Evaluación para Acceso a la Universidad Convocatoria de 2018 Materia: MATEMÁTICAS II Instrucciones: El estudiante deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opción el estudiante elegirá cuatro ejercicios entre los cinco propuestos. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. Duración de la prueba: 90 minutos.
PROPUESTA A
1A. a) Enuncia el teorema de Bolzano y justifica razonadamente que la gráfica de la función f (x) = x15 + x + 1 corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [-1,1]. (1,5 puntos) b) Calcula razonadamente el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando x recorre toda la recta real. (1 punto) 2A. Calcula razonadamente las siguientes integrales: Z π Z ex a) (x2 − 1) cos x dx b) dx e2x + ex − 2 0
(1,25 puntos por integral)
Nota: En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable ex = t. 3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a ∈ R x + 3y − az = 4 x + ay + z = 2 (1,5 puntos) x + 4y − 5z = 6 b) Resuélvelo razonadamente para el valor a = 2. (1 punto) 4A. Dado el plano α ≡ 4x + 2y + 4z − 15 = 0 y el punto A(2, −3, 1): a) Calcula la distancia del punto A al plano α. (1 punto) b) Calcula razonadamente el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al plano α sea igual que la distancia del punto A al plano α. (1,5 puntos) 5A. a) Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 500 condensadores diarios, con un 3 % de defectuosos, la máquina B produce 700 con un 4 % de defectuosos y la C produce 800 con un 2 % de defectuosos. Al final del dı́a se elige un condensador al azar. a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuoso. (0,75 puntos) a2) Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A. (0,5 puntos) b) Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea X la variable ”Número de múltiplos de tres que pueden salir”. b1) Calcula razonadamente la media y la desviación tı́pica de la variable X. (0,75 puntos) b2) Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de tres. (0,5 puntos)
n 5
HH H
k 0 1 2 3 4 5
p HH H
0,01
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,33
0,35
0,40
0,45
0,49
0,50
0,9510 0,0480 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000
0,7738 0,2036 0,0214 0,0011 0,0000 0,0000
0,5905 0,3281 0,0729 0,0081 0,0005 0,0000
0,4437 0,3915 0,1382 0,0244 0,0022 0,0001
0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003
0,2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0,0010
0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024
0,1317 0,3292 0,3292 0,1646 0,0412 0,0041
0,1160 0,3124 0,3364 0,1811 0,0488 0,0053
0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102
0,0503 0,2059 0,3369 0,2757 0,1128 0,0185
0,0345 0,1657 0,3185 0,3060 0,1470 0,0282
0,0313 0,1563 0,3125 0,3125 0,1563 0,0313
A1.- Solución:
f ( −1) = −1 − 1 + 1 = −1 < 0 a ) f ( x ) = x 15 + x + 1 ⇒ f (1) = 1 + 1 + 1 = 3 > 0 El T. de Bolzano dice que si una función es continua en (a, b) y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) entonces existe, al menos, un punto c ∈ ( a , b ) tal que f(c) = 0 La función f(x) es un polinomio, por tanto continua, y como vemos cumple las demás hipótesis del teorema, luego existe, al menos un punto donde f se anula. Es el punto A, ver gráfica. b) f' (x) = 15x 14 + 1 ⇒ f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ R, luego siempre es creciente y no corta en ningún otro sitio
