Portafolio de simulacion

José Juan Garcia Bórquez "Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos períodos".

Thomas T. Goldsmith Jr. y Estle Ray Mann

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ÍNDICE

Simulación Ingenieria en Licenciatura de Sistemas Computacionales UNIDEP Maestro: José Benito Franco Urrea

INFORMACIÓN

INSTITUCIONAL.__________________________________________________2 ARCHIVO INTRODUCCIÓN.______________________________________________________4 MODELO MONTECARLO._______________________________________________________9 SISTEMAS ARTIFICIALES ABIERTOS Y CERRADOS.____________________________________10 DISTRIBUCIÓN ERLANG.________________________________________________________11 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.______________________________________________________12 DISTRIBUCIÓN GAMMA.________________________________________________________13 DISTRIBUCIÓN BETA.___________________________________________________________14 DISTRIBUCIÓN F.______________________________________________________________16 DISTRIBUCIÓN T.______________________________________________________________17 SISTEMA ESTOCÁSTICO.________________________________________________________18 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA BINOMIAL._____________________________19 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA.________________________________20 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MULTIMONIAL.___________________________________21 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON.________________________________________22 PROBLEMA 7 DISTRIBUCIÓN Y MUESTREO._________________________________________25 PROBLEMAS MODELO MM1.____________________________________________________26

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FORMULARIO MODELO MMS Y PROBLEMA.________________________________________29 MATLAB.____________________________________________________________________33 EXPOSICIONES._______________________________________________________________34 CONCLUSIÓN.________________________________________________________________39 BIBLIOGRAFÍA.________________________________________________________________40

Información institucional Misión La misión de UNIDEP es formar profesionales de éxito que cuenten con las actitudes, habilidades y conocimientos que demanda el sector productivo de la región.

Visión La Universidad del Desarrollo Profesional es una institución de educación superior de calidad, que ofrece programas presenciales y semipresenciales de bachillerato, profesional asociado, licenciatura, posgrado, diplomados y cursos en México y en el extranjero.

Se distingue por facilitar a sus egresados la incorporación al mercado de trabajo, apoyada en una estrecha vinculación con el sector productivo y en planes de estudio pertinente y dinámico.

Es reconocida por su modelo educativo profesionalizante, por la flexibilidad de su oferta académica impartida en ciclos continuos y por horarios y cuotas accesibles, acordes a la disponibilidad de tiempo y recursos económicos del alumno.

Cuenta con profesores de amplia experiencia profesional y educativa. Sus instalaciones dentro de la ciudad permiten el fácil acceso.

Cuenta con un modelo de administración sistematizado, participativo, operado por personal que es recompensado por su desempeño efectivo que le permite maximizar las aportaciones de sus socios y mantener finanzas sanas.

Lealtad Los Integrantes de la comunidad Universitaria consideramos la fidelidad como un valor excelso que enaltecemos en nuestro quehacer diario.

Justicia Los integrantes de la comunidad Universitaria actuamos con la constante y perpetua voluntad de dar a cada cual lo que le corresponde conforme a sus méritos o actos.

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Honestidad Los integrantes de la comunidad universitaria actuamos con sinceridad y honradez en nuestras tareas y en congruencia entre los pensamientos, palabras y acciones.

Responsabilidad Los integrantes de la comunidad universitaria llevamos a cabo nuestras actividades con integridad, con sentido del propósito y apegados a los objetivos institucionales.

Esfuerzo Los integrantes de la comunidad universitaria usamos nuestra máxima energía para cumplir con los objetivos trazados.

Creatividad Los integrantes de la comunidad universitaria resolvemos los problemas con imaginación, conocimientos y con un espíritu de mejora continua.

