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PROPORCIONALIDAD DIRECTA: HOMOTECIA Son magnitudes directamente proporcionales las que varían manteniendo su razón constante. (a/b = a’/b’) Diferencia entre Semejanza y Homotecia: la semejanza es una relación entre dos figuras concretas, mientras que la homotecia es una transformación que puede aplicarse a cualquier punto del plano, una vez que su valor está establecido.

A

O K>0

Dado un centro de Homotecia, a cada punto del plano le corresponde otro punto, siendo la razón de sus distancias al centro un valor constante que denominamos Razón de la homotecia (K).

A

A'

O

A'

OA / OA' = OB / OB' = OC/OC' = K A

A'

K<0 Dos puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de la homotecia, y situados en la misma dirección respecto de éste cuando el valor K es positivo, ó en direcciones opuestas si K es negativo.

O

Las rectas homotéticas siempre son paralelas. Los segmentos homotéticos son paralelos y proporcionales. Los ángulos homotéticos son iguales.

C C'

B

A

C'

B'

O

B'

A'

Dos triángulos con sus lados paralelos son siempre homotéticos. Las rectas que pasan por vértices homólogos convergen en el centro de homotecia.

C

K<0

B

A'

Producto de homotecias: El producto de dos homotecias de centros O1 y O2, y razones K1 y K2, es otra homotecia de centro O3 alineado con O1 y O2, y razón de homotecia K3 = K1 . K2.

A

A''

Dos circunferencias son siempre homotéticas, siendo los centros de homotecia directa e inversa los puntos donde las rectas tangentes comunes cortan la recta que pasa por los centros.

B' B B'' O1

O2

B'

O3

A'

B A

O1

C

O2

C'

C1

O6 C3 O4 O5 C2

O1

O2

Dadas tres circunferencias, existen 6 centros de homotecia que las relacionan dos a dos. Los tres centros de homotecia directa aparecerán alineados, y cada uno de ellos estará alineado a su vez con dos de los centros de homotecia inversa.

O3 Paulo Porta


PROPORCIONALIDAD INVERSA: POTENCIA Son magnitudes inversamente proporcionales las que varían manteniendo su producto constante (a.b = a’.b’) Potencia (de un punto respecto de una circunferencia)

K>0

B

Denominamos así al valor constante de la razón entre las distancias de un punto dado a dos puntos de una circunferencia alineados con él.

A P

O

Los puntos exteriores a la circunferencia tienen potencia de valor positivo respecto de ella (K>0). Los interiores tienen potencia de valor negativo (K<0), y los contenidos en la circunferencia potencia 0.

C

K

D T

T K<0

A K

O

Segmento representativo de la potencia No suele tener interés práctico calcular un segmento de longitud el valor K, pero sí lo tiene si su valor métrico es la raíz de K, ya que es la media proporcional de los otros pares de distancias. Para K>0 este segmento tiene un extremo en P y outro en el punto (T) donde toca la circunferencia una recta tangente que pasa por P. Para K<0 es la semicuerda (PT) perpendicular al diámetro que pasa por P.

C P

D

b

a

O

b m

B

m

a

Aplicación: calcular el medio proporcional de dos segmentos a y b dados.

a

b

Si comenzamos sumando a y b, colocándolos de forma contigua, trazamos una semicircunferencia que tenga la suma como diámetro, y trazamos una perpendicular desde el extremo común de a y b hasta el arco. Si superponemos a y b a partir de un punto O, trazamos cualquier circunferencia que pase por los dos extremos no comunes, y desde el punto O una recta tangente a ella. La distancia desde O al punto de tangencia es el valor m.

Eje Radical (de dos circunferencias) Es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias.

El Eje Radical es siempre perpendicular a la recta que pasa por los centros. Corta las rectas tanxentes comunes a igual distancia de los puntos de tangencia. Pasa por los puntos comunes de las circunferencias secantes.

e A

T2

B

T1

A

B

A

e

B

e

El eje radical de dos circunferencias tangentes, exteriores ó interiores, es la recta tangente común, ya que el punto común tiene igual potencia respecto de ambas, y el eje debe ser perpendicular a la recta que pasa por los centros.

