Libro de concreto estructural presforzado tomo ii [ing basilio j curbelo] civilgeeks com

CONCRETO ESTRUCTURAL TOMO II APLICANDO: Concreto Estructural del Reglamento Colombiano de Construcci贸n Sismo-Resistente NSR-10

CONCRETO ESTRUCTURAL PRESFORZADO

Ing. BASILIO J. CURBELO

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TOMO II CONCRETO ESTRUCTURAL PRESFORZADO BASILIO J. CURBELO ES INGENIERO CIVIL, GRADUADO EN LA UNIVERSIDAD DE LA HABANA, CUBA. TIENE 30 AÑOS DE EXPERIENCIA EN DISEÑO DE PROYECTOS CIVILES DE CENTRALES TERMOELÉCTRICAS, HIDROELÉCTRICAS Y LÍNEAS DE TRANSMISIÓN ELÉCTRICAS EX-VICEPRESIDENTE DEL COMITÉ DE NORMALIZACIÓN DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL DE CUBA (CONCE) Y EX-PRESIDENTE DEL COMITÉ DE CONCRETO ESTRUCTURAL DEL CONCE. MÁSTER EN CIENCIAS - INGENIERÍA CIVIL (AMSTEAD UNIVERSITY) (no acreditada) DOCTOR EN CIENCIAS - INGENIERÍA CIVIL (ASHWOOD UNIVERSITY) (no acreditada)

A todos los que han contribuido al conocimiento de este maravilloso material República de Colombia Departamento del Quindío Ciudad Armenia Año 2015

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CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS I.1 INTRODUCCIÓN La información del Reglamento ha sido tomado del Diario Oficial de Colombia No. 47663 del 26 de marzo de 2010, decreto 926 de 2010 y de la modificación de ese decreto, con el decreto 092 de 17 de enero de 2011 del Ministerio de Ambiente, Vivienda y Desarrollo Ambiental.

Como ya conocemos, el concreto es resistente a los esfuerzos de compresión, pero muy débil a los esfuerzos de tracción. Debido a lo anterior, cuando un elemento es sometido a flexión o a tracción, se producen grietas a valores muy bajos de los esfuerzos de tracción y a fin de evitar esas grietas, al elemento se le impone una fuerza de compresión longitudinal antes de ser sometida a las cargas de servicio, la cual se le denomina fuerza de presfuerzo, I.2 MÉTODOS DE PRESFORZADO Los métodos de PRESFORZADO son los siguientes: a) Concreto Pretensado En este método, los cables o alambres, colocados en el encofrado son traccionados en los anclajes y posteriormente se vacía el concreto alrededor de los cables. Cuando el concreto ha adquirido la resistencia necesaria, se liberan los cables de sus anclajes y por adherencia, se transfiere al concreto la fuerza previamente introducida a los cables.

Este método se utiliza ampliamente en las plantas de prefabricado, ya que varios elementos pueden ser construidos con los mismos cables Bloque de anclaje Elementos pretensados

Cables de presfuerzo b) Concreto Postensado En este método la fuerza de tracción es aplicada cuando el concreto tiene la resistencia requerida Los cables son colocados en conductos o vainas y después de cortados los cables, estos conductos son inyectados con pasta de cemento.

Este método tiene la ventaja de que los cables pueden ser curvos I.3 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUCTURAL CON REFUERZO PRESFORZADO, ANTES Y DESPUÉS DE APLICAR LAS CARGAS EXTERIORES. Los elementos PRESFORZADOS son sometidos a varios estados de esfuerzos durante su fabricación y al aplicárseles las cargas exteriores.

La secuencia de esos estados vamos a mostrarlos someramente en las siguientes figuras, considerando elementos pretensados con refuerzo asimétrico FLEXIÓN SIMPLE Antes de Aplicárseles las Cargas Exteriores

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ESTADO 1 Las armaduras son tendidas en el molde. Los esfuerzos en las armaduras son iguales a cero Aps’ fpi´ = 0

Aps fpi = 0 fpi y fpi´ – esfuerzo de tensión inicial en la parte inferior y superior respectivamente

ESTADO 2 Se tensiona las armaduras hasta la tensión inicial permisible fpi y fpi´, fpi´

fpi

ESTADO 3 El concreto es vaciado y curado

Mientras el concreto es vaciado y curado ocurren las pérdidas de relajamiento inicial del refuerzo de PRESFORZADO

ESTADO 4 Después que el concreto alcanza la resistencia requerida, la armadura es liberada de los topes, lo cual comprime el concreto Como las armaduras en este ejemplo son asimétricas Aps > Aps’, la compresión excéntrica arquea el elemento si el peso propio del mismo no lo impide (no hemos considerado el peso propio de la viga).

En este Estado se producen todas las pérdidas instantáneas

P1’

fsup = [(P1 + P1’)] /Ac – [(P1’ + P1’) e / St] PI’ P1

P1 finf = [(P1 + P1’) /Ac] + [(P1 + P1’) e / Sb] P1 = Pi - AC - (F) - (ES) - ΔRi P1’ = Pi’ - P1’ (∆AC) - (F) - (ES) AC - Pérdida por corrimiento del anclaje F – Pérdida por fricción en los tendones en el concreto postensado ES – Pérdida por acortamiento elástico del concreto ΔRi – Pérdida por relajamiento instantáneo del tendón e – excentricidad producidas por PI y PI’

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ESTADO 5 Al pasar el tiempo, se producen las pérdidas (Pérdidas Diferidas) que son las de retracción del fraguado del concreto ΔSH, del flujo plástico (fluencia) del concreto ΔCR y el relajamiento diferido del tendón de la armadura ΔRi En este caso se ha considerado que la viga se colocará en la estructura después que han ocurrido todas las pérdidas diferidas Pe’ = Pi’ -  P’ Pe = Pi -  P Los Estados del 1 al 5, son los Estados de Fabricación fsup1 = [(Pe´ + Pe) /Ac] – [(Pe´ + Pe) e / St]

finf1 = [(Pe + Pe’) /Ac] + [(Pe + Pe’) e / Sb]

Con Elementos Postensados, la secuencia es muy parecida, con la siguiente diferencia: -Una parte de la retracción se produce antes de aplicar el esfuerzo fpi -Las pérdidas instantáneas se producen en el Estado 2

Después de Aplicárseles las Cargas Exteriores Cuando se aplica el peso propio de la viga (MD)

ESTADO 6 fsup2 = fsup1 + (MD / St) P

P P

P finf2 = fsup1 – (MD / Sb)

Al aplicar el peso propio, el esfuerzo en la fibra superior aumenta y en la fibra inferior disminuye

ESTADO 7 Cuando se aplica las cargas permanentes (MSD) fsup3 = fsup2 + MSD / St

finf3 = finf2 – MSD / Sb El esfuerzo en la fibra superior sigue aumentando y en la inferior disminuyendo, se ha considerado que el esfuerzo fcp > 0

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ESTADO 8 Cuando se comienza a aplicar las cargas de utilización (carga viva ML), los esfuerzos en la fibra superior siguen aumentando y en la inferior disminuyendo, o sea: fsup4 = fsup3 + ML / St

finf4 = finf3 – ML / Sb Este es el fin de la Etapa 1 del Estado Esfuerzo-Deformación en la Flexión

ESTADO 9 Al aumentar las cargas, las grietas aparecen en la zona en tracción del concreto, comenzando la Fase II. 0.45 fc’ fps’ Aps’ fps Aps

ESTADO 10 0.85 fc’ fps´ Ap´

fps Aps Si se siguen aumentando las cargas, el esfuerzo en la armadura Aps, alcanza el valor de su resistencia de cálculo fps, alcanzándose la Fase III (Estado Ultimo de Agotamiento). La armadura Aps’, en la zona de compresión, se deforma con el concreto que la rodea y su esfuerzo disminuye. El esfuerzo en la armadura Aps’ de la zona comprimida debe obtenerse por medio de la compatibilidad de las deformaciones NOTA: Cuando el elemento está reforzado, además, con armadura no presforzada, en el instante de aplicar el esfuerzo fpi en la armadura de PRESFORZADO, el esfuerzo de la armadura no presforzada es igual en magnitud a las pérdidas debido a la retracción del concreto. Cuando se aplican las cargas exteriores, el esfuerzo será igual al valor de las pérdidas debido a la retracción, fluencia y acortamiento elástico del concreto FLEXO-COMPRESIÓN Los ESTADOS 1 al 5, son los mismos que para FLEXIÓN .

La secuencia de esos estados vamos a mostrarlos en las siguientes figuras, considerando elementos PRESFORZADOS con refuerzo asimétrico Antes de Aplicárseles las Cargas

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ESTADO 1 Las armaduras son tendidas en el molde. Los esfuerzos en las armaduras son iguales a cero Aps’ fpi´ = 0

Aps fpi = 0 fpi y fpi – esfuerzo de tensión inicial en la parte inferior y superior respectivamente ESTADO 2 Se tensiona las armaduras hasta la tensión inicial permisible fpi y fpi, (normalmente son iguales) fpi´

fpi ESTADO 3 El concreto es vaciado y curado

Mientras el concreto es vaciado y curado ocurren las pérdidas de deformación del anclaje y relajamiento puro del refuerzo de PRESFORZADO

ESTADO 4 Después que el concreto alcanza la resistencia requerida, la armadura es liberada de los topes, lo cual comprime el concreto Como las armaduras en este ejemplo son asimétricas Aps > Aps’, la compresión excéntrica arquea el elemento, si el peso propio del mismo no lo impide (no hemos considerado el peso propio de la viga).

En este Estado se producen todas las pérdidas instantáneas fsup = [(P1 + P1’)] /Ac – [(P1’ + P1’) e/ St] P1’ PI’

P1 P1 finf= [(P1 + P1’) /Ac] + [(P1 + P1’) e / Sb] P1 = Pi - AC - (F) - (ES) - ΔRi P1’ = Pi’ - P1’ (∆AC) - (F) - (ES) AC - Pérdida por corrimiento del anclaje F – Pérdida por fricción en los tendones en el concreto postensado ES – Pérdida por acortamiento elástico del concreto ΔRi – Pérdida por relajamiento instantáneo del tendón e – excentricidad producidas por PI y PI’

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ESTADO 5 Al pasar el tiempo, se producen las pérdidas (Pérdidas Diferidas) que son las de retracción del fraguado del concreto ΔSH, del flujo plástico (fluencia) del concreto ΔCR y el relajamiento diferido del tendón de la armadura ΔRi En este caso se ha considerado que la viga se colocará en la estructura después que han ocurrido todas las pérdidas diferidas Pe’ = Pi’ -  P’ Pe = Pi -  P Los Estados del 1 al 5, son los Estados de Fabricación fsup1 = [(Pe’ + P) /Ac] – [(Pe’ + P) e /St]

finf1 = [(Pe + Pe’) /Ac] + [(Pe + Pe’) e /Sb] Con Elementos Postensados, la secuencia es muy parecida, con la siguiente diferencia: -Una parte de la retracción se produce antes de aplicar el esfuerzo fpi -Las pérdidas instantáneas se producen en el Estado 2 Después de Aplicárseles las Cargas Hay una etapa que se produce donde el elemento trabaja a flexión solamente, que es en el izaje y actúa solamente el peso propio Cuando se aplica el peso del elemento MD

P

ESTADO 6

fsup2 = fsup1 + (MD / St) P

P

P

finf2 = finf1 – (MD / Sb) Al aplicar el peso propio, el esfuerzo en la fibra superior aumenta y en la fibra inferior disminuye Posteriormente el elemento se coloca en el cimiento y actúa el peso propio como carga de compresión que la consideraremos en el ESTADO 7, cargas permanentes (muertas) ESTADO 7 Cuando se aplica las cargas permanentes (muertas) MSD fsup3 = fsup2 + Pcp / Ac + MSD / St

Pcp

Pcp

fSb3 = finf2 + Pcp / Ac - MSD / Sb Pcp- carga de compresión de la carga permanente, se ha considerado que las cargas de compresión de las cargas permanentes no son axiales, o sea, que no actúan en el centro de gravedad de la sección, si es céntrica no se debe sumar ± MSD / Sb El esfuerzo en la fibra superior sigue aumentando y en la inferior disminuyendo, se ha considerado que el esfuerzo fcp > 0

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ESTADO 8 Cuando se comienza a aplicar las cargas de utilización, los esfuerzos en la fibra superior siguen aumentando y en la inferior disminuyendo, o sea: fsup4= fsup3 + ML / St

finf4 = finf3 – ML / Sb Este es el fin de la Etapa 1 del Estado Esfuerzo-Deformación en la Flexo - Compresión ESTADO 9 Al aumentar las cargas, las grietas aparecen en la zona en tracción del concreto, comenzando la Fase II. 0.45 fc’ fps’ APs’ fps Aps En el Estado de Agotamiento ESTADO 10 0.85 fc’ fps´ Aps’ Pu

fps Aps Si se siguen aumentando las cargas, el esfuerzo en la armadura Aps, alcanza el valor de su resistencia de cálculo fps, alcanzándose la Fase III (Estado Ultimo de Agotamiento). La armadura Aps’, en la zona de compresión, se deforma con el concreto que la rodea y su esfuerzo disminuye. El esfuerzo en la armadura Aps’ de la zona comprimida debe obtenerse por medio de la compatibilidad de las deformaciones NOTA: Cuando el elemento está reforzado, además, con armadura ordinaria, en el instante de aplicar el esfuerzo fpi en la armadura de PRESFORZADO, el esfuerzo de la armadura ordinaria es igual en magnitud a las pérdidas debido a la retracción del concreto. Cuando se aplican las cargas exteriores, el esfuerzo será igual al valor de las pérdidas debido a la retracción, fluencia y acortamiento elástico del concreto

I.4. COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DEL PRESFUERZO a) Considerando un elemento rectangular, al cual se le aplica una fuerza (P) en el centroide de la sección como se muestra en la Figura I.4a

P

P

-

f = - P / Ac

Elemento sometido a una fuerza axial Figura I.4a El esfuerzo en la sección es f = - P / Ac I.4.1 Ac- área de la sección El signo menos (-) indica compresión y el signo más (+) tracción

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b) Si el peso propio es adicionado a la viga, los esfuerzos son el indicado en la siguiente Figura I.4.b

P

P

-

+

=

-

Elemento sometido a una fuerza axial P /Ac M c / I p =- P/Ac ± M c/Ig Figura I.4b M momento producido por la carga externa c = h / 2, para sección rectangular Ig – momento de inercia de la sección (Ig = b h / 12) sección h- altura de la sección rectangular Como la sección está a compresión no se producen grietas en el concreto c) Si la carga (P), es aplicada con una excentricidad (e) e -

+

-

P P Elemento sometido a una fuerza axial excéntrica

- P / Ac

P e c / Ig f = -P/Ac ± P e c/ Ig

d) Carga (P) excéntrica y peso propio de la viga -P/Ac + P e c / Ig e -

+

-

P P Elemento sometido a una fuerza axial excéntrica -P/Ac – P e c / Ig

fc

M c / Ig f = -P/Ac ± P e c/ Ig ± M c / Ig Si el esfuerzo en alguna fibra en el concreto es menor a la resistencia del concreto a tracción no se producen grietas Las fórmulas anteriores puede ser modificadas considerando γ = Pe / Pi Pe – fuerza efectiva del presfuerzo (después de considerar todas las pérdidas) Pi – fuerza inicial del presfuerzo (antes de considerar las pérdidas) γ – factor residual del presfuerzo r² = Ig / Ac r- radio de giro de la sección a) Fuerza de presfuerzo inicial solamente esfuerzo en la fibra superior del elemento fsup = - Pi / Ac (1 – e cs/ r²) I.4a esfuerzo en la fibra inferior del elemento finf = - Pi / Ac (1 + e ci/ r²) I.4b cs – distancia desde la fibra superior al centro de gravedad de la sección ci – distancia desde la fibra inferior del elemento al centro de gravedad de la sección b) Fuerza del presfuerzo inicial más peso propio esfuerzo en la fibra superior del elemento fsup = - Pi / Ac (1 – e cs/ r²) – MD / St I.4c esfuerzo en la fibra inferior del elemento finf = - Pi / Ac (1 + e ci/ r²) + MD / Sb I.4d MD – momento producido por el peso propio de la viga St- módulo de la sección superior

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Sb – módulo de la sección inferior c) Fuerza del presfuerzo efectiva, más peso propio, más cargas muertas impuestas, más cargas vivas incluyendo impacto y cargas de sismo o viento El momento total Mt es: Mt = MD + MSD + ML I.4e MSD – momento producido por las cargas muertas impuestas ML – momento producido por la carga viva incluyendo impacto y carga de sismo o viento Las ecuaciones I.4c y I4d, se convierten en: esfuerzo en la fibra superior del elemento fsup = - Pe/ Ac (1 – e cs/ r²) - Mt / St I.4f esfuerzo en la fibra inferior del elemento finf = - Pe / Ac (1 + e ci/ r²) + Mt/Sb I.4g I.5 EJEMPLO DEL CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS EN LAS FIBRAS EXTREMAS EN UNA VIGA PRESFORZADA Una viga presforzada simplemente apoyada, sometida a una carga muerta y carga viva de 0.026 MN/m La viga tiene 20.0 m de luz libre Calcule los esfuerzos en las fibras extremas en el centro de la luz a) La fuerza inicial sin carga externa de gravedad b) La condición de la carga de servicio cuando las pérdidas han tenido lugar 0.30 m

1.20 m

Cable de 7 hilos  12 DATOS: fc’ = 35 MPa fci’= 28.0 MPa (resistencia del concreto en el momento de la tensión inicial) fci = 0.6 fc´= 16.8 MPa (esfuerzo máximo permisible en el concreto en el momento de tensión inicial) fc = 15.75 MPa (esfuerzo máximo del concreto en servicio ft en la transferencia = 2.95 MPa ft en vida útil = + 3.28 MPa Ec = 34000 MPa Ecr =28900 MPa ft = + 4.31 MPa Los valores de la resistencia del concreto anteriores sin signos son de compresión Eci = 32270 MPa Ecri = 27430 MPa Refuerzo de pretensado Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa fpe = 916 MPa

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Tensión inicial fpi= 1155 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa Sc = 0.1363 m^3 Ac = 0.23 m^2 La distancia del centro de gravedad de la sección hasta el borde inferior y superior: s = 0.6 m Momento de inercia de la sección = 0.038 m^4 La fuerza inicial total es: Pi = 12 x 1155 x 9.06 x 10^ (-5) = 1.2256 MN El punto de aplicación en el centro de la luz es: ec = 0.312 m En el extremo ee = 0 Solución a) Condición inicial Pi = 1.2256 MN Pe = 0.9723 MN Ig = 0.08178 m^4 r² = 0.355 m² El momento del peso propio en el centro de la luz: MD = WD l² / 8 = 0.276 MN-m Sustituyendo valores esfuerzo en la fibra superior del elemento fsup = - (Pi / Ac) (1 – e cs/ r²) – MD / St I.4c fsup = -4.60 MPa Compresión esfuerzo en la fibra inferior del elemento finf = - Pi / Ac (1 + e ci/ r²) + MD / Sb I.4d finf = - Pi / Ac (1 + e ci/ r²) + MD / Sb I.4d finf = -6.31 MPa Compresión Como el esfuerzo permisible inicial es fci = 16.8 MPa. Se cumple b) Condición final a la carga de servicio Mt = MD +MSD + ML = 1.326 MN-m esfuerzo en la fibra superior del elemento fsup = - Pe/ Ac (1 –e cs/ r²) - Mt / St I.4f fsup = -12.17 MPa fc = 15.75 MPa > fsup Se cumple esfuerzo en la fibra inferior del elemento finf = - Pe / Ac (1 + e ci / r²) + Mt /Sb I.4g finf = +1.258 MPa Tracción ft = + 3.28 MPa > finf Se cumple No se producen grietas en el elemento I.6 PROBLEMAS PROPUESTOS I.6.1 Solucionar el ejemplo I.5, con una carga muerta impuesta y carga viva de 0.02 MN/ m

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CAPÍTULO II MATERIALES II.1 CONCRETO En el Tomo I, hemos estudiado lo referente al concreto II.2 REFUERZO NO PRESFORZADO En el Tomo I, hemos estudiado lo referente al refuerzo no PRESFORZADO II.3 REFUERZO PRESFORZADO Los alambres, los torones y las barras para refuerzo PRESFORZADO, deben cumplir con una de las siguientes Normas NTC 159 (ASTM A421) , NTC 20110 (ASTM A416) y NTC 2142 (ASTM A722), Los alambres, torones y barras no incluidas específicamente en las Normas NTC 159 (ASTM A421), NTC 2010 (ASTM A416) y NTC 2142 (ASTM A722), pueden utilizarse siempre que cumplan con los requisitos mínimos de estas Normas y no tengan propiedades que los hagan menos satisfactorios que aquellos incluidos en las Normas mencionados anteriormente El acero de PRESFORZADO se caracteriza por poseer un elevado límite elástico sin escalón de fluencia y muy elevada resistencia a la rotura.

Los aceros de PRESFORZADO se pueden clasificar según diversos criterios, entre los cuales están los siguientes: -Según su superficie: .Lisa .Con irregularidades periódicas -Según su sección: .Redondas .Ovaladas -Según el tipo de tratamiento: .Térmicos .Patentados .Templados y revenidos .Mecánicos .Trefilados .Laminados .Traccionados -Según el género del producto .Alambre: sección maciza que se recibe o puede recibirse enrollado .Barra: sección maciza, que se recibe recta .Torón: Grupo de alambres enrollados en hélice alrededor de un eje longitudinal común y se puede materializar por un alambre recto .Cable: Grupo de alambres o torones cuyos elementos pueden tensarse simultánea o individualmente Los alambres como unidades básicas presentan el inconveniente de poseer baja adherencia por ser lisos por lo que ésta se puede aumentar notablemente mediante estrías o abolladuras en la superficie de los mismos.

Su composición química oscila entre los siguientes límites: .Carbono: de 0.40 a 0.80 % .Manganeso: de 0.40 a 0.70 % .Silicio: de 0.06 a 0.10 % .Indicios de fósforo y azufre Estos aceros se caracterizan por: .Su carga de rotura y el alargamiento bajo carga de rotura máxima. .La carga correspondiente al límite elástico convencional, para una deformación remanente del 0.2 % .Su diagrama esfuerzo-deformación relativo.

La fabricación de los aceros se diferencia por el tratamiento que se aplica a la barra o alambre después de salir del tren de laminación, pudiéndose señalar como los más significativos los siguientes: -Laminados no tratados

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En general los laminados no tratados se suministran en diámetros superiores a 5 mm (1/4’’); su límite elástico y su resistencia a la rotura son menores que las de las restantes clases, variando entre 850 a 1000 MPa (120870 psi a 142200 psi) la rotura y entre 600 MPa a 800 MPa (85320 psi a 113760 psi) en el límite elástico. Este es menos interesante de todos los aceros, pues presentan elevada pérdida por relajamiento y presentan deformaciones en su sección que los hace presentar inconvenientes en los aparatos de tesados.

-Aceros trefilados.

Otro tipo de acero es el conocido como trefilado, que se obtiene de aceros con contenido de carbono del orden de 0.4 a 0.5 %. Su elevada resistencia tiene la misma fundamentación que la de los aceros estirados en frío al igual que su forma de fabricación (trefilado y envejecimiento).

Se suministran en varillas de pequeño diámetro, entre 2 a 7 mm; su resistencia a rotura y su límite elástico son más elevados cuanto menores son su diámetro, pudiéndose obtener resistencia a la rotura del orden de los 2200 MPa (312840 psi) y límite elástico convencional de 1800 MPa (255960 psi), los de mayor diámetro tienen valores de 1400 MPa (199080 psi) y 1100 MPa (156420 psi) respectivamente. Su alargamiento de rotura es de 9 % al 10 %.

Las deformaciones en su sección son pequeñas, lo que lo hace muy adecuado para su uso en aparatos de tesado.

-Laminados tratados.

Estos aceros por lo general tienen un alto contenido de carbono que oscila entre 0.6 a 0.8 %, lo que lo hace de una dureza muy elevada y muy baja plasticidad. Su tratamiento se logra mediante templado y poste- rior revenido.

Por laminación, se obtienen alambres que son trefilados hasta un diámetro un poco mayor, éste se calienta hasta alcanzar 900 grados centígrados y se sumerge en un baño de plomo a unos 400 grados, enfriándose en el aire a la salida del baño. Con esto se logra elevar su límite entre un 40 a 50 % y una resistencia a la rotura en un 25 a 30%.

En la actualidad existen alambres, cuyos diámetros comerciales están entre 5 y 7 mm, resistencia a la rotura del orden de los 1500 MPa (213300 psi) y límite elástico convencional de 1250 MPa (177750 psi).

Adicionándoles algunos elementos podrían elevar su límite elástico y resistencia de rotura, una adición de 1.5 % de manganeso y un adecuado tratamiento térmico permite obtener resistencia a la rotura del orden de los 1700 MPa (241740 psi) y límite de fluencia de los 1500 MPa (213300 psi) Estos aceros presentan un alargamiento de rotura del orden del 10 % Referencia 3

SISTEMAS DE ANCLAJES Los sistemas de anclajes del presfuerzo se agrupan en los siguientes tipos -Anclajes mediante cuñas -Anclajes mediante rosca -Anclaje mediante cabezas recalcadas -Anclajes mediante bloques de concreto -Anclajes mediante apriete transversal ANCLAJES Y CONECTORES PARA POSTENSADO Los anclajes y conectores para tendones adheridos y no adheridos deben desarrollar al menos de 95 % de fpu Cuando se ensayen bajo condiciones de no adheridos sin que excedan la deformación prevista. Para los tendones adheridos, los anclajes y conectores deben ser colocados de manera que fpu se desarrolle al 100% en las secciones críticas, después que el acero de presfuerzo esté adherido al elemento

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Los conectores deben colocarse en las zonas aprobadas por el profesional facultado para diseñar y ser alojados en cajas lo suficientemente largas como para permitir los movimientos necesarios En el caso de elementos no adheridos sometidos a cargas repetitivas, debe prestarse atención especial a la posibilidad de fatigas en los anclajes y conectores Los anclajes, conectores y dispositivos auxiliares de anclaje deben estar protegidos permanentemente contra la corrosión A continuación se muestra el diagrama esquemático esfuerzo-deformación de un cable 7 alambre 270K 1860 1720 1520 fp

965

480

0.01

0.02

0.03 εp

0.04

0.005

MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL ACERO DE REFUERZO Para el acero de presfuerzo, debe determinarse por ensayo o puede utilizarse el suministrado por el fabricante Las operaciones de soladura o calentamiento en las proximidades de los tendones de presfuerzo deben realizarse de manera tal que el acero de presfuerzo no quede expuesto a temperaturas excesivas, chispas de soldadura o descargas eléctricas II.4 DUCTOS Y MORTERO DE INYECCIÓN II.4.1 Ductos para postensado Los ductos para tendones que se inyectan con mortero de inyección deben ser impermeables al mortero y no reactivos con el concreto, acero de presforzado, mortero de inyección e inhibidores de la corrosión Los ductos para tendones inyectados de un solo alambre o torones de una barra deben tener un diámetro interior al menos 6 mm mayor que el diámetro del acero de presforzado Los ductos para alambres, torones o barras múltiples agrupados que se vayan a inyectar deben tener un área transversal interior lo menos igual a dos veces el área transversal del acero de presforzado Los ductos deben mantenerse libres de agua empozada si los elementos que van a inyectarse con mortero de inyección quedan expuestos a temperaturas bajo el punto de congelación antes de la inyección del mortero de inyección II.4.2 Mortero de inyección para tendones adheridos El mortero de inyección debe consistir de cemento Portland y agua o en cemento Portland, arena y agua Los materiales para mortero de inyección deben cumplir lo siguiente: El cemento Portland y el agua debe cumplir los requisitos indicado en el Tomo I, sobre cemento Portland y agua

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Si se utiliza arena deben cumplir con los requisitos de ASTM C144, excepto que se permita modificar la granulometría conforme sea necesario para lograr una trabajabilidad satisfactoria Se permite la utilización de aditivos que cumplan lo especificado en el Tomo I de los cuales se conozca que no producen efectos perjudiciales en el mortero de inyección. No debe emplearse cloruro de calcio II:4.3 Mezclado y bombeo del mortero de inyección El mortero de inyección debe mezclarse en un equipo capaz de efectuar el mezclado y agitación mecánica continua que produzca una distribución uniforme de los materiales, debe tamizarse y bombearlo de tal manera que se llenen por completo los ductos La temperatura de los elementos de inyección de mortero de inyección debe estar por encima de 2° C y debe mantenerse por encima de esta temperatura hasta que los cubos de 50 mm fabricados con el mismo mortero de inyección y curados en la obra logren una resistencia mínima a la compresión de 5.5 MPa La temperatura del mortero de inyección no debe ser superior de 32° C durante el mezclado y el bombeo

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CAPÍTULO III MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE Estado Límite es aquel estado que provoca en una estructura o parte de ella, una condición o situación particular en la que no puede cumplir con la función a que se destinaba, o sea, pierde su aptitud para el uso especificado.

Estos Estados Límites pueden ser por agotamiento resistente, por deformación excesiva, por posible daño o deterioro de los materiales que constituyen la estructura, etc. En la práctica se clasifican en dos grandes grupos, que son: -Estado Límite de Funcionamiento o Servicio, que corresponde a los criterios que gobiernan el uso normal y la durabilidad. También llamado Estado Limite de Utilización.

-Estado Límite de Resistencia que corresponde a la máxima capacidad portante 1. ESTADO LÍMITE DE FUNCIONAMIENTO Es función de criterios de utilización normal o durabilidad, es decir, son aquellos que sin haber agotado la capacidad resistente la estructura deja de ser útil al no cumplir con la función para la cual se destina por: -Deformación o deflexiones excesivas para el uso normal de la estructura -Fisuración prematura o excesiva -Por desplazamiento excesivos aunque no implique perdidas de equilibrio -Por daños locales como la corrosión y el ataque al Concreto producido por ambientes salinos o que contienen sulfatos -Por vibraciones excesivas producidas por elementos móviles, o cargas cíclicas que causan efectos de fatiga -Por daño local evitable a través de la disposición de juntas de expansión y de control, y la disposición adecuada del refuerzo y del presfuerzo o -Por fuego Entre los Estados Límite de Utilización que analizaremos están: .Estado Límite de Deformación .Estado Límite de Fisuración 2. ESTADO LÍMITE DE RESISTENCIA Se puede llegar al estado límite de resistencia, entre otros, debido a: -Que la resistencia de diseño, afectada por los Coeficientes de Reducción de Resistencia,  apropiados sea menor que las fuerzas mayoradas -Que se presenten perdidas de la estructura en conjunto o en algunas de sus partes -Por la rotura de secciones críticas de la estructura -Por transformación de la estructura en mecanismo -Por inestabilidad que lleve a cambios geométricos incompatibles con las hipótesis iniciales de análisis, y -Por falta de integridad estructural, debida a ausencia de amarres adecuados entre los diferentes elementos que conforman la estructura Entre los Estados Límite Últimos, analizaremos: .Estado Límite Último por Capacidad Resistente a Esfuerzos Normales .Estado Límite de Cortante .Estado Límite de Torsión III.1 COMPROBACIÓN DE LA SEGURIDAD La comprobación de la seguridad consiste en: 1. Bajo la combinación más desfavorable de las cargas de servicio, las solicitaciones resultantes son como máximo iguales a los valores obtenidos a partir de las resistencias nominal de los materiales (Estado Límite de Utilización) 2. Bajo la combinación más desfavorable de las cargas de cálculo (mayoradas), las solicitaciones resultantes son como máximo, iguales a los valores de cálculo (de diseño) de los materiales (Estado Límite de Agotamiento) III.2 VALOR DE LA FUERZA DE PRESFORZADO En el caso que pueda asimilarse la fuerza de PRESFORZADO como una fuerza exterior, la fuerza de

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PRESFORZADO (Pi) es por definición, la que presenta una probabilidad previamente aceptada de ser o no sobrepasada.

Para una misma obra, se tiene varios valores de la fuerza de PRESFORZADO: - Valor permanente debido a la tracción - Valor inicial al tensar (Pi) Valores intermedios -.

Estos valores tienen en cuenta la evolución de la tracción de la armadura de PRESFORZADO en el tiempo y suponen la existencia de un valor estabilizado bajo el efecto de la acción de carácter permanente.

La Fuerza de PRESFORZADO en una sección cualquiera para una fase de ejecución dada o durante la explotación, depende de: -La fuerza de presfuerzo inicial aplicada en los extremos de la armadura mediante gatos -Del valor de las pérdidas de tracción instantáneas y diferidas (P), variables con la distancia de la sección considerada al gato, que determina la tensión en esta sección y con el tiempo.

El valor de la Fuerza de PRESFORZADO efectiva (Pe) en una sección cualquiera para las diversas fases de ejecución o durante la explotación está dada por: Pe = Pi – P III.2.1 Se define así, a título indicativo, dos valores envolventes: Pe- valor teórico de la fuerza de PRESFORZADO efectiva P-valor teórico de las pérdidas de tensión instantáneas y diferidas Pi- valor teórico de la fuerza de PRESFORZADO inicial correspondiente a la tensión de tracción inicial El esfuerzo admisible de tracción inicial de los tendones del presfuerzo en la etapa de transferencia no debe exceder los siguientes valores: a) Debida a la fuerza en los gatos de presforzado 0.94 fpy, pero no mayor que el menor de 0.80 fpu y el máximo valor recomendado por el fabricante o de los dispositivos de anclaje b) Inmediatamente después de la transferencia 0.82 fpy, pero no mayor que 0.74 fpu c) Para postensado en los anclajes y acoplamiento inmediatamente y después de la transferencia 0.70 fpu fpy – resistencia nominal a la fluencia del refuerzo de los tendones de presfuerzo fpu –resistencia nominal a la tracción de los tendones de presfuerzo El esfuerzo del PRESFORZADO (fps) en la etapa de agotamiento debe basarse en la compatibilidad de deformaciones, pero pueden utilizarse los siguientes valores, siempre que fse no sea menor de 0.5 fpu a) para elementos con tendones de PRESFORZADO adherido: fps = fpu {1 – (p / 1) A} III.2.2 A = [p (fpu/fc’) + (d/dp) ( - ’)] III.2.3 En caso de que tome en cuenta cualquier refuerzo que trabaje a compresión en el cálculo de fps en la ecuación anterior, el mínimo valor que puede utilizarse para el término A es 0.17 y d’ no pude ser mayor de 0.15dp b) Para elementos con tendones de PRESFORZADO no adherido y con una relación de luz a espesor de 35 o menos: fps = fse + 70 + (fc’ / 100 p) III.2 .4, pero el valor de fps no debe tomarse mayor que fpy ni mayor que (fse + 420) III.2.5 c) Para elementos con tendones de PRESFORZADO no adherido y con una relación de luz a espesor mayor de 35: fps = fse + 70 + (fc’ / 300 p) III.2.6 , pero el valor de fps no debe tomarse mayor que fpy ni mayor que (fse + 200) fps- esfuerzo en el refuerzo de PRESFORZADO a la resistencia nominal del elemento fse- esfuerzo efectivo en el refuerzo de PRESFORZADO (después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) p – Coeficiente para el tipo de tendón de presfuerzo = 0.55 para fpy / fpu no menor de 0.80 III.2.7 = 0.40 para fpy / fpu no menor de 0.85 III.2.8 = 0.28 para fpy / fpu no menor de 0.90 III.2.9 1 – Coeficiente, debe tomarse como 0.85 para resistencia nominales a la compresión del Concreto fc’. hasta 28 MPa inclusive. Para resistencia por encima de 28 MPa debe reducirse a razón de 0.05 por Cada 7 MPa de resistencia por encima de 28 MPa, pero no puede ser menor de 0.65 p- cuantía del refuerzo PRESFORZADO Aps / bw dp Aps – área del refuerzo de PRESFORZADO a tracción bw- ancho de cara a compresión del elemento

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dp – distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo PRESFORZADO a tracción de - distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo no PRESFORZADO a tracción  -  fy / fc’ III.2.10  - cuantía del refuerzo no PRESFORZADO a reacción = As / b de ’ - ’ fy / fc’ III.2.11 ’ – cuantía del refuerzo no PRESFORZADO a compresión = As’ / bw de As’ – área del refuerzo no PRESFORZADO a compresión d’ – distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo no PRESFORZADO a compresión La fuerza de PRESFORZADO debe determinarse por medio de los métodos siguientes: a) La medición de la elongación del acero. La elongación requerida debe determinarse a partir de las curvas promedio carga-elongación para el acero de presfuerzo utilizado b) La medición de la fuerza del gato en un manómetro calibrado o celda de carga o por medio de la utilización de un manómetro calibrado Debe investigarse y corregirse la causa de cualquier diferencia en la determinación de la fuerza entre los métodos a) y b) que exceda del 5% en los elementos pretensados o de un 7% para las construcciones postensadas Cuando la transferencia de fuerza desde los extremos del banco de pretensado se efectúe cortando el acero de presforzado con soplete, los puntos de corte y al secuencia de cortado deben predeterminarse con el objeto de evitar esfuerzos temporales no deseados Los tramos largos de torones pretensados expuestos deben cortarse lo más cerca posible del elemento para reducir al mínimo los impactos en el concreto La pérdida total de presfuerzo debida al acero de presforzado roto que no es reemplazado no debe exceder del 2% del presforzado total III.3 ESFUERZOS ADMISIBLE EN EL CONCRETO PRESFORZADO A FLEXIÓN A) En la transferencia Los esfuerzos en el concreto inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo (antes de las pérdidas de presfuerzo dependiente del tiempo), (Pi - ∆Es - ∆Ri -∆a) no deben exceder los siguientes valores: a) Esfuerzo en la fibra extrema a compresión excepto lo permitido en b) ………………fci = 0.60 fci’ b) Esfuerzo en la fibra extrema en compresión en el extremo de elementos simplemente apoyados no debe exceder de ……………………………………………fci = 0.7 fci’ c) Donde el esfuerzo de tracción fti excede de √fci’ / 2 en el extremo de de elementos simplemente apoyados o √fci’ / 4 en otra localización se debe colocar refuerzo adherido, para resistir todo el esfuerzo a tracción. asumiendo que la sección no está agrietada Los esfuerzos límites señalados anteriormente en (c) se refieren a esfuerzos de tracción que se localizan fuera de la zona de tracción precomprimida. Cuando los valores excedan los valores admisibles, la fuerza total en la zona de esfuerzo a tracción puede calcularse y se puede diseñar el refuerzo en base a esta fuerza, para un esfuerzo de 0.6 fy, pero no mayor de 210 MPa. Los efectos del flujo plástico y la retracción comienzan a reducir el esfuerzo de tracción casi inmediatamente, pero algo de tracción permanece en esta área después de que han ocurrido todas las pérdidas de PRESFORZADO ≤ √fci’ / 4 o √fci’ / 2 tracción compresión Fuerza del presfuerzo 0.60 fci’ ó 0.7 fci’ fci’ – resistencia a la compresión del concreto en el momento de transferencia del presfuerzo B) Con carga de servicio

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Los esfuerzos en el concreto ante cargas de servicio (después de descontar todas las pérdidas del presfuerzo (Pi - ∆P) no deben exceder los siguientes valores: Para Clase U y T en elementos a flexión en cargas de servicio, basado en sección no agrietada y después de descontar todas las pérdidas (Pi - ∆P), no debe exceder: a) Esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido al presfuerzo más las cargas permanentes en el tiempo………………………fc = 0.45 fc’ Este valor de 0.45 fc’ es conservador, pero se hizo para disminuir la probabilidad de falla de elementos de concreto PRESFORZADO debido a cargas repetidas. El límite parece razonable para evitar deformaciones excesivas por flujo plástico. A valores mayores, las deformaciones unitarias por flujo plástico tienden a incrementarse más rápidamente de lo que se incrementa el esfuerzo aplicado. Este límite para presfuerzo más cargas mantenidas en el tiempo continúa controlando el comportamiento a largo plazo de elementos PRESFORZADO Cuando exista cargas vivas mantenidas en el tiempo y las cargas muertas y cargas vivas mantenidas en el tiempo son un porcentaje alto de la carga de servicio total debe utilizarse le valor de 0.45 fc’ cargas permanentes 0.45 fc’

Compresión Fuerza del presfuerzo

b) Esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido al presfuerzo más cargas totales …………………………………fc = 0.60 fc’

cargas totales 0.6 fc’ Compresión

Fuerza del presfuerzo Tracción La zona precomprimida de tracción es la porción de un elemento PRESFORZADO donde ocurre tracción por flexión bajo carga muerta y viva no mayoradas, calculada utilizando las propiedades de la sección bruta, como si la fuerza de PRESFORZADO no estuviera presente. El concreto PRESFORZADO se diseña generalmente de manera que la fuerza de PRESFORZADO introduzca compresión en dicha zona, reduciendo efectivamente la magnitud del esfuerzo por tracción III.4 REQUISITOS DE DISEÑO PARA FUNCIONAMIENTO Los elementos PRESFORZADOS a flexión se clasifican como Clase U, Clase T y Clase C en función de ft, correspondiente al esfuerzo calculado en la fibra extrema en tracción en la zona precomprimida en tracción, calculada para carga de servicio, en la siguiente manera: a) Clase U (ft  0.62 (fc’) MPa (Sección No agrietada) La deformación inmediata de la Clase U de concreto PRESFORZADO puede ser calculada por los métodos usuales o fórmulas para deformación elástica, usando el momento de inercia de la sección bruta (no agrietada). No es necesario colocar refuerzo de piel b) Clase T ( 0.62 fc’ < ft  1.0 fc’) MPa (Sección en la zona de transición) En este caso, la sección bruta es utilizada para comprobar los esfuerzos y la sección agrieta es utilizada para calcular las deformaciones. Se permite utilizar el momento de inercia efectivo Ie. No es necesario colocar refuerzo de piel en la zona a tracción

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c) Clase C (ft > 1.0 fc’) (MPa) ( Sección transformada agrietada) Debe utilizarse las propiedades de la sección agrietada para comprobar los esfuerzos, grietas y deformación. Refuerzo de piel debe colocarse en elementos con peralto d > 90 cm (35 pulg.)

Los requisitos de funcionamiento para cada clase se muestran resumidos en la siguiente Tabla PRESFORZADO CLASE U CLASE T No fisurado Transición

COMPORTAMIENTO SUPUESTO

Ig

NO PRESFORZADO CLASE C Fisurado

PROPIEDADES DE LA SECCIÓN PAREA CALCULAR ESFUERZOS Sección bruta Sección bruta BAJO CARGA DE SERVICIO no fisurada no fisurada ESFUERZO ADMISIBLE EN TRANSFERENCIA ESFUERZO DE COMPRESIÓN ADMISIBLE BASADO EN SECCIÓN NO FISURADA ESFUERZO A TRACCIÓN BAJO CARGAS DE SERVICIO XV.1

Fisurado

entre no fisurado y fisurado

III.3A

III.3A

III.3B

III.3B

Sección fisurada* Sin requisitos

III.3 A

Sin requisitos

Sin requisitos

Sin requisitos

ft  0.62 (fc’) MPa ( 0.62 fc’ < ft  ft  fc’) MPa

Sin requisitos

BASES PARA EL CALCULO DE LAS DEFORCIONES

Sección bruta no fisurada Ig

CONTROL DE AGRIETAMIENTO

Sin requisitos

CÁLCULO DE ∆fps ó fs PARA EL CONTROL DE FISURACIÓN

-

REFUERZO DE SUPERFICIE

Sin requisitos

Sin requisitos

Sección fisurada Sección fisurada Momento de bilineal bilineal Inercia efectivo Ie** Ie** Ie sin requisitos

-

***

Análisis de sección fisurada

sin requisitos Ver vigas de gran altura

****

M / As x z ó 0.6 fy

Ver vigas de gran altura

* Véase Estado fisurado **Al calcular Ie, se tiene que tener en cuenta al calcular el momento de agrietamiento Mcr el presfuerzo, *** El espaciamiento de los tendones debe ser (s) = 380(280/∆fps) – 2.5 cc ≤ 300(280/fs), pero el espaciamiento (s) de los tendones adherido no debe exceder 2/3 del espaciamiento máximo permitido para el refuerzo no PRESFORZADO **** El espaciamiento del refuerzo debe ser (s) = 380(280/fs) – 2.5 cc ≤ 300(280/fs) Estas clases se aplican a los elementos PRESFORZADOS sometidos a flexión. adheridos y no adheridos, pero en los sistemas de losas en dos direcciones deben ser diseñados como Clase U III.5 CARGAS Y FUERZAS DE DISEÑO Y DE SERVICIO Toda estructura de concreto estructural se dimensiona y se diseñan para que se comporte adecuadamente ante todas las solicitaciones que la puedan afectar. Para las condiciones relevantes de las diferentes cargas y solicitaciones, deben tomarse suficientes casos de combinación con el fin de poder identificar las condiciones críticas de diseño dentro de la estructura, o partes de ellas

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-Las cargas de servicio se determinan de acuerdo con lo prescripto en el Capítulo B. 3 del Reglamento Para cargas permanentes (muertas) y Capitulo B. 4 para cargas temporales (vivas). También debe tenerse en cuenta el Capitulo B.5 para empujes de tierra y presión hidrostática, así como el Titulo H del Reglamento -Las cargas temporales (vivas) pueden afectarse por las reducciones que permite el Titulo B del Reglamento -Las fuerzas de viento deben determinarse siguiendo el Capitulo B.6 del Reglamento -Las fuerzas sísmicas y sus efectos se deben determinar siguiendo los requisitos del Título A del Reglamento -Deben tenerse en cuentas los efectos del presfuerzo, cargas de puentes grúas, vibración, impacto, retracción de fraguado, variaciones de temperatura, flujo plástico y asentamientos diferenciales 1-Las cargas de servicios se deben combinar de la forma que se describe a continuación y el diseño debe hacerse para la combinación que produzca el efecto más desfavorable en la edificación, en su cimiento o en el elemento estructural bajo consideración. El efecto más desfavorable puede ocurrir cuando una o varias de las cargas no actúen.

D +F D+H+F+L+T D + H + F + (Lr o G) D + H + F + 0.75 (L + T) + 0.75(Lr o G) D+L+HF+W D + H + F + 0.7E D + H + F + 0.75W + 0.75L + 0.75 (Lr o G) D + H + F + 0.75(0.7E) + 0.75L + 0.75(Lr o G) 0.6D + W + H 0.6D + 0.75E + H

III.5.1 III.5.2 III.5.3 III.5.4 III.5.5 III.5.6 III.5.7 III.5.8 III.5.9 III.5.10

Deben considerarse los efectos más desfavorables de viento y de sismo tomándose independientemente Cuando una estructura está localizada en una zona de inundación las siguientes combinaciones de carga deben ser adicionadas: En zonas costeras: 1.5Fa debe incluirse en las combinaciones III.5.5 a III.5.8 y E debe ser eliminada en III.5.6 y III.5.8 En zonas no costeras: debe adicionarse 0.75 Fa en las mismas combinaciones y E debe eliminarse en III.5.6 y III.5.8 La clasificación de las cargas según el Reglamento, es la siguiente: D = Carga Permanente (muerta), consiste en: (a) Peso propio del elemento (b) Peso de todos los materiales de construcción incorporados a la edificación y que son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo muros y particiones divisorias de ambiente (c) Peso de equipos permanentes E = Fuerzas sísmicas reducidas de diseño (E = Fs/R) que se emplean para diseñar los miembros estructurales Ed = Fuerza sísmica de umbral de daño F = Cargas debidas a fluidos de los cuales se conocen su peso específico, su presión y su máxima variación en la altura Fa = Carga debida a inundación Fs = Fuerzas sísmicas calculadas con los requisitos del Título A del Reglamento G = Carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribución de empozamiento L = Cargas temporales (vivas) debidas al uso y ocupación de la edificación, incluyendo cargas debidas a objetos móviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reducción que se permita. si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto, este efecto debe tenerse en cuenta en la carga viva L Lr = Carga temporal (viva) sobre la cubierta

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H = Cargas debidas al empuje lateral del suelo de agua freática o de materiales almacenados con restricción horizontal P = Cargas debidas al punzonamiento Ro = Coeficiente de capacidad de disipación de energía básica definido para cada sistema estructural y cada grado de capacidad de disipación de energía del material estructural. Véase el Capítulo A.3 del Reglamento R = Coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño, corresponde al coeficiente de disipación básico multiplicado por los Coeficientes de reducción de capacidad de la disipación de energía por irregularidades en altura y planta. y por ausencia de redundancia en el sistema estructural de resistencia sísmica R =  a  b  r, Véase el Capitulo A.3 del Reglamento T = Fuerzas y efectos causados por expansión o contracción debida a cambios de temperatura, retracción de fraguado, flujo plástico, cambios de humedad, asentamientos diferenciales, o combinación de varíos de estos efectos W = Carga de viento Las fuerzas sísmicas reducidas, E, utilizadas en las combinaciones III.5.6, IX.6.8 y III.5.10 corresponden al efectos, expresado en termino de fuerza, Fs, de los movimientos sísmicos de diseño prescriptos en el Título A del Reglamento, dividido por R (E = Fs / R) Cuando se trata de diseñar los elementos por el método de los esfuerzos de trabajo del material, el valor del coeficiente de carga que afecta las fuerzas sísmicas E, es 0.7 Para evaluar las derivas obtenidas de las deflexiones horizontales causadas por el sismo de diseño, deben utilizarse los requisitos del capítulo A.6 del Reglamento los cuales exigen que las derivas se verifiquen para las fuerzas sísmicas Fs, sin haber sido dividida por R, empleando 1.0E en vez de 0.7E en las ecuaciones que incluyan E Para evaluar los esfuerzos en los miembros estructurales y no estructurales, causados por el sismo de umbral de daño en edificaciones indispensables del grupo de uso IV deben utilizarse los requisitos del capítulo A12 del Reglamento los cuales exigen que los esfuerzos se verifiquen las fuerzas sísmicas Ed obtenidas allí, multiplicadas por un coeficiente de carga igual 1.0 en las combinaciones III.5.6, III.5.8 y III.5.10. Además, en la combinación III.5.8 puede emplearse un coeficiente de carga de 0.4 para la carga viva, en la evaluación de esfuerzos para el sismo de umbral de daño en la evaluación de esfuerzos para el sismo de umbral de daño y pueden emplearse los requisitos de III.5.4 2- La resistencia requerida U debe ser por lo menos igual al efecto de las cargas mayoradas en las ecuaciones III.5.11 a III.5.17. Debe investigarse el efecto de una o más cargas que no actúan simultáneamente: U = 1.4 D VIII.1.11 (C.9-1) U = 1.2 D + 1.6 L o Le + 0.5(Lr ó G ó Le) VIII.1.12 (C.9-2) U = 1.2D + 1.6 (Lr o G o Le) + (1.0L ó 0.5W) VIII.1.13 (C.9-3) U = 1.2D + 1.0 W +1.0 L + 0.5 (Lr ó G ó Le) VIII.1.14 (C.9-4) U = 1.2D + 1.0 E+ L VIII.1.15 (C.9-5) U = 0.9D + 1.0 W VIII.1.16 (C.9-6) U = 0.9D + 1.0E VIII.1.17 (C.9-7) Excepto que: a) Se permite reducir a 0.5 el factor de carga de la carga viva L en las ecuaciones III.5.13 a III.5.15, excepto para estacionamientos, áreas ocupadas como lugares de reunión pública y en todas las áreas donde L sea mayor de 4.8 kN/m^2 b) Se permite utilizar 1.3W en lugar de 1.6W en las ecuaciones III.5.14 y III.5.16 cuando la carga por viento W no haya sido reducida por un factor de direccionalidad c) El Título del Reglamento NSR-10 define las fuerzas de sismo al nivel de resistencia por lo tanto en las ecuaciones III.5.15 y III.5.17 se debe utilizar 1.0E. Si los efectos de E se basan en los niveles de servicios de las fuerzas sísmicas se debe utilizar 1.4E d) El factor de carga para H cargas debidas al peso y presión de suelo, agua en el suelo u otros materiales, debe fijarse igual a cero en las ecuaciones III.6.16 y III.6.17 si la acción estructural debida a H neutraliza las causadas por W o E. Cuando las presiones laterales ejercidas por el empuje del suelo proporcionan resistencia a las acciones estructurales provenientes de otras fuerzas, no debe incluirse en H, sino deben incluirse en la resistencia de diseño III.6 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

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1- El énfasis general de cálculo estructural se debe dirigir hacia el comportamiento global de la estructura, teniendo en cuenta todos los aspectos ambientales que la puedan restringir o afectar y hacia la conducción adecuada de las fuerzas, y sus efectos, dentro de ellas. En el diseño de concreto estructural, los elementos se deben dimensionar y detallar para que tengan la resistencia adecuada de acuerdo con los requisitos del Reglamento, utilizando los coeficientes de cargas y de reducción de resistencia  Etapas de diseño. Se deben cumplir dos etapas 1ª. Etapa. Análisis – Esta etapa consiste en calcular el estado nominal de esfuerzos y deformaciones dentro de estructura por medio de una idealización matemática o física de ella 2ª Etapa – Diseño – Esta etapa consiste en determinar y verificar las dimensiones definitivas de los elementos y la cantidad y dispositivos del refuerzo a colocarse III.7 PRIMERA ETAPA –METODOLOGÍA DE ANÁLISIS 1 – General – Los sistemas estructurales deben diseñarse para los efectos máximos causados por las cargas mayoradas, tal como se manifiestan en las diferentes secciones de sus elementos. Estos efectos deben determinarse por medio de un análisis estructural realizado por uno de los métodos definidos en III.8 a III.11 El objetivo del análisis es la determinación de la distribución de las fuerzas y momentos internos, o de los esfuerzos, deformaciones y desplazamientos, de toda o parte de la estructura. Deben realizarse análisis locales adicionales cuando sean necesarios. El análisis debe tener en cuenta los efectos de la rigidez de la cimentación y del suelo cuando estos afecten los resultados del análisis 2 – Equilibrio y compatibilidad – Todas las metodologías de análisis deben cumplir con los principios de equilibrio y compatibilidad de deformaciones - Normalmente el equilibrio se debe verificar con base en la estructura no deformada (teoría de primer orden).

Sin embargo, en aquellos caso en los cuales las deformaciones pueden conducir a aumentos significativos de las fuerzas y momentos internos, el equilibrio debe verificarse considerando la estructura deformada (teoría de segundo orden, o efecto P-Delta) - En las metodologías elásticas el procedimiento de análisis debe cumplir explícitamente el principio de compatibilidad de deformaciones. En las metodologías inelásticas de análisis, la compatibilidad puede ser verificada directamente o bien indirectamente por medio de verificaciones de la capacidad de deformación cuando el procedimiento de análisis no verifica directamente en los lugares donde se presentan concentraciones de comportamiento inelástico, como pueden ser articulaciones plásticas o los lugares de fluencia - La metodología empleada debe tener en cuenta, además de las deformaciones causadas por flexión de los elementos, las deformaciones, elásticas o inelásticas, causadas por las fuerzas axiales, de cortante y de torsión, cuando sus efectos sean superiores al cinco por ciento de las deformaciones causadas por flexión 3-Criterio del ingeniero diseñador La metodología de análisis empleada debe ser consistente con las suposiciones realizadas por el ingeniero diseñador y con la precisión propia de la información de las cargas y restricciones. Los modelos de análisis empleados deben describir adecuadamente el comportamiento estructural. En la selección del procedimiento de análisis se debe tratar de identificar correctamente los mecanismos de falla, evitando complejidades innecesarias. Los procedimientos excesivamente refinados deben utilizarse en estructuras complejas y por parte de ingenieros que dominen sus fundamentos. Cuando se utilicen procedimientos de cálculo electrónicos, es obligación del ingeniero conocer a fondo los fundamentos bajos los cuales se desarrollaron los programas utilizados y las suposiciones que el programa utiliza internamente 4-Metodologías de análisis. Se reconocen la siguiente metodología: a) análisis estructural elástico b) análisis elástico de esfuerzo c) análisis inelástico de esfuerzo d) análisis experimental de esfuerzo e) procedimiento especial para el análisis de losas 5-Análisis complementarios- El análisis estructural elástico general debe complementarse con análisis locales, elásticos e inelásticos, que tomen en cuenta la incertidumbre en las cargas, tanto en magnitud como en ubicación y el comportamiento inelástico y la distribución de los esfuerzos locales debida a la fisuración, la

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adherencia del refuerzo y además debe llevarse a cabo comprobaciones de estabilidad local y general de la estructura 6-Documentación del análisis – Además de los resultados del análisis global de la estructura, deben realizarse y documentarse evaluaciones independientes utilizando metodologías elásticas e inelásticas que cumplan con los principios de equilibrio de los estados de esfuerzo en las secciones críticas y en las regiones donde haya discontinuidades. La memoria de los cálculos de estos procedimientos debe explicar las suposiciones realizadas, la metodología empleada y los resultados obtenidos, por medio de la descripción de las fuerzas en las diferentes secciones, los estados de esfuerzos obtenidos, las verificaciones para los estados limites, y la localización y tipo de refuerzo obtenido, incluyendo sus empalmes y anclajes III.8 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL ELÁSTICO GENERAL 1-Limitaciones. Se permite el empleo de metodología lineales elásticas de análisis estructural general, en sistemas de estructuras donde la suposición de que existe una distribución lineal de las deformaciones dentro de las secciones sea valida 1a- En el análisis estructural elástico general se considera la estructura como un ensamblaje de elementos interconectados, que se clasifican de acuerdo con la naturaleza y con la función que desempeñan, tales como: vigas, columnas, losas, muros, etc. En la medida que la altura de la sección del elemento sea mayor, en comparación con su luz o altura libre, la suposición de que la distribución de las deformaciones internas dentro del elemento es lineal deja de ser cierta. En estos casos el comportamiento real difiere del que predice un análisis estructural elástico general, y por lo tanto debe recurrirse a otros procedimientos que describan de una manera adecuada el comportamiento real.

2- Suposiciones – En el análisis elástico se permite emplear las suposiciones planteadas en 3a III.8.7 3 – Rigidez – El ingeniero diseñador de acuerdo con su criterio, debe definir las rigideces de los elementos, a emplear en el análisis estructural, de acuerdo con suposiciones razonables. Las suposiciones adoptadas se deben mantener consistentemente durante todo el análisis. El efecto de las variaciones de la sección de los elementos, producidas por cartelas, mensuras, etc., debe ser tenido en cuenta en el análisis y el diseño. Como guía se dan recomendaciones contenidas en las secciones 3a a 3c, los cuales no tiene un carácter obligatorio 3a- Cuando los resultados de un análisis elástico se emplean para determinar deformaciones al nivel de resistencia, es recomendable que la rigidez EI represente la rigidez de los elementos en el estado inmediatamente anterior a la falla; especialmente si las deflexiones obtenidas por medio del análisis se utilizan para predecir las deformaciones de la estructura en el estado de falla inminente. En este caso es recomendable que los valores de EI, no se basen solamente en las relaciones momento-curvatura de la sección sometida a mayores esfuerzos dentro del elemento; estos valores deben deducirse de las relaciones momentorotación en los extremos del elemento, tomado en toda su longitud 3b-Cuando los resultados de un análisis elástico se empleen para determinar deformaciones al nivel de servicio, es recomendable que la rigidez EI represente la rigidez de los elementos en el estado de carga apropiado. Los requisitos de la sección III.8.1.2 permiten definir la rigidez para elementos sometidos principalmente a flexión 3c- En ausencia de unas consideraciones como las indicadas en 3a y 3, para efectos de determinar deformaciones, pueden emplearse las propiedades aproximadas para elementos dadas en la siguiente Tabla

Módulo de elasticidad, Ec Momento de inercia de vigas Momento de inercia columna Momentos de inercia de muro No figurados Figurados Momento de inercia de losas en Sistemas losa-columna

Propiedades de Rigidez (EI) para el análisis de: Estado Limite de Servicio Estado Limite de Resistencia II.9.4 Modulo de elasticidad II.9.4 Modulo de elasticidad del del Concreto Concreto 0.50 Ig 0.35 Ig 1.00 Ig 0.70 Ig 0.70 Ig 1.00 Ig 0.35 Ig 0.50 Ig 0.35 Ig

0.25 Ig

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Área

1.00 Ag

1.00 Ag

Ig – momento de inercia de la sección bruta del concreto, con respecto a su eje centroidal, sin considerar el refuerzo Se permite para en el Estado Límite de Resistencia utilizar los momentos de inercia de elementos a compresión y flexión con los siguientes valores: Elementos a flexión: Para vigas continuas, I se permite tomar como el promedio de los valores obtenidos para la sección de los momentos críticos positivos y negativos I no debe tomarse menor de 0.25 Ig La relación de las dimensiones de la sección y del refuerzo en las fórmulas anteriores debe estar dentro del 10% de las dimensiones y refuerzo detallado en los planos. Si no lo está la evaluación debe ser repetida Cuando exista una carga lateral de larga duración, I debe ser dividida por (1 + βds). El valor de βds es tomado como la relación del cortante mayorado producido por esa carga en el piso al máximo cortante mayorado en ese piso asociado a la misma combinación de carga, pero no debe tomarse mayor de 1.0 Un caso de ese tipo de carga es por ejemplo, si existen cargas laterales permanentes de valores diferentes a los dos lados del edificio 3d- La relación de Polisón para el concreto debe determinarse por medio del ensayo de cilindros de concreto, de acuerdo con la Norma NTC 4025 (ASTM C469). En el caso de que no se disponga del valor experimental puede utilizarse un valor de 0.2 4-Modulo de elasticidad del acero de refuerzo. El módulo de elasticidad para el acero de refuerzo no PRESFORZADO puede tomarse como Es = 200 000 MPa. El módulo de elasticidad Ep, para tendones de presfuerzo, debe determinarse por ensayos o puede utilizarse el suministrado por el fabricante III.8.2 Longitud de la luz- En el análisis de pórticos o en construcciones continua, la longitud de la luz para la determinación de momentos se toma como la distancia centro a centro de los apoyos, a menos que se realice un análisis más detallados de las condiciones de apoyo III.8.2.1 La longitud de la luz de elementos no construidos monolíticos con los apoyos se considera como la luz libre más la profundidad del elemento, pero no es necesario exceder la distancia entre los centros III8.2.2 En las vigas construidas monolíticamente con sus apoyos pueden utilizarse para el diseño los momentos en las caras del apoyo III.8.3- Construcción con vigas T – En la construcción con vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o de manera tal que se asegure su unión efectiva El ancho eficaz de la cabeza de compresión (bt) no debe exceder un cuarto de la luz de la viga b ≤ 1/4 de la luz de la viga El ala efectiva (b1) que se proyecta hacia cada lado del alma no debe exceder: - 8 veces el espesor de la losa b1 ≤ 8 hf -La mitad de la distancia hasta el alma siguiente b1 = b2 / 2

bt

b hf h b1 bw b2

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Para vigas con losa en un lado solamente. El ancho efectivo de ala que se proyecta no debe exceder de: a) 1/12 de la luz de la viga b ≤ 1/ 12 de la luz de la viga b) 6 veces el espesor de la losa, ni b ≤ 6 hf c) La mitad de la distancia hasta el alma siguiente hf b b2 Las vigas aisladas en las cuales la forma T se utiliza para proporcionar un ala como área adicional de compresión, debe tener un espesor de ala no menor que la mitad del ancho del alma y un ancho efectivo de ala que se proyecta hacia cada lado del alma, no mayor que 4 veces el ancho del alma

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CAPÍTULO IV PÉRDIDAS DE LA FUERZA DEL PRESFUERZO IV.1 INTRODUCCIÓN Como se ha indicado anteriormente la fuerza efectiva del presfuerzo (Pe) es menor que la fuerza inicial (Pi) aplicada en los gatos, debido a las disminución de la fuerza del presfuerzo que se presentan en el transcurso del tiempo, esta reducción de la fuerza inicial se le nomina” las pérdidas del presfuerzo”, las cuales pueden ser de alrededor de hasta un 30% de la fuerza inicial (Pi). Las pérdidas del presfuerzo deben calcularse con cuidado, ya que subestimarlas o sobreestimarlas, implica un error en la estimación de los esfuerzos y deformaciones en las distintas etapas de servicio del elemento Para la etapa de agotamiento del elemento cuando se evalúa su resistencia, las pérdidas no influyen debido a que esta resistencia es función en función del equilibrio interno de fuerzas y deformaciones Las pérdidas totales (∆Pt), son la suma de las pérdidas iniciales (instantáneas) (∆Pi) y las pérdidas diferidas (∆Pd) o sea: ∆Pt = ∆Pi + ∆Pd Según el Reglamento, para determinar el esfuerzo del PRESFORZADO efectivo fse se deben considerar las reducciones causadas por las pérdidas Las pérdidas se clasifican en: PERDIDAS INSTANTÁNEAS Estas son las que ocurren antes y en el momento del anclaje de la armadura AC- PÉRDIDAS POR EL CORRIMIENTO DEL ANCLAJE F- PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN LOS TENDONES DE CONCRETO POSTENSADO ES - PÉRDIDAS POR ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO Ri-PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO INSTANTÁNEO DEL TENDÓN PERDIDAS DIFERIDAS Son las que ocurren después del anclaje de la armadura CR -PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO SH -PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO Rd- PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DIFERIDO DEL TENDÓN Las pérdidas totales de los elementos PRESFORZADOS son las siguientes: IV.2 - PÉRDIDAS TOTALES DE LOS ELEMENTOS PRETENSADOS Pt = ES + R + CR + SH IV.2.1 Pt- Pérdidas totales ES – Pérdida por acortamiento elástico del concreto R - Pérdida por relajación del acero = Ri + Rd R = R(to, tr) + R(tr, ts) to- tiempo en el gato tr – tiempo en la transferencia ts – tiempo en la estabilización de la pérdida Si fpi es el esfuerzo inicial a que el elemento de concreto es sometido y fpj es el esfuerzo del gato en el tendón fpi = fpj - fR(to, tr) - f ES CR – Pérdidas por fluencia del concreto SH – Pérdidas por retracción del concreto Los mecanismos de desvío de los tendones, que se utilizan con la finalidad de mejorar el comportamiento del elemento ante cargas de servicio, pueden inducir pérdidas significativas en elementos PRESFORZADO. El

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valor de estas pérdidas dependen de la características de los dispositivos empleados, y el fabricante deberá cuantificar las mismas IV.3 PÉRDIDAS TOTALES DE LOS ELEMENTOS POSTENSADOS Pt = AC + F + ES + R + CR + SH IV.4.1 ES se aplica solamente cuando los tendones son tensados con secuencia y no simultáneamente El cálculo de las pérdidas de relajación del acero comienza en el tiempo de la transferencia tr y termina en ts. El esfuerzo fpi = fpj - fES - Ff AC- Pérdidas debidas al deslizamiento del anclaje F- Pérdidas debida a la fricción IV.4 PÉRDIDAS POR EL CORRIMIENTO DEL ANCLAJE (AC) Cuando en los elementos postensados, la fuerza del gato se libera, esta fuerza se transfiere al concreto por medio de los dispositivos de anclaje, produciéndose un deslizamiento entre los dispositivos y el acero de PRESFORZADO a medida que las cuñas realizan el anclaje mecánico de los tendones o a medida que se deforma el anclaje. Lo mismo sucede en los elementos pretensado al momento en que la fuerza del pretensado se transfiere de los gatos a los anclajes colocados en los muertos, pero esta pérdida se desprecia debido a la eficiencia de los equipos utilizados en el pretensado.

La pérdida por corrimiento del anclaje se obtiene con la siguiente fórmula: AC = A Eps / L IV.4.1 A –corrimiento del anclaje, normalmente entre 6.35 mm a 9.53 mm Eps – módulo de elasticidad del refuerzo de presfuerzo L – longitud del tendón IV.4.1 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR EL CORRIMIENTO DEL ANCLAJE (AC) Calcular la pérdida por el corrimiento del anclaje de una viga postensada, considerando que A = 6.3 mm Eps = 200000 MPa A = 6.3 mm L = 20 m Solución: AC = A Eps / L IV.4.1 AC = 6.3 x 200000 / 20 x 1000 = 63.0 MPa IV.5 PÉRDIDAS POR ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO (ES) Cuando la fuerza de presfuerzo se transfiere a un elemento de concreto, se produce un acortamiento elástico en el elemento debido a la compresión. Ésta puede determinarse a partir de la relación esfuerzo-deformación del concreto. y se determina con: ES = Kes Ep fcir / Eci IV.5.1 Kes = 1.0 Para pretensado Kes = 0.5 Para postensado donde la armadura son tensionada en orden secuencial con la misma tensión.

Con otro procedimiento, el valor de Kes puede variar desde 0 hasta 0.5 fcir – esfuerzo neto de compresión en el concreto en el centro de gravedad de la armadura inmediatamente después que el pretensado ha sido aplicado al concreto fcir = Kcir fcpi – fg fcpi – esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad de la armadura debido a Pi Pi – Fuerza de pretensado en la sección critica a lo largo de la luz después de descontar las pérdidas de fricción y deslizamiento del anclaje pero antes de reducir ES, CR, SH y Rd fg – Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad de la armadura debido al peso de la estructura en el momento de la aplicación de la tensión del pretensado fcpi = [(Pi / Ac) + (Pi (e^2) / Ic))

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fg = MD e / Ic Kcir = 1.0 para postensado Kcir = 0.9 para pretensado Eci- módulo de elasticidad del concreto al momento de la transferencia MD – momento debido al peso propio En el caso de elementos postensados, si todos los tendones son tensionados simultáneamente la pérdida por acortamiento elástico es cero, pero si los tendones son tensionados en varias secuencias (como si dos tendones al mismo tiempo) el valor de la pérdida por acortamiento del concreto es la mitad del obtenido para elementos pretensados y se obtiene con la siguiente fórmula: n ES = (1 / n) ∑( ES) IV.5.2 j=1 IV.5.1 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO (ES), EN UN ELEMENTO PRETENSADO Sea una viga pretensada con las siguientes características: Pi = 1.1956 MN e = 0.3057 m Eci = 27430 MPa MD = 0.084375 MN-m Ac = 0.20 m² Ic = 0.038 m^4 Ep = 200000 MPa La cantidad de tendones son 6 tendones Calcular la pérdida por acortamiento elástico del concreto (ES) Solución: Kes = 1.0 Para pretensado Kcir = 0.9 para pretensado e = 0.3057 m fcpi = [(Pi / Ac) + (Pi (e^2) / Ic)] = 8.918 MPa fg = MD e / Ic = 0.678 MPa fcir – esfuerzo neto de compresión en el concreto en el centro de gravedad de la armadura inmediatamente después que el pretensado ha sido aplicado al concreto fcir = Kcir fcpi – fg = = 7.348 MPa Eci = 27430 MPa ES = Kes Ep fcir / Eci = 53.58 MPa IV.5.2 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO (ES), EN UN ELEMENTO POSTENSADO Sea la viga del ejemplo IV.5.1, pero postensada, la operación se realiza de la siguiente manera: a) Se tensan dos tendones simultáneamente b) Se tensa un tendón cada vez c) Se tensan todos los tendones simultáneamente Solución: a) Del ejemplo IV.5.1, obtuvimos ES = 53.58 MPa, Como se conoce los últimos tendones no sufren la pérdida por acortamiento del concreto, por lo cual los dos primeros pares tienen pérdidas. El primer par sufre la máxima pérdida de 5.56 MPa. Aplicando: n ES = (1 / n) ∑( ES) IV.5.2 j=1 ES = [(2/2 + 1/2)/3] 53.58 = 80.37 MPa b) ES = [(5/5+ 4/5 + 3/5 + 2/5 + 1/5)/ 6] = 26.79 MPa En los casos a) y b) tienen la misma pérdida c)

ES = 0

VI.6 PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN LOS TENDONES DE CONCRETO POSTENSADO (F)

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Cuando se tensiona un tendón con una fuerza F en el gato, se produce una fricción entre el conducto y el tendón y el esfuerzo en el tendón varía desde el gato hasta una distancia Lda a lo largo de la luz, como lo muestra la siguiente figura

Fuerza efectiva

antes de anclar

Pérdida por deslizamiento

gradiente de pérdida por fricción

Después del anclaje

Distancia desde el anclaje Ld1 Ld1 = √ (2 Ep Ap  / )

Estas pérdidas son función de la distancia entre la sección considerada y el anclaje, en que se aplica la fuerza inicial Pi, del coeficiente de rozamiento (μ) y del coeficiente de pérdidas lineales (k), y se calculan según: F = fpi [u + k Lx] IV.6.1 F- esfuerzo en el cable en cualquier punto Lx (en metros) desde el anclaje fpi – esfuerzo inicial u – coeficiente de fricción primario por curvatura intencional (1/rad)

- Suma en radianes de los valores absolutos de todas las desviaciones angulares de los tendones en la trayectoria del presfuerzo desde el anclaje hasta el punto en consideración (rad) longitud Ld k – Coeficiente de fricción secundario o de deformación no intencional (1/m) La ecuaciones anteriores se basa en considerar que la pérdida total por fricción es la suma de la fricción primaria debida a la curvatura intencional del tendón que es dada por el factor  y por la fricción secundaria debida a la deformación no intencional k Cuando no hay curvatura del tendón ( = 0) no existe pérdida por curvatura intencional, si existen varias curvatura entonces esta pérdida aumenta. La pérdida no intencional es directamente proporcional a la distancia desde donde se tensa, por lo cual, cuando la pérdida por fricción es muy grande se debe tensar por los dos extremos Los valores del coeficiente de rozamiento dependen esencialmente del estado de la superficie de los elementos en contactos, de su constitución y de su disposición: vainas o conductos preformados en el concreto, armaduras de PRESFORZADO, lubricación eventual de éstas. El rozamiento no depende del anclaje sino totalmente del modo en que está constituida la armadura

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Los valores de fricción deben obtenerse del suministrador, a continuación se dan valores indicativos Cables dentro de una camisa metálica inyectada con lechada formada por: Tendones adheridos Alambres Barras de alta resistencia Torones de siete alambres Tendones no adheridos Alambres y torones de siete cubiertos con resina alambres pre engrasados

k (1 / m) 0.001 a 0.003 0.001 a 0.003 0.0001 a 0.0012 0.0005 a 0.004 0.001 a 0.004 0.0003 a 0.004

u 0.15 a 0.25 0.15 a 0.25 0.08 a 0.30 0.15 a 0.25 0.05 a 0.15 0.05 a 0.15

VI.6.1 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN LOS TENDONES DE CONCRETO POSTENSADO (F) Una viga postensada de 10.0 m de luz. El tendón está formado de siete alambres cubierto con resina. El esfuerzo inicial es fpi = 1320 MPa. El tendón es parabólico con una excentricidad en el centro de la luz de 0.05 m. Hallar las pérdidas por fricción de la Tabla anterior, obtenemos: u = 0.01 k = 0.0035 1/m Solución:  = 8 e / L = 0.04 radianes F = fpi [u + k Lx] IV.6.1 F = 46.73 MPa IV.7 Ri -PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO INSTANTÁNEO DEL TENDÓN Cuando el acero del presfuerzo se tensa hasta los niveles usuales, experimentan relajamiento. El relajamiento se define como la pérdida de esfuerzo en un material esforzado, mantenido la longitud constante. Existen dos etapas para el cálculo de esta pérdida: La que corresponde al momento de tensado y la que se representa a lo largo del tiempo. La primera es una pérdida instantánea y en miembros pretensados, inicialmente por sobre la tensión de 0.5 fpu puede, tomarse como pérdida de relajamiento inicial (Ri), según (AASHTO): Ri = {(log (t)) [(fpi / fpy) – 0.55]} fpi/ 10 IV.7.1 t- tiempo estimado en horas desde el tensado hasta la transferencia fpi- es el esfuerzo del tendón al final del tensado fpy – es el esfuerzo de fluencia del acero de presfuerzo, este esfuerzo es suministrado por el fabricante o puede considerarse como fpy = 0.85 fpu Para torones de baja relajación Ri debe dividirse entre 4 El método del ACI-ASCE utiliza separadamente la contribución del acortamiento elástico, fluencia y retracción en la evaluación de las pérdidas totales de relajación (instantáneas y diferidas con la siguiente ecuación: Rt = [Kre – J (ES + CR + SH)] C IV.7.2 Puede considerarse como Ri = 0.25 Rt IV.8.3 El valor de Kre se toma de la siguiente Tabla Tipo de refuerzo Kre en libra por pulg. cuadrada (MPa) Grado 270 cable o alambre 20000 (137.9) Grado 250 cable o alambre 18500 (127.5) Grado 140 o 235 alambre 17600 (121.35 Grado 270 baja relajación 5000 (34.47) (cable) Grado 250 baja relaja(alambre) 4650 (32.06) Grado 240 o 235 baja relajación (alambre) 4400 (30.39) Grado 145 o 160 barra 6000 (413.7

J 0.15 0.14 0.13 0.040 0.037 0.035 0.05

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El valor de C se toma de la siguiente Tabla fpi / fpu 0.80 0.79 0.78 0.77 0.76 0.75 0.74 0.73 0.72 0.71 0.70 0.69 0.68 0.67 0.66 0.65 0.64 0.63 0.62 0.61 0.60

Cable o alambre

1.45 1.36 1.27 1.18 1.09 1.00 0.94 0.89 0.83 0.78 0.83 0.73 0.68 0.58 0.53 0.49

Barra y cable o alambre (baja relajación 1.28 1.22 1.16 1.11 1.05 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.66 0.61 0.57 0.53 0.53 0.49 0.41 0.37 0.33

IV.7.1 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO INSTANTÁNEO DEL TENDÓN (Ri) Calcular la pérdida por relajamiento instantáneo de los tendones Ri, de una viga prestensada a con los siguientes datos: Tendones de baja relajación. El tiempo estimado desde el tensado hasta la transferencia = 8 horas. Esfuerzo del tendón al final del tensado, fpj = 1320 MPa. Esfuerzo de fluencia del acero de presfuerzo suministrado por el fabricante fpy = 1344 MPa Solución Aplicando la siguiente fórmula: Ri = {(log (t)) [(fpj / fpy) – 0.55]} fpj/ 10 Ri = Ri = 51.51 MPa Como son tendones de baja relajación Ri = 51.51 / 4 = 12.88 MPa

IV.7.1

IV.8 PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO (CR) Esta pérdida se presenta por la deformación del concreto debida a la acción de cargas sostenidas como son la carga muerta y el presfuerzo Esta pérdida se puede calcular con la siguiente expresión: CR = Kcr Ep (fcir – fcds) / Ec

ó

CR = n Kcr (fcir – fcds)

IV.8.1

Kcr = 2.0 Para pretensado Kcr = 1.6 Para postensado fcir- esfuerzo en el concreto al nivel del cetro de gravedad inmediatamente después de la transferencia fcds – Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad de la armadura debido a todas las cargas muertas permanente s impuestas que son aplicadas al miembro después que ha sido aplicado el pretensado fcds = Mds e / Ic Mds- momento producido por las cargas muertas permanentes impuestas que se aplican al elemento después que se ha aplicado el presfuerzo

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IV.8 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO (CR) Calcular la pérdida por flujo plástico (fluencia) de la viga del ejemplo IV.5.1, con una carga WSD = 22 KN/m además del peso propio e = 0.3057 m Ic = 0.038 m^4 Solución n = 6.12

MSD = 22.0 x 10² / 8 = 68.75 kN-m = 0.275 MN-m fcds = MSD e / Ic = 2.18 MPa Del ejemplo IV.5.1, obtenemos fcir = 8.918 MPa para concreto normal Kcr = 2.0 Aplicando CR = n Kcr (fcir – fcds) IV.8.1 CR = 82.47 MPa IV.10 SH -PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO La retracción por secado del concreto provoca una reducción en la deformación del acero del presfuerzo igual a la deformación que produce la retracción, lo cual se refleja en una disminución del esfuerzo en el refuerzo y constituye una componente importante de la pérdida del presfuerzo para todos los tipos de elementos de concreto PRESFORZADO. Para esta pérdida puede considerarse que la deformación unitaria del concreto por retracción es εc = 0.001 Esta pérdida puede calcularse con: SH = 8.2 x 10^(-6) Ksh Ep [1 – 0. 06 (V/S)] (100 – H) Ksh = 1.0 Para pretensado Ksh es tomado de la siguiente tabla para postensado Tiempo en días * 1 3 5 Ksh 0.92 0.85 0.8  Tiempo después que se terminó el curado

7 0.77

10 0.73

VI.10.1

20 0.64

30 0.58

60 0.45

V/S – Relación de volumen a superficie, usualmente tomado como el área de la sección bruta de la sección dividido por su perímetro H – humedad relativa que rodea al miembro Tipo de clima H(%) Muy húmedo 90 Humedad intermedia 70 Seco 40 IV.10.1 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO SH Calcular la pérdida por retracción del concreto de la viga de los ejemplos IV.5.1 y IV.5.2, a los 10 días después que se terminó el curado. Tómase V/S = 2.0. La humedad relativa es de 80% Solución Para pretensado Ksh = 1.0 Aplicando SH = 8.2 x 10^(-6) Ksh Ep [1 – 0. 06 (V/S)] (100 – H) SH = 14.10 MPa Para postensado Ksh = 0.85, SH = 11.98 MPa

VI.10.1

IV.11 Rd- PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DIFERIDO DEL TENDÓN Las pérdidas por relajación diferida después de la transferencia pueden calcularse con las siguientes ecuaciones:

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- Para pretensado: Rd = 140.6 – 0.4 ES – 0.2 (SH + CR) Para postensado: Rd = 140.6 – 0.3 F – 0.4 ES – 0.2 (SH + CR) Para acero de baja relajación debe utilizarse el 25% de Rd

IV.11.1 IV.11.3

También puede utilizarse la siguiente ecuación: Rd = 0.75 [Kre – J (ES + CR + SH)] C

IV.21.2

IV.11.1 EJEMPLO DE PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DIFERIDO DEL TENDÓN (Rd) Calcular la pérdida por relajamiento diferido de una viga que tiene ES = 2.78 MPa, SH = 14.10 MPa CR = 82.47 MPa Solución Aplicando para pretensado: Rd = 140.6 – 0.4 ES – 0.2 (SH + CR) IV.11.1 Rd = 44.03 MPa IV.10. GRÁFICO DE LA VARIACIÓN DEL ESFUERZO DEL PRETENSADO En el siguiente gráfico se muestra la variación del esfuerzo del PRESFORZADO En la línea horizontal se indica el tiempo y en la vertical los esfuerzos En el tiempo to, se aplica la fuerza en el gato, el esfuerzo es fpi (punto A); cuando se suelta el gato, se produce la pérdida por el deslizamiento en el anclaje y el esfuerzo pasa al punto B, durante el vaciado del concreto se produce el relajamiento relajamiento instantáneo de la armadura y el esfuerzo en el tiempo t1, pasa al punto C. Cuando se suelta la armadura se produce el resto de las pérdidas instantáneas y el esfuerzo pasa al punto D Posteriormente, al transcurrir el tiempo, se producen las pérdidas diferidas y la tensión se estabiliza al valor de fse σ fpi A B Relajamiento instantáneo de la armadura, considerando libre la armadura

C D Fluencia, retracción, relajamiento Aparente fse

To

Puesta de tensión en la armadura Vaciado del Concreto t1 (Aplicación de la fuerza de PRESFORZADO al concreto)

t

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IV.11 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LA FUERZA EFECTIVA Y EL ESFUERZO EFECTIVO Determinar el esfuerzo efectivo (fse) y la fuerza efectiva (Pe) de PRESFORZADO del elemento que tiene la sección de la siguiente figura 0.30 m

1.20 m Ap = 10  12

DATOS: fc’ = 42 MPa fti- esfuerzo de tracción permisible en el concreto en la etapa de transferencia: fti = √fci’ / 2 en extremo de elementos simplemente apoyados, fti = √fci’ / 4 en otra localización ft- esfuerzo permisible a tracción del concreto con cargas de servicio ft = fr = 0.62√fc’ fci- esfuerzo permisible de compresión en el concreto en la etapa inmediatamente después de la transferencia y antes de descontar las pérdidas fci = 0.6 fci’, en apoyo de simplemente apoyado fci = 0.7 fci’ fc- esfuerzo permisible a compresión en el concreto después de las pérdidas en la etapa de carga de servicio.

