T O D O E S P O S I B L E I N C L U S O L O I M P RO B A B L E
M O D E L O M A T E M A T I C O
U n m o d e l o m a t e m á t i c o e s u n a
r e p r e s e n t a c i ó n a b s t r a c t a y
s i m p l i f i c a d a d e u n f e n ó m e n o
d e l m u n d o r e a l , c o n s t r u i d a
m e d i a n t e e c u a c i o n e s , f ó r m u l a s
y r e l a c i o n e s m a t e m á t i c a s
E s t o s m o d e l o s p e r m i t e n
a n a l i z a r , p r e d e c i r o s i m u l a r
s i t u a c i o n e s d e l a v i d a
c o t i d i a n a , l a n a t u r a l e z a , l a
e c o n o m í a , l a i n g e n i e r í a , e n t r e o t r a s á r e a s E J E M P L O D E M O D E L O M A T E M Á T I C O
S u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s
p r e d e c i r c u á n t o g a n a u n
t r a b a j a d o r q u e c o b r a p o r h o r a . P o d e m o s u s a r u n m o d e l o l i n e a l
s i m p l e :
S a l a r i o = T a r i f a p o r h o r a × H o r a s t r a b a j a d a s
S i l a t a r i f a e s d e $ 1 5 p o r
h o r a y t r a b a j a 4 0 h o r a s ,
e n t o n c e s :
S a l a r i o = 1 5 × 4 0 = 6 0 0
F Ó R M U L A S C L A V E E N
P R O B A B I L I D A D
R E G L A D E L A
M U L T I P L I C A C I Ó N
C u a n d o s e q u i e r e n c a l c u l a r l a s p r o b a b i l i d a d e s c o n j u n t a s d e d o s
e v e n t o s A A A y B B B , s e u s a :
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A )
E s t o s i g n i f i c a q u e l a p r o b a b i l i d a d d e
q u e a m b o s e v e n t o s o c u r r a n e s i g u a l a l a p r o b a b i l i d a d d e l p r i m e r o ,
m u l t i p l i c a d a p o r l a p r o b a b i l i d a d d e l s e g u n d o d a d o q u e e l p r i m e r o o c u r r i ó
P R O B A B I L I D A D
C O N D I C I O N A L
E s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e o c u r r a u n
e v e n t o B B B s a b i e n d o q u e o c u r r i ó o t r o
e v e n t o A A A :
P ( B ∣ A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ) , s i P ( A ) > 0
O
S T I C A
U N E J E M P L O D E F E N Ó M E N O
P R O B A B I L Í S T I C O
e s l a n z a r u n d a d o : n o s e
p u e d e s a b e r c o n c e r t e z a q u é
n ú m e r o s a l d r á , p e r o s í s e
p u e d e c a l c u l a r l a
p r o b a b i l i d a d d e c a d a
r e s u l t a d o . E s t e t i p o d e
a n á l i s i s e s e s e n c i a l e n
m u c h a s á r e a s , d e s d e j u e g o s
d e a z a r h a s t a m o d e l o s
f i n a n c i e r o s c o m p l e j o s .
L a e s t a d í s t i c a
p e r m i t e d e s c r i b i r e s t o s
f e n ó m e n o s a l e a t o r i o s m e d i a n t e
g r á f i c o s , t a b l a s y m e d i d a s c o m o l a
m e d i a o l a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r .
A d e m á s , a y u d a a p r e d e c i r p o s i b l e s r e s u l t a d o s f u t u r o s , l o q u e e s
c l a v e p a r a p l a n i f i c a r y t o m a r d e c i s i o n e s i n f o r m a d a s ,
e s p e c i a l m e n t e c u a n d o s e e n f r e n t a
i n c e r t i d u m b r e
E L A T I V A
L a e s t a d í s t i c a
e s u n a r a m a d e l a s m a t e m á t i c a s q u e s e
¿ P A R A Q U É S I R V E L A E S T A D Í S T I C A ?