Son errores comunes confundir el eje radical con la mediatriz del segmento de la recta tangente común, ó con la mediatriz del segmento que une los centros, pero estas situaciones sólo se dan si las circunferencias tienen igual radio. El eje tampoco equidista de las dos circunferencias. Obsérvese cómo pasa más cerca de la más grande. Paulo Porta


Centro Radical (de tres circunferencias)

e

A

Es el punto con igual potencia respecto de tres circunferencias. Por el Centro Radical deben pasar necesariamente los tres ejes radicales. CR

B

B

El eje radical de dos circunferencias secantes es la recta que pasa por los punto comunes, ya que cada uno de ellos tiene igual potencia (potencia 0) respecto de ambas.

A

C

e(ab)

e(ab)

e(bc)

e(ac)

B

A

e(ac) CR

e(bc)

Para localizar el eje radical de dos circunferencias interiores, al no existir ninguna recta tangente común, el método más práctico es trazar una tercera circunferencia, auxiliar, secante a las dos primeras, lo que proporciona directamente dos ejes radicales. El punto donde se cortan es el centro radical de las tres circunferencias, así que la recta que pasa por él perpendicularmente a la que pasa por los centros A y B, es el eje que falta.

C

Si tratamos de hacer la misma operación con dos circunferencias concéntricas, veremos que los dos ejes obtenidos son paralelos y no se cortan, y tampoco hay una recta que defina una dirección pasando por A y B. Las circunferencias concéntricas no tienen eje radical, porque ningún punto del plano tiene la misma potencia respecto de las dos.

A

B

Aplicación: Trazar una circunferencia que pase por dos puntos dados tangente a una recta dada.

La condición de pasar por los puntos A y B la cumplen infinitas circunferencias, todas las que tengan su centro en la mediatriz de A y B, por tanto equidistante de los dos puntos. Lo que tienen en común todas estas circunferencias es el eje radical e. Este eje corta en el punto P a la recta que sabemos es tangente a la circunferencia que buscamos. Como no conocemos el punto de tangencia trazamos en primer lugar una que cumpla la primera condición, pasando por A y B. Tratamos de trazar una recta tangent e a ella desde P, y una vez que sabemos la distancia de P al punto de contacto, la llevamos sobre la recta r. Si desde cualquiera de los dos puntos que obtenemos en ella trazamos una perpendicular, tendremos en la mediatriz de A y B un centro válido.

e

A

O B

r

P

Paulo Porta


PROPORCIONALIDAD INVERSA: INVERSIÓN Son magnitudes inversamente proporcionales las que varían manteniendo su producto constant

Dado un centro de inversión, a cada punto del plano le corresponde otro punto, siendo el producto de sus distancias al centro un valor constante que denominamos Valor ó potencia de la inversión (K).

A

O

A'

K>0

OA . OA’ = OB . OB’ = K

O

e (a.b = a’.b’)

A

A'

O

A

K<0

A' B

Dos puntos inversos están siempre alineados con el centro de la inversión, y situados en la misma dirección respecto de éste cuando el valor K es positivo, ó en direcciones opuestas si K es negativo. La potencia es una relación concreta entre un punto y una circunferencia, mientras que la inversión es una transformación que se puede aplicar a todos los puntos del plano, una vez que está determinada. Ambas comparten el mismo fundamento geométrico. La raíz del valor constante k se calcula de la misma manera.

T

Formas de determinar una inversión: - Dados el centro y el valor de la inversión. - Dados el centro y un par de puntos inversos. - Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

OT = raíz de K

B’

Dos pares de puntos homólogos en la misma inversión son concíclicos (existe una circunferencia que pasa por los cuatro).

