solucionario arturo rocha mecanica de fluidos 1-5

HIDR ÁULI CA DE TUBE RÍAS Y CANA LES Arturo Rocha Felices

CAPÍTULO II

1. En un conducto circular de 0,75 m de diámetro, de acero ( k =0,001 m ), fluye aceite cuya viscosidad es de 1 poise. Su peso específico relativo es de 0,8. Las características de la tubería se muestran en el esquema adjunto. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de las paredes?

Solución: 2

πD 4 D L=R= = πD 4 S=

h f 45.5−31 = =0.0145 L 1000

30000 kg /m 2 =37.5 m 800 kg /m3 20000 kg /m2 =25 m 800 kg/m3 V = √ gRS= √9.81 × 0.1875× 0.0145=0.16 m γ=

1 =1.25 ×10−4 m2 0.8

h1=8+ 37.5=45.5

h2=6 +25=31 Para saber si las paredes son lisas o rugosas aplicamos la ecuación:

VK 0.16 ×0.001 = =1.28<5 −4 γ 1.25× 10

Las paredes se comportan hidráulicamente lisas

δ=

−4 11.6 γ 11.6 ×(1.25× 10 ) = =0.0091 V 0.16

C=18 log

42 R 0.1875 =18 log 42× =52.87 m0.5 / s δ 0.0091

V =52.87 √ 0.1875 ×0.0145=2.76 m/s Q= AV =

π D2 × 2.76=1.22m3 /s 4

2. Demostrar que el coeficiente

C

de Chezy se puede expresar para conductos

hidráulicamente lisos mediante la siguiente ecuación implícita.

C=18 log m

ℜ C

Calcular el valor de

m

para canales y tuberías. Calcular también un valor

promedio para ambos conductos.

Solución:

C=18 logm

42 R C

42 Re γ V C=18 log 11.6 γ V C=18 logm

C=18 log

δ=

Re C

42 Re √ gRS R √ gRS 42 =18 log × √ g= e V ×11.6 11.6 V

11.6 xy V × =C V √ RS

C=18 log 11.34 V = √ gRS m=11.34

Re C

Re =

R=

VR γ

Re γ V

3. A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir las expresiones siguientes

α =1+3 e 2−2 e3 2 β=1+e

Siendo

ϵ=

V max −1 V

α

es el coeficiente de Coriolis,

es la velocidad máxima y Solución: Teniendo:

V

V max −1 …(1) V β=1+ε 2 …( 2)

ε=

Reemplazando (1) en (2): 2 V max −1 V 2 2 V max V max β=1+ −2 +1 V V V 2+ ( V max )2 −2V max V +V 2 β= V2 2V 2−2V max V + ( V max )2 β= 2 V

( ) ( ) ( )

β=1+ ε=

Donde: A

1 ∆V 2 dA ∫ A 0 V ∆ V =Vh−V 2 gS h Vh= γh− γ 2 Cuando γ =h gS 2 V max = (γ ) γ A 1 ∆V 2 β=1+ ∫ dA A 0 V 2 ∆V β=1+ V 2 2 1+ V h −2V hV +V β= 2 V β=1+

(

( )

)

( ) ( )

β

es el coeficiente de Boussinesq,

es la velocidad media.

V max

2

2

V +V h −2V hV +V 2 V 2 2 2V +V h −2 V hV β= 2 V Cuando γ =h Vh=V max

2

β=

Cumple la condición:

ε=

V max −1 V

para

β=1+ε 2

∝−1=3 ( β−1 ) ∝=3 β−2 2 V 2+ V h 2−2V hV ∝=3 −2 V2

( (

2

) )

2

2 V + V h −2V hV ∝=3 −2 2 V 2 2 2 6 V +3 V h −6 V hV −2 V ∝= 2 V 4 V 2 +3 V h2−6 Vhv ∝= V2 2 3 ∆V ∝=1+ ∫ dA A V 2 2 V h −2 V hV +V ∝=1+3 2 V 2 2 4 V +3 V h −6 Vhv ∝= 2 V V .: ε = max −1 Cumple para V

( )

(

)

∝=1+3 ε 2−2 ε 2

4. Se tiene una tubería de 0,40 m de diámetro por la que circula el agua. Su viscosidad es de 1 centipoise. La longitud de la tubería es de 600 m. Se inicia en el punto A, en el que la presión es presión es

2

3 kg /cm

2

5 kg /cm

y cuya elevación es de 5 m superior a la del punto inicial.

Considerar k =0,0001 m. Calcular a) Si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa b) El coeficiente de Chezy c) El gasto d) La pérdida de energía entre A y B Solución: Datos:

D=0.40

μ=

1 100

y termina en el punto B, cuya

L=600 m 50000 =50 1000 30000 =30 1000 S=

50−30−5 =0.025 600

V = √ 9.81 ×0.10 × 0.025=0.155 m/s a)

b)

VK 0.1× 10−4 = −2 =15.66 → Es rugoso V 10 × 10−4 C=18 log

C=18 log

6R K δ + 2 7

δ=0

6 × 0.10× 2 =73.42 m0.5 /s −4 10

V =73.42 √ 0.10× 0.0025=3.67 m/ s c)

π (040)2 Q= ×3.67=0.46 m 3 /s 4

d)

P1 V P V +Z 1 + 1 = 2 + Z 2+ 2 +hf γ 2g γ 2g

2

2

50+ x−30−5−x=hf

hf =15 5. Demostrar que el promedio de las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante en un canal muy ancho con flujo turbulento es igual a la velocidad a 0,6 del tirante (midiendo el tirante a partir de la superficie).

Solución:

V 104 h ln k δ V V h= ( ln104−lnh−ln δ ) k  Con V =0.2 V V V h¿0.2 = ( 4.64−1.61−ln δ )= ( 3.03−ln δ ) k k  Con V =0.8 V h=

V h¿0.8 =

V V ( 4.64−0.22−ln δ )= ( 4.42−ln δ ) k k

→ Promedio: V V h= ( 3.725−ln δ ) k V V V h¿0.4 = ( 4.64−0.916−ln δ )= ( 3.724−lnδ ) k k 6. Calcular cual es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0,6 del tirante (medido a partir de la superficie) es igual a la velocidad media, para un canal con flujo turbulento y paredes rugosas.

Solución:

V 38.3 γ ln k δ V 38.3 ×0.4 V V = ln = (2.73−ln δ ) k δ k V V = ( 3.724−ln δ ) k V El error: 0.994 k V h=

−¿ ¿

7. Demostrar que si

ε=

V max −1 V

Entonces en un canal 3,

V ∗¿ 7.83 = V C ε =2.5¿

Solución: Se sabe que:

2 V = V máx 3 2 2 gS R V= 3 2v V =C √ RS gS R2 V máx = 2v V ¿ =√ gRS

Entonces:

2 V max− V máx V max V max −V 3 ε= −1= = V V V 2 3 gS R √ gRS √ g R S √ g R 3 S V ¿ V gRS 9.81 7.83 ε= = = =2.5 ¿ =2.5 √ =2.5 √ = 6 vV 6 vV 6v V V C C C √ RS V 7.83 ε =2.5 ¿ = V C

8. Una tubería de concreto liso, de 0,80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de

4 m/s . La viscosidad es de

−6 2 1,2 x 10 m / s . Calcular el

coeficiente C de Chezy. Definir la calidad de las paredes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.

Solución: Datos:

d=0.80 m V =4 m/s v =1.2× 10−6 m2 /s −5 k =2.5× 10

Hallando:

π π 2 2 A= × d = × 0.80 =0.503 4 4 0.80 P=πr=π × =1.257 m 2 A 0.503 R= = =0.4 P 1.257

Resolviendo:

11.6 v V ∗¿ 46.4 R ¿ ¿ ¿ V ∗¿ ln ¿ 0.4 V =¿ 11.6 ×1.2 ×10−5 V ∗¿ 46.4 ×0.4 ¿ ¿ ¿ V 4= ln ¿ 0.4

A) Coeficiente C de Chezy y pendiente: Asumimos que V =0.164

V = √ gRS= √9.81 × 0.4 × S 0.1642 S= =0.006 9.81 ×0.4 V =C √ RS 4 C= =81.65 √ 0.4 × 0.006

B) Calidad de las paredes: Pared Lisa

V¿×k 0.164 ×2.5 ×10−5 ≤5 =3.41 ≤5 v 1.2× 10−6 (Es de pared lisa) 9. Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que

V max−V =3,73 V¿

Solución: Se sabe que para una tubería la velocidad máxima es cuando pasa por el eje:

V ¿ 30(2 R) ln k k V max 1 30(2 R) = ln V¿ k k V max 1 30 (2 R) = ∗2.3 log V¿ k k V max 2.3 2.3 R = ∗log 60+ log … … (2) V¿ k k k También sabemos que la V en una tubería es: V 13.4 R V = ¿ ln k k V 1 13.4 R = ln V¿ k k V 1 13.4 R = ∗2.3 log V¿ k k V 2.3 2.3 R = ∗log 13−4+ ∗log … … (3) V¿ k k k V max =

Reemplazamos (2) y (3) en (1):

V max−V 2.3 2.3 R 2.3 2.3 R = ∗log 60+ log −( ∗log 60+ ∗log ) V¿ k k k k k k R V max−V 2.3 60 2.3 k = ∗log + log V¿ k 13.4 k R k V max−V 2.3 60 2.3 = ∗log + log 1 V¿ k 13.4 k V max−V 2.3 60 = ∗log +0 V¿ k 13.4 Se sabe que el valor de k =0.4 V max−V 2.3 60 = ∗log V¿ 0.4 13.4 V max−V =3.73 V¿

()

10. Calcular el valor de

V max−V V¿

Para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.

Solución: Se sabe que para una canal la velocidad máxima es cuando pasa por el eje:

V ¿ 30(2 R) ln k k V max 1 30(2 R) = ln V¿ k k V max 1 30 (2 R) = ∗2.3 log V¿ k k

V max =

V max 2.3 2.3 R = ∗log 60+ log … … (2) V¿ k k k También sabemos que la V en una tubería es : V 13.4 R V = ¿ ln k k V 1 13.4 R = ln V¿ k k V 1 13.4 R = ∗2.3 log V¿ k k V 2.3 2.3 R = ∗log 13−4+ ∗log … … (3) V¿ k k k Reemplazamos (2) y (3) en (1):

V max−V 2.3 2.3 R 2.3 2.3 R = ∗log 60+ log −( ∗log 60+ ∗log ) V¿ k k k k k k R V max−V 2.3 60 2.3 k = ∗log + log V¿ k 13.4 k R k V max−V 2.3 60 2.3 = ∗log + log 1 V¿ k 13.4 k V max−V 2.3 60 = ∗log +0 V¿ k 13.4 Se sabe que el valor de k =0.4 V max−V 2.3 60 = ∗log V¿ 0.4 13.4 V max−V =3.73 V¿

()

11. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media: a) en un canal, b) en una tubería.

Demostrar que a esa distancia es independiente de que el contorno sea liso o rugoso (comparar con el ejemplo 1.3 del capítulo I).

Solución: a) En un canal Para que se cumplan las condiciones

V h=V También se sabe que:

gS h2 V h= yh− …(1) v 2 gS R2 V= …( 2) 3v

(

)

Igualamos (1) y (2): 2

(

)

gS h gS R yh− = v 2 3v

(

2

yh−

)

2

h R = 2 3

2

y

Despejamos 2

que es el tirante:

2

h R = 2 3 R2 h 2 yh= + 3 2 2 R h y= + 3h 2 yh−

b) En una tubería

V h=V

Se sabe que: 2

(

)

gS Dh h − …(3) v 4 4 gS D2 V= …( 4) 32 v V h=

Igualamos (3) y (4): 2

(

)

gS Dh h gS D − = v 4 4 32 v

2

Despejamos y obtendremos

h=D

( √2+2 4 )

12. Un canal de concreto el fondo es de

(k =4 × 10−4 m)

se usa para transportar agua. El ancho en

4 m y el ancho superficial es de

La pendiente de fondo es

12 m . El tirante es de

3m .

0,2 m por 100.

Considerando que la viscosidad cinemática del agua es

1,4 ×10−6

m2 s

, a) decir

si las paredes son lisas o rugosas, b) calcular el gasto, c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo.

Solución: Datos: Canal de concreto: K=4 ×10−4

S=0.002 −6 v =1.4 ×10

Hallando:

A=

3=24 ( B+2 b ) h=( 12+4 2 )

P=5+ 4+5=14 m A 24 R= = =1.71 P 14 V ¿ =√ gRS=√ 9.81× 1.71× 0.002=0.183 6 11.6 × v 11.6 × 1.4 ×10 δ= = =8.87 ×10−5 V¿ 0.183

Naturaleza de las paredes:  Pared Lisa:

V¿×k ≤5 v 0.183× 4 × 10−4 =52.2 ≤5 1.4 ×10−6

(No es de pared lisa)  Pared rugosa:

k ≥6δ 4 × 10−4 ≥ 6(8.87 × 10−5)

(No es de pared rugosa) El contorno es una transición entre liso y rugoso

6R 6 ×1.71 =18 log =84.73 −4 −6 k δ 4 × 10 8.87 × 10 + + 2 7 2 7 V =C √ RS=84.73 × √ 1.71× 0.002=4.95m/ s 4.95+ 12 Q=VA = × 3 ×4.96=118.92 m3 /s 2 13. Una tubería de sección circular de 0,80 m de diámetro conduce agua que ocupa C=18 log

( ) (

(

)

)

la mitad de su sección transversal. La viscosidad del agua es

1,2× 10−6

m s

2

.

¿Qué inclinación debe dársele para que se establezca0 un flujo uniforme con una velocidad media de

0,80

m ? La rugosidad es de s

−4 k =10 m . Si después

resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor, cuál sería la reducción del gasto, conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa esta disminución?