S u s a p l i c a c i o n e s s o n a m p l í s i m a s : p e r m i t e
c o m p r e n d e r f e n ó m e n o s s o c i a l e s , e c o n ó m i c o s ,
c i e n t í f i c o s y c o t i d i a n o s ; a d e m á s , a y u d a a
i d e n t i f i c a r p a t r o n e s , h a c e r p r e d i c c i o n e s , t o m a r
d e c i s i o n e s f u n d a m e n t a d a s y r e s o l v e r p r o b l e m a s r e a l e s b a s a d o s e n d a t o s c o n c r e t o s
U n o d e l o s c o n c e p t o s c l a v e d e n t r o d e l a n á l i s i s e s t a d í s t i c o e s l a f r e c u e n c i a r e l a t i v a E s t a
m e d i d a n o s i n d i c a l a p r o p o r c i ó n o p o r c e n t a j e
c o n q u e a p a r e c e u n v a l o r d e n t r o d e u n c o n j u n
B L A S D E F R E C U E N C I A
PARTES
DE UNA TABLA DE FRECUENCIA
Una tabla puede incluir varios elementos, según el nivel de detalle que se desee.
LAS MÁS COMUNES SON.
FRECUENCIA ABSOLUTA
Es el número de veces que aparece un valor.
FRECUENCIA RELATIVA (FR)
Es la proporción o porcentaje que represento cada valor respecto al total.
La sumatoria es muy útil en matemáticas y estadistica, porque permite:
Representar sumas largas de forma más clara y ordenada
Realizar cálculos sobre conjuntos de datos.
Expresar fórmulas para medias, varianzas y otros conceptos estadísticos
Trabajar con patrones o secuencias.
Tiene reglas que ayudan a resolver cálculos más rápido y con orden cómo
Sumo de constantes
Sumo de surna
Constante multiplicada por una variable S U M A T O R I A Y P R O P I
Déjame te explico paso a paso cómo construir una tabla de frecuencia con datos numéricos:
PASO 4: CONTAR LA FRECUENCIA DE CADA VALOR
PASO 1: RECOLECTAR LOS DATOS
Supongamos que tenemos este conjunto de datos:
Núrneros de libros que leyeron
20 estudiantes en un mes 2, 3, 1, 2, 4, 5, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 5, 1, 3,4,3,2,5,3
PASO 2: ORDENAR LOS DATOS
Para facilitar el conteo, los ordenamos de menor a mayor: 1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4, 5,5,5
PASO 3: IDENTIFICAR LOS VALORES DIFERENTES
Aquí los valores posibles son: 1, 2, 3, 4 у 5.
Ahora contamos cuántas veces aparece cada valor (frecuencia absoluta)
PASO 5: CALCULAR LA FRECUENCIA RELATIVA
La frecuencia relativa indica qué proporción representa cada valor respecto al total (fórmula que está en temas anteriores).
Dicho de otra manera, nos ayuda a responder preguntas como: ¿Qué porcentaje de los datos tiene un valor menor o igual a cierto número?
s t a d
Frecuencia absoluta (fi): Cuantas veces aparece un valor.
Frecuencia relativa (fr) Proporción a porcentaje que representa cada valor respecto al total
Frecuencia absoluta acumulada (fia): Suma progresiva de las frecuencias absolutas
Frecuencia relativa acumulada (fra): Suma progresiva de las frecuencias relativas. Representa el porcentaje acumulado hasta cierto valor.
CONCEPTOS CLAVE
Antes de avanzar, recordemos algunos términos
Las medidas descriptivas son herramientas matemáticas que nos ayudan a resumir, describir y analizar un conjunto de datos de manera sencilla. En vez de mirar todos los números uno por uno, usamos estas medidas para entender cómo se comportan los datos en general.
CON ELLAS PODEMOS RESPONDER PREGUNTAS COMO:
¿Cuál es el valor promedio?
¿Cuál es el número que más se repite?
¿Qué tan dispersos o concentrados están los datos?
TIPOS DE MEDIDAS
DESCRIPTIVAS
MEDIA
Se obtiene sumando todos los valores y dividiendo entre la cantidad total de datos.
MEDIANA
Es el valor central cuando los datos están ordenados.
Si hay número impar de datos, es el del medio.
Si hay número par, se calcula el promedio de los dos del ceritro
MODA
Es el valor que más se repite. Puede haber una moda, más de una, o ninguna si todos los valores son diferentes.
Las medidas de dispersión son herramientas estadísticas que nos ayudan a entender qué tan separados o qué tan juntos están los datos en un conjunto.