P’

K>0

K<0

A=A'

K

A

O

P

O

K

Q’

O

Q

Cómo calcular un punto inverso: En una inversión dada por el centro O y el par de puntos inversos P y P’, queremos localizar el inverso de Q. Trazamos las mediatrices de P con P’ y con Q, obteniendo un punto equidistante. Trazando con este centro una circunferencia que pasa por los tres puntos, y una recta que pasa por O y Q, localizamos Q’.

A'

Circunferencias de autoinversión Gráficamente, el valor de la inversión lo representa la Circunferencia de autoinversión ó de puntos dobles. Es la formada por los puntos que están a una distancia del centro de inversión igual a la raíz de K. Son dobles porque cada uno se transforma en sí mismo. Con valor K negativo, cada punto es inverso del diametralmente opuesto, por tanto los puntos no son dobles, pero la circunferencia sí.

P’

O r = r’ P Los elementos dobles son muy útiles porque economizan operaciones en la inversión. Además de las circunferencias de autoinversión, son dobles las rectas que pasan por el centro, por la simple condición de que los puntos O K inversos siempre están alineados con el centro de inversión, aunque sólo sean dobles los puntos donde r corta a la circunferencia de autoinversión. También son dobles las circunferencias que pasan por pares de puntos inversos, que como se puede comprobar se caracterizan por ser ortogon ales a la de autoinversión (los radios de los puntos donde se cortan son perpendiculares).

r

Paulo Porta


O

La figura inversa de una recta que no pasa por el Centro de inversión es una circunferencia que sí pasa por él.

D’

Podemos comprobarlo fácilmente, conociendo el centro O y tomando diferentes puntos A, B, C, D en la recta r, conociendo el inverso de A. Trazamos circunferencias que pasan por A, A’ y cada uno de los otros puntos. Los inversos irán formando una circunferencia que pasará por el centro O cuando la distancia aumente hasta el infinito. Se deduce también que el centro O ocupará siempre uno de los extremos del diámetro perpendicular a la recta, el más alejado ó el más cercano, dependiendo del valor positivo ó negativo de la inversión.

C’

B’

r' A'

1

2

3

r O

A

A'

K>0

C

D

K<0

r'

La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro ni contiene puntos dobles, es una circunferencia homotética. (la razón de la homotecia entre ellas es el cociente del valor de inversión y la potencia de O respecto de c)

r'

A'

O

r

A

B

Obsérvese que una secante común que pasa por el centro O define dos pares de puntos homólogos, pero en orden diferente que en una homotecia.

r

A

A' B'

B

Si dos circunferencias inversas son tangentes a una tercera, los puntos de tangencia serán puntos inversos.

A

C

O

C'

A T

T'

F

O

C'

C

E

D

A

C

B

Aplicación en tangencias simples: Sabemos que una circunferencia es tangente a otras dos de centros A y B, y que C es uno de los puntos de contacto. Trazamos el radio BC y otro paralelo AD en la otra circunferencia. Unimos C con D, que sería su correspondiente en una homotecia, obteniendo E, que lo es en la inversión, y por tanto es el otro punto de tangencia. Las alineaciones AE y BC dan el centro F.

1 c=c'

R’

C=C’

P A

r'

2

K

Aplicación en tangencias complejas: en el caso PRC, en que se han de trazar circunferencias que pasen por un punto P tangentes a la circunferencia c y a la recta r, definimos una inversión de centro P y valor igual a su potencia respecto de c, que de este modo se transforma en sí misma y estará formada por pares de puntos inversos. Obsérvese cómo la circunferencia de radio PA, ó de autoinversión, proporciona en la recta los puntos dobles 1 y 2, así que la figura inversa de r es una circunferencia qu e pasa por el centro P y por los dos puntos dobles. Como las circunferencias c’ y r’ tienen cuatro rectas tangentes comunes, desinvertidas pasarán a ser cuatro circunferencias que pasarán por el centro P de la inversión, conservando cada una sus dos puntos comunes con c y con r.

r

Paulo Porta

transformaciones  

Homotecia potencia inversión

transformaciones  

Homotecia potencia inversión

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