BLOQUE TEMÁTICO 2
UNIDAD DIDÁCTICA 2.5
GEOMETRÍA MÉTRICA
POLÍGONOS REGULARES ENUNCIADO
SEGMENTO AUREO El segmento áureo x de un segmento AB=a se define como aquél que es media proporcional entre el segmento a y la diferencia a-x. N a
Dibujar un decágono regular inscrito en una circunferencia de radio conocido. Dibujar un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio conocido.
M
DATOS
PASO 1
Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el punto O. Nos fundamentaremos en que el lado del decágono es áureo del radio
Localizaremos el punto medio M del segmento OA; dibujaremos la mediatriz FG de dicho segmento trazando un arco de centro en A y radio R.
x A
B
a
a x = x a-x
F
Sea el segmento AB=a, por el extremo B trazamos una circunferencia tangente al segmento, de diámetro AB. Uniendo el otro extremo A con el centro de la circunferencia, localizamos el punto M. El segmento áureo buscado es AM=x.
r
r
A
O
O
M
En efecto, teniendo en cuenta el concepto de potencia del punto A respecto de la circunferencia: a2=AB2=AMxAN=x(a+x)=ax+x2 x2=a2-ax=a(a-x)
G
que es la expresión de la media proporcional. JUSTIFICACIÓN DE LA CONSTRUCCION DEL DECÁGONO En el decágono, el ángulo central tiene un valor de 360º/10=36º y el ángulo definido por dos lados adyacentes vale 180º-36º=144º. 2
A 72º
R-L
C
R L
3
PASO 2
PASO 3
Con centro en el punto M y radio R/2, se traza una circunferencia.
El segmento H1 es el lado del decágono. Con radio igual a F1 y centro en el punto 1, se traza un arco que corta a la circunferencia en el punto 2.
1
r = H1
G
1
2
L
L10
B
36º 36º
H
9
36º
A
O
R/2
O
A
B
O
M
M
8
4
F
7
5 6
Con estas consideraciones el triángulo AOB es isósceles con lados iguales al radio y ángulo desigual de 36º. Trazando la bisectriz del ángulo B, obtenemos sobre AO el punto C que define el triángulo ABC, isósceles en B con lados iguales al lado del decágono y ángulo desigual de 36º. Ambos triángulos son semejantes: AO/AB=AB/AC
DECÁGONO
PENTÁGONO
Con centro en el punto 2 y el mismo radio se haya el punto 3. Repitiendo el proceso localizaremos en la circunferencia los puntos 4 al 10.
La construcción del L5 se basa en la del L10. Hay que saber que el radio, L5 y L10 forman un triángulo rectángulo de hipotenusa L5 y catetos L10 y R
2
10
L10 R
L5 3
9
E
4
5
2 L10
O
R/L=L/(R-L) Relación que establece que el lado del decágono es segmento áureo del radio de la circunferencia que lo circunscribe.
1
1
O M
8
5
7
3
4
6 Página
© JAVIER FONT GISBERT - JOSÉ VTE. GÓMEZ HERRÁIZ Depósito Legal V-3512-1997
5.3