A2.- Solución: π
π
a) ∫ ( x 2 − 1) cos(x)dx = ( x 2 − 1)sen( x) − ∫ 2xsen( x) =( x 2 − 1)sen( x) − 2(−x cos(x) + ∫ cos(x)dx
[
0
]
0
π
= 2x cos(x) − (− x + 3)sen( x) 0 = 2π cosπ = −6,28 2
Integramospor partes dos veces∫ udv = uv-∫ vdu u = x ⇒ du = dx u = x 2 − 1 ⇒ du = 2xdx dv = cos(x)dx ⇒ v = sen( x) dv = sen( x)dx ⇒ v = − cos(x) ex 1 B 1 dt 1 dt 1 A b) ∫ 2 x dx =∫ 2 dt = ∫ + − ∫ = (ln(e x − 1) − ln(e x − 2)) dt = ∫ x 3 t −1 3 t + 2 3 e +e −2 t +t −2 t −1 t + 2 Cambiode variabley descomposición en fraccionest = e x ⇒ dt = e x dx 1 si t = 1 ⇒ 3A = 1 ⇒ A = 3 A(t + 2) + B(t − 1) = 1 ⇒ 1 si t = −2 ⇒ −3B = 1 ⇒ B = − 3
A3.- Solución: a)La matriz de coeficientes de las incógnitas es de orden 3x3, por eso cuando su determinante sea distinto de 0 su rango será 3 y coincidirá con el rango de la ampliada. Como el número de incógnitas también es 3 tendremos que en ese caso el sistema será compatible determinado 1 3 − a A = 1 a 1 ⇒ A = a 2 − 9a + 14 = ( a − 2)( a − 7) ⇒ A = 0 cuando a = 2 y cuando a = 7 1 4 − 5 O sea que ∀a ≠ 2, 7 el sistema es compatible determinado. 1 3 con determinante distinto de 0 su rango es 2 Cuando a = 2 como A tiene una submatriz 1 2 Ampliamos esta submatriz con la tercera fila y la columna de los términos independientes : 1 3 4 B = 1 2 2 ⇒ B = 12 + 6 + 16 − 8 − 8 − 18 = 0 1 4 6 Por tanto el rango de la ampliada es 2 y el sistema compatible indeterminado para a = 2 1 3 con determinante distinto de 0 luego su rango es 2 Para a = 7, A tiene una submatriz 1 7 Ampliamos esta submatriz con la tercera fila y la columna de los términos independientes : 1 3 4 B = 1 7 2 ⇒ B ≠ 0.Por tanto el rango de la ampliada es 3 y el sistema incompatible. 1 4 6 b)Si a=2 sistema compatible indeterminado la solución depende de un parámetro y es: x + 3y − 2z = 4 Restando 1ª y 2ª x = −2 − 3λ x + 3y = 4 + 2λ Sust. en 2ª ⇒ y = 2 + λ ⇒ ⇒ y = 2 + λ x + 2 y + z = 2 ⇔ x + 2y = 2 - λ x = −2 − 3λ x + 4 y − 5z = 6 z = λ A4.- Solución: La distancia de un punto a un plano nos la da la fórmula: Ap1 + Bp2 + Cp 3 + D d ( P, π ) = donde P(p1,p 2 ,p3 ) y π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 A2 + B 2 + C 2 4 * 2 + 2 * ( −3) + 4 *1 − 15 3 d ( A, π ) = = 2 42 + 2 2 + 4 2 3 de π 2 4 x + 2 y + 4 z − 15 = 9 2 x + y + 2 z = 12 4 x + 2 y + 4 z − 15 3 4 x + 2 y + 4 z − 15 3 = ⇒ = ⇒ y ⇒ y 2 2 2 2 6 2 4 +2 +4 − 4 x − 2 y − 4 z + 15 = 9 2 x + y + z = 3 Es decir dos planos paralelos al dado, uno por cada lado. En uno de ellos está el punto A.Ver figura.
b ) El lugar geométrico son todos los puntos ( x, y , z ) que disten
A5.- Solución:
a1) P( D ) = P[( A ∩ D ) ∪ ( B ∩ D ) ∪ (C ∩ D )] = P( A)· P( D ) + P( B )· P( D ) + P(C )· P( D ) = A B C 500 700 800 15 + 28 + 16 59 ·3% + ·4 % + ·2% = = = 2,95% 2000 2000 2000 2000 2000 500 ·3% P( A Ι D ) 2000 15 A a 2) P ( )= = = = 25,4% D P( D ) 2,95% 59 b) Se trata de una distribución binomial B(n,p) con n=5 y p=2/6=1/3, el 3 y el 6 son los múltiplos de 3. 5 12 10 b1) Nos piden µ = n·p = y σ = n· p·q = 5· · = = 1,29 Usando las fórmulas de la Binomial 3 33 6 5 P( k = 4) = ( 1 )4 ( 2 )1 = 0,0412 (Ver tabla) 3 4 3 b2) Si calculamos la probabilidad de que haya 4 y la probabilidad de que haya 5 y las sumamos nos quedará la probabilidad pedida P( k ≥ 4) = P( k = 4) + P( k = 5) = 0,0412 + 0,0041 = 0,0453.