Para Clase U y T en elementos a flexión en cargas de servicios, basado en sección no agrietada y después de descontar todas las pérdidas (Pi - ∆P), no debe exceder: 1- Esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido al presfuerzo más las cargas permanentes en el tiempo…………………………fc = 0.45 fc’ Cuando existen cargas vivas mantenidas en el tiempo y las cargas muertas y cargas vivas mantenidas en el tiempo son un porcentaje alto de la carga de servicio total debe utilizarse le valor de 0.45 fc’ fci’- resistencia especificada a la compresión al momento del presfuerzo inicial, puede tomarse como: fci’ = 0.80 fc’, cuando el Concreto es de fraguado rápido ó fci’ =0.75 fc’ en otros casos Resistencia del concreto al momento de la transferencia (considerándolo a los 3 días) fcj’= 0.73 x 35 = 25.6 MPa ftj’ = 4.31 MPa Ec = 32270 MPa Eci = 27430 MPa Refuerzo de pretensado Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial = 1320 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa n- para carga de corta duración a los 3 días

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np= Ep / Ec = 5.57 np- para carga de corta duración a los 28 días np = 180000 / 34000 = 5.59 Utilizaremos np = 5.58 Área del concreto: Ac = 0.2 m^2 Sb = St = 0.1363 m^3 (sección simétrica) Momento de inercia de la sección: Ic = 0.038 m^4 La fuerza inicial total es: Pi = 10 x 1320 x 9.06 x 10^ (-5) = 1.1956 MN El punto de aplicación es: yp = 0.2833 m del borde inferior Las pérdidas totales de los elementos PRESFORZADOS son las siguientes: A –PARA ELEMENTOS PRETENSADO: Pt = ES + Ri + CR + SH + DT + Rd Calculemos las Pérdidas ES - PÉRDIDAS POR EL ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO Cuando la fuerza de presfuerzo se transfiere a un elemento de concreto, se produce un acortamiento elástico en el elemento debido a la compresión. Esta puede determinarse a partir de la relación esfuerzo-deformación del concreto. y se determina con: ES = Kes Ep fcir / Eci = 5.006 MPa Kes = 1.0 Para pretensado Ep = 180000 MPa Kcir = 0.9 para pretensado e = ep – yp = 0.3057 m fg = Md e / Ic = 0.6787 MPa fcir – esfuerzo neto de compresión en el concreto en el centro de gravedad de la armadura inmediatamente después que el pretensado ha sido aplicado al concreto fcir = Kcir fcpi – fg = 7.3475 MPa Eci = 27430 MPa Ri-PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO INSTANTÁNEO DEL TENDÓN Cuando el acero del presfuerzo se tensa hasta los niveles usuales experimentan relajamiento. El relajamiento se define como la pérdida de esfuerzo en un material esforzado mantenido con longitud constante. Existen dos etapas para el cálculo de esta pérdida: La que corresponde al momento de tensado y la que representa a lo largo del tiempo. La primera es una pérdida instantánea y en miembros pretensados, inicialmente por sobre de 0.5 fpu puede tomarse como pérdida de relajamiento inicial (Ri), según (AASHTO): Ri = {(log (t)) [(fpj / fpy) – 0.55]} fpj/ 10 = 51.48 MPa Como son tendones de baja relajación Ri = 51.48 / 4 = 12.87 MPa t- tiempo estimado en horas desde el tensado hasta la transferencia = 8 horas fpj- es el esfuerzo del tendón al final del tensado = 1320 MPa fpy – es el esfuerzo de fluencia del acero de presfuerzo, este esfuerzo es suministrado por el fabricante o puede considerarse como fpy = 0.85 fpu = 1344 MPa Para torones de baja relajación Ri debe dividirse por 4

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CR -PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO Esta pérdida se presenta por la deformación del concreto debida a la acción de cargas sostenidas como son la carga muerta y el presfuerzo Esta pérdida se puede calcular con la siguiente expresión: CR = n Kcr (fcir – fcds) = 5.58 x 2.0 x (0.7629 - 0. 515) = 2.766 MPa Kcr = 2.0 Para pretensado fcir- esfuerzo en el concreto al nivel del cetro de gravedad inmediatamente después de la transferencia fcri = 0.7629 MPa fcds – Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad de la armadura debido a todas las cargas muertas permanente e impuestas que son aplicadas al miembro después que ha sido aplicado el pretensado fcds = MDS e / Ic = 0.0684 x 0.3057 / 0.038 = 0.515 MPa Mds- momento producido por las cargas muertas permanentes impuestas que se aplican al elemento después que se ha aplicado el presfuerzo = 0.0684 MN-m SH -PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO La retracción por secado del concreto provoca una reducción en la deformación del acero del presfuerzo igual a la deformación que produce la retracción, lo cual se refleja en una disminución del esfuerzo en el refuerzo y constituye una componente importante de la pérdida del presfuerzo para todos los tipos de elementos de concreto PRESFORZADO. Para esta pérdida puede considerarse que la deformación unitaria del concreto por retracción es εc = 0.001 Esta pérdida puede calcularse con: SH = 8.2 x 10^ (-6) Ksh Ep [1 – 0. 24 (V/S)] (100 – H) = SH = 43.22 MPa Ksh = 1.0 Para pretensado Humedad intermedia H = 70 % Eps = 180000 MPa V/S – Relación de volumen a superficie, usualmente tomado como el área de la sección bruta de la sección dividido por su perímetro = 0.20 / 2 = 0.1 m DT- PÉRDIDAS POR DESVÍOS DE LOS TENDONES DT = 0 (No hay desvío de tendones) Rd- PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DIFERIDO DEL TENDÓN Las pérdidas por relajación diferida después de la transferencia pueden calcularse con las siguientes ecuaciones: - Para pretensado: Rd = 140.6 – 0.4 ES – 0.2 (SH + CR) Rd = 129.4 MPa Para acero de baja relajación debe utilizarse el 25% de RD Rd = 129.4 / 4 = 32.35 MPa También puede utilizarse la siguiente ecuación: Rd = 0.75 [ Kre – J (ES + CR + SH)] C Rd = 23.85 MPa (3% menor que el anterior) PERDIDAS TOTALES: 5.006 + 3.213 + 2.766 + 43.22 + 32.35 = 86.555 MPa fse = 1320 – 86.555 = 1233.44 MPa Pe = 10 x 1233.44 x 9.05 x 10^ (-5) = 1.116 MN

B) ELEMENTO POSTENSADO En este caso no vamos a calcular los valores, solamente haremos las aclaraciones pertinentes Pt = A + F + ES + Rib + Rd + CR + SHE + DT

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F- PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN LOS TENDONES DE CONCRETO POSTENSADO Cuando es postensado aunque los tendones sean rectos F nunca es cero. La pérdida total es: F = fpi [ u + k Lx] XI.17 .1 F = 1320 [0+ 0.0005 x 15.0 ] = 99. 0 MPa (7. 5%) En el centro de la luz es: 99.0 / 2 = 49.5 MPa (3.75%) Como los tendones son rectos  = 0 k (1 / m) = 0.00065 A- PÉRDIDAS POR EL CORRIMIENTO DEL ANCLAJE AC = A Eps / L IV.4.1 AC = 6.3 x 200000 / 20 x 1000 = 63.0 MPa (Ri + Rd) PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DEL TENDÓN Tanto la pérdida por relajamiento instantáneo del tendón y el regalamiento diferido, son calculados como los elementos pretensados ES - PÉRDIDAS POR EL ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO Al calcular estas pérdidas es muy importante tener en cuenta el proceso del tensado de las armaduras, ya que si las armaduras no se tensan todas a la vez, es imprescindible considerar las etapas del tesado Al tesar las armaduras, éstas no están solidarias al concreto, se debe considerar el área neta de la sección (descontando los huecos de las vainas) al calcular el esfuerzo en la sección CR -PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO Se calcula igual que el pretensado, considerando desde el momento (to) de aplicación de la carga de postensado HZ -PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO Se calcula igual al pretensado, considerando desde el momento de aplicación de la carga

IV. 12 EJEMPLOS PROPUESTOS IV.12.1 Determinar el esfuerzo efectivo (fse) y la fuerza efectiva (Pe) de PRESFORZADO del elemento que tiene la sección de la siguiente figura 0.30 m

1.20 m Aps = 10  12

DATOS: fc’ = 42 MPa Refuerzo Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa

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Tensión inicial = 1320 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa IV.12.2 Determinación del esfuerzo efectivo (fse) y la fuerza efectiva (Pe) de PRESFORZADO Determinar el esfuerzo efectivo (fse) y la fuerza efectiva (Pe) de PRESFORZADO del elemento que tiene la sección de la siguiente figura 0.30 m

1.20 m Aps = 8  12 DATOS: fc’ = 42 MPa Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial = 0.8 fpu = 0.8 x 1650 = 1320 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa

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CAPÍTULO V ESTADO LÍMITE DE FISURACIÓN Las exigencias funcionales o de durabilidad imponen limitaciones a la fisuración de los elementos en las fases de explotación y de construcción.

La agresividad del medio ambiente, la sensibilidad de las armaduras a la corrosión y eventualmente otras condiciones particulares, tales como las de estanquidad o estado de las superficies, requieren verificar, para diferentes combinaciones de acciones, que ciertos Estados Límites de Fisuración no serán alcanzados. No obstante, la fisuración puede ser también limitada para asegurar la integridad de los elementos, la seguridad de los anclajes y del hormigón en compresión, así como consecuencias de la fisuración tales que modifiquen la rigidez de los elementos, aumento de las tensiones de los elementos o de sus amplitudes en servicio V.1 DISTRIBUCIÓN DEL REFUERZO DE FLEXIÓN EN VIGAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN Este Capítulo establece reglas para la distribución del refuerzo a flexión a fin de controlar la fisuración (agrietamiento) por flexión en vigas y losas reforzadas en una dirección. Para losas reforzadas en dos direcciones véase el Capítulo de Losas Reforzadas en dos Direcciones V.2. DEFINICIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITE DE FISURACIÓN En orden de condiciones restrictivas decrecientes y de aplicación para todo el dominio de las estructuras de hormigón, estos Estados Límites de Fisuración son: -Estado Límite de Descompresión -Estado Límite de Formación de Fisura -Estado Límite de Abertura de Fisuras V.3 ESTADO LÍMITE DE DESCOMPRESIÓN Es el estado en el cual bajo la combinación de acciones consideradas, a) el esfuerzo normal de compresión de la fibra menos comprimida debido al presfuerzo o a todo esfuerzo normal, calculado para una sección, se anula para una fibra especificada en la zona de tracción. En condiciones normales, esta fibra debe considerarse la fibra externa, b) excepto criterios especiales de estanquidad en que deben considerarse en un nivel tal, que las armaduras de presfuerzo se encuentren dentro de la zona del hormigón comprimido. fc > 0 fc > 0

Pe

o

fc = 0

fc > 0

Caso a Caso b Para esta verificación se calcula las solicitaciones mediante métodos elásticos cuando son debidas a las cargas El Momento de Descompresión de la Fuerza de Presfuerzo (Mdes) se determina según: Mdes = Pe (ep + rc) V.3.1 Pe – Fuerza efectiva del presfuerzo ep- excentricidad de la fuerza de presfuerzo rc = (r^2) /y rc- distancia desde el centro de gravedad de la sección hasta el punto de Kern El punto de Kern es el punto en una sección en el cual al aplicársele una fuerza de compresión (como el PRESFORZADO) produce un esfuerzo nulo en el borde externo r- radio de giro de la sección homogeneizada r = (Ic / Ac) Ic-momento de inercia de la sección Ac-área de la sección

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V.4 ESTADO LÍMITE DE FORMACIÓN DE FISURAS Es el estado en el cual, el esfuerzo de tracción máxima de una fibra especificada de la zona de tracción, calculada considerando la sección homogeneizada deberá ser igual o menor que la Resistencia de Tracción del Hormigón. (Módulo de Ruptura) ( ft ≤ 0.62 √fc’ MPa) fc > 0 Pe ft = 0.62 √fc’ (MPa) La comprobación del Estado Límite de Formación de Fisuras se determina considerando las solicitaciones mediante métodos elásticos cuando son debidas a cargas y esta comprobación se efectúa en la zona de tracción, en la zona de compresión y en la sección diagonal.

V.4.1.Zona de Tracción Se asume las condiciones siguientes: -El esfuerzo del hormigón a tracción, calculado en sección no fisurada, está limitado al valor 0.62 √fc’ V.4.1.1.Tracción Centrada En el caso de una fuerza de tracción de servicio centrada (N) debe cumplirse que: N  Ncr = 0.62 √fc’ (Ac + 2 ns As + 2 np Aps) + Pe V.4.1 Nota: El valor de 2 que aparece en la fórmula anterior es por considerar el Módulo Elastoplástico a Tracción del Hormigón igual a 0.5 Ec ns y np-coeficiente de equivalencia para la armadura ordinaria y la de presfuerzo respectivamente As y Aps-área total de la armadura ordinaria y de presfuerzo respectivamente Ac – área de la sección del hormigón Se puede simplificar la fórmula V.4.1, despreciando los términos (2 ns As + 2 np Aps) y se convierte en: N  Ncr = Pe + 0.62 √fc’ Ac V.4.1a V.4.1.2 Flexión, Flexo-Compresión y Flexo-Tracción En este caso debe cumplirse que: M  Mcr V.4.2 Mcr – momento de fisuración M-momento en flexión simple M= N e1 (en otros casos) e1-distancia desde la fuerza longitudinal exterior N hasta aquel mismo eje con respecto al cual se toma el momento de los esfuerzos interiores: Para Flexo-Compresión e1= eo – rc V.4.3 Para Flexo-Tracción e1 = eo + rc eo- distancia desde la fuerza N hasta el centro de gravedad de la sección r- radio de giro r = (Ic / Ac) rc- distancia desde el centro de gravedad de la sección hasta el punto de Kern (nuclear) rc = (r^2) /y V.4.4 El Momento de Fisuración antes de la formación de las fisuras se determina como un caso de flexocompresión empleando el principio de acción de las fuerzas, entonces: Mcr = Pe (ep + rc) + 0.62 √fc’ Sr V.4.5 ep- excentricidad de la fuerza de PRESFORZADO con respecto al centro de gravedad de la sección Sr-módulo de la sección de la zona traccionadas y se determina con: Sr = {2[Ic + np Ip + np Ip’ + n Is + n Is’] / (d – x)} + Sc Ic, Ip, Ip’, Is, Is’- momento de inercia respecto al eje neutro: .de la zona comprimida del hormigón: .de la armadura presforzada a tracción .de la armadura presforzada a compresión .de la armadura ordinaria a tracción .de la armadura ordinaria a compresión respectivamente

V.4.6

42

Sc-momento estático del área de la zona traccionada del hormigón con respecto al mismo eje neutro La posición del eje neutro se determina por la igualdad: Sc + n Ss’ + np Sp’ – n Ss – np Sp = [(d – x) Act] / 2 V.4.7 Sc, Ss’, Sp’, Ss, Sp- momento estático con respecto al eje neutro: .De la superficie de la zona comprimida del hormigón .De la armadura ordinaria a compresión .De la armadura presforzada a compresión .De la armadura ordinaria a tracción .De la armadura presforzada a tracción respectivamente Act-área en tracción del hormigón Act = (de– c) = Sc1 / Ab1 V.4.8 Sc1-momento estático de la sección homogeneizada con respecto a la fibra más traccionada calculada sin considerar el área de hormigón de las alas traccionadas en vigas T Ab1-área de la sección homogeneizada descontando la mitad del área de las alas traccionada en vigas T Se puede simplificar la fórmula V.4.5, utilizando Sb en vez de Sr, con lo cual la fórmula se convierte en: Mcr = Pe (ep + rc) + 0.62 √fc’ Sb V.4.5a V.4.2 En la Zona de Compresión No sólo en la zona de tracción pueden ocurrir fisuras que perjudiquen al elemento, sino también, en las zonas fuertemente comprimidas. Este micro fisuración puede ocurrir en el momento de aplicación del presfuerzo y en las fases de construcción, por lo cual debe verificarse las zonas fuertemente comprimidas.

Las hipótesis de comprobación son las siguientes: -El diagrama esfuerzo-deformación se supone rectilíneo.

-Las deformaciones del elemento, se calculan con un módulo Ecmj, correspondiente al valor medio de la resistencia del hormigón a los j días.

-La resistencia de la zona comprimida del hormigón se considera con el esfuerzo limitado a: fc’j = 0.60 fci’ V.4.9 fc’j-valor supuesto en el proyecto para la resistencia especificada a j días (edad del hormigón en la fase considerada).

La capacidad de resistencia obtenida debe ser igual o superior a las solicitaciones de las acciones (no afectadas por el coeficiente de carga) existentes en el día j de las operaciones consideradas.

Por lo que respecta a las acciones, las cargas permanentes deben calcularse hacia los valores menores y la fuerza de presfuerzo con el valor de cálculo. Esta comprobación exime la del Estado Limite de Agotamiento para la fase considerada con acciones mínimas, salvo en el caso de piezas manipuladas o transportadas sin que la armadura de presfuerzo estén solidarias con el hormigón (armaduras en vainas no inyectadas o armaduras exteriores) V.4.3. En las Zonas Diagonales.

La Formación de Fisuras en la Sección Diagonal se verifica en las zonas de máximos esfuerzos principales.

La verificación se realiza a todo lo largo del elemento, dependiendo del diagrama de Fuerzas. Los puntos más críticos a lo largo de su peralto son los puntos en el eje que pasa por el centro de gravedad de la sección homogeneizada, en los cambios bruscos del ancho del elemento, punto de contacto el ala comprimida y el alma de la sección T. En los elementos presfuerzo en que la armadura no está anclada se verifica en la longitud de transferencia de los esfuerzos.

Debiéndose cumplir que: fprin.t  0.75 √fc’ V.4.10 Los esfuerzos principales se obtienen por la expresión: fprin.t = [(fx + fy)/2]   {[(fx - fy)/2] ^2 + (xy) ^2} V.4.11 fx =  (My/2)  (P/Ah)  (P eo y Ih) – (P) /Ah V.4.12 Si P es de tracción se adopta el signo (+) en caso contrario es (-) fy = fyc + fy V.4.13 fyc = (fpoe Ape / c) + [(fpod APu) sen ]/d V.4.14 fpoe- esfuerzo de presfuerzo de los estribos considerando todas las pérdidas Ape- área de los estribos presfuerzo en el mismo plaño normal al eje del elemento en el sector considerado e- espaciamiento de los estribos presfuerzo fpod -esfuerzo de las armaduras de presfuerzo dobladas

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Apu-área de las armaduras de presfuerzo dobladas que terminan en el tramo de longitud h/2 h-altura de la sección d- espaciamiento de las armaduras presforzada dobladas -ángulo de inclinación de las armaduras dobladas con respecto al eje longitudinal fyl = -{(0.4 P /bh) [(h/y) – 1] [1 – (0.4 x/y)]} V.4.15 cuando y  0.4h y x  2.5h fyl = -{(P/bh) [1- (c/h)] [1 – (x/y)]} V.4.16 cuando y > 0.4 h y x  h P-reacción de apoyo o fuerza concentrada aplicada sobre la cara superior de la viga x, y-distancias paralelas y normales al eje longitudinal tomadas desde el punto de aplicación de la fuerza concentrada hasta aquel en el cual se determina el esfuerzo xy = (V -P sen ) S / b Ih V.4.18 V-fuerza cortante debida a la carga exterior S-momento estático de la parte de la sección sometida a cortante con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad de la sección homogeneizada P h h 0.4 h y h

o

o y 0.4 h x h h P V.5 ESTADO LÍMITE DE ABERTURA DE FISURA Es el estado en el cual bajo la combinación de las acciones considerada, la Abertura de las Fisuras (Wk) calculada a nivel del centro de gravedad de las armaduras más próximas a la fibra más traccionada, considerando la sección fisurada, son iguales a un valor permisible (Wk admisible) en función de las condiciones del medio ambiente y de la sensibilidad a la corrosión de las armaduras pc > 0 Pe

grieta

ft > ft Wk ≤ Wk admisible La abertura de fisura se puede calcular con las siguientes fórmulas:

dp

dp t2 At

At

o

o

t1

o

o

t1

h

o o o o

o o

t2

bw (a) (b) Área efectiva a tracción (a) para cantidad par de refuerzo (b) para cantidad impar de refuerzo Para viga pretensada: A nivel del refuerzo: Wmax = 8.4 At (Δfs) / [(10^6) ∑o] V.5.1 A nivel del borde traccionado: Wmax = 984 At (Δfs) Ri / [(10^6) ∑o] V.5.2 Ri es la relación de la distancia desde el eje neutro a la cara en tracción dividido por la distancia del eje neutro al centro del refuerzo

44

Ri = (h – ys) / (h – r) ys h cg o o o o

r

At en m², ∑o en metros y Δfs en MPa Para viga postensada que tiene refuerzo no Presforzado: a nivel del refuerzo: Wmax = 11.7 At (Δfs) / [(10^6)∑o] V.5.3 A nivel del borde traccionado: Wmax = 11.7 At (Δfs) Ri / [(10^6)∑o]

V.5.4

GRIETA PERMISIBLE (Wmax) La grieta máxima Wmax, no debe exceder los valores siguientes: Condiciones de exposición Aire seco o membrana protectora Aire húmedo, humedad, suelo Ambiente ácido Agua de mar o salpicadura salina Estructuras de contención de agua

Ancho max (mm) 0.41 0.30 0.18 0.15 0.10

El Reglamento no calcula el ancho de fisura, lo que hace es regular el espaciamiento del refuerzo para que no se produzcan fisuras indeseables. Está basada para un ancho de fisura de 0.41 mm, que responde para estructuras interiores El espaciamiento del refuerzo PRESFORZADO más cercano a una superficie a tracción, (s), no debe exceder a: s = (2/3) 380(280 /∆fps) – 2.5 cc V.5.5 Aunque el Reglamento no lo establece se puede tomar para otros anchos de fisura (como información) lo siguiente: s = (380(280 / ∆fps) – 2.5 cc) (w / 0.41) V.5.6 pero no mayor que 300(280 / ∆fps) (w / 0.41) V.5.7 w en mm Para estructuras exteriores, w ≤ 0.33 mm Para estructuras sometidas a ataques químicos, w ≤ 0.18 mm Para estructuras sometidas a agua de mar o salpicadura de agua de mar, w ≤ 0.15 mm Para estructuras retenedoras de líquidos en condiciones normales, w ≤ 0.25 mm Para estructuras retenedoras de líquidos en condiciones severas, w ≤ 0.20 mm Para estructuras con presión de agua, w ≤ 0.10 mm ∆fps es el esfuerzo calculado en el acero de presfuerzo debido a las cargas de servicio en un análisis con sección fisurada menos el esfuerzo de descompresión fdc. Puede considerarse fdc igual al esfuerzo efectivo, en el acero de presfuerzo, aunque esto último es conservador La magnitud ∆fps no debe exceder los 250 MPa. Cuando ∆fps es menor o igual a 140 MPa los requisitos de espaciamiento anteriores no se aplican Cuando se utiliza refuerzo y tendones adheridos en conjunto para el requerimiento de espaciamiento, el espaciamiento entre barras y tendones no debe exceder 5/6 del dado por V.2 fdc - Esfuerzo en el refuerzo PRESFORZADO cuando el esfuerzo en el hormigón es cero al mismo nivel del centroide de los tendones fdc = fse + fc Eps / Ec V.5.8 fc- esfuerzo en el hormigón al nivel del acero en la etapa de carga muerta y presfuerzo.

Para estructuras expuestas a medios muy agresivos, o cuando se diseñen para ser impermeables se requiere precauciones e investigaciones especiales

45

Esfuerzo

fs ∆ fps fdc fse

0.01

0.02 0.03 Deformación Unitaria Esfuerzo de Descompresión (fdc) También es posible calcular el incremento del esfuerzo de la armadura presforzada) Δps con las expresiones siguientes (Referencia 2): -para tracción axial: Δps = (P – Pe) / (Aps + As) V.5.9 -para flexión: Δps = [M – Pe (zf – ea)] / (Aps + As) zf V.5.10 -para flexo-compresión: Δps = [P (e – zf) – Pe (zf – ea)] / (Aps – As) zf V.5.11 -para flexo-tracción con eoc  0.8 de, Δps = [P (e + zf) – Pe (zf – ea)] / (Aps + As) zf V.5.11 Para los elementos a flexo-tracción con eoc < 0.8de, el valor de ps se determina con la misma fórmula, tomando zf igual a za, que es la distancia entre los centros de gravedad de la armadura traccionada y comprimida -para sección rectangular: zf = de [1 – (k / 2)] V.5.12 -para sección T: zf = {1 – {[(ho / h) Y + (k/2)] / [2 (Y + k)}} de V.5.13 La relación entre la zona comprimida y el peralto total se determina con la expresión: (k / de) = L1  Н  1.0 V.5.14 Y= {(be – b)ho + [(np Aps’ + ns As’) /2υ]} / bw

V.5.15

L1= 1/ {1.8 + {[1 + 5 (L + T)]/ (10 ρn)}} V.5.16 Н = (1.5 + Y) / [(11. 5 eam /d)  5]

V.5.17

El valor de Η se toma positivo cuando Ptotal es de compresión y negativo si es de tracción En H el valor de 5 es negativo si Ptotal es de tracción y positivo si es de compresión Ptotal =  P+ Pe, considerando (+) cuando P es de compresión ρn = (Aps np + As’ ns) / bw de V.5.18 T = Y [1 – (ho / 2 de)] V.5.19 L = Ms / fc’ bw de^2 V.5.20 Ms-momento con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad de la armadura traccionada debida a las fuerzas exteriores y a la fuerza efectiva del PRESFORZADO (Pe) donde: -para flexión: Ms = M + Pe ea V.5.21 X -para flexo-compresión y flexo-tracción: Ms = P e + Pe ea V.5.22 ea- distancia desde el punto de aplicación de la fuerza de PRESFORZADO Pe hasta el eje que pasa por el centro de gravedad de la armadura traccionada e-distancia desde el punto de aplicación de la carga exterior P hasta el eje que pasa por el centro de gravedad de la armadura traccionada np y ns-coeficientes de equivalencia de la armadura de PRESFORZADO y la ordinaria ν = 0.45-para acción breve de la carga

46

ν = 0.15-para la acción a largo plazo de las cargas y humedad superior a 40% eam = Ms/ Ptotal V.5.23 V.6 EXIGENCIAS DEBIDAS A LA DURABILIDAD. Las exigencias concernientes a la durabilidad, se definen en función: -Del ambiente en el cual se encuentra la estructura o elemento considerado.

-De la sensibilidad de las armaduras a la corrosión V.6.1. Condiciones de Ambiente: Las condiciones de ambiente son divididas en tres categorías: a) Ambiente No Agresivo.

Interiores de edificaciones en los que la humedad relativa del aire es inferior al 60% b) Ambiente Agresivo. .Interiores de edificaciones donde la humedad es elevada o pueda ocurrir que existan ocasionalmente vapores corrosivos .Estructuras en intemperie de atmósfera rural o urbana sin fuertes condensaciones de grado agresivo .Suelos ordinarios c) Ambiente Muy Agresivo. .Líquidos conteniendo sustancias corrosivas o agresivas, ácidos disueltos, aguas salinas o fuertemente Oxigenadas. .Gases corrosivos .Suelos particularmente corrosivos .Atmósfera corrosivas industrial o marítima.

V.6.2 Sensibilidad de las Armaduras a la Corrosión Las condiciones de sensibilidad de las armaduras a la corrosión son divididas en dos categorías: a) Armaduras Muy Sensibles Se consideran como muy sensibles a la corrosión aquellas armaduras de diámetro menor o igual a 4 mm Cualquiera que sea su tipo o resistencia y los aceros estirados en frío sometido a una tracción permanente Superior a 420 MPa, en particular todas las armadura de presfuerzo, excepto aquellas que estén muy bien protegidas. b) Armaduras Normalmente Sensibles Se consideran como normalmente sensibles, a todos los otros tipos de armadura, en partículas las barras de refuerzo de aceros naturales utilizados en el Hormigón Estructural Reforzado No obstante, deberán preverse medidas especiales cuando se prevén riesgos de fragilidad a causa de fenómeno de corrosión bajo tensión o en presencia del hidrógeno V.7 EXIGENCIAS DEBIDAS AL ASPECTO En casos especiales, en los cuales debe considerarse el aspecto exterior de los elementos, la Abertura de Fisuras (Wk) en la fase de explotación o en las fases de construcción, debe limitarse al valor de: Wk = 0.1 mm V.8. EXIGENCIAS DEBIDAS A LA COMPRESIÓN DEL HORMIGÓN En ciertos casos, es necesario limitar los esfuerzos de compresión del hormigón en condiciones de utilización bajo la acción de cargas excepcionales en la fase de explotación o en la fase de construcción a un valor de 0.6 fc’; y de 0.5 fc’ bajo la acción de cargas usuales.

V.9 CIERRE DE FISURAS Lo más peligroso referente a la corrosión, no es que el elemento se fisure, si no, que la fisura se mantenga un largo período de tiempo. Para que la fisura provocada por las cargas de corta y larga duración se cierre, es necesario que la armadura pretensada trabaje en estado elástico y no surjan deformaciones permanentes.

47

El diagrama esfuerzo-deformación de las armaduras de presfuerzo es generalmente según la siguiente figura:

Normalmente el esfuerzo de tensión inicial que se somete a la armadura es 0.94 fu Consideremos que a la armadura de un elemento, le vamos estirando poco a poco hasta alcanzar el valor de fpi. Asumiendo que se alcance un valor de fpi = fp0.2, Punto A del siguiente diagrama:

Cuando se producen las pérdidas, la armadura se descarga hasta el Punto D y NO al B, ya que cuando se sometió la armadura a la tensión inicial (fpi) el esfuerzo llegó al Punto A y se produjo la deformación permanente ε = 0.002 (indicada en el diagrama como Punto C) Ahora sometemos al elemento a una carga exterior de larga duración hasta un instante antes de formarse la Primera Grieta (Punto E), posteriormente lo sometemos a una carga breve (por ejemplo el viento extremo), entonces el esfuerzo aumenta hasta el Punto F produciéndose la primera grieta. Cuando la carga de viento desaparece, el esfuerzo vuelve al Punto E, debido que la línea esfuerzo-deformación, sigue la línea A-C que es elástica, por lo tanto, toda carga que actúe hasta alcanzar el Punto A, seguirá un diagrama esfuerzodeformación elástico, lo cual induce que toda fisura que se forme, se cerrará, siempre que no se sobrepase el valor de fpi (Punto A)

V.10 EXPERIENCIA DEL AUTOR El Autor elaboró el proyecto de un elemento de hormigón pretensado de 18 m de longitud. Se construyeron varios prototipos a fin de ensayarlos y comprobar su comportamiento y cálculos antes de su producción masiva.

48

En dos de ellos se obtuvieron resistencia característica del hormigón de diferentes valores, el que designaremos como Prototipo I, fue de 32.27 MPa y el Prototipo II de 42.93 MPa, la resistencia especificada del hormigón era de 30 MPa. Todas las armaduras fueron probadas antes de utilizarse y cumplían con los valores de diseño. La colocación de la armadura, la fuerza de PRESFORZADO y otras características cumplían con el proyecto.

La prueba se realizó, colocando el elemento horizontal sobre una superficie lisa y se fue aplicando la carga poco a poco en uno de sus extremos, el otro extremo se colocó en un aditamento rígido, para que trabajara en voladizo, tal como era su trabajo real.

La carga de utilización era de 13.2 kN Los resultados que se obtuvieron fueron los siguientes: ANCHO DE GRIETA EN EL BORDE (mm

PROTOTIPO CARGA APLICADA (kN) 2.2 4.5 6.6 8.8 13.2 0 13.2 17.0 20.0 23.0 26.0 29.0 32.0* 35.0*

I

II

0 0 0 0.02 0.04 0 0.04 0.06 0.10 0.16 0.20 0.24 0.26 -

0 0 0 0 0.04 0 0.04 0.06 0.10 0.17 0.20 0.24 0.28 0.30

*Después de estos valores, el ensayo se terminó, ante la imposibilidad de incrementar la carga debido por fluencia en la zona de empotramiento por fallo de tracción diagonal.

Observando los valores, para la carga de 8.8 kN en el Prototipo I se obtuvo una micro fisura de 0.02 mm y en el Prototipo II, para esa carga no se produjo fisura alguna, lo cual es lógico, ya que el Prototipo II tiene una resistencia a tracción del hormigón más alta que la del Prototipo I, por lo cual, el Momento de Fisuración es mayor. Para la carga de 13.2 kN en los dos Prototipos se observa una fisura del mismo valor.

Esto se produce porque en los dos Prototipos, el esfuerzo en la zona traccionada sobrepasó la resistencia del hormigón a tracción, y como la armadura es idéntica en los dos, trabajan a los mismos esfuerzos.

De todo lo anterior se induce que después de aparecer la Primera Grieta su ancho será el mismo para la carga que la produce, independiente de la calidad del hormigón, esto se confirma observando los restantes valores Cuando la carga alcanza la carga de diseño, el ancho de fisura es el mismo para los dos con un valor de 0.04 mm. Como observación, este ancho de fisura es más que admisible para el tipo de elemento, ya que la carga horizontal es exclusivamente de viento, el valor admisible para este tipo de elemento se puede suponer de 0.1 mm Continuando observando los valores, al llegar la carga de diseño, el elemento se descargó completamente y las fisuras se cerraron, lo cual se produce porque el refuerzo trabaja en estado elástico, debido a que los esfuerzos en la armadura no sobrepasan el valor fpi.

Todo lo anterior comprueba que el diagrama esfuerzo-deformación es lineal (siempre que las cargas exteriores no sobrepasen el valor de fpi) ya que si no lo fuera, entonces se produciría una deformación remanente en la armadura que no se produjo.

V.11 EJEMPLO DE DESCOMPRESIÓN DE UNA SECCIÓN Para la sección del Ejemplo IV.11

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a-Determinar si se produce descompresión para una solicitación de tracción de N = 1.2 MN aplicada en el centro de gravedad de la sección b-Determinar si se produce descompresión para un momento M= 0.5 MN-m y una solicitación de tracción de N = 0.1 MN aplicada en el centro de gravedad rc = (r^2) /y Solución: Los datos son: Pe = 1.2786 MN

ep = 0.277 m r^2 = 0.166 m^2 y = 0.611 m (hasta el borde superior) Mdes = Pe (ep + rc) V.3.1 Mdes = 0.7015 MN-m a) La carga de tracción de N = 1.2 MN produce en el borde superior un momento de: M = N y = 1.2 x 0.611 = 0.733 MN-m > Mdes, por lo tanto la sección se descompresiona en el borde superior b) El momento flector en el borde superior debido a las solicitaciones es de: M = M + N y = 0.5 + 0.1 x 0.611 = 0.5611 MN-m < Mu, por lo tanto no se produce descompresión en el borde superior V.12 EJEMPLO ESTADO LÍMITE DE FORMACIÓN DE FISURAS Para la sección del Ejemplo IV.11 a-Determinar si se forman grietas para una solicitación de tracción de N = 1.6 MN b-Determinar si se forman grietas para un momento de M= 1.0 MN-m c-Determinar si se forman grietas para una solicitación de compresión de P = 0.8 MN, aplicada a un metro del centro de gravedad de la sección Solución: Datos: Pe = 1.2786 N Ac = 0.2 m^2 fc’ = 42 MPa ep = 0.277 m Sb = 0.1363 m^3 rc = 0.27 m a-La fuerza de fisuración de la sección es: Ncr = Pe + 0.62 √fc’ Ac V.4.1a Ncr = 1.2786 + 0.62 √ 42 x 0.2 = 5.3 MN > N = 1.6 MN No se forman grietas b-El momento de fisuración de la sección es: Mcr = Pe (ep + rc) + 0.62 √fc’ Sb V.4.5a Mcr = 1.2786 (0.277 + 0.27) +0.62 √42 x 0.1363 = 1.247 MN-m > M No se producen grietas c-En este caso M = P e1 e1 = 1.28 m M = 0.8 x 1.28 = 1.024 MN-m Como Mcr según el inciso anterior es Mcr = 1.247 MN-m > M La sección no se agrieta V.13 EJEMPLO FISURACIÓN EN LA ZONA COMPRIMIDA DE UNA SECCIÓN Determinar si la sección del Ejemplo IV.11, en el instante de aplicarle la fuerza de PRESFORZADO, la zona más comprimida se fisura Solución: La fuerza inicial total es: Pi = 1.1956 MN En el instante del tesado, las únicas pérdidas que se han producido son las de corrimiento del anclaje y rozamiento.

Las pérdidas son 63.0 + 49.5 = 112.5 MPa, la fuerza de las pérdidas es 112.5 x 9.05 x 10^ (-5) m^2 Ppérdida = 0.01018 MN P = 1.1854 MN ep = 0.275 m, S = 0.1363 m³ Ac 0.23 m² f = P / Ac ± P e / S = (1.1854 / 0.23) ± 1.1854 x 0.275 / 0.1363 f inf =7.54 MPa psup =3.15 MPa A los 3 días de edad del hormigón (Momento de Transferencia) fcj = 25.6 MPa fcj > finf fcj > fsup

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Por lo tanto, no se producen fisuras por compresión en el momento de transferencia de la fuerza de PRESFORZADO al hormigón V.14 EJEMPLO. HALLAR EL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO POR FISURACIÓN Sea la viga del ejemplo IV.11, halle espaciamiento del refuerzo para cumplir con la fisuración 0.30 m

1.20 m Aps = 10  12

Diámetro del cable = 12.4 mm Δfs = 210 MPa Para estructura exterior Solución: Para estructura exterior w ≤ 0.33 mm Aplicamos la siguiente fórmula: s = (380(280 / ∆fps) – 2.5 cc) (w / 0.41) V.5.6 pero no mayor que 300(280 / ∆fps) (w / 0.41) V.5.7 s = (380(280 / 210) – 2.5 x 40) (0.33 / 0.41) = 327 mm V.15 PROBLEMAS PROPUESTOS V.15.1 Para la sección del Ejemplo V.11: a-Determinar si se produce descompresión para una solicitación de tracción de N = 1.5 MN aplicada en el centro de gravedad de la sección b-Determinar si se produce descompresión para un momento M= 0.5 MN-m y una solicitación de tracción de N = 0.15 MN aplicada en el centro de gravedad V.15.2 Para la sección del Ejemplo V.11: a-Determinar si se forman grietas para una solicitación de tracción de N = 1.4 N b-Determinar si se forman grietas para un momento de M= 1.2 MN-m c-Determinar si se forman grietas para una solicitación de compresión de N = 1.0 MN, aplicada a un metro del centro de gravedad de la sección homogeneizada V.15.3 Para la sección del ejemplo V.14 determinar el espaciamiento del refuerzo por fisuración Δfs = 210 MPa Para estructuras sometidas a ataques químicos

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CAPÍTULO VI ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN VI.1 ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN Para garantizar un buen comportamiento bajo las cargas de utilización, las deformaciones de los elementos de Concreto Estructural no deben sobrepasar ciertos Límites de Deformación.

El Estado Límite de Deformación debe comprobarse solamente en los casos en que las deformaciones puedan perturbar la utilización de la construcción o destruirla, por lo tanto, se impone solamente en los casos en los que exista peligro de sobrepasar uno de los Estados Límites siguientes: a) Fisuras perjudiciales en los elementos (ejemplo: tabiques) a causas de una deformabilidad excesiva de la estructura b) Deformaciones que puedan producir efectos perjudiciales sobre elementos no resistentes (ventanas, puertas, vidrieras etc.) c) Deformaciones excesivas que puedan producir efectos estéticos indeseables d) Vibraciones inadmisibles bajo la influencia de cargas variables e) Deformaciones que incrementen en forma no admisible los efectos no dinámicos de equipos sustentados (grúas viajeras) f) Deformaciones que afecten el funcionamiento tecnológico de los equipos sustentados g) Deformaciones que pueden provocar perjuicios en el funcionamiento del elemento.

Para evitar perturbaciones como las indicadas, deben estudiarse todas las consecuencias posibles de la deformabilidad de la estructura y prever las disposiciones necesarias para evitar sus consecuencias a lo largo del elemento, en función del tipo de cargas y según los esfuerzos que puede haber en la zona traccionada, tramos sin fisuras y con fisuras. Se considera que los elementos o sus tramos carecen de fisuras si al actuar las cargas permanentes (muertas ), las de larga duración y las de corta duración (vivas) no se forman fisuras, o sea, que los esfuerzos de tracción no sobrepasan la Resistencia a Tracción del Concreto (fct) o Módulo de rotura fr = 0.62 √ fc’ Las deformaciones se calculan según las fórmulas de la teoría clásica de la resistencia de los materiales y la elasticidad; introduciendo en el cálculo, los valores de las cargas y de la resistencia nominales de los materiales.

El Reglamento clasifica los elementos de concreto presforzado en tres clases, que ya vimos en el Inciso III.4 a) Clase U (ft  0.62 (fc’) MPa (Sección No agrietada) La deformación inmediata de la Clase U de concreto PRESFORZADO puede ser calculada por los métodos usuales o fórmulas para deformación elástica, usando el momento de inercia de la sección bruta (no agrietada). No es necesario colocar refuerzo de piel Nota: El Reglamento utiliza el área bruta de la sección: El Autor considera que debe utilizarse el área homogeneizada El área homogeneizada es Ah = Ac + np Aps + ns As VI.1.1 Ah – área de concreto homogenizada Ac- área de la sección de concreto np = Ep / Ec coeficiente de equivalencia del refuerzo PRESFORZADO Aps- área del refuerzo PRESFORZADO ns = Es / Ec coeficiente de equivalencia del refuerzo ordinario Ec, Ep, Es- Módulo de elasticidad del concreto, del acero de presfuerzo y del acero ordinario respectivamente b ) Clase T ( 0.62 fc’ < ft  1.0 fc’) MPa (Sección en la zona de transición) En este caso, la sección bruta es utilizada para comprobar los esfuerzos y la bi-linear sección agrieta es utilizada para calcular las deformaciones. Se permite utilizar el momento de inercia efectivo Ie. No es necesario colocar refuerzo de piel en la zona a tracción a) Clase C (ft > 1.0 fc’) (MPa) ( Sección transformada agrietada) Debe utilizarse las propiedades de la sección agrietada para comprobar los esfuerzos, grietas y deformación. Refuerzo de piel debe colocarse en elementos con peralto d > 90 cm (35 pulg.)

El cálculo de Δfps o fs, es necesario para el control de las grietas.

Las losas reforzadas en dos sentidos deben ser diseñadas como Clase U

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VI.2 COMPORTAMIENTO DE LA DEFORMACIÓN La deformación instantánea en los elementos PRESFORZADOS es calculada con sección homogénea isotrópica y elástica La relación cargas-deformación es tri-linear: Región I. Estado pre-agrietado. La sección no está agrieta Región II. Estado post-agrietado. La sección tiene aceptable agrietamiento Región III. Estado agrietado. Los esfuerzos en el refuerzo a tracción alcanzan su límite elástico Estas regiones se muestran en la siguiente figura: Carga I

II

III

contraflecha

0

Deformación Δ Relación de la carga-deformación de una viga Figura VI.2.1

VI.2.1 Región I Se considera que los elementos o sus tramos carecen de fisuras y que los esfuerzos de tracción no sobrepasan la resistencia a Tracción del Concreto (ft) o Módulo de rotura fr = 0.62 √ fc’ o lo que es lo mismo que el Momento de Fisuración (Mcr) sea mayor que el Momento actuante (M) En el caso de vigas simplemente apoyadas si el esfuerzo (finf) en la fibra extrema a tracción en el centro de la luz es igual a fr, se obtiene que: finf = fr = - (Pe / Ac) [1 + (e ci / r²)] + Mcr / Sb VI.2.1 Si la distancia de la fibra extrema a tracción al centro de gravedad de la sección es yinf, el momento Mcr se puede obtenerse también con: Mcr = (Ig / yinf) {(Pe / Ac)[1 + (e ci/ r²)] + 0.62 √fc´ VI.2.2 o Mcr = Sb{0.62√fc´ + (Pe / Ac)[1 + (e ci /r² )]} VI.2.3 El momento de la carga viva que causa grietas en flexión puede obtenerse con: Mcrv = (Ic / yinf) (0.496√fc´+ fpe – fd) VI.2.4 fpe – Esfuerzo a compresión debido al esfuerzo efectivo después de la pérdidas en la fibra extrema de la sección causada por las cargas externa. En el centroide fpe = fcpromedio fd – esfuerzo en la sección en la fibra extrema a tracción debido a la carga de servicio de la carga muerta cuando los esfuerzos de tracción y agretamiento son causados por la carga externa yinf- distancia desde el centroide a la fibra extrema a tracción En este caso Mcrv (ecuación VI.2.4) es la porción del momento de la carga viva aplicada que causa grietas e – excentricidad del presfuerzo La deformación de los elementos PRESFORZADOS simplemente apoyados con tendones con excentricidad constante sin grietas, se obtiene con la siguiente fórmula: δc = P e L² / 8 Ec Ig VI.2.5 Esta deformación es contraflecha

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Para otro tipo de tendido de los tendones y otro tipo de cargas se realiza similarmente. La contraflecha final o deformación es la superposición debido al presfuerzo y la deformación de las cargas externas Por ejemplo para una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida, la deformación por esta carga es: δ = 5w L^4 /384 E Ic. La contraflecha por el presforzado es δc = P e L² / 8 Ec Ig La deformación (flecha) total es δtotal = 5w L^4 /384 E Ic - P e L² / 8 Ec Ig VI.2.2 Región II La Región I termina cuando aparece la primera grieta. Cuando se desarrollan las grietas por flexión, la contribución del esfuerzo de tracción del concreto disminuye en la zona de tracción del elemento, con lo cual la rigidez a flexión disminuye. El momento de inercia disminuye en la sección agrietada y se debe utilizar el momento de inercia agrietado Icr El valor de Icr, se determina con la siguiente ecuación: Icr = (np Aps dp² + ns As d²)(1 – 1.625 √(np ρp + ns ρ) VI.2.6 ns = Es / Ec d- la distancia desde el centro del refuerzo no presforzado al borde en compresión Si no existe refuerzo no presforzado la fórmula anterior se convierte en: Icr = (np Aps dp²) (1 – 1.625 √(np ρp )

VI.2.7

VI.2.3 Región III Cuando las cargas siguen aumentando, el esfuerzo εs en el refuerzo en la zona de tracción continua aumentando alejado de la deformación unitaria en el límite elástico sin adición de esfuerzo. La viga se considera que ha fallado VI.3 MÉTODO DEL MOMENTO DE INERCIA EFECTIVO En este caso se puede utilizar el momento de inercia efectivo.

Ie = (Mcr / Ma)³ Ig + [1 - (Mcr / Ma)³]Icr ≤ Ig VI.3.1 Mcr / Ma = 1 – [(ftl – fr) / fL] VI.3.1a Ma- máximo momento producido por la carga viva de servicio (sin mayorar) Icr – momento de inercia de la sección agrietada Mcr y Ma son los momentos debido a la carga viva solamente, Mcr es tomada como el momento de la porción de la carga viva que causa agretamiento ftl – esfuerzo total fL – esfuerzo por la carga viva = ML / S Además debe considerarse lo siguiente: a) Para luces continuas, el momento efectivo de inercia se permite tomar como el promedio del momento de inercia de la sección critica de momento positivo y negativo b) Para miembros prismáticos, el momento de inercia efectivo (Ie) se permite tomar con la ecuación anterior en el centro de la luz para una luz , para elementos continuos y para voladizos en el apoyo c) Para vigas continuas de elementos prismáticos y no prismáticos, se puede tomar el promedio de Ie según: -Para vigas con ambos extremos continuos: Ie = 0.7 Im + 0.15 (Ie1 + Ie2) VI.3.2 -Para vigas con un extremo continuo: Ie = 0.85 Im + 0.15 (Icon) VI.3.3 Im – valor de Ie en el centro de la luz le1 y Ie2 – valor de Ie en los extremos de la viga Icon – valor de Ie en el extremo continúo También puede tomarse como el promedio de los Ies en la sección de momento positivo y negativo críticos. En el caso de viga sometida a una sola carga concentrada, sólo el valor de Ie en el medio de la luz debe ser utiliza

VI.4 MÉTODO BI-LINEAR El método bilinear lo mostraremos en forma gráfica. Los diagramas para las zonas de Ig y Icr son mostrados en la siguiente figura:

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La fórmula de Ie se utiliza calcular la deformación inmediata total δtotal = δe + δcr

Ma Icr Momento

δe – Deformación utilizando Ig δcr – Deformación utilizando Icr Ie = momento de inercia promedio para calcular δtotal = δe + δcr

Mcr Ig Ie

δe

δcr

Deformación δ

Figura VI.4.1 Relación momento-deformación VI.5 MÉTODO DEL INCREMENTO DE MOMENTO-CURVATURA El momento de inercia de la sección agrieta puede calcularse con la relación del momento y la curvatura a lo largo de la luz y de los esfuerzos y de la deformación unitaria a través de la sección, como se muestra en la siguiente figura VI.5.1 para εcr de la primera grieta εcsi εcse εcs εu c θe

θu

θ

h θi

εcii

εcie

εci

a b c d a – Presfuerzo inicial θi = (εcii – εcsi) / h b – Presfuerzo efectivo después de las pérdidas θe = (εcie - εcse) / h c – Carga de servicio θ = (εci - εcs) / h d – Fallo θu = εu / c Figura VI.5.1 Distribución de deformación unitaria y curvatura en el estado de cargas controladas θcr = εcr / c = M / Ec Icr VI.5.1 εcr – deformación unitaria en la fibra extrema a compresión M – momento total, incluyendo el momento del presfuerzo inicial en el centroide cgc de la sección en consideración El momento de inercia fisurado puede obtenerse de la fórmula anterior, siendo Icr = M c / Ec εcr = M c / f VI.5.2 f – esfuerzo de compresión en la fibra extrema de la sección = Ec εcr

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VI.6 MÉTODO DE INCREMENTO SEGÙN EL TIEMPO PARA ELEMENTOS PRESFORZADOS La deformación total (∆t) se obtiene según la siguiente expresión ∆t = A + B + C + D + F +G + H + I A) Debido a la excentricidad de la fuerza de PRESFORZADO, se produce una contra flecha (po) en el elemento, la cual se calcula con la siguiente fórmula:

Pi

Pi po

A= - po (contra flecha debido al momento de PRESFORZADO inicial después de las pérdidas elásticas) po = Pi e l^2 / 8 Eci Ig –para cables rectos po = Pi l^2 / 48 Eci – para cables parabólicos Pi- PRESFORZADO inicial después de las pérdidas elásticas l-luz de cálculo e – excentricidad (distancia entre el centro de gravedad del elemento y el centro de gravedad del PRESFORZADO Eci- Módulo de elasticidad inicial del concreto Ig –momento de inercia de la sección bruta B) Por el peso propio se produce la deformación (pp) producto de esa carga pp

B = + pp (deformación inicial debida al peso propio del elemento) pp = 5 MD l^2 / 48 Eci Ig –para viga simplemente apoyada MD-momento en el centro de la luz debido al peso propio de la viga Pp= P l^3 / 48 Eci Ig – para carga concentrada en el centro de la luz

C) Debido a la fluencia se produce la contra flecha producto del PRESFORZADO

Pi

Pi pe

C – contra flecha debido a la fluencia del elemento producto del momento del PRESFORZADO (incluyendo la fluencia y las pérdidas del pretensado) C = - pe = - (Pu/Pi) + (kr Cu) [1 – (Pu/ 2 Pi)] po El valor promedio de la relación de las pérdidas después de la transferencia excluyendo las pérdidas elástica (Pi – Pe) / Pe es 0.18 para concreto normal Pe – Fuerza de PRESFORZADO efectivo

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Se permite tomar Cu=2.0 kr= 1 / [1 + (As /Aps)] para As/ Aps < 2 Cuando kr = 1.0 y Pu = Pi – Pse los términos A y C pueden combinarse como -po -[-po + pe + Cu [(po + pe)/2]) = -pe – Cu [(po + pe)/2] D) Posteriormente se produce la deformación producto de la fluencia debido al peso propio (fpp) fpp

fpp -deformación debida a la fluencia producto del peso propio del elemento fpp = (kr Cu) pp E) Otra deformación que se produce es la deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga muerta (Icc) E = Icc (deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga muerta) Icc =5 MSD (l^2)/48Ec Ig para viga simplemente apoyada Icc

F) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta F- (fcc) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta fcc =(s kr Cu) E s= 0.85 para 3 semanas; 0.83 para un mes; 0.76 para dos meses; 0.74 para 3 meses, 0.71 para 4 meses (para cuando la carga muerta es colocada a la edad diferente a 20 días)

fcc

G) Deformación inicial debida a la carga viva G=Icv (deformación inicial debida a la carga viva Icv= 5 ML (l^2) / 48 Ec Ig - para viga simplemente apoyada y carga uniformemente repartida Icv

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I) Deformación de fluencia de la carga viva I = fcv (deformación de fluencia de la carga viva) fcv= (MsL / M) Cu Icv MsL- momento por porción de la carga de viva fcv

VI.6 EFECTO DE DEFORMACIÓN PARA CARGA DE LARGA DURACIÓN El factor para tener en cuenta la deformación para carga de larga duración utilizada en concreto reforzado utilizada en el inciso XIV. 3. 2 del Tomo I, no puede utilizarse en el concreto presforzado, debido a los siguientes factores: a ) La contraflecha y la deformación durante la erección del elemento b ) El incremento de la resistencia después de libertar el presfuerzo debido a las pérdidas c ) Los efectos prolongados de la fuerza del presfuerzo y de las pérdidas Los métodos del momento de inercia efectivo, bi-linear, incremento de momento-curvatura, nos dan la deformación instantánea, el método de incremento según el tiempo nos da la deformación para carga de larga duración VI.7 DEFORMACIONES MÁXIMAS PERMISIBLES Las deformaciones calculadas no deben ser superiores a los límites indicados en la siguiente Tabla Deformaciones máximas permisibles Tipo de elemento Deflexión que se considera Cubiertas planas que no soportan Deflexión instantánea debida a la o no están unidas a elementos no carga viva estructurales que puedan ser dañados por deflexiones grandes Losas que no soportan o no están Deflexión instantánea debida a la unidas a elementos no carga viva estructurales que puedan ser dañados por deflexiones grandes Cubiertas o losas que soportan o La parte de la deflexión total que están unidas a elementos no se presenta después de la unión a estructurales susceptibles de elementos no estructurales o sea daños debido a deflexiones la suma de las deflexiones a largo grandes plazo debida a cargas permanentes, más las instantáneas debida a cualquier carga viva adicional (Véase la Nota 3) Cubiertas o losas que soportan o La parte de la deflexión total que están unidas a elementos no se presenta después de la unión a estructurales que no puedan ser elementos no estructurales o sea dañados por deflexiones grandes la suma de las deflexiones a largo plazo debida a cargas permanentes, más las instantáneas debida a cualquier carga viva adicional (Véase la nota 3)

Deflexión limite L / 180

Nota 1

L / 360

L / 480 Nota 2

L / 240 Nota 4

Notas de la Tabla 1- La intención de este límite no es salvaguardar la eventualidad de acumulación de agua por efecto de la misma deflexión. Esta debe verificarse por medios de cálculos adecuados, incluyendo las deflexiones adicionales debidas al agua acumulada y además considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas permanentes, contra flechas, tolerancias de construcción y confiabilidad de los sistemas de drenajes

58

2- Este límite puede ser excedido si se toman medidas adecuadas para evitar el daño de los elementos soportados 3- Las deflexiones a largo plazo deben determinarse de acuerdo con la deformación total para carga de larga duración anteriormente descripta y, pero pueden reducirse en la deflexión que se calcule que ocurre antes de instalar los elementos no estructurales. Esta última deflexión debe determinarse con base en datos apropiados acerca de las características de deflexiones a largo plazo de elementos similares a los considerados 4 – No debe ser mayor que la tolerancia de los elementos no estructurales. El límite puede ser excedido si se provee una contra flecha tal que la deflexión total menos la contra flecha no exceda el limite VI.8 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LA DEFORMACIÓN INICIAL DE UNA VIGA Determinar de la flecha inicial de una viga presforzada, según los siguientes datos: Viga de 10 m de luz, sometida a una carga muerta impuesta de (wsd) de 0.05 MN/m y una carga viva (wL) de 0.08 MN/m, simplemente apoyada. Sea la sección que se muestra en la figura. Esta reforzada con 10 cables, fpu = 1860 MPa. 0.30 m

1.10 m 1.20 m Aps = 10  12

fc’ = 35 MPa ft en la transferencia = 2.95 MPa ft en vida útil = 5.91 MPa Ec = 34000 MPa Ecr =28900 MPa Resistencia del concreto al momento de la transferencia (considerándolo a los 3 días) fcj’= 0.7 x 35 = 24.5 MPa ftj’ = 4.31 MPa Ecj = 32270 MPa Ecrj = 27430 MPa Refuerzo de pretensado Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial = 1320 MPa Pi = 1.19 MN fse = 1065 MPa Pe = 0.96 MN Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa Ac = 0.23 m^2 Sc = 0.1363 m^3

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La distancia del centro de gravedad de la sección hasta el borde inferior: yo = 0.6m Momento de inercia de la sección bruta: Ig = 0.038 m^4 r = √Ig / Ac = 0.406 m La fuerza inicial total es: Pi = 10 x 1320 x 9.06 x 10^ (-5) = 1.19 MN El punto de aplicación es: yp = 0.10 m del borde inferior Luz de cálculo 10 m Considerando que la armadura tiene 10000 mm de largo Solución: Momento por peso propio MD = 0.07 MN-m Momento por carga muerta impuesta MSD = 0.625 MN-m Momento por carga viva ML = 1.0 MN-m - En el centro de la luz a ) En la transferencia fsup = - (Pi / Ac) (1 – e cs / r²) – MD / Sc fsup = – 3.72 MPa (C) < - 17.15 MPa finf = - (Pi / Ac) (1 + e ci / r²) + MD / Sc finf = - 14.07 MPa (C)< -17.45 MPa b) A la carga de servicio Momento total = M D + MSD + ML = 0.07 + 0.625 + 1.0 = 1.695 MN-m fsup = - (Pe / Ac) (1 – e cs / r²) – MT / Sc fsup = = – 9.0 MPa (C) < fc = - 15.75 MPa finf = - (Pe / Ac) (1 + e cs / r²) + MT / Sc finf = 0.66 MPa (T) < ft = 3.66 MPa La sección no está agrietada debido que el esfuerzo a tracción producida en la zona traccionada es menor que 0.62 √fc´ = 3.66 MPa y es permitido utilizar Ig. En este caso, el momento de inercia Ie puede tomarse como Ig Tomando como momento de inercia Ig, tenemos: La deformación (flecha) inicial total es δtotal = 5 w L^4 /384 Ec Ig - P e L² / 8 Ec Ic δtotal = 5 w L^4 /384 Ec Ig - - P e L² / 8 Ec Ig δtotal = 0.00675 m δtotal = 0.676 cm VI.9 DEFORMACIÓN UTILIZANDO EL MOMENTO DE INERCIA Ie Determinar la deformación de la viga del Ejemplo VI.8, utilizando el método de Ie, considerando que el esfuerzo de tracción finf es 4.0 MPa > 0.62 √fc´.

Ie = (Mcr / Ma)³ Ig + [1 - (Mcr / Ma)³]Icr ≤ Ig Mcr / Ma = 1 – [(ftl – fr)] fL VI.3.1a

VI.3.1

Solución: Ma = ML = 1.0 MN-m fL = ML / S = 1.0 / 0.165 = 6.06 MPa Mcr / Ma = 1 – [(ftl – fr) /fL] = 0.944 (Mcr / Ma)³ = 0.841 Icr = (np Aps dp² )(1 – 1.625 √(np ρp) VI.2.7 Icr = 0.00444 m^4 Ie = 0.0322 m^4 < Ig = 0.038 m^4 Se utiliza Ie Deformación debida a la carga viva = δ = 5 w L^4 /384 Ec Ie = 0.0095 m = 0.951 cm VI.10 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LA DEFORMACIÓN INICIAL DE UNA VIGA UTILIZANDO EL MÉTODO DE INCREMENTO SEGÙN EL TIEMPO

60

Determine la deformación de una viga según el método de incremento del tiempo. La viga de 10 m de luz, sometida a una carga muerta de 0.1 MN/m incluyendo el peso propio y una carga viva de 0.3 MN/m, simplemente apoyada. Sea la sección que se muestra en la figura. Esta reforzada con 10 cables, fpu = 1860 MPa. 0.30 m

1.10 m 1.20 m Aps = 10  12

fc’ = 35 MPa ft en la transferencia = 2.95 MPa ft en vida útil = 5.91 MPa Ec = 34000 MPa Ecr =28900 MPa Resistencia del concreto al momento de la transferencia (considerándolo a los 3 días) fcj’= 0.73 x 35 = 25.6 MPa ftj’ = 4.31 MPa Ecj = 32270 MPa Ecrj = 27430 MPa Refuerzo de pretensado Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial = 1320 MPa Pi = 1.19 MN fse = 1065 MPa Pse = 0.96 MN Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa Ac = 0.23 m^2 Sc = 0.1363 m^3 La distancia del centro de gravedad de la sección hasta el borde inferior: yo = 0.589 m Momento de inercia de la sección bruta: Ig = 0.038 m^4 La fuerza inicial total es: Pi = 10 x 1320 x 9.06 x 10^ (-5) = 1.19 MN El punto de aplicación es: yp = 0.10 m del borde inferior Luz de cálculo 10 m Considerando que la armadura tiene 10000 mm de largo La deformación total (∆t) se obtiene según la siguiente expresión

61

∆t = A + B + C + D + F +G + H + I A) Debido a la excentricidad de la fuerza de PRESFORZADO, se produce una contraflecha (po) en el elemento, la cual se calcula con la siguiente fórmula

Pi

Pi po

A= - po (contra flecha debido al momento de PRESFORZADO inicial después de las pérdidas elásticas) po = Pi e l^2 / 8 Eci Ig –para cables rectos Pi- PRESFORZADO inicial después de las pérdidas elásticas l-luz de cálculo e – excentricidad (distancia entre el centro de gravedad del elemento y el centro de gravedad del PRESFORZADO Eci- Módulo de elasticidad inicial del concreto Ig –momento de inercia de la sección bruta po = 0.0056 m 3.

Por el peso propio se produce la deformación (pp) producto de esa carga pp

B = + pp (deformación inicial debida al peso propio del elemento) pp = 5 MD l^2 / 48 Eci Ig –para viga simplemente apoyada MD-momento en centro de la luz debido al peso propio de la viga = 0.069 MN-m pp = 0.000008089 m C Debido a la fluencia se produce la contra flecha producto del PRESFORZADO

Pi

Pi po

C – contra flecha debido a la fluencia del elemento producto del momento del PRESFORZADO (incluyendo la fluencia y las pérdidas del pretensado) C = - pe = {-(Pu/Pi) + (kr Cu) [1 – (Pu/ 2 Pi)]} po kr = 1 / [1 + (As /Aps)] As = 0, entonces kr = 1. 0 pe = 0.0111 MN Cuando kr = 1.0 y Pu = Pi – Pe los términos A y C pueden combinarse como -pe – Cu [(po + pe)/2] = - 0. 0278 m D) Posteriormente se produce la deformación producto de la fluencia debido al peso propio (fpp) fpp

62

fpp -deformación debida a la fluencia producto del peso propio del elemento fpp = (kr Cu) pp fpp = (1.0 x 2.0) 0.000008089 = 0.000016178 m E) Otra deformación que se produce es la deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga muerta (Icc) E = Icc (deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga Muerta) Icc =5 MSD (l^2)/48Ec Ig para viga simplemente apoyada Icc = 0.0095136 m Icc

F) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta F- (fcc) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta fcc =(s kr Cu) E s= 0.85 para 3 semanas; 0.83 para un mes; 0.76 para dos meses; 0.74 para 3 meses, 0.71 para 4 meses (para cuando la carga muerta es colocada a la edad diferente a 20 días) Cu = 1.6 La carga muerta se colocara al mes, entonces Bs = 0.83 fcc = (0.83 x 1.0 x 2.0) x 0.0095136 = 0.01579 m fcc

G) Deformación inicial debida a la carga viva G=Icv (deformación inicial debida a la carga viva Icv= 5 ML (l^2) / 48 Ec Ig - para viga simplemente apoyada y carga uniformemente repartida ML = 0.3 x 10^2 / 8 = 3.75 MN-m Icv = 0.030234 m Icv

I) Deformación de fluencia de la carga viva I = fcv (deformación de fluencia de la carga viva) fcv = (MsL / M) Cu Icv MsL- momento por porción de la carga de viva Cu = 1.6 fcv = (MsL / M) Cu Icv = 0.0362 m fcv

La deformación total es:

63

∆t = (A +C) + B + D + F +G + H + I ∆t = 0.064 04 m La deformación total es ∆t = 0.06404 m = 6.404 cm VI.11 PROBLEMAS PROPUESTOS VI.11.1 Determinar la deformación del EJEMPLO VI.8, pero la luz es 9.0 m, con una carga muerta incluido el peso propio de 0.006 MN/m y una carga viva de 0.02 MN/m VI.11.2 Determinar la deformación del EJEMPLO VI.8, con el método de momento de inercia equivalente Ie, con finf es 4.2 MPa VI.11.3 Determine la deformación de una viga según el método de incremento del tiempo. La viga de 10 m de luz, sometida a una carga muerta de 0.1 MN/m incluyendo el peso propio y una carga viva de 0.3 MN/m, simplemente apoyada. Sea la sección del ejemplo VI.10. Esta reforzada con 10 cables, fpu = 1860 MPa.

64

CAPÍTULO VII DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUCTURAL PRESFORZADO SOMETIDA A FLEXIÓN, A FLEXO-COMPRESIÓN, TRACCIÓN Y FLEXO-TRACCIÓN EN EL ESTADO DE UTILIZACIÓN INTRODUCCIÓN En el Inciso I.3, se mostró ligeramente como se comportaba un elemento de concreto estructural con refuerzo PRESFORZADO en las diferentes etapas. En este Capítulo VII se tratará el diseño de elementos sometido a flexión y a flexo-compresión, tracción y flexo-tracción Normalmente al diseñar un elemento PRESFORZADO, se diseña en el estado de utilización (sin factor de carga) y se obtiene la sección y el refuerzo necesario, a continuación se comprueba a fisuración, deformación, y posteriormente en el estado ultimo (cargas con factor de carga), su resistencia a flexión, flexo-compresión, cortante y torsión.

Un elemento PRESFORZADO está sometido a distintos estados de cargas. Existen dos Etapas en las que se deben revisar las condiciones de servicio y seguridad del elemento: La Etapa de Transferencia y La Etapa Final, aunque pueden existir etapas intermedias que resultan críticas. A medida que el elemento es cargado con las cargas muertas, la contra flecha producida por el presfuerzo disminuye, y se genera una flecha hasta el punto de descompresión, que presentan tracciones en la fibra inferior del elemento, y posteriormente se sobrepasa la fluencia del acero y se llega a la carga última.

Etapa de Transferencia Esta etapa se produce cuando se transfiere la fuerza del PRESFORZADO al concreto, que generalmente tiene un valor del 80% de su resistencia última. En esta etapa ocurren las pérdidas instantáneas y las acciones a considerar son el presfuerzo que actúa en ese instante y el peso propio del elemento. Esta etapa puede ser crítica en los extremos de los elementos, sin desvío de torones donde el presfuerzo es excesivo. La acción del presfuerzo, solamente es contrarrestada por la del peso propio. En esta etapa se presenta la contra flecha máxima.

Etapa Intermedia Dentro esta etapa se presenta el transporte y montaje del elemento. Es primordial tener especial cuidado en la colocación de apoyos temporales, ganchos de izaje y dispositivos de montaje para no alterar las condiciones en que fue diseñado el elemento Se debe tener cuidado, en aquellos elementos que fueron fabricados, transportados y montados como simplemente apoyados, pero que en la etapa final forman parte de un sistema hiperestático.

Etapa Final Se debe considerar las distintas combinaciones de cargas, para garantizar el comportamiento del elemento. En esta etapa se consideran las condiciones de servicio considerando los esfuerzos permisibles, deformaciones y fisuración, y las condiciones de resistencia a agotamiento de tal manera que además de alcanzar la resistencia adecuada se obtenga una falla dúctil. Ya han ocurrido todas las pérdidas del presfuerzo y en la mayoría de los casos el elemento está trabajando en conjunto con el concreto vaciado en el sitio, lo que incrementa su inercia y resistencia En el siguiente Figura VII.1 se representa esquemáticamente el gráfico carga-deformación del proceso de cargas de un elemento PRESFORZADO y el estado de esfuerzo correspondiente a cada etapa en la sección de momento máximo VII.1 FLEXIÓN Comenzaremos tratando el caso de elementos sometidos a flexión simple Los elementos PRESFORZADOS a flexión se clasifican como Clase U. Clase T y Clase C en función de ft, correspondiente al esfuerzo calculado en la fibra extrema en tracción en la zona precomprimida, calculada para carga de servicio. Véase Inciso III.4. REQUISITOS DE DISEÑO PARA FUNCIONAMIENTO VII.1.1 ESFUERZOS ADMISIBLES A UTILIZAR Para determinar el Módulo de la Sección mínimo es necesario fijar los valores de los esfuerzos admisibles a utilizar. Véase Inciso III.3

65

Pf – carga que produce que el acero llegue a la fluencia Carga Pu Pf Límite carga de servicio

Rango de carga de servicio

Pcr Pde + Carga Viva -

fcr Pu – carga última

línea neutra

Pcr – carga de fisuración (agrietamiento) Pde – carga de descompresión PSD – carga muerta adicional Pfi – carga del concreto vaciado PD – carga del peso propio -

Balanceada En esta figura (- significa compresión)

PSD

+ -

Pfi

PD 1

2

3

∆P1

∆L

∆ (deformación) ∆P1 - deformación por el presfuerzo inicial 1 - ∆p – deformación peso propio 2 - ∆f - deformación por el concreto vaciado (es carga muerta) 3 - ∆sm - deformación por la carga muerta adicional ∆L– deformación por carga viva

Figura VII.1 VII.1.2 SELECCIÓN DE LAS DIMENSIONES DE LA SECCIÓN Se pueden tomar diferentes secciones tales como rectangular, sección T, doble T, etc. Lo más conveniente es la sección en la cual, la mayor cantidad de concreto esté donde se produce los esfuerzos de compresión Tomaremos la sección rectangular para la explicación, pero puede ser cualquier sección 1- Esfuerzo en la transferencia Después de que se estiraron los tendones y el concreto alcanza la resistencia admisible inicial fci’ se sueltan los gatos y el concreto se comprimido por la fuerza Pi

e

66

Pi

Pi

Resultando un diagrama de esfuerzo como el siguiente: fsup = - (Pi / Ac) [1 – (ep cs / r^2) – MD / St ≤ fti + -

+

= -

- Pi / Ac

finf = - (Pi / Ac) [1 + (ep ci / r^2) + M D/ Sb ≤ fci

Pi c / Ig

Consideramos: compresión es negativo y tracción positivo Pi – Fuerza inicial del PRESFORZADO sin descontar las pérdidas, si los tendones estuvieran bastante tiempo estirados antes de soltarlos, sería posible descontar la pérdida de relajamiento instantáneo del refuerzo ep – excentricidad del tendón Ac – área de la sección del concreto, si es postensado debería ser el área neta, si es PRESFORZADO el área homogeneizada cs y ci – distancia desde el centro de gravedad de la sección hasta los extremos superiores e inferiores de la sección r – radio de giro de la sección St – Módulo de la sección superior Sb– Módulo de la sección inferior MD – momento del peso propio 2- Esfuerzo efectivo después de las pérdidas Peso propio e Pe

Pe

Resultando un diagrama de esfuerzo como el siguiente: fsup = - (Pe/ Ac) [ 1 – (e cs / r^2) – MD / St ≤ ft + -

+

+ -

- Pe /A - Pe c / Ig

M c / Ig

finf = - (Pe / Ac) [1 + (e ci / r^2) – MD/ Sb ≤ fc

3 – Esfuerzos finales a carga de utilización Carga total e Pe

Pe

Resultando un diagrama de esfuerzo como el siguiente: fsup = - (Pe/ Ac) [1 – (e cs / r^2) – Mt/ St ≤ fc

67

+ -

+

+ -

- Pse /Ac - Pe c / Ig

Mt / I

finf = - (Pe/ Ac) [1 + (e ci / r^2) +Mt / Sb ≤ ft

Mt – Momento total de todas las cargas, o sea, peso propio, peso de las cargas muertas y cargas vivas Hemos, considerado que los tendones tienen una excentricidad uniforme a todo lo largo de la sección, pero en muchos casos se utiliza tender los tendones de forma que decrezca la excentricidad hacia los apoyos, como se explicará a continuación: a) El tendón tiene la máxima excentricidad en el centro de la luz y varía linealmente hasta el centro de gravedad de la sección en el apoyo o con una pequeña excentricidad en el apoyo El tendón tiene la máxima excentricidad en el centro de la luz y varía en forma parabólica hasta el centro de gravedad de la sección en el apoyo o con una pequeña excentricidad en el apoyo ep Pi

Pi

En este caso, la máxima excentricidad está en el centro del elemento y la mínima en los extremos, es un caso ideal si toda la carga externa fuera una carga concentrada en el centro de la luz Llamemos γ = Pe / Pi, o sea, la relación entre en la fuerza de presfuerzo efectiva y la fuerza inicial del presfuerzo, entonces las pérdidas son Pi – Pe = (1 – γ) Pi Consideremos que el esfuerzo en las fibras extremas son los permisibles del concreto, el cambio en el valor de los esfuerzos después de las pérdidas, son: - En el borde superior ∆ft = (1 – γ) (fci + MD / St) - En el borde inferior ∆fb = (1 – γ) (-fci + MD / Sb) Cuando actúa el resto de la carga permanente y la carga viva, el esfuerzo neto en el borde superior es: ft = fc’ - ∆ft - fse fse – esfuerzo efectivo ft = γ fti – ( 1 – γ) Mt / St) – fto en el inferior

fb = ft – fci - ∆fb fb = ft – γ fc – (1 – γ) Mt / Sb

con lo cual obtenemos: St = [(1 – γ) Mm + MSD + ML] / (γ fti – fc) Sb = [(1 – γ) Mm + MSD + ML] / (ft – γ fci) y la excentricidad en el centro es: ec = (fti – fcic) (St / Pi) + (MD / Pi) fcic = fti – c (fti – fci) / h ft – esfuerzo en el borde superior MSD – momento del resto de las cargas permanentes fcic – esfuerzo en el centroide de la sección al momento de la transferencia En el caso que el tendón sea recto: fcic = fci – ct (fti – fci) / h St = (MD + MSD + ML) / (γ fci – fc) Sb = = (MD + MSD + ML) / (fc – γ fci)

68

y la excentricidad es: ec = (f – fci) St / Pi VII.1.3 EJEMPLO Diseño de una viga presforzada en estado de utilización Diseñar la sección y el refuerzo de presfuerzo de una viga presforzada simplemente apoyada para una luz de 15.0 m, que tiene que soportar una carga muerta de 0.005 MN/m y una carga viva de 0.02 MN/m, utilizando un concreto fc’ = 35 MPa. Se utilizará un refuerzo con fpu de 1860 MPa. En la transferencia el esfuerzo del concreto es f ci’ = 75% de fc’ Solución Consideremos que el peso propio de la viga es 0.013 MN/m fc’i = 0.75 x 35 = 26.25 MPa γ = 100 – 20 = 80 % fci – esfuerzo de compresión del concreto inmediatamente después de la transferencia de la fuerza del PRESFORZADO, pero antes de considerar las pérdidas ……… … .-15.75 MPa fti – esfuerzo de tracción del concreto inmediatamente después de la transferencia de la fuerza del presfuerzo, pero antes de considerar las pérdidas ………….

1.28 MPa pero en los extremos de los elementos simple apoyados …………………… . …… 2.56 MPa fc – esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido al presfuerzo más las cargas permanentes………………………………….. y para el presfuerzo más las cargas totales…………………… ft – esfuerzo en la fibra extrema a tracción en la zona a tracción precomprimida

-15.75 MPa -21.00 MPa + 5.91 MPa

El momento máximo es el centro de la luz El momento del peso propio es MD = 0.013 x 15^2 / 8 = 0.3656 MN- m El momento de la carga muerta y carga viva (Msd + Mv) es: (0.005 + 0.02) x 15^ 2 / 8 = 0.7031 MN-m St = [(1 – γ) MD + MSD + ML] / (γ fti – fc) St = 0.046275 m^3 = 46275 cm^3 Sb = [(1 – γ) MD + MSD + ML] / (ft – γ fci) Sb = 0.041935 m^3 = 41935 cm^3 Como la relación de Sb y St es 91%, se puede utilizar una sección simétrica La sección de la figura tiene un Módulo de Sección de St = Sb = 0.04799 m^3 = 47990 cm^3 con un área de Ac= 0.24 m^2 = 2400 cm^2 y un peso de 0.006 MN/m Preseleccionemos la sección mostrada a continuación Ahora comprobaremos: a) En la transferencia tenemos: El esfuerzo en el centro de la sección fcic = fti – ct (fti – fci) / h fcic = 1.28 - 0.4 (1.28 – (-15.75) / 0.8 fcic = - 7.315 MPa (compresión) La fuerza inicial del PRESFORZADO Pi = fcic Ac = 7.315 x 0.24 = 1.7556 MN El momento del peso propio es: MD = 0.006 x 15^2 /8 = 0.16875 MN-m La excentricidad requerida en el centro de la luz ec = (fti – fcic) ( S’ / Pi) + (MD / Pi) = ec = 0.32267 m Como ci es 0.40 m y considerando un recubrimiento de 0.1 m trataremos con ci = 0.4 – 0.1 = 0.3 m El área requerida de acero es Aps = Pi / 0.70 fpu = 1.7556 / (0.7 x 1860) = 0.0013483 m^2 Aps = 13.48 cm^2 Utilizando cables de 7 alambres con un área de 0.987 cm^2 Tenemos que el numero de cables es = 13.48 / 0.987 = 13.65

69

utilizaremos 13 cables ( Aps = 12.831 cm^2) que nos da una fuerza inicial de Pi = 1.6706 MN 0.5 m 0.2m Ig = 0.019196 m^4 r^2 = 0.07998 m^2 0.80 m

0.10 m

0.2 m

En este momento tenemos predimensionada la sección de la viga, así como el refuerzo necesario, por lo tanto, debemos realizar las comprobaciones: Debemos comprobar el valor real de las pérdidas, debido que hemos supuesto un 20% de pérdidas, para lo cual se debe realizar según el CAPÍTULO IV PÉRDIDAS DE LA FUERZA DE PRESFUERZO En este EJEMPLO no realizaremos los cálculos, suponemos que el valor real de las pérdidas es de 19% Entonces Pe = 0.81 Pi = 0.81 x 1.6706 = 1.3532 MN Comprobemos los esfuerzos en el concreto en el momento de la transferencia Ig = 0.019196 m^4 r^2 = 0.07998 m^2 En la fibra superior fsup = - (Pi / Ac) [1 – (ep cs / r^2)] – (MD / St) ≤ fti fsup = - 0.033 MPa (compresión) no hay tracción en la transferencia En la fibra inferior finf = - (Pi / A) [1 + (e ci / r^2) + MD / Sb ≤ fci finf = - 13.88 MPa (compresión) finf = -13.88 MPa < fci.= -15.75 MPa Se cumple Comprobemos a la carga de utilización Mt = MD + MSD +ML = 0.87185 MN-m Pe = 1.3532 MN fsup = - (Pe/ Ac) [ 1 – (e cs / r^2)] – Mt / St ≤ fc fsup = - 15.34 MPa fsup = -15.34 MPa < fc = -15.75 MPa Se cumple finf = - (Pe / Ac) [1 + [(e + ci) / r^2] + (Mt / Sb) ≤ ft finf = = + 4.07 MPa fb = + 4.07 MPa < ft = + 5.91 MPa Se cumple Comprobemos en el apoyo Suponemos: e = 0.1 m En la transferencia en la fibra inferior finf = - (Pi / Ac) [(1 + (e ci / r^2)] + 0 finf = - 10.44 MPa Compresión finf = - 10.44 MPa < fbi = -15.75 MPa en la fibra superior fsup = - (Pi / Ac) [(1 - (e ci / r^2)] + 0 fsup = +3.48 MPa > fti = 2.56 MPa

Se cumple

70

Se debe reforzar con acero ordinario para tomar el exceso de tracciones o aumentar la sección, pudiéndose hacer una sección rectangular A la carga de utilización en la fibra inferior finf = - (Pe / Ac [(1 + (ep ci / r^2)] + 0 fb = - 8.4617 MPa < fc = -21.00 MPa Se cumple En la fibra superior fsup = - (Pi / Ac) [(1 + (ep cs / r^2)] + 0 fsup = + 2.81 MPa (Tracción) < + 5.91 MPa Se cumple Se puede utilizar la sección con el refuerzo calculado VII.2 FLEXO-COMPRESIÓN Los ESTADOS 1 al 5, son los mismos que para FLEXIÓN La secuencia de esos estados vamos a mostrarlos en las siguientes figuras, considerando elementos PRESFORZADOS con refuerzo asimétrico VII.2.1. Antes de Aplicárseles las Cargas ESTADO 1 Las armaduras son tendidas en el molde. Los esfuerzos en las armaduras son iguales a cero Aps’ fpi´ = 0

Aps

fpi = 0

fpi y fpi´ – esfuerzo de tensión inicial en la parte inferior y superior respectivamente ESTADO 2 Se tensiona las armaduras hasta la tensión inicial permisible fpi y fpi, (normalmente son iguales) fpi´

fpi ESTADO 3 El concreto es fundido y curado

Mientras el concreto es vaciado y curado ocurren las pérdidas de deformación del anclaje y relajamiento instantáneo del refuerzo de PRESFORZADO ESTADO 4 Después que el concreto alcanza la resistencia requerida, la armadura es liberada de los topes, lo cual comprime el concreto Como las armaduras en este EJEMPLO son asimétricas Aps > Aps’, la compresión excéntrica arquea el elemento si el peso propio del mismo no lo impide (no hemos considerado el peso propio de la viga).

