Metodos de aproximacion lineal

Optimizaciรณn restringida

Metodos de aproximacion lineal

CI: 26.673.223 Alumno: Gomez V. Jonh R. Escuela: Ing de sistemas Extensiรณn: San Cristรณbal

Contenidos Introducción Método del gradiente Método Jacobiano Método y condiciones de Kun Trucker Método de multiplicadores de Lagrange Métodos de aproximaciones Lineales Método de Giffith Stwart Técnica de variables separables Referencias

Introducción Durante el desarrollo de la historia el ser humano siempre ha buscado formas de acelerar o facilitar tareas y aquí es donde entra la palabra “optimización” un ejemplo de estos es la creación de los sistemas de información antes llevábamos la cuenta de todo a mano, hoy en día pasamos a tener todo en una computadora, otro ejemplo es Microsoft Excel que facilito y optimizo las tareas de contabilidad.

El desarrollo de los problemas matemáticos es universalmente aplicable tanto en programación lineal y no lineal aplicada en la vida real al requerimiento de empresas es de gran utilidad.

Matemáticamente hablando la optimización se refiere a maximizar o minimizar una función para encontrar los puntos más adecuados para nuestro objetivo y estos teniendo en cuenta o a veces no restricciones sobre los posibles resultados o también sobre las variables que intervienen.

Método del gradiente La noción de gradiente se emplea en el ámbito de la física para hacer referencia a la razón existente entre el cambio del valor de una magnitud en dos puntos y la distancia que se registra entre ellos.

También es interesante saber que dentro del sector físico es muy habitual hablar de Laplaciano, que viene a ser la divergencia del gradiente Propiedades Si Z = f(x, y) es una función de dos variables se define el gradiente de f en el punto (a,b) como el vector

El gradiente cumple las siguientes propiedades 1. Si el gradiente de f en (a,b) es el vector nulo, entonces la derivada de f en cualquier dirección es cero.

2. La dirección de máximo crecimiento de fen el punto (a,b) viene dada por f(a,b). El valor máximo de la derivada direccional es |f(a,b)|.

3. La dirección de máximo decrecimiento de f en el punto (a,b) viene dada por -f(a,b). El valor mínimo de la derivada direccional es -|f(a,b)|.

4. El vector gradiente en un punto es normal a la curva de nivel correspondiente a ese punto.

Importancia Como hemos visto, el gradiente tiene un importante significado geométrico, pues nos dice la dirección en que una función f crece mas rápido, y además, la dirección ortogonal a la superficies de nivel de f. El hecho de que proporcione ambos datos al mismo tiempo es una herramienta muy útil en diversas áreas. Para ver esto consideraremos un mapa topográfico de una colina representada por una función f(x,y). Sobre esta podemos dibujar sus curvas de nivel. Si nos colocamos en un punto de una de estas curvas, al obtener su gradiente, este nos indicara la dirección del máximo crecimiento. Si esta colina representa un mapa del clima, podremos saber en que dirección hay un máximo cambio en la temperatura.

Uso general El método del gradiente (conocido también como el método de Cauchy o del descenso mas pronunciado) consisten en un algoritmo especifico para la resolución de modelos de PNL (programación no lineal) sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales de descenso, donde la búsqueda de un mínimo esta asociado a la resolución secuencial de una serie de problemas unidimensionales. O dicho de otro modo este método se encarga de reducir el cálculo de un mínimo local a una secuencia de problemas de búsqueda lineal.

Descripción del método Supongamos que queremos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales Ax = b Donde la n-por-n matriz A es simétrica (i.e.., A = A), definida positiva (i.e., xAx > 0 para todos los vectores no cero x R’’), y real.

Denotamos la única solución de este sistema por x.

Ejemplo

En resumen, el método del gradiente consta de 2 pasos principales: Primero: el calculo de una dirección de descenso que esta dado por el negativo del gradiente de la función objetivo evaluado en el punto de partida o en el de la k-esima iteración. En el ejemplo dicha dirección desde la coordenada original xº=(8,7) esta dada en al dirección del vector dº=(8,-4).