Las medidas de dispersión nos muestran cómo se distribuyen esos datos alrededor del centro
PRINCIPALES MEDIDAS DE DISPERSIÓN
VARIANZA
La varianza mide cuánto se alejan, en promedio, los datos respecto a la media. Es decir, nos dice si los valores están muy dispersos o más bien concentrados cerca del promedia.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Es simplemente la raiz cuadrada de la varianza. Como resultado, está en las mismas unidades que los datos originales, lo que la hace más fácil de interpretar
Imagina que los momentos son "lentes" que usamos para mirar diferentes aspectos de una distribución de datos. Cada lente (cada orden) resalta algo diferente
Los momentos estadisticos son una forma completa de describir una distribución de datos. Nos permiten ir más allá del promedio para entender la dispersión, la forma y la estructura general del conjunto de datos
Estas medidas se centran en cómo es la distribución de los datos más allá del centro (media) y la dispersión (varianza o desviación estándar). Nos permiten entender la "forma" de la distribución, y las dos principales medidas son
Asimetría (o sesgo)
Curtosis (o apuntamiento)
SESGO
¿QUÉ ES?
La asimetría mide qué tan simétrica o inclinada está una distribución de datos respecto o su media. En una distribución perfectamente simétrica, los datos se distribuyen de forma igual a ambos lados de la media.
¿QUÉ ES?
La curtosis mide qué tan "picuda" a "aplanada" es una distribución en comparación con una distribución normal. No se refiere a qué tan alta es la curva en si, sino cómo están concentrados los datos alrededor de la media y cómo son las colas
¿POR QUÉ SON IMPORTANTES LAS MEDIDAS DE FORMA?
Ayudan a decidir si se pueden aplicar ciertos métodos estadísticos. Por ejemplo, muchos métodos asumen que los datos tienen distribución normal, y la asimetría y curtosis nos ayudan a verificarlo.
Permiten identificar datos atipicos o extremos
Se usan en muchas disciplinas: economía (para analizar riesgos financieros), psicologia, biología, Ingenieria, etc.
E s u n a m e d i d a d e l g r a d o d e
c e r t e z a o p o s i b i l i d a d d e q u e
o c u r r a u n e v e n t o . E s u n a
h e r r a m i e n t a m a t e m á t i c a q u e n o s
p e r m i t e m o d e l a r l a i n c e r t i d u m b r e
d e m a n e r a p r e c i s a . S e u t i l i z a e n
c o n t e x t o s d o n d e n o s e p u e d e
d e t e r m i n a r e l r e s u l t a d o c o n
s e g u r i d a d , p e r o s i p o d e m o s
a n
l i
r e s u l t a d o p o s i b l e
E n p a l a b r a s s e n c i l l a s : l a
p r o b a b i l i d a d m i d e c u á n t o
p o d e m o s e s p e r a r q u e a l g o
o c u r r a , a u n q u e n o l o p o d
ESPACIOS DE PROBABILIDAD
E X P E R I M E N T O A L E A T O R I O
U
e
E l e g i r u n a p e r s o n a a l a z a r
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
POR EJEMPLO
Moneda (cara, cruz)
Dado: (1, 2, 3, 4, 5, 6)
EVENTO
Un evento es cualquier espacio muestral. Puede ser simple (un solo resultado) o compuesto (varios resultados)
( A )
La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia el azar y la Incertidumbre. Aunque muchas veces usamos el sentido común para hablar de "posibilidades" o "chances", la probabilidad es mucho más que eso es una teoría con reglas claras y bien definidas.
ESA TEORIA SE BASA EN TRES PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
No negatividad: las probabilidades no pueden ser menores que 0.
Normalización: la probabilidad de que ocurra algo es siempre 1.
Aditividad: la probabilidad de dos eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo es la suma de sus probabilidades.
Gracias a ellos, podemos aplicar la probabilidad en muchisimos contextos y confiar en sus resultados, sabiendo que se basan en una estructura sólida.
E S PA C I O S M U E
F I N I T O S
Un espacio muestral es finito cuando el número total de resultados posibles es limitado y se puede contar. Esto quiere decir que hay un número especifico y determinado de elementos en el conjunto.
