Apostila de Escoamentos Viscosos (2011)

ESCOAMENTOS VISCOSOS Jorge A. Villar Alé

2011

Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS Jorge A. Villar Alé

Março de 2011

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Escoamentos Viscosos

SUMÁRIO

1.1 ESCOAMENTO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL ..........................................................................................................................5 1.1.1

1.2 1.3

Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido ...................................................................................................5

DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM TUBOS ..........................................................................................7

1.4

ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBULAÇÕES.......................................................................................................................9

ESCOAMENTO TURBULENTO EM TUBULAÇÕES ......................................................................................................................12 Tensão de cisalhamento .............................................................................................................................................13 Distribuição da Velocidade no Escoamento Turbulento..............................................................................................14 1.5 EQUAÇÃO DE ENERGIA COM VELOCIDADE MÉDIA ..................................................................................................................16 1.6 PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES.......................................................................................................17 1.7 PERDA DE CARGA PRINCIPAL ..............................................................................................................................................18 1.7.1 Perda de Carga Principal - Escoamento Laminar .......................................................................................................18 1.7.2 Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento...................................................................................................19 1.7.3 DIAGRAMA DE MOODY.............................................................................................................................................20 1.8 MÉTODOS PARA DETERMINAR AS PERDAS DE CARGA SECUNDÁRIAS...........................................................................................23 1.8.1 Método do comprimento equivalente ..........................................................................................................................23 1.8.2 Método do coeficiente de perda de carga...................................................................................................................24 1.9 PERDA DE CARGA EM ELEMENTOS SECUNDÁRIOS ................................................................................................................25 1.9.1 Saídas e Entradas Abruptas ......................................................................................................................................25 1.9.2 Expansão e Contração Abruptas ................................................................................................................................26 1.9.3 Expansão e Contração Gradual ..................................................................................................................................27 1.10 PROBLEMAS TÍPICOS DE ESCOAMENTOS EM TUBOS ..............................................................................................................28 1.10.1 Determinação da Vazão.........................................................................................................................................28 1.10.2 Determinação do Diâmetro da Tubulação .............................................................................................................28 1.11 RESUMO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NAS PAREDES ........................................................................................................29 1.12 CONCEITO DE DIÂMETRO HIDRÁULICO .................................................................................................................................30 2.1 2.2 2.3

1.4.1 1.4.2

ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS...................................................................................32 REPRESENTACOES SEMI-EMPIRICAS DAS TENSOES DE REYNOLDS ....................................................................36 CONCEITO DE MISTURA DE PRANDTL ........................................................................................................................36

3.1 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS ..............................................................40 3.2 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS LISOS.............................................................42 3.3 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS RUGOSOS ....................................................47 3.4 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – LEI EXPONENCIAL ....................................................48

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ESCOAMENTO VISCOSO EXTERNO: CONCEITOS DE CAMADA LIMITE .......................................................................................51 ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS .................................................................................................................................51 4.2.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo ............................................................................................51 4.3 ESCOAMENTO SOBRE PLACA PLANA ....................................................................................................................................52 4.3.1 Forças Viscosas Predominantes – Reynolds muito baixo - Re≈0,1 ...........................................................................52 4.3.2 Forças Viscosas Moderadas – Reynolds baixo - Re≈10 ...........................................................................................52 4.3.3 Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re≈107 .......................................................................................53 4.4 CARACTERÍSTICAS DA CAMADA LIMITE .................................................................................................................................54 4.5 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE...........................................................................................................................................55 4.6 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO .........................................................................................................................................55 4.7 ESPESSURA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO.......................................................................................................................56 4.8 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACAS PLANAS ...................................................................................................................57 4.9 COEFICIENTE DE ARRASTO E FORÇA DE ARRASTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO ..............................................................58 4.10 EQUAÇÕES DE BLASIUS – PLACA PLANA – CAMADA LIMITE LAMINAR ...................................................................................59 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE ...........................................................................................................................................................59 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO DA CAMADA LIMITE..............................................................................................................................59 4.11 COEFICIENTE DE ARRASTO LOCAL OU COEF. DE TENSÃO DE CISALHAMENTO ...........................................................................59 4.12 COEFICIENTE DE ARRASTO MÉDIO ........................................................................................................................................59 4.13 TRANSIÇÃO DE ESCOAMENTO LAMINAR PARA TURBULENTO...................................................................................................60 4.14 CAMADA LIMITE TURBULENTA EM PLACA PLANA ...................................................................................................................61 4.14.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tensão de Cisalhamento...............................................................61 4.14.2 Coeficiente de Arrasto Médio.................................................................................................................................61 4.15 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE - ESCOAMENTO TURBULENTO ..............................................................................................63 4.16 RESUMO DAS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA .............................................................................................64 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

ESCOAMENTOS EXTERNOS: CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA ...........................................................................67 RESULTADOS PARA ESCOMANETO LAMINAR: ..........................................................................................................70 RESUMO DAS EQUACOES DE CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA - LAMINAR E TURBULENTO...........................77 RELACOES BASICAS...........................................................................................................................................................78 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACA PLANA – REGIME LAMINAR E TURBULENTO ..................................................................79

6.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA .......................................................................................81 7.1 FORÇAS AERODINÂMICOS DE SUSTENTAÇÃO E ARRASTO ................................................................................................................88 7.5.1 Coeficiente de Arrasto.................................................................................................................................................89 7.2 ESCOAMENTO SOBRE CILINDROS - EFEITO DA VISCOSIDADE ............................................................................................................91 7.3 ESCOAMENTO NÃO VISCOSO NUM CILINDRO ....................................................................................................................................92 7.4 ESCOAMENTO VISCOSO NUM CILINDRO : EFEITO DO GRADIENTE ADVERSO DE PRESSÃO ..................................................................94 7.5 SUSTENTAÇÃO AERODINÂMICA .....................................................................................................................................................99 7.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E SUSTENTAÇÃO.......................................................................................................101 7,7 CURVA DE SUSTENTAÇÃO VERSUS ÂNGULO DE ATAQUE. ..............................................................................................................102 7.5.2 Influência da Velocidade Induzida na Força de Arrasto............................................................................................105 7.5.3 Velocidade mínima de vôo .......................................................................................................................................107

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1.1 ESCOAMENTO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL 1.1.1

Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido

Consideramos no estudo o escoamento viscoso interno num tubo com fluido incompressível (Fig.1). Se o tubo estivesse imerso num reservatório (ou na saída de um reservatório) a velocidade U0 na entrada poderia ser considerada como uniforme. A medida que o fluido entra no tubo os efeitos viscosos provocam aderência do fluido às paredes do tubo. Esta é conhecida como condição de não deslizamento. Assim, o fluido em contato com as paredes sempre terá velocidade nula ao longo de todo o comprimento da tubulação.

Figura 1 Região de entrada em um tubo

A medida que o fluido escoa para dentro do tubo (na direção x) se desenvolve uma camada limite, devido ao efeito das forças de cisalhamento das paredes, que retardam o escoamento. A medida que avança para o interior do tubo tal efeito aumenta. Os efeitos viscosos são importantes dentro da camada limite. Na região do núcleo não atingida pela camada limite os efeitos viscosos são desprezíveis.

Considerando que o escoamento é incompressível a velocidade na linha central do tubo aumenta com a distância a partir da entrada satisfazendo a equação da continuidade. O perfil de velocidades u(r,x) muda conforme aumenta a camada limite. Contudo como a seção do tubo é constante a velocidade média deve ser a mesma em qualquer seção:

u=

r r 1 u dA Atotal ∫

Como na região de entrada a velocidade é uniforme também é verdadeiro que u=U0: Numa determinada posição x a camada limite atinge a linha central da tubulação e o perfil de velocidade não muda com a posição x que encontramos no tubo.

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Comprimento de entrada L Distância da entrada até o local onde a camada limite atinge a linha central (de simetria) do tubo (x=L). A partir deste ponto o perfil de velocidade é plenamente desenvolvido significando que seu formato não varia mais na direção de x.

•

Para x > L o perfil de velocidade não varia mais com x, nesse caso denomina-se perfil de velocidades plenamente desenvolvido.

Na entrada do tubo Na região de desenvolvimento Na região plenamente desenvolvida •

Posição no tubo x=0. x≤L x>L

Perfil de velocidades u=Uo = constante u=u(r,x) u=u (r)

O formato do perfil plenamente desenvolvido depende se o regime de escoamento é laminar ou turbulento.

Para Escoamento Laminar o comprimento de entrada é função do número de Reynolds:

L ρV D ≈ 0,06 = 0,06 Re D µ

Onde ρ é a massa especifica do fluido (kg/m3), V é a velocidade média do escoamento (m/s), D é o diâmetro interno da tubulação (m) e µ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s).

Considerando que o escoamento é laminar até

Re < 2300 podemos estimar o comprimento de entrada neste caso.

L ≈ 0,06 Re D L ≈ 0,06 x 2300 D L ≈ 140 D O escoamento laminar plenamente desenvolvido ocorrerá para L > 100 D Para escoamento turbulento a mistura entre camadas de fluido aumenta rapidamente a camada limite (mais rápido que a laminar). A experiência mostra que a velocidade torna-se plenamente desenvolvida para

L ≈ (25...40) D Dependendo das características do escoamento turbulento podem ser encontrados casos em que o escoamento atinge um perfil de velocidades plenamente desenvolvido para valores de L ≅80D. Para estimar-se o comprimento L num escoamento turbulento pode ser dotada a expressão:

L 1/ 6 ≈ 4,4(Re ) D

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1.2 DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM TUBOS No escoamento permanente plenamente desenvolvido num tubo horizontal, seja laminar ou turbulento, a queda de pressão é equilibrada pelas forças de cisalhamento nas paredes do tubo.

Figura 2 Volume de controle para análise da tensão de cisalhamento Aplicando a equação da quantidade de movimento na direção x

Fsx + Fbx = Hipóteses: (1) Tubo horizontal FBx=0 (2) Escoamento permanente.

(3) Escoamento incompressível.

(4) Escoamento plenamente desenvolvido.

r r ∂ u ρ dV + u ρ V ∫ dA ∂t vc∫ sc

Fsx = 0 . Para o elemento de fluido da Fig. 8.2 o balanço de forças é dado por:

Desta forma

∂p dx  2  ∂p dx  2  Fsx =  p − πr −  p + πr + τ rx 2πrdx = 0 ∂x 2  ∂x 2    ∂p dx 2 − πr + τ rxπrdx = 0 ∂x 2 obtendo-se finalmente:

τ rx =

r ∂p Válido para escoamento Laminar ou Turbulento 2 ∂x

desta forma a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de zero na linha de centro até um máximo na parede. Denominando tensão de cisalhamento na parede como τw, e sabendo que a variação da pressão ao longo do tubo é constante

τ w = −τ rx

r=R

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=−

R ∂p 2 ∂x

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A expressão fica negativa (-) já que se considera a tensão de cisalhamento na parede com a mesma magnitude da tensão do fluido porém agindo em sentido contrário. como

∂p ( p 2 − p1 ) ∆P = =− = cte ∂x L L

Figura 3 Perda de presão numa tubulação

substituída na equação anterior obtém-se a equação que relaciona a tensão de cisalhamento na parede com a queda de pressão em tubos válida para escoamento laminar ou turbulento.

τw =

R ∆p D ∆p ou τ w = 2 L 4 L

A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na figura abaixo. É representada como uma função linear do tipo τ rx = cr onde a constante c=∆P/2L.

Figura 4 Perfil de velocidade e de tensão de cisalhamento em tubulações Desta forma podemos relacionar a queda de pressão com a tensão de cisalhamento na parede

∆p =

4L τw D

Uma pequena tensão de cisalhamento na parede pode produzir uma grande diferença de pressão quando a tubulação for muito longa (L/D >> 1).

Obs: As equações da tensão de cisalhamento obtidas aqui são válidas para escoamento laminar e turbulento já que a dedução foi realizada independente destes regimes de escoamento.

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1.3 ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBULAÇÕES Perfil de Velocidades

No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por:

τ rx = µ

du dr

Explicitando desta equação a velocidade:

du =

1 τ rx dr µ

 1 ∆P  r 2 L 

substituindo o termo da tensão de cisalhamento: τ rx = 

du =

1  1 ∆P   rdr µ2 L 

integrando

1  1 ∆P  ∫ du = µ  2 L ∫r rdr R

1 1 ∆P  r 2  u=   µ 2 L  2 r

R

u=

{

1 ∆P 2 R − r2 4µ L

}

ou também:

∆PR 2 u= 4 µL

  r  2  1 −      R  

Esta equação representa o perfil de velocidades para escoamento laminar em tubos.

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Vazão Volumétrica A vazão volumétrica ou simplesmente vazão no elemento de fluido da Fig. 8.2 é dada por:

dQ = u 2πrdr

∫ dQ = ∫ u 2πrdr R

0

substituindo a velocidade u=u(r) pelo termo deduzido anteriormente: u =

{

1 ∆P 2 R − r2 4µ L

}

∆P 2 Q= R − r 2 2π ∫ rdr 4 µL 0

{

}

R

Q=

∆P 2π ∫ R 2 − r 2 rdr 4 µL 0

Q=

 R4 R4  ∆P  2π  − 4 µL  2 4 

Q=

∆P R4 2π 4 µL 4

Q=

π∆P 4 R 8 µL

R

{

}

ou em função do diâmetro:

Q=

π∆PD 4 128µL

(Equação de Hagen - Poussiulle)

Velocidade Média

V =

Q 4Q = A πD 2

Substituindo a expressão de Hagen-Poussiulle:

V =

4 π∆PD 4 πD 2 128µL

V =

∆PD 2 ∆PR 2 Ou também V = 32µL 8 µL

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Velocidade Máxima

Sabemos que o perfil de velocidades num escoamento laminar é dada por: 2 ∆P 2   r   u= R 1 −    4 µL   R  

A velocidade máxima ocorre na linha central do tubo, isto é para r=0.

u max =

∆PR 2 4 µL

Relação entre Velociade Máxima e Velocidade Média:

u max V

∆PR 2 8µL = =2 ∆PR 2 4 µL

u max = 2V

(para escoamento Laminar)

Perfil de Velocidades em Função da Velocidade Máxima 2 ∆P 2   r   u= R 1 −    4 µL   R  

  r  2  u = u max 1 −      R   O perfil de velocidades num escoamento laminar é parabólico

Figura 5 Perfil de velocidade para escoamento laminar numa tubulação

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1.4 Escoamento Turbulento em Tubulações A natureza do escoamento nos tubos pode ser laminar ou turbulento. Tais regimes são dependentes do valor do número de Reynolds.

Re =

ρV D µ

Onde ρ é a massa específica do fluido (kg/m3), V é a velocidade média do escoamento (m/s), D é o diâmetro interno da tubulação (m) e µ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s).

Fluido Laminar: O fluido escoa em camadas (lâminas) não existe mistura macroscópica das camadas adjacentes.

Escoamento Turbulento: Manifestam-se pequenas flutuações da velocidade de alta freqüência superpostas ao movimento predominante.

Medindo a componente da velocidade x num local fixo da tubulação podemos observar na Fig.8.6 o comportamento da velocidade para o caso laminar e turbulento. No escoamento turbulento a velocidade instantânea (u) é tão uniforme que sua velocidade é a mesma

u =u Observa-se que no caso do escoamento turbulento existe uma componente aleatória de flutuação da velocidade instantânea (u´). Desta forma a velocidade instantânea é dada pela soma algébrica velocidade média mais a componente de flutuação:

u = u + u´

Figura 6 Variação da velocidade num escoamento laminar e turbulento unidimensional No caso do escoamento real tridimensional a natureza do escoamento é mais complicada já que a velocidade manifesta três componentes de flutuação, sendo a velocidade instantânea dada como:

u = u + u´ v = v + v´ w = w + w´

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1.4.1

Tensão de cisalhamento

No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por:

τ yx = µ

du dy

Conhecido o perfil de velocidades, podemos através da sua derivada (du/dy), determinar as tensões de cisalhamento no escoamento.

Para escoamento turbulento não se tem uma relação direta como no caso do escoamento laminar, mesmo com velocidade média unidimensional. As flutuações aleatórias da velocidade tridimensional u´, v´, w´ transportam quantidade de movimento aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. Desta forma não existe uma relação universal entre o campo de tensões e da velocidade no caso do escoamento turbulento.

No caso do escoamento turbulento para determinar as tensões de cisalhamento utilizam-se teorias semi-empíricas e de dados experimentais. Neste caso a tensão de cisalhamento se expressa como sendo formada por uma componente laminar e outra turbulenta.

τ = τ la min ar + τ turbulento onde

τ lam = µ

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du dy

τ turb = − ρu´v´

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1.4.2

Distribuição da Velocidade no Escoamento Turbulento

(a) Lei Exponencial Empírica Num escoamento turbulento o perfil de velocidades não pode ser deduzido da maneira como foi realizado para o escoamento laminar, devido a que não podemos utilizar a lei de Newton para relacionar a tensão de cisalhamento com o gradiente de velocidades.

Figura 7 Perfil de Velocidades num escoamento turbulento Num escoamento turbulento adotam-se perfis de velocidades obtidos de relações empíricas. Por exemplo a lei exponencial empírica considera um perfil do tipo:

r  u (r ) = u max 1 −   R

1/ n

Tal equação não pode ser aplicada próxima à parede (R=0) já que o gradiente de velocidade é infinito. Contudo pode ser utiliza para y/R < 0,004 sendo y= R – r. O termo n depende do número de Reynolds como mostra a Fig. 8.8. O valor para n=7 é geralmente utilizado com precisão razoável em muitas situações reais. Também podemos utilizar a expressão n = 1.85 log(Re) − 1.96

Figura 8 Expoente n do perfil da lei exponencial de velocidade turbulento

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A Fig.8.9 mostra um perfil turbulento utilizando a expressão exponencial com n=6 e n=10. Para comparação também mostra-se o perfil laminar de velocidade. Observa-se que os perfis turbulentos são muito mais “achatados” que os laminares. O achatamento aumenta com o número de Reynolds isto é´, com o aumento de n.