En este Estado se producen todas las pérdidas instantáneas fsup = [(P1 + P1’)] /Ac – [(P1’ + P1’) e / St] P1’ PI’

71

P1 P1 Sb = [(P1 + P1’) /Ac] + [(P1 + P1’) e / Sb] P1 = Pi - PAC - F - ES P1’ = Pi’ - AC -F - ES AC- PÉRDIDAS POR EL CORRIMIENTO DEL ANCLAJE F- PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN LOS TENDONES DE CONCRETO ES - PÉRDIDAS POR ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO e – excentricidad producidas por PI y PI’ ESTADO 5 Al pasar el tiempo, se producen las pérdidas de retracción, fluencia y el relajamiento aparente de la armadura (Pérdidas Diferidas) En este caso se ha considerado que la viga no se a de colocar en la estructura hasta que ocurran todas las pérdidas diferidas Pe’ = Pi’ -  P’ Pe = Pi -  P Los Estados del 1 al 5, son los Estados de Fabricación fsup1 = [(Pe’ + Pe) /Ac] – [(Pe’ + Pe) e /St]

finf1= [(Pe + Pe’) /Ac] + [(Pe + Pe’) e /Sb] Con Elementos Postesados, la secuencia es muy parecida, con la siguiente diferencia: -Una parte de la retracción se produce antes de aplicar el esfuerzo poi -Las pérdidas instantáneas se producen en el Estado 2 VII.2.2. Después de Aplicárseles las Cargas Hay una etapa en que el elemento trabaja a flexión solamente, que es en el izaje y actúa solamente el peso propio Cuando se aplica el peso del elemento (como flexión) MD ESTADO 6 fsup2= fsup1+ (MD / St) P P P

P

finf 2= finf1 – (MD / Sb) Al aplicar el peso propio, el esfuerzo en la fibra superior aumenta y en la fibra inferior disminuye Posteriormente el elemento se coloca en el cimiento y actúa el peso propio como carga de compresión que la consideraremos en el ESTADO 7, como cargas permanentes (muertas) MSD ESTADO 7 Cuando se aplica las cargas permanentes (muertas) MSD fsup3 = fsup2 + Pcp / Ac + MSD / St

Pcp

Pcp

72

finf3= finsf + Pcp / Ac - MSD / Sb Pcp- carga de compresión de la carga permanente, se ha considerado que las cargas de compresión de las cargas permanentes no son axiales, o sea, que no actúan en el centro de gravedad de la sección, si es céntrica no se debe sumar ± MSD / Sb El esfuerzo en la fibra superior sigue aumentando y en la inferior disminuyendo, se ha considerado que el esfuerzo fc > 0 ESTADO 8 Cuando se comienza a aplicar las cargas de utilización (vivas) ML, los esfuerzos en la fibra superior siguen aumentando y en la inferior disminuyendo, o sea: fsup4 = fsup3 ML / St

finsf4 = finf3 + ML / Sb Este es el fin de la Etapa 1 del Estado Esfuerzo-Deformación en la Flexo -Compresión ESTADO 9 Al aumentar las cargas, las grietas aparecen en la zona en tracción del concreto, comenzando la Fase II. 0.45 fc’ Pcp + Pcv

fc’

fps Aps En el Estado de Agotamiento ESTADO 10 0.85 fc’ (fps’ – 420) Ap’ Pu

fps Aps (*) Si se siguen aumentando las cargas, el esfuerzo en la armadura Aps, alcanza el valor de su resistencia de cálculo fps, alcanzándose la Fase III (Estado Último de Agotamiento). La armadura Aps’, en la zona de compresión, se deforma con el concreto que la rodea y su esfuerzo disminuye. Al alcanzar el concreto su esfuerzo de cálculo, el esfuerzo en la armadura Aps’ de la zona comprimida debe obtenerse por medio de la compatibilidad de las deformaciones, como simplificación para cálculos preliminares puede considerarse que esta disminución es de 420 MPa NOTA: Cuando el elemento está reforzado, además, con armadura no reforzada, en el instante de aplicar el esfuerzo fpi en la armadura de PRESFORZADO, el esfuerzo de la armadura ordinaria es igual en magnitud a las pérdidas debido a la retracción del concreto. Cuando se aplican las cargas exteriores, el esfuerzo será igual al valor de las pérdidas debido a la retracción, fluencia y acortamiento elástico del concreto VII.2.3 FLEXO-COMPRESIÓN EN ESTADO DE UTILIZACIÓN Cuando un elemento está sometido a una carga concéntrica P y a un momento flector M y la fuerza del presfuerzo es la fuerza efectiva Pe con una excentricidad e, no estando agrietada la sección, puede analizarse por la teoría elástica y el esfuerzo de la fibra extrema puede ser calculada con la siguiente fórmula: fc = - (Pe / Ac) ± Pe ec / Ig + P / Ac ± M c / Ig VII.2.3a Ac- área de la sección de hormigón

73

Ig – momento de inercia de la sección de hormigón ec – excentricidad del presfuerzo efectivo Pe Cuando una columna está sometida con una carga P con una excentricidad e, no estando la sección agrieta, se puede utilizar la teoría elástica. Los esfuerzos en cualquier sección pueden calcularse con la siguiente fórmula: fmax = - (Pe / Ac) – (P / Ac) ± ( P e c/ Ig) ± P Δ c / Ig VII.2.3b min Pe – presfuerzo efectivo incluyendo todas las pérdidas excepto el acortamiento elástico del concreto debido a la carga P e- excentricidad de la carga P desde el centroide de la sección c – distancia de la fibra extrema de la sección hasta el centroide de la sección Δ- deformación de la columna en la sección considerada El esfuerzo crítico ocurre en la mitad de la altura de la columna (columna articulada en los dos extremos) y Δ = e [sec√ (P L² / 4 Ec Ig) – 1] L- longitud de la columna

VII.2.3c

Para que no se produzcan grietas en la sección puede tomarse para el esfuerzo máximo a compresión: fc = 0.45 fc’ y a tracción fr = 0.62 √fc’ Si sustituimos esos valores en VII.2.3b, obtenemos: para fmax - 0.45 fc´) ≥ - (Pe / Ac) – (P / Ac) - (P e c / Ig) - P Δ c / Ig VII.2.3d para fmin 0.62 √fc’ ≥ - (Pe / Ac) – (P / Ac) + (P e c/ Ig) + P Δ c / Ig VII.2.3e Si conocemos las dimensiones de la columna, podemos hallar Pe, teniendo Pe y estimando las pérdidas totales entre el 15% y el 20%, podemos obtener Pi = Pe + ΔP. Seleccionado el acero de presfuerzo a utilizar, hallamos fpi Para estimar el área de refuerzo hallamos Aps = Pi / fpi Con estos valores de Aps, fpi, Ac y Ag y el concreto a utilizar, comprobamos la sección Cuando además la columna está sometida a un momento producido por carga horizontales Mh, se le debe adicionar ± Mh c / Ig Este momento produce una deformación Δh, el cual produce un momento adicional MΔh = P Δh y se debe adicionar ± P Δh c / Ig, este momento es pequeño y podría despreciarse Si además el presfuerzo efectivo Pe tiene una excentricidad ec se le debe adicionar ± Pe ec c / Ig La fórmula VII.2.3b se convierte en fmax = - (Pe / Ac) – (P / Ac) ± ( P e / Ig) ± P Δ c / Ig ± Mh c / Ig ± P Δh c / Ig ± Pe ec c / Ig VII.2.3f min VII.2.3.1 HALLAR EL REFUERZO DE UN ELEMENTO A FLEXO-COMPRESIÓN Hallar el refuerzo presforzado para la sección de la columna (articulada) de la figura L = 6.0 m Ec = 30460 MPa fc´ = 42 MPa fr = 4.02 MPa P = 0.5 MN e = 0.035 m Ac = 0.0875 m² Ig = 0.35 x 0.25³ / 12 = 0.000455 m^4

0.25 m

P x

0.35 m

0.035 m

Solución:

74

Δ = e [sec√ (P L² / 4 Ec Ig) – 1] VII.2.3c Δ = 0.0245 m ( 0.45 fc´) = - 18.9 MPa Sustituyendo valores para fmax (0.4 fc´) ≥ - (Pe / Ac) – (P / Ac) - ( P e c / Ig) - P Δ c / Ig VII.2.3d -18.9 ≥ Pe ≤ 0.439 MN para fmin 0.62 √fc’ ≥ - (Pe / Ac) – (P / Ac) + (P e c / Ig) + P Δ c / Ig VII.2.3e 4.01 ≥ Pe ≤ 0.136 MN Tomamos el menor valor, entonces Pe = 0.136 MN Considerando ΔP = 0.18 % Pi = 0.136 x 1.18 = 0.16 MN

o

cables

o

Utilizando cables fpu = 1862 MPa, fpy = 1517 MPa fpi = 1244 MPa Aps = 0.16 / 1244 = 0.0001286 m² = 1.286 cm² Utilizando cable de 7 alambre (3/8) teniendo un área de aps = 0.548 cm², hallamos la cantidad de cables, No = 1.286 / 0.548 = 2.35 Cables, colocamos 2 cables Analicemos con estos dos cables fmax = - (Pe / Ac) – (P / Ac) - ( P e c / Ig) - P Δ c / Ig

VII.2.3d

fmax = - 15.16 MPa < - 18.9 MPa Se cumple fmin = - (Pe / Ac) – (P / Ac) +( P e c / Ig) + P Δ c / Ig VII.2.3e fmin = 1.183 MPa < 4.01 MPa Se cumple Con esto tenemos la sección predimensionada Debemos comprobar si las pérdidas asumidas son correctas, si no se debe hacer las modificaciones necesarias Al hallar Pe no se debe incluir la pérdida de acortamiento elástico del concreto debido a la carga P Con lo anterior se tiene la columna dimensionada para carga de servicio (sin mayorar) y se debe comprobar a carga última según el CAPÍTULO XII VII.3 TRACCIÓN AXIAL EN ESTADO DE UTILIZACIÓN Los elementos PRESFORZADOS cuando están sometidos a una carga de tracción de servicio N sin grietas, se comportan elásticamente. Si la fuerza del presfuerzo es Pe, y la carga de tracción es N, aplicada en el centroide de la sección (e = 0), el esfuerzo en la sección del concreto es: fc = N / Ac – Pe / Ac VII.3a Si conocemos el área del concreto Ac, y utilizamos el valor del esfuerzo de tracción máximo del concreto para que no se produzcan grietas fr = 0.62√fc´, podemos hallar la fuerza Pe del presfuerzo Pe ≤ N – 0.62√fc´ Ac VII.3b teniendo Pe y asumiendo las pérdidas totales podemos hallar Pi, la fuerza en el gato será Pi / 0.85 entonces Aps = Pi / δ fpu Con estos valores de Aps, fpu, Ac y el concreto a utilizar, comprobamos la sección Con lo anterior tenemos prediseñado el elemento Es importante considerar la deformación de la longitud del elemento debido a que si se producen deformaciones no permisibles, esto, puede introducir grandes esfuerzos a los elementos que se unen al elemento sometido a tracción y puede producir el fallo de la estructura La deformación del elemento debido a la fuerza N, es: ΔL = N L / At Ec

VII.3c

75

L – longitud del elemento At-área de la sección de concreto homogeneizada At = Ag + (n – 1) Aps La fluencia y la retracción del concreto produce una deformación longitudinal Δf que se obtiene de: Δf = - {(L / Ac Ec)[Pe + Cu((Pi + Pe) / 2)] + ΔSH} Cu- coeficiente de fluencia ΔSH – deformación por retracción del concreto ΔSH = εsh L

VII.3d

VII.3.1 EJEMPLO DE ELEMENTO SOMETIDO A TRACCIÓN CENTRADA Sea un elemento 0.30 m x 0.3 m, sometido a una fuerza de tracción N = 0.7 MN fpu = 1862 MPa fpi = 1310 MPa fc´= 28 MPa L = 6.0 m Ec = 20720 MPa εsh = 700 x 10^(-6) Hallar el refuerzo presforzado necesario y las deformaciones Solución Pe = N – 0.62√fc´ Ac VII.3b Pe = 0.7– 0.62√280 x 0.3 x 0.3 = 0.224 MN Considerando las pérdidas como el 10% Pi = 1.1 x 0.224 = 0.246 MN considerando δ = 0.8 Aps = Pi / δ fpu Aps = 0.246 / 0.80 x 1862 = 0.000165 m² = 1.651 cm² At = 0.09+ (6.1 – 1) 0.000165 = 0.0908 m² La deformación debida a la carga N es: ΔL = N L / At Ec VII.3c ΔL = 0.7 x 6.0 / 0.0908 x 20720 = 0.0022 m = 0.22 cm Cuyo valor debe ser menor que el permisible La deformación por fluencia y retracción es: Δf = - {(L / Ac Ec)[Pe + Cu((Pi + Pe) / 2)] + ΔSH}

VII.3d

ΔSH = εsh L = 700 x 10^(-6) x 6.0 = 0.0042 Δf =- 0.0064 m = -0.64 cm La deformación neta es: 0.22 – 0.64 = - 0.42 cm Que debe ser menor que la permisible VII.4 FLEXO-TRACCIÓN EN ESTADO DE UTILIZACIÓN Los elementos PRESFORZADOS cuando están sometidos a una carga de tracción de servicio N con una excentricidad con respecto al eje geométrico (eo), sin grietas se comportan elásticamente. Si la fuerza del presfuerzo es Pe, y la carga de tracción es N, aplicada a una distancia eo del centroide de la sección, los esfuerzos en la sección del concreto son: fcmax = N / Ac – Pe / Ac ± N eo c / Ig VII.4a min Tomando para el esfuerzo máximo a compresión del concreto fc = 0.45 fc´ y para el esfuerzo máximo a tracción fr = 0.6√fc´, a fin de que no se produzcan grietas fcom = N / Ac – Pe / Ac - N eo c/ Ig ≤ - 0.45 fc´ VII.4b ftrac = N / Ac – Pe / Ac + N eo c/ Ig ≤ 0.6√fc´ VII.4c Con lo cual podemos hallar Pe Pe ≤ N - Ac N eo c / Ig + 0.45 fc´Ac VII.4d Pe ≤ N + N eo c Ac/ Ig - 0.6√fc´ Ac VII.4e teniendo Pe y asumiendo las pérdidas totales podemos hallar Pi, entonces Aps = Pi / δ fpu Con estos valores de Aps, fpu, Ac y el concreto a utilizar, comprobamos la sección Con lo anterior tenemos prediseñado el elemento VII.4.1 EJEMPLO DE ELEMENTO SOMETIDO A FLEXO-TRACCIÓN Sea el elemento del Ejemplo un elemento 0.30 m x 0.3 m, fpu = 1862 MPa fpi = 1310 MPa fc´= 28 MPa L = 6.0 m Ec = 20720 MPa

76

sometido a una fuerza de tracción N = 0.03 MN a) con una excentricidad de 0.09m b) con una excentricidad de 0.11 m Hallar el refuerzo presforzado necesario Solución: a)

Pe ≤ N - Ac N eo c / Ig - 0.45 fc´Ac] VII.4d Pe = 0.894 MN Pe ≤ N + N eo c Ac/ Ig - 0.6√fc´ Ac VII.4e Pe = 0.824 MN escogemos el menor valor Pe = 0.824 MN Suponiendo las pérdidas como el 10% Pi = 1.1 x 0.824 = 0.9067 MN Aps = Pi / δ fpu = 0.0006087 m² = 6.087 cm² comprobación fcom = N / Ac – Pe / Ac - N eo c / Ig fcom = - 11.822 MPa < 0.45 fc´ ftrac = N / Ac – Pe / Ac + N eo c/ Ig ≤ 0.6√fc´ VII.4c ftrac = 0.17 MPa < 0.6√fc´ Se cumple b) Pe ≤ N - Ac N eo c / Ig - 0.45 fc´Ac] VII.4d Pe = 0.774 MN Pe ≤ N + N eo c Ac/ Ig - 0.6√fc´ Ac VII.4e Pe = 0.484 MN escogemos el menor valor Pe = 0.484 MN Suponiendo las pérdidas como el 10% Pi = 1.1 x 0.8484 = 0.5323 MN Aps = Pi / fpu = 0.5323 / 1862 = 0.0002858 m² = 2.859 cm² comprobación fcom = N / Ac – Pe / Ac - N eo c / Ig fcom = - 8.0444 MPa < 0.45 fc´ ftrac = N / Ac – Pe / Ac + N eo c/ Ig ≤ 0.6√fc´ VII.4c ftrac ≤ 3.96 MPa < 0.6√fc´ Se cumple VII.5 PROBLEMAS PROPUESTOS VII.5.1 Diseño de una viga presforzada en estado de utilización Diseñar una viga presforzada simplemente apoyada para una luz de 12.0m, que tiene que soportar una carga muerta de 0.0055 MN/m y una carga viva de 0.025MN/m, utilizando un concreto fc’ = 35 MPa. Se utilizara un refuerzo con fpu de 1860 MPa. En la transferencia el esfuerzo del concreto es f c’i = 75% de fc’ VII.5.2 Prediseño de una columna sometida a Flexo-Compresión Hallar el refuerzo presforzado para la sección de la columna (articulada) de la figura L = 5.0 m Ec = 30460 MPa fc´ = 42 MPa fr = 4.02 MPa P = 0.6 MN e = 0.04 m Ac = 0.0875 m² 0.25 m Ig = 0.35 x 0.25³ / 12 = 0.000455 m^4 P x

0.35 m

0.4 m

VII.5.3 Prediseño de una columna sometida a Flexo-Tracción Sea un elemento 0.35 m x 0.35 m, fpu = 1862 MPa fpi = 1310 MPa fc´= 28 MPa L = 6.0 m Ec = 20720 MPa sometido a una fuerza de tracción N = 0.05 MN a) con una excentricidad de 0.06m b) con una excentricidad de 0.11 m

77

CAPÍTULO VIII COLOCACIÓN DE LA FUERZA DE PRESFORZADO A LO LARGO DEL ELEMENTO VIII.1 LÍMITES DE LA ZONA Es importante establecer los límites de la zona en la que debe estar la fuerza total del PRESFORZADO para que no se produzca esfuerzo de tracción en la sección del concreto.

Como es sabido, para que esto se realice, es necesario que la resultante del PRESFORZADO esté dentro de los límites del centro nuclear (puntos de kern) k = r^2 / c VIII.1.1 Para una sección rectangular:

ks

h/6

ki

h/6

h

b/6

bw/6 bw

Si MD es el momento del peso propio del elemento y Mt es el momento total producida por todas las cargas en la etapa de trabajo (sin coeficiente de mayoración): La distancia desde el borde inferior del núcleo ki hasta el centro de gravedad de los tendones amin es: amin = MD / Pi VIII.1.2 Que define la máxima distancia debajo de ki donde la línea debe ser localizada para que no se produzcan esfuerzo de tracción en las fibras superiores de la sección.

La excentricidad límite del borde inferior (einf) es: esup= amin + ki = (MD / Pi) + ki VIII.1.3 La distancia desde el borde superior del núcleo ks hasta el centro de gravedad de los tendones amax es: amax = Mt / Pe eb= amin + ki = (MD / Pi) + ki VIII.1.4 Que define la distancia mínima debajo de ks donde la línea debe ser localizada para que no se produzcan esfuerzo de tracción en las fibras inferiores de la sección La excentricidad límite del borde superior (es) es: es = amax – ks = (Mt / Pe) - ks Pi- fuerza del PRESFORZADO inicial Pe - Fuerza efectiva del PRESFORZADO

VIII.1.5

Si se permite un esfuerzo de tracción, entonces es permitido un incremento de la excentricidad El incremento del esfuerzo en la parte superior es: f(s) = Pi eb’ cs/Ic VIII.1.6 El incremento del esfuerzo en la parte inferior es: f(b) = Pe es’ cb/Ic VIII.1.7 El incremento de la excentricidad en la parte inferior es: eb’ = f(s) Ac ki / Pi VIII.1.8 El incremento de la excentricidad en la parte superior es: es’ = fi Ac ks/ Pe VIII.1.9

En la siguiente figura se muestra la zona permisible para la localización de los cables

Zona permisible

78

Límite superior, cero tracción

Límite superior, tracción permitida

es’ línea de ks amax amin línea de ki eb’ Eje de simetría Línea inferior, cero tracciones Línea inferior, tracción permitida

VIII.2 REDUCCIÓN DE LA FUERZA DE PRESFUERZO CERCA DE LOS APOYOS Los tendones sin excentricidad pueden causar altos valores de esfuerzos de tracción en las fibras extremas de la sección cerca de los apoyos debido a la ausencia de esfuerzos producidos por momento flector. Hay dos formas para reducir lo que anteriormente se ha comentado: - Cambiando la excentricidad de algunos tendones cerca de los apoyos como muestra la siguiente figura

- Colocando algunos tubos plásticos cerca de los apoyos e introduciéndoos alguno de los tendones dentro de ellos

tubos plásticos

79

VIII.3 EJEMPLO DETERMINACIÓN DE COLOCACIÓN DE LOS TENDONES Determinar la excentricidad límite de los tendones colocados en forma parabólica para que no se produzcan tracciones y para que se produzcan las tracciones permisibles, en el centro, a un cuarto y en el apoyo.

Datos: Pi = 2500 kN Pe = 2100 kN MD(L/2) = 290 kN-m Mt(L/2) = 1200 kN-m Ac = 2600 cm^2 fc’ = 400 MPa r^2 = 1250 cm^2 ys = 55 cm yi = 48 cm Como las cargas son uniformemente repartidas y la viga es simplemente apoyada, el momento en el apoyo es igual a 0, y a un cuarto de la luz: MD(L/4) = 0.75 x 290 = 217.5 kN-m y Mt(L/4) = 0.75 x 1200 = Mt (1/4) =900 kN-m Los puntos kern límites son: ks = r^2/ ys = 1250 / 55 = 22.72 cm ki = r^2 / yi = 1250/48 = 26.04 cm Para el desarrollo inferior: La máxima distancia que la línea del centro de gravedad puede colocarse bajo el punto de kern inferior para que no se produzcan tracciones en la parte superior del elemento es: a) En el medio del elemento amin = MD / Pi = 290 / 2500 = 0.116 m donde e1 = ks + amin = 0.2604 + 0.116 = 0.4204 m b)A un cuarto: amin = 217.5 / 2500 = 0.087 m donde e2 = 0.2604 + 0.087 = 0.3474 m c) En el apoyo: amin = 0 donde e3 = 0.2604 + 0 = 0.2604 m La máxima distancia que la línea del centro de gravedad puede colocarse encima del punto de kern superior para que no se produzcan tracciones en la parte inferior del elemento es: a) En el medio del elemento amax = Mt / Pe = 1200/ 2100= 0.571 m donde e1 = amax – ks = 0.571 – 0.2272 m = 0.299 m b) A un cuarto: amax = 900/2100 = 0.4286 m donde e2 = 0.4286 – 0.2272 = 0.1566 m c) En el apoyo amax =0 e3 = 0 – 0.2272 = -0.2272 m sobre el centro de gravedad de la línea Suponiendo que el esfuerzo de tracción que se permite es 3200 kPa eb’ = f(i) Ac ki/ Pi = 3200 x 0.26 x 0.2604 / 2500 = 0.0867 m es’ = f(s) Ac ks / Pe = 3200 x 0.26 x 0.2272 / 2100 = 0.09 m No Tracción (m) Medio del elemento Inf 0.4204 Sup 0.571 A un cuarto del apoyo Inf 0.3474 Sup 0.1566 En el apoyo Inf 0.2604 Sup - 0.2722

Incremento (m) + 0.0867 - 0.090 + 0.0867 - 0.090 + 0.0867 - 0.090

VIII.3 PROBLEMAS PROPUESTOS VIII.3.1 Determinar la excentricidad límite de los tendones colocados en forma parabólica para que no se produzcan tracciones y para que se produzcan las tracciones permisibles, en el centro, a un cuarto y en el apoyo.

Datos: Pi = 3000 kN Pe = 2200 kN Mo = 3000 kN-m Mt = 1300 kN-m Ac = 2700 cm^2 fc’ = 400 MPa r^2 = 1350 cm^2 ys = 60 cm yi = 53 cm

80

CAPÍTULO IX ZONA DE ANCLAJE DEL PRESFUERZO IX.1 INTRODUCCIÓN La fuerza del presfuerzo es transferida del acero de presfuerzo al concreto de dos formas diferentes.

En postensado a través de pequeñas planchas de anclajes por medio de presión de contacto En pretensado la fuerza es transferida por adherencia entre el acero y el concreto En ambos casos la fuerza es transferida de un modo concentrado, normalmente en los extremos del elemento La longitud del elemento necesaria para transferir la fuerza del presfuerzo se denomina la longitud de transferencia en elementos pretensados y longitud de anclaje en postensado. Denominadas también zonas de anclajes En la zona de anclaje se produce una condición compleja de esfuerzos. Tracciones transversales se desarrollan por la dispersión de la trayectoria los esfuerzos longitudinales de compresión y pueden producir agrietamiento en esta zona La longitud de anclaje en postensado y el valor de las fuerzas transversales (compresión y tracción) que actúan perpendicular a la fuerza longitudinal del presfuerzo dependen del valor de la esa fuerza y del tamaño y posición de la plancha de anclaje Se pueden utilizar una sola plancha de anclajes o varias La concentración de esfuerzo dentro de la zona de anclaje en pretensado no es usualmente tan severa como en postensado, debido que la transferencia es más gradual. La fuerza es transmitida por la adherencia en una longitud significante del tendón y como usualmente hay varios tendones individuales que distribuyen bastante bien la fuerza a través de la zona de anclaje IX.2 CONCRETO PRETENSADO En concreto pretensado, los tendones son tensionado en un molde, posteriormente se vacía el concreto y cuando éste adquiere la suficiente resistencia, se sueltan los tendones. De la calidad de la adherencia entre los tendones y el refuerzo depende el comportamiento del elemento. La transferencia regularmente ocurre en los extremos del elemento, donde el esfuerzo del refuerzo varía desde cero en el extremo del elemento a un cierto valor a una distancia del extremo. Fuera de la zona de transferencia, el esfuerzo de adherencia de transferencia es pequeño y la fuerza en los tendones son casi constante La longitud de transferencia es generalmente entre el 40-150 veces el diámetro del refuerzo.

La fuerza de transferencia no es lineal, es alrededor del 50% de la fuerza en el primer cuarto de la longitud de transferencia y alrededor del 80% dentro de la primera mitad de la longitud IX.2.1 LONGITUD DE ANCLAJE Y DISEÑO DE SU REFUERZO La fuerza de presfuerzo es transferida del gato al elemento de Concreto a través de la adherencia y agarre entre el refuerzo y el Concreto La longitud de embebimiento (ld) necesaria para que se produzca la transferencia está dada por la longitud de transferencia (lt) y la adherencia (lf), donde: lt = fse  / 21

(m)

IX.2.1a

lf = (fps – fpe)  / 0.685

(m)

IX.2.1b

fps- esfuerzo nominal en el refuerzo pretensado (MPa) fse – esfuerzo efectivo (después de las pérdidas) (MPa)  - diámetro nominal del refuerzo (m) Y la longitud mínima de embebimiento es:

ld = (fps – 2 / 3fse)  / 0.685 (m)

IX.2.1c

Según Mattok, la fuerza total que debe resistir los estribos es: F = 0.106 P h / lt IX.2.1d h- peralto total del elemento El área de estribos necesarios es: At = 0.021 P h / fs lt fs  138 MPa

81

IX.2a EJEMPLO: DISEÑAR EL REFUERZO NECESARIO DE LA ZONA DE ANCLAJE Datos: P = 1.8 MN fse = 1060 MPa  = 12 mm l = 1.10 m fs = 138 MPa Solución: lt = fse  / 20.55 = 1060 x 0.0012 / 2.055 = 0.62 m At = 0.021 P h / fs lt = 0.021 x 1.8 x 1.1 / (138 x 0.62) = 0.00048 m^2 = 4.8 cm^2 IX.3 ZONAS DE ANCLAJES DE ELEMENTOS POSTENSADO En postensado, el fallo en la zona de anclaje es la causa más importante durante la construcción. Tal fallo son dificultoso de reparar y muy costoso, por lo cual, a veces es necesario desechar el elemento.

Se puede suponer que a una distancia igual al peralto total (h) desde donde se impone la fuerza de postensado, la distribución de esfuerzo es lineal en toda su sección transversal El diseño de la zona de anclaje de un elemento postensado envuelve varios factores: la colocación y tamaño de la placa de anclaje, minimizar los esfuerzos transversales, y la determinación y distribución del refuerzo para resistir las tracciones transversales después de las fisuras en el concreto. Normalmente el refuerzo son estribos Los anclajes son usualmente patentados por el suministrador La zona de anclaje se compone de dos partes: 1) La Zona Local que es el prisma rectangular o rectangular equivalente para circular o anclaje ovalado del concreto que rodea el dispositivo de anclaje y cualquier refuerzo de confinamiento 2) La Zona General es la porción del elemento a través la cual la fuerza del postensado es transferida al concreto y se distribuye uniformemente en toda la sección. Está zona incluye la Zona Local La zona local y la zona general se muestran en la siguiente figura h

Zonas Locales

Zonas generales

h

Concepto de zona local y general Cuando se tensionan dispositivos de anclajes ubicados lejos del extremo del elemento se presentan localmente grandes esfuerzos de tracción delante y detrás del dispositivo. Estos esfuerzos de tracción son inducidos por la incompatibilidad de las deformaciones delante y detrás del dispositivo de anclaje, como se muestra en la siguiente figura

82

Detrás del anclaje

Delante del anclaje Tendón

h

1.0 h

1.0 h a 1.5 h Zona de anclaje

Zona general para un dispositivo intermedio de anclaje En el diseño debe considerarse todas las regiones de esfuerzos de tracción que puedan ser causados por el dispositivo de anclaje, incluyendo estallido, el descaramiento y los esfuerzos longitudinales en el borde como se muestra en la siguiente figura h

Zonas Locales

Fuerzas de estallido C

Fuerzas de descaramiento

T

Fuerza de tracción en borde longitudinal IX 3.1 Zona Local La Zona Local resiste esfuerzos locales muy altos producidos por los dispositivos de anclaje y los transfiere al resto de la zona de anclaje. El comportamiento de esta zona está influido de las características del dispositivo y su refuerzo de confinamiento y menos influido por la geometría y las cargas de la estructura completa Las principales consideraciones en el diseño de la zona local son los efectos del alto esfuerzo de aplastamiento y la idoneidad del refuerzo de confinamiento para aumentar la capacidad del concreto de resistir estos esfuerzos de aplastamiento La Zona Local debe ser diseñada para una fuerza mayorada (Ppu), con un coeficiente de mayoración igual a 1.2 y utilizando un valor de  = 0.80. Entonces, Ppu = (1.2) 0.8 fpu Aps = 0.96 fpu Aps IX.3.1a En general está zona debe diseñarse según los requerimientos del Suministrador IX 3.2 Zona General El diseño de esta zona debe basarse de la fuerza mayorada del presfuerzo Ppu y utilizando un  = 0.85 La resistencia nominal del refuerzo ordinario es limitada a fy y para el refuerzo de postensado a fpy

83

d(estall)

Ppu ha

Testall c.g.

Sección rectangular Testall ~ 0.25 Ppu Los cambios abruptos de la sección transversal pueden causar una desviación sustancial en la trayectoria de la fuerza. Esta desviaciones pueden aumentar considerablemente las fuerzas de tracción como se muestra en la siguiente figura d(estall)

Ppu Testall

Sección con alas y diafragma en el extremo Testall ~ 0.5 Ppu IX.4. RESISTENCIA NOMINAL DE LOS MATERIALES El esfuerzo nominal del refuerzo a tracción adherido no PRESFORZADO es fy y a fpy para el PRESFORZADO La resistencia nominal a compresión del Concreto en la zona general debe limitarse a 0.7 fci’, salvo el caso de Concreto confinado dentro de espirales o estribos cerrados de confinamiento que proporcionen confinamiento equivalente al indicado con la siguiente ecuación: ρs = 0.45[(Ag/Ach) – 1] (fc’ / fys) IX.4a fys ≤ 700 MPa La resistencia a compresión del concreto en el momento de postensar, fci’, debe indicarse en los planos de diseño. Se debe utilizar un valor de fci’ = 28 MPa para torones de varios alambres o de a lo menos de 18 MPa, para los tendones de un torvo o para barras. Estos valores pueden reducirse si se utilicen dispositivos de anclaje sobre dimensionados para compensar la menor resistencia a compresión o que el acero esté esforzado a no más del 50% de la fuerza final del PRESFORZADO IX. 5 MÉTODOS DE DISEÑO Para la zona general se permiten los siguientes métodos: a) Modelos de plasticidad basado en equilibrio (modelos “puntual-tensor” b) Análisis lineal de esfuerzo ( incluyendo análisis por elementos finitos o equivalentes c) Ecuaciones simplificadas El uso de los modelos puntal tensor es especialmente útil para el diseño para el diseño de la zona general La utilización de las ecuaciones simplificadas pueden utilizarse si la sección es rectangular, no existan discontinuidades en o cerca de la zona general no causen desviaciones en la trayectoria de las fuerzas, donde la distancia mínima del borde sea mayor o igual que 1.5 veces la dimensión lateral del dispositivo de anclaje en esa dirección. o donde no se utilicen dispositivos múltiples de anclaje que queden dispuestos como un solo grupo compacto

84

IX.5.1 ECUACIONES SIMPLIFICADAS Los valores de la fuerza de estallido. Testall y para su distancia centroidal de la mayor superficie de apoyo de anclaje destall, puede ser estimada por las siguientes ecuaciones: Testall = 0.25 ∑Ppu [1 – (ha / h)] IX. 5.1a destall = 0.5(h – 2 ea) IX. 5.1b Ppu- Sumatoria de total de todas las fuerzas Ppu de los tendones individuales ha- altura del anclaje o grupo de los anclajes simples espaciados próximos en la dirección considerada ea- excentricidad (siempre positivo) del dispositivo o grupo estrechamente de dispositivos de anclaje con respecto al centroide de la sección transversal h- altura de la sección transversal del elemento en la dirección considerada

d(estall)

Ppu / 2

Ppu ha

Testall

ea

c.g.

Ppu / 2 h/2

Ejemplo de modelo puntal-tensor CASO CUANDO HAY MAS DE UN ANCLAJE Dos anclajes simétricos d(estallh)

Ppu / 2 ha

Testall .

Ppu / 2

Refuerzo requerido El refuerzo requerido para resistir Testall es: Asetall = Testall / fy

grietas potenciales

IX. 5.1c

Presión de contacto Es necesario comprobar la compresión de contacto con: Fb =  0.85 fci’ √(A2 / A) ≤ 1.7  fci’ IX. 5.1d Los dispositivos de anclaje deben tratarse como estrechamente espaciados si su espaciamiento centro a centro no excede de 1.5 veces el ancho del dispositivo de anclaje en la dirección considerada

85

La fuerza de descaramiento para tendones cuyo centroide quede fuera del núcleo de la sección puede estimarse como el 2% de la fuerza de PRESFORZADO total mayorado, excepto para dispositivos de anclaje múltiple con espaciamiento de centro a centro mayor que 0.4 veces la altura de la sección Se requiere de un análisis detallado para espaciamientos mayores y para los casos en que el centroide de los tendones se sitúa fuera del núcleo La secuencia de tensionamiento de los dispositivos de anclaje puede tener un efecto significativo en los esfuerzos de la zona general. Por lo cual es importante considerar no solamente la etapa final de una secuencia de tensionamiento, con todos los tendones ya tensados, sino también las etapas intermedias durante la construcción. Deben tenerse en cuenta las fuerzas de estallido más críticas causadas por cada una de las combinaciones de la secuencia de postensado de los tendones Cuando los anclajes se encuentran ubicados lejos del extremo de un elemento, se generan esfuerzos de tracción detrás de los anclajes intermedios, debido a los requisitos de compatibilidad de las deformaciones que se producen delante y detrás del anclaje’ Para limitar la extensión de la fisuración detrás del anclaje se requiere de refuerzo adherido anclado hacia atrás de la vecindad inmediata del anclaje. Por lo cual este refuerzo debe resistir una fuerza de 0.35 Ppu. Este valor se halla considerando el 25% de la fuerza de PRESFORZADO no mayorada que es resistida por el refuerzo trabajando a 0.6 fy Cuando los tendones son curvos en la zona general, excepto para tendones de un alambre o donde el análisis demuestre que no se requiere refuerzo, se debe proporcionar refuerzo adherido con el objeto de resistir las fuerzas radiales y de hendimiento Excepto para tendones de un torón o donde el análisis demuestre que no se requiere refuerzo, se debe proporcionar un refuerzo mínimo en direcciones ortogonales paralelas a las superficies posteriores de todas las zonas de anclaje con una resistencia nominal a la tracción igual al 2% de cada fuerza de PRESFORZADO mayorada con objeto de evitar el descascaramiento IX. 6. DISEÑO DE LAS ZONAS DE ANCLAJE PARA TENDONES DE UN ALAMBRE O BARRAS DE 16 MM DE DIÁMETRO IX. 6.1 Diseño de la zona local Los dispositivos de anclaje de un solo tendón o barras de 16 mm o menos de diámetro deben cumplir los requisitos especiales de anclaje indicados en el epígrafe “uso de dispositivos especiales de anclajes” que se indicaran posteriormente IX. 6.2 Diseño de la zona general para tendones de losa Para los dispositivos de anclaje para torones de 12.5 mm de diámetro o menores en losas de Concreto de peso normal, se debe proporcionar refuerzo mínimo que se indican a continuación, a menos que un análisis detallado demuestre que tal refuerzo no es necesario Se debe disponer dos barras horizontales no menor No.13 paralelas al borde de la losa. Se permite que dichas barras estén en contacto con la cara frontal del dispositivo y deben estar dentro de una distancia h/2 delante de cada dispositivo. Las barras deben extenderse a lo menos, 150 mm (6”) a cada lado de los bordes exteriores de cada dispositivo Si el espaciamiento medido centro a centro de los dispositivos es de 300 mm (12”) o menos los dispositivos se deben considerar como agrupados. Por cada grupo de seis o más dispositivos, se debe proporcionar n +1 barras en horquilla o estribos cerrados al menos No. 10 donde n es la cantidad de dispositivos Debe colocarse una barra en horquilla o estribo entre cada dispositivo y uno a cada lado del grupo. Las barras de horquilla o estribos deben colocarse con los extremos extendiéndose dentro de la losa perpendicular al borde. La parte central de las barras en horquilla o estribos debe colocarse desde 3h / 8 hasta h / 2 delante de los dispositivos IX. 6.3 Diseño de la zona general para grupos de tendones de un alambre en vigas principales y secundarias

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Los grupos de tendones de un torón con dispositivos individuales de anclaje para cada torón individual se usan a menudo en vigas principales y secundarias. Se pueden tratar los dispositivos como espaciados en forma cercana si su espaciamiento, medido de centro a centro, no excede de 1.5 veces el ancho del dispositivo en la dirección considerada. Si una viga principal o secundaria tiene un dispositivo único o un grupo único de dispositivo espaciados en forma cercana, se permite el uso de ecuaciones simplificadas. Las condiciones más complejas se pueden diseñar mediante el uso de modelos puntal-tensor IX.7 USO DE DISPOSITIVOS ESPECIALES DE ANCLAJE Al utilizar dispositivos especiales se debe proporcionar refuerzo de superficie suplementario en las regiones correspondientes a las zonas de anclaje, además del refuerzo de confinamiento especificada para dispositivos de anclaje El refuerzo de superficie es el refuerzo colocado cerca de las superficies exteriores en la zona de anclaje para limitar el ancho y espaciamiento de las fisuras locales Este refuerzo suplementario debe ser igual en configuración y por lo menos equivalente en cuantía volumétrica a cualquier refuerzo en superficie suplementario usado en los ensayos para certificar la aceptación del dispositivo de anclaje El refuerzo en la zona general para otras acciones (flexión, cortante, retracción, temperatura, etc.) pueden usarse para satisfacer los requisitos de refuerzo de superficie suplementario IX.9 EJEMPLO DE DOS ANCLAJES EN UNA SECCIÓN RECTANGULAR Diseñar el anclaje mostrado en la siguiente figura La fuerza en cada gato es Ppu = 1800 kN fci’ = 35 MPa Dos anclajes simétricos

0.25 m x 0.25 m

Ppu =1800 kN ha

0 0.3 m 1.0 m

Ppu = 1800 kN

0.3 m ha

0

0.5 m

d= 0.1

Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} d(estall) = 0.5 (h – 2e) 1- Comprobemos la compresión local detrás de la plancha Fb =  0.85 fci’ √[(A2 / A) – 0.2] ≤ 1.7  fci’ A = 0.25 x 0.5 – 3.1416 x 0.1^2 / 4 = 0.0546 m^2 A2 = 0.5 x 0.5 = 0.25 m^2 Fb = 0.8 x 0.85 x 26.25√[(0.25/ 0.0546)] – 0.2 = 37.357 MN ≤ 1.7  fci’ =1.7 x 0.8 x 26.25 = 35.7 MN Se utiliza Fb = 35.7 MN > Ppu = 1800 kN = 1.8 MN

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Es aceptable 2- La fuerza de descaramiento para tendones cuyo centroide quede fuera del núcleo de la sección puede estimarse como el 2% de la fuerza de PRESFORZADO total mayorado, excepto para dispositivos de anclaje múltiple con espaciamiento de centro a centro mayor que 0.4 veces la altura de la sección Como los tendones quedan fuera del núcleo de la sección, la fuerza de descaramiento es: Fdesc = 0.02 Ppu Fdesc = 0.02 x 1.8 = 0.036 MN cada una El área de refuerzo es Ades = Fdesc / fy = 0.000085714 m^2 = 0.857 cm^2 1 barra 6 M = 0.283 cm^2. Se utiliza 4 barras de 6M = 1.132 cm^2 3- Considerando el cable inferior solamente Es necesario considerar la zona de anclaje del primer tendón que se va a tensar, consideraremos que es el inferior.

La distancia d(estall) es: d(estall) = 0.5 (h – 2e) = 0.5 (1.0 – 2 x 0.3) = 0.2 m La fuerza de estallido es: Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} = 0.25 x 1.8 [1 – (0.25 / 1.0)} = 0.3375 MN El refuerzo necesario es: Testall / fy = 0.3375 / 420 = 0.000803571 m^2 = 8.035 cm^2 (3 estribos de 1/2” en 0.2 m) 4- Considerando los dos cables La distancia d(estall) es: d(estall) = 0.5 (h – 2e) = 0.5 (1.0 – 2 x 0) = 0.5 m La fuerza de estallido es: Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} = 0.25 x 3.6 [1 – (0.25 / 1.0)} = 0.675 MN El refuerzo necesario es: Testall / fy = 0.675 / 420 = 0.0016 m^2 = 16.07 cm^2 (6 estribos de 1/2”) colocadas en 1.3 m 3 estribos de 1/2” en 0.2 m Dos anclajes simétricos

0.2

Ppu =1800 kN ha

Ppu = 1800 kN ha 6 estribos de 1/2” en 0.5 m

0.5 m

IX.10 PROBLEMAS PROPUESTOS IX.10.1 Diseñar el anclaje mostrado en la siguiente figura La fuerza en cada gato es Ppu = 2000 kN fci’ = 35 MPa

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Dos anclajes simétricos

0.25 m x 0.25 m

Ppu =1800 kN ha

0 0.3 m 1.0 m

Ppu = 1800 kN

0.3 m ha

0

0.5 m

d= 0.1

Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} d(estall) = 0.5 (h – 2e)

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CAPÍTULO X ELEMENTOS COMPUESTOS CONCRETO-CONCRETO SOMETIDO A FLEXIÓN X.1 INTRODUCCIÓN Las secciones compuestas generalmente son prefabricadas de concreto PRESFORZADO y/o reforzadas con acero no PRESFORZADO en la cual posteriormente se vacía una placa que son interconectadas de tal manera que en conjunto responden a las cargas como una unidad Para resistir el cortante y el momento flector puede utilizarse el elemento compuesto o parte del mismo Los elementos individuales deben investigarse para todas las etapas críticas de carga Al calcular la resistencia de los elementos compuestos, no debe distinguirse entre elementos con cimbra (encofrado) y sin cimbra Todos los elementos deben diseñarse para soportar todas las cargas introducidas antes del desarrollo total de la resistencia de diseño de los elementos compuestos Cuando se utilice cimbra, ésta sólo debe retirarse cuando los elementos hayan desarrollado las propiedades de diseño que se requieran para soportar todas las cargas y para limitar las deflexiones y agrietamiento en el momento de la remoción En la siguiente figura se muestra una sección compuesta: Nivel B-B

Nivel A-A

Placa vaciada en el lugar

Placa prefabricada

vigas prefabricadas X.2 ESTADOS DE CARGA DE LOS ELEMENTOS COMPUESTOS En el diseño de elementos compuestos de concreto PRESFORZADO, se presentan varios estados de cargas, entre ellos podemos citar: Estado 1. El presfuerzo inicial en la transferencia aplicado en el elemento prefabricado. Envuelve cálculos de esfuerzos elásticos debido al presfuerzo inicial Pi y al peso propio del elemento prefabricado. Esto normalmente ocurre en la planta de prefabricado

3 1

4 3 2

2 Centro de gravedad a) estado 1 y 2 de la sección compuesta

b) estado 2 y 3

c) Estado 3 y 4

Centro de gravedad del elemento prefabricado Estado 2. Después que el elemento ha sido colocado en su lugar, pero antes de cualquier carga superpuesta. Esto envuelve un análisis con el tiempo para determinar la redistribución de esfuerzos y cambio en la curvatura del elemento prefabricado debido a la fluencia y a la retracción del concreto en el elemento prefabricado entre la transferencia y el tiempo de colocación en su lugar [Ver figura (a) para Estado 1 y 2]

90

Estado 3. El presfuerzo efectivo (Pe), el peso propio (determinado en el Estado 2) más cualquier otra carga muerta aplicada antes que pueda considerarse sección compuesta Si el elemento no tiene cimbra (sin apoyo), La carga muerta señalada anteriormente puede ser el peso del concreto sin fraguar y si se coloca una placa prefabricada como se muestra e la figura de la Introducción Este estado envuelve un análisis de tiempo corto del elemento prefabricado para calcular los efectos instantáneos de la adicional carga muerta antes de la consideración de elemento compuesto. Los incrementos de esfuerzos y deformaciones unitarias instantáneas son sumados a los esfuerzos y deformaciones unitarias del Estado 2. Los esfuerzos en la sección crítica de un elemento sin apoyo se muestra en la figura (b) Si el elemento prefabricado está apoyado antes de vaciar la placa, esta carga es soportada por los apoyos y no se producen esfuerzos en el elemento prefabricado. Posteriormente cuando el concreto ha endurecido y se quitan los apoyos, el peso propio, la carga de la placa y cualquier otra carga producen deformaciones y momento flectores sobre la sección compuesta Estado 4. Los efectos instantáneos de cualquier carga muerta o cargas de servicio y cualquier otra fuerza de presfuerzo no considerado hasta ahora. Esto envuelve un análisis de corto término de la sección compuesta para determinar los cambios de esfuerzos y deformaciones de la sección compuesta como todas otras cargas son aplicadas. Si la sección compuesta se mantiene sin agrietamiento, los incrementos de esfuerzos y deformaciones unitarias calculados en este Estado en la parte prefabricada del elemento compuesto son sumadas a los esfuerzos y deformaciones unitarias calculadas en el Estado 3 antes de establecer la acción se sección compuesta. Los esfuerzos en el concreto al final del Estado 4, se muestran en la figura (C) Estado 5. Efectos de la fluencia y retracción del concreto y la relajación del refuerzo sobre el comportamiento de la sección compuesta sometida a la carga de servicio. Un análisis de tiempo en la sección compuesta es requerido al principio de que la carga es aplicada (usualmente enseguida que el concreto vaciado está endurecido) Estado 6. Condiciones de carga última de la sección compuesta. Se debe comprobar la sección compuesta para flexión, cortante y torsión, para asegurar el adecuado factor de seguridad. Los esfuerzos producidos por la fluencia y la retracción son despreciables en los efectos de la resistencia última y se pueden ignorarse X.3 VIGA PREFABRICADA SIN CIMBRA (SIN APOYO) Los esfuerzos en las fibras extremas son: Antes de vaciar la placa superior (actúa como elemento simple): En la fibra superior: En la fibra superior:

fsup = - (Pe/ Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [(MD + Macp) / St] X.3.1 finf = - (Pe/ Ab) [1 + (e yt / r^2)] + [(MD + Macp) / Sb] X.3.2

St y Sb son los módulos de la sección del elemento prefabricado Macp es cualquier momento adicional, como ejemplo por la carga permanente de la placa prefabricada y de la placa húmeda excluyendo el peso propio Después que se vació la placa y ésta endureció, (trabajo como elemento compuesto) Nivel A-A En la fibra superior: fsup = - (Pe/ Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [(MD + Macp) / St] – [(MSD + ML) / Stc] X.3.3 En la fibra inferior: finf = - (Pe/ Ab) [1 + (e yt / r^2)] – [(MD + Mcp) / Sb] – [(MSD + ML) / Sbc] X.3.4 MSD es la carga muerta adicional de la sección compuesta después de la erección Stc y Sbc son los módulos de la sección compuesta Los esfuerzos al nivel de las fibras superiores (nivel B-B) e inferiores (nivel A-A) de la placa vaciada en el sitio son: fsus = - (MSD + ML) / Stcb X.3.5 finfs = - (MSD + ML) / Sbcb XXXII.3.6 MSD y ML son el incremento del momento sumado después que la acción compuesta ha tenido lugar

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Stcb y Sbcb son los módulos de la sección de la sección compuesta en la parte superior e inferior de las fibras AA Y BB, respectivamente de la placa X.4 VIGA PREFABRICADA CON CIMBRA (APOYADA) En el caso que la luz de la sección está completamente apoyada hasta que pueda trabajar como sección compuesta, los esfuerzos en las fibras antes del vaciado son: En la fibra superior: En la fibra inferior:

fsup = - (Pe/ Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [MD / St] X.4.1 finf = - (Pe/ Ab) [1 + (e yt / r^2)] + [ MD / Sb} X.4.2

Después que se vació la placa y ésta endureció En la fibra superior: fsup = - (Pe / Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [(MD + Mcp + MSD + ML) / Stc] X.4.3 En la fibra inferior: finf = - (Pe/ Ab) [1 + (e yt / r^2)] + [(MD + Mcp) + (MSD + ML) / Sbc] X.4.4 Si el concreto de la placa vaciada es diferente al elemento prefabricado, el ancho bw debe ser el siguiente bw = Ect b / Ec = nc b X.4.5 Ect es el módulo de elasticidad del concreto de la placa Ec es el módulo de elasticidad del concreto del elemento prefabricado X.5 DETERMINACIÓN DEL PRESFUERZO El presfuerzo inicial (Pi) y la excentricidad (e) en la sección crítica del elemento prefabricado son determinado según los esfuerzos admisible en la transferencia. En general la fisuración es evitada en la transferencia limitando los esfuerzos de tracción al valor fti y los esfuerzos de compresión a fci, para evitar grandes deformaciones plásticas Para satisfacer los esfuerzos límites admisibles del elemento prefabricado en la transferencia e inmediatamente ante del establecimiento de la acción compuesta (al final del Estado 3) puede ser realizada usando un proceso similar que el utilizado para una viga normal y el diagrama de Magnel. Para el caso de la viga prefabricada las ecuaciones se convierten en las siguientes: (1 / Pi) ≥ [αt e – 1] / [ A fti + αt M1] X.5.1 (1 / Pi) ≥ [αb e + 1] / [(-A fci + αb M1] X5.2 (1 / Pi) ≤R3 [αb e + 1] / [(-A ft + αb M3] X.5.3 (1 / Pi) ≤R3 [αt e - 1] / [A fc + αt M3] X.5.4 e es la excentricidad del presfuerzo con respecto al eje centroidal de la sección prefabricada αt = A / St X.5.5 αb = A / Sb X.5.6 A es el área de la sección del elemento prefabricado St es el módulo superior de la sección del elemento prefabricado Sb es el módulo inferior de la sección del elemento prefabricado M1es el momento aplicado en el (Estado de Carga 1) (usualmente corresponde al peso propio del elemento prefabricado) M1 = MD M3 es el momento de servicio máximo aplicado al elemento prefabricado antes de la acción de sección compuesta (Estado de carga 3). Se incluye el peso de la placa húmeda M3 – Mcp R3 Pi es la fuerza del presfuerzo en el Estado de carga 3. Un estimado de las pérdidas del presfuerzo entre la transferencia y la colocación de la placa vaciada en el lugar es requerido para determinar R3 Ecuaciones X.5.1 y X.5.2 definen el nivel límite superior de Pi y X.5.3 y X.5.4 establecen el nivel límite mínimo del presfuerzo en el elemento prefabricado Después que la placa vaciada endureció, la sección compuesta resiste todas las cargas. Si no se permiten grietas bajo la carga de servicio, el limite ft es establecido para los esfuerzos de tracción al final del Estado de carga 5, después que todas pérdidas. El esfuerzo de la fibra a tracción ante del establecimiento de la acción compuesta puede considerarse: σb3 = - (R3 Pi / A) [i + (A e / Sb)] + (M3 / Sb) X.5.7

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Si el momento máximo adicional aplicado a la sección compuesta en el Estado de carga 4 es M4 y la fuerza del PRESFORZADO es Pe con el tiempo, entonces el máximo esfuerzo de la fibra inferior al final del Estado de carga 5 es: σb5 = - (Pe / A) [i + (A e / Sb)] + (M3 / Sb) + (M4 / Sbcomp) X.5.8 Sbcomp es el módulo de la sección compuesta en la fibra inferior.

M4 = MSD + ML Si σb5 se mantiene menor que el valor límite finf, entonces la ecuación X.5.8 se convierte en: (1 / Pe) ≤ [(αb e + 1)] / {A [(M3 / Sb) + (M4 / Sbcomp) – ft]} X.5.9 La ecuación X.5.9 puede utilizarse en el diagrama de Magnel con las ecuaciones X.5.1, X.5.2, X.5.5, para determinar una combinación de Pi y e En algunos casos, la sección prefabricada está proporcionada de tal forma que la excentricidad y la fuerza del presfuerzo satisfacen todos los límites de esfuerzo ante la acción compuesta (Ecuaciones X.5.2 a X.5.5 son satisfechas). Pero cuando adicionamos el requerimiento de la ecuación X.5.9, a veces no se obtiene una combinación de Pi y e que satisfagan todos los esfuerzos límites y no se encuentra una región aceptable en el diagrama de Magnel, entonces es necesario adicionar presfuerzo a la sección compuesta, después que la placa vaciada en el lugar se endureció Si se permite fisuración en la sección compuesta bajo la carga total de servicio, un análisis de sección agrieta es requerido para comprobar su valor de aceptación En el caso que se permita fisuración bajo toda la carga de servicio, pero no bajo una parte de la carga permanente (M4,sus), entonces la ecuación X.5.9 se convierte en: (1 / Pe) ≤ [(α e + 1)] / {A [(M3 / Sb) + (M4, sus / Sbcomp) – ft]} X.5.10 La ecuación X.5.10, puede ser utilizada para determinar el valor mínimo del presfuerzo en sección compuesta parcialmente presforzada X.6 RESISTENCIA AL CORTANTE VERTICAL Cuando se suponga que un miembro compuesto completo resiste cortante vertical, el diseño debe hacerse igualmente que un elemento vaciado monolíticamente con la misma sección transversal El refuerzo para cortante debe anclarse totalmente dentro de los elementos interconectados El refuerzo a cortante vertical, extendido puede incluirse como amarre para cortante horizontal X.7 RESISTENCIA AL CORTANTE HORIZONTAL Para que una sección constituida por dos elementos trabaje como sección compuesta es necesario que el cortante horizontal que se produce en la zona de unión sea resistida por la unión. Si los dos elementos no tienen una buena adherencia, se produce un deslizamiento, como se muestra en la siguiente figura y los dos elementos trabajan independientemente: vaciado en el lugar

deslizamiento elemento prefabricado Cuando se logra que no se produzca el deslizamiento por medio de la adherencia entre los elementos o colocando refuerzo que tomen los esfuerzos de cortante horizontal, la sección trabajo como elemento compuesto La distribución de los esfuerzos de cortante y la dirección del cortante horizontal se muestran en la siguiente figura En el estado límite vuh = (Vu / ) / bvc de = Vnh / bvc dec X.7.1 = 0.85 Vnh ≤ vnh bv dec X.7.2 Vnh es el cortante nominal horizontal bvc es el ancho de contacto de la sección prefabricada

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de es el peralto efectivo desde la fibra extrema a compresión de la sección compuesta al centro de gravedad del refuerzo vaciado en el lugar vh = V Q / I b

elemento prefabricado

eje centroidal de la sección compuesta

C vaciado en el lugar

vh prefabricado T

vnh tiene los siguientes valores: Cuando las superficies de contacto estén limpias, libres de lechadas y estriadas intencionalmente, se puede tomar como máximo igual a 0.55 MPa. Esta resistencia se aplica sobre un área igual bv dpc Cuando se coloquen estribos mínimos y la superficie de contacto esté limpia y libre de lechada, pero no se estrió se puede tomar como máximo a 0.55 MPa Cuando se coloquen estribos con X.6 y la superficie de contacto esté limpia y libre de lechada y se hayan producido estrías de un profundidad de 6 mm, el valor es (1.8 + 0.6 ρv fy) λ bv dpc pero no mayor que: 3.5 bv dpc en MPa ρv es la cuantía de refuerzo en forma de estribos calculada con respecto al área de la superficie de contacto ρv = Av = bv s s es el espaciamiento de los estribos medido a lo largo del eje longitudinal del elemento Cuando el esfuerzo cortante mayorado Vu en la sección exceda  (3.5) bv dpc en MPa, el diseño para cortante horizontal debe realizarse de acuerdo con el Método de Cortante por Fricción. En este caso, todo el cortante horizontal tiene que ser tomado por el refuerzo Vnh = μ Avf fy X.7.3 μ es el Coeficiente de fricción y es igual a: μ = 1.0 para Concreto colocado sobre superficie hecha intencionalmente rugosa μ = 0.6 para el caso contrario Avf es el refuerzo de cortante por fricción En elementos PRESFORZADO se puede utilizar de ó 0.8h, el que sea mayor X.8 Como una alternativa, el cortante horizontal puede investigarse calculando el cambio en la fuerza real de compresión o tracción en cualquier segmento, y tomando medidas para transferir dicha fuerza como cortante horizontal al elemento de apoyo Vnh = vnh Acc X.7.1 Acc es el área de contacto y es igual a: Acc = bv lvh X.7.2 Vhu ≤  Vnh X.7.3 Vhu es el cortante horizontal mayorado lvh es para viga simplemente apoyada = L /2 Para viga continua es igual a la distancia entre momento iguales a 0 X.8.1 DISEÑO DEL REFUERZO

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Cuando se coloquen estribos para resistir el cortante horizontal, la relación del área de estribos a su separación, debe reflejar aproximadamente la distribución de las fuerzas cortantes en el miembro.

Cuando exista tracción perpendicular a cualquier superficie e contacto entre elementos interconectados, puede suponerse transferencia de cortante por contacto sólo cuando se proporcionen estribos mínimos El espaciamiento no debe exceder cuatro veces la dimensión del elemento o 60 cm, el que sea el menor Los estribos para cortante horizontal pueden consistir en barras o alambres individuales, estribos de ramas múltiples o ramas verticales de mallas soldadas (de alambre liso o corrugado) Todos los estribos deben anclarse totalmente dentro de los elementos interconectados X.9 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA SECCIÓN COMPUESTA Paso 1. Dada carga muerta adicional superimpuesta (wcp) la carga viva (wcv), la luz (L), la limitación de la altura (h), la resistencia de los materiales fpu, fy, fc’ y el tipo elemento postensado o pretensado o reforzado con refuerzo ordinario Paso 2. Asume el peso propio (wo) y calcule los momento Mo, Mcp y Mcv Paso 3. Calcule fpi = 0.7 fpu, fci , fti , ft y fc Paso 4. Asuma las pérdidas del presfuerzo Paso 5. Halle la sección mínima a) Para tendones no rectos use la sección en el medio de la luz St ≥ [(1 – γ) MD + MSD + ML] / (γ fti – fc) Sb ≥ [(1 – γ) MD + MSD + ML] / ( ft– γ fci) γ = Pe / Pi b) Para tendones rectos, utilice la sección en el apoyo St ≥ [MD + MSD + ML] / (γ fti – fci) Sb ≥ [ MD + MSD + ML] / ( ft– γ fci) Paso 6. Seleccione una sección con los requerimientos del paso 5 Paso 7. Determine el área del presfuerzo Aps y además Pi y Pe Aplique el inciso X.5 DETERMINACIÓN DEL PRESFUERZO Paso 8. Analice los esfuerzos en el concreto inmediatamente antes de la transferencia a) Para la sección controlada en la luz (usualmente en el medio de la luz (L / 2) o a (0.4 L) b) Para la sección de control en el apoyo c) y para otra sección a lo largo de la luz En la fibra superior: fsup = - (Pi/ Ab) [ 1 – (e yt / r^2)] – [ MD / St] En la fibra inferior: finf = - (Pi/ Ab) [ 1 + (e yt / r^2)] + [ MD / Sb] Si los esfuerzos exceden los permisibles, aumente la sección o cambie la excentricidad ec o ee o ambas Paso 9. Analice los esfuerzos en el concreto para la etapa de la carga vaciada sin endurecer y otras cargas permanentes, en el caso que no esté apoyada la viga prefabricada En el medio de la luz En la fibra superior: fsup = - (R3 Pi/ Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [(MD+ MSD) / St] En la fibra inferior: finf = - (R3 Pi/ Ab) [1 + (e yt / r^2)] – [ (MD + MSD) / Sb] En el apoyo En la fibra superior: fsup = - (R3 Pi/ Ab) 1 – (e yt / r^2)] En la fibra inferior: finf = - (R3 Pi/ Ab) [1 + (e yt / r^2)] Hasta aquí hemos diseñado para la viga prefabricada trabajando sola. Se debe comprobar que la viga prefabricada sola puede resistir el cortante mayorado, hasta esta etapa de carga (peso propio + la carga del concreto fresco y alguna otra carga que se coloque hasta que el concreto vaciado tome la resistencia requerida) Paso 10. Comprobar el cortante horizontal para que la sección trabaje como compuesta según X.7 RESISTENCIA AL CORTANTE HORIZONTAL Paso 10. Cuando hay varios tendones, se debe establecer los perfiles con las excentricidades límites para cero tracción eb = (kb + amin) y et = (amax – ht), donde amin = M D / Pi y amax = Mt / Pe.

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Si se admite tracciones se debe adicionar eb’ = f(t) Ac kb / Pi y et’ = f(b) Ac kt / Pe, a la excentricidad inferior y superior respectivamente f(sup) y f(inf) son los esfuerzos límites calculado en el concreto Paso 11. Calcule los anclajes Paso 12. Determine los esfuerzos de la sección compuesta y revise la sección si los esfuerzos exceden los valores máximos permisibles en el concreto en la sección prefabricada y en el tope de la placa vaciada en el lugar. Utilice el ancho efectivo modificado bm = (Ect / Ec) b para el tope del ala compuesta cuando calcule el módulo de la sección compuesta VIGA PREFABRICADA SIN CIMBRA (NO APOYADA) Antes de que la placa vaciada endurezca actúa como elemento simple: En la fibra superior: fsup = - (R3 Pi/ Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [(MD + MSD) / St] En la fibra inferior: finf = - (R3 Pi/ Ab) [ 1 + (e yt / r^2)] – [ (MD + MSD) / Sb] Después que la placa endureció, trabaja como elemento compuesto Nivel A-A En la fibra superior: fsup = - (Pe/ Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [(MD + MSD) / St] – [(MSD + ML) / Stc] X.2.3 En la fibra inferior: finf = - (Pe/ Ab) [1 + (e yt / r^2)] – [ (MD + MSD) / Sb] – [(MSD + ML) / Sbc] Stc y Sbc son los módulos de la sección compuesta Ect es el modulo de elasticidad del concreto de la placa Ec es el módulo de elasticidad del concreto del elemento prefabricado Los esfuerzos al nivel de las fibras superiores (nivel B-B) e inferiores (nivel A-A) de la placa vaciada en el sitio son: fsups = - (Mcp + ML) / Stcb X.2.5 finfs = - (Mcp + ML) / Sbcb X.2.6 Mcp y ML son el incremento del momento sumado después que la acción compuesta ha tenido lugar Stcb y Sbcb son los módulos de la sección de la sección compuesta en la parte superior e inferior de las fibras, respectivamente de la placa VIGA PREFABRICADA CON CIMBRA (APOYADA) En el caso que la luz de la sección está completamente apoyada hasta que pueda trabajar como sección compuesta, los esfuerzos en las fibras antes del vaciado son: En la fibra superior: fsup = - (Pe/ Ab) [1 – (e yt / r^2)] – [MD / St] X.2.7 En la fibra inferior: finf = - (Pe/ Ab) [ 1 + (e yt / r^2)] + [ MD / Sb} X.2.8 Después que se vació la placa y ésta, endureció En la fibra superior: fsup = - (Pe/ Ab) [ 1 – (e yt / r^2)] – [ (MD + Mcp + MSD + ML) / Stc] X.2.9 En la fibra inferior: finf = - (Pe/ Ab) [ 1 + (e yt / r^2)] + [ (MD + Mcp + MSD + ML) / Sbc] X.2.10 Paso 13. Determine la resistencia de la sección compuesta para el estado límite de flexión, cortante vertical y torsión X.10 EJEMPLO DE SECCIÓN COMPUESTA Calcular la viga compuesta de la figura Una losa y una viga de un sistema de piso consisten de una viga postensada. La viga tiene una sección T y es simplemente apoyada, con una luz de 20.0 m y espaciada a 3.0 m. La losa es de 0.15 m de espesor, continua de Concreto reforzado, reforzada en solo sentido de viga a viga. La viga debe ser diseñada para presfuerzo total (sin fisuras). El piso soporta una carga permanente de 1.5 kPa y una carga viva de 3.0 kPa.

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En la siguiente figura se la sección compuesta: Nivel B-B

Nivel A-A

Placa vaciada en el lugar

0.25 m

Placa prefabricada para soportar el concreto húmedo

vigas prefabricadas Pasos 1 al 3 Los esfuerzos permisibles son los siguientes: fc’ = 35 MPa (peso normal) fpu = 1860 MPa (resistencia última especificada del tendón) fpy = 1463 MPa (resistencia en el punto de fluencia) esfuerzo en el gato = 1374 MPa ft = 4.14 MPa (esfuerzo máximo de tracción en el concreto con carga de servicio) fci’ = 0.8 fc’= - 28.0 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.64 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fti = √fci’/4= 1.32 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia fuera del apoyo fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (esfuerzo de compresión del concreto en la transferencia) en centro de la luz para viga simplemente apoyada fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas fc =- 0.6 fc’ = - 21.0 MPa (esfuerzo permisible del concreto con las cargas de servicio) Ec = 29000 MPa, Eci = 0.8 x 29000 = 23200 MPa Ep = 195000 MPa fpy / fpu = 1488 / 1860 = 0.8 Hallemos los valores para considerar la viga T En la construcción con vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o de manera tal que se asegure su unión efectiva El ancho eficaz de la cabeza de compresión (bt) no debe exceder un cuarto de la luz de la viga b ≤ 1/4 de la luz de la viga b ≤ 20.0 / 4 = 5.0 m < 3.0 m Se cumple El ala efectiva (b1) que se proyecta hacia cada lado del alma no debe exceder: - 8 veces el espesor de la losa b1 ≤ 8 hf b1 ≤ 8 x 0.15 = 1.2 m -La mitad de la distancia hasta el alma siguiente b1 = b2 / 2 b1 = 2.7 / 2 = 1.35 m Debemos utilizar como b = 2 b1 + bw = 2 x 1.2 + 0.3 = 2.7 m Momento en el centro de la viga Debido al peso propio Asumimos que la altura de la viga es L / 17 = 20.0 / 17 = 1.17 m, asumimos h = 1.2 m El peso del concreto 0.024 MN / m^3 La carga por peso propio es: 0.024 {3.0 x 0.15 + 0.3 (1.2 – 0.15)] = 0.01836 MN/m El momento por peso propio es M D = 0.01836 x 20.0^2 / 8 = 0.918 MN-m Debido a la carga permanente wcp = 0.0015 x 3.0 + 0.00012 x 3.0 = 0.00486 MN/m Mcp = M3 = 0.00486 x 20.0^2 / 8 = 0.243 MN-m (carga permanente incluyendo la losa sin fraguar) MSD = 0.114 MN-m (carga permanente colocada después de fraguado la placa) Debido a la carga viva wL = 0.003 x 3 = 0.009 MN/m ML = 0.009 x 20.0^2 / 8 = 0.45 MN-m M4 = MSD + ML = 0.564 MN-m En la transferencia MD = M1 = 0.918 MN-m Paso 4. Consideremos las pérdidas como 18% γ = 0.82 Paso 5 y 6- Módulo de la sección mínimo y selección de la sección

97

γ = 0.18 a) Para tendones no rectos use la sección en el medio de la luz St ≥ [(1 – γ) MD + Mcp + ML] / (γ fti – fc) St = 0.056 m^3

X.6.1

Sb ≥ [(1 – γ) MD + Mcp + ML] / (ft– γ fci) Sb = 0.1676 m^3

X.6.2

Probemos con la siguiente sección 0. 45 m Ac = 0.47 m^2 I = 0.14318 m^4 Sb = 0.1789 m^3 St = 0.1798 = 0.1789 m^3 r^2 = 0.3046 m^2 wcp = 0.01128 MN/m ks = r^2 / ys = 0.3046 / 0.8 = 0.38075 m = ki M1 = MD = 0.564 MN-m

0.3 m 0.8 m 0.2 m 1.6 m 0.8 m 0.3 m 0.45 m

Paso 7. Determine el área del presfuerzo Aps y además Pi y Pe Aplique el inciso X.5 DETERMINACIÓN DEL PRESFUERZO Para el elemento prefabricado El presfuerzo inicial (Pi) y la excentricidad (e) en la sección crítica del elemento prefabricado son determinado según los esfuerzos admisible en la transferencia. En general la fisuración es evitada en la transferencia limitando los esfuerzos de tracción al valor fti y los esfuerzos de compresión a fci, para evitar grandes deformaciones plásticas Para satisfacer los esfuerzos límites admisibles del elemento prefabricado en la transferencia e inmediatamente ante del establecimiento de la acción compuesta (al final del Estado 3) puede ser realizada usando un proceso similar que el utilizado para una viga normal y el diagrama de Magnel. Para el caso de la viga prefabricada las ecuaciones se convierten en las siguientes: (1 / Pi) ≥ [αt e – 1] / [ Ac fti + αt M1] X.5.1 ( 1 / Pi) ≥ [0.002627 e – 1] / [470000 x 1.32 + 0.002627 x 564000000] (1 / Pi) ≥ [0.002627 e – 1] / [2102028] X.5.1 Para 1 / Pi = 0, e = 380.66 mm Para e = 500 mm 1 / Pi = 0.149 N^ (-1) (1 / Pi) ≥ [αb e + 1] / [ (-Ac fci + αb M1] X.5.2 (1 / Pi) ≥ [0.002627 e + 1] / [(-470000 x (- 16.8) + 0.002627 x 564000000 ] (1 / Pi) ≥ [0.002627 e + 1] / 9377628] Para 1 / Pi = 0 e = - 380.66 mm Para e = 500 mm 1 / Pi = 0.247 N^(-1) (1 / Pi) ≤R3 [αb e + 1] / [(-A ft + αb M3] X.5.3 (1 / Pi) ≤0.08 [0.002627 e + 1] / [(-47000 x 4.14 + 0.002627 x 0.243] (1 / Pi) ≤0.08 [0.002627 e + 1] / [- 1945799] Para 1 / Pi = 0 e = - 380.66 mm Para e = 500 mm 1 / Pi = - 0.095 N^(-1) (1 / Pi) ≤R3 [αt e - 1] / [Ac fc + αt M3] X.5.4 (1 / Pi) ≤0.08 [0.002627 e - 1] / [ 470000 x (- 21.0) + 0.002627 x 0.243] (1 / Pi) ≤0.08 [0.002627 e - 1] / [- 9869999]

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Para 1 / Pi = 0 e = 380.66 mm Para e = 500 mm 1 / Pi = - 0.003 N(-1) e es la excentricidad del presfuerzo con respecto al eje centroidal de la sección prefabricada αt = Ac / St = 470000 / 178900000 = 0.002627 αb = Ac / Sb = 2.627= 0.002627 Ac es el área de la sección del elemento prefabricado St es el módulo superior de la sección del elemento prefabricado Sb es el módulo inferior de la sección del elemento prefabricado M1es el momento aplicado en el (Estado de Carga 1) (usualmente corresponde al peso propio del elemento prefabricado) M1 = MD M3 es el momento de servicio máximo aplicado al elemento prefabricado antes de la acción de sección compuesta (Estado de carga 3). Se incluye el peso de la placa húmeda M3 = Mcp R3 Pi es la fuerza del presfuerzo en el Estado de carga 3. Un estimado de las pérdidas del presfuerzo entre la transferencia y la colocación de la placa vaciada en el lugar es requerido para determinar R3 Ecuaciones X.5.1 y X. 5.2 definen el nivel límite superior de Pi y X.5.3 y X. 5.4 establecen el nivel límite mínimo del presfuerzo en el elemento prefabricado Cada una de las ecuaciones es dibujada en la figura d la próxima página Para la sección compuesta Después que la placa vaciada endureció, la sección compuesta resiste todas las cargas. Si no se permiten grietas bajo la carga de servicio, el limite ft es establecido para los esfuerzos de tracción al final del Estado de carga 5, después que todas pérdidas. El esfuerzo de la fibra a tracción ante del establecimiento de la acción compuesta puede considerarse: σb3 = - (R3 Pi / A) [ i + (Ac e / Sb)] + (M3 / Sb) X.5.7 Si el momento máximo adicional aplicado a la sección compuesta en el Estado de carga 4 es M4 y la fuerza del PRESFORZADO es Pe con el tiempo, entonces el máximo esfuerzo de la fibra inferior al final del Estado de carga 5 es: σb5 = - (Pe / Ac) [i + (Ac e / Sb)] + (M3 / Sb) + (M4 / Sbcomp) X.5.8 Sbcomp es el módulo de la sección compuesta en la fibra inferior.

M4 = MSD + ML Si σb5 se mantiene menor que el valor límite fb, entonces la ecuación X.5.8 se convierte en: (1 / Pe) ≤ [(α e + 1)] / {A [(M3 / Sb) + (M4 / Sbcomp) – ft]} X.5.9 La ecuación X.5.9 puede utilizarse en el diagrama de Magnel con las ecuaciones X5.1, X.5.2 y X.5.5, para determinar una combinación de Pi y e En algunos casos, la sección prefabricada proporcionada de tal forma que la excentricidad y la fuerza del presfuerzo satisfacen todos los límites de esfuerzo ante la acción compuesta (Ecuaciones X.5.2 a X.5.5 son satisfechas). Pero cuando adicionamos el requerimiento de la ecuación X.5.9, a veces no se obtiene una combinación de Pi y e que satisfagan todos los esfuerzos límites y no se encuentra una región aceptable en el diagrama de Magnel, entonces es necesario adicionar presfuerzo a la sección compuesta, después que la placa vaciada en el lugar se endureció Si se permite fisuración en la sección compuesta bajo la carga total de servicio, un análisis de sección agrieta es requerido para comprobar su valor de aceptación

99

(1 / Pi) x 1^(-6) (N^(-1) ó 1/Pe 0.5

ecuación X.5.1

0.4 Ecuación X.5.2 0.3

0.2

0.1 Ecuación X.5.3 Ecuación X.5.4

400 300 - 1 / αb

200

100

100

200 1 / αt

300

400

500 emax

600

700 600 excentricidad, e (mm)

Diagrama de diseño de Magnel Para e = 0.66 m = 660 mm 1 / Pi = 0.349 N(-1)

Pi = 2.8654 MN

En el caso que se permita fisuración bajo toda la carga de servicio, pero no bajo una parte de la carga permanente (M4,sus), entonces la ecuación X.5.9 se convierte en: (1 / Pe) ≤ [ (αb e + 1)] / { A [(M3 / Sb) + (M4, sus / Sbcomp) – ft]} X.5.10 La ecuación X.5.10, puede ser utilizada para determinar el valor mínimo del presfuerzo en sección compuesta parcialmente presforzada Consideremos que las características de la sección compuesta es la siguiente: Ab = 1.01 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.188 m^2 ks = r^2 / ys = 0.363 m ki = r^2 / yi = 0.1467 m yi = 1.281 m ys = 0.519m Ib = 0.1904 m^4 Sbcomp = 0.148 m^3 Stcomp = 0.367m^3 No permitiendo fisuración, utilizamos: (1 / Pe) ≤ [ (α e + 1)] / { A [(M3 / Sb) + (M4 / Sbcomp) – ft]}

X.5.9

(1 / Pe) ≤ [(0.002627 x 1141 + 1)] / {1010000 [(0.243 / 0.1789 ) + (0.565 / 0.148) – 4.14]} (1 / Pe) = 6.23 N(-1) = 3.859 MN Pi = 0.259 MN Por lo cual predomina cuando la viga prefabricada está sola Pi = 2.8654 MN Ahora es necesario calcular las perdidas para obtener el valor de Pe. En este ejemplo no lo haremos, consideraremos que las pérdidas son la estimada de 18%, en un caso real se debe de hacer Pe = 2.3496 MN

100

Paso 8. Analice los esfuerzos en el concreto inmediatamente antes de la transferencia a) Para la sección controlada en la luz (usualmente en el medio de la luz (L / 2) o a (0.4 L) b) Para la sección de control en el apoyo c) y para otra sección a lo largo de la luz En la fibra superior: fsup = - (Pi/ Ab) [ 1 – (e ys / r^2)] – [ MD / St] En la fibra inferior: finf = - (Pi/ Ab) [ 1 + (e yi / r^2)] + [ MD / Sb] Si los esfuerzos exceden los permisibles, aumente la sección o cambie la excentricidad (e) o ambas a) Para la sección en el medio de la luz En la fibra superior: fsup = - (2.8664/ 0.47) [1 – (0.66 x 0.8 / 0.3046] – [0.546 / 0.1789]= 1.418 MPa > fti Como no se cumple, disminuimos la excentricidad Sustituimos e = 0.6 m fsup = - (2.8664/ 0.47) [1 – (0.6 x 0.8 / 0.3046] – [0.546 / 0.1789]= 0.458 MPa < fti = 1.32 MPa (Se cumple) En la fibra inferior: finf = - (2.8664/ 0.47) [1 + (0.6 x 0.8 / 0.3046] + [0.546 / 0.1789]= - 12.657 MPa fbinf< fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (Se cumple) b) en el apoyo tomamos e = 0.2 m En la fibra superior: fsup = - (Pi/ Ab) [ 1 – (e ys / r^2)] fsup = - (2.8664/ 0.47) [1 – (0.2 x 0.8 / 0.3046] = - 2.895 MPa < fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas (en la transferencia) (Se cumple) En la fibra inferior: finf = - (Pi/ Ab) [ 1 + (e yi / r^2)] finf = - (2.8664/ 0.47) [1 + (0.2 x 0.8 / 0.3046] = - 9.30 MPa < - 19.6 MPa (Se cumple) Paso 9. Analice los esfuerzos en el concreto para la etapa de la carga vaciada sin endurecer y otras cargas permanentes, en el caso que no esté apoyada la viga prefabricada Anteriormente consideramos que las pérdidas antes que la placa fraguara es R3 = 0.08 En el medio de la sección En la fibra superior: ft = - (R3 Pi/ Ab) [ 1 – (e yt / r^2)] – [ (MD + Mcp) / St] ft = - (0.92 x 2.8664 / 0.47) [ 1 – (0.6 x 0.8 / 0.3046] – [ (0.546+ 0.243 ) / 0.1789] fsup = 3.00 – 4.41 = - 1.41 < fc’ (Se cumple) En la fibra inferior: finf = - (R3 Pi/ Ab) [ 1 + (e yt / r^2)] – [ (MD + Mcp) / Sb] - (0.92 x 2.8664 / 0.47) [ 1 + (0.6 x 0.8 / 0.3046] – [ (0.546+ 0.243 ) / 0.1789] finf= - 18.81 MPa < fc =- 0.6 fc’ = - 21.0 MPa (Se cumple) En el apoyo En la fibra superior: fsup = - (R3 Pi/ Ab) [ 1 – (e yt / r^2)] fsup = - (0.92 x 2.8664 / 0.47) [1 - (0.2 x 0.8 / 0.3046] = - 2.66 MPa < fc =- 0.6 fc’ = - 21.0 MPa (Se cumple) En la fibra inferior: finf = - (R3 Pi/ Ab) [ 1 + (e yt / r^2)] fb = - (0.92 x 2.8664 / 0.47) [1 + (0.2 x 0.8 / 0.3046] = - 7.934 MPa < fc =- 0.6 fc’ = - 21.0 MPa (Se cumple) Paso 10 comprobar el cortante horizontal Para vnh = 0.6 MPa φ = 0.85 Vnh ≤ vnh bv dec Vnh = 0.6 x 0.25 x 1.66 = 0.249 MN  Vnh = 0.21165 MN El cual debe se mayor que Vu A partir de este momento se debe considerar la viga compuesta y comprobarla en todos los estados de cargas y los estados de utilización y estados últimos X.11 PROBLEMAS PROPUESTOS X.11.1 Calcular la viga compuesta de la figura Una losa y una viga de un sistema de piso consisten de una viga postensada. La viga tiene una sección T y es simplemente apoyada, con una luz de 22.0 m y espaciada a 3.0 m. La losa es de 0.15 m de espesor,

101

continua de Concreto reforzado, reforzada en solo sentido de viga a viga. La viga debe ser diseñada para presfuerzo total (sin fisuras). El piso soporta una carga permanente de 1.6 kPa y una carga viva de 3.1 kPa.

En la siguiente figura se la sección compuesta: Nivel B-B

Nivel A-A

Placa vaciada en el lugar

0.25 m

Placa prefabricada para soportar el concreto húmedo

Los esfuerzos permisibles son los siguientes: fc’ = 35 MPa (peso normal) fpu = 1860 MPa (resistencia última especificada del tendón) fpy = 1463 MPa (resistencia en el punto de fluencia) esfuerzo en el gato = 1374 MPa ft = 4.14 MPa (esfuerzo máximo de tracción en el concreto con carga de servicio) fci’ = 0.8 fc’= - 28.0 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.64 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fti = √fci’/4= 1.32 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia fuera del apoyo fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (esfuerzo de compresión del concreto en la transferencia) en centro de la luz para viga simplemente apoyada fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas fc =- 0.6 fc’ = - 21.0 MPa (esfuerzo permisible del concreto con las cargas de servicio) Ec = 29000 MPa, Eci = 0.8 x 29000 = 23200 MPa Ep = 195000 MPa fpy / fpu = 1488 / 1860 = 0.8

102

CAPÍTULO XI ESTADO LÍMITE ÚLTIMO XI.1. DIAGRAMA DE CÁLCULO DEL ESFUERZO-DEFORMACIÓN DEL CONCRETO En realidad no existe un diagrama único de esfuerzo-deformación del concreto, debido a que: -depende de la calidad (resistencia) del concreto -el ritmo de aplicación de las cargas -el tipo de probeta utilizada Según ensayos realizados, para probetas cilíndricas (que concuerda bastante bien con la zona de compresión del concreto de las vigas rectangulares a flexión), varía para cada calidad del concreto, por lo cual no podemos tomar un diagrama para todas las calidades del concreto Diferentes Normas utilizan un diagrama parábola-rectángulo que para calidades próximas a 21 MPa, puede ser bastante exacto, pero para otras calidades NO lo son, además, cual deformación límite tomar?

El Reglamento permite utilizar un rectángulo con un valor de esfuerzo del concreto de 0.85fc’ y una deformación unitaria máxima de - 0.003 XI.2 HIPÓTESIS 1-El acortamiento unitario máximo (en la fibra extrema) del concreto a compresión (en flexión y flexocompresión) se considera c = - 0.003 y el promedio en la mitad del peralto de la sección sometida principalmente a carga axial es o = - 0.002 2-Las secciones que antes de aplicarse las solicitaciones son planas se mantienen planas 3- La deformación unitaria total (p) en cualquier refuerzo de presfuerzo a tracción se calcula como la suma de la deformación unitaria (pe) producida por la acción del presfuerzo efectivo (pe) a toda carga de servicio, más la deformación unitaria de descompresión (desc) más la deformación unitaria producida por la deformación producida por las acciones (pc) o sea: p = pe + desc + pc XI.2.1 pe = fpe / Eps XI.2.2 desc = (Pe / Ac Ec) [1 + (e² / r²)] XI.2.3 pc = u [(dp – c) / c] XI.2.4 a/2 zona comprimida u = 0.003 0.85 fc´ dp

c

a

C

eje neutro a carga última dp – (a / 2)

h pe + desc

Aps

pc p

T

4-Se considera que el refuerzo en la zona comprimida del concreto tiene las mismas deformaciones que el concreto que las rodea hasta alcanzar el agotamiento de la sección 5-Se utiliza un diagrama rectangular de compresión del concreto con un valor de 0.85 fc’, distribuido uniformemente sobre una zona equivalente de compresión, limitada por los bordes laterales de la sección transversal y por una línea recta paralela al eje neutro, localizada a una distancia a = 1 c de la fibra de máxima deformación unitaria sometida a compresión La relación (1=a/c), se considera según la siguiente Tabla: fc (MPa) 21 28 35 42 56 70 1

0.85

0.85

0.80

0.75

0.65

0.65

6- La distancia c desde la fibra de máxima deformación hasta el eje neutro, debe medirse en una dirección perpendicular a dicho eje 7-Los materiales se utilizan con sus valores de rotura 8-Se desprecia la resistencia del concreto a tracción 9- El esfuerzo en el refuerzo PRESFORZADO para valores menores a la resistencia nominal a la fluencia, debe tomarse como Es veces la deformación unitaria del acero. Para deformaciones unitarias

103

mayores que las correspondientes a fy, el esfuerzo en el refuerzo debe considerarse independiente de la deformación e igual a fy 10-Se admite que el acero en la zona comprimida del concreto tiene la misma deformación que el concreto que las rodea hasta alcanzar el agotamiento de la sección 11-Puede considerarse que el refuerzo no PRESFORZADO, utilizado en combinación con tendón de presfuerzo, contribuye a la resistencia a tracción y puede incluirse en los cálculos de resistencia a momento con esfuerzo igual a su resistencia a la fluencia fy. Otros refuerzos no PRESFORZADO pueden ser incluidos en los cálculos de resistencia solamente si se hace un análisis de compatibilidad de deformaciones para determinar los esfuerzos en dicho refuerzo DIAGRAMA DE DOMINIOS Basándonos en las Hipótesis anteriores, se obtiene una familia de Estados de Deformaciones Últimas que provocan el fallo por resistencia o deformaciones plásticas excesivas de la sección. Estos estados de deformaciones últimas se puede esquematizar gráficamente según el Diagrama de Deformaciones o Dominios que se muestra en la siguiente figura Plano de Referencia 6 fse - 0.003 As’, Ap’

B

d’

1

D

1a 2

4a

dp (de)

3 5

4

As, Ap - 0.003

2a

0.002 Fallo Balanceado

Compresión Controlada

A 0.005

(s) (p) (  = 0.9) Tracción Controlada zona de Transición

Compresión

Tracción

NOTA: El fallo balanceado (t = 0.002), corresponde para los aceros fy = 420 MPa y de Presforzado Dominio 1. Tracción simple o excéntrica Dominio 2a. Flexión simple o compuesta Dominio 2. Flexión simple o compuesta Dominio 3. Flexión simple o compuesta Dominio 4. Flexión simple o compuesta Dominio a. Flexión compuesta Dominio 5. Compresión compuesta Dominio 6 Compresión compuesta o compresión centrada XI.3 RESISTENCIA REQUERIDA El concreto PRESFORZADO debe diseñarse por el método de la resistencia tal como se define en las Combinaciones de Cargas usando el Método del Estado Límite de Resistencia La resistencia requerida se obtiene como el valor máximo, expresado en términos de cargas o momentos y fuerzas internas asociadas, que resulta de aplicar a la estructura las diferentes cargas permanentes (muertas), temporales (vivas), sísmicas, de viento e impuestas por cambios de temperatura, retracción de fraguado y

104

flujo plástico, empuje de tierra o líquidos, mayoradas y combinadas con Combinaciones de Cargas usando el Método del Estado Limite de Resistencia XI.4 RESISTENCIA DE DISEÑO La resistencia de diseño que tiene un elemento, sus conexiones con otros elementos y cualquier parte o sección de él, en términos de momentos flectores, carga axial, cortante y torsión, debe ser igual a su resistencia nominal multiplicada por un Coeficiente de Reducción de Resistencia , por lo tanto: Resistencia de diseño =  resistencia nominal ≥ resistencia requerida = U XI.4. 1 El factor de reducción de resistencia , se utiliza para: a) Tener en cuenta la probabilidad de que los elementos tengan menor resistencia, debido a la variación en la resistencia de los materiales y sus dimensiones b) Tener en cuenta las inexactitudes de las ecuaciones de diseño c) Tener en cuenta el grado de ductilidad y la confiabilidad requerida para el elemento bajo los efectos de las carga que se considera d) Considerar la importancia del elemento en la estructura Se considera Tracción Controlada cuando la deformación unitaria neta del refuerzo extremo en tracción (εt), en el estado de resistencia nominal, sea igual o mayor de 0.005 y la deformación unitaria en la fibra extrema a compresión (εc) es -0.003 Se considera Compresión Controlada cuando la deformación unitaria neta del refuerzo extremo en tracción (εt), es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto alcanza su límite de deformación supuesto de -0.003 El límite de deformación unitaria neta controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción del refuerzo en condiciones de deformación unitaria balanceada.