Solución:

d=0.80 0.80 RH= =0.20 m 4 1 π 2 π A ocupada = D ⇒ D2 2 4 8 2 2 0.80 ¿ ⇒0.25 m π A ocupada= ¿ 8

[ ]

−4

k =10 m=0.0001 m −6 2 v =1.2 x 10 m /s

 Analizamos la naturaleza de las paredes, se sabe que

V =C √ RS y V 0=√ gRS V V0 = C √g V g V 0= √ C 0.80( √ 9.81) V 0= C 251 V 0= C 2.51 x 1 0−4 V 0∗k C 209.17 = = <5 −6 v c 1.2 x 10

 Liso

11.6 x 1.7 x 1 0−6 =0.00006C 2.51 C 42(0.20) C=18 log 0.00006 C C=76.7 m 2 /s V =C √ RS 0.80=76.7 √0.20∗δ δ=0.000544 sen θ ¿ 0.000544 δ=

θ=0.03  El gasto es

Q=V ∗A Q=0.80 x (0.25) Q=0.20 m 3 /s Q=200 lts /s

 Ahora si S= 0.000544 se mantiene y  Entonces

2.5 L c 2.51 −3 x10 V 0∗k C 2091.7 = = <5 −6 v C 1.2 x 1 0

V 0=

 Rugoso

11.6 x 1.2 x 10−6 =0.000006 C 2.51 C 6 (0.2) C=18 log 0.001 0.000006 C + 2 7 δ=

[

]

−4

−3

K=10 x 10=1 0

1/ 2

C=60 m /s V =60 √ (0.20)(0.000544) V =0.63 m/ s  El gasto será

Q=V ∗A Q=0.63 x 0.25 Q=0.16 m 3 / s 0.20−0.16 X= 0.20 1 X= 5 X =20

14. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidad media. Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2.1 de este capítulo.

Solución: Se sabe que la velocidad es

V =0.147 m/ s ≈ 0.15 m/s … (1) También que: 2

V=

gS∗R …(2) 2v

Igualamos las ecuaciones (2) y (1): 2

9.81∗S∗0.15 0.147= −5 2∗1.14∗10 Entonces S es igual a:

S=0.000015

Hallamos la velocidad de corte:

V ¿ =√ gRS V ¿ =√ 9.81∗0.15∗0.000015 V ¿ =0.004698 m/s ≈ 0.4 m/ s

Entonces la velocidad máxima es:

V ¿ 30(2 R) ln k k 0.004 30∗2∗0.15 V max = ln 0.4 0.4 V max =0.030 m/s V max =

Se demuestra que la velocidad máxima es el doble que la velocidad media.

15. La tubería AB de 300 m de largo y 0.80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de −4

k =4 × 10 m B de

1,2× 10−6

m2 . La tubería tiene una rugosidad uniforme s

. La presión en el punto A debe ser de

3,8 Kg/cm

2

2

4 Kg /cm

y en el punto

. ¿Cuál es la máxima diferencia de elevación que puede existir

entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamente lisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?.

Solución: Datos:

L=300 d=0.8 m −4 k =4 × 10 −6 v =1.2× 10 γ =1000 2 P A =4 kg/ cm PB =3.8 kg/cm 2 Aplicando Bernoulli

P1 V 12 P2 V 22 +Z 1 + = + Z 2+ +h γ 2g γ 2g f 2 V2 4 3.8 V + +∆ = + 1000 2 g z 1000 2 g ∆ Z =2 desnivel 2 S= = =0.067 L 300 π π 2 2 A= × d = × 0.8 =0.50 4 4 0.8 P=πr=π × =1.26 m 2 A 0.50 R= = =0.397 m P 1.26 V ¿ =√ gRS=√ 9.81× 0.397 ×0.067=0.51 m/s 11.6 × v 11.6 × 1.2× 10−6 δ= = =2.73 ×10−5 V¿ 0.51 6R 6 × 0.397 C=18 log =18 log =104.15 −5 k δ 2.73× 10 + 2 7 7 V =C √ RS=104.15× √ 0.397 ×0.067=16.98 m/s

( ) (

)

16. En un rio muy ancho, cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniforme

k , el tirante es de

2 m . El gasto por unidad de ancho es de

3

4 m /s . Se ha medido la velocidad superficial encontrándose que su valor es de m 2,50 m/s . Calcular la rugosidad absoluta k y la velocidad de corte.

Solución:

y=2 m Q 4 m3 / s = b m V 2=2.50 m/s

 Por ser un rio muy ancho

y=b=2 m Q 4 m3 /s = 2m m 3 2 Q=8 m /s ⇒ A=2 ( 2 ) =4 m V =2 m/s

Vh−k h ⇒5.75 log + 2.5 V0 R 2.5−2 =5.75 log ( 2/2 )+ 2.5 V0 V 0=0.2 m/s Vh h =5.75 log + 8.5 V0 k 2.5 2 =5.75 log +8.5 0.2 k 2 0.695652=log k k =0.4 m k =4 x 10−1 m

()

17. Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de Pitot se ha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia D/4 del contorno. Los valores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto.

Solución: Tenemos los siguientes datos:

D=1,6 m V D =5.0 m/s → V 0.8=5.0 m/ s 2

V D =4.2 m/s →V 0.4 =4.2 m/s 4

Debido a que la velocidad en el eje es la velocidad máxima entonces:

V max =5.0 m/s

Y también sabemos que la velocidad media es:

1∗V max 2 1∗5.0 V= 2 V =2.5 m/s V=

Ahora hallamos el gasto:

Q= A∗V π∗D2 Q= ∗V 4 2 π∗1.6 Q= ∗2.5 4 Q=5.034 m3 / s

18. Demostrar que en una tubería de radio r se cumple que

V h−V h =5,75 log +3,73 V¿ r

Solución: Se sabe que:

V h=

V¿ 104 h ln … (1) k δ

También:

(

)

δ=

11.6∗v …..( 2) V¿

Reemplazamos (2) en (1):

V¿ 104∗V ¿∗h ln k 11.6∗v V 8.97 V ¿∗h V h= ¿ ln k v Vh 1 8.97 V ¿∗h = ln V¿ k v V h 2.3 8.97 V ¿∗h = log V¿ k v V ¿∗h 2.3 + ∗¿ log 8.97 v k V h 2.3 = log ¿ V¿ k

( ( (

V h=

) ) )

(

(

)

)

El valor de k es 0.4, por lo tanto:

Vh V ∗h =5.75 log ¿ +5.5 … .(3) V¿ v

(

)

También sabemos que:

V¿ 46.4 R ln …(4 ) k δ r 46.4 V 2 V = ¿ ln k δ V 23.2 r V = ¿ ln k δ V 23.2∗V ¿∗r V = ¿ ln k 11.6∗v V 2∗V ¿∗r V = ¿ ln k v 2∗V ¿∗r V 1 = ln V¿ k v 2∗V ¿∗r V 2.3 = log V¿ k v V ∗r 2.3 V 2.3 = log ¿ + log (2 ) V¿ k v k V ∗r V =5.75 log ¿ +1.77 … .(5) V¿ v V=

(

)

( ) ( ( ( (

)

)

) )

( ) ( ) ( )

Restamos las ecuaciones (3) y (5):

( V v∗r )+1.77 ¿

5.75 log ¿ ¿ V ¿∗h +5.5−¿ v Vh V − =5.75 log¿ V¿ V¿ V h−V h =5.75 log +3.73 V¿ r

(

)

19. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso se puede expresar por

k<

5 Cv √g V

Solución: Se sabe que para analizar la naturaleza de las paredes:

V ¿∗k <5 … .(1) v

También sabemos que:

V ¿ =√ g∗R∗S … .(2) V =C √ R∗S … . (3 )

Despejamos:

V ¿=

V ∗√ g … .(4) C

Reemplazamos la ecuación (4) en (1):

V ¿∗k <5 v V∗√ g ∗k C <5 v

Despejamos y nos queda:

k<

5 Cv √g V

22.-Demostrar que

C=18 log

12 k C + R ℜ

Solución: Sabiendo:

V =C √ RS

18 log

6R k δ + 2 7

C=18 log

√ RS=C √ RS

6R k δ + 2 7

Partiendo de este valor de C continuamos a la demostración

C=18 log

C=18 log

C=18 log C=18 log

C=18 log

6R k δ + 2 7 6R 7 k +2 δ 14 84 R 7 k + 2δ 12 k 2δ + R 7R 12 k C + R ℜ

23.-¿Qué valor habría que usar en lugar de 18, en la expresión anterior, para aplicar la fórmula en el sistema inglés?

Solución: Sabiendo: V =C √ RS Partiendo del valor de C

C=18 log

6R k δ + 2 7

V =0.552 C ingles √ RS C=18 log

6R k δ + 2 7

√ RS=0.552 Cingles √ RS

Cingles =33 log

6R k δ + 2 7

24.-Calcular en el ejemplo 2.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media.

Solución: Datos del ejemplo 2.3

V max =3.55 m/S V =1.78 m/s

V max =1.43 √ f +1 V Reemplazo el valor de la velocidad máxima para calcular el f

V ( 1.43 √ f +1 )=3.55 1.78 ( 1.43 √ f +1 )=3.55 f =0.4835 Ahora reemplazamos en la siguiente fórmula para hallar a que distancia del contorno se encuentra la velocidad a la velocidad media

h 2.15 V √ f log +1.43 V √ f + V =V r h 2.15∗1.78 √ f log +1.43∗1.78 √ f +V =V 5 h=1.07 m

CAPÍTULO III

1.- Discutir como varía en una tubería la relación entre la velocidad máxima y la media a) Para números de Reynolds crecientes. b) Para rugosidad relativa creciente (en tuberías de rugosidad artificial).

Solución: a) Para número de Reynolds crecientes las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad. Esto significa que si la velocidad media se duplica, entonces la velocidad máxima también se duplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma proporción. b) Para rugosidad relativa creciente la relación de velocidades máxima y media también varían proporcionalmente, ya que la distribución de velocidades en las proximidades del contorno de la tubería está determinada por la viscosidad, densidad y corte sobre el contorno.

3.-Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de f viene dado por la ecuación de Blasius, y hacemos los reemplazos correspondientes, demostrar que el exponente de la velocidad sería 1,75 Solución: Teniendo inicialmente la ecuación de Darcy

hf =f

L V2 D 2g

haciendo el cambio de f por la ecuación dada de Blausius

f=

0.316 ℜ0.25

Reemplazando en la ecuación de Darcy 2

hf = hf =

0.316 L V ℜ0.25 D 2 g 0.316 L V 2 VD 0.25 D 2 g v

( )

2

0.316 L V hf = 0.25 0.25 D 2g V D 0.25 v 0.25

hf =

2

0.316 v L V 0.25 0.25 D 2g V D

hf =0.316 v 0.25

L V 1.75 D1.25 2 g

5.-Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulento y se encontró que la velocidad a la distancia D/ 4 del contorno es igual a 0,89

V max .Calcular el valor del coeficiente f

de Darcy y la rugosidad relativa.

Solución:

Vh =0.89V max V h 2.15 V √ f log +1.43 V √ f + V =0.89 V ( 1.43 √ f +1 ) r D 4 2.15 V √ f log +1.43V √ f + V =0.89 V ( 1.43 √ f +1 ) D 2 0.78 V √ f +V =0.89 V (1.43 √ f + 1)

0.22= √ f f =0.0484 1 D =2 log 3.71 k √f 1 2 √f

=log 3.71

D k

Realizando los cálculos obtenemos la rugosidad relativa:

k =0.0198 D

6.-Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.

Solución: Datos del ejemplo 2.1:

L=788 m D=6 cm

V=

Q =0.147 m/ s A

ℜ= f=

VD =774 v

0.316 =0.060 0.25 ℜ

Reemplazamos los datos en la ecuación de Darcy 2

hf =f

L V =0.008679 D 2g

7.-Calcular para el ejemplo 2.3, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.

Solución: Datos del ejemplo 2.3:

ℜ=1664 Q=14 l/ s V =1.78 m/s D=10 cm f=

0.316 =0.05 ℜ0.25

f=

0.316 =0.05 0.25 ℜ

hf =f

L V2 =0.2422 D 2g

8.-Calcular para el ejemplo 2.5, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Calcular el valor de f a partir del coeficiente C de Chezy y a partir de la ecuación de Blasius. Comparar resultados.

Solución: Datos de ejemplo 2.5:

V =3.95 m/s

ℜ=4.7 x 10 3 D=0.6 cm f=

0.316 =0.033 ℜ0.25 2

hf =f

L V =43.7379 D 2g

9.-A partir del valor de C obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el valor de

f

y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius.

Calcular la pérdida de carga.

Solución: Datos obtenidos a partir del procedimiento del ejercicio 1del capitulo dos: 0.5

C=52.87 m /s

D=0.75 m L=1000 m V =2.76 m/ s 3

Q=1.22 m /s Hallamos el factor de Darcy de la ecuación de Blasius,pero antes calcularemos el número de Reynolds

ℜ=

VD 2.76∗0.75 = =16.56 v 0.1 0.8

Reemplazamos el valor del número de Reynolds en la ecuación de Blasius

f=

0.316 0.316 = =0.156647 0.25 0.25 ℜ 16.56

Calculamos finalmente la perdida:

0.156647∗1000 ∗2.76 2 L V 0.75 hf =f = D 2g 19.62 2

hf =81.09

11.-Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia unidad de área del contorno depende de la viscosidad μ , de la densidad

τ 0 por

ρ , de la

velocidad V del fluido, del diámetro D y de la rugosidad absoluta k de la tubería, demostrar que

τ0 ρV

2

=φ

k , ) ( ρVD μ D

Solución: c) En un canal

Para que se cumplan las condiciones

V h=V También se sabe que:

V h=

2

(

)

gS h yh− … …. (1) v 2

gS R2 … …(2) 3v

V=

Igualamos (1) y (2): 2

(

)

gS h gS R yh− = v 2 3v

(

yh−

h2 R2 = 2 3

)

y

Despejamos

yh=

y=

2

2

que es el tirante:

R2 h 2 + 3 2

R2 h + 3h 2

V h=V

d) En una tubería Se sabe que:

V h=

V=

gS Dh h2 − … … .(3) v 4 4

(

)

gS D2 … …(4) 32 v

Igualamos (3) y (4):

(

2

)

gS Dh h gS D − = v 4 4 32 v

2

yh−

2

h R = 2 3

Despejamos y obtendremos

h=D

( √2+2 4 )

12.-Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,

F ρVD =φ 2 μ ρV

( )

expresión en la que F es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno,

ρ

es

la densidad, V es la velocidad media, D el diámetro y

μ la viscosidad dinámica.

Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye agua. La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular a) Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista similitud, b) Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si en el modelo para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2.

Peso específico del agua : 1 000 kg/m3 Peso específico del aire : 1,25 kg/m3 Considerar que la viscosidad dinámica del agua es 60 veces la viscosidad dinámica del aire.

Solución: Definimos las variables en la siguiente fórmula:

F p∗V∗D =Ø∗ 2 μ p∗V

(

)

Peso específico del Aire: 1.25 kg/m 3 Peso específico del Agua: 1000 kg/m 3 Viscosidad del Aire: x Viscosidad del Agua: 60 x

Desarrollo: a) Por ser la misma tubería para ambos casos, Tenemos:

ρ1 ∗D 1 ρ2 ∗μ 1 D2 V 2=V 1 μ2 Reemplazamos:

D/¿ 2∗1 60 D /¿ 1 ¿ 25∗1000 V= ∗¿ 1.25 V =333.33 m/s Calculamos esta velocidad a la escala ¼ del modelo: Escala Real :

1 =1 m .

1

Escala del Modelo:

1 =0.25 m.∗V 4

Entonces:

V =0.25∗333.33=83.33 m/s

b) Calculamos la relación entre las pérdidas de carga:

D/¿1 D/¿2 ¿ L /¿ 2∗V 12

∗¿ V 22 L /¿ 1 ¿ Δ ρ1 ρ1 = ∗¿ Δ ρ2 ρ2

Usamos las velocidades calculadas anteriormente, Reemplazamos:

1000 ∗252 Δ ρ1 1.25 = =4.50 2 Δ ρ2 333.33

Tenemos el valor de referencia que en el modelo para agua la perdida de carga por unidad de longitud es de

0.20 kg /cm2 .

Escala del Modelo:

1 =V =0.20 kg /cm2 4

Escala Real:

1 =V ∗4=0.20∗4=0.80 kg/ cm2 1

Luego:

Δ ρ1 =

0.80 =0.1777 m.

4.50

La pérdida de carga en la tubería de Aire equivale a una altura de 0.1777 m. de Agua.

13.-Según Nikuradse la relación entre el coeficiente f de Darcy y el número de Reynolds Re, referido al diámetro, es

f =0.0032+

0.221 0.237 ℜ

para números de Reynolds comprendidos entre cuál es el valor de

f

105

y

107

y el correspondiente número de Reynolds, para los que esta

fórmula da los mismos resultados que la ecuación de Blasius.

Solución:

f =0.0032+

(ec. 3-15). Calcular

0.221 0.316 = ℜ0.237 ℜ0.25

0.316=0.0032 ℜ0.25+ 0.221 ℜ0.013 316 32 221 0.013 = ℜ0.25 + ℜ 1000 10000 1000 79 2 221 0.013 = ℜ0.25 + ℜ 250 625 1000 1580=16 ℜ0.25+ 1105 ℜ0.013 ℜ=115000 Reemplazando el valor del número de Reynolds

f =0.0032+ f=

0.221 =0.017 ℜ0.237

0.316 =0.017 0.25 ℜ

14.-Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que

Vk 14 < v √f Solución:

Vk 14 < v √f 11.6 √ 8 g √ RS k 14 < √ f δ √ g √ RS √ f 33 k <14 δ k <0.4 δ , condición por el cual el conducto es hidráulicamente liso 15.-Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook y White

V =−2 √ 8 g √ RS log

[

k 2.51 v + 14.8 R 4 √ 8 g R √ RS

]

tiene la forma de la ecuación de Chezy,

V =18 log

6R k δ + 2 7

√ RS

15.-Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué no son exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy?

Solución:

16.-La distribución de velocidades en una tubería circular está dada por

Vh h =1.235 V r

()

1 7

Calcular a qué distancia del contorno la velocidad es Solución:

(V h)

igual a la velocidad media

Sabemos que la velocidad cortante, Tiene la esta forma:

V ¿ =V

√

f 8

Entonces la velocidad Máxima:

V max h =√ f 2.03 log +0.0783 + 1 V R

(

Asumimos:

)

h √ f 2.03 log + 0.0783 =∝

(

R

)

Para que la velocidad máxima y velocidad mínima sean igual, Entonces

∝=0 ° h √ f 2.03 log + 0.0783 =0

(

R

2.03 log

h +0.0783=0 R

2.03 log

h =−0.0783 R

log

)

h =−0.03857 R

Calculamos esta expresión:

h =10−0.03857 R h =0.9150 R

Entonces, para que la velocidad máxima y velocidad media sean iguales:

h 18.3 = R 20 20 h=18.3 R

17.-Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de pitot se ha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia D/4 del contorno. Los valores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto.

Solución: Tenemos los siguientes datos:

D=1,6 m V D =5.0 m/s → V 0.8=5.0 m/ s 2

V D =4.2 m/s →V 0.4 =4.2 m/s 4

Debido a que la velocidad en el eje es la velocidad máxima entonces:

V max =5.0 m/s Y también sabemos que la velocidad media es:

V=

1∗V max 2

V=

1∗5.0 2

V =2.5 m/s Ahora hallamos el gasto:

Q= A∗V Q=

π∗D2 ∗V 4

Q=

π∗1.6 2 ∗2.5 4 3

Q=5.03 4 m /s

18. En una tubería de 6’’ de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al diámetro), es de 22000. Calcular el coeficiente

f

de Darcy.

Solución: Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8)

f=

0.316 ℜ

1 4

=

0.316 22000

1 4

=0.0259

Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14.

1 =2 log ( ℜ √ f ) −0.8 √f 6.21=2 log ( 22000∗√ 0.0259 )−0.8 6.21 ≈6.29 Por lo tanto podemos comprobar que nuestra Darcy es:

f =0.0259

19.- Comparar los ejemplos 8 y 9 y demostrar que se trata de una misma tubería,) con la única diferencia en la longitud).

Solución: Combinando la ecuación de colebrook y White obtenemos:

k 5.74 + 0.9 3.7∗D ℜ log ⁡¿ ¿ ¿ ¿ 0.25 f= ¿

[

2

log ⁡(

log

(

]

k 5.74 0.25 + ) = 3.7∗D ℜ0.9 f

)√

k 5.74 0.25 + 0.9 = 3.7∗D ℜ f

√

0.25 f

k 5.74 + 0.9 =10 3.7∗D ℜ k = 10 √

(

0.25 f

−

)

5.74 ∗3.7∗D 0.9 ℜ

23.- En una tubería de 0.75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es −4 2 1.25∗10 m / s . La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100

de

m de recorrido se pierde una energía equivalente a 1,45 m columna fluida. Calcular cual sería el porcentaje de disminución en el gasto si resulta que el diámetro de 0.75 m es exterior y no interior, como se supuso en los cálculos.

El espesor de la tubería es de 2 cm.

Solución: a. Utilizando la ecuación (3-18).

1 3.71 D =2 log k √f

(

)

Despejando obtenemos.

(

f=

1 3.71 D 2 log k

(

2

)

)

f =0.0126 Ahora utilizando la ecuación de perdida de Carga

f ∗L 2 ∗V D H= 2g

Reemplazando datos

0.0126∗100 ∗V 2 0.75 1.45= 2∗9.81 V =4.11m/s Calculo de Área.

Q= A∗V Q=0.44179∗4.11 Q=1.81576 m 3 /s

b. Utilizando la ecuación (3-18).

1 3.71 D =2 log k √f

(

)

Despejando obtenemos.

1 f= 3.71 D 2 log k

(

(

2

)

)

f =0.0127 Ahora utilizando la ecuación de perdida de Carga

f ∗L ∗V 2 D H= 2g Reemplazando datos

0.0127∗100 2 ∗V 0.73 1.45= 2∗9.81 V =4.04 m/s

Calculo de Área.

Q= A∗V Q=0.41854∗4.04 3

Q=1.69090 m /s Calculamos el porcentaje de disminución.

Por una regla de tres simples obtenemos.

∆ Q=6

24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.

Solución:

1 2 √f

=log

ℜ√f 2.51

Reemplazamos los datos de la pregunta 23.

1 3082500 √0.0126 =log 2.51 2 √ 0.0126 4.45 ≈ 5.14 En el otro caso reemplazando tenemos.

1 2949200 √0.0127 =log 2.51 2 √ 0.0127 4.43 ≈ 5.12

25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm.

Se mantienen un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de −6

columna de agua por cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de

2

10 m . s

Después de algunos años de uso, la rugosidad aumento a 1.5 mm. Calcular los valores iniciales y finales de la velocidad media y del coeficiente

f

de Darcy.

Calcular cual sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tiene el nuevo valor de la rugosidad.

Solución: Tenemos

f=

f=

[

0.25 2 k 5.74 log ⁡( + 0.9 ) 3.7 D ℜ

]

0.25

[

k 5.74 log ⁡( + 3.7 D V∗D v

(

2

)

0.9

)

]

f inicial =0.0197

cuando=k =1.5 m En la ec. Darcy.

f∗L ∗V 2 D hf = 2g 0.25

[ hf =

k 5.74 log ⁡( + 3.7 D V ∗D v

(

D 2g

0.9

)

)

]

2

∗L

∗V 2

0.25

[

−3

10 5.74 log ⁡( + ) 3.7∗1 V∗1 0.9 10−6

( )

2

]

∗100

∗V 2

1 2∗9.81

2= V =4.5 m/ s

Seguimos analizando.

0.25

[

k 5.74 log ⁡( + 3.7 D V ∗D v

(

0.9

)

)

]

2

∗L

∗V 2

D 2g

hf =

0.25

[

1.5∗10−3 5.74 log ⁡( + ) 3.7∗1 V∗1 0.9 10−6

( )

2

]

∗100

∗V 2

1 2∗9.81

2= V final=4.3

m s

f final =0.0218 Hallando la energía requerida para mantener velocidades iniciales.

0.25

[

−3

1.5∗10 5.74 log ⁡( + 3.7∗1 4.3∗1 10−6

hf = hf =2.25 m

(

1 2∗9.81

0.9

)

)

]

2

∗100

∗4.32

CAPÍTULO IV

1.- Calcular el diámetro que debe tener una tubería de acero rolado para conducir 1500 l/s, de aceite cuya viscosidad es 1 poise (peso específico 910 kg/m^3). El acero es nuevo. La pérdida de carga por fricción es de 1 m por cada 100 m de tubería.

Solución:

Datos: Longitud (m) = 100 Hf (m) = 1.00 Caudal (m3/s) = 1.50 Rugosidad Absoluta K(m) = 0.00005 Viscosidad De Aceite = 1.00 Poise Peso Específico = 910 Kg/m3 Viscosidad (Ν) = 0.00010989 m2/s PRIMER PASO Suponemos un valor para f: f =0,02

Luego hallamos el diámetro: D 5=0,0827 5

f 2 Q S

D =0,1654 Q

2

D=0,821 m Ahora hallamos el Nº de Reynolds: 4Q ∗1 πv 4 ℜ= ℜ=2,1 x 10 D Luego hallamos la rugosidad relativa: k =0.000061 D f=

1.325

(( ln

k 5.7 + 0.9 3.7 D ℜ

2

))

Hallamos el f f =0.0256 SEGUNDO PASO Hallamos nuevamente el diámetro con el nuevo f D 5=0,0827

f 2 Q S

D 5=0.2117067 Q 2 D=0.862 m

Hallamos el Nº de Reynolds: 4Q ∗1 πv ℜ= D ℜ=2 x 104 Luego hallamos la rugosidad relativa: k =0.000058 D

Como el valor que hemos encontrado para f es igual al último valor supuesto, este es el correcto. Por lo tanto, usaremos el diámetro del segundo procedimiento que es: D=0.862 m=34 2.- En el tanque mostrado en la figura hay un líquido cuyo peso específico es de 900 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,12 kg/cm 2. Descarga por medio de la tubería mostrada, que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad del líquido sabiendo que el gasto es de 4 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, por lo que puede despreciarse la pérdida de carga local. La carga H es 0,90 m y la longitud L es 8 m.´

Solución: Datos: Presión (Kg/cm2) = 0.12 γ (Kg/m3) = 900 Velocidad (m/s) = 3.183099 Ν (m2/s) = ¿?

Rugosidad Absoluta K: Tubo Muy Liso (Cobre) 0.0000015 Ecuación de la energía entre (0 - 1): v 02 P o v 12 P 1 + + z 0= + + z 1 2g γ 2g γ

como:

z 0−z 1=0.90 v 0 =0

Po v2 P +0.9= 1 + 1 …(1) γ 2g γ Longitud (m) = 8 Φ En cm = 4 Φ En metros = 0.04 Caudal (m3/s) = 0.004 H (m) = 0.9 Ecuación de la energía entre (1 - 2): v 12 P1 v2 P + + z1 = 2 + 2 + z2 +h f 1−2 2g γ 2g γ como:

z 1=z 2 , P2=0

v 1=v 2=v

L1 ∗v 12 P1 D =f 1 … ( 2) γ 2g Reemplazando 2 en 1 L1 ∗v 2 Po v1 D1 1 +0.9= +f γ 2g 2g 2

2

Po v L +0.9= 1 (1+f 1 ) γ 2g D1 4

2

0.12∗10 3.183099 8 +0.9= (1+ f ) γ 19.62 0.04 f =0.01662

Luego hallamos el número de Reynolds

f=

1.325

(( ln

k 5.7 + 3.7 D ℜ0.9

2

))

ℜ=1.54∗105 Ahora hallaremos la viscosidad del líquido: V=

vD ℜ

V=

3.183099∗0.04 5 1.54∗10 −7

2

V =8.268∗10 m /s 3.- El sistema mostrado en la figura descarga agua a la atmósfera. Calcular el gasto. La embocadura es con bordes agudos. La tubería de 6 cm de diámetro es de fierro fundido nuevo. La temperatura del agua es de 20º C.

