.

El área de un sector circular es 4 m 2; su perímetro de 8 m. Hallar el radio del circulo Con la ayuda de la siguiente figura: 25 25

Calcular: M =

26 26

(z  y)(y  x) bc



y

A

L

E

2

1

L

D

3

 3 F

18m

04 04

Si a un sector circular le triplicamos su radio y a su ángulo central le aumentamos 60º se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual al quíntuplo de la longitud del arco inicial.

Determine la medida del ángulo central del nuevo sector.

A) 7 /3 rad B) 13 /4 rad C) /3 rad D) /3 rad E) 31 /6 rad

a

x

L

O

x

 De la figura mostrada Determinar el área a de la región sombreada b

C

z

05 05

Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 120º; si duplicamos el radio de este sector y disminuimos el ángulo en aº, se obtiene un nuevo sector cuya área es el triple del sector inicial. Halle «a» A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

c

27 27

El área de un sector circular es 100 m2.

Si se reduce el arco en 20% y aumentamos el radio en 30%; se genera un nuevo sector cuya área es:

06 06

Del gráfico, Hallar a/b O

A) 1/3 D) 4/3

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

07 07

15

B) 2/3 E) 5/3

4A

a

C) 1

5A

b

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Del gráfico mostrado, halle el área del sector AOB C A) 7u / 2 B) 3u2 C) 11u2 / 2 D) 32u2 E) 19u2 / 2

D) 10 cm E) 12 cm

4

A

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2

09 09

4

x ra d

O

B

14 14

5

4

Calcular la longitud del arco AC , siendo «O» y «B» centros.

C

B) 2 cm

Del gráfico mostrado, si: A1+A2=90 u2.

C) 3 cm

Halle “”.

6cm

D) 4 cm E) 5 cm

A)  /16 B)  /8 C)  /6 D) /4 E) /3

A

 ra d

A

1

2

O

B

6cm

15 15

Del gráfico mostrado, halle «k», si L2 = 4L1, además OB=2; BC=3.

10 10

A

x+ 3

A) 18 u B) 20 u C) 24 u D) 42 u E) 50 u

L

C

1

B  O

L

k

2

D

16 16

3x+ 19

x ra d

O

A

A) 0,5 B) 0,6 C) 1,0 D) 1,2 E) 1,6

Calcule el perímetro del sector AOB

mostrado

Hallar el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 40g y su radio mide 10m A) 6 m2 B) 8 m 2 C) 10 m 2

x+ 3 B

D) 12 m 2

Del gráfico, halle “x”

11 11

A

A) cm

D

E) 16  m 2

17 17

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

O

Se tiene un sector circular de 100m 2. Si disminuimos el arco en 20% y aumentamos el radio en 30% se obtiene un nuevo sector circular cuya área es: A) 100 m2 B) 104 m2 C) 110 m2 D) 144 m2 E) 150 m2

10

6 x 4

12 12

L 3  2L1

Del gráfico mostrado, Halle: OA 2



AC CE  5 3

Si el área de la región sombreada es 5m2. Calcular «x» A) 0,3 B) 0,5 C) 1 D) 1,5 E) 2

E

C

A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2

L2

18 18

; si:

A O

L

L

1

L

2

3

B D

19 19

F

El péndulo (ver fig.) es soltado desde «A» y llega hasta el punto «C» recorriendo una trayectoria de 13cm. Halle «QB» P 30°

12

Q

15°

A

C

16 B

O

C

x ra d B

D

Se tiene un sector circular de perímetro igual a 30m. Si su arco es igual al triple del radio, calcular su área.

A) 9 m2 B) 16 m2 C) 18 m2 D) 25 m2 E) 54 m2

13 13

A) 4cm B) 6 cm C) 8 cm

A

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Facultad de Ciencias Histórico Sociales I.E.FACHSE “PEDRO RUIZ GALLO” - CHICLAYO 20 20

Del gráfico mostrado, calcule: A

(S: área)

S

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

S1

C

S

2

D

21 21

Calcular la longitud del radio de un sector circular de perímetro 4 m, tal que su área sea máximo.

A) 0,5 m B) 1,0 m C) 1,5 m D) 2,0 m E) 2,5 m 22 22

Si la longitud de arco es igual a 5cm y su radio es 3cm, ¿en cuánto debe aumentar su ángulo para que la longitud de arco varíe y su radio sea 2cm?

A) 140º B) 150º C) 160º D) 180º E) 200º 23 23

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Del gráfico mostrado, Halle «x» 3 x -1

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

3 x -1

Del gráfico mostrado, Calcular :

ab b-a

b

2

5

3

27 27

A partir de la figura, halle: a/b (S: Área) C

A) 1/3 B) 2/3 D) 4/3 E) 5/3

A

C) 1

5S

a

4S

O

b

B D

28 28

Se tiene un sector circular de área «A», si disminuimos el ángulo central a la mitad y duplicamos el radio, se obtiene un nuevo sector de área «A2». Calcular: B) 2 E) 5

B) 14 u2 C) 15 u2

A2 A1

C) 3

6

D) 16 u2

30 30

A)

a b

Del gráfico mostrado, calcule la longitud del arco BC A A) 8 u 2x+ 2 B) 10 u B 2º C) 12 u O 3º D) 16 u 4x E) 20 u C A P ÍT U L O

4

E) 18 u2

a

25 25

x+ 8

6

Calcular el área de la región sombreada A) 13 u2

B 24 24

y

29 29

x+ 1

0 ,5 ra d

Del grafico, halle «x+y»

A) 1 D) 4

A

O

26 26

A) 1u B) 2u C) 3u D) 4 u E) 5 u

B

1

3

O

S 2  2S1

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B) C) D) E)

Del grafico, Calcular “”; si π

34 3π 34 5π 34

rad rad rad

7π 34 9π 34

rad

rad

C

03

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Reconocer los elementos del triángulo rectángulo.

Reconocer los elementos del triángulo rectángulo.

Definir las razones trigonométricas.

Definir las razones trigonométricas. 17 Aplicar las razones trigonométricas a eventos reales.

Aplicar las razones trigonométricas a eventos reales.

Definir las razones trigonométricas para ángulos notables Definir las razones trigonométricas para ángulos notables

2OC 3BC

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Tan α 

INTRODUCCIÓN:

Ctan α 

Es sabido que en trigonometría se estudia a los triángulos, mediante las relaciones entre los lados y ángulos, esto es mediante lo que llamamos razones trigonométricas. En el presente capítulo definiremos lo que es una razón trigonométrica, así como las relaciones que existen entre una y otra razón trigonométrica y finalmente estudiaremos la resolución de triángulos, para comenzar, con su forma mas simple, es decir, tratando solo a triángulos rectángulos.

Sec α  Csc α 

A Sen α  Cos α 

b

Cateto Opuesto b  Hipotenusa c Cateto Adyacente Hipotenusa

Hipotenusa Cateto Adyacente Hipotenusa Cateto Opuesto



a

 

a b

c a

c b

B

α

a

C A

β

b

C

b Sen α   c o  Sen α  Cos β  α  β  90 b Cos β   c  b Tan α   a o  Tan α  Ctan β  α  β  90 a Ctan β   b c Sec α   a o  Sen α  Csc β  α  β  90 c Csc β  a  RAZONES TRIGONOMETRICAS

B a c C



Cateto Opuesto

c

En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 90o y los otros dos ángulos agudos a su lado mayor se llama hipotenusa y a los lados menores se le llama catetos Si ACB es un triángulo rectángulo recto en C, las razones trigonometrías de α se define:

β

Cateto Adyacente

b

Dado el triángulo rectángulo ACB

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO ( R T )

α



RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULO COMPLEMETARIOS. CO – RAZONES

2. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA Es el resultado de comparar mediante una división dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.

c

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

INVERSAS (Recíproca) Una razón trigonométricas es inversa o reciproca de otra si sus valores son uno el inverso del otro Aplicando esta definición en el  ABC se obtiene los siguientes resultados:

a c

18

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C.O

Sen α  Cos α 

H C.A



b c

su inversa es Csc α 

b a

su inversa es Sec α 

H C.O H



b a b

07 07

 C.A c C.A c Tan α   su inversa es Ctan α   C.A c C.O a H C.O



a

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Si:

Sen  

Tan  + Sec 

2 5 1 sen –  sen,  agudo 3 8 4

Si:

EJERCICIOS DE



Calcule: G  ctg4  csc3  –

APLICACIÓN PARA CLASE Si:

Sen  

09 09

tg 

Si:

5

3tg 



sen

Determine: Tan 

3

Halle las demás razones trigonométricas.

02 02

17

Halle:

08 08

01 01

8

3 2 , AD  AC 2 11 B

Halle Tan 17





A 10 10



D

C

Del gráfico, Calcule: Tan  · Tan .

15 03 03



Halle: 1 Sen 





1 Tan 

41

 04 04

Si:

Sen  

1

3a

40

2

11 11

2

2 Halle: Csc - Ctg  05 05

Halle: Tg

Si:

Tan  

Siendo a un ángulo agudo donde: 9 Sen  – 4 Cos = 0 Calcule:

N  ctg – tg

5

12 12

7

Si:

3 sec    10

en el cuadrado 

Halle: Tan  + Ctg 

13 13

 06 06

a

Halle: E = Tan  . Tan 

Halle: “Tan 2”

3  5 14 14

19

Del gráfico, calcule:

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2 Q = (Ctg + Tan )

Halle las demás razones trigonométricas.

02 02

2m 

15 15

A)

6m

B)



C)

1

Sabiendo que: Sen θ =

D)

3

Halle Tan  12

13 13 12 5 12 12 5

2

Calcular: E = 2 Tan θ + Cos θ Siendo “θ” agudo: Si se sabe que: Cos  =

16 16

1

; «» es

A)

agudo, Calcular: R = Sen. Tan

B) 17 17

En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13 y 12. Calcular la tangente del mayor ángulo ayudo del triángulo.

18 18

Del gráfico, Calcular «Tan » H

C) D)

19 19

1

7 25



24 24

25

25 31 25

1

Si:C os 

3

24 , (: AGUDO)

2 2 Halle: Sec  – Tan  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 B

Halle Tan  si:

05 05

Si «» es un ángulo agudo; tal que:

T g 

3

Del gráfico mostrado, Calcular

R=

Tg  Tg 

2 en el cuadrado.

3



A) 1 B) 3 C) 1 / 3 D) 1 / 2

13

Calcular: E = 13 Sen2  + 4 Ctan2  20 20

25

C

B

Cos  =

Halle: Sen  + Cos 

04 04

9 A

12

03 03

3

13



C

A

06 06



 2m

m

Halle: Ctg  · Ctg .

B



A) 1 B) 2 C) 3 D) 1 / 3

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

 07 07

Dado un triángulo ABC . (B Recto) Si: Sen A + Cos C = 1 Hallar: Tg A 01 01

Si: C os 

12 13

A) 08 08

20

2 2

B)

3 2

C)

3 3

D)

3 4

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Del gráfico, Halle: Tan  .Tan :

C) 2 2 D) 4 E) 3 2

1

A)

2 3

B)



2 3

C)

15 15

4 1

D)

Si:

2a 1 1 a 3 2 cos   cos  ,  : agudo 3 5 5 5

Calcule:

A) 12 E) 15 10 10

A) 10 B) 9 C) 12 D) 13 E) 14

M  7cos  15 csc  B) 10

C) 13

 8

En un triángulo rectángulo los catetos están en la proporción de 2 a 3. Calcular el producto de los senos de los ángulos agudos de dicho triángulo.

A) 2/13 B) 6/13 C) 5/13 D) 6/5 E) 5/6

D) 11

17 17

Si «» es un ángulo agudo tal que 2 Cos  = 2 / 3 calcular «Tan  » A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 3,5

x

18 18



reducir

16

A) 1

Calcule: 2 2 P = Tan  + Sec  + 9Csc 

A) 22 B) 21 C) 20 D) 23 E) 25

4

16 16

Calcule: “x”

9 11 11

Calcule Ctg 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3



5

09 09

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

D) a/c

En un triángulo rectángulo ABC ( B= 90°); E = Tan A . Tan C 2 2 B) a.c C) a c 2 2 E) a /c

19 19

3

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), Calcular: E= Sen2 A + Sen2C + 1

1 0



A) 1 D) –2

12 12

Siendo  un ángulo agudo y: 15Sen  – 8Cos = 0 Calcule: M = 0,5Sen  + 2Cos A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

B) –1 E) 0

C) 2

20 20

En un triángulo ABC recto en “A”, Calcular el valor de la expresión: E = a2. Tan B. Sen B. Sen C A) c B) a2 C) b 2 D) a E) b

En un triángulo ABC (B=90º) Si: Tan A = 2,4 Calcule: 1 1 E  SenC C tgA A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13 13

14 14

A) 2 B) 2

20 20



5 2

; 0o < α < 90o

Hallar el valor de: M = (Sen α + Cos α) Csc α A) 1 B) 3 C) 5 D)4 E) 2

Del gráfico, Calcule: Q = Ctg  – Tg 

m

Si: Sec α =

21 21

Calcular “x” en:

Sec 3x .Tan x. Ctanx .Cos (x + 20°) = 1 A) 5° B) 10° C) 15° 2m

21



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D) 20°

E) 25°

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

A) 7/17 D) – 9/17

B) – 7/17 E) 11/15

C) 11/17

22 22

Si “θ” es agudo y Tg θ = 5/3 Calcular: sen  cos

M

A) 1/2 D) 1/4

sen  cos

B) 2 E) 3

C) 4

23 23

En un triángulo ABC recto en B se cumple que: Sen A. Sen C = 1 / 8 Calcular: K = Tg A + Tg C A) 1/4 B) 4 C) 5 D) 1/8 E) 8 24 24

Si la figura es un cuadrado de lado 1.

Hallar: Tan  + Tan  A) 1  B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

28 28

A) 1 B) 2 C) 4 D) 1/4 E) 1/2 29 29

Del gráfico. M es punto medio de BC. Hallar Tan  .Tan  A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/5

4 

D 

3

E)

C

Si BCDE es un cuadrado; Calcular L = Ctan - Tan 

D

A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 1/3

A

En un triángulo rectángulo ABC ( B= 90°); se sabe que Sen A = 2 Sen C calcular «Cos A» A) 1 B) 1/2 C) 1/4 1



A

26 26

D)

B

Del gráfico, Calcular P = Ctan  - Tan  B

A) 3 B) -2 C) 2 D) 1 E) -1

30 30

C

1

H

A

 25 25

En el gráfico; calcular «Tan »

1 5

27 27

Sea «a» uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Si «Sen» es al «Cos» como 8 es a 15; calcular: E = Sen - Cos

C A P ÍT U L O

04

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Conocer y aplicar los ángulos notables 30°; 60°; 37°; 53°; 45°.

2253°; Conocer y aplicar los ángulos notables 30°; 60°; 37°; 45°.

Practicar los valores notables relacionadas a las Razones Trigonométricas.

Practicar los valores notables relacionadas a las Razones Trigonométricas.

Utilizar estos valores a la vida real.

Utilizar estos valores a la vida real.

C

B

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RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Para Calcular las razones trigonométricas de ángulos notables, citaremos tres triángulos notables.

30o Sen

Cos

Tan

1

Csc

3

2

2

3

1

3

3

3

2 3

2

2

3 3

2

3

1 1

2

3

2

2

2

3

3

45o

2

2

2

Ctan

Sec

60o

2

37o

53o

3

4

5

5

4

3

5

5

3

4

4

3

4

3

3

4

5

5

4

3

5

5

3

4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE 01 01

23

Calcule: 2 2 M = Sen 60°+Cos 30°

02 02

Calcule: T g37  T g53  C os37 M Sen53

03 03

Calcule: T g45 Sen60 C os37 M   C tg45 C os30 T g53

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

y: ED = 5m 04 04

2

05 05

B

2

1  T g 37 1  Sen 45  2 T g37 C sc 53

60°

Calcule:

A

M  Sen

     C os  Sec  T g 6 3 3 4

Reduce:  Sec  3 C sc  6   Sec 2 60  C sc 2 30  M   1  T g2  4   1  C tg45   

07 07

Calcule “x”, si: Tg (x+20°) . Ctg (3x–4°) = 1

15 15

Calcule: “” si:

sen3  cos2

16 16

Si: Tg (+10°) = Ctg (+20°)  y  ángulos agudos

Halle “x”.

2

08 08

2

T g   2T g45 

Si:

Calcule: P 

Calcule el valor de “x”.

Tan (6x – 20º) = Ctan (60°–x)

18 18

Sabiendo que: Sen (x+20°) = Tg 45°–Cos 60° Ctg (2y–15°) = 2 Sen 30° Calcule: A = 2 Sen y + Sec (x+50°)

2

1  T g 60

Del gráfico, calcule “x”.

19 19

3 3

10 10

Calcule: 2

A

x

Del gráfico. Determine AB. Si DC = 10.

B A

2

C os80  Sen 45 – Sen10

20 20

Calcule: “x – y” Si: “x” e “y” son ángulos agudos que cumplen:

37° C

Calcule “x”.

21 21

10 37° 12 12

T g 60  Sen(70  x) Sec(20 – x)  T g45

Sen (2x+5°) = Cos (x–5°) Tg (y+7°) . Ctg (2y–9°) = 1

D 11 11

Del gráfico, Calcular Tan  C

x

Calcule “x”: A

6

x 37°

13 13

C sc      – Sen  Sec(  30)  2 

17 17

6C sc30

Halle “”.

30°

C

14 14

3Sen 30  2C os 60 1 3T g45 – 3x

09 09

D

Calcule: M

06 06

E

22 22

37°

Calcule “x”. ABCD: cuadrado Si: x = BC

45º 2

 D

1

Calcular x del gráfico

8 24

53º

45º x

B

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D)

1

02 02

23 23

Determine: M 

Calcular Tan x B

A) 5

x

A 24 24

D) 37º

13

C

1

A) D)

x

B)

4 1

E)

2

2 5

1– T g37 1  C tg37 2

C)

25

Reduce: K 

3 28

1 6 2

03 03

Del gráfico, calcular Ctan x C

E)

4

2

2  T g 45  T g 60 2

4Sen 30

3

B) 3

2 2

E)

5

C) 6

4 29

04 04

3 7 º //

A 26 26

//

Calcule: M = Sec 60°+4 Tg 37°+3 Tg 53°+1 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

B

En el gráfico mostrado calcular Ctan x. Si B

05 05

60º

3 2

27 27

60º

x

A) 1 D) 2

C

06 06

Calcular x si el área del cuadrado es 642 x

B

A

1 2

Calcule: Tg (+15°)

M A

Si: Sen 

53º

C

B) 3 E) 4 / 3

C) 3 /3

Calcule:

A) 1 D)1 / 4

B) 1 / 2 E) 1 / 5

C) 1 / 3

D 07 07

Determine  y  respectivamente. Si:  y  son ángulos agudos, además: Sen (2 +20°) . Csc ( +30°) = 1 .... (1)  + = 50° .... (2)

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

A) 5° ; 45° D) 10° ; 40°

B) 15° ; 35° E) 15° ; 75°

C) 20° ; 30°

08 08

Si: Sec 10 = Csc 8 Calcule: 3 Tg 9 + 4 Cos 12 .

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

01 01

09 09

Calcule: 2 2 M = Sen 30° + Cos 60°

A)

3 2

B)

1 2

C)

3 4

25

Si: 0 <  < 90° y: (Cos 17° + 5 Sen 73°) . Sec 17° = 4 Tg  Calcule el valor de: H = Sen + 5 Cos

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A) D)

3 2 4 3

13

B)

13

E)

2

13

3

C) 2 13

15 15

13

Siendo “x” e “y” agudos.

