Lógica Proposicional (operadores verofuncionais)

FILOSOFIA 11

ESAF | 2014/15

Argumentação e Lógica Formal

Noções gerais Formas de inferência válida

JD /out.2014

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O que é a Lógica proposicional?

O objeto de estudo da lógica proposicional é, para além do estudo das proposições e suas relações, uma análise da validade formal das inferências (raciocínios) levadas a cabo com proposições. Esta análise passa pelo denominado cálculo proposicional, assente na realização de operações entre proposições.

As proposições (frases declarativas, das quais se pode dizer que são enunciados verdadeiros ou enunciados falsos, com valor de verdade V ou F, sem se admitir uma 3ª possibilidade), podem ser simples (ex.: “Mariana estuda lógica”) ou complexas (enunciados compostos por 2 ou mais proposições simples articuladas entre si ex.: “Mariana estuda lógica e raciocina bem”) JD /out.2014

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Lógica proposicional A conexão lógica entre proposições simples é assegurada, na linguagem natural, pelos chamados operadores proposicionais (que permitem a formação de novas proposições – ex.: “mas”, “ou”, “se…então”, etc.) formalizados em operadores verofuncionais, também designados operadores lógicos ou conetivas proposicionais que nos possibilitam, conhecidos os valores de verdade das proposições envolvidas, determinar o valor de verdade da proposição resultante.

Aos operadores verofuncionais estão associadas formas proposicionais fundamentais (negação, conjunção, disjunção, condicional, bicondicional) JD /Out.2014

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Lógica proposicional Exemplos de proposições simples e compostas:  Proposições simples: Mariana estuda lógica Mariana raciocina bem Mariana é convincente  Proposições complexas (compostas) - resultam das conexões lógicas entre proposições simples: 1. Mariana estuda lógica e (Mariana) raciocina bem (conjunção) 2. Mariana raciocina bem ou deixa-se enganar (disjunção) 3. Se Mariana estudar lógica então raciocina bem (condicional) 4. Mariana é convincente se e só se raciocina bem (bicondicional) 5. Se Mariana estudar lógica, então raciocina bem e é convincente (condicional e conjunção)

JD /out.2014

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Formas proposicionais As formas proposicionais fundamentais (negação, conjunção, disjunção, condicional, bicondicional) são identificadas pelos símbolos:

~ ¬ Negação (não, não é verdade que…)

∧

Conjunção (e)

∨

Disjunção (ou)



Condicional ou implicação mat. (se…então)



Bicondicional (se, e só se) JD /Out.2014

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Operadores verofuncionais e formas lógicas Negação ~ ¬ (não, não é verdade que… ¬ P não P, não é o caso de P, a proposição P é falsa) Conjunção ∧ (e) ex.: P ∧ Q (p e q), tanto p quanto q, as proposições p e q são verdadeiras) Disjunção ∨ (ou) ex.: P ∨ Q (p ou q, isto é, entre as proposições p e q pelo menos uma é verdadeira). Há tb. a disjunção exclusiva: ou…ou Ex.: “nestas férias ou vou viajar ou ficar em casa”, uma exclui a outra, esta disjunção só é verdadeira quando uma proposição é v e a outra f e vice-versa, não podem é ser ambas verdadeiras ou ambas falsas ao mesmo tempo).

Condicional ou implicação  se… então, P  Q (se p então q , p implica q ) Bicondicional  se e somente se; P  Q ( p é equivalente a q , p se e só se q) JD /Out.2014

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Lógica proposicional  Variáveis proposicionais - letras do alfabeto, por convenção: P, Q, R, S, etc. que simbolizam e representam as proposições do cálculo.

 Os operadores proposicionais, verofuncionais estabelecem as relações de conexão entre as variáveis proposicionais, são constantes lógicas e levam, também, a designação de conetores lógicos ou conetivas.  Parêntesis são utilizados para definir o âmbito do operador, tal como na matemática. Na proposição ¬ P ∧ Q sem parêntesis apenas se nega P; ao passo que com a expressão ¬ (P ∧ Q) nega-se não apenas P, mas P e Q (lêse: não é verdade que P e Q) JD /Out.2014

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Lógica proposicional Quadro síntese de operadores verofuncionais, conetivas ou conetores lógicos designação

símbolos

exemplos

leitura

Negação

¬

¬P

não p

Conjunção

∧

P∧Q

peq

Disjunção inclusiva

∨

P∨Q

p e/ou q

Disjunção exclusiva

∨∨

P ∨∨ Q

ou p ou q

Condicional



PQ

se p então q p implica q

Bicondicional



PQ

p se e só se q

JD /Out.2014

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Negação – é um operador unário ou monádico porque opera sobre apenas uma proposição. Por ex., obtém-se o enunciado “Não está frio”, tomando como ponto de partida o enunciado “Está frio”. Os restantes operadores são binários porque operam sobre mais do que uma proposição.

Uma negação tem sempre um valor de verdade diferente do da proposição negada. Sendo um operador unário, a sua tabela de verdade é tão só:

2n

Na determinação dos casos possíveis de combinatória dos valores de verdade: a constante 2 indica os dois valores de verdade (V e F) e n, o nº de proposições envolvidas na expressão, neste caso temos 1 proposição, portanto, duas circunstâncias V e F. 21

P

¬P

V

F

F

V

A negação de uma proposição (¬P ) será verdadeira quando a proposição inicial ( P ) for falsa e falsa quando a proposição inicial ( P ) for verdadeira.