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Introducción En los modelos de simulación siempre se tiene como antecedente el uso de estadística ya que el carácter aleatorio de los mismos hace necesario que se haga uso de distribuciones de probabilidad. Es decir, un modelo de simulación involucra la recolección de datos para la construcción del modelo, para tal objetivo se requiere contestar algunas preguntas como: ¿Con qué información contamos? Hasta hace algunos años, el principal problema era que no existía información concentrada, había que diseñar estrategias para su obtención y sobre todo ser suficientemente creativos para buscar fuentes alternas de información. En consecuencia, un fracaso común en los estudios de simulación que no son bien delimitados en la etapa de planeación, se debe a que de la simulación se extraen más datos de los necesarios o de los que pueden validarse con los datos disponibles. Algunas preguntas que pueden apoyar este proceso son: ¿Qué datos son necesarios? ¿Cómo se obtendrán esos datos? ¿Qué tiempo aproximado tomará la realización de cada etapa de la obtención de datos? ¿Con qué información y cómo se validarán los resultados de la simulación? ¿Cuáles configuraciones del modelo se deberían correr? ¿Cuántas y qué tan grandes deben ser las corridas?

Para recolectar información de la estructura del sistema y los procedimientos de operación, es necesario hacer las siguientes consideraciones: • No es suficiente un solo documento o la entrevista con una persona. Para el analista en simulación es fundamental hablar con tantos expertos en el sistema como sea necesario, para obtener un entendimiento completo del sistema a modelar.

• Parte de la información proporcionada será invariablemente incorrecta. Si cierta parte del sistema es particularmente importante, entonces al menos se requerirán dos expertos en el sistema.

• Los procedimientos de operación del sistema pueden no estar formalizados.

La recolección de datos (si es posible) sirve para especificar los parámetros del modelo y las distribuciones de probabilidad (por ejemplo para el tiempo de falla y el tiempo de reparación de la máquina). La simulación de un sistema o proceso donde hay componentes que inherentemente son aleatorios, requiere la generación de variables aleatorias.

¿Qué es simulación?

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Según el diccionario de la RAE simular es: “Representar algo, fingiendo o imitando lo que no es.”

Según el Handbook of Simulation (1998) es una imitación de las operaciones de un sistema o proceso real a lo largo del tiempo (Sistemas complejos).

Tomas H. Naylor la define así: Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.

En sentido más estricto H. Maisel y G. Gnugnoli, definen simulación como: Simulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una computadora digital. Estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a través de largos periodos de tiempo.

Robert E. Shannon, define simulación como: Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema.

Cuando alguien tiene la responsabilidad de conducir un sistema dado, como por ejemplo: un banco, una ciudad, un sistema de transporte, etc., debe tomar continuamente decisiones acerca de las acciones que ejecutará sobre el sistema. Estas decisiones deben ser tales que la conducta resultante del sistema satisfaga de la mejor manera posible los objetivos planteados.

Para poder decidir correctamente es necesario saber cómo responderá el sistema ante una determinada acción. Esto podría hacerse por experimentación con el sistema mismo; pero factores de costos, seguridad y otros hacen que esta opción generalmente no sea viable.

A fin de superar estos inconvenientes, se reemplaza el sistema real por otro sistema que en la mayoría de los casos es una versión simplificada. Este último sistema es el

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modelo a utilizar para llevar a cabo las experiencias necesarias sin los inconvenientes planteados anteriormente.

Al proceso de experimentar con un modelo se denomina simulación. Al proceso de diseñar el plan de experimentación para adoptar la mejor decisión se denomina optimización. Si el plan de experimentación se lleva a cabo con el solo objeto de aprender a conducir el sistema, entonces se denomina entrenamiento o capacitación.

En este punto, es conveniente plantear las siguientes definiciones: · Sistema: Conjunto de objetos o ideas que están interrelacionados entre sí como una unidad para la consecución de un fin (Shannon, 1988). También se puede definir como la porción del Universo que será objeto de la simulación. · Modelo: Un objeto X es un modelo del objeto Y para el observador Z, si Z puede emplear X para responder cuestiones que le interesan acerca de Y (Minsky). · Simulación: Simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a cabo experiencias con él, con la finalidad de aprender el comportamiento del sistema o de evaluar diversas estrategias para el funcionamiento del sistema (Shannon, 1988).