Solución: Longitud (m) = 80 Φ En Cm = 6 Φ En Metros = 0.06 Ν (m2/s) = 0.000001 Rugosidad Absoluta K: Fierro Fundido Nuevo 0.00025

K: Embocadura con bordes agudos – Salida –

K 2=1

Tenemos la rugosidad relativa: k 0.00025 = =0.0042 D 0.06 Ahora hallamos el f de Moody: 1 3.71∗D =2∗log ⁡( ) K √f 1 3.71∗0.06 =2∗log ⁡( ) 0.00025 √f f =0.02874 H (m)=100 Área=0.0028274

Reemplazando los datos, hallamos la velocidad: f∗L 2 ∗v K 1∗v K 2∗v 2 D H= + + 2g 2g 2g 2

K ∗v 2 H= 1 + 2g

0.02874∗80 2 ∗v K ∗v 2 0.06 + 2 2g 2g 2

2

100=0.025484∗v +1.952800446∗v + 0.051∗v

100=2.029253∗v 2 v =7.019916

m s

Hallamos el No de Reynolds: ℜ=

vD V

2

K 1=0.5

ℜ=

7.019916∗0.06 0.000001

ℜ=421194.9419 5

ℜ=4.2∗10

Hallamos el nuevo valor de f del abaco de Moody: f=

1.325

(( ln

f=

k 5.7 + 3.7 D ℜ0.9

2

))

1.325

(( ln

0.0042 5.7 + 5 0.9 3.7 ( 4.2∗10 )

2

))

f =0.029115 Reemplazando los datos, hallamos la nueva velocidad: f∗L 2 ∗v K 1∗v K 2∗v 2 D H= + + 2g 2g 2g 2

0.5∗v 2 100= + 2g

0.029115∗80 2 ∗v 0.06 1∗v 2 + 2g 2g

100=0.025484∗v 2 +1.978605745∗v 2+ 0.051∗v2 100=2.055058∗v

v =6.975702

2

m s

Hallamos el nuevo No de Reynolds: ℜ=

vD V

ℜ=

6.975702∗0.06 0.000001

ℜ=418542.1224

ℜ=4.2∗105 Por lo tanto, los valores correctos: f =0.02912 V =6.975702 m/s

ℜ=4.2∗105 Por lo tanto, hallamos el caudal o gasto con los valores correctos: Q=v∗A Q=0.019723 m3 /s Q=19.723 l/s

4.- Calcular el gasto en el problema 3 si se coloca en la tubería una válvula de globo completamente abierta.

Solución:

Datos: Longitud = 80 Φ En cm = 6 Φ En metros = 0.06 Ν (M2/S) = 0.000001 Rugosidad Absoluta K

Fierro Fundido Nuevo 0.00025 K Embocadura Bordes Agudos K1 = 0.50 Válvula de globo compuerta abierta K2 = 10.0 Salida K3 = 1.0 Primero tenemos la rugosidad relativa k 0.00025 = =0.0042 D 0.06 Ahora hallamos el f de Moody: 1 3.71∗D =2∗log ⁡( ) K √f 1 3.71∗0.06 =2∗log ⁡( ) 0.00025 √f f =0.02874 H (m)=100 Área=0.002827433

Reemplazando los datos, hallamos la velocidad: f∗L 2 ∗v 2 2 2 K 1∗v K ∗v K 3∗v D H= + + 2 + 2g 2g 2g 2g 0.02874∗80 2 ∗v K 1∗v 0.06 10∗v 2 v 2 H= + + + 2g 2g 2g 2g 2

2

2

2

100=0.025484∗v +1.952800446∗v + 0.5097∗v +0.050968∗v

100=2.538937∗v 2 v =6.275871

Hallamos el No de Reynolds: ℜ=

vD V

2

ℜ=

6.275871∗0.06 0.000001

ℜ=376552.2826 5

ℜ=3.8∗10

Hallamos el nuevo valor de f del abaco de Moody: f=

1.325

(( ln

f=

k 5.7 + 3.7 D ℜ0.9

2

))

1.325

(( ln

0.0042 5.7 + 5 0.9 3.7 (3.8∗10 )

))

2

f =0.02915 Reemplazando los datos, hallamos la nueva velocidad: 0.02915∗80 2 ∗v 0.5∗v 0.06 10∗v2 v 2 100= + + + 2g 2g 2g 2g 2

100=0.025484∗v 2 +1.981218499∗v 2+ 0.5097∗v 2+ 0.050968∗v 2 100=2.567355∗v

v =6.241041

2

m s

Hallamos el nuevo No de Reynolds: ℜ=

vD V

ℜ=

6.241041∗0.06 0.000001

ℜ=374462.4548 ℜ=3.7∗10 5 Por lo tanto, los valores correctos:

f =0.02915 V =6.241041 m/s ℜ=3.7∗10 5 Por lo tanto, hallamos el caudal o gasto con los valores correctos: Q=v∗A 3

Q=0.017646 m / s

Q=17.646 l/s

5.- Calcular cuál debe ser el valor de la carga H en el sistema mostrado en la figura para que el gasto sea de 10 l/s. La tubería es de fierro forjado, de 3" de diámetro. La longitud total es de 75 m. La viscosidad del aceite es 0,1 poise y su peso específico relativo es 0,9. La entrada es con bordes agudos. El codo es a 90º. Calcular cada una de las pérdidas de carga.

Solución: Datos: Longitud (m) = 75 Φ En " = 3 Φ En Metros = 0.0762 Caudal (m3/s) = 0.01 Área = 0.004560367 m2 Velocidad (m/s) = 2.192805824

Fierro Forjado Rugosidad Absoluta = 0.000045 Viscosidad del aceite = 1 poise Peso específico = 900 kg/m3 Viscosidad (v) = 0.000111111 m2/s K: Entrada con bordes agudos

K1=0.50

Accesorios de un codo de 90o

K2=0.90

Salida

K3=1.00

Luego hallamos la rugosidad relativa: k 0.000045 = =0.000590551 D 0.0762 Ahora hallamos el número de Reynolds: ℜ=

vD V

ℜ=

2.192805824∗0.0762 0.0001111

ℜ=1503.976632 ℜ=1.5∗10

3

Reemplazando datos, hallamos el f: f=

1.325

(( ln

0.0042 5.7 + 3.7 (3.8∗105 )0.9

))

2

f =0.057 Reemplazando los datos, hallamos la carga H:

f∗L 2 ∗v K 1∗v 2 K ∗v 2 K 3∗v 2 D H= + + 2 + 2g 2g 2g 2g 0.057∗75 2 ∗v 0.5∗v 0.0762 0.9∗v 2 v 2 H= + + + 2g 2g 2g 2g 2

H=0.122538+13.74908+ 0.465645 H=14.337 m Ahora calculamos cada una de las pérdidas de carga 2

Embocadura

Continua

K 1∗v =0.12254 m 2g f∗L 2 ∗v D =13.74908 m 2g

Accesorio

K 2∗v 2 =0.22057 m 2g

Entrega

K 3∗v =0.24508 m 2g

2

TOTAL DE ENERGÍA DISPONIBLE:

14.33727 m

6.- Se tiene una tubería de fierro fundido, asfaltado, de 6" de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de un estanque cuya superficie libre está 5 m por encima del punto de descarga de la tubería. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90º y una válvula de globo completamente abierta. La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto. Considérese que la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s.

Solución: Datos: Longitud (M) = 80 Φ en " = 6 H (m) = 5

Φ en metros = 0.1524 Caudal (m3/s) = ¿?

Fierro Fundido Asfaltado Rugosidad Absoluta = 0.000045 Área (m2) = 0.018241469 Viscosidad (m2/s) = 0.000001 K Entrada Con Bordes Agudos

K1 = 0.50

Accesorio (2 Codos Standar De 90º)

K2 = 1.80

Válvula De Globo Completamente Abierta

K3 = 10.0

Salida

K4 = 1.00 ´

Tenemos la rugosidad relativa: k 0.000045 = =0.000295 D 0.1524 Ahora hallamos el f de Moody: 1 3.71∗D =2∗log ⁡( ) K √f 1 3.71∗0.1524 =2∗log ⁡( ) 0.000045 √f f =0.01488 Reemplazando los datos hallamos la velocidad: f∗L 2 ∗v K 1∗v 2 K 2∗v 2 K 3∗v 2 K 4∗v 2 D H= + + + + 2g 2g 2g 2g 2g 0.01488∗80 2 ∗v 0.5∗v 0.1524 1.8∗v 2 10∗v 2 v 2 5= + + + + 2g 2g 2g 2g 2g 2

2

2

2

2

2

2

2

5=0.025484 v +0.398069749 v +0.091743 v +0.509683996 v +0.050968 v 5=1.075949∗v

2

v =2.155704 m/s Hallamos el No de Reynolds ℜ=

vD V

ℜ=

2.155704∗0.1524 0.0000001

ℜ=328529.2426 5

ℜ=3.3∗10

Reemplazando datos, hallamos el f: f=

1.325

(( ln

f=

k 5.7 + 0.9 3.7 D ℜ

2

))

1.325

(( ln

0.000295 5.7 + 5 0.9 3.7 (3.3∗10 )

2

))

f =0.01687

Reemplazando los datos hallamos la nueva velocidad: f∗L 2 ∗v K 1∗v K 2∗v 2 K 3∗v 2 K 4∗v 2 D H= + + + + 2g 2g 2g 2g 2g 2

0.01687∗80 2 ∗v 0.5∗v 0.1524 1.8∗v 2 10∗v 2 v 2 5= + + + + 2g 2g 2g 2g 2g 2

2

2

2

5=0.025484 v +0.451345282 v + 0.091743 v +0.509683996 v +0.050968 v 5=1.129225∗v

2

v =2.104238 m/ s

Hallamos el nuevo No de Reynolds ℜ=

vD V

ℜ=

2.104238∗0.1524 0.0000001

ℜ=320685.7984 ℜ=3.2∗105 Por lo tanto, los valores correctos, son los nuevos: f =0.01687 V =2.104238 m/s ℜ=3.2∗105 Por lo tanto, hallamos el caudal o gasto con los valores correctos: Q=v∗A 3

Q=0.038384 m / s

Q=38.384 l/ s

7.- La pérdida de presión Δp debida a una válvula, codo o cualquier otra obstrucción en una tubería depende de la forma de la obstrucción, del diámetro D de la tubería, de la velocidad media V del escurrimiento, de la densidad p del fluido y de su viscosidad dinámica. Determinar la forma más general de una ecuación, dimensionalmente homogénea para obtener Δp. ¿Qué forma particular tomaría esta ecuación cuando la viscosidad es despreciable?

Solución: Sabemos:

S=

2 μv …(1) γ R2

S=

hf …(2) L

2 p1 −p 2 v =hf +k …(3) γ 2g

p1− p2=

32 μvL …( 4) D2

De estas 4 podemos obtener lo siguiente al reemplazar los datos del problema: De (4): L=

∆ p D2 …(5) 32 μv

De (1) y (2): hf 2 μv = L γ R2 2

hf γ R L= …(6) 2 xμxv De (5) y (6): hf γ R2 ∆ p D2 = 2 μv 32 μv Reemplazamos hf de la ecuación (3) en la igual anterior:

(

∆p v2 −k γ R2 2 γ 2g ∆pD = 2 μv 32 μv

)

Simplificando: 16

(

∆p v2 −k γ R2=∆ p D2 γ 2g

)

16 ∆ p R 2−16 k

2

v γ R2 =∆ p D 2 2g

∆ p ( 16 R2−D2 ) =16 k

∆ p=

16 k v 2 γ R2 2 2 2 g(16 R −D )

∆ p=

8 k v 2 γ R2 2 2 g( 4 D −D )

∆ p=

8k v γ R 2 3gD

2

2

v γ R2 2g

2

8.- En el tanque mostrado en la figura del problema 2, hay un líquido cuyo peso específico es 750 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,04 kg/cm2.

Descarga por medio de la tubería mostrada que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad del líquido sabiendo que el gasto es de 1 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, por lo que puede despreciársela pérdida de carga local La carga H es 0.30m y la longitud L es 20m.

Solución: Aplicamos Bernoulli entre 0 - 1:

2

2

v 0 P0 v P + + z 0= 1 + 1 + z 1 2g γ 2g γ Sabemos: v 0 =0, z 0 −z1 =0.3 2

P1 P0 v = + 0.3− 1 … … … …(1) γ γ 2g Aplicamos Bernoulli entre 1 – 2: 2

2

v 0 P0 v P + + z 0= 1 + 1 + z 1+ hf 1−2 2g γ 2g γ Simplificamos: 2

P1 L1 v 1 =hf 1−2=f … … … … (2) γ D1 2 g

Igualamos (2) y (1): P0 v 21 L1 v 21 +0.3− =f γ 2g D1 2 g P0 v 21 L +0.3= 1−f 1 γ 2g D1

(

)

Remplazamos los datos en (3), para obtener f: 0.04 x 104 0.7957792 20 +0.3= 1+ f 750 19.62 0.04

(

f =0.04964

Hallando el N° de Reynolds: f=

1.325

(( ln

e 5.7 + 0.9 3.7 D ℜ

0.04964=

2

))

1.325

(( ln

ℜ=2152.74

0.000038 5.7 + 0.9 3.7 ℜ

2

))

)

Sabemos V=

ℜ=

vxD , entonces: V

0.795775 x 0.04 2152.74 −5

V =1.4786 x 10 m 2/s

9.- Se tiene una tubería de fierro fundido de 6" de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de un estanque que tiene 5 m de carga con respecto al punto de desagüe. A lo largo de la tubería hay 2 codos standard de 90º y una válvula (K = 10). La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto (T = 20º C).

