PROPORCIONALIDAD DIRECTA: HOMOTECIA Son magnitudes directamente proporcionales las que varían manteniendo su razón constante. (a/b = a’/b’) Diferencia entre Semejanza y Homotecia: la semejanza es una relación entre dos figuras concretas, mientras que la homotecia es una transformación que puede aplicarse a cualquier punto del plano, una vez que su valor está establecido.
A
O K>0
Dado un centro de Homotecia, a cada punto del plano le corresponde otro punto, siendo la razón de sus distancias al centro un valor constante que denominamos Razón de la homotecia (K).
A
A'
O
A'
OA / OA' = OB / OB' = OC/OC' = K A
A'
K<0 Dos puntos homotéticos están siempre alineados con el centro de la homotecia, y situados en la misma dirección respecto de éste cuando el valor K es positivo, ó en direcciones opuestas si K es negativo.
O
Las rectas homotéticas siempre son paralelas. Los segmentos homotéticos son paralelos y proporcionales. Los ángulos homotéticos son iguales.
C C'
B
A
C'
B'
O
B'
A'
Dos triángulos con sus lados paralelos son siempre homotéticos. Las rectas que pasan por vértices homólogos convergen en el centro de homotecia.
C
K<0
B
A'
Producto de homotecias: El producto de dos homotecias de centros O1 y O2, y razones K1 y K2, es otra homotecia de centro O3 alineado con O1 y O2, y razón de homotecia K3 = K1 . K2.
A
A''
Dos circunferencias son siempre homotéticas, siendo los centros de homotecia directa e inversa los puntos donde las rectas tangentes comunes cortan la recta que pasa por los centros.
B' B B'' O1
O2
B'
O3
A'
B A
O1
C
O2
C'
C1
O6 C3 O4 O5 C2
O1
O2
Dadas tres circunferencias, existen 6 centros de homotecia que las relacionan dos a dos. Los tres centros de homotecia directa aparecerán alineados, y cada uno de ellos estará alineado a su vez con dos de los centros de homotecia inversa.
O3 Paulo Porta