Conocer el espacio muestral permite: Enumerar todos los resultados posibles. Calcular probabilidades de forma clara
Determinar cuántos casos son favorables a un evento. Organizar y analizar información de manera lógica
E S P A C I O M U E S T R A L
Este es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si lanzamos un dado, el espacio muestral está formado por los números del 1 al 6, porque esos son los únicas resultados posibles que se pueden obtener.
Ahora bien, cuando decimos que un espacio muestral es equiprobable, nos referimos a que todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir. Es decir, no hay ningún resultado que tenga más posibilidades de suceder que otro. Todos son igualmente probables.
Un ejemplo clásico de espacio muestral equiprobable es el lanzamiento de una moneda. Hay dos resultados posibles: cara o cruz. Como la moneda no está trucada, ambos resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir: 1/2 o 50%. En este caso, el espacio muestral es cara, cruz y es equiprobable porque las probabilidades están repartidas de forma igual.
2 2
C A L C U L O D E P R O B A B I L I D A D
Rama de las matemáticas que se encarga de estudiar qué tan probable es que ocurra un determinado evento. Se usa en la vida cotidiana más de lo que imaginamos cuando revisamos el clima, jugamos a la lateria, lanzamos una moneda o incluso cuando tomamos decisiones basadas en lo que creemos que puede pasar.
¿ Q U É E S L A P R O B A B I L I D A D ?
También podemos expresar la probabilidad como porcentaje. Por ejemplo, una probabilidad de 0.25 equivale a un 25%. ¿CÓMO SE CALCULA?
P= No. favorable/ No. posibles
L
e n t r e s i , e s d e c i r , s o n
i n d e p e n d i e n t e s . C a d a p a s o t i e n e s u p r o p i o c o n j u n t o d e o p c i o n e s , y l a e l e c c i ó n e n u n p a s o n o a f e c t a l a s p o s i b i l i d a d e s d e l s i g u i e n t e . ¿ E N Q U É C O N S I S T E E S T A T É C N I C A ?
S i u n e v e n t o s e r e a l i z a e n v a r i a s e t a p a s i n d e p e n d i e n t e s , s e
m u l t i p l i c a n l a s o p c i o n e s d e c a d a e t a p a p a r a o b t e n e r e l t o t a l d e p o s i b i l i d a d e s .
E s t o s e l l a m a r e g i a d e l p r o d u c t o o p r i n c i p i o m u l t i p l i c a t i v o . ¿ C U Á N D O
L a t é c n i c a p a r a n u m e r a r p u n t o s i n d e p e n d i e n t e s s e a p l i c a c u a n d o : H a y m á s d e u n a e t a p a o d e c i s i ó n . C a d a e t a p a t i e n e u n n ú m e r o d e f i n i d o d e o p c i o n e s .
L a s o p c i o n e s d e u n a e t a p a n o c a m b i a n e n f u n c i ó n d e l a s d e c i s i o n e s a n t e r i o r e s JM HV
E C N I C A PA R A N U M E R A C I O N D E N U M E R O S I N D E P E N D I E N T E S 2 4
p r e g u n t a : ¿ L o q u e o c u r r i ó e n e l p r i m e r e x p e r i m e n t o a f e c t a l o
q u e p u e d e o c u r r i r e n e l s e g u n d o ? S i l a r e s p u e s t a e s n o , e n t o n c e s d e c i m o s q u e l o s e v e n t o s s o n i n d e p e n d i e n t e s
¿ Q U É S O N L O S E V E N T O S I N D E P E N D I E N T E S ?
D o s e v e n t o s s o n i n d e p e n d i e n t e s c u a n d o l a o c u r r e n c i a d e u n o n o a f e c t a e n n a d a l a p r
.
E n o t r a s p a l a b r a s , q u e u n o
Q U É P A S
VA
e x p e r i m e n t o n o s e p u e d e n p r e d e c i r c o n c e r t e z a , y a q u e d e p e n d e n d e l a z a r . Y e l t é r m i n o " v a r i a b l e " I n d i c a q u e p u e d e t o m a r d i f e r e n t e s v a l o r e s , d e p e n d i e n d o d e l r e s u l t a d o q u e o c u r r a . E X I S T E N D O S T I P O S P R I N C I P A L E S V A R I A B L E A L E A T O R I A D I S C R E T A
T o m a v a l o r e s f i n i t o s o c o n t a b l e s . P o r e j e m p l o , e l n ú m e r o d e h i j o s d e u n a f a m i l i a , e l n ú m e r o d e
VA R I A C I O N E S Y S U S
e d a s .