La condición de sección balanceada se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema a compresión es -0.003 y la deformación del refuerzo en tracción alcanza una deformación unitaria igual a 0.002, para refuerzo de fy = 420 MPa y para todos los refuerzos PRESFORZADO El valor de  es para: Tracción Controlada...................................................................................  = 0.9 Compresión Controlada a) Con refuerzo en espiral................................................................  = 0.70 b) Con otro refuerzo..........................................................................  = 0.65 En la zona de transición, o sea, entre tracción controlada y compresión controlada: a) Para elementos con refuerzo en espiral  = 0.70 + 0.2 { [1/(c/de)] – (5/3)]} XI.4.2  = 0.70 + (t – 0.002) (200 / 3) XI.4.3 b) Para otro tipo de refuerzo  = 0.65 + 0.25 {[(1/ (c/ de)] – (5/3)} XI.4.4  = 0.65 + (t – 0.002) (250/3) XI.4.5 Se utiliza un valor menor de  para las secciones controladas por compresión que para las secciones controladas por tracción, debido a que las secciones controladas por compresión tienen menor ductilidad, son más sensibles a las variaciones en la resistencia del concreto y se presentan en elementos que soportan mayores áreas cargadas que los elementos con secciones controladas por tracción A los elementos con espirales se le asigna un valor mayor de  que los elementos con estribos debido a que presentan mayor ductilidad o tenacidad Los límites de c/de para sección controlada por compresión es 0.6 y para sección controlada por tracción es 0.375 El límite de 0.6 se aplica para secciones reforzadas con acero fy = 420 MPa y para secciones presforzada de- distancia desde el refuerzo extremo a tracción a la fibra extrema a compresión ρ- cuantía volumétrica = As / Ac ρb – cuantía balanceada Cortante y Torsión …………………………………………………………………………0.75

105

Aplastamiento en el concreto (excepto para anclajes de postensado y modelo puntual-tensor) ……………………………………………………………………………..0.65 Zonas de anclajes de postensados……………………………………………………….. 0.85 Los modelos puntal-tensor y puntales, tensores, zonas de nodos y áreas de apoyos en esos modelos …………………………………………………………………………… 0.75 Las secciones en flexión en los elementos PRESFORZADOs donde la longitud embebida del torón es menor que la longitud de desarrollo: a) Desde el extremo del elemento hasta el extremo de la longitud de transferencia……0.75 b) Desde el extremo de la longitud de la transferencia hasta el extremo de la longitud de desarrollo. debe permitirse que  sea incrementado linealmente de 0.75 a 0.9 Donde la adherencia del torón no se extienda hasta el extremo del elemento, se debe asumir que el embebimiento del torón se inicia en el extremo de la longitud no adherida XI.5 DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE RESISTENCIA Es posible resumir todas las condiciones en que puede estar sometida una sección, aplicando un diagrama de interacción como se muestra en la próxima página Toda combinación de carga axial y momento de flexión aplicada a una sección que caiga dentro de la curva de interacción es satisfactoria y puede ser resistida por la sección, pero toda combinación que caiga fuera de la curva, excede la resistencia de la sección Hay varios puntos críticos que son señalados en el diagrama: Punto A en el eje vertical, es el fallo a compresión axial (no hay momento flector) La sección está sometida a una deformación unitaria uniforme Punto B representa cero tracción. La combinación de la fuerza axial a compresión PuB y el momento flector (PuB eb) en el Punto B (cuando se combina con la fuerza del presfuerzo), produce cero deformación en la fibra externa de la sección. El fallo de la fibra externa del concreto se alcanza cuando εc = -0.003. Entre los Puntos A y Punto B, toda la sección está a compresión Cuando la excentricidad de la carga aplicada es mayor que eB, la flexión causa tracción sobre parte de la sección. El Punto C, se le llama Punto de fallo balanceado. La deformación unitaria en la fibra extrema a compresión es εcu = 0.003, y la deformación unitaria del refuerzo a tracción es el punto de fluencia del refuerzo εy = 0.2%. La excentricidad de la carga aplicada en el punto de fallo balanceado es eC = eb El Punto C es el punto de Compresión controlada ( = 0.70 ó  = 0.65) Cuando la sección tiene refuerzo PRESFORZADO y no PRESFORZADO con diferentes puntos de fluencia y colocados en diferentes posiciones en la sección, el punto de fallo balanceado no está bien definido, pero se toma para refuerzo con fy = 420 MPa y para PRESFORZADO εt = 0.002 El Punto C casi siempre se toma como el punto correspondiente a una deformación εy (εp) en el refuerzo más próximo a la fibra extrema a tracción de la sección y es usualmente en o cerca del punto de máximo capacidad de resistencia a momento flector En todos los puntos entre Punto A y Punto C, el esfuerzo de tracción del refuerzo no llega al punto de fluencia por lo cual, el fallo es por compresión del concreto (sección hiper-reforzada)

106

εcu = 0.003 Pu (fuerza axial de compresión) εcu = 0.003 xPunto A (compresión axial) x x

PuA

PuB x

eB x x

Punto B (límite de cero tracción

εcu = 0.003

x

PuC (Pub) eC (eb) εt = 0.002

x

εcu = 0.003 1 e2 1 e3

x

PuCa

x x Punto C (fallo balanceado)

eCa

x x

e3a 1

x

Punto Ca (εt = 0.005)

εt = 0.005 Momento flector M (Pu e)

x x

Punto D Momento Simple εcu = 0.003

x Nu (Fuerza axial de tracción) x > εp x

Punto E (Tracción axial)

Nu E

El Punto Ca es el punto donde el refuerzo toma una deformación unitaria de εt = 0.005, y es el Punto de Tracción Controlada ( = 0.9) Entre los Puntos C y Punto Ca, la sección está en zona de transición El Punto D es el punto de flexión simple, donde la fuerza axial es cero El Punto E es el punto de fallo a tracción axial

107

En todos los puntos, entre los Puntos C y Punto E, el refuerzo alcanza el punto de fluencia y el fallo es a tracción del refuerzo (sección hipo-reforzada) Cualquier línea recta a través del origen del gráfico representa una línea de excentricidad constante y se denomina una línea cargada. La pendiente de cada línea cargada es (1 / e). Cuando se aumenta la fuerza de compresión (Pu) a una excentricidad particular, ei, el ploteo de Pu – M (M = Pu ei) sigue la línea de pendiente 1/e hasta que la resistencia de la sección es alcanzada al punto donde la línea cargada y la curva es interceptada. Si la excentricidad de la carga aplicada es aumentada, la línea cargada se convierte más plana y la resistencia de la sección a la carga última Pu se reduce El contorno general de la curva es típica para cualquier sección que es hipo-reforzada en flexión simple (cualquier sección en la cual la tracción del refuerzo en el Punto D excede el punto de fluencia del refuerzo.

Un pequeño aumento de la fuerza de compresión axial Pu aumenta los esfuerzos internos de compresión resultantes en la sección, pero no apreciablemente reduce el esfuerzo interno de tracción, de este modo aumentando la capacidad a momento , como se muestra por la parte de la curva entre los Puntos D y Punto C XI.6 FLEXIÓN Las vigas presforzada sometidas a flexión, normalmente se diseñan para la carga de servicio, tal como vimos en los capítulos anteriores y posteriormente se comprueban para la carga mayorada XI.6.1 SECCIONES RECTANGULARES SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA Como sección rectangular se considera la sección rectangular propiamente dicha o cualquier sección en que la zona comprimida sea rectangular, independientemente de la forma que tenga la zona en tracción Sea la sección de concreto reforzada con acero PRESFORZADO y ordinario, sometida a momento flector

bw 0.85 fc’

-0.003

Fc’

a di de o o o o

c

Apsi Así

pi si si p1

As εt

z Apsi fpi Assí fsi As fs1

Aps fpi

Aps Para que exista equilibrio Fc’ = T donde T representa la fuerza de tracción de todos los refuerzos Fc’ = 0.85 fc’ a bw = ∑Así fsi + ∑Aps fpi XI.6.1a El momento nominal máximo que resiste el concreto es Mcn max= Fc.’ z = 0.85 fc.’ a bw z Donde a = (∑Así fs + ∑Aspi fpi) / 0.85 fc.’ bw Tomando momento con respecto a la fuerza Fc’, hallamos que: Man = (∑Así fi zi+ ∑Apsi fpi zi) XI.6.1c - 0.003 zi = de – a/2 Mna– momento nominal del refuerzo El momento de cálculo que resiste la sección es: Mu =  Mn c Para conocer el valor de , es necesario conocer el valor εt como conocemos a, entonces hallamos c = a /1 de De la figura de deformación, hallamos p p = -0.003 (de – c) / c con el valor de p, podemos determinar el valor de  considerando una camada de refuerzo El momento que resiste el acero es:  Mna=  (As fy + Aps fps) z XI.6.1.d El momento que resiste el concreto es:  Mnc = 0.85 fc’a bw z XI.6.5.1e

XI.6.1b

108

con el que se obtenga el menor valor, ese es el momento de cálculo que resiste la viga Para t = 0.005

c = 0.375 de

a = 1 c

z = de – a/2 = de (1 – 0.1875 1)

 Mc = 0.85 fc’ bw (de^2) [0.319 1 – 0.0598 (1) ^2] 0.9  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9 XI.6.1g ct = [0.319 1 – 0.0598 (1)^2] XI.6.1h

XI.6.1.f

En la siguiente Tabla se muestra los valores de ct para t = 0.005 y las diferentes calidades de concreto fc’ MPa

21

28

35

42

56

70

0.228 0.228 0.217 0.205 0.182 0.182 ct Pudiéndose hallar el valor del peralto efectivo extremo necesario (de) según la siguiente ecuación: de =  ( Mu / 0.9 ct fc’ bw)

XI.6.1i

Si por cualquier motivo es necesario utilizar un peralto menor al valor obtenido por la fórmula anterior y se desea seguir utilizando t = 0.005, entonces se debe aumentar la calidad del concreto o reforzar la zona en compresión. Recordar que con este valor de t = 0.005, no se alcanza el fallo balanceado. El fallo balanceado se alcanza cuando t = 0.002, para aceros fy = 420 MPa y de PRESFORZADO y se utilizaría  = 0.65 ó 0.75 Para t = 0.002

c = 0.6 (de) a = 1 c z = de (1 – 0.3 1)  Mc = fc’ bw d^2 [0.51 1 – 0.153 (1) ^2]  XI.6.1j  Mc = cc fc’ b d^2 

XI.6.1k

En la siguiente Tabla se muestra los valores de cc para t = 0.002 y diferentes calidades de concreto fc’ MPa cc

21

28

35

0.323

0.323

0.310

42

56

0.296

0.267

70 0.267

Pudiéndose hallar el valor del peralto efectivo extremo necesario (de) según la siguiente ecuación: de =  ( Mu /  tc fc’ bw)

XI.6.1l

 = 0.65 (0.75) Si las dimensiones del elemento están determinadas, se comprueba que la zona de compresión cumpla que: Mu   Mc

XI.6.1m

Si lo anterior no se cumple, se debe aumentar la calidad del concreto o mejor colocar refuerzo en la zona de compresión, este refuerzo debe ser de acero ordinario, ya que si coloca de PRESFORZADO, disminuye la resistencia del elemento en la zona comprimida

a) Zona de Tracción Ac’ = a bw La altura (a) de la zona comprimida se obtiene igualando las fuerzas horizontales bw a 0.85 fc’ = Aps fps +  Así fsi + Apsi fpi) XI.6.1n

109

a = (Aps fps + Así fsi + Apsi fpi) / 0.85 bw fc’ ....... XI.6.1o Considerando una camada de refuerzo y tomando momento con respecto al centroide de la zona comprimida, debe cumplirse que: Mu  [Aps fps (de – 0.5 a) + Así fsi (  di – 0.5 a) + Apsi fpi (di – 0.5 a)]  ....... XI.6.1p NOTA: fsi y fpi representan los esfuerzos de las armaduras no presforzada y de presfuerzo no extremas respectivamente Para el diseño, lo mejor es considerar el caso de t  0.005 y sustituyendo XV.6.15 en XI.6.1q y tomando en cuenta , obtenemos: Mu = 085 fc’ a b (de – 0.5 a) 

XI.6.1r

Mu = (As fy + Aps fps) z 

XI.6.1s

z = (de) – 0.5 a

XI.6.1t

XI.6.2 EJEMPLO DE HALLAR EL MOMENTO NOMINAL Y DE CÁLCULO Hallar el momento nominal y de cálculo de la sección de la figura

0.2m

0.80 m

Ac = 0.24 m^2 I = 0.019196 m^4 r^2 = 0.07998 m^2 fc’ = 42 MPa

0.10 m

fpu = 1860 MPa fpy = 1580 MPa Pe = 1.3532 MN Pi = 1.6706 MN 0.2 m dp= 0.70 m p = 0.005346 Utilizando cables de 7 alambres con un área de 0.987 cm^2 13 cables (Aps = 12.831 cm^2) = 0.0012831 m^2 fse = 1054.63 MPa Hallamos fps: 0.5 fpu = 930 MPa fse =1054,63 > 0. 5 fpu para elementos con tendones de PRESFORZADO adherido: fps = fpu {1 – (p / 1) A} A = [p (fpu/fc’) + (d/dp) ( - ’)] fps- esfuerzo en el refuerzo de PRESFORZADO a la resistencia nominal del elemento fse- esfuerzo efectivo en el refuerzo de PRESFORZADO (después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) p – Coeficiente para el tipo de tendón de presfuerzo fpy / fpu = 1580 / 1860 = 0.849 MPa, entonces p = 0..55 1 – 0.75 Por ser concreto fc’ = 42 MPa p- cuantía del refuerzo PRESFORZADO Aps / b dp = 0.0012831 / (0.35 x 0.70) = 0.00523  = 0 ’ = 0 d = 0 Sustituyendo en las ecuaciones de A y fps Tenemos fps = 1496.8 MPa Hallemos el valor de a a = (As fy + Aps fps) / 0.85 fc’ bw = 0.1793 m < 0.20 m Mu = (As fy + Aps fps) z Se considera viga rectangular

110

Hallemos el momento nominal que resiste el acero z= de – a/2 = 0.70 – 0.1793 / 2 = 0.61 m Mnp = (As fy + Aps fps) z = 1.17 MN- m c = a / 0.75 = 0.184446 / 0.80 = 0.239 m Hallemos s = -0.003 (de – c) / c = 0.00578 > 0.005 Es tracción controlada, por lo cual  = 0.9 Mua =  Mn = 0.9 x 1.17 = 1. 053 MN-m Respuesta: Mn = 1.17 MN-m y Mu = 1.053 MN-m XI.6.3 EJEMPLO DE HALLAR EL MOMENTO NOMINAL Y DE CÁLCULO UTILIZANDO EL MÉTODO DE LA COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES Hallar el momento nominal y de cálculo de la sección de la figura, utilizando el método de la compatibilidad de las deformaciones

0.2m

0.80 m

Ac = 0.24 m^2 I = 0.019196 m^4 r^2 = 0.07998 m^2 fc’ = 42 MPa

0.10 m

fpu = 1860 MPa fpy = 1580 Pe = 1.3532 MN Pi = 1.6706 MN 0.2 m dp= 0.70 m p = 0.005346 Utilizando cables de 7 alambres con un área de 0.987 cm^2 13 cables (Aps = 12.831 cm^2) = 0.0012831 m^2 fpe = 1054.3 MPa Hallemos fps La deformación unitaria del refuerzo por la fuerza efectiva es: εpe = fpe / Eps = 1054.3 / 193000 = 0.00546 El incremento de deformación unitaria del refuerzo por descompresión es: εcdesc = [Pe / Ac Ec] [1 + c^2 / r^2)] = 0.000034 Para el primer tanteo, asumimos fps = 1400 MPa a = Aps fps/ 0.85 fc’ bw = 0.1677 m < 0.2 m se considera sección rectangular c = a / β1 = 0.1677 / 0.75 = 0.2236 m El incremento unitario por las acciones es: εpc = 0.003 (de – c) / c = 0.00639 > 0.005 tracción controlada εp = εpe + εpdesc + εpc = 0.0118857 De la figura del diagrama esfuerzo deformación del refuerzo= 1490 MPa Para el segundo tanteo, asumimos 1490 MPa a = Aps fps/ 0.85 fc’ b = 0.1785 m c = a / β1 = 0.1785 / 0.75 = 0.238 m εpc = 0.003 (de – c) /c = 0.005823 > 0.005 tracción controlada εp = εpe + εcdes + εpc = 0.00546 + 0.000034 + 0.00583 = 0.01132 De la figura del refuerzo fps = 1490 MPa z = 0.70 – 0.1785 / 2 = 0.611 m Mnp = (Aps fps) z = 0.0012831 x 1490 x 0.611 = 1.168 MN-m Mua =  Mn = 0.9 x 1.1168 = 1.051 MN-m Respuesta: Mn = 1.1668 MN-m y Mu = 1.051 MN-m Coincide con el EJEMPLO anterior XI.6.4 SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA

111

En Flexión Simple no es aconsejable colocar armadura presforzada en la zona comprimida, ya que esta armadura presforzada disminuye la resistencia de la sección, es mejor, aumentar las dimensiones de la sección, pero a veces, debido a necesidades tecnológicas o arquitectónicas, no es posible esto, por lo cual es necesario reforzar la zona comprimida.

Consideremos la sección de la figura: As’ d´ -0.003 0.85 fc’ As’ o As’ fy dp Aps

ds

As εps εs

o o Aps fps

Aps

As fy As Tomando momento con respecto a la armadura extrema a tracción: Mn = {[ 0.85 fc’ bw a (de – 0.5 a) + As’ fy (ds – d’) - Aps fps(ds - dp} De la ecuación X = 0, hallamos el valor de (a): 0.85 fc’ bw a + As’ fy’ = As fy + Aps fps Tomando momento con respecto al centroide de la zona comprimida del concreto, tenemos: Mn  [(As fy (ds – 0.5 a) + Aps fps) (dp – 0.5 a) + As’ fy’ (a/2 – d’) ] d’ – recubrimiento de la armadura en compresión Es aconsejable que Mu ≤ 1.33  Mc XI.6.5 EJEMPLO DE VIGA CON REFUERZO EN LA ZONA COMPRIMIDA Hallar el momento nominal y de cálculo de la sección de la figura 0.30 m

4  12

1.20 m Ap = 10  12

4  12 DATOS: fc’ = 35 MPa Ec = 34000 MPa Ac = 0.23 m^2 I = 0.038 m^4 Sc = 0.1363 m^3 r ^2 = 0.165 Refuerzo de PRESFORZADO

Ep = 193000 MPa Es = 200000 MPa

112

Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial = 1320 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Aps = 0.000905 m² Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa Refuerzo no PRESFORZADO fy = 420 MPa Las fuerza efectiva para la armadura de presfuerzo: Pe = 1.0279 MN fpe = 1135.8 MPa Primer tanteo Hallemos εpc Hallemos a, la cual se obtiene de la siguiente ecuación: Suponemos fps = 1500 MPa 0.85 fc’ b a + As’ fy’ = As fy + Aps fps 0.85 x 35 x 0.30 a + 0.001 x 420 = 0.001 x 420 + 0.000905 x 1500 a= 0.152 m < 0.20 m es sección rectangular c = 0.152 / 0.8 = 0.19 m 0.003 s’ c = 0.19 m De la figura de deformación, hallamos εs = 0.003 (de – c) / c = 0.003 (1.15 – 0.19) / 0.19 εs = 0.015 > 0.005 Es tracción controlada pc = 0.003 (de – c) / c p εpc = 0.003 (1.00 – 0.19) / 0.19 = 0. 0127 > 0.0005 s Es tracción controlada El incremento de deformación unitaria del refuerzo por descompresión es: εdes = [Pe / Ac Ec] [1 + c^2 / r^2)] εdes = 0.00032 εcs = [1.0279 / 0.23 x 34000] [ 1 + 0.54 ^2 / 0.165)] = 0.00363 La deformación unitaria del refuerzo por la fuerza efectiva es: presfuerzo εpe = fpe / Ep = 1135.8 / 193000 = 0.00588 Las deformaciones totales son: εp = εpe + εdes + εpc Refuerzo inferior εp = 0.00588 + 0.00032 + 0. 0127 = 0.0189 De la figura del refuerzo obtenemos 1540 MPa εs = 0.005679+ 0.00363+ 0.0111 = 0.0204 Para esta deformación se utiliza 420 MPa εs’ = 0.00792 + 0.000024 + 0.00177 = 0.00974 Para esta deformación se utiliza 420 MPa Los valores concuerdan bastantes, por lo cual lo aceptamos, si no fuera así, entonces se harían más tanteo El momento nominal que resiste la sección es: Mn = [(As fy + Aps fps) (d – 0.5 a) + As’ fy’ (a – d’) Mn = 1.72 MN-m Como es tracción controlada  = 0.9, entonces  Mn = 0.9 x 1.72 = 1.548 MN-m La sección resiste un momento nominal de 1.72 MN-m y un momento de cálculo de Mu = 1.548 MN-m XI.6.6 SECCIÓN T SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA En el caso de que a  ho, el elemento se considera como si fuera un elemento rectangular donde (bw) se toma como (be) Si a > ho, entonces la sección se considera como T y tenemos que la zona comprimida debe cumplir que:

113

Mn = [ (ct + X) 0.85 fc’ b (de) ^2] X = [(be/ b) – 1] (ho /de) (1 – (ho/2 de) El valor de ct es el mismo que para la sección rectangular con ancho (b) y peralto (de) En la zona traccionada: Tomando momento con respecto a la fuerza de compresión tenemos: Mn = (Aps fps + As fy) z Además, tenemos que: 0.85 fc’ (be – b) ho + 0.85 fc’ a b = (Aps fps + As fy) y con el valor de (a) se halla el valor de (z) XI.6.7 EJEMPLO DE SECCIÓN T SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA Hallar el momento nominal y de cálculo de la sección de la figura 0.30 m

1.20 m Ap = 9  12

5  12 DATOS: fc’ = 35 MPa Ep = 193000 MPa Ec = 34000 MPa Es = 200000 MPa Ac = 0.23 m^2 I = 0.038 m^4 Sc = 0.1363 m^3 r ^2 = 0.165 Refuerzo de PRESFORZADO Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial = 1320 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Aps = 0.00081 m² Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa Refuerzo no PRESFORZADO fy = 420 MPa Las fuerza efectiva para la armadura de presfuerzo: Pe = 0.874 MN fpe = 1073 MPa Primer tanteo Hallemos εpc Hallemos a, la cual se obtiene de la siguiente ecuación: Supones fps = 1550 MPa 0.85 fc’ b a = As fy + Aps fps 0.85 x 35 x 0.30 a = 0.00125 x 420 + 0.000874 x 1500

114

a = 0.206 m > 0.20 m es sección T c = 0. / 0.8 = 0.256 m 0.003 c = 0.256 m De la figura de deformación, hallamos εs = 0.003 (de – c) / c = 0.003 (1.15 – 0.256) / 0.256 εs = 0.0105 > 0.005 Es tracción controlada xxxxx pc = 0.003 (de – c) / c p εpc = 0.003 (1.00 – 0.19) / 0.19 = 0. 0127 > 0.0005 s Es tracción controlada El incremento de deformación unitaria del refuerzo por descompresión es: εdes = [Pe / Ac Ec] [1 + c^2 / r^2)] εdes = 0.000132 La deformación unitaria del refuerzo por la fuerza efectiva es: presfuerzo εpe = fpe / Ep = 1073 / 193000 = 0.00556 εse = 0.005365 Las deformaciones totales son: εp = εpe + εdes + εpc εp = 0.00556 + 0.000132 + 0. 0127 = 0.0182 De la figura del refuerzo obtenemos 1520 MPa εs = 0.005679+ 0.00363+ 0.0111 = 0.0204 Para esta deformación se utiliza 420 MPa Los valores concuerdan bastantes, por lo cual lo aceptamos, si no fuera así, entonces se harían más tanteo El momento nominal que resiste la sección es: Mn = [(As fy + Aps fps) (d – 0.5 a) + As’ fy’ (a – d’) Mn = 1.54 MN-m Como es tracción controlada  = 0.9, entonces  Mn = 0.9 x 1.54 = 1.39 MN-m La sección resiste un momento nominal de 1.54 MN-m y un momento de cálculo de Mu = 1.39 MN-m XI.6.8SECCIÓN T CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA Una solución para elementos de sección T es la siguiente: Hallamos la fuerza que produce las alas, que es: Fal = (be – bw) 0.85 fc’ XI.6.6a.

Hallamos que parte del refuerzo en la zona traccionada es igual: Aps (1) = Fa1/ fps XI.6.6b Se revisa o se diseña la sección para un momento Mu – Fa1 (de – ho/2) XI.6.6c, considerándola rectangular Si se diseña, se aumenta el refuerzo en una cantidad igual Ap (1) y si se revisa se disminuye en la misma cantidad XI.6.9 SECCIÓN CAJÓN Para su análisis, la sección cajón es equivalente a una sección T, cuya alma es igual a la suma de los anchos de cada una de las almas de la sección cajón, o sea, b = bi y la dimensión del ala es be y ho

be

be ho

ho

d b1

b2

b3

d b =  bi

115

XI.7. DISTANCIA ENTRE APOYOS LATERALES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN El espaciamiento de los apoyos laterales para un elemento sometido a flexión no debe exceder de 50 veces el menor ancho b del ala o cara a compresión Debe tenerse en cuenta los efectos de excentricidad lateral de la carga para determinar el espaciamiento de los apoyos laterales XI.8 REFUERZO MÍNIMO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN REFORZADO CON ACERO PRESFORZADO XI.8.1 Las secciones de concreto presforzado deben clasificarse como secciones controladas por tracción, de transición o controladas por compresión. Se deben utilizar los factores adecuadas de reducción de resistencia  XI.8.2 La cuantía total del refuerzo PRESFORZADO y no PRESFORZADO debe ser la adecuada para desarrollar una carga mayorada al menos 1.2 veces la carga de fisuración calculada con bases en el Módulo de Ruptura fr = 0.62 √fc’. Se permite omitir esta disposición para elementos sometidos a flexión con resistencia a cortante y flexión de al menos el doble de lo exigido en XI.3 XI.8.3 Parte o todo el refuerzo adherido consistente en barras o tendones debe colocarse lo más próximo posible a la car en tracción en los elementos Presforzado sometido a flexión XI.9 REFUERZO ADHERIDO MÍNIMO XI.9.1 Exceptuando lo establecido en XI.9.3 el área mínima de refuerzo adherido debe calcularse como: As = 0.004 Act (XI.9.1.1) Act – área de aquella parte de la sección transversal entre la cara de tracción a flexión y el centro de gravedad de la sección bruta El refuerzo adherido solicitado en la ecuación XI.9.1.1, debe distribuirse uniformemente sobre la zona de tracción precomprimida y tan cerca como sea posible a la fibra externa a tracción El refuerzo adherido debe utilizarse obligatoriamente, sean cuales fueren las condiciones de esfuerzos bajos cargas de servicio XI.9.2 (Ver losas macizas reforzadas en dos sentidos) XI.9.3 No se requiere refuerzo adherido en las zonas de momento positivo donde ft, el esfuerzo de tracción en la fibra extrema en tracción de la zona de tracción precomprimida al nivel de cargas de servicio (después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) no excede de 0.17 √fc´ XI.9.4 En zonas de momento positivo donde el esfuerzo de tracción calculado en el concreto bajo carga de servicio excede de 0.17 √fc´, el área mínima del refuerzo adherido debe calcularse con: As = Nc / 0.5 fy XI.9.4.1 fy no debe exceder 420 MPa, XI.9.5 En zonas de momento negativo sobre las columnas de apoyo, el área mínima del refuerzo adherido, en la parte suprior de la losa en cada dirección debe ser: As = 0.00075 Acf XI.9.5.1 Acf es la mayor área de la sección transversal bruta de las franjas viga-losa en los pórticos equivalentes ortogonales que se interceptan en la columna en una losa de dos direcciones Este refuerzo adherido debe distribuirse entre líneas que están 1.5 h fuera de las caras opuestas de las columnas de apoyo. Deben colocarse por lo menos 4 barras o alambres en cada dirección. Es espaciamiento del refuerzo adherido no debe exceder 300 mm XI.9.6 La longitud mínima del refuerzo adherido por XI.9.1 y XI.9.4 debe ajustarse a: En las zonas de momento positivo, la longitud mínima del refuerzo adherido debe ser 1/3 de la longitud de la luz libre y debe estar centrada dentro de la zona de momento positivo En las zonas de momento negativo, el refuerzo adherido debe extenderse hasta 1/6 de la luz libre a cada lado del apoyo Donde se coloque refuerzo no presforzado adherido para resistencia a flexión o para condiciones de esfuerzo de tracción. la longitud mínima además debe cumplir las disposiciones del Capítulo de Desarrollo y Empalmes del Refuerzo del Tomo I XI.10 PROBLEMAS PROPUESTO XI.10.1 Hallar el momento nominal y de cálculo de la sección de la figura

116

0.2m

0.80 m

Ac = 0.24 m^2 I = 0.019196 m^4 r^2 = 0.07998 m^2 fc’ = 42 MPa

0.10 m

Refuerzo con fpu = 1850 MPa fpy = 15870 MPa Pe = 1.2532 MN Pi = 1.5706 MN 0.2 m dp= 0.70 m p = 0.005346 Utilizando cables de 7 alambres con un área de 0.987 cm^2 13 cables (Aps = 12.831 cm^2) = 0.0012831 m^2 fse = 1054.63 MPa XI.10.2 Hallar el momento nominal y de cálculo de la sección de la figura 0.30 m

4  12

1.20 m Aps = 10  12

4  12 DATOS: fc’ = 28 MPa Ec = 34000 MPa Ac = 0.23 m^2 I = 0.038 m^4 Sc = 0.1363 m^3 r ^2 = 0.165 Refuerzo PRESFORZADO Cable de 7 hilos  12 fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial == 1320 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa

Ep = 193000 MPa Es = 200000 MPa

Refuerzo ordinario fy = 420 MPa

117

CAPÍTULO XII FLEXO-COMPRESIÓN Cuando una sección está sometida a una solicitación normal de Compresión y un Momento Flector directo u ocasionado por una excentricidad real de la solicitación de compresión, está sección está sometida a: FLEXO-COMPRESIÓN En el análisis se considera una excentricidad (eo) de la solicitación de compresión (Pu) con relación al eje geométrico de la sección que pasa por el centroide de la misma, de forma que (Pu eo) es igual al momento flector actuante Mu y, por tanto: eo = Mu / Pu En caso de no existir Mu y sí una excentricidad real eo, el momento actuante se considera igual a: Mu = Pu eo Se denomina As´ y Aps´ a la armadura más cercana al borde comprimido y As y Aps a las más cercanas al borde traccionado o menos comprimido En flexo-compresión, lo mejor es diseñar la sección a carga de utilización y posteriormente comprobarla a caga última XII.1 ANÁLISIS DE CUALQUIER TIPO DE SECCIÓN Sea la sección de la figura sometida a una carga Pu, con una excentricidad e1, respecto al refuerzo más alejado de la carga Pu

be eo As’

Aps’ ho

dp´

o o

0.85 fc’ Cs´= As’ fy’ Tp´= Aps’ fps’

ds´ a

Nc´ = Ac’ 0.85 fc’ z1

dc ds

dp cg o o

Aps As

Tp = Aps fps Ts =As fy d1

bw εc = -0.003

εs’ – deformación unitaria de As’ εs’

εpe’

εpe’ – deformación unitaria del presfuerzo ∆εpse’ efectivo Ap’ εpe – deformación unitaria del presfuerzo efectivo Aps

c

∆εp εps εs

εpe

εce εce-deformación unitaria del concreto debido al presfuerzo efectivo total actuando en el eje centroidal de la sección εps – deformación unitaria final de Aps

118

Pu ≤  Pn =  (Nc´+ Cs´ - Tp´ - Tp – Ts) Pn – carga axial nominal Nc´- Fuerza debida al concreto comprimido Cs´- Fuerza del refuerzo no presforzado a compresión Tp´-Fuerza del refuerzo presforzado en la zona en compresión Tp – Fuerza del refuerzo presforzado en la zona a tracción Ts – Fuerza del refuerzo no presforzado a tracción Mu ≤  (Pn eo) =  [Nc´ (dc – a / 2) + Cs´(dc – ds´) – Tp´(dc – dp´) + Tp (dp – dc) + Ts (ds – dc) La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona a compresión As’ es: εs’ = 0.003 (c – ds´) / c XII.1a ds´- recubrimiento de As´ y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas’ = As’ εs’ Es si εs’ < ε y = fy / Es XII.1b Fas’ = As’ fy si εs’ ≥ ε y = fy / Es XII.1c La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona de tracción As es: εs = 0.003 (ds - c) / c XII.1d y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas = As εs Es si εs < ε y = fy / Es XII.1e Fas = As’ fy si εs ≥ ε y = fy / Es XII.1f La deformación unitaria inicial en los refuerzos PRESFORZADOS causados por Pe y Pe´ es: εpe’ = Pe’ / Aps’ Ep εpe = Pe / Aps Ep XII.1g cuando Pe’ = Pe (como muestra la figura εce es constante en toda la sección) εce = Pe / [(n As – n As’ – Ac) Ec] = Pe / {[(n – 1) As + Ag] Ec} XII.1h n = Es / Ec Ac – área del concreto Ag –área de la sección bruta El incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu con la excentricidad (eo) son obtenido del diagrama y son dados por: eo es la excentricidad con respecto al eje centroidal de la sección de concreto ∆εp’ = [0.003 (c – dp’) / c] – εce’ XII.1i ∆εp = [0.003 (dp - c)] /c] + εce XII.1j y las deformaciones finales de los presfuerzos en cada refuerzo son: εps = εpe + ∆εp XII.1k εps’ = εpe’ - ∆εp’ XII.1m Los esfuerzos finales se hallan del gráfico esfuerzo-deformación de los refuerzos con las deformaciones finales Debe cumplirse que: Pu ≤  Pn Pu e1 ≤  Mn

XII.1k XII.1k

XII.2 EJEMPLO DE UNA SECCIÓN PRESFORZADA SOMETIDAS A FLEXO-COMPRESIÓN Sea la sección de una columna corta mostrada en la figura con los siguientes datos, determinar la resistencia de la misma: Ec = 30460 MPa fc´ = 42 MPa fr = 4.02 MPa Ep = 200000 MPa Ac = 0.0875 m² 0.25 m Ig = 0.35 x 0.25³ / 12 = 0.000455 m^4 La columna fue diseñada en el Ejemplo VII.2.3.1, para una carga axial de P = 0.5 MN y una excentricidad de e = 0.035 m según el eje x-x x o o x 0.35 m

Utilizando cable de 7 alambre (3/8) teniendo un área cada uno de Aps = Aps´ = 0.548 cm² = 0.0000548 m², fpu = 1862 MPa, fpy = 1517 MPa fpi = 1244 MPa Pe = 0.136 MN fse = Pe / Aps = 1240.8 MPa Solución:

119

Dibujemos el diagrama de esfuerzos unitarios para εu = εc = 0.003, fc´= 42.0 MPa, ß1 = 0.75 εc = -0.003 εs’ – deformación unitaria de As’ εs’ εpe’ εpe’ – deformación unitaria del presfuerzo ∆εpse’ efectivo Aps’ εpe – deformación unitaria del presfuerzo efectivo Aps

c

∆εp εps εs

εpe εce

εce-deformación unitaria del concreto debido al presfuerzo efectivo total actuando en el eje centroidal de la sección εps – deformación unitaria final de Aps Para cable superior Pe´ = 0.136 / 2 = 0.068 MN Para cable inferior Pe = 0.136 / 2 = 0.068 MN La deformación unitaria en los refuerzos PRESFORZADOS es: εpe’ = Pe’ / Aps´ Ep XII.1f εpe = Pe / Aps Ep XII.1g εpe’ = 0.068 / 0.0000548 x 200000 = 0.0062 εpe = 0.0062 cuando Pe’ = Pe (como muestra la figura εce es constante en toda la sección) εce = Pe / {[(n – 1) As + Ag] Ec} εce = 0.136 / {[0 + 0.0875 ] 30460} = 0.000051 El incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu con la excentricidad (eo) son obtenido del diagrama y son dados por:

0.003

0.85 fc´ c

Tp´ Nc´

a Pn

∆εp = [0.003 (dp - c)] /c] + εce

Mn

XII.1j

∆εp´ = [0.003 (c - dp´)] /c] - εce εps = εpe + ∆εp XII.1k εps’ = εpe’ - ∆εp’ XII.1m Haciendo varias pruebas de c Prueba c ∆εp εps εps’ fps fps´ a Nc´ Tp Tp´ T1 + T2 + Pn No m MPa MPa m MN MN MN MN 1 0.16 0.00126 0.00777 0.00495 1526 972 0.12 1.5 0.836 0.532 1.858 2 0.19 0.000667 0.00717 0.004809 1409 945 0.1425 1.781 0.7721 0.5178 1.789 Utilizando Nc´= 1.781 MN Mn = [Nc´ (dc – a / 2) + Cs´(dc – ds´) – Tp´(dc – dp´) + Tp (dp – dc) + Ts (ds – dc) Mn = [1.781 (0.125 – 0.1425 / 2) + 0 – 0.5178(0.125 – 0.05) + 0.7721 (0.15 – 0.125) + 0 Mn = 0.076 MN-m Pn = 1.789 – 0.5178 – 0.7721 = 0.499 MN εt = εps –εpe = 0.00717 - 0.0062 = 0.0097 > 0.005, por lo cual la sección es tracción controlada  Pn = 0.9 x 0.499 = 0.4491 MN  Mn = 0.9 x 0.076 = 0.0684 MN-m

120

Considerando Mu = Pu x eo = 0.5 x 1.4 x 0.035 = 0.0245 MN-m <  Mn Se cumple Pu = 1.4 x P = 1.4 x 0.05 = 0.07 MN <  Pn Se cumple En este ejemplo no hemos considerado la esbeltez de la columna. Cuando la diseñamos, consideramos la deformación producida por la carga P, por tal motivo hay la gran diferencia XII.3 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS A COMPRESIÓN Un elemento se considera esbelto cuando tiene una reducción significativa de su capacidad para resistir una carga axial debido al momento producido por su deformación lateral (pandeo ) XII.3.1 Casos en que puede ignorar los efectos de esbeltez Se permite ignorar los efectos de esbeltez en los siguientes casos: a) en elementos sometido a compresión no arriostrados contra desplazamientos laterales cuando (k lu / r) ≤ 22 XII.3.1a b) en elementos a compresión arriostrados contra desplazamientos laterales cuando: (k lu / r) ≤ 34 – 12(M1 / M2) ≤ 40 XII.3.1b donde M1 / M2 es positivo si la columna está afectada en curvatura simple y negativo si el elemento tiene curvatura doble Se permite considerar los elementos a compresión como arriostrados contra desplazamientos laterales cuando los elementos de arriostramiento tienen una rigidez total que restringe los movimientos laterales de ese piso de al menos doce veces la rigidez bruta de las columnas dentro del piso XII.3.2 Longitud no soportada de elementos a compresión La longitud no soportada (lu) de un elemento a compresión debe tomarse como la distancia libre entre losas de entrepiso, vigas u otros elementos capaces de suministrar soporte lateral al elemento a compresión Cuando la columna tenga capitel o exista ménsulas, la longitud no soportada debe medirse hasta la parte más baja del capitel o ménsula en el plano bajo consideración XII.3.A Radio de giro El radio de giro r de los elementos a compresión puede tomarse como 0.30 veces la dimensión total de la sección en la dirección bajo estudio de estabilidad para secciones rectangulares y de 0.25 veces el diámetro para secciones circulares para otras clases r debe calcularse para la sección bruta de concreto. r = √ (I / Ab) XII.4 CONSIDERACIÓN DE LA ESBELTEZ Cuando los efectos de la esbeltez no son ignorados como lo permite XII.4.1, el diseño de los elementos a compresión, vigas de restricción y otros elementos de apoyos debe basarse en las fuerzas y momentos mayorados de un análisis de segundo orden que cumpla con XII.4.3 Análisis no lineal de segundo orden, XII.4.4 Análisis elástico de segundo orden o XII.4.5 Procedimiento de magnificación de momentos.

Estos elementos también deben cumplir con XII.4.1 y XII.4.2. Las dimensiones de la sección transversal de cada elemento usadas en el análisis deben encontrarse dentro del 10% de las dimensiones de los elementos señalados en los planos de diseño, de lo contrario el análisis debe repetirse XII.4.1 Los momentos totales incluyendo los efectos de segundo orden, de elementos en compresión, vigas de restricción u otros elementos estructurales no debe exceder 1.4 veces los momentos debidos a los efectos de primer orden XII.4.2 Los efectos de segundo orden se deben considerar a lo largo de la longitud de los elementos a compresión. Se permite calcular estos efectos usando el procedimiento de magnificación momento descripto en XII.4.6

XII.4.3 Análisis no lineal de segundo orden El análisis de segundo orden debe considerar la no linealidad del material, la curvatura del elemento y la deriva, duración de la carga, retracción y flujo plástico e interacción con la cimentación. El procedimiento de

121

análisis debe demostrar que lleva a una predicción de la resistencia sustancialmente de acuerdo con los resultados de los ensayos representativos de estructuras de concreto reforzados estáticamente indeterminadas Las propiedades del elemento usados en el análisis deben multiplicarse por un factor de reducción de rigidez φk , menor que la unidad, el cual puede considerarse φk = 0.8 XII.4.4 Análisis elástico de segundo orden El análisis elástico de segundo orden debe tener en cuenta las propiedades de la sección determinada considerando la influencia de las cargas axiales, la presencia de regiones agrietadas a lo largo del elemento y los efectos de duración de las cargas Se permite utilizar las siguientes propiedades para los elementos de la estructura: Módulo de elasticidad……………………………… Ec de II.9.4 Módulo de elasticidad del concreto del Tomo I Momento de inercia, I: Elementos en compresión: Columnas……………………………………………….. 0.70 Ig Muros- no agrietados………………………………… .0.70 Ig Muros- agrietados……………………………………….0.35 Ig Elementos a flexión Vigas ……………………………………………………..0.35 Ig Placas planas y losas planas…………………………….0.25 Ig Para viga T es permitido tomar Ig = 2(bw h^3 / 12), o sea dos veces el Ig del alma Área………………………………………………………1.0 Ag Los valores anteriores de momento de inercia son para elementos no PRESFORZADOS, para elementos PRESFORZADOS pueden diferir dependiendo de la cantidad, ubicación y tipo de refuerzo y del grado de agrietamiento previo al estado último Como alternativa, para valores más refinados para EI en la cual se considera la carga axial, excentricidad, cuantía del refuerzo y la resistencia a compresión del concreto Elementos a flexión: I = (0.10 + 25 ρ)[1.2 – (0.2 bw /d)] Ig ≤ 0.5 Ig XII.4.4b Para elementos continuos sometidos a flexión, se permite que I, sea el promedio de los valores obtenidos de la ecuación XVIII.7.4.2 del Tomo I para secciones críticas de momento positivo y negativo. No hay necesidad de usar un valor de I menor de 0.25 Ig Las dimensiones de la sección transversal de cada elemento usadas en el análisis no deben apartarse más del 10% de las dimensiones mostradas en los planos de construcción, de lo contrario debe repetirse el análisis Para elementos sometidos a compresión, I debe dividirse por (1 + βds) cuando existen cargas laterales sostenidas,. El término βds es la relación entre la máxima fuerza de cortante sostenida mayorada dentro de un piso y la máxima fuerza de cortante mayorada asociada con la combinación de carga, pero no debe ser mayor de 1.0 Como ejemplo de carga laterales sostenidas, es cuando hay cargas laterales permanentes provenientes de la presión desigual del terreno en los dos lados de la construcción XII.4.5 Procedimiento de magnificación de momentos Las columnas y pisos en una estructura deben designarse como parte de una estructura sin desplazamiento XII.4.6 o con desplazamiento XII.4.7

: XII.4.6 De estructuras sin desplazamiento lateral (arriostradas) y su diseño debe basarse en lo siguiente: Se permite suponer como arriostrada una columna dentro de una estructura, si el incremento en los momentos extremos de la columna debido a los efectos de segundo orden no excede de un 5% de los momentos extremos de primer orden Se permite suponer como arriostrada a un piso en la estructura si el Índice de Estabilidad Q: Q = ∑(Pu ∆o / Vus lc) ≤ 0.05 XII.4. 6a ∑Pu – la suma de cargas verticales acumuladas hasta el piso en consideración, sin mayorar, pero incluyendo toda carga muerta y viva Vus – Suma de las fuerzas horizontales sobre la estructura acumulada hasta el nivel del piso considerado

122

lc – altura del piso bajo consideración medida centro a centro de los nudos del pórtico ∆o – deriva (desplazamiento horizontal relativo entre el nivel superior y el nivel inferior del piso considerado) debida a la fuerza cortante total Vus que actúa sobre el piso y calculada de acuerdo con una análisis elástico de primer orden entre la parte superior e inferior del piso debido a Vus XII.4.6.A Procedimiento de diseño de estructuras sin desplazamiento: Los elementos a compresión deben ser diseñados para la carga axial mayorada (Pu) y el momento mayorado ampliado para los efectos de curvatura del elemento, pandeo (Mc), como sigue: Mc =  M2 XII.4.6b = Cm / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥1.0 XII.4.6c Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 El valor de (EI) debe ser tomado como:

XII.4.6d

EI = (0.2 Ec Ig + Es Ise) / (1 + βdns) XII.4.6e o por la fórmula aproximada EI = 0.4 Ec Ig/ (1 + βdns) XII.4.6f Como alternativa se permite que EI sea calculado utilizando el valor de I de la ecuación I = {0.80 + 25 [Ast / Ag}}{1 – (Mu / Pu h) – 0.5(Pu / Po)}Ig ≤ 0.875 Ig XII.4.6g dividida por (1 + βdns) El término βdns es la relación entre la máxima carga axial sostenida mayorada dentro de un piso y la máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de carga, pero no debe ser mayor a 1.0 El factor (1 + βdns) se utiliza para reflejar la fluencia prematura del acero en columnas sometidas a cargas sostenidas Como simplificación se puede suponer que βdns = 0.6 y en este caso la ecuación: EI = 0.4 Ec Ig/ (1 + βdns) XII.4.6g se convierte en EI = 0.25 Ec Ig XII.4.6h Se permite considerar el factor de longitud efectiva, k, como 1.0 Elementos sin cargas transversales entre apoyo En los elementos sin fuerzas laterales transversales entre apoyos, Cm debe tomarse como: Cm = 0.6 + (0.4 M1/M2) ≥ 0.4 XII.4.6i donde M1/M2 es positivo si la columna está deformada en curvatura simple. Para elementos con fuerzas transversales entre apoyos el valor de Cm debe tomarse como la unidad (Cm = 1.0) El momento mayorado M2 que se utiliza en Mc =  M2 no debe tomarse menor de: M2min = Pu (15 + 0.03 h) XII.4.6j con respecto a cada eje separadamente. 15 y h están en mm En los elementos donde M2min excede a M2, el valor de Cm debe tomarse como la unidad o debe estar basado en la relación de los momentos calculados en los extremos M1 / M2 M2m = Pu (0.6 + 0.03 h) XII.4.6k

123

Sin desplazamiento

Con desplazamiento

Longitud efectiva para columnas sin desplazamiento tope articulado

k 0.70

0.81

0.91

0.95

1.00

0.67

0.77

0.86

0.90

0.95

0.65

0.74

0.83

0.86

0.91

0.58

0.67

0.74

0.77

0.82

0.50

0.58

0.65

0.67

0’70

Elástico Ψ = 3.1 Elástico Ψ = 1.6 Ψ = 0.4 empotrado empotrado

Ψ = 0.4

Elástico Ψ = 1.6

Elástico Ψ = 3.1 articulado

k-el valor de k puede tomarse como el menor de los dos valores siguientes: k = 0.7 + 0.05 ( A +  B) < 1.0 XII.4.6l k = 0.85 + 0.05 min < 1.0 XII.4.6m A y B-valores de  de los extremos de la columna min- relación de (EI/lc) de los miembros a compresión a (EI/l) de los miembros a flexión en un plano de un extremo del miembro a compresión

124

l-longitud del elemento a flexión medido de centro a centro de juntas En los elementos sin fuerzas laterales transversales entre apoyos, Cm debe tomarse como: Cm = 0.6 + (0.4 M1/M2) ≥ 0.4 XII.4.6n donde M1/M2 es positivo si la columna está deformada en curvatura simple. Para elementos con fuerzas transversales entre apoyos el valor de Cm debe tomarse como la unidad (Cm = 1) El momento mayorado M2 que se utiliza en Mc = ns M2 no debe tomarse menor de: M2m = Pu (15 + 0.03 h) XII.4.6o con respecto a cada eje independiente. 15 y h están en mm En los elementos donde M2min gobierne el valor de Cm debe tomarse como la unidad o debe obtenerse por medio de la ecuación XII.7.9.12 utilizando M2min en vez de M2 M2m = Pu (0.6 + 0.03 h) XII.4.6p XII.5 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL Después de estar definido las solicitaciones (Momentos flectores, Cortante, Fuerzas Axiales, Derivas) se sigue lo siguiente: 1- Se define la longitud de la columna. La longitud no soportada (lu) de un elemento a compresión debe tomarse como la distancia libre entre losas de entrepiso, vigas u otros elementos capaces de suministrar soporte lateral al elemento a compresión Cuando la columna tenga capitel o exista ménsulas, la longitud no soportada debe medirse hasta la parte más baja del capitel o ménsula en el plano bajo consideración 2-Se determina la longitud efectiva de la columna.

Para columnas sin desplazamiento k debe ser 1 o menor. El valor de k se halla según el gráfico, la Tabla o las fórmulas: k = 0.7 + 0.05 ( A +  B) < 1.0 k = 0.85 + 0.05 min < 1.0 3- Se determina el radio de giro 4-Se determina si el pórtico es sin desplazamiento. Se realiza según: Q = ∑(Pu ∆o / Vus lc) ≤ 0.05 5- Se halla la ampliación del momento según XII.4.6 A Procedimiento de diseño de estructuras sin desplazamiento: s = 1 / (1 – Q) ≥ 1 Si s excede de 1.5 debe ser calculado usando un análisis de segundo orden o s = 1 / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥ 1 XII.4.7.6a Pu – es la sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas en un piso Pc-es la sumatoria de todas las columnas que resisten el desplazamiento lateral en un piso Pu se calcula utilizando la ecuación Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 XII.5.A EJEMPLO DE COLUMNA SIN DESPLAMIENTO Sea la columna del Ejemplo XII.2, simplemente apoyada con l = 6.0 m. Sometida a una carga Pu = 0.07 MN con una excentricidad de 0.035 m, o sea Mu = 0.0067 MN-m El grafico es: Pu Mu

0.07 MN

1234-

0.0067 MN-m

lo = 6.0 m k = 1.0 r = 0.3 x 0.25 = 0.075 k lo / r = 1.0 x 6.0 / 0.075 = 80 > 40 hay que considerar la esbeltez

125

5-

s = 1 / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥ 1 XII.4.7.6a

Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 = ^2 x 30460 x 0.000455 / 36 = 3.79 MN s = 1 / [1 – (0.07 / 0.75 x 3.79)] = 1.025 Mc = 1.0256 x 0.0067 = 0.00686 MN-m Del ejemplo XII.2, tenemos  Mn = 0.0684 MN-m ≈ Mc XII.6 DISEÑO DE ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL (NO ARRIOSTRADA) Su diseño debe basarse en: Para columnas con desplazamiento lateral si: klu/r < 22 22 < klu/r < 100 klu/r > 100

Se desprecia el pandeo XII.6a Se utiliza los métodos aproximados XII.6b Se realiza según un análisis P- XII.6c

Para elemento no arriostrados contra el desplazamiento, el factor k, debe ser determinado usando E y I según lo indicado anteriormente y debe ser mayor de 1.0 Los momentos M1 y M2 en los extremos de los elementos individuales a compresión deben ser tomados como: M1 = M1ns + s M1s XII.6d M2 = M2ns +s M2s XII.6e Si Q = ( Pu Ao) / Vus lc > 0.05 el piso de la estructura tiene desplazamiento s = 1 / (1 – Q) ≥ 1

XII.6f

Si s excede de 1.5 debe ser calculado usando un análisis de segundo orden o s = 1 / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥ 1 XII.6g Pu – es la sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas en un piso Pc-es la sumatoria de todas las columnas que resisten el desplazamiento lateral en un piso Pu se calcula utilizando la ecuación Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 XII.6h XII.7 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL Después de estar definido las solicitaciones (Momentos flectores, Cortante, Fuerzas Axiales, Derivas,) se sigue lo siguiente: 1. Determinemos si las columnas son esbeltas, si k lu / r > 22. La columna es esbelta 2. Se determina Pu y Pc, Vus y ∆o 3. Se calcula Q = ( Pu Ao) / Vus lc 5. Se halla s = 1 / (1 – Q) ≥ 1 6. Si s excede de 1.5, s debe ser calculado usando un análisis de segundo orden o s = 1 / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥ 1 7. Calculemos M1 y M2 según XII.4.7.4 y XII.4. 7.5 8- Comprobemos si el momento máximo está entre los extremos de la columna Si (lu / r) > 35 / √(Pu/fc’ Ag), el momento máximo está entre los extremos XII.8 TRANSMISIÓN DE LAS CARGAS DE COLUMNAS A TRAVÉS DE LOS SISTEMAS DE ENTREPISOS Cuando la resistencia a la compresión especificada del concreto de una columna sea 1.4 veces que la especificada para el sistema de entrepiso, en el caso de columnas interiores y de borde, o mayor que 1.2 veces para columnas esquineras, la transmisión de la carga a través del sistema de entrepiso debe lograrse de la forma siguiente: La resistencia de la columna en el nudo puede calcularse utilizando una resistencia efectiva del Concreto de la columna dentro del nudo, (fc’)efec, calculada en función de la resistencia del concreto de la columna (fc’)col y de la losa (fc’)losa, así: a) Para columnas interiores

126

(fc’)efec = (0.25 (fc’)col) / (hp / bc) + {1.4 – [0.35 / (hp / bc)]}(fc’)losa ≤ (fc’)col XII.8a En la ecuación anterior el cociente (hp / bc) no debe ser menor de un tercio, donde hp es la altura total de la losa y bc es la menor dimensión de la sección de la columna b) Para columnas de borde (fc’)efec = 1.4 (fc’)losa ≤ (fc’)col) XII.8b c) Para columnas esquineras fc’)efec = 1.2 (fc’)losa ≤ (fc’)col) XII.8c en cualquiera de los casos (a) a (c) pueden utilizarse barras longitudinales adicionales y estribos o espirales si así se requiere Debe colocarse concreto de la resistencia especificada para la columna, en el sistema de entrepiso, alrededor de ella, extendiéndose lateralmente 600 mm medidos a partir de la cara de la columna. El concreto de la columna debe quedar bien integrado con el concreto del piso XII.9 DIMENSIONES DE DISEÑO PARA ELEMENTOS A COMPRESIÓN XII.9.1 Elementos aislados a compresión con espirales múltiples Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento a compresión, con dos o más espirales entrelazadas, deben tomarse a una distancia, por fuera de los límites extremos de las espirales, igual al recubrimiento mínimo de concreto requerido XII.9.2 Elementos a compresión construidos monolíticamente con un muro. Los Límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento a compresión, reforzado transversalmente con espirales o estribos, construidos monolíticamente con un muro o pila de concreto, debe tomarse 40 mm por fuera de la espiral o los estribos XII.9.3 Límites de la sección Para un elemento sometido a compresión, con una sección transversal mayor que la requerida por las condiciones de cargas, se puede utilizar un área efectiva reducida no menor que la mitad del área total con el fin de determinar el refuerzo mínimo y la resistencia. Esta disposición no se aplica en elementos (pórticos resistentes a momento o muros estructurales) con Capacidad de Disipación de Energía Moderada (DMO) o Especiales (DES)

XII.10 LÍMITES PARA EL REFUERZO DE ELEMENTOS REFORZADO CON REFUERZO PRESFORZADOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN XII.10.1 Los elementos con un presfuerzo promedio fpc menor de 1.6 MPa deben tener un refuerzo mínimo de acuerdo con los mínimos para columnas o muros XII.10.2 Con excepción de los muros, los elementos con un presfuerzo promedio fpc. mayor o igual a 1.6 MPa deben tener todos los tendones de presfuerzo confinados por espiras o estribos de acuerdo con los siguientes requisitos: a) Las espirales deben cumplir lo estipulado en IV.11.1 b) Los estribos deben ser al menos de barra No. 10M (10mm) o malla electro soldada de alambre de área equivalente y tener un espaciamiento a lo largo del eje del elemento menor de 48 diámetro de la barra, o alambre, del estribo, o la menor dimensión del elemento a compresión c) El primer estribo debe colocarse con un espaciamiento igual a la mitad del prescripto en los literales a) y b) anteriores medidos a partir del plano superior de la zapata y debe extenderse la colocación hasta un plano también distante en no más de media separación contada a partir de la armadura inferior más baja de los elementos que se apoyan d) Donde haya vigas o ménsulas en todos los lados de una columna, los estribos pueden terminarse a una distancia no mayor de 75 mm por debajo del refuerzo más bajo de tales vigas o ménsulas XII.10.2 Para muros con refuerzo promedio fpc igual o mayor a 1.6MPa el refuerzo mínimo que requiere el refuerzo mínimo de muros puede dispensarse si el análisis estructural indica una resistencia y una estabilidad adecuada

127

XII.11 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS DE DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDA A FLEXO-COMPRESIÓN EN PÓRTICOS SIN DESPLAZAMIENTOS Hallar las solitaciones de diseño de las columnas CD y DE del pórtico de la figura siguiente.

El Gráfico de momento Mu en MN-m se muestra en la figura.

La carga axial total para la columna CD es Pu = 2.3 MN y para la DE es Pu = 1.4 MN y la mantenida es para Pu = 0.36 MN para CD y Pu = 0.25 MN para DE Las columnas descansan en cimientos cuadrados de 3.0 m en un terreno de capacidad de 20000 N / m^2

empotramiento E

1.4

6 .0m D

1.9

1.0

6.5m

C

0.25

Gráfico de Mu (MN-m) Solución: Utilizaremos columnas de 0.4 m x 0.4m por requerimientos arquitectónicos 1- Comprobemos si las columnas son esbeltas Si klu/r ≤ 34 – 12(M1/M2) ≤ 40 La columna es corta Para la columna CD lu = 6.5 – 0.5 = 6.0 m r = 0.3 x 0.4 = 0.12 m De la tabla de k hallamos k = 0.77 k lu / r = 0.77 x 6.0 / 0.12 = 38.5 M1 es negativo por doble curvatura y M2 es positivo 34 – 12(M1 / M2) = 34 –12 (-0.25 / 1.9) = 35.57 Como k lu / r > 34 – 12(M1 / M2) La columna es larga y hay que considerar el ladeo Para columna DE lu = 6 m r = 0.3 x 0.4 = 0.12 m De la tabla de k hallamos k = 0.67 k lu / r = 0.67 x 6.0 / 0.12 = 33.5 M1 y M2 son positivos 34 – 12(M1 / M2) = 34 – 12(1 / 1.4) = 25.42 Como k lu / r > 34 – 12(M1 / M2) La columna es larga y hay que considerar el ladeo k lu / r en ninguna de las columnas es mayor de 100

2- Calculemos EI Ec = 30500 MPa

Ig =0.7( 0.4^3 / 12)= 0.00213 MPa

Para CD βd = 0.36 / 2.3 = 0.156 MN-m^2 Puede obtenerse con la siguiente fórmula EI = 0.4 Ec Ig/(1 + Bd) = 0.4 x 30500 x 2 0.00213/(1 + 0.156) EI = 22.48 Para DE

128

βd = 0.25 / 1.4 = 0.178 EI = 0.4 Ec Ig/ (1 + βd) = 0.4 x 30500 x 0.00213 / (1 + 0.178) = 22.05 MN-m^2 3-Calculemos el valor de amplificación del momento Mc =  M2 Para columna CD Cm = 0.6 + 0.4 (M1/M2) = 0.547 ≥ 0.4 Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 = 10.39 MN = Cm / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] = 0.547 / [1 – (2.3 / 0.75 x 10.39)] = 0.78 < 1.0 hay que tomar ns = 1.0 La columna se diseña para Mc = 1.0 x 1.4 = 1.4 MN-m y una carga axial de: Pu = 1.0 x 2.3 = 2.3 MN-m Para la columna DE Cm = 0.6 + 0.4 (M1/M2) = 0.6 + 0.4 (1.0 / 1.4) = 0.885 ≥ 0.4 Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 = ^2 x 22.48 /(0.77 x 6.0)^2 = 10.39 MN = Cm / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] = 0.885 / [1 – (1.4 / 0.75 x 10.39)] = 1.0786 > 1.0 ns = 1.0786 La columna se diseña para Mc = 1.0786 x 1.9 = 2.049 MN-m y Pu = 1.0786 x 1.4 = 1.51 MN XII.12 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LAS SOLICITACIONES DE DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDA A FLEXO-COMPRESIÓN EN PÓRTICOS CON DESPLAZAMIENTO Sea el edificio de dos plantas que se muestra en la figura: A

B

techo

6.5 m

C

D

2do piso E

F

5m G

H 5m

6.5m 1er piso I

J 5m

5m K

5m

L 5m

PLANTA

SECCIÓN Determinar las solicitaciones de diseño de las columnas IE y JF. Las columnas son de 0.4 m x 0.4 m y las vigas de b =0.3 m x h = 0. 5 m, por razones arquitectónicas Cargas verticales: Columnas exteriores carga muerta 1 MN, carga viva 0.05 MN por techo y 0.25 MN por piso Columnas interiores carga muerta 2.2 MN, carga viva 0.11 MN por techo y 0.3 MN por piso Los valores de las cargas ya tienen el factor de reducción por área Cargas de cálculo Analizaremos la siguiente combinación: Carga muerta más carga viva más viento U = 1.05 D + 1.28 L +1.28 W Solución 1. Determinemos si las columnas son esbeltas, si k lu / r > 22. La columna es esbelta lu = 0.65 – 0.5 = 6.0 m y consideremos en este paso k = 1.2 k lu / r = 1.2 x 6.0 / 0.12 = 60 > 22. Las columnas son esbeltas 2. Se determina Pu y Pc y Vus Para el primer piso ∑Pu – la suma de cargas verticales acumuladas hasta el piso en consideración, sin mayorar, pero incluyendo toda carga muerta y viva ∑Pu = 59.83 MN

129

Vus – Suma de las fuerzas horizontales sobre la estructura acumulada hasta el nivel del piso considerado V us= 0.3 MN ∆o = 0.3 cm (del análisis de primer orden) 3.Se calcula Q = ( Pu Ao) / Vus lc Q = 59.83 x 0.003 / 0.3 x 5 = 0.12 > 0.10 Como el primer piso es desplazable, consideramos que todo el pórtico es desplazable 5. Se halla s = 1 / (1 – Q) ≥ 1 s = 1 / (1 – 0.12) = 1.136 < 1.5 (se utiliza este valor) 7. Calculemos M1 y M2 Calculemos las cargas axiales de cálculo. Mns, Ms y ∆o de los anales de primer orden Columna exterior Columna interior Carga axial mayorada Pu (MN) 1.05 Carga Muerta 1. 050 2. 310 1.28 Carga Viva 0.384 0.52 5 Momento mayorado Mns (MN-m) extremo superior extremo inferior

- 0.45 - 0.48

Momento mayorado Ms (MN-m) extremo superior extremo inferior

0.29 0.31

0.055 0.057

0.48 0.50

La deriva en el análisis de primer orden es 0.30 cm en el primer piso y 0.38 cm en el segundo piso Mns- momentos debido a cargas que no causan desplazamiento Ms- momentos debido a cargas que causan apreciable desplazamiento Calculemos δs para cada piso δs = 1 / (1 – Q) Q = ∑Pu ∆o / Vus lc Piso

∑Pu Vus MN MN 2do piso 23.20 0.284 1er piso 28.54 0.384 Calculemos Ms, M1 y M2

∆o del piso cm 0.08 0.30

Q =∑Pu ∆o / Vus lc 0.01094 0.03716

δs 1.0116 1.0386

Para la columna exterior del primer piso tenemos: Ms. sup = ± 0.29 MN-m δs Ms sup = 1.0386 x 0.29 = ± 0.3012 MN-m Ms inf = ± 0.31 MN-m δs Ms inf = 1.0386 x 0.31 = 0.322 MN-m Momentos totales en los extremos Msup =- 0.45 - 0.3012 = 0.7512 MN-m Este es el momento M1 Minf =- 0.48 - 0.322 = 0.802 MN-m Este es el momento M2 Columna interior Ms sup = ± 0.48 MN-m δs Ms sup = 1.0386 x 0.48 = ± 0.4985 MN-m δs Ms inf = 1.0386 x 0.50 =± 0.5193 MN-m Momentos totales en los extremos Msup = 0.055 + 0.4985 = 0.5535MN-m Este es el momento M1 Minf = 0.057 + 0.5193 = 0.5763 MN-m Este es el momento M2

130

8- Comprobar si el momento máximo está entre los extremos de la columna Si (lu / r) > 35 / √ (Pu/fc’ Ag) el momento máximo está entre los extremos lu/r = 6/0.12 = 50 Columna exterior 35 / √(Pu/fc’ Ag) = 35 / √(1.434/ 21 x 0.16) = 53 Como (lu / r) < 35 / √(Pu/fc’ Ag) El momento máximo está en uno de los extremos Columna interior 35 / √(Pu/fc’ Ag) = 35 / √(2.835 /21x 0.16) = 38.1 Como (lu / r) < 35 / √(Pu/fc’ Ag) El momento máximo está en uno de los extremos Resumen de las solicitaciones de diseño Columna exterior: Pu = 1.434 MN Mc = 0.802 MN-m Columna interior: Pu = 2.835 MN Mc = 0.5763 MN-m XII.13 PROBLEMAS PROPUESTOS XII.13.1 Hallar las solitaciones de diseño de las columnas CD y DE del pórtico de la figura siguiente.

El Gráfico de momento Mu en MN-m se muestra en la figura.

La carga axial total para la columna CD es Pu = 2.5 MN y para la DE es Pu = 1.5 MN y la mantenida es para Pu = 0.4 MN para CD y Pu = 0.3 MN para DE Las columnas descansan en cimientos cuadrados de 3.5 m en un terreno de capacidad de 20000 N / m^2

empotramiento E

1.3

5 .0m D

1.8

1.1

5.5m

C

0.30 Gráfico de Mu (MN-m)

XII.13.2 Sea el edificio de dos plantas que se muestra en la figura: Determinar las solicitaciones de diseño de las columnas IE y JF. Las columnas son de 0.45 m x 0.45 m y las vigas de b =0.3 m x h = 0. 5 m, por razones arquitectónicas Cargas verticales: Columnas exteriores carga muerta 1.1 MN, carga viva 0.055 MN por techo y 0.3 MN por piso Columnas interiores carga muerta 2.3 MN, carga viva 0.15 MN por techo y 0.35 MN por piso Los valores de las cargas ya tienen el factor de reducción por área

Cargas de cálculo Analice la siguiente combinación:

131

Carga muerta mas carga viva más viento U = 1.05 D + 1.28 L +1.28 W

A

B

techo

6.5 m

C

D

2do piso E

F

5m G

H 5m

6.5m 1er piso I

J 5m

5m K

5m

L 5m

PLANTA

SECCIÓN XII.13.3 Sea la sección de una columna corta mostrada en la figura con los siguientes datos, determinar si resiste Pu = 0.08 MN y Mu = 0.0028 MN-m en el eje x-x: Ec = 30460 MPa fc´ = 42 MPa fr = 4.02 MPa Ep = 200000 MPa 0.3 m

x

o

o x

0.4 m

Utilizando cable de 7 alambre (3/8) teniendo un área cada uno de Aps = Aps´ = 0.548 cm² = 0.0000548 m², fpu = 1862 MPa, fpy = 1517 MPa fpi = 1244 MPa Pe = 0.136 MN fse = Pe / Aps = 1240.8 MPa

132

CAPÍTULO XIII TRACCIÓN SIMPLE Y FLEXO-TRACCIÓN Cuando un elemento está sometido a una solicitación de tracción en el centro de gravedad de la sección se dice que está sometido a Tracción Simple Cuando la sección está sometida a una Solicitación Normal de Tracción (Nu) y a un Momento Flector (Mu) directo u ocasionado por una excentricidad real de la solicitación de tracción, la sección está sometida a: FLEXO-TRACCIÓN NOTAS SOBRE LA NOMENCLATURA: En este Capítulo se usará lo siguiente: La fuerza de tracción mayorada se designa con: Nu La fuerza de tracción en el estado de servicio se designa con: N El refuerzo más traccionado con: As y Aps El refuerzo menos traccionado con: As’ y Aps´

XIII.2 HIPÓTESIS Además de las hipótesis generales y de las particulares de flexión simple que tienen plena vigencia en FlexoTracción, se establecen las siguientes hipótesis: a) En flexo-tracción, la sección está sometida a una solicitación normal de tracción y a un momento real o virtual producto de una excentricidad física de la solicitación de tracción. b) En los análisis se considera una excentricidad (eo) de la solicitación de tracción Nu con relación al eje geométrico de la sección que pasa por su centro de gravedad, de manera que (Nu eo) sea igual al momento Mu actuante, es decir, que: eo = Mu / Nu XIII.2a En caso de no existir Mu y sí una excentricidad real (eo), el momento que puede considerarse que actúa sobre la sección será: Mu = Nu eo XIII.2b c)

Se denomina As al refuerzo ordinario más cercano a la carga de tracción, o sea, la de la posición en la dirección y sentido del desplazamiento real o virtual eo: As’ es el refuerzo ordinario más alejado de la carga, es decir, la que aparece en sentido contrario al desplazamiento Se denomina Aps al refuerzo de PRESFORZADO colocado hacia el mismo lado del refuerzo

As y Aps’ al colocado hacia el lado de As’ d) Cuando los refuerzos As’ y Aps’ trabajan en compresión junto con el concreto, su esfuerzo depende de la deformación de la sección a nivel de dichos refuerzos, aceptándose que alcancen el agotamiento siempre que (c  1.25 cc) y sus esfuerzos de cálculo se consideran iguales a: fy  420 MPa para As’ y para Aps’ debe hacerse un análisis de compatibilidad de deformaciones XIII.3 TRACCIÓN SIMPLE Cuando un elemento sometido a una carga de tracción última Nu, se producen grietas en la sección y se asume que Nu, es resistida por refuerzo solamente La resistencia nominal es: Nn = Aps fpu XIII.3a y a carga última es Nu =  Aps fpu XIII.3b

133

Se debe tener un factor de seguridad de 2.0 XIII.4 CASOS DE COMPROBACIÓN DE SECCIONES En Flexo-Tracción hay que considerar dos casos: CASO I. Según toda la sección esté a tracción CASO II. Según pueda surgir una zona comprimida cuyo valor estará en función de la posición que ocupe la carga Nu, en relación con los refuerzos CASO I Se presenta cuando la carga Nu actúa entre los refuerzos y en tal caso, se admite que toda la sección está traccionada, por ello se prescinde del concreto y el equilibrio se establece exclusivamente sobre la base de los refuerzos El CASO I tiene dos Sub-Casos: CASO Ia y CASO Ib CASO Ia Cuando todo el refuerzo está trabajando a su esfuerzo de cálculo fps y fy Debe cumplirse que: Nu [(h/2)) – et]  [(fy As’ + Aps’ fps´) (de – d1)] 0.9 Nu [(h/2) – d’+ et]  [(fy As + Aps fps) (de – d’)] 0.9 CASO Ib Cuando el refuerzo en la zona más traccionada está trabajando a su esfuerzo de cálculo y la menos traccionada está trabajando a un valor menor a la de cálculo, pero mayor a: s Es d’/d y fs + p Ep d’/de Debiéndose cumplir que: Nu[(h/2) – et] [(s2 As’ + Aps’ p2) (de – d1)] 0.9 Nu[(h/2) – d’ + et]  [(fs As + Aps fps) (de – d’)] 0.9 El límite entre CASO Ia y CASO Ib, lo constituye la frontera entre esos casos, siendo la solicitación de tracción que provoca este Estado: Nt = [fy (As + As’) + fps (Aps + Aps’)] Si Nu e1  Nt e Estamos en CASO Ia En caso contrario Estamos en CASO Ib e-excentricidad de la fuerza Nt con respecto al centroide de las fuerzas As y Ap El límite entre el CASO I y el CASO II, se establece cuando la solicitación de tracción es: Ntl = [fy As + fps Aps + Es2 s( d’ / de) As’ + Aps’ ( fse + Ep p (d’/de))] Si Nu e1  Nt1 eI En caso contrario

Estamos en CASO I Estamos en CASO II

CASO II Se presenta cuando la carga Nu está fuera de los refuerzos o fuera de la sección. Existe una zona comprimida y el equilibrio se establece en base de los refuerzos y el área de concreto a compresión El CASO II tiene tres Sub-Casos: CASO IIa, CASO IIb y CASO IIc CASO IIa Cuando el refuerzo más traccionado está trabajando a su esfuerzo de cálculo y la armadura ordinaria menos traccionada está trabajando a esfuerzo nulo y la presforzada a fps. corresponde cuando etot = de. Entonces tenemos que: Ntu = [Aps fps + As fy – 0.85 fc’Ac’ ] 0.9

134

NOTA: Para sección rectangular o T............ Ac’ = 0.8 d’ be Debiéndose cumplir que: Nu [(h/2) – d’ + et]  [(fy As + Aps fps) (de- d’)] 0.9 - Sc’ 0.85 fc’ Nu = [fy As + Aps fps] 0.9 – 0.85 fc’ Ac’ CASO IIb En este caso: Nu e1  [0.85 fc’ Sc’ + As’ fy (de – d’) – Aps’ fse’ (de- d’)] 0.9 Nu  Aps fps + As fs – As’ fs + fse’ Aps’ – Ac’ 0.85 fc’] 0.9 Debiéndose cumplir que: Nu  [ fy As + fps Aps – fy As’ + fse’ Aps’– 0.85 fc’ Ac’] 0.9 Nu e1  [0.85 fc’ Sc’ + (fy As’ – fse’ Aps’) (de – d’)] 0.9 CASO IIc En este caso: Nu  [ fy As + fps Aps – fy As’ + fse’ Aps’ – 0.85 fc’ Ac’]  Nu e1  [0.85 fc’ Sc’ + fy As’ (de – d’) –fse’ Aps’ (de– d’)  En este caso,  toma el valor de la zona de transición XIII.5 EJEMPLO DE ELEMENTO SOMETIDO A FLEXO-TRACCIÓN Sea el elemento del Ejemplo VII.4.1, que tiene las siguientes características, sección 0.30 m x 0.3 m, fpu = 1862 MPa fpi = 1310 MPa fc´= 28 MPa L = 6.0 m Ec = 20720 MPa Pe = 0.824 MN Pi = 0.9067 MN Aps = = 0.0006087 m² = 6.087 cm² Determinar si resiste una carga de tracción de Nu = 10.0 MN, con una excentricidad de 0.09m 0.09 m Solución: Nu 0.1 m Aps La fuerza Nu está dentro de la sección, por lo cual la sección está agrietada y el refuerzo debe tomar toda la carga Tomando momento con respecto al eje centroidal, debe cumplirse que: Nu x 0.09 ≤ 0.9 Aps x fpu  = 0.9 10.0 x 0.09 ≤ 0.9 x 0.0006087 x 1862 0.9 ≤ 1.02 Se cumple, resiste la carga XIII.6 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN ELEMENTO SOMETIDO A FLEXO-TRACCIÓN Hallar el refuerzo presforzado de un elemento de 0.3 m x 0.3, sometido a una carga de tracción de 0.1 N con una excentricidad e = 0.75 m Utilizar cable de 7 alambre fpu = 1862 MPa, εpu = 0.04 fc´= 28 MPa

135

Solución: La carga está por fuera de la sección, por lo cual hay una zona de compresión y otra de tracción C εcu = - 0.003 0.85 fc´ c

a

0.25m

0.6365 m Aps fpu εpu = 0.04

c = 0.227 m a = 0.8 x 0. = 0.1818 m Tomando momento con respecto a C

0.1 N

Aps fpu x 0.1591 = 0.1 x 0.6365 Aps = 0.06365 / 0.1591 x 1862 = 0.0002148 m² = 2.1485 cm² Es tracción controlada  = 0.9, entonces Aps = 2.1485 / 0.9 = 2.387 cm² Se necesita 2.387 cm² Tomando momento con respecto al refuerzo el concreto resiste: C x 0.1591 =  0.85 fc´x 0.1818 x 0.1591 = 0.6195 MN-m 0.6195 > 0.1 (0.6365 – 0.25) = 0.03865 MN-m Resiste XIII.7 PROBLEMA PROPUESTO XIII.7.1 Sea el elemento del Ejemplo VII.4.1, que tiene las siguientes características, sección 0.30 m x 0.3 m, fpu = 1862 MPa fpi = 1310 MPa fc´= 28 MPa L = 6.0 m Ec = 20720 MPa Pe = 0.824 MN Pi = 0.9067 MN Aps = = 0.0006087 m² = 6.087 cm² Determinar si resiste una carga de tracción de Nu = 5.0 MN, con una excentricidad de 0.11m XIII.7.2 Hallar el refuerzo presforzado de un elemento de 0.35 m x 0.35, sometido a una carga de tracción de 0.15 N con una excentricidad e = 0.7 m Utilizar cable de 7 alambre fpu = 1862 MPa, εpu = 0.04 fc´= 28 MPa

136

CAPÍTULO XIV RESUMEN DE ELEMENTOS PRESFORZADOS SOMETIDOS A SOLICITACIONES NORMALES EN EL ESTADO DE AGOTAMIENTO Ya hemos tratado las solicitaciones de Momento Flector, Compresión Axial, Flexo-Compresión, Tracción Axial y Flexo-Tracción. En este Capítulo, realizaremos un resumen de las fórmulas más importante y un ejemplo de una sección presforzada en los distintos casos de solicitaciones.