Evaluación para Acceso a la Universidad Convocatoria de 2018 Materia: MATEMÁTICAS II Instrucciones: El estudiante deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opción el estudiante elegirá cuatro ejercicios entre los cinco propuestos. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. Duración de la prueba: 90 minutos.
PROPUESTA B
1B. a) Prueba que cualquiera que sea la constante a la función f (x) = x3 − 5x2 + 7x + a cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1,3]. (0,75 puntos) b) Calcula razonadamente un punto del intervalo abierto (1,3) cuya existencia asegura el teorema de Rolle. (0,75 puntos) c) Calcula razonadamente los puntos de la gráfica f (x) = x3 − 5x2 + 7x donde la recta tangente tenga la misma pendiente que la recta y = 4x + 2. (1 punto) 2B. Dadas las funciones f (x) = 2x e−x y g(x) = x2 e−x , calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de esas funciones. (2,5 puntos) 3B. a) Encuentra los valores del parámetro a ∈ R para que la siguiente matriz tenga inversa. a−1 1 −1 a−2 1 (1 punto) A= 0 a 0 2 b) Para a = 2 calcula razonadamente A−1 y comprueba el resultado. (1 punto) c) Para a = 0 calcula razonadamente el valor de los determinantes |A−1 | y |2A|. (0,5 puntos) 4B. Dados los vectores ~u = (0, 1, 1), ~v = (1, 1, −1) y w ~ = (2, 0, 3): a) Determina el valor de λ ∈ R tal que el vector ~u − λ~v sea perpendicular a w. ~ (1 punto) b) ¿Son linealmente dependientes los vectores ~u, ~v y w? ~ Razona la respuesta. (0,5 puntos) c) Encuentra razonadamente las ecuaciones implı́citas o cartesianas de la recta que pase por el punto P (2, 0, 2) y que sea perpendicular simultáneamente a los vectores ~u y ~v . (1 punto) 5B. a) El 60 % del censo de una ciudad son mujeres. Las preferencias de las mujeres por los tres partidos que se presentan son: el 30 % vota a A, el 50 % a B y el resto a C; mientras que entre los hombres las preferencia son: el 10 % vota a A, el 60 % a B y el resto a C. Elegida al azar una persona del censo, calcula razonadamente la probabilidad de: a1) Ser hombre y votante de C. (0,75 puntos) a2) Si resultó ser votante de B, que sea mujer. (0,5 puntos) b) Las notas que se han obtenido por 1000 opositores han seguido una distribución normal de media 4,05 y desviación tı́pica 2,5. b1) ¿Cuántos opositores han superado el 5? Razona la respuesta. (0,75 puntos) b2) Si tenemos que adjudicar 330 plazas, calcula razonadamente la nota de corte. (0,5 puntos) a 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554
0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591
0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628
0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664
0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700
0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736
0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772
0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808
0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844
0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879
B1.-Solución: T. de Rolle.- Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y f(a)=f(b) entonces existe al menos un c en (a,b) tal que f’(c)=0 Tenemos que: f(1)=f(3)=3+a y f derivable. Luego se cumplen las condiciones (hipótesis). f ' ( x ) = 0 cuando 7 7 ⇒ x = 1 o x = como ∈ (1 , 3) , es el punto pedido b ) f ' ( x ) = 3 x 2 − 10 x + 7 ⇒ 2 3 3 3 x − 10 x + 7 = 0 1 x = 3 fuera del intervalo La pendiente de y = 4x + 2 es 4 c) ⇒ x = 3 ⇒ y − 3 = 4( x − 3) ⇒ y = 4 x − 9 2 f ' ( x ) = 4 cuando3 x − 10 x + 7 = 4 es la tangente en (3,3) única solución.