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Lógica proposicional

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A conjunção ∧ (e) Considere-se as seguintes proposições: “Está um dia lindo” – P “Vou passear” – Q Se as combinarmos ligando-as pela conjunção teremos uma nova proposição: “Está um dia lindo e vou passear”, representando-se simbolicamente por P ∧ Q. Para se saber se a conjunção P ∧ Q é verdadeira, basta que conheçamos os valores de verdade de P e de Q. Suponhamos que P é falsa (F) e Q é também falsa (F), neste caso P ∧ Q será F; e se P for V e Q for F, a conjunção é também F; numa 3ª possibilidade se P for F e Q for V, a conjunção P ∧ Q continua falsa; resta uma possibilidade ambas as proposições: P e Q serem ambas verdadeiras (V), só neste caso é que P ∧ Q tem valor de verdade V. Temos então a regra que diz: uma conjunção é verdadeira apenas no caso de ambas as conjuntas serem verdadeiras. A conjunção de duas proposições é uma nova proposição (P ∧ Q), que é verdadeira se as proposições atómicas (simples) forem verdadeiras e que é falsa desde que pelo menos uma das proposições atómicas seja falsa. Tomando a fórmula anterior, verificamos que todas a combinações possíveis de valores de verdade para P e Q são quatro (4), ficando a tabela da conjunção que se segue: JD /Out.2014

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Lógica proposicional Tabela de verdade da Conjunção

P

Q

P∧Q

V

V

V

= 4 combinações

V

F

F

possíveis de valores de verdade para P e Q

F

V

F

F

F

F

22

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A disjunção inclusiva (∨ e/ou) As proposições que formam uma disjunção são as disjuntas. O que importa reter sobre esta conectiva lógica é: uma disjunção é falsa no caso de ambas as disjuntas serem falsas, verdadeira nos restantes. Ou, com outra formulação: a disjunção inclusiva de 2 proposições P e Q , é uma nova proposição P ∨ Q que será sempre verdadeira, exceto quando P e Q forem simultaneamente falsas. Pode parecer estranho que quando “P” e “Q” são verdadeiras, P ∨ Q seja verdadeira; tal acontece porque o símbolo ∨ representa precisamente a disjunção inclusiva. Já na disjunção exclusiva, como veremos, esta só é verdadeira quando uma disjunta é verdadeira e a outra é falsa. Veja-se as tabela de verdade: A disjunção exclusiva (VV ou/ou) de 2 proposições P e Q é uma nova proposição PVVQ que é verdadeira quando P e Q têm valores lógicos distintos e falsa quando ambas possuem o mesmo valor. Tabela:

P

Q

P VV Q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

P

Q

P∨Q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

JD /Out.2014

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Lógica proposicional Condicional ou implicação material  Duas proposições “P” e “Q” podem ser relacionadas pelo operador se… então para formar uma proposição condicional, por ex.: “Se chove a relva fica molhada”, representada simbolicamente por P  Q (se P, então Q); em que a proposição P é a chamada antecedente e Q é a chamada consequente.

De acordo com a regra da implicação, só há uma situação, entre as combinatórias de valores de verdade, em que a proposição condicional é falsa, ou seja, quando P (antecedente) é verdadeiro (V) e Q (consequente) é falso (F); nas restantes situações a proposição condicional é verdadeira. A tabela de verdade da implicação resulta: p

Q

PQ

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V JD /Out.2014

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Lógica proposicional Bicondicional  (se e só se) Duas proposições “P” e “Q” podem ser relacionadas pelo operador se e só se para formar uma proposição bicondicional, por ex.: “Se e só se tiveres dezoito anos é que podes votar”, representada simbolicamente por P  Q (se e só se p, então q). De acordo com a regra a proposição bicondicional, é verdadeira (V) se P e Q tiverem o mesmo valor lógico e falsa se tiverem valores lógicos diferentes.

A tabela de verdade da bicondicional resulta:

P

Q

PQ

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V JD /Out.2014

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Tabuada dos valores de verdade das conectivas lógicas

P

Q

P∧Q

P∨Q

P ∨∨ Q

PQ

PQ Negação

V

V

V

V

F

V

V

P

¬Q

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F

F

F

F

F

V

V

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Pontuação (colocação de parêntesis) das proposições complexas Os parêntesis usam-se sempre que é necessário isolar uma conetiva dominante, para se “dar força” (âmbito da conetiva) a uma conetiva de menor dominância.

Ordem decrescente de dominância das conectivas: equivalência, implicação, conjunção, disjunção, e negação.

Dominância máxima (maior âmbito)

Dominância mínima (menor âmbito)

++++++



Equivalência

++++



Implicação

+++

∧

Conjunção

++

∨

Disjunção

+

~

Negação

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Ser dominante significa que a conetiva resiste na expressão, até as outras terem sido avaliadas quanto ao seu valor de verdade. Ou seja, a dominante é a última a ser avaliada.

Exs.: Negação ~ (P ∧ Q  R) Conjunção ~ P ∧ (Q  R) Implicação ~ P ∧ Q  R Exercício: Traduza em linguagem simbólica os seguintes enunciados e saliente a conectiva dominante: Não é verdade que Ana tem saúde e trabalha R: ~ (P ∧ Q) negação Pedro não tem saúde e trabalha R: ~ P ∧ Q conjunção Se Manuel tem saúde e trabalha, então ganha dinheiro R: P ∧ Q  R implicação Rui tem saúde e, se trabalha, então ganha dinheiro R: P ∧ (Q  R) conjunção

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Prof. Joaquim Areias Duarte Outubro de 2014 JD /out.2014