Además: Sen (x+3y) . Sec (2x–y) = 1 Tg (x+4) . Tg (30°+2x) = 1 Calcule: 2 E = Sen y + Tg (35°+x) A) 1/ 4 B) 3 / 4 C) 5 / 4 D) 7 / 4 E) 9 / 4

16 16

11 11

Determine “x” 4Cos 60°+x Csc 45° = 2x.Sen 30°+3 Tg 37°.Tg 53° A) 2 B) 2 2 C) 2 +1 D) 2 -1 E) 2 2 +1 Calcule Ctg : Sec45 – 2 T g  C tg60 C os45  T g60 C tg 

A) 1,5 D) 2 13 13

B) 1 E) 3,5

A) B) C) D) E)

B 10 x

A

37º

C

26

Hallar Tan x si el triángulo ABC es equilátero B /5 3 4 3 /3 10 3 /2 2 3 x 3 /4 C A

17 17

A) 2/7 B) 1/7 C) 4/7 D) 3/7 E) 5/7

Calcular Tan 

A



C

53º

B

D

C) 2,5 18 18

Del gráfico, obtenga Tan x C

Calcule: Tg (+8°).

A) 3 / 4 B) 2 /2 C) 1 D) 2 /3 E) 3 /3

Calcular Tan x

A) 1 /2 B) 3 C) 1 / 3 D) 2 /3 E) 2

10 10

12 12

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria



41

4

A) 5/6 B) 3/5 C) 6 D) 6/5 E) 5 x

B

2 19 19

A) 4/3 B) 5/4 C) 5/3 D) 3/5 E) 3/4

14 14

Del gráfico, calcular Ctan  C A) 1 / 2 B) 1 / 3 C) 2 D) 3  45º E) 1 B 3 6 D

10

37º D

Calcular Tan 

A

3

B

9 2

A

Ø

45º 21

A

C A P ÍT U L O

05

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Resolver un triángulo rectángulo cualquiera.

Resolver un triángulo rectángulo cualquiera.

Aplicar los casos respectivos en forma analítica.

Aplicar los casos respectivos en forma analítica.26 Aplicar correctamente el cálculo del área de un triángulo.

Aplicar correctamente el cálculo del área de un triángulo.

Aplicar el concepto en ángulos verticales en forma correcta para situaciones de la vida real.

Aplicar el concepto en ángulos verticales en forma correcta para situaciones de la vida real.

C

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RESOLUCIÓN RECTÁNGULO  

DE

TRIÁNGULO Se tiene que:

Consiste en determinar los seis elementos del triángulo rectángulo: los tres lados y los tres ángulos.

Esta resolución es posible si se conocen dos elementos el triángulo (lados y/o ángulos), para lo cual se recomienda utilizar el siguiente criterio.

C tg 

Si en un triángulo se conocen dos lados (a y b) y el ángulo comprendido entre ellos (), entonces el área de la región triangular limitado por él, se calcula así:

a.b  Sen  2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

h 

a

01 01

Se tiene que:

x T g  a

x = a Ctan 

S

Teorema # 01 Dado un triángulo rectángulo donde un cateto mide “a” y su ángulo adyacente mide “ ”, entonces la hipotenusa y el otro cateto medirán: x

x a

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR

lado que se quiere  R.T. (ángulo conocido ) lado que se tiene

•

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

Calcule el valor de “x” si:

x = a Tan  a

h Sec   a

h = a Sec 

b





x 02 02

• Teorema # 02

Dado un triángulo rectángulo donde un cateto mide “a” y su ángulo opuesto mide “ ”, entonces el cateto adyacente y la hipotenusa medirán:

x

L

L  x

h

a

Del gráfico, calcule el valor de “x”



27

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03 03

Calcule “x” siendo ABCD un

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

09 09

paralelogramo.

B

De la figura, calcule:

E  15 sec 

C x

5



A

D

a

 

04 04

Calcule el valor de “x” si ABCD es un paralelogramo.

B

10 10

C

m

05 05

D

x

6

Calcule el valor de H en términos de a ,

.,

2

B

 

11 11

H A 06 06

De la figura, calcule: E  3 csc  



A

3

a



C

Calcule el valor de “x” si:

m

Determine el valor de “m” en términos de n, .



B



x 

12 12

n

Calcule el valor de “x” si: 

A

m



m

C

07 07

Del gráfico, calcule el valor de x en función de  y a.

 x

B

13 13

Calcule el área de la superficie ABC. B

x a

8



A 08 08

C A

Calcule el valor de “x” en función de a y

.

14 14

B

60º 12

C

Calcule el área de la superficie ABC. 45º 6u

a x A



C

28

8 2u

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15 15

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

S1

siendo .

S2

6

B

sen Determine si: , sen

 6

2  3



A

 

20 20

6u

10u S1

C

Calcular el valor de “x” Si B

S2

 E

x 16 16

S1 S2 





A

5 3

8u S1

C

D

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN



6u

17 17

a

sen csc 

Determine si , siendo

D

S2

De la figura, Calcule el valor de

P  2sen  3sen Donde

S1  S 2  6u 2

01 01

A) m Cos  + n Cos  B) m Sen  + n Cos  C) m Cos  + n Sen  D) m Tan  + n Tan  E) m Sec  + n Sec 

S2  4u

6u

3u 

S1

18 18

02 02

De la figura, Calcule el valor de

Q  2sen  sen Donde

S1  S 2  20u  

12u

6u S

19 19

Calcule

03 03 1

m

n 

 x

Del gráfico, calcule “x” si:

A) 2m Cos  B) 2m Sen  C) 2m Sec  D) 2m Csc  E) m Cos 

2

S

Calcule el valor de “x” si:

m  x

Calcule “x” siendo ABCD un

paralelogramo.

2

A) 10 Cos  B) 10 Sen  C) 10 Sec  D) 10 Tan  E) 10 Ctan 

ctg  tg

29



x  10

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Calcule el área de la superficie ABC.

A) 30 u2 B) 45 u2 C) 60 u2 D) 42 u2 E) 72 u2

A) B) C) D) E)

53º 15u

10u

Determine el si el área de la superficie ABC es 72 u2.



b 

12 12

Calcule “x” 

a

13 13

Calcule “x” siendo ABCD es un rombo.

L

B



A) B) C) D) E)

C

x

14 14

Calcule:

E  3cos  2sec 

A) B) C) D) E)

6



53º 10u

8u

Calcule  si el área de la región ABC es 24 u2 .

37º 53º 30º 60º 45º

 8

4 3

Calcule “x” si 2a a 3a 4a 5a

ctg  tg  3  x a

  4

09 09

15 15

Del gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada: A) 6 u2 B) 7 u2 C) 8 u2 D) 9 u2 E) 10 u2

x

D

A

A) 1 B) 1/2 C) 0 D) 2 E) – 1

a

Calcule el área de la región ABC:

A) 40 u2 B) 42 u2 C) 32 u2 D) 30 u2 E) 38 u2

x

L L Sen  L Sec  L Csc  L Cos 

Calcule “x” si:

A) a Cos2  B) 2a Cos  Sen  C) a Cos2  Sen  D) a Ctan  E) a Tan  Sen 

12

8 3

A) a Tan  Sen  B) a Tan  Csc  C) a Ctan  Sen  D) a Tan  Sec  E) a Tan  Ctan 

08 08

11 11

 

A) 1/2 B) 2 /2 C) 3 /2 D) 3/5 E) 4/5

A) B) C) D) E)

cos

1 3 2 4 1/2 2b

05 05

07 07

Calcule: Q  cos  ctg 

10 10

04 04

06 06

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

4u

A) a Cos3  B) a Cos2  C) a2 Cos  D) a Cos  E) Cos2 



53º



Calcule “x”

4u

a   x

30

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

C A P ÍT U L O

06

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Reconocer los ángulos de elevación y depresión como ángulos verticales.

Reconocer los ángulos de elevación y depresión como ángulos verticales.

Aplicar las nociones de ángulos verticales en la resolución de problemas Aplicar las nociones de ángulos verticales en la resolución de problemas

ÁNGULOS VERTICALES (ELEVACIÓN - DEPRESIÓN) Son los que están contenidos en planos verticales. El ángulo vertical está formado por dos líneas imaginarias; una visual y uno horizontal que parten del ojo del observador o de un punto. Según la ubicación del punto que se mira, se tiene ángulo de elevación o depresión.

Se tiene ángulo de observación cuando está formado por dos visuales.

: Es el ángulo de elevación

: Es el ángulo de depresión

 H o r iz o n ta l

H o r iz o n ta l 

0° <  < 90°

0° <  < 90°

: Es el ángulo de observación



0° <  < 180°

31

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• • •

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

La estatura de las personas se consideran hasta sus ojos.

Cuando no se indica la estatura de la persona, se considera un punto.

Este tipo de problea genera triángulos rectángulos.

O b se rv a d o r

H o r iz o n ta l 

O b se rv a d o r

H o r iz o n ta l 



EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

07 07

Desde la base de un árbol se observa la parte superior de un edificio, con un ángulo de elevación de 45º y desde la parte superior se observa el mismo punto con una elevación angular de 37º. si la altura del edificio es 120m.

Hallar la altura del árbol.

01 01

Un niño observa su cometa con un ángulo de elevación de 30º. Hallar la altura de la cometa con respecto al piso, si ha soltado del hilo para volarla.

02 02

08 08

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si el punto de observación esta a 24m de la base del poste. Hallar su altura.

Dos personas que están separadas una distancia de 10( 3 +1) observan en un mismo instante una paloma que se ubica entre ellos con ángulos de elevación de 30º y 45º. Calcular la altura de vuelo en ese momento.

03 03

Desde un punto en la tierra ubicado a 36m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación cuya tangente es 5/12. ¿Cuál es la altura de la torre?

09 09

Desde lo alto de un muro se ve con un ángulo de elevación  la parte más alta de un edificio. Si desde la mitad del muro, se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 60º, hallar Tan  , si la altura del muro es a la altura del edificio como 1 a 7.

04 04

Desde lo alto de un poste se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión , cuya cotangente es 5. Si el objeto se encuentra 40m.del poste. ¿Qué altura tiene el poste?

10 10

Desde lo alto de un faro, se observa a un mismo lado, dos barcos anclados, con ángulos de depresión de 53º y 37º si los barcos están separados una distancia igual a 28m. ¿Cuál es la altura del faro?

05 05

Desde un puto en el piso se miden los ángulos de elevación de 37º y 53º para ver dos puntos de un mismo edificio, si la distancia entre el punto de observación y la base de dicho edificio mide 84m. Determine la distancia entre los puntos observados.

11 11

Un bote que está frente a un faro es visto con un ángulo de depresión desde la parte superior del faro, luego el bote se acerca y es visto desde el faro con ángulos de depresión .

Calcular la distancia que ha desplazado si la altura del faro es 10m.

Además: Ctan  – Ctan  = 4 .

06 06

Desde un punto en un terreno horizontal el ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 15º, acercándose 100m en línea recta el ángulo de elevación es ahora de 30º. Hallar la altura de la torre.

32

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

20 20

12 12

Desde lo alto un monumento de 30 m de altura los ángulos de depresión de dos piedras que están sobre el terreno en la misma dirección respecto del monumento son de 45º y 30º. ¿Qué distancia los separa?

A 20m de la base de una torre un hombre observa la parte más alta con un ángulo de elevación  . Luego se aleja en línea recta otros 20m y ahora lo ve co un ángulo de elevación .

Si: Tan  + Tan y el hombre mide 1,7m. Hallar la altura de la torre.

13 13

Hallar la distancia a la que se encuentra un observador del pie de un pedestal de 4 m que tiene encima a una estatua de 5m. Si además el ángulo de elevación para la parte superior de la estatua es el doble del ángulo de elevación para la parte superior del pedestal.

21 21

El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60° a 72 m de ella, estando el ojo del observador a 3 m sobre el suelo. Hallar la altura de la torre.

22 22

14 14

A 20m del pie de un edificio su ángulo de elevación es de 60°. ¿Cuál es la altura del edificio?

Desde la parte superior de un edificio los ángulos de depresión de la parte más alta y baja de un poste de 8m de altura son 30º y 45º respectivamente. ¿Cuál es la altura del campanario?

23 23

Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 m de altura se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 30°. Calcular la distancia a la que está el barco.

15 15

Una escalera está apoyada en una pared formando un ángulo de 30º con la vertical, luego desde la parte superior se divisa un punto en el suelo con ángulo de depresión de 30º. Calcule la longitud de la escalera si la distancia de su parte inferior al punto observado de 3m.

24 24

Desde lo alto de una cima se observa un obstáculo con un ángulo de depresión de 60°. Si dicho obstáculo dista 20 3 m del pie de la cima.

Calcular la altura de la cima.

16 16

Desde lo alto de un faro de 45m de alto los ángulos de depresiones de 2 delfines que se hallan en el mar y en una misma dirección del observador, miden 45º y 37º. Hallar la distancia entre los delfines.

25 25

Una persona colocada a una distancia de 36m del pie de una torre observa su parte más alta con un ángulo de elevación cuya tangente es 7/12. Hallar la distancia en la misma dirección que debe alejarse con respecto del punto de observación anterior para que el nuevo ángulo de elevación tenga por tangente 1/4.

17 17

Desde un punto en tierra se divisa lo alto del sexto piso y la parte baja del tercer piso con ángulos de elevación  ,  respectivamente.

Hallar el valor de K = Tan . Ctan  si cada piso tiene 2,5m de altura.

26 26

Desde el punto en tierra ubicado a 36 m de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación “” (Tg  =1/3). ¿Qué distancia habría que alejarse para que el nuevo ángulo de elevación tenga como tangente 0,2?

18 18

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación . Nos acercamos una distancia igual al triple de la altura del edificio siendo el nuevo ángulo de elevación . Calcular: E = Ctan - Ctan

27 27

Si a 20 m de un poste se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37° y luego nos acercamos al poste una distancia igual a su altura, el nuevo ángulo de elevación es “”.

Calcular Tan .

19 19

Una persona observa un objeto que está en caída con un ángulo de elevación de 60º, luego de un momento lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de 30º. Si en la primera observación se encontraba a 60m de altura. ¿En la segunda observación estará?

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EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

07 07

Si a 20m de un poste se observa lo alto con un ángulo de elevación de 37º y luego nos acercamos al poste una distancia igual a la de su altura y el nuevo ángulo de elevación es .

Calcular Tan .

A) 3 B) 2 C) 1/3 D) 1/2 E) 4

01 01

08 08

Desde un punto situado a 80m de la base de una torre se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 30º. Calcular la altura de la torre.

A) 30 m B) 50 m C) 40 m D) 35 m E) 42 m

Desde el pie de un poste se observa la punta de un campanario con un ángulo de elevación de 45º desde la parte superior del poste que tiene 7m de altura, el ángulo de elevación es de 30º. ¿Cuál es la altura del campanario? Tomar ( 3 = 1,73) A) 16 m B) 17 m C) 18 m D) 20 m E) 19 m

02 02

Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es 12m.

Calcular a que distancia de la base se ubica el punto.

A) 16 m B) 20 m C) 21 m D) 18 m E) 12 m

09 09

Desde el pie de un poste se observa un edificio con un ángulo de elevación de 45º, luego de la parte más alta se observa el edificio con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la altura del edificio su el poste mide 10m.

A) 60 m B) 80 m C) 40 m D) 20 m E) 10 m

03 03

Un avión vuela en línea recta y horizontalmente antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y B distantes 100m los observa con ángulos de depresión de 53º y 45º. Calcular la altura de vuelo.

A) 30 m B) 50 m C) 40 m D) 35 m E) 45 m

10 10

Un edificio de 120m de alturas es observado con un ángulo de elevación de 37º, luego avanza una distancia “x” y vuelve a observar el edificio con un ángulo de elevación de 45º. Calcular “x”.

A) 10 m B) 70 m C) 20 m D) 30 m E) 40 m

04 04

Una persona observa la parte superior de un monumento con un ángulo de elevación de 45º, se acerca al monumento una distancia de 5 metros y el nuevo ángulo de elevación es ; si .

Calcular la altura del monumento.

A) 10 m B) 6 m C) 12 m D) 5 m E) 8 m

11 11

Desde el piso se observa la parte más alta de dos edificios de 50m y “h” m con ángulos de elevación de 45º y 37º respectivamente. Si los edificios están separados 98m. Calcular la altura “h” A) 16 m B) 25 m C) 38 m D) 36 m E) 45 m

05 05

Desde la parte superior de un edificio de 120 metros de altura se observa la parte superior de un poste y su base con ángulos de depresión de 37º y 53º respectivamente. Calcular al altura del poste.

A) 50 m B) 51,5 m C) 62,5 m D) 52,5 m E) 53,5 m

12 12

Un avión vuela horizontalmente a una altura de 2000m y observa delante un punto sobre la tierra con un ángulo de depresión de 30º luego de recorrer “x”m observa nuevamente el punto adelante con un ángulo de depresión de 45º. ( 3 = 1,73) .

A) 1460 m B) 1500 m C) 1400 m D) 1230 m E) 1320 m

06 06

Desde lo alto de un edificio se ve lo alto de otro edificio con un ángulo de elevación de 37º y su base con un ángulo de depresión de 45º, si la distancia entre dichos edificios es 24m, determinar la altura del edificio más alto.

A) 30 m B) 52 m C) 42 m D) 44 m E) 43 m

13 13

Una persona colocada a 36m de una torre observa su parte más alta con un ángulo de elevación  .Tan  = 7 / 2. ¿Qué distancia habría que alejarse para que el ángulo de elevación sea ? donde: Tan  = 1 / 4.

A) 36 m B) 40 m C) 42 m D) 46 m E) 48 m

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14 14

Si a 20 m de un poste se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37° y luego nos acercamos al poste una distancia igual a su altura, el nuevo ángulo de elevación es “”. Calcular Tan .

A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 3,5

20 20

Una persona de 1,6m de estatura observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 22° 30’. Luego camina 40 m hacia la torre y la observa con un ángulo de 45°. Calcula (en m) la altura de la torre.

(Considerar 2 =1,41) A) 28,9 B) 29,8 C) 27,8 D) 28,7 E) 25,6

15 15

Desde la parte superior de una colina se divisa con ángulo de depresión de 53° a un punto del suelo. Si la línea visual mide 100 m. Calcule a qué altura se encuentra el observador.

A) 10 m B) 60 m C) 70 m D) 40 m E) 50 m

21 21

El ángulo de elevación de un edificio es de 22°30’, nos acercamos a una distancia “m” y el nuevo ángulo de elevación es de 45°. Hallar “m” si la altura del edificio es de 10 metros.

A) 10 m B) 20 m C) 10 2 m D) 10 3 m E) 20 2 m

16 16

Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60° y 30° respectivamente. Si la torre mide 36 m, calcula la altura del edificio.

A) 48 m B) 52 m C) 54 m D)58 m E) 60 m

22 22

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio y de la antena que se encuentra en su parte más alta; con ángulo de elevación de 45° y 53° respectivamente. Si la longitud de la antena es de 6 m. ¿Cuál es la altura del edificio?

A) 10 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36

17 17

José se encuentra a 20m de un poste y observa su parte más alta con un ángulo de elevación “” y alejándose 10m más el ángulo de elevación es el complemente de “”.

Calcular Tan  2 A) 2 6 B) C) 6

23 23

Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de 30°, al avanzar 10m el ángulo de elevación es ahora el doble del anterior. Encuentre la altura del faro.

