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DESEMPEÑO: Clasificar las funciones teniendo en cuenta sus características, las representa en el plano cartesiano, efectúa operaciones entre ellas y soluciona problemas de la vida cotidiana que se modele mediante funciones en cualquier contexto.

INDICADORES DE DESEMPEÑO  Clasifica las funciones teniendo en cuenta sus características y las representa en el plano cartesiano  Realiza operaciones básicas entre funciones incluyendo la composición entre funciones  Soluciona problemas que se puedan representar mediante una función en cualquier contexto

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Historia de la Función Matemática El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f (x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

La primera función El primero en construir una función fue Galileo (1564- 1642).

Desde lo alto de la torre inclinada de Pisa tiró dos bolas, una de hierro y otra de madera y comprobó que a pesar de la diferencia de peso, ambas llegaban al suelo a la vez, había descubierto la ley de caída de los cuerpos.

Continuando su estudio y empleando un curioso artilugio, comprobó que el espacio recorrido depende del cuadrado del tiempo, escribiendo la primera función de la historia.

La primera definición formal de función se debe a Euler, quien en el libro Introductio in analysis infinitorum, publicado en 1748, dice: “Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes”.

En 1755 en Institutiones calculi differentialis, vuelve sobre el tema acercándose más a la que hoy utilizamos.

ACTIVIDAD En base a lo comentado, investigue y desarrolle una línea de tiempo para la función matemática, destacando representantes y acontecimientos; por ejemplo Leonhard Euler en 1748 da la primera definición formal de función.

Escribir una Síntesis y realizar una línea de tiempo sobre el tema de funciones.

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FUNCIONES ENUNCIACIÓN. Una función F de A en B, denotada por: F: A  B Es una relación entre dos conjuntos llamados el dominio (A) y el condominio (B) de la función, tales que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solamente un elemento del rango que es, axial mismo, subconjunto del condominio .

Dominio de una función: Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen.

Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida.

Gráficamente lo miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha. El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x) Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. .Modelación

ejemplo 1:Considere la función mostrada en el diagrama

.

Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E }. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D .

El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

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Notación Funcional Si (x, y)  F, entonces afirmamos que por la función F el elemento x del dominio le corresponde el elemento y del rango, o que Y es la imagen de X por la función F. Y escribimos: Y = F(x) V F(x) = y Graficas de Funciones G (f) = (x, y)  A X B/y = F(x) En la gráfica de una función normalmente los valores del dominio están asociados con el eje de abscisas y los valores del rango con el eje de ordenadas.

Si es posible que alguna recta vertical intercepte una gráfica en más de un punto, entonces la gráfica no representa una función.

Función constante Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

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Función lineal Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo: F(x) = 2x - 1 Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces y = ax + b Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

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El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma:

La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y. La recta siempre va a pasar por el punto (0; b) Representación gráfica de una función lineal o función afín

   

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera: 1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.

3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo: Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

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También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Modelación: Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1 Solución Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es: Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1 Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3 Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.

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Función polinómica

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).

Función cuadrática Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

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Función racional Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función de potencia Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.

Modelación Ejercicios y ejemplos con funciones en general: Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número: a) Su cuádruplo.

La función es: f (x) = 4x. b) Un número 2 unidades mayor.

La función es: f (x) = x + 2. c) Su mitad menos 1.

La función es: f (x) = x/2 - 1. d) El cuadrado del número que es una unidad menor.

La función es: f (x) = (x - 1)2 Veamos algunos otros ejemplos de funciones: 1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

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Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.

Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.

2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula: Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2 Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2 F (2) = 5(2)2 + 2 F (2) = 22 Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f (2) = 22.

 

Modelación: El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido. a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos. b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros? c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos: a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x. b) x = 50 entonces F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25 Hay que pagar 25 dólares. c) f (x) = 53 entonces 15 + 0,2x = 53 entonces x = 190 Se han recorrido 190 km.

ACTIVIDAD 1 Con orientación de docente y en grupo de tres estudiantes prepare una exposición sobre los tipos de funciones que existen explicando: expresión general, representación gráfica, características, domino y rango y debe plantear un problema de la vida cotidiana.