Figura 9 Perfil de velocidades num tubo A razão entre a velocidade média ( u ou V ) e a velocidade máxima (Umax) para um perfil exponencial de velocidade é dada por:

u U max

=

2n 2 (n + 1)(2n + 1)

(b) Distribuição da Velocidade Considerando Fator de Atrito O fator de atrito ( f ) pode ser determinado para escoamentos em regime laminar e turbulento. O expoente n pode ser determinado no caso de escoamento turbulento como:

8 f

n=k

onde k=0,41 é denominada constante de von karman.

No caso de escoamento turbulento podemos também utilizar a seguinte expressão para determinar o perfil de velocidades em função do fator de atrito ( f )

{

}

u = V 1 + 1,43 f + 2,15 f log10 ( y / R ) onde y=r - R.

A velocidade máxima é dada como:

{

u max = V 1 + 1,43 f

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}

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1.5 Equação de Energia com Velocidade Média Considerando escoamento em regime permanente incompressível uma análise de energia entre duas seções, que incluem dissipação e/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como:

p1 u12 p 2 u 22 + + z1 + H A − H R − hLT = + + z2 ρg 2 g ρg 2 g onde HA representa a energia adicionada, HR, representa a energia retirada do sistema e hLT representa a dissipação de energia. Num problema em particular nem todos os termos de energia são utilizados. Nos escoamentos viscosos o perfil de velocidade numa dada seção não pode ser uniforme. É conveniente portanto utilizar a velocidade média, para tal é necessário definir o coeficiente de fluxo de energia cinética (α). Aplicando a equação de energia numa tubulação entre os pontos 1 e 2, onde não existem dispositivos mecânicos (HA =0 e HR =0):

p1 u2 p u2 + α 1 1 + z1 − hLT = 2 +α 2 2 + z 2 ρg 2g ρg 2g o coeficiente de energia cinética é definido como

α=

∫ ρV

3

dA

A

m& V

2

No caso de escoamento laminar: α=2.

No caso de escoamento turbulento:

 2n 2 U    α =  max    U   (3 + n )(3 + 2n )  3

Por ex. para os números de Reynolds considerados Re 4,0x103 3,2x106

n

α

10

1,03

6

1,08

Se observa que α≅1. Desta forma para a maioria dos casos de engenharia nos cálculos de perda de carga considerase α=1.

Observação: No material do Fox, McDonald a energia e perda de carga é apresentada como energia por unidade de massa (J/kg). No nosso caso é dada como energia por unidade de peso (J/N), ou metro de coluna de fluido (m).

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1.6 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações A variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito.

Escoamento sem atrito A variação de pressão pode ser determinada aplicando a Eq. de Bernoulli.

∆P → f ( Z , V ) já que hLT=0.

Escoamento real com atrito a variação de pressão pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia

∆P → f ( Z ,V , hLT )

O atrito origina uma diminuição da pressão.

Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito.

Figura 10 Perda de carga em sistema de bombeamento Perda de carga Total

A perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas.

hLT = hL + hacc Perda de Pressão ou de Carga Principal: (hL) Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante.

Perda de Carga Secundária - (hac) Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema de área variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes.

A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária.

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1.7 Perda de Carga Principal

Transformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos.

Consideremos um escoamento plenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma tubulação com área constante A1=A2 e desta forma pela Eq. da continuidade u1=u2

hL =

( p1 − p 2 ) ρg

+ ( z1 − z 2 )

No caso de uma tubulação horizontal (z1=z2).

hL = 1.7.1

( p1 − p 2 ) ρg

=

∆P ρg

Perda de Carga Principal - Escoamento Laminar

Utilizando a expressão da velocidade média

32 µV L D 2  ∆P  V =   e desta forma: ∆P = 32 µ  L  D2 substituindo esta última expressão na equação da perda de carga

hL =

∆P  32 µV L  1    = ρg  D 2  ρg 

Podemos expressar esta equação em função do Número de Reynolds

Re =

ρV D ρV D explicitando a viscosidade dinâmica: µ = Re µ

hL =

ρV D  32V L  1  V 2  32 L  1  =      Re  D 2  ρg  Re  D  g 

expressando em função da energia cinética

hL =

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64 L V 2 Re D 2 g

Escoamento laminar

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1.7.2

Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento

No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda de pressão.

Se utiliza análise dimensional e correlações de dados experimentais.

Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função das seguintes variáveis.

∆P = φ ( D , L , ε , V , ρ , µ ) D diâmetro da tubulação L, comprimento da tubulação, V, Velocidade média, ε, específica, µ, viscosidade dinâmica.

rugosidade absoluta, ρ massa

Aplicando-se análise dimensional se obtém uma expressão da forma:

 µ   L   ε  ∆P ,  ,   = φ  2 ρV  ρVD   D   D  como o termo é dado por hL = do análise dimensional.

∆P podemos explicitar a variação de pressão (∆P) e substituir a mesma na equação ρg

ρghL ghL L ε  = 2 = φ Re, ,  2 D D ρV V  experimentos mostram que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D. Para que a perda de carga seja obtida adimensionalizada em relação à energia cinética se introduz o termo 1/2 na equação ficando como:

hL L  ε = φ  Re,  2 D  D V 2g A função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito.

ε  f = φ Re,  D  desta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso do fluido escoando.

hL = f

LV2 D 2g

Equação de Darcy-Weisbach.

O fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody.

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1.7.3

DIAGRAMA DE MOODY

Para determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de Reynolds e a rugosidade relativa ε/D. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e do seu acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. A Tabela dada mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriais utilizadas para o escoamento de fluidos.

Figura 11 Representação da rugosidade absoluta em tubulações Tabela 1 Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais Material Rugosidade absoluta (mm) Aço, revestimento asfalto quente 0,3 a 0,9 Aço, revestimento esmalte centrifugado 0,011 a 0,06 Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3 Aço enferrujado 0,4 a 0,6 Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4 Ferro galvanizado novo, com costura 0,15 a 0,2 Ferro galvanizado novo, sem costura 0,06 a 0,15 Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20 Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0 PVC e Cobre 0,015 Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10 Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre)

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O diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 2000), uma zona crítica (Re de 2000 e 4000) uma zona de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentes dependências em relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/D as quais são resumidas a seguir: 1. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/D e inversamente proporcional ao número de Re 2. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentos bruscos.

3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa ε/D diminui.

4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator de atrito f diminui ao aumentar o Re até alcançar a região inteiramente rugosa.

5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/D, o fator de atrito f, se mantém praticamente como um valor constante independente do Re. 6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/D o valor do Re no qual inicia a região plenamente turbulenta começa a aumentar

Figura 12 Representação do Diagrama de Moody

Jorge A. Villar Alé

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I - Escoamento Laminar

O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação

hL = f f =

64 Re

LV2 D 2g

com a equação da perda de carga laminar hL =

64 L V 2 se obtém: Re D 2 g

válido para Re < 2500

No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds.

Independe da rugosidade da tubulação.

II - Escoamento com Tubos Hidraulicamente Lisos

Nesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams

f =

0,316

(Re )1 / 4

Eq. de Blasius

f = 0,0056 + 0,5 Re −0,32

4000 < Re < 105

Eq. de Drew Koo e McAdams

105 < Re < 3x106

III - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Semi-Rugosos Permite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento:

ε / D 2,51 = −2,0 log +  3,7 Re f f 

1

  Equação de Colebrook  

5,0x103 < Re < 1x108

Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f. Uma alternativa é utilizar uma equação explícita:

  ε / D 5,74   f = 0,25log + 0 ,9     3,7 Re  

−2

Equação Explícita

5,0x103 < Re < 1x108

Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-1% comparados com os obtidos com a Eq. de Colebrook, para: ε/D de 1,0x10-4 (0,0001) até 1x10-6 (0,000001) IV - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Rugosos

O fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação:

ε /D = −2 log  Equação de Von Karman f  3,7 

1

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1.8 Métodos para Determinar as Perdas de Carga Secundárias 1.8.1 Método do comprimento equivalente Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, tais como curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que é avaliada pela perda de carga (hac) definida como:

h ac = f

L eq V 2 D 2g

(m)

O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório, o material utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulação retilínea com o comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos originariam a mesma perda de carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional (Leq/D) de diversos acessórios.

Figura 13 Representação do comprimento equivalente em acessórios Tabela 2 Perda de carga localizada Tipo de Acessório Comprimento Equivalente (Leq/D) Válvula de globo aberta 340 Válvula de gaveta aberta 8 3/4 aberta 35 1/2 aberta 160 1/4 aberta 900 Válvula tipo borboleta aberta 45 Válvula de esfera aberta 3 Válvula de retenção tipo globo 600 Válvula de retenção tipo em ângulo 55 Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 Cotovelo padronizado 900 30 Cotovelo padronizado 450 16 Te padronizada fluxo direto 20 Te padronizada fluxo ramal 60

Válvula globo

Jorge A. Villar Alé

Válvulas tipo borboleta

Figura 14 acessórios utilizados em instalações industriais

Te com flanges

23

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1.8.2

Método do coeficiente de perda de carga

Uma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é definindo a mesma na forma:

h ac = K

(m)

V2 2g

Onde K é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maior quanto mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, aumentando desta forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversos elementos.

Tabela 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios

Tipo de Acessório K Tipo de Acessório K Ampliação Gradual 0,20* Junção 0,40 Bocais 2,75 Medidor venturi 2,5 Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 Controlador de vazão 2,50 Registro de ângulo aberto 5,0 Cotovelo 900 0,9 Registro de gaveta aberto 0,20 0 Cotovelo 45 0,4 Registro de globo aberto 10,0 Crivo 0,75 Saída de canalização 1,00 Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6 Curva 45 0,20 Tê saída de lado 1,30 Curva 22,5 0,10 Tê saída bilateral 1,80 Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé 1,75 Entrada de borda 1,0 Válvula de retenção 2,50 Existência de pequena derivação 0,03 Velocidade 1,0 * com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalização Igualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém:

K = f

L eq D

mostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (K) e o comprimento equivalente (Leq).

Curva de 900

Joelho de 900

Válvula de pé com crivo Registro de gaveta Figura 15 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriais

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1.9 Perda de Carga em Elementos Secundários 1.9.1

Saídas e Entradas Abruptas

Quando o fluido escoa de um tubo para um reservatório sua velocidade cai bruscamente até próximo de zero. A perda de carga para este caso é igual à energia cinética dissipada. K=1.

(a) saída de tubos K=1 (b) entrada de tubos: K depende do tipo de entrada Figura 16 Representação de escoamento na saída e na entrada de tubos Entrada Abruta de um Reservatório para um Tubo

No escoamento dado entre um reservatório e uma tubulação, a velocidade passa de um valor muito baixo para um valor elevado. O coeficiente de perda de carga depende do tipo de união entre o tubo e o reservatório. Três casos típicos apresentam diferentes perda de carga:

( a ) Entrada com tubo para dentro K=1,0 ( b ) Entrada com cantos vivos K=0,5 ( c ) Entrada com cantos arredondados K conforme os dados da tabela abaixo: r/D K

(a) tubo para dentro K=1

0,02 0,28

0,06 0,15

(b) cantos vivos K=0,5

≥0,15 0,04

(c) cantos arredondados

Figura 17 Entrada com (a) tubo para dentro (b) cantos vivos e (c) cantos arredondados

Jorge A. Villar Alé

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1.9.2

Expansão e Contração Abruptas

Expansão abrupta

Numa expansão abrupta o fluido escoa de um tubo de seção menor para um outro de seção maior. A velocidade cai abruptamente formando-se uma região de turbulência e recirculação de fluxo a qual provoca uma perda de carga proporcional à relação das seções dos tubos. A perda de carga localizada é determinada pela expressão: Onde V é a velocidade média do tubo menor.

(a) Contração abrupta

(b) Expansão abrupta Figura 18 Contração abrupta e expansão abrupta

Contração Abrupta

Neste tipo de elemento, a perda de carga é originada pela contração da linhas de corrente formando uma veia contracta e regiões de recirculação de fluxo.

0.6

1

0.5

0.8

0.4

0.6

K 0.3

K 0.4

0.2

0.2

0.1

0

0 0

0.2

0.4

0.6 A2/A1

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

A1/A2

(a) Contração abrupta (b) Expansão abrupta Figura 19 Coeficiente de perda de carga para contração e expansão abrupta Para determinar a perda de carga com estas relaçoes se utiliza a velocidade correspondente a seção de menor diâmetro. O mesmos é valido para avaliar a perda de carga em peças com expansão o contração gradual como visto no proximo item.

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1.9.3

Expansão e Contração Gradual

A expansão gradual é obtida com uma peça de transição unindo um tubo de menor diâmetro com outro de maior diâmetro permite uma menor dissipação de energia do que uma transição abrupta direta entre dois tubos de diferente diâmetro. O coeficiente de perda de carga (K) depende da relação de diâmetros (D2/D1) e do ângulo do cone. Obtém-se uma perda de carga mínima adotando-se um ângulo do cone de 70 .

(a) Contração gradual

(b) Expansão gradual

Figura 20 Contração gradual e expansão gradual

Figura 21 Perda de carga em expansão gradual Contração Gradual Da mesma forma que numa contração brusca a perda de carga depende da relação de diâmetros e do ângulo da contração.

A2/A1 0,10 0,25 0,50

Jorge A. Villar Alé

Tabela 4 Coeficiente de perda de carga (K) de contração gradual de tubos Angulo da contração - θ 10o 15 o a 40 o 50 o a 60 o 90 o 120 o 150 o 180 o 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26 Obs. Válido para tubos redondos e retangulares. Fonte: Fox

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1.10Problemas Típicos de Escoamentos em Tubos A variação de pressão entre dois pontos de uma tubulação depende basicamente das variáveis envolvidas na Eq. da Energia.

1.10.1 Determinação da Vazão Q = φ (L,hL,D) 1. Escrever a Eq. da energia introduzindo as grandezas conhecidas 2. Expressar a perda de carga em função da velocidade e do fator de atrito hL =φ (V,f) 3. Explicite a velocidade em função do fator atrito V= φ(f) Expresse o número de Reynolds em função da velocidade Re =φ (V) 4.

5. Calcule a rugosidade relativa ε/D. 6. Selecione um valor inicial do fator de atrito f=fo tomando como referência o valor da rugosidade relativa ε/D e admitindo um Re na faixa turbulenta.

7. Calcule a velocidade em função do fator de atrito assumido Vcal=φ(f) 8. Calcule o Re com a nova velocidade Re =φ (Vcal) 9. Com Recal e ε/D obtenha um novo valor do fator de atrito f= fcal.

10. Se fcal ≠ f Adote f= fcal e repita o procedimento a partir do passo 7 até convergir o valor da fator de atrito.

A solução do problema é encontrada quando o fator de atrito converge, determinado a vazão com a velocidade final calculada.

1.10.2 Determinação do Diâmetro da Tubulação

D = φ (L,Q, hL) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

1.

2.

3.

Explicite da Eq. da energia a perda de carga.

Expresse a vazão em função da velocidade e do diâmetro na Eq, da perda de carga.

Explicitar o diâmetro da Eq. da perda de carga ficando uma expressão na forma: D=(C1f)0,2 Expresse o número de Reynolds como função do diâmetro Re= C2/D. Adote um valor inicial do fator de atrito f=f0 (por exemplo f0 =0,02) Calcule o diâmetro pela expressão obtida: D=(C1f)0,2 Calcule o número de Reynolds pela expressão: Re= C2/D. Calcule a rugosidade relativa ε/D. Com Re e ε/D determine um novo valor do fator de atrito fcal.

Se fcal ≠ f adote f= fcal e repita o procedimento a partir do passo 7 até convergir o valor da fator de atrito.

A solução do problema é encontrada quando o fator de atrito converge, determinado o diâmetro com o fator de atrito final.

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1.11 Resumo da Tensão de Cisalhamento nas Paredes A tensão na parede no escoamento laminar e turbulento é dada por:

τw =

∆P D L 4

tal valor representa a tensão de cisalhamento máxima τw =τmax

A Eq. de Darcy-Weisbach também é válida para escoamento laminar e turbulento

hL = f

LV2 D 2g

A tensão de cisalhamento em função do fator de atrito (f) para regime laminar ou turbulento é obtida igualando-se as duas expressões anteriores obtendo-se

τw =

f V2 ρ 4 2

válida para escoamento laminar ou turbulento

A tensão de cisalhamento para qualquer posição r do duto é dada como:

τ = τ max

r R

válida para escoamento laminar ou turbulento

r=0 é no centro da tubulação e r=R na parede da tubulação Perfil de velocidades e tensão de cisalhamento para escoamento Laminar e Turbulento

Figura 22 Escoamento laminar e turbulento: perfil de velocidades e tensão de cisalhamento

Jorge A. Villar Alé

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1.12 Conceito de Diâmetro Hidráulico Os equacionamentos de perda de carga estudados neste capítulo também podem ser aplicados a tubulações com seções não circulares utilizando a definição de diâmetro hidráulico (Dh) :

Dh =

4A P

Onde A é a área da seção transversal do tubo P é o perímetro molhado, que é o comprimento da parede em contato com o fluido. A equação acima para um duto circular A=πD2/4 e P=πD e desta forma Dh=D.

Figura 23 Diversas geometrias de tubulações A Fig. 23 mostra diversas geometrias de seções transversais de tubos que podem ser utilizados nas aplicações industriais. Devido as limitações de espaço nas instalações de ar condicionado se utilizam freqüentemente dutos retangulares. Em trocadores de calor podem ser utilizados tubos achatados, hexagonais, ovais e outros com cilíndricos concêntricos para escoamento anular. Em canais de regadios, rios, córregos, canais de represamento e calhas o fluido não preenche totalmente a seção transversal do duto, isso deve ser considerado para determinar corretamente o perímetro molhado.

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ESCOAMENTOS VISCOSOS 2. ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS

Jorge A. Villar Alé

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2.1 ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS Objetivo: • Deduzir as tensões aparentes ou Tensões de Reynolds para escoamento turbulento utilizando as equações da conservação da massa e Eq. de Navier Stokes considerando fluido incompressível • Apresentar as equações de Navier-Stokes para escoamento turbulento.

Definimos as equações que da conservação da massa e Eq. de Navier Stokes • • • •

Equação valida para escoamento laminar e turbulento Fluido incompressível (massa especifica constante) e viscosidade constante Sem iteração térmica.

