Cálculo de fuerzas sobre cuerpos sumergidos

Programa reconocido como sustancialmente equivalente por el Canadian Engineering Acreditation Board (CEAB)

Fuerzas sobre superficies sumergidas Ing. José Alberto Rodríguez Para calcular la fuerza resultante sobre una superficie sumergida vamos a analizar una placa rectangular en el fondo de un tanque tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Placa rectangular en el fondo de un tanque.

La presión que soporta la placa está dada por la relación

(1) Donde: es el peso específico del fluido y h es el cambio de altura desde la superficie del fluido en donde la presión relativa es cero.

La fuerza que actúa sobre la placa se calcula mediante la ecuación

(2) Si sustituimos la ecuación (1) en la (2), y considerando que el cambio de altura este ejercicio es igual a la profundidad del tanque H, tenemos:

h para

(3) Sabemos que el producto es el volumen de fluido que se encuentra sobre la placa hasta llegar a la superficie del fluido, tal como se muestra en la figura 2, de modo que podemos expresar la fuerza como:

(4)

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Figura 2 Volumen de fluido sobre la placa El producto del volumen por el peso específico es igual al peso de dicho volumen de fluido, de modo que:

(5) Donde W es el peso del volumen de fluido que se encuentra sobre la placa.

Debemos tener en cuenta que para el cálculo de la presión en la ecuación (1) solo se considera la profundidad H de la placa, sin tomar en cuenta la geometría del tanque, de modo que en cualquiera de los 3 casos de la figura 3, la presión y el volumen de fluido encima de la placa sería el mismo.

Figura 3 Placa rectangular a una profundidad H con diferentes geometrías de tanque.

En todos los casos de la figura 3, el análisis sería idéntico, de modo que la fuerza vertical resultante del fluido sobre la placa es igual al peso del volumen de líquido con dimensiones H x A, aún cuando ese volumen sobre la placa no necesariamente sea real, tal como se muestra en la figura 4.

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Figura 4a.

Figura 4b.

Cálculo del volumen de fluido sobre la placa sumergida.

Figura 4c

Como se puede observar en la figura, solamente en el caso de la figura 4a, el volumen de fluido sobre la placa es real. En los casos de las figura 4b y 4c, parte del volumen es ficticio o imaginario.

Otro ejemplo aparece en la figura 5, en la que se muestra sombreado el volumen de fluido requerido para calcula la fuerza vertical que produce el fluido sobre una placa de sección transversal semicircular. Igual que en el caso anterior, la fuerza vertical que ejerce el fluido sobre la superficie, es la misma en todos los casos y se calcula como el peso del volumen del fluido sombreado en la figura. En algunos casos este volumen es real y en otros es imaginario.

Figura 5a Figura 5b Cálculo del volumen de fluido sobre la placa sumergida.

Figura 5c

Como se puede apreciar en las figuras 5a y 5b, para calcular la fuerza no se debe cortar ninguna parte del área sombreada, aún cuando las mismas se encuentren fuera del tanque. De acuerdo a lo anterior, y por simetría, en este ejemplo, la fuerza total vertical estaría aplicada a lo largo del eje central de la semicircunferencia.

Cuando la superficie sumergida tiene fluido por debajo, la misma experimenta una fuerza vertical desde abajo.

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Ubicación de la fuerza vertical La fuerza vertical ejercida por el fluido sobre la superficie sumergida está ubicada en el centroide de la columna de fluido. En la mayoría de los casos el centroide se deberá calcular por descomposición del volumen en varias figuras geométricas conocidas. En los ejemplos anteriores, por simetría, la fuerza vertical resultante se encuentra en el centroide del área de la placa sumergida.

Fuerza horizontal Cuando el área sumergida soporta la presión del fluido lateralmente, como en cualquiera de los ejemplos de la figura 6, la misma experimenta una fuerza vertical y otra horizontal.

Figura 6 Ejemplos de áreas sumergidas (esquina inferior derecha de un tanque) en donde la fuerza ejercida por el fluido sobre el área, tiene una componente vertical y otra horizontal.

Para calcular la fuerza horizontal ejercida por el fluido sobre la placa sumergida, se debe calcular la proyección del área sumergida sobre un plano vertical. Llamaremos a dicha proyección, área proyectada. La magnitud de la fuerza horizontal se calculará multiplicando la magnitud de la presión en el centroide de dicha proyección por el área de la misma.

(6) Donde: Hc A

= =

profundidad del centroide del área proyectada área proyectada

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Figura 7 Área proyectada en el plano vertical para cada uno de los ejemplos de la figura 6.