Solución: Hallamos el f de Moody:

1 D =2 log ⁡ 3.71 e √f

(

)

1 0.1524 =2 log 3.71 0.00025 √f

(

)

f =0.02222 Hallando la velocidad: v2 v2 v2 v2 L v2 H=K 1 +K2 +K3 +K4 +f 2g 2g 2g 2g D 2g 5=0.5

v2 v2 v2 v2 80 v2 +1.8 +10 + +0.02222 19.62 19.62 19.62 19.62 0.1524 19.62

v =1.982376 m/ s Hallamos el N° de Reynolds: ℜ=

vxD V

ℜ=

1.982376 x 0.1524 0.000001

ℜ=302114.1335=3 x 105 Entonces Hallamos f: f=

1.325

(( ln

f=

k 5.7 + 0.9 3.7 D ℜ

2

))

1.325

(( ln

0.00164 5.7 + 0.9 3.7 ( 3 x 105 )

2

))

f =0.02305 Recalculamos la velocidad: v2 80 5= 0.5+1.8+10+1+0.02305 19.62 0.1524

(

v =1.965174 m/s

)

Al ser las velocidades bastantes próximas los nuevos valores obtenidos son correctos.

Por lo tanto, hallamos el caudal: Q=vxA Q=0.035848 m3 / s=35.848 l /s

10.- Dos estanques cuya diferencia de nivel es de 25 m están unidos por una tubería de 6" de diámetro y 1550m de longitud (asbesto - cemento, nuevo). La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. Calcular el gasto.

Solución: Hallamos f de Moody: 1 D =2 log 3.71 K √f

(

)

1 0.1524 =2 log 3.71 0.000025 √f

(

)

f =0.01318 Hallamos la velocidad: 2

H=hf =f

L v D 2g 2

1550 v H=25=0.01318 0.1524 19.62 v =1.91252m/s Hallamos el N° Reynolds: ℜ=

vxD V

ℜ=

1.91252 x 0.1524 =291468.2853≈ 2.9 x 10 5 0.000001

Hallamos el nuevo valor Moody: f=

1.325

(( ln

f=

e 5.7 + 0.9 3.7 D ℜ

2

))

1.325

(( ln

0.000164 5.7 + 0.9 3.7 ( 2.9 x 10 5 )

2

))

f =0.01605

Recalculamos la velocidad con este nuevo f: 2

H=25=0.01605

1550 v 0.1524 19.62

v =1.73358 m/ s

Al ser las velocidades bastantes próximas nos quedamos con estos valores.

Por lo tanto, hallamos el caudal: Q=vxA 3

Q=0.031623 m /s=31.623 l/s

11.- ¿Cuál es la diferencia de nivel que debería existir entre los dos estanques del problema anterior para que el gasto sea de 50l/s?

Solución: ℜ=

vxD V

ℜ=

2.741007 X 0.1524 5 =4.2 x 10 0.000001

Hallamos el f: f=

1.325

(( ln

e 5.7 + 3.7 D ℜ0.9

2

))

f=

1.325

(( ln

0.000164 5.7 + 0.9 3.7 ( 4.2 x 105 )

2

))

f =0.01542

Reemplazando este nuevo f hallamos H: 2

H=hf =f

L v D 2g

H=0.01542

1550 2.741007 0.1524 19.62

2

H=60.039 m

12.- Dos estanques están conectados por una tubería de 12" de diámetro y 915 m de largo. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 24,5 m. A una distancia de 300 m del primer estanque se ha colocado en la tubería una válvula de 3" que descarga libremente a la atmósfera. Esta válvula está 15 m debajo del nivel del estanque. Para los efectos de este problema se puede considerar a la válvula como un orificio circular de coeficiente de descarga igual a 0,95. Considerando que el coeficiente f de fricción es constante e igual al valor de 0,032. Calcular el gasto: a) cuando la válvula está cerrada, b) cuando la válvula está abierta.

Solución: Tubería 1

Tubería 2

Longitud (m) = 300

Longitud (m) = 915

Φ En " = 3

Φ En " = 13

Φ En Metros = 0.0762

Φ En Metros = 0.3048

Área (m2) = 0.004560367

Área (m2) = 0.072965877

Viscosidad (m2/s) = 0.000001

Viscosidad (m2/s) = 0.000001 f = 0.032 H (m) = 24.5

f = 0.032 H (m) = 15 L (m) = 300vv

L (m) = 915

Coeficiente de velocidad = 0.95 Salida K1 = 1.00 a) cuando la válvula está cerrada

f 1∗L1 1 −1 ∗v 12 ∗v 12 2 D1 v 12 cv H= + + 2g 2g 2g

(

)

1 0.032∗300 −1 ∗v12 ∗v 12 2 v 12 0.95 0.0762 15= + + 2g 2g 2g

(

2

)

2

15=6.421216∗v 1 +0.005506 ¿ v 1 +0.050968 ¿ v 1

2

15=6.477690∗v12 v 1=1.521723

m s

Ahora obtendremos el No de Reynolds: ℜ=

vxD V

ℜ=115955.29 .26=1.2∗105 Hallamos el nuevo f: f=

1.325

(( ln

k 5.7 + 0.9 3.7 D ℜ

2

))

f =0.01745 Ahora hallaremos nuevamente la velocidad v 1:

f 1∗L1 1 −1 ∗v 12 ∗v 12 2 D1 v 12 cv H= + + 2g 2g 2g

(

)

1 0.01745∗300 −1 ∗v 12 ∗v 12 2 v2 0.95 0.0762 15= + + 1 2g 2g 2g

(

)

2

2

15=3.501569∗v 1 +0.005506 ¿ v 1 +0.050968 ¿ v 1 15=3.558044∗v 1

v 1=2.053241

2

2

m s

Ahora obtendremos el nuevo N de Reynolds: ℜ=156456.983=1.7∗105 Por lo tanto, los valores correctos: f =0.01745

ℜ=1.56∗10 5 v 1=2.053241

m s

Ahora hallaremos el gasto con estos valores Q=vxA Q=0.009364 m3 / s=9.364 l/s b) cuando la válvula está cerrada

Según la ecuación de continuidad sabemos que: Q1=v1 x A 1=v 2 x A2 v 2=0.0625 v 1

Hallaremos las velocidades

v2

y v1

cuando está abierta la válvula

f 1∗L1 1 f 2∗L2 −1 ∗v 12 ∗v 12 ∗v 22 2 2 D1 v D v 22 cv 1 2 H= + + + + 2g 2g 2g 2g 2g

(

)

1 0.032∗300 −1 ∗v12 ∗v 12 2 2 2 0.95 0.0762 0.032∗915 v 1 v 2 24.5= + + + 2g 2g 0.3048 2 g 2 g

(

)

2

2

2

24.5=6.421216∗v 1 +0.005506 ¿ v 1 +0.019126 ¿ v 1 +0.000199 ¿ v 1

2

2

24.5=6.446047∗v 1

v 1=1.949559

m s

Luego hallamos la velocidad v 2=0.121847

v2

m s

Ahora obtendremos los No de Reynolds: Tubería 1 No Reynolds = 148556.373 f de Moody = 0.01656 Tubería 2 No Reynolds = 37139.093 f de Moody = 0.02230 v2

Hallaremos las nuevas velocidades

y v1

cuando está abierta la válvula:

f 1∗L1 1 f 2∗L2 −1 ∗v 12 ∗v 12 ∗v 22 2 2 D1 v D v 22 cv 1 2 H= + + + + 2g 2g 2g 2g 2g

(

)

1 0.01656∗300 −1 ∗v 12 ∗v 12 2 2 2 0.95 0.0762 0.02230∗915 v 1 v 2 24.5= + + + 2g 2g 0.3048 2g 2 g

(

)

24.5=3.322979∗v 12 +0.005506 ¿ v 12 +0.013328 ¿ v 12 +0.000199 ¿ v 12

24.5=3.342013∗v 1 v 1=2.707566

2

m s

Ahora, la nueva velocidad v 2=0.169223

v2 :

m s

Ahora obtendremos los nuevos No de Reynolds: Tubería 1 No Reynolds = 206316.501 Tubería 2 No Reynolds = 51579.125 Por lo tanto, los nuevos valores: f 1 =0.01656 f 2=0.02230

ℜ1=206316.501 ℜ2=51579.125

v 1=2.707566 v 2=0.169223

Por último, hallamos el caudal: Q=vxA Q=0.012347 m3 / s=12.347 l / s 13.- Dos reservorios están conectados por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6" en los primeros 15 m y 8" de diámetro en los siguientes 25,1m. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. Calcular cuál debe ser la diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos reservorios para que el gasto sea de 123,5 l/s. Dibujar la línea

de energía y la línea de gradiente hidráulica, calculando previamente cada una de las pérdidas de carga. La viscosidad cinemática del agua es 1,3 x 10 -6 m2/s.

Solución: Tubería 2

Tubería 1

Longitud (m) = 25.1

Longitud (m) = 15

Φ En " = 8

φ en " = 6

Φ En Metros = 0.2032

φ en metros = 0.1524

Área (m2) = 0.032429279

Area (m2) = 0.018241469

Viscosidad (m2/s) = 3.808286989

Velocidad (m/s) = 6.770287981

Caudal (m3/s) = 0.1235

Caudal (m3/s) = 0.1235

Viscosidad (m2/s) = 0.0000013

Viscosidad (m2/s) = 0.0000013

Reynolds (Re) = 595264.551

Reynolds (Re) = 793686.068

Fierro Galvanizado - Rugosidad Absoluta 0.00015 Tubería

Rugosidad Relativa (K/D)

F DE MOODY

1

0.000984

0.02004

2

0.000738

0.01825

Entrada con bordes ligeramente redondeados K1 = 0.26 Ensanchamiento Cambio Brusco K2 = 1.00 Salida K3 = 1.00 Según la ecuación de continuidad sabemos: Q1=v1 x A 1=v 2 x A2 v 2=0.5625 v 1

Hallamos la diferencia de nivel H entre las 2 tuberías: 2

H=K 1

2

2

2

2

v1 L v ( v 1−v 2 ) L v v +f 1 1 1 + K +f 2 2 2 +K3 2 2g D1 2 g 2g D2 2 g 2g 2

2

0.26∗v 12 0.02004∗15 v 12 ( v 1−0.5625 v 1 ) L2 v 2 2 v 2 2 H= + + + 0.01825 + 2g 0.1524 2 g 2g D2 2 g 2 g H=0.26∗v 12 +

L 0.02004∗15 2 v 1 + v 12+ 0.01825 2 v12 + v12 0.1524 D2

H=0.17601∗45.836799 H=8.06775 m

Dibujamos la línea de energía y la línea piezométrica o línea de gradiente hidráulica:

Ahora calculamos cada una de las pérdidas de carga: Embocadura

K 1∗v 12 2g

Continua 1

L v f1 1 1 D1 2 g

0.60742 M 2

4.60715 M 2

Cambio Brusco K2

(v −v ) K2 1 2 2g

0.44717 M

2

L2 v 2 D2 2 g

Continua 2

f2

Entrega

v K3 2 2g

1.66681 M

2

0.73920 M

Total De Energía Disponible: 8.06775 m 14.- Dos estanques tienen una diferencia de nivel de 34,7 m. El primer tramo de la tubería que los une tiene 3" de diámetro y 100 m de longitud. Calcular que

longitud debe tener el segundo tramo, cuyo diámetro es de 2", para que el gasto se 8 l/s. La embocadura es acampanada (K = 0,04). La transición es gradual. La temperatura es de 20º C. La tubería es de fierro forjado.

Solución:

Datos: Tubería 1: Longitud (m) = 100 Φ En " = 3 Φ En Metros = 0.0762 Área (m2) = 0.0045604 Velocidad (m/s) 1.754245 Caudal (m3/s) = 0.008 Viscosidad (m2/s) = 0.000001 Reynolds (Re) = 133673.443

Tubería 2 Longitud (m) = ¿? Φ En " = 2 Φ En Metros = 0.0508 Área (m2) = 0.0020268 Viscosidad (m2/s) = 3.947050 Caudal (m3/s) = 0.008 Viscosidad (m2/s) = 0.000001 Reynolds (Re) = 200510.165

Fierro Forjado - Rugosidad Absoluta (K) = 0.000045 Altura (H) 34.7 Hallamos: Tubería 1 Rugosidad Relativa (K/D) = 0.000591

f De Moody = 0.02011 Tubería 2 Rugosidad Relativa (K/D) = 2 0.000886 f De Moody = 0.02071 K Entrada Con Bordes Acampanados K1 = 0.04 Contracción Gradual

K2 = 0.00

Salida

K3 = 1.00

Hallamos La Longitud en El 2do Tramo 2

2

2

2

L2 : 2

v L v v L v v H=K 1 1 +f 1 1 1 + K 2 +f 2 2 2 + K 3 2 2g D1 2 g D2 2 g 2g 2 2g

Reemplazamos Los Datos Y Hallamos La Longitud

L2 :

2

0.04∗v 12 0.02011∗100 v 12 ( v 1−0.5625 v 1 ) L2 v 2 2 v 22 34.7= + + +0.02701 + 2g 0.0762 2g 2g 0.0508 2 g 2 g 34.7=0.006274+ 4.139531+ 0.323685 L2 +0.794047

29.760=0.323685 L2 L2=91.942 m

15.- Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6" de diámetro en los primeros 15 m y 8" de diámetro en los siguientes 20 m. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados y el cambio de sección brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 8 m. La viscosidad del agua es de 1,3 x 10 -6 m2/s. Calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de gradiente hidráulica.