Condições de não-deslizamento e condições conhecidas na entrada e saída

Equação da conservação da massa

Equação de Navier Stokes

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z r r r DV ρ = −∇p + ρg + µ∇ 2V Dt

(1) (2)

Utilizando as grandezas escalares:

Equação de Navier Stokes Componentes escalares

 ∂u ∂u ∂u ∂u  ∂p ρ  + u +v + w  = − + ρg x + µ∇ 2 u ∂x ∂y ∂z  ∂x  ∂t

 ∂v ∂v ∂v ∂v  ∂p ρ  + u + v + w  = − + ρg y + µ∇ 2 v ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ y  

(3)

 ∂w ∂w ∂w ∂w  ∂p ρ  +u +v + w  = − + ρg z + µ∇ 2 w ∂x ∂y ∂z  ∂z  ∂t

No escoamento turbulento velocidade instantânea e definida como sendo a soma da media temporal mais a componente de flutuação

u = u + u' (4)

v = v + v' w=w+w

'

p = p + p'

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Media Temporal A media temporal u da função u ( x, y, z , t ) e definida como:

u= T

1 T

∫

T

o

udt

v=

1 T

∫

T

o

vdt

w=

1 T

∫

T

o

p=

wdt

1 T

∫

T

o

(5)

pdt

Período de calculo da media, o qual deve ser maior que o período das flutuações. Para escoamentos turbulentos em gases e água T=5seg. e um período apropriado.

Media da Flutuação

u' =

Media do Quadrado da Flutuação

1 T

u '2 =

Media do Produto das Flutuações

u 'v ' ≠ 0

∫o (u − u )dt = 0

(6)

T

1 T

∫

T

o

(7)

u '2 dt ≠ 0

u ' w' ≠ 0

(8)

v ' w' ≠ 0

Utilizando as velocidades instantâneas e introduzidas na conservação da massa:

(

) (

) (

)

∂ u + u ' ∂ v + v ' ∂ w + w' + + =0 ∂x ∂y ∂z  ∂u ∂v ∂w   ∂u ' ∂v ' ∂w '  + + +  + + =0 ∂z   ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y Tomando valores médios se obtém: Equação da Conservação da Massa para escoamento Turbulento.

(9)

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

Equação de Navier Stokes para Escoamento Turbulento

Substituindo as definições de velocidades instantâneas se obtém:

( ) ( ) ( )

 ∂ u '2 ∂ u ' v ' ∂ u ' w '   ∂u ∂u ∂u ∂u  ∂p   = − ρ  +u +v +w + ρg x + µ∇ 2 u − ρ  + +  ∂x  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂ y ∂ z  ∂t    ∂ u ' v ' ∂ v '2 ∂ v ' w '   ∂v ∂v ∂v ∂v  ∂p  ρ  + u +v + w  = − + ρg y + µ∇ 2 v − ρ  + +   ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ z      ∂ u ' w ' ∂ v ' w ' ∂ w '2  ∂w ∂w ∂w ∂w  ∂p  = − ρ  +u +v +w + ρg z + µ∇ 2 w − ρ  + +  ∂x ∂x ∂y ∂z  ∂z ∂y ∂z  ∂t 

( ) ( ) ( )

(10)

( ) ( ) ( )  

Observa-se comparando a Eq.10 com a Eq,1 que no caso do escoamento turbulento surge forcas adicionais devido à turbulência denominada forcas aparentes. As tensões associadas a estas forcas são chamadas de tensões aparentes ou tensões de Reynolds Jorge A. Villar Alé

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( ) ( ) ( )

Forcas Aparentes Associadas ao Escoamento Turbulento.

 ∂ u '2 ∂ u ' v ' ∂ u ' w '   df Tx = − ρ  + +  ∂x  ∂ y ∂ z    ∂ v 'u ' ∂ v '2 ∂ v ' w'   df Ty = − ρ  + +  ∂x  ∂ y ∂ z    ∂ w ' u ' ∂ w ' v ' ∂ w '2   df Tz = − ρ  + +  ∂x  ∂ y ∂ z  

( ) ( ) ( )

(11)

( ) ( ) ( )

Estas forcas aparentes estão relacionadas as tensões do escoamento turbulento

∂τ Txy ∂τ Txz   ∂σ  df Tx = − Txx + + ∂y ∂z   ∂x  ∂τ Tyx ∂σ Tyy ∂τ Tyz   df Ty = − + + ∂y ∂z   ∂x ∂τ Tzy ∂σ Tzz   ∂τ  df Tz = − Tzx + + ∂y ∂z   ∂x

(12)

Estas tensões são denominadas tensões de Reynolds as quais são conseqüência das flutuações da velocidade.

 σ Txx   τ Tyx τ  Tzx

τ Txy σ Tyy τ Tzy

( ) (u v ) (u w )  ( ) (v ) (v w )  ( ) (w v ) (w ) 

 u '2   τ Txz   ' '  vu τ Tyz  = − ρ   σ Tzz   ' '  wu  

' '

'

'

'2

'

'

' '

'2

(13)

 

Desta forma as tensões no escoamento turbulento podem ser consideradas como sendo a soma das parcelas das tensões laminares mais as tensões turbulentas ou tensões de Reynolds:

σ xx = σ xx + σ Txx σ yy = σ yy + σ Tyy Tensões de para Escoamento turbulento

σ zz = σ zz + σ Tzz

(14)

τ xy = τ xy + τ Txy τ yz = τ yz + τ Tyz τ zx = τ zx + τ Tyzx

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Para escoamento com fluido incompressível a s tensões laminar e turbulenta são definidas pelas equações a seguir:

( )

σ xx = σ xx + σ Txx

σ xx = − p + 2 µ

∂u ∂x

σ Txx = − ρ u '2

σ yy = σ yy + σ Tyy

σ yy = − p + 2 µ

∂v ∂y

σ Tyy = − ρ v '2

σ zz = σ zz + σ Tzz

σ zz = − p + 2 µ

∂w ∂z

σ Tzz = − ρ w ' 2

τ xy = τ xy + τ Txy

 ∂u ∂v  +  τ xy = µ   ∂y ∂x 

τ Txy = − ρ u ' v '

τ yz = τ yz + τ Tyz

 ∂w ∂v  +  τ yz = µ   ∂y ∂z 

τ Tyz = − ρ v ' w '

τ zx = τ zx + τ Tyzx

 ∂u ∂w  τ zx = µ  +   ∂z ∂x 

τ Tzx = − ρ w ' u '

A Eq. 10 também pode ser representada como:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) + ∂∂z  µ ∂∂uz − ρ (u w )

 ∂u ∂p ∂u ∂u ∂u  ∂  ∂u  ∂  ∂u  = − ρ  +u +v +w + ρg x +  µ − ρ u '2  +  µ − ρ u 'v ' t x y z x x x y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     

( )

'

( )

'

( )

 ∂v  ∂  ∂v ∂p ∂v ∂v ∂v  ∂  ∂v  ∂  ∂v  ρ  +u +v + w  = − + ρg y +  µ − ρ v ' u '  +  µ − ρ v '2  +  µ − ρ v ' w'  ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂x  ∂x  ∂y  ∂y   ∂t  ∂z  ∂z

( )

( ) + ∂∂z  µ ∂∂wz − ρ (w )

 ∂w ∂p ∂w ∂w ∂w  ∂  ∂w  ∂  ∂w  = − ρ  +u +v +w + ρg z +  µ − ρ w ' u '  +  µ − ρ w 'u ' ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y     



'2

A equação acima pode ser escrita em forma mais compacta como:

Equação de Navier-Stokes para Escoamento turbulento

Jorge A. Villar Alé

∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz  ∂u ∂u ∂u ∂u   = ρg x + ρ  +u +v +w + + ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂t ∂τ yx ∂σ yy ∂τ yz  ∂v ∂v ∂v ∂v  ρ  +u +v + w  = ρg y + + + ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂t ∂τ zy ∂σ zz ∂τ  ∂w ∂w ∂w ∂w   = ρg z + zx + ρ  +u +v +w + ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂t

(15)

35

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2.2 REPRESENTACOES SEMI-EMPIRICAS DAS TENSOES DE REYNOLDS •

Ainda não existe um modelo de turbulência geral e completo que descreva como varia a tensão de cisalhamento num campo de escoamento incompressível viscoso e turbulento.

•

Existe uma grande dificuldade em determinar as tensões de Reynolds ou que representa não conhecer a viscosidade turbulenta efetiva.

Duas soluções semi empíricas podem ser descritas:

(a) Conceito de Comprimento de Mistura de Prandtl em 1925 (b) Conceito de Viscosidade Turbulenta Efetiva de Boussinesq.

Considerando um dos termos para um escoamento numa direção predominante:

τ = τ lam + τ turb = µ

( )

du − ρ u 'v ' dy

( )

demonstra-se que o produto u 'v ' e sempre negativo (-):

τ =µ

(

)

( )

du du − ρ − u 'v ' = µ + ρ u 'v ' dy dy

Desta forma num escoamento turbulento, a tensão total (lam + turb) e sempre maior que no escoamento laminar.

Parcela τ lam :

Dominante na sub-camada viscosa (muito fina: 0,1% do Raio da tubulação)

Parcela τ Turb :

Dominante na camada externa ou camada turbulenta. (100 a 1000 maior que τ lam nesta camada)

•

Transições dos efeitos laminar e turbulento ocorrem na camada de superposição ou amortecedora.

2.3 CONCEITO DE MISTURA DE PRANDTL • •

As partículas de fluido viajam de camada para camada.

Neste transporte percorrem um caminho com comprimento de mistura l

Pode ser mostrado que as flutuações das velocidades são relacionadas por:

u ' = l1

du du e v ' = l2 dy dy

Onde l1 e l2 são os comprimentos de mistura para o transporte da quantidade de movimento.

Definimos também que: 36

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l m2 = l1l 2 O comprimento de mistura e definido como

l m = ky onde y e a distancia normal a parede e k e a constante de Von karman (k=0,4). Estudos posteriores mostram que l m não apresenta um valor constante.

Desta forma a tensão turbulenta e expressa como:

( )

τ Turb = − ρ u ' v ' = ρl m2

du du dy dy

Tensão de Reynolds utilizando hipótese de Prandtl.

τ Turb = ρl m2

du du dy dy

Boussinesq define a viscosidade turbulenta efetiva, representando a tensão turbulenta como:

τ Turb = η

du dy

Tensão de Reynolds utilizando hipótese de Boussinesq

τ Turb = η

du dy

Onde η representa a viscosidade turbulenta efetiva que podemos relacionar a expressão de Prandtl por: Viscosidade turbulenta efetiva.

η = ρl m2

du dy

Desta forma se obtém uma representação da tensão turbulenta como:

τ = τ lam + τ turb = µ

du du +η dy dy

Tensão de Cisalhamento para escoamento turbulento

Jorge A. Villar Alé

τ = (µ + η )

du dy

37

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A viscosidade efetiva turbulenta ( η ) e relacionada nestas equações com a difusividade turbilhonar conhecida como denominada viscosidade cinemática aparente.

Viscosidade cinemática aparente.

Tensão de Reynolds utilizando a viscosidade cinemática aparente.

εm =

η ρ

τ Turb = ρε m

du dy

Desta forma a tensão de cisalhamento total num escoamento turbulento pode ser dada por: Tensão de Cisalhamento para escoamento turbulento

38

τ = (µ + ρε m )

du dy

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ESCOAMENTOS VISCOSOS 3. PERFIL DE VELOCIDADES TUBULAÇOES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS

Jorge A. Villar Alé

39

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3.1

PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS

Num escoamento turbulento em dutos o perfil de velocidade cresce desde a parede até um máximo no centro da tubulação. Este escoamento pode ser divido em três regiões principais: • • •

Uma subcamada laminar ou viscosa muito próxima da parede Uma camada intermediaria ou de superposição Uma camada turbulenta externa (na região central da tubulação).

A natureza do escoamento e portando do perfil de velocidade e totalmente diferente nestas três camadas: • •

Na subcamada a viscosidade do fluido e um parâmetro significativo e a massa especifica não.

Na camada externa a massa especifica e um parâmetro significativo e a viscosidade não.

Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média.

Sabemos que num escoamento turbulento a tensão de cisalhamento e composta por uma parcela de tensão laminar e uma turbulenta.

τ = τ lam + τ turb = µ

( )

du − ρ u 'v ' dy

A equação pode ser representada como:

τ = (µ + µ T )

du dy

Onde µ representa a viscosidade absoluta do fluido e µT representa a viscosidade aparente ou efetiva.

µ T = ρl m2

40

du dy

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τ =µ

du  2 du  du  +  ρl m dy  dy  dy

Visto desta forma podemos colocar que: Sub-camada laminar ou viscosa (região da parede) Camada de amortecedora ou de superposição: Camada turbulenta externa:

Jorge A. Villar Alé

τ lam >> τ turb

µ >> µ T

τ lam ≅ τ turb

µ ≅ µT

τ turb >> τ lam

µ T >> µ

41

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3.2 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS LISOS Objetivo: Determinar o perfil de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação considerada lisa e um fluido com propriedades constantes.

Utiliza-se como equação básica a expressão da tensão turbulenta:

τ =µ

du  2 du  d u  +  ρl m dy  dy  dy

Para equacionar o perfil de velocidade e utilizado o conceito de velocidade de atrito.

Velocidade de Atrito

u* =

τW ρ

onde τ W e a tensão de cisalhamento na parede e ρ a massa especifica do fluido.

Alem disto são introduzidas duas grandezas adimensionais: • •

Velocidade adimensional u + Distancia a partir da parede adimensional y +

Velocidade de Adimensional

Distancia da parede adimensional

y = R−r ν

u+ =

u u*

y+ =

yu * v

Representa a distancia normal a partir da parede

Viscosidade cinemática do fluido

Em termos das camadas: Sub-camada viscosa (região da parede) Camada de superposição: 42

y+ ≤ 5

5 < y + ≤ 30 PUCRS

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y + > 30

Camada externa: SOLUCAO 1.

τ =µ

du du du + ρl m2 dy dy dy

2. sabemos que l m = ky 3.

du 2  du   + ρ (ky )  τ =µ dy dy  

2

4. Dividimos a Equação pela massa especifica 5.

τ µ du 2  du  = + (ky )   ρ ρ dy  dy 

6. O termo

µ = ν representa a viscosidade cinemática: ρ

7.

τ du 2  du  =v + (ky )   ρ dy  dy 

8.

τ  2 du  du  =  v + (ky ) ρ  dy  dy

9.

 2 du  du  u *2 =  v + (ky ) dy  dy 

Equação Deduzir as Equações Especificas.

Jorge A. Villar Alé

2

2

 2 du  du  u *2 =  v + (ky ) dy  dy 

43

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Caso No1 – Escoamento na Sub-camada Viscosa (Região da Parede): Como: τ lam >> τ turb o termo que representa a tensão viscosa da equação torna-se nulo.

u *2 = (v )

du =

du dy

u *2 dy v

sendo que :

+

du = du u

*

dy +ν e que dy = u*

u *2 dy +ν du u = v u* +

*

Se obtém:

du + = dy + Integrando

u+ = y+ + c Nas condições de contorno na parede: para y = 0 u = 0 por tanto u + = 0 e y + = 0 e c=0.

Lei da Parede Sub-camada Laminar ou Viscosa

44

u + = y + para y + ≤ 5

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Caso No2 – Camada turbulenta (Região de Externa): Como: τ Trub >> τ lam o termo que representa a tensão laminar torna-se nulo.

Podemos utilizar as relações adimensionais:

u

*2

 du  = (ky )    dy 

2

2

u * = ky

du dy

+ du  y + v  du + u *  y + v  du + u *2 + du   =  *  = = y u* + *  + +  dy  u  dy ν dy  u  dy ν * u + du u * = ky + + u * dy

O termo: y

du + =

dy + ky +

Integrando:

u+ =

1 ln y + + c k

Onde c e uma constante que depende da rugosidade da tubulação. Para paredes consideradas lisas, na literatura se encontra c=5 ou também c=5,5.

Lei da Logarítmica Camada Externa plenamente turbulenta.

u + = 2,5 ln y + + 5,5 para y + > 30

Pode ser mostrado que integrando a equação anterior se obtém a velocidade media do perfil de velocidades.

Lei da Logarítmica Velocidade Media

Vmedia ≅ 2,5 ln y + + 1,34 * u

para y + > 30

Caso No3 – Região de Superposição: Neste caso adota-se um perfil de ajuste logarítmico do tipo.

Lei da Logarítmica Camada de Superposição.

Jorge A. Villar Alé

u + = 5,0 ln y + − 3,05 para 5 < y + ≤ 30 45

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RESUMO DAS EQUACOES DO PERFIL DE VELOCIDADES Sub-camada viscosa (região da parede) Camada de superposição: Camada externa:

u + = y + para y + ≤ 5

u + = 5,0 ln y + − 3,05 para 5 < y + ≤ 30 u + = 2,5 ln y + + 5,5 para y + > 30

u+

y+=u*y/ν Perfil de velocidade turbulenta num tubo liso

Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média.

46

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3.3 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS RUGOSOS •

Uma superfície e considerada hidraulicamente lisa quando as saliências da superfície ( ε) ou rugosidade for muito menor que a espessura da sub-camada viscosa (δV)).

•

Define-se o parâmetro

Parâmetro de Rugosidade

•

ε+ =

Estudos em tubos em escoamento turbulento utilizando rugosidade areia para aumentar artificialmente a rugosidade permitem concluir que a as superfícies podem ser classificadas em função do parâmetro:

Hidraulicamente Lisa: •

0≤ε+ ≤5

Sem efeito da rugosidade sobre o atrito

Transitórias •

5 < ε + ≤ 70

Efeito moderado do numero de Reynolds

Completamente Rugosa •

ε * u ν

A subcamada viscosa e totalmente destruída e o atrito dependem do numero de Reynolds.

ε + > 70

Resultados mostram que para escoamento em tubos rugosos, a lei logarítmica da velocidade para escoamento plenamente turbulento e dado por:

Lei da Logarítmica da Velocidade • •

Tubos Rugosos Camada Externa plenamente turbulenta.

u + = 2,5 ln

y + 8,5 para ε + > 70 ε

Integrando esta equação se obtém a velocidade media do perfil de velocidades na tubulação:

Velocidade media • •

Tubos Rugosos Camada Externa plenamente turbulenta.