A) 6 3 m B) 3 3 m C) 5 3 m D) 4 3 m E) 10 3 m

3 2 D)

6 2

E)

2 6

24 24

Desde un helicóptero se observan dos barcos con ángulos de depresión de 30° y 37° a un mismo lado. Si en ese instante el helicóptero se encuentra a 120 m. ¿Cuál es la distancia entre los barcos?

A) (3 3 -4) m B) 40(3 3 -4) m

18 18

Un observador se encuentra a 24m de la base de un poste y ve la parte alta con un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuántos metros tendrá que alejarse en línea recta la persona respecto del poste para que al observar nuevamente el punto anterior, el ángulo de elevación sea de 37°?

A) 8 m B) 12 m C) 24 m D) 32 m E) 40 m

C) (3 3 +4) m

D) ( 3 +4) m

E) 20(3 3 -4) m

19 19

Una persona de 1,7m de estatura observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 37°. Luego camina 4m hacia la torre y ahora observa el punto anterior con un ángulo de elevación de 45°. Calcula (en m) la altura de la torre.

A) 11,7 B) 12,3 C) 13,7 D) 14,3 E) 14,7

25 25

Una niña colocada a la orilla de un río, ve un árbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ángulo de 60°, se aleja 40m y éste ángulo mide 30°. ¿Cuál es la altura del árbol?

A) 43,6 m B) 30,6 m C) 34,6 m D) 36,4 m E) 38,4 m

35

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OBJETIVOS: OBJETIVOS: El objetivo principal del capítulo, es calcular las razones trigonométricas del cualquier ángulo, así como El objetivo principal del capítulo, es calcular las razones trigonométricas del cualquier ángulo, así como reconocer los ángulos en posición normal. reconocer los ángulos en posición normal.

Adaptar la teoría a determinadas situaciones geométricas.

Adaptar la teoría a determinadas situaciones geométricas.

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN

Razones Trigonometrías de sigue:

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Sen α 

Todo ángulo trigonométrico tiene tres elementos:

Ctan α 

y

, r x y

Cos α ,

Sec α

α x r r x

, se definen como

,

Tan α

y

x x Csc α y

,

LF (x,y)

 V

r

y



LI

x

LI = Lado Inicial, V = Vértice

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

LF = Lado Final Observación:  Si el sentido es horario el signo del ángulo es negativo.

01 01

Calcular la longitud de OP , si: P(3; 4) y «O» es el origen del sistema.

 Si el sentido es antihorario, el signo del ángulo es positivo.

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

02 02

Sea α un ángulo trigonométrico en posición normal , (x; y) un punto de su lado final y r (r > 0) el radio vector de dicho punto, entonces las

03 03

36

Calcular el radio vector del punto P(8; 6)

Hallar “y0”

Y 13

(1 2 ; y0) X

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04 04

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10 10

Hallar Sen 

Y

Y

(– 2 ; 4 )

Calcular: E = Tan  + Ctg  P (– 2 ; 4 )

 X 05 05

X

Y

( 3; 2) 

06 06

Q (8 ; 2 )



Calcular: E = Sen  + Cos  11 11

X

Hallar: C = 5Cos  + 6Tan 

Y

6



Calcular: E = Tan + Ctg  Y X 

X

–8 (– 6 ; – 8 ) 07 07

12 12

Hallar: M  5  Cos  Sen 

Hallar: P = Csc  + Ctg 

Y 3



X

–6 08 08

13 13

Calcular: E = Ctg  – Csc 

Calcular:

E

Y

Sen 1  Cos

X

 (1 5 ; – 8 ) 09 09

Del gráfico, calcular: E = 8(Sec  – Tan ) Y

14 14

Del gráfico, calcular «Tg»

Y

37º X

 (8 ; – 1 5 )



37

X

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B) 15 15

C)

Calcular el valor de: R = m – 8Tg a

Y

2  2

D)

2 

E)

2 

X

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

7

( 7; 2)

2 7

3



Hallar: M = 5(Cos  – Sen ) Y 

06 06



Y

5

2

(– 8 ; 1 – m ) (1 + m ; 3 )

3

4

A) –1 B) –5 C) –7 D) 1 E) 7

X

X (– 3 ; – 4 )

07 07

Calcular «Tg » Y

A) B) C) D) E)

–2 –3 –4 5 –6

(– 2 ; 7 )

Calcular la longitud de OP, si: P (8; 6) y «O» es el origen del sistema.

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 02 02

Hallar el radio vector del punto P(7; 24) A) 21 B) 25 C) 26 D) 28 E) 30 03 03

A) B) C) D) E) 04 04

05 05

17

X

A)

Y

–2 –3 2 1/5 –2/5

4



A) B) C) D) E)

X

Calcular «m», si Ctg  = –2

Y

1 2 3 4 5

(m – 5 ; m – 2 )  X

Y

10 10

(– 1 ; 2 )



X

Calcular: E = Sen  + Cos  7

A) B) C) D) E)

Calcular: E = Sen  + 2Cos

(x 0; 8 )

Hallar «Sen »

2 

08 08

09 09

Y

A) 1 /2 B) 3 / 3 C) 1 / 5 D) 1 /4 E) 2 / 5

X

–3

Hallar «xo» 12 13 15 10 9

(4 ; 3 )



01 01

A) B) C) D) E)

Del gráfico, calcular «Tan » (– 2 ; 4 )

–1/4 –1/2 –1 –2 –4

Y

 –6

2

OBJETIVOS: OBJETIVOS: 38 Reconocer los signos de las razones trigonométricas, según la posición del ángulo.

Reconocer los signos de las razones trigonométricas, según la posición del ángulo.

Realizar operaciones con las razones trigonométricas de ángulos en posición normal.

Realizar operaciones con las razones trigonométricas de ángulos en posición normal.

X

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

REDUCCIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTICAS AL PRIMER CUADRANTE

SIGNOS DE LA RAZONES TRIGONOMETRICAS

 r : ángulo de referencia del I cuadrante

Desde que las razones trigonometrías depende de dos cantidades: abcisa, ordenada y / o radio vector , reconocemos que la R.T tienen un signo que viene dado por la combinación de los signos que posean las cantidades de las que ellas dependa. Es oportuno sintetizar todas estas combinaciones posibles en los siguientes esquemas lo mismo que se constituyen en una regla práctica.

Así se concluye que: a) En el IC todas las R.T son positivas



:

ángulo a reducir

Fórmula General RT  =  RT  r Casos:

b) En el IIC sólo son positivas el seno y la cosecante.



 IIC   r = 180º - 

a)

Si

b)

Si   IIIC   r =  - 180º

c)

Si   IV C   r = 360º - 

Rt (  ) =  Rt  entonces: (+) Sen -Csc

Rt (180º  ) =  Rt 

(+) Todas

Rt (2  ) =  Rt  entonces : Rt(360º  )=  Rt 

(+) Tan - Cotan

(+) Cos- Sec

Rt (/2  ) =  Co-Rt  entonces : Rt(90º  ) =  Co-Rt 

 3     =  Co-Rt  entonces :  2 

Rt 

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS

Rt (270º  ) =  Co-Rt 

ÁNGULOS NEGATIVOS

 : ángulo agudo

Sen (- ) = - Sen  Cos (- ) = Cos  Tg (- ) = - Tg  Ctg (- ) = - Ctg  Sec (- ) = Sec  Csc (- ) = - Csc 

Cuando  > 360°   360º = n x 360º  A n : # de vueltas A : ángulo buscado Si A > 90° o  / 2 se reduce al 1er cuadrante utilizando cualquiera de los casos.

Nota :

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS

El signo depende del cuadrante en que se ubica la RT. inicial

CUADRANTALE 39

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Ejemplo:

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06 06

Sen 570º = Sen 210º  210º  IIIC

Si: Tg= 2,4 y .   IIIC Calcular «Cos»

r = 210º – 180º = 30º Signo = Sen está en el III C  (-)

07 07

 (rad)

0 y 2

/2



3 / 2

 (grados)

0o y 360o

90o

180o

270o

Sen 

0

1

0

-1

Cos 

1

0

-1

0

Tan 

0



0



Ctan 



0



0

Sec 

1



-1



Csc 



1



-1

Si: Cos 

1 2

  IIC

Calcular «Tan » 08 08

Si:

2Tg  8

  IIIC

Calcular:

P  10Sen  Cos 09 09

Siendo P (5; – 3) un punto del lado final del ángulo “”. Hallar el valor de: R = 17(cos2  – sen2 ) + cot  10 10

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE 01 01

02 02

Si P (– 12; – 5) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “”.

Calcular “K” k Sec    tan  sec  11 11

Determinar el signo de: E = Sen100º×Cos220º

Calcular el signo de

Tg230º Sen205º E Tg320º 03 03

Si «» es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto P(1; 3). Calcular:

E  10Sen  Tg

El lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es “”, pasa por el punto (– 2; 3). Calcular: E  13 Sen   Sec  / 13 12 12

Si (– 3; – 4) es un punto del lado Terminal de “” y (12; – 5) es un punto del lado Terminal de “”. Calcular: Sec   Sec  P Csc   Csc  13 13

Si Cos  = – 1/2 y Tg  > 0 Determinar: Sen ( ).Sec  M  Tg 

14 14

Si Sen  

04 04

Si el punto M (–3; 4) es un punto que pertenece al lado final del ángulo «a» en posición normal.

Calcular:

2 , donde   II C, hallar: 3

A  2 ctg 2  7 sec 

E  Sen  Cos  Tg 05 05

1

Si: Sen  y   IIIC , calcular el valor 3 de: R  8  Sec  Tg 

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de: Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de: Definir las condiciones que debe cumplir una identidad trigonométrica.

Definir las condiciones que debe cumplir una identidad trigonométrica.

Clasificar las identidades fundamentales.

40 Clasificar las identidades fundamentales.

Identificar las diferentes situaciones problemáticas que se presenta Identificar las diferentes situaciones problemáticas que se presenta

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

IDENTIDADES IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS TRIGONOMETRICAS Igualdad de expresiones Trigonometrícas que se Igualdad de expresiones Trigonometrícas que se verifica para todo valor admisible de la variable verifica para todo valor admisible de la variable

PITAGÓRICAS PITAGÓRICAS 2 2 Sen a + Cos 2 a = 1 Sen2a + Cos a = 12 2 1 + Tan a = Sec a 1 + Tan2a2 = Sec2a2 1 + Ctg a = Csc a 1 + Ctg2a = Csc2a

RECÍPROCAS RECÍPROCAS Sen a. Csc a = 1 Sen a. Csc a = 1 Cos a . Sec a = 1 Cos a . Sec a = 1 Tan a . Ctg a = 1 Tan a . Ctg a = 1

  

IDENTIDADES La columna vertebral de la trigonometría la constituyen las identidades trigonométricas sin las cuales seria materialmente imposible reducir o simplificar todas las fórmulas trigonométricas en especial las de ángulo compuestos, ángulos múltiples etc.

IDENTIDAD: Una identidad de dos expresiones matemáticas que al asignar cualquier valor real a sus variables siempre se obtiene una igualdad numérica.

IDENTIDAD TRIGONOMETRICA: Designamos con este nombre a aquella igualdad entre Razones trigonométricas que se verifican para todo valor admitido de su variable angular.

Las Identidades trigonométricas par un mejor estudio, se clasifican en cuatro grupos



POR COCIENTE POR COCIENTE Tan a = Tan a = Ctan a = Ctan a =

Identidades fundamentales Identidades de Arco Compuesto Identidades de Arco Múltiple ( doble, mitad y triple ) identidades de la suma o diferencia de seno y coseno a producto y viceversa ( transformaciones trigonométricas)

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Una identidad trigonométricas es una igualdad que involucra expresiones trigonometrías. La cual se verifica par todos los valores admisibles de las variables entre ellas tenemos: IDENTIDADES PITAGÓRICAS :

41

Sen2 x + Cos2 x = 1 1 + Tg2 x = Sec2 x 1 + Ctg2 x = Csc2 x

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Significa , simplificar la expresión a su mínima expresión con ayuda de las identidades fundamentales y las auxiliares Ejemplo 1 :

IDENTIDADES RECÍPROCAS:

Reducir la expresión: M= (RCosx)2 +( RSenx.Cosy)2+(Rsenx.Seny)2

Sen x. Csc x = 1 Cos x . Sec x = 1 Tan x . Ctan x = 1

Resolución: Factorizando: (Rsenx)2 M = (RCosx)2+ (RSenx)2(Sen2x + Cos2 x)

IDENTIDADES DE COCIENTE :

M = (RCosx)2+ (RSenx)2(1) M= R2 (Sen2x + Cos2 x)

Tan x = Ctan x =

Sen x

M = R2

Cos x

III.- PROBLEMAS CON CONDICIÓN:

Cos x Sen x

Para este tipo de problemas la expresión que se pide calcular depende de la condición, por tanto se recomienda poner la expresión que se pide calcular en términos de la condición ó viceversa. También, si fuese posible, se puede calcular el valor de una razón trigonométrica de la condición y utilizarlo en la expresión que se pide calcular.

Ejemplo 1:

TIPO DE PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES FUNDAMENTALES Se podrá indicar la siguiente clasificación:

Si Sec x + Tan x = 2

I.- DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES:

Calcular el valor de Sec x Resolución:

1. Se debe conocer las identidades fundamentales , es decir las identidades reciprocas , de cociente y pitagóricas 2. Si uno de los lados de la identidad parece más complejo que el otro. Intente simplificar el lado mas complejo y transformarlo, paso a paso, hasta que se vea exactamente como el otro de la identidad.

Este paso podría ser mas sencillo si escribe de nuevo todas las expresiones trigonometricas en términos de seno y coseno.

De la identidad pitagórica Sec2 x = 1 + Tan2 x Sec2 x – Tan2 x = 1 (Secx+ Tanx)( Secx- Tanx) = 1 2 (Secx- Tanx ) = 1 Secx – Tanx = 1 / 2

EJEMPLO 1 :

Sec x + Tan x = 2

Demuestre la siguiente identidad:

2Sec x = 5 / 2

Tan x + Ctan x = Secx.Cscx

Sec x = 5 / 4

Resolución: Tan x + Ctan x = Secx.Cscx

Senx Cosx



Cosx Senx

= Secx.Cscx

2 2 Sen x  Cos x = Secx.Cscx Cosx.Senx 1 Cosx.Senx

VI.- Problemas de la eliminación de la variable angular:

= Secx.Cscx

Dadas las condiciones de la variable angular se puede eliminar efectuando operaciones algebraicas con las condiciones, de modo que conduzca a la eliminación de la variable angular.

Ejemplo 1:

Secx.Cscx = Secx.Cscx

II.-

PROBLEMAS

DE

SIMPLIFICACIÓN

O

REDUCCIÓN:

Eliminar el ángulo “ “ a partir de : 42

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Sen  + Cos  = a …….. ( I )

E = Sen2 θ . Csc θ + Cos2 θ .

Sec θ

Sen . Cos  = b ………( II ) Resolución:

10 10

Elevando al cuadrado (I) (Sen  + Cos  ) = a 2

La expresión: H = Tan θ . Ctg2 θ . Sen θ es igual a:

2

Sen2  + Cos2  +2 Sen . Cos  =a2

11 11

1 + 2 Sen . Cos  = a

Simplificar:

2

K  Ctgx 

de la (II) obtenemos :  1+2b=a

12 12

01 01

02 02

03 03

13 13

14 14

1  Cosx  Ctgx Senx

15 15

Simplificar:

Simplificar:

Simplificar: E = Tan x (Ctg x + Tan x)

Simplificar:

1  Ctgx E  Cosx Cscx Simplificar: P = Cos3 θ Sec2 θ + Sen θ . Ctg

17 17

Simplificar: E = (Csc x – Sen x) Sen x

18 18

El equivalente de la expresión: E = (1 – Cos x) (1 + Cos x)

θ 19 19 06 06

Simplificar:

 Cos3  P   2   Tg  1  Sen  

E = Ctg x . Sen x + Cos x

05 05

Simplificar:

Reducir la expresión: H = Sen3 θ . Csc θ + Cos3 θ .Sec

θ

E = Ctg θ . Sen2 θ + Tan θ . Cos2

θ 07 07

08 08

09 09

20 20

Simplificar:

K

1  Ctg Sec  Csc

E = Sen θ + Cos θ . Ctg θ

La expresión:

16 16

04 04

Cosx 1  Ctgx Cscx

Simplificar:

E

El equivalente de la expresión:  Csc  K    Tg  Sec 

P

Reducir:

P

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

Cscx Secx

1  Tgx Cscx  Secx

21 21

Simplificar: E = (Sec θ – Cos θ ) Ctg θ El equivalente de la expresión: P = (Tan θ + Ctan θ ) . Cos θ

Simplificar: M = (Csc x + 1)Tan x – Sec x

22 22

El equivalente de la expresión: 43

Simplifique:

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A 23 23

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Secx Cscx  Cscx Secx

Reduce: B = (Tan x + Ctan x) Sec–1x

24 24

Simplifique:

01 01

C = (Sec2x + Csc2x) Cos2x 25 25

Simplifique:

A) cos xB) D) ctg x E)

D = Sen4x + Cos4x + 2Sen2x Cos2x 25 25

02 02

Simplifique:

2

D) tg θ 03 03

Simplifique:



2



2

M  1– sen  1  tg 

Calcule:



sec2 

2

04 04

4

2

M  sec  – tg  – tg 

1

 csc

2

2

 – ctg 

A) 4 D) 2

Simplifique:

ctg2x 1 1  cscx

05 05

1 C)



2



 sec

 – tg2

C)



B) 5 E) 0

5



C) 2

Reduce:

A) sen θ

1  sen cos  cos 1  sen B) 2sec θ

C)

θ D) 2cos θ

E) tg θ

Calcule:

G  1– sen2 · 1  tg2 44

3

cos sen   tg2 csc2  – 1 sec  csc 

G

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN



Reduce:

A) 4 D) 1

07 07

5

1 2

B) 3 E) 1

N

06 06

csc2 

Calcule: P

4

1



B) 4 E) 7

Determine:

G

1

A) 3 D) 2

Reduce: 2

30 30

C) sec

E) ctg θ

E

G   tg   ctg   –  tg  – ctg   29 29

sec  B) csc θ

θ

Reduce:

w   tgx · cosx   ctgx · senx 

28 28

C)tg x

Reduce:

A) cos θ

2

27 27

sen x csc x

1  tg2   1  ctg2  sen2  M

1 R  tgx ·cosx – cscx 26 26

Simplifique:  1– senx  1  senx P cosx

cos

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A) 1 D) 4 08 08

B) 2 E) 5

C)

3

A)1 E) –2

A) sec θ

B) csc θ

D) sen θ

2

4

C)

A) 1 E) a–b

cos

4



8

10 θ B) sec 8 sec θ

4 D) sec θ 10 10

C)

B) 1 / 2 E) –2

A) 0 E) –2

C)

4

cos x csc

19 19

2

sec  – cos csc  – sen

cos x

1 2

tg x



A) 1 2

D) sec x

B) sen x 2 E) csc x

C)

D)

2



1

A) Cos x D) Sen x 21 21

2 cos x



2

tg x

1 1  a ctg2x

2 B) csc x

C)

2 tg x

E) cos x

B) – Sen  E) Uno

C) – Cos 

Hallar el valor de “K” para la siguiente

igualdad:

1 1  m ctg2x

2

–1



A qué es igual: (1 – Sen ) (Sec  + Tg )

20 20

B) tg  D) cos 



C)

A) Sen  D) Cos 

Hallar “m” para que se cumpla:

1

14 14

C)

2 A) sen x 2 D) sec x

Reduce:

13 13

B) 1

1

E) ctg 

A) ctg  C) sen  E) sec 



Hallar “a” para que la siguiente igualdad sea una identidad:

Reduce:

W3

C) - 2 / 3

18 18

G   sec   tg    1– sen 

12 12

1– sen6x – cos6 x

Reducir:

2

B) cos 

1– sen4x – cos4 x

P  sen6x  cos6 x – 3 sen2x  cos4 x

Simplifique:

A) sen   D) sec 

2

Reducir:

17 17

 1 sen   M  sen     csc  – ctg  1  cos 

11 11

4

2 2 D) a +b

C) ab

A) 2 / 3 B) 3 / 2 D) – 3 / 2 E) 1

E) sec θ

A) 2 D) 1

B) a+b

K

M  sec   tg  sec   tg   tg  6 A) sec θ

D)

Calcular el valor de:

16 16



2

3

2

E) 1

Reduce:

C)

P   asenx  bcosx   bsenx – acosx

θ



B) 2

15 15

Reduce:

 sec  – csc   E  · sen  sen – cos 

09 09

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1 1 + = 2 Sec 2 x 1 + K 1 - K B) Sec x E) Csc x

C) Tg x

Reduzca

M  1  sen2 x  secx  tgx A) 1+senx B) 1+cosx C) 1–cosx D) 1–senx E) 1+secx

Simplificar:

cosx  1 senx  senx 1– cosx P cscx

22 22

Simplifique

E 45

1  cosx  ctgx senx

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D) sec x A) sen x

B) cosec x

E) tgx

C) cos x

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Conocer otras identidades que las básicas Conocer otras identidades que las básicas Aplicar estas de modo correcto.