Aplicaciones de la simulación La simulación es conveniente cuando: · No existe una formulación matemática analíticamente resoluble. Muchos sistemas reales no pueden ser modelados matemáticamente con las herramientas actualmente disponibles, por ejemplo la conducta de un cliente de un banco. · Existe una formulación matemática, pero es difícil obtener una solución analítica. Los modelos matemáticos utilizados para modelar un reactor nuclear o una planta química son imposibles de resolver en forma analítica sin realizar serias simplificaciones.

No existe el sistema real. Es problema del ingeniero que tiene que diseñar un sistema nuevo. El diseño del sistema mejorará notablemente si se cuenta con un modelo adecuado para realizar experimentos.

· Los experimentos son imposibles debido a impedimentos económicos, de seguridad, de calidad o éticos. En este caso el sistema real está disponible para realizar experimentos, pero la dificultad de los mismos hace que se descarte esta opción. Un ejemplo de esto es la imposibilidad de provocar fallas en un avión real para evaluar la

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conducta del piloto, tampoco se puede variar el valor de un impuesto a para evaluar la reacción del mercado. · El sistema evoluciona muy lentamente o muy rápidamente. Un ejemplo de dinámica lenta es el problema de los científicos que estudian la evolución del clima. Ellos deben predecir la conducta futura del clima dado las condiciones actuales, no pueden esperar a que un tornado arrase una ciudad para luego dar el mensaje de alerta. Por el contrario, existen fenómenos muy rápidos que deben ser simulados para poder observarlos en detalles, por ejemplo una explosión.

Entre las posibles desventajas de la simulación se pueden citar: · El desarrollo de un modelo puede ser costoso, laborioso y lento. · Existe la posibilidad de cometer errores. No se debe olvidar que la experimentación se lleva a cabo con un modelo y no con el sistema real; entonces, si el modelo está mal o se cometen errores en su manejo, los resultados también serán incorrectos. · No se puede conocer el grado de imprecisión de los resultados. Por lo general el modelo se utiliza para experimentar situaciones nunca planteadas en el sistema real, por lo tanto no existe información previa para estimar el grado de correspondencia entre la respuesta del modelo y la del sistema real.

Actualmente la simulación presta un invalorable servicio en casi todas las áreas posibles, algunas de ellas son: · Procesos de manufacturas: Ayuda a detectar cuellos de botellas, a distribuir personal, determinar la política de producción. · Plantas industriales: Brinda información para establecer las condiciones óptimas de operación, y para la elaboración de procedimientos de operación y de emergencias. · Sistemas públicos: Predice la demanda de energía durante las diferentes épocas del año, anticipa el comportamiento del clima, predice la forma de propagación de enfermedades. · Sistemas de transportes: Detecta zonas de posible congestionamiento, zonas con mayor riesgo de accidentes, predice la demanda para cada hora del día. · Construcción: Predice el efecto de los vientos y temblores sobre la estabilidad de los edificios, provee información sobre las condiciones de iluminación y condiciones ambientales en el interior de los mismos, detecta las partes de las estructuras que deben ser reforzadas.

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· Diseño: Permite la selección adecuada de materiales y formas. Posibilita estudiar la sensibilidad del diseño con respecto a parámetros no controlables. · Educación: Es una excelente herramienta para ayudar a comprender un sistema real debido a que puede expandir, comprimir o detener el tiempo, y además es capaz de brindar información sobre variables que no pueden ser medidas en el sistema real. · Capacitación: Dado que el riesgo y los costos son casi nulos, una persona puede utilizar el simulador para aprender por sí misma utilizando el método más natural para aprender: el de prueba y error.

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EL MÉTODO DE MONTECARLO El método de Montecarlo permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias.

John Von Neumann, en los años 40 y con los primeros ordenadores, aplica la simulación para resolver problemas complejos que no podían ser resueltos de forma analítica.

Montecarlo y su casino están relacionados con la simulación. La ruleta, juego estrella de los casinos, es uno de los aparatos mecánicos más sencillos que nos permiten obtener números aleatorios para simular variables aleatorias.

