kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija Ispitati osobine i skicirati grafike sljedećih funkcija: 1.

y  x2  4x  5 ;

y  2x2  8

1.

;

2. y   x 2  4 x  5 ; 6. y  4  x 2 ;

3.

7.

y  x2  6x  9 ; y  x2  2x  2

;

4. y   x 2  6 x  9 ; 5.

8. y   x 2  2 x  2 .

y  x2  4x  5

a 1

 

b  4

c  5

b 4 4   2 2a 2 1 2



4ac  b 2 4  1    5    4   20  16  36     9 4a 4 1 4 4 2

1. Domen funkcije (oblast definisanosti funkcije) Df  R

2. Kodomen kvadratne funkcije (oblast vrijednosti funkcije) a 1 0 

funkcija ima minimum

 C f    ,  

pa je

C f    9,   

3. Parnost–neparnost funkcije b  4  0 

funkcija je ni parna ni neparna

4. Nule kvadratne funkcije (presjek sa x–osom) Za traženje nula funkcije izjednačimo su x1 / 2 

x1 

 b  b 2  4ac    4   2a

4  6 10  5 2 2

x2 

N1  5, 0 

y  0  x2  4x  5  0 ,

  4  2  4  1    5 2 1



a rješenja kvadratne jednačine

4  16  20 4  36 4  6    2 2 2

46 2   1 2 2

N 2   1, 0 

5. Presjek sa y–osom x  0  y  0 2  4  0  5  5

P  0,  5

1

6. Ekstremne vrijednosti kvadratne funkcije a 1 0 

funkcija ima minimum u tački sa koordinatama   ,



tj T  2,  9  min

7. Grafik funkcije Grafik funkcije je parabola. Sadrži tačke N1  5, 0  , N 2   1, 0 , simetričan je u odnosu na pravu

x

P  0,  5 , Tmin  2,  9  ;

b 2.

2a

8. Znak funkcije (zavisi od koeficijenta a uz kvadratni član i diskriminante D=b2–4ac) y0

Grafik funkcije se nalazi iznad x–ose

D     ,  1   5,   

y0

Grafik funkcije se nalazi ispod x–ose

D     1, 5

9. Intervali rasta i opadanja (monotonost, tok) kvadratne funkcije

2

Grafik funkcije je simetričan u odnosu na pravu

x

b  2a

i ima minimalnu

vrijednost u tjemenu parabole – tački T(2, –9) funkcija ima minimum –9 x –∞  2 2  +∞ y +∞  –9 –9  +∞

a 1 0

10. Konveksnost–konkavnost funkcije

a=1> 0

–funkcija je konveksna –parabola okrenuta otvorom na gore

2.

y   x2  4x  5

a  1

 

b4

c5

b 4 4   2 2a 2    1 2



4ac  b 2 4    1  5  4 2  20  16  36    9 4a 4    1 4 4

1. Domen funkcije (oblast definisanosti funkcije) Df  R

2. Kodomen kvadratne funkcije (oblast vrijednosti funkcije) a  1  0 

funkcija ima maksimum

 C f    ,  

pa je

C f    , 9 

3. Parnost–neparnost funkcije b40 

funkcija je ni parna ni neparna

4. Nule kvadratne funkcije (presjek sa x–osom) Za traženje nula funkcije izjednačimo su x1/ 2 

x1 

y  0   x2  4x  5  0 ,

a rješenja kvadratne jednačine

 b  b 2  4ac  4  4 2  4    1  5  4  16  20  4  36  4  6     2a 2    1 2 2 2

46 2   1 2 2

N1   1, 0 

x2 

 4  6  10  5 2 2

N 2  5, 0  3

5. Presjek sa y–osom x  0  y  02  4  0  5  5

P  0, 5

6. Ekstremne vrijednosti kvadratne funkcije a 1 0 

funkcija ima minimum u tački sa koordinatama   ,



tj

Tmax  2, 9 

7. Grafik funkcije Grafik funkcije je parabola. Sadrži tačke N1   1, 0  , N 2  5, 0  , simetričan je u odnosu na pravu

x

P  0, 5 ,

Tmax  2, 9  ;

b 2.

2a

8. Znak funkcije (zavisi od koeficijenta a uz kvadratni član i diskriminante D=b2–4ac) y0

Grafik funkcije se nalazi iznad x–ose

D     1, 5

y0

Grafik funkcije se nalazi ispod x–ose

D     ,  1   5,   

9. Intervali rasta i opadanja (monotonost, tok) kvadratne funkcije 4

Grafik funkcije je simetričan u odnosu na pravu

x

b  2a

i ima maksimalnu

vrijednost u tjemenu parabole – tački T(2, 9) funkcija ima minimum 9 x –∞  2 2  +∞ y –∞  9 9 –∞

a 1 0

10. Konveksnost–konkavnost funkcije

a= –1< 0

–funkcija je konkavna –parabola okrenuta otvorom na dolje

3.

y  x2  6x  9

b  6

a 1

 

b 6 6   3 2a 2 1 2

c9



4ac  b 2 4 1  9    6  36  36 0    0 4a 4 1 4 4 2

1. Domen funkcije (oblast definisanosti funkcije) Df  R

2. Kodomen kvadratne funkcije (oblast vrijednosti funkcije) a 1 0 

funkcija ima minimum

 C f    ,  

pa je

C f   0,   

3. Parnost–neparnost funkcije b  6  0 

funkcija je ni parna ni neparna

4. Nule kvadratne funkcije (presjek sa x–osom) Za traženje nula funkcije izjednačimo su x1/ 2 

 b  b 2  4ac    6   2a

y  0  x2  4x  5  0 ,

  6 2  4 1  9

Funkcija ima samo jednu nulu

2 1



a rješenja kvadratne jednačine

6 0 60 6   3 2 2 2

N  3, 0 

5

5. Presjek sa y–osom

x  0  y  02  6  0  9  9

P 0, 9 

6. Ekstremne vrijednosti kvadratne funkcije a 1 0 

funkcija ima minimum u tački sa koordinatama   ,



tj T  3, 0  min

7. Grafik funkcije Grafik funkcije je parabola. Sadrži tačke odnosu na pravu

x

N  3, 0  , P 0, 9 

,

Tmin  3, 0  ; simetričan je u

b  3.

2a

8. Znak funkcije (zavisi od koeficijenta a uz kvadratni član i diskriminante D=b2–4ac) y0

Grafik funkcije se nalazi iznad x–ose

D     , 3   3   

y0

Grafik funkcije se nalazi ispod x–ose

D  

9. Intervali rasta i opadanja (monotonost, tok) kvadratne funkcije

6

Grafik funkcije je simetričan u odnosu na pravu

x

b 3 2a

i ima minimalnu

vrijednost u tjemenu parabole – tački T(3, 0) a 1 0

funkcija ima minimum 0 x –∞  3 3  +∞ y +∞  0 0  +∞

10. Konveksnost–konkavnost funkcije

a=1> 0

–funkcija je konveksna –parabola okrenuta otvorom na gore

**************** moguće štamparske greške ***************

7