Segundo: Obtener la magnitud del paso (alfa) que determine cuanto se avanza en una determinada dirección de descenso. Esto se logra generando una función unidimensional en términos de este parámetro (respecto a la función objetivo original). En el primer ejemplo dicha magnitud del paso es igual a 1/2.

Finalmente se actualiza la coordenada según la descrito previamente alcanzando (x1, x2) = (12, 5) que como se corroboro otorga un valor en la función objetivo menor al punto de partida (arbitraria).

Método Jacobiano Este método parte de una aproximación inicial, a partir de esta recalcula los valores de x al despejarla de una ecuación, este proceso se realiza para las n incógnitas x y cada calculo se realiza con los valores de la aproximación anterior.

El método de Jacobi es un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal.

Ax = b Comienza con una aproximación inicial de x(0) a la solución x y genera una sucesión de vectores x(k) que convergen a la solución x.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en un conjunto de ecuaciones de la forma:

Que a su vez se puede expresar como: Ax = b Donde “A” es la matriz de coeficiente, x es el vector de incógnitas de b el vector de términos independientes.

La solución del sistema de ecuaciones es un conjunto de n valores x1, x2, x3, … xn que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

En la solución de estos problemas pueden presentarse 3 casos.

Solución única = Sistema compatible determinado.

Mas de una solución = Sistema compatible e independiente (número infinito de soluciones).

Sin solución = sistema incompatible.

Ilustrado el método de Jacobi con un sistema de ecuaciones de 3x3, si el vector:

Es el vector aproximado a la solución x después de k iteraciones, entonces se tiene que para la siguiente aproximación:

Para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se tiene la siguiente formula (usando una notación más compacta):

Tanto en el método de Gauss-Seidel como en el de Jacobi, el valor que se le de al vector inicial carece de importancia, ya que el método convergirá a la solución rápidamente no obstante que el vector inicial tenga valores muy lejanos a la solución. Es por esto que se acostumbra a dar el vector de 0 como vector inicial.

Ejemplo

Método y condiciones de Kun Trucker Las condiciones de Karush-kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea optima. Es una generalización del método de los multiplicadores de Lagrange.

Las condiciones necesarias que deben satisfaces los óptimos de problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad fueron publicados por primera vez (1939) en a la tesis de maestría de William Karush (1917-1997) (en aquel entonces estudiante de matemáticas de la universidad de chicago), aunque fueron renombradas tras un articulo en la conferencia de Harol W. Kuhn y Albert W. Tucker en 1951. Las condiciones de Karush-KuhnTucker son una generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para restricciones de desigualdad Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, g(x) son las restricciones de desigualdad y h(x) son las restricciones de igualdad, con m y l el numero de restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.

Descripción La forma de operar las condiciones de KKT será la siguiente como lo que buscamos es el punto x o y de inicio se desconoce, entonces las ecuaciones de las condiciones de los bloques I y II se piensan como un sistema de ecuaciones en las variables x j’s e y j’s: se intenta resolver tal sistema de ecuaciones y en caso de encontrarse las soluciones se revisan una a una para ver cual de ella cumple los y j’s son no negativos y que también se cumplen las restricciones de gi <0 en los puntos encontrados. Normalmente se realizan una tabla de donde se hace verificación. Observe también es posible trabajar el problema de maximización resolviendo el problema de minimización, pero conservando aquellos puntos que tengan los valores de los multiplicadores no positivos.

El método de la solución procede de la siguiente manera.

Cambiemos cada restricción de la desigualdad g i <= 0 a una restricción de igualdad introduciendo una variable s i de la siguiente manera: g i <= 0 -> g i + s 2 i = 0 De acuerdo a la técnica de los multiplicadores de Lagrange se construye la función:

Ejemplo

Método de multiplicadores de Lagrange En tal sentido: se define el método de los multiplicadores de Lagrange, como un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.

Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.