XIV.1.ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA ELEMENTOS CON REFUERZO PRESFORZADO Y NO PRESFORZADO XIV.11 Ecuaciones Básicas Sea la sección de la siguiente figura Pu be Ap’

As’

0.85 fc’ As’ fy’

C.G.

eo Aps’ fps’

o o

a Ac’ 0.85 fc’

de

o o

Ap As

Aps fps As fy ds

bw εs’ – deformación unitaria de As’

-0.003 εs’ c ∆εp’

εpse’ εpse’ – deformación unitaria del presfuerzo efectivo Aps’ εpse – deformación unitaria del presfuerzo efectivo Ap

∆εp εps εs

εpse εcse εps – deformación unitaria final en Ap εcse εcse-deformación unitaria del concreto debido al presfuerzo efectivo total actuando en el eje centroidal de la sección

La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona a compresión As’ es: εs’ = 0.003 (de – c) / de y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas’ = As’ εs’ Es si εs’ < ε y = fy / Es Fas’ = As’ fy si εs’ ≥ ε y = fy / Es

137

La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona de tracción As es: εs = 0.003 de / c y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas = As εs Es si εs < ε y = fy / Es Fas = As’ fy si εs ≥ ε y = fy / Es La deformación unitaria en los refuerzos PRESFORZADOS es: εpse’ = Pe’ / Aps’ Ep εpse = Pe / Aps Ep cuando Pe’ = Pe (como muestra la figura εcse es constante en toda la sección) εcse = Pe / [(n As – n As’ – Ac) Ec] = Pe / {[(n – 1) As + Ag] Ec} n = Es / Ec Ac – área del concreto Ag –área de la sección bruta El incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu con la excentricidad (eo) son obtenido del diagrama y son dados por: ∆εpse’ = [0.003 ( h – dp’) / h] – εcse’ ∆εpse = [0.003 (dp - h] / h + εcse y las deformaciones finales de los presfuerzos en cada refuerzo son: εps = εpse + ∆εp εps’ = εpse’ - ∆εp’ Los esfuerzos finales se hallan del gráfico esfuerzo-deformación de los refuerzos con las deformaciones finales Acomp es el área comprimida del concreto Pu = (Acomp – As’ – Aps’) (0.85 fc’) + As’ fs’ – As fs – Aps’ fps’ – Aps fps M = Pu eo = (Acomp – As’ – Aps’) (ys – y’) (0.85 fc’) + As’ fs’ (ys – d’) + As fs (de – ys) - Aps’ fps’ (ys – dp’) + Aps fps (dp – ys) ys – distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad de la sección (C.G.) y’ - distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad del área comprimida del concreto (Acomp) XIV.1.2 Caso Especial Cuando el Eje Neutro está Fuera de la Sección be As’

Aps’

0.85 fc’ As’ fy’ Aps’ fps’

o o C.G.

a Ac’ 0.85 fc’ de

o o

Aps As

Aps fps As fy d1

bw

-0.003

εs’ – deformación unitaria de As’

138

εs’

εpse’

∆εpse’

εpse’ – deformación unitaria del presfuerzo efectivo en Ap’ εpse – deformación unitaria del presfuerzo efectivo en Ap

h ∆εpse

c

εps εs εpse εcse

La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO más comprimido As’ es: εs’ = 0.003 c / (c – d’) y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas’ = As’ εs’ Es si εs’ < ε y = fy / Es Fas’ = As’ fy si εs’ ≥ ε y = fy / Es La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO menos comprimido en la zona As es: εs = 0.003 (c – de) / c y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas = As εs Es si εs < ε y = fy / Es Fas = As’ fy si εs ≥ ε y = fy / Es La deformación unitaria en los refuerzos PRESFORZADOS es: εpse’ = Pe’ / Aps’ Ep εpse = Pe / Ap Ep cuando Pe’ = Pe (como muestra la figura εcse es constante en toda la sección) εcse = Pe / [(n As – n As’ – Ac) Ec] = Pe / {[(n – 1) As + Ag] Ec} n = Es / Ec Ac – área del concreto Ag –área de la sección bruta El incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu con la excentricidad (eo) son obtenido del diagrama y son dados por: ∆εpse’ = [0.003 (c – dp’) / c] – εcse’ ∆εpse = [0.003 (c – dp) / c] - εcse y las deformaciones finales de los presfuerzos en cada refuerzo son: εps = εpse + ∆εp εps’ = εpse’ + ∆εp’ Los esfuerzos finales se hallan del gráfico esfuerzo-deformación de los refuerzos con las deformaciones finales Acomp es el área comprimida del concreto Pu = (Acomp – As’ – Aps’) (0.85 fc’) + As’ fs’ – As fs – Aps’ fps’ – Aps fps Mu = Pn eo = (Acomp – As’ – Aps’) (ys – y’) (0.85 fc’) + As’ fs’ (ys – d’) + As fs (de – ys) - Aps’ fps’ (ys – dp’) + Aps fps (dp – ys) ys – distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad de la sección (C.G.) y’ - distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad del área XIV.1.3 Caso Cuando Mu = 0 y Pu = Po

139

d’ dp’

o 0

- 0.003

0.85 fc’ As’ fs’

y’ dp

ys

a Aps’ fps’

de

Pu

h 0 o

Ap s fps As fs

Pu = 0.85 fc’ (Ag – As’ – Ap’ – Aps – As) – (Aps’ + Aps) ( fse – 0.003 Ep) + (As’ + As) fy Pu se debe multiplicar por 0.85 si no son utilizados estribos

XIV.1.4 Caso Cuando es Compresión Controlada Sea la sección de la siguiente figura Pu be Ap’

As’

0.85 fc’ As’ fy’

C.G.

eo Aps’ fps’

o o

a Ac’ 0.85 fc’

de

o o

Aps As

Aps fps As fy d1

bw

εs’ – deformación unitaria de As’

-0.003 εs’ c = 0.6 de ∆εp’

εpse’ εpse’ – deformación unitaria del presfuerzo efectivo en Ap’ εpse – deformación unitaria del presfuerzo efectivo en Ap

∆εp εps εs = 0.002

εpse εcse εps – deformación unitaria final en Aps

La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona a compresión As’ es: εs’ = 0.0012

140

y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas’ = As’ εs’ Es si εs’ < ε y = fy / Es Fas’ = As’ fy si εs’ ≥ ε y = fy / Es La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona de tracción As es: εs = 0.002 y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas = 0.002 Es As La deformación unitaria en los refuerzos PRESFORZADOS es: εpse’ = Pe’ / Aps’ Ep εpse = Pe / Aps Ep cuando Pe’ = Pe (como muestra la figura εcse es constante en toda la sección) εcse = Pe / [(n As – n As’ – Ac) Ec] = Pe / {[(n – 1) As + Ag] Ec} n = Es / Ec Ac – área del concreto Ag –área de la sección bruta El incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu la excentricidad (eo) son obtenido del diagrama y son dados por:

con

∆εpse’ = [0.003 (h – dp’) / h] – εcse’ ∆εpse = [0.003 (dp – h) / h] + εcse y las deformaciones finales de los presfuerzos en cada refuerzo son: εps = εpse + ∆εp εps’ = εpse’ - ∆εp’ Los esfuerzos finales se hallan del gráfico esfuerzo-deformación de los refuerzos con las deformaciones finales Acomp es el área comprimida del concreto Pu = (Acomp – As’ – Aps’) (0.85 fc’) + As’ fs’ – As fs – Aps’ fps’ – Aps fps Mn = Pn eo = (Acomp – As’ – Aps’) (ys – y’) (0.85 fc’) + As’ fs’ (ys – d’) + As fs (de – ys) - Aps’ fps’ (ys – dp’) + Aps fps (dp – ys) ys – distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad de la sección (C.G.) y’ - distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad del área XIV.1.5 Caso Cuando es Tracción Controlada Sea la sección de la siguiente figura be Ap’

Pu As’

0.85 fc’ As’ fy’

C.G.

eo Aps’ fps’

o o

a Ac’ 0.85 fc’

de

o o

Ap As

Aps fps As fy ds

bw

141

εs’ – deformación unitaria de As’

-0.003 εs’ c = 0.375 de

εpse’

εpse’ – deformación unitaria del presfuerzo ∆εp’ efectivo en Ap’ εpse – deformación unitaria del presfuerzo efectivo en Ap ∆εp εps εs = 0.005

εpse εcse εps – deformación unitaria final en Ap

La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona a compresión As’ es: εs’ = 0.001875 y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas’ = As’ εs’ Es Fas’ = As’ fy

si εs’ < ε y = fy / Es si εs’ ≥ ε y = fy / Es

La deformación unitaria del acero no PRESFORZADO en la zona de tracción As es: εs = 0.005 y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas = 0.002 Es As ≤ fy La deformación unitaria en los refuerzos PRESFORZADOS es: εpse’ = Pe’ / Aps’ Ep εpse = Pe / Aps Ep cuando Pe’ = Pe (como muestra la figura εcse es constante en toda la sección) εcse = Pe / [(n As – n As’ – Ac) Ec] = Pe / {[(n – 1) As + Ag] Ec} n = Es / Ec Ac – área del concreto Ag –área de la sección bruta El incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu la excentricidad (eo) son obtenido del diagrama y son dados por:

con

∆εpse’ = [0.003 (h – dp’) / h] – εcse’ ∆εpse = [0.003 (dp- h) / h] + εcse y las deformaciones finales de los presfuerzos en cada refuerzo son: εps = εpse + ∆εp εps’ = εpse’ - ∆εp’ Los esfuerzos finales se hallan del gráfico esfuerzo-deformación de los refuerzos con las deformaciones finales Acomp es el área comprimida del concreto Pu = (Acomp – As’ – Aps’) (0.85 fc’) + As’ fs’ – As fs – Aps’ fps’ – Aps fps Mu = P eo = (Acomp – As’ – Aps’) (ys – y’) (0.85 fc’) + As’ fs’ (ys – d’) + As fs (de – ys) - Aps’ fps’ (ys – dp’) + Aps fps (dp – ys) ys – distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad de la sección (C.G.) y’ - distancia desde el borde más comprimido del concreto hasta el centro de gravedad del área

142

XIV.2 EJEMPLO DE UNA SECCIÓN PREESFORZADA SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES EN ESTADO DE AGOTAMIENTO Sea la sección de la figura con las siguientes características As = As’ = 0.003 m^2 Aps = Aps’ = 0.001 m^2 Es = 200 000 MPa fy = 420 MPa fc’ = 42 MPa Ec = 325 00MPa Pse = Pse’= 1.2 MN Ep = 195 000 MPa bw = 0.5 m h = 0.8 m γ = 0.766 oo o o o ds’ = 0.07 m dp’= 0.14 m 0 As’ dp = 0.66 m ds= 0.73 m Aps’ Aps As 0 oo o

oo

Construir la curva de interacción para las diferentes solicitaciones a fin de determinar las solicitaciones que resiste la sección Solución: La deformación unitaria efectiva en Aps y Aps’ es: εpse = εpse’ = (Pse / Aps) / Ep = (1.2 / 0.001) / 195000 = 0.00615 El esfuerzo unitario promedio en el concreto debido a Pe(total) es: εcse = Pe / [ (n-1) As’ + Ag] Ec εcse = 2.4 / [ (5.25) 0.006 + 0.5 x 0.8] 32500 = 0.000171 Véase DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE RESISTENCIA, para determinar los diferentes puntos 1- PUNTO A - COMPRESIÓN PURA (eo = 0) La fuerza de compresión del concreto es: Fc’ = 0.85 fc’ bw h = 0.85 x 42 x 0.5 x 0.8 = 14.28 MPa Los esfuerzos en el refuerzo PRESFORZADO son: σpu = Ep (εpse – εpu + εcse) = 195 000 (0.00615 – 0.003 + 0.000171) = 647.60 MPa εpu- deformación unitaria máxima del Concreto a compresión, el Reglamento utiliza -0.003, otros Códigos utilizan – 0.002 La resistencia a compresión axial es: Pun = Fc’ + As fy – [Aps’ σpu’ + Aps σpu] y como σpu’ = σpu Pun = 14.28 + 0.006 x 420 – 647.60[0.01 +0.001] = 15. 5048 MN 2- PUNTO B – CERO TRACCIÓN Para este caso, c = h = 0.8 m El valor de la fuerza en el Concreto es el volumen del bloque rectangular y es dado por Fc’ = 0.85 fc’ γ bw h = 0.85 x 42 x 0.766 x 0.5 x 0.8 = 10. 938 MN El valor del esfuerzo unitario del refuerzo a compresión no PRESFORZADO As’ es: εs’ = 0.003 (c – ds) / c = 0.003 (0.8 – 0.7) / 0.8 = 0.000375 > 0.002, por lo cual σs = fy recordar que en este caso c = h = 0.8 m El valor de la fuerza del refuerzo a compresión no PRESFORZADO es: Fa’ = As’ fy = 0.003 x 420 = 1.26 MN El valor del esfuerzo unitario del refuerzo a tracción (menos comprimido) no PRESFORZADO As es: εs’ = 0.003 (ds – c) / c = 0.003 (0.73 – 0.8) / 0.8 = -0.0002625 El valor de esa fuerza es: Ts = As εs’ Es = 0.003 x (- 0.0002625) x 200000 = - 0.1575 MN El incremento de la deformación unitaria de cada refuerzo PRESFORZADO es: En Aps, ∆εpse’ = 0.003 ( c – dp’) c - εces’ = 0.003 ( 0.8 – 0.7) 0.8 - 0.000171 = 0.000069 En Aps, ∆εpse = 0.003 (dp – c) c + εces = 0.003 (0.66 – 0.8) / 0.8 + 0.000171 = -0.000354 La deformación unitaria total en Aps’ es: εps’ = εpse’ - ∆εpse’ = 0.00615 – 0.00069 = 0.00546

143

La deformación unitaria total en Aps es: εps = εpse - ∆εpse = 0.00615 – 0.000354 = 0.005796 Del diagrama de esfuerzo deformación del refuerzo PRESFORZADO hallamos: fps’ = 1064.7 MPa Del diagrama de esfuerzo deformación del refuerzo PRESFORZADO hallamos: fps = 1130.2 MPa La fuerza del refuerzo Aps’ = 1064.7 x 0.001 = 1.0647 MN La fuerza del refuerzo Aps = 1130.2 x 0.001 = 1.1302 MN La resultante de la fuerza de compresión es: PnB = Fc’ + As’ fs’– Aps’ fps’ – Aps fps – As fs = 10. 938 + 1.26 - 1.0647 – 1.1302 - 0.1575 = PnB = 9.8456 MN El momento es MnB = Pn eo = Fc’(h / 2 – γ c / 2) + As’ fs’ (h /2 – ds’) - Aps’ fps’(h / 2 – dp’) + + Aps fps (dp – h/2) + As fs (ds – h / 2) MnB = PnB eo = 10. 938 ( 0.8 / 2 – 0.766 x 0.8 / 2) + 1.26 (0.8 / 2 – 0.07) - 1.0647 (0.8 / 2 – 0.14) + +1.1302 (0.66 – 0.8 / 2) + (- 0.1575 )( 0.73 – 0.8 / 2) MnB = PnB eo = 1.0238 + 0.4158 – 0.2768 + 0.2938 – 0.05197 = 1.40463 MN-m y la excentricidad es eB = MnB / PnB = 1.40463 / 9.8456 = 0.1426 m 3 – PUNTO C – FALLO BALANCEADO Este Punto corresponde cuando la deformación unitaria en el refuerzo no PRESFORZADO a tracción As es: εt = 0.002 As fy = 0.003 x 420 = 1.26 MN el valor de c, como es compresión controlada es: c = 0.6 de = 0.6 x 0.66 = 0. 396 m, a = c β1 = 0.396 x 0.75 = 0.297 m La fuerza suministrada por el concreto es: Fc’ = 0.85 fc’ bw a = 0.85 x 42 x 0.5 x 0.297 = Fc’ = 5.30 MN FAs’ = 0.003 x 420 = 1.26 MN La fuerza en el refuerzo PRESFORZADO en la zona en compresión es: FAp’ = Ap’ {εcse’ – [0.003 (c – dp’) / c] + εce)} Ep = FAp’ = 0.001 {0.00615 – [0.003 (0.396 – 0.14) / 0.396] + 0.000171} 195000 = 0.8544 MN Ahora hallemos el incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu con la excentricidad (eo) que son obtenido del diagrama y son dados por: ∆εpse’ = [0.003 ( c – dp’) / c] – εcse’ ∆εpse’ = [0.003 (0.396 – 0.07) / 0.396] – 0.000171 = 0.002298 ∆εpse = [0.003 (dp - c)] /c + εcse ∆εpse = [0.003 (0.66 - 0.396)] / 0.396 + 0.000171 = 0.002171 y las deformaciones finales de los presfuerzos en cada refuerzo son: εps = εpse + ∆εpse εps = 0.00615 + 0.002171 = 0.008321 εps’ = εpse’ - ∆εp’ εps’ = 0.00615 – 0.002298 = 0.00385 Del diagrama de esfuerzo- deformación del presfuerzo, hallamos σAp = 1600 MPa y σAp’ =750 MPa FAp = 1600 x 0.001 = 1. 6 MN FAp’ = 750 x 0.001 = 0.75 MN PnC = Fc’ + As’ fs’– Ap’ fps’ – Ap fps – As fs = 5.30 + 1.26 - 0.75 – 1.6 - 1.26 = 2.95 MN El momento es MnC = Pn eo = Fc’ (h / 2 – β1 c / 2) + As’ fs’ (h /2 – ds’) - Ap’ fps’ (h / 2 – dp’) + + Ap fps (dp – h/2) + As fs (ds – h / 2) MuC = Pu eo = 5.30 (0.8 / 2 – 0.75 x 0.396 / 2) + 1.26 (0.8 /2 – 0.07) – 750 x 0.001 (0.8/ 2 – 0.14) + +1.6 (0.66 – 0.8 / 2) + 1.26 (0.73 – 0.8 / 2) MnC = Pu eo = 1.33 + 0.4158 – 0.195 + 0.416+ 0.41058 = 2.379 MN-m La excentricidad es: MnC / PnC = 2.379 / 2.95 = 0.806 m 4 – PUNTO D – TRACCIÓN CONTROLADA Este Punto corresponde cuando la deformación unitaria en el refuerzo no PRESFORZADO a tracción As es: εt = 0.005 As fy = 0.003 x 420 = 1.26 MN el valor de c como es tracción controlada es: c = 0.375 de = 0.375 x 0.66 = 0.2475 m La fuerza suministrada por el concreto es: Fc’ = 0.85 fc’ β1 bw c = 0.85 x 42 x 0.75 x 0.5 x 0.2475 = Fc’ = 3.31 MN As fy = 0.003 x 420 = 1.26 MN

144

FAs’ = 0.003 x 420 = 1.26 MN La fuerza en el refuerzo PRESFORZADO en la zona en compresión es: FAp’ = Aps’ {εcse’ – [0.003 (c – dp’) / c] + εce)} Ep = FAp’ = 0.001 {0.00615 – [0.003 (0.2475 – 0.14) / 0.2475] + 0.000171} 195000 = 0.9785 MN Ahora hallemos el incremento de la deformación unitaria en los refuerzos de presfuerzo adherido debido a la carga Pu con la excentricidad (eo) son obtenido del diagrama y son dados por: ∆εpse’ = [0.003 ( c – dp’) / c] – εcse’ ∆εpse’ = [0.003 (0.2475 – 0.07) / 0.2475] – 0.000171 = 0.00198 ∆εpse = [0.003 (dp - c)] /c + εcse ∆εpse = [0.003 (0.66 - 0.2475)] /0.2475+ 0.000171 = 0.005175 y las deformaciones finales de los presfuerzos en cada refuerzo son: εps = εpse + ∆εp εps = 0.00615 + 0.005171 = 0.011 εps’ = εpse’ - ∆εp’ εps’ = 0.00615 - 0.00198 = 0.00417 Del diagrama de esfuerzo- deformación del presfuerzo, hallamos σAp = 1800 MPa σAp = 800 MPa FAp = 1800 x 0.001 = 1. 8 MN FAp’ = 800 x 0.001= 0.8 MN PuD = Fc’ + As’ fs’– Aps’ fps’ – Aps fps – As fs = 3.31 + 1.26 - 0.8 – 1.8 - 1.26 = 0.8 MN El momento es MnC = Pn eo = Fc’(h / 2 – β1 c / 2) + As’ fs’ (h /2 – ds’) - Aps’ fps’(h / 2 – dp’) + + Aps fps (dp – h/2) + As fs (ds – h / 2) MnD = Pn eo = 3.31 (0.8 / 2 – 0.75 x 0.2475 / 2) + 1.26 (0.8 /2 – 0.07) - 0.80 (0.8/ 2 – 0.14) + +1.8 (0.66 – 0.8 / 2) + 1.26 (0.73 – 0.8 / 2) MnD = Pn eo = 1.0167 + 0.4158 – 0.208 + 0.468 + 0.4158 = 2.1083 MN-m y la excentricidad es eo = MuD / PuD = 2.1083 / 0.8 = 2.635 m 5 – PUNTO E (FLEXIÓN SIMPLE) En flexión simple la fuerza de compresión tiene que ser igual a la tracción y es necesario hallar el valor de c Asumimos que c = 0.226 m a = c x β1 = 0.226 x 0.75 = 0.17 m La fuerza del concreto es: Fc’ = 0.85 fc’ bw a = 0.85 x 42 x 0.5 x 0.17 = 3.0345 MN El refuerzo no PRESFORZADO en compresión: Fas’ = 0.003 x 0.003 (0.226 – 0.07) / 0.226 x 200000= 1.2425 MN El esfuerzo en el no PRESFORZADO en tracción: εs = 0.003 (0.73 – 0.226) / 0.226 = 0.0067 > 0.002, se utiliza Fas = 0.003 x 420 = 1.26 MN El refuerzo PRESFORZADO en la zona de compresión: Fp’ = 0.001{0.00615 – (0.003) (0.226 – 0.14) / 0.226 + 0.000171] x 195000 = 1.01 MN El esfuerzo del refuerzo PRESFORZADO en la zona de tracción; εp = {0.00165 + [0.003 (0.66 – 0.226) / 0.226] + 0.000171} = 0.0768 El gráfico del acero hallamos fps = 1500 MPa, entonces FAps = 0.001 x 1500 = 1.5 MN De la suma de fuerzas, tenemos: Fc’ + Fas’ – Fp’- Fas - Fp = 0 3.0345 + 1.2425 - 1.01 - 1.26 - 1.5 = 0.507 No se cumple Volvemos hacer otro tanteo Asumimos que c = 0.21 m a = c x β1 = 0.19 x 0.75 = 0.1575 m La fuerza del Concreto es: Fc’ = 0.85 fc’ bw a = 0.85 x 42 x 0.5 x 0.1575 = 2.812 MN El refuerzo no PRESFORZADO en compresión: Fas’ = 0.003 x 0.003 (0.21 – 0.07) / 0.21 x 200000= 1.2 MN El esfuerzo en el no PRESFORZADO no PRESFORZADO en tracción: εs = 0.003 (0.73 – 0.21) / 0.21 = 0.007 > 0.002, se utiliza fy, entonces Fas = 0.003 x 420 = 1.26 MN El refuerzo PRESFORZADO en la zona de compresión: Fp’ = 0.001{0.00615 – (0.003) (0.19 – 0.14) / 0.19 + 0.000171] x 195000 = 1. 218 MN El esfuerzo del refuerzo PRESFORZADO en la zona de tracción; εp = {0.00165 + [0.003 (0.66 – 0.21) / 0.21] + 0.000171} = 0.008249 El gráfico del acero hallamos fps = 1534 MPa, entonces FAp = 0.001 x 1534 = 1.5349 MN

145

De la suma de fuerzas, tenemos: Fc’ + Fas’ – Fp’- Fas - Fp = 0 2.812+ 1.2 - 1.218 - 1.260 - 1.534 = 0 Se cumple El momento MuE es: MuE = Fc’(h / 2 – β1 c / 2) + As’ fs’ (h /2 – ds’) - Ap’ fps’(h / 2 – dp’) + + Aps fps (dp – h/2) + As fs (ds – h / 2) MuE = 0.1575 (0.8 / 2 – 0.75 x 0.21 / 2) + 1.2 (0.8 /2 – 0.07) – 1.218 (0.8 / 2 – 0.14) + + 1.5349 (0.66 – 0.8/2) + 1.26 (0.73 – 0.8 / 2) MuE = 0.0506 + 0.396 – 0.3167 + 0.399 + 0.4158 = 0.9447 MN-m 6 – PUNTO F (TRACCIÓN SIMPLE) La resistencia de una sección a tracción simple depende solamente de los refuerzos NuF = As fy + Aps fps = 0.006 x 420) + 0.002 x 1800 = 6.12 MN A continuación se muestra el diagrama (esquemático) Pu MN x

15.5048 Punto A (compresión Simple)

9.8456

x

Punto B (Cero Tracción)

2.95

x Punto C (Fallo Balanceado)

0.8 x Punto D (Tracción Controlada)

x Punto E (Flexión Simple) 0.9447 1.40463 2.1083

2.379

Mu (MN-m)

x 6.12 Punto F (Tracción Simple)

XIV.3 PROBLEMAS PROPUESTOS XIV.3.1 SECCIÓN PRESFORZADA SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES EN ESTADO DE AGOTAMIENTO

146

Sea la sección de la figura con las siguientes características As = As’ = 0.004 m^2 Aps = Aps’ = 0.0015 m^2 Es = 200 000 MPa fy = 420 MPa fc’ = 42 MPa Ec = 325 00MPa Pe = Pe’= 1.2 MN Ep = 195 000 MPa bw = 0.5 m h = 0.8 m γ = 0.766 oo o o o ds’ = 0.07 m dp’= 0.14 m 0 As’ dp = 0.66 m ds= 0.73 m Aps’ Aps As 0 oo o

oo

Construir la curva de interacción para las diferentes solicitaciones a fin de determinar las solicitaciones que resiste la sección

147

CAPÍTULO XV SOLICITACIÓN TANGENTE (CORTANTE) XV.1 INTRODUCCIÓN Los elementos de concreto PRESFORZADO pueden fisurarse de varias formas. Las grietas por flexióncortante se presentan después de que han ocurrido las grietas a flexión que se extienden verticalmente partiendo desde la fibra con mayor tracción. Cuando se presenta una combinación crítica de esfuerzos de flexión y cortante, la grieta toma una dirección inclinada. Si no se proporciona suficiente refuerzo en el alma del elemento, dicha grieta producirá un fallo por compresión-cortante, en el cual la fuerza de compresión resistente en el concreto se ve disminuida por la presencia de la grieta diagonal. La grieta por cortante puede ocurrir cerca de los apoyos en vigas altamente presforzada con almas relativamente delgada. Este tipo de peligro en el alma conduce a la formación súbita de una gran grieta inclinada, y si no se encuentra refuerzo en el alma, conducirá a la falla del elemento que puede ser de las siguientes formas: a) En elementos I, separación del patín en tracción del alma b) Aplastamiento del alma por la compresión que actúa paralelamente a la grieta diagonal c) En elementos T. agrietamiento por tracción que separa el patín en compresión del alma Las grietas debidas a tracción diagonal que se presentan en elementos Presforzado son más inclinadas que en los elementos no Presforzado. Por ello, ante el mismo refuerzo dado por estribos verticales, esa grieta atravesará más estribos lo que incrementa la eficiencia de los mismos En elementos Presforzado con torones inclinados, la componente vertical de la fuerza del presfuerzo, contrarresta el cortante vertical y en estos elementos se disminuye la cantidad de estribos necesarios En elementos Presforzado se debe revisar el cortante al menos en las siguientes secciones a) a la distancia h/2 del apoyo b) donde terminan los cables y en desvío de torones c) en lugares donde existan cargas concentradas d) en diferentes longitudes del elemento, como, L/4. L/8 para lograr tener separaciones de estribos que sigan mejor el diagrama de cortante En la siguiente figura se muestra las diferentes tipos de grietas que se producen en un elemento sin refuerzo en el alma Cargas externas

grietas

apoyo extremo apoyo intermedio

Flexión y

Cortante del alma

Flexión y Flexión – cortante

Cortante del alma

Flexión -cortante

En elementos Presforzado la componente vertical de la fuerza de presfuerzo (Vp) reduce el cortante vertical (Vu) producido por las cargas externas, por lo cual el cortante neto que el elemento es sometido es menor cuando se introduce el presfuerzo que en elementos sin presfuerzo Vp

XV.2 VALOR DEL ANCHO DEL ELEMENTO

148

Cuando en la sección considerada, el ancho del elemento no es constante se adoptará como (bw) el menor ancho que presenta la sección a una altura igual a los 3/4 del peralto efectivo a partir del refuerzo traccionado

bw

de

3 de / 4 o refuerzo a tracción XV.3 RESISTENCIA AL CORTANTE El diseño de las secciones transversales sometidas a esfuerzos cortantes y tracción diagonal debe basarse en: Vu ≤  Vn XV.3.1 Vn = Vc + Vs + Vp XV.3.2 Vu-fuerza cortante mayorada en la sección considerada Vc-cortante nominal resistido por el concreto Vs-cortante nominal resistido por el refuerzo Vp- componente vertical del presfuerzo Al calcular el cortante nominal Vn debe tenerse en cuenta el efecto de todos los huecos que tenga el elemento Al calcular el cortante nominal del concreto, Vc, deben tenerse en cuenta los efectos de tracción axial debidos a retracción de fraguado o flujo plástico en los elementos que estén restringidos axialmente e igualmente los efectos de la compresión por flexión inclinada cuando se utilicen elementos acartelados o de sección variable El valor de fc’ utilizado en este Capítulo no debe exceder de 8.3 MPa. Se puede utilizar valores de la expresión fc’ mayores que 8.3 MPa en el cálculo de Vc, Vci, Vcw en vigas reforzadas, o presforzadas y en viguetas, siempre con refuerzo mínimo en el alma de acuerdo con las ecuaciones XV.7.4.1, XV.7.4.2 y por la mínima por Torsión XV.4 DETERMINACIÓN DE Vu Para que el valor de Vu determinado por este epígrafe sea válido debe cumplirse que: A-La reacción de apoyo en dirección del cortante aplicado, introduce compresión en la región extrema de la región B-Las cargas son aplicadas en o cerca de la parte superior del elemento C-No existe carga concentrada entre la cara del apoyo y la sección crítica Para elementos con refuerzo PRESFORZADO, las secciones localizadas a una distancia menor de (h/2) de la cara del apoyo pueden ser diseñadas para el cortante que existe a la distancia h/2 P1

P2 X Vu

La carga P1 no se tiene en cuenta, mientra P2 si se toma en cuenta XV.5 DETERMINACIÓN DE Vc EN ELEMENTOS PRESFORZADOS XV.5.1 Cuando el PRESFORZADO efectivo es igual o mayor del 40% de la resistencia tracción del refuerzo a flexión (fse > 0.4 fpu), el valor del cortante resistido por el concreto puede considerarse como: Vc = [0.05 ( fc’) + (4.8 Vu dp / Mu)] bw de XV.5.1 Donde Vc no debe ser tomado menor que (0.17 fc’) bw de y no mayor que 0.42fc’ (bw de)

149

ni mayor que el valor dado en XV.5.2.1 o XV.5.2.2 La cantidad Vu dp / Mu no debe tomarse mayor de 1.0, siendo Mu el momento mayorado que se presenta simultáneamente con Vu en la sección considerada. Cuando se aplique XV.5.1, dp en el término Vu dp / Mu debe ser la distancia entre la fibra extrema de compresión al centroide de refuerzo longitudinal PRESFORZADO y no PRESFORZADO en tracción. si lo hay, pero no hay necesidad de tomarlo menor que 0.8 h En vigas que no sean rectangulares, si el ala está a compresión el producto (bw de) puede tomarse como: bw de = b’ de + t^2 en vigas T e I b’ es el espesor del alma y t es el espesor del ala La anterior fórmula XV.5.1 es más aplicable a elementos sometidos a carga uniforme y da valores conservadores a vigas compuestas Cuando se aplica la ecuación XV.5.1 a elementos simplemente apoyados sometidos a cargas uniformes, Vu dp / Mu se puede expresar como: (Vu dp / Mu) = dp (L – 2 x) / x (L – x) L – luz del vano x – distancia al apoyo dese la sección que se investiga XV.5 .2 Para diseñar es necesario determinar que fallo controla, si el fallo es por agrietamiento por flexióncortante Vc1 o el agrietamiento por cortante del alma Vcw El valor de Vc debe tomarse como el menor valor de Vc1 o Vcw. Para el agrietamiento por flexión–cortante, se utiliza la siguiente fórmula: Vc1 =0.05 (fc’) bw dp + Vd + (Vi Mcre / Mmax)  fc’ / 7 bw de donde Mcre = (I/yt) ( 0.5fc’ + fpe – fd) XV.5.3 dp no debe tomarse menor que 0.8 h

XV.5.2

Nota: Mcre utilizado en este Capítulo no es el momento de agrietamiento Mcr utilizado en flexión El valor de Mmáx. y Vi debe ser calculado de la combinación de carga que causa el máximo momento que ocurre en la sección Vd – cortante debido al peso propio no mayorado del elemento y al peso de la sección compuesta fd- esfuerzo debido a la carga de trabajo (sin factor de carga), en la fibra extrema de la sección, donde el esfuerzo de tracción es causado por la carga máxima aplicada Vi – fuerza cortante no mayorada en la sección debida a las cargas aplicadas externas que se presenta simultáneamente con Mmax Para el agrietamiento del alma se utiliza la siguiente fórmula: Vcw = [0.29 (fc’) + 0.3 fpc] bw de + Vp XV.5.4 fpc-esfuerzo de compresión en el concreto debido al PRESFORZADO (después de deducir las pérdidas) en el centroide de la sección o la unión del alma y el ala de compresión del PRESFORZADO efectivo Vp – componente vertical de la fuerza de PRESFORZADO efectiva en la sección dp debe ser igual a 0.8 h Alternativamente Vcw puede ser calculado como la fuerza cortante que corresponde a la carga muerta más la carga viva que resulta en un esfuerzo principal de tracción de (0.33 fc’) en el centroide de la sección o en la unión del alma y el ala cuando el centroide cae en el ala. En elementos compuestos, el esfuerzo principal de tracción debe calcularse utilizando la sección transversal que resiste la carga viva El agrietamiento por cortante en el alma comienza en un punto interior, cuando los esfuerzos principales de tracción exceden la resistencia a tracción del concreto (ft = fr = 0.62 √fc´). Cuando se produce el agrietamiento por flexión, se incrementan los esfuerzos cortantes en el concreto arriba de la fisura. La fisura de flexión-cortante se desarrolla cuando el esfuerzo combinado de cortante y tracción excede la resistencia a la tracción del concreto Las ecuaciones XV.5.2 y XV.5.4 se pueden utilizar para determinar la fuerza cortante que causa agrietamiento de flexión-cortante y de cortante en el alma, respectivamente. La resistencia nominal a cortante proporcionada por el concreto, Vc, se supone igual al menor de los valores de Vc1 y Vcw.

150

Cuando se dedujo la ecuación XV.5.1, se supuso que Vci es la suma del cortante requerido para causar una fisura por flexión en el punto que se analiza, y está dado por: V = Vi Mcre / Mmax más un incremento adicional de cortante requerido para cambiar la fisura por flexión a una fisura de flexióncortante. Las cargas mayoradas aplicadas externamente, a partir de las cuales se determinan Vi y Max incluyen la carga muerta sobreimpuesta, el empuje de tierra y carga viva. Al calcular Mcre para sustituirlo en la ecuación, I y Yt son las propiedades de la sección que resiste las cargas aplicadas externamente Para un elemento compuesto, donde parte de la carga muerta es resistida por sólo una parte de la sección, debe utilizarse las propiedades adecuadas de la sección para calcular fd. El cortante debido a cargas muertas, Vd, y el debido a otras cargas, Vi, están separadas en este caso. Vd es entonces la fuerza cortante la fuerza cortante total debida a la carga muerta no mayorada que actúa sobre la parte de la sección que soporta las cargas muerta que actúa antes de que se forme la acción compuesta, más la carga muerta no mayorada sobreimpuesta que actúa sobre el elemento compuesto. Los términos Vi y Max son: Vi = Vu – Vd Max = Mu - Md en donde Vu y Max son el cortante mayorado y el momento mayorado debido a las cargas totales mayoradas, y Md es el momento debido a la carga muerta no mayorada, o sea el momento correspondiente a fd Para vigas no compuestas, uniformente cargadas, la sección transversal total resiste todo el cortante y los diagramas de cortante de carga viva y muerta son similares. En este caso, la ecuación XV.5.1 se reduce a: Vci = 0.05 √fc´bw de + (Vu Mct / Mu) Mct =(I / yt) (0.5 √fc´ + fpe Mct es el momento total, incluyendo la carga muerta, requerida para causar agrietamiento en la fibra extrema en tracción. que no es Mcre que corresponde al agrietamiento que se produce a todas las cargas, excepto a la carga muerta. En la ecuación XV.5.1 el cortante por carga muerta se agrega como un término aparte Mu es el momento mayorado sobre las vigas en la sección que se está considerando, y Vu es la fuerza cortant mayorada que ocurre simultáneamente con Mu. Como las mismas propiedades ese aplican tanto a los esfuerzos por carga muerta como por carga viva, no hay necesidad de calcular los esfuerzos y cortantes de la carga muerta por separado y el momento de agrietamiento Mct refleja el cambio total de esfuerzos desde el presforzado efectivo hasta una tracción de 0.5 √fc´, la cual se supone que ocasiona agrietramiento por flexión La ecuación XV.5.4 se basa en la suposición que el agrietamiento por cortante en el alma ocurre debido al cortante que produce un esfuerzo principal de tracción de (√fc´ / 3) en el eje centroidal de la sección transversal Vp se calcula a partir de la fuerza efectiva de presfuerzo sin factores de carga XV.5 .2.1 En elementos PRESFORZADO en el que la sección a una distancia h/2 de la cara del apoyo esté más cerca del extremo del elemento que la longitud de transferencia de los tendones de presfuerzo, debe considerarse el presfuerzo reducido para calcular Vcw. Este valor Vcw se toma también como el límite máximo de Vc de la ecuación XV.5.1. Puede suponerse que la fuerza de presfuerzo varía linealmente desde cero en el extremo del tendón, hasta un máximo a una distancia de ese extremo igual a la longitud de transferencia. que se supone es 50 diámetros para torones y 100 diámetros para alambres individuales XV.5 .2.2 En elementos PRESFORZADO en los cuales los torones o alambres no estén adheridos al concreto en los extremos de lo elemento, debe utilizarse un presfuerzo reducido al calcular Vc de acuerdo con XV.5.1 y XV.5.2. El valor de Vcw calculado utilizando este presfuerzo reducido debe tomarse también como el límite máximo de la ecuación Vc = [( fc’ / 20) + (5 Vu de / Mu)] bw de XV.5.1 . La fuerza de presfuerzo contribuida por los torones o alambres que no estén adheridos hasta el extremo del elemento, puede suponerse que la fuerza de presfuerzo varía linealmente desde cero en el punto en el cual comienza la adherencia, hasta un máximo que ocurre a una distancia igual a la longitud e transferencia, que se supone es 50 diámetros para torones y 100 diámetros para alambres individuales XV.6 RESISTENCIA A CORTANTE CONTRIBUIDA POR EL REFUERZO DE CORTANTE XV.6.1 T1POS DE REFUERZO DEL ALMA -Estribos perpendiculares al eje del elemento Refuerzo electrosoldado de alambre con alambre colocadas perpendiculares el eje del elemento -Espirales, estribos circulares y estribos cerrados de confinamiento

-

151

XV.6.2 VALOR DE LA RESISTENCIA DE CÁLCULO DE LA ARMADURA DE ESTRIBOS La calidad (fy) del refuerzo del alma no debe ser mayor de 420 MPa, excepto para refuerzo electrosoldado con alambre corrugado que no debe exceder de 550 MPa XV.6.2.1 Los estribos y otras barras o mallas electro soldadas, que se utilicen como refuerzo a cortante deben prolongarse hasta una distancia (de) medida desde la fibra extrema a compresión y deben anclarse en ambos extremos, de acuerdo con Desarrollo del Refuerzo del Alma del Capitulo Desarrollo y Empalmes del Refuerzo para desarrollar el refuerzo de fluencia de diseño del refuerzo XV.6.3 LÍMITES DE ESPACIAMIENTO PARA EL REFUERZO DE CORTANTE 1-El espaciamiento del refuerzo a cortante colocado perpendicularmente al eje del elemento en elementos con presfuerzo, no debe ser mayor de (0.75) h en elementos PRESFORZADOS, ni 600 mm 2- Los estribos inclinados y el refuerzo longitudinal doblado deben espaciarse de manera que cada línea a 45 grados que se extienda hacia la reacción desde la mitad de la altura útil del elemento (de/2) hacia el refuerzo longitudinal en tracción sea cruzada por lo menos por una línea de refuerzo cortante 3- Cuando Vs sea mayor de (0.33) √fc’bw de los espaciamiento dados en esta sección deben reducirse a la mitad XV.6.4 REFUERZO MÍNIMO DE CORTANTE 1- Debe colocarse un área mínima de refuerzo a cortante en todo concreto PRESFORZADO en donde el refuerzo cortante mayorado Vu sea mayor que la mitad de la resistencia suministrada por el concreto, 0.5 Vc, excepto en: a) Losas sólidas y zapatas b) Elementos alveolares con altura total, sin incluir el afinado de piso, no mayor de 315 mm y unidades alveolares donde Vu no es mayor de 0.5 Vc c) Losas nervadas de concreto con viguetas d) Vigas con h no mayor de 250 mm e) Vigas integrales con losas con h no mayor de 600 mm, y no mayor que el mayor de 2.5 veces el espesor del ala, ó 0.5 veces del ancho del alma f) Vigas construidas con concreto de peso normal reforzado con fibra de acero, con un fc’ que no excede de 40 MPa, con un h no mayor de 600 mm y Vu no mayor de 0.17  √fc’bw de 2- Los requisitos mínimos del refuerzo a cortante de la presente sección pueden omitirse si se demuestra, mediante ensayos, que la resistencia última requerida a flexión Mn y cortante Vn puede desarrollarse cuando se omite el refuerzo a cortante. Los ensayos deben simular los efectos de asentamientos diferenciales, flujo plástico y retracción de fraguado del concreto y de las variaciones de temperatura, por medio de una evaluación realista de estos efectos en condiciones de servicio de la estructura.

3-Cuando se requiera refuerzo a cortante de acuerdo con lo establecido por este Capítulo, o por resistencia o cuando se permite que se desprecien los efectos de torsión el área mínima de refuerzo a cortante para elementos PRESFORZADOS (excepto lo establecido en XV.6.4.1) , debe calcularse por medio de: Amin = 0.062 bw s / fyt XV.6.4.1 Pero no debe ser menor a (0.35 bw s) / fyt

XV.6.4.1 Para elementos PRESFORZADO que tengan una fuerza de presfuerzo efectiva por lo menos igual al 40% de la resistencia a la tracción del refuerzo a flexión. el área mínima de refuerzo a cortante puede calcularse por medio de las ecuaciones Amin = 0.062 bw s / fyt XV.6.4.1 o Av = (Aps fpu s / 80 fyt de) [√ (de / bw] XV.6.4.2 XV.7.5 DISEÑO DEL REFUERZO A CORTANTE

152

XV.7.5.1 Cuando el cortante mayorado Vu exceda a la resistencia a cortante Vc debe suministrarse refuerzo a cortante que cumplan las ecuaciones Vu ≤  Vn XX.3.1 y Vn = Vc + Vs en las cuales la resistencia a cortante Vs debe calcularse según XV.7.5.2 a XX.7.5.8 XV.7.5.2 Cuando se utilice refuerzo a cortante perpendicular al eje del elemento: Vs = Av fyt de / s XV.7.5.2 (Vs / s) = [(Vu) – Vc] /  fyt de Av-área del refuerzo a cortante dentro una distancia (s) fyt- esfuerzo en el estribo

XV.7.5.2a

Donde se utilicen estribos circulares, estribos cerrados de confinamiento o espirales como refuerzo a cortante, Vs debe calcularse utilizando la ecuación Vs = Av fyt de / s XV.7.5.2, donde (de) se permite tomar como 0.80 veces el diámetro de la sección de concreto y Av debe tomarse como dos veces el área de la barra en un estribo circular, estribo cerrado de confinamiento, o espiral con un espaciamiento s, donde fyt es la resistencia a la fluencia especificada del estribo circular, estribo cerrado de confinamiento o espiral y s se mide en la dirección paralela al refuerzo longitudinal XV.7.5.3 Cuando los estribos son inclinados: Vs = As fyt (sen  + cos ) (de / s) XV.7.5.3 XV.7.5.4 Cuando el refuerzo a cortante consista de una barra o un solo grupo de barras paralelas dobladas todas a la misma distancia del apoyo Vs = As fyt de (sen  + cos  ) / s XV.7.5.4 Donde  es el ángulo entre los estribos inclinados y el eje longitudinal del elemento, y s se mide en la dirección paralela al eje longitudinal XX.7.5.5 Cuando el refuerzo a cortante consista en una barra individual o un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo, Vs debe calcularse con: Vs = Av fy sen  XV.7.5.5 pero no mayor que 0.25 √fc’ bw de  es el ángulo entre el refuerzo doblado y el eje longitudinal del elemento Donde el refuerzo a cortante consiste de una serie de barras paralela dobladas o grupos de barras paralelas dobladas a diferentes distancias del apoyo, Vs se debe calcular con: Vs = As fyt de (sen  + cos  ) / s XV.7.5.4 XV.7.5.6 Únicamente las 3/4 partes centrales de la porción inclinada de cualquier barra longitudinal doblada pueden considerarse efectivas como refuerzo cortante XV.7.5.7 Donde se utilice más de un tipo de refuerzo a cortante para reforzar la misma porción de un elemento, la resistencia a cortante Vs debe calcularse como la suma de los valores Vs calculados para los diferentes tipos XV.7.5.8 La resistencia a cortante contribuida por el refuerzo a cortante Vs no puede ser mayor de: (0.66) √fc’ bw de

XV.7.6 PASOS PARA EL DISEÑO DE CORTANTE EN VIGAS CON PRESFUERZO Los pasos a seguir son los siguientes: 1- Se determina el cortante requerido Vu según XV.4 DETERMINACIÓN DE Vu 2- Se calcula el cortante que resiste el concreto según XV.6 DETERMINACIÓN DE Vc EN ELEMENTOS PRESFORZADOS 3- Si (Vu /) ≤ Vc/ 2, no se necesita refuerzo a cortante Si (Vu /) > Vc y Vs = (Vu / ) - Vc ≤ 0.4 √fc’ bw de, se diseña el refuerzo a cortante Si (Vu / ) - Vc > 0.4 √fc’ bw de, o si Vu >  (Vc + 0.4 √fc’ bw de). se tiene que aumentar la sección

153

del elemento 4- Se coloca el refuerzo mínimo de cortante El espaciamiento máximo es s ≤ 0.75 h ó 60 mm, el que sea menor Para elementos PRESFORZADO que tengan una fuerza de presfuerzo efectiva por lo menos igual al 40% de la resistencia a la tracción del refuerzo a flexión. el área mínima de refuerzo a cortante puede calcularse por medio de las ecuaciones Amin = 0.062 bw s / fyt o Av = (Aps fpu s / 80 fyt de) [√ (de / bw] de < 0.8 h 5 –Se calcula el refuerzo a cortante y el espaciamiento Si Vs = (Vu / ) – Vc ≤ √fc’ bw de / 3, el espaciamiento es el requerido por el paso 6 Si Vs = (Vu / ) – Vc > √fc’ bw de / 3, el espaciamiento es la mitad del espaciamiento por el requerido en el paso 6 6 –Se calcula el espaciamiento requerido con: s = Av fy de / [(Vu / ) – Vc] =  Av fy de / [(Vu / ) – Vc] ≤ 0.75 h ≤ 600 mm ≥ máximo del paso 4 7- Tratar de utilizar barra mayor que el No. 6 XV.7.7.1 Calcular el refuerzo a cortante de una viga preesforzada Sea la viga de la figura, determinar el refuerzo necesario a cortante DATOS: fc’ = 28 MPa Ep = 193000 MPa Ec = 34000 MPa Es = 200000 MPa Ac = 0.23 m^2 I = 0.038 m^4 de = 1.10 m b = 0.15 r ^2 = 0.165 m² Refuerzo de pretensado Cable de 7 hilos  12 Clase k-7 Sc = 0.1363 m^3 r ^2 = 0.16 m 0.30 m

4  12

1.20 m Aps = 10  12 k-7 4  12

La carga mayoradas incluyendo carga muerta, viva y peso propio es 0.06 MN/m Mu = 1.6875 MN-m Vu = 0.45 MN (en la cara del apoyo) fpu =1650 MPa fpy = 1344 MPa Tensión inicial = 0.8 fpu = 0.8 x 1650 = 1320 MPa Área del cable = 9.05 x 10^ (-5) m^2 Diámetro del cable = 12.4 mm Ep = 180000 MPa Refuerzo ordinario fy = 420 MPa

154

Las fuerzas efectivas son Para la Armadura presforzada: Pe = 1.0279 MN fpe = 1135.8 MPa wu = 0.06 MN/m

1.20 m

15.00 m

El gráfico de cortante Vu es: 0.45 MN 0.414 MN

Vu (en la cara del apoyo) = 0.06 x 15 / 2 = 0.45 MN Vu (a h/2 de la cara del apoyo) = 0.45 – 0.06 x 1.20 / 2) = 0.414 MN

h/2

1- Se determina el cortante requerido Vu /  a una distancia de h / 2 de la cara del apoyo,  = 0.75 Vu /  = 0.414 / 0.75 = 0.552 MN 2- Se calcula el cortante que resiste el concreto según las siguientes fórmulas Cuando el PRESFORZADO efectivo (fpe) es mayor del 40% de la resistencia de todo el refuerzo a tracción por flexión (fpu): fpe = 1155.8 MPa fpu = 1650 MPa fpe > 0.4 fpu = 660 MPa Se cumple Utilizamos la siguiente fórmula ya que las cargas son uniformemente distribuidas Vc = [0.05( fc’) + (4.8 Vu dp / Mu)] bw de La cantidad Vu de / Mu no debe tomarse mayor de 1.0, en este caso: Vu de / Mu = 0.414 x 1.1 / 0.432 = 1.054, por lo cual lo tomaremos = 1.0 Vc = [(0.05 28 ) + (4.8 x 1.0)] 0.15 x 1.10 = 0.8686 MN > 0.4fc’ (bw de) = 0.3492 MPa Donde Vc no debe ser tomado menor que (0.16fc’) bw de = 0.1455 MN y no mayor que: 0.4fc’ (bw de) = 0.3492 MPa. como es mayor de 0.4fc’ (bw de) = 0.3492 MPa, se utiliza ese valor entonces Vc = 0.3492 MPa ni mayor que el valor dado en XV.6.2.1 La sección a una distancia h/2 de la cara del apoyo no está más cerca del extremo del elemento que la longitud de transferencia de los tendones de presfuerzo, por lo tanto no es necesario utilizar el presfuerzo reducido o XV.6.2.2, como los torones están adheridos, no se utiliza el presfuerzo reducido El valor (de) es la distancia desde la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo de PRESFORZADO= 1.1 m ó 0.8h = 0.8 x 1.2 = 0.96 m, cualquiera que sea mayor, por lo cual se tomó de = 1.1 m 3- Vu / = 0.414 / 0.75 = 0.552 MN > Vc / 2 = 0.3492 / 2 = 0.1746 MN, se necesita refuerzo a cortante Vu / = 0.552 MN > Vc = 0.3492 MN y Vs = (Vu / ) - Vc ≤ 0.4 √fc’ bw de = (0.552 - 0.349) = = 0.203 MN ≤ 0.4 √fc’ bw de = 0.4 x √28 x 0.15 x 1.1 = 0.3492 MN, se diseña el refuerzo a cortante (Vu / ) - Vc = 0.203 MN < 0.4 √fc’ bw de = 0.4 x √28 x 0.15 x 1.1 = 0.349 MN, por está condición no hay que aumentar la sección o si Vu >  (Vc + 0.4 √fc’ bw de). se tiene que aumentar la sección del elemento Vu = 0.414 MN

155

 (Vc + 0.4 √fc’ bw de) = 0.75 (0.3492 + 0.4 x √28 x 0.15 x 1.1) = 0.5238 MN Vu <  (Vc + 0.4 √fc’ bw de), no se necesita aumentar la sección 4- Se coloca el refuerzo mínimo de cortante El espaciamiento máximo es s ≤ 0.75 h ó 600 mm, el que sea menor 0.75 h = 0.75 x 1.2 =0.9 m > 0.6 m, entonces el espaciamiento máximo es smax = 0.6 m fpc ≥ 0.40 fpu, Se cumple, entonces Avmin = bw s / 3 fy = 0.15 x 0.6 / 3 x 420 = 0.0000714 m^2 Avmin = (Aps fpu s / 80 fy de) [√ (de / bw] Avmin = (9.05 x 10^ (-5) x 10 x 1680 x 0.6 / 80 x 420 x 1.1) (√ (0.96/ 0.15) = 0.0000623 m^2 5 –Se calcula el refuerzo a cortante y el espaciamiento (Vu / ) – Vc = 0.203 MN 0.33 √fc’ bw de / 3 = √28 x 0.15 x 1.1 = 0.2909 MN (Vu / ) – Vc < √fc’ bw de / 3 el espaciamiento es el requerido por el paso 6 6 –Se calcula el espaciamiento requerido con: s = Av fy de / [(Vu / ) – Vc] =  Av fy de / [(Vu / ) – Vc] ≤ 0.75 h ≤ 600 mm ≥ máximo del paso 4 En el primer tramo de 0.6 m, Con estribos de Av= 0.0001 m^2, dos patas Av = 0.0002 s1 = Av fy de / [(Vu / ) – Vc] = s1 = 0.0002 x 420 x 1.1 / [(0.414 / 0.75 - 0.3492] = 0.45 m En el siguiente tramo de 1 m Vu (a 1.60m de la cara del apoyo) = 0.414 – 1.0 x 0,06 = 0.354 m s1 = 0.0002 x 420 x 1.1 / [(0.354 / 0.75 - 0.3492] = 0.75 m > espaciamiento máximo que es 0.60 m Entonces se coloca en los primeros 0.6 m estribos a 0.35 m y en resto estribos a 0.6 m 1 @ 0.005 m

2 @ 0.35 m

@ 0.6 m

2 @ 0.35 m

1 @ 0.05

XV.8.1 PROBLEMAS PROPUESTOS Diseñar el refuerzo a cortante de la viga del EJEMPLO XV.7.7.1 La carga mayorada incluyendo carga muerta, viva y peso propio es 0.08 MN/m y la luz libre es 12 m

156

CAPÍTULO XVI

TORSIÓN INTRODUCCIÓN El diseño para Torsión según el Reglamento se basa en la analogía de una cercha espacial para un tubo de pared delgada, o sea, se considera que el elemento sólido se sustituye por un tubo con un espesor t, en el cual se desprecia el núcleo de concreto de la sección transversal del elemento

Línea media de la pared Núcleo que se desprecia t

Cuando el elemento de concreto reforzado se agrieta debido a la torsión, su resistencia torsional es provista por los estribos cerrados y las barras longitudinales ubicadas cerca de la superficie del elemento En la analogía del tubo de pared delgada se supone que la resistencia es proporcionada por la capa exterior de la sección transversal centrada aproximadamente en los estribos cerrados Se considera como flujo de cortante por torsión (q) en un tubo cerrado de paredes delgadas, al producto del esfuerzo cortante (τ) y el espesor (t), o sea, q = τ t, este flujo es constante en todos los puntos alrededor del perímetro y su trayectoria se extiende alrededor del tubo a mitad del espesor del tubo En cualquier punto a lo largo del perímetro del tubo, el esfuerzo cortante debido a torsión es: τ = T / (2 Ao t) La trayectoria del flujo de cortante sigue el plano medio de las paredes del tubo y Ao es el área encerrada por el plano medio de las paredes del tubo. En un elemento hueco con paredes continuas. Ao incluye el área del hueco. Un elemento hueco se define como aquel que posee uno o más vacíos longitudinales, como viga cajón de celda simple o múltiple. Los vacíos longitudinales pequeños, como ductos de postensado no inyectados que resultan con una relación Ag / Acp mayor o igual a 0.95 pueden ser ignorados La interacción entre la fisuración por torsión y la fisuración por cortante para secciones huecas se supone que varía desde una relación elíptica para elementos con vacíos pequeños hasta una relación lineal para secciones de paredes delgadas con grandes vacíos. Para interacción lineal, un torque de 0.25 Tcr provoca un reducción en el cortante por agrietamiento inclinado de alrededor del 25% Tcr- momento torsor de fisuración En los elementos lineales de concreto estructural sometidos a Torsión (Torsión Pura o Torsión combinada con Flexión) con esfuerzos normales y cortantes, conviene distinguir: -Los casos en los que la torsión sea una solicitación secundaria porque no sea necesaria para el equilibrio y las deformaciones angulares estén limitadas por disposiciones de la obra (Ej.: la viga extrema de apoyo de una losa) -Los casos en los que la torsión sea una solicitación importante necesaria para el equilibrio (Ej.: la viga de apoyo de una placa volada de gran luz)

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XVI.1. TORSIÓN COMO SOLICITACIÓN SECUNDARIA Se permite no considerar los efectos del momento torsor cuando el Momento Torsor de cálculo (Tu) es menor que: Tu <  (0.083λfc’) [(Acp) ^2 / Pcp] [1 + ( fpc/ 0.33λ fc’)] Tu debe estar expresada en unidades consistentes de fuerza por longitud Acp- área limitada por perímetro exterior de la sección de concreto.

XVI.1a

Para elementos fundidos monolíticamente con la placa, la zona a considerar de la placa para Acp y Pcp debe ser según lo siguiente:

hw < 4 hf

hw + 2h < bw + 8hf

hf hw hw

b = bw

bw

Pcp-perímetro exterior de la sección del elemento Para una sección hueca, se debe utilizar Ag en lugar de Acp y en los límites externos de la sección deben cumplir con lo expresado anteriormente para elementos fundidos monolíticamente Para elementos aislados con alas y para elementos construidos monolíticamente con una losa, el ancho sobresaliente del ala utilizado para calcular Acp y Pcp debe cumplir con la figura anterior, excepto que las alas sobresalientes puede despreciarse cuando el parámetro Acp^2 / Pcp calculado para una viga con alas es menor al calculado para la misma viga ignorando las alas fpc- esfuerzo en compresión del concreto debido únicamente a las fuerzas efectivas de presfuerzo (después de descontar todas pérdidas del presfuerzo) en la fibra extrema de la sección donde el esfuerzo de tracción es causado por cargas aplicadas externamente XVI.2. CÁLCULO DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO (Tu) La determinación de la torsión mayorada Tu debe realizarse de acuerdo con lo establecido en las siguientes secciones: XVI.2.1 Si el momento torsor actuante es mayor que el mínimo indicado en XXI.1.1 anteriormente, la sección debe ser diseñada para ese momento torsor XVI.2. 2 En una estructura estáticamente indeterminada, cuando pueda ocurrir una reducción de la torsión mayorada debida a la redistribución interna de fuerzas al ocurrir la fisuración, se permite reducir el máximo Momento Torsor (Tu) a: Para elementos sólidos PRESFORZADOS: Tu =  λ( fc’/3) [Acp^2 / Pcp] { 1 + (fpc / 3 λfc’)}

XVI.2 2a

Los momentos de flexión y las fuerzas cortantes redistribuidas a los elementos adyacentes deben utilizarse en el diseño de estos elementos. Para secciones huecas, Acp no debe ser reemplazado por Ag en XVI.2.2 2 A menos que se determine por medio de un análisis más exacto, se permite tomar la torsión proveniente de una losa, como una torsión uniformemente distribuida a lo largo del elemento Para elementos PRESFORZADOS: La sección localizada a una distancia menor que la distancia (h/2) desde la cara del soporte debe ser diseñada para un momento no menor que Tu calculado a una distancia de

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h/2. Si existe un momento torsor concentrado en esa distancia, la sección crítica debe ser la cara del soporte XVI.3 RESISTENCIA AL MOMENTO TORSOR Las dimensiones de una sección transversal se limitan por las siguientes razones La resistencia a torsión debe calcularse siguiendo los requisitos siguientes: 1) Para reducir la fisuración imperceptible 2) Para prevenir el aplastamiento de la superficie del concreto debido al esfuerzo inclinado de compresión producido por el cortante y la torsión XVI.3.1 DIMENSIONES DE LA SECCIÓN Las dimensiones de una sección transversal se limitan para reducir el agrietamiento y para prevenir el aplastamiento de la superficie del concreto debido al esfuerzo inclinado de compresión producido por el cortante debido a cortante y torsión Las dimensiones de la sección deben ser tales, que se cumplan las siguientes relaciones: a) Para secciones sólidas {[Vu / bw de] ^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh) ^2] ^2}   [ (Vc / bw de) + 2fc’ / 3] XVI.3.1a ph – perímetro definido por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentra más afuera en la sección del concreto b) Para elementos huecos : {(Vu / bw de) + (Tu ph / 1.7 (Aoh) ^2}   [(Vc /bw de) + 2fc’ /3] XVI.3.1b En las ecuaciones anteriores, los dos términos en el lado izquierdo corresponden a los esfuerzos cortantes debidos a cortante y torsión. La suma de estos esfuerzos no puede ser mayor que el esfuerzo que produce la fisuración por cortante más 2√fc’ / 3, similar a la resistencia límite para cortante sin torsión, y se puede utilizar para concreto PRESFORZADO y sin presfuerzo. No es necesario verificar el aplastamiento del alma dado que se produce con esfuerzos muchos mayores Si el espesor de la pared varía alrededor del perímetro, la anterior ecuación (XVI.3.1b) debe ser determinada cuando la parte izquierda de la ecuación es un máximo Si el grueso de la pared de una sección hueca es menor que (Aoh/ ph) el segundo término de la ecuación (XVI.3.1b) debe ser tomado como máximo : Tu / 1.7 Aoh t Vu-fuerza cortante de cálculo bw-ancho del alma o diámetro de una sección circular Aoh-área encerrada por la línea central del refuerzo transversal exterior Vc-cortante resistente de la sección de concreto t-espesor de la pared de las secciones huecas En una sección hueca, los esfuerzos cortantes debidos a cortante y a torsión se producen en las paredes del cajón como se muestra en la siguiente figura a), y por lo tanto se pueden sumar directamente en el punto A como se hace en la ecuación XVI.3.1b En una sección sólida los esfuerzos cortante debidos a torsión actúan en la sección “tubular” exterior, mientras que los esfuerzos cortantes debidos a Vu se reparten a través del ancho de la sección como se

159

B

A

B

A

C Esfuerzos Torsionales

C Esfuerzos de Corte

Esfuerzos Torsionales

Esfuerzos de Corte

a) Sección Hueca b) Sección Sólida muestra en la figura b). Por esta razón los esfuerzos se combinan en la ecuación XVI.3.1.1, utilizando la raíz cuadrada de la suma se los cuadrados en vez de la suma directa XVI.4. REFUERZO NECESARIO A TORSIÓN La resistencia nominal a la fluencia del acero no PRESFORZADO fy y fytno debe exceder de 420 MPa Cuando Tu excede la torsión crítica, el diseño de la sección debe basarse en: Tn  Tu XVI.4.1 Para el cálculo de Tn se supone que todo el torque es resistido por los estribos y el refuerzo longitudinal con Tc = 0. Pero la resistencia nominal a cortante del concreto Vc se supone que no cambia por la presencia de torsión Tn se obtiene por medio de: Tn = 2Ao At fyt cot / s XVI.4.2 Ao-área bruta encerrada por el flujo del cortante, debe determinarse por análisis, excepto que se permite tomar Ao igual a 0.85 Aoh At-área de una pata del estribo a torsión dentro una distancia (s) fyt-resistencia de cálculo del refuerzo a torsión -ángulo de la diagonal a compresión en el análisis de armadura para torsión s-espaciamiento del refuerzo transversal  debe ser tomado no menor de 30 grados y no mayor de 60 grados.

Puede permitirse tomar  igual a: 45 grados para elementos no PRESFORZADO para elementos con un PRESFORZADO menor que 40% de la resistencia del refuerzo longitudinal y 37.5 grados para elementos PRESFORZADOS con una fuerza igual o mayor de 40% de la fuerzo total del refuerzo longitudinal El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fy/fyl) (cot) ^2] / s

XVI.4.3

El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial que actúan en combinación con la torsión El refuerzo total de estribos es: [(Av + At) / s] = Av/s + 2At / s XVI.4.4 Av-área del refuerzo transversal para cortante dentro de una distancia (s) At-área de una pata del estribo a torsión Si un grupo de estribos tiene cuatro ramas para cortante, sólo las ramas adyacentes a los lados de la viga deben ser incluidas en la suma, dado que las ramas interiores no son efectivas para torsión Después del fisuramiento del concreto por torsión, la resistencia torsional proviene principalmente de los estribos cerrados, el refuerzo longitudinal y las diagonales de compresión. El concreto fuera de esos estribos es inefectivo. El área encerrada Ao por la trayectoria del flujo de cortante alrededor del perímetro del tubo, se

160

define después del agrietamiento en términos Aoh el área encerrada por el eje del refuerzo transversal exterior por torsión En las siguientes figuras se muestra Aoh, que es el área rayada Aoh

XVI.5. REDUCCIÓN DEL REFUEZO LONGITUDINAL Se permite reducir el área del refuerzo longitudinal a torsión en la zona comprimida a flexión en una cantidad igual a Mu / 0.9 de fyl Mu-momento de cálculo actuando en la sección en combinación a Tu fyl-resistencia de cálculo del refuerzo longitudinal a torsión En elementos PRESFORZADO el refuerzo longitudinal incluyendo el PRESFORZADO debe resistir el momento mayorado más una fuerza adicional concéntrica de tracción igual a Al fyl, basada en la torsión mayorada en la sección El refuerzo longitudinal por flexión y torsión se deben determinar separadamente En la zona de tracción por flexión, el refuerzo longitudinal de torsión debe sumarse al de flexión En la zona de compresión a flexión, si la fuerza de tracción debido a la torsión es menor que la compresión en el concreto debido a la flexión, no es necesario colocar refuerzo longitudinal adicional.

En una viga presforzada, el esfuerzo en el acero Presforzado para el estado de resistencia nominal está entre fse y fy. Una parte de la fuerza Al fy puede ser resistida por una fuerza Aps Δfpt en el acero presforzado, donde Δfpt es la diferencia entre el esfuerzo que puede ser desarrollado en el torón en la sección bajo consideración y el esfuerzo requerido para resistir el momento de flexión en esa sección. El esfuerzo requerido para resistir el momento de flexión puede calcularse como: Mu / 0.9  dp Aps XVI.6 DETALLES DEL REFUERZO PARA TORSIÓN El refuerzo para torsión debe cumplir los siguientes requisitos: 1) El refuerzo debe consistir en refuerzo longitudinal en barras o tendones y uno o más de los siguientes tipos de refuerzo

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a) Estribos cerrados colocados perpendicularmente al eje del elemento, o b) Una caja cerrada de malla electro soldada con los alambres transversales colocados perpendicularmente al eje neutro, o c) En vigas no presforzada, refuerzo en espiral 2) El refuerzo transversal debe anclarse utilizando uno de los siguientes procedimientos: a) Un gancho de 135 grados alrededor del refuerzo longitudinal, o b) En las regiones donde el concreto que rodea el anclaje estar restringido contra descascaramiento por medio de un ala de la sección o losa, siguiendo los requisitos del Capítulo Desarrollo y Empalmes del Refuerzo 3) El refuerzo longitudinal para torsión debe desarrollar adecuadamente su resistencia a tracción en sus dos extremos 4) En las secciones huecas sometidas a torsión, la distancia medida desde el centro del refuerzo transversal hasta la cara interna de la pared no debe ser menor que 0.5 Aoh / pb pb- perímetro definido por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentra más afuera en la sección del concreto del concreto XVI.7 REFUERZO MÍNIMO PARA TORSIÓN Deben cumplirse las siguientes cantidades Una cantidad mínima de refuerzo debe ser provista en las regiones donde Tu excede los casos donde se puede no considerar Tu Donde el refuerzo a torsión es requerido, el área mínima del refuerzo transversal debe ser calculado con: (Av + 2At) = fc’ bw s / fyv / 16 ≥ bw s / 3 fys XVI.7a Donde el refuerzo a torsión es requerido, el área mínima del refuerzo longitudinal debe ser calculado con: Almin = [5 fc’ Acp] / 12 fyl] – At pb fys / s fyl XVI.7b Donde Atmin /s no debe ser tomado menor cero y At / s debe corresponder a la cantidad calculada del refuerzo por medio de la ecuación Tn = 2Ao At fyv cot / s XVI.3.2b, pero no menor que (bw / 6 fyv) fyv- Resistencia en el límite elástico del acero de los estribos cerrados XVI.8 ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO A TORSIÓN El espaciamiento del refuerzo para torsión debe cumplir los siguientes requisitos: a) El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el mayor pb / 8, ni 300 mm b) El refuerzo longitudinal requerido para torsión debe distribuirse alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una máxima separación entre barras de 300 mm Las barras longitudinales, o tendones de presfuerzo, deben colocarse por dentro de los estribos. Debe haber al menos una barra longitudinal, o tendón, en cada esquina del estribo. Las barras deben tener un diámetro por lo menos igual a 1/24 del espaciamiento entre estribos, pero no puede ser menores de barras No. 3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) c) El refuerzo de torsión, tanto longitudinal como transversal. debe llevarse por una distancia al menos igual a (bt + de) más allá del punto donde ya no se necesite teóricamente bt – ancho de aquella parte de la sección transversal del elemento que contiene los estribos cerrados que resisten a torsión

162

XVI.9 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO A TORSIÓN DE ELEMENTOS PRESFORZADO 1- Se determina la sección crítica y se calcula Tu La sección crítica está: Para elementos PRESFORZADO a una distancia h/2 de la cara del apoyo 2 - Se comprueba si la torsión puede no ser considerada: Si se cumple lo siguiente la torsión no se considera Para elementos sólidos PRESFORZADOS: Tu <  (fc’ / 12) [(Acp) ^2 / Pcp] [1 + ( fpc/ 0.33 fc’)] XVI.1a fpc- esfuerzo en compresión del concreto debido únicamente a las fuerzas efectivas de presfuerzo (después de descontar todas pérdidas del presfuerzo) en la fibra extrema de la sección donde el esfuerzo de tracción es causado por cargas aplicadas externamente 3- Se comprueba que la sección es satisfactoria con: a) Para secciones sólidas [Vu / bw de]^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh) ^2] ^2   [ (Vc / bw de) + 2fc’ / 3] b) Para elementos huecos: {(Vu / bw de) + (Tu ph / 1.7 (Aoh) ^2}   [(Vc /bw de) + 2fc’ /3] Si el espesor de la pared varía alrededor del perímetro, la anterior ecuación (XVI.3.1.2) debe ser determinada cuando la parte izquierda de la ecuación es un máximo Si el grueso de la pared de una sección hueca es menor que (Aoh/ ph) el segundo término de la ecuación (XVI.3.1.2) debe ser tomado como: Tu / 1.7 Aoh t 4- Se selecciona el refuerzo transversal necesario La resistencia nominal a la fluencia del acero no PRESFORZADO fy no debe exceder de 420 MPa El refuerzo requerido para torsión debe obtenerse de: Tn  Tu Tn = 2Ao At fyv cot / s XVI.4.2 Ao-área bruta encerrada por el flujo del cortante At-área de una pata del estribo a torsión dentro una distancia (s) fyv-resistencia de cálculo del refuerzo a torsión -ángulo de la diagonal a compresión en el análisis de armadura para torsión s-espaciamiento del refuerzo transversal Ao debe ser determinado por análisis, excepto que pueda permitirse tomar Ao igual a 0.85 Aoh  debe ser tomado no menor de 30 grados y no mayor de 60 grados.

Puede permitirse tomar  igual a: 45 grados para elementos no PRESFORZADO o para elementos con un PRESFORZADO menor que 40% de la resistencia del refuerzo longitudinal y 37.5 grados para elementos PRESFORZADOS con una fuerza igual o mayor de 40% de la fuerzo total del refuerzo longitudinal El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial El refuerzo transversal por cortante (Av) por unidad de longitud. Vu es cortante mayorado en la sección crítica. Vc el cortante nominal resistido por concreto en el alma y Vs es el cortante que debe resistir los estribos (Av / s) = Vs / (fy de) Vs = Vn – Vc Vc = (0.05√fc´ + 5 Vu de /Mu) bw de ≥ (0.17 √fc´ )bw de y menor que 0.4 √fc´ )bw de Vu de / Mu ≤ 1.0

163

El valor de Vn debe ser al menos igual a Vu /  El refuerzo total de estribos es: [(Av + At) / s] = Av / s + 2At / s (Av + At) / s ≥ 0.35 bw / fyt ó (Av + At) / s = (√fc´ / 16) (bw / fyt) cualquiera que sea mayor be, dp y s están en mm (Av + At) / s ≥ (Aps fpu / 80 fyt dp) √(dp / bw) Utilizando el menor de las dos condiciones 5 - Se selecciona el refuerzo longitudinal necesario con: El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fyv/fyl) (cot) ^2] / s El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial

6- Se Comprueba si se puede reducir el refuerzo longitudinal Se permite reducir el área del refuerzo longitudinal a torsión en la zona comprimida a flexión en una cantidad igual a Mu / 0.9 de fyl Mu-momento de cálculo actuando en la sección en combinación a Tu fyl-resistencia de cálculo del refuerzo longitudinal a torsión En elementos PRESFORZADO el refuerzo longitudinal incluyendo el PRESFORZADO debe resistir el momento de mayorado más una fuerza adicional concéntrica de tracción igual a Al fyl, basada en la torsión mayorada en la sección El refuerzo longitudinal por flexión y torsión se deben determinar separadamente En la zona de tracción por flexión, el refuerzo longitudinal de torsión debe sumarse al de flexión En la zona de compresión a flexión, si la fuerza de tracción debido a la torsión es menor que la compresión en el Concreto debido a la flexión, no es necesario colocar refuerzo longitudinal adicional.

7- Se comprueba el refuerzo mínimo Deben cumplirse las siguientes cantidades de refuerzo mínimo Una cantidad mínima de refuerzo debe ser provista en las regiones donde Tu excede los casos donde se puede no considerar Tu Donde el refuerzo a torsión es requerido, el área mínima del refuerzo transversal debe ser calculado con: XVI.7a Donde el refuerzo a torsión es requerido, la mínima área del refuerzo longitudinal debe ser calculado con: XVI.7b Donde Atmin /s no debe ser tomado menor cero y At / s debe corresponder a la cantidad calculada del refuerzo por medio de la ecuación Tn = 2Ao At fyv cot / s XVI.3.2.2, pero no menor que (bw / 6 fyv) 8- Se comprueba el espaciamiento del refuerzo El espaciamiento del refuerzo para torsión debe cumplir los siguientes requisitos: - El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el mayor pb / 8, ni 300 mm -El refuerzo longitudinal requerido para torsión debe distribuirse alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una máxima separación entre barras de 300 mm Las barras longitudinales, o tendones de presfuerzo, deben colocarse por dentro de los estribos. Debe haber al menos una barra longitudinal, o tendón, en cada esquina del estribo. Las barras deben tener un diámetro por lo menos igual a 1/24 del espaciamiento entre estribos, pero no puede ser menores de barras No. 3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) -El refuerzo de torsión, tanto longitudinal como transversal debe llevarse por una distancia al menos igual a (bt + de) más allá del punto donde ya no se necesite teóricamente

164

XVI.10 DISEÑO DE UN ELEMENTO PRESFORZADO SOMETIDO A CORTANTE Y TORSIÓN Sea la viga de la figura 0.3 m 0.2m

1.00 m

Ac = 0.21 m^2 cinf = csup = 0.4 m I = 0.019196 m^4 Sup = Sb = 0.04799 m³ r^2 = 0.07998 m^2 fc’ = 42 MPa L = 8.0 m

0.15 m

fpu = 1860 MPa fc´= 42 MPa fpy = 1580 MPa Pe = 1.3532 MN fse = 1054 MPa Pi = 1.6706 MN Eps = 200000 MPa 0.2 m dp= 0.70 m dp = 0.7 m p = 0.005346 e = 0.3 m Utilizando cables de 7 alambres con un área de 0.987 cm^2 13 cables (Aps = 12.831 cm^2) = 0.0012831 m^2 fy = fyt = 420 MPa para estribos Que está sometida a las siguientes cargas: En la parte superior de la viga (no produce momento torsor) Carga muerta superpuesta WDS = 0.04 MN / m Carga viva WL = 0.05 MN / m Carga de peso propio WD = 0.00576 MN / m Carga muerta superpuesta en el ala inferior WDS = 0.03 MN / m que produce un momento torsor de 0.01 MN-m / m Diseñe el refuerzo por cortante y torsión, que actúan conjuntamente Solución: Cargas mayoradas en la parte superior de la viga WDu = 1.2 x 0.00576 = 0.00691 MN / m WDSu = 1.2 x 0.04 = 0.048 MN / m WLu = 1.6 x 0.05 = 0.08 MN / m En el ala inferior WDSuinf= 1.2 x 0.03 = 0.036 MN / m Cortante Cargas en la parte superior WDu + WDSu + WLu = 0.13491 MN / m Cortante por la carga en la parte superior Vu = 0.13491 x 8 / 2 = 0.53964 MN Vu = 0.5396 MN

Vu = 0.2698 MN

2h = 2.0 m 4.0 m

Cortante por la carga en la parte inferior de la viga Vu = 0.036 x 8 / 2 = 0.144 MN

Vu = 0.144 MN

0.072 MN 2.0 m

165

4.0 El cortante Vu a tomar en cuenta en el apoyo es: 0.2698 + 0.144 = 0.4138 MN Y a una distancia 2h = 2.0 m del apoyo es = 0.2698 + 0.072 = 0.3418 MN Vu total = 0.4138 MN 0.3418 MN 2.0 m

Momento flector Mu = 0.17091 x 8² / 8 = 1.36728 MN-m 4.0 m

2.0 m

0.7556 MN- m 1.36728 MN-m Momento torsor Tu = 1.2 x 0.01 x 8 / 2 = 0.048 MN -m Tu = 0.048 MN/m 2h = 2.0 m

0.024 MN / m

4.0 m

Acp = 0.21 m^2

Pcp = 2.6 m

Aoh = 0.195 m²

ph = 2.2 m Ao = 0.85 x Aoh = 0.16575 m²

Si se cumple lo siguiente la torsión no se considera Para elementos sólidos PRESFORZADOS: Tu <  (fc’ / 12) [(Acp) ^2 / Pcp] [1 + ( fpc/ 0.33 fc’)] XVI.1a fpc- esfuerzo en compresión del concreto debido únicamente a las fuerzas efectivas de presfuerzo (después de descontar todas pérdidas del presfuerzo) en la fibra extrema de la sección donde el esfuerzo de tracción es causado por cargas aplicadas externamente fd = MD / Sb = (0.00576 x 8 / 8) / 0.04799 = 0.1200 MPa En la fibra extrema de la sección fpe = - [(Pe / Ac) + Pe e / Sb = - [(1.3532/ 0.21 ) + 1.3532 x 0.3 / 0.04799 = - 14.90 MPa Tu = 0.024 > 0.75 (42 / 12) [(0.21) ^2 / 2.6] [1 + (14.90/ 0.33 42 )] = 0.01938 MN / m Hay que considerar el momento torsor Se comprueba que la sección es satisfactoria con: a) Para secciones sólidas [Vu / bw de]^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh) ^2] ^2   [ (Vc / bw de) + 2fc’ / 3] fse = 1054 MPa 0.4 fpu = 0.4 x 1862 = 744 MPa Como fse > 0.4 fpu se puede utilizar Vc = [0.05 ( fc’) + (4.8 Vu dp / Mu)] bw de XVI.5.1 Vc = [0.05 ( 42) + (4.8 x 0.4138 x 0.7 / 0.7556)] 0.15 x 0.7 = 0.227 MN Donde Vc no debe ser tomado menor que (0.17 fc’) bw de y no mayor que 0.42fc’ (bw de) (0.17 fc’) bw de = 0.17 x 42 x 0.1 x 0.7 = 0.077 MN < 0.227 MN

166

0.42fc’ (bw de) = 0.42 42 x 0.1 x 0.7 = 0.1905 MN < 0.227MN por lo tanto Vc = 0.1905 MN [Vu / bw de]^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh) ^2] ^2   [ (Vc / bw de) + 2fc’ / 3] [0.3418 / 0.15 x 0.7]^2 + [(0.024 x 2.2 /1.7 (0.195) ^2] ^2  0.75[ (0.1905/ 0.15 x 0.7) + 242 / 3] 3.26  4.59

Se cumple, la sección es satisfactoria

Se selecciona el refuerzo transversal necesario El refuerzo requerido para torsión debe obtenerse de: Tn  Tu Tn = 2Ao At fyv cot / s XVI.4.2 At / s = Tn / 2Ao fyv cot Tn = Tu /  = 0.024 / 0.75 = 0.032 MN-m At / s = 0.032/ 2 x 0.16575 x 420 x cot 37.5° = 0.000176 m² = 1.768 cm² Comprobación si se necesita refuerzo a cortante Vu /  = 0.3418 / 0.75 = 0.4557 MN Vc / 2 = 0.1905 / 2 = 0.0952 MN Vu /  > Vu /  Se necesita refuerzo a cortante (Vu /) = 0.4557 MN > Vc = 0.1905 MN ComoVu /  > Vu /  Se necesita refuerzo a cortante Si (Vu /) > Vc y Vs = (Vu / ) - Vc ≤ 0.4 √fc’ bw de, se diseña el refuerzo a cortante Vs = (Vu / ) - Vc ≤ 0.4 √fc’ bw de Vs = (0.0.4557) - 0.1905 ≤ 0.4 √42 x 0.15 x 0.7 Vs = 0.2652 MN ≤ 0.2722 MN, Se puede diseñar el refuerzo a cortante (Av / s) = Vs / (fy de) = 0.2652 / 420 x 0.7 = 0.00090 m² = 9.02 cm² El refuerzo total de estribos es: [(Av + At) / s] = Av / s + 2At / s = 9.02 + 2 x 1.768 = 12.556 cm² (Av + At) / s ≥ 0.35 bw / fyt = 0.35 x 0.115 / 420 = 0.000125 m²= 1.25 cm² ó (Av + At) / s = (√fc´ / 16) (bw / fyt) = (√42 / 16) (0.15/ 420) = 0.000144 m² = 1.4466 cm² El mayor es (Av + At) / s = 1.4466 cm² (Av + At) / s ≥ (Aps fpu / 80 fyt dp) √(dp / bw) = = (0.0012831 x 1862 / 80 x 420 x 0.7) √(0.7/ 0.15) = 0.000073m² = 0.73 cm² Entonces [(Av + At) / s] = 12.556 cm² = 0.0012556 m² Utilizando No. 4 área de dos patas = 0.000258 m² s = 0.20 m Se debe comprobar el refuerzo mínimo 5 - Se selecciona el refuerzo longitudinal necesario con: El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fyv/fyl) (cot) ^2] / s Al = [0.000768 x 2.2 (420/420) (cot 37.5°) ^2] /s = 0.002196 m² / s = 0.01098 m² Al = 1.098 cm², una barra No. 4 = 1.29 cm² XVI.10 PROBLEMAS PROPUESTOS XVI.10.1 Sea la viga de la figura Utilizando cables de 7 alambres con un área de 0.987 cm^2 13 cables (Aps = 12.831 cm^2) = 0.0012831 m^2 fy = fyt = 420 MPa para estribos Que está sometida a las siguientes cargas: En la parte superior de la viga (no produce momento torsor) Carga muerta superpuesta WDS = 0.045 MN / m Carga viva WL = 0.04 MN / m Carga de peso propio WD = 0.00576 MN / m

167

Carga muerta superpuesta en el ala inferior WDS = 0.04 MN / m que produce un momento torsor de 0.015 MN-m / m Diseñe el refuerzo por cortante y torsión, que actúan conjuntamente

0.3 m 0.2m

1.00 m

Ac = 0.21 m^2 cinf = csup = 0.4 m I = 0.019196 m^4 Sup = Sb = 0.04799 m³ r^2 = 0.07998 m^2 fc’ = 42 MPa L = 8.0 m

0.15 m

0.2 m

fpu = 1860 MPa fpy = 1580 MPa Pe = 1.3532 MN Pi = 1.6706 MN dp= 0.70 m p = 0.005346

fc´= 42 MPa fse = 1054 MPa Eps = 200000 MPa dp = 0.7 m e = 0.3 m

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CAPÍTULO XVII VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS VIGAS PRESFORZADAS XVII.1 INTRODUCCIÓN El diseño de elementos PRESFORZADOS tiene una variabilidad de soluciones. Se debe determinar la forma, dimensiones, la cantidad y localización de los refuerzos (PRESFORZADO y no PRESFORZADO) y la magnitud de la fuerza de PRESFORZADO El diseño óptimo es la combinación de todas las variables que satisfagan todas las condiciones al mínimo costo. Por todo lo anterior es bastante dificultoso fijar reglas generales para obtener el diseño óptimo, sin embargo es posible dar algunas guías para facilitar al diseñador su trabajo.

XVII. 2 TIPOS DE SECCIONES Hay varios tipos de sección transversal que se utilizan entre ellas están: Rectangular, Sección I, T, Doble T, Sección Cajón, etc.

Cuando la viga se vacía en el lugar, normalmente se utiliza la sección rectangular. La sección rectangular no es muy eficiente en flexión. El peso propio de la sección rectangular es mucho mayor que la sección I y T para similar rigidez pero el encofrado es más económico.

La sección T invertida puede acomodar grandes fuerzas iniciales del presfuerzo en las fibras inferiores en la transferencia. Normalmente se utilizan en secciones compuestas, en la cual se vacía la losa superior. La sección compuesta es muy eficiente para momentos positivos Para elementos continuos, con momentos positivos y negativos, la sección I y la sección cajón son apropiadas XVII. 3 SECCIÓN INICIAL A continuación se dan varias recomendaciones para obtener el pre -dimensionamiento de la sección A) Basado en los requerimientos de servicio Para una sección sin grieta, el módulo de sección mínimo (Sb) requerido para satisfacer los esfuerzos límites en la sección crítica, en el momento de la transferencia y para carga total, considerando un valor de las pérdidas diferidas en %: Sb = Ib / yt = (Mt – γ MD) / (ft – γ fci) XVII.3.1 I-momento de inercia de la sección bruta yt – distancia desde el centro gravedad de la sección hasta la fibra superior Mt- momento causado por la carga total de servicio MD- momento del peso propio en la transferencia γ = (100 – pérdidas en porciento) ft- esfuerzo permisible a tracción del concreto con cargas de servicio ft = fr = 0.62 √fc’ fci- esfuerzo permisible de compresión en el concreto en la etapa inmediatamente después de la transferencia y antes de descontar las pérdidas fci = 0.6 fci’. En apoyo de elementos simplemente apoyados fci = 0.7 fci’ fci’- resistencia especificada a la compresión al momento del presfuerzo inicial, puede tomarse como: fci’ = 0.80 fc’, cuando el concreto es de fraguado rápido ó fci’ =0.75 fc’ en otros casos Para un elemento con presfuerzo completo (sin fisuración) teniendo un cable parabólico, el momento de inercia bruto: Ib ≥ β wt L^4 / Ec δmax XVII.3.2 β- Coeficiente de deformación = 5/384 para carga uniformemente distribuida, para elementos continuos depende de las condiciones de apoyo, para luces aproximadamente igualas se puede tomar el valor de β = 0.00716, para la luz extrema y 0.00468 las luces intermedias wt- carga total, sin considerar el peso propio L- luz de cálculo Ec- módulo de elasticidad del concreto δmax- deformación máxima permisible Para elementos agrietados parcialmente PRESFORZADO, el momento de inercia bruto Ib, puede obtenerse con: Ib ≥ 2 β wt L^4 / Ec δmax XVII.3.3

169

Ib-momento de inercia de la sección bruta yi – distancia desde el centroide de la sección hasta la fibra extrema inferior Mt- momento causado por la carga total de servicio MD- momento del peso propio en la transferencia B) Basado en los requerimientos de resistencia Para estimar la sección del elemento para presfuerzo parcial, considerando que el esfuerzo en el refuerzo de presfuerzo es igual a 0.9 fpu y brazo interno entre la fuerza de compresión del concreto y el refuerzo a tracción es z = 0.85 de: bw de^2 = Mu / 0.17  fc’ XVII.3.4 Mu- momento último (mayorado) Mu debe incluir el peso propio estimado bw – espesor de la viga en sección rectangular, y espesor del alma en viga T de- peralto efectivo de la sección Después de tener pre-seleccionada la sección, la fuerza inicial del presfuerzo y el área del refuerzo pueden ser obtenidas basándose en los requerimientos de servicio Varios criterios pueden ser adoptados: El presfuerzo requerido para causar descompresión (esfuerzo nulo en la fibra inferior extrema) en la sección de máximo momento bajo la carga muerta total El presfuerzo requerido para producir cero deformaciones bajo una parte de la carga externa Después de determinado el presfuerzo y satisfecho los requerimientos de servicio la cantidad de refuerzo no PRESFORZADO es determinado Es espesor del alma de la viga es determinado por cortante XVII.4 DISEÑO DE VIGA CON PRESFUERZO TOTAL Para el diseño, se debe escoger los valores permisibles para la transferencia y bajo la carga total, a fin de que no se produzcan grietas en todo momento (Véase ESFUERZOS ADMISIBLE EN EL CONCRETO PRESFORZADO A FLEXIÓN) A continuación se señala los valores principales: fti- esfuerzo de tracción permisible en el concreto en la etapa de transferencia: fti = √fci’ / 2 (6√fci’ en psi) en extremo de elementos simplemente apoyados, fti = √fci’ / 4 (3 √fci’ en psi) en otra localización ft- esfuerzo permisible a tracción del concreto con cargas de servicio ft = fr = 0.62 √fc’ fci- esfuerzo permisible de compresión en el concreto en la etapa inmediatamente después de la transferencia y antes de descontar las pérdidas fci = 0.6 fci’, en apoyo de simplemente apoyado fci = 0.7 fci’ fc- esfuerzo permisible a compresión en el concreto después de las pérdidas en la etapa de carga de servicio.

Para Clase U y T en elementos a flexión en cargas de servicios, basado en sección no agrietada y después de descontar todas las pérdidas (Pi - ∆P), no debe exceder: Esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido al presfuerzo más las cargas permanentes en el tiempo…………………………fc = 0.45 fc’ Cuando existen cargas vivas mantenidas en el tiempo y las cargas muertas y cargas vivas mantenidas en el tiempo son un porcentaje alto de la carga de servicio total de be utilizarse le valor de 0.45 fc’ fci’- resistencia especificada a la compresión al momento del presfuerzo inicial, puede tomarse como: fci’ = 0.80 fc’, cuando el concreto es de fraguado rápido ó fci’ =0.75 fc’ en otros casos Este tipo de elemento es necesario cuando se utiliza en estructuras bajo agua, como tanques o bajo el nivel del manto freático o elementos sometidos a esfuerzos de fatiga En estructuras de edificios, donde las luces no son muy grandes, este tipo de diseño no es muy económico y es preferible utilizar el presfuerzo parcial Después que la sección crítica ha sido proporcionada y que los estados límites de esfuerzo son satisfechos en todos los estados de carga se debe comprobar las pérdidas del presfuerzo, la deformación, flexión, cortante, torsión. Se debe diseñar la zona de anclaje

170

XVII.4.1 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO VIGA CON EXCENTRICIDAD VARIABLE Como una recomendación los siguientes pasos se deben seguir: 1- Se determinan las cargas sobre la viga en la transferencia y bajo las combinaciones de las cargas más severas para el estado de servicio. Se determinan los momentos en la sección crítica para los estados de transferencia (MD) y carga total en servicio (Mt) 2- Utilizando la siguiente fórmula para tendones con excentricidad variable se obtiene el mínimo módulo de la sección transversal en la sección crítica Sb = Ib / ysup = (Mt – γ MD) / (ft – γ fci) XVII.3.1 3- Se selecciona la deformación permisible δmax, por la cargas. Se comprueba con: Ib ≥ β wt L^4 / Ec δmax XVII.3.2 que es el momento de inercia bruto de la sección, se comprueba si el seleccionado en el paso 2 es adecuado 4- Asumiendo las Pérdidas del Presfuerzo, se determina la Fuerza Inicial del Presfuerzo (Pi), la Fuerza Efectiva (Pe) y la excentricidad máxima en la sección crítica con el siguiente procedimiento: Existen varios procedimientos para satisfacer los esfuerzos límites en el concreto, que incluyen métodos analíticos y gráficos, tales como: (Magnel 1954, Lin 1963, etc.)

En la transferencia, los esfuerzos en las fibras superiores no deben exceder el esfuerzo permisible a tracción fti, lo cual es: - (Pi / Ab) [1 – (Ab e / St)] – (MD / St) ≤ fti XVII.3.5 y tampoco el esfuerzo a compresión (negativa) en la fibra inferior debe ser mayor que fci: - (Pi / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (MD / Sb) ≤ fci XVII.3.6 recordar que fci es negativo A carga total de servicio (Mt), los esfuerzos a tracción en el borde inferior: - (Pe / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (Mt / Sb) ≤ ft XVII.3.7 Y en el borde superior los esfuerzos a compresión deben cumplir con: - (Pe / Ab) [1 - (Ab e / St)] - (Mt / St) ≤ fc XVII.3.8 Las ecuaciones

XVII.3.5 a XVII.3.8, pueden expresarse como (1/Pi) en función lineal de e:

La ecuación XVII.3.5 como: (1/Pi) ≥ [αt e - 1] / [Ab fti + (αt MD)] XVII.3. 9 La ecuación XVII.3.6 como: (1/Pi) ≥ [αb e + 1] / [ - Ab fci + (αb MD)] XVII.3. 10 La ecuación XVII.3.7 como: (1/Pe) ≤ [αb e + 1] / [ -Ab ft+ (αb Mt)] XVII.3. 11 La ecuación XVII.3.8 como: (1/Pe) ≤ [αt e - 1] / [Ab fc+ (αt Mt)] XVII.3. 12 en las ecuaciones anteriores fci y fc tienen valores negativos e- excentricidad del centro de gravedad de los tendones St = Ib / yt XVII.3.13 MD – momento de del peso propio del elemento Sb – Ib / yb XVII.3. 14 Mt – momento total de la carga de servicio Pe – presfuerzo efectivo αt = Ab / St XVII.3.15 αb = Ab / Sb XVII.3.16 Nota: En las ecuaciones anteriores XVII.3.9 a XVII.3.12, utilizar como unidades de longitud el mm, de esfuerzo el MPa, de momento flector N-mm Las ecuaciones XVII.3. 9 a XVII.3. 12 pueden dibujarse en un gráfico de (1 / Pi) contra e, tal como se muestra a continuación del Diagrama de diseño de Magnel

171

ecuación XVII.3. 9 (fti) (1 / Pi) x 10^ (-6) N^ (-1)

ecuación XVII.3. 12 (fc) ecuación XVII.3. 11 (ft) Pi mínimo

ecuación XVII.3.10 (fci) región aceptable

- 1 / αb

1 / αt

emax

excentricidad, e(mm)

Diagrama de diseño de Magnel La intercepción de cada línea con el eje horizontal es obtenido haciendo (1 / Pi) = 0 en cada ecuación. Cuando (1 / Pi) = 0, la excentricidad (e) es igual a (1 / αt) para ecuación XVII.3. 9 y ecuación XVII.3.12, para ecuación XVII.3.10 y ecuación XVII.3. 12, es (- 1 / αb) La zona en que las cuatros ecuaciones son satisfechas (indicada en línea gruesa en el gráfico) representa la combinación de Pi y e aceptable Se debe obtener el valor mínimo de costo del presfuerzo, lo cual se obtiene con Pi mínimo, lo cual corresponde al valor obtenido en la intercepción de las ecuaciones XVII.3. 9 y XVII.3.12 La máxima excentricidad emax, está determinada por el recubrimiento y el espaciamiento de los tendones El valor mínimo de Pi posible de obtener es sustituyendo emax en la ecuación XVII.3.11 El módulo de sección mínimo se obtiene con Sb = Ib / yt = (Mt – γ MD) / (ft – γ fci) XVII.3.17 γ = (100 – pérdidas en por ciento) Normalmente se asume que γ es de 0.75 a 0.85 cuando se utiliza acero de baja relajación. El valor de 0.75 es más apropiado para elementos con altos esfuerzos de compresión en el concreto a nivel del tendón, en estos elementos las pérdidas por fluencia son altas Cuando una sección es muy pequeña, la línea que representa la ecuación XVII.3.10, sobrepasará la representada por la ecuación XVII.3. 11 y no existirá región aceptable, de igual forma si la línea que representa a la ecuación XVII.3.9 es más alta que la línea que representa a la ecuación XVII.3.12, no existe región aceptable, con lo cual si las cuatro límites de esfuerzos no son satisfechos será necesario aumentar la sección Si el ángulo formado por las líneas que representan las ecuaciones XVII.3.10 y XVII.3.11 es amplio, la zona de aceptación es amplia y se puede obtener una sección más económica 5- Se determina el perfil del cable asumiendo las pérdidas por fricción según: CAPÍTULO COLOCACIÓN DE LA FUERZA DE PRESFORZADO A LO LARGO DEL ELEMENTO o el método que a continuación se describe: Después de tener determinado la fuerza de presfuerzo y la excentricidad en la sección crítica, se debe colocar el centro de gravedad de los tendones a lo largo del elemento con las siguientes ecuaciones: e = {(1/Pi) [Ab fti + (αt MD)] + 1} / αt

XVII.3.18

172

e = {(1/Pi) [- Ab fci + (αb MD)]} / αb XVII.3.19 e = ({(1/Pe) [-Ab ft+ (αb Mt)]} - 1) / αb XVII.3.20 e = ({(1/Pe) [Ab fc+ (αt Mt)]} + 1) / αt XVII.3.21 en las ecuaciones anteriores fci y fc tienen valores negativos Teniendo determinado Pi y Pe en la sección crítica, se estima la pérdida por fricción a lo largo del elemento y las fuerzas de PRESFORZADO en las secciones intermedias son calculadas.