Solución:

Datos: Tubería 1

Tubería 2

Longitud (m) = 15

Longitud (m) = 20

Φ En " = 6

Φ En " = 8

Φ En Metros = 0.1524

Φ En Metros = 00.2032

Área (m2) = 0.018241469

Área (m2) = 0.032429279

Viscosidad (m2/s) = 0.0000013

Viscosidad (m2/s) = 0.0000013

Fierro Galvanizado - Rugosidad Absoluta = 0.00015 Altura (H) = 8 Hallamos: Tubería 1: Rugosidad Relativa (K/D) = 0.000984 f De Moody = 0.01955 Tubería 2: Rugosidad Relativa (K/D) = 0.000738 f De Moody = 0.01825

K Entrada Con Bordes Ligeramente Redondeados K1 = 0.26 Ensanchamiento Cambio Brusco

K2 = 1.00

Salida

K3 = 1.00

Según la ecuación de continuidad sabemos: Q1=v1 x A 1=v 2 x A2 v 2=0.5625 v 1

Hallamos las velocidades 2

v1

2

y v2

mediante la fórmula:

2

2

2

v1 L1 v 1 ( v 1−v 2 ) L2 v 2 v2 H=K 1 +f 1 +K +f 2 +K3 2g D1 2 g 2g D2 2 g 2g 2

Reemplazamos los datos y ponemos en función de V1 para obtener las velocidades: 2

0.26∗v 12 0.01955∗15 v 12 ( v 1−0.5625 v 1 ) L2 v 2 2 v 2 2 8= + + + 0.01825 + 2g 0.1524 2 g 2g D2 2 g 2 g 8=0.013252∗v 12 +0.098059∗v 12 +0.009756∗v 12 +0.028967 v 12 +0.016127 v 12 8=0.16616 v 1

2

v 1=6.938752m/s

Luego hallamos la velocidad

v2 :

v 2=3.903048m/ s Ahora obtendremos los Nº de Reynolds: Tubería 1 Tubería Reynolds (Re) = 813435.268 Rugos. Relativa (K/D) =0.000984 Nuevo F De Moody = 0.02003 Tubería 2 Tubería Reynolds (Re) = 610076.451 Rugos. Relativa (K/D) =0.000738 Nuevo F De Moody = 0.01898

Ahora

hallaremos

las

nuevas

v1

velocidades

v2 :

y

2

0.26∗v 12 0.02003∗15 v 12 ( v 1−0.5625 v 1 ) L2 v 2 2 v 2 2 8= + + + 0.01825 + 2g 0.1524 2 g 2g D2 2 g 2 g 2

2

2

2

8=0.013252∗v 1 +0.100461∗v 1 + 0.009756∗v 1 + 0.030119 v 1 +0.016127∗v 1 8=0.169714∗v 1

2

v 1=6.865725m/ s Luego hallamos la nueva velocidad v 2 : v 2=3.861970m/ s Ahora hallaremos los nuevos Reynolds

ℜ1

y

ℜ2 :

Tubería 1 Reynolds (Re) = 1 804874.183 Tubería 2 Reynolds (Re) = 603655.637 Por lo tanto los valores correctos son los nuevos f 1 =0.02003 f 2=0.01898

ℜ1=8 x 10 5 ℜ2=6 x 10 5

v 1=6.865725m/ s v 2=3.861970m/ s

Por lo tanto, hallamos el caudal o gasto con los valores correctos: Q=0.125241 m3 / s=125.241l /s Ahora calculamos cada una de las pérdidas de carga:

2

2

Embocadura

Continua 1

Cambio Brusco

K1

f1

K2

v1 =0.62466 m 2g

L1 v 12 =4.73553 m D1 2 g

(v 1−v 2)2 =0.45986 m 2g 2

Continua 2

Entrega

L2 v 2 f2 =1.41975 m D2 2 g

K3

v 22 =0.76018 m 2g

TOTAL DE ENERGÍA DISPONIBLE 8.00000 m Dibujamos la línea piezométrica o línea de gradiente hidráulica:

16.- Dos estanques están conectados por una tubería cuyo diámetro es de 6" en los primeros 20 pies y de 9" en los otros 50 pies. La embocadura es con bordes agudos. El cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 20 pies. Calcular cada una de las pérdidas de carga y el gasto. Considerar f = 0,04 en ambas tuberías.

Solución:

Tubería

Longitud (pies)

φ en "

φ en metros

1

20

6

0.1524

2

50

9

0.2286

f de Moody

Área (m2) 0.01824146 9 0.04104330 6

0.04 0.04

Hallamos los Reynolds con esta fórmula: ℜ∗√ f 1 =2∗log ⁡ 2.51 √f

(

) Tubería 1 2

Reynolds (Re) 1255000 1255000

Longitud (m) 6.096 15.24

f de Moody 0.04 0.04

Hallamos los Rugosidad Absoluta con esta fórmula: 1 3.71∗D =2∗log ⁡( ) K √f Tubería

φ en metros

1 2

0.0254 0.0508

Rugosidad Rugosidad absoluta absoluta (k) (k/D) 0.0018 0.011811 0.0027 0.011811

H (pies)

H (m)

20

6.096

Embocadura Con Bordes Agudos K1 = 0.50 Ensanchamiento Cambio Brusco K2 = 1.00

Salida

K3 = 1.00

Según la ecuación de continuidad sabemos: Q1=v1 x A 1=v 2 x A2 v 2=0.44444 v 1

Hallamos las velocidades 2

H=K 1

v1

y v 2 mediante la fórmula:

2

2

2

2

v1 L1 v 1 ( v 1−v 2 ) L2 v 2 v2 +f 1 +K +f 2 +K3 2g D1 2 g 2g D2 2 g 2g 2 2

2

2

2

H=0.025484∗v 1 + 0.081549∗v 1 +0.015731∗v 1 +0.026848∗v 1 + 0.010068 v 1 H=0.159680∗v1

2

v 1=6.178701m/s v 2=2.746089m/ s

Ahora obtendremos la Viscosidad y el nuevo Nº de Reynolds: Viscosidad (V) 0.000001 0.000001

Tubería 1 2

Reynolds (Re) 1255000 1255000

f de Moody 0.04020 0.04020

Por lo tanto hallamos el caudal o gasto con los valores correctos: Q1=v1 x A 1=112.709 l/s Ahora calculamos cada una de las pérdidas de carga: 2

v K 1 1 =0.97289 m 2g

Embocadura

2

Continua 1

f1

L1 v 1 =3.12863 m D1 2 g 2

Cambio Brusco

K2

(v 1−v 2) =0.60055 m 2g

2

2

Continua 2

f2

L2 v 2 =1.03000 m D2 2 g 2

v K 3 2 =0.38435 m 2g

Entrega Total De Energía6.11463 m

17.- Dos reservorios cuya diferencia de nivel es de 6 m están unidos por una tubería de acero remachado nuevo, que tiene un primer tramo de 80 m de largo y 6" de diámetro. El segundo tramo, unido al primero por una expansión gradual (10º) tiene 120 m de largo y 8" de diámetro. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados. En el segundo tramo se ha colocado una válvula. Calcular para que valor de K, de la válvula, el gasto queda reducido al 90% (del que existiría en ausencia de la válvula). La temperatura del agua es de 15º C. Solución:

Tubería

Longitud (pies)

φ en "

φ en metros

1

80

6

0.1524

2

120

8

0.2032

Viscosidad (m2/s) 0.01824146 0.000002 9 5 0.03242927 0.000002 9 5 Área (m2)

Hallamos: Acero remachado

Tubería

Rugosidad relativa (K/D)

f de Moody

Altura (H)

0.00164 0.00123

1 2

nuevo

1 D =2 log 3.71 K √f

(

0.02222 0.02065

6

)

Haciendo el cálculo para hallar el ensanchamiento gradual de

K2 :

K Entrada bordes ligeramente redondeados

K 1 = 0.26

Ensanchamiento expansión gradual

K 2 = 0.16

Válvula

K 3 = ¿?

Salida

K 4 = 1.00

Según la ecuación de continuidad sabemos: Q1=v1 x A 1=v 2 x A2 v 2=0.5625 v 1

Hallamos las velocidades 2

H=K 1

v1 y v2

2

2

sin la Válvula mediante la fórmula: 2

2

v1 L v (v 1−v 2 ) L v v +f 1 1 1 + K +f 2 2 2 +K4 2 2g D1 2 g 2g D2 2 g 2g 2 2

2

2

2

H=0.013252∗v 1 +0.594445∗v 1 + 0.001561∗v 1 +0.196673∗v 1 +0.016127∗v 1 2

H=0.822057∗v 1

v 1=0.701622m/s

2

v 2=1.519662 m/s Ahora obtendremos los Nº de Reynolds: Reynolds (Re)

Tubería

164690.864 1 123518.148

1 2

Rugosidad Nuevo f relativa de Moody (K/D) 0.00164 0.00123

0.02362 0.02271

Ahora hallaremos las nuevas velocidades v1 y v2 sin la válvula: 2

H=K 1

2

2

2

2

v1 L v (v 1−v 2 ) L v v +f 1 1 1 + K +f 2 2 2 +K4 2 2g D1 2 g 2g D2 2 g 2g 2

H=0.013252∗v 12 +0.631842∗v 12+ 0.001561∗v 12 +0.216275∗v 12+ 0.016127∗v 12 2

H=0.879056∗v 1

v 1=2.612566m/ s v 2=1.469568 m/s

Ahora hallaremos los nuevos Reynolds Re1 Y Re2: Tubería 1 2

Reynolds (Re) 159262.030 7 119446.523 1

18. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6" de diámetro en los primeros 25 m y 8" en los 40 m restantes. La embocadura es perfectamente redondeada. El cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 20 m. Las tuberías son de fierro fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20º C. Calcular el gasto, y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica.

Solución:

0.04 1 1

ENTRADA PERFECTAMENTE REDONDEADA ENSANCHAMIENTO CAMBIO BRUSCO SALIDA

SegĂşn la ecuaciĂłn de continuidad sabemos:

V2

V1

đ?&#x2018;˝ďż˝

=

0.5625

đ?&#x2018;˝ďż˝

Hallamos las velocidades V1 y V2 mediante la fĂłrmula:

Reemplazamos los datos y ponemos en funciĂłn de V1 para obtener las velocidades:

2

2

2

2

20=0.002039V 1 +0.185780 V 1 + 0.009756V 1 +0.065554 V 1 +0.016127 V 1 20=0.279256V 1

71.6188=V 1

2

2

2

Por lo tanto los valores correctos son los nuevos valores de f1, f2, Re1, Re2, V1 y V2:

19. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 8" de diámetro en los primeros 20 m y 6" en los 30 m restantes. La embocadura es ligeramente redondeada. El cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 15 m. La tubería es de fierro fundido. La temperatura del agua es de 20º C. Calcular el gasto. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica.

Solución:

ENTRADA LIGERAMENTE REDONDEADA CONTRACCIĂ&#x201C;N GRADUAL SALIDA

K1 = 0.26 K2 = 0.00 K3 = 1.00

SegĂşn la ecuaciĂłn de continuidad sabemos:

V2

V1

đ?&#x2018;˝ďż˝

=

1.77778

Hallamos las velocidades V1 y V2 mediante la fĂłrmula:

đ?&#x2018;˝ďż˝

Reemplazamos los datos y ponemos en funciĂłn de V1 para obtener las

velocidades:

15=0.98246V 1

ď&#x201A;ˇ

2

Luego hallamos la nueva velocidad V2:



Ahora hallaremos los nuevos Reynolds Re1 y Re2:



Por lo tanto hallamos el caudal o gasto con los valores correctos

20.- De un estanque sale una tubería de 2400 m de largo y 18" de diámetro.

Descarga libremente a la atmósfera 350 l/s. La carga es de 40 m. Calcular el coeficiente f de Darcy. Si a la tubería se le adiciona una boquilla tronco cónica convergente, en la que suponemos que la pérdida de carga es despreciable.

Determinar cuál debe ser el diámetro de la boquilla para que la potencia del chorro sea máxima. Calcular la potencia.

Solución:



Reemplazamos los datos y hallamos F de Moody en la fórmula:

H=40=

f ∗L∗V D∗2 g

2



Asumiendo que en la boquilla la Vs será el doble que la V inicial:



Teniendo el gráfico de la boquilla tronco cónica convergente, Según la ecuación de continuidad hallamos Ds:

:

2.131895∗0.164173=



4.263789∗π∗(0.0254∗Ds)2 4

Ahora calculamos la potencia del chorro:

21. Calcular el gasto para el sifón mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es 0,20 m, su rugosidad es de 1,5 x 10^-4 m, la viscosidad es de 10^-6 m2/s.

Solución: LONGITUD TUBERÍA

(M)

Q

φ EN METROS

VISCOSIDAD AREA (M2) 0.0314159

1

8 ??

0.2

3 0.0706858

2

8 ??

0.3

4

 Según la ecuación de continuidad sabemos:

V 2=

A1 ∗V 1 A2

V 2=0.44444 V 1 Hallamos las velocidades V1 y V2 mediante la fórmula:

(M2/S) 0.000001 0.000001

Reemplazamos los datos y ponemos en función de V1 para obtener las velocidades:

 Ahora obtendremos los Nº de Reynolds:



Por lo tanto los valores correctos son los nuevos valores de f1, f2, Re1, Re2, V1 y V2:

22. En el sistema mostrado en la figura circulan 60 l/s. La bomba tiene una potencia de 10 HP. La eficiencia de la bomba es 0,85. La presión manométrica inmediatamente antes de la bomba es de 0,06 kg/cm2. Determinar cuál es la

energía disponible inmediatamente después de la bomba. El agua está a 20º C. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular la longitud de cada uno de los tramos.

Solución:



Ecuación de la energía entre (0 - 1) y hallamos la longitud en el tramo L1:

0.02475∗L 1 1+ ∗(0.7400720) ( 0.1016 ) 5882,814 12= +

2

9810

19.62

L1=12.66025 m  Ecuación de la energía entre (2 - 3):





Tenemos la Altura de la Bomba:

Como tenemos la

Potencia de la Bomba

reemplazamos datos y hallamos la longitud L2:



Hallamos la energía disponible después de la bomba :

23.- Calcular la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es del 80% para bombear 15 lts/s. La succión se efectúa por medio de la válvula de pie mostrada en la figura (K = 0,8). Hay una válvula check (K = 2) y una válvula de compuerta (K = 17). El codo es de curvatura suave. La tubería es de 4" de diámetro. Es de fierro galvanizado. La viscosidad del agua es 10^-6 m2/s.

SOLUCIÓN:

VÁLVULA DE PIE VÁLVULA CHECK VÁLVULA COMPUERTA 1 CODO DE CURVATURA SUAVE SALIDA 



K1 K2 K3 K4 K5

Ecuación de la energía entre (0 - 1):

�� �

=

-6.62904

m

Ecuación de la energía entre (2 - 3):

�� �

=

49.56267 m

= = = = =

0.80 2.00 17.0 0.60 1.00



Hallamos la Altura de la Bomba:

24.- Si no existiera la bomba circularían 150 l/s en el sistema mostrado en la figura. Calcular la potencia teórica requerida en HP de la bomba para mantener el mismo gasto, pero en dirección contraria.

