Capítulo 4: Aplicaciones de la integral definida de la nebulosa de Orión y las características de la superficie de Marte, que lo llevaron a concluir la rotación de este planeta sobre su eje. También inventó un ocular de telescopio que lleva su nombre. En 1673, en París, publicó la obra Horologium oscillatorium , en la que no solamente desarrolló varias teorías sobre la fuerza centrífuga en los movimientos circulares que ayudaron al físico inglés Isaac Newton a formular las leyes de la gravedad, sino que describió una solución al problema del péndulo compuesto, para el cual calculó la longitud del péndulo simple equivalente. En la misma publicación incluyó también una fórmula para calcular el periodo de oscilación de un péndulo simple y explicó sus leyes de la fuerza centrífuga para movimiento uniforme en un círculo. De regreso en Holanda construyó algunas lentes de grandes longitudes focales e inventó el ocular acromático para telescopios. Poco después de regresar de una visita a Inglaterra, donde se encontró con Newton, publicó su tratado sobre la teoría ondulatoria de la luz. Para él, la luz era un movimiento vibratorio en el éter, que se difundía y producía la sensación de luz al tropezar con el ojo. Con base en su teoría pudo deducir las leyes de la reflexión y la refracción y explicar el fenómeno de la doble refracción. Pero la propuesta que Huygens describe en este trabajo cayó en el olvido, aplastada por la imagen y prestigio de Isaac Newton.
21.1 Longitud de arco de una curva plana Para calcular la longitud del arco de curva que une dos puntos A y B del plano cartesiano subdividimos la curva en muchas partes y unimos los puntos de división por segmentos de recta (figura 21.1). Este método fue utilizado por Arquímedes (287-212 a.C.) para aproximar el perímetro de una circunferencia. A continuación describiremos el procedimiento para una curva plana. Consideremos una función continua en [a,b] y sea P una partición de [a,b] tal que a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b .
A cada xi de la partición corresponde un Pi sobre la curva de coordenadas
( xi , f ( xi ) ) . Si unimos todo punto
Pi con su correspondiente Pi −1 mediante un
segmento de recta obtenemos una poligonal denotada por P0 P1 P2 … Pn −1 Pn cuya longitud viene dada por n
∑P i =1
P,
(1)
i −1 i
donde
Pi −1 Pi = ( xi − xi −1 ) 2 + ( yi − yi −1 ) 2 es la longitud de cada uno de los segmentos de recta que forman la poligonal.
Figura 21.1
Ahora, si la norma de la partición es suficientemente pequeña, la suma en (1) es una buena «aproximación» a lo que esperamos sea el valor asociado a la longitud del arco. Podemos entonces definir la longitud del arco así:
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