En cada sección intermedia, la máxima excentricidad debe satisfacer las ecuaciones en la transferencia que son las ecuaciones XVII.3.18 y XVII.3.19 En cada sección intermedia, la mínima excentricidad debe satisfacer los esfuerzos límites de tracción y compresión en la etapa de carga total de servicio con las ecuaciones XVII.3.20 y XVII.3.21. De esta forma se establece una zona permisible donde se puede colocar los tendones, tal como se muestra en la siguiente figura Zona permisible Límite superior, cero tracciones

ecuaciones XVII.3.20 y XVII.3.21

Eje de simetría Línea inferior, cero tracciones ecuaciones XVII.3.18 y XVII.3.19 6- Se calcula las perdidas inmediatas y diferidas. Se debe asegurar que las pérdidas estimadas en los pasos anteriores son menores o concuerdan con las calculadas en este paso, si no, repita los pasos 4 y 5. Para los cálculos de las pérdidas véase el CAPÍTULO PÉRDIDAS DE LA FUERZA DEL PRESFUERZO 7- Se comprueba las deformaciones en la transferencia y en la etapa final bajo cargas máxima y mínimas. Si es necesario, considere al inclusión de refuerzo no PRESFORZADO para reducir la deformación a largo plazo (el refuerzo colocado en la zona superior de la sección reduce la deformación hacia abajo, el refuerzo colocado en la zona inferior reduce la flecha dependiente del tiempo). Ajuste la sección o el nivel del presfuerzo o ambos, si la deformación calculada es excesiva.

8- Compruebe la resistencia a flexión en el estado último en cada sección crítica. Si es necesario adicione refuerzo no PRESFORZADO, el cual incrementa la resistencia de la sección. Coloque refuerzo en la zona de compresión para aumentar la ductibilidad, si es requerido 9- Compruebe la resistencia a cortante y a torsión. Si es necesario coloque refuerzo del alma donde sea necesario 10- Diseñe la zona de anclaje 11-La durabilidad del elemento y la resistencia al fuego son usualmente satisfechas con una apropiada selección de la calidad del concreto y el recubrimiento de los refuerzos

173

XVII.4.2 EJEMPLO DE UNA VIGA CON PRESFUERZO TOTAL Una losa y una viga de un sistema de piso consisten de una viga postensionada. La viga tiene una sección T y es simplemente apoyada, con una luz de 20.0 m y espaciada a 3.0 m. La losa es de 0.15 m de espesor, continua de concreto reforzado. Reforzada en solo sentido de viga a viga. La viga debe ser diseñada para presfuerzo total (sin fisuras). El piso soporta una carga permanente de 1.5 kPa y una carga viva de 3.0 kPa. Los esfuerzos permisibles son los siguientes: fc’ = 35 MPa (peso normal) fpu = 1717 MPa (resistencia última especificada del tendón) fpy = 1463 MPa (resistencia en el punto de fluencia) esfuerzo en el gato = 1374 MPa ft = 4.14 MPa (esfuerzo máximo de tracción en el concreto con carga de servicio) fci’ = 0.8 fc’= - 28.0 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.64 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fti = √fci’/4= 1.32 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia fuera del apoyo fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (esfuerzo de compresión del concreto en la transferencia) en centro de la luz para viga simplemente apoyada fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas fc =- 0.6 fc’ = - 21.0 MPa (esfuerzo permisible del concreto con las cargas de servicio) Ec = 29000 MPa, Eci = 0.8 x 29000 = 23200 MPa Ep = 195000 MPa fpy / fpu = 1488 / 1860 = 0.8 3.0 m 0.15 m

0.3 m Hallemos los valores para considerar la viga T En la construcción con vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o de manera tal que se asegure su unión efectiva El ancho eficaz de la cabeza de compresión (bt) no debe exceder un cuarto de la luz de la viga b ≤ 1/4 de la luz de la viga b ≤ 20.0 / 4 = 5.0 m < 3.0 m Se cumple El ala efectiva (b1) que se proyecta hacia cada lado del alma no debe exceder: - 8 veces el espesor de la losa b1 ≤ 8 hf b1 ≤ 8 x 0.15 = 1.2 m -La mitad de la distancia hasta el alma siguiente b1 = b2 / 2 b1 = 2.7 / 2 = 1.35 m bt

b hf h b1 bw

b2

Debemos utilizar como b = 2 b1 + bw = 2 x 1.2 + 0.3 = 2.7 m 1- Momento en el centro de la viga Debido al peso propio Asumimos que la altura de la viga es L / 17 = 20.0 / 17 = 1.17 m, asumimos h = 1.2 m El peso del concreto 0.024 MN / m^3

174

La carga por peso propio es: 0.024 {3.0 x 0.15 + 0.3 (1.2 – 0.15)] = 0.01836 MN/m El momento por peso propio es MD = 0.01836 x 20.0^2 / 8 = 0.918 MN-m Debido a la carga permanente wcp = 0.0015 x 3.0 = 0.0045 MN/m Mcp = 0.0045 x 20.0^2 / 8 = 0.225 MN-m Debido a la carga viva wcv = 0.003 x 3 = 0.009 MN/m Mcv = 0.009 x 20.0^2 / 8 = 0.45 MN-m En la transferencia MD = 0.918 MN-m Bajo la carga total Mt = M D + Mcp + Mcv = 0.918 + 0.225 + 0.45 = 1.593 MN-m 2- Selección de la sección Consideremos las pérdidas del presfuerzo como 18% γ = 0.82 Con Sb = Ib / yt = (Mt – 0.82 x MD) / (ft – 0.8 fci) XVII.3.1 determinamos la sección necesaria Sb = Ib / yt = (1.593 – 0.82 x 0.918) / (4.14 – 0.82 x (-16.8)) Sb = 0.0469 m^3 La sección propuesta con: Ab = 0.72 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.14408 m^2 ks = r^2 / ys = 0.4269 m ki = r^2 / yi = 0.16705 m yi = 0.8625 m ys = 0.3375 m Ib = 0.10374 m^4 Sb = 0.1203 m^3 St = 0.2766 m^3 2.70 m 0.15 m

yi = 0.8625 m

0.3 m

Satisface Sb 3- Comprobemos los requerimientos de deformación La deformación se considera L/400 = 20.0 / 400 = 0.05 m Asumimos que el peso propio es balanceado por el presfuerzo La carga no balanceada es wcp + wcv = 0.0045 + 0.009 = 0.0135 MN/m Con el coeficiente multiplicador para deformación a largo tiempo λ = 3 wt = 0.0135 + 3 x 0.0045 = 0.027 MN/m Entonces el momento de inercia necesario es: I ≥ 5 wt L^4 / 384Ec δmax I ≥ 5 x 0.027 x 20^4 / 384 x 29000 x 0.05 = 0.0039 m^4 < Ig = 0.10373 m^4 4- Asumiendo las Pérdidas del Presfuerzo, se determina la Fuerza Inicial del Presfuerzo (Pi), la Fuerza Efectiva (Pe) y la excentricidad máxima en la sección crítica fpu = 1717 MPa fpy = 1463 MPa esfuerzo en el gato 0.8 fpu = 1374 MPa Consideremos que las pérdidas son 18% (γ = 0.82) fpe = 0.82 x 1374 = 0.82 x 11488 = 1126 MPa Con las siguientes ecuaciones hallamos la zona aceptable de Pi, Pe y e αt = Ab / St XVII.3.15 αt = 720000 / 276600000 = 0.002603 (1/ mm) αb = Ab / Sb XVII.3.16 αb = 720000 / 120300000 = 0.00703 (1/ mm) Con las ecuaciones siguientes hallamos el límite superior de la magnitud del presfuerzo en la transferencia: (1/Pi) ≥ [αt e - 1] / [ Ab fti + (αt MD)] XVII.3.9 (1/Pi) ≥ [0.002603 e - 1] / [720000 x 1.32 + (0.002603 x 891000000)] = (1/Pi) ≥ [0.002603 e - 1] / 3269673

175

Cuando 1/Pi = 0 Cuando e = 500 mm

e = 384.1 mm 1/Pi = 0.0922 N^ (-1)

(1/Pi) ≥ [αb e + 1] / [- Ab fci + (αb MD)] XVII.3.10 (1/Pi) ≥ [0.00703 e + 1] / [-720000 x (- 16.8) + (0.00703 x 891000000)]] (1/Pi) ≥ 0.00703 e + 1] / 18359730 Cuando 1/Pi = 0 e = - 142.2 mm Cuando e = 500 mm 1/Pi = 0.2459 N^ (-1) Con las ecuaciones siguientes hallamos el límite inferior de la magnitud del presfuerzo en la etapa de carga total de servicio: (1/Pe) ≤ [αb e + 1] / [-Ab ft+ (αb Mt)] XVII.3.11 (1/Pe) ≤ [0.00703 e + 1] / [-720000 x 4.14 + (0.00703 x 1593000000] (1/Pe) ≤ [0.00703 e + 1] / 8217990 Cuando 1/Pe = 0 e = - 142.24 mm Cuando e = 500 mm 1/Pe = 0.549 N^ (-1) (1/Pe) ≤ [αt e - 1] / [Ab fc+ (αt Mt)] XVII.3.12 (1/Pe) ≤ [0.002603 e - 1] / [720000 x (-21) + (0.002603 x 1593000000)] (1/Pe) ≤ [0.002603 e -1] / (- 10973421) Cuando 1/Pe = 0 e = 384.17 mm Cuando e = 500 mm 1/Pe = 0. 0274 N^ (-1) Cada una de las ecuaciones es dibujada en la siguiente figura

(1 / Pi) x 1^(-6) (N^(-1) ó 1/Pe 0.5

ecuación XVII.3.9 (fti)

ecuación XVII.3.11 0.4 Pi mínimo

0.3 ecuación XVII.3.10

0.2

0.1

ecuación XVII.3.12 (fc)

220 mm

400 300 - 1 / αb

200

100

100

200 1 / αt

300

400

500 emax

600

700 600 excentricidad, e (mm)

176

Diagrama de diseño de Magnel Asumimos que se necesitarán dos cables que se colocarán en dos ductos de 80 mm y con recubrimiento de 40 mm. La posición de los ductos son mostrados en la siguiente figura:

P/2 P

0

80 40

110 155 mm

P/2

0

80

100

40

emax = 0.8625 – 0.155 = 0.7075 m De la figura del diagrama de Magnel 1 / Pi = 0.32537 x 10^ (-6) N (-1) Pi = 3.073 MN Aps = Pi / 0.70 fpu = 3.073 / 0.70 x 1862 = 0.002357 m² fpi = 1303 MPa Probamos con cable de un área de = 0.00118 m^2 Pi = 0.00118 x 1303 = 1.53 MN Se necesita 3.4149 / 1.53 = 2.23 Cables en conductos de 80 mm Asumimos 2 cables con una fuerza de Pi = 1.53 x 2 = 3.06 MN con una excentricidad de 0.7 m Aps = 0.00236 m^2 5- Se determina el perfil del cable asumiendo las pérdidas por fricción según: COLOCACIÓN DE LA FUERZA DE PRESFORZADO A LO LARGO DEL ELEMENTO o el método que a continuación se describe: La sección propuesta es: Ab = 0.72 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.14408 m^2 ks = r^2 / ys = 0.4269 m ki = r^2 / yi = 0.16705 m yi = 0.8625 m ys = 0.3375 m Ib = 0.10374 m^4 Sb = 0.1203 m^3 St = 0.2766 m^3 Pi = 3.073 MN Pe = 2.52888 MN 2.70 m ys = 0.3375 m

0.15 m 0.7 m

yi = 0.8625

0 0 0.3 m

Teniendo determinado Pi y Pe en la sección crítica, se estima la pérdida por fricción a lo largo del elemento y las fuerzas de PRESFORZADO en las secciones intermedias son calculadas.

En cada sección intermedia, la máxima excentricidad debe satisfacer las ecuaciones en la transferencia que son las ecuaciones XVII.3.18 y XVII.3.19 En cada sección intermedia, la mínima excentricidad debe satisfacer los esfuerzos límites de tracción y compresión en la etapa de carga total de servicio con son las ecuaciones XVII.3.20 y XVII.3.21.

Como el elemento es simplemente apoyado, con carga uniformemente repartida y las pérdidas de fricción son pequeñas, un cable parabólico puede utilizarse. Primeramente estimamos las pérdidas en las secciones que se van a calcular. El cable se estirará de un solo lado. Se estima las pérdidas desde el gato al centro de la luz de 6 %. En la siguiente Tabla se muestra las pérdidas estimadas, la fuerza Pi, Pe, Mo, Mt, emax y emin, en varias secciones

177

Distancia desde el gato (mm)

0

5000

Pérdidas inmediatas estimadas (%) Pi (MN) Pe (MN)

15

12. 5

2.913 2.389

10000

15000

20000

10

10. 5

13

2.992 2.453

3.084 2.529

3.064 2.512

2.979 2.443

Mo (MN-m)

0

0.689

0.918

0.689

0

Mt (MN-m)

0

1.194

1.593

1.194

0

emax (m)

0.590

0.805*

0.855*

0.786*

0.577

emin (m)

- 0.147

0.314

0.462

0.173

- 0.316

*Estos valores sobrepasan el valor físico máximo que es 0.7 m Nota : los valores de emax y emin se obtienen con las siguientes ecuaciones: e = {(1/Pi) [Ab fti + (αt MD)] + 1} / αt XVII.3. 18 e = {(1/Pi) [- Ab fci + (αb MD)]} / αb XVII.3. 19 e = ({(1/Pe) [-Ab ft+ (αb Mt)]} - 1) / αb XVII.3. 20 e = ({(1/ 2389000) [-720000 x 4.14 + (0.00703 x 1194000000)]} - 1) / 0.00703

XVII.3.20

e = ({(1/Pe) [Ab fc+ (αt Mt)]} + 1) / αt XVII.3.21 en las ecuaciones anteriores fci y fc tienen valores negativos En la siguiente figura (no escala) se muestra la zona permisible (se ha dibujado la mitad de la sección) Zona permisible Límite superior, cero tracciones

- 0.147 ecuaciones XVII.3.20 y XVII.3.21 0.314 m 0.590 m 0.462 m 0.70 m 0.70 m Línea inferior, cero tracciones

ecuaciones XVII.3.18 y XVII.3.19 6- Se calcula las perdidas inmediatas y diferidas. Se debe asegurar que las pérdidas estimadas en los pasos anteriores son menores o concuerdan con las calculadas en este paso, si no, repita los pasos 4 y 5. Para el cálculo de las pérdidas del presfuerzo véase el CAPÍTULO XI PÉRDIDAS DE LA FUERZA DEL PRESFORZADO La pérdida total es: Pt = A + F + ES + Rib + Rd + CR + SH + DT

178

A) PERDIDAS INMEDIATAS ES –PÉRDIDAS POR EL ACORTAMIENTO DEL CONCRETO El cable superior se tensará primero, por lo cual sufrirá pérdidas por deformación elástica cuando el segundo cable sea tensado, la fuerza en cada cable es 1. 542 MN. La fuerza en el cable inferior causa un esfuerzo al nivel del cable superior de: fcir = - (1.542 / 0.72) - (1.542 x 0.76 x 0.66) / 0.10374 = - 9.6 MPa La pérdida en el cable superior es: ES = Kes Ep fcir / Eci Kes = 0.5 Para postesado donde la armadura son tensionada en orden secuencial con la misma tensión.

Eci- módulo de elasticidad del Concreto al momento de la transferencia ES = 0.5 x 195000 (-9.6) / 23200 = 40.34 MPa La fuerza de esta pérdida es: ES Ap = 0.00119 x 40.34 = 0.048 MN (3.1%) de la fuerza inicial La pérdida el cable inferior es cero F-PERDIDA POR FRICCIÓN Para un cable parabólico el cambio de la línea del presfuerzo entre el apoyo y el medio de la luz es:  = 4 e / L = 4 x 0.66 / 20.0 = 0.132 rad k (1 / m) = 0.003  (1 / rad) = 0.15 u = 0.2 La pérdida por fricción en el centro de la luz del cable superior es: F = Pi [k L+ u ]] F = 1.542 [0.003 x 10.0 + 0.2 x 0.15] = 0.092 MN El esfuerzo es 73.38 MPa Este valor es el 6.0 % d la fuerza inicial En el cable inferior es 4.92% de la fuerza inicial, el promedio es 5.46 % con F = 0.042 MN A- PERDIDA DEBIDAS AL DESLIZAMIENTO DEL ANCLAJE (α / 2) = 0.0546 x 1.542 / 10.0 = 0.0084 MN/m α = 0.0168 MN/m Ld = √ (2 Ep Aps a / α) = √ (2 x 195000 x 0.00118 x 0.006 / 0.0168) = 12.8 m Y la pérdida en el gato: A = α Ld = 0.0168 x 12.8 = 0.215 MN En el medio del elemento A = α [Ld – (L/2)] = 0.0168[12.8 – 10.0) = 0.047 MN ( 3.0%) esfuerzo 39.83 MPa La fuerza en el gato según el paso 4 es 3.4149 MN. Sumando la pérdida de acortamiento elástico, fricción y la pérdida de deslizamiento del anclaje, la fuerza requerida en el gato es: 3.4119 + 0.0048 +0.0042 + 0.047 = 3.47 MN En cada cable 3.47 / 2 = 1.735MN El esfuerzo en el gato es fp = 1.735 / 0.00118 = 1458 MPa = 0.85 fpu > 0.80 fpu (1.06% mayor del permitido) fpu = 1717 MPa El esfuerzo de esta pérdida es 40.41 MPa Como este cálculo es solamente un ejemplo de enseñanza, lo vamos a aceptar.

B) PÉRDIDAS DIFERIDAS Ri-PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO INSTANTÁNEO DEL TENDÓN Consideremos el tiempo de destensado de 8 horas fpy = 1463 MPa fpi = 1374 MPa Ri = {(log (t)) [(fpi / fpy) – 0.55]} fpi/ 10 Ri = {(log (8)) [(1374/ 1463) – 0.55]} 1374/ 10 = 48.28 MPa con torones de baja relajación: Ri = 48.28 / 4 = 12.07 MPa

179

CR -PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO Kcr = 1.6 Para postesado fcir = - (1.542 / 0.72) - (1.542 x 0.70 / 0.1203) = - 6.83 MPa fcds = Mds e / Ic = 0.225 x 0.7 / 0.10374 = 1.518 MPa Esta pérdida se puede calcular con la siguiente expresión: CR = n Kcr (fcir – fcds) = 6.724 x 1.6 (6.83 – 1.518) = 57.15 MPa SH -PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO La retracción por secado del concreto provoca una reducción en la deformación del acero del presfuerzo igual a la deformación que produce la retracción, lo cual se refleja en una disminución del esfuerzo en el refuerzo y constituye una componente importante de la pérdida del presfuerzo para todos los tipos de elementos de concreto PRESFORZADO. Para esta pérdida puede considerarse que la deformación unitaria del concreto por retracción es εc = 0.001 t = 3 días Ksh = 0.85 clima húmedo H = 90% V/S = 2.0 Esta pérdida puede calcularse con: SH = 8.2 x 10^(-6) Ksh Ep [1 – 0. 24 (V/S)] (100 – H) SH = 8.2 x 10^(-6) x 0.85 x 195000 [1 – 0. 24 (2.0)] (100 – 90) = 7.068 MPa DT- PÉRDIDAS POR DESVÍOS DE LOS TENDONES Esta pérdida lo debe dar el fabricante, en este caso es de 5.2 MPa Rd- PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DIFERIDO DEL TENDÓN Las pérdidas por relajación diferida después de la transferencia pueden calcularse con las siguientes ecuaciones: Para postensado: Rd = 140.6 – 0.3 F – 0.4 ES – 0.2 (SH + CR) Rd = 140.6 – 0.3 x 73.38 – 0.4 x 40.34 – 0.2 (7.068+ 57.15) = 89.60 MPa Como es acero de baja relajación Rd = 0.25 x 89.6 = 22.40 MPa -

También puede utilizarse la siguiente ecuación: Rd = 0.75 [Kre – J (ES + CR + SH)] C La pérdida total en el centro de la luz es: Pt = A + F + ES + Rib + Rd + CR + SH + DT Pt = 0.048 + 0.084 + 0.094 + 0.0285 + 0.1348 + 0.0167 + 0.053 = 0.459 MN (14.15 %) Las pérdidas estimadas fueron 18% = 0.555 MN La fuerza efectiva es: Pe = 3.243 – 0.45 = 2.784 MN en vez de 2.529 MN que se supuso Ahora debemos calcular las pérdidas en las otras secciones del elemento y así hallar los valores de Pe en cada sección (en este ejemplo no lo haremos) Ya tenemos la viga dimensionada con los siguientes datos: Ab = 0.72 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.14408 m^2 ks = r^2 / ys = 0.4269 m ki = r^2 / yi = 0.16705 m yi = 0.8625 m ys = 0.3375 m Ib = 0.10374 m^4 Sb = 0.1203 m^3 St = 0.2766 m^3 2.70 m 0.15 m

yi = 0.8625 m

0.3 m

Pe = 2.784 MN e = 0.7 m Aps = 0.00236 m^2 = 2360 mm^2

Comprobemos los esfuerzos en la sección para la etapa de transferencia y a carga total En la transferencia, los esfuerzos en las fibras superiores no deben exceder el esfuerzo permisible a tracción fti, lo cual es: - (Pi / Ab) [1 – (Ab e / St)] – (MD / St) ≤ fti XVII.3.5

180

- (3.243 / 0.72) [1 – (0.72 x 0.7 / 0.2766)] – (0.918/ 0.2766) = 0.384 MPa (T) < fti = 1.32 MPa T significa tracción Se cumple y tampoco el esfuerzo a compresión (negativa) en la fibra inferior debe ser mayor que fci: - (Pi / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (MD / Sb) ≤ fci XVII.3.6 recordar que fci es negativo - (3.06 / 0.72) [1 + (0.72 x 0.7 / 0.1203)] + (0.918 / 0.1203) = - 15.74 MPa (C) < fci = - 16.8 MPa C significa compresión Se cumple A carga total de servicio (Mt), los esfuerzos a tracción en el borde inferior: - (Pe / Ab) [1 + (AB e / Sb)] + (Mt / Sb) ≤ ft XVII.3.7 - (2.784 / 0.72) [1 + (0.72 x 0.7 / 0.1203)] + (1.593 / 0.1203) = - 6.263 MPa (C) < ft = 4.14 MPa También es menor que fc = - 21.0 MPa Se cumple y en el borde superior los esfuerzos a compresión deben cumplir con: - (Pe / Ab) [1 - (Ab e / St)] - (Mt / St) ≤ fc XVII.3.8 - (2.784 / 0.72) [1 - (0.72 x 0.7 / 0.2766)] - (1.593 / 0.2766) = - 2.644 MPa < fc = - 21.0 MPa Se cumple Como La sección está a compresión o a un esfuerzo a tracción menor que fti = 1.32 MPa no es necesario comprobar la fisuración De igual forma debe comprobarse en las otras secciones del elemento 7- Se comprueba las deformaciones en la transferencia y en la etapa final bajo cargas máxima y mínimas Las deformaciones (flechas) se calculan según DEFORMACIÓN PARA ELEMENTOS REFORZADO CON ACERO PRESFORZADO La deformación total (∆t) se obtiene según la siguiente expresión ∆t = A + B + C + D + F +G + H + I A) Debido a la excentricidad de la fuerza de PRESFORZADO, se produce una contra flecha (po) en el elemento, la cual se calcula con la siguiente fórmula: -po = Pi l^2 / 48 Eci – para cables parabólicos -po = 3.213 x 20.0^2 / 48 x 23200 = - 0.001154 m A= - po (contra flecha debido al momento de PRESFORZADO inicial después de las pérdidas elásticas) Pi = 3.06 MN l-luz de cálculo = 20.0m e – excentricidad (distancia entre el centro de gravedad del elemento y el centro de gravedad del PRESFORZADO = 0.7m Eci- Módulo de elasticidad inicial del concreto = 23200 MPa Ig –momento de inercia de la sección bruta = 0.10374 m^4 B) Por el peso propio se produce la deformación (pp) producto de esa carga B = + pp (deformación inicial debida al peso propio del elemento) pp = 5 MD l^2 / 48 Eci Ig –para viga simplemente apoyada pp = 5 x 0.918 x 20.0^2 / 48 x 23200 x 0.10374 = 0.0158 m MD-momento en el centro de la luz debido al peso propio de la viga = 0.918 MN-m C) Debido a la fluencia se produce la contra flecha producto del PRESFORZADO C – contra flecha debido a la fluencia del elemento producto del momento del PRESFORZADO (incluyendo la fluencia y las pérdidas del presfuerzo)

181

C = - pe = {-(Pu/Pi) + (kr Cu) [1 – (Pu/ 2 Pi)]} po - pe = {- (0.515) (3.06) + (1.0 x 2.0) [1 – (0.515 / 2 x 3.06)]} (- 0.001154) = - 0.0023 m Pu = 0.515 MN (del cálculos de las pérdidas) Pe – Fuerza de PRESFORZADO efectivo = 2.728 MN Se permite tomar Cu=2.0 As = 0, entonces kr= 1 / [1 + (As /Ap)] = 1 / [ 1 + 0 / Ap) = 1 Cuando kr = 1.0 y Pu = Pi – Pse los términos A y C pueden combinarse como -po -[-po + pe + Cu [(po + pe)/2]) = -pe – Cu [(po + pe)/2] A + C = - 0.0023 – 2[(-0.001154 + (-0.0023) / 2] = 0.0069 m D) Posteriormente se produce la deformación producto de la fluencia debido al peso propio (fpp) fpp -deformación debida a la fluencia producto del peso propio del elemento fpp = (kr Cu) pp = (1 x 2.0) 0.0158 = 0.0316 m E) Otra deformación que se produce es la deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga muerta (Icc) E = Icc (deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga muerta) Icc =5 Ms (l^2)/48Ec Ig para viga simplemente apoyada Icc = 5 x 0.225 (20.0^2) / 48 x 29000 x 0.10374 = 0.0031 m F) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta F- (fcc) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta fcc =(s kr Cu) E = (0.85 x 1.0 x 1.6) 0.0031 = 0.0042 m s= 0.85 para 3 semanas; 0.83 para un mes; 0.76 para dos meses; 0.74 para 3 meses, 0.71 para 4 meses (para cuando la carga muerta es colocada a la edad diferente a 20 días) G) Deformación inicial debida a la carga viva G=Icv (deformación inicial debida a la carga viva Icv= 5 M (l^2) / 48 Ec Ig - para viga simplemente apoyada y carga uniformemente repartida Icv= 5 x 0.45 (20.0^2) / 48 x 29000 x 0.10374 = 0.00623 m I) Deformación de fluencia de la carga viva I = fcv (deformación de fluencia de la carga viva) fcv= (Ms / M) Cu Icv = (0.45 / 1.593) 1.6 x 0.00623 = 0.00282 m Ms- momento por porción de la carga de viva = 0.45 MN-m ∆t La deformación total en el centro de la luz es: (A + C) + D + E + F + G + H + I ∆t = 0.0069 + 0.0158 + 0.0316 + 0.0031 + 0.0042 + 00623 + 0.00282 = 0.071 m = 7.06 cm deformación permisible es L / 180 = 20.0 / 180 = 0.11 m = 11 cm > ∆t = 7.06 cm Se cumple

La

8- Compruebe la resistencia a flexión en el estado último en cada sección crítica De los cálculos anteriores: fse = 1156 MPa fpu = 1717 MPa fpy = 1463 MPa fpy / fpu = 1463 / 1717 = 0.852 fse / fpu = 1156 / 1717 = 0.673 > 0.5 fpu, por lo tanto p- cuantía del refuerzo PRESFORZADO Aps / Ac = 0.00236 / 0.72 = 0.00327 A = [p (fpu /f c’) + (d/dp) ( - ’)] A = [0.00327 (1717 /35) + 0] = 0.16 p – Coeficiente para el tipo de tendón de presfuerzo

182

= 0.55 para fpy / fpu no menor de 0.80

XV.3. 6

fps = fpu {1 – (p / 1) A} fps = 1528 MPa

La altura (a) de la zona comprimida se obtiene igualando las fuerzas horizontales a = (Aps fps + Así fsi + Api fpi) / 0.85 bw fc’ ....... XVI. 8.15 a a = (0.00236 x 1528 + 0) / (0.85 x 2.7 x 35) = 0.0449 m < hf = 0.15 m Es viga rectangular con bw = 2.7 m z = dp – a/2 = 1.03 – 0.0449 / 2 = 1.015 m c = 0.0449 / 0.8 = 0.0561 p = 0.003 (de – c) / c = 0.003 (1.03 – 0.0561) / 0.0561 = 0.052 > 0.005 es tracción controlada y  = 0.9 El momento que resiste el acero es:  Mna=  (As fy + Aps fps) z  Mna = 0.9 (0+ 0.00236 x 1528) x 1.015 = 3.294 MN-m El momento último de las cargas es: Mu = 1.4D + 1.7L = 1.4 (M D + Mcp) + 1.7 (Mcv) = 1.4 (0.918 + 0.225) + 1.7 x 0.45 = 2.3652 MN-m  Mna > Mu Se cumple 9- Compruebe la resistencia a cortante y a torsión La sección solamente está sometida a cortante Ab = 0.72 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.14408 m^2 ks = r^2 / ys = 0.4269 m ki = r^2 / yi = 0.16705 m yb = 0.8625 m ys = 0.3375 m Ib = 0.10374 m^4 Sb = 0.1203 m^3 St = 0.2766 m^3 Pe = 2.728 MN fpe = (Pe / Ab) [1 + e yb / r^2) = (2.728 / 0.72) [1 + 0.4 x 0.8625 / 0.14408) = fpe = 12.86 MPa el centro de gravedad de los tendones estarán a 0.4 m del centro de gravedad de la sección, entonces: e= 0.4 m La carga mayorada (última) es: Cu = 1.4 (Cpp + Cp) + 1.7 Cv = 1.4 (0.01836 + 0.0045 + 1.7 x 0.009 = Cu = 0.0473 MN/m Vu = Cu (L / 2) = 0.0473 x 20.0 / 2 = 0.473 MN El cortante a h/2 del apoyo es: Longitud de apoyo más h/2 = (0.473 – 0.0473) (0.2 + 0.6) = 0.4352 MN Hallemos el cortante resistido por el concreto Para el agrietamiento por flexión –cortante, se utiliza la siguiente fórmula: Vc1 = (fc’ / 20) bw de + Vd + (Vi Mcre / Mmax)  (fc’ / 7) bw de Mcre = (Sb) (fc’ / 2 + fpe – fd) La carga del peso propio es 0.01836 MN/m El momento del peso propio (MD) a 0.8 m del centro del apoyo es: 0.01836 x 0.8 (20. 0 – 0.8) / 2 = MD = 0.141 MN-m fd = MD / Sb = 0.141 / 0.1203 = 1.172 MPa Mcre = (Sb) (fc’ / 2 + fpe – fd) = (0.1203) (35 / 2 + (12.86 – 1.172) = 1.762 MN-m Vd = 0.01836 (20.0 / 2 – 0.8) = 0.1689 MN La carga permanente cp = 0.0045 MN/m La carga viva cv= 0.009 MN/m cu = 0.0045 x 1.4 + 0.009 x 1.7 = 0.0216 MN-m El cortante mayorado en la sección debido a las cargas externas que ocurre simultáneamente con Max es Vi = cu (L/2 – x) 0.0216 (20.0 – 0.8) = 0.4147 MN y Max = cu x (L – x) / 2 = 0.0216 x 0.8 (20.0 – 0.8) / 2 = 0.1659 MN-m Vc1 = (fc’ / 20) bw de + Vd + (Vi Mcre / Mmax) = Vc1 = (35 / 20) x 0.3 x 0.7375 + 0.1689 + (0.4147 x 1.762/ 0.1659) = 4.639 MN (fc’ / 7) bw de = (35/ 7) x 0.3 x 0.7375 = 0.187 MN-m entonces Vc1 = 4.639 MN Por agrietamiento del alma La longitud de transferencia es Lt = fpe db / 21 V. 3. 2

183

Lt = fse db / 21 = 1156 x 0.0127 / 21 = 0.699 m < 0.8 m No hay reducción de Vp fpc = Pe / Ac = 2.728 / 0.72 = 3.789 MPa Vp = Pe tan φ = 2.7828 x tan 6.5 ˚ = 0.317 MN Vcw = 0.3 (fc’ + fpc) bw de + Vp Vcw = 0.3 (35 + 3.789) 0.3 x 0.7375 + 0.317 = 0.9611 MN Como Vcw es menor que Vc1 el valor de Vc = 0.9611 MN Vc = 0.75 x 0.9611 = 0.721 MN > Vu = 0.4325 MN (No necesita refuerzo por cortante) Vc / 2 = 0.75 x 0.9611 / 2 = 0.3604 < Vu 0.4325 MN Se tiene colocar refuerzo mínimo Colocaremos estribos de 3/8” espaciado a 0.50 m El gráfico de cortante es: Vu = 0.473 MN Vu = 0.4352 MN

a + h/2 = 0.8 m

10.0 m 9.8 m 10- Diseñe la zona de anclaje La fuerza en cada gato es Ppu = 1622 kN fci’ = 35 MPa Se colocarán dos anclajes simétricos espaciados a Dos anclajes simétricos

0.25 m x 0.25 m

Ppu =1622 kN 0.74 m

ha

0 0.3 m 1.2 m

Ppu = 1622 kN

0.3 m ha

0

0.3 m

d= 0.1

Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} d(estall) = 0.5 (h – 2e) 1- Comprobemos la compresión local detrás de la plancha Fb =  0.85 fci’ √ [(A2 / A) – 0.2] ≤ 1.7  fci’ A = 0.25 x 0.5 – 3.1461 x 0.1^2 / 4 = 0.0546 m^2 A2 = 0.5 x .5 = 0.25 m^2 Fb = 0.8 x 0.85 x 26.25 √ [(0.25/ 0.0546) – 0.2 = 37.357 MN ≤ 1.7  fci’ =1.7 x 0.8 x 26.25 = 35.7 MN Se utiliza Fb = 35.7 MN > Ppu = 1625 kN = 1.625 MN

184

Es aceptable 2- La fuerza de descaramiento para tendones cuyo centroide quede fuera del núcleo de la sección puede estimarse como el 2% de la fuerza de PRESFORZADO total mayorado, excepto para dispositivos de anclaje múltiple con espaciamiento de centro a centro mayor que 0.4 veces la altura de la sección Como los tendones quedan fuera del núcleo de la sección, la fuerza de descaramiento es: Fdesc = 0.02 Ppu Fdesc = 0.02 x 1.625 = 0.0325 MN cada una El área de refuerzo es Ades = Fdesc / fy = 0.000078 m^2 = 0.78 cm^2 1 barra No 3 = 0.71 cm^2. Se utiliza 4 barras No. 3 = 2.84 cm^2 3- Considerando el cable inferior solamente Es necesario considerar la zona de anclaje del primer tendón que se va a tensar, consideraremos que es el inferior.

La distancia d(estall) es: d(estall) = 0.5 (h – 2e) = 0.5 (1.2 – 2 x 0.3) = 0.3 m La fuerza de estallido es: Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} = 0.25 x 1.625 [1 – (0.25 / 1.2)} = 0.3216 MN El refuerzo necesario es: Testall / fy = 0.3216 / 420 = 0.000765 m^2 = 7.657 cm^2 (3 estribos de 1/2” en 0.3 m) 4- Considerando los dos cables La distancia d(estall) es: d(estall) = 0.5 (h – 2e) = 0.5 (1.2 – 2 x 0) = 0.6 m La fuerza de estallido es: Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} = 0.25 x 3.25 [1 – (0.25 / 1.2)} = 0.643 MN El refuerzo necesario es: Testall / fy = 0.643 / 420 = 0.001531m^2 = 15.31 cm^2 (6 estribos de 1/2”) colocados en 0.6 m 3 estribos de 1/2” en 0.3 m Dos anclajes simétricos

0.3

Ppu =1625 kN ha

Ppu = 1625 kN ha 6 estribos de 1/2” en 0.6 m

0.6 m

XVII.5 DISEÑO DE VIGA CON PRESFUERZO PARCIAL En las vigas parcialmente presforzada los esfuerzos en la transferencia deben satisfacer los esfuerzos permisibles, pero en la etapa de cargas totales se permite que la sección esté fisurada. Es muchas veces conveniente enfocar el diseño desde el punto de la carga última, en la misma forma que se realiza en elementos reforzados con refuerzo no PRESFORZADO Las ecuaciones Ib ≥ 2 β wt L^4 / Ec δmax XVII.3.3 bw de^2 ≥ Mu / 0.17  fc’ XVII.3.4

185

puede utilizarse para seleccionar la sección inicial Los requerimientos de servicios se pueden utilizar para determinar el valor del presfuerzo. Se puede seleccionar el límite de tracción para la carga adicional permanente o una porción del mismo. También se puede seleccionar una parte de la carga total para balancear el presfuerzo, en la cual de deformación es igual cero. Se debe calcular las pérdidas y el área del refuerzo se determina.

XVII.5.1 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE VIGAS CON PRESFUERZO PARCIAL 1- Se determinan las cargas sobre la viga en la transferencia y bajo las combinaciones de las cargas más severas para el estado de servicio. Se determinan los momentos en la sección crítica para los estados de transferencia (MD) y carga total en servicio (Mt). También se calcula el momento último (Mu) en la sección crítica 2- Utilizando la ecuación XVII.3.4 se determina la sección propuesta. Se debe observar si el eje neutro cae en el ala o en el alma en vigas T o I, a fin de considerar si la viga trabaja como T o I en vez se sección rectangular.

3- Con la fórmula XVII.3.3 se comprueba si la sección seleccionada en el paso 2 es adecuada. Se puede ajustar la sección si es necesario 4- Se determina la fuerza del presfuerzo y se selecciona la colocación del presfuerzo a lo largo del elemento, cumpliendo los requerimientos de servicio. es posible que no se permita tracciones bajo el requerimiento de una porción de la carga de servicio, tal como la carga muerta y también el criterio de diseño puede ser que no exista deformación 5- Se calcula las pérdidas totales y se debe asegurar que los requerimientos de servicio adoptados en el paso 4 y los esfuerzos límites en la transferencia son satisfechos.

6- Se diseña por resistencia última Se calcula el refuerzo no PRESFORZADO si es necesario para tener una adecuada resistencia 7- Se comprueba la fisuración y las deformaciones en la transferencia y a la caga total.

Un análisis de sección agrietada es usualmente requerido para determinar Ie y chequear el incremento el esfuerzo después de que reproduce el agrietamiento de la sección 8- Se diseña cortante y a torsión 9- Se diseña la zona de anclaje XVII.5.2 DISEÑO DE UNA VIGA PARCIALMENTE PRESFORZADA Diseñar la viga del ejemplo XVII.4.2 como una viga con presfuerzo parcial fc’ = 35 MPa (peso normal) fpu = 1717 MPa (resistencia última especificada del tendón) fpy = 1463 MPa (resistencia en el punto de fluencia) esfuerzo en el gato = 1374 MPa fci’ = 0.8 fc’= - 28.0 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.64 MPa ( esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fti = √fci’/4= 1.32 MPa ( esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia fuera del apoyo fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (esfuerzo de compresión del concreto en la transferencia) en centro de la luz para viga simplemente apoyada fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas Ec = 29000 MPa, Eci = 0.8 x 29000 = 23200 MPa Ep = 195000 MPa

fpy / fpu = 1488 / 1860 = 0.8

1- Momento en el centro de la viga para carga de servicio Debido al peso propio Asumimos que la altura de la viga es L / 17 = 20.0 / 17 = 1.17 m, asumimos h = 1.2 m El peso del concreto 0.024 MN / m^3 La carga por peso propio es: 0.024 {3.0 x 0.15 + 0.3 (1.2 – 0.15)] = 0.01836 MN/m El momento por peso propio es M D = 0.01836 x 20.0^2 / 8 = 0.918 MN-m Debido a la carga permanente wcp = 0.0015 x 3.0 = 0.0045 MN/m Mcp = 0.0045 x 20.0^2 / 8 = 0.225 MN-m Debido a la carga viva

186

wcv = 0.003 x 3 = 0.009 MN/m Mcv = 0.009 x 20.0^2 / 8 = 0.45 MN-m En la transferencia MD = 0.918 MN-m Bajo la carga total Mt = M D + Mcp + Mcv = 0.918 + 0.225 + 0.45 = 1.593 MN-m El momento último de las cargas es: Mu = 1.4D + 1.7L = 1.4 (M D + Mcp) + 1.7 (Mcv) = 1.4 (0.918 + 0.225) + 1.7 x 0.45 = 2.3652 MN-m Utilizando la ecuación XVII.3.4 se determina la sección propuesta. Se debe observar si el eje neutro cae en el ala o en el alma en vigas T o I, a fin de considerar si la viga trabaja como T o I en vez se sección rectangular bw de^2 ≥ Mu / 0.17  fc’ XVII.3.4 bw de^2 ≥ 2.3652 / 0.17 x 0.9 x 35 = 0.441 m^3 bw = 0.3 m de ≥ √ 0.441 / 0.3 = 1.21m Por deformación Ib ≥ 2 β wt L^4 / Ec δmax

XVII.3.3

β = 5/384 δmax = L / 180 = 20 / 180 = 0.11 m wt = Carga sin peso propio = 0.0045 + 0.009 = 0.0135 MN/m Ib ≥ 2 x 5 / 384 x 0.0135 x 20.0^4 / (29000 x 0.11) = 0.0176 m^4 Vamos a seleccionar la misma sección del Ejemplo XVII.4.2 que es: Ab = 0.72 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.14408 m^2 ks = r^2 / ys = 0.4269 m yi = 0.8625 m ys = 0.3375 m Ib = 0.10374 m^4 Sb = 0.1203 m^3 2.70 m

ki = r^2 / yi = 0.16705 m St = 0.2766 m^3

0.15 m

yi = 0.8625 m

0.3 m

4- Se determina la fuerza del presfuerzo y se selecciona la colocación del presfuerzo a lo largo del elemento, cumpliendo los requerimientos de servicio. es posible que no se permita tracciones bajo el requerimiento de una porción de la carga de servicio, tal como la carga muerta y también el criterio de diseño puede ser que no exista deformación Se utilizará un solo cable parabólico sin excentricidad en los apoyos y e = 0.83 m en el centro de la luz en ducto de 80 mm La fuerza para balancear la carga de 0.02 MN/m (que para sección con presfuerzo parcial es inicialmente asumido) Pe = w L^2 / 8 e = 0.02 x 20^2 / (8 x 0.83) = 1.20 MN Asumiendo que las pérdidas en el centro de la luz son 15%, se necesita Pi = 1.20 / 0.85 = 1.42 MN Aps = 1.42 / 1374 = 0.00103 m^2 = 1033 mm^2 Usando un cable de 7-alambre con 10 de 1/2”, Aps = 1000 mm^2 Pi = 1374 x 1000 / 1000000 = 1. 374 MN (4% menor) utilizaremos Poi = 1.374 MN, con Aps = 0.0001 m^2 y e = 0.83 m 5- Se calcula las pérdidas totales y se debe asegurar que los requerimientos de servicio adoptados en el paso 4 y los esfuerzos límites en la transferencia son satisfechos.

PERDIDAS INMEDIATAS ES –PÉRDIDAS POR EL ACORTAMIENTO DEL CONCRETO

187

El cable superior se tensará primero, por lo cual sufrirá pérdidas por deformación elástica cuando el segundo cable sea tensado, la fuerza en cada cable es 1.374 MN. La fuerza en el cable inferior causa un esfuerzo al nivel del cable superior de: fcir = - (1.374 / 0.72 ) - (1.374 x 0.8 x 0.825) / 0.10374 = - 11.05 MPa La pérdida en el cable superior es: ES = Kes Ep fcir / Eci Kes = 0.5 Para postesado donde la armadura son tensionada en orden secuencial con la misma tensión.

Eci- módulo de elasticidad del Concreto al momento de la transferencia ES = 0.5 x 195000 (-11.05 / 23200 = 46.42 MPa La fuerza de esta pérdida es: ES Ap = 0.001 x 46.42 = 0.0464 MN La pérdida el cable inferior es cero F-PERDIDA POR FRICCIÓN Para un cable parabólico el cambio de la línea del presfuerzo entre el apoyo y el medio de la luz es:  = 4 e / L = 4 x 0.83 / 10.0 = 0.097 rad k (1 / m) = 0.003  (1 / rad) = 0.097 u = 0.2 La pérdida por fricción en el centro de la luz del cable superior es: F = Pi [ k L+ u ] ] F = 1.374 [0.003 x 10.0 + 0.2 x 0.097] = 0.0679 MN A- PERDIDA DEBIDAS AL DESLIZAMIENTO DEL ANCLAJE (α / 2) = 0.0679 x 1.374 / 10.0 = 0.00932 MN/m α = 0.0186 MN/m Ld = √(2 Ep Aps a / α) = √(2 x 195000 x 0.001 x 0.006 / 0.0186) = 11.21 m Y la pérdida en el gato: A = α Ld = 0.012 x 18.87 = 0.226 MN En el medio del elemento A = α[Ld – (L/2)] = 0.0186[11.21 – 10.0) = 0.0225 MN B) PÉRDIDAS DIFERIDAS Ri-PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO INSTANTÁNEO DEL TENDÓN Consideremos el tiempo de destensado de 8 horas fpy = 1463 MPa fpoi = 1374 MPa Ri = {(log (t)) [(fpi / fpy) – 0.55]} fpi/ 10 Ri = {(log (8)) [(1374/ 1463) – 0.55]} 1374/ 10 = 48.28 MPa con torones de baja relajación: Ri = 48.28 / 4 = 12.07 MPa La fuerza es 12.07 x 0.001 = 0.0121 MN CR -PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO Kcr = 1.6 Para postesado fcir = - (1.374 / 0.72 ) - (1.374 x 0.83 / 0.1203) = - 11.38 MPa fcds = Mds e / Ic = 0.225 x 0.83 / 0.10374 = 1.800 MPa Esta pérdida se puede calcular con la siguiente expresión: CR = n Kcr (fcir – fcds) = 6.724 x 1.6 (11.38 – 1.800) = 103.65 MPa La fuerza es 103.65 x 0.001 = 0.103 MN SH -PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO La retracción por secado del concreto provoca una reducción en la deformación del acero del presfuerzo igual a la deformación que produce la retracción, lo cual se refleja en una disminución del esfuerzo en el refuerzo y constituye una componente importante de la pérdida del presfuerzo para todos los tipos de elementos de Concreto PRESFORZADO. Para esta pérdida puede considerarse que la deformación unitaria del Concreto por retracción es εc = 0.001 t = 3 días Ksh = 0.85 clima húmedo H = 90% V/S = 2.0 Esta pérdida puede calcularse con:

188

SH = 8.2 x 10^(-6) Ksh Ep [1 – 0. 24 (V/S)] (100 – H) SH = 8.2 x 10^(-6) x 0.85 x 195000 [1 – 0. 24 (2.0)] (100 – 90) = 7.068 MPa La fuerza es 7.068 x 0.001 = 0.0071 MN DT- PÉRDIDAS POR DESVÍOS DE LOS TENDONES Esta pérdida lo debe dar el fabricante, en este caso es de 5.2 MPa La fuerza es 5.2 x 0.001 = 0.0052 MN Rd- PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DIFERIDO DEL TENDÓN Las pérdidas por relajación diferida después de la transferencia pueden calcularse con las siguientes ecuaciones: Para postensado: Rd = 140.6 – 0.3 F – 0.4 ES – 0.2 (SH + CR) Rd = 140.6 – 0.3 x 87.0 – 0.4 x 46.4 – 0.2 (7.1+ 103.0) = 75.32 MPa Como es acero de baja relajación Rd = 0.25 x 75.32 = 18.83 MPa La fuerza es 18.83 x 0.001 = 0.0188 MN También puede utilizarse la siguiente ecuación: Rd = 0.75 [ Kre – J (ES + CR + SH)] C La pérdida total en el centro de la luz es: Pt = A + F + ES + Rib + Rd + CR + SH + DT Pt = 0.145 MN (es 14.5%) 6- Se diseña por resistencia última Se calcula el refuerzo no PRESFORZADO si es necesario para tener una adecuada resistencia La fuerza efectiva es: Pe = 1.374 – 0.0.145 = 1.228 MN Ahora debemos calcular las pérdidas en las otras secciones del elemento y así hallar los valores de Pe en cada sección (en este ejemplo no lo haremos) Ya tenemos la viga dimensionada con los siguientes datos: Ab = 0.72 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.14408 m^2 ks = r^2 / ys = 0.4269 m ki = r^2 / yi = 0.16705 m yi = 0.8625 m ys = 0.3375 m Ib = 0.10374 m^4 Sb = 0.1203 m^3 St = 0.2766 m^3 2.70 m 0.15 m

yi = 0.8625 m

0.3 m

Poi = 1.374 MN Pe = 1.228 MN e = 0.83 m Aps = 0.001 m^2 = 1000 mm^2

6- Se diseña por resistencia última Se calcula el refuerzo no PRESFORZADO si es necesario para tener una adecuada resistencia De los cálculos anteriores: fse = 1.228 MPa fpu = 1717MPa fpy / fpu = 1463 / 1717 = 0.852 fse / fpu = 1.228 / 1717 = 0.7152 > 0.5 fpu, por lo tanto

fpy = 1463 MPa

p- cuantía del refuerzo PRESFORZADO Aps / Ac = 0.001 / 0.72 = 0.00138 A = [p (fpu /f c’) + (d/dp) ( - ’)] A = [0.00138 (1717 / 35) + 0] = 0.0677 p – Coeficiente para el tipo de tendón de presfuerzo = 0.55 para fpy / fpu no menor de 0.80 XV.3. 6 fps = fpu {1 – (p / 1) A} fps = = 1637 MPa

La altura (a) de la zona comprimida se obtiene igualando las fuerzas horizontales a = (Aps fps + Así fsi + Api fpi) / 0.85 bw fc’ ....... XVI. 8.15 a

189

a = (0.001 x 1637 + 0 ) / (0.85 x 2.7 x 35) = 0.0204 m < hf = 0.15 m Es viga rectangular con bw = 2.7 m z = dp – a/2 = 1.167 – 0.0204 / 2 = 1.157 m c = 0.0204 / 0.8 = 0.0255 m p = 0.003 (de – c) / c = 0.003 (1.157 – 0.0255) / 0.0255 = 0.133 > 0.005 Es tracción controlada,  = 0.9 El momento que resiste el acero de PRESFORZADO es :  Mna=  (As fy + Aps fps) z  Mna = 0.9 (0+ 0.001 x 1637) x 1.157 = 1.70 MN-m El momento último de las cargas es: 2.3652 MN-m Debemos colocar refuerzo no PRESFORZADO Para que la zona de tracción resista se debe colocar el siguiente refuerzo: Aa = (Mu -  Mna) / fy z Aa = (2.3652 – 1.7) / 420 x 1.157 = 0.001369m^2 = 13.69 cm^2 La fuerza de tracción es: Ft = Aps fps + As fy = 0.001 x 1637 + 0.001369 x 420 = 1.94198 MN Fc = a b 0.85 fc’ = a x 2.7 x 0.85 x 35 = 80.325 a = Ft = 1.94198 MN y el nuevo valor de a es: a = 1.94198 / 80.325 = 0.02417 m c = 0.02417 / 0.8 = 0.03022 m p = 0.003 (de – c) / c = 0.003(1.157 – 0.03022) / 0.03022 = 0.1118 > 0.005 z = 1.157 – 0.02417 / 2 = 1.1449 m  Mna = 0.9 x 1.94198 x 1.1449 = 2.5325 MN-m > Mu = 2.3652 MN-m Se debe recalcular el valor del esfuerzo fps, ya que al calcular el valor de A = [p (fpu /f c’) + (d/dp) ( - ’)] XV.3 .2 no se consideraba refuerzo no PRESFORZADO, en este ejemplo no lo haremos, pero se debe hacer en un caso real 7-

Se comprueba la fisuración y las deformaciones.

Un análisis de sección agrietada es usualmente requerido para determinar Ie y chequear el incremento el esfuerzo después de que reproduce el agrietamiento de la sección El Reglamento no calcula el ancho de fisura, lo que hace es regular el espaciamiento del refuerzo para que no se produzcan fisuras indeseables El espaciamiento del refuerzo no PRESFORZADO más cercano a una superficie en tracción, s, no debe ser mayor que el dado por: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc, pero no mayor que 300(280 / fs) Nota: En la fórmula debe utilizarse fs en MPa y cc en mm, obteniendo s en mm El esfuerzo calculado fs (MPa) (psi) en el refuerzo más cercano a la cara en tracción para cargas de servicio debe obtenerse con base al momento no mayorado, se puede tomar fs = 2 fy / 3 El espaciamiento del refuerzo PRESFORZADO más cercano a una superficie a tracción, s, no debe exceder a: s = (2/3) 380(280 / ∆fps) – 2.5 cc Como este ejemplo tiene los dos tipos de refuerzo, lo calcularemos para los dos Para el refuerzo no PRESFORZADO, fs = 2 x 420 / 3 = 280 MPa s = 380(280 / 280) – 2.5 x 40 = 280 mm, pero no mayor que 300(280/280) = 300 mm y como se utiliza los dos tipos de refuerzo, entonces: 5/6 x 280 = 230 mm o sea, para refuerzo no PRESFORZADO tenemos smax = 230 mm Para el presfuerzo, se utiliza XVII.2.1a En la transferencia, el esfuerzo en la fibra superior es el siguiente: - (Pi / Ab) [1 – (Ab e / St)] – (MD / St) ≤ fti XVII.3.5 - (1.374 / 0.72) [1 – (0.72 x 0.83 / 0.2766)] – (0.918 / 0.2766) = -1.04 MPa (C) < fti = 1.32 MPa C significa Compresión Se cumple el esfuerzo en la fibra inferior es : - (Pi / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (MD / Sb) ≤ fci XVII.3.6 recordar que fci es negativo - (1.374 / 0.72) [1 + (0.72 x 0.83 / 0.1203)] + (0.918 / 0.1203) = - 3.75 MPa (C) < fci = - 16.8 MPa

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C significa compresión Se cumple A carga total de servicio (Mt), el esfuerzo en el borde inferior es: - (Pe / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (Mt / Sb) ≤ ft XVII.3.7 - (1.228 / 0.72) [1 + (0.72 x 0.83 / 0.1203)] + (1.593 / 0.1203) = 3.063 MPa (T) < ft = 4.14 MPa Es sección no fisurada (es Clase U) y no tiene requerimiento de fisuración, por lo cual se utiliza la del refuerzo no PRESFORZADO que es 230 mm y en el borde superior el esfuerzo es: - (Pe / Ab) [1 - (Ab e / St)] - (Mt / St) ≤ fc XVII.3.8 - (1.228 / 0.72) [1 - (0.72 x 0.83 / 0.2766)] - (1.593 / 0.2766) = - 3.78 MPa < fc = - 21.0 MPa Se cumple Conclusión: El refuerzo debe cumplir que s < 230 mm Las deformaciones (flechas) se calculan según DEFORMACIÓN PARA ELEMENTOS REFORZADO CON ACERO PRESFORZADO La deformación total (∆t) se obtiene según la siguiente expresión ∆t = A + B + C + D + F +G + H + I A) Debido a la excentricidad de la fuerza de PRESFORZADO, se produce una contra flecha (po) en el elemento, la cual se calcula con la siguiente fórmula: -po = Pi l^2 / 48 Eci – para cables parabólicos -po = 1.374 x 20.0^2 / 48 x 23200 = - 0.000493 m A= - po (contra flecha debido al momento de PRESFORZADO inicial después de las pérdidas elásticas) Pi = 1.374 MN l-luz de cálculo = 20.0m e – excentricidad (distancia entre el centro de gravedad del elemento y el centro de gravedad del PRESFORZADO = 0.83m Eci- Módulo de elasticidad inicial del concreto = 23200 MPa Ig –momento de inercia de la sección bruta = 0.10374 m^4 B) Por el peso propio se produce la deformación (pp) producto de esa carga B = + pp (deformación inicial debida al peso propio del elemento) pp = 5 MD l^2 / 48 Eci Ig –para viga simplemente apoyada pp = 5 x 0.918 x 20.0^2 / 48 x 23200 x 0.10374 = 0.0158 m MD-momento en el centro de la luz debido al peso propio de la viga = 0.918 MN-m C) Debido a la fluencia se produce la contra flecha producto del PRESFORZADO C – contra flecha debido a la fluencia del elemento producto del momento del PRESFORZADO (incluyendo la fluencia y las pérdidas del pretensado) C = - pe = {-(Pu/Pi) + (kr Cu) [1 – (Pu/ 2 Poi)]} po - pe = {- (0.146) /1.374) + (1.0 x 2.0) [1 – (0.146 / 2 x 1.374)]} (-0.000493) = - 0.00088 m Pu = 0.146 MN (del cálculos de las pérdidas) Se permite tomar Cu=2.0 As = 0, entonces kr= 1 / [1 + (As /Ap)] = 1 / [ 1 + 0 / Ap) = 1 Cuando kr = 1.0 y Pu = Pi – Pse los términos A y C pueden combinarse como -po -[-po + pe + Cu [(po + pe)/2]) = -pe – Cu [(po + pe)/2] A + C = - 0.000493 – 2[(-0.000493 + (-0.00088) / 2] = 0.00044 m

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D) Posteriormente se produce la deformación producto de la fluencia debido al peso propio (fpp) fpp -deformación debida a la fluencia producto del peso propio del elemento fpp = (kr Cu) pp = ( 1 x 2.0) 0.0158 = 0.0316 m E) Otra deformación que se produce es la deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga muerta (Icc) E = Icc (deformación inicial del elemento bajo la superposición de la carga muerta) Icc =5 Ms (l^2)/48Ec Ig para viga simplemente apoyada Icc = 5 x 0.225 (20.0^2) / 48 x 29000 x 0.10374 = 0.0031 m F) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta F- (fcc) Deformación de fluencia debida a la superposición de la carga muerta fcc =(s kr Cu) E = (0.85 x 1.0 x 1.6) 0.0031 = 0.0042 m s= 0.85 para 3 semanas; 0.83 para un mes; 0.76 para dos meses; 0.74 para 3 meses, 0.71 para 4 meses (para cuando la carga muerta es colocada a la edad diferente a 20 días) G) Deformación inicial debida a la carga viva G=Icv (deformación inicial debida a la carga viva Icv= 5 M (l^2) / 48 Ec Ig - para viga simplemente apoyada y carga uniformemente repartida Icv= 5 x 0.45 (20.0^2) / 48 x 29000 x 0.10374 = 0.00623 m I) Deformación de fluencia de la carga viva I = fcv (deformación de fluencia de la carga viva) fcv= (Ms / M) Cu Icv = (0.45 / 1.593) 1.6 x 0.00623 = 0.00282 m Ms- momento por porción de la carga de viva = 0.45 MN-m ∆t La deformación total en el centro de la luz es: (A + C) + D + E + F + G + H + I ∆t = 0.064 m La deformación permisible es L / 180 = 20.0 / 180 = 0.11 m > ∆t = 0.064 cm Se cumple 8- Compruebe la resistencia a cortante y a torsión La sección solamente está sometida a cortante Ab = 0.72 m^2 r^2 = Ib / Ab = 0.14408 m^2 ks = r^2 / ys = 0.4269 m ki = r^2 / yi = 0.16705 m yb = 0.8625 m ys = 0.3375 m Ib = 0.10374 m^4 Sb = 0.1203 m^3 St = 0.2766 m^3 Pi = 1.374 MN Pe = 1.228 MN La carga mayorada (última) es: Cu = 1.4 (Cpp + Cp) + 1.7 Cv = 1.4( 0.01836 + 0.0045 + 1.7 x 0.009 = CU = 0.0473 MN/m Vu = CU (L / 2) = 0.0473 x 20.0 / 2 = 0.473 MN El cortante a h/2 del apoyo es: Longitud de apoyo más h/2 = (0.473 – 0.0473) 0.2 + 0.6) = 0.4352 MN Hallemos el cortante resistido por el concreto Para el agrietamiento por flexión –cortante, se utiliza la siguiente fórmula: Vc1 = (fc’ / 20) bw de + Vd + (Vi Mcre / Mmax)  (fc’ / 7) bw de XX.6.2 Mcre = (Sb) ( fc’ / 2 + fpe – fd) XX.6.3 fpe = (Pe / Ab) [ 1 + e yb / r^2) = (1.228 / 0.72) [1 + 0.83 x 0.8625 / 0.14408) = 10.14 MPa La carga del peso propio es 0.01836 MN/m El momento del peso propio (MD) a 0.8 m del centro del apoyo es: 0.01836 x 0.8 (20. 0 – 0.8) / 2 = Mo = 0.141 MN-m fd = MD / Sb = 0.141 / 0.1203 = 1.172 MPa Mcre = (Sb) ( fc’ / 2 + (fpe – fd) = (0.1203) ( 35 / 2 + (10.14 – 1.172) = 1.435 MN-m Vd = 0.01836 (20.0 / 2 – 0.8) = 0.1689 MN

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La carga permanente cp = 0.0045 MN/m La carga viva cv= 0.009 MN/m cu = 0.0045 x 1.4 + 0.009 x 1.7 = 0.0216 MN-m El cortante mayorado en la sección debido a las cargas externas que ocurre simultáneamente con Max es Vi = cu (L/2 – x) 0.0216 (20.0 – 0.8) = 0.4147 MN y Max = cu x (L – x) / 2 = 0.0216 x 0.8 (20.0 – 0.8) / 2 = 0.1659 MN-m Vc1 = (fc’ / 20) bw de + Vd + (Vi Mcre / Mmax) = Vc1 = (35 / 20) x 0.3 x 0.83 + 0.1689 + (0.4147 x 1.435 / 0.1659) = 3.829 MN (fc’ / 7) bw de = (35/ 7) x 0.3 x 0.38 = 0.096 MN-m entonces Vc1 = 3.829 MN Por agrietamiento del alma La longitud de transferencia es Lt = fpe db / 21 V. 3. 2 Lt = fse db / 21 = 1228 x 0.0127 / 21 = 0.7426 m < 0.8 m No hay reducción de Vp fpc = Pe / Ac = 1.228 / 0.72 = 1.705 MPa Vp = Pe tan φ = 1.705 x tan 6.5 ˚ = 0.194 MN Vcw = 0.3 (fc’ + fpc) bw de + Vp XX.6 .4 Vcw = 0.3 (35 + 1.705) 0.3 x 1.12 + 0.194 = 0.9622 MN Como Vcw es menor que Vc1 el valor de Vc = 0.9622 MN Vc = 0.75 x 0.9622 = 0.721 MN > Vu = 0.4325 MN (No necesita refuerzo por cortante) Vc / 2 = 0.75 x 0.9622 / 2 = 0.3608 < Vu 0.4325 MN Se tiene colocar refuerzo mínimo Colocaremos estribos de 3/8” espaciado a 0.50 m El gráfico de cortante es: Vu = 0.473 MN Vu = 0.4352 MN

a + h/2 = 0.8 m

10.0 m 9.8 9- Diseñe la zona de anclaje La fuerza en el gato es Ppu = 1374 kN fci’ = 35 MPa

0.25 m x 0.25 m

0.6 m 0.3 m ha

1.2 m

Ppu = 1374 kN 0.3 m

193

0.3 m Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} d(estall) = 0.5 (h – 2e) 1- Comprobemos la compresión local detrás de la plancha Fb =  0.85 fci’ √[(A2 / A) – 0.2] ≤ 1.7  fci’ A = 0.25 x 0.5 – 3.1416 x 0.1^2 / 4 = 0.0546 m^2 A2 = 0.5 x 0.5 = 0.25 m^2 Fb = 0.8 x 0.85 x 26.25 √[(0.25/ 0.0546) – 0.2] = 37.357 MN ≤ 1.7  fci’ =1.7 x 0.8 x 26.25 = 35.7 MN Se utiliza Fb = 35.7 MN > Ppu = 1374 kN = 1.374 MN Es aceptable 2- La fuerza de descaramiento para tendones cuyo centroide quede fuera del núcleo de la sección puede estimarse como el 2% de la fuerza de PRESFORZADO total mayorado, excepto para dispositivos de anclaje múltiple con espaciamiento de centro a centro mayor que 0.4 veces la altura de la sección Como los tendones quedan fuera del núcleo de la sección, la fuerza de descaramiento es: Fdesc = 0.02 Ppu Fdesc = 0.02 x 1.374 = 0.02748 MN El área de refuerzo es Ades = Fdesc / fy = 0.0000654 m^2 = 0.65 cm^2 1 barra No 3 = 0.71 cm^2. Se utiliza 4 barras No. 3 = 2.84 cm^2 La distancia d(estall) es: d(estall) = 0.5 (h – 2e) = 0.5 (1.2 – 2 x 0) = 0.6 m La fuerza de estallido es: Testall = 0.25 Psu [1 – (a/h)} = 0.25 x 1.374 [1 – (0.25 / 1.2)} = 0.271 MN El refuerzo necesario es: Testall / fy = 0.271 / 420 = 0.000647 m^2 = 6.474 cm^2 (3 estribos de 1/2” en 0.6 m) XVII.6 PROBLEMAS PROPUESTOS XVII.6.1 DISEÑO DE VIGA CON PRESFUERZO TOTAL Y PARCIAL a) Diseñe la siguiente viga con presfuerzo total, b) Diseñe la viga con excentricidad constante c) Diseñe la viga con presfuerzo parcial Una losa y una viga de un sistema de piso consiste de una viga postensionada. La viga tiene una sección T y es simplemente apoyada, con una luz de 18.0.0 m y espaciada a 3.0 m. La losa es de 0.15 m de espesor, continua de concreto reforzado, reforzada en solo sentido de viga a viga. La viga debe ser diseñada para presfuerzo total (sin fisuras). El piso soporta una carga permanente de 1.5 kPa y una carga viva de 3.0 kPa. Los esfuerzos permisibles son los siguientes: fc’ = 35 MPa (peso normal) fpu = 1717 MPa (resistencia última especificada del tendón) fpy = 1463 MPa (resistencia en el punto de fluencia) esfuerzo en el gato = 1374 MPa ft = 4.14 MPa (esfuerzo máximo de tracción en el concreto con carga de servicio) fci’ = 0.8 fc’= - 28.0 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.64 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fti = √fci’/4= 1.32 MPa (esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia fuera del apoyo fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (esfuerzo de compresión del concreto en la transferencia) en centro de la luz para viga simplemente apoyada fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas fc =- 0.6 fc’ = - 21.0 MPa (esfuerzo permisible del Concreto con las cargas de servicio) Ec = 29000 MPa, Eci = 0.8 x 29000 = 23200 MPa Ep = 195000 MPa fpy / fpu = 1488 / 1860 = 0.8

194

CAPÍTULO XVIII VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS VIGAS PRESFORZADAS XVIII.1 INTRODUCCIÓN Las vigas continuas son ampliamente utilizadas en estructuras de concreto reforzados con acero ordinario (no PRESFORZADO), debido a que los momentos flectores son bastantes menores que en vigas simplemente apoyadas. En vigas presforzada también se utilizan, pero tienen el inconveniente, que debido a las inflexiones de los tendones, aumentan las pérdidas por fricción, aunque se reducen la cantidad de anclajes.

Hay dos categorías de continuidad en las vigas: a) Continuidad monolítica, donde todos los tendones son generalmente continuos a través de todas o casi todas las luces y todos los tendones son tensados desde un sitio Postensionado

cg

Los cables pueden ser también parabólicos b) Continuidad no monolítica , donde los elementos son utilizados como vigas simplemente apoyadas, donde la continuidad es impuesta en los apoyos a través de refuerzo colocados en el sitio Concreto colocado en sitio refuerzo ordinario (no PRESFORZADO)

cable pretesado

Elemento prefabricado

Esta solución es bastante simple Los pórticos y estructuras de concreto PRESFORZADOS donde haya continuidad deben diseñarse para que su comportamiento sea satisfactorio bajo condiciones de carga de servicio y para que además tengan una resistencia adecuada El comportamiento bajo condiciones de carga de servicio debe determinarse por medio de un análisis elástico, considerando las reacciones, momentos y fuerzas axiales producidas por el presfuerzo, flujo plástico, retracción de fraguado, cambios de temperatura, deformación axial, restricciones de los elementos estructurales conectados y asentamientos de la cimentación Los momentos que se utilicen para calcular la resistencia requerida deben ser la suma de los momentos debidos a las reacciones inducidas por el presfuerzo (con un Coeficiente de 1.0) y los momentos debidos a las cargas mayoradas de diseño. La suma de estos momentos puede ajustarse tal como se permite en XVIII.6

XVIII.2 EFECTOS DEL PRESFUERZO EN VIGAS CONTINUAS

195

La teoría elástica para estructura estáticamente indeterminada de elementos PRESFORZADOS puede aplicarse con suficiente seguridad en el estado último de resistencia y para las cargas de servicio, lo que quiere decir, que pueden considerar elementos homogéneos.

En los elementos PRESFORZADOS, la continuidad tiende a reducir los momentos flectores, pero el momento flector debido a la excentricidad de la fuerza de PRESFORZADO causa lo que denomina reacción secundaria (reacción hiperestática) y momento secundario de flexión. Esa reacción secundaria y momento secundario aumenta o disminuye, el efecto primario de la fuerza de presfuerzo. También los efectos de acortamiento elástico, fluencia, retracción son considerables La reacción hiperestática depende del valor de la fuerza del presfuerzo, la forma del apoyo, y la configuración de los tendones. Para una estructura que el tendón no causa reacción hiperestática se llama tendón concordante El momento inducido por el presfuerzo en una sección particular de una estructura estáticamente indeterminada, tiene dos componentes: a) El primer componente es el producto de la fuerza de presfuerzo (Pe), y su excentricidad desde el eje del centro de gravedad de la sección (e). El momento (Pe x e) es el momento primario b) El segundo componente, es el momento causado por la reacción secundaria, y se denomina momento secundario.

En forma similar, el cortante causado por el presfuerzo puede ser dividido en los componentes primarios y secundarios. La componente primaria es igual la fuerza del presfuerzo (Pe) por la pendiente (θ) del tendón en la sección considerada. Cuando se tiene tendones rectos (θ = 0) y la componente primaria es igual a 0 La componente secundaria es causada por la reacción hiperestática La resultante es la suma algebraica de la los efectos primarios y secundarios Como los efectos secundarios son causados por la reacción hiperestática en cada apoyo, los momentos secundarios siempre varía linealmente entre los apoyos y el cortante secundario es constante en cada luz En el diseño y análisis de elementos continuos se considera lo siguiente: a) La sección se considera elástica b) La secciones planas se mantienen planas a través del rango de las cargas considerada c) Los efectos de las cargas externas y el presfuerzo en el elemento pueden ser calculados en forma separada y sumándolos d) El valor de la excentricidad de la fuerza del presfuerzo es pequeña en comparación a la longitud del elemento, La componente horizontal de la fuerza del presfuerzo se asume igual a la fuerza del presfuerzo en cada sección Hay varios métodos de calcular los efectos secundarios, a continuación se describirán dos métodos, pero sin la deducción de las fórmulas, ya que esto es parte de la teoría de las estructuras: XVIII.3 MÉTODO DEL DESPLAZAMIENTO DEL APOYO Sea la viga de dos luces que se muestra en la siguiente figura, con cable parabólico y excentricidad el, en el apoyo central y en el centro de las luces: Entonces el momento primario es M1 = Pe e

XVIII.3.1

e1

e1

Suponemos que el apoyo central es removido y debido a la fuerza de presfuerzo Pe, la viga se deforma una

196

distancia ∆, como se muestra en la siguiente figura:

Pe

Pe ∆

Para que la viga vuelva a su posición original se le somete a una fuerza R, como se muestra a continuación: R

R/2

R/2

M2 (momento secundario)

Línea C Pe

Pe y = M2 / Pe

c g ó Línea T

El momento total es M3 = M1+ M2

XVIII.3.2

La desviación del tendón desde el centro de gravedad es: y = M2 / Pe XVIII.3.3 Pe- presfuerzo efectivo La nueva localización del tendón (e’) es determinado del momento neto M3 (e ‘) = e3 = M3 / Pe

XVIII.3.4

Los esfuerzos en el concreto debido al presfuerzo solamente en el apoyo intermedio son:

197

ft = - Pe / Ac [1 + (e’ yt / r^2)]

XVIII.3.5

fb = - Pe / Ac [1 - (e’ yb / r^2)]

XVIII.3.6

Los esfuerzos en el concreto debido al presfuerzo y al peso propio en el apoyo son: ft = - Pe / Ac [1 + (e’ yt / r^2)] + MD / St XVIII.3.7 fb = - Pe / Ac [1 - (e’ yb / r^2)] - MD / Sb XVIII.3.8 y utilizando M3 en las ecuaciones XVIII.3.7 y XVIII.3.8, el momento neto en la sección es M4 = M3 - MD y los esfuerzos en el apoyo donde los tendones están arriba del eje neutro son: ft = - Pe / Ac – M4 / St XVIII.3.9 fb = - Pe / Ac + M4 / Sb XVIII.3.10 Las ecuaciones XVIII.3.7 a XVIII.3.10 dan los mismos resultados donde quiere que se aplique en el apoyo, en la sección del medio de la luz, o cualquier otra sección a lo largo de la luz proveyendo el signo apropiado A continuación se realizara un ejemplo para aplicar el método de Desplazamiento del Apoyo Sea la viga de dos luces con presfuerzo adherido, con luces de 30.0 m. Pe = 1. 50 MN. Las dimensiones de la viga son, bw = 0.3 m y h = 1.0 m. Calcular los momentos primarios y secundarios debido al presfuerzo y los esfuerzos en el apoyo intermedio

0.2 m

0.3 m

30.0 m A

30.0 m B

C

El momento M1 es = Pe x e 0. 45 MN-m 0.45 MN-m M1

0.3 MN-m Figura No. 1 El momento M1 producto del presfuerzo causa una deformación hacia arriba en apoyo B. Esta deformación ∆b se puede obtener por el método de área-momento, tomando momento de las áreas

198

0.45 MN-m

A B 0.15 MN-m

0.3 MN-m

EI ∆b = [(0.45 + 0.15) (2 x 30.0 / 3)] 30.0 / 2 – [0.3 x 30.0 / 2] 30.0 x 2 / 3 = 90 MM- m^3 R deformación ∆b R/2

15 R

EI ∆b = 15R x 30.0 / 2 x 30. x 2 / 3 = 4500R MN-m^3 igualando 4500R = 90 Rb = 0.02 MN hacia abajo El momento secundario M2 es: Rb = 0.02 MN

60.0 m Rb / 2 = 0.01 MN

Rb / 2 = 0.01 MN

M2 0. 15 MN-m 0.3 MN-m

M3 = M1 + M2 0.3 MN-m 0.3 MN-m M3

0.6 MN-m yb = M2 / Pe= 0.3 / 1.5 = 0.2 m eb = 0.6 / 1.5 = 0.4 m (Excentricidad de la línea C) ed = M3 / Pe = 0.3 / 1.5 = 0.2 m

199

Línea C y posible nueva localización de línea cgs

eb = 0.4 m cg ed= 0.2 m

30.0 m

30.0 m

A B bw = 0.3 m y h = 1.0 m yt = yb = 1.0 / 2 = 0.5 m Ac = 0.3 x 1.0 = 0.3 m^2 eb = 0.4 m Ic = bw h^3 = 0.3 x 1.0^3 = 0.3 m^4 r^2 = Ic / Ac = 0.3 / 0.3 = 1.0 m^2 Los esfuerzos en el concreto debido al presfuerzo solamente en el apoyo intermedio son: ft = - Pe / Ac [1 + (e’ yt / r^2)] XVIII.3.5 ft = - 1.5 / 0.3 [1 + (0.4 x 0.5 / 1.0 = - 6 MPa

C

Compresión

fb = - Pe / Ac [1 - (e’ yb / r^2)] XVIII.3.6 fb = - 1.5 / 0.3 [1 - (0.4 x 0.5 / 1.0] = - 4 MPa Compresión Los esfuerzos en el concreto debido al presfuerzo y al peso propio en el apoyo son: Peso propio de la viga = 0.0072 MN/m MD = 0.648 MN-m St = Sb = 0.75 m^3 ft = - Pe / Ac [1 + (e’ yt / r^2)] + MD / St XVIII.3.7 ft = - 6 + 0.648 / 0.75 = - 5.136 MPa Compresión fb = - Pe / Ac [1 - (e’ yb / r^2)] - MD / Sb XVIII.3.8 fb = - 4 – 0.648 / 0.75 = - 4.864 MPa Compresión M4 = M3 – MD = 0.6 – 0.648 = - 0.048 MN-m y los esfuerzos en el apoyo donde los tendones están arriba del eje neutro son: ft = - Pe / Ac – M4 / St XVIII.3.9 ft = - 1. 5 / 0.3 – (- 0.648) / 0.75 = - 2.47 MPa fb = - Pe / Ac + M4 / Sb XVIII.3.10 fb = - 1.5 / 0.3 + (-0.648) / 0.75 = - 5.684 MP

XVIII.4 MÉTODO DE LA CARGA EQUIVALENTE Este método se basa en reemplazar los efectos de la fuerza de presfuerzo por una carga equivalente que produce el momento primario (M1). Figura (b)

200

Viga después del presfuerzo

Pe

Pe cg

(a) Momento primario M1 debido al presfuerzo

(b) Si el diagrama de cortante que causa el momento M1 es construido y la carga que produce este cortante es evaluado como la figura siguiente, la reacción R es igual que la reacción R del método del desplazamiento del apoyo Diagrama de cortante del momento M1

(c) Cargas para que se produzca el momento M1

R (d) Por las cargas de (d) se produce este diagrama de momento (M3)

M3

Este momento es el mismo que el momento neto M3 del método del desplazamiento del apoyo, entonces la excentricidad e3 = M3 / Pe La reacción R se obtiene de la figura (d) para determinar el momento secundario M2 causado por la reacción R La desviación de la línea C desde el centro de gravedad es y = M2 / Pe como el método del desplazamiento del apoyo El siguiente Ejemplo explicará este método Sea la viga que se calculó utilizando el método del desplazamiento del apoyo Sea la viga de dos luces con presfuerzo adherido, con luces de 30.0 m. Pe = 1. 50 MN. Las dimensiones de la viga son, bw = 0.3 m y h = 1.0 m. Calcular los momentos primarios y secundarios debido al presfuerzo y los esfuerzos en el apoyo intermedio

201

0.2 m

0.3 m

30.0 m

30.0 m

A

B

C

Como el tendón es parabólico, el valor de la carga equivalente es wb = 8 Pe eb / L^2 XVIII.3.11 eb- es la excentricidad de la fuerza de presfuerzo desde el centro de gravedad wb = 8 x 1. 5 x 0.4 / 30.0^2 = 0.00533 MN/m 0.00533 MN/m

A

B

C

Utilizando el método de Cross El momento de extremo fijo es MEF = wb L^2 / 12 = 0.00533 x 30^2 / 12 = 0.4 MN-m

Factor de distribución

1.0

0.5

0.5

MEF(MN-m)

+ 0.4 - 0.4

- 0.4 + 0.4 - 0.2 + 0.2

1.0 - 0.4 + 0.4

0 - 0.6 + 0.6 El momento en el apoyo B es 0.6 MN-m, el cual es el mismo que se obtuvo con el método del desplazamiento del apoyo M3 = M1 + M2 El momento primario el M1 de la figura No. 1 del Ejemplo anterior. Entonces el momento secundario M2 es M2 = M3 – M1, se obtienen los mismos resultados que el ejemplo anterior Todos los otros pasos son los mismos que los del método de desplazamiento del apoyo

XVIII.5 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS PRESFORZADA A continuación se relacionan los pasos a seguir en el diseño de vigas continuas presforzada 1- Determine las combinaciones de cargas a que está sometida la viga en la etapa de la transferencia y a carga de servicio. Estime los momentos máximos en la sección crítica, a fin de seleccionar la sección y el peso propio A continuación se muestran los Coeficientes de momentos y deformación de algunas vigas con luces iguales M = α w L^2 XVIII.5 .1 ∆ = β w L^4 / E I XVIII.5 .2 M- momento flector α- Coeficiente para momento E- módulo de elasticidad del concreto w- carga uniformemente repartida ∆- deformación I- momento de inercia de la sección L- luz β- Coeficiente para momento

202

w A

B L

A

αA = - 0.0833 βB = 1 / 384

w αC = - 0.125 βB = 2 / 384 A

B

C w

B

A αC = - 0.10 βD = 0.20 / 384 βB = / 2.65 / 384

A

B

C

D

C

w

A

B

B

A

w

C

D

C

B

A

αC = - 0.05 βD = - 1.0 / 160 βB = 3.80 / 384

w αC = - 0.05 βD = 2.60 / 384 A B C D C B A βB = - 1.0 / 320 Se determina las dimensiones de la viga en la sección crítica, se puede utilizar la siguiente fórmula, desde el punto de vista de la resistencia última y ductibilidad: bw de^2 = Mu / 0.17  fc’ XVII.3.4 El momento Mu debe incluir el peso propio del elemento El momento de Inercia se puede estimar utilizando las siguientes fórmulas: Para un elemento con presfuerzo completo (sin fisuración) teniendo un cable parabólico, el momento de inercia bruto: Ib ≥ β wt L^4 / Ec δmax XVII.3.2 β- Coeficiente de deformación = 5/384 para carga uniformemente distribuida, para elementos continuos depende de las condiciones de apoyo, para luces aproximadamente igualas se puede tomar el valor de β = 0.00716, para la luz extrema y 0.00468 las luces intermedias wt- carga total, sin considerar el peso propio L- luz de cálculo Ec- módulo de elasticidad del concreto δmax- deformación máxima permisible Para elementos agrietados parcialmente PRESFORZADO, el momento de inercia bruto Ib, puede obtenerse con: Ib ≥ 2 β wt L^4 / Ec δmax XVII.3.3 I-momento de inercia de la sección bruta yi – distancia desde el centroide de la sección hasta la fibra extrema inferior Mt- momento causado por la carga total de servicio MD- momento del peso propio en la transferencia Si se necesita presfuerzo completo se puede utilizar la fórmula siguiente: Sb = Ib / yt = (Mt – γ MD) / (ft – γ fci) XVII.3.1 2 – Se determina el momento flector y el cortante en la etapa de transferencia y bajo las cargas de servicio.

Debe ser incluido el peso propio del elemento, las cargas permanentes, la carga viva y la carga máxima y mínima de las cargas transitorias 3 – Determine por tanteo el valor de las fuerzas de presfuerzo y el perfil del tendón. Se debe utilizar un tendón idealizado que siga la forma del diagrama del momento flector de la carga balanceada, utilice la máxima excentricidad posible para disminuir la fuerza del presfuerzo.

203

Si se desea un presfuerzo total, se puede utilizar el diagrama de Magnel y el procedimiento del paso 4 de la Sección XVIII4.1. Si es necesario asuma que el perfil del tendón es concordante, o sea que no produzca reacción hiperestática. Si se utiliza el método de la carga balanceada, el valor máximo de la excentricidad es seleccionado en el centro de la luz y sobre cada apoyo interior. El valor requerido de la fuerza del PRESFORZADO para balancear una parte seleccionada de la carga aplicada wb es calculada de la fórmula wb = 8 Pe eb / L^2 XVIII.3.1, o sea, Pe = wb L^2 / 8 eb XVIII.3.1a Esta carga balanceada puede ser modificada después cuando se compruebe la resistencia y a carga de servicio sea realizado Determine la cantidad y el tamaño de los tendones y el tamaño del ducto 4- Redondee los picos del tendón idealizado en cada soporte interior con segmentos cortos cóncavo o converso de la siguiente forma: Sea el cable de la siguiente figura α2 L Parábola 3

D parábola 1

hi

A

C

e2

e1 B 1

parábola 2 α1 L

(1 – α1) L

2

L En la figura se ha indicado en los lugares donde el tendón se rectificará con parábolas, o sea, en B C y D colocando las parábolas 1, 2 y 3 respectivamente En la figura el punto de máxima excentricidad (e1) es B y está localizado a una distancia α1 L del apoyo 2 Las parábolas 1 y 2 tendrán cero pendiente en B. Habrá un punto de inflexión en C entre la parábola cóncava 2 y la conversa 3 a una distancia α2 L desde el apoyo 2. Las parábolas 2 y 3 tendrán la misma pendiente en C. En el punto D la excentricidad es e2 y la pendiente de la parábola 3 será 0 Por las ecuaciones de las pendientes de las parábolas 2 y 3 , se halla que: hi = (α1 / α2) (e1 + e2) XVIIII. 5 .3 El punto C será el punto de unión de las parábolas 2 y 3 θc = 2 (e1 + e2) / α1 L XVIII. 5 .4 La curvatura de cada una de los tres segmentos parabólicos respectivamente es: xp1 = (1 / R1) = 2 e1 / [(L^2) ( 1 – α1)^2] XVIII. 5 .5 Cóncava xp2 = (1 / R2) = 2(e1 + e2 – h1) / [(L^2) (α1 – α2) ^2] XVIII. 5 .6 Cóncava xp3 = (1 / R3) = 2(e1 + e2) / [(L^2) α1 α2] XVIII. 5 .7 Convexa R1, R2, R3- radio de curvatura de las parábolas 1,2 y 3 respectivamente La longitud de la parábola convexa 3, α2 L, debe ser seleccionado de tal forma que el radio de curvatura del tendón no sea menor que el mínimo recomendados por los Reglamentos. Cuando se utilicen tendones múltiples R debe ser mayor que 75 dd, donde dd es diámetro interior del ducto Determine la carga equivalente debido al presfuerzo y utilizando el método de Cross, determine el momento total causado por el presfuerzo en la transferencia y después de asumir las pérdidas diferidas. Restando el momento primario del momento total, se obtiene el momento secundario y determine la reacción hiperestática en cada apoyo 5- Se comprueba los esfuerzos en el concreto causado por el presfuerzo (incluyendo el primario y secundario efecto) y las cargas aplicadas pueden comprobarse en la transferencia y a carga de servicio Si la viga es de presfuerzo total, la fuerza del presfuerzo estimada en el paso 3 que se basó en que el cable era concordante y el momento secundario fue ignorado. Si el momento secundario es significante, los esfuerzos en este paso pueden no ser aceptables, por lo cual podría tener que variarse la fuerza del presfuerzo o su excentricidad.