Los tipos de funciones que se deben tener en cuenta son: Función lineal, función a fin y constante, función cuadrática, función cubica, función exponencial, función logarítmica, función valor absoluto, función racional, funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente)

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Aspectos a evaluar: presentación personal, utilización de medios digitales, apropiación del tema Nota: se recuerda que una exposición no es un concurso de lectura, es explicar lo aprendido, cualquier duda dialogar con el docente ACTIVIDAD 2 1. Aplicando los principios básicos de graficación, traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones y verifícalas utilizando la calculadora.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 2 Y 3 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN La depreciación es el valor que pierden algunos bienes como consecuencia del desgaste por uso durante su vida útil o debido a la desactualización causada por cambios tecnológicos.

En una empresa un artículo es comprado en $25.000, cada año se deprecia $2000 y se sabe que la depreciación es directamente proporcional al tiempo transcurrido desde la compra. La vida útil de este artículo es de 10 años.

2.El precio P del artículo al cabo de t años, para t entre 0 y 10 años, está representado por la expresión A. P (t) = 2000t – 25000 C. P (t) = -2000t – 25000

B.

P (t) = 2000t + 25000 D. P (t) = -2000t + 25000

3.El precio del articulo al cabo de 6 años es de : A. $13000 C.$-13000

B.$37000 D.$-37000

4.La siguientes es una tabla de variación de una función cuales quiera, encuentra la ecuación de la recta y completa la tabla encontrando los valores de A y B

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x

y

-2

-3

0

3

3

A

5

18

6

B

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AYUDA encuentre la ecuaciĂłn de la recta tomando dos parejas de puntos (x1 ,y1) (x2 , y2) de la tabla 5.represente en una plano los siguientes pares de rectas a. Y = 2x + 3 y = 3x + 2 1

b. Y= 2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2

1

y = 2đ?&#x2018;Ľ +2

6.Determine le valor de la pendiente que pasa por los puntos a.( -1, -3) (4 , -5)

b. (3,2)(-5,3)

7.Halla el dominio y rango de las siguientes funciones đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2022; a.đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; b.đ?&#x2019;&#x161; = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? (de esta funciĂłn hallar solo el dominio) 8.El nĂşmero de bacterias presentes en un cultivo estĂĄ dado por la expresiĂłn f(t)= 10e0.2t, donde t representa el tiempo (en horas) que transcurre a partir del momento en que se iniciĂł el cultivo. El nĂşmero inicial de bacterias es de: A.5 bacterias C.10 bacterias

B.11 bacterias D.12.21 bacterias

9. Para que el cultivo tenga una poblaciĂłn de 100000 bacterias debe transcurrir A.10 h C.46,05 h

B.No puede calcularse D.20

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OPERACIONES CON FUNCIONES ENUNCIACIÓN. Las funciones pueden combinarse a través de las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división para producir nuevas funciones. Para dos funciones F y G la suma F + G, la diferencia F – G, el producto F. G y el cociente F/G se definen como siguen: Sean F y G funciones con dominios A y B, respectivamente, entonces las funciones F + G, F – G, F. G y F/G, se definen como sigue: (F + G) (x) = F(x) + G(x)

Dom(F + G) = A  B

(F - G) (x) = F(x) - G(x)

Dom(F - G) = A  B

(F . G) (x) = F(x) . G(x)

Dom(F . G) = A  B

(F / G) (x) = F(x) / G(x)

Dom(F / G) = x  A  B/ G(x)  0 COMPOSICION DE FUNCIONES

ENUNCIACIÓN. En general dado dos funciones arbitrarias F y G, empezamos con un número x en el dominio de G y obtenemos su imagen G(x). Si este número G(x) pertenece al dominio de F, entonces podemos calcular el valor de FG(x). El resultado es una nueva función h(x) = FG(x), que obtenemos sustituyendo G en F. A esta función se le llama función compuesta de F y G, se denota con F o G y se lee “F compuesta con G de x