Aplicar estas de modo correcto.

Comprender que existe diversas variedades de identidades trigonométricas Comprender que existe diversas variedades de identidades trigonométricas

.IDENTIDADES

2 2 Si: Sec  + Csc  = 9 Calcule: Q = (Sec  · Csc)

AUXILIARES

Las más conocidas: 

4 4 2 2 Sen x + Cos x = 1 – 2 Sen x . Cos x

03 03

M = 3(Sen 4 x + Cos 4 x) - 2(Sen 6 x + Cos 6 x)

sen6x  cos6 x  1  2sen2x  cos2 x



04 04

tgx  ctgx  secx  cscx



(1  senx  cosx)2  2(1  senx)(1  cosx)



Simplifique:  1  senx  cosx  R   1  senx – cosx 

sec2 x  csc2 x  sec2 x  csc2 x



Reduce:

05 05

2

 1– cosx

Simplifique:

T  sen2x  tgx  ctgx

senx 1  cosx  senx  1  cosx

06 06

sen – cos 

cosx 1  senx  1  senx cosx



02 02

1 3

Calcule:

P  sec2  csc2 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE 01 01

Si:

07 07

Si:

psenx  qcosx

Calcule: T = Sec x · Csc x 08 08

Simplifique: E = Tan + Ctan  – Sec · Csc 

Si:

sec   tg  

46

4 3

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Calcule: N = Sec – Tan 09 09

ctgx 

Si:

1  cosx  n, m

de una relación entre m y n, pero no "x".

2

sec  – sec  – 1  0 Calcule:

T  tg2  tg   1  tg  – 1  1 10 10

20 20

2

De la condición: Sen x + Sen x = 1 Calcule:

senx.cosx 

Elimine “x” si:

21 21

1 1 ctgx   cosx  m n 12 12

13 13

13 13

Si Sen x + Cos x = a, Calcule

M

Elimine “x”, si: Tan x · Cos x = m n Sec x = 1

22 22

15 15

 a  1 2

senx  m, 1  cosx

Elimine “”, si: a Cos  – Sen  = 1 b Cos  + Sen = 1

Reduzca M = Csc x +Ctan x – m.

Elimine “” si:

23 23

Si Csc x =1+Senx, Calcule R=1+Cos2x + Cos4x.

Reduce: cosx cosx B  1  senx 1– senx

24 24

Si

senx  cosx 

2 1  senx  1  cosx

Si

Tan + Sen = a Tan – Sen = b 14 14

1 , 2

Calcule M = Sen6x + Cos6x.

Q  cos4 x  cos2 x 11 11

Si

1 , 3

Siendo E= (Sen x + Cos x)2 – (Cos x–Sen x)2 y Calcule "E.N"

N

sec2 x  csc2 x , tgx  ctgx

Halle Sec x . Csc x.

16 16

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Si se cumple que Sen x – n Csc x = 0, Halle Tan2x.

17 17

Si

senx.cosx 

1 , 3

Calcule E=Tan 2x + Ctan 2x.

18 18

01 01

Si aSenx = bCosx, Calcule E = Secx . Cscx.

19 19

Hallar “m” para que se cumpla: 1 1 1 1  2   2 m cos x tg x ctg2x

A) 1

Si

2 D) sec x 47

2 B) sen x 2 E) csc x

2 C) cos x

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02 02

10 10

Si Sen4 x + Cos4x=3(Tan x + Ctan x)–1, Calcule A =Tan x + Ctan x.

A) 10 B) C) 11

Simplificar: cosx  1 senx  senx 1– cosx P cscx B) 2 C) 3 D) 4

A) 1 E) –2

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13

D) 11 11

03 03

Reducir: 6



6

2

4

P  sen x  cos x – 3 sen x  cos x A) 0 E) –2

B) 1

C)

–1

E)

14

14

Si

senx  3, 1  cosx



Calcule K=5(Sen x + Cos x).

B) 3 E) 10

A) 1 D) 9

D) 2

C) 7

12 12

Si se cumple que 2Tan + 3Sen =4, Calcule el valor de 4Ctg – 3Cos .

A) 1 B) 1/ 2 C) 2 D) 1/ 3 E) 3

04 04

Hallar “a” para que la siguiente igualdad sea una identidad:

1 2

cos x 2 A) Sen x E) Cos x

1



2

tg x



2 B) Cos x

1 1  a ctg2x

13 13

2 2 Tan x D) Sen x

C)

A)

Si 12Senx+5Cosx=13, Calcule Sen x.

12

B)

13

1 2

C)

1

D)

13

5

E)

13

6 13

07 07

Si:

14 14

tgx  ctgx  5

A) a2+b2

Calcular: 2

Si a Sec x = b Csc x, calcule Sec2x.

2

sec x  csc x

D)

a

2

b

a

A) 5 07 07

B) 10

C) 15

D)7

E)

2

b

b

a

2

b

a

2

2

2

2

Si Sec x. Csc x=n–1, Calcule M =Sen4x + Cos4x.

A) 1+n B) 1+n2 D) 1–2n2 E) 1–n2 15 15

Si:

B) 2

C)

2

D) 3

16 16

A) 1 D) 2

08 08

Hallar una relación entre x e y independientemente de a: Sec  + Tan  = x Sec  – Tan  = y 2 2 A) x.y = 1 B) x + y = 1 C) x +y = 1 2 2 D) x +y = x.y E) xy = 2 09 09

2

a

C)

E) 12

Tan = Cos  Hallar: Cos4  + Sen  A) 1 E) 1 / 2

2

B) a2–b2

Si Sen x (1+Senx)=1, Calcule N = Cos2x + Cos4x.

A) 0 B) 1 / 2 D) –1 E) 2

C) 1,5

17 17

18 18

C) 1

Si

1  a  senx  1  b  cosx

Decir a qué es igual K =1–senx–cosx.

A) a.b B) 2a.b C) 3a.b D) 4a.b E) 5a.b

Hallar K si:

1 K tg2 – ctg2  1– K  tg  – ctg   2 A) Tan  B) Ctan E) Sec 

Si Csc x – Ctan x=0,4.

Calcule Csc x.

B) 1,45 E) 2,5

C) 1–n

2 2 C) Tan  D) Ctan 

19 19

48

Si 2Tan +3 Sen – 4=0, Calcule

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P

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4 3  . tg sec 

A) 1 D) 1/3

B) 1/2 E) 3

C) 2

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Deducir y reconocer las razones trigonométricas de dos o más arcos en suma o diferencia.

Deducir y reconocer las razones trigonométricas de dos o más arcos en suma o diferencia.

Aplicar las diversas propiedades.

Aplicar las diversas propiedades.

Dominar el desarrollo de una suma o diferencia de las razones trigonométricas.

Dominar el desarrollo de una suma o diferencia de las razones trigonométricas.

ANGULO COMPUESTO Notación

Empezaremos nuestro estudio analizando las funciones trigonométricas seno, coseno , tangente y cotangente de la adición y la sustracción de dos números o arcos dirigido :

S( +  + ) = SCC + SCC + SCC -



S S S

FUNCIONES TRIGONOMETRICA DE LA SUMA

C( +  + ) = SCC - CSS - CSS -



DE DOS ÁNGULOS

CSS

Sen ( + ) = Sen  Cos  + Cos  Sen  Cos ( + ) = Cos  Cos  - Sen  Sen 

1  Tan αTan β  Tan β  Tan θ  Tan α  Tan θ

1  Tan α . Tan β

Ctan ( + ) =

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

Ctan α . Ctan β  1 Ctan α .  Ctan β

01 01

TRIGONOMETRICA

DE

LA

02 02

Sen( - ) = Sen  Cos  – Cos  Sen  Cos ( - ) = Cos  Cos  + Sen  Sen 

Ctan ( - ) =

Reducir:

A  5sen 37º  x – 3cosx

DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS :

Tan ( - ) =

Tan α  Tan β  Tan θ  Tan α .Tan β . Tan θ

Tan( α  β  θ) 

Tan α  Tan β

Tan ( + ) =

FUNCIONES

S : Sen  C : Cos

Tan α  Tan β

Reducir: Sen48ºCos12º  Sen12ºCos48º E Sen33ºCos3º –Sen3ºCos33º

1  Tan α . Tan β Ctan α . Ctan β  1

03 03

Halle el valor de:

Ctan α  Ctan β

S RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA

04 04

DE TRES ÁNGULOS :

49

Tg32º  Tg13º 1– Tg32º Tg13º

Simplificar:

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M 05 05

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2Sen  45º  x – Cosx

Reducir:

R  sen  30º  x  cos 60º  x

3Senx  2Cos 60º  x

Reducir:

16 16

R  Cos 21º  x Cos 16º –x  – Sen  21º  x  Sen  16º –x 

06 06

Reducir: P  Tg –

07 07

A

17 17

Sen  –  

sen x  y  sen x  y cos x  y  cos x  y

Simplificar

2sen 45º  x  cosx

M

Cos Cos

Del gráfico, halle “Tg ”

18 18



3

19 19

2

3 senx  2cos 60º  x

Reduzca

E

3

08 08

Reduzca

sen48º.cos12º  sen12º.cos48º sen33º.cos3º  sen3º.cos33º

Calcule

Si:

S

1 Ctg  4 Calcule: Tg (45º + )

20 20

tg12º  tg33º 1  tg33º.tg12º

Simplificar

09 09

Si: ABCD es un cuadrado, además: BC=3; CD=2; AF=1. Halle “Tg ”.

B

C

R =Cos(21º+x).Cos(16º–x) –Sen(21º+x) Sen(16º–x)

D

21 21

Si

1 , 4 Calcule Tan (45º+) ctg 



A 10 10

F

Halle “Tg x”, si: Sen4x Cos5x + Cos x = Sen5x Cos4x

12 12

Si se cumple: 2Sen( x +y) = 3Sen(x–y) Calcular: Tg x Ctg y

14 14

Del gráfico, Calcule Tan . 

Halle el valor: N = Sen10º + Tg40º Cos10º

11 11

13 13

22 22

E

Si: Tg () = 3 y Calcule: Tg ()

3

23 23

2

3  4

Tg () = – 2

5

Calcule: Ctg y; si:

tgx  3 ; x – y 

3

Calcule Tan .

24 24

 4

Del cuadrado ABCD, Calcule Tan  B

A 

15 15

50 D

C 2

3

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A) 32 B) –32 C) 16 D) –16 E) 4/15

25 25

06 06

Calcule el menor valor de x. (x agudo) en

A) 1 5x 3x 3x 5x sen .cos  sen .cos  cos35º.cos15º  sen35º.sen15ºB) 1/2 2 2 2 2 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/5

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Si: ABCD Bes un cuadrado, Challar: “Tg ” 

A

2

3

D

07 07

Simplificar: Sen (20º+x) Cos (10º–x) + Sen(10º–x) Cos(20º+x) A) 1/2

B) Sen x

08 08

C)

3

D) Cos x

2

3

E)

3

Simplificar:

Cos x  y  Cos x – y SenxCosy

01 01

Simplificar: Cos x – y

CosxCosy

A) 1

B) –1

A) 2 Tg x B) 2 Tg y E) 2 Sec x

– Tgx Tgy

C) 1/2

D)

–1/2

09 09

E) 2

C) 2 Ctg x

D)

2 Ctg y

Ctg = 4

Si:

Calcule: Tan (37º+) 02 02

A) 1 03 03

A)

Calcular: Sen75ºCos30º – Cos75ºSen30º T Cos60ºCos15º Sen60º Sen15º B) –1

C)

D)

2

2 2

B) Ctg3 E) Sen6

A) Tg x B) 2 Tg x E) 2 Ctg x 11 11

C) Ctg2 A)

Si: - = 60º Calcular: A) 1 05 05

B) 2

C) 3

3

C)

16 3

D)

7

E)

3

A  Tg 45º  x – Tg  45º –x

D)

 Cos  Cos 

17

Simplificar:

E) - 2

04 04

2

B)

3

10 10

Simplificar: Sen5 Cos2 – Sen2 Cos5 Cos7 Cos4  Sen7 Sen4

A) Tg3 D) Tg2

11

C) Tg2x

D) 2 Tg2x

Calcular: Sen75º 6 

2

4 6  8

2

B) E)

6 

2

8 6 

C)

6 

2

4

2

2

Calcular: Tg8º A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7 12 12

  Sen  Sen  D) 4

2

E) 5

13 13

Del gráfico, halle “Tg ” 3  4 5

51

Simplificar:

2Sen  45º  x Senx  Cosx

D) 1/8

E) 3/8

17 5

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A) E)

B) 2 2 –1

2

14 14

C) 1

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D) 7 /3 E) – 1/10

D) - 2

Reducir:

2Cos 60º –x – 3 Senx A) Sen x B) Cos x E)2(Sen x +Cos x)

C) 2 Cos x D) 2 Sen x 22 22

Si

tg 2     3  tg 2     2,

Si: Ctg x = 4 Calcular: Tg(x+37º) A) 11/16 B) 11/13 C) 12/15 E) 16/13 15 15

Calcule Tan (+ ).

A) 1 B) –1 D) - 1 / 7 E)

D) 12/11

23 23 16 16

Reduzca

A) B) C) D) E)

sen3 cos3  sen  cos A) 1 D) sen2 17 17

C) 2cos2

B) 2 E) cos2

Simplifique

cos x  y cosxcosy

A) 1 D) - 1 / 2 18 18

B) –1 E)

A) 1/2 D) 4/5

sen75ºcos30º  cos75º sen30º cos60ºcos15º  sen60º sen15º

A) 1 D) 2/2 19 19

B) –1 E) - 2

C)

25 25

A) 1/3 D) 2/3

Simplifique

26 26

A) 2tgx D) 2ctgy

A) 1 D) 3 27 27

C) 2ctgx

Si ABCD es un cuadrado, además BC=3; CD=2; AF=1, Halle Tan .

C

B



52 F

3

Siendo: Tan θ =

M

1 2

; 0o< θ < 90o

Sen(30º )  Cos(60º ) Csc  B) 2 E) 2/5

C) 3/2

Si se cumple:

Calcular 1 – Tg x . Tg y B) 1/2 C)1/6 E) 5/6 Siendo A + B =

π 4

B) 2 E) 1 / 2

E

C)

2

Del gráfico calcular Tan ( θ  α ),

D 28 28

A

2

Siendo AB = 1; AE = 3; EC = 2.

A) 3/37 B) 5/41 C) 3/41 D) 2/9 E) 3/7

21 21

A) - 3 /7 B) - 7 /3 C) 3 / 7

1

Calcular Tg A + Tg B + Tg A .Tg B

Simplifique cos x  y  cos x  y

senxcosy B) 2tgy E) 2secx



Cos(x  y)  5 Senx Seny

2

sen5 cos2  sen2 cos5 cos7 cos4  sen7 sen4 A) tg3  B) ctg3 C) ctg2 D) tg2 E) sen6 20 20

1

1 13/15 7/17 17/7 –1

Calcular: C) 1 / 2 2

Calcule

T

Del gráfico, Calcule Tan .

24 24

 tgxtgy

C) 1 /7 –7

Calcular el valor de:

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A) 5/2

3Senx  4Cosx P 2Cos(37º  x)

B)

2

C)

3/2

D) 1

E) 5

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Reconocer las identidades auxiliares para 3 arcos.

Reconocer las identidades auxiliares para 3 arcos.

Aplicar las identidades auxiliares para 3 arcos.

Aplicar las identidades auxiliares para 3 arcos.

Aplicar teoremas relacionados con los arcos compuestos para una expresión de la forma: Aplicar teoremas relacionados con los arcos compuestos para una expresión de la forma: a Sen x ± b Cos x a Sen x ± b Cos x

Sen2 + Sen2 + Sen2  = 1 – 2Sen . Sen. Sen

IDENTIDADES AUXILIARES

Cos2 + Cos2 + Cos2 = 2 (1+Sen . Sen. Sen)

Sen ( + ) Sen ( - ) = Sen  - Sen  2

2

Si :  +  +  = 180°  se cumple :

Cos ( + ) Cos ( - ) = Cos2  - Sen2  Sen(α  β)

Tan  + Tan  =

Cos α . Cosβ

Tan  - Tan  =

Cos α . Cosβ

Cot  + Cot  = Cot  - Cot 

=

Tan + Tan + Tan = Tan . Tan . Tan

Sen(α  β)

Cot . Cot + Cot . Cot + Cot . Cot = 1

Sen(α  β) Sen α . Senβ

Sen(β  α)

Sen2 + Sen2 - Sen2 = 2 Sen . Sen. Sen

Sen α . Senβ

Tan + Tan + Tan(+) . Tan Tan = Tan(+)

Cos2 + Cos2 + Cos2 = 1- 2Cos .Cos . Cos

Tan (+)-Tan - Tan = Tan (+ ) . Tan . Tan

TEOREMAS 1. Siendo a y b números reales, x variable real; se cumple:

Si :  +  +  = 90°  se cumple : Tan . Tan + Tan . Tan + Tan . Tan = 1

Donde:

Sen 

Cot  + Cot  + Cot  = Cot  . Cot  . Cot 

53

b 2

2

a b

 Cos 

a 2

2

a b

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10 10

Si: ABCD es un cuadrado, Calcule: “Tan ”

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

B

C a 

01 01

2a

Reduce:

E 02 02

A

tg85º  tg75º  tg20º ctg5º  tg20º  tg75º

11 11

Calcule: “K”, si:

Calcule:

tg70º  tg50º  3  K ctg20ºctg40º

4 2 4  2  R  ctg ctg  ctg ctg  ctg ctg 7 7 7 7 7 7 03 03

D

12 12

Calcule:

Calcule:

E  tg40º  2tg10º  tg40º 

N = tg36º tg29º + tg36º tg25º + tg29º tg25º 13 13 04 04

En un triángulo ABC, el equivalente de:

Reduce:

P   tgA  tgB  tgC  cscA cscB cscC

ctg48º  ctg22º  ctg20º P ctg48º ctg22º

es: 14 14

si: Ctan 20º = a 05 05

06 06

En un triángulo ABC, Calcule:

En un triángulo ABC: Tan B = 2; Tan C = 1.