Ubicación de la fuerza horizontal La fuerza horizontal resultante se aplicará en el centro de presión (C.P.) cuya profundidad definiremos como Hcp. Para calcular Hcp utilizaremos la siguiente ecuación.

(7) Donde: Hcp Hc Ic A

= = = =

profundidad del centro de presión profundidad del centroide del área proyectada momento de inercia centroidal del área proyectada área proyectada

Ejemplo #1 Determine la fuerza ejercida por el agua sobre la superficie curvilínea del tanque que se muestra en la figura 8. La longitud de las paredes laterales del tanque es de 10 pies.

Considere que el peso específico del agua es 62.47 lb/pie3.

Figura 8.

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Solución: En la figura 9, el área sombreada indica el volumen del fluido que debe considerarse para calcular la magnitud de la fuerza vertical. En este caso, el volumen del fluido es imaginario y la componente vertical de la fuerza ejercida sobre el área curvilínea está dirigida hacia arriba.

Figura 9 Fuerza vertical:

El peso del volumen imaginario se calcula multiplicando dicho volumen por el peso específico del agua.

Para calcular el volumen imaginario determinaremos el área sombreada en la figura y la multiplicaremos por la longitud de la pared lateral.

El área sombreada resulta de tomar un rectángulo de 6´ x 2´ y restarle un cuarto de área circular de 2´de radio.

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Ubicación de la fuerza vertical La componente vertical de la fuerza ejercida por el fluido se ubica en la coordenada x del centroide del volumen imaginario de fluido sobre el área.

Figura 10. Descomposición del área transversal para calcular el centroide.

Elemento 1 2 

A (pies2) 6 x 2 = 12 - R2/4 = - 3.14 8.86

(pies) 1 4R/3 = 0.85

(pies3) 12 -2.67 9.33

  Fuerza horizontal:

Ubicación de la fuerza horizontal La ubicación de la fuerza horizontal se determina por medio de la fórmula (7).

Para un área rectangular de ancho “b” y altura “a”, el momento de inercia centroidal es

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Ejemplo #2 Determine la magnitud de la fuerza vertical ejercida sobre la superficie semicircular mostrada en la figura 11.

Figura 11.

En este caso, la mitad superior del รกrea semicircular experimenta una fuerza vertical hacia abajo cuya magnitud es igual al peso del volumen real del fluido sobre la misma, y la mitad inferior experimenta una fuerza vertical hacia arriba cuya magnitud es igual al peso del volumen del fluido imaginario por encima de la curva. En la figuras 12a y 12b se muestran las รกreas sombreadas que se deben utilizar para calcular la magnitud de las fuerzas hacia abajo y hacia arriba respectivamente.

Figura 12a El peso del volumen de fluido sombreado se emplea para calcular la magnitud de la fuerza vertical hacia abajo.

Figura 12b El peso del volumen de fluido sombreado se emplea para calcular la magnitud de la fuerza vertical hacia arriba.

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Considerando que las dos fuerzas calculadas tienen sentido inverso, la fuerza total resultante se puede calcular como el peso del volumen del fluido encerrado en la sección circular, tal como se muestra en la figura 13.

Figura 13. La fuerza total resultante sobre la superficie semicircular es igual al peso del volumen de fluido encerrado por dicha área y su sentido es hacia arriba.

Ejemplo #3.

En la figura 9 se muestra la sección transversal de un tronco cilíndrico de longitud L y radio R que se encuentra atrapado por la fuerza del agua en el extremo de una represa, de modo que por su lado izquierdo está inmerso en el agua y en el arco AD está en contacto directo con el aire.

Como el tronco se encuentra sumergido, podemos analizar la sección BCD como una superficie semicircular BCD y una superficie AB sumergidas. En ese caso, sobre la superficie BCD actúa una fuerza vertical hacia arriba cuya magnitud es igual al peso W 1 del volumen de agua sobre ella, tal como se muestra sombreado en la figura 15, y sobre la superficie AB actúa una fuerza vertical hacia abajo cuya magnitud es igual al peso W 2 que se muestra en sombreado en la figura 16.

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Figura 14 Área de sección transversal de un tronco sumergido en una presa de agua.

Figura 15 Volumen imaginario de fluido sobre la superficie sumergida BCD.



Figura 16 Volumen de fluido sobre la superficie AB.

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El volumen V2 se calcula como el área de un cuadrado de lado R menos el área de un cuarto de área circular, multiplicados por la longitud L del tronco.

La fuerza total que actúa sobre el tronco, tal como se muestra en la figura 17 es:

FR = F1 – F2

Figura 17 Fuerza vertical resultante sobre el tronco