B2.-Solución:
Hallamoslos puntosde cortede las gráficasde las funciones: x = 0 2 xe− x = x2e−x ⇒ (2x − x2 )e− x = 0 ⇒ 2x − x2 = 0 ⇒ x = 2 a)
∫
2
0
(2xe− x − x2e− x )dx =
2
−x
∫ (2x − x )e 0
2
dx = − (2x − x2 )e−x + ∫ (2 − 2x)e−x dx =
[
= − (2 x − x2 )e− x − (2 − 2 x)e− x + ∫ 2e− x dx = (2 x − x2 )e− x − (2 − 2 x)e− x + 2e− x
]
2
0
= 4e−2 ≈ 0,54
Integramospor partes dos veces∫ udv = uv-∫ vdu u = 2 x − x2 ⇒ du = (2 − 2 x)dx u = 2 − 2x ⇒ du = −2dx −x −x −x −x dv = e dx ⇒ v = −e dv = e dx ⇒ v = −e B3.-Solución: a) Tendrá inversa cuando su determinante sea distinto de cero 3a 2 − 7a + 4 = 0 1 1 − 1 a −1 −1 a −1 4 A= 0 a−2 1 ⇒ A = 0 a − 2 1 = 3a 2 − 7a + 4 ⇒ a = 3 a Cuando 0 2 0 2 a a = 1 Luego tiene inversa para todos los demás valores de a. 1 t b ) Para a = 2 ⇒ A = 2 y la inversa la calculo por la fórmula A−1 = Aj A 0 − 2 1 0 − 2 1 1 1 − 1 1 0 0 1 1 A−1 = 2 4 − 1 , comprobación 2 4 − 1· 0 0 1 = 0 1 0 2 2 0 0 2 0 2 0 0 1 0 2 0 2 −1 1 A = 4 c ) Para a = 0 ⇒ A = 4 ⇒ 2 A = 23 A = 32
B4.-Solución: ρ ρ ρ u = (0,1,1), v = (1,1,−1), w = ( 2,0,3),
a ) Serán perpendiculares cuando su producto escalar sea 0 ρ ρ ρ (u − λv )·w = 0 ⇒ ( −λ ,1 − λ ,1 + λ )·( 2,0,3) = 0 ⇒ −2λ + 3 + 3λ = 0 ⇒ λ = −3 b) Seran lin. dep. si el determinante formado por los 3 es cero 0 1
1
1 1 - 1 = −2 − 2 − 3 = −7 ≠ 0 ⇒ No son linealmente dependientes. 2 0 3 x-2 0 c) y 1
1 1 = 0 ⇒ −2 x + y − z + 6 = 0 es el plano que contiene a P y de
z - 2 1 -1
ρ ρ vectores directores u y v ⇒ ( −2,1,−1) es un vector perpedicular a este plano, por tanto x = 2 − 2λ director de la recta pedida, que será y = λ Ver figura. z = 2 − λ
B5.-Solución: M= mujer, H= hombre a1) P( H ∩ C ) = P( H )· P(C
) = 40%·30% = 12% H P ( M Ι B ) 30% a 2) P( M ) = = ≈ 56% B P( B ) 54% P( B ) = P ( M Ι B ) + P ( H ∩ B ) = 60%·50% + 40%·60% = 54% x−µ 5 − 4'05 b1) Nos piden P ( x > 5) tipificamos z = ⇒z= = 0,38 σ 2'5 P( z > 0,38) = 1 − P( z ≤ 0,38) = 1 − 0,6480( ver tabla ) = 0.3520 ⇒ 0,352 * 1000 = 352 han superado el 5 x - 4'05 b2) 1000 − 330 = 670, P( z < h ) = 0,670 ⇒ z = 0,44 ver tabla ⇒ = 0,44 ⇒ x = 5,15 2'5