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Que son los sistemas artificiales, abiertos y cerrados Sistemas artificiales: Son los creados por el hombre. Ejemplo; el sistema de transporte, sistemas de comunicaciones, el sistema de acueductos.

Sistemas abiertos: son aquellos que interactúan con sus ambientes, todos los sistemas que contienen organismos vivos son abiertos.

Sistemas cerrados: Éste no interactúa con el ambiente, se maneja de forma teórica para realizar experimentos en los laboratorios.

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Distribución Erlang Distribución que es la suma de un número de variables aleatorias independientes que poseen la misma distribución exponencial.

Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, ejemplo: En situaciones donde el servicio tiene que realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio exponencial.

Un generador de valores aleatorios con distribución de Erlang, para el caso de la suma de N variables puede ser: Function Erlang (N:Integer; A:Real):Real; VAR K: Integer; S: Real; Begin

S:= 0.0;

FOR K:=1 to N DO S:=S + Exp(A); Erlng := S End; [valor esperado 1/A]

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, eso es, solo son posibles dos resultados.

A uno se le denomina A uno se le denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 – p. En la distribución binominal el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, u se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binominal se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

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DISTRIBUCIÓN GAMMA Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.

Su función de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ(p) es la denominada función Gamma de Euler que representa la siguiente integral:

Que verifica Γ(p + 1) = pΓ(p), con lo que, si p es un número entero positivo, Γ(p + 1) = p!

El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de densidad de este modelo (para simplificar, se ha restringido al caso en que p es un número entero).

Propiedades de la distribución Gamma 1. Su esperanza es pα.

2. Su varianza es pα2 3. La distribución Gamma (α, p = 1) es una distribución Exponencial de parámetro α. Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.

4. Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α común X ~ G(α, p1) y Y ~ G(α, p2) se cumplirá que la suma también sigue una distribución Gamma X + Y ~ G(α, p1 + p2).

Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas ellas seguirá una distribución G(α, k).

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DISTRIBUCIÓN BETA La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la interferencia bayesiana, por ejemplo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las observaciones tienen una distribución nominal.

Uno de los principales recursos de esta distribución es el ajuste a una gran variedad de distribuciones empíricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cuales sean los valores de los parámetros de forma p y q, mediante los que vienen definida la distribución.

Un caso particular de la distribución beta es la distribución uniforme en [0,1], que se corresponde con una beta de parámetros p=1 y q=1, denotada Beta(1,1).

Campo de variación: 0≤x≤1 Parámetros: P: parámetros de forma, p > 0 q: parámetros de forma q > 0

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DISTRIBUCIÓN F Otra de las distribuciones importantes asociadas a la normal es la que se define como el cociente de dos variables con distribución Ji-cuadrado divididas por sus respectivos grados de libertad, n y m. En este caso la variable aleatoria sigue una distribución F de Snedecor de parámetros n y m. hay muchas aplicaciones de la F en estadística y, en particular, tiene un papel importante en las técnicas del análisis de la varianza y del diseño de experimentos.

Campo de variación: 0≤x<∞ Parámetros: n: grados de libertad del numerador, n>0 m: grados de libertad del denominador, m>0

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DISTRIBUCIÓN T Ésta se constituye como un cociente entre una normal y la raíz de una Ji-cuadrado independiente. Esta distribución desempeña un papel importante en la inferencia estadística asociada a la teoría de muestras pequeñas. Se usa habitualmente en el contraste de hipótesis para la media de una población, o para comparar las medidas de dos poblaciones, y viene definida por sus grados de libertad n.

A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t de Student se aproxima a una normal de media 0 y varianza 1 (normal estándar).

Campo de variación: -∞ < x < ∞ Parámetros: n: grados de libertad, n>0

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Modelo de simulación es estocástico.