Solución:

CAUDAL (L/S) 150 150 

VELOCIDAD (M/S) 2.055755 2.055755

Hallamos los F de Moody con esta fórmula:

hf 1=5.35106 m

hf 2=2.67553 m

ď&#x201A;ˇ

Hallamos las pĂŠrdidas de carga locales con esta fĂłrmula:

hLoc1 =

0.09047

hLoc2 = ď&#x201A;ˇ

0.2154

Ahora hallamos la altura de la Bomba con esta fĂłrmula:

Î&#x201D;E

Î&#x201D;E = ď&#x201A;ˇ

m

=

20.33245

20.33245

m

m

Por lo tanto hallamos la Potencia TeĂłrica Requerida de la Bomba en HP con esta fĂłrmula:

ďż˝đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;ďż˝ đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x2020;Ăłđ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201E;ďż˝

=

40.13 HP

25.- Una tubería conduce 200 litros por minuto de aceite. La longitud es de 2 km y el diámetro de 0,18 m. El peso específico relativo del aceite es 0,9 y su viscosidad 4 x 10^-3 kg-s/m2. Si la potencia se mantiene constante se pregunta cuál es la variación en el caudal.

Solución:



Tenemos la Viscosidad Dinámica, pero hallamos mediante la tabla la Viscosidad Cinemática:



Para la Viscosidad Dinámica diremos que:



Hallamos su pérdida de carga con la pendiente S:



Hallamos su pérdida de carga por fricción con esta fórmula:

hf2 

= 0.46121

m

Como la potencia se mantiene constante hallaremos la variación del Caudal:

CAPÍTULO V

6.- Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura:

L1=80 m. D1=4' ' f 1=0.018 ''

L2=120 m. D2=6 f 2=0.018

L3=300 m. D3=10 ' ' f 3=0.018

La elevación del punto B es 112.80 m.

La elevación del punto C es 115.10 m.

2

La presión del punto B es

4 kg/cm

La presión del punto B es

4 kg/cm 2 .

Solución: Hallamos el caudal tramo BC:

Aplicando Bernoulli entre B y C: L2=120 m. D2=6 '' f 2=0.018 L 2 ∗v v PB v PC D + + Z B = + +Z C + f 2g w 2g w 2g 2

2

120 ∗v 2 0.1524 40+112.80=25+ 115.10+ f 2g

.

120 2 ∗v 0.1524 12.7=f 2g f∗787.4016∗v 2g

12.7=

2

2 g∗12.7 =v 2 f ∗787.4016

√

0.3165 =v f Para esta velocidad con D = 6’’ y

v=

√

f =0.018

0.3165 =4.19 m/ s 0.018

Entonces: Q2=v . A=4.19

π 2 3 (0.1524) =0.0764 m /s 4

Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas, como son 3 ramales, aplicamos la ecuación: hf =0,0827

fL 2 Q D5

Entonces la evaluamos para los 3 ramales: 0,0827

f 1 L1 D

5 1

Q 2=0,0827

f 2 L2 D2

5

Q2 =0,0827

f 3 L3 D3

5

Q2

Empezamos con las tuberías (1) y (2): hf =h f 1

2

0,0827

f 1 L1 D

5 1

2

2

Q 1 =0,0827

f 2 L2 D2

5

Q2

2

5

Q 1 L2 D 1 = ( ) 2 Q 2 L1 D 2 Q1 Q2

2

= 2

5

120 4 ( ) 100 6

Q12=¿ 0.1580 Q22 Q1=0.3975 Q2

Empezamos con las tuberías (2) y (3): hf =h f 2

3

0,0827

f 2 L2 D

5 2

Q 22 =0,0827

f 3 L3 D3

5

Q 32

2

5

Q 2 L3 D 2 = ( ) 2 Q 3 L2 D 3 Q2 Q3

2

= 2

5

300 6 ( ) 120 10

Q22=0.1944 Q32 Q2=¿ 0.4409 Q3

Finalmente con (1) y (3): hf =h f 1

3

0,0827 Q1

f 1 L1 D

5 1

Q12=0,0827

2

f 3 L3 D3

5

Q 32

5

L3 D 1 = ( ) 2 Q 3 L1 D 3

Q12 300 4 5 = ( ) Q32 80 10 2 2 Q1 =¿ 0.0384 Q3

Q1=0.1960 Q3 Se llega así a un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas: Q1=0.3975 Q2

Q2=¿ 0.4409 Q3 Q1=0.1960 Q3

Vemos que en las 2 últimas hallamos una relación con Tenemos: Q1+ Q2+Q 3=Q

Como: Q2=0.0764 m3 / s=76.4 lts/ s Q ¿ 1+Q Q−(¿ 3)=Q 2 ¿ Entonces: Para:

Q1=0.3975 Q2

Q1=0.3975∗0.0764 3

Q1=0.0340 m /s=30.4 lts /s

Q3 .

Q2=¿ 0.4409 Q3

Para:

0.0764=¿ 0.4409 Q3

0.0764 =Q3 0.4409 0.1733=Q3 =173.2819lts /s Q1=0.1960 Q3

Comprobamos:

Q1=0.1960 Q3 0.0340=0.1960∗0.1733

Entonces para gasto total:

Q Q−(¿ ¿ 1+Q3)=Q 2 ¿

Q−(30.4+173.2819)=76.4

( TOTAL) Q=280.0819 lts /s=0.2801 m3 / s

7.- Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura.

Q=0.400

m3 s

L1=220 m.

D 1=8

f 1 =0.0025

L2=280 m.

D 2=10

f 2=0.020

L3=390 m.

D 3=6

f 3 =0.028

Solución: Por teoría sabemos que en tuberías en paralelo se cumple que: hf 1=hf 2=hf 3

Por ello empleamos la siguiente ecuación: hf =0.0827

fL 2 Q D5

Reemplazando los datos obtenemos:

hf 1=1312.954515Q 1

2

hf 2=438.05128 Q2

2

hf 3=10985.08225 Q3

Igualamos las pérdidas y hallamos el gasto en función a hf 1=h f 2

Q2=1.7316027 Q1

hf 1=h f 3

Q3=0.3457190 Q1

Q1 :

Entonces sabemos que: QT =Q1+Q 2+Q3

400=(1+1.7316027+ 0.3457190) Q1 Q1=130

lts s

Reemplazando Q2=225.06 Q3=44.94

Q1 en las ecuaciones de

Q2 y Q3 :

lts s

lts s

Los gastos en las tuberías son: Q1=130

lts s Q2=225.06 Q3=44.94

lts s

lts s

8.- Determinar el gasto en cada ramal del sistema para

Q=2

m3 . s

L1=100 m.

D1=10

f 1 =0.030

L2=120 m.

D 2=8

f 2=0.025

2

L3=120 m.

D 3=8

f 3 =0.025

L4=100m .

D 4 =10

f 4=0.030

Solución: Por teoría sabemos que en tuberías en paralelo se cumple que: hf 1=hf 2=hf 3=h f 4 Por ello empleamos la siguiente ecuación: hf =0.0827

fL 2 Q D5

Reemplazando los datos obtenemos: hf 1=234.670328 Q12

hf 2=716.157008Q 22

hf 3=716.157008 Q32

hf 4=234.670328Q4 2

Igualamos las pérdidas y hallamos el gasto en función a hf 1=h f 2

Q 2=0.572433402 Q 1

hf 1=h f 3

Q3=0.572433402 Q1

hf 1=h f 4

Q4 =Q 1

Entonces sabemos que: QT =Q1+Q 2+Q3 +Q 4 2=(1+1.7316027+0.3457190+1)Q1 Q1=0.636

m3 s

Reemplazando Q2=0.364

m3 s

Q3=0.360

m s

Q4 =0.640

m3 s

Q1 :

Q1

en las ecuaciones de

3

Los gastos en las tuberías son: Q1=0.636

m s

3

m3 Q2=0.364 s

Q2 y Q3 :

m3 s 3 m Q4 =0.640 s Q3=0.360

9.- La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 500 m. , un diametro de 8 y un coeficiente f =0.025 . Calcular cuál debe lts ser la presión P para que el gasto en el ramal 2 sea de Q2=50 . s

L1=250 m.

D 1=4

f 1 =0.02

L2=300 m.

D 2=6

f 2=0.022

L3=100 m.

D 3=4

f 3 =0.015

Solución: Hallaremos los caudales con las condiciones siguientes: hf 1=hf 2=hf 3

QT =Q1+Q 2+Q3 Por ello empleamos la siguiente ecuación: hf =0.0827

fL 2 Q D5

Reemplazando los datos obtenemos: hf 1=38195.04044 Q12

hf 2=6639.33542Q22 hf 2=16.58934

hf 1=hf 2=hf 3=16.58934 Hallamos los caudales Q=3.477

√

D5 2 Q fL

Q1 ,

Q2

y Q3 :

hf 3=11458.51213 Q 32

Q1 :

Igualamos las pérdidas y hallamos el gasto en función a hf 1=h f 2

Q2=1.7316027 Q1

hf 1=h f 3

Q3=0.3457190 Q1

Entonces sabemos que: QT =Q1+Q 2+Q3

Q1=0.636

lts s Q1=0.02084

m3 s

QT =Q0=0.10890

Q2=0.050 lts s

m3 m3 Q3=0.03806 s s

Hallamos la pérdida en la tubería 0: hf 3=2983.987534 Q0

2

hf 0=35.38773 m.

Hallamos la presión en “A”.

P A + Z A=P B +Z B +∑ h A −B

Como

PB =0 tenemos: P A =31.986 m.

10.- En la figura se muestran dos sistemas de tuberías. ¿Cuáles de ellas tiene mayor capacidad (para una misma energía disponible)?. Considerar f =0.02 en todas las tuberías. a)

Solución: Datos del problema:

L1=800 m.

D1=20

f 1 =0.02

L2=500 m.

D 2=16

f 2=0.02

L3=300 m.

D 3=12

f 3 =0.02

En este sistema de tubería se mantendrá constante el gasto en cada tramo: Q1=Q2=Q3 Hallamos los caudales con la siguiente formula:

√

1

D5 2 Q=3.477 h fL f

Obtenemos: 1

Q1=0.15988 h f 1 2 1

Q 2=0.11577 hf 2 2 1

Q3=0.07281 hf 3 2

Hallamos la perdida en cada tramo asumiendo una pérdida total en el tramo. hT =30 m.

Q1=Q2

hf 2=1.9072 hf 1

Q1=Q3

hf 3=4.8218 h f 1

Por lo tanto hallamos las perdidas: hT =h f 1+ hf 2+ hf 3 30=7.729 h f 1 hf 1=3.8815 m.

hf 2=7.4028 m.

Reemplazamos y hallamos el caudal: m3 lts Q1=Q2=Q3 =0.315 =319.99 s s

hf 3=18.7160 m.

b)

Solución: Datos del problema: L1=1000 m.

D 1=18

f 1 =0.02

L2=600 m.

D 2=14

f 2=0.02

L3=800 m .

D 3=10

f 3 =0.02

L4=200 m.

D 4 =12

f 4=0.02

En este sistema de tubería se mantendrá constante el gasto en cada tramo: Q1=Q2 +Q3=Q 4

Hallamos los caudales con la siguiente formula:

√

1

D5 2 Q=3.477 h fL f Obtenemos: 1

Q 1=0.10989 h f 1 2 1

Q2=0.07569 h f 2 2 1

Q 3=0.02826 h f 3 2

Q4 =0.08917 hf 4

1 2

Sabemos que la tubería 2 y 3 son paralelas entonces: hf 2=h f 3

Hallamos las pérdidas con la siguiente formula: hf =0.0827

fL 2 Q 5 D hf 2=174.5332Q 2

Obtenemos:

2

hf 3=1251.5751Q3

2

Q3=0.3734 Q2 Reemplazamos en: Q 1=Q2 +Q 3

Q1=( 1+ 0.3734)Q2 Q1=1.3734 Q2 Hallamos la perdida en cada tramo asumiendo una pérdida total en el tramo. hT =30 m.

Q1=Q2 +Q3

hf 2+f 3=10.169 hf 1

Q1=Q4

hf 4=1.5187 hf 1

Por lo tanto hallamos las perdidas: hT =h f 1+ hf 2+f 3 + hf 4 Q1=Q2=Q 3 =0.169

m3 lts =168.98 s s

30=12.688 h f 1 hf 1=2.3645 m.

hf 2+f 3=24.045 m.

hf 4=3.591m .

Reemplazamos y hallamos el caudal:

Respuesta:

Solución: A través de la formula y con los datos hallamos la pérdida de energía en la tubería 1:

f =

0,022

D =

12 pulg

Q=

0,05 m3/s

L =

1200 m

hf 1=¿ 2,075 m

Como son tuberías en paralelo: Q=3.477

√

hf 1=hf 2

D5 x hf 0.5 f x L3

f = 0,03 D = 10 pulg

Q = 0,0332 m3 /s

hf 2=¿ 2,075 m L = 800 m Respuesta.

El gasto en la segunda tubería será:

Q2 =33,2 lts/s

13.- Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Están conectados por un sistema que consta de un primer tramo formado por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud. Esta tubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno. Estos ramales concurren en paralelo en el segundo estanque. Considerar f = 0,03 para todas las tuberías.

Hallar el gasto.