Calcule: Tan A

R  tgA tgB tgC – 15 15

En un triángulo ABC:

3 ctgA  2

ctgB  2

tg45º 

09 09

2tg80º tg20º

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Reduce:

F= tg270º · tg40º – tg40º  ctg70º 08 08

cosA cosB

Reduce:

Calcule: Ctan C 07 07

sen  A  B 

Si:  = 90º y Ctan + Ctan = 3 Ctan  Calcule: Ctan  Ctan 01 01

Si:

Si:

x y z

 x y z 2

Calcule:

 2

A  tgxtgy  tgxtgz  tgytgz

Simplifique: M = (tg2x + tg2y + tg2z) ctg2x ctg2y 54

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A) 1 E) 1/2

B) –1

C) 2

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D) –2

09 09 02 02

Calcule: A = ctg80º (tg10º+2 tg70º) A) 0,2 E) 1,0

B) 0,4

C) 0,6

De la figura, Calcule Ctan  si: 3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

D) 0,8

1 2

2



03 03

Se tiene un triángulo ABC, donde: Tan A + Tan B = 3 Tan C Calcule: Tan A Tan B A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

10 10

Dado un triángulo ABC; si: Tan A = a – 1 ; Tan B = a ; Tan C = a + 1 3 2 Calcule el valor de: a + a + a + 1 A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

04 04

Calcule el valor de K 12 , sabiendo que se cumple: tg40º + tg60º + tg80º = K tg40º tg80º

11 11

A) 7 E)5 3

B) 6

C) 5

D) 3 3

Del gráfico mostrado calcular Tan θ 5

A) 10 B) 8 C) 12

05 05

Si las tangentes de los ángulos de un triángulo son 3 números enteros consecutivos.

Calcule el producto de dichas tangentes: A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 06 06

D) 6 E) 15

12 12

Del gráfico mostrado, Calcule: = 29 Tan si:

A) 18 B) 17 C) 20 D) 21 E) 19 07 07

Sen(x  y)  Sen(x  y)  Además: Sec x . Csc y = 3

2

Calcular: Sen(x + y) A) 7/12 B) 1/5 D) 1/4 E) 5/6

 3

1 2

C) 1/3

8 13 13

Si: A + B + C = 90º; Calcule: Tan C; si Tan A=2 y Tan B =

A) 7 E)1/9

De las condiciones:

B) 2

1 2

Si se cumple:

Tg(x  y)  5 Tg(x  3y)  4

.

C) 1/2

D)1/7 Calcular: Ctg2y A) -21 D) -10

Si: x es variable Calcule el máximo valor: K = 3 Sen x + 4 Cos x A) –5 B) 0 C) 5 D) 4 E) –3 08 08

55

B) 21 E) 20

C) 10

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OBJETIVOS: OBJETIVOS: Deducir los diversos casos de la reducción al 1er cuadrante.

Deducir los diversos casos de la reducción al 1er cuadrante.

Aplicar correctamente cada caso estudiando Aplicar correctamente cada caso estudiando Aplicar a casos de la vida real Aplicar a casos de la vida real Dominar los ángulos complementarios, revolucionarios y suplementarios Dominar los ángulos complementarios, revolucionarios y suplementarios .

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

2.

III) Tg( + x) = Ctgx Ángulos mayores de una vuelta.

Tres casos:

R .T . ( 3 6 0 º k +  ) = R .T . (  ) R .T . ( 2 k  r a d +  ) = R . T . (  )

1. Ángulos menores de una vuelta

R .T . (1 8 0 º   ) =  R .T . ( ) R .T . (3 6 0 º   ) =  R .T . ( )

0º < < 360º Todo número entero par multiplicado por rad representa un número de vueltas.

0º< <90º El signo (  ) dependerá del cuadrante donde se ubica el ángulo que se quiere reducir.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

Problema Ilustrativo.

Afirmar si es (V) o (F) I) Tg(180º + x) = Tgx II) Cos(180º – x) = Cosx III) Sen(2 + x) = Senx

01 01

R .T . (9 0 º   ) =  C o R .T . ( ) R .T . ( 2 7 0 º   ) =  C o R .T . ( )

02 02

0º<<90º

03 03

El signo (  ) dependerá del cuadrante donde se ubica el ángulo que se quiere reducir El signo resultante es para la razón trigonométrica original

04 04

Problema Ilustrativo A firmar si es (V) o (F) I) Sen(90º + x) = –Cosx II) Csc(270º – x) = –Secx

05 05

56

Reduce al 1er C. x A) Sen (180º + x) B) Cos (90º – x) Reduce al 1er C. x A) Cos (360º – x) B) Tan (270º + x ) Reduce al 1er C. x A) Sen (360º – x) B) Sec (90º + x)



IC



IC

Reduce al 1er C. x  IC A) Tan (180º + x) B) Csc (270º + x) Simplifique:



IC

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A

sen  180º  x

cos 270º  x

06 06



tg 90º  x

ctg 180º  x



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cos 360º  x

   M  3cos7  tg 2  3  3

cos 180º  x

Reduce:

15 15

  ctg(  x)ctg  x  2   A  3  ctg(x)tg  x  2 

16 16

07 07

Calcule:

Simplifique: sen(5  x) E .tg(8  x)  7  ctg  x  2  Simplifique:

A = tg140º tg310º + cos320º csc130º + sec900º 08 08

 3   5  sen  A   cos  A 2 2     E  7   9  sen  A   cos  A  2   2 

Si: x + y = 2 Simplifique:

17 17

x y A  tg  senx  tg  seny 2 2 09 09

Simplifique:

E

Si: x + y = /2 Simplifique: senx 1  tgy M  cosy 1  ctgx

10 10

18 18

Reduce:

Calcule:

E

M = Sen (180º– ) + Cos (270º–) + 1 19 19

11 11

cos1090º.cos1040º.cos1590º sen2060º.sen2110º

Si:

+  = 270º Calcule:

Si:

x y

sen(9  a)sec(2  a)ctg(3 – a) cos(9  a)tg(a  5)

 2

E

Calcule:

E 12 12

sen2x cos2y  sen2y cos2x

20 20

Reduce:

Si: x + y = 360º Reduce:

G  sen13

14 14

 3 15 27  sen13  sen13  sen13  8 8 8 8

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

E = Sen x + Sen y + Tan x + Tan y 13 13

sen  tg tg sen

Simplifique:  tg41 4 El valor de: 01 01

57

Reduce:

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Calcule: Ctan x M = Sen (180º+x) – Cos (270º–x) + 1 A) –1 E) 2

B) 0

C) 1

D) –2

08 08

02 02

sen(720º )  sen(1080º )  1 sen(x)

A) – Csc x D) Sen x 03 03

B) –Sen x E) Csc x

C)

A) 0 E) –2

0

A) 0 E) –2

B) 1

C) 2

E

D) –1

A) 1 E) –2

D)

C) 0

D)

2

 3  sen  360º –x  cos – x 2   P cos 90º –x

A) 2 E) 3

 =  reduce: Sen + Sen + Cos + Cos + Tan + Tan B) 2Cos E) –2Cos

C) 0

tg 16

13 13

D) –2

Calcule:

C) 2Tan

Si: x + y = 180º Calcule:

2

B) 1

 3 C) 2

D)

3

2

Si:  = 360º Determine: P = Sen + Sen  + Tan  + Tan 

E = Sen x Csc y + Tan x Ctan y C) –2

B) –1

12 12

A) E) -

07 07

a + b + c + d = 2

Simplifique

2

Si:

A) 0 B) 2 E) 2 Tan y

2

sen(650º)cos(520º)tg(470º) ctg(340º)sec(290º)csc(160º)

B) –1

11 11

C) 1

05 05

06 06

D)

Simplifique:

Si:

B cosA · ctg   2 E A   tg  · cosB  2

A) 2Sen D) –2Sen

1

E = Sen ( a + b +c) + Sen(b + c +d) + Sen a + Sen d

Si: A + B = 180º Simplifique:

2

C)

Es equivalente a: 2 2 2 2 A) Sen 20º Cos 20º B) Sen 20º C) Cos 20º 2 4 2 D) Sen 20º Cos 20º E) Sen 20º Cos20º

04 04

B) –

+1

La expresión:

10 10

A) –1 E) 2

2

 3 15 27  sen9  sen9  sen9 8 8 8 8

B) –1

09 09

Simplifique: 3 5 10 21 A  tg  tg  tg  tg 13 13 13 13

C) 

-1

2

Reduce la expresión: E  sen9

Simplifique:

M

B)  E) 2

A) 2 / 2 D) 1 / 2

A) Sen + Tan E) Sen – Tan

D) 2 Tan x

14 14

Si: x+y=p donde: Tan x – Tan y = 4

Calcule:

58

B) 0

C) 2

D) 4

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R  tg2197º  tg1845º 

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A) 1 E) –2

1 4

B) 0

C) 2

D) 3

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Deducir y reconocer relaciones de Arco Doble.

Deducir y reconocer relaciones de Arco Doble.

Aplicar las diversas propiedades.

Aplicar las diversas propiedades.

Aplicar las identidades del arco doble.

Aplicar las identidades del arco doble.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ÁNGULO DUPLO :

IDENTIDADES PARA “ DEGRADAR”

Asumiendo que x es el ángulo simple , su doble

2 Sen2 x = 1 – Cos2 x 2 Cos2 x = 1 + Cos2 x 8 Sen4 x = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x 8 Cos4 x = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x

será 2x ; bien lo que buscamos ahora es expresar una función trigonometría de un ángulo doble ( 2x ) en términos de funciones trigonometrías del ángulo simple ( x ) .

IDENTIDADES AUXILIARES

IDENTIDADES FUNDAMENTALES Sen 2x Cos 2x Cos 2x Cos 2x Tan 2x

= = = = =

1  Sen2x

 | Sen x  Cos x |

1  Sen2x  | Sen x  Cos x |

2Sen x . Cos x Cos2 x – Sen2 x 1 – 2Sen2x 2Cos2x - 1

Cot x + Tan x = 2Csc 2x Cot x - Tan x = 2Cot 2x 1 + Sec 2x =

Tan2 x Tan x

2 Tan x 2 1  Tan x

IDENTIDADES ADICIONALES: Sen 2x = Cos 2x =

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

2 Tan x 2 1  Tan x

1 Tan

2

1  Tan

2

x

01 01

x

Calcule:



E  10 cos2 4º –sen24º



02 02

1+Tan2x

Simplifique: 2

      G   sen – cos  –  sen  cos  2 2 2 2  

2 Tan x 2x 1 – Tan2 x

03 03

59

Simplifique:

2

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P

2 – 4sen220º 12cos65ºcos25º

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

14 14

04 04

Si: Tan B = 2, calcule: M = 9 Tan 2B 05 05

15 15

Reduce: 2

 1  cos10x   1  cos20x  N     cos2 5x   cos2 10x 

M

Calcule: 2

 sen2x   sen2x  P    cosx    senx 

Reduce:

2

16 16 06 06

Simplifique: ctg 90º – 2x  M sec 2x  1

2

17 17

07 07

ctg4x – tg4x ctg8x

2 Si: Tan x = 3, Calcule Tan 4x. x: agudo Del gráfico, Calcule: Tan 2

Reduce:

K

sen20º  2sen210º

4

sen20º  2cos2 10º

08 08

3

Simplifique:

E  1250sen8º ·cos8º ·cos16º

x

 

18 18

09 09

Si: Si: x + y = 90º Calcule el valor de:

M

tg 

1

5 Calcule Cos2

sen2y – sen2x sen2y  sen2x

19 19

en función de x:

Si:

cos sen  a b ¿a qué es igual?

10 10

Simplifique:

Q   ctg – tg  sen2 2

E = a Cos2 + b Sen2

11 11

20 20

Reduce:

A  ctg 45º –x – tg 45º –x

Si:

tg 45º  y  3

Calcule: Tan 2y

12 12

21 21

El valor de la expresión:

Del gráfico, determine x.

R  cos10ºctg40º  cos10º tg40º

5

13 13

Simplifique:

 

A  2 tgx  ctgx sen2x 22 22

60

3 x

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

Simplifique

Reduce:

Sec (90º– 4) + Tan (90º–4).

M   ctg – tg  · tg2 A) 1 E) 0

23 23

Reduce

M 24 24

04 04

E A) 2 E) –2

Reduce

sen2xcosx  1  cos2x  1  cosx

05 05

Reduce

B) 1

A) a E) – a

cos2 25º –sen2 25º sen20ºcos20º C) 0 D) –1

B) 3ª

06 06



C) 2a

D) a / 2

Si:  = 7º30’ Calcule:



Q  sen cos3  – sen3 cos A) 1 / 2 E) 1/ 32

x

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

A) 6 E) 3

D) 1

09 09

02 02

Si:

tgx 

1 3

Calcule: R = 5 sen2x B) 4 C) 3

D) 1 / 16

3sen240º 1,5cos80º

0,5cos40º – cos2 20º B) 3/ 2 C)- 3/2

B) 8 Csc 8x E) Ctan 16x

D) 1

03 03

61

D) –3

Reduce: z = 4 Tan 4x – 2 Tan 2x – Tan x + Ctan x

A) 8 Ctan 8x D) 6 Csc 8x

10 10

D) –2

Calcule:

N

Q = 50 sen8º cos8º C) 6

C) 1 / 8

Simplifique: sen 15º –x · cos 15º –x M sen2  30º  x – cos2  30º x A) 1 / 2 B) -1 / 2 C) 2 E) 1

Calcule:

B) 7

B) 1 / 4

07 07

08 08

A) 2 E) 0

2

Determine x.

2

A) 8 E) 0

D)

E   1  cos10º   tg5º  ctg5º 

3

01 01

4

Si: Ctan 5º = a Calcule:

M  2  2  2cos2 x.

26 26

C)

Simplifique:

1  sen40º  cos40º 1  sen40º  cos40º

E 25 25

B) 3

Indique el equivalente de:

C) 6 Ctan 8x

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H A) Sen x D)

B) 4 Sen 4x

Sen 4x

E)

2

11 11

cos6 x sen6x – ctgx tgx

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria 17 17

Si se cumple Senx.Cosx.Cos2x = a Halle Cos 8x A) 1 + 32a2 B) 1-32a2 C) 1 + 33a2 2 2 D) a E) a / 4

C) Sen4x

Sen x 2

18 18

Si se tiene que:

2 3

senx – cosx 

M

Calcule el valor de: M = 2+3 Sen2x B) 4 C) 3 D) 2

A) 5 E) 1

Simplifique:

A) 4 D) 1

B) 3 E) 0

19 19

12 12

sen2  2sen2

13 13

Tg

C)

D) Ctg

A) 4Csc2x D) 4 Tan (x / 4)

Calcule: 8 Sen  . Cos Cos2 Cos4 Para:  = 3º 45’

A) 1/4 E) 4

B) 1/2

C)

1

D)

20 20

2

cos – sen cos – sen cos  sen A) Tan B) 2 Tan C) Tan D) 2 Tan E) 4 Tan 15 15

A) 2 Sen x D) 2 Cos2x 16 16

A) n D) 1/n

6

;θ

C) 2Tan2x

 III C

22 22

R

7 8

C)

13 4

5 8

Calcular el valor de: E = Cos48º – Cos482º

A) 0.32 D) 0.84

2 cos 45º –x

Si Tan α + Ctan

E)

13

B) 0.45 E) 0.96

C) 0.66

Simplificar:

1  sen2x  cos2x

B) 2 Cos x E) Cos x

2

B)

12

21 21

–

Reducir la expresión:

P

13

Si: Sec θ =

5

A)

Reduce: cos  sen

B) 2Sec2x E) 4Cscx

Calcular: Sen 2 θ

D) 14 14

2

x x  R   tan  cot  sec x  2 2

sen2  2cos2 B) Cos

C)

Simplifique:

Reduce:

A) Sen E) Sec

3  cos 4  8sen 4 cos 2

(Sen   Cos )(Sen  – Cos ) Cos 2  Cos 2

C) 2 Sen2x A) 0,5 D) –1

α

= n, Halle sen2 α

B) 2 n E) 2/n

C) n / 2

62

B) –0,5 E) 2

C) 1

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OBJETIVOS: OBJETIVOS: Establecer las relaciones fundamentales del ángulo mitad en términos del ángulo simple: Establecer las relaciones fundamentales del ángulo mitad en términos del ángulo simple: Aplicar correctamente las identidades en la simplificación de expresiones.

Aplicar correctamente las identidades en la simplificación de expresiones.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

Nota : La eliminación del valor absoluto depende del cuadrante al cual pertenece x/2.

Las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas del ángulo mitad, se obtienen de las expresiones del ángulo doble.

IDENDIDADES ADICIONALES :

Ahora intentaremos expresar una función de un

x ángulo mitad ( ) en términos de un ángulo 2

Tan

x  Csc x  Cot x 2

simple ( x ) . Ángulo simple ( x ) .