E s t a s v a r i a b l e s n o p u e d e n t o m a r v a l o r e s f r a c c i o n a r i a s o d e c i m a l e s , s o l o n ú m e r o s e n t e r o s e s p e c í f i c a s .
L a d i s t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d d
L A D I S T R I B U C I O N D E L A P R O B A B I L I D A D
P o r q u e l a p r o b a b i l i d a d t o t a l d e q u e o c u r r a a l g ú n r e s u l t a d o e s
l
r
s i b l e s : 1 a l 6 N ú m e r o d e v a l o r e s p o s i b l e s : n = 6 n = 6 n = 6 P r o b a b i l i d a d d e c a d a r e s u l t a
Es una de las distribuciones de probabilidad más Importantes y usadas en estadística y probabilidad. Se aplica cuando realizamos un experimento que cumple ciertas condiciones especificas y queremos saber la probabilidad de obtener un número determinado de "éxitos".
CUÁNDO SE USA LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL?
La distribución binomial se usa cuando:
El experimento consta de n ensayos o pruebas independientes.
Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito a fracaso,
La probabilidad de éxito, que se llama p, es la misma en cada ensayo.
La probabilidad de fracaso,
e s
D e t e r m i n a r l a
p r o b a b i l i d a d d e é x i t o e n
e n c u e s t a s ( p o r e j e m p l o ,
c u á n t o s v o t a n t e s
p r e f i e r e n a u n
c a n d i d a t o ) .
E v a l u a r l a c a l i d a d e n
p r o c e s o s i n d u s t r i a l e s
( p o r e j e m p l o , c u á n t o s
p r o d u c t o s s o n
d e f e c t u o s o s e n u n a
m u e s t r a ) .
E x p e r i m e n t o s c o n d o s
r e s u l t a d o s p o s i b l e s
r e p e t i d o s v a r i a s v e c e s ,
c o m o J a n z a r m o n e d a s o
t i r a r d a d o s c o n
é x i t o / f r a c a s o .
La distribución geométrica es un modelo de probabilidad que nos ayuda a responder preguntas sobre cuántos intentos o pruebas necesitamos hacer hasta obtener el primer éxito en un experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso).
¿CUÁNDO SE USA LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA?
Se usa cuando:
Realizamos ensayos independientes y repetidos.
Cada ensayo tiene solo dos posibles resultados éxito a fracaso,
La probabilidad de éxito Pes constante en cada ensayo.
Queremos saber cuántos ensayos se requieren hasta obtener el primer éxito
¿QUÉ PREGUNTA RESPONDE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA?
Nos responde:
¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL PRIMER ÉXITO OCURRA EN EL ENSAYO NÚMERO K?
Fórmula de la distribución geométrica
La probabilidad de que el primer éxito ocurra en el ensayo k es
C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e l é x i t o o c u r r a e n e l e n s a y o n ú m e r o k L a d i s t r i b u c i ó n b i n o m i a l n e g a t i v a n o s p e r m i t e m o d e l a r s i t u a c i o n e s e n l
La distribución hipergeométrica se usa para calcular probabilidades cuando se hacen muestreos sin reemplazo de una población finita y queremos saber la probabilidad de obtener un cierto número de éxitos en la muestra
¿CUÁNDO SE USA?
Cuando la población tiene un número fijo de elementos, algunos con una caracteristica (éxitos) y otros sin ella (fracasos).
Cuando se selecciona una muestra sin devolver los elementos a la población (sin reemplazo).
Se quiere saber la probabilidad de obtener exactamente kkk éxitos en la muestra.
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se utiliza para modelar la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo fijo de tiempo a espacia, cuando estas eventos ocurren de forma independiente y con una tasa promedio conocida
¿CUÁNDO SE USA?
Para eventos raros que ocurren a lo largo del tiempo o en un drea determinada
Cuando los eventos son independientes.
La tasa promedio de eventos es constante
Distribución hipergeométrica: Para muestreos sin reemplazo en poblaciones finitas.
Distribución de Poisson: Para contar eventos que ocurren aleatoriamente en un intervalo fija.
Bowerman, B. L. (2009). Estadística básica (8.ª ed.). McGraw-Hill.
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