MODELACIÓN. Dadas F(x) = 5x2 – 3x + 2 y G(x) = 4x + 3 determinemos: (F º G) (-2)

(G º F) (2)

(F º G) (x)

El dominio de F º G

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SOLUCIĂ&#x201C;N

F Âş G) (-2)

= F ď &#x203A;G (-2)ď ? = F (-5) = 5(-5)2 â&#x20AC;&#x201C; 3(-5) + 2 = 142

(G Âş F) (2)

= G ď &#x203A;F (2)ď ? = G (16) = 4(16) + 3 = 67

(F Âş G) (x)

= F ď &#x203A;G (x)ď ? = F (4x + 3) = 5(4x + 3)2 â&#x20AC;&#x201C; 3(4x + 3) + 2 = 5(16x2 + 24x + 9) â&#x20AC;&#x201C; 12x â&#x20AC;&#x201C; 9 + 2 = 80x2 + 108x + 38

(G Âş F) (x)

= G ď &#x203A;F (x)ď ? = G (5x2 â&#x20AC;&#x201C; 3x + 2) = 4(5x2 â&#x20AC;&#x201C; 3x + 2) + 3 = 20x2 â&#x20AC;&#x201C; 12x + 11

Dom (f) = R y Dom (g) = R, como para cada X ď&#x192;&#x17D; R (dominio de G), el valor de F(x) ď&#x192;&#x17D; R (dominio de F), entonces el dominio de F Âş G tambiĂŠn es R. ACTIVIDAD 3 1. sean f y g funciones tales que đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2122; se infiere entonces que el valor de đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x;?))đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;: A.2

B.-29

C.-24

D.21

2. En las tablas se muestran los valores para dos funciones f y g .El valor de g(f(5)) es A. 8 B. 2 C.-6 D.6

x -2 f(x) -7

6 2

-1 -5

5 7

x -3 g(x) -2

-7 -6

5 6

7 8

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CONTESTE LAS PREGUNTAS 3 Y 4 CON LA SIGUIENTE INFORMACION En una empresa de mercadeo se estableciĂł la funciĂłn F(x)= 4x3 + 8x2 - 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 que representa las utilidades de ventas de un artĂ­culo, y la funciĂłn: G(x) = 7x4 + 5x3 â&#x20AC;&#x201C; 6x2 â&#x20AC;&#x201C; x + 8 que representa las ventas de otro artĂ­culo en la misma empresa 3.Al calcular (F + G)(x) obtenemos como resultado: A.7x4 + 9x3 â&#x20AC;&#x201C; 14x2 â&#x20AC;&#x201C;3x + 7 C. 7x4 + 9x3 + 2x2 â&#x20AC;&#x201C;3x + 7

B. 9x3 + 2x2 â&#x20AC;&#x201C;3x + 7 D. 7x4 + 9x3 â&#x20AC;&#x201C; 14x2 â&#x20AC;&#x201C;3x â&#x20AC;&#x201C; 1

4.Al calcular (F - G)(X) obtenemos como resultado A.7x4 + 9x3 â&#x20AC;&#x201C; 14x2 â&#x20AC;&#x201C;3x + 7 B. - 7x4 - x3 + 14x2 â&#x20AC;&#x201C;x â&#x20AC;&#x201C; 9 C. - 7x4 + x3 + 14x2 + x â&#x20AC;&#x201C; 9 D. - 7x4 + 14x2 â&#x20AC;&#x201C;x â&#x20AC;&#x201C; 7 1. Sea f(x) = 3x + 2 y g(x) = 4x3 â&#x20AC;&#x201C; x2 + 2x -1 . Al calcular F o G obtenemos 2. a. 12x3 â&#x20AC;&#x201C; 3x2 + 6x -1 b. 12x3 â&#x20AC;&#x201C; x2 + 2x -3 3 2 b. c. 12x â&#x20AC;&#x201C; 3x + 6x +2 d. 12x3 â&#x20AC;&#x201C; 3x2 + 6x -2 6.Al calcular (F + G)(x) obtenemos como resultado _______________________________ 7. El crecimiento de las utilidades en la venta de sombrillas (en millones) de una empresa 5 2

estĂĄ dado por la funciĂłn f(x) = đ?&#x2018;Ľ 2 + 200 x + 8 donde x es el numero de sombrillas y la funciĂłn de las personas que compran la sombrilla dependiendo de la cantidad de meses (m) que llueve es g(m) = 50m + 100 expresar las utilidades de venta en funciĂłn de la cantidad de meses que llueve. ÂżCuĂĄl es la utilidad si llueve 4 meses?