Jorge A. Villar Alé

Vmedia D = 2,5 ln + 8,5 para ε + > 70 * ε u

47

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3.4 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – LEI EXPONENCIAL Uma alternativa para descrever a distribuição de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação e dada pela lei exponencial:

r  u = u max 1 −   R

Lei Exponencial

1/ n

onde o expoente n e uma função do numero de Reynolds e da rugosidade do material e varia de 5 a 10.

Para tubos lisos: Re

4x103

105

106

> 2x106

n

6

7

9

10

Podemos também utilizar uma expressão aproximada.

n = 1.85 log Re− 1.96

O expoente n esta relacionado com o fator de atrito pela equação empírica: Expoente n

48

n=

1 f

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Lembrando que tanto para escoamentos laminar e turbulento o atrito esta relacionada com: Equações validas para Escoamento Laminar e turbulento •

f =

8τ W 2 ρVmedia

τW =

∆P D L 4

hL = f

L V2 D 2g

O perfil de velocidades da lei exponencial não poder ser utilizado para determinar a tensão de cisalhamento na parede já que:

•

 du    =∞  dy  parede

•

Para determinar τ W deve-se relacionar o fator de atrito com a tensão de cisalhamento com as equações apresentadas acima.

Pode-se obter a velocidade media em função da velocidade máxima pela integração da velocidade:

∫ u dA R

Vmedia

Q = = A

0

A

Relação entre a velocidade media e velocidade máxima.

Jorge A. Villar Alé

∫ u (r )2πrdr R

Vmedia =

0

πR 2

=

2n 2 u (n + 1)(2n + 1) max

Vmedia 2n 2 = u max (n + 1)(2n + 1)

49

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ESCOAMENTOS VISCOSOS 4. Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite

50

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4.1 Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite Quando um corpo se move através de um fluido existe um interação entre este e o fluido. Tal interação pode ser descrita por forças que atuam na interface fluido-corpo. Estas forças se devem aos efeitos viscosos e aos efeitos de pressão. Em Engenharia, para avaliar os efeitos globais é mais interessante representar estas forças em função da denominada força de arrasto que atua na direção do escoamento e a força de sustentação que atua na direção normal ao escoamento denominada sustentação. O arrasto e sustentação podem ser obtidos pela integração das tensões de cisalhamento e as forças normais ao corpo. No Cap.11 são abordadas as forças de sustentação e arrasto para escoamentos externos viscosos sobre superfícies curvas tais como cilindros e aerofólios. No presente capítulo é abordado o escoamento externo sobre placas planas.

4.2 Escoamento em Torno de Corpos

A característica do escoamento em torno de um corpo depende de vários parâmetros como: forma do corpo, velocidade, orientação e propriedades do fluido que escoa sobre o corpo. Os parâmetros mais importantes para descrever o escoamento sobre um corpo são o número de Reynolds e número de Mach.

4.2.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo O número de Reynolds (Re= ρ VD/µ) representa a relação entre os efeitos de inércia e os efeitos viscosos.

• Sem os efeitos viscosos (µ=0) , o número de Reynolds é infinito.

• Por outro lado na ausência de todos os efeitos de inércia (ρ=0) o número de Reynolds é nulo.

Qualquer escoamento real apresenta um número de Reynolds entre esses limites. A natureza do escoamento varia muito se Re >>1 ou se Re <<1. A maioria dos escoamentos que nos são familiares estão associados a objetos de tamanho moderado com comprimento característico da ordem de 0,01m a 10m. As velocidades ao longe destes escoamentos (água e ar) apresentam ordem de grandeza de 0,01m/s até 100m/s. Desta forma o Re destes escoamento está entre 10 < Re < 109.

Escoamentos com Re > 100 são controlados por efeitos de inércia.

Escoamentos com Re < 1 são controlados por efeitos viscosos.

A maioria dos escoamentos são controlados por efeitos de inércia.

Antes de Prandtl a Mecânica dos Fluidos evoluiu com resultados teóricos e experimentais que diferiam. Prandtl introduziu o conceito de camada limite fornecendo o elo entre teoria e prática. Prandtl mostrou que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados considerando duas regiões: uma próxima das fronteiras sólidas e outra cobrindo o restante. Apenas na região muito delgada adjacente a fronteira sólida (camada limite) o efeito da viscosidade é importante. Na região fora da camada limite o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como nãoviscoso. Em muitas situações reais, a camada limite desenvolve-se sobre uma superfície sólida plana. Exemplo disso é escoamento sobre cascos de navios e de submarinos, asas de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano.

Estes casos podem ser ilustrados pelo caso mais simples analisando uma placa plana. Tal caso será estudado a seguir.

Figura 1 Camada limite sobre uma placa plana (espessura exagerada)

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51

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4.3 Escoamento sobre Placa Plana 4.3.1

Forças Viscosas Predominantes – Reynolds muito baixo - Re≈0,1

As Fig. .2 a Fig.4 mostram três tipos de escoamentos sobre uma placa plana que tem comprimento L. Para o caso em que Re≈0,1 (Fig..2) os efeitos viscosos são predominantes afetando o escoamento uniforme. Devemos nos afastar consideravelmente da placa plana para alcançar uma região do escoamento que tem sua velocidade alterada em menos de 1%. A região afetada pelos efeitos viscosos é bastante ampla quando o número de Reynolds do escoamento é baixo.

Figura 2 Escoamento sobre placa plana com efeitos viscosos predominantes 4.3.2

Forças Viscosas Moderadas – Reynolds baixo - Re≈10

Com o aumento do Re no escoamento (por ex. aumento de Uoo), neste caso Re≈10, a região onde os efeitos viscosos são importantes se torna menor em todas as direções, exceto a jusante da placa (Fig. 3). Se observa que as linhas de corrente são deslocadas da posição original do escoamento uniforme, mas o deslocamento não é grande como na situação referente ao Re≈0,1.

Figura 3. Placa Plana - Efeitos viscosos moderados

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4.3.3

Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re≈107 7

Para escoamento com Re muito alto (Re≈10 ) predominam os efeitos das forças de inércia. Os efeitos das forças viscosas são praticamente desprezíveis em todos os pontos, exceto naqueles muito próximos da placa plana e na região de esteira localizada a jusante da placa (Fig. 4). Como a viscosidade do fluido não é nula o fluido adere à superfície sólida (condição de não escorregamento). Desta forma a velocidade varia desde zero na superfície da placa até um valor Uoo, na fronteira de uma região muito fina denominada camada limite. Essa região conhecida como camada limite (δ) é sempre muito menor que o comprimento da placa. A espessura desta camada aumenta na direção do escoamento e é nula no borda de ataque da placa. O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento.

Se define a espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre.

Figura 4 Placa Plana - Efeitos de inércia importantes As linhas de corrente fora da camada limite são aproximadamente paralelas àplaca plana. O leve deslocamento das linhas de corrente externas (fora da camada limite) se deve ao aumento da espessura da camada limite na direção do escoamento e é nula no bordo de ataque da placa. A existência da placa plana tem pouco efeito nas linhas de corrente externas tanto na frente, acima ou abaixo da placa. Por outro lado, a região de esteira é provocada por efeitos viscosos.

Camada Limite – Prandtl O físico alemão Prandtl (1875-1953) realizou um dos grandes avanços na Mecânica dos Fluidos, em 1903, concebendo a idéia da camada limite na qual define – Uma região muito fina dentro da camada limite e adjacente à superfície do corpo onde os efeitos viscosos são muito importantes, onde a componente axial da velocidade varia rapidamente com a distância y. Uma região fora da camada limite denominada região de escoamento potencial onde o fluido se comporta como se fosse um fluido não viscosos, ou investido onde as forças de cisalhamento são desprezíveis. Certamente a viscosidade dinâmica é a mesma em todo o campo de escoamento. Desta forma a importância relativa de seus efeitos (devido aos gradientes de velocidade) é diferente fora e dentro da camada limite.

Os gradientes de velocidades normais ao escoamento são relativamente pequenos fora da camada limite e o fluido se comporta como se fosse não viscoso.

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4.4 Características da Camada Limite O tamanho da camada limite e a estrutura do escoamento nela confinado variam muito. Parte desta variação é provocada pelo formato do objeto onde se desenvolve a camada limite. A seguir se analisa o efeito da camada limite para o caso de um fluido viscoso e incompressível sobre uma placa plana de comprimento infinito (x varia de 0 a infinito).

Se o Re é muito alto somente o fluido confinado na camada limite sentirá a presença da placa. Exceto na região fora da camada limite a velocidade será essencialmente igual a velocidade de corrente livre V=Ui. Para uma placa finita, o comprimento L pode ser utilizado como comprimento característico. No caso da placa plana de comprimento infinito definimos o Rex= Ux/ν. Se a placa é longa o Re é alto, apresentando uma camada limite exceto na região muito pequena próxima da borda da placa. A presença da placa é sentida em regiões muito finas da camada limite e da esteira.

Figura 10.5. Efeito rotacional de partículas de fluido dentro da camada limite

Consideremos o escoamento de uma partícula de fluido no campo de escoamento. Quando a partícula entra na camada limite começa a distorcer devido ao gradiente de velocidade do escoamento – a parte superior da partícula apresenta uma velocidade maior do que na parte inferior. O elemento de fluido não tem rotação fora da camada limite mas começa a rotar quando atravessa a superfície fictícia da camada limite e entre na região onde os efeitos viscosos são importantes.

O escoamento é irrotacional fora da camada limite O escoamento é rotacional dentro da camada limite.

A partir de uma certa distância x do bordo de ataque, o escoamento na camada limite torna-se turbulento e as partículas de fluido tornam-se extremadamente distorcidas devido a natureza irregular da turbulência. Uma das características da turbulência é o movimento de misturas produzido no escoamento. Esta mistura é devido a movimentos irregulares de porções de fluido que apresentam comprimentos que variam da escala molecular até a espessura da camada limite.

Quando o escoamento é laminar a mistura ocorre somente em escala molecular. A transição do escoamento de laminar para turbulência ocorre quando o Re atinge um valor critico (Rec).

Placa Plana: • Rec varia de 2x105 até 3x106 . É função da rugosidade da superfície e da intensidade da turbulência.

Considera-se o valor crítico igual a Rec=5x105. ( 500.000) Considera-se que a camada limite é turbulenta quando Rex > 3x106 ( 3.000.000) Laminar Re < 5x105 Turbulento Re > 3,0 x10 6

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4.5 Espessura da Camada Limite

Na camada limite a velocidade muda de zero na superfície da placa até o valor da velocidade de corrente livre na fronteira da camada limite. Desta forma o perfil de velocidades u=u(x,y) que satisfaz as condições de contorno: V=0 em y =0 e V≈U00 em y =δ.

Matematicamente como fisicamente o perfil de velocidade não apresenta nenhuma singularidade. Isto é, u tende a Uoo quando mais nos afastamos da placa (não é necessário que u seja precisamente igual a U00 em y=δ). Se define a espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre.

δ =y

onde

u = 0,99U ∞

4.6 Espessura de Deslocamento A Fig. 10.6 mostra dois perfis de velocidade para escoamento sobre uma placa plana: um (Fig. 6a) considerando perfil uniforme de velocidade (sem atrito) e outro (Fig.6b) com viscosidade no qual a velocidade na parede é nula.

Figura 6. Camada limite e conceito de espessura de deslocamento

Devido à diferença de velocidade U – u dentro da camada limite, a vazão através da seção b – b é menor do que aquela na seção a – a . Se deslocarmos a placa plana na seção a – a de uma quantidade δ* , as vazões pelas seções serão idênticas. Esta distância é denominada espessura de deslocamento.

Figura 7 Perfil de velocidade para definir espessura de deslocamento

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A definição é verdadeira se

δ *bU = ∫ (U − u )bdy ∞

0

onde b é a largura da placa. Desta forma: ∞ u δ * = ∫ 1 − dy 0  U

A espessura de deslocamento representa o aumento da espessura do corpo necessário para que a vazão do escoamento uniforme fictício seja igual a do escoamento viscoso real. Também representa o deslocamento das linhas de corrente provocado pelos efeitos viscosos. Tal idéia permite simular a presença da camada limite no escoamento pela adição de uma espessura de deslocamento da parede real e tratar o escoamento sobre o corpos mais espessos como se fossem não viscoso.

4.7 Espessura da Quantidade de Movimento A diferença de velocidades existente na camada limite U – u, provoca uma redução do fluxo da quantidade de movimento na seção b – b mostrado na Fig.7 . O fluxo é menor do que aquele na seção a – a da mesma figura. Esta diferença de fluxo de quantidade de movimento na camada limite, também conhecida como déficit do fluxo da quantidade de movimento no escoamento real é dada por:

∫ ρu(U − u )dA = ρb ∫ u(U − u )dy ∞

0

por definição estas integrais representam o déficit do fluxo da quantidade de movimento numa camada limite de velocidade uniforme U e espessura θ. Assim,

ρbU θ = ρb ∫ u (U − u )dy ∞

2

0

θ =∫ ∞

u U 0

u  1 − dy  U

as três definições de espessura de camada limite δ , δ*e θ são utilizadas nas análises de camada limite. A hipótese da camada limite ser fina é essencial para o desenvolvimento do modelo de escoamento. Esta hipótese, na análise do escoamento sobre uma placa plana garante que δ seja muito menor que x (δ <<x) e também que (δ* << x) e (θ << x) onde x é a distância em relação ao bordo de ataque da placa. Como ordem de grandeza se utilizam:

1   la min ar δ    3  δ* =  turbulento 1 δ  8  

56

1   la min ar 7 δ  θ =  turbulento 1 δ  10  

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4.8 Coeficiente de Arrasto em Placas Planas O coeficiente de arrasto ou de resistência de um corpo é dado por:

C D = C Dp + C Df CDf representa o coeficiente de tensão de cisalhamento.

C Df =

FDf

1 ρU ∞2 A 2

onde A representa a área superficial ou área molhada. Por exemplo numa placa paralela ao escoamento A=bxL onde b é a largura da placa.

O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por pressão.

C Dp =

FDp

1 ρU ∞2 A 2

Neste caso A pode representar projeção num plano normal da área do corpo. Por exemplo num cilindro A=DxL O coeficiente de arrasto total é assim definido:

CD =

FD 1 ρU ∞2 A 2

onde FD= FDp + FDf

No caso de uma placa perpendicular ao fluxo a tensão de cisalhamento não contribui para a força de resistência. O coeficiente de arrasto deve-se unicamente ao arrasto por pressão. Desta forma CD= CDp.

CD=CDp

Figura .8 Placa plana perpendicular ao fluxo No caso de uma placa plana paralela ao escoamento o arrasto deve-se unicamente ao atrito superficial. Desta forma CD= CDf.

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4.9 Coeficiente de Arrasto e Força de Arrasto pela Tensão de Cisalhamento Considerando que o perfil de velocidade u(x,y) da camada limite seja conhecido. A tensão de cisalhamento τw na parede que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinado a partir da definição:

τw = µ

∂u ( x, y ) ∂y

y =0

Desta forma conhecendo a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento, devido ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. Como a equação anterior não é muito prática para aplicações de Engenharia define-se a tensão de cisalhamento ou força de arrasto local como função do coeficiente de arrasto local Cf. Também denominado coeficiente de tensão de cisalhamento (Cx no texto de Ozisik).

ρU ∞2 τw = Cf 2 onde ρ é a massa específica do fluido e U00 a velocidade de corrente livre. Desta forma conhecendo o coeficiente da tensão de cisalhamento Cf podemos determinar a força de arrasto exercida pelo fluido que está escoando sobre a placa plana. Igualando as equações anteriores se obtém:

Cf =

2ν ∂u ( x, y ) ∂y U ∞2

y =0

o coeficiente local de arrasto poderá ser determinado se o perfil de velocidade u(x,y) na camada limite for conhecido.

O valor médio do coeficiente da tensão de cisalhamento CDf de x=0 até x=L é definido como:

1 C f dx L x∫=0 L

C Df =

determinado o CDf podemos calcular a força de arrasto FD atuando sobre a placa de x=0 até x=L numa largura da placa b (lembrando que a área superficial é A=bxL).

FD = bLC D

ρU ∞2 2

Obs. Para placa plana paralela à direção do escoamento. CD=CDf.

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4.10

Equações de BLASIUS – Placa Plana – Camada Limite Laminar

Para o caso de placa plana existem diferentes soluções para determinar a espessura da camada limite, espessura de deslocamento da camada limite, coeficiente de arrasto local e coeficiente de arrasto médio. Em 1908 Blasius, discípulo de Prandtl, obtém a solução exata da camada limite numa placa plana (gradiente de pressão nulo) considerando: Escoamento em regime laminar.

Escoamento permanente Escoamento bidimensional Escoamento incompressível

Soluções aproximadas foram também determinadas para tal problema considerando o perfil de velocidades como um polinômio de segundo grau, de terceiro grau e de quarto grau.

A seguir são apresentadas as equações denominadas exatas, determinadas por Blasius, válidas para escoamento laminar Re < 5,0x105 até 1,0x106

x

Re x =

U 00 x v

L

Figura 9. Esquema de placa plana Espessura da camada Limite

δ =

5x Re x

Espessura de deslocamento da camada limite

δ * = 1,73

vx 1,73 ou também δ * = U∞ Re x

4.11 Coeficiente de arrasto local ou Coef. de tensão de cisalhamento Cf =

4.12

0,664 Re1x/ 2

Coeficiente de arrasto médio

1 C f dx L x∫=0 L

Podemos determinar o coeficiente de arrasto médio CDf integrando Cf de x=0 até x=L C Df =

C D = C Df = 2

Jorge A. Villar Alé

0,664 1,328 = onde ReL= VL/ν Re1L/ 2 Re1L/ 2

59

Escoamentos Viscosos

4.13

Transição de Escoamento Laminar para Turbulento

O valor de Re de transição é uma função muito complexa de vários parâmetros como rugosidade da superfície, curvatura da superfície e intensidade das perturbações existentes no escoamento.

No caso do ar a transição de escoamento laminar para turbulento, na camada limite sobre uma placa plana, ocorre para Rec na faixa de 2x105 a 3x106. Para efeitos práticos utiliza o valor fixo Rec=5x105 que na verdade corresponde ao limite inferior da região de transição.