El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

DescripciĂłn En tal sentido de definido el teorema de Lagrange como un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito con el orden de cualquiera de sus subgrupos. El teorema afirma que si G es un grupo finito H y e son subgrupo de G entonces: |G| = |H|[G:H] Donde |G| y |H| son el orden del grupo G y el orden del subgrupo H, en tanto que [G:H] es el Ă­ndice de H en G.

Ejemplo Método de extensión de los multiplicadores de lagrange Los problemas de minimización con restricciones se pueden resolver mediante técnicas basadas en los multiplicadores de Lagrange como el método de extensión. De esta forma se obtiene generalmente grandes sistemas de ecuaciones no lineales, dependientes de numerosas variables, y que admiten numerosas soluciones.

Método de aproximaciones Lineales

La primera formulación general de un problema de optimización de formas de estructuras continúas abordado mediante métodos numéricos se debe a Zienkiewicz y Campbell quienes emplean el método de elementos finitos en el calculo de estructura y utilizan como variables de diseño las coordinadas nodales de la malla.

El problema de programación matemática es resuelto mediante una cadena de aproximaciones lineales a las que se aplica programación lineal y el calculo de sensibilidad necesario para que estas aproximaciones se realicen mediante diferentes maneras finitas partiendo de varios cálculos efectuados sobre diseños similares.

Ejemplo En matemáticas, una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

donde O(x) es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, o(x) tiende a 0 cuando x tiende a). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

Método de Giffith Stwart Es útil cuando se tiene una función que puede ser aproximada, pero cuenta con ciertas restricciones en sus variables.

La idea de este método consiste en diferenciar las variables así como sus restricciones para luego linealizarlas y resolver mediante iteraciones para conseguir los puntos óptimos de la función, dándonos de esa manera la solución a la misma.

Ejemplo

Tรฉcnica de variables separables Una ecuaciรณn diferencial es una ecuaciรณn que relaciona la variable independiente con la variable dependiente y sus derivadas, por ejemplo:

El orden de la ecuaciรณn diferencial es el orden de la mรกxima derivada. El orden de las ecuaciones nos indica el numero de constantes y constantes arbitrarias en la soluciรณn. Por Ejemplo, para la ecuaciรณn anterior Dada una ecuaciรณn diferencial

Si a la ecuaciรณn diferencial se puede colocar de la forma

Es de variables separables, y la soluciรณn esta dada por la integral directa A continuaciรณn, se muestra un ejemplo y antes de analizarlo se debe considerar que una constante al momento de ser multiplicada por un numero cualquiera, su valor cambia, y por tanto se convierte en una nueva constante. La constante indica que la ecuaciรณn pertenece a una familia de curvas cuyo valor debe ser determinado dadas las condiciones de la misma ecuaciรณn por lo tanto no se determinan los valores de dichas constantes.

Ejemplo

Referencias https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_del_gradiente_conjugado http://www.investigaciondeoperaciones.net/metodo_del_gradiente.html https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Jacobi#:~:text=El%20m%C3%A9tod o%20de%20Jacobi%20siempre,esta%20condici%C3%B3n%20no%20se%20satisface. &text=es%20la%20condici%C3%B3n%20necesaria%20y,siendo%20R%20%3D%20L %20%2B%20U%20. https://es.slideshare.net/fabianchopinto/metodo-jacobiano-4790689 https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion-no-lineal/teorema-de-karushkuhn-tucker-aplicado-a-un-problema-de-programacion-no-lineal/ https://es.wikipedia.org/wiki/Condiciones_de_Karush-KuhnTucker#:~:text=Las%20condiciones%20de%20Karush%2DKuhn,de%20los%20multip licadores%20de%20Lagrange. https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange#:~:text=En%20los%20pro blemas%20de%20optimizaci%C3%B3n,m%C3%BAltiples%20variables%20sujetas%2 0a%20restricciones. https://issuu.com/anguelbk/docs/presentaci_n1 https://es.scribd.com/document/257581357/Metodo-Griffith-and-Stuart-Pnl https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables#:~: text=El%20m%C3%A9todo%20de%20separaci%C3%B3n%20de,tienen%20las%20% 22variables%20separadas%22.

published, 18/01/2021