Un sistema o proceso estocástico es el cual su comportamiento es no-determinístico. Esto significa que el estado subsecuente del sistema se determina tanto por las acciones predecibles del proceso, como por un elemento aleatorio. La mayoría si no todos los sistemas de la vida real son estocásticos. Su comportamiento puede ser medido y aproximadamente a distribuciones y probabilidades, pero rara vez pueden ser determinados por un solo valor. Por ejemplo, el tiempo que un cajero de banco requiere para procesar el depósito de un cliente depende de varios factores (algunos de ellos pueden ser controlados, otros no; algunos son medibles, otros no), pero al final, realizando un conjunto de observaciones del tiempo de procesamiento de cada deposito del cajero, puede permitir ajustar los tiempos a una distribución y ‘predecir’ cuál será el tiempo de proceso en un modelo de simulación por eventos discretos.

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Distribucion Discretas Binomial Es una distribucion discreta muy importante que surge en muchas aplicaciones bioestadisticas.

Esta distribucion aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta banaria, generalmente clasificada como “exito” o “fracaso”.

Por ejemplo, esa respuesta puede ser el habito de fumar (si/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infeccion, o si un articulo de un lote es o no defectuoso. La variable discreta que cuenta el numero de exitos en n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de “exito” igual a p, sigue una distribucion binomial de parametros n y p. Este modelo se aplica a polaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y tambien a poblaciones comceptualmente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una maquina, siempre que el proceso de profuccion sea estable (la proporcion de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sin memoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores).

Un ejemplo de variable binomial puede ser el numero de pacientes ingresados en una unidad hospitalaria que desarrollan una infeccion nosocomial.

Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribucion de Bernoulli.

Valores: X:0,1,2,….., u Parametros: n: numero de pruebbas, n > 0 entero p: probabillidad de exito, 0 < p < 1

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Distribucion Discreta Hipergeometrica La distribución hipergeométrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los que se investiga la presencia o ausencia de cierta característica. Piénsese, por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición.

Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Por tanto, esta distribución es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se hace sin reemplazo.

Esta distribución se puede ilustrar del modo siguiente: se tiene una población finita con N elementos, de los cuales R tienen una determinada característica que se llama “éxito” (diabetes, obesidad, hábito de fumar, etc.). El número de “éxitos” en una muestra aleatoria de tamaño n, extraída sin reemplazo de la población, es una variable aleatoria con distribución hipergeométrica de parámetros N, R y n.

Cuando el tamaño de la población es grande, los muestreos con y sin reemplazo son equivalentes, por lo que la distribución hipergeométrica se aproxima en tal caso a la binomial.

Valores: x: max{0,n-(N-R)}, ..., min{R,n}, donde max{0,n-(N-R)} indica el valor máximo entre 0 y n(N-R) y min{R,n} indica el valor mínimo entre R y n.

Parámetros: N: tamaño de la población, N>0 entero R: número de éxitos en la población, R≥0 entero n: número de pruebas, n>0 entero

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Distribucion Discreta Multinomial Generaliza la distribución binomial al caso en que la población se divida en m>2 grupos mutuamente exclusivos y exhaustivos.

Se supone un proceso estable y sin memoria que genera elementos que pueden clasificarse en m clases distintas. Supóngase que se toma una muestra de n elementos y se definen m variables aleatorias Xi=número de elementos de la clase i (i=1, ..., m), entonces el vector de mvariables es una variable aleatoria m-dimensional que sigue una distribución multinomial de parámetros n, p1, ..., pm, donde pi (i=1, ..., m) es la probabilidad de la clase i.

Véase un ejemplo: de acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4. Si se tienen 8 descendientes, el vector de variables (X1, X2, X3) donde: X1= Nº de descendientes rojos X2= Nº de descendientes negros X3= Nº de descendientes blancos sigue una distribución multinomial con parámetros n=8; p1 = 8/16 = 0,5; p2 = 4/16 = 0,25 y p3= 4/16 = 0,25.

Una situación muy común en la práctica se da cuando se conoce el tamaño de muestra n y se quieren estimar las probabilidades pi a partir de los valores observados. Pero también hay situaciones en las que se debe estimar el tamaño de muestra n, además de las probabilidades pi. Esto ocurre, por ejemplo, en el método de captura-recaptura, que fue desarrollado por zoólogos para estimar poblaciones animales y que ha sido aplicado a poblaciones humanas en estudios epidemiológicos.