O processo de transição envolve instabilidade do campo de escoamento. Pequenas perturbações impostas sobre a camada limite, como vibrações na placa, rugosidade da superfície, pulsações no escoamento principal aumentam ou diminuem a instabilidade dependendo do lugar onde a perturbação for introduzida: Se a perturbação ocorre em Rex < Rec são amortecidas fazendo com que a camada limite retorne ao regime laminar Se a perturbação ocorre em Rex > Rec irão crescer transformando o escoamento em regime turbulento.

A mudança do escoamento laminar para turbulento também provoca uma mudança na forma do perfil de velocidades.

Figura 10 Perfis de velocidades em placa plana - regime laminar, transição e turbulento (ar).

Observa-se na Fig.10 que o perfil turbulento de velocidades é mais plano apresentando um alto gradiente de velocidade na parede. Trata-se do escoamento de ar com uma velocidade de corrente livre de 27m/s.

•

60

Numa placa plana a camada limite será sempre turbulenta para Re > 4,0 x106

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4.14

Camada Limite Turbulenta em Placa Plana

4.14.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tensão de Cisalhamento A partir de dados experimentais Schilichting apresentou a seguinte correlação para o coeficiente de arrasto local para placa plana lisa.

C f = 0,0592 Re −x 0, 2

válido para

5x10 5 < Re x < 10 7

para número de Reyndols altos, recomenda-se a correlação de Schultz-Grunow:

C f = 0,370(log Re x )

-2,584

válido para

10 7 < Re x < 10 9

4.14.2 Coeficiente de Arrasto Médio Para uma camada limite que é inicialmente laminar e passa por uma transição em algum ponto sobre a placa plana, o coeficiente de arrasto turbulento deve ser ajustado para levar em conta o escoamento laminar no comprimento inicial.

Figura 11. Placa plana com região laminar, transição e turbulenta.

Consideremos um escoamento na camada limite sobre uma placa plana que seja: Laminar na região entre 0 ≤ x ≤ xc e Turbulenta na região xc < x ≤ L .

Coeficiente de Arrasto Local

Os coeficientes locais de atrito em cada uma das duas regiões são:

c f = 0,664 Re −x 0,5 em 0 ≤ x ≤ x c (laminar) - Eq. de Blasius c f = 0,0592 Re −x 0, 2 em

x c < x ≤ L (turbulento) - Eq. de Schilichting

Coeficiente de Arrasto Médio O coeficiente de arrasto médio CDf (igual a CD em placa plana) na região inteira L 1  xc  ∫0 c xLam dx + ∫xc c xTurb dx   L − 0, 5 − 0, 2  xc L 1  U 00   U 00  −0, 5 c D = 0,664  ∫0 x dx + 0,059  ∫xc x −0, 2 dx  L   v   v  

cD =

efetuando a integração se obtém: Jorge A. Villar Alé

61

Escoamentos Viscosos

C D = 0,074 Re

−0, 2 L

válido para Rec ≤ ReL < 107 ,

0,074 Re c0,8 − 1,328 Re c0,5 − Re L

Definição do Número de Reynolds Total e Crítico e Local

U 00 L é o número de Reynolds para o comprimento total (L) da placa plana. v U x Re c = 00 c é o número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para turbulento v Re L =

Re x =

U 00 x é o número de Reynolds crítico em qualquer posição da placa v

Forma Geral do Coeficiente de Atrito Médio

O coeficiente médio de arrasto CD sobre a região onde o escoamento é parcialmente laminar e parcialmente turbulento, depende do valor do número de Reynolds crítico Rec . Por isto a Eq. anterior é especificada de maneira mais compacta.

C D = 0,074 Re −L0, 2 −

B Re L

Re c < Re L < 10 7

válido para

Válida quando existe a camada limite turbulenta com camada laminar anterior. O termo B é dada como:

B = Re c(C DTurbulento − C D La min ar )

o qual depende do número de Reynolds crítico ( Rec ) e das características do arrasto plenamente laminar e turbulento.

Para diversos número de Rec o valor de B é dado a seguir.

700  1050 B= 1740 3340  •

para Re c = 2 x10 5

para Re c = 3 x10 5

para Re c = 5 x10 5 para Re c = 1x10 6

No caso em que B=0 corresponde ao escoamento turbulento começando desde x=0 e desta forma se utiliza e equação para regime turbulento denominada Eq. de Karman-Prandtl:

C D = 0,074 Re −L0, 2

para

Re c < Re L < 10 7

Para altos número de Reynolds 107 < Re < 109 se utiliza a seguinte expressão:

CD =

62

0,455

(log Re L )

2 , 58

−

1710 Re L

para 107 < Re < 109

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4.15

Espessura da Camada Limite - Escoamento Turbulento

Utilizando uma relação empírica para a tensão de cisalhamento na parede na forma:

∂u τw = µ ∂y

y =0

 v   = 0,0296 U x ∞  

1/ 5

ρU ∞2

são obtidas expressões que permitem avaliar a espessura da camada limite turbulenta para placa plana.

1. Para a camada limite plenamente turbulenta, começando da borda de ataque da placa (x=0).

δ ( x) = 0,381 Re −x1 / 5 x 2. No caso em que a espessura da camada limite é laminar até o ponto em que Rec=5x105, e então se torna plenamente turbulenta.

δ ( x) = 0,381 Re −x1 / 5 − 10256 Re −x1 x

válida para 5x10 5 < Re x < 10 7

A Fig. 12 apresenta graficamente um resumo os tipos de coeficiente de arrasto médios para placa plana lisa.

Figura 12 Coeficiente de arrasto para placa plana lisa.

Jorge A. Villar Alé

63

Escoamentos Viscosos

4.16

Resumo das Equações da Camada Limite em Placa Plana

Como ser observa existe uma grande quantidade de equações que podem ser utilizadas para avaliar o coeficiente de arrasto médio em placas planas. O uso de cada equação dependerá do regime de escoamento. A placa poderá apresentar escoamento plenamente laminar, escoamento plenamente turbulento ou se na placa plana existe uma região com escoamento laminar e posteriormente uma região com escoamento turbulento. A seguir, para simplificar, podemos utilizar as seguintes relações em exercícios específicos.

I - Camada Limite Laminar Perfis de Velocidade

Linear

u y = U δ

Parabólico

u y  y = 2 −  U δ δ 

2

Senoidal

u π y  = sen   U 2δ

Equação de Blasius 3x105 < Rex < 5x105

0,664 Re1x/ 2

Cf =

δ ( x) = x

1,328 Re1L/ 2

CD =

δ * ( x) 1,73 = x Re x

5 Re x

τw =

δ * ( x) = 0,346δ ( x)

0,332 ρU 2 Re x

1 θ ( x) = δ ( x) 7

II - Camada Limite Turbulenta (escoamento turbulento desde a borda de ataque)

u  y Perfis de Velocidade Exponencial =  U δ 

1/ 7

Equação de Kárman – Prandtl (Rec=5x105)

C D = 0,074 Re

para Re c < Re L < 10

−0 , 2 L

7

C f = 0,0594 Re −x 1 / 5

Equação de H. Schlichting

CD =

0,455

(log Re L )

 ν  τ w = 0,0233 ρU 2    Uδ 

para 10 7 < Re L < 10 9

2 , 58

δ ( x) = 0,381 Re −x1 / 5 x

δ * ( x) =

para Re c < Re L < 10 7

δ ( x) 8

θ ( x) =

1/ 4

7 δ ( x) 72

III – Camada Limite Turbulenta com Camada Laminar Anterior

C D = 0,074 Re −L0, 2 −

CD =

0,455

(log Re L )

2 , 58

1700 Re L

−

1700 Re L

δ ( x) = 0,381 Re −x1 / 5 − 10256 Re −x1 x 64

para 5x10 5 < Re L < 10 7

para 10 7 < Re L < 10 9

para 5x10 5 < Re x < 10 7 PUCRS

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Exemplo - Comparação das Variáveis para Camada Limite Laminar e Turbulenta. Água (ρ=1000kg/m3 e ν=1x106 m2/s) escoa com velocidade de U=1,0 m/s sobre uma placa plana de L=1m.

Avalie a espessura da camada limite δ(x), a espessura de deslocamento δ*(x) e espessura de quantidade de movimento θ(x) e a tensão de cisalhamento na parede τw(x) para x=L. (a) Considere que é mantido escoamento laminar em toda a placa. (b) Considere que a camada limite é provocada, de modo que se torna turbulenta a partir na borda de ataque.

1. Determinamos o número de Reynolds para x=L.

Re L =

UL ν

Re L =

1x1 = 10 6 −6 1x10

(a) Considerando Equações para Regime Laminar

δ ( x) = x

δ =

Cf =

1x5 10 6

1,73 δ * ( x) = x Re x

5 Re x

Re x

=

0,664 10 6

2

= 0,000664

δ ( x) = 0,381 Re −x1 / 5 x

( )

C f = 0,0594 Re −x 1 / 5

5 = 0,71mm 7

ρU ∞2 kg (1) N τw = Cf = 0,000664 x1000 3 = 0,332 2 2 m 2 m

(b) Considerando Equações para Regime Turbulento

δ ( x) = 1x0,381 10 6

θ ( x) =

δ * ( x) = 0,346 x5 = 1,73mm

= 5mm

0,664

1 θ ( x) = δ ( x) 7

−1 / 5

δ * ( x) = δ * ( x) =

= 24mm

( )

= 0,0594 10 6

−1 / 5

Espessura da camada limite

δ ( x) 8

θ ( x) = θ ( x) =

24 = 3mm 8

7 δ ( x) 72

7 24 = 2,34mm 72

ρU ∞2 (1) = 1,875 N = 0,00375 x1000 2 2 m2 2

= 0,00375

τw = Cf

δ (Turbulento) 24 = = 4,8 δ ( La min ar ) 5

Espessura de deslocamento da camada limite

δ * (Turbulento) 3 = = 1,73 * δ ( La min ar ) 1,73

Espessura da quantidade de movimento

θ (Turbulento) 2,74 = = 3,86 θ ( La min ar ) 0,71

Tensão de cisalhamento na parede.

τ w (Turbulento) 1,87 = = 5,63 τ w ( La min ar ) 0,332

Obs: Existe um crescimento maior das variáveis na camada limite turbulenta devido a uma tensão de cisalhamento na parede mais alta.

Jorge A. Villar Alé

65

Escoamentos Viscosos

ESCOAMENTOS VISCOSOS 5. ESCOAMENTOS EXTERNOS - CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA

66

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Escoamentos Viscosos

5.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS: CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA • • •

REGIME LAMINAR < Re 5x105 TRANSICAO ReC 5x105 (Pode variar entre 2x105 ate 3x106 segundo tipo de rugosidade) TURBULENTA > Re 3x106

EQUACAO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE VON KARMAN Estudamos o escoamento numa placa plana lisa submetida a uma velocidade de corrente livre U∞ paralela a placa. A placa não bloqueia o escoamento sendo a única resistência ao escoamento e dado ao cisalhamento. Devido a condição de não escorregamento provoca uma desaceleração brusca das partículas do fluido e estas retardam as partículas vizinhas surgindo uma espessura de camada cisalhante desacelerada denominada camada limite de espessura y = δ (x) . Para determinar a forca de arrasto sobre a placa deve-se realizar a integração das tesões viscosas ao longo da parede.

Largura da placa: b Comprimento da placa: L Espessura da camada limite: δ Velocidade de corrente livre: U ∞

Volume de controle: (1) Região de entrada do fluido no VC : ( x, y ) = (0,0) ate ( x, y ) = (0, h) •

Nesta região existe a uma velocidade de corrente livre V1 = U ∞ iˆ

r

(2) Região de linha de corrente externa no VC : ( x, y ) = (0, h) ate ( x, y ) = ( L, h) •

Nesta região não existe fluido atravessando as fronteiras: V2 = 0

r

(3) Região de saída do fluido no VC : ( x, y ) = (0, L) ate ( x, y ) = ( L,0) •

Nesta região existe a uma velocidade de corrente livre V3 = u ( y )iˆ

r

(4) Região sobre a placa plana no VC : ( x, y ) = (0,0) ate ( x, y ) = ( L,0) •

Nesta região não existe fluido atravessando as fronteiras: V4 = 0

Jorge A. Villar Alé

r

67

Escoamentos Viscosos

1.1 Aplicando a Eq. da Conservação da Massa:

r r ∂ ρ d ∀ + ρ V ∫ ∫ dA = 0 ∂t VC SC Considerando regime permanente:

r r ρ V ∫ dA =

SC

r r r r ( ) ( ) ( ) ( ρ V d A + ρ V d A + ρ V d A + ρ V ∫ ∫ ∫ ∫ dA ) r

r

r

1

2

A1

A2

∫ ρVdA = ∫ (ρVdA) + ∫ (ρVdA) r r

r r

A4

3

− ρU ∞ bh + ∫ ρu ( y )bdy = 0 A1

A3

r r

1

SC

r

3

A3

δ

0

U ∞ h = ∫ u ( y )dy

Relação de velocidades.

( 1)

δ

0

1. 2 Aplicando a Eq. da quantidade de movimento. – Determinação da Forca de Arrasto.

r ∂ r r r r F = V ρ d ∀ + V ∑ ∂t ∫ ∫ ρVdA VC SC

Aplicando na direção x em regime permanente:

r r F = u ρ V ∑ x ∫ dA SC

As únicas forcas agindo são as forcas de superfície por cisalhamento. A pressão e constante e desta forma a forca de pressão resultante e nula.

∑F

x

= − FA

− FA =

∫ (uρVdA) + ∫ (uρVdA) + ∫ (uρVdA) + ∫ (uρVdA) r r

r r

1

A1

− FA =

r r

2

A2

r r ( ) ( u ρ V d A + u ρ V ∫ ∫ dA ) r

A3

A4

r

1

A1

r r

3

3

A3

− FA = −u1 ρu1 A1 + ∫ u 2 ρu 2 bdy δ

0

Forca de Arrasto local FA(x)

FA = U ρbh − ρb ∫ u 2 ( y )dy δ

2 o

( 2)

0

Obs. Trata-se da forca de arrasto para uma posição x da placa plana FA(x) já que a espessura da camada limite depende de x. δ = δ (x) 68

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1. 3 Espessura da Quantidade de Movimento.

Arranjando a Eq. (2) na forma:

FA = U ∞ ρb(U ∞ h ) − ρb ∫ u 2 ( y )dy δ

0

Substituindo (I) em (II)

FA = U ∞ ρb ∫ u ( y )dy − ρb ∫ u 2 ( y )dy δ

δ

0

0 δ  δ  FA = ρb  ∫ U ∞ u ( y )dy − ∫ u 2 ( y )dy  0 0   δ FA = ρb  ∫ (U ∞ u − u 2 )dy   0 

FA = ρb ∫ u (U ∞ − u )dy δ

0

FA = ρb ∫ u δ

0

U∞ (U ∞ − u )dy U∞

FA = ρb ∫ uU ∞ (1 − δ

0

u )dy U∞

 δ u  u FA = ρbU ∞2 ∫ (1 − )dy  U∞  0 U∞  O termo entre parêntesis e denominado Espessura da Quantidade de Movimento: Espessura da Quantidade de Movimento.

θ =∫

δ

0

u u (1 − )dy U∞ U∞

(3)

Desta forma a forca de arrasto e dada por: Forca de Arrasto Local.

Jorge A. Villar Alé

FA = ρbU ∞2θ

(4)

69

Escoamentos Viscosos

1. 4 Tensão de Cisalhamento na Parede Sendo a espessura da parede considerada como uma medida do arrasto total da placa. Von Karman notou que o arrasto também e equivalente a integral da tensão de cisalhamento.

FA ( x) = b ∫ τ W ( x)dx x

0

dFA = bτ W (x) dx dFA dθ = ρbU ∞2 dx dx Tensão de cisalhamento na parede de uma Placa Plana.

τ ( x) = ρU ∞2

Valida para escoamento Laminar e Turbulento.

dθ dx

(5)

5.2 RESULTADOS PARA ESCOMANETO LAMINAR: 2.1 ) Espessura do Momento da Quantidade de Movimento

Para o escoamento laminar Von karman considerou que o perfil de velocidades tivesse um formato aproximadamente parabólico ajustado pela expressão:

 2y y2  u ( x, y ) = U ∞  − 2  Valido para 0 ≤ y ≤ δ ( x, y ) δ δ 

(6)

Utilizando esta expressão na definição da espessura da quantidade de movimento:

θ =∫

δ

0

u u (1 − )dy U∞ U∞

Se obtém: δ  2y y 2  2 y y 2  2 θ = ∫  − 2 1 − + 2 dy ≅ δ 0 δ δ  15  δ δ 

Espessura do Momento da Quantidade de Movimento .

Solução de Von Karman.

θ ( x) =

2 δ ( x) 15

(7)

Regime Laminar

70

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2.2 Espessura da Camada Limite Laminar Da mesma forma podemos determinar a tensão de cisalhamento na parede:

τ W ( x) = µ

∂u ∂y

≅ y =0

2 µU ∞ δ

Igualando as expressões da tensão de cisalhamento na parede:

τ W ( x) = ρU ∞2 com:

2 µU ∞ dθ e τ ( x) = dx δ

dθ 2 dδ = dx 15 dx se obtém:

ρU ∞2

2 dδ 2 µU ∞ = 15 dx δ

δdδ = 15

ν dx U∞

Integrando de 0 a x, considerando δ = 0 em x=0.

1 2 ν δ = 15 x 2 U∞ Espessura da Camada Limite.

Solução de Von Karman.

Regime Laminar

δ ( x) 5,5 = x Re x

(8)

Esta solução da espessura da camada limite e somente 10% maior que a solução exata da espessura da camada limite numa placa plana em regime laminar.

Jorge A. Villar Alé

71

Escoamentos Viscosos

2.3 Espessura de deslocamento da Camada Limite Laminar.

Utilizando a figura observa-se que a linha de corrente externa desvia-se uma distancia δ * ( x) para satisfazer a conservação da massa entre a entrada e saída.

r r ∂ ρd∀ + ∫ ρVdA = 0 ∫ ∂t VC SC Considerando fluido incompressível em regime permanente.

ρU ∞ bh = ∫ ρu ( y )bdy δ

0

onde: δ ( x) = h + δ * ( x) .