Cot

x  Csc x  Cot x 2

Ctan

x x  Tan  2 Ccsx 2 2 x x  Tan  2 Ctanx 2 2

IDENTIDADES FUNDAMENTALES Sen

x  2

1  Cos x 2

Ctan

Cos

x  2

1  Cos x 2

Sen

x x  Cos 2 2



x

1  Cos x Sen

x x  Cos 2 2



Tan

Cot

2



x  2

1  Cos x

1  Cos x 1  Cos x

63

1  Sen x

1  Sen x

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

Calcular el valor de: a) Sen 22º30’ b) Cos 22º30’

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

08 08

Calcular el valor de: P = Sen18º30’ Cos26º30’

01 01

Si:

09 09

1 cos  ; 0º    90º 4 Calcular: 02 02

S en

Simplificar:

  R  tg 45º –  – sec  2 

 2

10 10

Si:

Simplificar:

9 cosx  ; 270º  x  360º 41

x  ctg 45º –  – tgx 2  E x  secx – tg 45º –  2 

Calcular: Tan

03 03

x 2

11 11

Si:

Reducir:

12 ; 180º    270º 5 Calcular:  13 cos 2 tg 

M  csc20º  csc40º  csc80º  tg10º 12 12

Simplificar:

04 04

Si:

K  tg

15 tgx  – ; 270º  x  360º 8

13 13

Reducir:

Calcular:

34 cos 05 05

x 2

   P  sen  tg · ctg – 1 2  

Si:

sen 

5  ;   ; 13 2

14 14

Sabiendo que:

Calcular:

E  5sen 06 06

   cos 2 2

cos 

a b c ; cos  ; cos  b– c a– c a– b

Calcular:

Si:

3  ;   3 ;2 5 2

cos 

P  tg2

Calcular:

sec 07 07

   2sen2 · ctg  2 2

    tg2  tg2 2 2 2

15 15

 2

Reducir: E = Tan 10º + Ctan 20º + Tan 70º 64

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16 16

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Si: Csc x – Ctan x = 2 Calcular:

P  tg 17 17

x x – ctg 2 2

Reduce

  ctg  tg 2 2 M  ctg tg 2

18 18

01 01

cos 

cosecx 

19 19

1 x tg 2 2

cos

1 x tg  ctgx 2 2

A) E)

Reduce

   E  cos ctg  ctg  2 

20 20

5

D)

4

2 4

tg 

5 ; 180º    270º 12

Calcular:

26 sen A) –4 E) 5 03 03

Secx  1 Secx  1

B) –5

 2

C) –3

D) 4

Si:

cos  –

3  ;  4 2

Calcular el valor de:

Simplificar:

M=

10

Si:

Simplificar la expresión:

22 22

C)

2

02 02

x x E = Ctan - 2 Cos2 . Ctan x 2 2

S=

 2

10

B)

4

Reduce

21 21

1 ; 0º    90º 4

Calcular:

Simplifique

N

Si:

E  7sen

x x  tg 2 2 Co sec 2 x  Cotg 2 x Cotg

A) 0 E) 2 2

B) 1

   cos 2 2 C) 2

D)

2

23 23 04 04

Al reducir la expresión: Tg

Si:

x x  2sen 2 .ctgx , 2 2

tg  

15 ; 180º    270º 8

Calcular el valor de:

   E  2  34  2sen  3cos  2 2  A) 1 E) 5 05 05

65

B) 2

C) 3

D) 4

5 2

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

Calcular: Calcular el valor de: Sen15º 1-

A)

3

2-

D)

3 1

B)

2 3

3-

3

A) E)

2

3 2

E)

2

C)

2

cos B)

0,2

0,3

C)

D)

0,5

0,6

0,7

2

12 12

06 06

Si:

Simplificar:

tg  

  E  ctg 45º –  – tg 2  A) Sen  D) Cos 

x 2

B) Ctan  E) Sec

3 ; 180º    270º 4

Calcular:

E  sen

C) Csc A) -

07 07

10

B) -

2

   cos 2 2

10 5

C) -

5

D) -

4

10

Simplificar:

3

x ctg – cscx 2 K x tg  ctgx 2 A) Sen x E) Sec x

B) Tan x

E) -

5 5

13 13

C) Csc x

Simplificar la expresión:

D) Cos x

E

08 08

A) 0 E) 4

Calcular el valor de:

1  cos100º 1– cos80º – 2sen40º  2 2 B) 1

C) 2

D) 3

E = Tan 7º30’ – Ctan 7º30’ A) 4 +2 3 B) 2 3 -3 D) 4 - 2 3 E) 0 3 09 09

14 14

C) – 4 - 2

x  P  ctg 45º   – secx 2 

Simplificar:

A) Tan x B) –Tan x E) –Ctan x

  K  ctg – 2cos2 · ctg  2 2 A) Sen  B) Tan C) Csc E) Sec  10 10

Sen

D)

Sec

θ

B)

2 θ

E)

2

Csc

θ

2 θ

C)

Tan

x x ctg – tg 2 2 E csc2x  ctg2x A) 1 / 2 E) 4

θ

C) 1

2

Reduce

x K  tg senx  1 2

Si:

senx 

B) 1/ 4

2

16 16 11 11

D) Ctan x

Simplificar la expresión:

1– cos  sen 1  cos  sen

Cos

C) Csc x

15 15

D) Cos 

Simplificar:

M A)

Simplificar:

2 6 ; 0º  x  90º 5 66

D) 2

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A) Sen x D) Cos x

B) – Cos x E) –1

C) 1

17 17

Simplifique

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria x

A)

Sen

D)

Ctan

22 22

B)

2 x

B) Sen x E) –1

E)

2

C) Tan x

A) Sen

Reduce

x 2

23 23

x ctg  2ctgx 2 M x tg  ctgx 2 A)

2Sen

D)

2Sen

x

2 2 x 2

B)

2Cos

E)

2Cos

x

2 2 x

2Tan

2

B)

D) Sen x 20 20

Cos

C) Sen x

sen2 x. cos x (1  cos 2 x ).(1  cos x )

A) Sen 2x

B) Cos 2x

x 2

E) Ctan

C) Tan

x 2

x 2

Simplificar:

x

C) Tan x

2

A) 2 Sen

E) 1

D) 2Cosx

x 2

2

2  2Cos4 x

B) 2Cos

x 2

C) 2Senx

E) 2Cos2x

Calcule el valor de 25 25

  ctg  tg 12 12 E   ctg  tg 8 8 A) 1 D) 2 21 21

x 2

x 2

E) Tan x

L= 2

x 2

24 24

x E  senx.tg  cosx 2 Sen

x 2

Simplificar:

D) Sec

Reduce la expresión

A)

Tan

x 2

19 19

x

Csc

B) Cos

S = C)

C)

S = 1 – Senx .Tg

D) Cos x 18 18

x 2

Simplifica:

x E  tg   1  cosx ctgx 2 A) 1 D) Cos x

Cos

B) 2 E) 6

Simplificar: K = Ctan x + (Tg x – Tg

C)

3

x 2

A) Sen x

B) Cos

D) Sec x

E) Cosec x

x ) . Cos x 2

C) Tg

Reduce

E

secx  1 tgx

OBJETIVOS: OBJETIVOS: 67 Establecer las relaciones fundamentales del ángulo triple en términos de ángulo simple.

Establecer las relaciones fundamentales del ángulo triple en términos de ángulo simple.

Aplicar correctamente las identidades en la simplificación de expresiones Aplicar correctamente las identidades en la simplificación de expresiones

x 2

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE A continuación trataremos de expresar una función trigonométricas de un ángulo triple (3x ) en 4

términos de su ángulo simple ( x ) Sen 3x = 3Sen x – 4Sen3 x

10 – 2 5

36º 5 + 1

Cos 3x = 4Cos3x – 3Cos x Tan 3x =

3 Tan x  Tan 3 x 1  3 Tan 2 x

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

IDENTIDADES ADICIONALES 01 01

Si:

4 Sen3 x = 3 Sen x – Sen 3x

senx 

Sen 3x = Sen x (2Cos2x+1)

Hallar: Sen3x

Sen 3x  2Cos 2x  1 Sen x

02 02

4 Cos3 x = 3 Cos x + Cos 3x Cos 3x = Cosx( 2Cos2x –1 )

Si:

cosx 

Cos 3x  2Cos 2x  1 Cos x Tan 3x 2 Cos 2x  1  Tan x 2 Cos 2x 1

03 03

Si:

tgx 

4 Cosx .Cos (60°-x) .Cos (60°+ x) = Cos3x = Tan 3x

Reducir:

E 72º

05 05

5 – 1

68

18º 10+ 2 5

1 2

Hallar: Tan 3x 04 04

4

1 4

Hallar: Cos3x

4 Senx .Sen (60°-x) .Sen (60°+x) = Sen3x Tanx .Tan (60°-x) .Tan (60°+ x)

1 2

4sen3x  sen3x senx

Calcular:

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

H = 2 Sen70º Sen10º + Sen10º

M  4sen10º · sen50º · sen70º 15 15

06 06

Si:

Calcular:

senx – cosx 

M  tg20º · tg40º · tg80º

2 3

Calcule el valor de: Sen 6x 07 07

16 16

Reducir:

Si:

cos3 2  cos 3 Calcule: Cos2

sen3x cos3x – senx cosx

M 08 08

17 17

Simplificar:

M

Simplifique 2

3 – tg x tg3x – 1– 3tg2x tgx

E

sen3x cos3x  senx cosx

18 18 09 09

Calcule

Simplifique la expresión:

K=Cos20º(2Cos40º–1).

cos3  – cos3 K sen3  sen3

19 19

Determine 3

10 10

De la expresión:

4cos18º –

3 P  cos18º ctg18º

20 20

Si Tan a + Ctan a = 6,

Calcule el valor de P. 11 11

Determine Sen 6a.

21 21

Reduzca la expresión:



Si sen 30º   



M  4 cos2 11º –1 sen11º

Determine Cos3.

12 12

Si se cumple que:

22 22

1 cos 60º    4 Dar el valor de Cos3.

13 13

3

sen 10º  cos 20º E sen10º  cos20º

5 , 3

Reduce M = Sec40º – 8Cos240º.

Calcular: Tan 3x si: 3 2 2Tan x = 3Tan x + 6Tanx – 1

23 23

Si 20Sen3a – 15Sena+2=0,

14 14

Calcule Sen3a.

Calcular: 24 24

69

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Determinar el valor de “n” en :

Sen3 x  Cos3 x  1  nSen2 x Cosx  Senx

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A)



D)



21

25

B)

27 23

E)

27

C)

27 22



22 27

27

03 03 25 25

Reducir: cos3x – 4cos3 x E cosx

Si: Sen x + Cos x =

1 .

2

Calcular el valor de:

A) 2 E) –3

K = Cos 3x – Sen 3x 26 26

B) –2

04 04

M  4cos12º · cos48º · cos72º

A A) D)

2



5 5

-1 +1

05 05

B

D) 3

Calcule el valor de:

De la figura. Hallar “x”

3

C) –1

P A) Sen2 D) Csc2

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

6 6

- 2 + 2

C)

3

Simplifique:

C

x

1

B) E)

06 06

sen3 – sen cos2

B) 2 Sen E) 2 Cos

C) 2 Tan

Reduzca la expresión:

M   1 – 4sen214º  cos14º A) Sen 48º D) Cos42º

01 01

Si:

07 07

3 3

senx 

Calcular:

Calcule: Sen3x A)

3



B)

6

6

D)

E)

9

 

3 4

C)



E

3 9

6

B) Sen 42º C) Cos 58º E) Cos 28º

1  ctg18º  tg18º 1  ctg18º –1  2

A) 2( 5 +1) D) 2+ 5

6

B) 2( 5 -1) E) -2( 5 -1)

C) 2( 5 +1)

08 08

Si: 02 02

tg  60º  x 

Si:

cosx 

2 3

1 2

Calcule el valor de: Tan 3x

Calcule: Cos3x

A)



D) –4 09 09

70

9 4

B)

11 2

E) 11

C)

11 4

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E) 1 Si:

sen3 4  sen 3 Calcule: Cos2 1

A) D)

1

B)

3 1

C)

2 2

E)

6

15 15

Si: A = 3 – 4Sen2 B = 4 Cos2– 3

5

Calcular:

6

A B A) Ctan3 Tan D) Ctan3 Tan

3

10 10

B) Tan3 Ctan E) Tan3 Ctan

C) Ctan3

Simplificar:

sen9x – 2cos3x tg3x

K A) Sen 3x D) Cos 3x 11 11

B) Cos 6x E) Cos9x

16 16

Simplificar la expresión:

C) Sen9x

E= A) 7 D) 4

Si:

2 3

cosx 

 13

D)

 19

12 12

2 27 2 27

B)

5

E)

4

2

C)

9

 21

cos 3   cos 3 sen 3  sen3 ,  cos  sen

2 9

se obtiene:

Si:

1 3 Calcular Tan 3

D)

13

B)

4 11

E)

9

A) 0 E) 4.

10

C)

3 13

B) 1

4

A =

13 13

R

C) Tan x A) 5 D) 1

Simplificando:

se obtiene: A) –3 B) 3

C)

B) Sec x

C) Csc x

D) Ctan x

Simplificar:

3senx – sen3x E 2senx · sen2x

E  4cos2 x –

4 Sen 3 x  Sen3 x 4Cos 3 x  Cos 3 x

19 19

Simplifique:

14 14

D) 3

Simplificar:

9

B) Cos x E) Sec x

C) 2

18 18

11

A) Tan x E)1

A) Sen x D) Ctan x

C) 5

Al reducir la expresión:

2 27

tg 

A)

B) 6 E) 3

17 17

Calcular: Cos3x A)

Sen3 x  3Cotg 2 x  4 Sen 3 x

cos3x cosx –1

20 20

D) –2

Sen3a  Cos3a Sen 3a  Cos3a  Cosa  Sen a Cosa  Sen a B) 4 E) 2

C)3

Halle el valor de: R = 4Sen20º.Sen80º.Sen40º

71

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3

A)

B)

2 3

D) -

1

C) -

2

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1 2

25 25

Simplifique

E) 2

2

E

21 21

cosx  cos3x sen3x  senx

Simplificar: A) Tan x D) Ctan x

Cos3x  Sen 2x  Sen 4x S 1 2sen x A) Sen 3x D) 2 Cos 3x

B) Cos 3x E) 1

C) 2 Sen 3x

26 26

B) Tan 2x E) Ctan 2x

Reduce

E

22 22

En la figura adjunta, determinar “x”

A) Ctan x D) Sen 2x

2a A) b 3b

2a  3b B) a b  2a

C) b

b

3b  a 2a - b

2 

D) No se puede E) N.A 23 23

a x

Sabiendo que: Tan3x = m Tan x Evaluar: E = Sen 3x.Csc x

A) D)

m m -1 2m m -1

B)

2m m -1

C)

2m m 1

E) N.A

24 24

Reducir:

 4cos 2   4cos  1   M  tg  .tg (2cos 2  1 2   A) Exsec 3  D) Csc 3 

B) Sec 3 E) N.A

C) Sen 2x

C) 1 + Sec 3 

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Dominar las fórmulas más básicas.

Dominar las fórmulas más básicas.

Reconocer y aplicar correctamente los dos casos72 de transformación.

Reconocer y aplicar correctamente los dos casos de transformación.

Utilizar correctamente y en forma eficaz las diversas propiedades Utilizar correctamente y en forma eficaz las diversas propiedades

sen3x  sen3 x cos3 x  cos3x B) Cos 2x E) Tan 3x

C) Cos3x

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TRANSFORMACIÓN DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO Son expresiones que permiten transformar a producto las sumas y diferencias de funciones.

Si : x >

y



se cumple :

a) Sen x + Sen y

= 2 Sen

b) Sen x - Sen y

= 2 Cos

c) Cos x + Cos y

= 2 Cos

d) Cos y - Cos x

= 2 Sen

xy 2 xy 2 xy 2 xy 2

xy

. Cos

. Sen

2 xy 2 xy

. Cos

2

. Sen

xy 2

PROPIEDADES: 1. Si: A + B + C = 180°, se cumple

A B C Cos Cos 2 2 2



Sen A + Sen B + Sen C = 4Cos



Cos A + Cos B + Cos C - 1 = 4 Sen

A B C Sen Sen 2 2 2

2. Si A + B + C = 360° se cumple:

A B C Sen Sen 2 2 2



2.Sen A + Sen B + Sen C = 4Sen



Cos A + Cos B + Cos C + 1= - 4 Cos

A B C Cos Cos 2 2 2

TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS A SUMA O DIFERENCIA (A > B) Son expresiones que permiten transformar a sumas o diferencias los productos de funciones.

Si : x >

y



se cumple :

a) 2Sen x . Cos y = Sen (x + y)+Sen( x–y) 73

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b) 2Cos x . Sen y = Sen (x+y) – Sen(x–y) c) 2Cos x . Cos y = Cos (x+y) + Cos(x–y) d) 2Sen x . Sen y = Cos (x-y) - Cos(x+y) Simplificar: 4 SenxCosxCos2x  Sen6x A Cosx

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE 01 01

10 10

Transformar a producto:

Simplificar:

A

Sen10º + Cos60º

11 11

02 02

4Cos7x · Cosx – 2Cos6x Sen16x

Reducir: A = Sen10º + Sen50º – Sen70º

Simplificar: 12 12

sen17x – sen5x A cos17x  cos5x

Simplificar:

 Sen2x Sen6x  A    Senx Sen3x  

03 03

Transformar a producto: 13 13

Sen10º + Sen30º + Sen50º

Reducir:

04 04

A = 4 Sen2x Cos2x Cos x – Sen3x

Transformar a suma: 14 14

2 Sen10º · Cos5º

Reducir:

05 05

A

Transformar a suma o diferencia

10Sen53º  Sen50º  Cos50º  Sen5º

2 Cos40º · Cos20º 06 06

15 15

Reducir: E = 2 Sen8x · Cos6x – Sen12x

Simplificar: A

07 07

Reducir:

16 16

2

A = 2(2 Cos7x Cos x – Cos8x) – 1

Senx  Sen2x  Sen3x 3x Sen 2

Reducir:

A   Sen5xCos2x – SenxCos6x 08 08

Simplificar:

17 17

Si:

 Sen7x  Senx  A  1    Cos7x  Cosx 

2

Sen7x a  Sen3x b Hallar: Tg5x Ctg2x.

09 09

18 18

74

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Si 13x =  Evaluar

Reducir:

M

A  2 Cos5x  Cos3x  Sen3x – Senx 19 19

29 29

Simplificar:



A  Sen7xSen3x  Sen2 2x



1 2

Sabiendo que:

a



30 30

Cos x  y b



Hallar Tan 4x .Ctan x 31 31

Transformar a producto

32 32

Transformar a producto

33 33

Transformar a producto

Simplificar

26 26

sen7x  2cos2x  2cos4x  2cos6x senx

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Si x = 5º, calcular

M

sen2x  sen3x  sen4x cos2x  cos3x  cos4x

Calcular W = Cos20º – Cos80º + Cos140º

27 27

2cos5x.cosx 1 cos6x  cos4x

34 34

Transformar a producto si es posible

M  6 2 2

25 25

Reducir

M

M =Cos20º + Cos100º + Cos140º 24 24

Reducir M = 2Sen 6x . Cos2x – Cos8x

K = Cos x+Cos2x + Cos3x 23 23

Transformar a suma o diferencia M = 4Sen . Sen 2x . Sen 3x

K=Sen x + Sen2x + Sen3x 22 22

Si

sen5x n sen3x

Sen2y c

Hallar: Sen x Sec y 21 21

Simplificar

cosx  secx  sec3x   2.csc  / 4     cos4x  sen4x  csc6x  csc2x  csc4x 

20 20

Cos x – y

cos11x  cos9x cos4x  cos2x

01 01

A = Sen7x + Sen3x

Simplificar

M

Transformar a producto:

A) 2 Sen 4x . Cos x C) 2 Sen x . Cos x E) 2 Cos 5x . Cos 2x

 cos3x  cosx  tg2x  tgx sen3x

02 02 28 28

75

B) 2 Sen 3x . Cos 2x D) 2 Sen 5x . Cos 2x

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Transformar a producto: 09 09

E = Cos3x + Cos x A) 2 Cos 4x . Cos 2x C) 2 Sen 2x . Cos x E) 2 Sen 2x . Sen x 03 03

B) 2 Cos 2x . Cos x D) 2 Sen x . Cos 2x

A) Tg4x D) Tg3x

Cos16x  Cos14x Sen16x  Sen14x

A) Tan 15x D) Ctg16x 04 04

B) Ctan 15x E) Tan 14x

10 10

B) Ctg x E) 1

C) Ctg2x

Calcular: K

A) 3 E) 1 / 2 11 11

B) 1

Si

C) Tg 2x

Sen10º Cos40º  Cos20º Sen70º

C) 2

D)

3

/2

x  IIC,

Reducir

S  senx  sen3x  senx .