Valores: xi = 0, 1, 2, ... (i = 1, ..., m) Parámetros: n: número de pruebas, n>0 entero m: número de clases, m>0 entero pi: probabilidad de la clase i, 0<pi<1 (i=1, ..., m), donde

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Distribucion Discreta Poisson La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson (1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma límite de la distribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un número grande de repeticiones10. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de la binomial, Bin(n, p), si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña; una regla es que la aproximación Poisson-binomial es “buena” si n≥20 y p≤0,05 y “muy buena” si n≥100 y p≤0,01.

La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a un consultorio en un lapso dado, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora, el número de células anormales en una superficie histológica o el número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos de variables que siguen una distribución de Poisson. En general, es una distribución muy utilizada en diversas áreas de la investigación médica y, en particular, en epidemiología.

El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta. Supóngase, por ejemplo, que el número de reacciones adversas tras la administración de un fármaco sigue una distribución de Poisson de media lambda=2. Si se administra este fármaco a 1.000 individuos, la probabilidad de que se produzca una reacción adversa (k=1) es 0,27; los valores de dicha probabilidad para k=2, 3, 4, 5, 6 reacciones, respectivamente, son: 0,27; 0,18; 0,09; 0,03 y 0,01. Para k=10 o mayor, la probabilidad es virtualmente 0. El rápido descenso de la probabilidad de que se produzcan k reacciones adversas a medida que k aumenta puede observarse claramente en el gráfico de la función de densidad obtenido con Epidat 3.1:

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Para que una variable recuento siga una distribución de Poisson deben cumplirse varias condiciones: 1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un

evento es proporcional al tamaño del intervalo.

2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan

reducida que, a efectos prácticos, se puede considerar nula.

3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en

cualquier otro intervalo pequeño que no se solape con aquél.

Estas propiedades pueden resumirse en que el proceso que genera una distribución de Poisson es estable (produce, a largo plazo, un número medio de sucesos constante por unidad de observación) y no tiene memoria (conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el número de sucesos en el siguiente).

El parámetro de la distribución, lambda, representa el número promedio de eventos esperados por unidad de tiempo o de espacio, por lo que también se suele hablar de lambda como “la tasa de ocurrencia” del fenómeno que se observa.

A veces se usan variables de Poisson con "intervalos" que no son espaciales ni temporales, sino de otro tipo. Por ejemplo, para medir la frecuencia de una enfermedad se puede contar, en un período dado, el número de enfermos en cierta población, dividida en "intervalos" de, por ejemplo, 10.000 habitantes. Al número de personas enfermas en una población de tamaño prefijado, en un instante dado, se le denomina prevalencia de la enfermedad en ese instante y es una variable que sigue una distribución de Poisson. Otra medida para la frecuencia de una enfermedad es la incidencia, que es el número de personas que enferman en una población en un periodo determinado. En este caso, el intervalo es de personas- tiempo, habitualmente personas-año, y es también una variable con distribución de Poisson. Habitualmente, ambas medidas se expresan para intervalos de tamaño unidad o, dicho de otro modo, en lugar de la variable número de enfermos, se usa el parámetro lambda (el riesgo, en el caso de la prevalencia, y la densidad de incidencia, en el de incidencia).

La distribución de Poisson tiene iguales la media y la varianza. Si la variación de los casos observados en una población excede a la variación esperada por la Poisson, se está ante la presencia de un problema conocido como sobredispersión y, en tal caso, la distribución binomial negativa es más adecuada.

Valores: x: 0, 1, 2, ...

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Parámetros: lambda: media de la distribución, lambda > 0

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Problema 7. Distribucion y Muestreo

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Problemas MM1

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FORMULARIO MODELO MMS Y PROBLEMA

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MATLAB (MATrix LABoratory) Es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows y Mac OS X. Entre sus presentaciones básicas se hallan, la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y a comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario – GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets).

Es un software muy usado en Universidades y centros de investigación y desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.

Limitaciones y alternativas.

