Transformaciones lineales

∑ Álgebra lineal Álgebra lineal Álgebra lineal Álgebra lineal

Definiciones Ejercicios

Clasificaciones

Rango

“El álgebra es muy generosa siempre nos dice más de lo que le preguntamos” D´alembert

JULIO 2016 1500,00Bs

Editorial JOCA

Editorial Emprendiendo un nuevo recorrido de esta primera edición con la revista CONOCIENDO MÁS, quiero hacerles llegar a cada lector que están emprendiendo y ampliando sus conocimientos con nuevos estudios, Un tema de mucha importancia como es La enseñanza del álgebra lineal en la Ingeniería y otras ramas, como en la matemática y gran variedad de aplicaciones importantes, como es la física, ciencias sociales, economía, entre otras. reviste ciertas características muy especiales para su enseñanza y aprendizaje. En esta oportunidad nos enfocamos en LAS TRANSFORMACIONES LINEALES son las funciones vectoriales que se trabajan en Algebra Lineal, al indagar la revista podrás encontrar muchos puntos relacionado al tema.

Estoy convencido que les será de gran ayuda, les invito a leer y a gozar del placer del conocimiento.

José Camargo Equipo Editor “Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber “ Albert Einstein

Álgebra lineal Álgebra lineal Álgebra lineal Álgebra lineal

SOBRE TRANSFORMACIONES LINEALES Álgebra lineal Álgebra lineal Álgebra lineal Álgebra lineal

Por: José Luis Camargo Cepeda

Álgebra lineal Álgebra lineal

Álgebra lineal Álgebra lineal

R

Contenido 1

TRANSFORMACIONES LINEALES: Definiciones y ejemplos

3

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

v

V1 V2 V3

w f

w1 w2 w3

CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

6

NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIONES LINEALES

8

y x RANGO DE UNA TRANSFORMACIONES LINEALES

12

MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIONES LINEALES

14

TEOREMA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

4

COMO FORMAR TRANSFORMACIONES LINEALES

5

NULIDAD DE UNA TRANSFORMACIONES LINEALES

9

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIONES LINEALES

11

[

-

]

TRANSFORMACI LINEALES una transformación lineal es una función o aplicación lineal cuyo dominio y codominio son espacios vectoriales, en lugar de los números reales como es el caso de las funciones en el campo real. Por supuesto esta tiene que cumplir con ciertas propiedades pero siempre sobre los espacios vectoriales.

A las transformaciones lineales también se les llama operaciones lineares.

Una transformación lineal es, entonces, una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de espacio vectorial, es decir, el conjunto de llegada (codominio o imagen) de la suma de los 2 vectores del dominio (conjunto de salida)

E

es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto del vector por el escalar. La Transformación lineal es una definición entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para enseñar una transformación lineal usaremos F (v) = W, son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.

A las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

Una aplicación entre conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B.

TRANSFORMACI LINEALES La aplicación de f del conjunto A en el conjunto B si indica mediante f: AB. El conjunto A se llama conjunto inicial, y el conjunto B final. Si la aplicación f asigna al elemento a Є A el elemento b Є B, diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a) =b. la regla ha de estar inequivocadamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, este claro que elemento B es su imagen.

La clasificación : • se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales.

Una aplicación inyectiva crea

E w

-v/2 V+w

v -v/2-w

v/2-w

una copia de A dentro de B. Es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineales y en otras ramas de la matemática, tiene una gran variedad de aplicaciones importantes, como en la física, la ingeniería, ciencias sociales, economía.

2

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Se

definen dos operaciones; la adición y la multiplicación por un escalar, las transformaciones lineales entre espacios vectoriales conservan estas estructuras lineales según el criterio que se estables y según la definición sean V y W espacios vectoriales .

Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector ѵ Є W y que satisface para cada u y v

en V y cada escalar α.

T(u+v) (u)(2)

=Tu+Tv(1)

T(cu)=cT

Las transformaciones constan de las siguientes propiedades lineales básicas.

Sea T:V→W una transformación lineal, entonces para todos los vectores es u,v,v1,v2 T=0 T(u-v)=Tu-TV T(α1v1, α2v2,…, αn vn) =α1Tv1+α2Tv2+…+αnT vn

Ejemplo 1: demuestre que la transformación T:R3→R2 es lineal.