6- Calcule las pérdidas del presfuerzo y compruebe su valor con las estimadas

204

7- Compruebe la resistencia de la viga a estado último de flexión en cada sección crítica. Si es necesario adicione refuerzo no PRESFORZADO en la zona de tracción y en la de compresión Se puede realizar alguna distribución de momento para disminuir los valores de los picos 8- Compruebe el cortante y torsión 9- Compruebe la fisuración 10- Compruebe las deformaciones en la transferencia y a carga de servicio Si la viga es parcialmente presforzada compruebe la fisuración Considere la inclusión de refuerzo no PRESFORZADO para reducir las deformaciones diferidas. Se puede ajustar la sección si la deformación es excesiva 11- Diseñe la zona de anclaje A continuación se realizará un Ejemplo explicativo: En este Ejemplo no se realizarán todos los cálculos, pero se indicará como realizarlos Sea una viga de cuatro luces. La viga tiene una sección T. Está sometida a una carga muerta de: 20 kN/m (no incluido el peso propio) y una carga viva también de 20 kN/m. La viga es presforzada por los gatos simultáneamente desde cada extremo. fc’ = 42 MPa fci’ = 33.6 MPa

A

B 20 m

C 30 m

D

E

30 m

20 m

Paso 1 y 2. El momento causado por la aplicación de las cargas debe ser primero calculado. Como la viga es simétrica, se puede construido del diagrama de momento que se expone a continuación, el cual es calculado para una carga unitaria de 1 kN/m 1 kN/m A

B 20 m

C 30 m

D 30 m

E 20 m

a) Caso 1 (1 kN/m en toda la viga) 0 A

- 63.2 + 23.4

B

- 80.9 + 40.6

C

- 63.2 + 40.6

0

D

+ 23.4

E

b) Caso 2 (1 kN/m en la luz AB sólo) - 21.7

A

+ 39.7

B

- 1.8 + 5.9 C

D

E

205

Caso 3 (1 kN/m en la luz B C sólo)

A

B

-

C

53.5

B

E

D

0

- 46.3

0 A

D

+ 63.0

C

+ 13.8

E

Considerando el peso propio de 18 kN/m, la carga muerta total es 38 kN/m La carga última es para la carga muerta 1.4 x 38 = 53.2 kN/m y la carga viva 1.7 x 20 = 34 kN/m El momento máximo se produce cuando la carga viva actúa en las luces BC y CD, utilizando los Coeficientes, tenemos Mu = 80.9 x 53.2 + (46.3 + 46.3) 34 = 7453 kN-m = 7.453 MN-m La dimensión de la sección la podemos estimar con: bw de^2 > Mu / 0.17  fc’ XVIII.3.4 bw de^2 = 7.453 / 0.17 x 0.9 x 42 = 1. 160 m^3 Probemos con bw = 0.7 m de^2 = 1.657 m^2 de = 1.287 m h = 1.4 m El espesor de la zona de compresión para que trabaje como viga rectangular es: hf = Mu / φ x 0.85 x β1 x j de fc. bw hf = 7.453 / 0.9 x 0.85 x 0.75 x 0.85 x 1.287 x 42 x 0.7 = 0.40 m El espesor del alma, lo estimamos en 0.3 m La sección propuesta se muestra en la siguiente página: Paso 3- Considerando ductos de 0.1 m y un recubrimiento de 0.04 m, la máxima excentricidad sobre un apoyo interior y en el medio de la luz es: emax = 0.7 -0.04 – 0.012 – (2/3 x 0.1) = 0.58 m (hBC) max = eb= 2 emax= 0.58 x 2 = 1.16m La carga balanceada la tomamos como el peso propio más como 60% de la carga permanente adicional wb =18.7 + 0.6 x 20 = 30.7 kN/m = 0.0307 MN/m 0.45 m Ac = 0.78 m^2 I = 0.1506 m^4 Sb = St = 0.215 m^3 Peso propio es 18.72 kN / m = 0.01872 MN/m 0.3 m 1.4 m

0.7 m

Con la siguiente ecuación Pe = wb L^2 / 8 eb XVIII.3.1a, hallamos la fuerza efectiva Pe(BC) = 0.0307 x 30^2 / 8 x 1.16 = 2.977 MN Considerando la pérdida de fricción entre punto medio de la luz BC y el punto medio de AB como el 15% (Pe) AB = 2.977 / 0.85 = 3.503 MN y en la luz AB, hAb = 0.0307 x 20^2 / 8 x 3.503 = 0.438 m La excentricidad en el medio de la luz es: eAb = hAB – emax / 2= 0.438 – 0.58 / 2 = 0.148 m El perfil idealizado del cable se muestra en la siguiente figura con la pendiente y pérdida de fricción (considerando u = 0.2 y βp = 0.01. La pérdida por fricción en el medio de la luz Ab es 17.3% y si las pérdidas diferidas se asume como 20%, la fuerza en el gato es: Pi = 2.977 / 0.827 x 0.8 = 4.50 MN

206

0.148 m

0.58 m

B C -0.1166 0.1547 0 -01547 0.1547 0.1752 0.4465 0.6012 0.7559 1.0653 promedio = 0.3109 promedio = 0.916 La 0 10 20 35 50 Po/ Poi 1.0 0.963 0.903 0.827 0.754 (Poi - A) Poi 0.8409 0.922 0.903 0.827 0.754 Pi (MN) 3.78 4.149 4.063 3.72 3.393 Pe (MN) 3.024 3.319 3.250 2.976 2.136 La fuerza máxima para alambre de 12.7 mm es 0.1564 MN. La cantidad mínima de cables es 4.50 / 0.1564 = 28.7. Probaremos dos cables con 15 alambre (Aps = 3000 mm^2) (0.003 m^2) Fuerza Total 4.692 MN La pérdida debida en el anclaje por 6 mm es 37 % ( / 2) = F( en %) Poi/ (L/2) ( / 2) = 0.037 x 4.50 / (20 / 2) = 0.01665 MN/m Lda = √(2 Ep Ap a/ α) XI.15.1 Lda = √ (2 x 195000 x 0.003 x 0.006 / 0.01665) = 20.53 m Y la pérdida en el gato debida al deslizamiento del anclaje es: A = α Ld XI.15.2 A = 2 x 0.01665 x 20.53 = 0.6836 MN ( 0.1519 Poi) y en el medio de la luz A = α (Lda – LAB / 2) = 2 x 0.01665 (20.53 – 10.0) = 0.35 MN El promedio del presfuerzo en la luz AB es 3.198 MN y no 3.503 MN como supusimos y en la luz AB, hAb = 0.0307 x 20^2 / 8 x 3.198 = 0.477998 m La excentricidad en el medio de la luz es: eAb = hAB – emax / 2= 0.477998 – 0.58 / 2 = 0.187 m Esto no causa un cambio significativo en las pérdidas por fricción Paso 4 – Ahora analizaremos la viga para la carga equivalente causada por el presfuerzo efectivo Los picos de los tendones sobre los apoyos B y C serán reemplazados por parábolas convexas Redondee los picos del tendón idealizado en cada soporte interior con segmentos cortos cóncavo o converso de la siguiente forma: Pendiente θ αtotal

A 0.0586 0

0.58 m

-0.029 0.0876

α2 L

Parábola 3

D parábola 1

hi

A

C e1= 0.187 m

e2 e2 = 0.58 m

B 1

parábola 2 α1 L

(1 – α1) L=

2

L

En la figura se ha indicado en los lugares donde el tendón se rectificará con parábolas, o sea, en B, C y D colocando las parábolas 1, 2 y 3 respectivamente En la figura el punto B tiene una excentricidad e1 = 0.187 m está localizado a una distancia α1 L del apoyo 2

207

Las parábolas 1 y 2 tendrán cero pendiente en B. Habrá un punto de inflexión en C entre la parábola cóncava 2 y la conversa 3 a una distancia α2 L desde el apoyo 2. Las parábolas 2 y 3 tendrán la misma pendiente en C. En el punto D la excentricidad es e2= 0.58 m y la pendiente de la parábola 3 será 0 Por las ecuaciones de las pendientes de las parábolas 2 y 3, se halla que: α1= 0.6 Considerando R3 = 8.0 m De XVIII.5.7 α2 = 2 R3 (e1 + e2) / [(L^2) α1] α2 = 2 x 8.0 (0.187 + 0.58) / [(20^2) x 0.6) = 0.051 El segmento del cable convexo se extiende por una distancia de α2 L = 0.051 x 20 = 1.022 m hi = (α2 / α1) (e1 +e2) = (0.051 / 0.6) (0.187 + 0.58) = 0.065 m La curvatura de la parábola en el medio de la luz es: xp2 = (1 / R2) = 2(e1 + e2 – h1) / [(L^2) (α1 – α2) ^2] XVIII.5 .6 xp2 = (1 / R2) = 2(0.187 + 0.58 – 0.065) / [(20^2) (0.6 – 0.051) ^2] = 0.0116 m^ (-1) xp3 = (1 / R3) = 2(e1 + e2) / [(L^2) α1 α2] XVIII.5.7 xp3 = (1 / R3) = 2(0.187 + 0.58) / [(20^2) 0.6 x 0.051] = 0.125 m La carga equivalente distribuida debido al presfuerzo es wb = 0.0307 MN/m El momento en B es: (Mpc)B = + 63.2 x 30.7 = 1940.24 kN = 1.940 MN -m El momento en C es: (Mpc)C =+ 80.9 x 30.7 = 2483.63 kN = 2.483 MN-m El momento secundario se obtiene restando el promedio del momento primario en cada luz En B es (Mps)B = (Mpc) B – (Pe eB = 1.940 – [(2.976 + 3.198) / 2] 0.58 = 0.149 MN-m En C es (Mps)C = (Mpc)C – (Pe e)C = 2.483 - 2.976 x 0.58 = 0.757 MN-m

En las siguientes figuras se muestra los momentos primarios y secundarios, así como las reacciones hiperestáticas 1.940 MN-m 2.483 MN-m 1.940 MN-m A B E

0.7186 MN-m

C 1.246 MN-m

D 1.246 MN-m

0.7186 MN-m

A) Momento total debido al presfuerzo

0.62 MN-m

0.620 MN-m 1.885 MN-m

B) Momento secundario

0.031 MN

0.0112 MN

0.0112 MN

0.031 MN

0.0864 MN C) Reacciones hiperestáticas Paso 5 Calcule las pérdidas del presfuerzo y compruebe su valor con las estimadas Las pérdidas se calculan de la misma forma que en la indicada en el CAPÍTULO PÉRDIDAS DE LA FUERZA DEL PRESFUERZO

208

En este Ejemplo vamos a considerar que las pérdidas estimadas son satisfactorias. En la vida real se deben calcular Paso 6 Comprobemos los esfuerzos en la transferencia y la carga de servicio En la transferencia La caga transversal en la transferencia es: 0.0307/ 0.8 = 0.038375 MN/m (Hacia arriba) El peso propio es 0.01872 MN/m (hacia abajo) La carga no balanceada es: 0.038375 – 0.01872 = 0.019655 MN/m (hacia arriba) El momento en C es: (Mwb)C = 80.9 x 0.019655 = 1.59 MN-m La fuerza inicial es: Pi = 3.393 MN fc’ = 42 MPa fci’ = 0.8 fc’= - 33.6 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.90 MPa ( esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fc’ = 42 MPa Los esfuerzos son: ft = - 3.393 / 0.78 – 1.59 / 0.215 = - 11.74 MPa < fci’ = 0.8 fc’= - 33.6 MPa fb = - 3.393 / 0.78 + 1.59 / 0.215 = 3.04 MPa > 2.90 MPa Como el esfuerzo en la fibra superior es de tracción con un valor mayor que el permitido se puede producir fisuración El Reglamento no calcula el ancho de fisura, lo que hace es regular el espaciamiento del refuerzo para que no se produzcan fisuras indeseables El espaciamiento del refuerzo PRESFORZADO más cercano a una superficie a tracción, s, no debe exceder a: s = (2/3) 380(280 / ∆fps) – 2.5 cc La magnitud ∆fps no debe exceder los 250 MPa. Cuando ∆fps es menor o igual a 140 MPa los requisitos de espaciamiento anteriores no se aplican El valor de ∆fps es 18.24 MPa < 140 MPa, por lo cual no se aplica el espaciamiento A carga de servicio Pe = 2.136 MN fpe = 712 MPa La carga transversal debida al presfuerzo es 0.0307 MN/m (Hacia arriba) El peso propio es 0.01872 MN/m = 18.72 kN/m (hacia abajo) La carga muerta es 20 kN/m = 0.02 MN/m (Hacia abajo) La carga viva es 20 kN/m = 0.02 MN/m (Hacia abajo) El momento es Mt = 80.9 x 38.72 + (46.3 + 46.3) 20 – 80.9 x 30.7 = 2500.818 kN/m = 2.50008 MN/m Los esfuerzos son: ft = - 2.136 / 0.78 – 2.50008 / 0.215 = - 14.37 MPa < fci’ = 0.8 fc’= - 33.6 MPa fb = - 2.136 / 0.78 + 2.50008 / 0.215 = 8.89 MPa > 1.12 √fc’ = 7.25 MPa Es Clase C (sección está agrietada) El refuerzo debe cumplir que s = (2/3) 380(280 / ∆fps) – 2.5 cc ∆fps es el esfuerzo calculado en el acero de presfuerzo debido a las cargas de servicio en un análisis con sección fisurada menos el esfuerzo de descompresión fdc Puede considerarse fdc igual al esfuerzo efectivo en el acero de presfuerzo, aunque esto último es conservador n = Eps / Ec = 6.455 El área transformada del refuerzo es 6.455 x 0.003 = 0.01936 m^2 Haciendo los cálculos se halla que ∆fps = 57.38 MPa < 140 MPa, no se aplica el espaciamiento requerido Paso 7- Compruebe la resistencia de la viga a estado último de flexión en cada sección crítica. Si es necesario adicionar refuerzo no PRESFORZADO El momento producido por las cargas en el Apoyo C es: Mu = 80.9 x 53.2 + (46.3 + 46.3) 34 = 7453 kN-m = 7.453 MN-m El momento secundario se puede incluir con un factor de carga de 1.0, entonces el momento último total es: Mut = 7.453 - 1.885 = 5.568 MN-m La inclusión del momento secundario aquí, es equivalente a una redistribución de momento en C de 25%

209

El momento secundario causará un aumento en el momento positivo en las luces adyacentes.

Si la sección en C es dúctil, una redistribución de momento es permitido con un 3%, cuando se compruebe el momento positivo Se comprueba si la sección con el refuerzo PRESFORZADO y el adicional no PRESFORZADO resiste el momento último total. Si no lo resiste coloque refuerzo no PRESFORZADO Se realiza lo mismo en las otras secciones Paso 8 -Compruebe la viga a Cortante Se realiza en la misma forma que en las vigas determinadas Paso 9 Compruebe la fisuración Realizado en el Paso 6 10- Compruebe las deformaciones en la transferencia y a carga de servicio Se realiza según el Capítulo XIV. 4 DEFORMACIÓN PARA ELEMENTOS REFORZADO CON ACERO PRESFORZADO Si la viga es parcialmente presforzada compruebe la fisuración Considere la inclusión de refuerzo no PRESFORZADO para reducir las deformaciones diferidas. Se puede ajustar la sección si la deformación es excesiva 11- Diseñe la zona de anclaje Se realiza según el CAPÍTULO XXIX ZONA DE ANCLAJE DEL PRESFUERZO XVIII.6 REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS NEGATIVOS DEBIDO A CARGAS DE GRAVEDAD EN ELEMENTOS CONTINUOS PRESFORZADOS A FLEXIÓN Para las cargas de servicio se asume que el comportamiento es elástico hasta el límite del esfuerzo de tracción del Concreto. Cuando se producen las grietas, se forman deformaciones plásticas en la región crítica de máximo momento, lo cual lleva a una redistribución de los momentos negativos y positivos.

El Reglamento nos dice que: donde se coloque refuerzo adherido en los apoyos, con un área mínima de As = 0.004 A y distribuido uniformemente sobre la zona de tracción precomprimida y tan cerca como sea posible a la fibra externa de tracción y además deben utilizarse obligatoriamente sean cuales fueren las condiciones de esfuerzos bajo carga de servicio, los momentos negativos calculados por la teoría elástica para cualquier suposición de distribución de carga pueden aumentarse o disminuirse hasta en: r = 20 { 1 – [ωp + (d / dp) (ω – ω’))] / 0.36 β1]} XVIII.6.1 Los momentos negativos modificados deben utilizarse para calcular los momentos en las secciones dentro de las luces para la misma distribución de carga La redistribución de momentos negativos puede hacerse únicamente cuando la sección en la cual se reduce el momento esté diseñada de tal manera que ωp, (ωp + d / dp (ω – ω’)), ó (ωpw + d / dp (ω – ωw’)), el que sea aplicable no exceda de 0.24 β1 ωp = ρp fps / fc’ ρp = Aps / b dp ω = ρ fy / fc’ ρ = As / b d ω’ = ρ’ fy / fc’ ρ’ = As’ / b d As’- área del refuerzo a compresión XVIII.7 PÓRTICOS INDETERMINADOS Los pórticos de Concreto son estructuras indeterminadas que contienen elementos verticales, horizontales o elementos inclinados, unidos de tal manera que las uniones pueden trasmitir los esfuerzos y momentos que actúan en ellos. El grado de indeterminaciones depende del número de luces, de elementos y el tipo de uniones a los cimientos

210

En la siguiente figura se muestran algunos tipos de estas estructuras

o o o o o Estas estructuras deben satisfacer las siguientes condiciones: a) Se deben considerar las combinaciones de cargas que produzcan los momentos y cortantes más desfavorables b) La cimentación debe resistir satisfactoriamente las cargas que le son transmitidas XVIII.7.1 Aplicación del PRESFORZADO a las estructuras indeterminadas Se debe primeramente asumir la colocación de los tendones del presfuerzo, a fin de determinar el momento secundario M2. Un tendón concordante es asumido en la viga horizontal para las cargas simétricas gravitarías y las columnas verticales son proporcionadas para resistir las cargas horizontales y el momento extra causado por el acortamiento de la viga El acortamiento longitudinal de la viga horizontal causada por la fuerza del presfuerzo produce esfuerzos de tracción en la cara externa de las columnas. El tendón vertical debe resistir esos esfuerzos como otos. El acortamiento horizontal también afectan las reacciones de las columnas.

Para obtener la fuerza de presfuerzo P en el elemento horizontal, una fuerza P + ∆P debe ser aplicada en el pórtico. El valor de ∆P se obtiene de la siguiente ecuación: A) Pórtico con articulaciones en los apoyos: ∆P = Mb / h = [3 / (2k + 3] [Ec Ic / h^2] εbc XVIII.7.1.1 Mb – momento en la unión de la viga y la columna k = = Iv / Ic) (h / l) Ib – momento de inercia de la viga Ic- momento de inercia de la columna h- altura de la columna l – longitud de la viga εbc- es la deformación unitaria total debido al acortamiento elástico y el movimiento debido la retracción y la fluencia B) Pórticos con apoyos empotrados ∆P = (Mb – Ma) / h = (Ec Ic / h) {[3 / (k + 2)] + [(k = 3) / k (k + 2)]} = ∆P = [3(2k + 1) Ec Ic] / [k (k+2) h^2] XXXI.7.1.2 La siguiente figura muestra la deformación axial debido a εbc = ∆l / l Los momentos tributarios Ma y Mb debido al acortamiento longitudinal del elemento BC de la siguiente figura son los siguientes: l ∆l / 2 ∆l / 2 P + ∆P

B

C

P + ∆P

h θ = ∆l / 2 h

∆P

θ = ∆l / 2 h

∆P

A D Deformación longitudinal de viga BC debido al acortamiento elástico, fluencia y retracción

211

-Pórticos con articulaciones en los apoyos Mb = {[(3 Ec Ic) / [(2 k +3) h} εbc XVIII.7.1.3 cuando k tiende a 0, Mb tiende a Ec Ic εbc / h -Pórticos con los apoyos empotrados Mb = {[(3 Ec Ic) / [(k +2) h} εbc XVIII.7.1.3 cuando k tiende a 0, Mb tiende a 1.5 Ec Ic εbc / h y Ma tiende a infinito La razón del cambio en el valor de los momentos Mb y Ma se debe que si k tiende a 0, ∆P tiende a infinito.

En tal caso, la rigidez del elemento vertical relativo al elemento horizontal será muy flexible como muestra la siguiente figura: P ( pequeño) P(pequeño) (P + ∆P) ~ ∆P (P + ∆P) ~ ∆P flexible Columnas rígidas ∆P(grande) ∆P(grande) Efectos de los momentos tributarios debido al acortamiento elástico Los efectos de las reacciones horizontales en la fuerza del presfuerzo son esquematizados en la siguiente figura, para apoyos articulados y empotrados Mb Mb B P + ∆P P (fuerza del presfuerzo) P + ∆P (fuerza aplicada) B P ∆P (reacción)

∆P (reacción horizontal) A

A 0

Ma

Articulación en A Empotramiento en A Todo lo señalado en este inciso se aplica a construcciones vaciada en el lugar y para prefabricado Un típico tendón para un pórtico se muestra en la siguiente figura P2 + P3 l

Tendón concordante

cgs

e P3

e P1

212

XVIII.7.2 Ejemplo de diseño del PRESFORZADO en un pórtico Diseñar el pórtico de la figura, que va a ser construido con concreto PRESFORZADO prefabricado. La luz del pórtico es de 15.0 m a una carga viva de 0.0075 MN/m. También está sometido a una presión de viento de 0.00225 MM/m y a una succión de viento de 0.0012 MN/m. La altura es 6.0 m fc’ = 35 MPa (peso normal) fpu = 1862 MPa (resistencia última especificada del tendón) fps = 1620 MPa (resistencia en el punto de fluencia) fpi = esfuerzo en el gato = 1300 MPa Total de pérdidas γ = 20% pérdidas después de un mes de pretensar 16% fpe(al mes) = (1 – 0.16) 1300 = 1092 MPa fpe(final) = (1 – 0.2) = 1040 MPa fci’ = 0.8 fc’= - 28.0 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.64 MPa ( esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fti = √fci’/4= 1.32 MPa ( esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia fuera del apoyo fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (esfuerzo de compresión del concreto) en centro de la luz para viga simplemente apoyada fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas ft = 0.62 √fc’ = 4.14 MPa Ec = 29000 MPa, Eci = 0.8 x 29000 = 23200 MPa Ep = 195000 MPa fps / fpu = 1300 / 1862 = 0.7 Viga BC Asumimos que el peso propio de la viga es cpp = 0.0005 MN/m Asumimos que el peso del aislamiento, etc es; csd = 0.003 MN/m La viga será diseñada con tendón concordante Para la carga de peso propio se considerará simplemente apoyada y para las cargas restantes como continua siendo parte del pórtico Momento por peso propio MD = cpp l^2 / 8 = 0.0005 x 15.0^2 / 8 = 0.014 MN-m k = (Iv / Ic) (h / l) Asumiendo por el momento que Iv = Ic, k = 6 / 15 = 0.4 C = 1 / {12[(2 k /3) + 1]} = 1 / {12[(2 x 0.4/3) + 1]} = 0.0658 Momento por cargas permanentes: Msd = [(1 / 8) – C)] csd l^2 = [(1 / 8) – 0.0658) 0.003 x 15.0^2= Msd = 0.03996 MN-m Momento por carga viva: Mcv = [(1 / 8) – C)] cv l^2 = [(1 / 8) – 0.0658)] 0.0104 x 15.0^2 = 0.1388 MN-m cv = 0.0104 MN/m

B

E

C

cv = 0.0012 MN/m cv = 0.00225 MM/m 6.0 m

0A

D 0 15.0

213

Asumiendo ft= 0 El módulo mínimo de la sección inferior se obtiene con: Sb = [(1 – γ) MD + Msd + Mcv] / [(ft – γ) fci] Sb = [(1 – 0.2) 0.014 + 0.03996 + 0.1388] / [(0 – 0.8) (- 16.8)] = 0.0141 m^3 Considerando una sección rectangular con bw = 0.3 m, h = √ [6 Sb / bw] = √ [6 x 0.0141 / 0.3] = 0.53 m Asumimos h = 0.6 m Ab = 0.18 m^2 Ic = 0.00324 m^4 r^2 = 0.018 m^2 yt = yb = 0.3 m Sb = St = 0.018 m^2 Peso propio = 0.0024 MN/m MD = 0.0675 MN-m Msd = 0.03996 MN-m Mcv = 0.1388 MN-m Mt = 0.24626 MN-m fpe(final) = 1040 MPa El área de refuerzo necesario es Apnec = Mt / z fpe = 0.24626 / 0.5 x 1040 = Apnec = 0.000473 m^6 = 4.73 cm^2 Con 5 de 12.7 mm de 270 K tenemos Aps = 4.93 cm^2 > Apnec y Pe = 0.5135 MN Resumen de la sección Ab = 0.18 m^2 Ic = 0.00324 m^4 r^2 = 0.018 m^2 yt = yb = 0.3 m Sb = St = 0.018 m^2 Aps = 4.93 cm^2 Pe = 0.5135 MN Pi = 0.6419 MN ec = 0.26 m (en el centro de la luz) ea = 0.12 m (en el apoyo) Momentos en el centro de la luz: MD = 0.0675 MN-m Msd = 0.03996 MN-m Mcv = 0.1388 MN-m Mt = 0.24626 MN-m Comprobación de los esfuerzos en la transferencia a) En el centro de la luz (ec = 0.26 m) El esfuerzo en la fibra superior es el siguiente: - (Pi / Ab) [1 – (Ab e / St)] – (MD / St) ≤ fti XVIII.3.5 ft = - (0.6419 / 0.18) [1 – (0.18 x 0.26 / 0.018)] – (0.0675 / 0.018 = - 1.95 MPa (C)

No hay tracción

el esfuerzo en la fibra inferior es: - (Pi / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (MD / Sb) ≤ fci XVIII.3.6 recordar que fci es negativo fb = - (0.6419 / 0.18) [1 + (0.18 x 0.26 / 0.018)] + ( 0.0675 / 0.018) = - 9.088 MPa (C) < - 16.8 MPa Se cumple b) Comprobación en el apoyo (ea = 0.12 m) el esfuerzo en la fibra superior es el siguiente: - (Pi / Ab) [1 – (Ab e / St)] – (MD / St) ≤ fti ft = - (0.6419 / 0.18) [1 – (0.18 x 0.12 / 0.018)] - 0 = 0.71 MPa < fti = √fci’/2 = 2.64 MPa (sección no fisurada) Se cumple el esfuerzo en la fibra inferior es: - (Pi / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (MD / Sb) ≤ fci XVIII.3.6 recordar que fci es negativo fb = - (0.6419 / 0.18) [1 + (0.18 x 0.12 / 0.018)] + 0 = - 7.84 MPa < fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa Se cumple Columnas del pórtico Asumimos que las columnas tiene la misma sección de la viga y además asumimos que eb y Sb se refieren a la cara exterior y et y St a la cara interior.

Las columnas trabajan como un elemento a compresión sometidos a carga axial y además a momento. El momento flector es causado por el viento y el momento que le trasmite la viga BC. En este caso es mejor tender el tendón a través de la sección. Asumimos que ec = ca = 0 Usando 8 de 12.7 mm de 270 K tenemos Aps = 7.888 cm^2 y Pi = 0.8216 MN ft = fb = - Pi / Ab = - 0.8216 / 0.18 = - 4.56 MPa < fci = - 19.6 MPa Reacciones y momentos en el pórtico en la etapa de servicio

214

A) Viga BC - Estado de simplemente apoyada (cpp) La longitud de la viga (l) es 15.0 – 0.6 = 14.4 m El momento en el medio de la viga es Me(cpp) = cpp l^2 / 8 = 0.0024 x 14.4^2 / 8 = 0.0622 MN-m La reacción es Rd(cpp) = 0.0024 x 14.4 / 2 = 0.01728 MN - Con csd el momento en el centro de la viga calculado anteriormente Msd = 0.03996 MN-m En los apoyos Mb(csd) = Mc(csd) = 0.003 x 15.0^2 / 8 – 0.03996 = 0.0444 MN-m Redistribución de momento Como el tendón no será continuo a través del empotramiento en B y C, ωp = 0 Colocaremos 3 No. 5 en la zona comprimida de la viga y de la columna As’ = 0.000477 m^2 ω’ = As’ fy’ / fc’ bw d = 0.000477 x 420 / 35 x 0.3 x 0.55 = 0.0347 También colocaremos 5 No. 5 en las zonas de tracción de la viga y las columnas As = 0.000795 m^2 ω = As fy / fc’ bw d = 0.000795 x 420 / 35 x 0.3 x 0.55 = 0.0578 ωp + (d / dp) (ω – ω’) = 0 + (0.55 / 0.5) (0.0578 – 0.0347) = 0.02541 0.24 / β1 = 0.24 / 0.8 = 0.192 > 0.02541 La distribución es permisible r = 20 { 1 – [ωp + (d / dp) (ω – ω’))] / 0.36 β1]} = r = 20 { 1 – [0 + (0.55 / 0.5) (0.0578 – 0.0347))] / 0.36 x 0.8]} = 18.83 % Usaremos un factor de distribución de 0.15 (15%) del momento B y C hacia E (centro de la viga) Mb = Mc = (1 – 0.15) 0.0444 = 0.03774 MN-m Me = 0.03996 x 1.15 = 0.0456 MN-m La reacción es Rsd = 0.003 x 15.0 / 2 = 0.0225 MN Estado de carga viva De los cálculos anteriores el momento en el centro de la viga es Mcv = 0.1388 MN-m Por lo tanto en los apoyos el momento es: Mb(cv) = Mc(cv) = 0.0104 x 15.0^2 / 8 – 0.1388 = 0.1537 MN-m El momento ajustado por la distribución el momento en el centro de la viga es: Me(cv)= 0.1388 x 1.15 = 0.1596 MN-m y la reacción es Rcv = 0.075 x 15.0 / 2 = 0.5625 MN Estado de la carga de viento Mb = (C4 – 0.5) cv h^2 Mc = - (1 – C4) cv h^2 C4 = (1/8) {[11(k] + 18] / [2 (k) + 3]} = (1/8) {[11(0.4] + 18] / [2 (0.4) + 3]} = 0.7368 Mb1 = (C4 – 0.5) p h^2 = (0.7368 – 0.5) 0.00225 x 6^2 = 0.01918 MN-m Mb2 = (1 – C4) cv h^2 = - (1 – 0.7368) 0.0012 x 6^2 = - 0.0114 MN-m Mb(total) = 0.01918 + 0.0114 = 0.03058 MN-m Momento Mc Mc = - (1 – C4) cv h^2 Mc1 = - (1 – 0.7364) 0.00225 x 6^2 = - 0.02135 MN-m Mc2 = - (C4 – 0.5) 0.0012 x 6^2 = (0.7368 – 0.5) 0.0012 x 6^2 =- 0.01023 MN-m Mc(total) = - 0.02135 – 0.01023 = - 0.03158 MN-m El momento que controla es Mcv = 0.03158 MN-m, debido que el viento puede actuar en los sentidos Las reacciones son: Racv = - (1 / 2) cvt h^2 / l =- ( 1 / 2) (0.00225 + 0.0012) x 6^2 / 15.0 = - 0.00414 MN Rdcv = 0.00414 MN Cargas y momentos debido a los efectos diferidos Un mes después de la transferencia: fpe(al mes) = 1092 MPa Pe = 1092 x 0.000493 = 0.5383 MN Momento en el centro de la viga por el presfuerzo Me = Pe ec = 0.5383 x 0.26 = 0.1399 MN-m Momento en el apoyo de la viga por el presfuerzo Mb = Pe ea = 0.5383 x 0.12 = 0.0646 MN-m Después que todas las pérdidas han ocurrido: fpe = 1045 MPa fpe / fpe(al mes) = 1045 / 1092 = 0.9569

215

Me = 0.1399 x 0.9569 = 0.1339 MN-m Mb = Mc = 0.0646 x 0.9569 = 0.0620 MN-m En las siguientes figuras se muestra la distribución de momentos en la viga BC

15.0 m

0.12 m

Mi

0.26 m

Mb = 0.0646 MN-m

Me = 0.1399 MN-m

a) Momento por el presfuerzo al mes de la transferencia

Mii

Mb = 0.0620 MN-m

Me = 0.1339 MN-m

b) Momento por presfuerzo después de ocurrir todas las pérdidas 15.0 m

MD MD = 0.0622 MN-m

c) Momento por peso propio de la viga Pendiente en B y C en la erección de la viga un mes después de la transferencia Pendiente θ = M / Ec Ib Hallar las áreas de los diagramas para la mitad de la luz debido a la simetría 1) Sume la mitad de la figura (a) a la mitad de la figura (c) 2) Sume la mitad de la figura (b) a la mitad de la figura (c) 3) Reste 2) de 1) para obtener la rotación de la viga en B o C que deben restringida por una conexión de soldadura para desarrollar continuidad en los nudos B y C del pórtico (1) θEc Ib x 10^ (-6) = Mi L en la erección de la viga = (0.0646 + 0.1399) x 7.5 / 2 – (2 / 3) 0.0622 x 7.5 = 0.4559 (2) θEc Ib x 10^ (-6) = Mii L en la carga de servicio = (0.0620 + 0.1339) x 7.5 / 2 – (2 / 3) 0.0622 x 7.5 = 0.4236

216

El ángulo de rotación θ en B o C causado por la reducción de la fuerza del presfuerzo por las pérdidas diferidas [(0.4559 – 0.4236) ^ (-6)/ Ec Ib] = 0.0323 x 10^ (-6) / Ec Ib Si Mro es el momento resistente en la conexión soldada que impide la rotación del elemento Pendiente θ = [Mro (l / 2) / Ec Ib] = Mr x 7.5 / Ec Ib e igualando las dos últimas ecuaciones 0.0323 x 10^ (-6) / Ec Ib = Mr x 7.5 / Ec Ib Mro = 0.0043 x 10^ (-6) MN-m

Momento resultante por la fluencia y retracción Fluencia Pi = 0.6419 MN Pe (en la erección) = 0.5383 MN Ec = 29000 MPa Ab = 0.18 m^2 Cu = 2.25 Se debe tomar el promedio de Pi y Pe (en la erección) εf = (1 / Ac Ec) {[(Pi + Pe) / 2] Cu} = (1 / 0.18 x 29000) {[(0.6419 + 0.5308) / 2]2.25}= 0.000252 m/m Retracción Ksh = 0.58 Humedad intermedia H = 70 V/S = 0.1 εr = 8.2 x 10^ (-6) Ksh Ep [1 – 0. 24 (V/S)] (100 – H) εr = 8.2 x 10^ (-6) 0.58 [1 – 0. 24 (0.1)] (100 – 70) = 0.000139 m/m La deformación total es εfr = (εf + εr) = 0.0003913 m/m Mb = Mc = 3 Ec Ic εfr / [(2k + 3) h] = Mb = Mc =3 x 29000 x 0.00324 x 0.0003913 / [(2 x 0.4 + 3) 0.6] = 0.0174 MN-m Momentos finales y esfuerzos en la viga BC En el centro de la luz (ec = 0.26 m) MD = 0.0622 MN-m Mro = 0.0043 x 10^ (-6) MN-m M(r + f) = 0.0174 MN-m Msd = 0.03996 MN-m Mcv = 0.1596 MN-m Pe =1040 x 0.000493 = 0.5127 MN Mt = MD + Mro + (Mr + Mf) + Msd + Mcv = 0.2786 MN-m A carga total de servicio (Mt), el esfuerzo en el borde inferior es: - (Pe / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (Mt / Sb) ≤ ft XVIII.3.7 - (0.5127 / 0.18) [1 + (0.18 x 0.26 / 0.018)] + (0.2786 / 0.018) = 5.22 MPa (T) > ft = 4.14 MPa fb = 5.22 MPa < 1.12 √fc’ = 6.626 MPa (es Clase T), no tiene requerimiento de fisuración Se le debe colocar refuerzo no PRESFORZADO para tomar las tracciones y en el borde superior el esfuerzo es: - (Pe / Ab) [1 - (Ab e / St)] - (Mt / St) ≤ fc XVIII3.8 - (0.5127 / 0.18) [1 - (0.18 x 0.26 / 0.018)] - (0.2786 / 0.018) = - 10.92 MPa (C) < - 16.8 MPa En el apoyo (ea = 0.12 m) MD = 0 Msd = 0.03996 MN-m Mcv = 0.1537 MN-m Mcv = 0.03158 MN-m No incluyendo los momento de rotación, fluencia y retracción que causan esfuerzos de compresión Mt = - 0.2252 MN-m Pe = 0.5127 MN Borde inferior: - (Pe / Ab) [1 + (Ab e / Sb)] + (Mt / Sb) ≤ ft

XVIII.3.7

217

- (0.5127 / 0.18) [1 + (0.18 x 0.12 / 0.018)] + (0.2252 / 0.018) = 6.244 MPa (T) < 1.12 √fc’ fb = 6.244 MPa < 1.12 √fc’ = 6.626 MPa (Es Clase T) no tiene requerimiento de fisuración Pero de le debe colocar refuerzo no PRESFORZADO para tomar las tracciones y en el borde superior el esfuerzo es: - (Pe / Ab) [1 - (Ab e / St)] - (Mt / St) ≤ fc XVIII.3.8 - (0.5127 / 0.18) [1 - (0.18 x 0.12 / 0.018)] - (0.2786 / 0.018) = - 14.91(C) < - 16.8 MPa Se cumple El momento que controla es Mcv = 0.03158 MN-m, debido que el viento puede actuar en los sentidos Momentos finales y esfuerzos en las columnas AB y CD Las cargas de compresión son: Rt = Rcp + Rsd + Rcv + Rcvi = 0.8089 MN, con una excentricidad de 0.10 m Rcv = 0.00414 MN Rd(cpp) = 0.01728 MN Rcvi = 0.5625 MN Rsd = 0.225 MN El momento es Mrc = 0.8089 x 0.1 = 0.0809 MN-m Mc(cv) = 0.1537 MN-m Mcvi = 0.03158 MN-m Msd = 0.03774 MN-m El momento total es: 0.3039 MN-m Usando 8 de 12.7 mm de 270 K tenemos Ap = 7.888 cm^2 y Pe = 0.6573 MN fb (cara exterior) = - Pe / Ab – Rt / Ab + Mt / Sb = - 0.6573 / 0.18 – 0.8089 / 0.18 + 0.3039 / 0.018 = fb(cara exterior) = 8.74 MPa (T) > 6.626 MPa (Es Clase C), se debe tener en cuenta la fisuración ft(cara interior) = - Pe / Ab – Rt / Ab - Mt / Sb = - 0.6573 / 0.18 – 0.8089 / 0.18 - 0.3039 / 0.018 = - ft(cara interior) = - 25.03 MPa > - 15.75 MPa El esfuerzo es demasiado alto, se debe modificar la sección para una mayor y realizar nuevamente todos los cálculos.

XVIII.8 PROBLEMAS PROPUESTOS XVIII.8.1 Diseñe la viga siguiente con Desplazamiento del Apoyo Sea la viga de dos luces con presfuerzo adherido, con luces de 20.0 m. Pe = 1. 50 MN. Las dimensiones de la viga son, bw = 0.3 m y h = 1.0 m. Calcular los momentos primarios y secundarios debido al presfuerzo y los esfuerzos en el apoyo intermedio

0.2 m

0.3 m

20.0 m A

20.0 m B

C

XVIII.2 Diseñe la viga de XVIII.8.1 por el método de la carga equivalente XVIII.3 Diseñe la siguiente viga Sea una viga de cuatro luces. La viga tiene una sección T. Está sometida a una carga muerta de:

218

20 kN/m (no incluido el peso propio) y una carga viva también de 20 kN/m. La viga es presforzada por los gatos simultáneamente desde cada extremo. fc’ = 42 MPa fci’ = 33.6 MPa

A

B 25 m

C 35 m

D 35 m

E 20 m

XVIII.4 Diseño del PRESFORZADO en un pórtico Diseñar el pórtico de la figura, que va a ser construido con concreto PRESFORZADO prefabricado. La luz del pórtico es de 13.0 m a una carga viva de 0.007 MN/m. También está sometido a una presión de viento de 0.0022 MM/m y a una succión de viento de 0.0011 MN/m. La altura es 6.50 m fc’ = 35 MPa (peso normal) fpu = 1862 MPa (resistencia última especificada del tendón) fps = 1620 MPa (resistencia en el punto de fluencia) fpi = esfuerzo en el gato = 1300 MPa Total de pérdidas γ = 20% pérdidas después de un mes de pretensar 16% fpe(al mes) = (1 – 0.16) 1300 = 1092 MPa fpe(final) = (1 – 0.2) = 1040 MPa fci’ = 0.8 fc’= - 28.0 MPa (resistencia a compresión del concreto en la transferencia) fti = √fci’/2 = 2.64 MPa ( esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia en el apoyo) fti = √fci’/4= 1.32 MPa ( esfuerzo a tracción del concreto en el tiempo de la transferencia fuera del apoyo fci = 0.6 fci’ = - 16.8 MPa (esfuerzo de compresión del concreto) en centro de la luz para viga simplemente apoyada fci = - 0.7 fci’ = - 19.6 MPa en el apoyo de vigas simplemente apoyadas ft = 4.14 MPa Ec = 29000 MPa, Eci = 0.8 x 29000 = 23200 MPa Ep = 195000 MPa fps / fpu = 1300 / 1862 = 0.7

cv = 0.0104 MN/m

B

E

C

cv = 0.0011 MN/m cv = 0.0022 MM/m 6.50 m

0A

D 0 13.0

219

CAPÍTULO XIX SISTEMAS DE LOSAS REFORZADAS EN UNA Y DOS DIRECCIONES XIX.1 ALCANCE Esta sección se aplica al diseño de Sistemas de Losas Reforzadas a Flexión en Una o Dos Direcciones, estas últimas sin vigas entre apoyos El sistema de losas incluye losas macizas y losas aligeradas con huecos o cavidades hechas mediante rellenos permanentes o removibles entre nervios en una o dos direcciones, con o sin loseta inferior XIX. 2. SISTEMAS DE LOSAS XIX. 2.1 SISTEMAS PREFABRICADOS Es permitido utilizar elementos prefabricados como parte de los sistemas de losas XIX.2.2 FORMALETAS PERMANENTES DE ACERO (STEEL DECKING) Los sistemas de losas de concreto cuyo vaciado se realice sobre formaletas permanentes de acero, se pueden diseñar siguiendo los requisitos de este Capítulo, cuando el sistema de formaleta no se toma en cuenta como parte del acero de refuerzo. Para tener en cuenta el acero de las formaletas permanentes, el diseño se debe realizar siguiendo los requerimientos para Estructuras Compuestas de Acero y Concreto XIX.2.3 SISTEMA DE LOSA COMO PARTE DEL SISTEMA DE RESISTENCIA SÍSMICA Cuando los sistemas de losa se utilicen como parte del sistema de resistencia sísmica, como es el caso de diafragmas, su diseño debe realizarse cumpliendo los requerimientos del presente Capítulo y los Requisitos de Diseño y Construcciones Sismo Resistentes El uso como sistema principal de resistencia sísmica de los sistemas losa-columna, tanto maciza como nervadas, en las cuales la losa cumple la función de viga debe cumplir los Requisitos de Diseño y Construcciones Sismo Resistentes, con respecto a las zonas de amenaza sísmica donde se permite y las alturas máximas que pueden tener los edificios construidos utilizando este sistema. Para efectos del análisis de sistema losa-columna ante cargas horizontales se deben utilizar los requerimientos de este Capítulo XIX.2.4 SISTEMA RETICULAR CEDULADO Estos sistemas se consideran sistema losa-columna aligerada y deben ser diseñados siguiendo los requisitos del presente Capítulo. Sobre estos sistemas obran las mismas limitaciones respecto a su utilización como sistema de resistencia sísmica dadas en XIX.2.3 Sistema de Losa como Parte del Sistema de Resistencia Sísmica XIX.2.5 LOSAS CON NERVADURAS O ALIGERADAS La construcción con nervaduras consiste en una combinación monolítica o prefabricada de nervios espaciados regularmente, en una o dos direcciones y de loseta superior que actúa también en una o en dos direcciones de acuerdo con la acción de las viguetas. La loseta puede ser parcialmente prefabricada, pero como mínimo una parte de su espesor debe ser vaciado en sitio Las losas con nervaduras deben cumplir las condiciones dimensiónales dadas a continuación (a) Los nervios no deben tener menos de 100 mm (4”) de ancho en su parte superior y su ancho promedio no puede ser menor de 80 mm (3”). Su altura libre no debe ser mayor de 5 veces el espesor promedio del alma (b) La porción vaciada en sitio de la loseta superior debe tener al menos 45 mm (1 3/4”) de espesor, pero ésta no debe ser menor de 1/20 de la distancia libre entre los nervios. Cuando se utilicen bloques de aligeramiento permanentes de concreto o de arcilla cocida o de plaquetas prefabricadas, estos elementos pueden considerarse como parte del recubrimiento del concreto y la parte vaciada en sitio del espesor mínimo de la loseta superior puede reducirse a 40 mm (1 1/2”). La loseta superior debe tener como mínimo el refuerzo de repartición y temperatura y deben tenerse en cuenta los requerimientos propios para diagramas sísmicos cuando la losa en general actúa como tal

220

(c) La separación máxima entre nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 2. 5 veces el espesor de la losa, sin exceder 1.20 m (4’) (d) Cuando se trate de losas reforzadas en una dirección, deben colocarse viguetas transversales de repartición con una separación libre máxima de 10 veces el espesor total de la losa, sin exceder 4.0 m (13’) XIX.2.6 SISTEMA DE NERVADURAS COMO CONJUNTO DE VIGAS Cuando se excede la separación máxima entre viguetas dada anteriormente o cuando la cantidad mínima de nervaduras en la dirección bajo consideración dentro del panel es menor de 4, las nervaduras deben considerarse como elementos aislados y su análisis y diseño no puede regirse por los procedimientos del presente Capítulo. La losa entre nervaduras en este caso, debe analizarse como una losa en una o dos direcciones, según sea el caso, cumpliendo los requisitos correspondientes XIX.3 LOSA REFORZADA EN UNA DIRECCIÓN Se considera que la losa trabaja en una dirección cuando: (a) tiene dos bordes libres sin apoyo vertical y tiene vigas o muros, en los otros dos bordes opuestos aproximadamente paralelos (b) el panel de la losa tiene forma aproximadamente rectangular con apoyo vertical en sus cuatro lados, con una relación de luz larga a luz corta mayor de 2.0 (c) la losa nervada tiene sus nervios principales en una dirección Las losas que trabajan en una dirección, macizas o aligeradas, construidas monolíticamente con sus apoyos, pueden analizarse como losas continuas sobre apoyos simples, con luces iguales a las luces libres de la losa y despreciando el ancho de las vigas y su efecto torsional. Cuando la rigidez torsional de la viga de apoyo extrema, o de los intermedios influye en la distribución de momentos de la vigueta, debe tomarse en cuenta este efecto En lugar de un análisis detallado, en las losas en una dirección pueden utilizarse los siguientes momentos y cortantes aproximados, en lugar de un método más exacto de análisis y cuando cumplan los siguientes requerimientos: a) Existan dos luces o más b) Las luces sean iguales o que la diferencia entre dos luces adyacentes no sea más del 20% de la menor c) Las cargas sean uniformemente repartidas d) La carga viva unitaria no exceda de 3 veces la carga muerta e) Los elementos sean prismáticos Momentos positivos Luces exteriores Apoyo exterior no restringido Apoyo exterior construido integralmente con el elemento de soporte

wu (ln)^2 / 11 wu (ln)^2 / 14

Luces interiores

wu (ln)^2 / 16

Momentos negativos Cara exterior del primer apoyo interior Dos luces Más de dos luces Apoyos interiores

wu (ln)^2 / 9 wu (ln)^2 10 wu (ln)^2 / 11

Apoyos interiores de losas con luces menores de 3.50 m o elementos que Llegan a apoyos muy rígidos

wu (ln)^2 / 12

Apoyo exterior de elementos construidos integralmente con sus apoyos Apoyados sobre una viga Apoyados sobre una columna

wu (ln)^2 / 24 wu (ln)^2 / 16

Cortante

221

Cara del primer apoyo en luces finales Otros apoyos

1.15 wu (ln) / 2 wu (ln) /2

wu- Carga última (mayorada) uniformemente repartida ln- luz de cálculo Notas: La luz que se utiliza en el cálculo de los momentos negativos debe ser el promedio de las luces adyacentes Cuando se utilizan los coeficientes anteriores no es permitido la redistribución de momentos XIX.3.1 Método de diseño El diseño de las losas reforzadas en un sentido se realiza igual que las vigas, pero considerando un ancho b = 1.00 m. En el sentido transversal se debe colocar un refuerzo de distribución de cargas y efectos de temperatura igual a la cuantía mínima Se recomienda que el peralto efectivo sea suficiente para no colocar refuerzo a cortante XIX.4. LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES XIX.4.1 Definiciones XIX.4.1.1 Franja de columnas.

La franja de columna es una franja de diseño con un ancho a cada lado del eje de columna igual a 0.25 L2 ó 0.25 L1, el que sea menor. Las franjas de columnas incluyen las vigas, si las hay. Para losas nervadas, incluyendo el reticular cedulado, la franja de columnas comprende las viguetas que llegan al capitel, una de las cuales, al menos, debe pasar por la columna. La suma de los anchos de las viguetas que llegan al capitel debe ser al menos igual a la suma de los anchos de las viguetas que no llegan al capitel y la suma de los anchos de los núcleos de las viguetas del capitel, medidos desde la parte externa de los estribos, debe ser mayor o igual a 200 mm (8”) XIX.4.1.2 Franja central La franja central es una franja de diseño limitada por dos franjas de columnas. Para losas nervadas, incluyendo el reticular cedulado, la franja central comprende las viguetas que no llegan al capitel XIX.4.1.3 Panel Un panel está limitado en todos sus lados por los ejes de las columnas, vigas o muros XIX.4.1.4 Ábaco Cuando se utilice un ábaco para reducir la cantidad de refuerzo por momento negativo sobre una columna o el espesor mínimo requerido para una losa, el ábaco debe: a) proyectarse bajo la losa al menos un cuarto del espesor de la losa adyacente b) extenderse en cada dirección desde la lía central de apoyo por una distancia no menor a un sexto de la longitud del vano medida al centro de los apoyos en esa dirección XIX.4.5 SOLICITACIONES VERTICALES Para las cargas verticales, un sistema de losas, incluyendo las vigas entre apoyos (si los hay), y las columnas o muros de apoyos, pueden ser diseñados por el método directo de diseño o por el método del pórtico equivalente, por el método plástico de análisis y diseño o por el método para losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas, según sea apropiado XIX.4.6 SOLICITACIONES HORIZONTALES Y SÍSMICAS El análisis para fuerzas horizontales de sistemas losa-columna, en el cual la losa cumple la función de viga, debe hacerse considerando el efecto del agrietamiento y el refuerzo en la rigidez. En este caso se puede hacer usando un valor reducido de L2 de 0.25 a 0.5 L2, cuando calculamos el momento de inercia de la losa-viga, también se puede utilizar un valor reducido del momento de inercia de 0.33 Isb. El análisis se puede realizar por uno de los métodos reconocidos como por ejemplo los indicados en el Título A del Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10 y teniendo en cuenta los requisitos de esta

222

Sección. En estos casos, los resultados del análisis para cargas verticales pueden combinarse con los resultados del análisis para cargas horizontales.

Para el uso de sistemas losa-columna como sistema principal de resistencia sísmica, puede consultarse el Título A del Reglamento anteriormente indicado u otro reconocido El cumplimiento de los requerimientos de deriva, debe documentarse adecuadamente, incluyendo explícitamente la determinación de las rigideces ante fuerzas horizontales Para efectos de la rigidez ante fuerzas horizontales de sistemas losa-columna, en las cuales la losa cumple la función de viga, el máximo ancho de viga equivalente que puede utilizarse corresponde al ancho de la columna medido perpendicularmente a la dirección de aplicación de las fuerzas horizontales, c1 más 5 veces el espesor de las losas cada lado de la columna XIX.4.7 MOMENTO DE DISEÑO La losas se deben dimensionar para los momentos mayorados (de cálculo) que rigen en cada sección XX.4.8 TRANSFERENCIA DE MOMENTO A LAS COLUMNAS Cuando las cargas de gravedad, viento, sismo, u otras fuerzas laterales producen transferencia de momento entre la losa y la columna, una fracción del momento desequilibrado debe transferirse por flexión (f Mu) f = 1 / {1 + [2/3][(b1 / b2)]}

XIX.4.8.1

debe considerarse transferencia por flexión sobre un ancho efectivo de losa entre líneas que estén por fuera de las caras opuestas de la columna o capitel una y medía veces el espesor de la losa o del ábaco (1.5 h) Para la transferencia del momento desequilibrado alrededor de un eje paralelo al borde de un apoyo exterior, el valor de f de la ecuación anterior puede aumentarse hasta 1.0, siempre y cuando Vu en el apoyo de borde no exceda de 0.75  Vc ó en el apoyo de esquina 0.5  Vc. Para momentos desbalanceados alrededor de un eje transversal al borde en apoyos exteriores, el valor de f en la ecuación anterior puede aumentarse hasta un 25%, siempre y cuando Vu en el apoyo de borde no exceda 0.4  Vc Nota: Ver el Epígrafe XIX.5 para la resistencia a cortante en losas reforzadas en dos direcciones La deformación unitaria neta (εt) calculada para la losa efectiva no debe ser menor de 0.010 La fracción del momento desequilibrado causado por cargas verticales, de viento, sismo u otra carga lateral que no se transfiera por flexión, debe transferirse por excentricidad de cortante (v Mu) de acuerdo con lo siguiente: v = 1 – {1 / [ 1 + [2/3] [(b1 / b2)]} XIX.4.8.2 Debe suponerse que los esfuerzos cortantes que resulten de la transferencia de momentos por excentricidad de cortante (v Mu) varían linealmente alrededor del centroide de la sección crítica Columna exterior v Mu

Columna interior v Mu

Vu

c1

c1

c2 b2

c1

b2 c = c’

c’ b1

c b1

223

vu2 vu1 vu1 = (Vu / Ac) + (v Mu c / J) vu2 =(Vu / Ac) + (v Mu c’ / J)

vu2

vu1

XX.4.8.3 XX.4.8.4

Ac – Área de la sección del concreto que resiste el cortante transferido y es igual al perímetro bo multiplicado por el peralto efectivo de J – Momento polar de inercia de los segmentos que forman Ac c y c’ – distancias desde el eje central de la sección crítica al perímetro de la sección crítica en la dirección de análisis

Caso

Columna Exterior Momento paralelo al Borde Columna Interior Columna Exterior Momento Perpendicular al Borde Columna de Esquina

Área de la sección Crítica

Módulo de Crítica J/c

Sección c

c’

[ b1 de (b1 + 6 b^2) + + (de^3)]/6

b1 /2

b1/2

2(b1 + b2) de

[b1 de(b1 + 3b2) + de^3] / 3

b1/2

b1/2

(2b1 + b2) d

Nota 1

(b1)^2 2b1+ b2

b1(b1+2 b2 2(b1 + b2)

(b1)^2 2(b1 +b2)

b1(b1 +2 b2) 2(b1 + b2)

(b1 + 2 b2)de

J/c’

(b1 + b2) de Nota 2

Nota 1 2 (b1)^2 de (b1 + 2 b2) + de^3 (2b1 + b2) (J/c) = 6 b1

2 (b1)^2 de (b1 + 2b2) + de^3 (2 b1 + b2) (J/c’) = 6(b1 + b2)

Nota 2 (b1)^2 de(b1 + 4 b2) + de^3 (b1 + b2) (J/c) =

(b1)^2 d (b1 + 4 b2) + de^3 (b1 + b2) (J/c) =

6 b1

6 (b1 + 2 b2)

La concentración de refuerzo sobre la columna, por espaciamiento o por refuerzo adicional, puede utilizarse para resistir el momento sobre el ancho efectivo de losa según lo definido para momento transferido por flexión El diseño para transferir la carga de la losa a la columna o muros que les den apoyo debe realizarse de acuerdo con los requisitos del Capítulo de Cortante XIX.4.8.5 ABERTURAS EN LA LOSA Pueden disponerse aberturas de cualquier tamaño en el sistema de losa, si se demuestra por análisis que la resistencia proporcionada cumple con resistencia requerida y la resistencia de diseño y que se cumplen todas las condiciones de servicio, incluyendo los límites especificados para las deformaciones. En lugar del análisis

224

especial anterior, pueden disponerse aberturas en sistemas de losa sin vigas, sólo cuando se cumplan los siguientes requisitos: (a) En el área común de la intersección de las franjas centrales pueden localizarse aberturas de cualquier tamaño, siempre que se mantenga la cantidad total de refuerzo requerida para la losa sin abertura (b) En el área común de la intersección de las franjas de columna no se puede interrumpir el refuerzo con aberturas de más de 1/.8 del ancho de la franja de columna en cualquiera de las luces. Una cantidad de refuerzo equivalente al refuerzo interrumpido debe añadirse en los lados de la abertura (c) En el área común de la intersección de las franjas centrales pueden localizarse aberturas de cualquier tamaño, siempre que se mantenga la cantidad total de refuerzo requerida para la losa sin abertura (d) En el área común de la intersección de las franjas de columna no se puede interrumpir el refuerzo con aberturas de más de 1/.8 del ancho de la franja de columna en cualquiera de las luces. Una cantidad de refuerzo equivalente al refuerzo interrumpido debe añadirse en los (e) En el área común de la intersección de las franjas centrales pueden localizarse aberturas de cualquier tamaño, siempre que se mantenga la cantidad total de refuerzo requerida para la losa sin abertura (f) En el área común de la intersección de las franjas de columna no se puede interrumpir el refuerzo con aberturas de más de 1/.8 del ancho de la franja de columna en cualquiera de las luces. Una cantidad de refuerzo equivalente al refuerzo interrumpido debe añadirse en los lados de la abertura (g) En el área común a una franja de columna y una franja central, no se puede interrumpir más de 1/4 del refuerzo por encima de la abertura en cada franja. El equivalente del refuerzo interrumpido debe añadirse en los lados de la abertura (h) Que se cumplan los requisitos de corte XIX 5 RESISTENCIA A CORTANTE DE LOSAS La resistencia al cortante de losas y zapatas en la vecindad de cargas concentradas o reacciones, se rige por la más severa de las dos condiciones siguientes: a) La acción como viga para la losa o zapata, con una sección crítica que se extiende en un plano a través del ancho total y está localizada a una distancia (de) de la cara del área de la carga concentrada o reacción. Para esta condición la losa o zapata debe ser diseña según el Capítulo de Cortante b) La acción en dos direcciones (punzonamiento) para la losa o zapata, con una sección crítica perpendicular al plano de la losa y localizada de modo que su perímetro (bo) sea mínimo pero sin necesidad de aproximarse a menos de (de / 2) de: - Los lados y esquinas de las columnas, cargas concentradas o apoyos o - Cambios de espesor de la losa, tal como los bordes de capiteles o ábacos o cabezas de cortante La sección crítica para el cortante en losas en dos direcciones sometidas a flexión sigue el perímetro del borde de la zona de carga. El esfuerzo cortante que actúa en esta sección para las cargas mayoradas es una función de √fc’ y de la relación de la dimensión lateral de la columna al espesor efectivo de la losa. Una ecuación más simple resulta suponiendo una sección crítica localizada a una distancia de (de / 2) a partir de la periferia de la carga concentrada. Cuando esto se hace la resistencia al cortante es independiente de la relación entre el tamaño de la columna y el espesor de la losa. Para columnas rectangulares, esta sección crítica está definida por líneas paralelas y a una distancia (de / 2) de los bordes de áreas de carga. Se permite el uso de una sección crítica rectangular.

En losa de espesor uniforme es suficiente verificar el cortante en una sección. Para losas con cambios en el espesor, como sucede en bordes de ábacos, es necesario verificar el cortante en varias secciones.

Para las columnas de borde, en donde la losa se extiende en voladizo más allá de la columna, el perímetro crítico consiste en tres o cuatro lados.

Para columnas cuadradas o rectangulares, cargas concentradas o áreas de reacción, se permite secciones críticas con cuatro lados rectos El diseño para la acción en dos direcciones (punzonamiento) de losas o zapatas se debe llevar a cabo de acuerdo con los epígrafes siguientes En las columnas de sección cuadrado o rectangular, cargas concentradas o áreas de apoyos, la sección crítica puede reducirse a cuatro lados rectos

225

XX.5.1 El diseño de la losa o zapata para la acción en dos direcciones (punzonamiento) debe basarse en las ecuaciones Vu ≤  Vn y Vn = Vc + Vs Para losas no presforzada y zapatas, Vc se toma como el menor valor de a) b) o c) a) Vc = (0.17√fc’ ) [ 1 + (2 / βc)] bo de XIX.5.1.1 b) Vc = (0.083√fc’ )[ 2 + (αs de / bo)] bo de XIX.5.1.2 c) Vc = (0.33√fc’)bo de XIX.5.1.3 βc- es la relación entre lado largo y lado corto de la columna, carga concentrada o área de apoyo αs- tiene el valor de 40 para columnas interiores, de 30 para columnas de borde y de 20 para columnas de esquina Para formas distintas de la rectangular, βc se toma como la relación entre la dimensión más larga del área cargada y la mayor dimensión del área cargada medida perpendicularmente a la primera

Sección crítica bn

ángulo recto an

Área efectiva de carga

área real de carga βc = an / bn

El área efectiva cargada es aquella que encierra totalmente el área real, y para la cual el perímetro es mínimo En las columnas de losa presforzada que trabajen en dos direcciones: Si se cumplen las siguientes condiciones: a) Ninguna parte de la sección de la columna puede estar más cerca de 4 espesores de la losa de un borde discontinuo b) fc’ no puede ser mayor que 35 MPa c) fpc en ninguna dirección puede ser menor de 0.9 MPa, ni mayor de 3.5 MPa Vc es: Vc = (βp √fc’ + 0.3 fpc) bo de + Vp XIX.5.1.4 Si no se cumple a), b) y c) entonces Vc se calcula según: XIX.5.1.1, XIX.5.1.2 y XIX.5.1.3 βp es el valor más pequeño de 0.29 o {[(αs de / bo) + 1.5]/ 12} αs, tiene un valor de 40 para columnas interiores, de 30 para columnas de borde y de 20 para columnas de esquina bo es es el perímetro de la sección crítica fpc es el esfuerzo de compresión en el concreto (después de descontar todas las pérdidas del presfuerzo), en el centroide de la sección transversal que resiste las cargas aplicadas externamente o en la unión del alma y el ala cuando el centroide está dentro del alma, expresado en MPa, (En elementos compuesto fpc es el esfuerzo de compresión resultante en el centroide de la sección compuesta, o en la unión del alma y el ala cuando el centroide está dentro de ésta, debido tanto al presfuerzo como los momentos resistidos por el elemento prefabricado actuando solo) fpc es el promedio de los valores de fpc para las dos direcciones Vp es la componente vertical de todo el presfuerzo efectivo que pasa a través de la sección crítica Al calcular fpc debe tenerse en cuenta la pérdida del presfuerzo debido a las restricciones de la losa por muros de cortante y otros elementos estructurales.

226

Cuando los tendones están distribuidos, el término Vp contribuye solamente en una pequeña parte de la resistencia al cortante y puede tomarse conservadoramente igual a cero. Si Vp es incluido debe especificarse el perfil de los tendones supuesto en los cálculos Para apoyo de columnas exteriores donde la distancia desde el exterior de la columna de borde de la losa es menor que cuatro veces el espesor de la losa, el presfuerzo no es completamente efectivo alrededor del del perímetro total de bo de la sección crítica. La resistencia al cortante en este caso se toma igual que para una losa no presforzada XIX.5.2 Se permite utilizar en losas y zapatas refuerzo de cortante que consista de barras o malla electrosoldada y estribos de una o varias ramas en losas y zapatas con (de) mayor o igual 150 mm (6”), pero no menor de 16 veces el diámetro de la barra de refuerzo al cortante de acuerdo con: La resistencia a cortante Vn debe calcularse por la ecuación Vn = Vc + Vs, teniendo en cuenta que Vc, no puede ser mayor que [(1 / 6) √fc’ bo de], {(2√fc’ bo de}(en sistema Inglés) y Vs debe estar de acuerdo con el Epígrafe Resistencia a Cortante Contribuida por el Refuerzo del Capítulo de Cortante y además bien anclado Vn no puede ser mayor de [(0.5√fc’ bo de], La distancia entre la cara de la columna y la primera línea de las ramas de los estribos que rodean la columna no debe exceder a (de / 2) El espaciamiento entre las ramas adyacentes de los estribos en la primera línea de refuerzo para cortante no debe exceder los (2 de) medidos en una dirección paralela a la cara de la columna.

El espaciamiento entre las líneas sucesivas de refuerzo para cortante que rodean la columna no debe exceder de (de / 2) en una dirección perpendicular a la cara de la columna El refuerzo para cortante en losas debe amarrar el refuerzo de flexión longitudinal en la dirección que esté siendo considerado En una conexión losa-columna en la cual la transferencia de momento es despreciable, el refuerzo para cortante debe ser simétrico alrededor del centroide de la sección crítica ver fig.

Sección crítica a través del refuerzo de cortante de la Sección crítica fuera de la zona de losa (primera fila de ramas de refuerzo de cortante de la losa estribo

de / 2

de / 2

o

o

o

o de / 2 estribos de / 2

Disposición de estribos de cortante en columna interior En columnas de borde, o en el caso de conexiones interiores donde la transferencia de momento es significativa, se recomienda estribos cerrados con un patrón lo más simétrico posible. Aunque los esfuerzos cortantes promedios en las caras AD y BC de la columna exterior de la figura (próxima página) son menores que en la cara AB. los estribos cerrados que se extienden desde la cara AD y BC proporcionan una cierta capacidad de torsión a lo largo del borde de la losa (Ver figura en la próxima página) XIX.5.2.1 Se puede utilizar en las losas refuerzo a cortante que consista de perfiles de acero en I o canales (cabezas de cortante) Las disposiciones de XIX.5.2.2 a XIX.5.2.10 deben aplicarse donde el cortante debido

227

a cargas gravitacionales se transfieren a columnas interiores. Donde halla transferencia de momento a las columnas, debe aplicarse XIX.4.8 En el diseño de cabezas de cortante para conexiones que transfieren cortantes debido a cargas gravitacionales, deben considerarse tres criterios básicos. a) Debe proporcionarse una resistencia mínima a flexión con objeto de garantizar que se alcance la resistencia requerida a cortante de la losa antes que se exceda la resistencia a flexión de la cabeza de cortante b) Debe limitarse el esfuerzo cortante de la losa, en el extremo de la cabeza de cortante c) Después de satisfacer estos dos requisitos, se puede reducir el refuerzo negativo de la losa proporcionalmente a la contribución de momento de la cabeza de cortante en la sección de diseño

Sección crítica fuera de la zona de refuerzo de cortante de la losa

Borde de la losa

D

C

de / 2

A o

o

o

o

de / 2

B

Sección crítica a través del refuerzo de cortante de la losa (primera fila de ramas de los estribos

Disposición de estribos de cortante en columnas de bordes XIX.5.2.2 Cada cabeza de cortante debe consistir de perfiles fabricados de acero, soldado, por medio de soldaduras de penetración total, cuatro brazos idénticos que formen ángulos rectos. Los brazos de la cabeza de cortante deben ser continuos a través de toda la sección de la columna XIX.5.2.3 La cabezas de cortantes no deben ser de una altura mayor que 70 veces el espesor del alma frl perfil de acero XIX.5.2.4 Los extremos de cada brazo de la cabeza de cortante pueden cortarse en un ángulo no menor de 30˚ con respecto a la horizontal, si la capacidad del momento plástico de la sección en chaflán restante es adecuada para resistir la fuerza cortante asignada a ese brazo de la cabeza de cortante XIX.5.2.5 Todas las aletas de compresión de los perfiles de acero deben localizarse dentro de (0.3 de) de la superficie de compresión de la losa XIX.5.2.6 La relación αv entre la rigidez de cada brazo de la cabeza de cortante y de la sección compuesta fisurada de la losa que la circunda, con un ancho de (c2 + de) no debe ser mayor que 0.15 c2 es la dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente medida transversalmente a la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos XX.5.2.7 El momento plástico resistente Mp que se requiere para cada brazo de la cabeza de cortante debe calcularse por medio de:  Mp = (Vu / 2 η) { hv + αv [ lv – c1 / 2] XIX.5.2.7.1  es el Coeficiente de reducción de resistencia para flexión (tracción controlada) η es el número de brazos

228

lc es la longitud mínima de cada brazo de la cabeza de cortante que se requiere para cumplir los requisitos XIX.5.2.8 y XIX.5.2.9 o sea, es la distancia desde el centro de la columna al punto en el cual ya no son necesarias las cabezas de cortante c1 es la dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos La distribución idealizada de cortante supuesta a lo largo de un brazo de la cabeza de cortante en una columna interior se muestra a continuación en la próxima página

Cara de la columna

hv

lv – c1 / 2

hv

(Vu / ) – [Vc (1 – αv) / n]

Cortante idealizado que actúa en la cabeza de cortante El cortante a lo largo de cada uno de los brazos se toma como (αc Vc / n) menos el cortante soportado en la columna por la zona de compresión del concreto de la losa. La ecuación XIX.5.2.7.1se deduce de la suposición de que la fuerza cortante que causa el agrietamiento inclinado Vc es aproximadamente la mitad de la fuerza cortante Vu. Mp es la resistencia al momento plástico requerida de cada brazo de la cabeza de cortante para asegurar que se alcanza Vu en el instante en que se alcanza la resistencia a momento de la cabeza de cortante XIX.5.2.8 La sección crítica de la losa para cortante debe ser perpendicular al plano de la losa y atravesar cada brazo de la cabeza de cortante a (3 / 4) de la distancia [lv – (c1 / 2)] de la cara de la columna en el extremo del brazo. La sección crítica debe ser localizada de modo que su perímetro bo sea mínimo, pero sin necesidad de aproximarse más cerca que el perímetro definido en XIX5a XIX.5.2.9 El cortante Vn no debe ser mayor de (1 / 3) √fc’, XIX.5.2.10 Puede suponerse que la cabeza de cortante contribuye a cada franja de columna de la losa con una resistencia a momento Mv calculada co Mv = (  αv Vu / 2 η) [lv – (c1 / 2)] XIX.5.2.9.1 Mv no debe tomarse mayor que: a) 30% del momento mayorado total que se requiera para cada franja de columna de la losa b) el cambio en el momento de la franja de columna en la longitud lv c) el valor de Mp calculado por la ecuación XIX.5.2.7.1 XIX.6 MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE

229

En este apartado se trata el diseño de losas por el Método del Pórtico Equivalente. Todas las secciones de la losa y de los elementos que le dan apoyo deben dimensionarse para los momentos y cortantes así obtenidos Donde se utilicen elementos metálicos de capitel para columnas, pueden tenerse en cuenta su contribución a la rigidez y a la resistencia de momento y cortante Pueden despreciarse los cambios en la longitud de las columnas y de losas debidos a los esfuerzos axiales y las deformaciones debidas a esfuerzo cortante El Método del Pórtico Equivalente se basa en los siguientes principios: (a) La estructura debe considerarse constituida por Pórticos Equivalentes tomados longitudinal y transversalmente a través del edificio sobre la línea de columnas (b) Cada pórtico consiste en una fila de columnas o apoyos equivalentes y franjas de losa-viga limitadas lateralmente por la línea central de la losa a cada lado del eje de columnas o apoyos (c) Las columnas o apoyos deben suponerse adheridos a las franjas de losa o viga por medio de un elemento torsional transversal a la dirección de la luz para la cual se están calculando los momentos y que se extienden hasta la línea medía de los paneles localizados a cada lado de la columna (d) Los pórticos adyacentes y paralelos a un borde están limitados por dicho borde y por la línea central de la losa adyacente (e) El Pórtico Equivalente debe analizarse en su totalidad. Alternativamente pueden realizarse análisis independientes, solamente para cargas de gravedad, aislando cada piso de los adyacentes, superior e inferior y considerando empotrados los extremos lejanos de las columnas (f) Cuando se analicen las vigas-losa separadamente para determinar el momento en un apoyo dado, puede suponerse que la viga-losa está empotrada en cualquier apoyo distante dos paneles de allí

eje de columnas

Pórtico equivalente exterior

L1 L1

L1

Franja de columna L2 / 4

L2 / 2 (Pórtico Equivalente interior)

Empotramiento

230

Empotramiento Pórtico equivalente Fig No.1 Vigas-losa El momento de inercia de las vigas-losa en cualquier sección transversal de los nudos o capiteles de columna, puede basarse en el área bruta del concreto Debe tenerse en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo del eje de las vigas-losa El momento de inercia de las vigas-losa desde el centro de columna hasta la cara de la columna, ménsula o capitel se supone igual a su momento de inercia en la cara de la columna, ménsula o capitel dividido por la cantidad (1 – c2 / L2)^2 donde c2 y L2 se miden transversalmente a la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos Columnas El momento de inercia de las columnas en cualquier sección localizada fuera de los nudos o capiteles puede determinarse de la sección bruta de concreto Deben tenerse en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo del eje de la columna El momento de inercia de la columna dentro de la viga-losa puede considerarse infinito

I=

I = Lc

Ecc Ic

Lc Ecc Ic

I=

I =

Sin viga

Con capitel en columna

I = I=

Lc

Ecc Ic

Lc

Ecc Ic

I= I=

Con ábaco Con viga Elementos a torsión Debe suponerse que los que los elementos a torsión adheridos tienen una sección transversal constante en toda su longitud, consistente en la mayor de: c)

Una porción de losa con ancho igual al de la columna, ménsula o capitel en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos c1

c1

c1

231

d) Para construcción monolítica o totalmente compuesta, la porción de la losa especificada en (a) más la porción de la viga transversal por encima y por debajo de la losa

hf

bw

hw

c) La viga transversal hw  4 hf c1 hf

hf hf hw hw

hw bw

c1

bw + 2 hw  bw + 8 hf En el caso de que lleguen vigas a las columnas en las direcciones de la luz para la cual se determinan los momentos, la rigidez torsional debe multiplicarse por la relación entre el momento de inercia de la losa con dicha viga y el momento de inercia de la losa sin viga La rigidez torsional de la losa en la línea de columnas es: Kt = { 9 Ecs C / (L2) [ 1 – ( c2 / L2 )] ^3} XIX.6.1 El término C es la constante de la sección que define las propiedades torsionales de cada miembro en la unión C = { 1 – 0.63 (x / y)} (x^3 y / 3) XIX.6.2 x- es la dimensión más corta e (y) es la dimensión más larga de los rectángulos Para calcular C, se divide la sección en rectángulos y se suma. Se debe dividir la sección de tal manera que se obtenga el valor mayor de C El valor de Kt anterior se debe incrementar, según la siguiente ecuación, si en la dirección del momento, las vigas del pórtico en el apoyo han sido determinadas Kta = Kt Isb / Is XIX.6.3 Kta – Aumento de la rigidez torsional, debido a las vigas paralela Is – Momento de inercia de un ancho de losa igual al ancho completo entre los centros de paneles, L2, incluyendo la porción de la viga extendida sobre y debajo de la losa Isb – Momento de inercia de la sección de la losa determinada para Is, incluyendo la parte de la viga extendida sobre y debajo de la losa. Isb es para la sección T completa Es conveniente utilizar el concepto de Columna Equivalente. La rigidez de la Columna Equivalente está dada por: ( 1 / Kec) = (1 / Kc) + (1 / Kt) XIX.6.4 Para el diseño, es más conveniente utilizar la fórmula anterior en la forma siguiente: Kec = (Kc + Kt) / (Kc + Kt) XIX.6.5 La rigidez de la Columna Equivalente se determina con la siguiente expresión: Kec = (Kct + Kcb) (Kta + Kta) / (Kct + Kcb + Kta + Kta) XIX.6.6 Kct -Rigidez a flexión en la parte superior de la columna inferior en la unión Kcb -Rigidez a flexión en la parte inferior de la columna superior Kta - Rigidez torsional de cada elemento a torsión, a cada lado de la columna aumentadas por las vigas

232

paralelas (si las hay) Distribución de la carga viva Cuando se conoce la distribución de cargas, el Pórtico Equivalente debe analizarse para esas cargas a) Cuando la carga viva es variable pero no exceda de los 3/4 de la carga muerta, o la naturaleza de la carga viva sea de tal que todos los paneles estén cargados simultáneamente, puede suponerse que los momentos mayorados ocurren en todas las secciones con carga viva mayorada sobre todo el sistema b) Para condiciones de cargas diferentes a las definidas en a), puede suponerse que el máximo momento mayorado positivo cerca del centro de un panel ocurre con los 3/4 de la carga viva mayorada sobre ese panel y sobre los paneles alternos wd + ¾ wl

A

wd

wd + ¾ wl

wd

wd + ¾ wl

B C D E Máximo momento positivo entre A-B, C-D, E-F

F

Y, además, que el máximo momento mayorado negativo sobre un apoyo ocurre con los 3/4 de la carga mayorada sobre los paneles adyacentes solamente

wd + ¾ wl wd + ¾ wl wd A

B

C

wd D

wd E

F

Máximo momento negativo en el apoyo B

Los momentos mayorados no deben tenerse menores de los que ocurren con la carga viva mayorada total en todos los paneles Determinación del momento estático Mo Sea el panel interior de la fig. No.1 con luz igual a L1 en la dirección que el momento será considerado y L2 en la dirección perpendicular. La luz libre es Ln que se extiende de la cara de columna, capitel, muro o pared a cara de columna, capitel o muro (esta dimensión no debe menor que 0.61 L1. Cuando el apoyo es circular se considera como cuadrado teniendo la misma área. El momento total estático de una carga uniformemente distribuida en una viga simplemente apoyada es Mo = w L^2 / 8. En una losa de elemento en dos direcciones, idealizándola como un pórtico equivalente, es posible calcular Mo en dos direcciones (x e y) ortogonales.

Entonces el momento en el medio de la luz es: Mo = [(w L2 Ln1) / 2][ ln1 / 2] - (w L2 Ln1) / 2][ ln1 / 4] ó Mo = w L2 (Ln1)^2 / 8 XIX.6.7 Como existe restricciones en los apoyos , el momento Mo en la dirección x , debe ser distribuido en los apoyos y en el centro de la luz, como: Mo = Mc + [(Ma + Mb) / 2] XIX.6.8 Mc es el momento en el centro de la luz Ma y Mb son los momentos en los apoyos En la dirección (y) Mo’ = Mc’ + [(Ma’ + Mb’) / 2] XIX.6.9 Mo’ = w L1 (Ln2)^2 / 8 XIX.6.10 Momentos mayorados En los apoyos interiores la sección crítica para momento mayorado negativo (tanto en las franjas de columna como en la franja central) debe tomarse a (de/2) de la cara de los apoyos rectilíneos, siendo (de) el peralto efectivo de la losa en el apoyo, pero a no más de 0.175 L1, medido desde el centro de la columna

233

En los apoyos exteriores provistos de ménsulas o capiteles, la sección crítica para momento mayorado negativo en la luz perpendicular a un borde debe tenerse en una distancia de la cara del elemento de apoyo no mayor de (de/2), siendo (de) el peralto efectivo Para la localización de la sección crítica para momento negativo, los apoyos de forma circular o de polígono regular deben tratarse como apoyos cuadrados con la misma área Los momentos determinados para las columnas equivalentes en el análisis del pórtico deben utilizarse en el diseño de las columnas reales por encima y por debajo de las vigas-losas Carga Balanceada En losas en dos direcciones presforzada apoyadas en apoyos rígidos, teniendo luces Lc y Ll en las direcciones corta y larga .El valor de la carga balanceada hacia arriba es: Wbalc = 8 Pc es / (Lc)^2 XIX.6.11 Wball = 8 Pl el / (Ll)^2 XIX.6.12 Pc y Pl son la fuerza efectiva del presfuerzo después de todas las pérdidas en la dirección corta y larga respectivamente por unidad de ancho de la losa es y el son la excentricidad máxima de los tendones del PRESFORZADO La carga total balanceada por unidad de ancho es: Wbal = Wbal s + Wball = (8 Pc es / Lc^2) + (8 Pl el / Ll^2) XIX.6.13 Se debe seleccionar el valor de Wbal y determinar los valores de Pc y Pl Si el panel de la losa está apoyado en vigas, o un panel simple es apoyado en paredes, lo más económico es llevar la carga W en la dirección de la luz corta, o W / 2 en cada dirección si es un panel cuadrado El panel de la losa cargada con la carga Wbal y esforzada por las fuerzas del presfuerzo Pc y Pl debe ser sometida a esfuerzos uniforme Pc / h y Pl / h, en las respectivas direcciones, h es el espesor de la losa El panel debe estar totalmente nivelado, sin defecciones o flecha. Cualquier desviación de la carga Wbal debe requerir la utilización del análisis de la teoría elástica para placas de dos sentidos Como losa postensionada en dos sentidos es la losa sin viga (flat slab) apoyada directamente en las columnas, todas las cargas se llevan en ambos sentido, utilizando tendones uniformemente distribuidos o bandas de tendones, con una concentración de tendones en las bandas de columnas Distribución de esfuerzos uniforme y cero deflexión o flecha no es mandatario para el diseño de la losa. Si hay, la carga balanceada no es la solución más económica, se debe utilizar una carga parcial balanceada Wba < Wp + WL donde (Wp es la carga permanente y WL es la carga viva) para una losa de múltiples paneles Los esfuerzos unitarios en el concreto en la dirección corta y larga debido a la carga no balanceada es obtenida superponiendo el esfuerzo uniforme de compresión debido a la carga balanceada en los esfuerzos a flexión en el concreto causado por momento flector Mc y Ml que resultan de la carga no balanceada Ww – Wbal Los esfuerzos en el concreto en las fibras superiores e inferiores en cada dirección son: En la dirección corta: fs = - (Pc / b h) – (Mc c / Ic ) XIX.6..14 fi = - (Pc / b h) + Mc c / Ic XIX.6.15

En la dirección larga: fs = - (Pl / b h) – (Ml c / Il ) fi = - (Pl / b h) + Mc c / Il

XIX.6.16 XIX.6.17

El sub índice s representa la fibra superior, el i, la inferior c=h/2 XIX.6.18 Pc = Pc total / Ll XIX.6.19 Pl = Pl total / Lc XIX.6.20 son las fuerzas unitarias del presfuerzo XIX.7 RESISTENCIA A FLEXIÓN PARA LOSAS PRESFORZADAS El diseño a flexión de losas presforzada se determina por la combinación de la distribución del momento último Mu debido a las cargas mayoradas (carga muerta y viva) con el momento secundario Ms producido en el pórtico por los tendones de presfuerzo

234

La carga balanceada discutida anteriormente ya incluye los momentos primarios y secundarios. Para cargas de servicio. Solamente la carga neta (Wneta) se necesita considerar en los cálculos de los momentos de extremos fijos, mientras Wbal se necesita ser considerado en el análisis de la resistencia a flexión Distribución de los momentos de extremos fijos (Mu) Si M1 = Pe e = F e, es el momento primario, Mbal es el momento balanceado producto de la carga balanceada Wbal, Ms = (Mbal – M1) es el momento secundario y Mue es el momento de extremo fijo producto de la carga Wu, entonces el momento de diseño debe ser como menos: Mud = Mue - Ms XIX.7.1 Cuando se utiliza refuerzo adherido con el mínimo refuerzo no PRESFORZADO en el apoyo, el momento negativo puede ser distribuido XIX.8 DISTRIBUCIÓN DE LOS TENDONES DE PRESFUERZO Se recomienda que para luces continuas se debe concentrar del 65-75% de los tendones en la franja de las columnas y el resto en la franja centra, también se recomienda que el espaciamiento de los tendones en la franja de columna debe ser de tres o cuatro veces el grueso de la losa. El máximo espaciamiento de la franja central debe ser seis veces del espesor de la losa. El promedio del esfuerzo de compresión en cada dirección debe ser al menos alrededor de 0.9 MPa XIX.9 DEFORMACIÓN DE LAS LOSAS REFORZADAS EN DOS SENTIDOS Es conveniente utilizar el concepto de Columna Equivalente, para determinar la deformación de losas reforzadas en dos sentidos. La rigidez de la Columna Equivalente está dada por: ( 1 / Kec) = (1 / Kc) + (1 / Kt) XIX.9.1 El valor de Kec debe ser determinado para calcular la deformación por este método La franja de viga-columna son considerada apoyada en la franja de las vigas-columnas transversales en el centro de la línea de las columnas y no en las columnas.

Eje de columna Eje de columna viga placa 0.25 L

L/2

0.25 L

0.25 L

0.25 L

0.25 c Eje columna 0.25 c Losa simplemente apoyada equivalente

c

235

0.25 Eje de columna 0.25 c L

Nivel de la loza descargada

∆a

∆b

∆b

∆a

∆c 0.25 L

0.25 L

perfil de la losa cargada en el medio de la luz L Eje de columna

Eje de columna

La deformación de un panel típico es considerada en una sola dirección y después en otra. Por lo cual la deformación total es la suma de la deformación en el sentido X más la deformación en el sentido Y La deformación de cada panel puede considerarse de la suma de tres componentes 1 -La deformación en el centro de la luz, asumiendo los extremos fijos, dado por: δ’ = w L^4 / 384 Ec Ipórtico XIX.9.2 Tiene que considerarse la deformación δc de las franjas de columna y δm en la franja del medio δc = (δ’ Mfranja losa Ec Icm) / (Mpórtico Ec Ic) XIX.9.3 δm = (δ’ Mfranja columna Ec Icm) / (Mpórtico Ec Im) XIX.9.4 Icm es el momento de inercia del pórtico total Ic es el momento de inercia de la franja de columna Im es el momento de inercia de la franja del medio de la losa - La deformación central, δcL = θL / 8, debido a la rotación del extremo izquierdo mientras el extremo derecho es considerado fijo, θL = Mnet izquierdo / Kec XIX.9.5 2

- La deformación central, δcR = θL / 8, debido a la rotación del extremo derecho mientras el extremo izquierdo es considerado fijo θL = Met derecho / Kec XIX.10.5 3

δcx o δcy = δc + θL + δcR XIX.9.6 δmx o δmy = δm + θL + δcR XIX.9.7 La deformación total es ∆ = δmx + δcy = δmy + δcx

XIX.10.8

XIX.10 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE LOSAS PRESFORZADAS EN DOS DIRECCIONES POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE 1.