Durante mucho tiempo hubo críticas porque MATLAB es un producto propietario de The Mathworks, y los usuarios están sujetos y bloqueados al vendedor. Recientemente se ha proporcionado una herramienta adicional llamada MATLAB Builder bajo la sección de herramientas "Application Deployment" para utilizar funciones MATLAB como archivos de biblioteca que pueden ser usados con ambientes de construcción de aplicación .NET o Java.

Pero la desventaja es que el computador donde la aplicación tiene que ser utilizada necesita MCR (MATLAB Component Runtime) para que los archivos MATLAB funcionen correctamente.

MCR se puede distribuir libremente con los archivos de biblioteca generados por el compilador MATLAB.

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CARACTERISTICAS DE LOS LENGUAJES DE SIMULACION. Los lenguajes de Simulación que actualmente existen en el mercado, tienen una serie de características propias que los diferencian de los demás. Entre estas características se pueden mencionar las siguientes: a) El procedimiento utilizado para generar números aleatorios uniformes. b) Los procedimientos o métodos utilizados para generar las variables aleatorias no-uniforme más conocido y más usado. c) La forma de adelantar el “reloj de la simulación”, la cual puede ser: 1) Incrementos a tiempo fijos 2) Incrementos al próximo evento. d) El análisis estadístico de los resultados de la simulación. e) El formato en que los resultados de la simulación son presentados. f) La forma en que las inconsistencias y errores de lógica es reportada. g) El lenguaje en el cual el paquete está escrito, el cual puede ser: Fortran, Algol, PL/1, Asembler, etc. h) Los diferentes tipos de computadoras cuyo compilador es compatible con el paquete en cuestión.

A continuación, se presentan las características principales de los lenguajes de simulación más usados.

GPSS (General Purpose Simulation System).

• Persona que lo desarrollo: Geoffrey Gordon.

• Versiones más conocidas: GPSS I, GPSS II, GPSS III, GPSS/360, GPSS V. • Lenguaje del paquete: Asembler.

• Reloj de la simulación: Incrementos al próximo evento.

• Computadoras compatibles: Generalmente se adapta a cualquier tipo de computadora.

SIMSCRIPT (No tiene ningún significado).

• Personas que lo desarrollaron: H.M. Markowitz, H.W. Karr y B. Hausner.

• Versiones más conocidas: Simscript I, Simscript I.5, Simscript II, Simscript II.5 y C-Simscript.

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• Lenguaje del paquete: Fortran las primeras versiones, Asembler las últimas.

• Reloj de la simulación: Incrementos al próximo evento para el caso discreto, e incrementos a tiempo fijo para el caso continuo (C-Simscript).

• Computadoras compatibles: CDC 6000/7000, Univac 1100, IBM 360/370, Honeywell 600/6000.

GASP (General Activity Simulation Program).

• Personas que lo desarrollaron: P.J. Kiviat y A. Colher.

• Versiones más conocidas: GASP II, GASP IV, GASP- PLUS. • Lenguaje del paquete: Fortran, PL/I. • Reloj de la simulación: Incrementos al próximo evento para el caso discreto, e incrementos a tiempo fijo para el caso continuo (GASP IV y PLUS).

• Computadoras compatibles: Cualquier computadora con compilador de Fortran o PL/I. SLAM (Simulation Language for Alternative Modeling).

• Personas que lo desarrollaron: A. Alam, B. Pritsker y Asociados.

• Versiones más conocidas: SLAM fue el resultado de la fusión de varios lenguajes como GASP IV y QGERT. • Lenguaje del paquete: Fortran IV. • Reloj de la simulación: Incrementos al próximo evento para el caso discreto, e incrementos a tiempo fijo para el caso continuo.

• Computadoras compatibles: Cualquier computadora con compilador de Fortran.

Cualquiera de estos lenguajes tiene sus propias ventajas y desventajas y no se puede decir que un lenguaje es mejor que otro. Generalmente, entre más fácil de aprender y de usar sea un lenguaje, menor será su flexibilidad y su eficiencia. Por consiguiente, decidir que lenguaje utilizar en una aplicación específica, no es una tarea fácil de realizar.