Cancelando b e ρ e substituindo esta expressão na anterior:

U ∞ δ − δ * = ∫ udy

(

)

δ

0

U ∞ δ − U ∞ δ * = ∫ udy δ

U ∞ δ * = U ∞ δ − ∫ udy 0

δ

U ∞ δ * = ∫ U ∞ dy − ∫ udy 0

δ

δ

U ∞ δ * = ∫ (U ∞ − u )dy 0

0

δ

0

δ u δ * = ∫ 1 − 0  U∞

  dy 

Espessura de Deslocamento da Camada Limite.

72

δ u  dy δ * = ∫ 1 − 0 U  ∞ 

(9)

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Escoamentos Viscosos

2.4 Espessura de deslocamento da CL - Laminar.

Utilizando o perfil de velocidades para camada limite laminar:

u ( x, y )  2δ δ 2  =  − 2  U∞ y y   δ u δ * = ∫ 1 − dy 0  U

δ 2y y2  dy δ * = ∫ 1 − + 0 δ δ 2   δ 2y y2   dy δ * = ∫ 1 − + 0 δ δ 2  

 2y2 y3 δ =  y − + 2 2δ 3δ  δ δ* = 3 *

 δ  = δ − δ + 3 0 δ

Espessura de Deslocamento da Camada Limite.

Solução Aproximada.

δ ( x) 3

(10)

δ * ( x) 1,83 = x Re x

(11)

δ * ( x) =

Regime Laminar

Utilizando a aproximação de Von Karman para a espessura da CL

δ ( x) 5,5 = x Re x Espessura de Deslocamento da Camada Limite.

Solução Aproximada.

Regime Laminar

Jorge A. Villar Alé

73

Escoamentos Viscosos

2.5 Coeficiente de Arrasto Local CL – Laminar

A tensão de cisalhamento na parede esta relacionada com o coeficiente de arrasto superficial local por:

τ W ( x) =

1 ρU ∞2 C f 2

Igualando com a expressão da tensão de cisalhamento na parede:

τ W ( x) =

2 µU ∞ δ

2 µU ∞ 1 ρU ∞2 C Df = 2 δ Considerando nesta equação a solução da espessura da camada limite:

δ ( x) =

5 Re x

2µU ∞ 1 ρU ∞2 C f = 5 2 Re x

Cf =

4 Re x 0,73 = 5,5 Re x Re x

Coeficiente de Arrasto Superficial Local.

Solução de Von Karman

Cf =

0,73 Re x

(12)

Regime Laminar

74

PUCRS

Escoamentos Viscosos

2.6 Coeficiente de Arrasto Total CL Laminar

FA ( L) = b ∫ τ W ( x)dx L

0

τ W ( x) =

Cf =

1 ρU ∞2 C f 2

0,73 Re x

FA ( L ) = b ∫

L

FA ( L ) = b ∫

L

0

0

1 ρU ∞2 C f dx 2 1 0,73 ρU ∞2 dx 2 Re x

1 v FA ( L) = 0,73b ρU ∞2 2 U∞

∫

L

0

x −1 / 2 dx

0,73bρU ∞2 L 1 v 2 1/ 2 FA ( L) = 0,73b ρU ∞ 2L = 2 U∞ Re L FA ( L ) = CD = 2

1 ρU ∞2 C D bL 2 0,73 Re L

C D = 2C f ( L) Coeficiente de Arrasto Superficial Total Solução de Von Karman.

CD =

1,46

(13)

Re L

Regime Laminar

Também:

CD =

1 L C f ( x)dx L ∫0

Jorge A. Villar Alé

75

Escoamentos Viscosos

3. DEMOSTRACAO: δ  2y y 2  2 y y 2  2 θ = ∫  − 2 1 − + 2 dy ≅ δ 0 δ δ  15  δ δ 

Resolvendo primeiro o termo:

 2 y y 2  2 y y 2    − 2 1 − + δ δ 2   δ δ   2 y y 2  2 y y 2   2 y 4 y 2 y3 y2 y3 y 4       − 2  1 − + 2 = − 2 + 2 3 − 2 + 2 3 − 4  δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ       2y 5y2 y3 y4   − 2 + 4 3 − 4  δ δ δ  δ δ  2y 5y2 y3 y4  θ = ∫  − 2 + 4 3 − 4  dy 0 δ δ δ  δ

 2y2 5y3 4y4 y5 θ =  − 2 + 3− 4 4δ 5δ  2δ 3δ θ=

  o δ

2δ 2 5δ 3 4δ 4 δ 5 − 2 + 3 − 4 2δ 3δ 4δ 5δ

θ =δ −

5δ δ 2 +δ − = δ 3 5 15 \

θ ( x) =

76

2 δ ( x) 15

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5.3 RESUMO DAS EQUACOES DE CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA - LAMINAR E TURBULENTO ESCOAMENTO LAMINAR Rec < 5x105 Equação Espessura da Camada Limite

Solução Von Karman

Espessura de deslocamento da Camada Limite

δ * ( x) =

δ * ( x) = x

Espessura da Quantidade de Movimento

θ ( x) =

Coeficiente de Local de Arrasto

Cf =

Coeficiente de Arrasto médio.

Jorge A. Villar Alé

Re x

2 δ ( x) 15 0,73

1,46

CD =

Re L

7 δ ( x) 72

θ ( x) =

0,0594

Antes de xc C f =

CD =

0,074

(Re L )1 / 5

CD =

Turbulento 107 < ReL < 109

CD =

0,455

(log Re L )

2 , 58

1,328 Re L

Placa Plana Rugosa

7 δ ( x) 72 0,664 Re x

xc C f =

(Re x )1 / 5

0,074

1700 Re L

(Re L )1 / 5

−

0,455

(log Re L )

x  C f =  2,87 + 1,58 log  ε 

−2 , 5

0,0594

Turb. Com Laminar anterior 107 < ReL < 109

CD =

δ ( x) 2,89

C D = 2C f

θ ( x) =

(Re x )1 / 5

Re x

1 θ ( x) = δ ( x) 7 0,664 Cf = Re x

δ ( x) 0,381 10256 = − x (Re x )1 / 5 Re x δ ( x) δ * ( x) = 8

Cf =

5

δ * ( x) 1,73 = x Re x

δ ( x) 0,381 = x (Re x )1 / 5 δ ( x) δ * ( x) = 8

Após

Coeficiente de Arrasto médio.

δ * ( x) =

Turbulento com Laminar Anterior 5x105 < ReL < 107 (Transição)

5x105 < ReL < 107

Coeficiente de Arrasto médio.

δ ( x) 3 1,83

C D = 2C f

ESCOAMENTO TURBULENTO Rec > 5x105 Equação Turbulento

Espessura de deslocamento da Camada Limite Espessura da Quantidade de Movimento Coeficiente de Local de Arrasto

δ ( x) = x

Re x

CD =

Espessura da Camada Limite

Solução Exata (Blasius)

δ ( x) 5,5 = x Re x

2 , 58

−

L  C D = 1,89 + 1,62 log  ε 

1700 Re L 77

−2 , 5

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5.4 RELACOES BASICAS Tensão de cisalhamento na parede.

(Escoamento Laminar)

Tensão de cisalhamento na parede.

Coeficiente de Arrasto Local.

τ W ( x) = µ

τ W ( x) =

∂u ∂y

(1 ) y =0

1 ρU ∞2 C f ( x) 2

C f ( x) =

(2)

(3)

A Re nx

FA ( x) = b ∫ τ W ( x)dx

(4)

Forca de Arrasto Local.

FA ( x) = ρbU ∞2θ ( x)

(5)

Coeficiente de arrasto médio ou total.

CD =

1 L C f ( x)dx L ∫0

(6)

Forca de Arrasto local.

x

0

Forca de Arrasto da Placa.

Espessura da Quantidade de Movimento.

Espessura de Deslocamento da Camada Limite.

Espessura da Camada Limite.

78

FA =

θ ( x) = ∫

δ

0

1 ρU ∞2 AC D 2

u u (1 − )dy U∞ U∞

δ u δ * ( x) = ∫ 1 − 0  U∞

δ ( x) A = x Re nx

 dy 

(7)

(8)

(9)

(10)

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5.5 Coeficiente de Arrasto em Placa Plana – Regime Laminar e Turbulento

Fonte: White Mecânica do Fluidos 4ª Edição. 2002

Jorge A. Villar Alé

79

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ESCOAMENTOS VISCOSOS 6. ESCOAMENTOS EXTERNOS - CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA ESCOAMENTOS TURBULENTOS

80

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6.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA ESCOAMENTO TURBULENTO

No caso de escoamento turbulento sobre placa plana não existe uma teoria exata e sem varias aproximações computacionais utilizando vários modelos empíricos. No presente material será adotada uma solução simplificada utilizando equacionamento integral com apoio de equação empírica.

Determinação da Espessura da Quantidade de Movimento:

Para o escoamento turbulento considera-se como valida o perfil de velocidades exponencial: Perfil de velocidades exponencial:

u ( x, y )  y  =  U∞ δ 

107

n=7 Re < n=8 107 < Re < 108 n=9 108 < Re < 109

Espessura da Quantidade de Movimento.

θ =∫

δ

θ =∫

δ

0

0

 y   δ 

1/ 7

1/ 7

valido para 0 ≤ y ≤ δ ( x, y )

θ =∫

δ

0

u u (1 − )dy U∞ U∞

(1)

(2)

  y 1 / 7  1 −   )dy  δ    

 y 1 / 7  y  2 / 7    −   dy  δ   δ  

 7 y8/ 7 7 y9/ 7  θ = −  1/ 7 9 δ 2/7 0 8 δ δ

θ=

7 δ 8/7 7 δ 9/7 7 7 7 − = δ− δ = δ 1/ 7 2/7 8δ 9δ 8 9 72

Espessura da Quantidade de Movimento.

θ ( x) =

7 δ ( x) 72

(3)

Escoamento Turbulento.

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81

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Determinação da Espessura da Camada Limite

No material de Fox e Macdonald se utiliza uma expressão empírica com base a resultado de escoamento em tubulações representando a tensão de cisalhamento na parede dada por:

 v τ W ( x) = 0,0233ρU   U ∞δ 2 ∞

  

1/ 4

A tensão de cisalhamento na parede e relacionada com a espessura de deslocamento quantidade de movimento.

dθ dx

τ ( x) = ρU ∞2

Foi determinado o termo que para escoamento turbulento:

dθ ( x ) 7 δ ( x ) = dx 72 dx Igualando as expressões da tensão de cisalhamento:

 v 0,0233ρU   U ∞δ

  

 v 0,0233  U ∞δ

=

2 ∞

 v 0,0233 U∞

  

  

1/ 4

1/ 4

 v 72 0,0233 7 U∞ δ

1/ 4

δ   

1/ 4

7 dδ 72 dx

7 dδ 72 dx

1 1/ 4

1/ 4

= ρU ∞2

=

7 dδ 72 dx

dx = δ 1 / 4 dδ

 v 72 dδ = 0,0233 7 U∞

  

1/ 4

dx

Integrando:

∫

δ

0

δ

1/ 4

 v 72 dδ = 0,0233 7 U∞

 v 4 5 / 4 72 δ = 0,0233 5 7 U∞ 82

  

  

1/ 4

1/ 4

∫

x

0

dx

x + cte

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Considerando que para δ = 0 x = 0 se obtém que cte=0.

 5 72  v δ ( x) =  0,0233  4 7 U∞  v δ ( x) = 0,382 U∞

  

  

1/ 4

 x 

4/5

1/ 5

 v  δ ( x)  = 0,382 x U x  ∞ 

x4/5

1/ 5

δ ( x) 0,382 = x Re1x/ 5 Espessura da Camada Limite Escoamento Turbulento.

Jorge A. Villar Alé

δ ( x) 0,382 = 1/ 5 x Re x

( )

83

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Determinação do Coeficiente Local da Atrito: A tensão de cisalhamento na parede e dada pelas expressões:

 v τ W ( x) = 0,0233ρU   U ∞δ 2 ∞

τ W ( x) =

  

1/ 4

1 ρU ∞2 C f 2

Igualando as e explicitando o coeficiente local do arrasto na placa:

 v 1 ρU ∞2 C f = 0,0233ρU ∞2  2  U ∞δ

 v C f = 0,0466  U ∞δ

  

  

1/ 4

1/ 4

 Cf  v   = U ∞δ  0,0466  4

Substituindo a expressão da espessura da camada limite:

δ ( x) 0,382 = 1/ 5 x Re x

 Cf  v  Re1x/ 5      =  0,382  0 , 0466 U x ∞     4

 Cf  Re1x/ 5 1   = Re x 0,382  0,0466  4

 Cf  Re −x 4 / 5   = 0,382  0,0466  4

Extraindo a rais quarta: C f = 0,0466

Re −x 1 / 5

(0,382)

1/ 4

= 0,0593 Re −x1 / 5

Espessura da Camada Limite

C f = 0,0593 Re −x 1 / 5

( )

Escoamento Turbulento.

84

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Determinação do Coeficiente de Arrasto Médio:

C Df =

C Df =

C Df

C Df

C Df

C Df

1 L C f dx L ∫x =0 1 L 0,0593 Re −x1 / 5 dx ∫ = 0 x L

(

)

1 v = 0,0593  L U∞

  

1 v = 0,0593  L U∞

  

1 v = 0,0593  L U∞

  

−1 / 5

∫ (x )dx L

−1 / 5

x =0

−1 / 5

−1 / 5

5 v   = 0,0593  4  U ∞ L 

5 4/5 L 4 5 −1 / 5 L L 4

−1 / 5

C Df = 0,074(Re L )

−1 / 5

Coeficiente de Arrasto Médio.

Escoamento Turbulento.

Jorge A. Villar Alé

C Df = 0,074(Re L )

−1 / 5

( )

85

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(C) Espessura de deslocamento da CL.

Espessura de Deslocamento da Camada Limite.

δ u  dy δ * = ∫ 1 − 0 U  ∞ 

()

Utilizando a equação da distribuição da velocidade para camada limite turbulenta:

u ( x, y )  y  =  U∞ δ 

1/ 7

Pode ser mostrado que: Espessura de Deslocamento da Camada Limite.

86

δ * ( x) =

δ ( x) 8

()

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ESCOAMENTOS VISCOSOS 7. Escoamento Viscoso Externo: Forças Aerodinâmicas

Jorge A. Villar Alé

87

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Escoamento Viscoso Externo: Forças Aerodinâmicas 7.1 Forças Aerodinâmicos de Sustentação e Arrasto Num escoamento externo quando o corpo se movimento através do fluido se manifesta uma interação fluido-corpo resultando em forças que podem ser descritas em função da tensão de cisalhamento na parede (τw) provocada pelos efeitos viscosos e uma tensão normal provocada pela distribuição de pressão (p).

Figura 1 Forças aerodinâmicas sobre um corpo • •

A componente da força resultante que atua na direção normal ao escoamento é denominada força de sustentação (Lift, L ou FL).

A componente da força resultante que atua na direção do escoamento é denominada força de arrasto. (Drag, D ou FD) .

Consideremos um elemento diferencial localizado na superfície do corpo em estudo. As componente x e y da força que atua no pequeno elemento de área dA são:

dFx = pdA cos θ + τ w dA cos θ dF y = − pdA sen θ + τ w dA cos θ O arrasto e a sustentação podem ser determinados pela integração das tensões de cisalhamento e das tensões normais ao corpo.

A força de sustentação é dada por:

FL = ∫ dF y = − pdA sen θ + τ w dA cos θ

A força de arrasto é dada por:

FD = ∫ dFx = ∫ p cos θdA + ∫ τ W sen θdA

Para determinar esta força é necessário determinar o formato do corpo e as distribuições da tensão de cisalhamento na parede e da distribuição de pressão ao longo da superfície do corpo.

88

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5.5.1

Coeficiente de Arrasto

Na forma adimensional esta força é definida pelo coeficiente de arrasto como:

CD =

FD 1 ρU ∞2 A 2

onde

O coeficiente de arrasto ou de resistência de um corpo é dado por:

C D = C Dp + C Df onde CDf representa o coeficiente de tensão de cisalhamento.

C Df =

FDf 1 ρU ∞2 A 2

A representa a área superficial ou área molhada. Por exemplo, numa placa paralela ao escoamento A=bL onde b é a largura da placa e L o comprimento da placa.

O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por pressão.

C Dp =

FDp 1 ρU ∞2 A 2

Neste caso A pode representar projeção num plano normal da área do corpo. Por exemplo num cilindro A=DL , onde D é o diâmetro do cilindro No caso de uma placa perpendicular ao fluxo a tensão de cisalhamento não contribui para a força de resistência. O coeficiente de arrasto deve-se unicamente ao arrasto por pressão. Desta forma CD= CDp.

CD=CDp

Figura 2 Placa plana perpendicular ao fluxo Como foi visto no Cap.10, no caso de uma placa plana paralela ao escoamento, o arrasto se deve unicamente ao atrito superficial. Desta forma CD= CDf.

Jorge A. Villar Alé

89

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Na Tab.1 se são dados os valores do coeficiente de arrasto para diferentes corpos rombudos entre eles, esferas, semi-esferas, cilindros, placas planas, aerofólios; também é dado o coeficiente de arrasto de corpos típicos como asas de avião e automóveis. Cabe salientar que estes são valores de referência. Um estudo mais apurado deverá ser realizado para projetos de sistemas específicos.

Tabela 1 Coeficiente de Arrasto para diferentes tipos de corpos Corpos rombudos CD Esfera rugosa 0.40 Esfera lisa 0.10 Semi-esfera oca oposta à corrente 1.42 Semi-esfera oca com face para a corrente 0.38 Semi-cilindro oco oposto a corrente 1.20 Semi-cilindro oco com face para a corrente 2.30 Placa plana 90° 1.17 Placa plana comprida a 90° 1.98 Roda girando oca h/D=0.28 0.58 Corpos afinados CD Placa Plana Laminar 0.001 Placa Plana Turbulenta 0.005 Aerofólio valor mínimo 0.006 Aerofólio próximo do estol 0.025 Asa em escoamento subsônico mínimo 0.05 Automóveis CD Avião de transporte subsônico 0.016 Avião supersônico M=2.5 0.025 Barcos 0.4-1.2 Helicópteros 0.3 -0.4 Carro de esporte 0.4 -0.5 Carro Econômico 0.5 Camioneta e caminhão 0.6-0.7 Trator e Trailers 0.7-0.9 Pessoas CD Homem em pé 1.0 - 1.3 Esquiador 1.2 - 1.3 Skier 1.0 - 1.1 Outros Fios e cabos 1.0 - 1.3 Prédio Empire State 1.3 - 1.5 Torre de Eiffel 1.8 - 2.0

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7.2 Escoamento sobre cilindros - Efeito da viscosidade Número de Reynolds Muito Baixo Para Reynolds baixo (Re < 0.1) o escoamento apresenta uma grande região onde os efeitos viscosos são importante.