05 05

Reducir: A) Sen x D) –Cos2x

2cos10x · cos6x – cos16x E 2sen8x · cos4x – sen12x A) Sec2x D) Sec4x

B) Tg4x E) Ctg2x

B) – Sen2x E) –Cos3x

C) Sen3x

12 12

Hallar 

C) Ctg4x

 se n 1 4 0 º

06 06

Transformar a producto: R = Sen240° – Sen210°

2 sen 7 0 º+ c o s1 4 0 º

A) Sen60° . Cos50°

B) Sen50° . Sen30°

C) Cos50° . Cos20° E) Cos80° . Cos20°

D) Sen40° . Cos10°

07 07

A) 30º D) 53º

A) Ctg10° D) Ctg20°

B) 37º E) 60º

C) 45º

13 13

Hallar el máximo valor de

Simplificar:

R

Sen30º  Sen10º Cos10º –Cos30º B) Tg10° E) 1

w = Sen (50º + x) – Sen(10º – x) A) 1/2 D) 3

C)Tg20°

B) E)

C)

5 3

/4

14 14

Calcular

08 08

H

B) Tgx E) Ctg4x

C) Tan16x

Simplificar: Senx  Sen2x  Sen3x R Cosx  Cos2x  Cos3x

A) Tgx D) Ctg2x

Cos2x  Cos4x  Cos6x Sen2x  Sen4x  Sen6x

R

Simplificar:

R

Simplificar:

Reducir:

cos

Sen60º  Sen20º Sen70º  Sen10º – Cos60º  Cos20º Cos70º  Cos10º

A) –1 E) 2

B) 0

C) 1

2 4 6  cos  cos 7 7 7

A) 0 D) - 1 /2

D) 1 / 2

15 15

76

B) 1 E) –1 Factorizar

C) 1 /2

1

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P

M = 1 – 2cos72º + 4sen6º A) 2Sen6º .Cos12º C) Sen6º .Cos12º E) 4Sen6º .Cos272º

B) 2Sen6º .Cos212º D) 8Sen6º .Cos212º

sen20º 2sen40º  sen50º  sen10º sen60º  sen20º

A) tg10º D) ctg35º 21 21

D = Cos10º + Cos110º + Cos130º A) -1 D) 2 Cos10º 22 22

Calcular

A) 0 D) 1 /2

B) 1 E) - 1 / 2

A) 2 Sen x D) 2 Cos4x

C) –1

B) 2 Sen2x E) 2 Cos2x

C) 2 Sen4x

23 23

Simplificar:

18 18

Calcular Cos26º + Cos242º + Cos266º + Cos278º A) 7 / 2 D) 7/6 19 19

C) 1

2 Sen6 xCos 2 x  Sen 4 x 2Cos5 xCosx  Cos6 x

M=

1  4sen10º.sen70º 2sen10º

B) 0 E) Cos10º

Reducir la expresión:

17 17

S

C) tg35º

Reducir:

16 16

En qué tipo de triángulo ABC se cumple que Sen2B + Sen2C = Sen2A A) Isósceles B) Equilátero C) Rectángulo D) Obtusángulo E) no existe

B) tg20º E) tg30º

B) 7 / 4 E) 9 / 4

N = 2 Sen40º Cos 20º - Sen 20º A)

C) 7 / 8

3 2

D) 

Si

B)

1 2

1 2

E) 

C)

2 2

3 2

24 24

x y 

 3

Simplificar:

Calcular el valor de

Y=

 senx  cosx  cosy  seny  M   senx  cosx  seny  cosy  A) 1 / 3 D) 3

B) E) 4

2

1 C)

Sen2 x  Sen4 x  Sen6 x , Cos 2 x  Cos 4 x  Cos 6 x

Cuando x = 9º 15´

2

A) 1/2 D) 3/4

20 20

Simplificar

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Utilizar correctamente las notaciones de las funciones inversas.

Utilizar correctamente las notaciones de las funciones inversas.

Dominar las diversas propiedades.

77 Dominar las diversas propiedades.

Establecer las diferentes propiedades a la vida real.

Establecer las diferentes propiedades a la vida real.

B) 1/3 E) 3 /3

C) 4/3

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

FUNCION INVERSA Es la relación de dependencia entre dos variables: una variable es el ángulo o su arco equivalente y la otra variable es un número que corresponde al valor numérico de la función (directa).

Toda F.T.I se obtiene a partir de su función trigonométrica directa correspondiente.

F.T. DIRECTA 3 Sen 60° = 2 1 Cos 60° = 2

F.T. INVERSA 3 3 60° = arc sen = sen -1 2 2 1 1 60° = arc cos = cos -1 2 2

 

De lo anterior puede concluirse que una F.T.I. es la representación de un ángulo o arco por el valor numérico de una de sus funciones trigonométricas.

Nomenclatura: Sea la función trigonométrica directa:

n = f (

. . la F.T.I. es:





)

= arc f (n) = f -1 (n)

Ejemplo: Si:

Cos 60° = Se lee:

1 2



60° = arc cos

1 2

= cos -1

“ 60° es el arco o ángulo cuyo coseno vale

1 2

1 ” 2

- La función directa es uniforme, ya que dado el valor del arco o ángulo, hay un solo valor para la función.

1 Así: Sen 30° = 2 - La función inversa es multiforme, ya que dado el valor de la función hay un número infinito de arcos o ángulos que satisfacen la relación. Así: x = arc Sen

1 , existen infinitos ángulos, por ejemplo: 30°; 150°; 390°; 510°, etc.

2

Del infinito número de ángulos o arcos que tienen la misma función, se llama valor principal al menor valor positivo. Así en el ejemplo anterior el valor principal de “x” es 30°.

PROPIEDADES: 1. F [F-1(x)] = x

 x  DOM (F-1)

a) Sen (Arc Sen x) = x b) Cos (Arc Cos x) = x c) Tan (Arc Tan x) = x d) Cot (Arc Cot x) = x e) Sec (Arc Sec x) = x 78

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f)

Csc (Arc Csc x) = x

-1

2. F [F(x)] = x

 x  RAN (F-1)

a)

Arc Sen (Sen x) = x

b)

Arc Cos (Cos x) = x

c)

Arc Tan (Tan x) = x

d)

Arc Cot (Cot x) = x

e)

Arc Sec (Sec x) = x

f)

Arc Csc(Csc x) = x

3.  x  DOM (F-1)

4.

6.

a)

Arc Sen (-x) = -Arc Sen x

b)

Arc Cos (-x) =  - Arc Cos x

c)

Arc Tan (-x) = -Arc Tan x

d)

Arc Cot (-x) =  -Arc Cot x

e)

Arc Sec (-x) =  -Arc Sec x

f)

Arc Csc (-x) = -Arc Csc x

 x  Dom(F 1 ) a)

Arc Sen x = Arc Csc

1 x

b)

Arc Cos x = Arc Sec

1 x

c)

Arc Tan x = Arc Cot

1 x

d)

Arc Cot x = Arc Tan

1 x

e)

Arc Sec x = Arc Cos

1 x

f)

Arc Csc x = Arc Sen

1 x

 x  Dom(F 1 ) a)

Arc Sen x + Arc Cos x =

b)

Arc Tan x + Arc Cot x =

Arc Sec x + Arc Csc x = 7.

 2

 2

 2

 x  Dom(F 1 ) 1  x2

a)

Sen (Arc Cos x) =

b)

Cos (Arc Sen x) = 1  x 2

c)

Tan (Arc Sec x) = x 2  1 79

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d)

Sec (Arc Tan x) = 1  x 2

e)

Cot (Arc Csc x) =

f)

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x2  1 1  x2

Csc (Arc Cot x) =

8. Sea Arc Tan a + Arc Tan b = ArcTan

ab + K 1  ab

a) Si a.b < 1 entonces K = 0 b) Si a.b > 1 entonces: 1) a > 0 entonces K = 1 2) a < 0 entonces K = -1

x  1  Arc Sen

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE 01 01

Hallar x

Arc Senx  Arc Cos

Decir a qué es igual

  ArcSen 02 02

07 07

3 2

08 08

1 2

3 2

Calcular

2 2 M= 1 Arc Cos 2 Arc Sen

Decir a qué es igual

09 09

Calcular

3   Arc Cos 2

1 1  M=Sen Arc Sen  Arc Cos   3 3

03 03

Calcular

  Arc Sen 04 04

3 3   Arc Cos  2 2 4

10 10

    M  Arc Sen Sen   Arc Cos Cos   3  6

Calcular

1 3   Arc Tg1  Arc Cos  Arc Sen 2 2

05 05

11 11

Simplificar

    M  Arc Sen Cos   Arc Cos Sen   3  6

Calcular 1 1 M  Arc Sen  Arc Cos 2 2

06 06

Reducir

12 12

Si

Arc Tgx  Arc Ctgx 

Hallar x

Calcular Cos.

80

  4

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13 13

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Calcular    3  M  Cos Arc Cos Sen Arc Sen   2     

Calcular x de

Arc Sen

1 1 1  Arc Cosx  Arc Sen  2x  0 4 4 2

14 14

Si

B)

D) 3 / 5

E) 1 /2

C)

2

A qué es igual

Hallar

  Arc Tg

M = Arc Cos x + Arc Ctan y 15 15

A) 30º D) 60º

Calcular

1  =Arc Ctg1  Arc Sen  2 3

1 2

B) 53º/2 E) 45º

06 06

C) 37º/2

Reducir     M  Arc Sen Sen   Arc Cos Cos  6 3  

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

A)  D)  07 07

B)  E) 2

C) 

Calcular   2 2 M  Sen Arc Sen   Cos Arc Cos   2   2 

A qué es igual

  Arc Cos A) 30º D) 60º

A) 0 D) 2 /2

3 2

B) 37º E) 75º

08 08

C) 53º

B) 1 E) 2 2

C)

2

Calcular 1 1  M  Cos ArcSen  Arc Cos  4 4 

A) –1 D) 1 / 2

02 02

B) 0 E) - 1 /2

C) 1

Calcular M  Arc Cos

A) 45º D) 60º 03 03

09 09

2 1  Arc Sen 2 2

B) 75º E) 37º

2 2

05 05

3 Arc Senx  Arc Tgy  4

01 01

3

A) 1

Calcular

M  1  Ctg2  Arc Csc3 C) 30º A) 8 D) 11

Calcular

10 10

1    Arc Tg1  Arc Sen  2 3 A) B) 2 C) 5 D) E) 

B) 9 E) 12

C) 10

Calcular

1  k  Sen Arc Sen   Cos Arc Cos0  2 A) –1 D) 1 / 2

04 04

81

B) 1 E) 0

C) -1 /2

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E = Arc Tan x + Arc Ctan x ; es: 11 11

Resolver:

A) 0° D) 180°

Arc tg3x + Arc Tgx = /2 A)

B)

3

D) 

/3

3

3

/3

C) -

3

/3

16 16

5

A) 65/16

B) 16/65

D) 64/13

E) 103/41

A)

7

B) E)

5

D) 15 15

.

46

46 46

E)

El valor de:

2π

C)

3

2

4π

D)

3

5π 3

6π 3

4

C)

3

A)

5

E)

3

π 2

3

46 46

5

C)

2

23 23

B)

2π 3

C)

4π 2

Cos2θ

D)

)

5π 2

2

Hallar x si :

arc Cos A) 45 E) 85 20 20

Sen) + Arc Sen (

6π

19 19

B)

2

+ Arc Tan 1 + Arc Cos

B)

3

Arc Sen (

  2    E = Sen arcCotg 5Co sec arcCos    3      13

π

4

Calcular:

2

1 2

Calcular :

14 14

A)

2

18 18

3 Arc tg x = Arc Cos 4

D)

1

E) N.A..

Arc Sen

C) 13/64

Hallar “x” si:

3

C)

Calcular:

E)

3

3 2

17 17

13 13

A)

 arc sen x

2

B)

3

D) 1

Sen arcSen 12  arcSen 45  13

7

3

arc cos

Calcular:

C) 90°

Hallar “x” en :

E) 1/3 A)

12 12

B) 45° E) 360°

4 5

+ arc Cos

12 13

B) 55

= arc Cos C) 65

33 x

D) 75

Calcular el ángulo  , si : Tan (arc Cos ( Sen (+30o))) = 1

3

A) 75O E) 15O

B) 65 O

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Conocer las diversas formas de resolver una ecuación elemental o no elemental.

Conocer las diversas formas de resolver una ecuación elemental o no elemental.

Establecer la diferencia entre una identidad y una82 ecuación.

Establecer la diferencia entre una identidad y una ecuación.

Indicar en forma particular y general las soluciones de una ecuación Indicar en forma particular y general las soluciones de una ecuación

C) 45 O

D) 25O

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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Se denomina ecuación trigonométrica a toda igualdad condicional entre expresiones en las cuales todas las variables están afectadas por funciones trigonométricas. Ejemplos: x2 – 3 x + 4 = 0 x - sen x = 1 sen x – Cos x = 1

(no es ecuación trigonométrica) (no es ecuación trigonométrica) (si es ecuación trigonométrica)

TIPOS DE ECUACIONES: Las ecuaciones trigonométricas pueden ser: A. ECUACIONES DE PRIMER TIPO: Son aquellas en las cuales se presentan funciones iguales o diferentes pero siempre el mismo ángulo.

Ejemplos: Sen2 x – 3 sen x – 4 = 0 Sen 2b + Cos 2b = 1 Sec 2x + Csc 2x = 5 B. ECUACIONES DE SEGUNDO TIPO:

Son aquellas en las cuales se presentan funciones diferentes. Ejemplos:

iguales o diferentes pero siempre ángulos

Sen a – Sen 2a + Sen 3a = 0 Tg 2x + Ctg x = 2  

Sen  x 

  4

 - Cos 2x 

= -0,5

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL: Es la ecuación más simple que puede presentar:

Forma general : F (x) = a Donde: F = Operador trigonométrico (Sen, Cos, Tan, ...) x = Variable angular (  ,  ,  ,...) a = Valor numérico o real.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Se llama solución de una ecuación trigonométrica al conjunto de valores angulares que satisfacen la ecuación. a) Solución Principal: Es aquella de menor valor absoluto de todas las soluciones particulares positivas o negativas. b) Solución Particular: Es el conjunto formado por todos los ángulos que satisfacen una ecuación.

83

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FÓRMULAS GENERALES

a) Para el seno y cosecante xg = 180° K + (-1)k xp c) Para la tangente y cotangente Xg = 180° K + xp

b) Para el coseno y secante Xg = 360° K  xp Donde: k = 0,  1,2,3,.....

Xp = Solución principal.

Xg = Solución general.

RECOMENDACIONES PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN: i) Toda ecuación debe expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico. ii) Si la ecuación es homogénea en seno y coseno se debe dividir entre el coseno elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función tangente únicamente.

Resolver:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

Sen  x  10º  

01 01

08 08

Resolver: Sen2x = 1 ; x  0;90º 02 02

1 2

; x es agudo

Resolver:

6 2

Cos x – 20º  

4

; x es agudo

Resolver: 09 09

Cos3x = 0 ; x  0;90º

Hallar la menor solución positiva:

Cos3x

03 03 10 10

Resolver:

Senx 

1 2

Cosx

– 1 0

Hallar la menor solución positiva

; x  0;180º

Tg 3x  30º  1  0 11 11

04 04

Resolver: Resolver:

Cosx 

2 2

; x  0;360º 12 12

05 05

Resolver: Resolver: Sen2x  Cos

 3

Sen2x  Senx ; x   0;360º

; x  0;180º 13 13

06 06

Hallar la solución general de:

Resolver:

Senx 

Sen3x = 0 ; x  0;180º 14 14

07 07

84

1 2

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Hallar la solución general:

tg4x  tg 15 15

Determinar el menor valor positivo de "x" que resuelve la ecuación.

 4

Senx  1  3 C osx 25 25

Hallar la solución general:

Cos2x  16 16

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Calcular el menor ángulo positivo que

cumple:

1 2

  Sen2x   2  1 Senx  2  0 4  2 

Hallar la solución general de: 26 26

Sen4x = 0

Determinar "x" que satisface:

17 17

8 tgx

Resolver:

2Senx  1  0; 0º  x  360º

 8 c tgx  2

27 27

Determinar el número de soluciones de "" en el recorrido de 0 a 2  que cumpla:

(4cos2   3)(cosec   2)  0 28 28

18 18

Resolver:

Resolver:

tg2x  (1  3) tgx  3  0

tg3 x  1  0; 0º  x  90º 19 19

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Encuentre la solución básica de:

4Sen2x  8Senx  3  0 20 20

Resolver:

2C os2x  3Senx  3 21 21

01 01

Determinar el menor valor positivo de "x" que resuelve la ecuación:

Resolver: 2Senx – 3  0 ; Si : 0  x  360º

1 1  8 1  C osx 1  C osx

A) 60º ; 150º D) 60º ; 120º

B) 30º ; 120º E) 30º ; 90º

C) 30º;150º

22 22

Calcular la suma de soluciones comprendidos entre 0º y 360º que cumpla:

02 02

Resolver:

2tg2x  3Sec x  0 23 23

Cosx – 1  0 ; x   0º;360º A) 0º D) 0º ; 360º

Determinar la solución general de

S en5x  0

03 03

24 24

85

B) 0º ; 180º E) 360º

Una solución es:

C)

180º

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Tg x – 45º  

A) 15º E) 75º 04 04

B) 30º

3 3

C)

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Sen4 x  Cos4 x 

; será

45º

8 Dar el número de soluciones para

 0; .

D) 60º A) 1 D) 4

Resolver:

B) 2 E) 5 Resolver:

sen  2x – 15º  

e indicar la menor solución positiva A) 15º B) 30º E) 45º

C)

60º

A) 30º E) 45º

D) 75º

12 12

Resolver:

B) 20º

06 06

B) /3

C)  /4

A) 35º ; 315º D) 25º ; 310º

A) /2 D) /8

C) 150º

C) 45º ; 310º

Halle la menor solución positiva: Cos5x = 0 A) 15º E) 30º

Resolver:       Tg  x  gTg  4x   1  10   90  B) 14º C) 21º E) 35º

14 14

A)  /2 D)  /2

D) 12º

B) 8º

C)

10º

D) 20º

Resolver: 2Senx  3  0; 0º  x  360º

A) 60º ; 50º D) 60º ; 120º 17 17

1

B)  /2 E) Todas

18º

15 15

Para qué valores de “x” la ecuación es indeterminada:

Cosx

C)

Resolver:

A) 5º E) 30º

Resolver: x x 8Sen Cos CosxCos2x  1 2 2 B) /4 C) /6 E) /10

Sen3x  Senx

B) 20º

sen5x  senx 3  cos5x  cosx 3

09 09

10 10

B) 35º ; 305º E) 25º ; 300º

13 13

07 07

08 08

2 ; x  0º;360º 2

Resolver:

2Cos2x – 3Senx  0 A) 100º B) 120º D) 170º E) 180º

A) 7º D) 28º

D) 45º/2

Resolver:

cos x  10º 

D)  / 8

1 ; x  0º;90º 2

C) 15º

Tg2x  Ctg2x – 2  0

A)  /2 E) /16

C) 3

11 11

2Sen2x – Sen90º  0

05 05

5

B) 30º ; 120º E) 120º ; 150º

C) 30º ; 150º

Resolver:

C osx  1  0; x  0, 360º

C) /2

A) 0° B) 180° E) 0°, 180°

Resolver:

16 16

86

C) 360°

D) 0° , 360°

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Resolver:

A) 30º E) 90º

Sec x  2  0;0º  x  700º

21 21

A) 45º ; 135º . 405º ; 495º B) 45º ; 225º . 405º ; 585º C) 135º ;315º .495º ; 585º D) 135º ;225º . 495º ; 585º E) 45º ; 315º . 405º ; 675º 17 17

Tan (x - 45º) = B) 30º

C)45º

D) 53º

La solución principal de: es:

A) 30g D) 60g

B) 45g E) 90g

22 22 3

C) 50g

Indicar la suma de soluciones de la

ecuación:

3

C) 45º

senx  1  0; 0º  x  360º  cos x

D) 60º A) 90º D) 360º

18 18

B) 37º

tgx  c tgx  2

Una solución de:

A) 15º E) 75º

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Resolver:

23 23

4cos2 x  3  0;" x " 0º ; 260º

B) 180 E) 450º

C) 270º

Resolver: 2 Cos2x – 5 Cos x + 2 = 0

A) 30º ; 150º . 210º ; 300º B) 60º ; 150º . 210º ; 330º A) 10º E) 60º

C) 30º ; 150º . 240º ; 330º D) 30º ; 150º . 210º ; 330º E) 60º ; 120º . 240º ; 300º

24 24

B) 15º

C) 30º

D) 45º

Hallar la menor solución positiva de:

19 19

La solución principal de:

Sen 2x + Cos x = 0

2

Sen x  Senx  2  0 A) 0º E) 360º 20 20

B) 90º

C)180º

A) 240º D) 90º

D)278º

B) 210º E) 60º

C) 120º

25 25

Hallar la menor solución positiva que verifica: 4 Cos x – 3 Sec x = 2 Tan x

Resolver:

A) 10º D) 20º

10cos2 x  4  13cos x

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Reconocer ecuaciones trigonométricas no básicas.