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FACTORES A CONSIDERAR EN LA SELECCIÓN DE UN LENGUAJE DE SIMULACION La selección de un lenguaje de simulación generalmente está supeditada al tipo de computadora que se tiene disponible, es decir, en la mayoría de las veces ya se cuenta con cierta configuración de hardware.

Por consiguiente, conociendo la computadora que se va a usar, los factores a considerar en la selección del lenguaje serian: •

Los manuales disponibles. Es muy importante considerar la facilidad de entender e interpretar los manuales disponibles.

•

Compilador del lenguaje. Es necesario investigar la compatibilidad del compilador del lenguaje con la computadora disponible.

•

La documentación y diagnóstico de errores. Es conveniente analizar la forma en que el lenguaje reporta las inconsistencias y los errores de lógica.

•

La eficiencia. Uno de los factores principales a considerar en la selección de un lenguaje es su eficiencia de operación. Dentro de la eficiencia se considera el tiempo de organizar, programar, compilar y ejecutar.

•

Los costos involucrados. Entre los costos que origina la adquisición de un paquete se pueden mencionar: El costo de instalación, el costo de mantenimiento y actualización del software y el costo de operación.

•

Conocimiento del lenguaje. Otro factor importante a considerar en la selección del lenguaje, es el conocimiento y dominio que de éste tengan las personas o analistas encargados de realizar los estudios de simulación.

•

Justificación económica. Finalmente, y el mas importante de todos, es la justificación económica del lenguaje de simulación. A este respecto, es conveniente señalar que la adquisición de un paquete se debe de considerar como un proyecto de inversión, donde los beneficios que se derivan de tal adquisición, deben de compensar la inversión y los gastos que origina.

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FACTORES A CONSIDERAR EN EL DESARROLLO DE MODELO DE SIMULACION 

Se han identificar las variables que intervienen en el sistema y que son de interés para nuestro modelo.



Variables exógenas



Variables endógenas

Variables exógenas 

Son variables externas al modelo.



Se consideran variables de entrada.



Se pueden dividir en dos grupos



Variables controlables



Variables incontrolables

Variables endógenas 

A aquella variables (dependiente o independiente) generada dentro de un modelo y, por lo tanto, cuyo valor se determina por alguna de sus relaciones.



Por ejemplo.



el gasto en consumo se considera una variable endógena a un modelo de determinación de la renta ya que este depende de otras variables, que si se consideraría exógenas (como el sueldo).

Especificación de las restricciones de las variables de decisiones. 

Incluso en el caso de que la variables sean controlables, están limitadas o restringidas a cierto limites



Se debe de tener cuidado con las restricciones.

Desarrollar una estructura preliminar del modelo. 

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Para evaluar la efectividad de un sistema se debe identificar una medida o medidas de comportamiento (o ejecución) para juzgarlo.

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Si se minimiza una, la otra aumentara.

Elección de un lenguaje de programación.

GPSS 

Cualquier sistema por simular en este lenguaje se debe describir mediante un diagrama de bloques que representan las actividades, unidos mediante líneas que representan la frecuencia que seguirán un grupo de transacciones, que a su ves se muestra a través de los bloques.

SLAM 

Su realización requiere que el usuario represente el sistema mediante diagrama, realizados sobre diversos nodos y actividades.



Esto puede ayudar al usuario para definir el sistema y para comprender mejor el problema.



SLAM es un descendiente de GASP IV que ofrece también recursos de simulación de redes y continuos, estando ambos codificados en FORTRAN.



Desde los lenguajes orientados a los procesos, existen representación de modelo en bloques como GPSS y SIMAN y los basados en redes como Q-GERT y SLAM.

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CONCLUSIÓN Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema.

Al proceso de experimentar con un modelo se denomina simulación. Al proceso de diseñar el plan de experimentación para adoptar la mejor decisión se denomina optimización. Si el plan de experimentación se lleva a cabo con el solo objeto de aprender a conducir el sistema, entonces se denomina entrenamiento o capacitación.

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Bibliografía Libro

Autor

Simulación: Un enfoque práctico

Raúl Coss Bú

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