As linhas de corrente são praticamente simétricas com comportamento muito similar na parte anterior e posterior do cilindro.

Este tipo de escoamento pode ser estudado utilizando a teoria de escoamentos potenciais.

Figura 3 Escoamento com baixo Re Número de Reynolds Moderado Para escoamento em regime moderado (Re≅50) a região onde os efeitos viscosos são importantes se torna menor a montante do cilindro. A jusante a região viscosa aumenta. O escoamento perde sua simetria.

Forma-se uma bolha de separação atrás do cilindro existindo um escoamento em sentido contrário ao fluxo principal.

Figura 4 Escoamento para Re moderado Número de Reynolds Alto No caso de escoamento com número de Reynolds alto (Re > 105) a área afetada pelas forças viscosas é concentrada na parte de atrás do cilindro. Na parte frontal do cilindro se desenvolve uma camada muito fina de fluido onde os efeitos viscosos são importante. Na parte frontal, após a separação, o escoamento torna-se turbulento originando-se uma região com emissão de vórtices.

Figura 5 Escoamento para Re alto Nestas regiões o fluido apresenta gradientes consideráveis de velocidade. Como a tensão de cisalhamento é proporcional a estes gradientes, os efeitos viscosos são significativos. Fora da camada limite e da região de vórtices o fluido se comporta como se fosse um fluido não viscoso. Cabe salientar que a viscosidade dinâmica permanece a mesma em todo o campo do escoamento já que o fluido é o mesmo.

Jorge A. Villar Alé

91

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7.3 Escoamento não viscoso num cilindro Do estudo do escoamento da camada limite numa placa plana sabemos que a fronteira da camada limite tenderá ao valor da velocidade de corrente livre (Voo) admitida a jusante da placa. Neste caso aplicando a Eq. de Bernoulli podemos constatar que não existe variação da pressão ao longo da placa. No caso do escoamento sobre um cilindro isto é bem diferente. Consideremos um escoamento não viscoso sobre um cilindro. Neste tipo de escoamento as linhas de corrente formadas em torno do corpo são simétricas e a linha de corrente que atinge o ponto de estagnação contorna o cilindro aderida ao mesmo. Devido à curvatura do cilindro a velocidade do fluido que contorna o cilindro (U) é diferente da velocidade de corrente livre e dependente da posição angular. Neste caso aplicando a Eq. de Bernoulli pode ser constatado que existe uma variação da pressão dependente da variação da velocidade que contorna o cilindro.

Figura. 6 Esquema de escoamento não viscoso Consideremos que a montante do cilindro a corrente livre não perturbada apresenta uma velocidade Voo e uma pressão Poo. Podemos aplicar a Eq. de Bernoulli que contorna o cilindro considerando um ponto a montante do cilindro e outro sobre a superfície da mesma com pressão p e velocidade U=U(θ).

p p∞ V∞2 U2 + = + ρg 2 g ρg 2 g

Para analisar a distribuição de pressão utilizamos na forma adimensional definindo o coeficiente de pressão (Cp):

cp =

p − p∞ 1 ρV∞2 2

Explicitando o termo (p - poo) da Eq. de Bernoulli e substituída na Eq. de Cp se obtém:

U c p = 1 −   V∞

  

2

A equação obtida mostra a dependência da distribuição de pressão em função da velocidade do fluido que contorna o cilindro.

Para escoamento não viscoso a solução teórica (potencial) da distribuição de pressão é dada como:

c p = 1 − 4 sen 2 θ Da mesma forma a velocidade ao longo da superfície é dada por: 92

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U (θ ) = 2V∞ sen θ a qual pode ser representada na forma adimensional

U * (θ ) =

U (θ ) = 2 sen θ V∞

Utilizando estas expressões podemos graficar a distribuição de Cp e do perfil de velocidades em torno do cilindro. A pressão é simétrica em relação ao semi-plano vertical atingindo seu máximo nos pontos de estagnação A e F. Observa-se que a velocidade nos pontos de estagnação (θ=0 e θ=1800) é nula (U*(θ) =0), alcançando seu máximo em θ=900 sendo sua magnitude o dobro da velocidade de corrente livre (U=2Voo).

Figura 7 Distribuição do coeficiente de pressão e da velocidade tangencial Considerando o escoamento não viscoso o arrasto por atrito será nulo (CDf =0). Devido à simetria da distribuição de pressão em torno ao cilindro o arrasto por pressão é nulo (CDp=0). Dados experimentais mostram que sempre existirá um arrasto no cilindro mesmo tratando-se de fluidos com viscosidade muito pequena. Isto nos leva ao denominado Paradoxo de d´Alambert o qual especifica que o arrasto num corpo é sempre nulo para escoamento não viscoso, porém o arrasto num corpo imerso num fluido viscoso não é nulo.

Cilindros : Escoamento não viscoso CDp = CDf=0

Jorge A. Villar Alé

93

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7.4 Escoamento viscoso num cilindro : Efeito do Gradiente Adverso de Pressão Numa placa plana paralela ao escoamento a camada limite se desenvolve num campo de escoamento onde a pressão permanece constante. Isto significa que o gradiente de pressão é nulo. No caso de geometrias mais complexas, ou placa plana com inclinação, o campo de pressão deixa de ser uniforme. No caso de um cilindro na camada limite se desenvolve um gradiente de pressão devido à variação da velocidade da corrente livre que contorna a fronteira da camada limite.

Consideremos uma partícula de fluido, que escoa dentro da camada limite, que viaja do ponto A para o ponto F. Tal partícula está submetida à mesma distribuição de pressão das partículas de fluido próximas, porém fora da camada limite. Contudo, devido aos efeitos viscosos, a partícula localizada dentro da camada limite sofre perdas de energia. Sendo assim a partícula não tem energia suficiente para vencer o gradiente adverso de pressão quando escoa de C para F. Considera-se que a partícula de fluido quando chega em C não tem quantidade de movimento suficiente para vencer o gradiente de pressão adverso.

Se define gradiente de pressão adverso quando a pressão aumenta no sentido do escoamento ou ∂p/∂x > 0 Se define gradiente de pressão favorável quando a pressão diminui no sentido do escoamento ou ∂p/∂x < 0

Figura 8 Escoamento com gradiente adverso de pressão sobre um cilindro Observando o perfil de velocidades dentro da camada limite (Fig. ) vemos que no ponto D, onde ocorre a separação do escoamento, o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento na parede são nulos. Após este ponto se origina um escoamento reverso dentro da camada limite.

No ponto de separação

∂u   = 0 e τw = 0 ∂y  y =0

Atualmente as soluções computacionais conseguem identificar nos escoamento viscosos a separação da camada limite e a emissão de vórtices tal como representado na Fig. 11.9.

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Figura 9 Solução numérica (CFD) do escoamento num cilindro com emissão de vórtices Devido aos efeitos da separação da camada limite a pressão média na metade traseira do cilindro é muito menor que na metade dianteira. Isto origina um arrasto (CD) devido principalmente à parcela de arrasto por pressão (CDp) já que o arrasto por efeitos viscosos (CDf) pode ser muito pequeno. O arrasto por pressão é denominado também arrasto por forma devido a sua dependência da forma do objeto.

Cilindros : Escoamento viscoso CDp >> CDf Pelo efeito da separação da camada limite podemos compreender o paradoxo de d`Alambert. No escoamentos sobre um corpo submerso, mesmo para fluido com pequena viscosidade, se manifestará uma força de arrasto, a qual é, geralmente independente da magnitude da viscosidade do fluido.

Dependência do Regime de Escoamento A localização do ponto de separação, a largura da esteira de vórtices originados na parte traseira do corpo e a distribuição de pressão na superfície do corpo dependem da natureza do escoamento, seja ele laminar ou turbulento.

A energia cinética e a quantidade de movimento associadas ao escoamento na camada limite turbulenta são maiores do que as associadas ao escoamento na camada limite laminar. Isto se deve basicamente ao seguinte: (1) O perfil de velocidade na camada limite é mais uniforme no caso do escoamento turbulento que no caso do escoamento laminar.

(2) A energia associada com os movimentos turbulentos aleatórios é maior que a laminar.

Desta forma o descolamento da camada limite turbulenta desenvolvida em torno de um cilindro descola numa posição posterior daquela da camada limite laminar tal como se observa na figura.

(a) Laminar

Jorge A. Villar Alé

(b)Turbulento Figura 10 Separação do escoamento laminar e turbulento.

95

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Perfil de velocidades na camada limite no cilindro analisado

Figura 11 Distribuição de pressão em cilindro escoamento não viscoso e viscoso Efeito do Regime de Escoamento no Arrasto de Esferas e Cilindros Como mostra a Fig. 12 existe uma dependência do coeficiente de arrasto nos cilindros e esferas lisas, muito semelhantes em função do número de Reynolds. Para escoamento com baixo número de Reynolds o arrasto é função de 1/Re. Para escoamentos moderados (103 a 105) o coeficiente de arrasto tem comportamento constante. Quando o Re atinge o valor crítico a camada limite se torna turbulenta e existe um queda abrupta do arrasto.

Para determinar o coeficiente de arrasto (CD) numa esfera lisa podemos também utilizar as equações sugeridas por Chow: Re ≤ 1

CD =

96

24 Re

1 < Re ≤ 400

CD =

400 <Re ≤ 3x105

24

(Re)

0 , 646

C D = 0,5

3x105 < Re ≤ 2x106

CD =

Re > 2x106

0,000366

(Re)0,4275

C D = 0,18

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Figura 12 Coeficiente de arrasto em função do número de Reynols para cilindros e esferas A estrutura típica do escoamento segundo o número de Reynolds é mostrada na Fig. 13. Para baixo número de Reynolds (Re≅0,1) se observa o escoamento típico (A) sem separação. A medida que Reynolds aumenta (Re≅10) se origina uma região de separação na parte traseira do corpo (B). A formação de vórtices oscilantes (C) se origina (Re≅100), conhecidos como vórtices de Von Karman. Para maiores Re se produz a configuração do escoamento laminar (D) no qual o arrasto é quase constante. Posteriormente quando se alcança o Re crítico (≅3x105) o escoamento torna-se turbulento (E) no qual o ponto de separação desloca-se para a parte traseira do perfil originando-se queda brusca do arrasto.

Figura 11.13 Tipos de escoamentos associados aos pontos indicados no gráfico

Jorge A. Villar Alé

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Efeito da Rugosidade Superficial no Arrasto de Esferas e Cilindros Geralmente o arrasto aumenta com o aumento da rugosidade superficial nos corpos delgados como os perfis aerodinâmicos. Isto se deve a que o escoamento se torna turbulento. Nesta condições a maior contribuição para o arrasto total se deve ao arrasto por atrito (CDf) que é muito maior no escoamento turbulento que no escoamento laminar.

Por outro lado, como se observa na figura abaixo, nos corpos rombudos, como um cilindro circular ou esferas, o aumento da rugosidade superficial pode causar uma diminuição do arrasto total. Para uma esfera lisa quando o Re atinge o valor crítico (Re≅3x105), a camada limite se torna turbulenta. Nesta condição a esteira atrás da esfera fica mais estreita. Isto origina uma diminuição significativa do arrasto por pressão (CDp) e um leve aumento do arrasto por atrito (CDf). A combinação desta duas parcelas de arrasto (CDp + CDf) fornece um arrasto total menor que nas condições de escoamento laminar. O aumento da rugosidade superficial pode conseguir que a camada limite se torne turbulenta para um Re mais baixo e com isto conseguir um arrasto total menor. Esta é, por exemplo, a técnica utilizada nas bolas de golfe que apresentam uma rugosidade artificial exagerada para conseguir um escoamento turbulento com menor Re (≅ 4x104) e diminuir assim o arrasto. Desta forma com uma tacada a bola pode alcançar maiores distâncias percorridas comparadas com o caso de uma esfera lisa.

Figura 14 Efeito da rugosidade no coeficiente de arrasto em esferas lisas

Figura 15 Diferença do escoamento de uma esfera lisa e uma bola de golfe.

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7.5 Sustentação Aerodinâmica A sustentação é a componente da força aerodinâmica perpendicular ao movimento do fluido. Tal força é a responsável pelo vôo dos aviões e princípio de acionamento de muitos tipos de turbomáquinas. Nos aviões, por exemplo, as asas apresentam um formato aerodinâmico (Fig) cuja seção é denominado aerofólio ou perfil aerodinâmico. Estes são projetados para produzir sustentação com a menor força de resistência possível.

Figura 16 Detalhe de seção transversal de uma asa definindo um aerofólio Um aerofólio apresenta uma borda de ataque e uma borda de fuga. Denomina-se corda ( c ) a linha que une a borda de ataque com borda de fuga. A linha curva que é sempre simétrica às superfícies superior e inferior denomina-se linha de camber ou linha média. Um perfil aerodinâmico é simétrico quando a linha da corda e a linha de camber são retas coincidentes. O formato de um aerofólio apresenta uma curvatura que atinge seu máximo indicada pela espessura máxima.

Figura 17 Nomenclatura básica de um aerofólio

Jorge A. Villar Alé

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Figura 8 Detalhe das forças de sustentação e arrasto num aerofólio Um perfil aerodinâmico quando submetido a uma corrente de fluido com velocidade V∞ apresenta uma força resultante ( R ou FR) que é formada por duas componentes. Uma componente denominada força de sustentação (L ou FL) que atua perpendicular à velocidade e uma força de arrasto (D ou FD) que atua paralela à velocidade. O ângulo de ataque ( α ) é o ângulo formado entre a linha da corda e a velocidade de corrente livre. A força de sustentação é apresentada na forma adimensional como:

CL =

L 1 ρV∞2 A p 2

Onde CL é o coeficiente de sustentação L a força de sustentação V∞ a velocidade de corrente livre e Ap a área projetada máxima da asa. Ap=cb onde c é a corda do aerofólio e b a envergadura da asa.

Da mesma forma define-se o coeficiente de arrasto como:

CD =

D 1 ρV∞2 A p 2

Onde CD é o coeficiente de arrasto e D a força de arrasto. Num perfil aerodinâmico o arrasto total origina-se pelo arrasto devido à pressão CDf, o arrasto devido ao atrito (superficial) CDf e o arrasto induzido CDi por efeitos de envergadura finita. Geralmente nos aerofólios o arrasto superficial é o mais importante. Isto pode se inverter para relações t/c maiores que 25% onde t é a espessura máxima do perfil e c a corda do mesmo.

Aerofólio: Geralmente CDf >> CDp

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7.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Sustentação A sustentação depende de vários parâmetros entre eles o formato do aerofólio, o número de Reynolds e o ângulo de ataque do perfil. Num corpo pode ser determinada quando se conhece a distribuição de pressão em torno do corpo. Na forma adimensional a distribuição de pressão é dada por:

cp =

p − p∞ 1 ρV∞2 2

cp é denominado coeficiente de pressão que é a diferença entre a pressão estática local e a pressão estática de corrente livre adimensionalizada pela pressão dinâmica da corrente livre. Na figura abaixo mostra-se a curva típica da distribuição de pressão em torno de um aerofólio. A parte inferior do aerofólio apresenta uma pressão maior que na parte superior. Geralmente isto se apresenta trabalhando com o eixo de cp negativo tal como mostrado. O ponto de estagnação ocorre próximo da borda de ataque. Neste local a velocidade V=0. Para escoamento incompressível Cp=0 neste ponto. Quando a corda é unitária a sustentação é relacionada com o coeficiente de pressão:

 x C L = ∫ (C pi − C ps )d   c 0 1

Onde Cpi é o coeficiente de pressão da superfície inferior e Cps representa coeficiente de pressão da superfície superior.

Figura 19 Distribuição do coeficiente de pressão num aerofólio

Jorge A. Villar Alé

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7,7 Curva de Sustentação versus Ângulo de Ataque.

Um aerofólio com um determinado ângulo de ataque originará uma distribuição de pressão tal como mostrada na figura acima. Para graficar o comportamento da sustentação versus o ângulo de ataque de um perfil aerodinâmico devemos previamente avaliar a distribuição de pressão para cada angulo desejado e posteriormente graficar o resultado. Uma curva típica deste resultado pode ser observada na figura abaixo. Como se aprecia existe uma região em que a sustentação aumenta linearmente com o ângulo de ataque até alcançar a sustentação máxima (CLmax). Nesta região o escoamento apresenta-se suave sem separação da camada limite. Após este máximo o gradiente adverso de pressão provoca a separação do escoamento na superfície superior do aerofólio originando-se um esteira turbulenta. Nestas condições o aerofólio entra em estol o que significa que perde sustentação e ocorre aumento do arrasto. O ângulo em que se origina este fenômeno denomina-se ângulo de estol.

Figura 20 Curva típica de sustentação aerodinâmica versus ângulo de ataque Um aerofólio simétrico apresentará uma curva de CL versus α que passa pela origem. Isto é para α=00 a sustentação CL=0. No caso de perfis assimétricos para α=00 o aerofólio apresenta um sustentação, contudo existirá um ângulo tal que terá sustentação nula tal como mostrado na figura abaixo.

Figura 21 Curva de sustentação para aerofólios simétricos e assimétricos Um aerofólio é uma seção de asa que, para efeitos de análise de escoamento, considera-se como bidimensional. Tratase portanto de uma asa de envergadura infinita. Quando se estudam perfis com envergadura finita devem ser considerados os efeitos tridimensionais provocados pelas pontas das asas, as quais reduzem a sustentação e aumentam o arrasto. Num aerofólio de envergadura finita são originados vórtices de fuga devido a que a pressão média na superfície inferior é maior que a pressão média na superfície superior. Esta diferença de pressão se manifesta 102

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perto das pontas na qual o fluido tende a escoar da parte superior para a parte inferior. Como a asa está em movimento para jusante do aerofólio formam-se estes vórtices de fuga tal como mostrados na figura abaixo.

