Estabilidad en los sistemas de control en tiempo discreto

UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERRECTORADO ACADÉMICO FACULTA ESCUELA DE INGENIERÍA

Autor: Gonzalez Jose C.I:26.301.104 Profesor(a): Marienny Arrieche Catedra: Teoría de control II Sección: Saia A Cabudare, marzo 2020

¿ Se dice que un sistema de control es estable, si posee todos los polos en lazo cerrado de su función de transferencia en el interior del circulo de radio unidad en el plano de transformada z. si se encuentra un polo de lazo cerrado fuera de este, hace inestable al sistema.

De la siguiente manera: 1> El sistema será estable, si los polos de lazo cerrados, las raíces de la ecuación característica quedan localizados dentro del circulo unitario en el plano z 2> Si un polo simple se encuentra ubicado en Z=1 o en Z= -1,el sistema es marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos conjugados complejos están sobre el circulo unitario. También puede ocurrir que polos múltiples se encuentren localizados sobre el circulo unitario dando como resultado un sistema inestable 3> Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema y pueden estas ubicados que cualquier parte de plano Z

MAPEO ENTRE PLANO S Y PLANO Z

Los errores en sistemas de control pueden ser atribuidos varios factores.

Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los periodos transitorios.

Se dice que un error de estado permanente o estacionario, es todo aquel sistema donde la etapa es estable, la salida es diferente a la deseada, este debe ser disminuido en lo máximo posible a 0 -Los pasos para analizar son:  Determinar el tipo de sistema de la función. Se tienen 3 tipos de sistemas 0 (N=0), tipo 1 (N=1) y tipo 2 (N=2): esto se realiza buscando los polos y ceros en Z=1 que tiene la función de transferencia. Si no tiene polos ni ceros el sistema es de tipo 0.  Suponemos que el sistema es estable para que se pueda aplicar el teorema de valor final y de esta forma, determinar los valores en estado permanente, esto se expresa de la siguiente manera;

 Se toman las entradas y las salidas del sistema a partir del diagrama de bloque de un sistema en tiempo discreto, Luego de esto, se hace la relación de la función de transferencia:

 Se unen las ecuaciones anteriores:

 Se consideran ahora 3 tipos de entrada: Escalón Unitario, Rampa Unitaria y de Aceleración Unitaria. Dependiendo del tipo de entrada del sistema

Cuando hablamos de tiempo de levantamiento (Tr), estamos hablando sobre una de las especificaciones, de la respuesta transitoria.

El cual se puede definir como el tiempo que requiere la respuesta para pasar de un 10% hasta un 90%, de 5% a un 95%, o de 0 a 100% de su valor final, segĂşn la situaciĂłn que se presente.

Para los sistemas de segundo orden subamortiguados, por lo regular se utilizan en el tiempo de levantamiento de 0 a 100% Para sistemas sobreamortiguados y sistemas con atraso de transporte, comĂşnmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10% a 90%

Cuando hablamos de sobrepaso máximo (Mp), nos encontramos hablando nuevamente sobre una de las especificaciones de la respuesta transitoria.

Esto se puede considerar como valor máximo de la curva de respuesta medido a partir de una unidad.

Si el valor final en el estado permanente de la respuesta difiere de la unidad, entonces es común utilizar el sobrepaso porcentual máximo.

Quedando definido por la relación: La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad relativa del sistema

Entre las diferencias podemos apreciar:  Como es periódica, de periodo ῳs de acuerdo a los efectos de las bandas repetidas en el plano S que se genera en el sistema muestreado. Es así, como la respuesta frecuencia no se evalúa, en el plano Z, debido a que se ejercen múltiples vueltas sobre el circulo de radio unidad en el plano Z a medida que suba la frecuencia de la señal de entrada.  Las respuestas frecuenciales se pueden obtener de una manera aproximada, en cambio en los sistemas de tiempo discreto,pueden obtenerse en base a su márgenes, tanto el de la fase como el de ganancia (MF,MG) , que se encuentran definidos a raíz de la respuesta en frecuencia en lazo abierto

 Se debe considerar la relación no lineal existente entre la frecuencia bilineal y la frecuencia real de la señal.  Se pueden trazar por medio de métodos asintóticos estos diagramas, para así ofrecer el aporte de la respuesta frecuencial en la primera banda. Cuando el numero de muestras por ciclo sea aumentada, el sistema en tiempo continuo equivalente tendrá un diagrama de bode parecido, sin problemas de distorsión, al sistema en tiempo discreto. Aunque, a medida que la frecuencia sube, el número de muestras que se ve en el ciclo disminuyen, observándose diferencias entre ellos, por medio de la transformación bilineal

 Se pueden apreciar en el margen de fase y margen de ganancia en el plano transformado bilinieal (W), análogamente como ocurría en los sistemas de tiempo continuo. Si se garantiza frecuencialmente una buena estabilidad relativa, el sistema discreto responderá de manera adecuada, con independencia del numero de muestras/ciclo y el numero de muestras/cte de tiempo

 En estos diagramas, pueden trazarse el diagrama polar de un sistema discreto, y de este modo es posible aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist. Debe observarse que la distorsión sufrida por la transformación de frecuencias no es relevante en el diagrama polar, determinándose la estabilidad absoluta y relativa del sistema discreto sin ninguna consideración adicional, es decir, sin necesidad de conocer el numero de muestras por ciclo de la señal de salida a diferencia del otro sistema

Dado el sistema representado en la figura: Determine el valor K y examine su estabilidad a través del Criterio de Jury Función de característica

Función de transferencia:

Por medio de las determinantes procedemos a calcular:

De acuerdo con el criterio de jury:

Para que se cumpla el paso anterior K>0

Punto crítico

Para que se cumpla el paso anterior, K>0.25 En conclusión como satisface todas las reglas según el criterio de jury, el sistema esta estable

Determine cuantos lugares hay en el lugar de las raíces para la función: dado el siguiente sistema de lazo cerrado. Determine su estabilidad a través del método de Transformación Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh.

Por medio de fracciones parciales

Separamos y nos quedan las siguientes ecuaciones

Como resultado nos queda:

Derivando lo anterior obtenemos

Ruth Hurwitz

Para que b1 y c1 sea diferente de 0 y se mantenga estable el sistema, k>6 ya que que si k=6 c1=0 y el sistema es crĂ­ticamente estable