Se determina la geometría de la losa y las cargas para el análisis del método del pórtico equivalente

236

2.

3.

Se selecciona el espesor de la losa para la luz longitudinal L / 45 o para la luz transversal c / 45.

Se determina la carga muerta total de servicio , la caga viva y las cargas mayoradas Se asume el perfil del tendón a través de las luces continuas en ambas direcciones. Se determina la fuerza de presfuerzo F, el esfuerzo en el concreto fc = F / Ac, y la cantidad de tendones en la luz. Se calcula el valor de la carga balanceada Wbal = 8 F a / L^2 y la carga neta: Wnet

+ Ww

- Wbal

4 - Se determina las características del pórtico equivalente y la rigidez torsional y de flexión de la losa dado por: Kc = 4 EI / (L – 2 h) Kt = ∑ {9 Ecs C / [L2 ( 1 – (c2/ L2))^3]} C = ∑[(1 – (0.63 x / y))x^3 / 3]

5-

6-

7-

8-

9-

10.

11-

Se determina Kec = [(1 / Kc) + (1 / Kt)] ^ (-1) para la columna interior y la exterior, y la rigidez de la losa Ks = 4 E I / [L1 – (c1 / 2)] En cada unión se determina el factor de distribución de los momentos: FD = Ks / ∑K de la losa ∑K = Kec + Ksizq + Ksder Se calcula los momentos de extremos fijos (MEF) en las uniones para la carga neta dado MEF = WL^2 / 12, para la carga distribuida Se corre la distribución de momento para los momentos de carga neta Mnet y se ajusta la distribución de momentos para obtener los valores de los momentos netos en la cara de los apoyos con Mn = Mn en el centro de la luz - Vc / 3. Se comprueba que el esfuerzo en el Concreto: ft = - P / A + Mnet / S ≤ √fc’ / 2, para la sección en el apoyo y ft ≤ √fc’ / 6 para la sección en el medio de la luz Calcule los momentos de extremos fijos para la carga balanceada de servicio: MEFbal = Wbal L^2 / 12 y corra la distribución de momento de los momentos de la carga balanceada Mbal.

Halle el momento primario M1 = Pe e y el momento secundario Ms = Distribución (Mbal – M1) Calcule los momentos mayorados de extremos fijos MudEF = Wud L^2 / 12 y corra la distribuido de los momentos mayorados. Determine el momento requerido Mu = Distribuido( Mud – Ms) para todas las uniones de la losa y el momento máximo positivo a lo largo de la luz Determine el momento nominal requerido Mn = Mu / φ para el momento negativo en el apoyo (-Mu). Compruebe que el momento –Mn y el +Mn para la losa y acero de presfuerzo es adecuado. Determine la redistribución de los momentos inelásticos ∆Mr de: ρd = 20{1 – [ωp + ( de/ dp)( ω – ω’)] / 0.36 β1} en porciento ∆Mr = ρd(Mu en el apoyo) adicione refuerzo no PRESFORZADO en el apoyo y en el medio de la luz si es necesario El refuerzo mínimo no PRESFORZADO es 0.0007 hL Compruebe el cortante nominal de la losa en los apoyos exteriores e interiores Calcule la transferencia de cortante-momento y la transferencia de momento por flexión en la columna f = 1 / {1 + [2/3][(b1 / b2)]} v = 1 – {1 / [ 1 + [2/3] [(b1 / b2)]} b1 = c1 + de / 2 para las columnas exteriores b1 = c1 + de para las columnas interiores b2 = c2 + de Calcule cAB y cCD para las columnas exteriores, Mn = Mue – Vug Compruebe el cortante

237

1213-

Calcule el momento mayorado f Mn y compruebe la resistencia a momento Mn. concentre el acero en la franja de columna [c + 2(1.5h)] Compruebe la deformación

XIX.11 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA PRESFORZADA POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE Diseñar la losa sin vigas de la figura por el Método del Pórtico Equivalente Pórtico Equivalente Dimensiones de las columnas: 0.5 m Las cargas laterales son resistidas por las paredes Peso de las paredes divisorias móviles: 0.5 kN/m^2

.

A. 6m B

Carga viva: 2.0 kN/m^2

6m .

C

Columnas cuadradas de 0.5 m 6m . D .

.

5m

5m

5m

5m

Concreto: fc’ =28 MPa fct’ = 2.1 MPa En las columnas ft = 2.60 MPa En el medio de la luz ft = 0.90 MPa Refuerzo PRESFORZADO fpu = 1860 MPa fps no debe exceder 1270 MPa fpy = 1670 MPa fpe = 1100 MPa Eps = 200000 MPa Refuerzo ordinario fy = 420 MPa Consideremos h = 15 cm El peralto efectivo (de) será: 15 – 2 = 13 cm El peso propio de la losa es: 3.6 kN/m^2 La carga total mayorada: wu = 1.2(0.5 + 3.6) + 1.6x 2.0 = 8.12 kN/m² L1 = 6.00 m L2 = 5.00 m a) Carga balanceada y disposición de los cables Consideramos que el esfuerzo en el concreto debido a la carga balanceada es 1.2 MPa. La fuerza F =1.2 x 0.15 = 0.18 MN / m. Utilizando  1.27 cm 270-K (7 alambres) Pe = 0.1082206 MN, como L1 = 6.00 m la fuerza total es Fe = F L1 = 0.18 x 6 = 1.08 MN La cantidad de cables por tramo es Fe / Pe = 1.08 / 0.1082206 = 9.97 cables, consideramos 10 cables Entonces Pe = Fe = 10 x 0.1082206 = 1.082206 MN La fuerza unitaria actual es F = 1.082206 / 6 = 0.180367 MN/m fc(actual) = F / A = 0.180367 / 0.15 = 1.20245 1.20 MPa Utilizamos fc = 1.20245 MPa Luz extrema AB o en el centro de CD a1 = (0.075 + 0.13) / 2 – 0.0444 = 0.0581 m Wbal = 8 F a1 / Ln^2 = 8 x 0.180367 x 0.0581 / 5^2 = 0.00335 MN/m^2 Wnet = Ww – Wbal = 0.0061 – 0.00335 = 0.00275 MN/ m^2 Pórtico Equivalente

238

Para el pórtico indicado en la figura Kc = 4 Ec Ic / (Ln – 2h) Ln = 4 m Columnas exteriores: b= 0.5 m Ic = (0.5)^4 / 12 = 0.00521 m^4 Ecol/Elosa = Ecc/Ecs = 1.0 Para la parte superior e inferior de la columna Total Kc = [4 x 1 x 0.00521 / (4 – 2 x 0.15)] x 2 = 0.011265 MN-m/rad /Ecc C = [1 – 0.63(x/y)] (x^3) y / 3 = [1 – 0.63 (0.15 / 0.5)] 0.15^3 x 0.5 / 3 = 0.000456 Kt =  [9 Ecs C / L2 (1 – (c2 / L2)^3] = 9 x 1 x 0.000456 / 6 x (1 – 0.5 / 6)^3 = 0.00089 MN-m/rad/Ecc Kec = (1/Kc + 1/kt )^(-1) = (1/0.011265 + 1/0.00089) = 0.0008248 MN-m/rad/Ecc Columnas interiores b = 0.5m Ic = 0.00521 m^4 Total Kc = [4 x 1 x 0.00521 / 4 – 2 x 0.15)] = 0.0011265 MN-m/rad /Ecc C = 0.000456 Kt = 0.00089 MN-m/rad/Ecc Kec = 0.0008248 MN-rad/Ecc Losa Is = 6 x 0.15^3 / 12 = 0.0016875 Klosa = 4 Ecs Is / [Ln – (c1/2)] = 4 x1 x 0.0016875 / [5 – (0.5 /2)] = 0.001421m-MN/rad/Ecs El factor de distribución de momento (FEM) es: FD = Ks / K K = Kec + Ks der + Ks izq en este caso Ks der = Ks izq = 0.001421 Para losa exterior en A FD = 0.001421/ (0.0008248 + 0.0012421) = 0.6875 Para losa interior en B FD = 0.001421 / (0.0008248 + 0.001241 + 0.001241) = 0.427 Wnet = 0.00275 MN/m^2 El momento en extremos fijos = Wnet Ln^2 / 12 = 0.00275 x 6^2 / 12 = 0.00825 MN-m = M ext fijo =8.25 x 10^3 MN-m Utilizando el método de Cross

A

B

C

D

FD

0.6875 0.427 0.427

0.427 0.427 0.6875

MU

0.5 - 8.25

0.5 0.5 8.25 -8.25

0.5 0.5 8.25 –8.25

5.67 0

0 0 2.83 0 - 1.21 –1.21

0.5 8.25

MEF x 10^3 OC Dis

TOTAL

- 2.58

0 0 0 - 2.83 1.21 1.21

-5.67

9.9 9.46

239

El momento neto en la columna B es el momento 0.0099 MN-m menos Vc/3 Mnet/max = 0.0099 – (1/3) (5 x 0.00275 x 6 /2) = -0.00385 MN-m/m El Módulo de la Sección de la losa es S = 1 x 0.15^2 / 6 = 0.00375 m^3 ft = -P/A + M/S = -1.20 - (0.00385) / 0.00375 = - 2.226 MPa (Compresión) Momento de cálculo Momento balanceado Mbal El momento secundario es Ms = Mbal – M1 Mbal – es momento balanceado M1 – es momento primario M1 = Pe e =F e Como todas luces son iguales FE Mbal = 0.00335 x 6^2 / 12 = 0.0105 MN-m / m =10.5 kN-m/m A B C D

FD

0.6875 0.427 0.427

0.427 0.427 0.6875

MU

0.5 -10.5

0.5 0.5 10.5 -10.5

0.5 0.5 10.5 –10.5

0.5 10.5

7.22 0

0 0 3.61 0 - 1.54 –1.54

0 0 0 - 3.61 1.51 1.51

-7.22

- 3.28

12.57 -12.04

MEF x 10^3 OC Dis

TOTAL

Momento Secundario Ms y Momento de cálculo Mu Luz AB El momento primario M1/m en A es M1 = Pe e = o Mbal = 3.28 x 10^3 kN-m /m (de la tabla anterior) Ms – Mbal – M1 = 3.28 x 10^3 – 0 = 3.28 x 10^3 kN-m/m La momento mayorada en extremo fijo FEMu = Wu L^2 / 12 = 8.12 x 6^2 / 12 = 24.36 kN-m/m Luz BA e = 0.15/2 – 0.025 = 0.05 m M1 = F x e = 0.180367 x 0.05 = 0.009 MN-m Mbal = 12.57 kN-m = 0.01257 MN-m Ms = Mbal – M1 =0.01257 – 0.009 = 0.00357 MN-m FEMu = 24.36 kN-m/m = 0.02436 MN-m/m Luz BC e = 0.05 m M1 = 0.009 MN-m Mbal = 0.01254 MN-m/m Ms = 0.01254 – 0.009 = 0.00354 MN-m/m FEMu = 8.12 x 6^2 / 12 = 24.36 kN-m/m = 0.02436 MN-m/m Para el momento de cálculo A B

FD

0.6875 0.427 0.427

C

D

0.427 0.427 0.6875

240

MU

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -24.36 24.36 - 24.36 24.36 –24.36 24.36

MEF x 10^3 16.75 0 0 0 0 -16.75 OC 0 8.37 0 0 - 8.37 Dis - 3.57 –3.57 3.57 3.57 TOTAL - 7.61 29.16 -27.94 El momento de cálculo Mu es la diferencia del momento de cálculo Mu(-) y el momento secundario momento Ms, Mu = Mu(-) - Ms Luz AB En la unión A: Ms = 3.28 x 10^3 kN-m y en el centro Mu = 7.61 – 3.28 = 4.33 x 10^3 MN-m/m VAB = Wu L / 2 - M = (8.12 x 6 / 2) – (29.26 – 7.61) / 6 = 20.75 x 10^3 kN/m c = 0.5 m El momento en el centro de la luz: Mu =7.61 – 3.28 = 4.33 x 10^3 kN-m/m En la cara de la columna: Mu = 4.33 – 20.75 / 3 = - 2.58 x 10^3 kN-m/m De la misma forma se realiza en las distintas luces El refuerzo ordinario mínimo necesario es At = 0.00075 h L = 0.00075 x 0.15 x 6 = 0.000675 m^2 As = 6.75 cm^2 Este refuerzo debe distribuirse en el ancho del panel con un espaciamiento máximo de 15 cm y debe concentrarse en una franja igual al ancho de la columna más vez y medía el ancho de la losa a cada lado de la columna Como la relación L / h = 6 / 0.15 = 7.5 y cables no adherido, entonces: fps = fpe + 70 + fc’ / 100 p < fpy y no mayor de fpe + 420 p = Aps / b de = 9.870 / (600 x 13) = 0.001265 fpe = 1100MPa fps = 1100 + 70 + 28 / (100 x 0.001265) = 1575 MPa, pero fpe + 420 = 1100 + 420 = 1520 MPa y fpy = 1670 MPa, por lo cual se toma el menor que es fps = 1520 MPa Fps = Aps x fpy = 9.87 x 1520 / 10000 = 1.50 MN/m Fs = 0.000675 x 420 = 0.2835 MN/m La fuerza total por metro es: Ft = 1.50 + 0.2835 = 1.78 MN/m El momento que resiste la zona de compresión del concreto para  = 0.9 es: Mc = 0.205 fc’ b(de^2) = 0.205 x 28 x 1 x (0.13)^2 = 0.097 MN/m = 97 kN/m Mu = 4.33 10^3 kN/m< Mc, El Concreto resiste y se puede utilizar  = 0.9 ya que t > 0.005 La altura de la zona en compresión es a = As fy + Aps fps / 0.85 fc’ b a = 1.78 / 0.85 x 28 x 1 = 0.0747 m d – a/2 = 0.13 – 0.0747 / 2 = 0.0927 Y el refuerzo resiste Mn = 1.78 x 0.0927 = 0.165 MN-m Mn/ 0.9 = 0.18 MN-m > Mu = 0.00433 MN-m De la misma forma se realiza en las otras formas Cortante Columnas exteriores VAB = 20.75 x 10^3 KN/m El cortante total = 20.75 x 10^3 x 5 = 103.75 X 10^3 kN/m Columna 0.5 x 0.5 m

241

c1 = 0.5 m

La sección crítica se encuentra d/2 = 0.13 / 2 = 0.065 m dpmax = dv = 0.8 d = 0.104 m c1 = c2 = 0.5 m b1 = c1 + d/2 = 0.5 + 0.065 = 0.565 m b2 =c2 + d = 0.63 m d(2 c1 + c2 + 2d) x = d (c1 + d/2)^2 Usando d = dv = 0104 m Ac = bo dv = (2 x 0.565 + 0.63) 0.104 = 0.183 m x = CAB = (b1)^2 dv / Ac = (0.565)^2 x 0.104/ 0.2288 = 0.1820 m CCD = b1 – CAB = 0.565 – 0.1820 = 0.383 m g = x – dv/2 = 0.1820 – 0.104/2 = 0.13 m

v = 1 – 1 / [ 1 + (2/3)(b1/b2)] = 0.386 f = 1 / [ 1 + (2/3) (b1/b2)] = 0.613 Jc = [(c1 + dv/2)dv^3 / 6] + (2dv/3) (CAB^3 + CCD^3) + (c2 + dv1) dv / (CAB)^2 = 1.974 m^4 El momento unitario en el centro de la luz es Mu = 4.33 x10^3 kN-m, por lo cual el momento en al franja es Mu = 4.33 x 5 x 10^3 = 21.65 x 10^3 kN-m Considerando que el Vu actúa en la cara de la columna para la transferencia del momento-cortante, de lo cual la transferencia del momento-cortante por excentricidad es Vu g = 20.75 x 10^3 x 0.13 = 2.695 x 10^3 kN-m El momento externo total es Muc = (21.65 + 2.695) x 10^3 = 24.345 x 10^3 kN-m La fracción del momento transferido por el cortante es v Muc = 0.386 x 24.345 x 10^3 = 9.397 x 10^3 kN-m vn = (Vu / 0.85 Ac) + v CAB Mu/  Jc = vn = 20.75 x 10^3 / 0.85 x 0.183 + (0.386 x 0.1820 x 24.345 x 10^3) / 1.974 = 134.26 kPa = 0.1343 MPa fc = Pe / Ac = 1.204 MPa No considerando la componente vertical del PRESFORZADO, ni Vp vc = p fc’ + 0.3 fpc p es el menor valor de 0.29 ó [( s d / bo) +1.5 ]/12 s = 30 por ser columna de borde bo = 2 x 0.565 + 0.63 = 1.76 m^2 [( s d / bo) +1.5 ]/12 = [(30 x 0.13 / 1.76) + 1.5] / 12 = 0.3, por lo tanto se toma p = 0.39 El esfuerzo es vc = 0.29 x 28 + 0.3 x 1.204 = 1.89 MPa > vn Se cumple El momento transferido por flexión es Mf = 0.63 Mu = 0.63 x 24.435 x 10^3 = 15.39 x 10^3 kN-m El refuerzo ordinario mínimo necesario es At = 0.00075 h L = 0.00075x 0.15 x 6 = 0.000675 m^2 As = 6.75 cm^2 Considerando que 4 cables pasan a través de la columna hacia el exterior y e = 0 Como la relación L / h = 6 / 0.15 = 7.5 y cables no adherido, entonces: fps = fpe + 70 + fc’ / 100 p < fpy y no mayor de fpe + 420 b = c2 + 2(1.5 + h) = 0.5 + 2(0.0381 + 0.15) =0.8762 p = Aps / b d = 3.948 / (87.62 x 13) = 0.00346 fpe = 1100MPa fps = 1100 + 70 + 28 / (100 x 0.00346) = 1250 MPa, fpe + 420 = 1100 + 420 = 1520 MPa fpy = 1670 MPa, por lo cual se toma el menor que es fps = 1250 MPa Fps = Aps x fpy = (3.9487/ 10000) x 1250 = 0.49 35 MN Fs = 0.000675 x 420 = 0.2835 MN F total = 0.4935 + 0.2835 = 0.777 MN El momento que resiste la zona de compresión del concreto para  = 0.9 es: Mc = 0.205 fc’ b(de^2) = 0.205 x 28 x 1 x (0.13)^2 = 0.097 MN-m = 97 x 10^3 kN-m

y

242

Mu = 15.39 10^3 kN< Mc. El concreto resiste y se puede utilizar  = 0.9 ya que t > 0.005 La altura de la zona en compresión es a = (As fy + Aps fps) / 0.85 fc’ b a = 0.77 / 0.9 x 0.85 x 28 x 0.8762 = 0.037 m d – a/2 = 0.13 – 0.037 / 2 = 0.111 Y el refuerzo resiste Mn = 0.777 x 0.111 = 0.086 MN-m > Mu = 0.01539 MN-m Resiste En la columna interior se realiza un cálculo similar XIX.12 ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE PARA CARGA HORIZONTALES EN PÓRTICOS NO ARRIOSTRADOS Un pórtico consiste de columna y losa plana o losa con ábacos que no tienen paredes de cortante o arriostramiento, por lo cual son ineficiente para resistir cargas horizontales Cuando están sometidos a cargas verticales y horizontales, el procedimiento es el siguiente: A- Para cargas verticales a) Calcule Ksb para la viga-losa utilizando el valor total de L2 y considerando que la losa no está fisurada b) Calcule Kc en la unión para columna, considerando que las columnas no están fisurada c) Calcule Kt para cada elemento no fisurado d) Calcule Kec, utilizando ∑Kc y Kt e) Analice el pórtico para las cargas verticales utilizando Ksb, Kec y por el método del pórtico equivalente B) Para cargas horizontales a)- Calcule la rigidez de la viga- losa agrietada Ksb = 0.33 Ksb, Ksb es el valor obtenido por el paso: (A- a) o sea, Ksb es la rigidez de la losa-viga no agrietada b) Calcule la rigidez efectiva de cada columna en la unión como ( Kec / ∑ Kc) Kec y Kc son los valores utilizados en (A –b) y (A – c) c) Analice el pórtico para las cargas horizontales utilizando Ksb,c) y Kc C) Para la combinación de las cargas verticales y las horizontales Sume los valores de A) y B)

XIX.13 PROBLEMAS PROPUESTOS XIX.13.1 Diseñar la losa sin vigas de la figura por el Método del Pórtico Equivalente Pórtico Equivalente Dimensiones de las columnas: 0.45 m Las cargas laterales son resistidas por las paredes Peso de las paredes divisorias móviles: 0.6 kN/m^2

.

A. 6.5m B

Carga viva: 2.2 kN/m^2

6.5m .

C 6.5 m . D .

.

5m

5m

5m

5m

Concreto: fc’ =28 MPa fct’ = 2.1 MPa En las columnas ft = 2.60 MPa En el medio de la luz ft = 0.90 MPa

243

Refuerzo PRESFORZADO fpu = 1860 MPa fps no debe exceder 1270 MPa fpy = 1670 MPa fpe = 1100 MPa Eps = 200000 MPa Refuerzo ordinario fy = 420 MPa

244

CAPITULO XX REQUISITOS DE DISEÑO SISMO RESISTENTE VÉASE CAPITULO XXXVII DEL TOMO I

CAPÍTULO XXI RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA No.

PARA RESPONDER EL PROBLEMA ESTUDIE EL INCISO No.

I.6.1 IV.12.1 IV.12.2 V.15.1 V.15.2 V.15.4 VI.11.1 VI.11.2 VI.11.3 VII.5.1 VII.5.2 VII.5.3 VIII.3.1 IX.10.1 X.11.1 XI.10.1 XI.10.2 XII.13.1 XII.13.2 XII.13.3 XIII.7.1 XIII.7.2 XIV.3.1 XV.8.1 XVI.10.1 XVII.6.1 XVIII.8.1 XVIII.2 XVIII.3 XVIII.4 XIX.13.1

I.5 IV.11 IV.11 V.11 V.12 V.14 VI.8 VI.9 VI.10 VII.1.3 VII.2.3.1 VII.4.1 VIII.3 IX.9 X.10 XI.6.2 XI.6.2 XII.11 XII.12 XII.2 XIII.5 XIII.6 XIV.2 XV.7.7.1 XVI.10 XVII.4.2 Y XVII.5.2 XVIII.3 XVIII.4 XVIII.5 XVIII.7 XIX.11

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DEFINICIONES A continuación se muestran los términos más utilizados en este Tomo I y en el Tomo II (se coloca entre paréntesis el término correspondiente en inglés), con el fin de facilitar la interpretación de las definiciones.

Aditivo (admixture). Material diferente al cemento, a los agregados o al agua que se añade al concreto, antes o durante la mezcla, para modificar una o varías de sus propiedades: sin perjudicar se durabilidad ni su capacidad de resistir esfuerzo Agregado (aggregate). Conjunto de partículas inertes, naturales o artificiales, tales como arena, grava, triturado etc. que al mezclarse con material cementante y el agua produce el concreto Alambre (wire). Elemento de acero que cumple las normas, NTC 1907 (ASTM A496) y NTC 4002 (ASTM A82) utilizado como refuerzo, cuyo diámetro es menor del No. 2 (1/4”) ó 6M (6 mm). Puede ser liso o corrugado. Su utilización está limitada: a) como componente de las mallas electro soldadas b) individualmente como refuerzo de flexión en elementos que no formen parte de resistencia sísmica y cuyo espesor impide el uso de barras de refuerzo c) individualmente como refuerzo de retracción y temperatura de elementos cuyos espesor impide el uso de barras normales de refuerzo Alambre de presfuerzo (prestressing wire) Elemento de acero que cumple la norma NTC 159 (ASTM A421) utilizado individualmente como acero de presfuerzo Altura efectiva (effective depth of section) (de) En una sección, la distancia entre el extremo más comprimido y el centro de gravedad del refuerzo de tracción sometido a flexión o hasta el refuerzo más traccionado Amarres (tie elements). Son elementos que sirven para transmitir las fuerzas inerciales e impiden la separación entre componentes de la edificación como zapatas y muros. Elementos utilizados para dar continuidad alrededor de aberturas y huecos en un diafragma Anclajes (anchorage). En concreto postensado, un elemento utilizado para anclar el tendón al elemento de concreto. En concreto [retesado, un elemento utilizado para anclar el tendón mientras el concreto endurece Anclaje (anchor)- Un dispositivo de acero ya sea pre-instalado antes de colocar el concreto o post-instalado en un elemento de concreto endurecido y utilizado para transmitir fuerzas aplicadas, incluidos los tornillos con cabeza, los tornillos con extremos de gancho (J ó L) pernos con cabeza, anclajes de expansión o anclajes con sobre perforación en su base Anclaje con sobre perforación en su base (undercut anchor). Un anclaje post-instalado que desarrolla su resistencia a la tracción con base en un mecanismo de trabazón proporcionado por la sobre perforación del Concreto en el extremo embebido del anclaje. La sobre perforación se logra con un taladro especial antes de instalar el anclaje o de manera alternativa, por medio del mismo anclaje durante su instalación Anclaje de expansión (expansion anchor). Un anclaje post-instalado, insertado en el concreto endurecido que transfiere cargas hacia y desde el concreto por apoyo directo o fricción o ambos. Los anclajes de expansión pueden ser de torsión controlada, donde la expansión se obtiene mediante torsión que actúa en un tornillo o perno; o de desplazamiento controlado, donde la expansión se logra por fuerzas de impacto que actúan en una camisa o tapón y la expansión es controlada por la longitud de desplazamiento de la camisa o tapón Anclaje post-instalado ( post-installed anchor). Un anclaje instalado en el concreto endurecido. Los anclajes de expansión y los anclajes con sobre perforación en su base son ejemplos de anclajes post-instalados Anclaje pre-instalado (cast- in anchor). Un tornillo con cabeza, perno con cabeza o tornillo con gancho, instalado antes de colocar el Concreto Asentamiento (settlement). Hundimiento o descenso del nivel de una estructura debido a la compresión y deformación del suelo o roca de fundación Asentamiento (slump) (ensayo de) Resultado del ensayo de manejabilidad de una mezcla de concreto Barra corrugada (deformed bar). Barra con un núcleo circular en cuya superficie existen resaltes que tienen por objeto aumentar la adherencia entre el concreto y el acero, que cumple con las normas NTC 2289 (ASTM A706) y NTC 248 (ASTM A615) Barra lisa (plain reinforcement). Barra de sección transversal circular sin resalte o nervios especiales, que cumple con la norma NTC 161 (ASTM A615) Base de la estructura (base of structure). Nivel en el cual se supone que los movimientos sísmicos son transferidos al edifico. Este nivel no necesariamente coincide con el nivel del terreno

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Camisa de espaciamiento (distance sleeve). Una camisa que envuelve la parte central de un elemento de anclaje con sobre perforación en su base, un elemento de anclaje de expansión de torsión controlada, o un elemento de anclaje de expansión de desplazamiento controlado Camisa de expansión ( expansion sleeve). La parte externa de un anclaje de expansión que es forzada hacia fuera por la parte central, ya sea aplicando una torsión o impacto, para apoyarse contra los lados de un orificio perforado previamente Capacidad de disipación de energía (energy dissipation capacity o toughness) Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural o una sección de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelástico de respuesta sin perder su resistencia. Se cuantifica por medio de la energía de deformación que el sistema, elemento o sección es capaz de disipar en ciclos histerésticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia sísmica de la edificación como un todo, se define por medio del Coeficiente de capacidad de disipación de energía R Cargas (loads). Son fuerzas u otras solicitaciones que actúan sobre el sistema estructural y provienen del peso de todos los elementos permanentes en la construcción, los ocupantes y sus posesiones, efectos ambientales, asentamientos diferenciales y cambios dimensionales que se restringen. Las cargas permanentes son cargas que varían muy poco en el tiempo y cuyas variaciones son pequeñas en magnitud Cargas y fuerzas mayoradas (factored loads and forces) Cargas nominales que han sido afectadas por un Coeficiente de carga de acuerdo con las ecuaciones de combinación y mayoración. Las fuerzas sísmicas dada en el reglamento corresponden a fuerzas mayoradas pues han sido afectadas por el Coeficiente de carga, el cual va incluido en la probabilidad de ocurrencia del sismo de diseño Carga muerta (dead load). La constituida por el peso propio de la estructura más los materiales de construcción y demás elementos que vayan a actuar en forma no interrumpida durante la vida útil de la construcción Cargas nominales. Son las magnitudes de las cargas especificadas en el Reglamento. Las cargas muertas, vivas y de viento son cargas nominales o reales, las cuales NO han sido multiplicadas por el Coeficiente de carga Carga de servicio (service load). La carga muerta más la carga viva sin estar afectada por ningún Coeficiente de carga Carga viva (live load). Son aquellas cargas producidas por el uso y ocupación de la edificación y no deben incluir cargas ambientales tales como viento, sismo, ni carga muerta. La cargas vivas en la cubierta son aquellas causadas por materiales, equipos y trabajadores utilizados en el mantenimiento de la cubierta.

Durante la vida de la estructura las causadas por objetos móviles y por personas que tengan acceso a ellas Cemento (Cement). Véase material cementante Cercha o armadura estructural (structural trusses). Ensamblaje de elementos de concreto estructural que trabajan primordialmente bajo cargas axiales Cimbra o encofrado (shores). Estructura provisional de madera o elementos metálicos, de forma, dimensiones y seguridad adecuadas para la colocación del refuerzo y el concreto de un elemento estructural y sostenerlo mientras el concreto adquiere la resistencia adecuada Cimentación (foundation) Conjunto de los elementos estructurales destinados a transmitir las cargas de una estructura al suelo o roca de apoyo Coeficiente de carga (load factor). Es un Coeficiente que tiene en cuenta las desviaciones inevitables de las cargas reales con respecto a las cargas nominales y las incertidumbres que se tienen en el análisis estructural al transformar las cargas en efectos internos en los elementos Coeficiente de reducción de resistencia (strength reduction factor) () Coeficiente que multiplica la resistencia nominal para convertirla en resistencia de diseño. Este Coeficiente tiene en cuenta las desviaciones inevitables entre la resistencia real y la resistencia nominal del elemento y la forma y consecuencia de falla) Columna (columna) Elemento estructural cuya solicitación principal es la carga axial de compresión, acompañada o no de momentos flectores, torsión o esfuerzo cortante y con una relación a su menor dimensión de la sección de 3 o más.

Combinaciones de cargas de diseño (design load combinations) Combinaciones de las fuerzas y cargas mayoradas Curado (curing). Proceso por medio del cual el concreto endurece y adquiere resistencia, una vez colocado en su posición final Deflexión (deflection) La ordenada de la línea elástica o deformación transversal del elemento estructural Deformación unitaria de control por compresión (compresion control strain). Es la deformación unitaria neta de tracción para condiciones balanceadas

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Deformación unitaria neta en tracción (net tensile strain). Es la deformación unitaria en el acero en tracción al nivel de resistencia nominal, sin incluir los efectos de deformación unitaria causados por el presfuerzo efectivo, la retracción del fraguado y las variaciones de temperatura Deriva (story drift) Diferencia entre los desplazamientos o deflexiones horizontales de dos pisos consecutivos Diafragmas estructurales (structural diaphagms). Es el conjunto de elementos estructurales, tales como las losas de entrepisos o de cubierta, que transmiten las fuerzas inerciales a los elementos del sistema de resistencia sísmicas Efectos sísmicos (earthquake effects) Las solicitaciones de flexión, fuerzas cortantes, cargas axiales y deformaciones ocasionadas por la acción de un temblor en una estructura cualquiera a los elementos estructurales Efectos térmicos (termal effects). Los esfuerzos y las deformaciones ocasionados en los elementos de las estructuras por variación en la temperatura Elementos a flexión de concreto compuesto ( composite concrete flexural members) Elementos de Concreto, prefabricados o vaciados en el sitio, o ambos, construidos en etapas diferentes pero interconectados de tal manera que toda sus partes respondan a las cargas como una unidad Elementos colectores (collector elements) Elementos que sirvan para transmitir las fuerzas inerciales dentro del diafragma, hasta los elementos del sistema vertical de resistencia sísmica Elementos de bordes (boundary elements). Parte del borde de la sección de los muros y diafragmas que se refuerza con armadura longitudinal y transversal. Los elementos de borde no tienen que ser más anchos que el elemento. Los bordes de las aberturas de los muros estructurales y diafragmas deben tener elementos de bordes si así se requiere Encofrados y formaletas (formwork). Moldes con la forma y las dimensiones de los elementos estructurales, en los cuales se coloca el refuerzo y se vierte el Concreto fresco Esfuerzo (stress) Intensidad de fuerza por unidad de área Estado límite(limit state). Es una condición bajo la cual una estructura o uno de sus componentes deja de cumplir su función (estado límite de funcionamiento) o se vuelve insegura (estado límite de resistencia) Estribo y fleje (stirrup, tie). Elementos que corresponden a una forma de refuerzo transversal, utilizados para resistir esfuerzos cortantes, de torsión y para proveer confinamiento al elemento, doblados en forma de L, C o rectangulares y colocados perpendicularmente al refuerzo longitudinal o formando un ángulo con él.

En elementos que llevan cargas de compresión, como en las columnas, el estibo debe abrazar el refuerzo longitudinal para evitar que éste falle por pandeo y no puede ser fabricado con alambres o mallas electro soldadas. En este caso puede ser también una barra continua que se enrolla alrededor del refuerzo longitudinal formando círculos, rectángulos o cualquier otra forma poligonal sin tener esquinas hacia adentro de la sección. Cuando cumple ciertos límites de cuantía volumétrica se denomina refuerzo en espiral.

Estribo de confinamiento (hoop). Es un estribo rectangular cerrado, de barra de diámetro al menos No.3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) o un estribo continuo enrollado alrededor del refuerzo longitudinal. Los estribos de confinamiento pueden componerse de varios elementos de refuerzo, pero todos ellos deben tener en sus extremos ganchos sísmicos de 135 grados. o más, con una extensión de 6 diámetro de barra pero no menor de 75 mm. que abrazan el refuerzo longitudinal.

Estribos suplementarios (crosstie). Es un elemento de refuerzo transversal fabricado con barra de diámetro No.3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) o mayor, que tiene sus extremos un gancho sísmico de 135 grados, o más, con una extensión de 6 diámetros de barra, pero no menor de 75 mm y se permite que uno de sus extremos se utilice un gancho de 90 grados, o más, con una extensión de 6 diámetros de barra. Los ganchos deben abrazar las barras longitudinales de la periferia de la sección. Los extremos doblados a 90 grados de dios estribos suplementarios que abracen las mismas barras longitudinales deben alternarse de extremo. Los estribos suplementarios deben ser fabricados del mismo diámetro y resistencia a la fluencia de los estribos de confinamiento principales Fijación (attachment). Un dispositivo estructural, externo a la superficie del Concreto, que transmite o recibe cargas de los elementos de anclajes Fricción por curvatura (curvature friction).En Concreto Presforzado la fricción resultante de dobleces y curvas en el perfil especificado de los tendones de presfuerzo Fricción por desviación (wobble friction). En Concreto Presforzado la fricción causada por desviaciones, u ondulaciones, no intencionales del ducto de los tendones del presfuerzo de su perfil especificado Fuerza en el gato ( jacking force). En Concreto Presforzado, la fuerza temporal ejercida por el gato que induce la fuerza de tensiona miento en los tendones de presfuerzo

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Fuerza sísmica especificadas (specified lateral forces). Son las fuerzas sísmicas horizontales correspondientes a la distribución en la altura de la edificación del cortante sísmico en la base Gancho estándar (standard hook) Doblez en el extremo de una barra de refuerzo Gancho sísmico (seismic hook) Es el gancho que debe formarse en los extremos de los ganchos de confinamiento y estribos complementarios, consiste en un doblez de 135 grados, o más, con una extensión de 6 diámetro de barra, pero no menor de 75 mm, que abraza el refuerzo longitudinal del elemento y se proyecta hacia el interior de la sección del elemento Grupo de anclajes (anchor group) Un grupo de elementos de anclaje de aproximadamente la misma profundidad de embebido efectivo, en el cual cada elemento de anclaje está espaciado a menos de tres veces la profundidad de uno o más anclajes adyacentes Concreto o (concrete). El concreto es el producto resultante de la mezcla en proporciones adecuadas de áridos gruesos, áridos finos, aglomerantes (cemento), agua y a veces aditivos; los cuales sufren procesos de fraguado y endurecimiento que lo convierte, después de cierto tiempo, en un sólido de características pétrea.

Concreto ciclópeo o concreto ciclópeo (cyclopean concrete). Mezcla de concreto simple y agregado grueso seleccionado con tamaño entre 150 mm y 300 mm, utilizada para la construcción de elementos estructurales que trabajan predominantemente a compresión y que se diseñan con los requisitos de concreto simple Concreto de peso normal o concreto de peso normal (normal weight concrete). Se entiende por aquel en el cual se ha utilizado agregados inertes cuya masa es mayor que 1840 kg/m^3 Concreto del recubrimiento o concreto del recubrimiento (shell concrete). Es el concreto localizado por fuera del refuerzo transversal de confinamiento Concreto estructural o concreto estructural ( structural concrete) Es el concreto estructural que cubre el concreto simple y el concreto reforzado utilizado para propósitos estructurales Concreto ligero o concreto ligero (lightweight agregate concrete). Concreto que contiene agregado ligero, cuya masa específica no excede 1840 kg/m^3 y por lo tanto el concreto producido con ellos tiene una masa específica inferior al del Concreto de masa normal. Este tipo de concreto no puede utilizarse sin una aprobación especial de la “Comisión Asesora Permanente para el Régimen de Construcciones Sismo Resistentes” debido a sus propiedades de baja resistencia a los esfuerzos cortantes Concreto PRESFORZADO (prestressed concrete). Concreto que previamente a su utilización se somete a tratamientos mecánicos destinados a crear esfuerzos de compresión en las zonas que posteriormente reciben esfuerzos de tracción debidos a la aplicación de las cargas. Según el procedimiento de aplicación de los esfuerzos en el acero de tensiona miento con respecto al vaciado del concreto se divide en concreto pretensado y concreto postesado Concreto reforzado ( reinforced concrete) Material constituido por el concreto que tiene un refuerzo consistente en barras de acero corrugado, estribos transversales o mallas electro soldadas, colocadas principalmente en las zonas de tracción, en cuantías superiores a las mínimas especificadas , bajo la hipótesis de compatibilidad de deformaciones entre los dos materiales Concreto simple (plain concrete). El que no tiene acero de refuerzo, o tiene en cuantías menores a las mínimas especificadas.

Concreto simple estructural (plain structural concrete). Concreto simple utilizado para propósitos estructurales Junta de construcción (construction Joint. Interrupción de la colocación del concreto, ya sea temporal, de construcción o permanente Junta de contracción (contraction Joint). Junta de construcción, o junta parcial (una reducción del espesor del elemento) utilizada para reducir la aparición de esfuerzos internos causadas por la restricción a los movimientos causados por retracción de fraguado, flujo plástico, o variaciones de la temperatura, en elementos de concreto simple Junta de expansión (isolation Joint) Separación entre porciones adyacentes de la estructura de concreto, localizada en un lugar establecido durante el diseño de la estructura, de tal forma que no interfiera con el comportamiento de la estructura y que al mismo tiempo permita movimientos en las direcciones apropiadas y que impida la formación de fisuras y grietas en otras partes de la estructura. En la junta se puede interrumpir parte o todo el refuerzo adherido que la atraviese Longitud de desarrollo con gancho estándar (development lenght for a bar with a standar hook) Es la distancia más corta entre sección crítica donde la barra debe desarrollar su resistencia total, y una tangente a la cara exterior del gancho a 90 grados o de 180 grados Longitud de desarrollo (development lenght) Es la longitud del refuerzo en el concreto requerida para desarrollar la resistencia de diseño del refuerzo en una sección crítica

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Longitud embebida (embedment lenght) Es la menor longitud de refuerzo embebido dentro del concreto, medida perpendicularmente a la sección crítica Losa (slab). Elemento estructural horizontal, o aproximadamente horizontal, macizo o con nervaduras, que trabaja en una o dos direcciones, de espesor pequeño en relación a sus otras dos dimensiones Material cementante (cementitous materials) Material que tiene propiedades cementantes cuando se utiliza en la fabricación del concreto, ya sea por si mismo, como es el caso del cemento hidráulico (Portland), el cemento adicionado y el cemento expansivo; o cuando estos últimos obran en combinación con cenizas volantes, puzolanas, escoria siderúrgica y humo de sílice Módulo de elasticidad (modulus of elasticity) Relación entre ele esfuerzo de tracción o de compresión y la deformación unitaria producida por aquel, para esfuerzos inferiores al límite proporcional de la material Momento positivo (positive momento) l que produce esfuerzo de tracción en la cara inferior de vigas y losas Momento negativo (negative momento) El que produce esfuerzos de tracción en la cara superior de vigas y losas Muro (wall). Elemento cuyo espesor es mucho menor en relación con sus otras dos dimensiones, usualmente vertical, utilizado para delimitar espacios Muro estructural (structural wall) Son muros que se dimensionan y se diseñan para resistir la combinación de fuerzas cortantes, momentos y fuerzas axiales inducidas por cargas verticales y horizontales. Un “muro de cortante” (shearwall) es un “muro estructural” Nudo (Joint) Es la porción de la columna limitada por las superficies superiores e inferiores de las vigas que llegan a ella Pedestal (pedestal) Elemento vertical sometido a compresión, acompañada o no de momentos flectores, esfuerzos cortante o torsión y que tiene una longitud libre no mayor de tres veces su primera dimensión transversal Percentil del 5% ) five percent fractile). Un término estadístico que significa un 90% de confianza de que existe un 95% de probabilidad de que la resistencia real exceda a la resistencia nominal Pórtico (momento resisting frame) Conjunto estructural constituido por vigas y columnas unidas rígidamente Postensado (post-tensioning) Método de presfuerzo en el cual los tendones se tensionan después de que el concreto haya adquirido la resistencia requerida para la aplicación de las fuerzas de tensionamiento Presfuerzo efectivo ( effective prestress) Esfuerzo proveniente del tensionamiento, que permanece en un tendón después de que haya ocurrido las pérdidas, excluyendo los efectos de carga muerta o la viva Prefabricado (precast concrete) Elemento de Concreto. con o sin refuerzo que se construye en un lugar diferente al de su posición final dentro de la estructura Presforzado (prestressed concrete) Véase Concreto Presforzado Pretensado (pretensioning) Método de Presforzado en el cual los tendones se tensionan antes de vaciar el Concreto Profundidad efectiva de embebido (effective embedment depht). Profundidad total a través de la cual el anclaje transfiere fuerzas hacia o desde el concreto que lo rodea. La profundidad efectiva de embebido generalmente es la profundidad de la superficie de falla del concreto en las aplicaciones en tracción. Para tornillo de cabeza pre-instalados y pernos con cabeza, la profundidad efectiva de embebido se mide desde la superficie de contacto de apoyo de la cabeza Recimbrado (reshoring) Cimbra que se coloca bajo una losa u otro elemento de concreto, después de que la cimbra y formaleta original ha sido retirada de un área mayor habiendo permitido que la losa o el elemento estructural se deflecte y soporte su propio peso, y las demás cargas de construcción. Se emplea para disminuir las deflexiones permanentes que se producen debido a que el concreto se somete a cargas a una edad relativamente temprana Refuerzo (reinforcement) Acero en una de las tres formas siguientes, colocado para absorber esfuerzos de tracción. de compresión, de cortante o de torsión en conjunto con el concreto a) grupo de barras de acero corrugado que cumplen las normas NTC 2289 (ASTM A706) ó NTC 248 (ASTM A615). o barras lisa que cumplan las normas NTC 161 (ASTM A 615) , forma reta, dobladas, con o sin ganchos, o forma de estribos b) mallas electro soldadas c) Alambre o cables de alta resistencia destinados principalmente al Concreto Presforzado Refuerzo corrugado (deformed reinforcement) Todo refuerzo consistente en barras corrugadas, mallas o de barras corrugadas, alambre corrugado y mallas electro soldadas de alambre corrugado. Bajo esta denominación se incluyen también las mallas electro soldadas de alambre liso, las cuales se consideran una forma de refuerzo corrugado

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Refuerzo en espiral (spiral reinforcement) Refuerzo transversal consistente en una hélice continua de barra de acero liso o corrugado, que cumplen ciertas limitaciones de cuantía volumétrica Refuerzo extremo de tracción (extreme tension steel) Refuerzo (Presforzado o no Presforzado) que se encuentra más alejado de la fibra extrema en compresión) Refuerzo liso (plain reinforcement) Refuerzo consistente en barras de superficie lisa Refuerzo negativo ( negative reinforcement) El refuerzo destinado a resistir los efectos del momento negativo Refuerzo positivo (positive reinforcement) El refuerzo destinado a resistir los efectos del momento positivo Refuerzo transversal (tranverse or lateral reinforcement) El refuerzo destinado a resistir los efectos de los esfuerzos cortantes y de torsión. Incluye igualmente el destinado a impedir el pandeo del refuerzo principal en las columnas o en elementos sometidos a fuerzas de compresión y el que produce confinamiento Refuerzo de retracción y temperatura (shrinkage and temperature reinforcement) En losas el destinado a resistir los esfuerzos causados por variación de temperatura o por retracción de fraguado Región confinada (confinement region) Es aquella parte de los elementos de concreto reforzado confinada por refuerzo transversal de confinamiento Resistencia a la fluencia (yield strength) Valor de la resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo en MPa que se utiliza en el diseño para determinar la resistencia nominal de los elementos de Concreto reforzado. La resistencia real a la fluencia debe determinarse por medio de ensayos de los materiales empleados en la obra, realizados de acuerdo con las Normas NTC o en su defecto ASTM, apropiadas y su variación con respecto a la resistencia nominal no debe ser mayor que la permitida por estas Normas Resistencia nominal del Concreto a la compresión (specified compressive strenght of concrete) Resistencia nominal especificada del concreto, expresada en MPa. que se utiliza en el diseño para determinar la resistencia nominal de los elementos de concreto reforzado. La resistencia real a la compresión debe determinarse por medio de ensayos de los materiales empleados en la obra, como promedio de la resistencia de dos probetas cilíndricas, de 150 mm de diámetro y 300 mm de altura, ensayada a los 28 días. Estos ensayos se deben realizar de acuerdo con las Norma NTC apropiadas y la variación de los resultados con respecto a la resistencia nominal no debe ser mayor que la permitida. El significado de la expresión fc’ precedida por un símbolo de radical √fc’ indica que se debe tomar la raíz cuadrada del valor de fc’ y que el resultado tiene unidades en MPa Resistencia de diseño (design strength) Resistencia nominal de un elemento, o sección de él, multiplicada por el Coeficiente de reducción de resistencia  Resistencia nominal (nominal strength) Resistencia de un elemento o sección de él, calculada analíticamente de acuerdo con los requisitos y suposiciones del método de resistencia y sin incluir ningún Coeficiente de reducción de resistencia Resistencia requerida (required strength) Resistencia que debe poseer un elemento o sección de él, para que sea capaz de soportar las cargas mayoradas o sus efectos Resistencia al arrancamiento del concreto por tracción del anclaje (concrete breakout strength).

Resistencia de un volumen de concreto que rodea al anclaje o grupos de anclajes, para despenderse del elemento Resistencia a la extracción por deslizamiento del anclaje ( anchor pullout strenght). Resistencia del anclaje o un componente principal del dispositivo de anclaje que se desliza fuera del Concreto sin romper una parte sustancial del concreto que lo rodea Resistencia al desprendimiento del concreto por cabeceo del anclaje (concrete pryout strenght) Resistencia que corresponde a la formación en anclajes cortos y rígidos de un descascaramiento de concreto detrás de elementos y en dirección opuesta a la fuerza cortante aplicada Resistencia al desprendimiento lateral del concreto (side-face blowout strenght). Resistencia de los anclajes con mayor profundidad de embebido, pero con menor espesor del recubrimiento lateral, que corresponde a un descascaramiento del concreto que rodea la cara lateral de la cabeza embebida, sin que ocurran arrancamientos mayores en la parte superior de la superficie de concreto Riostra (Strut). Es un elemento de un diafragma que se utiliza para proveer continuidad alrededor de una abertura en el diafragma Sección controlada por compresión (compression-controlled section) Es la sección de un elemento en la cual la deformación unitaria de tracción neta en el refuerzo extremo de tracción, para resistencia nominal es menor o igual al límite para la deformación unitaria de control de compresión Sección controlada por tracción (tension-controlled section) Es la sección de un elemento en la cual la deformación unitaria de tracción neta en el refuerzo extremo de tracción, para la resistencia nominal es mayor o igual a 0.005

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Sistema de resistencia sísmica (lateral-force resisting system) Es aquella parte de la estructura compuesta por elementos diseñado para resistir las fuerzas provenientes de los efectos sísmicos Tendón (tendon) Refuerzo para Concreto Presforzado compuesto por uno o varios torones de presfuerzo Tendón adherido (bonded tendon) Tendón de presfuerzo que está adherido al concreto ya sea directamente o mediante mortero de inyección Tendón no adherido (unbonded tendon) Tendón de presfuerzo que no está adherido al concreto y por lo tanto puede desplazarse libremente dentro del ducto que contiene y que además está adecuadamente protegido contra la corrosión Tirante (tie) Elemento estructural sometido principalmente a tracción, acompañada o no de momentos de flexión Torón (strand) Cable para Concreto Presforzado compuesto por siete alambres de acero de alta resistencia trenzados, que cumplen la norma NTC 2010 (ASTM A146) Transferencia (transfer) Acción por medio de la cual se transfieren los esfuerzos en los tendones de presfuerzo del gato o del banco de tensionamiento al concreto Viga (beam, girder) Elemento estructural, horizontal o aproximadamente horizontal, cuya dimensión longitudinal es mayor que las otras dos y su solicitación principal es el momento flector, acompañado o no de cargas axiales y torsiones Vigueta, o nervadura (joint) Elemento estructural que forma parte de una losa nervads, el cual trabaja principalmente a flexión

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NOTACIÓN Notaciones más importantes para el Tomo I y Tomo II a-altura del bloque rectangular equivalente de esfuerzos a compresión del concreto a- luz de cortante, distancia entre la carga concentrada y la cara del apoyo A- área de aquella parte de la sección transversal entre la cara de tracción a flexión y el centro de gravedad de la sección bruta Ac- área del núcleo de un elemento sometido a compresión, reforzado con espirales, medida hasta el diámetro exterior de la espiral Ac- área de la superficie de contacto bajo investigación para cortante horizontal Ac- área de la sección de concreto que resiste la transferencia de cortante por fricción Ach- área de la sección de un elemento estructural, medida hasta la parte exterior del refuerzo transversal Acp- área limitada por el perímetro exterior de la sección de concreto. Para miembros vaciados monolíticamente con la losa, el ancho del ala que se extiende a cada lado y que se utiliza en el cálculo de Acp y Pcp Acp- área de la sección transversal del concreto que resiste esfuerzos cortantes de una porción de un muro estructural o de un segmento horizontal de muro Acv- área neta de la sección de concreto definida por el ancho del alma y la longitud de la sección en la dirección de la fuerza cortante en estudio Af- área de refuerzo que resiste un momento mayorado en una ménsula o cornisa Ag- área bruta de la sección. Para secciones huecas es el área de concreto únicamente y no incluye el área de los huecos Ah- área del refuerzo de cortante paralelo al refuerzo de flexión a tracción Ai- área del refuerzo de cortante adicional en vigas apoyadas indirectamente sobre otra viga Aj- área efectiva dentro de un muro, en un plano paralelo al plano del refuerzo que genera el cortante en el nudo. La altura de la sección efectiva del nudo debe ser la altura total de la sección de la columna. En aquellos casos en que la viga llega a un nudo que tiene un ancho mayor que la viga, el ancho efectivo del nudo no debe exceder al más pequeño del ancho de la viga más la altura efectiva del nudo, o dos veces la distancia perpendicular más corta medida desde el eje longitudinal de la viga al lado de la columna Al- área total del refuerzo longitudinal que resiste torsión A1 – área cargada A2- área de la base inferior del máximo tronco de pirámide, cono o cuña en su totalidad dentro del apoyo y que tiene como cara superior el área cargada y cuyos lados caen con una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal An- área de refuerzo que resiste una fuerza de tracción Nuc en una ménsula o cornisa Ao- área bruta definida por la trayectoria del flujo de cortante Aoh- área definida por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentre más fuera en la sección de concreto Aps- área del refuerzo Presforzado en la zona de tracción As- área del refuerzo no Presforzado que trabaja a tracción Ash- área total del refuerzo transversal, incluyendo estribos suplementarios que existe en una distancia s y perpendicular a la dimensión hc As’- área del refuerzo no Presforzado a compresión As,min- área mínima del refuerzo para flexión sometido a tracción Ast- área total del refuerzo longitudinal (barras o perfiles de acero) At- área del perfil de acero estructural, tubo o tubería en una sección compuesta At- área de una rama de estribo cerrado que resiste torsión dentro de una distancia sa en su totalidad dentro del apoyo y que tiene como cara superior el área cargada y cuyos lados caen con una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal Av- área del refuerzo de cortante dentro de una distancia, s, o para vigas de gran altura, el área de refuerzo de cortante perpendicular al refuerzo a flexión a tracción dentro de una distancia, s Avd- área del refuerzo en diagonal en cada grupo Avh- área del refuerzo de cortante paralelo al refuerzo de flexión dentro de una distancia, s2 bo- perímetro de la sección crítica en losas y zapatas bt- ancho de aquella parte de la sección transversal del elemento que contiene los estribos cerrados que resisten la torsión bv- ancho de la sección transversal bajo investigación para cortante horizontal bw- ancho de la cara a compresión del elemento bw- ancho del alma, o diámetro de una sección circular

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b1- ancho de la sección crítica medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos b2- ancho de la sección crítica medida en la dirección perpendicular a b1 Bn- resistencia nominal a los esfuerzos de contacto en zapatas c- distancia de la fibra extrema en compresión al eje neutro de la sección Cm – Coeficiente que relaciona el diagrama de momento real con un diagrama equivalente de momento uniforme C- constante de la sección transversal utilizada para definir las propiedades de torsión. Para secciones en forma T o de L debe evaluarse dividiendo la sección en rectángulos separados y sumando los valores de C para cada parte C = ∑[1 – (0.63x / y)]( x^3 y / 3) Cij- Coeficiente que se aplican a los momentos de losas en dos direcciones según el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas. El subíndice i indica la dirección corta a larga (la o lb) y el subíndice indica si es aplicable a la carga mayorada viva (wl), muerta (wd) o total (wu) c1- dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente, medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos c2- dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente medida transversalmente a la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos db- diámetro de la barra de refuerzo dc- espesor del recubrimiento de concreto desde la fibra extrema sometida a tracción hasta el centro de la barra o alambre localizado más cerca de dicha fibra de- distancia de la fibra extrema en compresión del concreto al refuerzo extremo a tracción d’ – distancia de la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a compresión dp- diámetro del pilote en la base de la zapata dp- distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo Presforzado ds- distancia de la fibra extrema a tracción al centroide del acero de refuerzo a tracción E- efecto de las fuerzas sísmicas o las fuerzas internas y momentos causados por el sismo Ec- módulo de elasticidad del concreto Ecb- módulo de elasticidad del concreto de la viga Ecc- módulo de elasticidad del concreto de la columna Ecs- módulo de elasticidad del concreto de la losa Es- módulo de elasticidad del acero de refuerzo EI- rigidez a la flexión de un elemento sometido a compresión fc’- resistencia nominal del concreto a compresión √fc’- raíz cuadrada de la resistencia nominal del concreto a compresión fci’- resistencia a la compresión del concreto en el momento de la transferencia del presfuerzo √fci’- raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del concreto al momento de la transferencia fd- esfuerzo de tracción debido a la carga muerta no mayorada en la fibra extrema de la sección donde dicho esfuerzo es causado por cargas aplicadas externamente fpc- esfuerzo de compresión en el concreto (después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) en el centroide de la sección transversal que resiste las cargas aplicadas externamente o en la unión del alma y el ala cuando el centroide está dentro del ala. En un elemento compuesto es el esfuerzo de compresión resultante en el centroide de la sección compuesta , o en la unión del alma y el ala cuando el centroide está dentro de ésta, debido tanto al presfuerzo como a los momentos resistidos por el elemento prefabricado actuando solo fpe- esfuerzo de compresión del concreto debido únicamente a las fuerzas efectivas de presfuerzo (después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) en la fibra extrema de la sección donde el esfuerzo de tracción es causado por cargas aplicadas externamente fps- esfuerzo en el refuerzo Presforzado a la resistencia nominal del elemento fpu- resistencia nominal a la tracción de los tendones de presfuerzo fr- módulo de ruptura del concreto fr = 0.62 √fc’ fs- esfuerzo en el acero de refuerzo calculado al nivel de cargas de servicio fse- esfuerzo efectivo en el refuerzo Presforzado(después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) fy- resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo fyh- resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo transversal fpy- resistencia nominal a la fluencia de los tendones de presfuerzo fyv- resistencia nominal a la fluencia del refuerzo transversal para torsión fyl- resistencia nominal a la fluencia del refuerzo longitudinal para torsión h- altura total de la sección del elemento

254

hb- distancia desde la cara inferior de la viga que da apoyo indirecto a otra viga, hasta la cara inferior de la viga apoyada indirectamente hc- dimensión de la sección del núcleo confinado de una columna medida centro a centro del refuerzo transversal de confinamiento que está más afuera en la sección hs- altura total de la viga que da apoyo indirecto a otra viga hv- espesor total de la sección transversal de la cabeza de cortante hw- altura total del muro desde la base hasta la parte superior I-momento de inercia de la sección que resiste cargas mayoradas aplicadas externamente Ib- momento de inercia de la sección bruta de la viga alrededor del eje centroidal Ic- momento de inercia de la sección bruta de la columna Icr- momento de inercia de la sección fisurada transformada a concreto Ie- momento de inercia efectivo Ig- momento de inercia de la sección bruta, sin considerar el refuerzo Is- momento de inercia de la sección bruta de la losa alrededor del eje centroidal e igual a (h^3 / 12) veces el ancho de la losa definido en las notaciones α y βt Ise- momento de inercia del refuerzo alrededor del eje centroidal de la sección transversal del elemento It- momento de inercia del perfil de acero estructural, tubo o tubería alrededor del centroide de la sección k- Coeficiente de longitud efectiva para elementos sometidos a compresión K- Coeficiente de fricción por desviación, por metro de tendón de presfuerzo l- luz de la viga o losa en una dirección. Proyección horizontal de la luz del voladizo la- longitud de la luz libre en la dirección corta, para ser aplicada en el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas lb- longitud de la luz libre en la dirección larga, para ser aplicada en el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas lc- longitud de un elemento sometido a compresión de un pórtico, medida centro a centro de los nudos del pórtico lc- distancia vertical entre apoyos ld- longitud de desarrollo de una barra recta de refuerzo ldh- longitud de desarrollo de una barra con un gancho estándar ln- luz libre medida cara a cara de apoyos ln- luz libre en la longitud larga en losas que trabajan en dos direcciones, medida de la cara a la cara de los apoyos en losas sin vigas, y de cara a la cara de las vigas u otros apoyos en los otros casos ln- longitud de la luz libre en la dirección en la cual se determinan los momentos, medida cara a cara de los apoyos lo- longitud mínima medida a lo largo del eje longitudinal del elemento desde la cara del nudo, a lo largo de la cual debe colocarse el refuerzo de confinamiento lu- longitud no soportada de un elemento sometido a compresión lv- longitud del brazo de la cabeza de cortante medida desde el centroide de la carga concentrada o reacción lw- longitud total horizontal del muro estructural (o diafragma) o del segmento de muro bajo estudio, que se considera en la dirección de la fuerza cortante l1- longitud de la luz en la dirección en la cual se determinan los momentos, medida centro a centro de apoyos l2- longitud de la luz transversal a l1 medida centro a centro de apoyos m- relación de la luz corta a la luz larga (m= la / lb) Ma- momento máximo en el elemento para el nivel de carga que se está evaluando Ma- momento de diseño, negativo o positivo, en la franja central que se utiliza para determinar el refuerzo paralelo a la dimensión (la) del panel según el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas Mb- momento de diseño, negativo o positivo, en la franja central que se utiliza para determinar el refuerzo paralelo a la dimensión (lb) del panel según el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas Mc- momento mayorado que debe utilizarse en el diseño de elementos sometidos a compresión Mcr- momento de fisuración Mm- momento mayorado Mn- resistencia nominal a momento flector de un elemento, con o sin fuerza axial, determinado utilizando las propiedades del elemento en la cara del nudo y con un Coeficiente de reducción de resistencia igual a 1.0 Max- momento mayorado máximo en la sección debido a las cargas aplicadas externamente Mo- momento estático mayorado total

255

Mp- resistencia requerida a momento plástico de la sección transversal de la cabeza de cortante Mpr- resistencia probable a momento flector de un elemento con o sin fuerza axial, determinado utilizando las propiedades del elemento en la cara del nudo y suponiendo que la resistencia a la fluencia del acero de refuerzo es 1.25 fy y con un coeficiente de reducción de resistencia igual a 1.0 - porción del momento de la losa en el apoyo que se equilibra con el momento de apoyo Mu- momento máximo mayorado Mv- resistencia a momento suministrada por la cabeza de cortante M1- es el menor de los momentos mayorados en los extremos de un elemento sometido a compresión, positivo si el elemento se deforma en curvatura simple y negativo si se deforma en curvatura doble M2- el mayor de los momentos mayorados en los extremos de un elemento sometido a compresión, siempre positivo M2,min- valor mínimo de M2 Nc- fuerza de tracción en el concreto debida a la carga muerta más la carga viva no mayorada Nu- fuerza axial mayorada normal a la sección transversal que se presenta simultáneamente con la fuerza cortante mayorada en la sección, Vu, positiva para compresión, negativa para tracción. Incluye los efectos de tracción ocasionados por el flujo plástico y de retracción de fraguado Nuc- fuerza de tracción mayorada que actúa simultáneamente con la fuerza cortante mayorada Vu sobre la ménsula o cornisa. positiva para tracción Pb- carga axial nominal en condición balanceada de deformación Pc- carga crítica Pcp- perímetro exterior de la sección de concreto Acp Pn- carga axial nominal con una excentricidad dada Pnw- resistencia nominal a carga axial de un muro Po- resistencia nominal a carga axial para excentricidad nula Ps- fuerza en el tendón de presfuerzo en el extremo del gato Px- fuerza en el tendón de presfuerzo en cualquier punto x ph- perímetro definido por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentra más afuera en la sección de Concreto Q- índice de estabilidad r- radio de giro de la sección transversal de un elemento sometido a compresión r- porcentaje de redistribución de momentos s- espaciamiento del refuerzo de cortante o de torsión en una dirección paralela al refuerzo longitudinal so- separación máxima el refuerzo transversal de confinamiento s1- espaciamiento del refuerzo vertical de un muro s2- espaciamiento del refuerzo de cortante o de torsión en la dirección perpendicular al refuerzo longitudinal o espaciamiento del refuerzo horizontal en el muro S- módulo elástico de la sección (S = b h^2 / 6) t- espesor de la pared de una sección hueca de concreto Tn- resistencia nominal a la torsión Tu- momento de torsión mayorado en la sección Vd- fuerza cortante en la sección debida a la carga muerta no mayorada Ve- fuerza de cortante de diseño Vi- fuerza cortante mayorada en la sección debida a las cargas aplicadas externamente que se presenta simultáneamente con Max Vn- fuerza cortante nominal a cortante Vp- componente vertical de la fuerza de presfuerzo efectiva en la sección Vu- suma de las fuerzas horizontales mayoradas que actúan sobre la estructura y acumuladas hasta el nivel del piso considerado. Fuerza cortante mayorada vc- resistencia nominal cortante suministrada por el concreto vci- resistencia nominal a cortante suministrada por el concreto, cuando la fisuración diagonal resulta de la combinación de cortante y momento vcw- resistencia nominal a cortante suministrada por el concreto cuando la fisuración diagonal proviene de un esfuerzo principal excesivo de tracción en el alma vn- esfuerzo resistente nominal a cortante vnh- resistencia nominal a esfuerzo cortante horizontal vs- resistencia nominal a cortante suministrada por el refuerzo de cortante vu- esfuerzo cortante mayorada en la sección

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wa- porcentaje de la carga del panel soportada en la dirección corta wb= wc- porcentaje de la carga del panel soportada en la dirección larga wd- carga muerta mayorada por unidad de área wl = wv- carga viva mayorada por unidad de área wu- carga mayorada por unidad de área o por unidad de longitud en las viguetas x- dimensión total menor de una parte rectangular de una sección transversal y- dimensión total mayor de una parte rectangular de una sección transversal yt- distancia medida desde el eje centroidal de la sección total, sin considerar el refuerzo, hasta la fibra extrema a tracción α- relación de la rigidez a flexión de la sección de la viga con respecto a la rigidez de un sector de losa definido lateralmente por los ejes centrales de los paneles adyacentes (en caso de que existan) a ambos lados de la viga (α = Ecb Ib / Ecs Is) α- ángulo entre los estribos inclinados y el eje longitudinal del elemento α- variación angular total del perfil del tendón de presfuerzo, en radianes, desde el extremo del gato hasta cualquier punto x α- ángulo entre el refuerzo en diagonal y el eje longitudinal de la viga de enlace αc- Coeficiente que define la contribución relativa de la resistencia del concreto en la resistencia a fuerzas cortantes de un muro estructural αf- ángulo entre el refuerzo de cortante por fricción y el plano de cortante αm- valor promedio de α para todas las vigas existentes en los bordes del panel αs- constante utilizada en el cálculo de vc en losas y zapatas αv- relación entre la rigidez del brazo de la cabeza de cortante y la sección de la losa compuesta que la rodea α1 – α en la dirección de (l1) α2 – α en la dirección de (l2) β- relación de la luz libre larga a la corta, para losas que trabajan en dos direcciones βc- relación entre lado largo y el lado corto del área de carga concentrada o de reacción βd- relación de la máxima carga axial mayorada de carga muerta a la máxima carga axial mayorada total, cuando la carga se debe únicamente a los efectos gravitacionales en el cálculo de Pc, o la relación entre la máxima fuerza horizontal permanente y la máxima fuerza horizontal en el piso βp- constante utilizada en el cálculo de vc en losa preesforzadas βt- relación de la rigidez a la torsión de la sección de la viga de borde a la rigidez a la flexión de un ancho de losa igual a la longitud de la luz de la viga, centro a centro de apoyos [βt = Ecb C / 2 Ecs Is)] β1-Coeficiente definido en XVI.2 HIPÓTESIS ∆o- deriva de primer orden, o sea el desplazamiento horizontal relativo de la parte superior con respecto a la parte inferior del piso considerado, debida a la fuerza cortante total mayorada Vu que actúa sobre el piso εt- deformación unitaria neta a tracción para el refuerzo al nivel de resistencia nominal λ- magnificador para deflexiones adicionales a largo plazo ξ- Coeficiente que se utiliza para tomar en cuenta los efectos a largo plazo de las cargas permanentes γf- fracción de momento no balanceado transferido por flexión en las conexiones losa-columna γp- Coeficiente para el tipo de tendón de presfuerzo γp = 0.55 para fy/fpu no menor de 0.80 = 0.40 para fy/fpu no menor de 0.85 = 0.28 para fy / fpu no menor de 0.90 γv- fracción de momento no balanceado transferido por excentricidad de cortante en las conexiones losacolumna (γv = 1 – γf) η- número de cabezas de cortante idénticas μ- Coeficiente de fricción para ser utilizado por el método de cortante por fricción μ- Coeficiente de fricción por curvatura, por radián - Coeficiente de reducción de resistencia δ- Coeficiente de ampliación del momento flector debido a efectos de esbeltez δl- Coeficiente local de ampliación de momentos, para tener en cuenta los efectos de la curvatura producidos entre los extremos de un elemento sometido a compresión δg- Coeficiente global de ampliación de todas las fuerzas internas de los electos de un piso de un edificio para tener en cuenta los efectos globales de esbeltez (efecto P- ∆) ρ- cuantía del refuerzo no Presforzado en tracción (ρ = As / bw de) ρ’- cuantía del refuerzo no Presforzado en compresión (ρ’ = As’ / bw de) ρb- cuantía del refuerzo que produce condiciones balanceadas de deformaciones unitarias

257

ρb- relación entre el área del refuerzo horizontal de cortante y el área bruta de Concreto de la sección vertical ρg- cuantía de refuerzo longitudinal de la columna calculada sobre el área total de la sección ρn- relación entre el área del refuerzo vertical de cortante y el área bruta de Concreto de la sección horizontal ρn- cuantía del refuerzo para cortante distribuido en un plano perpendicular a Acv ρp- cuantía del refuerzo Presforzado (ρp = Aps / b dp) ρs- relación del volumen del refuerzo en espiral al volumen total del núcleo (medido por la parte exterior de las espirales), en un elemento a compresión reforzado con espirales ρv = (As + Ah) / b de ρv- cuantía de refuerzo en forma de estribos calculada con respecto al área de la superficie de contacto ρv = Av / bv s θ- ángulo de las diagonal de compresión en la analogía para torsión, en grados ω = ρ fy / fc’ ω’ = ρ’ fy / fc’ ωp = ρ’ fps / fc’ ωw, ωpw, ωw’ – índices de refuerzo para secciones con alas, calculados en igual forma que ω, ωp, y ω’ excepto que b debe ser el ancho del alma y el área del refuerzo debe ser la que se requiere para desarrollar la resistencia a la compresión del alma únicamente

258

ÍNDICE CAPÍTULO I Pag I.1 INTRODUCCIÓN 3 I.2 MÉTODOS DE PRESFORZADO 3 I.3 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUCTURAL CON REFUERZO PRESFORZADO, ANTES Y DESPUÉS DE APLICAR LAS CARGAS EXTERIORES 3 I.4 COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DEL PRESFUERZO 9 I.5 EJEMPLO DEL CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS EN LAS FIBRAS EXTREMAS EN UNA VIGA PREESFORZADA 11 I.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 12 CAPÍTULO II MATERIALES II.1 CONCRETO II.2 REFUERZO NO PRESFORZADO II.3 REFUERZO PRESFORZADO II.4 DUCTOS Y MORTERO DE INYECCIÓN

13 13 13 15

CAPÍTULO III MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE III.1 COMPROBACIÓN DE LA SEGURIDAD III.2 VALOR DE LA FUERZA DE PRESFORZADO III.3 ESFUERZOS ADMISIBLE EN EL CONCRETO PRESFORZADO A FLEXIÓN III.4 REQUISITOS DE DISEÑO PARA FUNCIONAMIENTO III.5 CARGAS Y FUERZAS DE DISEÑO Y DE SERVICIO III.6 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO III.7 PRIMERA ETAPA –METODOLOGÍA DE ANÁLISIS III.8 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL ELÁSTICO GENERAL

17 18 19 20 22 24 24 25

CAPÍTULO IV PÉRDIDAS DE LA FUERZA DEL PRESFUERZO IV.1 INTRODUCCIÓN IV.2 - PÉRDIDAS TOTALES DE LOS ELEMENTOS PRETENSADOS IV.3 PÉRDIDAS TOTALES DE LOS ELEMENTOS POSTENSADOS IV.4 PÉRDIDAS POR EL CORRIMIENTO DEL ANCLAJE (AC) IV.5 PÉRDIDAS POR ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO (ES) VI.6 PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN LOS TENDONES DE CONCRETO POSTENSADO (F) IV.7 Ri -PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO INSTANTÁNEO DEL TENDÓN IV.8 PÉRDIDAS POR FLUJO PLÁSTICO (FLUENCIA) DEL CONCRETO (CR) IV.10 SH -PÉRDIDAS POR RETRACCIÓN DEL FRAGUADO DEL CONCRETO IV.11 Rd- PÉRDIDAS POR RELAJAMIENTO DIFERIDO DEL TENDÓN IV.12. GRÁFICO DE LA VARIACIÓN DEL ESFUERZO DEL PRETENSADO IV.13 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LA FUERZA EFECTIVA Y EL ESFUERZO EFECTIVO IV. 14 EJEMPLOS PROPUESTOS

28 28 29 29 29 31 32 33 34 34 35 36 39

CAPÍTULO V

259

ESTADO LÍMITE DE FISURACIÓN

Pag

V.1 DISTRIBUCIÓN DEL REFUERZO DE FLEXIÓN EN VIGAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIÓN V.2. DEFINICIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITE DE FISURACIÓN V.3 ESTADO LÍMITE DE DESCOMPRESIÓN V.4 ESTADO LÍMITE DE FORMACIÓN DE FISURAS V.5 ESTADO LÍMITE DE ABERTURA DE FISURA V.6 EXIGENCIAS DEBIDAS A LA DURABILIDAD V.7 EXIGENCIAS DEBIDAS AL ASPECTO

41 41 41 42 44 47 47

V.8. EXIGENCIAS DEBIDAS A LA COMPRESIÓN DEL HORMIGÓN V.9 CIERRE DE FISURAS V.10 EXPERIENCIA DEL AUTOR V.11 EJEMPLO DE DESCOMPRESIÓN DE UNA SECCIÓN

47 48 49 50

V.12 EJEMPLO ESTADO LÍMITE DE FORMACIÓN DE FISURAS

50

V.13 EJEMPLO FISURACIÓN EN LA ZONA COMPRIMIDA DE UNA SECCIÓN V.14 EJEMPLO. HALLAR EL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO POR FISURACIÓN V.15 PROBLEMAS PROPUESTOS

50 51 51

CAPÍTULO VI ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN VI.1 ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN VI.2 COMPORTAMIENTO DE LA DEFORMACIÓN VI.3 MÉTODO DEL MOMENTO DE INERCIA EFECTIVO VI.4 MÉTODO BI-LINEAR VI.5 MÉTODO DEL INCREMENTO DE MOMENTO-CURVATURA VI.6 MÉTODO DE INCREMENTO SEGÙN EL TIEMPO VI.7 DEFORMACIONES MÁXIMAS PERMISIBLES VI.8 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LA DEFORMACIÓN INICIAL DE UNA VIGA VI.9 DEFORMACIÓN UTILIZANDO EL MOMENTO DE INERCIA Ie VI.10 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LA DEFORMACIÓN INICIAL DE UNA VIGA UTILIZANDO EL MÉTODO DE INCREMENTO SEGÙN EL TIEMPO VI.11 PROBLEMAS PROPUESTOS

52 53 54 55 55 56 58 59 60 61 64

CAPÍTULO VII DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO ESTRUCTURAL PRESFORZADO SOMETIDA A FLEXIÓN, A FLEXO-COMPRESIÓN, TRACCIÓN Y FLEXO-TRACCIÓN EN EL ESTADO DE UTILIZACIÓN VII.1 FLEXIÓN VII.2 FLEXO-COMPRESIÓN VII.3 TRACCIÓN AXIAL EN ESTADO DE UTILIZACIÓN VII.4 FLEXO-TRACCIÓN EN ESTADO DE UTILIZACIÓN VII.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

65 71 76 76 77

260

CAPÍTULO VIII COLOCACIÓN DE LA FUERZA DE PRESFORZADO A LO LARGO DEL ELEMENTO Pag VIII.1 LÍMITES DE LA ZONA VIII.2 REDUCCIÓN DE LA FUERZA DE PRESFUERZO CERCA DE LOS APOYOS

79 80

VIII.3 EJEMPLO DETERMINACIÓN DE COLOCACIÓN DE LOS TENDONES VIII.4 PROBLEMAS PROPUESTOS

81 81

CAPÍTULO IX ZONA DE ANCLAJE DEL PREESFURZO IX.1 INTRODUCCIÓN IX.2 CONCRETO PRETENSADO IX.3 ZONAS DE ANCLAJES DE ELEMENTOS POSTENSADO IX.4. RESISTENCIA NOMINAL DE LOS MATERIALES IX. 5 MÉTODOS DE DISEÑO IX. 6. DISEÑO DE LAS ZONAS DE ANCLAJE PARA TENDONES DE UN ALAMBRE O BARRAS DE 16 MM DE DIÁMETRO IX.7 USO DE DISPOSITIVOS ESPECIALES DE ANCLAJE IX.8 EJEMPLO DE DOS ANCLAJES EN UNA SECCIÓN RECTANGULAR IX.9 PROBLEMAS PROPUESTOS

82 82 83 85 85 87 88 88 89

CAPÍTULO X ELEMENTOS COMPUESTOS CONCRETO-CONCRETO SOMETIDO A FLEXIÓN X.1 INTRODUCCIÓN X.2 ESTADOS DE CARGA DE LOS ELEMENTOS COMPUESTOS X.3 VIGA PREFABRICADA SIN CIMBRA (SIN APOYO) X.4 VIGA PREFABRICADA CON CIMBRA (APOYADA X.5 DETERMINACIÓN DEL PRESFUERZO X.6 RESISTENCIA AL CORTANTE VERTICAL X.7 RESISTENCIA AL CORTANTE HORIZONTAL X.8.1 DISEÑO DEL REFUERZO X.9 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA SECCIÓN COMPUESTA X.10 EJEMPLO DE SECCIÓN COMPUESTA X.11 PROBLEMAS PROPUESTOS

91 91 92 93 93 94 94 96 96 97 102

CAPÍTULO XI ESTADO LÍMITE ÚLTIMO XI.1. DIAGRAMA DE CÁLCULO DEL ESFUERZO-DEFORMACIÓN DEL CONCRETO XI.2 HIPÓTESIS XI.3 RESISTENCIA REQUERIDA XI.4 RESISTENCIA DE DISEÑO XI.5 DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE RESISTENCIA XI.6 FLEXIÓN XI.7. DISTANCIA ENTRE APOYOS LATERALES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN XI.8 REFUERZO MÍNIMO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN REFORZADO CON ACERO PRESFORZADO XI.9 REFUERZO ADHERIDO MÍNIMO

104 104 105 105 106 108 116 116 Pag 116

261

XI.10 PROBLEMAS PROPUESTO

117 CAPÍTULO XII FLEXO-COMPRESIÓN

XII.1 ANÁLISIS DE CUALQUIER TIPO DE SECCIÓN XII.2 EJEMPLO DE UNA SECCIÓN PREESFORZADA SOMETIDAS A FLEXOCOMPRESIÓN XII.3 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS A COMPRESIÓN XII.4 CONSIDERACIÓN DE LA ESBELTEZ XII.5 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL XII.6 DISEÑO DE ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL XII.7 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS CON DESPLAZMIENTO LATERAL XII.8 TRANSMISIÓN DE LAS CARGAS DE COLUMNAS A TRAVÉS DE LOS SISTEMAS DE ENTREPISOS XII.9 DIMENSIONES DE DISEÑO PARA ELEMENTOS A COMPRESIÓN XII.10 LÍMITES PARA EL REFUERZO DE ELEMENTOS REFORZADO CON REFUERZO PRESFORZADOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN XII.11 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS DE DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDA A FLEXO-COMPRESIÓN EN PÓRTICOS SIN DESPLAZAMIENTOS XII.12 EJEMPLO DE DETERMINACIÓN DE LAS SOLICITACIONES DE DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDA A FLEXO-COMPRESIÓN EN PÓRTICOS CON DESPLAZAMIENTO XII.13 PROBLEMAS PROPUESTOS

119 120 122 122 126 127 127 127 128 128 129

130 132

CAPÍTULO XIII TRACCIÓN SIMPLE Y FLEXO-TRACCIÓN XIII.1 NOTAS SOBRE LA NOMENCLATURA XIII.2 HIPÓTESIS XIII.3 TRACCIÓN SIMPLE XIII.4 CASOS DE COMPROBACIÓN DE SECCIONES XIII.5 EJEMPLO DE ELEMENTO SOMETIDO A FLEXO-TRACCIÓN XIII.6 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN ELEMENTO SOMETIDO A FLEXO-TRACCIÓN XIII.7 PROBLEMA PROPUESTO

134 134 134 135 135 135 137

CAPÍTULO XIV RESUMEN DE ELEMENTOS PRESFORZADOS SOMETIDOS A SOLICITACIONES NORMALES EN EL ESTADO DE AGOTAMIENTO XIV.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA ELEMENTOS CON REFUERZO PRESFORZADO Y NO PRESFORZADO 138 XIV.2 EJEMPLO DE UNA SECCIÓN PREESFORZADA SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES EN ESTADO DE AGOTAMIENTO 144 XIV.3 PROBLEMAS PROPUESTOS 148

CAPÍTULO XV SOLICITACIÓN TANGENTE (CORTANTE)

262

XV.1 INTRODUCCIÓN XV.2 VALOR DEL ANCHO DEL ELEMENTO XV.3 RESISTENCIA AL CORTANTE XV.4 DETERMINACIÓN DE Vu XV.5 DETERMINACIÓN DE Vc EN ELEMENTOS PRESFORZADOS XV.6 RESISTENCIA A CORTANTE CONTRIBUIDA POR EL REFUERZO DE CORTANTE XV.7.5 DISEÑO DEL REFUERZO A CORTANTE XV.8 PROBLEMAS PROPUESTOS

Pag 149 150 150 150 150 153 154 157

CAPÍTULO XVI

TORSIÓN INTRODUCCIÓN XVI.1. TORSIÓN COMO SOLICITACIÓN SECUNDARIA XVI.2.CÁLCULO DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO (Tu) XVI.3 RESISTENCIA AL MOMENTO TORSOR XVI.4. REFUERZO NECESARIO A TORSIÓN

158 159 159 160 161

XVI.5. REDUCCIÓN DEL REFUEZO LONGITUDINAL XVI.6 DETALLES DEL REFUERZO PARA TORSIÓN XVI.7 REFUERZO MÍNIMO PARA TORSIÓN XVI.8 ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO A TORSIÓN XVI.9 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO A TORSIÓN DE ELEMENTOS PRESFORZADO XVI.10 DISEÑO DE UN ELEMENTO PRESFORZADO SOMETIDO A CORTANTE Y TORSIÓN XVI.11 PROBLEMAS PROPUESTOS

162 162 163 163 163 166 168

CAPÍTULO XVII VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS VIGAS PREESFORZADAS XVII.1 INTRODUCCIÓN XVII.2 TIPOS DE SECCIONES XVII.3 SECCIÓN INICIAL XVII.4 DISEÑO DE VIGA CON PRESFUERZO TOTAL XVII.5 DISEÑO DE VIGA CON PRESFUERZO PARCIAL XVII.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

170 170 1 70 171 187 195

CAPÍTULO XVIII VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS VIGAS PREESFORZADAS XVIII.1 INTRODUCCIÓN XVIII.2 EFECTOS DEL PRESFUERZOS EN VIGAS CONTINUAS XVIII.3 MÉTODO DEL DESPLAZAMIENTO DEL APOYO XVIII.4 MÉTODO DE LA CARGA EQUIVALENTE XVIII.5 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS PREESFORZADAS

197 198 198 202 204 Pag

XVIII.6 REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS NEGATIVOS DEBIDO A CARGAS DE GRAVEDAD EN ELEMENTOS CONTINUOS PRESFORZADOS A FLEXIÓN

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XVIII.7 PÓRTICOS INDETERMINADOS XVIII.8 PROBLEMAS PROPUESTOS

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CAPÍTULO XIX SISTEMAS DE LOSAS REFORZADAS EN UNA Y DOS DIRECCIONES XIX.1 ALCANCE XIX.2 SISTEMAS DE LOSAS XIX.3 LOSA REFORZADA EN UNA DIRECCIÓN XIX.4. LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES XIX 5 RESISTENCIA A CORTANTE DE LOSAS XIX.6 MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE XIX.7 RESISTENCIA A FLEXIÓN PARA LOSAS PREESFORZADAS XIX.8 DISTRIBUCIÓN DE LOS TENDONES DE PRESFUERZO XIX.9 DEFORMACIÓN DE LAS LOSAS REFORZADAS EN DOS SENTIDOS XIX.10 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE LOSAS PREESFORZADAS EN DOS DIRECCIONES POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE XIX.11 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA PREESFORZADA POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE XIX.12 ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE PARA CARGA HORIZONTALES EN PÓRTICOS NO ARRIOSTRADOS XIX.13 PROBLEMAS PROPUESTOS

223 223 224 225 228 233 238 238 238 240 241 246 247

CAPÍTULO XX RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

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DEFINICIONES NOTACIÓN ÍNDICE

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CONCRETO ESTRUCTURAL TOMO II CONCRETO ESTRUCTURAL PRESFORZADO En el presente Tomo II, se desarrolla con suficiente amplitud la teoría del diseño y comprobación de elementos de Concreto Estructural PRESFORZADO, aplicando el método de Concreto Estructural del Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10 El libro contempla el diseño y comprobación de elementos sometidos a momento flector, cortante, cargas axiales, flexo-compresión, flexo- tracción y torsión, comprobando la fisuración y la deformación de los elementos Al elaborar un proyecto para una obra de Concreto Estructural, es importante, entre otros, tener en cuenta lo siguiente: Que cumpla los requisitos para el uso que va a ser destinada Que sea resistente y tenga la rigidez adecuada Que sea duradera Que sea económica Que se pueda construir Que sea estética y agradable Basilio J. Curbelo es Ingeniero Civil, graduado en la Universidad de la Habana, Cuba Tiene 30 años de experiencia realizando proyectos civiles de centrales eléctricas, hidroeléctricas y líneas de transmisiones eléctricas Ex Vicepresidente del Comité de Normalización del Cálculo Estructural de Cuba (CONCE) Ex Presidente del Comité de Concreto Estructural del CONCE Master en Ciencias-Ingeniería Civil- Amstead University (no acreditada) Doctor en Ciencias- Ingeniería Civil- Ashwood University (no acreditada)

República de Colombia Departamento del Quindío Ciudad Armenia Año 2015

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