Medidas de asimetria y curtosis

Escuela de Ingeniería Industrial Tema VI Medidas de Asimetría y Curtosis Materia: Estadística I

Elaborado por: José Félix Cardozo C.I.: 26.71.404

Nota editorial La asimetría resulta útil en muchos campos. Muchos modelos simplistas asumen una distribución normal, esto es, simétrica en torno a la media. La distribución normal tiene una asimetría cero. Cuando el tamaño de la muestra aumenta cualquier población tiende a volverse simétrica.

Una asimetría positiva implica que hay más valores distintos a la derecha de la media.

Las medidas de asimetría, sobre todo el coeficiente de asimetría de Fisher, junto con las medidas de apuntamiento o curtosis se utilizan para contrastar si se puede aceptar que una distribución estadística sigue la distribución normal. Esto es

necesario

para

realizar

numerosos

estadísticos en la teoría de inferencia estadística.

contrastes

Contenido  Cálculo y aplicación del coeficiente de asimetría de Pearson.  Cálculo, aplicación e interpretación de los coeficientes de asimetría de la fórmula derivada de Pearson y de los cuartiles o de Bowley.  Cálculo y aplicación del coeficiente de Curtosis.  Graficación de los coeficientes de asimetría y de Curtosis.

Cálculo y aplicación del coeficiente de asimetría de Pearson.

Las medidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica.

Coeficiente de asimetría de Pearson Sólo se puede utilizar en

distribuciones uniformes,

unimodales y moderadamente asimétricas. Se basa en que en distribuciones simétricas la media de la distribución es igual a la moda.

Donde U es el momento ordinario de orden 1 que corresponde a la media aritmética de la variable X. Si la distribución es simétrica, U=moda y Ay=0 Si la distribución es asimétrica positiva la media se sitúa por encima de la moda y, por lo tanto Ay>0

Coeficiente de asimetría de Bowley-Yule Está basado en la posición de los cuartiles y la mediana, y utiliza la siguiente expresión:

En una distribución simétrica el tercer cuartil estará a la misma distancia de la mediana que el primer cuartil. Por tanto

Si

la

distribución

es

positiva

o

a

la

derecha

Coeficiente de asimetría de Fisher En teoría de la probabilidad y estadística, la medida de asimetría más utilizada parte del uso del tercer momento estándar. La razón de esto es que nos interesa mantener el signo de las desviaciones con respecto a la media, para obtener si son mayores las que ocurren a la derecha de la media que las de la izquierda. Sin embargo, no es buena idea tomar el momento estándar con respecto a la media de orden 1. Debido a que una simple suma de todas las desviaciones siempre es cero. En efecto, si por ejemplo, los datos están agrupados en K clases, se tiene que:

En donde xi representa la marca de la clase i-ésima y FI denota la frecuencia relativa de dicha clase. Por ello, lo más sencillo es tomar las desviaciones al cubo.

El coeficiente de asimetría de Fisher, representado por y1, se define como:

Donde U3 es el tercer momento en torno a la media y O es la desviación estándar.

Si Y1>0

, la distribución es asimétrica positiva o a la

derecha.

Si Y1<0la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.

Si la distribución es simétrica, entonces sabemos que Y1=0.

El recíproco no es cierto: es un error común asegurar que si Y1=0 falso).

entonces la distribución es simétrica (lo cual es

Cálculo y aplicación del coeficiente de Curtosis Las medidas de distribución nos permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representación gráfica. Estas medidas describen la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la información. Su utilidad radica en la posibilidad de identificar las características de la distribución sin necesidad de generar

el

gráfico.

Sus

principales

medidas

son

la Asimetría y la Curtosis.

El Coeficiente de asimetría, se representa mediante la ecuación matemática

Donde (g1) representa el coeficiente de asimetría de Fisher, (Xi) cada uno de los valores, ( ) la media de la muestra y (ni)

la frecuencia de cada valor. Los resultados de esta ecuación se interpretan: (G1 = 0): Se acepta que la distribución es Simétrica, es decir, existe aproximadamente la misma cantidad de valores a los dos lados de la media. Este valor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que son cercanos ya sean positivos o negativos (± 0.5).

(G1 > 0): La curva es asimétricamente positiva por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte izquierda que en la derecha de la media.

Curtosis Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución.

Por medio del Coeficiente de Curtosis, podemos identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).

Para calcular el coeficiente de Curtosis se utiliza la ecuación:

Donde (g2) representa el coeficiente de Curtosis, (Xi) cada uno de los valores, ( ) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los resultados de esta fórmula se interpretan: (G2 = 0) la distribución es Mesocúrtica: Al igual que en la asimetría es bastante difícil

encontrar un coeficiente de

Curtosis de cero (0), por lo que se suelen aceptar los valores cercanos (± 0.5 aprox.).

(G2 > 0) la distribución es Leptocúrtica (G2 < 0) la distribución es Platicúrtica Cuando la distribución de los datos cuenta con un coeficiente de asimetría (g1 = ±0.5) y un coeficiente de Curtosis de (g2 = ±0.5), se le denomina Curva Normal. Este criterio es de suma importancia ya que para la mayoría de los procedimientos de la estadística de inferencia se requiere que los datos se distribuyan normalmente.

La principal ventaja de la distribución normal radica en el supuesto que el 95% de los valores se encuentra dentro de una distancia de dos desviaciones estándar de la media

aritmética (Fig.5-3); es decir, si tomamos la media y le sumamos dos veces la desviación y después le restamos a la media dos desviaciones, el 95% de los casos se encontraría dentro del rango que compongan estos valores.

(g1 < 0): La curva es asimétricamente negativa por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte derecha de la media.

Desde luego entre mayor sea el número (Positivo o Negativo),

mayor

será

la

distancia

que

separa

aglomeración de los valores con respecto a la media.

la