T ((x,yz)´)=(x+z,y-z) Solución: Sean u=(x1,y1,z1) y v=(x2,y2,z2) entonces T(u+v) =T((x1+x2,yu1+y2,z1+z2)´)=((x1+x2)+(z1+z2),(y1+y2)-(z1+z2)) =(x1+z1,y1-z1)+(x2+z2,y2-z2)=T(u)+T(v) Como se cumple las dos condiciones T(u+v)=T(u)+T(v)T(cu)=cT(u)T

3

TEOREMA DE LAS

D

TRANSFORMACIONES LINEALES

efinimos el kernel y rango de una transformación lineal t:v →w y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. En un ejercicio verificar que N(T) ₤ W. Definimos nulidad(T)=dim(N(T)) y rango (T)=dim(R(T)).

Teorema: Si T:v→w es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y solo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso, Dim(V) = nulidad(T)+Rango(T) Demostración: dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos L(V,W)=T:V→W T es una transformación lineal.

Si T, UЄL(V,W) y αЄF, definimos αT+U:V→W como (αT+U((x) =αT+U(x) para todo x ЄF. Teorema: En la categoría de los espacios vectoriales dimensionales finitos, la dimensión es un invariante completo

T:v → w

E

0

B

G

Y

B

de isomorfismo, es decir, para cualquier espacio vectorial finito V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre Vy W si y solo si dim(V) =dim(W) Demostramos: Sea V un espacio vectorial bidimensional finito sobre un campo F y sea b=(x1,xm) una base ordenada de V, para cada T Є L(V,W) definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g.

Por otro lado dada una matriz A Є Mn x m(F), la función La:Fⁿ→Fⁿ definida por la La(X)=Ax, es una transformación lineal.

4

COMO FORMAR TRANSFORMACIONES LINEALES Dado un espacio vectorial V , el espacio vectorial L(V,V), que se nota usualmente como (V), forma un álgebra asociativa sobre el cuerpo base, donde la multiplicación es la composición y la unidad es la transformación identidad y

(-1,1)

(1,1)

1

(1,5) 90°

-1

V

(3,4) 1

T2 →

W

x

y (4,3)

(1,1) T(x,y)=(y,x)

(5,1)

x

5

CLASIFICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Funcional lineal: A las transformaciones lineales T:V→K (donde K es el cuerpo base de V) los llamados funcionales lineales. x

y +∞ x

a d b c

1 2 3

Epimorfismo: Si sobreinyectiva.

Monomorfismo: Si T:V→w es inyectiva, si el único elemento del núcleo es el vector nulo. ker=T=0v

T:V→w

y +∞

es

Isomorfismo: Si T:V→w es binyectiva, (inyectiva, sobreinyectiva )

x F(x)=2x+1

-∞

y +∞

Automorfismo: Se le llama a un endomorfismo biyectivo.

X X1 X2 X3 X4 x5

F(x) →

Y = Im(f) F(x) F(x) F(x) F(x)

F(x)=x+1

-∞

y

-∞

F(x)=2x

x

Endomorfismo: Se le llama a una transformación lineal en el que dominio y codominio coinciden.

6

MONOFORMISMO EPIMORFISMO E ISOMORFISMO 1 ) Una aplicación F:A → B es inyectiva si V a1,a2 ЄA, con a1 6= a2 entonces f(a1) 6=f(a2).

2 ) Una aplicación F:A → B es sobreyectiva si V b Є B existe a Є A tal que f(a)=b o, equivalente, si f(A)=B.

3 ) Una aplicación F:A → B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

4 ) Las aplicaciones lineales inyectivas se denominan monomorfismo, las sobreyectivas, Epimorfismo, y las biyectivas, Isomorfismo.

.

5 ) Decimos que un espacio vectorial V es isomorfo a otro V0 (V´V0) si existe Un Isomorfismo f : V→V0 6 ) Una aplicación Lineal f:V→V definida de un espacio vectorial en si mismo, es endomorfismo. De ser isomorfismo, la Llamamos automorfismo.

.

a aN

h(a)

.

.

1

1

N=kerh G

h

imh H 7

NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL En

núcleo de un operador A, denotado como ker A o Nucl A, es el conjunto de todo los vectores cuya imagen sea el vector nulo.

Núcleo del vector (1,2,3) al definir una forma bilineal con una matriz de conexión identidad (por ejemplo el producto vectorial habitual) son todos aquellos

v

vectores conjugados (también llamados ortogonales en un espacio vectorial no abstracto) cuyo producto sea nulo.