ACTIVIDAD 4 DE REFUERZO RESPONDA LAS PREGUNTAS 1, 2 Y 3 CON LA SIGUIENTE INFORMACION En una empresa de transporte un chofer recibe un sueldo mensual de $630000 y una comisiĂłn de $200 por cada pasajero X que transporta en el mes 1. Escriba la ecuaciĂłn de la funciĂłn que representa el sueldo del chofer en el mes teniendo en cuenta que esta es lineal.

2. Cuanto ganara un chofer que en un mes transporta 1500 pasajeros.

3. SegĂşn la funciĂłn planteada en el punto 1, cual es el valor de la pendiente y cuĂĄl es el punto de corte

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4. nĂşmero de bacterias en un cultivo, despuĂŠs de t horas, estĂĄ dado por la funciĂłn: F(t) = 500et Halla el nĂşmero de bacterias: a. Al iniciarse el cultivo b. 1 hora despuĂŠs. c. cuanto tiempo pasa si se tienen 35000 bacterias 5. sean f y g funciones tales que đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 + 3 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ cual es el valor de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x201D;(2)) 6. Halla el dominio y rango de las siguientes funciones 3đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;7

a.đ?&#x2018;Ś = 5đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;9

b.đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x161;3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 (de esta funciĂłn hallar solo el dominio) 7.El nĂşmero de centĂ­metros que se estira un resorte cuando una masa m en kilogramos se sujeta a este puede calcularse mediante la funciĂłn: G (m) = 3.4m2 â&#x20AC;&#x201C; 0.3m .Cuanto se estirara el resorte si se sujeta a ĂŠl las siguientes masas. a.3 kg

b.4 kg

c.4,5 kg

CONTESTE LAS PREGUNTAS 8 Y 9 CON LA SIGUIENTE INFORMACION En una empresa de mercadeo se estableciĂł la funciĂłn F(x)= 9x2 - 2x â&#x20AC;&#x201C; 7 que representa las utilidades de ventas de un artĂ­culo, y la funciĂłn G(x) = 5x4 + 5x3 -9x2 â&#x20AC;&#x201C;9 que representa la ventas de otro artĂ­culo en la misma empresa 8.Halla f+g 9.Halla f-g 10.El nĂşmero aproximado de accidentes en un mes relacionados con conductores de x aĂąos de edad puede estimarse mediante la funciĂłn : A(x) = x2 â&#x20AC;&#x201C; 48x + 587 Calcula el nĂşmero aproximado de accidentes en un mes relacionado con personas de: 18 aĂąos 21 aĂąos 25 aĂąos 2 11.Dada la funciĂłn f (x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ y g(n) = n â&#x20AC;&#x201C; 5 expresar: a. F (x) en funciĂłn de g(n), con n=10 b. G(n) en funciĂłn de f(x), con x = 3 12.Un animal se alimenta de lagartijas y las lagartijas se alimentan de insectos, si el tamaĂąo de la poblaciĂłn del animal se expresa mediante una funciĂłn A(n) donde n es el nĂşmero de lagartijas y el nĂşmero de lagartijas es una funciĂłn l(x) donde x es la cantidad de insectos. Exprese el tamaĂąo de la poblaciĂłn del animal en funciĂłn de los đ?&#x2018;&#x203A;

insectos, sabiendo que A(n) = 25 + â&#x2C6;&#x161;200 y L(x) = 2x2. Determine el tamaĂąo de la poblaciĂłn del animal si el nĂşmero de insectos es de 1000.