PROF. GUSTAVO VIEGAS MATEMĂ TICA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – Ă REA 1 RESUMO TEĂ“RICO Problema de valor inicial Teorema Considere o problema de valor inicial (PVI) y´ = đ?‘“(x, y) { y(x0 ) = y0 EntĂŁo existe um intervalo aberto ď ‰ que contĂŠm x0 e uma Ăşnica função y definida em ď ‰ que ĂŠ solução do PVI. (Desde que f tenha derivadas parciais de primeira ordem contĂnuas). Fator integrante Se F(x, y) = C, pela regra da cadeia, d đ??š(x, y) = 0 dx dy Fx + Fy =0 dx Fx dx + Fy dy = 0
Equação de Bernoulli A EDO y´ + đ?‘“(x)y = đ?‘”(x)y n com n ďƒŽ â„? – {0, 1} ĂŠ transformada em uma EDO linear de 1ÂŞ ordem atravĂŠs da substituição z = y1−n . Equação autĂ´noma Uma equação diferencial de 2ÂŞ ordem sem a variĂĄvel x ĂŠ resolvida com a substituição y´ = đ?‘? y´´ =
dđ?‘?(y) dđ?‘? dy dđ?‘? = = đ?‘? dx dy dx dy
MÊtodo de D´Alembert Conhecida uma solução y1 de �(x)y´´ + �(x)y´ + ℎ(x)y = 0
Fazendo as contas de trĂĄs para frente, concluĂmos que a solução da equação (exata) Fx dx + Fy dy = 0
procuramos uma segunda solução no formato y2 = v(x)y1 .
ĂŠ F(x, y) = C. Todavia, em geral, uma expressĂŁo M(x, y)dx + đ?‘ (x, y)dy = 0
EDO linear de 2ÂŞ ordem com coeficientes constantes A EDO homogĂŞnea y´´ + đ?‘Žy´ + đ?‘?y = 0
nĂŁo ĂŠ exata. O que se faz ĂŠ procurar um fator integrante ď que a torne assim. ď M(x, y)dx + ď đ?‘ (x, y)dy = 0
tem solução no formato y(x) = elx , em que l ĂŠ determinado na equação caracterĂstica l2 + đ?‘Žl + đ?‘? = 0
Para descobrir ď , fazemos (ď M)y = (ď N)x
(Caso 1) RaĂzes reais distintas Com l1 ď‚š l2 raĂzes da equação caracterĂstica, y(x) = C1 el1x + C2 el2x
Equação linear de 1ÂŞ ordem A EDO y´ + đ?‘“(x)y = đ?‘”(x) admite o fator integrante ď = eâˆŤ đ?‘“(x)dx . Multiplicando a EDO por seu fator integrante, eâˆŤ đ?‘“(x)dx y´ = đ?‘“(x)eâˆŤ đ?‘“(x)dx y = eâˆŤ đ?‘“(x)dx đ?‘”(x)
(Caso 2) RaĂzes reais iguais Com l raiz dupla da equação caracterĂstica, y(x) = C1 elx + C2 xelx (Caso 3) RaĂzes imaginĂĄrias Com l = đ?‘Ž ď‚ą đ?‘?i, đ?‘? ≠0, raĂzes da equação caracterĂstica, y(x) = eax [C1 cos(bx) + C2 sen(bx)]
(eâˆŤ đ?‘“(x)dx y)´ = eâˆŤ đ?‘“(x)dx đ?‘”(x) basta integrar para encontrar a solução.
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