Reconocer ecuaciones trigonométricas no básicas.

Aplicar los conocimientos adquiridos en el curso.

Aplicar los conocimientos adquiridos en el curso.

87

B) 15º E) 30º

C) 18º

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TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

Cosx.Cosy  0,75 Senx.S eny  0,25

ECUACIONES REDUCIBLES A LA FORMA CUADRÁTICA.

03 03

Resolver: x  y  90º

Al resolver una ecuación con un radical como x  1  2x  3 sucede que se puede eliminar el radical al elevar el cuadrado cada miembro de la igualdad y entonces procede a resolver la ecuación cuadrática resultante, así:

( x-1)2

= (2x-3)2

x-1

= 4x2-12x+9

senx  cos x  2 04 04

Resolver: sen2x  sen2y  1 2 1 sen(x  y)  2

4x2-13x+10 = 0 (4x  5)(x  2)  0  x1  5 ; x2  2 4

05 05

Resolver:

m  1  cos x 4m. cos x  1

Al verificar se encuentra que 2 es una solución, no así 5/4. Estos resultados se suelen llamar soluciones extrañas.

06 06

2. TEORÍA: Un sistema de ecuaciones trigonométricas consiste en un conjunto de ecuaciones (de la cual al menos una es trigonométrica) donde intervienen dos o más incógnitas.

Para resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas deben haber tantas ecuaciones como ecuaciones tenga el sistema.

Se debe precisar que no existe un método a seguir para la resolución de un sistema de ecuaciones trigonométricas, lo aconsejable es aplicar ciertos conceptos algebraicos ó trigonométricas, que nos permita llegar a un punto en el cual se pueda determinar alguna relación simple entre las incógnitas ó quizás el conjunto solución de ellas, de tal manera que nos facilite la obtención del conjunto solución de cada una de las otras incógnitas.

Resolver:

Sen2x  sen2y  1 2 x  y  30º

07 07

Resolver: Sen 5x + Sen x =0, indique la cantidad de soluciones en el intervalo.

08 08

Resolver:

tg(x   )  1 3

09 09

Resolver:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE

Senx Cos x 

2 4

10 10

Resolver: 01 01

Sen3x . Senx  0.

Resolver:

Indique la suma de las Soluciones en el intervalo de 0º y 180º inclusive.

x y  2 senx  3seny

11 11

Resolver:





C os 2x    2 3 2

02 02

Resolver: 12 12

88

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Resolver:

Sen2x  1 2

03 03

Senx  C osy Sen2x  tgy

e indique la suma de las soluciones positivas menores que una vuelta.

13 13

A) x = 45o , y = 45o C) x = 45o , y = 30o E) x = 105o , y = 75o

Resolver:

tg  tg2x  tgx tg2x tg3x  1.

04 04

Indique la suma de las soluciones en el intervalo de 0º y 720º inclusive.

14 14

Resolver el sistema:

B) x = 60o , y = 45o D) x = 120o , y = 60o

Resolver el sistema:

C osx  cosy 

2 2

x – y = 90°.

Resolver:

A) x = 105o , y = 15o C) x = 75o , y = 15o E) x = 45o , y = 45o

x  y  90º senx . seny  0,25º

05 05

15 15

Indique la suma de las dos menores soluciones positivas de la ecuación:

B) x = 135o , y = 45o D) x = 120o , y = 30o

Resolver el sistema:

Sen2x  Sen2y  1 2 x  y  30º

2 Senx C osx  1 2

A) x = 60o , y = 30o C) x = 0o , y = 30o E) x = 90o , y = 60o

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

06 06

B) x = 75o , y = 45o D) x = 30o , y = 0o

Resolver:

tgx  tgy  2 3 c tg  c tgy  2 3 01 01

Resolver el sistema:

A) x = 105o , y = 15o C) x = 120o , y = 75o E) x = 75o , y = 45o

x  y  60º   senx  s eny  1; x  0; ; y  0; 2 2 A) x = 15o , y = 5o C) x = 30o , y = 30o E) x = 0o , y = 60o 02 02

07 07

B) x = 45o , y = 15o D) x = 60o , y = 0o

A) x = 45o , y = 60o C) x = 60o , y = 45o E) x = 45o , y = 30o

Senx  2C osy C os2x  cos2y  0 o

A) x = 60 , y = 90 C) x = 60o , y = 30o E) x = 60o , y = 45o

Resolver el sistema:

Sen2x  Cos2y  1 Senx  Cosy  1

Resolver el sistema:

o

08 08 o

B) x = 75o , y = 15o D) x = 105o , y = 75o

o

B) x = 90 , y = 60 D) x = 45o , y = 15o

89

B) x = 90o , y = 90o D) x = 60o , y = 30o

Resolver el sistema:

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tgx  tgy  2 x  y  135º ;  90º  y  0º A) x = 75o , y = -30o C) x = 45o , y = -30o E) x = 60o , y = -45o

TRIGONOMETRIA Lic. JUAN ROJAS BERNILLA 4to Grado de Secundaria

A) x = 75o , y = 15o C) x = 60o , y = 30o E) x = 45o , y = 45o

B) x = 60o , y = -30o D) x = 75o , y = -60o

B) x = 30o , y = 60o D) x = 15o , y = 75o

Resolver:

13 13

 x   0;   2

Cos5x  Cos3x  Cosx  0;

09 09

Resolver el sistema:

π π π , , 6 3 2 π 5π π , , 12 12 2 π 5π , D) 12 12

tgx  tgy  4

A)

tg2xtg2y  14; x  180º;225º ; y  0º,90º A) x = 195o , y = 75o C) x = 210o , y = 75o E) x = 195o , y = 45o 10 10

B) x = 195o , y = 60o D) x = 210o , y = 60o

14 14

Resolver el sistema: x + y = 90º Sen x + Cos y = 1

A) x = 20o , y = 70o C) x = 60o , y = 30o

15 15

Resolver:

π π , 12 2

B) 90º ; 150º E) 0º

C) 0º ; 90º

Resuelve el sistema:

x + y =   Cos 2 x + Cos 2 y = 1 + Cos 

Senx  3 • C osx  1; 0º  x  180º

12 12

E)

C)

Resolver:

A) 0º ; 180º D) 90º

11 11

B) 30º ; 150º E) 150º

π π π , , 4 3 2

Sen3x  2Senx  0; 0º  x  180º

B) x = 30o , y = 60o D) x = 70o , y = 20o

E) x = 45o , y = 45o

A) 30º ; 90º D) 90º

B)

A)

C) 90º ; 120º

x  y 

D) x

 y 

θ 2 θ 5

B)

x  y 

E)

x  y 

θ 3

C)

x  y 

θ 4

θ 6

Resolver:

x  y  90º Senx Seny  0,25º

OBJETIVOS: OBJETIVOS: Comprender otras alternativas de resolución de triángulos, usando leyes trigonométricas.

Comprender otras alternativas de resolución de triángulos, usando leyes trigonométricas.

Conocer las técnicas y relaciones para cálculos de elementos auxiliares, distancia entre puntos notables Conocer las técnicas y relaciones para cálculos de elementos auxiliares, distancia entre puntos notables y área en el triángulo oblicuángulo. y área en el triángulo oblicuángulo.

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULO En la resolución de triángulos oblicuángulos se presentan los mismos casos que en la construcción de los mismos; es decir, que se puede construir y resolver un triángulo, si se conocen tres de sus elementos siempre que entre ellos halla por lo menos un lado.

En la resolución de triángulos oblicuángulos emplearemos las siguientes leyes:

I. LEY DE SENOS:

O DE BRIGGS

En todo triángulo los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

a b c   Sen A Sen B Sen C

* Con el Circunradio a Sen A



b Sen B



c Sen c

LEY DE COSENOS O DE CARNOT A

a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C

91

 2R

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LEY DE TANGENTES O DE NEPPER ab  a b

A

AB 2 AC Tan 2 Tan

B  C  Tan   bc  2   BC bc Tan 2 A C  Tan   ac  2   AC ac Tan 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA CLASE 06 06

Del gráfico, Calcular “x” 6 01 01

En un triángulo ABC se cumple que:

A  60º ; b  3 – 1 y c  3  1

x

60º

37º

Hallar el lado “a”.

02 02

Dado  ABC, Calcular:

07 07

Hallar la medida del ángulo B en un triángulo ABC tal que: a=5 ; b=7 y c=8

M = a Sen B – b Sen A 03 03

Dado el ABC ¿a qué es igual?

08 08

En un triángulo ABC, si: A = 45º; B = 120º y a = 2, hallar “b”.

M = R (Sen A + Sen B + Sen C)

04 04

09 09

En un triángulo ABC: a–b=2 y c=5

Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 13m. Hallar el coseno del mayor ángulo.

Hallar:

M

SenA – SenB

10 10

SenC

2 2 2 a + b + c = 10 Calcular: M = bc Cos A + ac Cos B + ab Cos C

05 05

Calcular “x” del gráfico

4

x

60º 6

En un triángulo cualquiera ABC, se cumple

que:

92

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18 18

11 11

En un triángulo ABC, si: A = 45º ; a = 6m Hallar la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

c=

6

En un triangulo ABC, si: A = 135º, B =15º; . Hallar la longitud de BC.

19 19

12 12

ABCD trapecio. Calcular x:

A

a   2 2 m,

B

a

x

2



En un triángulo ABC, se tiene que:

b   3  1 m,

c   3  1 m

Encontrar la medida del ángulo "A" 20 20

D

En un triángulo ABC, si:

C

B  120º; b  3, c  1

13 13

Hallar la longitud del lado "a".

En un triángulo ABC, reducir:

M

abCosC  acCosB

21 21

En un triángulo ABC, si:

R SenA

b  3 2, c  2 3

Si: R esCircunradio

y C=45º. Hallar Â

14 14

22 22

Si: A, B, C son ángulos de un triángulo

Si el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC es igual a 6. Hallar el perímetro del triángulo ABC si:  A = 120o,  B =  C =30o

ABC.

a2  b2  c2 – 3bc

Determinar el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son proporcionales a los números 7, 8, 13.

23 23

y a, b, c son los lados del triángulo ABC. Hallar el ángulo “A”.

24 24

Los senos de los ángulos de un triángulo son proporcionales a 4, 5, 6.

Calcular el coseno del menor ángulo.

15 15

Dado un triángulo ABC, si:

a CosA



b CosB



c

25 25

CosC

En la figura mostrada calcular "E".

B

Decir de qué tipo del triángulo se trata.

16 16

2

E

Calcular: “Cos”

7

5

B

60º 6 4



5 A

3

3

B

26 26

En la figura hallar Sen  Dato: 5

17 17

6

2

2

C

A

b=

Tg(  ) Tg(  )  Tg(  ) Tg(  )

En un triángulo ABC, si: A=45º; a =2, . Calcular la medida del ángulo "C"

Sen74º  24 25

7

60º 74º

93

16

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En un triángulo, sus lados son: 5, 6 y 9.

Hallar el coseno del ángulo intermedio.

A) 2 /3 B) 8 /9 C) 7/9 D) 5/7 E) 4/7

27 27

En la figura se tiene que:  DÂB= 60º y AD = AB = a. Calcular la longitud CD =x D

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04 04

En un triángulo ABC, se cumple: a b c– a  a c b

A

x

Calcular qué valor toma C: C

60º

B

A) 30º B) 60º E) 150º

C) 90º

D) 120º

28 28

Si uno de los lados de un triángulo mide 8 m y los ángulos adyacentes a dicho lado 60º 2 y 75º. Calcular el lado opuesto al ángulo de 60º.

29 29

05 05

A) 5 6 B) 7 C) 11 D) 2 6 E) 12

En un triángulo ABC se cumple que: .

30 30

Hallar el valor de “x”, en:

a2  b2  4R2

Hallar el ángulo C.

60º 12 45º 30º x

Si en un triángulo ABC:

a2  b2  c2  4R2 Luego: Cos A Cos B Cos C es equivalente a: 06 06

En un triángulo, AB=12m, BC=10m y .

CosB 

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

15 4

Hallar el área: 2 2 A) 32m B) 30m 2 2 D) 38m E) 15m

2 C)36m

07 07

En un triángulo ABC: A=135º; b = c = 2 . Hallar la medida del ángulo “C”.

A) 15º D) 60º

01 01

Calcular la longitud del lado “b” de un triángulo ABC, si el circunradio mide 2u y m  B es 60º.

A) 3 3 u B) 3 2 u C) 2 3 u D) 2 2 u E) 6 u 02 02

En un triángulo ABC, si: B=120º; b= c =1, hallar la longitud del lado “a”.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 3 E) 2 03 03

3

08 08

6

-1 ;

C) 30º ó 150º

Sea un triángulo ABC: A=45º; B=60º; b= , calcule la longitud del lado c.

A) 1 E) 2 3

;

B) 30º E) 60º ó 120º

3

B) 2

C) 3

D)

09 09

3

Del gráfico, hallar el coseno del menor ángulo interno:

94

2

3

4

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E) Obtusángulo 15 15

A) 1/8 E)3 /8

B) 5 /8

C) 1 /4

En un triángulo ABC, si A=45º, B=120º, a=2. Calcular la longitud del lado “b”.

A) 2 3 B) 2 2 C) 4 2 D) 6 E) 2

D)7/8

6

10 10

16 16

En un triángulo ABC, se conoce: a=8, b=7 y c=5, se traza una ceviana AD; tal que BD=3.

Calcular AD. A) 19 E)1 /19 11 11

B)

C) 17

19

D)

17

17 17

Dado un triángulo ABC donde se cumple:

3a SenA



5b

A) 1,5 E) 4

B) 2

A  60º; circunferencia

C) 2,5

b   3  1 m,

c   3  1 m

Hallar la longitud de "a", en metros.

A) 1 B) 2 C) 2 D) 3 E) 6

D) 3

18 18

Sea un triángulo ABC, tal que se tiene: a =5u, b = 7u, c = 8u. Hallar la media del ángulo "B".

A partir de la figura determinar el valor de Sec .

2

A) 30º D) 120º



A) 6/5 E)7/4

C) 60º

En un triángulo ABC, si: A=30º; a=12; b=25.

Indicar la medida del ángulo "B".

6

A) 8º D) 82º

B) 3 /2

C) 5/4

D) 8/5

B) 16º E) Absurdo

C) 74º

20 20

En un triángulo ABC, si: A =

13 13

M = Sen A + Sen B + Sen C B) 1,8

C) 2,4

21 21

D) 3

CosA



b CosB



c CosC

6

En un triángulo ABC, si B  ; b 6 3 C=2.

Hallar la medida del ángulo "C".

A) Sólo 45º B) Sólo 30º C) Solo 135º D) Sólo 60º E) 45º ó 135º

Dado un triángulo ABC, donde:

a



3 . Calcular la medida del ángulo "B".

A) Sólo 30º B) Sólo 60º C) 60º ó 150º D) 60º ó 120º E) 30º ó 150º

En un triángulo ABC el perímetro es 24 y el circunradio mide 5m. Calcular:

A) 2 E) 3,2

B) 150º E) 45º

19 19

5

14 14

Conociéndose en un triángulo ABC

que:

 32;

SenB

Calcular el radio de la circunscrita a dicho triángulo.

12 12

En un triángulo ABC, si ; A = 50o a = 6m. Hallar la longitud del radio de la circunferencia a dicha longitud del radio de la circunferencia a dicho triángulo, en metros.

A) 3 2 B) 3 3 C) 2 3 D) 2 2 E) 6

;

Determinar qué tipo de triángulo es: A) Isósceles B) Equilátero C) Rectángulo D) Escaleno

22 22

95

En un triángulo ABC, si:

a =1; b =

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A   / 4, B  60º; b 6 Calcule la longitud del lado "c".

A) 1 D) 3

B) 3 E) 3 +1

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A) 60º D) 45º C)

3

-1

27 27

Calcular:

Calcular la longitud del lado "b" de un triángulo ABC, sabiendo que la medida del ángulo "B" es 60º y que el circunradio tiene como longitud 2u.

24 24

c=

B) 3 E) 2

3

C)

A) 15º D) 60º

A) 10 D) 6, 5

6

28 28

3

a2  b2  c2  10

E= bc Cos A + ac Cos B + ab Cos C.

3

En un triángulo ABC: A=135º; b = .

Hallar la medida del ángulo "C".

2

C) 90º

En un triángulo ABC, se cumple:

23 23

A) 3 2 D) 2 2

B) 120º E) 135º

B) 20 E) 15

B) 30º C) 30º ó 150º E) 60º ó 120º

5

Calcular "x" del gráfico.

A) 60º B) 53º C) 45º D) 37º E) 30º

- 1,

C)

x

2



29 29

Hallar el equivalente de: 25 25

M = (a Cos B + b Cos A) (c Cos A + a Cos C) En un triángulo ABC , a que es igual:

A) b.c E) c2

K = R (Sen A + Sen B +Sen C) A) 2p C) p2 E) 3p 26 26

B) ca

C) ab

D) b 2

En un triángulo ABC se cumple BC = a , 30 30 AC = b , AB = c, reducir

B) p D) p/2

M 

 a  cCosB   .SecC b  

A) 1 D) 3

En un triangulo se cumple:

a2  b2  c2  bc

B) 2 E) 1 / 3

C) 0,5

Calcular el ángulo A.

BIBLIOGRÁFICAS  ALVA CABRERA, Rubén (2000): Trigonometría teoría y práctica. Editorial San Marcos. Lima.  ALVAREZ DE ZAYAS, Carlos (2005): Didáctica de la educación Superior. Fondo Editorial FACHSE.  COVEÑAS NAQUICHE, Manuel (2005): Matemática 5. Editorial Bruño. Lima.  FARFAN A., Erick (2002): Trigonometría práctica. Editorial San Marcos. Lima.  FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1994): Matemática Básica 1. Editorial América. Lima.

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 GOÑI GALARZA, Juan (1998): Trigonometría curso práctico de teoría y problemas. Editorial Ingeniería. Lima.  GOÑI GALARZA, Juan (1998): Algebra curso práctico de teoría y problemas. Editorial Ingeniería.

Lima.  PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (1994): Didáctica de matemáticas. Editorial Paidós. Argentina.  QUIJANO HIYO, Jorge (2005): Algebra Curso Completo. Editorial San Marcos. Lima  VILLÓN BEJAR, Máximo: (2007): Algebra Curso Teórico Práctico. Editorial Ingeniería.  ROJAS BERNILLA, Juan (2009) : Modulo de Trigonometría , Primera Edición IE FACHSE “PRG”

LINKOGRAFIA 

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/U of St Andrews History.html



http://www.matematicas.net/

 http://wwwgaleon.hispavista.comlfiloesp/ciencialmatematicas/matematicos.html

97