Figura 22 Circulação e feito de vórtices de fuga num perfil de envergadura finita Os efeitos de envergadura são correlacionados utilizando a definição da razão de aspecto

Razão de Aspecto (ar ) =

Quadrado do comprimento da asa b 2 = Ap Área Pr ojetada

onde b é a envergadura e Ap a área projetada. Se o comprimento da corda é constante tal como numa asa retangular, esta relação fica simplificada como ar = b/c. As asas compridas são mais eficientes que as asas curtas devido às perdas das pontas são menos significativas. O efeitos de pontas também origina um arrasto induzido o qual deve ser determinado e adicionado ao arrasto por atrito e por pressão do aerofólio.

Figura 23 Definição de envergadura e área planiforme de uma asa A relação sustentação/arrasto (L/D) é um parâmetro importante que mede a qualidade aerodinâmica de um perfil.

Quanto maior esta relação maior será a eficiência do perfil. Seções modernas de baixo arrasto atingem L/D em torno de 400. Um planador de alto desempenho com ar=40 pode ter um L/D=40. Um avião típico (ar≅12) pode ter L/D≅20.

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Figura 24 Definição do ângulo de ataque geométrico efetivo e induzido

Figura 25 Efeito da envergadura finita na sustentação aerodinâmica Nos perfis com envergadura finita as velocidades dirigidas para baixo reduzem o ângulo de ataque efetivo em proporção ao coeficiente de sustentação.

α = α efec + α i onde αefec é o ângulo efetivo numa asa com envergadura finita, αi é o ângulo de ataque induzido por efeito da velocidade para baixo originada pelos vórtices de fuga. Isto origina uma redução da inclinação da curva da sustentação como observado na figura. Da teoria de fluido incompressível o ângulo induzido é determinado como:

αi =

CL πar

A inclinação da curva de sustentação para um aerofólio com envergadura infinita é definida como coeficiente de inclinação:

ao =

dC L dα

Desta forma a sustentação pode ser avaliada para uma asa de envergadura infinita em função de ao curva utilizando a relação: 104

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C L = a oα eefct

C L = a o (α − α i )

Figura 26 Determinação da sustentação para aerofólios de envergadura finita

7.71. Influência da Velocidade Induzida na Força de Arrasto Numa asa de envergadura finita os vórtices de fuga (Fig.11.22) originam velocidades para baixo que provocam um aumento do coeficiente de arrasto CD , o qual pode ser avaliado como:

C D = C D∞ + C Di onde CD∞ é o coeficiente de arrasto da seção considerada um perfil de envergadura infinita e CDi é o arrasto induzido que pode ser avaliado pela expressão:

C Di = C Lα i =

C L2 πar

A Fig. 27 mostra a as curvas típicas de sustentação e arrasto para um perfil aerodinâmico em função do ângulo de ataque. Observa-se na curva de sustentação o comportamento linear de CL até o alcançar ângulo de estol (α≅150).

Após este ângulo o aerofólio entra em estol, observando-se um queda brusca de CL e um aumento acentuadado do coeficiente de arrasto.

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(a ) Sustentação (b) Arrastro Figura 27 Curvas típicas de sustentação e arrasto para um aerofólio Efeito da compressibilidade Para corpos perfilados para escoamentos com número de M<0,5 os efeitos de compressibilidade no coeficiente de arrasto não são significativos. Já para escoamentos com M alto o coeficiente de arrasto é fortemente dependente do número de Mach, como se observa no exemplo da figura.

Figura 28 Efeito da compressibilidade no escoamento de aerofólios

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7.7.2 Velocidade mínima de vôo Nas condições de estado de vôo constante (condições de cruzeiro) a sustentação (FL) deve ser igual ao peso da aeronave (W).

W =L=

1 ρV∞2 A 2

Figura 29 Equilíbrio do peso e da sustentação num avião em velocidade de cruzeiro A velocidade mínima (Vmin) de vôo é obtida quando CL=CLmax.

Vmin =

2W ρC L max A

Desta forma a velocidade mínima de aterrissagem pode ser reduzida pelo aumento de CLmax. ou pelo aumento da área da asa. Os flapes são partes móveis da borda de fuga de uma asa que podem ser prolongados num aterrissagem e decolagem com a finalidade de aumentar a área efetiva da asa.

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ANEXO EQUACOES BASICAS DE MECANICA DOS FLUIDOS

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8. EQUACOES BASICAS DE MECANICA DOS FLUIDOS

Equação da conservação da massa

d ( m) = 0 dt

Equação da Quantidade de Movimento (2ª Lei de Newton)

r r d (mV ) = F dt

Equação do Momento da Quantidade de Movimento

r r r r d mV ×r = r ×F dt

Equação da Conservação da Energia

{(

)}

d dQ dW (E) = − dt dt dt

Onde:

m r V r r r F

E Q W

Massa do fluido Vetor de velocidade da partícula de fluido

Vetor posição da partícula de fluido Vetor das forcas agindo sobre a partícula de fluido

Energia total Calor Trabalho

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FORMAS INTEGRAIS DAS EQUACOES DO MOVIMENTO As equações integrais podem ser descritas a partir de uma equação geral reconhecendo os efeitos externos e termos característicos.

Eext Conservação da massa:

r r ∂ = ∫ ξρd∀ + ∫ ξρVdA ∂t vc sc

E ext = 0 r r E ext = FS + FB r r r r r E ext = r × FS + r × FB + Teixo

Quantidade de Movimento:

Momento da Quantidade de Movimento: Equação da Energia

E ext =

dQ dW − dt dt

ξ =1 r ξ =V r r ξ = r ×V ξ =e

Onde e representa a energia total por unidade de massa e E/m

1  e =  V 2 + gz + u int  2  sendo uint a energia especifica interna (energia por unidade de massa).

As forcas que agem em fluidos são basicamente as forcas de superfície e as forcas de campo.

As forcas de superfície são formadas pelas forcas por efeito o de tensões normais ou de pressão e das tensões tangenciais ou de cisalhamento.

r r r FS = FSp + FSτ = ∫ pdA + ∫ τdA A

A

A forca de campo dada por:

r r r r FB = ∫ Bdm = ∫ Bρd∀ = ∫ gρd∀ vc

vc

vc

As forcas de campo e de superfície podem ser representadas pelas suas componentes:

r dFSp = dFSpx iˆ + dFSpy iˆ + dFSpz iˆ r dFSτ = dFSτx iˆ + dFSτy iˆ + dFSτz iˆ

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FORMA VETORIAL DO CAMPO DE VELOCIDADES O vetor de posição ou de deslocamento de uma partícula de fluido e dado por:

r r = rx iˆ + ry ˆj + rz kˆ A velocidade e uma função vetorial da posição e do tempo com três componentes u,v e w sendo cada componente um campo escalar

r V (r , t ) = u ( x, y, z , t )iˆ + v( x, y, z , t ) ˆj + w( x, y, z , t )kˆ Outras grandezas podem ser determinadas manipulando matematicamente o campo de velocidades, denominadas propriedades cinemáticas: Propriedades Cinemáticas: Vetor de Deslocamento

r r r = ∫ V dt

r r dV a= dt

Aceleração

Vazão em Volume Vetor rotação – Velocidade Angular

r r Q = ∫ Vd A

r r 1 ω = ∇ ×V 2

2ª Lei de Newton aplicada a Fluidos.

r r F = ma Apresenta-se para fluidos em movimentos definindo a aceleração substancial da partícula de fluido.

r r  DV   F = m  Dt   Onde

( )

r r r r DV ∂V = + V∇ V Dt ∂t

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Para estudar o movimento dos fluidos devemos conhecer algumas regras básicas assim como operadores específicos.

Regra da Cadeia.

Seja uma variável de f, Dependente de coordenadas espaciais e do tempo de f(x,y,z,t), Para obter uma derivada temporal escalar da mesma variável pode-se aplicar a regra da cadeia.

df ∂f ∂f dx ∂f dy ∂f dz = + + + dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt Gradiente ou Operador Nabla As variáveis de cinemática dos fluidos podem ser manipuladas escritas de modo mais compacto quando se utiliza o operador denominado Gradiente o Operador Nabla definido como.

Gradiente

∇=

∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

O produto deste operador com um vetor velocidade resulta no divergente do vetor .

Por exemplo, o divergente do vetor velocidade e dado por: Divergente da Velocidade

r ∂u ∂v ∂w ∇V = + + ∂x ∂y ∂z

Conservação da massa escoamento compressível e incompressível em regime não-permanente: Eq. da conservação da massa.

( )

r ∂ρ + ∇ ρV = 0 ∂t

r ∂ρ ∂ρu ∂ρv ∂ρw ∂ρ + ∇ρV = + + + ∂z ∂t ∂t ∂x ∂y No caso em que o escoamento é em regime permanente, com fluido incompressível.

Escoamento Incompressível Regime permanente.

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r ∇V = 0

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ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA DE FLUIDO A aceleração de uma partícula de fluido e dada por:

r a = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ

r r dV a qual pode ser determinara em função do vetor velocidade : a = dt r dV du ˆ dv ˆ dw ˆ = i+ j+ k dt dt dt dt Utilizando a regra da cadeia para cada componente u,v,w:

du ∂u ∂u dx ∂u dy ∂u dz = + + + dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt Como se trata de uma partícula especifica.

u=

dx dt

v=

dy dt

w=

dw dt

du ∂u ∂u ∂u ∂u = +u +v +w dt ∂t ∂z ∂x ∂y De modo compacto podemos representar esta equação como:

du ∂u r = + V∇ (u ) dt ∂t Aplicando o mesmo procedimento para o componente u, v e e w encontramos as seguintes expressões:

du ∂u ∂u ∂u ∂u = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z dv ∂v ∂v ∂v ∂v = +u +v +w dt ∂t ∂z ∂x ∂y

∂w ∂w ∂w dw ∂w = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z du ∂u r = + V∇ (u ) dt ∂t dv ∂v r = + V∇(v) dt ∂t dw ∂w r = + V∇ (w) dt ∂t Jorge A. Villar Alé

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A aceleração total de uma partícula e denominada também aceleração substancial ou material

r r DV ∂V r r = + V∇V Dt ∂t

Aceleração total de uma partícula Aceleração total de uma partícula

r r r r r DV ∂V ∂V ∂V ∂V = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

Derivada substancial

Aceleração Local

•

Trata-se de uma aceleração que ocorre no tempo.

r  ∂V     ∂t 

•

Ocorre em escoamentos transientes e em regime permanente.

•

E nula para escoamento em regime permanente.

• •

Aceleração que se manifesta em escoamentos com mudanças de geometria.

Escoamentos em regime permanente podem ter grandes acelerações convectivas devido a mudanças de geométrica.

Aceleração Convectiva

r r r  ∂V ∂V ∂V  +v +w u  ∂ x ∂ y ∂z  

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D ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v +w Dt ∂t ∂z ∂x ∂y

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ROTACIONAL O rotacional e o produto do operador Nabla por uma função vetorial. O rotacional da velocidade e dado por:

ˆj iˆ kˆ r  ∂w ∂v  ˆ  ∂u ∂w  ˆ  ∂v ∂u  ˆ ∇ × V = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z =  − i +  −  j +  − k ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x    ∂x ∂y    u v w Desta forma, o vetor da velocidade angular (vetor rotação) local como:

r r 1 ω = ∇ ×V 2

r ω = ω x iˆ + ω y ˆj + ω z kˆ v 1  ∂w ∂v  ˆ 1  ∂u ∂w  ˆ 1  ∂v ∂u  ˆ ω =  − i +  −  j +  −  k 2  ∂y ∂z  2  ∂z ∂x  2  ∂x ∂y  Vorticidade Defini-se a vorticidade como duas vezes o valor da rotação

r r r ζ = 2ω = ∇ × V A vorticidade e o rotacional estão associados com escoamentos viscosos os quais apresentam tensões de cisalhamento.

Escoamento Irrotacional ω = 0 Um escoamento r não viscoso não apresenta tensões de cisalhamento, portanto e denominado irrotacional.

Desta forma ω = 0 . Significa que suas componentes também devem ser nulas.

r

 ∂w ∂v   −  = 0  ∂y ∂z   ∂u ∂w   − =0  ∂z ∂x   ∂v ∂u   −  = 0  ∂x ∂y  Escoamento Irrotacional ω = 0

r ∇ ×V = 0

Escoamento Rotacional ω ≠ 0

r ∇ ×V ≠ 0

r

r

Jorge A. Villar Alé

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ANEXO COMPRIMENTO DE MISTURA DE PRANDTL

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ANEXO - Teoria do Comprimento de Mistura de Prandtl Em 1925 Prandtl relaciona as tensões de Reynolds com a velocidade média. Para deduzir o equacionamento considera-se o movimento plano na direção x na qual a velocidade média é somente dependente de y.

u = u (y); v = 0 ;

w = 0.

Perfil de velocidade considerando o comprimento de mistura de Prandtl

Devido ao movimento transversal • As partículas de fluido da linha de corrente A-A se movem transversalmente uma distância l para a outra linha de corrente M-M, onde l é denominado comprimento de mistura.

•

As partículas que se deslocam de A-A chegam a M-M com uma velocidade menor já que a velocidade em M-M é maior.

Velocidade em M-M Velocidade em A-A

•

u(y) u(y-l)

A diferença destas velocidades, considerando l muito pequeno pode ser dado por:

∆u1 = u ( y ) − u ( y − l ) como l é muito pequeno: ∆u 1 d u = l dy Jorge A. Villar Alé

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desta forma:

∆u 1 = u ( y ) − u ( y − l ) = l

du dy

Da mesma forma as partículas de fluido saem da linha de corrente B-B e chegam a linha de corrente M-M com uma velocidade maior: Velocidade em M-M Velocidade em B-B

u(y) u(y+l)

A diferença das velocidades é dada como:

∆u 2 = u ( y ) − u ( y + l ) = l

du dy

Prandtl considerou que esta diferença de velocidade é a que origina a velocidade de flutuação u´.

Desta forma a média do seu valor absoluto é dada como: u´ =

•

1 ( ∆u 1 + ∆u 2 ) = l d u 2 dy

Para a componente v´ considera-se a mesma ordem de grandeza:

v´ ≅ l

du dy

• Falta relacionar o produto das velocidades deduzidas.

• As partículas que passam de A-A para M-M são mais lentas que as que passam de B-B para M-M. • Desta forma: Para v´ positivo (+) corresponde a u´ negativa (-) • Para v´ negativo (-) corresponde a u´ positiva (+) O produto então será sempre negativo (-) sendo expresso como: du u´v´= −l dy

2

2 m

A tensão de Reynols ou tensão de cisalhamento turbulenta é dada como:

τ Turb

du = − ρu´v´= ρl dy

2

2 m

a tensão turbulenta é positiva já que o perfil de velocidade é considerado crescente: du > 0 . Caso dy

contrário seria negativo.

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Integração de Equações da Distribuição de Velocidade As tensões de cisalhamento total são dadas pela soma das tensões de cisalhamento laminar e turbulento:

τ = τ lam + τ turb Tais tensões podem é ser expressas como:

τ =µ

du du + ρε m dy dy

Onde o termo εm representa a difusividade turbulenta. Dividindo pela massa específica e lembrando da definição da viscosidade cinemática:

τ µ du du = + εm ρ ρ dy dy τ du du =ν +εm ρ dy dy

τ du = (ν + ε m ) ρ dy Utilizando as grandezas adimensionais já definidas como:

u+ =

u

y+ =

τw ρ

y τw ν ρ

u* =

τw ρ

e explicitando destas a velocidade média e a distância y: u = u +u* y=

y +ν u*

du = du + u * dy =

dy +ν u*

portanto a relação du/dy é dada como:

du du + u *2 = dy dy +ν Substituindo a derivada anterior na expressão da tensão de cisalhamento: Jorge A. Villar Alé

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τ du = (ν + ε m ) ρ dy du + u *2 τ = (ν + ε m ) ρ dy +ν Considerando a hipótese de τ=cte=τw e lembrando que u * =

u

*2

τw ρ

e assim: u *2 =

τw ρ

du + u *2 = (ν + ε m ) dy +ν

 ε  dy + = 1 + m du + ν  

du + =

dy +  εm  1 +  ν  

Caso I - Sub-camada Laminar ou Viscosa

•

Nesta região prevalece a tensão laminar (τ=τlam) e desta forma εm=0 , como o qual:

du + = dy +

Integrando a expressão acima: u+ = y+ + c

na superfície u+=0 e y+=0 e portanto c=0. Assim se obtém a relação linear: u+ = y+

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Camada limite laminar - válido para 0 < y + < 5

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Caso II - Camada Totalmente Turbulenta Considerando que prevalece a tensão de cisalhamento turbulenta (τlam =0 e τ=τturb). Desta forma pode ser considerado que εm >> ν.

τ du = (ν + ε m ) ρ dy adotando a hipótese que na região junto à parede a tensão de cisalhamento é τ=τw . obtemos:

τ w = ρε m

du dy

du representa a difusividade turbulenta. Com esta definição a dy tensão de cisalhamento na parede é dada por:

Por definição sabemos que: ε m = l m2

 du  τ w = ρl    dy 

2

2 m

o termo l m = ky representa o comprimento de mistura de Prandtl definido neste caso em função da constante de von Karman. Utilizando tal expressão obtemos:

 du  τ w = ρk y    dy  2

2

2

da qual explicitando o termo do gradiente de velocidade:

 du  τ 1   = w 2 2 ρ k y  dy  2

e extraindo a raiz quadrada achamos τw 1 du = dy ρ k y

substituindo na Eq. acima as grandezas adimensionais dadas como: τw dy +ν + * du = du u dy = * u* = ρ u obtemos:

du + u * = u *

1 u * dy +ν k y +ν u *

Jorge A. Villar Alé

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Uma vez simplificados os termos se obtém:

du + =

1 dy + k y+

Integrando:

u+ =

1 ln y + + c k

que como foi explicado anteriormente tem sido demostrado por experiências que a constante de Von Karman k=0,4. A constante c é determinada pela correlação da equação acima para escoamento turbulento em tubo liso c=5,5 . Desta forma:

u + = 2,5 ln y + + 5,5 na camada turbulenta - válido para

122

y + > 30

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ANEXO GRAFICOS

Jorge A. Villar AlĂŠ

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