L1 D1 f1 Q1 H

TUBERIA 1 = 2500 m = 20 pulg = 0,03 = x1 lts/s = 6 m

L2 D2 f2 Q2

TUBERIA 2 = 2500 m = 10 pulg = 0,03 = x2 lts/s

L3 D3 f3 Q3

TUBERIA 3 = 2500 m = 10 pulg = 0,03 = x2 lts/s

Solución: Asumimos en las tuberías 2-3 una pérdida de: h2−3 = 4 m

f =

0,03

D = 10 pulg

Q =0,0261 m3/s

L = 2500 m hf 2=4 m

Como son tuberías en paralelo:

hf 2=hf 3

f =0,03 D =10 pulg

Q =0,0261 m3/s

L =2500 m hf 3=4 m

Por tanto, como

Q1=Q2 +Q3

f = 0,03 D = 20

pulg

hf 2=0,5 m

Q = 0,0522 m3/s L = 2500 m

Como la pérdida debe ser: ht =H=h1+ h3 6=4

Hallamos una constante para corregir: X=

6 4

X =1,5

Realizamos f =0,03

el

mismo procedimiento:

D=10 pulg

Q=0,032 m3 /s

L=2500 m

f =0,03

D=10 pulg hf 3=6 m

Q=0,032 m3 /s

L=2500 m Por tanto, como

Q1=Q2 +Q3

f = 0,03 D = 20 pulg hf 2=0,75 m

Q = 0,064 m3/s

L = 2500 m Respuesta: Por tanto el caudal que pasa es: QT =64 Lts /s

Q2=32 Lts / s

hf 2=6 m

MECÁNICA DE FLUIDOS I Q3=32 Lts/¿ 14.- Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene

Al colocar una válvula en el primer ramal hay unan disminución del 11 % en el gasto total.

Calcular el valor K de la válvula Solución: Asumamos que el gasto total sea Qt

=100 lts/s

Hallamos las pérdidas sin pérdida local: f =0,018

D=14 pulg

Q2 hf 1=26,17998

Q´ =xm 3/s L=100 m

f =0,0122

D=12 pulg

hf 2=59,82947 Q

2

Q´ =x 1m 3/s

L=156 km

Como son tuberías en paralelo; tubería:

h2=h3

hallamos el gasto que fluye por cada

Q2=0,6615 Q1 QT=Q ´ 1+Q´ 2 0,1=1,6615 Q 1 Q´ 1=60,18657839lts /s Q´ 2=39,81342161lts /s

Ahora cuando ponemos la válvula, dice que el gasto reduce en 11%

Q1=Q ´ 1−Q ´ 1(11 )

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MECÁNICA DE FLUIDOS I Q1=53,56605477 lts/ s

Ahora hallamos la constante de la válvula que genera esa pérdida, para ello antes hallamos la pérdida total con el nuevo gasto en la tubería 2; h1=h2 Q2=QT −Q 1

f =0,0122 D=12 pulg

hf 2=0,129 m

Q=46,4339 m3/ s L=156 km

Entonces ahora hallamos el valor de K 0,0827∗flQ ´ 2 0,0827∗k Q ´ 2 hf = + 5 4 D D Como h1=h2 : 0,129=0,094834981+ 0,052686101k K=1,542106584 Respuesta K=1,542106584

15.- Calcular el gasto en cada ramal.

Solución: Como las tuberías 2 y 3 son paralelas: Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión - Huacho

MECÁNICA DE FLUIDOS I h1 = h2 K .Q 22 fL Q22 fL Q23 0,0827. +0,0827. 5 =0,0827. 5 D4 D D h 2=21801,7291 h 3=19861,421=¿Q 3=1,0477 Q2

Ahora aplicando Bernoulli tenemos.

Además:

Q1 = Q4

Z A −Z B=0,0827. =>

fL Q21 fL Q22 K .Q 22 fL Q24 + 0,0827. +0,0827. +0,0827.

D5 D5 D4 D5

30=2414,30381+21801,72912+11183,50784 30=13597,81161+ 21801,72912−−−−−−−I

=>

Sabemos que Q 1=Q 2+Q 3=¿ Q 1=(2,0477)Q 2−−−−−II

Reemplazamos II en I ¿>30=(57016,6478 +21801,7291)2

Q2=0,0195 m3 /s

Respuesta: Ahora reemplazamos en las demas ecuaciones del gasto 3

Q1=0,03993015 m / s 3

Q2=0,0195 m /s

Q3=0,02043015 m3 / s 3

Q 4=0,03993015 m /s

19.- Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft. Están unidos por medio de una tubería de 9’’ de diámetro y 2,5 millas de largo. A una milla del reservorio más alto la tubería tiene una salida que descarga 1,5 ft3/s.

Asumiendo para f un valor constante de 0,036 calcular la velocidad con la que el agua entra al segundo reservorio. No se consideren pérdidas de cargas locales.

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MECÁNICA DE FLUIDOS I

Solución: Asumimos en las tuberías 1-2 una pérdida de: 1´

h 1=30 m

f =0,036

D=9 pulg30 m

Q=0,0625 m 3/s

L=1609,344 m 3/s h 1=30 m

Sale QS=0,04247527 m3/ s

1´´

f =0,036

D=9 pulg 4,616367 m

h ´ ´ 1=4,616367 m

Q=0,02002473 m 3/s L=2414,016 km Como la pérdida debe ser : ht=H=h´ 1+h ´ ´ 1 67,056=34,616367 Hallamos una constnate para corregir X =1,937118358 1´ f =0,036 D=9 pulg Q=0,087 m3/s

L=1609,344 km hf 2=58,1136 m Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión - Huacho

MECÁNICA DE FLUIDOS I f =0,036 D=9 pulg Q=0,028 m 3/s L=2414,016 km hf 3=8,9424 m

Los caudales en toda la tubería son: Q´1 = 0,087 m3/s Q´´1 =0,028 m3/s Hallamos el área de la tubería para determinar las velocidades A1 = 0,041043306 = > V´1 = 2,119712296 m/s V´´1= 0,682206256m/s Respuesta: Por tanto, la velocidad con la que ingresa es: V´´1= 0,682206256m/s

=>

V´´1= 2,238209502ft/s

20.- En la tubería 1 la velocidad es 1,5 m/s. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe tener H.

Solución: Hallamos el gasto de la tubería 1: Q1=V 1 x A1

A 1=0,032429279 f =0,018

D=8 pulg

hf 2=3,05 m

Q=0,048643918 m 3/s

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MECÁNICA DE FLUIDOS I L=300 m

Como son tuberías en paralelo; h1=h2 f =0,018 D=12 pulg Q=0,134 m3/ s L=300 m

hf3 =3,05m

Por tanto, como:

Q1+ Q2=Q3

f =0,018 D=18 pulg hf 2 =0,746 m

Q=0,182643918 m 3/s L=300 m

Asumimos una pérdida de:

h4 −5=2 m

f =0,018 D=12 pulg h4 −5=2 mQ=0,0767 m3/ s

L=600 m

f =0,018 D=12 pulg h4 = 2m

Q=0,109 m3 /s L=300 m

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MECÁNICA DE FLUIDOS I Por tanto , como Q 3=Q 4 +Q5

Q3=0,182643918 Q 3=0,1857=¿ X =0,983542908

Conestos valores corregimos los caudales 4 y 5 f =0,018 D=12 pulg Q=0,075437741 m3 /s hf 4=1,932 m L=600 m

f =0,018 D=12 pulg hf 5=1,951 m

Q=0,107206177 m 3/s L=300 m

Como la perdida debe ser : ht=H=h1+h 3+ h5 H=5,7375 m

RESPUESTAS a),

Los gastos en cada ramal sera :

Q1=48,64 Lts / s Q2=134 Lts/ s Q3=182,64 Lts/s Q 4=75,44 Lts /s Q5=107,21 Lts /s

b ¿ El valosque debe de tener H es : H=5,7375 m

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MECÁNICA DE FLUIDOS I 21.- En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente de Darcy igual a 0,025. Se sabe que H1 + H2 = 10 m; L1 = 150 m; L2 = 70 m; L3= 90 m; D1 = D2 = D3 = 6’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de H1 y H2 para que Q2 sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de Q1 y Q2 si H1 fuera cero?

Solución: a) =>

Valores de H1 y H2 para que Q2 sea cero Si:

Q2=0 ==> Q1 =Q3

f =0,025 D=6 pulg Q=Q 1 m3/ s L=150 m

hf 1=3772,351

Q

2 1

f =0,025 D=6 pulg Q=Q 3 m3 /s

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MECÁNICA DE FLUIDOS I L=90 m

hf 3=¿ 2263,41 Q21  Igualando los gastos hallamos la relación de perdidas: h 3=0,6 h1

Además, sabemos que: H 1−H 2=ht=h 1−h3 10=1,6 h 1=¿ h1=6,25 m h 3=3,75 m

RESPUESTA

¿> H 1=h 1=6,25m h 2=h 3=3,75 m

b ¿ valores de Q 1 y Q 2 si H 1 fuera cero

¿> Si: H 1=0=¿> H 2=10 m=¿ h1=h 2 f =0,025 D=6 pulg Q=Q1 m3 /s L=150 m

hf 1=¿ 3772,35 Q 21 f =0,025 D=6 pulg Q=Q2 m3 /s L=70 m hf 2=1760,432 Q

2 1

f =0,025 D=6 pulg Q=Q 3 m3 /s Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión - Huacho

MECÁNICA DE FLUIDOS I L=90 m

hf 3=¿ 2263,4

Q

2 3

¿> Igualando los gasto hallamoslarelacion de perdidas Q2=1,4639 Q1 Tambien sabemos que :Q3=Q 1+ Q2 Obtenemos que :Q 3=2,4639 Q1

Ademas sabemos que H 2=ht=h 1+h 3

10=(3772,35+13740,7167)1=¿>Q 1=0,0239 m3 / s Q2=0,035 m3 /s Q3=0,0589 m3 /s

RESPUESTA ¿> Los caudales en las tuberias son : Q1=0,0239 m3 /s=¿ 23,9lts /s

Q2=0,0350

m3 =35 lts/ s s

Q3=0,05890

m3 =58,9 lts/ s s

23.- En la figura se muestra un sistema de 3 reservorios. La válvula check ubicada en la tubería 1 está completamente abierta de modo que para un gasto de 250 |/s produce una pérdida de carga de 0,80 m. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2.

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MECÁNICA DE FLUIDOS I

Solución: Asumimos que todas las tuberías tienen el mismo Darcy de : f =0,02 Entonces hallamos la perdida por fricciónen latuberia 1 hf 1=18,1805 m hloc=0,8 m h=18,9805m Hallamos el Zp : ZP=Za−h Zp=161,0195 m Hallamos la perdida en el ramal 3 hf 3=Zc−Zp hf 3=11,0195 m Ahora con dicha perdida hallamosel gasto en estatuberia .

Q3=0,1124 m3 /¿ s Entonces como Q 1=Q 2+ Q3, obtenemos el gasto 2 Q2=0,1376 m3 /s Ahora con este gasto determinamos L 3, antes hallamosla perdida en esta tuberia . hf 2=Z 2−Zp=¿ hf 2=41,0195m L3=1384,8 m RESPUESTA L3=1384,8 m

24.gasto de los la

Calcular el en cada uno ramales del sistema mostrado en figura.

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MECÁNICA DE FLUIDOS I

Solución: Hallamos los gastos en función de la línea pendiente de energía, luego tanteamos.

0,54

Q1=21,80675 S 1 0,54 Q3=5,69021 S 3

1er tanteo

Q2=12,126 S

zp =

TU B

S(m/km)

hf(m)

1

5

20

2 3

1,6667 0

10 0

Q (lts/s) 52,0037602 1 15,9779323 9 0

2do tanteo

h1=

100

TU B 1

S(m/km) 0

hf(m) 0

2

1,6667

10

3

4

20

3cer tanteo TU B 1

80

S(m/km) 1,5

h1= hf(m) 6

Q (lts/s) 0 15,9779323 9 12,0293092 5 94 Q (lts/s) 27,1443986

0,54 2

m Q(m3/s)

Q3-(Q1+Q2)

0,052 36,02582782 0,016 0 m Q(m3/s) 0

Q3-(Q1+Q2)

0,016

-28,00724164

0,012 m Q(m3/s) 0,027

Q3-(Q1+Q2) 7,480708417

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2

0,6667

4

3

2,8

14

3 9,74181795 5 9,92187226 2

h1=

95,78

4to tanteo TU B

S(m/km)

hf(m)

1

1,055

4,22

2

0,9633

5,78

3

3,156

15,78

Q (lts/s) 22,4464297 2 11,8836213 8 10,5843031 8

0,01

m

0,01

Q(m3/s)

Q3-(Q1+Q2)

0,022 0,012

-0,021494844

0,011

Respuesta Los gastos en cada tramo sera: TUB Q (lts/s) 1 22,45 2 11,88 3 10,58

25.- Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema

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Solucion: Se que

sabe

Q3 = Q4+Q5

Q1=0,1696 hf . 1/ 2 1

Q2=0,1696

hf .

1/ 2

2

Q3=0,0929 hf . 1/ 2 3

Q4=0,1199 hf . 1/ 2 4 Q5=0,35m3/s h 5=2,0217 m Hallamos h 1,luego h 2=¿ h 2=x 2−(x 1+h 1)

2do tanteo TU B 6 7 8 9 10

hf(m) 3,341 3,041 11,135 5,0217 2,0217 3ro tanteo

TU B 11

hf(m) 3,5156

Q1 = Q (lts/s) 310 295,8 618,7 268,7 350 Q1 = Q (lts/s) 318

310

lts/s

Q(m3/s) 0,31 0,2958 0,31 0,2687 0,35 318

Q3-(Q1+Q2)

12,9

lts/s

Q(m3/s) 0,318

Q3-(Q1+Q2) -3,4

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MECÁNICA DE FLUIDOS I 12 13 14 15

3,2156 11,7172 5,0217 2,0217

4to tanteo TU B 16 17 18 19 20

hf(m) 3,4792 3,1792 11,5959 5,0217 2,0217

Respuesta Q1 = 316,35 Q2 = 302,4 Q3 = 618,7 Q4 = 268,7 Q5 = 350

304,1 618,7 268,7 350

Q1 = Q (lts/s) 316,35 302,4 618,7 268,7 350

0,3041 0,318 0,2687 0,35 316,3 5

lts/s

Q(m3/s) 0,31635 0,3024 0,31635 0,2687 0,35

Q3-(Q1+Q2)

-0,05

Lts/s Lts/s Lts/s Lts/s Lts/s

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