Deben cumplir la ecuación cartesiana: X1+x2+x3=0 O resolviendo el sistema (con dos parámetros cualquiera)ser variedad lineal de los vectores: (-2,1,0),(-3,0,1)

ƒ

Propiedades: Si A es una matriz su núcleo e un subespacio vectorial del espacio vectorial total. La dimensión de este subespacio se llama nulidad de A y el numero de columnas que no tiene pivote al reducir por filas la matriz A. el teorema del rango establece que el rango de cualquier matriz más su nulidad es igual al número de columnas de la matriz

w

N(ƒ) X X ov

0w

N(ƒ)=[υЄV/ƒ(V)=0w] 8

NULIDAD DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean V,W espacios vectoriales sobre un campo F u sea T Є L(V,W). La nulidad de T se define como la dimensión del núcleo de T: (-1,5)

y

(3,4)

(-4,3) (1,1)

(-1,1)

(5,1)

x

T(x,y)=(-y,x)

U

. _ u

V

F(ū)

G(F(ū))

.

. _ v

G(ΰ)

W

_ w

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NULIDAD DE UNA MATRIZ La nulidad v(A) de una matriz esta relacionada con la dimensión del espacio nulo NA de dicha matriz; es decir, la dimensión del espacio solución del sistema

Ax=0. si A es transformada por medio de operaciones elementales por fila a una matriz escalonada reducida por fila digamos H con t filas no nulas,

entonces la dimensión del espacio solución de Ax=0 es n-t. como t es rango de A, entonces hay una relación entre el rango y la nulidad de la matriz A.

Teorema: Sea una matriz de tamaño mxn, entonces: n= rango(A) + nulidad (A) Siendo n el numero de variables del sistema asociado a la matriz A Ejemplo:

[

Dada la matriz A=

1 0 0 0

2 5 0 0

0 4 2 0

-1 -2 -4 0

3 1 1 0

]

Determinar el espacio solución.

Solución: Como se observa 5variables (n), ya que hay 5 columnas y el rango es 3 (t), entonces: Dimensión del espacio solución (N) será: 5-3=2. (n-t=N ) 10

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por Im T= {w Є W:w = Tv para alguna v Є V} La imagen de T, es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores en V bajo la transformación T. de hecho, si w=Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T. Teorema: Demostración: w =Tu Si T:V→W es una 1. Sean u y v en un y x =Tv para dos transformación T; Entonces vectores u y v en lineal, entonces T(u+v)=Tu+Tv=0+ V. Esto significa 1) Un T es un =0 y T()=0 de forma que T(u+v) = Tu + subespacio de V que u + v y ∞w Tv = w + x y T(∞u) están en Im T. = ∞Tu = ∞w. por lo 2) Im T es un 2. Sean w y x en Im tanto, w +x y ∞w subespacio de W T. Entonces están en Im T. Ejemplo: Núcleo e imagen de la transformación cero Sea Tv = 0 para todo vЄ V(T es la transformación cero). Entonces un T= v e Im T ={0} Ejemplo: Núcleo e imagen de la transformación identidad Sea Tv = v para todo vЄ V(T es la transformación identidad). Entonces un T ={0} e Im T=V Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

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RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL En el álgebra lineal, se refiere al rango de una aplicación lineal f entre dos espacios X e Y vectoriales y se define como la dimensión del conjunto imagen: Dim f(x), f(x) C y frecuentemente la noción se aplica a aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita, lo cual da lugar a la noción de rango de una matriz.

Rango de una matriz: es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independiente.

columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A. comúnmente se expresa como rg(A).

El número de columnas independientes de una matriz A de m filas y n columnas es igual a la dimensión del espacio columna de A. también la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n: AЄMnxm→0>rang (A)<min(m,n) Rango de una transformación lineal: Es el rango

de una propiedad no sólo de las matrices sino extensible a las aplicaciones lineales de la cuales las matrices son una representación fijada la base. Definamos en primer lugar el concepto de rango de una aplicación lineal de forma genérica.

Dada aplicación o transformación lineal: F:Kⁿ → Lⁿⁿ Se define el rango simplemente como la dimensión del conjunto imagen de la aplicación: Rang f = dim(imf)< min (M.n).

12

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MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

S

i v y w tiene dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz.

Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.

Sean T:V → W una transformación lineal B{V1,….,Vn} una base de V, C= {w1,….,wn} base de W. para calcular una matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T(vi) para cada

i = 1,…,n y escribirlo como combinación lineal de la base C. Como un vector w se describe de forma única como combinación lineal de elementos de C, la matriz es única.

Gracias al teorema mencionado en la sección teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos que dada cualquier elección de U1,…,Un existe y es única la transformación lineal que envía vi en u i por lo tanto, dada A cualquier

matriz mxn, existe y es única la transformación lineal T:V →W tal que C[T]B=A. Además las matrices asociadas cumplen que C[aT+bS]B= aC[T]B+bC[S]B. Por esto es que la aplicación que hace corresponder cada transformación lineal con su matriz asociada es un isomorfismo entre L(V,W) y Mnxm C(K).

Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos además que esta aplicación es un isomorfismo entre álgebras.

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